Livro Operações Unitárias Na Ind. Qui PDF
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OPERAÇÕES UNITÁRIAS
NA INDÚSTRIA QUÍMICA
2a edição
Timóteo, MG
Edição do Autor
2013
A. Isenmann Operações Unitárias
Bibliografia
ISBN 978-85-913050-2-5
2
A. Isenmann Operações Unitárias
3
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS
GERAIS
CAMPUS TIMÓTEO
6
A. Isenmann Operações Unitárias
Vamos fixar isso num exemplo: o processamento de leite inclui as operações unitárias de
padronização, homogenização, pasteurização, resfriamento, e empacotamento. A linha de
produção integral, necessária para obter-se o produto comercializável a partir da matéria-
prima, se dá pelo sequenciamento e interligação destas operações.
Transferência de massa,
Transferência de calor,
Transferência de quantidade de movimento,
7
A. Isenmann Operações Unitárias
Termodinâmica,
Biotecnologia e
Cinética química.
Desta forma, os processos podem ser estudados de maneira unificada. Uma operação unitária
sempre tem o mesmo objetivo, independente da natureza química dos componentes
envolvidos. Por exemplo, a transferência de calor é a mesma operação, quer em um processo
petroquímico, quer em uma indústria de alimentos.
Combinação (misturar)
Separação (destilação)
Reacão (reação química)
2 Fluxo de matéria
Na indústria química o transporte e o processamento de reagentes, produtos e materiais de
modo geral se dá principalmente em meios fluidos (gases, líquidos, géis, pastas, etc),
enquanto o uso de sólidos geralmente é evitado onde for possível, devido ao atrito durante o
transporte. Este capítulo aborda então os problemas acerca do transporte que o engenheiro
químico tem que resolver para assegurar uma produção contínua.
A base do cálculo de tarefas de transporte e o dimensionamento de bombas é a teoria do
fluxo. Essa teoria é apresentada de forma resumida, tratando do essencial para o entendimento
das aplicações mais importantes na química técnica. Não é o objetivo a derivação exata das
equações que deve ser reservada à literatura especial 1.
1
Disponíveis nas bibliotecas do CEFET-MG:
W.L. McCabe, Unit Operation of Chemical Engineering, McGraw Hill 1967; No. de chamada: 660 M121u.
A.S. Foust, Princípios das operações unitárias, LTC 1982; No. de chamada: 66.021 F782p.
D.A. Blackadder, Manual das operações unitárias, Ed. Hemus 2004; No. de chamada: 660 B628m.
8
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Disponível em CD:
J.H. Perry, Chemical Engineer´s Handbook, McGraw Hill 2002.
9
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dW F dL
Potência (= desempenho) P E Watt W
Viscosidade dinâmica Pascalsegundo Pa s
Frequência 1 Hertz Hz ou s-1
T
Tensão elétrica (= potencial) dU R dI Volt V
Resistência elétrica L Ohm
R
A
Carga elétrica dQ I dt Coulomb C
Condutividade elétrica A Siemens S
k R 1
L
10
A. Isenmann Operações Unitárias
Onde o termo A// significa área paralela à força aplicada, diferente da área perpendicular Axy =
A usada no cálculo de pressão p:
F
p .
A
Consideremos um fluido escoando em uma tubulação de comprimento L e raio r. Após a
aplicação de uma força externa F, por exemplo, por meio de uma bomba, a massa desse fluido
exerce força na área perpendicular A, gerando uma pressão global, também conhecida como
pressão de bombeamento. A maneira como acontece o escoamento do fluido será apresentada
mais adiante (ver perfil de velocidade, Fig. 4, na p. 21).
11
A. Isenmann Operações Unitárias
2.3 A viscosidade
Nas seções a seguir serão tratados os fenômenos de fluxo com fricção 2. A medida da fricção
interna de um fluido é a viscosidade. Além de definir a viscosidade, esta seção indica os
caminhos do seu cálculo e alguns dados de viscosidades típicas.
Dentro de um meio em fluxo ocorre uma perpétua troca de momento linear (= impulso; m u )
entre as partículas. Nas paredes imóveis o momento é entregue; neste local a velocidade do
fluxo é zero, u = 0 (condição de adesão). A partir do local com u = 0 a velocidade aumenta
junto à distância da parede e pode-se observar um perfil linear de velocidade dentro do fluido
(ver Fig. 2). Entre as zonas de diferentes velocidades ocorre a transmissão de momento, yx,
através da fricção interna. Esta grandeza também é conhecida como tensão de cisalhamento
(ver p. 11), tensão tangencial ou força tangencial por área unitária.
Visualizamos o acontecimento em nível molecular com um modelo macroscópico. Vamos
supor dois trens andando em dois trilhos paralelos, na mesma direção porém em velocidades
diferentes. Daí os passageiros começam pular do trem mais rápido para o trem mais lento. Ao
chegar no outro trêm, cada uma destas pessoas cede um momento mais alto, provocado pela
sua alta velocidade e seu próprio peso. Isso irá acelerar o trem mais lento. Num outro
momento as pessoas pulam do trem mais lento para o mais rápido, o que terá o efeito de frear
o trem de destino.
Voltando para o fluido, podemos então comparar as camadas em direção ao fluxo sendo trens
de diferentes velocidades, o número de pessoas que pulam seja a viscosidade e a diferença
em velocidade entre trens vizinhos seja o gradiente .
Chegamos aasim numa forma da lei de Newton na seguinte forma:
du x
yx . Lei de Newton, aplicada ao fluido.
dy
2
Fricção e atrito são sinônimos.
12
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du x
com = viscosidade dinâmica (ou fricção interna);
= perfil de velocidade
dy
perpendicular ao fluxo; também chamado de razão, taxa ou frequência de cisalhamento. O
sinal negativo nesta equação é convenção internacional.
Admitimos que a lei de Newton é menos conhecida nesta forma do que F m a . Portanto,
seja mostrada a seguir a analogia destas formulações.
Dividindo ambos os lados por A// , temos:
F ma
.
A// A//
du x
Escrevemos para F / A// e para a aceleração a u x . A geometria dentro de um
dt
tubo fornece a área paralela ao fluxo, A// 2rL , portanto:
m du m du m
x x .
2 L dr dt 2 L dt dr 2 L dt
m
O termo tem a dimensão massa por comprimento e por tempo, então as unidades
2 L dt
são Kg.m-1.s-1 ou seja, Pa.s. Esta grandeza é definida matematicamente como viscosidade.
F = m. a
= .
13
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d yx d .
ou
Fig. 3. Comparação de fluidos Newtoneanos, viscosos-estruturais e dilatantos.
Existe um terceiro caso que desvia do comportamento ideal, conhecido como corpo de
Bingham: o material se comporta conforme descrito por Newton, mas somente após
ultrapassar uma tensão limite; abaixo deste limite o corpo fica sólido elástico e não mostra
fluência, mas reverte à sua posição original quando relaxar a tensão. Exemplos para materiais
14
A. Isenmann Operações Unitárias
deste comportamento são ketchup, pasta de dente, massa de pão, certas tintas de parede, mas
também o nosso sangue. Muitas suspensões de alta concentração (isto é, partículas sólidas em
pouco solvente líquido; exemplo: areia fina e molhada na praia) mostram este
comportamento. Daí a lei de Newton deve ser modificada conforme
Esses fenômenos não devem ser confundidos com a tixotropia (onde o oposto é a reopexia
ou anti-tixotropia) que é o fenômeno da diminuição (aumento) da viscosidade aparente com o
tempo de cisalhamento, à uma taxa de cisalhamento constante. Ao contrário dos fenômentos
da pseudoplasticidade/dilatância a tixotropia é sujeito à histerese temporal, quer dizer,
depende do seu histórico. Como também na viscosidade estrutural e no corpo de Bingham, a
diminuição da viscosidade aparente com o tempo se deve à quebra de uma supra-estrutura
organizada no fluido que podemos identificar com um gel. Se deixarmos o sistema tixotrópico
em repouso durante algum tempo, a viscosidade aparente aumentará novamente e a supra-
estrutura entre as partículas que “imobiliza” o líquido se reforma. Se, a seguir, submetermos o
sistema ao cisalhamento, a uma velocidade de agitação constante, a viscosidade aparente
decrescerá com o tempo até atingirmos uma viscosidade limite, isto é, o equilíbrio entre
quebra e reconstrução da estrutura. A tixotropia é facilmente observada quando mexemos
(cisalhamos) com uma espátula uma tinta latex para pintar parede. Inicialmente a tinta parece
muito viscosa, mas, com o tempo de mexer, ela vai se tornando mais fluida. Soluções de
polímeros de massa molar elevada são, em geral, tixotrópicas. Suspensões coloidais de óxido
de ferro III, de alumina e algumas argilas, que formam sistemas fracamente gelificados,
também apresentam tixotropia. A formação reversível de géis é vital em uma série de
processos industriais importantes, tais como o transporte de lodos na estação de tratamento de
esgotos ou no Fracking de gás natural. Neste último exemplo os aditivos de geleificação
(polissacarídeos ou poliacrilamida) imobilizam os grãos de areia dentro da água de processo e
assim podem ser levados até as fendas dos sedimentos profundos.
,
1 8 RT
e u ,
2 N 2
12
M
Sob condições normais (0,1 MPa) esperamos caminhos livres entre 100 nm < < 1 µm. Já
com uma pressão de 1 MPa os caminhos se reduzem a 10 nm < < 100 nm, ou seja,
aproximadamente 5 a 50 vezes o comprimento da própria molécula.
Para gases ideais o modelo cinético das patículas fornece para a viscosidade:
2 2 8RT 2 M RT
u .
3 3 M 3 122
Embora essas relações valem rigorosamente só para gases ideais, elas podem também ser
aplicadas ao gás real, até pressões moderadas. Notamos que a viscosidade deve ser
independente da pressão nestes gases, mas deve aumentar junto à temperatura. Já que o
raio médio de colisão diminui um pouco ao aumentar a temperatura, então essa última
proporcionalidade fica ligeiramente maior do que T . Em geral, podemos descrever a
dependência térmica da viscosidade de gases na seguinte forma:
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n
T
0 , com T0 = 273 K e 0 viscosidade dinâmica a 273 K.
T0
A
Be T
,
enquanto o cálculo das constantes A e B a partir dos dados moleculares requer um alto esforço
matemático é contém diversas aproximações 3. Portanto, essa equação é usada, principalmente
para interpolações entre os dados experimentais.
A viscosidade é de aproximadamente 2 ordens de grandeza maior do que a dos gases. Valores
típicos nas seguintes tabelas.
3
R.C. Reid, T.K. Sherwood, The properties of gases and liquids, McGraw-Hill 1966.
17
A. Isenmann Operações Unitárias
18
A. Isenmann Operações Unitárias
d 2 p
u , Hagen-Poiseulle
32 L
p
yx .
x y
Devido à simetria do tubo, porém, será mais útil usar coordenadas cilíndricas:
19
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p 1
(r rz ) .
z r r
du
Junto à lei de Newton, rz obtemos:
dr
p u
r .
z r r r
Isso é uma equação diferencial parcial com duas coordenadas do espaço (r, z). Podemos
transformá-la em uma equação diferencial comum quando fizermos a restrição de se ter um
fluido incompressível (isto é, praticamente todos os líquidos). Neste caso a perda em pressão
em direção z fica linear.
Para o fluxo laminar se obtém (isso vale grosseiramente para os gases, também):
p p
.
z L
O sinal negativo reflete o fato que, ao prosseguir a direção +z, a pressão p diminui; p tem,
nesta consideração, um valor positivo.
Com essa aproximação chegamos a uma equação diferencial comum que pode ser resolvida
sem problemas:
d du r p
r .
dr dr L
4
Essa transformação pode ser melhor entendida, com as explicações dadas no apêndice matemático D do livro
G. Wedler, Manual da Química Física, Calouste Gulbenkian 2001; disponível em nossa biblioteca.
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du r 2 p
r C , com a constante de integração C a ser determinada pelas condições
dr 2 L
marginais. Lembramos-nos que essa relação vale para todos os raios r, então vamos
considerar o local exatamente no miolo do tubo (r = 0) e obtemos diretamente:
C = 0.
du r p
Temos então . Na verdade estamos interessados na velocidade u, ou melhor
dr 2 L
falado, na relação entre a velocidade do fluxo e a perda em pressão p, portanto temos que
integrar mais uma vez. Isso leva à relação:
r 2 p
u (r ) C´ .
4 L
Para determinar a constante C´ aproveitamos da situação imóvel, diretamente na parede do
tubo (r = R e u(R) = 0) 5:
R 2 p
C´ .
4 L
u (r )
R 2
r 2 p
.
4 L
Essa é a lei na forma que está apresentada na maioria dos livros da física. Ela fala que a
velocidade u(r) é diretamente proporcional à perda em pressão p e indiretamente
proporcional ao comprimento do tubo, L. Além destas, a velocidade depende de maneira
5
Único caso onde a condição da imobilidade do fluido na parede não está obedecida, é no fluxo de gases do alto
vácuo. Mas os casos técnicos geralmente são longe deste caso excepcional.
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A. Isenmann Operações Unitárias
quadrática do raio r. Isso implica que se estabelece um perfil parabólico de velocidade dentro
do tubo:
R 2 p
u max .
4 L
r 2
u (r ) u max 1 .
R
O engenheiro se interessa menos pela velocidade máxima, mas sim, para a velocidade média,
u . Este valor tem importância para o cálculo da corrente de volume ou de massa. Ele se
calcula da seguinte maneira:
1
u u (r ) dF , onde Ftotal é a seção transversal do tubo (circular!): Ftotal R 2 .
Ftotal F
Então:
dF
u u (r ) .
F R2
dF
A derivada da área transversal em geral, F r 2 , é 2 r . Ela tem o significado
dr
físico da circunferência do tubo. Com isso obtemos:
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2r r r
dF 2 r dr u u (r ) dr 2u (r ) d .
R R
2
r R r
R
r
Resolvemos essa integral com uma variável auxiliar, , com 0 1 . A integral se
R
formula como:
1
u 2 u d .
0
r 2
Aproveitamos do resultado u u max
1 u max 1 2 . Daí obtemos:
R
1
2 4
d 2u
1
1
u 2u max 1 2
max 2u max .
0 2 4 0 4
u max
u .
2
R 2 p
Com u max podemos obter a lei de Hagen-Poiseuille também na seguinte forma:
4 L
R2
u p .
8L
R4
V u F p
8 L
23
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R4
m V p ,
8 L
1 m 2
V
Ecin u .
2 V
m
Aproveitamos da densidade, , daí obtemos a energia na forma de:
V
1 Kg N
V
Ecin u2 , com as unidades 2 Pa .
2 ms 2
m
V
A consideração das unidades revela um fato interessante: E cin tem a mesma unidade que a
pressão! Podemos concluir que a divisão desta energia pela pressão fornece um número
adimensional. Um número que tenha então uma aplicação mais universal, pois não é mais
acoplado nas unidades ou nos valores absolutos as quais a gente escolhe. Chegamos ao
famoso número de Euler:
p
Definição: Eu . Número de Euler.
1
u2
2
O número de Euler indica qual a queda em pressão, ocasionada pela introdução de uma
quantidade de energia cinética, a cada unidade de volume. Para nossa surpresa, essa relação
vale para todos os processos de fluxo, quer para condição laminar quer para turbulenta.
Podemos expressar a queda em pressão p nesta relação, pela lei de Hagen-Poiseuille (por
sua vez somente para o fluxo laminar):
24
A. Isenmann Operações Unitárias
8L 32L
p 2
u 2 u , com o diâmetro d = 2R.
R d
32L
u
d 2
L 64
Eu .
1 d du
u 2
2
Esta relação já foi organizada de tal maneira que resultem dois novos termos adimensionais,
L du
isto são e . O primeiro é conhecido como aspecto do tubo e o último representa outro
d
número característico da engenharia de processos chamado de número de Reynolds:
du
Definição: Re Número de Reynolds
De todos os números adimensionais (existem muitos deles! Ver cap. 8.1.1, no anexo desta
apostila), provavelmente esses dois são os mais utilizados, na engenharia química.
Re e Eu podem ser interpretados da seguinte maneira:
u impulso volume
Re
d força de cisalhamento
p perda em pressão
Eu .
1 2 u 2
Energia cinética
Usando essas duas expressões podemos escrever a lei de Hagen-Poiseuille na seguinte forma:
L 64
Eu lei de Hagen-Poiseuille.
d Re
Em certas situações será mais útil usar o número de fricção, (Re), em vez do próprio número
de Reynolds. Através deste truque a gente amplia a relação, para o fluxo turbulento, também.
Em caso de fluxo laminar, os dois têm a seguinte relação inversa:
25
A. Isenmann Operações Unitárias
64
(Re) ; número de fricção (ou coeficiente de fricção).
Re
É importante lembrar-se que essa relação entre o número de fricção e Re somente vale para o
fluxo laminar, então somente para a região onde a lei de Hagen-Poiseuille é válida; ver
também cap. 2.4.3.
Ao usarmos o número de fricção (Re) a lei de Hagen-Poiseuille torna-se aplicável a todos os
tipos de fluxo:
L
Eu (Re) .
d
L 1
p (Re) u 2 .
d 2
A medida para o tipo de correnteza é o número de Reynolds. Se tiver um valor baixo, o efeito
da viscosidade do fluido sobre o transporte de momento perpendicular à direção do fluxo (isto
é, em direção à parede) é uma característica unicamente do próprio fluido. Aumentando o
número de Reynolds, percorremos uma região estreita de transição, acima da qual se adiciona
ao transporte de momento do fluxo laminar, um outro transporte de momento devido à
mistura em redemoinhos. Até podemos afirmar que a contribuição dos redemoinhos ao
26
A. Isenmann Operações Unitárias
p 1 u
(r rz ) r ,
z r r r r r
6
Disponível da Biblioteca do Campus I do CEFET-MG:
R.R. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Fenômenos de Transporte, 2a Ed. LTC Rio de Janeiro 2004.
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A. Isenmann Operações Unitárias
Vamos tentar entender a transição do fluxo laminar para turbulento, a partir dos fenômenos
observados em uma mistura de líquidos coloridos. Em fluxos bastante lentos se estabelece um
perfil de velocidade parabólico, conforme mostrado acima (Fig. 4). Ao aumentar a
velocidade, essa parábola é esticada cada vez mais, de forma que o miolo avança muito,
enquanto as zonas marginais estão cada vez mais retidas, em relação ao miolo. Nesta situação
as camadas mais avançadas têm a tendência de escaparam radialmente para fora, então em
direção à parede do tubo. Quando isso realmente acontece, então há formação de diversos
centros de turbulência, afinal formam-se muitos redemoinhos ao mesmo tempo que misturam
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A. Isenmann Operações Unitárias
Apesar da camada limite de Prandtl ser bastante estreita (maior a velocidade, mais estreita ela
é), mesmo assim podemos afirmar que dentro dessa camada o caráter do fluxo continua
laminar.
Quando os tufos de turbulência batem na camada limite, eles ficam grudados nesta camada e
entregam seu momento.
Na prática se tem, na maioria dos casos, fluxo turbulento. Ele acarreta uma queda em pressão,
maior do que no fluxo laminar. A equação usada para estimar p é, em analogia ao cap. 2.4.2,
L 1
p (Re) u 2 , pois o caráter desta equação é universal (laminar e turbulento!).
d 2
Como os movimentos no fluxo turbulento são muito mais complexos, é preciso usar um
coeficiente (Re) que foi experimentalmente determinado. Na região turbulenta o coeficiente
de fricção (Re) é menos dependente do número de Reynolds. Além disso, a asperidade do
tubo torna-se um fator cada vez mais importante. Ela provoca um aumento da espessura da
camada limite, sobre o qual o miolo turbulento é transportado com baixa fricção.
Na próxima figura podemos ver a dependência do número de fricção, do número de Reynolds.
Fica evidente que a asperidade da parede, em caso de turbulência, tem uma influência notável
sobre o . Em casos de turbulência total em tubos ásperos o fica quase independente do Re,
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A. Isenmann Operações Unitárias
com valores entre 0,02 e 0,04. Nesta situação o modelo do fluxo "sem fricção" é bastante útil
e vale como simplificação.
Na literatura se encontram várias relações empíricas que foram propostas para determinar
(Re). Nenhuma delas, porém, tem caráter universal, mas vale somente para um caso
específico. Sendo mencionada como exemplo apenas a relação de Blasius:
0,316
,
Re 0, 25
O caminho do cálculo da perda em pressão em tubos pode ser resumido em três etapas:
1. O cálculo de Re. Deste resultado a gente sabe que tipo de fluxo podemos esperar, ou
laminar ou turbulento. Daí sabemos quais relações devemos aplicar a seguir.
2. Cálculo (ou determinação gráfica a partir da Fig. 7) do valor do coeficiente de fricção,
(Re).
L 1
3. Cálculo da perda de pressão usando p (Re) u 2
d 2
30
A. Isenmann Operações Unitárias
O fluxo da massa (= vazão de massa; ver também cap. 2.5.2), m , na maioria das vezes é
estabelecido pela fábrica.
Aplicamos a transformação da densidade do fluido, conforme:
dm
4
m 4m dt 4m
V L d 2
dL u d 2
d 2
dt
ud 4m
Re .
d
L 2 m u
p (Re) .
d d2
1
p u 2 ,
2
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A. Isenmann Operações Unitárias
Tab. 8. Coeficientes z das resistências localizadas, para diversas peças dentro de uma
tubulação (Fonte: K.F. Pawlow, P.C. Romankow, A.A. Noskow, Beispiele und
Übungsaufgaben zur Chemischen Verfahrenstechnik, VEB Deutscher Verlag für
Grundstoffindustrie 1979)
A perda total dentro da tubulação se obtém da soma, do próprio tubo e das peças localizadas.
Para tubulações com diâmetro único vale:
32
A. Isenmann Operações Unitárias
L 1
p (Re) i u 2 .
d i 2
tubo peças
Caso a secção transversal do caminho não seja exatamente circular, deve-se usar, em vez de d,
o diâmetro hidráulico, dh:
F
dh 4 ,
U
L
(Re) i .
d i
1
p u 2 .
2
33
A. Isenmann Operações Unitárias
Em um fluxo contínuo e constante a velocidade na parte mais larga é menor que na parte mais
estreita. Através da lei da manutenção das massas podemos calcular os fluxos de massa, nos
dois pontos de controle 1 e 2:
m 1 m 2 .
d2
F u ;
m F ,
4
Para fluidos incompressíveis (líquidos) a expressão fica mais simples ainda, pois
1 2 :
F1 u1 F2 u 2 .
Os dois estados são caracterizados pela velocidade do fluxo, também chamada de vazão, u,
pela altura h e pela pressão p. Em caso de fluxo sem fricção (isto é, não há perdas de energia
para fora) vale a lei da manutenção da energia (sempre relacionada ao volume, mostrado pelo
índice sobrescrito, v ):
v
Ecin E pot
v
p const. ,
1
v
onde Ecin u 2 e E pot
v
g h.
2
Obtemos diretamente a equação de Bernoulli para o caso sem fricção (com g = aceleração
gravitacional):
1
u 2 g h p const.
2
1 1
u1 g h1 p1 u 2 g h2 p2 .
2 2
2 2
1
2
u1 u 2 g h p 0 ,
2 2
com h h1 h2 e p p1 p 2 .
35
A. Isenmann Operações Unitárias
1
u 2 g h p .
2
2p g h
u .
Isso vale tanto para o transporte sob pressão externa quanto para o transporte hidrostático.
Em casos reais, porém, temos que levar em consideração a fricção, pois os fluidos geralmente
são retidos dentro da tubulação. Por isso, adicionamos o termo da queda em pressão devido à
1
fricção, p u 2 , ao lado esquerdo da equação:
2
1 1
u 2 u 2 g h p .
2 2
u 2 1 g h p .
1
2
2p g h
u .
1
36
A. Isenmann Operações Unitárias
Como já dito acima, a maioria dos fluxos aplicados é bastante rápida e turbulenta. O
equipamento para sua medição é geralmente uma sonda que é fixada centralizada dentro do
tubo 7:
Princípio de funcionamento:
O medidor de vazão tipo turbina consiste basicamente de um rotor, montado entre buchas em
um eixo, que gira a uma velocidade proporcional à velocidade do fluido dentro do corpo do
medidor. Um sensor eletromagnético (pick-up) detecta a velocidade de giro do rotor gerando
um trem de pulsos que serão transmitidos para um indicador eletrônico que fornecerá uma
7
Medidores avançados aproveitam da vibração sinoidal do tubo, um efeito que considera conceitos avançados da
hidrodinâmica. Site de partida recomendado: http://www3.emersonprocess.com/micromotion/tutor/portuguese
8
http://www.hdtechsolucoes.com.br/auxiliar/catalogoturbina.pdf
37
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 8. Medição da vazão por turbina (em cima): modelo com leitor digital (esquerda)
e mecânico (direita). Em baixo: medidor a palhetas (com eixo perpendicular à vazão).
Aplicações típicas
O medidor de vazão tipo turbina é bastante versátil. Hoje, ele é aplicado em medição de
consumo de combustíveis, nas indústrias químicas, petroquímicas, farmacêuticas, refinarias,
papeleiras, saneamento básico, tratamento e distribuição de água, alimentícia, geradoras de
energia elétrica, distribuidoras de gasolina, postos de abastecimentos de gás veicular, etc.
Os processos industriais controlados por turbinas são:
Venda, contabilização ou apropriação de matéria-prima ou produto final.
Transferência de custódia.
Bateladas em processos industriais.
Processos de mistura de líquidos ou gases.
Automatização em processos e envasamento.
Medição de consumo de combustíveis líquidos ou gasosos.
O medidor à turbina se destaca dos demais medidores, a serem apresentados a seguir, porque
dV
registra um valor integral do volume, V dt V . Desde o início da medição o aparelho
t
dt
conta o volume percorrido pela tubulação e caso haja uma parada do fluxo, o contador guarda
seu último valor.
38
A. Isenmann Operações Unitárias
1 1
u1 p1 u 2 p2 .
2 2
2 2
1
u1 p1 p2 .
2
1
u1 é denominado de pressão dinâmica.
2
O termo
2
39
A. Isenmann Operações Unitárias
1
p u12 .
2
2 p
u ,
Fig. 9. Tubo de pressão dinâmica segundo Prandtl, também conhecido como tubo de
Pitot, aplicável em fluidos gasosos e líquidos em fluxo laminar.
É importante que o tubo de Prandtl (também conhecido como tubo de Pitot) seja exatamente
alinhado à corrente de escoamento, caso contrário se esperam grandes desvios, tanto na
medição da pressão estática (na lateral do tubo) quanto da pressão total (na ponta do tubo).
Mesmo se o tubo for perfeitamente alinhado, a medição da pressão estática geralmente é
afetada com desvios positivos, pois a sua tomada de medição está sujeita aos componentes
transversais do escoamento turbilhonado. Os vetores não direcionados do fluxo provocam, ao
mesmo tempo, um desvio negativo na medição da pressão de estagnação. O tubo fornece
então os melhores resultados, com fluxos rigorosamente laminares. Como é difícil garantir
isso na prática, a escala no tubo U (manômetro) deve ser aferida, especialmente para as
correntezas de maior velocidade.
Aplicação principal do tubo de Prandtl:
Monitoramento de fluxos contínuos (e constantes),
Controle de fluidos de refrigeração/aquecimento em trocadores de calor
Geradores de vapor e turbinas de energia hídrica.
Ele tem também uma famosa aplicação fora da produção industrial: o "Pitot" é o clássico
velocímetro dos aviões.
40
A. Isenmann Operações Unitárias
c) Passagem em estreitamento
Dentro de um estreitamento a velocidade do fluxo u aumenta (ver equação de continuidade).
A pressão estática p, porém, diminui neste trecho - isso é o resultado da equação de Bernoulli
9
.
1 1 1
u1 p1 u 2 p2 u3 p3
2 2 2
2 2 2
No caso de fluxo sem fricção temos então as mesmas condições, nos pontos de controle 1 e 3,
já que o diâmetro do tubo é idêntico nestes locais.
Os perfis de velocidade e da pressão têm então a seguinte forma:
Agora olhamos nos pontos de balanço 1 e 2. No caso ideal, onde não tiver fricção, obtemos:
p
1
2
u 22 u12 .
1 F
2
p u12 1 1 ,
2 F2
9
Esse fato, aliás, explica também o efeito da sustentação numa asa de avião, pois o extradorso é mais curvado,
portanto o fluxo do ar fica mais rápido e a pressão fica reduzida. Essa diferença em pressão, no extradorso e no
intradorso, afinal causa a força sustentadora e faz o avião voar.
41
A. Isenmann Operações Unitárias
ou seja:
2 p
u1 .
F
2
1 1
F2
Vantagem do tubo de Venturi: oferece pequena resistência adicional ao fluxo, então a queda
de pressão causada pelo próprio instrumento é pequena.
Vantagem de blendas: são muito robustas e baratas.
10
O tubo de Venturi também é o dispositivo usado como velocímetro na aviação (isto é, mede a velocidade que o
avião tem em relação ao vento natural).
42
A. Isenmann Operações Unitárias
Importantes são as áreas circulares nos pontos de balanço 1 e 2, que se abrem entre o tubo
fixo e a bóia. Nestas temos sempre: F1 F2 ; isso levará a alguma simplificação adiante.
Fig. 12. Os pontos de balanço na bóia. ////// = área entre bóia e parede.
À esquerda: fundo da bóia (fluido numa passagem larga;)
À direita: topo da bóia (fluido numa passagem estreita).
K p K g Ka ,
43
A. Isenmann Operações Unitárias
onde K p FS p , K g mS g e K a VS g .
Fig. 13. Esboço da bóia, com os marcos construtivos e as variáveis usadas no cálculo.
Neste esboço a área grifada ////// representa a área ocupada pelo topo da bóia.
FS p m S g VS g .
FS = área da bóia que desloca o fluido, p = diferença de pressão entre os dois pontos de
balanço, mS = massa da bóia, VS = volume da bóia, S = densidade da bóia, = densidade do
fluido, g = aceleração gravitacional.
Com
mS
VS e reorganizar obtemos a última equação de balanço na seguinte forma:
S
mS g
p 1 .
FS S
Como somente entram valores constantes (para um dado fluido), então podemos afirmar que a
diferença em pressão também é uma constante do aparelho.
A equação de Bernoulli nos dois pontos de balanço fornece uma relação entre a diferença em
pressão e as velocidades do fluxo:
p p1 p 2
1
2
u 22 u12 .
44
A. Isenmann Operações Unitárias
2 p
u2 .
F
2
1 2
F1
2 p
u2 .
Conforme essa equação a velocidade do fluxo também é praticamente uma constante. Mesmo
assim, conseguimos medir a quantidade do fluido, pelo fato que não medimos u2, mas sim, a
vazão de volume, V .
V F2 u 2 .
2 mS g
V C h .1
FS S
2 mS g S
V C h . .
FS S
se dá como:
E a vazão de massa, m
2 mS g
m V C h . S .
FS S
45
A. Isenmann Operações Unitárias
Para a finalidade de transporte usa-se geralmente uma bomba que proporciona ao sistema a
energia externa/unidade de volume, E BV . Somente em casos especiais se aproveita neste da
energia potencial hidrostática (= diferença em altura ou aplicação de ar pressurizado sobre o
reservatório 1).
No transporte contínuo a energia fornecida pela bomba é do mesmo módulo que a diferença
em energia potencial entre partida e destino, mais a energia perdida por fricção, mais a
energia que se precisa para a aceleração à velocidade u. Sendo assim, podemos escrever o
balanço da energia:
u 2 1
1
E BV p g h
2
Essa é a equação-base para o cálculo da energia necessária, a ser entregue para o sistema.
Lembramos que o símbolo "" representa a diferença entre o nível do destino 2 (=
consumidor) e o nível de origem 1 (reservatório).
Muito usada na técnica é a "equação de nivelamento", isto é, o balanço acima dividido por
g . Daí:
E BV p u2
H h 1 ,
g g 2g
abreviado:
H H P H h H fric .
Nesta significam:
p Altura da pressão
HP
g
H h h h2 h1 Altura geodésica
H é a altura do bombeamento, ou seja, a altura útil de transporte da bomba. Para uma certa
planta pode ser calculada, através da equação acima, o trabalho que a bomba entrega,
expresso em altura útil de transporte.
Para o dimensionamento de uma bomba precisamos, além da altura útil H, um segundo fator.
Tem várias possibilidades:
dm
indicar a vazão de massa, m
dt
dV
indicar a vazão de volume, V ou
dt
indicar a potência requisita pela bomba, mais específico, a potência útil, Nutil.
47
A. Isenmann Operações Unitárias
EB E E
N util B V B V E BV
t V V V
E BV
N util V g .
g
N util V g H m
gH ,
EV
lembrando que m V e H B .
g
Nutil é a potência que realmente está sendo transferida ao sistema de transporte. Como a
bomba tem perdas internas (que são dissipadas em forma de calor), a potência recebida pela
fonte elétrica, Nel, sempre fica maior do que a potência entregue ao fluido, Nutil.
N util
1.
N el
48
A. Isenmann Operações Unitárias
O valor ( mais perto de 1, melhor o aproveitamento) da maioria das bombas em uso hoje fica
entre 0,5 < < 0,95.
Quais as causas destas perdas imensas?
Perdas dentro da bomba (de natureza mecânica, perda nas caçambas/alcatruzes)
Perdas no motor (fricção, indução, mau contato).
2.6 Bombas
O transporte de líquidos requer bombas 11, com apropriado perfil de potência e outras
características. As bombas mais usadas na indústria química são (em ordem decrescente de
importância):
Bomba centrífuga
Bomba rotativa
Bomba helicoidal
Bomba parafuso
Bomba a pistão
Trompa
Bomba de mamute
11
Um texto intuitivo sobre a hidrodinâmica e os tipos principais de bombas, encontra-se na página de Alex
Nogueira Brasil, http://www.alexbrasil.com.br (acesso em 07/2013).
49
A. Isenmann Operações Unitárias
a) Bomba de êmbolo
O princípio de funcionamento é mostrado na Fig. 15. O corpo de deslocamento (pistão) é
movido, através de um disco descentralizado, em um cilindro equipado com válvulas. Quando
o pistão vai à direita, a válvula do lado da pressão se abre enquanto a válvula do lado de
sucção se fecha. Nesta fase de trabalho o líquido está sendo transportado.
Durante o movimento à esquerda o líquido é succionado para dentro do cilindro, porque agora
a posição das válvulas está invertida. Isso já mostra que a bomba de êmbolo simples acarreta
uma vazão altamente ondulada. Um certo alisamento da pulsação se consegue com a ajuda de
reservatórios pressurizados, conforme o esboço.
Neste aspecto as bombas de pistão de dupla face são mais favoráveis (Fig. 16), onde ambas as
direções do pistão provocam o transporte de líquido para a tubulação.
50
A. Isenmann Operações Unitárias
Esse tipo de bomba se usa, especialmente quando se pretende gerar altas pressões. Elas são
altamente confiáveis, mas em comparação aos outros tipos são grandes, pesadas e caras. Outra
desvantagem é a necessidade de válvulas que são consideradas as partes mais vulneráveis. As
tubulações indo e saindo à bomba jamais podem ser fechadas, pois assim a pressão
rapidamente aumenta e leva imediatamente ao estrago da bomba. Portanto, as tubulações
conectadas a este tipo de bomba sempre são equipadas com válvulas de segurança.
Bombas de êmbolo têm uma eficiência relativamente alta (0,8 < < 0,9).
51
A. Isenmann Operações Unitárias
Outra vantagem destas duas bombas é que não requerem de válvulas; além disso, conseguem
transportar líquidos de praticamente qualquer viscosidade.
52
A. Isenmann Operações Unitárias
As bombas centrífugas existem em vários modelos, no que diz respeito ao desvio angular do
líquido após a entrada pelo eixo:
Bombas de fluxo radial: o liquido sai do rotor radialmente a direção do eixo. Este é o
modelo mais difundido. A potência consumida cresce linearmente com o aumento da
vazão. Adequada para produzir alta pressão, porém a vazão não é muito alta.
Bombas de fluxo axial: a água sai do rotor com a direção aproximadamente axial com
relação ao eixo. Este rotor é também chamado de hélice, o dispositivo propulsor
clássico em embarcações. A potência consumida, ao contrário da centrífuga, é maior
quando a sua saída se acha bloqueada. Este tipo é indicada para grandes vazões e
baixas alturas manométricas.
Bombas de fluxo misto: centrífugo-propulsora. O liquido sai do rotor com direção
inclinada com relação ao eixo. Atende a faixa intermediária entre a centrífuga e a
axial.
Um ponto fraco em todos os tipos de bomba centrífuga é que elas não têm força para auto-
sucção. Geralmente basta um pequeno volume de ar no lado da admissão para levar à falha
desta bomba. Para que não andam vazias, elas geralmente são implantadas na parte mais baixa
do circuito. Onde isso não for possível se aplica uma válvula de retenção (que impede
qualquer fluxo reverso).
Fig. 20. Bomba centrífuga, rotorde palhetas radiais e estator em forma de caracol (ou
voluta).
53
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 21. Tipos de Rotores em bombas centrífugas: (a) Rotor aberto para líquidos sujos
e muito viscosos; (b) Rotor semi-aberto para líquidos viscosos ou sujos; (c) Rotor
fechado, para água límpida e fluidos de baixa viscosidade.
Hoje se têm no mercado também bombas centrífugas de auto-sucção. Elas têm em cima do
seu eixo uma pequena bomba auxiliar que providencia o vácuo. A eficiência da bomba
centrífuga fica abaixo das bombas de deslocamento, geralmente entre 0,3 < < 0,8. Na Fig.
21 temos a característica de uma bomba centrífuga, onde se verifica que uma boa eficiência
somente se tem em uma margem estreita de altura útil de transporte, H, e vazão de volume,
V . Portanto, cada bomba centrífuga deve ser conceituada para uma aplicação específica, para
assegurar seu funcionamento dentro da área ótima.
As alturas úteis desta bomba geralmente são pequenas, mas o volume transportado é enorme.
De longe, ela é a bomba mais utilizada na indústria química. Onde for preciso transportar a
uma altura maior, a solução pode ser o emprego de várias bombas centrífugas em série.
As curvas características conforme a Fig. 22 podem ser classificadas como:
Rasas (flat) - altura manométrica varia muito pouco com a variação da vazão;
Caindo (drooping)- para uma mesma altura manométrica podemos ter vazões
diferentes;
Íngremes (steep)- grande diferença entre alturas na vazão de projeto e a na vazão zero
(ponto de shut off);
Subindo (rising)- altura decrescendo continuamente com o crescimento da vazão.
As curvas tipo drooping são ditas instáveis e são próprias de algumas bombas centrífugas de
alta rotação e para tubulações e situações especiais, principalmente em sistemas com curvas
de encanamento acentuadamente inclinadas. As demais são consideradas estáveis,
correspondendo uma definida vazão a cada altura (mais seguro é o cálculo da vazão no tipo
rising).
54
A. Isenmann Operações Unitárias
O colapso violento das bolhas de cavitação cria uma onda de choque que pode literalmente
escavar material dos componentes internos da bomba (geralmente a borda do propulsor) e
criar ruído que é mais frequentemente descrito como "bombear cascalho". Adicionalmente, o
inevitável aumento na vibração pode causar outras falhas mecânicas na bomba e
equipamentos associados.
55
A. Isenmann Operações Unitárias
As bombas centrífugas são menores e mais compactas e são utilizadas para transportar um
grande volume de líquido. Por outro lado, as bombas de êmbolo são mais adequadas para
finalidade de dosagem, pois a quantidade do líquido ( V ) fica diretamente proporcional à
rotação da bomba - mesmo sob contrapressões variáveis, pois a altura útil H fica constante.
Para fins didáticos vamos manter a expressão "bomba" neste capítulo, em vez de discriminar
conforme a lista acima.
56
A. Isenmann Operações Unitárias
p
N util V p m .
Com maiores mudanças em pressão deve-se aplicar o valor integral, medido entre o lado de
sucção (índice S) e o lado da pressão (índice P):
P
dp
N util m .
S
m m
p V n R T p V m m n R T p R T p M R T
n V
Mp
, com M = massa molar média, daí obtemos:
R T
m R T dp
P
M S p
N util .
Teoricamente seria melhor se pudessemos operar a bomba de modo isotérmico. Só que isso
requer gastos altos demais para refrigeração, pois os gases se aquecem bastante ao serem
comprimidos (efeito de Joule-Thomson; ver secção 2.7.1). Embora na prática aplica-se uma
refrigeração razoável, podemos constatar para o funcionamento da nossa bomba um elevado
caráter adiabático. Portanto, vamos considerar esses dois casos limites, para depois concluir o
caso real.
57
A. Isenmann Operações Unitárias
m R T p
N util ln P .
M pS
dp dT
,
p 1 T
cp
com o coeficiente de Poisson, , para corrigir a mudança da pressão junto à
cV
temperatura 12. Inserimos essa relação na equação geral e obtemos:
m R
P
M 1 S
N util dT .
m R
N util TP TS .
M 1
c) O caso real
Na realidade o gás sempre se mostra "politrópico". Neste caso que fica entre os casos limites,
se provou útil usar uma expressão politrópica que na sua estrutura é semelhante à lei de
Poisson:
dp n dT
.
p n 1 T
12
No gás ideal vale, além disso: c p cV R (R = constante dos gases).
c
13
Para um gás diatômico podemos indicar: cV 3 R e c p 5 R p 7 1,4 .
2 2 cV 5
58
A. Isenmann Operações Unitárias
R n
TP TS .
m
N util
M n 1
Para expressar as temperaturas TP e TS dos dois lados da bomba, pelas pressões, podemos usar
a expressão politrópica na sua forma integrada:
n 1
pP n T P TS
1 .
pS TS
n 1
m R TS n p P n
N util 1 .
M n 1 p S
n
p P n 1 M N util n 1
1 .
pS n m R TS
N util m g H .
Inserimos em cima, obtemos a relação entre a razão de densificação, pP/pS, e a altura útil da
bomba:
n
p P n 1 M g H n 1
1 .
pS n R TS
A razão de densificação das bombas é limitada a aproximadamente 10, devido aos limites em
sequestrar o calor. Os valores mais realizados são:
59
A. Isenmann Operações Unitárias
pP
6 8.
pS
Caso se exija uma densificação além desta, é necessário um sistema de bombas em série.
Atenção: a razão de densificação não fala nada sobre a pressão absoluta! Sendo assim, não
importa se a densificação será de 1 para 8 MPa ou de 8 para 64 MPa - em cada caso é preciso
apenas uma bomba.
Os princípios de funcionamento das bombas dos gases correspondem, na maioria dos
aspectos, aos princípios das bombas de líquidos apresentados no cap. 2.6. A Fig. 23 mostra
algumas aplicações típicas.
60
A. Isenmann Operações Unitárias
61
A. Isenmann Operações Unitárias
T
JT T 1
V
p H c p
Coeficiente de Joule-Thomson, para a expansão irreversível de um gás.
62
A. Isenmann Operações Unitárias
O valor de JT é normalmente indicado em °C/bar (unidades SI: K/Pa; ver Fig. 25) e depende
do tipo de gás, da temperatura e da pressão do gás antes da expansão. A sua dependência da
pressão, no entanto, é apenas de poucos porcento, para pressões até 100 bar.
Todos os gases reais têm um ponto de inversão no qual o coeficiente µJT muda de sinal. A
temperatura deste ponto é a temperatura de inversão de Joule-Thomson.
Já no modelo do gás ideal se assume nenhuma interação entre as partículas, isto é, nem
atração nem repulsão. Sendo assim, um gás ideal também não mostra o efeito de Joule-
Thomson e a temperatura fica constante. Podemos afirmar que seu coeficiente de expansão
1
térmica é e seu coeficiente JT é sempre zero.
T
Aplicamos o comportamento dos gases reais ao caso de maior relevância técnica, a expansão.
Numa expansão o sinal de p é negativo e podemos afirmar:
Se a temperatura do gás for abaixo da temperatura de inversão, JT é positivo; numa
expansão ( p 0 ) isto acarreta uma variação T 0 , quer dizer, o gás se resfria.
Se a temperatura do gás for acima da temperatura de inversão, JT é negativo; numa
expansão ( p 0 ) isto acarreta uma variação T 0 , quer dizer, o gás se esquenta.
Liquefação do ar
Os densificadores de gases têm um papel central na liquefação de gases. Classicamente ist se
refere à produção de nitrogênio líquido e oxigênio líquido, através do processo industrial de
Linde.
63
A. Isenmann Operações Unitárias
64
A. Isenmann Operações Unitárias
65
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 28. Operações unitárias que incluem a penetração de um leito: a, b e c: leito fixo;
d: leito fluidizado.
Fig. 29. Reatores que aproveitam de leitos: a) leito fixo, b) leito fluidizado.
66
A. Isenmann Operações Unitárias
O volume total V se compõe então do volume de sólidos Vg mais o volume intersticial V:
V Vg V .
V
. Porosidade
V
67
A. Isenmann Operações Unitárias
Um cálculo exato da porosidade é impossível, portanto essa grandeza deve ser determinada no
experimento. Em leitos técnicos o valor de fica entre 0,4 e 0,5. É costume descrever os
volumes V e Vg, através da porosidade, conforme:
V V e Vg (1 ) V .
O volume total V do leito é facilmente obtido pela geometria do recipiente (cilíndrico), então
da altura do leito, L, vezes a área do fundo, F.
Outras grandezas úteis são:
a área de fluxo livre, Flivre, e o diâmetro médio das partículas, dg (índice g = grão):
d3
Vbola e S bola d 2 ,
6
Na maioria das vezes se conhece apenas a superfície específica dos grãos, Sg, definido como
superfície por massa 15.
14
Métodos para determinar tamanho médio, a forma geométrica na média e concentração de partículas finas são
conhecidos por bastante tempo, sendo essas informações globais ou integrais acerca do leito. Mais recente é um
ensaio que fornece as informações diferenciais sobre o material particulado, ou seja, a distribuição dos tamanhos,
a faixa da irregularidade geométrica e flutuações na concentração local. Trata-se de um ensaio de espalhamento
de luz, conhecido como "contagem de partículas" ou espalhamento de Fraunhofer.
68
A. Isenmann Operações Unitárias
S m g S g Vg g S g .
Nesta significam mg a massa e g a densidade da carga particulada. Para o diâmetro médio dos
grãos obtemos então:
6 Vg 6
dg .
S g Sg
A velocidade real através da carga é muito mais alta, já que o espaço para o fluido é restrito à
área transversal livre, Flivre. Podemos afirmar que a carga exerce o mesmo efeito do que um
entalhe no diâmetro do tubo (ver p. 39). Com a equação de continuidade obtemos para o fluxo
de volume V :
V F u0 Flivre u .
u0
u .
15
A superfície específica de material finamente particulado se consegue mais facilmente através da análise
calorimétrica da adsorção de gases. A curva obtida se chama “isoterma de ansorção” e o método é conhecido
como BET, lembrando dos seus inventores Brunauer, Emmett e Teller.
69
A. Isenmann Operações Unitárias
A porosidade da carga raramente pode ser indicada com exatidão. Ao invés desta, o fluxo de
volume V conseguimos determinar exata e facilmente. As indicações técnicas, portanto,
sempre se referem à velocidade num tubo vazio, u0:
V L 1
u0 L , com .
V V F
u0 d g
Re .
Um fluxo atravessando um leito fica laminar até apenas Re < 20. Além disso, a transição
laminar para turbulento, se estende a um intervalo maior de Re, quer dizer, não é tão bem
definido quanto num tubo vazio e liso.
A determinação daquela área que pode ser aproveitada para o fluido seria afinal a contagem
da área intersticial, ou seja, dos canais, Flivre = . F. Como diâmetro equivalente destes canais
4F
deveria ser usado o diâmetro hidráulico ( d h , com U = circunferência, ver p. 32). O
U
caminho percorrido pelo fluido é certamente muito maior que simplesmente a altura do leito,
pois os canais se formam em zig-zag, bem irregular e estatístico. Como estas grandezas não
são facilmente acessíveis, podemos tratar os canais como se fossem tubos paralelos cujo
70
A. Isenmann Operações Unitárias
d g2 p u 0
u F ( ) .
L
Cálculos exatos foram feitos por Kozeny. Para o fator F() vale, confirmado pelo
experimento:
1
2
F ( ) .
150 1
1 3 d g2 p
u0 .
150 1 2 L
L 1
p (Re) u 02 ,
dg 2
(Re)
1 300
2
. Número de fricção nos tubinhos equivalentes aos canais intersticiais.
3 Re
Em comparação ao tubo macroscópico vazio, onde = 64/Re (ver p. 23), podemos afirmar
para este número de fricção, supondo uma porosidade do leito de = 0,5:
600
, ou seja, aproximadamente 10 vezes maior!
Re
71
A. Isenmann Operações Unitárias
Caso houver fluxo turbulento, isso é o caso mais comumente realizado, o termo (Re) deve
ser ampliado. Medições e cálculos ab initio revelam, para leitos comuns:
(Re)
1 300 1 3,5 .
3
Re
Essa é a famosa equação de Ergun. Ela vale para fluxos laminares e turbulentos (1 < Re <
30.000) em leitos.
Fig. 32. Perda em pressão num leito, em dependência da velocidade do fluido (injetado
de baixo).
Interessante é que em volta do ponto de fluidez, WP, existe uma histerese, isto quer dizer, o
percurso da curva depende da direção da aproximação neste ponto: partindo de baixas
velocidades (linha tracejada) observamos uma elevada perda em pressão que chega até acima
do valor constante p do leito fluidizado. A leve elevação da curva no WP se deve à expansão
do leito quando começa a fluidez. Na outra direção (linha sólida) não se observa essa
72
A. Isenmann Operações Unitárias
K p K g Ka ,
K p F pWP ,
K g K a VWP 1 s fl g .
Inserido no balanço:
F pWP VWP 1 s fl g
pWP = perda em pressão no ponto de fluidez; VWP = volume do leito no ponto de fluidez; F =
área transversal; g = aceleração gravitacional da terra; s = densidade do leito; fl = densidade
do fluido. O termo fl respeita a densidade do fluido e pode ser desconsiderado, em caso do
fluido ser um gás.
Com a altura L do leito obtemos:
VWP
L ; inserido em cima:
F
pWP L 1 s fl g .
73
A. Isenmann Operações Unitárias
Por outro lado, vale para a perda em pressão num leito, conforme a seção 2.8.3:
L 1
pWP (Re) fl u02 .
dg 2
s fl
u02 (Re) 2 d g 1 g.
fl
d g2 2fl u 0 d k fl
Multiplicamos com e introduzimos o número de Reynolds, Re . Daí
2
obtemos:
d g3 s fl fl g
Re (Re) 2 1
2
.
2
d g3 s fl fl g
Ar Número de Arquimedes.
2
Re 2 (Re) 2 1 Ar .
Essa implica que o número de Reynolds no ponto de fluidez, ReWP, depende do espaço
intersticial e do número adimensional de Arquimedes:
Re WP Re WP ( , Ar ) .
A experiência, porém, mostra que o espaço intersticial num leito solto, situação típica no WP,
sempre tem aproximadamente o mesmo valor. Ou seja, afinal o número de Reynolds ReWP
depende quase exclusivamente do número de Arquimedes. Tanto a teoria como o experimento
revelaram relações úteis que permitem o cálculo do número de Reynolds no ponto WP. De
valor prático é a relação de Goroschko, Rosenbaum e Todes:
74
A. Isenmann Operações Unitárias
Ar
Re WP ,
1400 5,22 Ar
Ar
Re descarr
18
Re descarr 3 Ar 1,73 Ar .
Geralmente tem-se uma região entre os valores limites, ReWP e Redescarr, onde pode-se obter
um estado estável de leito fluidizado.
Conforme Fig. 31, após o alcance do ponto de fluidez praticamente não há mais perda em
pressão - até o ponto de descarregamento. Isso se explica com a expansão do leito fluidizado
quando aumenta a velocidade do fluido. O comportamento é mais uma vez representado na
figura a seguir, onde observamos exatamente a altura do leito, em função do número de
Reynolds.
75
A. Isenmann Operações Unitárias
Com pequeno número de Reynolds temos um leito em repouso que somente no ponto WP se
solta. Aumentamos sucessivamente a velocidade do fluido, o leito aumenta em volume, isto é,
sua altura L aumenta, até finalmente as partículas sólidas serem levadas embora - típico para o
transporte pneumático. Para distinguir entre os diferentes efeitos que o fluido exerce sobre a
carga, costuma-se usar um diagrama de fases do leito turbulento (Fig. 33).
76
A. Isenmann Operações Unitárias
77
A. Isenmann Operações Unitárias
Observações:
Note que em cada um destes casos está envolvida pelo menos uma fase líquida.
Na operação prática quase sempre são executadas várias destas tarefas ao mesmo tempo.
78
A. Isenmann Operações Unitárias
79
A. Isenmann Operações Unitárias
Os agitadores têm imagens de correntezas muito diferentes. Como já foi implicado na Fig. 35,
uns provocam correnteza principal axial (representante mais conhecido: o agitador de hélice),
outros mexem o líquido de maneira radial (agitador de discos). As imagens correspondentes,
ver Fig. 36.
Fig. 37. Correntezas no líquido em dependência do tipo de agitador (em tanque com
chicanas): o agitador de hélice como propulsor axial e o agitador de discos como
propulsor radial.
Todas as operações de agitação têm em comum provocar uma mistura local dos componentes
por redemoinhos. Ao mesmo tempo, a correnteza global (visto o tanque inteiro) desloca
grandes volumes desta mistura e providencia um balanço das concentrações. Camadas
marginais e centrais trocam os lugares e equilibram as diferenças localizadas.
Põe-se a questão de qual dos agitadores, sob as condições dadas, trabalha com o mínimo
esforço (agitador barato; trabalho de mistura pequeno). Portanto, devemos conhecer as
características de potência e os tempos típicos de mistura de cada um, numa escala universal e
comparável.
Para este fim introduzimos um novo número adimensional:
FW
Ne Número de Newton,
u 2 L2
com FW = força que se opõe ao fluxo [N]; = densidade [Kg.m-³]; u = velocidade do fluido
[m.s-1]; L = comprimento característico [m].
Sendo assim, Ne é definido como relação entre duas forças. Como a aplicação principal deste
número é a agitação em bateladas, a seguinte definição seja mais útil, onde se tem a relação
entre duas potências:
80
A. Isenmann Operações Unitárias
P
Ne , Número de Newton sendo uma característica de potência.
n3 d 5
O número de Newton indica a parte da potência P que realmente pode ser entregue em forma
de potência hidráulica. Com essa definição do número de Newton obtemos uma expressão
para a potência, P. Geralmente vale a relação universal, para todos os tipos de agitação:
P Ne (Re) n 3 d 5 ,
nd2 nd2
Re Definição do número de Reynolds na agitação ( = viscosidade
cinemática, ver p. 12).
Através de medições do momento angular temos acesso à potência transmitida pelo agitador:
P 2 n M a .
Nesta são: n = rotações da haste e Ma = momento angular. Na região laminar, isto é o caso a
Re 10 , o número de Newton é indiretamente proporcional ao número de Reynolds. Na Fig.
37 podemos verificar uma reta com inclinação negativa, na região inicial. Para a potência do
agitador vale nesta região:
1
Ne ~ Re laminar P C n 2 d 3 , onde C é uma constante do aparelho.
Na região turbulenta (Re > 104), por outro lado, o número de Newton torna-se independente
do número de Reynolds (no gráfico uma reta horizontal), então sob pleno efeito das chicanas
vale a relação:
81
A. Isenmann Operações Unitárias
1 3
Ne ~ Re trans .
Homogeneização de líqudos
Nesta operação unitária temos por objetivo a mistura de dois líquidos compatíveis (quer dizer,
polar-polar, ou não polar com não polar), até atingir o grau de homogeneidade exigido.
Também um motivo, na condução de reações químicas, é assegurar as proporções dos
reagentes, ao longo do tempo de reação. Um destaque do agitador é a velocidade de mistura,
pois pode afetar a seletividade de uma reação química. Como exemplo olhamos nas reações
paralelas do tipo:
A + B C e
A + 2B D.
82
A. Isenmann Operações Unitárias
Os processos de homogenização geralmente não são conduzidos até a uniformidade total, mas
somente até o grau desejado. Esse grau é definido como:
c 0 c(t )
M Grau de mistura (grau de homogeneidade).
c 0 c(t )
dM
k (1 M ) .
d M
A prática mostra que o tempo de mistura depende da geometria do sistema, dos parâmetros
escolhidos e dos valores próprios dos líquidos. Isso pode ser formulado, de maneira mais
simples, usando a teoria de semelhança, como característica da mistura:
83
A. Isenmann Operações Unitárias
84
A. Isenmann Operações Unitárias
O critério mais antigo e mais usado do scale-up deste equipamento é a potência relacionada
ao volume (P/V), às vezes chamada de potência específica do agitador, segundo Büche. Um
P
agitador de lâmina que usamos no laboratório, por exemplo, entrega tipicamente 0,5
V
W.L-1.
Vamos formular a potência específica para um caso especialmente simples de agitação.
Achamos para o agitador de parafuso e de caracol, na região laminar (início da curva e, na
Fig. 38):
n M const. , e assim:
P const. n 2 d 3
.
V D3
P
const´ M2 const´´ M2 .
V
2
P V G
2
M ,G M ,M
.
P V M M ,M
M ,G
3
P V G M ,G DG
2
D
.
P V M M ,M M
85
A. Isenmann Operações Unitárias
P V G
2
D
G .
P V M DM
Isso significa que a ampliação da escala da batelada requer, sob manutenção do tempo de
mistura, uma potência específica do agitador muito maior - que na maioria dos casos é
economicamente inviável:
P V G P V M .
2
M ,G DG 3
.
M , M DM
Sob essas condições temos que contar com um aumento apenas moderado do tempo de
mistura, M, G > M, M - o que é um resultado aceitável, na maioria dos casos.
Emulsificação
Emulsões (= misturas heterogêneas, líquido polar com líquido apolar) podem ser produzidas
com agitadores de altas rotações, tanto radiais quanto axiais. Exemplos são os agitadores de
disco, hélice ou lâmina, a serem usados em bateladas com chicanas. As aplicações técnicas
são processos de extração, onde um aumento da interface encurta o tempo da difusão do
produto a ser extraído, da fase polar para apolar ou vice-versa. Mas também sínteses
importantes, tais como polimerizações (produção de bolinhas de poliestireno, a serem
expandidas posteriormente formando isopor; produção de PVC em pó) ou saponificações
(onde as fases da gordura e a aquosa com o catalisador são inerentemente repelentes) ocorrem
tipicamente em sistemas bifásicos que requeiram de uma intensa emulsificação, na maioria
das vezes também da presença de um aditivo tensoativo (= surfactante). Esse último tem a
finalidade de estabilizar a emulsão uma vez produzida; os surfactantes são, portanto, também
chamados de emulsificantes, são de natureza anfifílica (cabeça polar, cauda apolar), então
pertencem à família dos detergentes.
A formação das gotículas é um processo onde se formam, aos poucos, pequenas gotículas
daquela fase que está presente em menor volume (= fase dispersa), dentro de um contínuo da
fase em maior proporção (= meio de dispersão). Durante o processo de dispersão as gotículas
são divididas mecanicamente até que se estabelece o equilíbrio dinâmico com a tendência
natural da coalescência. O tamanho médio das gotículas dispersas é um valor estatístico que
se aproxima suavemente, com tempo de agitação prolongado, ao valor do equilíbrio.
86
A. Isenmann Operações Unitárias
d 32
n i d i3
diâmetro médio de gotículas, segundo Sauter,
n i d i2
F
n i d i2
6
a i
3
.
V d d 32
n i
i i
Nestas grandezas aparece o número das gotículas, n1, a cada classe de diâmetro di.
Mais corretamente temos a relação entre d32 e a dada por:
6
a ,
d 32
onde é fração de volume da fase dispersa. Ambos os parâmetros dependem dos valores
característicos dos líquidos, das condições escolhidos para o processo e das relações
geométricas do aparelho:
Valores característicos dos líquidos: c, d, c (= densidade da fase contínua), d (=
densidade da fase dispersa), (= tensão interfacial).
Parâmetros do processo: n, T, .
Geometria do aparelho: Tipo e dimensão do agitador (d); geometria da batelada e
chicanas.
Acharam como característica de dispersão, para um agitador de discos em sistemas
coalescentes:
d 32
const. We 0,6 1 b ,
d
Na última equação apareceu um novo número adimensional, We. É o número de Weber, uma
medida para a deformação de uma gotícula:
n2 d 3 c
We Número de Weber.
d 32 0, 6
const. 1, 2 1,8 0,6 1 b ,
d n d c
0 , 4
P
d 32 const. .
V
Esta equação finalmente não contém mais grandezas geométricas, portanto é especialmente
adequada para o dimensionamento do scale-up. A relação entre o diâmetro de Sauter, d32, e a
potência de agitação P é mostrada na Fig. 39.
Fig. 40. Diâmetro médio das gotículas da emulsão, em função da potência do agitador
relacionada à massa.
Na região turbulenta (com Ne = const.) a condição d 32,G d 32,M const. está satisfeita,
P
quando const.
V
88
A. Isenmann Operações Unitárias
Gaseificação
A operação de gaseificação consiste na transferência de um gás a um sistema onde a fase
contínua é um líquido. A meta desta etapa é o alcance da maior área de contato possível,
gás/líquido, onde ocorrerá a troca de matéria.
Aplicações técnicas:
Oxidações - fermentação, tratamento biológico de esgotos, ozonização de água
potável.
Polimerizações - Etileno, propileno.
Hidrações (= reduções com H2) - produção de margarina a partir de óleos líquidos.
Clorações - substituições radicalares, substituições alílicas, adições em alquenos e
alquinos.
Em bateladas aplicam-se principalmente duas técnicas da gaseificação (ver Fig. 40): Note que
nesta operação unitária a batelada deve ficar tampada, ou seja, hermeticamente fechada.
a) Gaseificação autônoma: o gás é introduzido através da haste do agitador; trata-se de um
método de auto-sucção. A vantagem é a facilidade de trabalhar em bateladas pressurizadas e
sob condições isóbaras, sem a necessidade de uma bomba externa para a circulação do gás.
Quanto maior as rotações, maior o fluxo do gás.
b) Gaseificação externa: este método requer um dispositivo adicional para introduzir o gás na
fase líquida, geralmente um tubo de admissão finamente perfurado. Além disso, a
gaseificação externa requer uma bomba própria para a introdução do gás, o que torna essa
variação consideravelmente mais cara. A vantagem desta, no entanto, é o melhor controle do
processo, através de mais um parâmetro, que seja o fluxo do gás independente das rotações do
agitador.
Note que nesta operação unitária a batelada deve ficar tampada, ou seja, hermeticamente
fechada como se conhece de uma autoclave. Em processos onde há absorção lenta do gás
dentro da fase líquida, e também em etapas onde se visa uma saturação do gás dentro do
líquido, oferece-se um sistema circulatório para o gás atravessando a batelada (não mostrado
na Fig. 40).
89
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 42. Transição do gás para a fase líquida, mostrada para um agitador de discos,
em dependência do fluxo do gás. q = fluxo do gás; P = potência do agitador; =
viscosidade cinemática da fase líquida; g = constante gravitacional.
Pode-se ver na Fig. 41 que, sob condições tecnicamente viáveis, a taxa de transferência da
0,33
matéria entre as fases (aqui expressa pelo termo k1 a ) depende principalmente do
g 0, 66
q 0,33
fluxo do gás (exprimido pelo termo 0,66 ).
V g
A transição de matéria na interface gás/líquido pode ser representada, para ambos os tipos de
gaseificação, na curva característica de sorção. A experiência mostrou que a curva depende
pouco da geometria do agitador, mas os parâmetros importantes são a potência P do agitador
e o fluxo q do gás.
90
A. Isenmann Operações Unitárias
Sedimentação
Entendemos por sedimentação a separação do componente sólido a partir de uma suspensão,
perante a força gravitacional terrestre. A mistura de partida deve ser uma suspensão, isto é,
deve conter partículas sólidas grandes, na ordem de alguns micrômetros. A regra grosseira é:
conseguimos um bom resultado por sedimentação se as partículas são visíveis a o olho nu.
Isso implica que partículas menores (na ordem de nanômetros; colóides) não podem ser
separados de maneira satisfatória, por este método.
O caso geral é que o sólido tem uma densidade maior do que o líquido, daí observamos que o
sólido se precipita e o líquido clareado fica sobrenadante.
O princípio da sedimentação em operação contínua é mostrado na Fig. 42. A suspensão entra
na bacia pelo lado esquerdo e a atravessa lentamente, com a velocidade de volume V . A
bacia ocupe a área F e tem a altura média h, contudo ela tem a capacidade de V = F . h.
Podemos afirmar que separação ocorre quando o tempo médio de demora é maior ou igual
ao tempo de sedimentação ts (= condição de clareamento):
ts .
91
A. Isenmann Operações Unitárias
V h
e ts (us = velocidade da sedimentação).
V us
F h h
.
V us
V F u s .
K fr K g K a ,
92
A. Isenmann Operações Unitárias
onde K fr 3 d u s e K g K a V s liq g .
Segue:
3 d u s V s liq g ,
d3
3 d u s s liq g .
6
Lembramos-nos dos números de Reynolds e de Arquimedes (ver também tabela de vista geral
sobre o números adimensionais, na p. 232):
Ar
Re s .
18
Essa ainda requer de certas correções devido às insuficiências de nosso modelo simplificado:
1. Não temos bolinhas, mas formas mais complexas e irregulares, nas partículas sólidas.
2. Interações durante a sedimentação: uma aglomeração promove a sedimentação,
enquanto altas concentrações do sólido a atrapalham (lodo = enxame de partículas!).
3. Partículas maiores sedimentam muitas vezes fora da região laminar.
À base de dados experimentais tenta-se então achar a relação empírica Re = f(Ar). A maioria
dos ensaios de sedimentação pode ser descrita satisfatoriamente com a fórmula geral
Re s const Ar n .
93
A. Isenmann Operações Unitárias
Re s Ar 0,7 .
6
Para a determinação do fator de forma usa-se a relação do diâmetro médio do grão, dg. Para
bolinhas uniformes e lisas vale ( = 1):
6
dg ,
s Sg
6
dg .
s S g
fluxo V
carga us .
área da bacia F
us Re Ar 0, 7 .
d g liq d g liq 6
Podemos esperar boa separação quando a carga da bacia pode ser escolhida alta, isto é, as
partículas estão descendo rapidamente. Olhamos, portanto, de quais fatores depende us, não
94
A. Isenmann Operações Unitárias
Em consequência, processos químicos devem ser conduzidos de tal maneira que resultem
partículas maiores possíveis. Não só sob vista da etapa da sedimentação, por sua vez o
método mais barato de separar um sólido, mas também sob aspectos da pureza do produto
pode-se afirmar que um material particulado grosso é vantajoso. Quando tiver partículas
muito finas a sedimentação não é mais economicamente viável. Neste caso pode se tentar
promover uma aglomeração das partículas por adição de um agente de floculação e assim
acelerar o descer dos aglomerados. Usam-se favoravelmente sais de múltiplas cargas
(Al2(SO4)3, MgSO4, Fe(OH)3, etc.) que compensam as cargas nas superfícies das pequenas
partículas - que muitas vezes são da ordem de grandeza de colóides.
Lembramos da regra grosseira que uma separação por sedimentação tem sucesso quando as
partículas podem ser enxergadas com o olho nu (dg 100 m).
2.10.2 Centrifugação
A sedimentação de partículas finíssimas é inaceitavelmente lenta, se for feita sob a influência
do campo gravitacional natural. Abaixo de aproximadamente 1 µm de diâmetro a
sedimentação fica completamente ausente, pois as velocidades do aleatório movimento
térmico (= movimento Browneano) são maiores do que a velocidade direcionada da
sedimentação. Uma aceleração considerável se consegue ao aplicar uma aceleração
centrifugal por altas rotações. As leis e relações são exatamente as mesmas que derivamos no
último capítulo para a sedimentação. Somente duas particularidades:
1. Ao centrifugar uma suspensão que contém somente partículas muito finas, a
velocidade do afundamento us geralmente fica na região laminar.
2. Em vez da aceleração gravitacional g entra nas equações a aceleração centrifugal
r 2 (com r = distância do eixo da centrífuga e u r = velocidade angular;
unidade: s-1). A força que age sobre uma massa centrifugada é então
Fc m a m r 2 .
r 2
Z .
g
95
A. Isenmann Operações Unitárias
F m g Z .
2
2 ´
60 30
2
2
60
16
Tab. 11. Os modelos de centrífugas mais comuns e suas características
Tipo de Diâmetro do Número de Número de Partes de carga
Centrífuga tambor, dT rotações, aceleração Z sólido, . máxima, V .
em mm. em rpm.
C. de transbordo 600 - 1200 500 - 1000 < 0,1 3 m³/h
e C. de
descamamento
tubular.
C. de câmara 6000 < 0,01 10 m³/h
C. de tubos 30 - 150 10.000 - 12.000 - < 0,01 4 m³/h
múltiplos 50.000 50.000
C. de 600 - 2500 300 - 1500 < 0,4 40 m³/h
descamamento
de invólucro
fechado
16
Uma vista geral sobre os modelos de centrífugas industriais, suas vantagens e limitações, foi elaborada por:
Eduardo Q.B. Lima, Centrifugação - Estudo da arte e aplicações de centrífugas na indústria; disponível em
ftp://ftp.feq.ufu.br/Curso_Eng_Quimica/ (44 páginas; acesso em 09/2014)
Também: Lair P. Carvalho (Prof. do DEQ-UFRN), Seleção de Centrífugas; disponível em
http://www.ufrnet.br/~lair/Pagina-OPUNIT/equipamento.htm (acesso em 09/2014)
96
A. Isenmann Operações Unitárias
O esquema da Fig. 43 mostra a posição da suspensão, numa centrífuga contínua, com tambor
de arranjo horizontal. A suspensão, logo que entrar no tambor, espalha-se de maneira que a
borda da massa fica vertical. As partículas sólidas migram para fora. Através de dispositivos
apropriados (faca de escamamento; deslizamento contínuo para a saída, etc.) evita-se o
acúmulo excessivo da torta, do lado de dentro do tambor. O líquido clareado sai,
continuamente, ou pelos orifícios do tambor ou por baixo.
Fig. 44. Esquema geral de uma centrífuga em operação contínua. ri = raio interior e ra
= raio exterior do cilindro formado pela suspensão.
Durante o caminho de dentro para fora, as partículas sólidas são submetidas a uma força
centrifugal cada vez maior. Na prática calcula-se o número de aceleração Z (também chamado
97
A. Isenmann Operações Unitárias
de "número de rotações" - menos correto), usando um valor médio da força centrífuga. Como
raio pode-se usar, em primeira estimação, a média aritmética entre raio externo e interno:
r
1
ri re .
2
Melhor, porém, será usar um valor experimental, para ri 0,7 re , verificado em muitos tipos
de centrífugas, a base do raio externo, re:
r 0,85 re
Re Ar Z .
18
Quando inserir os valores específicos para os números Re e Ar, chegamos à expressão para a
velocidade terminal da queda de uma partícula, dentro do campo centrífuga:
2 r d 2 s fl
u .
18
dr
Uma vez que u , temos:
dt
18 dr
dt .
d s fl r
2 2
18 r
t fim ln 2 .
d s fl r1
2 2
98
A. Isenmann Operações Unitárias
O tempo de residência, tfim, é igual ao volume da centrífuga, V L r22 r12 , dividido pela
taxa de alimentação, V . Substituindo na equação acima, oberemos uma expressão para a taxa
máxima de alimentação:
2 d 2 s fl 2 d 2 s fl
Vmax V L r22 r12 .
18 ln(r2 / r1 ) 18 ln(r2 / r1 )
O diâmetro da partícula em movimento aparece nesta equação com seu quadrado, enquanto a
diferença em densidade entre partícula e solvente somente entra na primeira potência. Sendo
assim, concluímos que o tamanho da partícula é de suma importância, para o sucesso da
separação, sendo uma meta do engenheiro químico sempre produzir partículas (= cristais)
maiores que possível. Um resultado ruim, por outro extremo, se espera em dispersões
coloidais, onde os diâmetros das partículas ficam tipicamente abaixo de 1 µm.
Ciclones
Parecido às centrífugas é o funcionamento do ciclone, com algumas características:
99
A. Isenmann Operações Unitárias
Nas misturas heterogêneas separáveis por ciclone a fase contínua é um gás, enquanto nas
centrífugas apresentadas acima é um líquido.
Ciclones não têm peças móveis, portanto se desgastam pouco. Por outro lado, a parede interna
sofre desgaste por atrito, em caso de separar partículas sólidas. Mas em geral, a construção
simples implica custos de manutenção baixos.
Os campos principais dos ciclones são a recuperação de material arrastado, a limpeza de gases
de escapamento e de vapores de processo. Sendo assim, este equipamento é imprescindível na
indústria cimenteira, em coquerias e em processos da mineiração (calcinação de minério), nos
grandes moinhos de farinha, para assegurar segurança (partículas orgânicas suspensas no ar
representa uma mistura explosiva!) e, em geral, gases de escapamento límpidos.
Para separar partículas maiores que 200µm se usa favoravelmente câmaras gravitacionais,
pois estes se sedimentam em velocidade suficiente. Em caso de partículas menores o ciclone
se torna mais econômico. Seu limite inferior fica com partículas de 10µm. Um ciclone típico é
mostrado na Fig. 45, com diâmetro de 3 a 6 vezes do duto de entrada, para correntes de gases
de até 50 MPa. Como sua eficiência é limitada a 80 - 90%, um grau de pureza elevado pode
ser alcançado ao conduzir o gás carregado através de uma cascata de ciclones (Fig. 46).
100
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 47. Forno rotatório da fábrica de cimento, equipado com cascata de ciclones.
2.10.3 Filtração
Um procedimento simples de separar uma mistura de sólidos e líquidos é a filtração, aplicada
em muitas etapas das linhas produtivas da indústria química. Os produtos são o filtrado
(líquido límpido) e a torta de filtragem (sólido contendo pouco líquido). O dispositivo
utilizado, conforme Fig. 47, é o meio de filtragem que retém a torta. No decorrer da filtração a
própria torta funciona como meio de filtragem, de maneira que o dispositivo somente serve
como suporte desta torta, mas não mais exerce o papel de retenção das partículas sólidas.
Geralmente, a separação é insuficiente ao início do processo. Portanto, os primeiros volumes
de suspensão são reenviados ao filtro, desta vez por cima da recém torta de filtragem. Sendo
assim, podemos afirmar que toda filtração é um processo descontínuo.
101
A. Isenmann Operações Unitárias
(Re)
1 2 300 e u0
1
3
d g2 p
.
3 Re 150 1 2 L
A experiência mostrou que os pontos desta lista podem ser bem diferentes, de caso em caso.
Portanto, é necessário basear-se em fatos empíricos - enquanto uma derivação ab início é
pouco prática (ver também o dito no fluxo turbulento, p. 27). Para este fim, visando afinal o
dimensionamento do filtro (isto é, o cálculo da área útil F do meio de filtragem), servem as
"equações de filtro". São equações úteis cujas dependências fundamentais são confirmadas
pela teoria.
Começamos com uma equação da seguinte estrutura:
1 dVliq p
u0 .
F dt R
Nesta, F é a área útil do meio de filtragem, Vliq o volume do filtrado que já passou pelo filtro,
R a resistência da torta de filtragem inclusive à resistência do meio de filtragem (que pode ser
desconsiderada, em caso geral) e p a diferença em pressão que ocasiona a passagem do
líquido pelo meio de filtragem.
Afirmamos que a velocidade do tubo vazio u0, ou seja, a quantidade de líquido Vliq que passa
pelo filtro em determinado tempo, é diretamente proporcional à diferença em pressão p e
inversamente proporcional à resistência da torta R.
Para a espessura da torta, L, e a resistência proporcionada por ela, R, valem as seguintes
relações:
102
A. Isenmann Operações Unitárias
Vs Vliq
R~L~ ~ ,
F F
R ~ Km .
Vs m
Km s s .
Vliq mliq liq
Vliq
R K m .
F
Nesta, é a resistência específica da torta (unidade: m-2) que deve ser determinada no
experimento de caso em caso. Inserimos essa expressão na equação básica dada acima,
obtemos a "equação da filtração":
Vliq d Vliq p
.
F dt F K m
dy 1 d 2
Com o truque matemático, y ( y ) obtemos:
dt 2 dt
2
1 d Vliq p
.
2 dt F K m
Oferecem-se dois princípios de medir , tanto na escala de técnico, quanto em escala grande
(situações limites):
1. Filtração com perda de pressão constante, então a vazão diminui ao longo do processo.
103
A. Isenmann Operações Unitárias
2
Vliq 2 p
t .
F K m
104
A. Isenmann Operações Unitárias
2
1 d V t p
.
2 dt F K m
2
1 V d 2 p
t ;
2 F dt K m
segue:
2
V p
t .
F K m
2
V
p K m t .
F
105
A. Isenmann Operações Unitárias
Mas, como Fig. 50 mostra claramente, essa relação linear não vale mais para tempos
prorrogados de filtração. Em determinado momento a diferença em pressão chega a um valor
tão grande que provoca uma compressão demasiada da torta de filtragem. A partir deste
momento (começo da linha pontilhada) a perda em pressão aumenta mais do que
proporcional. Para evitar danos no equipamento deve-se encerrar o processo neste ponto.
Fig. 51. Perda em pressão em dependência do tempo de filtração sob vazão constante.
Na prática se trabalha entre os dois casos extremos, como já dito. Temos que olhar nas
devidas relações Vliq F f (t ) . Enquanto a relação é conhecida para p = const., ela tem
2
que ser determinada ainda para V = const., usando a equação dada logo acima, ampliando-a
com t e inserindo V t V : liq
2 2
V t 1 V 1
p K m K m liq .
F t F t
Segue:
2
Vliq p
t (para V = const.).
F K m
2
Vliq 2p
t (para p = const.).
F K m
A filtração sob pressão constante é evidentemente mais favorável pelo fator 2. Portanto, na
prática se começa o processo, aumentando a pressão aos poucos até o filtrado sair límpido.
106
A. Isenmann Operações Unitárias
Após a formação de uma camada suficientemente grossa se continua o processo sob pressão
constante, formando a torta de filtragem final.
Neste caso, temos que remover restos de óxido MO - que certamente foi usado em excesso
nesta síntese. É retido na torta de filtragem e conduzido de volta, ao reator.
O outro objetivo da filtração é o isolamento da torta que contém o produto com valor,
enquanto o filtrado é rejeitado. Exemplos são processos onde o produto se obtém por
cristalização ou por precipitação. Nestes casos temos que separar a mistura reacional, ainda
líquida, do nosso produto sólido. Muitas vezes se aproveita da posição da torta dentro do meio
de filtragem, para ainda lavar e/ou secar o produto cristalino.
A princípio, a filtração é um processo descontínuo, pois a torta tem que ser removida do pano,
como mostrado na Fig. 49. Em muitas linhas de produção se reverte, portanto, o filtro com um
segundo equipamento idêntico a ele, para não interromper o fluxo da suspensão enquanto a
torta está sendo removida do primeiro filtro. Mas também foram desenvolvidos processos de
filtragem quase contínuos, entre outros: filtros de velas de pressão (Fig. 52), filtro de câmara e
de moldura (Fig. 53) ou o filtro de tambor celular (Fig. 54).
107
A. Isenmann Operações Unitárias
d u
Re Número de Reynolds. 17
17
inclusive o número de fricção, (Re), um valor empírico derivado do valor teórico de Re.
109
A. Isenmann Operações Unitárias
p
Eu . Número de Euler.
1
u2
2
d g3 s fl fl g d g3 g
Ar Número de Arquimedes.
2 2
Neste texto vão aparecer ainda outros que são relacionados ao fluxo de calor, tais com os
números de Schmidt (Sc), Sherwood (Sh), Nusselt (Nu) e Grashof (Gr) (ver Tab. 19, na p.
178). Vamos questionar por que estes números adimensionais acham uma aplicação tão
extensa na química técnica.
Respondendo essa pergunta, temos que reconhecer que a base da descrição de acontecimentos
naturais (ciências exatas) e tecnológicas (engenharias) são as leis. Estas leis podem ser dadas
em forma de:
Equações algébricas (exemplo: p V n R T );
Equações diferenciais (exemplo: segunda lei de Fick, para a descrição do fluxo
durante o nivelamento de pressões desiguais);
Matrizes (muito usados na física quântica) ou então
Valores numéricos (arquivos de tabelas). Aqui entram os valores dos números
adimensionais, em seguida abreviados como Na.
A base das ciências de engenharia, mais especificamente, são as equações de balanço que
servem para descrever os fenômenos de transporte. Nestes, podemos classificar:
Balanços da matéria,
Balanços de momentos e forças,
Balanços de energia,
Balanços de calor.
São geralmente equações diferenciais que muitas vezes são bastante complexas e, além disso,
acopladas entre si. Um exemplo repugnante vimos na p. 27, com as equações de Navier-
Stokes. Soluções discretas se obtêm muitas vezes somente com uma série de condições
marginais e/ou situações especiais. Portanto, o engenheiro sempre tenta chegar a equações
algébricas comuns que valem em geral e cujo tratamento matemático é muito mais simples.
Um exemplo para estas seja a lei de Hagen-Poisseulle:
d 2 p
u .
32 L
110
A. Isenmann Operações Unitárias
Equipamento real
(G, de grande)
111
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 56. Distribuição dos vetores que descrevem as correntezas, num tubo modelo e no
tubo real. Os redemoinhos foram transcritos 1 : 1, conforme exigido pelo princípio da
semelhança.
Matematicamente, a semelhança física exige que o equipamento real deve ser descrito
corretamente, aplicando transformações lineares no modelo. Temos que levar em
consideração que nem todas as variáveis podem ser ampliadas de maneira uniforme. Com
grandezas geométricas isto é possível, já com propriedades do material (viscosidade,
tenacidade, densidade,...) não é possível. Portanto, cada procedimento de scale-up é acoplado
a certas condições que limitam sua aplicação.
Semelhança física é dada quando:
a) As dimensões geométricas são semelhantes (= congruentes).
b) Os números adimensionais a base das grandezas relevantes no processo (grandezas de
operação e grandezas do material) são iguais.
Estas são as exigências que resultam da condição da transformação equivalente.
a) Semelhança geométrica
Modelo e equipamento real são geometricamente semelhantes quando as dimensões e
aspectos têm a mesma relação. Em tubos, estas serão, em primeira linha, comprimento e
diâmetro. A relação entre duas dimensões é adimensional. Ela é chamada de "número
geométrico", Ge, para diferenciá-lo dos números adimensionais, Na, discutidos a seguir.
L asperidade
Ge1 , Ge2 (com d = comprimento característico)
d d
112
A. Isenmann Operações Unitárias
b) Números adimensionais.
Sob números adimensionais, Na, entendemos a combinação (multiplicação e divisão) de
grandezas de operação com grandezas do material onde todas as dimensões se cortam. Resulta
assim um número puro.
A questão é: quais destes são os números adimensionais "certos", ou seja, úteis? Quais são as
melhores combinações que permitem uma avaliação da similaridade hidrodinâmica, térmica,
reacional, etc? E como podemos obtê-los?
Existem diversos métodos de desenvolver números adimensionais. Aqui seja apresentado o
método da análise dimensional.
Esses números, por definição, não são contados juntos aos números adimensionais.
No início desta apostila, na Tab. 2, são listadas todas as grandezas básicas do sistema
internacional (SI), junto às suas dimensões. Com essas unidades básicas podemos derivar
todas as demais unidades compostas.
Exemplos:
Pressão p Pa = kg m-1 s-2
Potência N W = kg m2 s-3
Velocidade u m s-1
113
A. Isenmann Operações Unitárias
Densidade kg m-3
Zn Za Zs Ze Teorema de Buckingham.
Nesta são:
Zn = Número de números adimensionais (entende-se o número mínimo; sem Ge1 e Ge2).
Za = Número de valores que especificam o equipamento e números do funcionamento.
Zs = Número de valores específicos da matéria e constantes da natureza.
Ze = Número de unidades básicas.
Este teorema fala que o número mínimo de números adimensionais resulta da soma de
grandezas de equipamento/operação e grandezas de material/constantes da natureza,
diminuída pelo número de unidades básicas que foram usadas.
114
A. Isenmann Operações Unitárias
Grandeza Unidade
Pressão p kg m-1 s-2 = Pa
Viscosidade kg m-1 s-1 = Pa s
Aceleração gravitacional g m s-2
Velocidade u m s-1
Comprimento d m
Densidade kg m-3
Inserir estas nas demais grandezas fornece os devidos números adimensionais que poderiam
ser útil para a descrição desta operação:
Pressão [p]
kg
d3
u2 .
m s 2 d d u 2
p
Número adimensional Na1 levará ao Número de Euler
u2
Viscosidade []
kg
d3
d u .
m s d d u
Número adimensional Na2 levará ao Número de Reynolds
d u
18
Para o tempo serve também a combinação: s = [/p].
115
A. Isenmann Operações Unitárias
Os números adimensionais requerem ainda da nossa definição, pois não existe uma única
maneira de formulá-los. Os Na acima poderiam também ser escritas pelas expressões
recíprocas. Afinal, eles são sujeitos à convenção internacional. Além disso, a análise
dimensional não diferencia entre uma grandeza ou uma diferença desta grandeza. Sendo
assim, pode entrar nas fórmulas acima a pressão p ou a queda em pressão p.
Realmente, os números adimensionais convencionais se dão das expressões acima, da
seguinte maneira:
p
Eu 2 Na1 . Número de Euler.
1
u2
2
d u 1
Re Número de Reynolds. 19
Na 2
u2
Fr Na 3 Número de Froude.
dg
É lógico que cada produto a partir destes números leva a um novo número adimensional.
Muitos números são definidos por este caminho, por exemplo, o já conhecido número de
Arquimedes:
Re 2 d 2 u 2 2 d g d 3 2 g
Ar 2
Fr 2 u 2
d g liq g
3
Ar Número de Arquimedes
liq 2
Desta maneira obtemos dois jogos de números adimensionais. Qual destes deve ser aplicado,
isso depende da problemática a ser resolvida:
1o Jogo: Eu, Re, Ar Úteis em tarefas acerca de sedimentação em sistemas heterogêneos
(leitos, gaseificação, catalisadores heterogêneos, filtração, etc).
2o Jogo: Eu, Re, Fr Úteis em tarefas no campo gravitacional em sistemas homogêneos
(bombas, transporte em tubulações, agitação de bateladas, etc.).
4 Fluxo de calor
19
inclusive o número de fricção, (Re), um valor empírico derivado do valor teórico de Re.
116
A. Isenmann Operações Unitárias
a) Resfriamento/aquecimento direto
Como exemplos deste princípio podemos mencionar:
1. Introdução de vapor, através de um tubo perfurado.
Secagem direta de um produto sólido, através de ar aquecido (pode ser em leito
fluidizado, ver Fig. 34, na p. 73).
2. Acrescentar gelo diretamente à mistura reacional.
Resfriamento de uma mistura por ebulição.
Resfriamento na retificação, pelo líquido retornando.
Todavia, podemos constatar que as aplicações de esfriamento/aquecimento direto são
relativamente raras.
b) Resfriamento/aquecimento indireto
Nesta categoria a transferência do calor ocorre através de uma parede (= superfície trocadora
de calor):
117
A. Isenmann Operações Unitárias
Os meios preferidos para aquecimento/resfriamento na indústria são vapor, mas também água
(em circuitos fechados ou semi-abertos) e sóis de refrigeração. Devido aos custos elevados o
aquecimento elétrico se aplica somente em situações especiais.
Abaixo de 100 °C aplica-se quase exclusivamente água para transferir o calor (água quente ou
água fria). A temperaturas entre 100 e 250 °C aplica-se vapor d´água. Neste contexto deve-se
lembrar do investimento de calor para evaporar a água líquida (= "calor latente") que conta
1000
com V H 40 kJ mol 1 , ou seja, V H 40kJ mol 1 1
2222 kJ kg 1 . Esse
18g mol
valor deve ser ainda ligeiramente corrigido, respeitando as dependências térmicas da
capacidade calorífica (Lei de Kirchhoff), daí se assume um valor de 2260 kJ, para evaporar
um Kg de água.
vapor em (crítica)
MPa
Temperatura 100 133 180 211 310 374
T em °C
(crítica)
Modo de Baixa pressão Média pressão Alta pressão
operação
(segurança!)
Caso forem precisas temperaturas mais altas ainda, aquece-se a superfície com a chama
aberta, conforme esboçado acima.
O resfriamento ocorre com água fria ou água evaporando; a temperaturas abaixo zero grau
usa-se um sol de refrigeração (NH3, hidrocarbonetos fluorados-clorados), porém esta
operação sai bem mais cara do que a refrigeração com água.
Nos casos mais simples a transferência de calor não provoca mudanças na matéria nem
transformações das fases. Este tipo de transporte chamamos de processos de "nivelamento
119
A. Isenmann Operações Unitárias
térmico". O fluxo de calor unicamente serve para nivelar diferenças em temperatura em dois
locais distintos. O registro diferencial do calor transportado geralmente é uma tarefa bastante
complexa, requerendo cálculos complexos. Isso se deve, principalmente, aos diferentes
mecanismos de transporte do calor que agem paralelamente e podem influenciar-se
mutuamente. Portanto, em muitas situações utilizaremos a teoria da semelhança, através da
qual podemos tirar conclusões com validade geral, a partir dos dados experimentais obtidos
no modelo (ver cap. 3.2).
Podemos classificar três tipos de transporte de calor que, como já dito, podem acionar de
forma isolada ou, como é o caso geral, em combinação:
1. Condução de calor
2. Convecção de calor
3. Radiação.
Estes mecanismos de transporte do calor são matérias da aula de física, portanto devem ser
tratados aqui, de forma bem resumida.
d
J a grad .
F dt
J vazão de alguma grandeza (fala: gama); F = área transversal; t = tempo; a =
d
coeficiente da difusão; grad = mudança da grandeza ao longo do caminho de
dz
transporte, z.
120
A. Isenmann Operações Unitárias
Aplicamos essa equação geral do transporte à = massa, obteremos a lei do fluxo hidráulico,
conhecida também como lei de Darcy. Aplicamos a mesma equação à eletricidade, resultará a
lei de Ohm. E, finalmente, aplicamos essa lei ao calor, resulta a 1 a lei de Fourier que será
unicamente aplicada a seguir:
dT
Q F 1a Lei de Fourier.
dz
20
Esse coeficiente, relacionado à densidade e à capacidade calorífica cp do meio, leva à condutividade térmica,
a; ver p. 129.
21
Curiosidade: o diamante, embora ser bom isolador elétrico, tem uma condutividade térm ica extremamente
alta: = 900 a 2300 W.K-1.m-1, dependendo da direção da medição. Outro material excelente condutor térmico é
o nanocomposto "grafeno", com de até 5000 W.K-1.m-1.
121
A. Isenmann Operações Unitárias
Q conv m c p T V c p T .
4
T
Q rad c n F Lei de Stefan-Boltzmann.
100
Na prática se procura o fluxo calórico devido a uma diferença T = T2 - T1; T1 do corpo que
emite e a temperatura T2 do ambiente mais frio que absorve o calor. A quantidade de calor
transferida por radiação é:
T T
4 4
Q rad c n F 1 2 .
100 100
O processo pode ser representado como: T1 T2. Já que o fluxo de calor Q rad depende
4
de T , temos que contar com a contribuição notável da radiação, somente a partir de
temperaturas T1 mais altas: geralmente > 200 °C. Ao extremo superior, o calor emitido por
um pedaço de metal aquecido ao rubro, é transferido ao seu ambiente, principalmente por
radiação. Outro exemplo do nosso quotidiano: a sensação de calor quando passamos num
fogo aberto, sentado dentro do carro de janela fechada.
Processos de transporte calórico se compõem, grosseiramente falado, aditivamente das três
contribuições mencionadas acima, condução, convecção e radiação:
Q Q Q conv Q rad .
123
A. Isenmann Operações Unitárias
dT T1 T2 T
.
dz s s
T
Q F .
s
124
A. Isenmann Operações Unitárias
dT const.
.
dr r
T1 T2 T
const.
lnr1 r2 lnr1 r2
T
Q F1 .
r1 lnr1 r2
F1 2 r1 L .
Para tubos largos com parede fina, a equação acima se aproxima à equação que achamos para
a passagem pela parede plana 22.
r r
22
A aproximação dessa situação limite não é trivial, pois lim 1 1 , então lim ln 1 0 . Este problema
r2 r2
deve ser resolvido aplicando a regra matemática de l´Hospital.
125
A. Isenmann Operações Unitárias
a) Convecção forçada
Numa convecção forçada a correnteza é produzida por forças externas. O fluido cuja
temperatura se distingue do seu ambiente, está fluindo, de maneira laminar ou turbulenta em
tubos (por exemplo, em trocadores de calor) ou em mantas (por exemplo, manta refrigeradora
de bateladas), propulso por uma bomba.
Vamos olhar mais perto no fluxo laminar em um tubo.
Um líquido tenha a temperatura T0 e passe por um tubo, de maneira laminar. A parede deste
tubo tenha a temperatura Tw que seja mantida constante através de um meio de refrigeração. A
temperatura da parede seja inferior à temperatura do líquido, T0 > Tw. Neste caso o calor será
cedido à parede.
No caso geral o perfil parabólico do fluxo laminar está sendo perturbado pelo transporte do
calor. Em alguns casos, porém, é possível fazer um cálculo simplificado, ao se usar valores
específicos, válidos para uma temperatura definida. Sob esta restrição o sistema é chamado de
"Problema de Graetz-Nusselt", ainda bastante complexo, que, no entanto, pode ainda ser
resolvido usando funções de Bessel. Caso os valores específicos do líquido dependam da
temperatura, ou o fluxo seja turbulento ou se considere uma outra forma de caminho do que
126
A. Isenmann Operações Unitárias
um tubo liso e reto, daí o problema se torna complexo demais para o qual, até hoje, não
existem mais soluções exatas.
Na proximidade à parede o líquido tem a temperatura mais alta. Nesta área deveríamos
esperar a maior sustentação e então a maior velocidade ascendente do fluido. Sobreposta,
porém, é a condição da estacionaridade (p. 28) que vale diretamente na parede. Isto é, a
primeira camada de fluido está parada. Contamos com os dois efeitos, observamos então um
aumento da velocidade ascendente a partir de u = 0. Ela percorre um máximo e cai
rapidamente, ao afastar-se mais um pouco da parede, até chegar novamente a u = 0. A partir
daí a direção do fluxo se inverte, quer dizer, temos vetores de movimento para baixo. Os
elementos de volume que foram aquecidos e levados para cima, descem novamente nesta
distância à parede. Os movimentos do calor nesta distância da parede são igualmente
acoplados a um movimento das massas, sem presença de uma bomba externa, portanto
identificamos como convecção livre.
Com um perfil térmico constante e fluxos laminares o problema ainda pode ser
matematicamente resolvido. A maioria das situações de transporte de calor, porém, não
podem ser resolvidos de forma fechada. Nestes casos aplicam-se com sucesso a análise
dimensional (p. 108) e as correlações adimensionais (p. 108), para descrever o acontecimento
qualitativamente correto.
Q F Tw T .
A relação dada acima define então o coeficiente de transferência ; na forma dada ela vale
para a operação de aquecimento do fluido (Tw > T); no caso da refrigeração (Tw < T)
invertemos essas temperaturas, para que resulte novamente um coeficiente positivo.
Para fim de refrigeração/aquecimento usamos geralmente um meio fluido que transfere o
calor a uma parede que, ao outro lado, o transfere a um segundo fluido. Nesta situação
decorrem sucessivamente diferentes processos de transporte do calor:
1. Transferência do calor do fluido 1 para a parede
2. Condução do calor através da parede (que pode ser de várias camadas)
3. Transferência do calor da parede para o fluido 2.
128
A. Isenmann Operações Unitárias
Q k w F T1 T2 .
Q 1 F T1 T1w F T1w T2 w 2 F T2 w T2 k w F T1 T2 .
s
Q 1 F T1 T1w
Q F T1w T2 w
s
129
A. Isenmann Operações Unitárias
Q 2 F T2 w T2
Q
T1 T1w
1 F
Q s
T1w T2 w
F
Q
T2 w T2 .
2 F
Q 1 s 1
T1 T2 .
F 1 2
1 1 s 1
Equação de Peclet.
k w 1 2
Essa relação descreve o acoplamento em série, das resistências ao fluxo de calor, enquanto a
área de troca seja plana. Na prática o termo s muitas vezes pode ser desprezado, devido ao
alto valor de e uma espessura fina da parede. É claro que isso muda quando em uma
caldeira se depositou uma camada de cal, devido à dureza da água utilizada.
Os coeficientes de transferência e de transmissão de calor não são valores específicos, mas
dependem também do equipamento. Um cálculo teórico do coeficiente é difícil ou até
impossível, devido à desconhecida espessura da camada limite na beirada da parede. Sendo
assim, temos apenas valores aproximados para e kw que servem para uma orientação
grosseira (ver Tab. 14 e Tab. 15). Mas os coeficientes e kw são acessíveis pelo experimento;
como acessá-los está descrito no cap. 4.3.3.
Tab. 14. Valores aproximados para o coeficiente de transferência de calor, (em W m-2
K-1). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa.
Forma de fluxo Meio de transferência Meio = ar
130
A. Isenmann Operações Unitárias
= água
Fluxo longitudinal turbulento no 1000 - 4000 30 - 50
tubo
Fluxo turbulento no tubo, 2000 - 7000 50 - 80
perpendicular à parede
Fluxo laminar 250 - 350 3-4
Convecção livre 250 - 700 3-8
Água fervendo 1500 - 15.000
Vapor d´água condensando no 5000 - 12.000
tubo vertical
Condensação de líquidos 500 - 2000
orgânicos
Tab. 15. Valores aproximados para o coeficiente de transmissão de calor, kw (em W m-2
K-1). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa.
Tipo de trocador de calor Convecção forçada Convecção livre
De gás para outro gás, à pressão ambiente 10 - 30 3 - 10
De gás para líquido (refrigerador de gás) 10 - 50 5 - 15
De vapor em condensação para gás (LUVO) 10 - 50 5 - 10
De líquido para outro líquido (água) 700 - 1500 120 - 300
De líquido para outro líquido (óleo) 100 - 250 25 - 50
De vapor em condensação para água (pré- 700 - 3000 250 - 1000
aquecedor)
De vapor em condensação para líquido 100 - 300 50 - 150
orgânico (pré-aquecedor)
De vapor orgânico em condensação para 300 - 750 200 - 400
água líquida (condensador)
De vapor em condensação para líquido em 250 - 3000
ebulição (evaporador)
A pressão p, geralmente, não tem grande influência na transmissão de calor. Como se vê das
unidades compostas, precisamos de quatro unidades básicas para sua descrição completa: m,
kg, s e K. Sendo assim, temos os números característicos:
Za = 3, Zs = 5, Ze = 4.
Zk Za Zs Ze 3 5 4 4 .
u3 d
m d ,
kg d , 3
d
s , K .
u
kg
d3 d u
m s d d u
132
A. Isenmann Operações Unitárias
Na1 .
d u
g m
d u 2
s 2 d u 2 d
g d
Na 2 .
u2
c
m2
d
2
p
K s 2 2 3
d u u d d u
cp d u
Na 3 .
E, finalmente:
kg
d3
K s 3 3 3
d u u d d
d
Na 4 .
Os números adimensionais assim obtidos podem ser multiplicados e divididos, desta forma
convertidos nos números convencionais do fluxo de calor:
d u 1
Re Número de Reynolds
Na1
g d d 2 2 u 2 d 3 2 g Na 2
Ar Número de Arquimedes
u2 2 2 Na12
133
A. Isenmann Operações Unitárias
T ,
1 dV
onde o coeficiente da dilatação térmica , daí obtemos o número de Grashof, Gr:
V dT
d 3 2 T g Na 2
Gr Número de Grashof
2
Na12
c p
Pr Na1 Na3 Número de Prandtl
d
Nu Na 4 Número de Nusselt.
e a .
cp
Daí:
c p c p
Pr .
a
Por meio da análise dimensional recebemos o número de Nusselt, Nu 23, através do qual temos
acesso ao coeficiente da transição térmica - que era o nosso objetivo geral (ver Tab. 16). A
experiência mostrou que obtemos valores de Nu suficientemente exatos quando calculados
23
Significado físico de Nu: Transferência de calor por convecção sobre transferência de calor por condução;
compare tabela 8.1.2.
134
A. Isenmann Operações Unitárias
através de equações exponenciais, a partir dos demais números adimensionais. A seguir sejam
indicadas as equações típicas que relacionam os números adimensionais.
Nu f (Re, Pr) .
Nu f (Gr , Pr)
Outras relações, especialmente para outras situações geométricas, se acham nos manuais da
engenharia (ver nota de rodapé na p. 8).
O caminho geral para a solução de um problema de transferência de calor compreende as
seguintes etapas:
1. Determinação dos números adimensionais, por exemplo Re e Pr.
135
A. Isenmann Operações Unitárias
Q F Tw T Nu F Tw T ,
d
136
A. Isenmann Operações Unitárias
137
A. Isenmann Operações Unitárias
Com uma temperatura da parede Tw < 100 °C temos um Q comparavelmente pequeno (1).
Devido ao gradiente térmico na água que está em proximidade à parede estabelece-se uma
convecção livre; nesta situação vale:
Nu Nu C Gr Pr .
n
e
h
Com uma temperatura da parede Tw logo acima de 100 °C formam-se bolhas de vapor (2).
Quando estas se soltam da parede e ascendem dentro da água, elas apóiam e aceleram o
movimento da água para cima. Além disso, elas transportam calor que está sendo usado para
uma evaporação dentro da fase líquida ( ev H ( H 2 O) 2260kJ kg 1 ). Usa-se a expressão
"evaporação por bolhas".
138
A. Isenmann Operações Unitárias
b) Condensação
Quando um vapor é resfriado indiretamente e a temperatura cai abaixo do ponto de orvalho,
forma-se o condensado na superfície que escorre para baixo em forma de gotas
macroscópicas. Depende das condições da superfície fria, se a condensação do vapor inicia-se
em forma de gotículas ou em filme. Geralmente, tem-se uma superfície umectável na qual a
condensação ocorre em filme ininterrupto (ver Fig. 58) que, devido à força gravitacional,
escorre para baixo.
Em superfícies repelentes, por outro lado, pode ocorrer condensação de gotículas. Neste caso
não há barreira frente ao transporte de calor em forma de um filme fechado de líquido.
Portanto, os números de transição de calor são cerca de 10 vezes maiores na condensação em
gotículas.
Na prática domina a condensação em filme, e este caso foi calculado por Nusselt (1919).
Como exemplo pegamos um vapor d´água de escoamento lento que forma um filme numa
parede fria da altura h. O filme de água líquida escorre abaixo de modo laminar. Neste caso se
acha:
139
A. Isenmann Operações Unitárias
0 , 25
3 2 g ev H
0,943 .
h T
140
A. Isenmann Operações Unitárias
Existem principalmente duas formas de direcionar os fluxos dos meios dentro de um trocador
de calor: concorrente e contracorrente (ver Fig. 60). Além dessas formas mais aplicadas
existem também modelos com condução cruzada e contracorrente-cruzada, especialmente em
aparelhos de refrigeração a baixa temperatura, ou em casos onde um dos fluidos é um gás (por
exemplo, radiador do carro, ar condicionado, etc.).
Fig. 61. Condução das correntes e perfil térmico dentro das tubulações do trocador de
calor: a) operação concorrente b) operação contracorrente.
Q k w F T .
141
A. Isenmann Operações Unitárias
Tini T fim
T ,
Tini
ln
T fim
com Tini e T fim sendo as diferenças térmicas entre os dois meios no início e no final da
tubulação do trocador, respectivamente. No caso especial de Tini T fim , isso é possível
somente na condução contracorrente e quando os dois meios fluidos tenham a mesma
capacidade calorífica, cp. Essa média é T Tini .
Essas relações importantes sejam deduzidas, no exemplo do trocador de calor concorrente.
Assumimos que a troca de calor aconteça exclusivamente na parede separadora entre as duas
tubulações (área F) e não tenha perdas de calor para o ambiente. Como ilustrado na Fig. 60
parte a, a temperatura do meio quente cai, do valor inicial T1ini até o valor final T1fim; a
temperatura do meio frio sobe do valor inicial T2ini até o valor final T2fim. Certamente é correto
afirmar que a quantidade de calor Q1 cedida pela corrente 1 é igual à quantidade de calor Q2
recebida pela corrente 2. O transporte do calor é o resultado da transição através da área de
contato. Em forma diferencial podemos escrever:
Segue:
dQ dQ
dT1 e dT2 .
m 1 c p ,1 m 2 c p , 2
Também vale:
T T1 T2 , com T1 T2 .
1 1
dT dQ ,
m c
1 p ,1 m 2 c p , 2
142
A. Isenmann Operações Unitárias
ou seja:
dT
dQ
1 1
m
1 c p ,1 m 2 c p,2
1 1
Tini T fim Q .
m c
1 p ,1 m 2 c p , 2
Tini T fim
Q .
1 1
m c
1 p ,1 m 2 c p , 2
Também vimos que vale para a transição do calor: Q k w F T . Passando por uma área
infinitamente pequena temos:
dQ k w dF T .
dT
k w dF T .
1 1
m c
1 p ,1 m 2 c p , 2
Separamos as variáveis T e F:
dT 1 1
k w dF .
T m c
1 p ,1 m 2 c p , 2
143
A. Isenmann Operações Unitárias
Tini 1 1
kw F .
ln
T fim m 1 c p ,1 m 2 c p , 2
1 1
Nesta equação podemos substituir o termo , pela diferença ( Tini T fim )
m c
m c
1 p ,1 2 p , 2
dividida por Q , conforme a relação descrita antes.
1 Tini T fim
1 1 ln Tini .
m c k F
1 p ,1 m 2 c p , 2 w T fim Q
Tini T fim
Q k w F ,
Tini
ln
T fim
ou simplesmente:
Tini T fim
T , o que queríamos mostrar.
Tini
ln
T fim
144
A. Isenmann Operações Unitárias
0! 1! 2! n!
Para o caso de Tini e Tfim sejam valores não muito diferentes, aplicamos essa fórmula à função
f ( x) ln x , na proximidade de x0 1 :
ln( x) x 1
x 12 x 13 ...... (com os limites de convergência de 0 < x ≤ 2).
2 3
1 x
Provou-se mais aplicável, no entanto, desenvolver a série de Taylor para a função ln ,
1 x
já que essa converge mais rapidamente:
1 x 2 3 2 5
ln 2 x x x ..... (com os limites de convergência de -1 < x < 1).
1 x 3 5
Tini
Para valores 1,4 podemos cortar essa sequência após o termo linear, sem cometer
T fim
grande erro. A média logarítmica então se simplifica para a média aritmética:
Tini T fim
T .
2
24
Desenvolvida em volta da origem - o que não é possível para ln(x) - essa sequência convergente aparece mais
2 3
simples, conhecida como "Série de McLaurin": f ( x) f (0) x f (0) x f (0) x f (0) ......
2! 3!
145
A. Isenmann Operações Unitárias
Facilidade de limpeza.
O modelo mais utilizado na indústria química é de tubo e casco. Para não ocupar grande
espaço na fábrica, os tubos do feixe contendo o líquido refrigerador / fluido aquecedor devem
ser colocados em distâncias adequadas, não muito distantes nem muito pertos. O passo ideal,
medido do centro do tubo até o centro do(s) tubo(s) adjacente(s), deve ser de 1,25 vezes o
diâmetro externo dos tubos.
Fig. 62. Trocadores de calor: os modelos mais usados na indústria.
146
A. Isenmann Operações Unitárias
147
A. Isenmann Operações Unitárias
148
A. Isenmann Operações Unitárias
Q ret ~ Fw ~ D 2
Q prod ~ VR ~ D 3 .
Fw 1
~ ,
VR D
P Ne (Re) n 3 d 5 ,
150
A. Isenmann Operações Unitárias
O número adimensional de Newton é relacionado à potência; ele pode depender, além das
características construtivas do agitador (ver p. 75), também do modo de fluxo, então Ne =
Ne(Re). Essa dependência já foi ilustrada para um agitador de lâminas, na Fig. 37, no contexto
do capítulo "Agitação mecânica". As conclusões essenciais são:
1) No regimento laminar o número de Newton é inversamente proporcional ao número de
Reynolds, Ne ~ Re-1.
2) No regimento turbulento não há tal dependência, isto é, Ne = const. Isso vale para todos
os tipos de agitadores. No entanto, o valor absoluto de Ne na região turbulenta depende
fortemente da alocação de chicanas nas paredes da batelada.
O caso bem mais importante na prática é o regimento turbulento. Da equação de Nusselt pode
ser derivado para o coeficiente de transferência de calor, sob as promessas de Ne = const. e a
relação dos diâmetros de agitador e batelada, d/D = const.:
2
P 9
1
~ D 9
.
V
Então o coeficiente de transição de calor decresce, mas muito pouco, ao aumentar o diâmetro
D do reator. Para um aumento da escala sob a condição = const., segue com boa
aproximação:
PV D
0,5
~ G
PV
G
.
M
DM
Essa relação de scale-up prediz que o aumento do modelo (M) ao equipamento grande (G) é
possível quando as potências reduzidas tenham a mesma relação que a raiz da relação dos
diâmetros nas duas bateladas.
Para fluxos laminares no reator (Ne ~ Re-1) se obtêm diferentes relações de scale-up,
dependendo principalmente do tipo de agitador usado. Para um agitador de âncora (ver Fig.
36), por exemplo, a equação de Nusselt fornece a seguinte dependência para o coeficiente :
151
A. Isenmann Operações Unitárias
1 1
P 4 P 4
~ , ou seja, ~ D0 ,
V V
isto é, nenhuma dependência da escala de aumento (representado por D). Segue a condição de
scale-up para esse caso:
P P
const. ; para o agitador de âncora, regime laminar.
V M V G
Num aumento da escala o coeficiente de transição de calor não muda, desde que a potência
relacionada ao volume for mantida.
Os diferentes critérios de scale-up podem ser ilustrados num diagrama de Penney, onde a
relação entre as potências reduzidas, no modelo e na edição grande, P
V G
P
V M
, é
152
A. Isenmann Operações Unitárias
Retificação,
Lavagem de gases,
Outras operações unitárias envolvendo estágios de transferência de massas que são
induzidos por variações da temperatura.
Para resolver essas tarefas temos uma série de métodos térmicos de separação, dos quais os
mais importantes são:
Destilação
Retificação (= destilação fracionada)
Extração
Cristalização
Adsorção.
Os critérios na sua escolha são a natureza das substâncias envolvidas, o grau de pureza do
produto final, o volume da mistura, os custos de investimento e os custos operacionais,
principalmente. Atualmente, a destilação - simples ou fracionada - são os métodos de
separação mais aplicados em escala industrial.
Os fundamentos destes métodos são os equilíbrios das fases que podem ser: líquido/vapor
(isto é a base da destilação), líquido/sólido (na cristalização), líquido/líquido (isto é, dois
líquidos que não se misturam; base para a extração) ou equilíbrios de adsorção. Na destilação
então aproveita-se da experiência que a fase dos vapores que se forma através da ebulição de
uma fase líquida, tenha uma composição diferente. Observamos que o vapor fica mais rico em
componente mais volátil, do que o líquido. Quando separar uma fase gasosa mais rica em
componente mais volátil, implica que a fase líquida empobrece neste mesmo componente.
153
A. Isenmann Operações Unitárias
d ln p ev H
, Clausius-Clapeyron
dT RT 2
ev H H1 1 H1 1
p2 T2
p2
d ln p R T
p1 T1
2
dT ln
p1
ev ev .
R T2 T1 R T1 T2
No laboratório, isto é, em pequena escala, usamos com sucesso a trompa de vácuo, para
estabelecer um vácuo de até 2 kPa - dependendo da pressão e temperatura da água da torneira
(por que a temperatura da água é importante?). Embora de este equipamento de vácuo tenha
o custo de investimento e manutenção bastante baixo, sua operação não é sem problema.
Lembra-se do alto consumo de água ao usar este equipamento. É 1 L de água a cada 0,6 L de
gás transportado, e na média são 8 a 10 litros de água tratada por minuto que a gente gasta
durante seu funcionamento.
155
A. Isenmann Operações Unitárias
Aplicar uma pressão reduzida permite então a purificação por destilação, sob condições mais
brandas.
p 2 p 20 1 x Lei de Raoult.
Essa curva descreve a dependência da pressão total dos vapores, p, da composição do líquido
x, à temperatura constante.
Caso se conhece, por outro lado, a composição da fase gasosa (y), as pressões parciais pi
podem ser calculadas a partir da pressão total p e da fração molar do devido componente:
156
A. Isenmann Operações Unitárias
p1 p y
p2 p 1 y .
Com essas novas formulações da lei de Raoult temos acesso à curva de condensação,
p f ( y) , que descreve a pressão total dos vapores em função da composição da fase gasosa.
Combinando as equações acima:
p y p (1 y )
1 e 1
p10 x p 20 (1 x)
p p (1 y )
yx e (1 x) .
p10 p 20
p p (1 y )
0
y x (1 x) 1.
p1 p 20
1
p . Curva de condensação.
y (1 y)
p10 p 20
157
A. Isenmann Operações Unitárias
Na prática, porém, as destilações raras vezes são feitas de maneira isotérmica. Muito mais
comum é a condução isóbara, ou seja, a pressão constante. Portanto, devemos respeitar as
curvas de temperatura para dp = 0:
158
A. Isenmann Operações Unitárias
159
A. Isenmann Operações Unitárias
Atenção: a temperatura muda ao longo desta hipérbola! O diagrama das fases será a base para
o método de McCabe-Thiele (ver p. 166) com que dimensionaremos o equipamento da
retificação. A Fig. 64 ainda contém a diagonal, y = x, por sua vez uma linha auxiliar bastante
útil, por dois motivos:
1. Destaca o caso onde os dois componentes tenham a mesma pressão de vapor, ou seja,
onde a volatilidade relativa (ver definição abaixo) = 1. Neste caso, a mistura binária
não pode ser separada por meio de destilações.
2. A diagonal representa o caso que a fase gasosa tenha a mesma composição que a fase
líquida. Como veremos adiante, isto é a situação ideal que se visa na transferência dos
vapores entre dois pratos, dentro da coluna de retificação 25.
y x x
y .
1 y 1 x 1 1 x
Tab. 17. Pontos de ebulição (em °C) e as volatilidades relativas de líquidos em misturas
binárias ideais (desde não indicada diferente, a pressão é atmosférica).
Mistura T1S p10 p 20 T2 S p10 p 20
Benzeno - Dicloroetileno 80,1 1,113 83,5 1,109
Benzeno - Tolueno 80,1 2,61 110,7 2,315
Cloreto de n-butila - brometo de n-butila 77,5 2,08 101,6 1,87
Clorofórmio - CCl4 61,1 1,71 76,6 1,60
Etanol - Isopropanol 78,3 1,18 82,3 1,17
Etanol - n-propanol 78,3 2,18 97,2 2,03
Cloreto de etila - Brometo de etila 12,5 3,23 38,4 2,79
25
Uma derivação simplificada e intuitiva, do diagrama das fases [x verso y] e seu significado para a coluna de
retificação, ver artigo “Destilação, retificação e arraste por vapor”, disponível no site
http://www.timoteo.cefetmg.br/site/sobre/cursos/quimica/repositorio/artigos/ (acesso 09/2014).
160
A. Isenmann Operações Unitárias
Podemos visualizar esses desvios da idealidade, nos diagramas de pressão dos vapores
isotérmicos (Fig. 64b e Fig. 65). Em casos de desvios mais pronunciados podem formar-se até
extrema nas curvas de pressão de vapor. Esses pontos extremos são chamados de misturas
azeotrópicas. Elas representam um problema especial porque não podem ser separadas por
procedimentos simples ou destilações repetidas (métodos térmicos da sua separação, ver p.
173 em seguida).
161
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 67. Diagramas de pressão de vapor de misturas não ideais: (a) e (b): desvio
negativo; (c) e (d): desvio positivo da Lei de Raoult. As linhas pontilhadas
representam comportamento ideal. Nas misturas (b) e (d) forma-se uma mistura
azeotrópica, com pressão de vapor mínimo e máximo, respectivamente.
162
A. Isenmann Operações Unitárias
Exemplos:
Exemplos: Exemplos:
Acetona / Clorofórmio; HCl /
D2O / H2O; Benzeno / Tolueno; H2O Acetona / CS2; Piridina / H2O;
Etanol / Heptano; Etanol /
O2 (l) / N2 (l)
H2O.
26
Um banco de dados para misturas binárias com ponto azeotrópico é disponível em
http://eweb.chemeng.ed.ac.uk/chem_eng/azeotrope_bank.html (acesso em 10/2014).
Uma lista mais abrangente (15825 sistemas binárias e ternárias), ver monografia L. H. Horsley (Editor)
Azeotropic Data—III. Advances in Chemistry Series No. 166. American Chemical Society 1973.
163
A. Isenmann Operações Unitárias
164
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 69. Esquema de uma destilação simples (= destilação de via única), tipicamente
aplicada num alambique.
A representação deste processo no diagrama de ebulição é dada na Fig. 68, junto ao diagrama
das fases líquido-gasoso que, neste caso, pode ser identificado como diagrama [composições
do líquido no balão do fundo] vs. [líquido no recipiente do destilado].
O líquido em ebulição tenha a composição x1. A fase gasosa produzida a partir deste líquido
tem a composição y1. A primeira gota de destilado tem, portanto, a composição y1 = xD. A
diferença xD-x1 representa o máximo efeito de separação elementar que pode ser atingido sob
dada pressão. Ao decorrer do processo de destilação, não só a quantidade do líquido no balão
do fundo decresce, mas também a porcentagem do componente mais volátil neste líquido cai
continuamente. Em consequência, a porcentagem do componente mais volátil decresce
também no destilado. E para dar continuidade do processo é preciso um aumento da
temperatura operacional.
O final do processo é dado pelo ponto de ebulição do componente mais pesado, T2S. Neste
ponto a fase líquida e a gasosa têm a mesma composição, a saber, é o puro componente
pesado. Isso seria o caso na última gota de líquido no balão do fundo. Neste momento a
composição do produto da destilação seria idêntica com a composição da mistura original, ou
seja, a mistura foi completamente transferida para o outro lado da destila. Como isso não faz
sentido, todo processo destilativo deve ser interrompido antes de chegar à secura do balão do
fundo. Na prática de um alambique, por exemplo, se encerra o processo quando o grau
alcoólico dos vapores cai abaixo de 30 °. Mesmo que o pé de cuba contenha ainda bastante
álcool não vale a pena continuar a destilação, pois o aumento do volume do destilado se
compra com uma queda drástica na qualidade do produto.
Fig. 70. Destilação simples e descontínua: diagrama de ebulição e diagrama das fases
em equilíbrio.
Resumindo:
O efeito separador numa destilação simples é limitado, ou seja, separações completas são
impossíveis. Em geral, uma destilação simples somente deve ser levada em consideração
quando a mistura tem componentes de volatilidade bastante distantes (= diagrama das fases
com curvas bastante barrigudas, ver Fig. 68). Vale a regra geral que os pontos de ebulição T1S
e T2S devem diferir em pelo menos 80 °C.
165
A. Isenmann Operações Unitárias
5.4 Retificação
Para a maioria das tarefas de separação o efeito elementar da destilação simples não é
satisfatório; o destilado não pode ser obtido em grau de pureza suficiente. O processo de
separação deve ser repetido com o destilado, se for preciso, várias vezes. Daí o efeito
elementar da separação se multiplica. Por conveniência isto é feito em uma coluna de
retificação, onde há fluxos contracorrentes entre os vapores (subindo) e o líquido resultante
dos vapores (descendo). Daí, em diferentes alturas da coluna, chamadas de pratos, o equilíbrio
da evaporação pode se restabelecer. O efeito elementar da separação (que depende da
volatilidade relativa ) se repete em cada prato. O efeito total da separação, portanto, é
proporcional a n, onde n é o número de pratos da coluna.
y x
n
1 y 1 x
Na Fig. 70a é mostrado o princípio da coluna de retificação em operação contínua. Fig. 70b
mostra a construção da coluna na prática. Como veremos abaixo, a coluna pode ter pratos
reais (Fig. 79) ou um recheio de corpos irregulares com grande superfície (ver Fig. 80 na p.
172). No fundo encontra-se um evaporador, na cabeça um condensador. Devido ao elevado
peso do equipamento, porém, o condensador da cabeça é instalado num console mais abaixo e
o líquido depois bombeado acima, para estabelecer o refluxo. Geralmente, a retificação é um
processo contínuo. Daí a mistura líquida a ser separada é alimentada na meia altura, entre a
cabeça e o fundo. Na maioria das vezes a alimentação desta mistura (do ingês: feed) ocorre
naquele prato onde a composição dos vapores recondensados tem a mesma composição que a
166
A. Isenmann Operações Unitárias
mistura original, para não falsificar as composições que se estabeleceram nos pratos. Além
disso, o líquido é alimentado perto do seu ponto de ebulição, para não interferir no balanço
térmico ao longo da coluna. O feed separa a coluna, formalmente, em uma parte
enriquecedora junto à cabeça (também chamada de parte de absorção) e uma parte de
esgotamento junto ao fundo.
Na parte enriquecedora o componente mais pesado é extraído dos vapores em ascensão, pelo
líquido que está em movimento para baixo. Na parte do esgotamento o componente mais leve
está levado em grande parte para cima, junto aos vapores que sobem. A contracorrente é
induzida no balão do fundo pela ebulição da mistura pesada e na cabeça, pela condensação
total dos vapores que chegam até lá. Uma parte deste líquido está redirecionada à coluna onde
reflui, a outra parte é tirada como produto de cabeça. O mesmo acontece no fundo: uma parte
é re-evaporada e induzida à coluna, a outra parte é retirada como produto do fundo. Como a
mistura no fundo é mais rica em composto pesado e a cabeça mais rica em composto leve, a
coluna de retificação está operando com gradiente térmico linear, mais quente no fundo e
mais frio na cabeça.
(a) (b)
167
A. Isenmann Operações Unitárias
(c) (d)
Fig. 72. Representações da retificação em operação contínua:
a) Esquema de P&ID (Piping and Instrumentation Diagram) b) Esboço funcional
c) Equipamento de escala técnica d) Equipamento de escala industrial.
168
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 73. Envelope dos balanços feitos acerca da coluna de retificação (operação
contínua).
Além destas grandezas, se mostrou confortável na hora do balanço introduzir as seguintes
grandezas de processo:
nL
Taxa de refluxo: v
nP
n L ´
Taxa de re-evaporação: v´
nS
169
A. Isenmann Operações Unitárias
nS
Taxa de retirada: S (quantidades de produto, retiradas no fundo e na cabeça, resp.).
nP
170
A. Isenmann Operações Unitárias
Resolver por y, introduzir a taxa de refluxo (v) e o balanço total conforme derivado na parte 1
acima:
v y
y x P
v 1 v 1
v
Essa é a equação de uma reta, no diagrama x vs. y, com a inclinação e a intersecção
v 1
yP
com a ordenada. Vamos chamá-la de reta de trabalho do enriquecimento.
v 1
Resolver por y´, introduzir a taxa de re-evaporação (v´) e usando o balanço total conforme
parte 1 acima:
v´ x
y´ x´ S
v´1 v´1
171
A. Isenmann Operações Unitárias
n S x F x S n P x F x P .
A representação das retas de trabalho no diagrama das fases leva ao Diagrama de McCabe-
Thiele. A área entre essas retas e a hipérbole do equilíbrio líquido-gasoso do sistema binário,
pode ser usada para a determinação do número de pratos que se precisam para chegar a um
determinado grau de pureza.
yP
cabeça, x xP , ou seja, em y yP . O trecho de interseção na ordenada é , isto é,
v 1
depende da composição do produto de cabeça ( yP , dada pelas exigências da fábrica) e da taxa
de refluxo (v, a ser escolhido pelo operador da coluna).
Ao interromper a alimentação e fechar as saídas dos produtos, a taxa de refluxo torna-se
v yP
infinita ( v , então 1 e 0 ), isto é, a reta de enriquecimento torna-se
v 1 v 1
idêntica com a diagonal.
A reta de trabalho do esgotamento se evidencia mais íngreme do que a diagonal. Ela a corta
y
no ponto da composição do balão do fundo, xS. O trecho na ordenada é de S e depende,
v´1
além da composição prescrita yS, da taxa de re-evaporação, v´.
Interessante é que o ponto de secção das duas retas de trabalho fica exatamente em x xF , ou
seja, coincide com a composição do feed (que deve ser em ebulição, como já dito!).
173
A. Isenmann Operações Unitárias
174
A. Isenmann Operações Unitárias
coluna toda pode-se verificar que com esses parâmetros o fluxo no produto da cabeça, n P , e a
n
taxa de partição ou taxa de retirada, S S , são definidos, também. Para tal situação existe
nP
um número mínimo de pratos, nmin, que se precisa quando a taxa de refluxo fica infinita, ou
seja, e o fluxo n F do Feed é zero. A leitura de nmin se faz entre a curva de equilíbrio e a
diagonal,, entre xS e xP.
175
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 77. Determinação da taxa mínima de refluxo, vmin de uma coluna, aplicando um
número infinito de pratos (n = ).
A decisão do engenheiro vai ser em um ponto da curva a seguir (que descreve a relação
recíproca de nteor e v):
Fig. 78. Relação funcional, entre o número de pratos teóricos nteor , e a taxa de refluxo
v, de uma coluna de retificação contínua.
Na prática dominam os aspectos econômicos. Muitos pratos significam altos custos de
investimento na construção da coluna e baixos custos de operação. Alta taxa de refluxo
significa baixos custos de investimento, mas altos custos de operação. Deve-se então procurar
o ponto mínimo na curva de custos totais - que é a soma das duas.
176
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 79. Custos de investimento, operação e custo total, de uma coluna de retficação,
em função da taxa de refluxo , v, e do número de pratos, n.
A experiência mostra que vopt fica entre 2 e 10 vezes o valor de vmin.
177
A. Isenmann Operações Unitárias
O uso do fator médio pode levar a graves desvios, especialmente quando acurva de equilíbrio
e a reta de trabalho tenham inclinações bastante diferentes. Neste caso é aconselhado usar
uma curva de pseudo-equilíbrio, conforme mostrado no próximo gráfico:
Fig. 80. Diagrama de McCabe-Thiele para uma coluna com pratos reais.
178
A. Isenmann Operações Unitárias
Para sua caracterização usa-se a altura de empacotamento que tem o mesmo efeito do que um
prato teórico (equilíbrio total), chamado de HETP = Hight Equivalente to a Theoretical Plate.
h HEPT nteor ,
179
A. Isenmann Operações Unitárias
180
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 83. Fluxograma da destilação de duas pressões; diagrama das fases de uma
mistura com azeotrópico a ser separada por este método.
Há casos onde um abaixamento da pressão faz com que o ponto azeotrópico some. Daí se
dispensa a necessidade da segunda coluna; a retificação se executa simplesmente à pressão
reduzida, daí se fala de retificação a vácuo. Esta técnica também mostra vantagens quando
tratar componentes que são altamente sensíveis a altas temperaturas ou correm perigo de
decomposição por oxidação.
181
A. Isenmann Operações Unitárias
182
A. Isenmann Operações Unitárias
n i
Na superfície do sólido se mantém uma solução saturada da concentração csat, um valor fixo e
característico para o sistema químico, a dada temperatura. A velocidade da transferência
mássica n é determinada por difusão nas imediações da superfície, e por convecção quando
mais afastado, ou seja, no interior da fase líquida.
n i
184
A. Isenmann Operações Unitárias
Na superfície redonda desta gota existe concentração de saturação, csat. A troca de matéria
entre as duas fases ocorre com uma velocidade n i (= velocidade da transição de matéria) que
na maioria dos casos se mostra proporcional à área de troca, F, e à diferença em concentração,
c, entre a concentração de saturação na superfície e a concentração média no interior da fase
gasosa.
n i F (c sat c) F c .
Essa relação para a velocidade de transição mássica n i (mol/s) é, ao mesmo tempo, a equação
de definição do coeficiente de transição de massas, (m/s). Ele pode depender de uma série
de fatores, principalmente do tipo de matéria transportada (i), modo de fluxo, temperatura e
grandezas acerca do aparelho. Portanto, coeficientes de transição mássica podem ser
calculados, somente em casos simples e específicas. O jeito mais direto e confiável é sua
determinação experimental.
O alto parentesco com o transporte de calor (p. 123) se evidencia quando olhamos na equação
correspondente, da transição calorífica:
Q F (TS T ) F T .
Tab. 19. Comparação entre transição de massas e de calor, sob convecção forçada.
Transição de massas Transição de calor
n i F (ci ,sat ci ) Q F (TS T )
d d
Número de Sherwood: Sh Número de Nusselt: Nu
D
ud ud
Número de Reynolds: Re Número de Reynolds: Re
Número de Schmidt: Sc Número de Prandtl: Pr
D a
185
A. Isenmann Operações Unitárias
é a viscosidade cinemática, a é a condutividade térmica, D (cm²/s) é o
cp
coeficiente de difusão molecular do componente de transferência dentro do solvente.
O número de Sherwood é determinado ao combinar os outros números adimensionais, junto
aos devidos expoentes e fatores de correção:
Sh f (Re,Sc) .
Exemplos:
1) Evaporação a partir de um tubo molhado, onde a correnteza seja turbulenta e L >> d:
Sh 0,037 Re 0, 75 180 Sc 0, 42 .
Muitas outras equações da transição mássica, sob convecção forçada, são referidas nas obras
padrões da engenharia (ver p. 8).
186
A. Isenmann Operações Unitárias
No caso da transferência de calor os meios fluidos geralmente são separados um do outro, por
uma parede fixa. Em ambas as fronteiras, fluido 1/parede e parede/fluido 2, as duas fases em
contato têm a mesma temperatura (curva de temperatura = contínua).
Por outro lado, na transferência de massa as duas fases do fluido encostam diretamente, uma à
outra. Além disso, o composto a ser transferido mostra solubilidades diferentes nas duas fases.
Justamente devido a essa diferença em solubilidade se estabelece na interface um pulo na
concentração (curva de concentração = descontínua). Como já pode suspeitar, não temos
acesso experimental nestas concentrações em ambos os lados da interface.
Temos que lidar com problemas de transferência de massa, nas mais diversas situações.
Vamos considerar um processo de absorção. Neste caso lidamos com uma fase líquida que
encosta em uma fase gasosa (ver penúltima figura, à direita). No tratamento teórico de
transferência de massas as seguintes simplificações são comumente feitas:
1. O transporte da massa em ambas as fases não dependa do acontecimento no seu
interior, mas da velocidade da difusão na interface.
2. Na proximidade da interface sempre tenha equilíbrio.
3. Na proximidade da interface não tenha convecção forçada.
O ponto de partida geralmente é uma relação simples de distribuição, onde no caso da
absorção rege a lei de Henry, bem conhecida da fisico-química:
A constante de Henry, Hei, geralmente é definida para o caso de se ter as mesmas unidades de
medida para a concentração, em ambas as fases. Para a concentração do componente de
transferência na fase gasosa colocamos:
pi
ci , gas , com pi = pressão parcial do componente i,
RT
conforme a lei dos gases ideais. Essa relação indica que a concentração é maior a
temperaturas baixas - fato que o aparelho de absorção aproveita (ver Fig. 84, na p. 185). Uma
coluna de absorção geralmente trabalha numa temperatura constante. Por isso e para facilitar
os cálculos, as considerações neste e no próximo parágrafo valem para condições isotérmicas.
As concentrações do componente de transferência i em ambas as fases mostram uma relação
linear. Somente a concentrações muito altas essa relação desvia da linearidade.
187
A. Isenmann Operações Unitárias
Caso a constante de Henry tiver um valor grande, significa que o componente de transferência
é bem solúvel na fase líquida, e oposto. O perfil de concentração esboçado na p. 179 vale
então para o caso de uma constante de Henry pequena. Por outro lado, com Hei grande
obteremos um perfil da seguinte forma:
Pela nossa surpresa, mesmo que ci,liq > ci,gas, o componente é transferido na direção indicada.
Isso evidentemente não se explica com a diferença nas concentrações, mas sim, com a
diferença no potencial químico.
Para entrar mais em detalhe, mostrou-se cômodo representar o processo de transferência do
ponto de vista do líquido ou do ponto de vista do gás, conforme indicado a seguir. Do lado de
vista do líquido estima-se na parte do gás uma concentração c*i,gas que seja o contínuo da
concentração ci,liq. Na representação da vista do lado do gás usa-se uma concentração
imaginária c*i,liq que der continuação da concentração ci,gas.
188
A. Isenmann Operações Unitárias
n i k liq F ci*, gas ci ,liq ,
ou seja:
n i k liq F He ci , gas ci ,liq .
ci ,liq
c * i ,liq .
Hei
n i k gas F ci , gas ci*,liq ,
ou seja:
c * i ,liq
n i k gas F ci , gas .
He i
189
A. Isenmann Operações Unitárias
Nas relações dadas acima têm-se os coeficientes de transferência mássica kliq e kgas para os
quais vale:
1 1 Hei 1 1 1
e .
k liq liq gas k gas gas Hei liq
190
A. Isenmann Operações Unitárias
Isso gera em menores partes o coproduto da combustão, o gás carbônico. Este é sem valor e
sua presença prejudica as demais etapas de síntese, principalmente devido ao seu efeito de
diluição. Portanto, a mistura é lavada com metanol, a temperaturas baixas, onde se dissolve
seletivamente o CO2.
c) Recuperação de solventes:
A recuperação de grandes volumes de solventes, usados nas bateladas de reação, é imperativa
para a indústria química. Geralmente é feita com hidrocarbonetos de alto ponto de ebulição, já
que a maioria destes solventes tem elevado caráter apolar.
O princípio da lavagem de gases é mostrado na Fig. 84. O gás cru e o meio de lavagem
("solvente") são conduzidos em contracorrente, na torre de absorção. Nesta etapa o
componente danoso/valoroso é extraído da mistura de maneira seletiva. O solvente carregado
é então levado à torre de dessorção, onde sob condições diferenciadas (pressão, temperatura)
o componente i é retirado termicamente (ver processo de retificação, p. 158) do solvente. O
solvente assim recuperado é reinjetado na torre de absorção, sendo assim não sai deste
processo semi-aberto.
191
A. Isenmann Operações Unitárias
Todas as lavagens de gases operam em modo contínuo. A torre de absorção trabalha a baixa
temperatura e pressão elevada, enquanto na torre de dessorção se aplicam alta temperatura e
pressão reduzida.
192
A. Isenmann Operações Unitárias
c * i ,liq
n i k gas F ci , gas .
Hei
Além disso, pressupomos soluções diluídas ao longo do processo todo. As frações molares do
composto i em ambas as fases anotamos na seguinte forma:
y = fração molar de i na fase gasosa;
x = fração molar de i na fase líquida.
Para a concentração do componente de transferência i em ambas as fases podemos escrever:
ci , gas c gas y
ci ,liq cliq x ,
F
a .
V
Por fim de uma anotação mais simples deixaremos o índice i do componente transferido
embora. Daí obtemos para a velocidade da transferência:
cliq
n k gas a V c gas y x .
He c gas
cliq
O termo x podemos interpretar como concentração de equilíbrio (partes molares).
He c gas
Portanto, usaremos um novo símbolo:
cliq
y eq x
He c gas
193
A. Isenmann Operações Unitárias
Caso y yeq , a troca de matéria cessa, a taxa de transferência de massa se torna nula.
Observação: essa reta de Henry corresponde à hipérbole que achamos para o equilíbrio das
fases na coluna de retificação (ver Fig. 64 na p. 152).
Fig. 87. Esquema de uma coluna de absorção com troca de matéria contínuo.
194
A. Isenmann Operações Unitárias
n x x x0 n y y y0 0 .
n x
v
n y
y v x y 0 v x0 .
Podemos formular o balanço da fase gasosa na seguinte forma (lembre-se que as partes de i
que se perdem nesta fase, são transportadas para outro segmento):
d n y y n
i .
dz Q V
Escrevemos
195
A. Isenmann Operações Unitárias
n y Vgas c gas
wgas c gas (wgas = velocidade do tubo vazio).
Q Q
k gas a c gas y y eq .
n i
V
L
wgas y L dy
0 dz L a k gas y y yeq .
0
Neste ponto introduzimos as seguintes definições bastante usadas para este tipo de colunas:
wgas
HTU "Height of a Transfer Unit"
a k gas
= altura teórica de uma unidade de transferência.
y0
dy
NTU yy
yL eq
"Number of Transfer Units"
Daí a equação que permite o dimensionamento da coluna toma uma forma especialmente
simples:
L HTU NTU .
196
A. Isenmann Operações Unitárias
Com essa equação podemos calcular o comprimento da coluna, necessário para alcançar certo
efeito de lavagem, y 0 y L , exigido pela fábrica. Em caso geral o comprimento da coluna é
a grandeza-alvo do balanceamento. Note que esta relação é bem universal e vale para todas as
curvas de equilíbrio. Quer dizer, ela não se restringe à reta de Henry, mas pode ser aplicada
também a outros tipos de colunas e separações térmicas, por exemplo, à retificação. Sendo
assim, o dito aqui se entende como complementação para o cap. 5.5.
O valor de HTU pode ser diretamente calculado, através de:
w gas 1 1
HTU .
a gas He L
No caso de colunas com corpos de recheio irregulares, usadas para lavagens líquido/gasoso,
podemos contar com valores de 0,1 < HTU < 0,5 m.
cliq
y eq ( x) x
c gas He
y y0
x x0 ,
v
cliq cliq
y eq ( y ) x0 y y0 .
c gas He v c gas He
y0
dy
NTU
yL
yy eq ( y)
.
197
A. Isenmann Operações Unitárias
y0 y L y
NTU ln 0 , onde y y yeq .
y 0 y L y L
T0 TL
lnT (compare p. 136),
T
ln 0
TL
y 0 y L
ln y .
y 0
ln
y L
198
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 89. Diagramas de equilíbrio, para elucidar (a) as etapas separativas dentro da
coluna de absorção, (b) a relação mínima das fases que participam na lavagem, vmin.
Um caso especial temos quando a reta de balanço anda paralelamente à reta de equilíbrio.
Neste caso vale:
nteor NTU .
L
HTU HEPT (ver definições destas siglas na p. 189).
nteor
A inclinação da reta de balanço é determinada pela relação das fases durante a lavagem, v.
Quando escolhemos uma relação das fases de maneira que a reta de balanço corta a reta de
equilíbrio no ponto C, ainda conseguimos resolver a tarefa de lavagem, porém precisaríamos
um número infinito de estágios separativos. Portanto, esta relação das fases de lavagem é
chamada de relação mínima, vmin ( foi definido na p. 187 como relação de lavagem). Seu
valor pode ser determinado a partir da inclinação da reta B C . Na prática aplica-se, na maioria
dos casos, uma relação de lavagem de
1,3vmin v 1,6vmin .
a partir dos quais o engenheiro determina a HTU, para um determinado fluxo de gás. Os
parâmetros-alvos y0 e yL, além de xL (que vem da coluna regeneradora), na maioria das vezes,
são determinadas pela fábrica. Portanto, deve-se calcular o valor de x0, usando a equação do
balanço total. Finalmente, temos que achar o certo comprimento L da coluna e a relação das
fases que participam na lavagem.
Para a relação das fases vale a regra:
v grande coluna curta
v pequeno coluna comprida.
Como sempre, a indústria tem que avaliar os custos totais do processo, que se compõe dos
custos de investimento para o aparelho e os custos operacionais - além do fator tempo. O
gráfico Fig. 77 na p. 170, ilustra essas considerações econômicas.
Na prática usam-se aparelhos onde o contato entre as fases, quer dizer, entre o gás impuro e o
solvente de lavagem, é mais intenso possível. Isso pode ser alcançado por três maneiras:
1. Gás e solvente, ambos formam fases contínuas e separadas que devem entrar em
contato. Certamente, este princípio estabelece a menor área de contato a das três
possibilidades.
2. O gás é dispergido dentro de um tanque de solvente. O solvente, neste caso, representa
a fase contínua.
3. O solvente é nebulizado e entra em contato com o corrente do gás. Neste caso, o gás
representa a fase contínua.
Uma escolha das torres de absorção mais comuns é dada na seguinte figura.
Os critérios para instalar um ou outro tipo de coluna depende de vários fatores:
do tempo de lavagem. Gerar bolhas finas de gás e gotículas do solvente requerem mais
tempo, em relação ao volume, do que os fluxos na coluna recheada)
da solubilidade do gás no solvente. Onde há alta solubilidade e rapidez da solução do
gás no líquido, oferece-se o processo da nebulização do líquido; por outro lado, com
má solubilidade do gás deve-se aumentar o volume do líquido, daí seria a coluna com
bolhas de gás a melhor escolha),
da volatilidade e viscosidade do solvente. A coluna de nebulização não se aplica em
casos de solventes altamente voláteis, porque a evaporação do mesmo impede o
processo de lavagem.
200
A. Isenmann Operações Unitárias
201
A. Isenmann Operações Unitárias
202
A. Isenmann Operações Unitárias
Para a adsorção em grande escala usa-se quase exclusivamente a "fisissorção", por ser um
processo que facilmente pode ser invertido. Materiais que entram em contato quimicamente
mais intenso com o adsorbato ("quimissorção"), por outro lado, são de regeneração mais
difícil.
203
A. Isenmann Operações Unitárias
b p
nads n .
1 b p
Difusão normal:
A difusão normal descreve o processo de transporte dentro de poros que são de uma ordem de
grandeza maiores do que o caminho livre da própria molécula em movimento. No entanto, em
comparação à difusão molecular livre, devem ser também considerados as partes adicionais da
difusão que se devem ao número de canais e o comprimento do labirinto dos canais dentro do
corpo sólido. Corrigimos, para esta situação, a difusão regular (1 a lei de Fick, ver cap. 4.2.1,
204
A. Isenmann Operações Unitárias
na p. 115) por um fator de porosidade, p, e um fator de labirinto, p. Daí o coeficiente da
difusão fica corrigido por:
p
D1, 2 ´ D1, 2 .
p
p é a parte da superfície que se deve à área dos bocais dos poros, em relação à área externa do
grão liso. Por exemplo, no níquel de Raney, por sua vez catalisador de hidrogenações técnicas
mais utilizado, acha-se um valor de p = 0,5; em muitos outros materiais que são usados
como suporte de catalisadores heterogêneos, tais como carvão ativado ou alumina, os valores
ficam na região de 0,55 < p < 0,72.
1
é o fator de labirinto (inglês: tortuosity factor) que leva em conta a complexidade dos
P
canais. Muitos canais são extremamente sinuosos e também ramificados. Como a influência
da estrutura dos poros sobre a velocidade da difusão molecular depende também de tamanho,
aspecto e mobilidade da partícula em movimento, uma estima confiável de p é praticamente
impossível. Deve então ser determinado por experimento, por exemplo, pelo método
dinâmico de Wicke-Kallenbach. Para a difusão de hidrogênio dentro de catalisadores feitos de
suporte poroso mais um metal nobre, acham-se valores do coeficiente de porosidade de 2,5 <
P < 7,5. Por outro lado, quando carvão ativado é suspendido em água o fator P pode
também tomar valores < 1.
Difusão de Knudsen:
Caso o diâmetro médio dos poros fica menor que o caminho livre das partículas em
movimento, aumentam drasticamente os impulsos transmitidos à parede do sólido, em vez de
transferir essa energia ao meio do fluido (= solvente ou outras moléculas reativas). Como já
mencioando na p. 15, o caminho livre de moléculas de gases fica na média em 100 a 1000
nm; este caminho, no entanto, é inversamente proporcional à pressão do gás e cai para 10 a
100 nm, quando aplicado numa pressão de 1 MPa. Portanto, a partir de uma pressão de 5 MPa
temos que contar com a difusão de Knudsen, em vez da difusão regular, caso a dimensão dos
poros é < 2 nm. No cálculo do fluxo de matéria gasosa por unidade de tempo, usa-se o
coeficiente efetivo da difusão de Knudsen, D1K, 2 na forma:
p dP 8RT
D1K, 2
3 P M
8 RT
u .
M
205
A. Isenmann Operações Unitárias
Difusão configurativa:
Com a situação de o diâmetro médio dos poros seja da mesma dimensão que as partículas em
movimento, o processo de transporte deve ser descrito pela difusão configurativa. Um
exemplo típico é a migração nos poros de zeólitos (cavidades nestes alumossilicatos, também
conhecidos como "peneiras moleculares": 4 a 8 Å). Pequenas mudanças na estrutura do
material sólido ou no tamanho da espécie em movimento podem deslocar o valor da difusão
configurativa por várias ordens de grandeza. Uma estimativa ab initio confiável deste
coeficiente de difusão é objeto de pesquisas atuais.
Para levar a etapa da adsorção a um grau elevado, é necessário trabalhar a temperaturas mais
baixas possíveis. O perigo de uma velocidade muito baixa de adsorção, acarretada pela baixa
temperatura, geralmente não é dado, desde que se trata de uma pura fisissorção do gás. Uma
206
A. Isenmann Operações Unitárias
vez o adsorvente está carregado, o sistema de refrigeração é mudado para aquecimento ou,
sendo uma alternativa, é conduzido vapor quente através da coluna de adsorção. Este é o
princípio de funcionamento, de qualquer maneira uma operação descontínua. Para estabelecer
um funcionamento contínuo são precisas duas (ou mais) colunas paralelas, das quais uma está
em fase de regeneração enquanto a outra está sendo carregada. Neste ponto o processo de
lavagem de gases com líquidos tem uma clara vantagem, por ser de caráter contínuo sem
grandes esforços estruturais (compare com o último parâgrafo).
Uma grandeza importante para o bom funcionamento de colunas de adsorção é o tempo de
saturação, S que pode ser calculado a partir da quantidade de gás carregado, nads, e o fluxo
molar deste gás através da coluna, n g :
nads
S .
n g
O valor de nads, por sua vez, é acessível através da quantidade do recheio poroso e a pressão
parcial do gás a ser adsorvido, usando a fórmula de Langmuir.
5.11.3 Secagem
A secagem de material sólido mostra semelhanças às colunas de adsorção - especialmente
qunado estão em fase de regeneração, conforme discutidas logo acima. A diferença é que na
adsorção de gases se aproveita dos gases, enquanto na secagem se aproveita do adsorvente
sólido. Todavia, as considerações fisico-químicas são as mesmas. Existem secadores
descontínuos e contínuos, enquanto para quantidades menores se oferecem mais os
equipamentos descontínuos.
a) Secagem descontínua
A carga é estendida e espalhada em cima de tabuleiros e submetida a um vento seco e morno.
Este tipo de secagem leva geralmente algumas horas até chegar ao resultado exigido.
Exemplo na Fig. 91: secador de câmara.
b) Secagem contínua
Ao se ter grande quantidade de material sólido a ser secado, é melhor usar secadores
automáticos ou contínuos. Estes aparelhos são mais caros, mas podem ser operados a custos
menores, além de ser mais rápidos do que os equipamentos descontínuos. Na Fig. 91 são
indicados os secadores de esteira e de tambor rotativo. Em ambos os casos o ar seco e morno
é conduzido em contracorrente à carga. No caso do secador a tambor, a carga úmida entra na
parte superior do tambor, enquanto o gás de secagem entra do lado de baixo. Caso o material
a ser secado aguente calor, podem ser usados diretamente os gases de escapamento da
combustão completa, em vez de ar. A construção destes secadores é semelhante ao forno da
indústria cimenteira.
207
A. Isenmann Operações Unitárias
208
A. Isenmann Operações Unitárias
O andamento da secagem depende principalmente da forma com que o solvente (na maioria
das vezes água) é ligado ao material particulado a ser secado. Podemos distinguir três fases
durante o processo de secagem:
1) Evaporação da água da superfície. Essa parte da água é volatilizada (= transformação
em vapor d´água sem ebulição) e arrastado pelo ar quente que entra diretamente em
contato. A temperatura do ar determina a velocidade desta etapa.
2) Transporte da água nas capilares até a superfície das partículas. Além da superfície a
água pode ser retida dentro dos poros e capilares do material mal cristalizado. Devido
às pequenas dimensões dos espaçamentos, esse transporte ocorre por difusão.
3) Dessorção da água: para arrancar a água retida na última camada da superfície do
objeto sólido, é necessário gastar energia de dessorção, conforme ilustrado no capítulo
anterior.
5.11.4 Extração
Seja aqui tratada a extração mais comum, usando duas fases líquidas, também conhecida
como extração de solvente. Trata-se da separação de um (ou mais) componente(s) a partir de
uma mistura líquida, usando um solvente que tem predileção de dissolver o composto que
pretendemos isolar. A extração, no laboratório frequentemente feito no funil de separação,
quando aplicado em escala maior é um processo bastante caro. Somente é usado em casos
onde a destilação ou retificação não são viáveis, devido à sensibilidade térmica dos
componentes ou por causa de uma forma desvantajosa da curva de equilíbrio do sistema
binário (ver, por exemplo, Fig. 81, na p. 174). Também se aplica onde deve ser separado, a
parir de uma mistura multicomponente, um grupo de compostos que tenham diferentes pontos
de ebulição, mas aproximadamente as mesmas polaridades, como é o caso na mistura BTX
(benzeno, tolueno, xilenos), a partir do óleo mineral.
210
A. Isenmann Operações Unitárias
n L
v ,
n R
n
B N L .
n R
B
A1 .
1 B
Bn 1
An B .
B n1 1
Ao utilizar a integral da NTU, o rendimento da coluna de extração contínua pode ser escrito
como:
e( B 1) NTU 1
ANTU B .
B e( B 1) NTU 1
Em vez do cálculo, o rendimento da extração pode ser elucidado também por meio do gráfico,
representando uma coluna com n pratos teóricos (Fig. 92). Este gráfico contém a relação de
n
Nernst em forma da reta de equilíbrio e a relação de lavagem, v L , em forma da reta de
n R
balanço.
211
A. Isenmann Operações Unitárias
(a) (b)
Fig. 94. (a) Determinação do número de estágios teóricos de separação na extração
em contracorrente, alta diluição; (b) Diagrama de equilíbrio, aplicando a relação de
lavagem mínima, vmin.
(Observação: por coincidência têm-se os mesmos símbolos, n, para a variável que indica o
número de mols da substância extraída, e n como índice e expoente onde representa o número
de pratos.)
A inclinação da reta de balanço se dá da relação de lavagem, v. O número de pratos teóricos
se revela do número de degraus, da escada construída entre as duas retas (Fig. 92 a).
Para uma dada tarefa de extração v não deve cair debaixo de um valor vmin. Conseguimos esse
valor limite, da inclinação da reta de balanço que corta a reta de equilíbrio no ponto (x0, y0).
Com essa relação de lavagem mínima seriam necessários inúmeros pratos, para alcançar o
grau de extração exigido pela fábrica. Isso implica também que o tempo necessário para esta
extração será infinito (Fig. 92 b). Para se tornar economicamente viável, v deve ser maior que
vmin . Como pratos adicionais de extração custam caros, na prática tenta-se operar com colunas
de n 10 pratos teóricos.
n L,0 n L,0
n L,n .
1 n
VL
n
1
VR
Essa relação tem grande importância na prática do laboratório, também. Um exemplo simples
deve ilustrar os efeitos que têm um aumento do volume da fase extratora por um lado e um
aumento das etapas extrativas, por outro lado.
212
A. Isenmann Operações Unitárias
x
0,45
2 9 x = 0,0474 mol.L-1.
0,1 x 1
Na fase inferior têm-se agora 0,0526 mol.L-1 e na fase superior 0,0474 mol.L-1.
Obviamente, é mais favorável fazer duas extrações consecutivas com 1 L da fase superior, em
vez de duplicar o volume em etapa única. Sendo assim, na primeira extração se consegue
remover 0,9 mol de E da fase inferior. Já na segunda etapa de extração é transferido 0,09 mol
de E para a fase superior. Embora usarmos o mesmo volume de solvente extrator, a
concentração nL se abaixou a 0,01 mol.L-1, enquanto no primeiro caso ficaram 0,0526 mol.L-
1
.
Sendo assim, é vantajoso executar várias etapas com volumes pequenos, do que poucas etapas
com volumes grandes.
213
A. Isenmann Operações Unitárias
5.11.5 Cristalização
Com o processo térmico da cristalização se conseguem purezas excelentes. Isto se deve ao
fato que, para a maioria dos sistemas multicomponentes existe incompatibilidade completa
em fase sólida. Portanto, na maioria das tarefas de separação uma etapa de cristalização será
necessária, para alcançar a pureza exigida em componente cristalina. A cristalização prática
torna-se complicada onde o tempo prolongado de cristalização leva à implementação de
impurezas nos cristais; também é difícil em casos onde um filme de solvente fica grudado
firmemente na superfície dos cristais.
214
A. Isenmann Operações Unitárias
Ponto de partida para uma cristalização é uma solução supersaturada. Esse estado podemos
alcançar ao evaporar solvente sobressalente ou, como as condições da maioria das soluções
melhoram junto à temperatura, por um resfriamento da solução saturada. Em vez de
estabelecer um alto grau de supersaturação, mostrou-se mais vantajoso para o processo de
cristalização de operar:
Com supersaturações apenas moderadas,
Sob agitação lenta e contínua,
Com adição de cristalitos de nucleação.
Sob essas promessas se conseguem cristais de tamanho certo (não muito grandes nem
pequenos) e uniformes.
O campo mais amplo da cristalização é a produção de sais, a partir dos seus sóis (impuros).
Quase todas as substâncias inorgânicas e muitos produtos orgânicos, formam cristais que
podem ser isolados com pureza elevada a partir das suas soluções.
Os aparelhos de cristalização usados na indústria são mais diversos. Muitos destes têm
agitação, resfriamento e zonas de sedimentação (n) onde os cristais se depositam e
desenvolvem até o tamanho desejado. Existem modelos contínuos e descontínuos. Outros
cristalizadores funcionam sob vácuo e estabelecem a evaporação do solvente a temperaturas
somente pouco elevadas.
215
A. Isenmann Operações Unitárias
kg
n i F c c sat .
kg
27
Tammann, Z. Phys. Chem. B 25 (1898) 441. Descrição da teoria da cristalização, ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Nucleation.
216
A. Isenmann Operações Unitárias
Pelas dificuldades teóricas mencionadas, cada etapa de cristalização industrial deve ser
desenvolvida através de um scale-up cauteloso a parir da escala de laboratório.
Para serem utilizadas nestas técnicas, as membranas finíssimas são colocados em cima de
suportes porosos. Esses arranjos são empilhados formando "módulos de membrana", onde a
meta é alcançar máxima superfície em relação ao volume. Somente assim podemos chegar em
fluxos tecnicamente viáveis. Alguns destes módulos são representados na Fig. 95.
218
A. Isenmann Operações Unitárias
O cálculo da separação por membranas que funcionam conforme esboçado na Fig. 96, será
feito para uma mistura binária onde os componentes tenham velocidades de permeação
diferentes. Usaremos os símbolos x, y e xF, para denominar as frações molares do componente
mais móvel (= componente 1).
Para sua separação o fluxo de admissão (Feed; n F , xF) é dividido em uma fração de
permeação ( n P , y) e uma fração restante que não passa pela membrana ( n R , x). O balanço
total sobre um estágio de membrana é
n P n R xF n P y n R x .
n R
Introduzimos a relação de partição, com v . Daí, esse balanço fornece, em toda analogia
n P
aos demais processos de separação, a reta de balanço na forma:
y v x 1 v x F .
O balanço dos fluxos que passam pela membrana, n1, P e n 2, P , resolvido para o componente de
permeação mais fácil:
n1, P y n1, P n 2, P .
219
A. Isenmann Operações Unitárias
n1, P y
.
n 2, P 1 y
pi
n i , P F Li Di , i = 1, 2.
s
n1, P L D ( p p) x p y
1 1 .
n 2, P L2 D2 ( p p) (1 x) p (1 y )
L1 D1
O fator batizamos de "permeasseletividade ". Inserimos essa relação dos fluxos, na
L2 D 2
equação de balanço que achamos acima (da vista do componente de permeação mais fácil),
obtemos uma relação entre x e y que vale para tais processos de separação dinâmicos:
y (1 x)( p p) (1 y) p
.
1 y x ( p p) y p
220
A. Isenmann Operações Unitárias
Um exemplo cada vez mais atual para modernos filtros de membrana é a dessalinização de
água marinha que é considerada a melhor opção para abastecer a Califórnia e outras regiões
litorâneas secas, a longo prazo, com água potável. O princípio de funcionamento da
membrana é a osmose reversa (= migração osmótica dos sais onde os sentido natural é
invertido por aplicação de alta pressão) e representa no momento a técnica mais econômica,
para retiradas de 10 a 100 gramas de NaCl a cada litro de água.
221
A. Isenmann Operações Unitárias
28
Além de máquinas, também compreende os mecanismos de controlar se seres vivos, grupos sociais e até a
economia. Segundo o matemático N. Wiener (1968), do ponto de vista da transmissão da informação, a distinção
entre máquinas e seres vivos, humanos ou não, é mera questão de semântica. O estudo destes autômatos trouxe
inferências para diversos campos da ciência.
222
A. Isenmann Operações Unitárias
223
A. Isenmann Operações Unitárias
Fig. 102. Válvula borboleta com regulagem por servo-motor. Note que, além da
regulagem remota esta válvula permite também uma regulagem manual de
emergência que desliga o sistema de controle automatizado.
Medição da temperatura
Não só no laboratório, mas também nas instalações em escala grande a temperatura é um dos
mais importantes parâmetros, quer em reatores, quer em unidades de separação térmica
(destilação). Para fins industriais se adequam termômetros de resistência de platina, "Pt 100",
para medir temperaturas até 500 °C. A sigla indica que este dispositivo tem uma resistência de
100 a 0 °C. Sua sensibilidade térmica é bem conhecida e documentada na curva de
aferição. Para temperaturas mais altas usam-se termoelementos normeados que fornecem
pequenas tensões elétricas em função da temperatura.
Medição da pressão
A maioria dos medidores da pressão aproveita do deslocamento de uma membrana flexível,
contra uma pressão de referência, enquanto o sinal é recebido, tratado e conduzido por meio
eletrônico. A pressão de referência geralmente é a pressão ambiente, mas também pode ser a
atmosfera dentro de um pequeno ambiente hermeticamente fechado. Esse último sistema se
aplica quando se pretende medir a própria pressão ambiente ou um vácuo. Caso for medir
uma pequena diferença em pressão, por exemplo, em medições do nível de um fluído dentro
de um reservatório ou também em medições do fluxo por blendas, as pressões de ambos os
lados são conduzidas a uma câmera onde no meio fica uma membrana fina e bem elâstica.
Através de eletrônica moderna podem-se medir até pequenas deformações da membrana.
Sendo assim, existem hoje para todas as regiões de pressão, medidores de alta sensibilidade e
exatidão, feitos de diferentes materiais resistentes à corrosão (cerâmicas).
de raios gama por matéria. Essa técnica permite medição da altura do nível dentro de um
reservatório do lado de fora, sem o aparelho entrar em contato físico com o conteúdo. Os raios
gama são emitidos por um preparado radioativo e penetram a parede do tanque. No outro lado
do tanque, igualmente do lado de fora, se encontra o contador de cintilações.
Medição do fluxo
Assegurar os parâmetros operacionais na produção contínua requer em primeira linha a
medição do fluxo da matéria. A medição clássica do fluxo na indústria química é por meio de
estreitamento na tubulação (blendas, tubo de Venturi, etc.), como foi detalhadamente descrito
no cap. 2.5.2. Esses métodos, no entanto, requerem do conhecimento da natureza do fluido. A
exatidão destas medições do fluxo é relativamente modesta.
Correntezas de quantidades pequenas a médias podem também ser medidas, em alanlogia ao
laboratório, por rotâmetros (ver p. 41). Dentro de um tubo cônico (pode ser de vidro) uma
bóia é sustenta pelo fluido que entra de baixo e a eleva a uma altura que depende da
velocidade do meio. A leitura da posição da bóia é por dispositivos ópticos ou elétricos.
A metodologia da medição é sujeito de desenvolvimento contínuo, como deve mostrar o
seguinte exemplo. A tecnologia de microprocessores permite a medição do fluxo de massa,
através da força Coriolis. Nesta técnica o tubo tem o papel de um diapasão. A eletrônica
proporciona uma vibração de alta frequência, daí a resposta do tubo depende sensivelmente da
densidade do meio que passa por ele. Caso o meio não só entra em ressonância, mas além
disso está em movimento, a força inercial deste meio (= força de Coriolis) acarreta um
deslocamento das fases entre o início e o fim do diapasão, que pode ser usado para medir a
vazão com uma exatidão inédita (erros típicos: 0,1%).
29
Atenção: nem sempre temos aditividade das densidades; informe-se sobre o volume específico parcial, em
livro da fisico-química.
226
A. Isenmann Operações Unitárias
227
A. Isenmann Operações Unitárias
228
A. Isenmann Operações Unitárias
secções discretas. Somente assim os perigos e perdas em caso de emergência podem ser
mantidos pequenos (por exemplo, vazamento). Também máquinas que são sujeitas a defeitos
ou desgaste (bombas, válvulas, joelhos, etc.) podem ser facilmente parados ou trocados, sem a
necessidade de parar a planta como toda. Dependendo das exigências num processo contínuo,
é de vantagem instalar uma segunda tubulação paralela (projeto redundante) que sempre está
pronta a ser usada. Através de admissões alternativas podem-se efetuar até operações unitárias
que por si são de caráter descontínuo (por exemplo, a filtragem, ver p. 97), de maneira quase
contínua.
Em casos exigentes o uso da tubulação alternativa acontece automaticamente; em casos
menos exigentes a tubulação dispõe pelo menos de válvulas antes e depois do dispositivo
sujeito à manutenção, além de um entorno de emergência.
extremo pode-se provocar até uma oscilação não amortecida em volta do valor nominal. Uma
justagem insensível, por outro lado, deixa o sitema MCR reagir muito lento.
Nas partes I e D do regulador são de importância, além das suas alturas, uma constante do
tempo que serve para definir o período de indução da cadeia de regulagem. Por exemplo,
quando após o aumento da energia de um aquecedor a temperatura medida reage com atraso.
Todos os parâmetros de regulagem podem ser simulados através de ensaios de mudanças
periódicas (= oscilação lenta), os reguladores mais modernos fazem essa ajustagem até
sozinhos.
Hoje os computadores potentes da sala de controle podem fazer o papel de monitorar e regular
o processo químico. Todavia, no que diz respeito à segurança e pleno funcionamento, faz
sentido usar, além deste sistema integrado, reguladores autônomos. Estes devem ser
acionados através dos computadores, mas também continuam funcionando, independente dos
demais reguladores, em situações de acidente, onde o sistema integrado falha.
Concluíndo pode-se afirmar que a tecnologia MCR é uma ciência por si. Empresas maiores
têm um time de especialistas, só para este assunto. Mesmo assim, o químico em posição
responsável deve conhecer os princípios do sistema MCR e a rede que interliga os
dispositivos de regulagem, para que possa discutir de maneira competente com os
especialistas sobre mudanças neste sistema importante - especialmente quando essa mudança
influencia diretamente uma mistura reacional (perfil térmico dentro de uma batelada, tempo
de residência no reator tubular,...).
231
A. Isenmann Operações Unitárias
232
A. Isenmann Operações Unitárias
Nesta figura aplicam-se símbolos normados para abstrair os equipamentos. Segue uma lista
das mais usadas representações, conforme ISO 10628.
233
A. Isenmann Operações Unitárias
Recipientes/reatores/colunas:
Aparelhos mecânicos:
234
A. Isenmann Operações Unitárias
Outras:
O diagrama P&ID é então bastante complexo e detalhado. A descrição de uma planta química
ocupa geralmente um armário inteiro. Em consequência perde-se a transparência e a evidência
nestes desenhos. Hoje existem programas de CAD (Computer Aided Design), para a
elaboração dos diagramas P&ID, enquanto a elaboração de maquetes é bastante ultrapassada.
A elaboração no computador tem como vantagens adicionais a relação certa dos tamanhos dos
aparelhos e tubulações, um passeio virtual revela insuficiências de espaço; além disso,
existem programas cada vez mais sensíveis que alertam aos defeitos no desenho.
235
A. Isenmann Operações Unitárias
Além das informações sobre os aparelhos e suas conexões o diagrama P&ID também contém
as informações completas do sistema de medição, controle e regulagem (MCR). Esses sistema
é fundamental para a operação segura e confiável da planta. A fábrica deve ter, portanto, um
time de especialistas com conhecimentos detalhados sobre seu funcionamento e, quase
sempre, seus efeitos sobre o conjunto do sistema. A Tab. 21 contém os códigos usados para
especificar a grandeza a ser medida e a forma do processamento (na maioria das vezes
eletrônico). Essas informações são representadas no diagrama P&ID, dentro de círculos ou
ovais, através de 2 a 4 letras seguidas por um número de identificação que deve ser único na
planta. Linhas finas mostram o lugar onde a grandeza for medida. Opcional é a indicação da
grandeza medida, em forma de uma linha tracejada. Ela liga o sistema de controle com o
aparelho usado para a regulagem.
Como veremos na Fig. 104, a diferença mais evedente aos fluxogramas simples é a inclusão
de:
Válvulas,
Sistemas de segurança (alternativas na hora da falha de uma peça) e
Os instrumentos de medição, dosagem e regulagem que são caracterizados, além de
um número de identificação, por três letras, conforme as normas DIN 19227 e ISO
3511.
236
A. Isenmann Operações Unitárias
concentração)
R Radiation Radiação
Velocidade, frequência,
S Speed, Frequency rotações
T Temperature Temperatura
U Alarm Output Sinal de alerta
V Vibration, Mechanical Analysis Vibração
W Weight, Force Peso, também força
Uma letra suplementar (Tab. 22) indica o acoplamento de duas grandezas medidas. Por
exemplo, pode-se registrar um sinal ao longo do tempo e somar (= integrar) os valores
registrados. Assim se consegue uma medição do fluxo, sem a necessidade de estreitar a
tubulação.
Tab. 22. Significado das letras mais usados, em aparelhos de medição, controle e
regulagem, continuação.
Segunda letra Significado (ingês) Significado (português)
D Difference Diferença; valor diferencial
F Fraction Relação
Q Quantity Valor integral; soma (p. ex.
volume percorrido)
Terceira letra Significado (ingês) Significado (português)
I Indication, display Mostrado
R Recording Armazenado
C Control Controlado
S Switch Ligado
A Alarm Sinal de alerta
Z Emergency Medida de emergência
+ (ou H) High Limite superior
- (ou L) Low Limite inferior
237
A. Isenmann Operações Unitárias
Tab. 23. Especificações dos materiais usados nos aparelhos da folha 2, ver Fig. 104.
Aparelho Função Dados técnicos Material Pressão max.
K211 Coluna de pratos d = 1500 mm 1.4571 3 bar
de sino
l = 13400 mm
W213 Vaporizador 20 m² 1.4571 32 bar (vapor)
circular natural
W214 Resfriador 5 m² 1.4571 3 bar
produto fundo
W215 Condensador 30 m² 1.4571 3 bar
destilado
P214 Bomba centrífuga 5 m²/h G-X 3 Cr Ni Mo 5 bar
fundo Cu 24 6
A/B p = 2 bar
P215 Bomba centrífuga 15 m²/h G-X 3 Cr Ni Mo 8 bar
cabeça Cu 24 6
A/B p = 4 bar
238
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8 Anexos
240
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Fluidos:
Nome Aplicação
Número de Arquimedes Influência da densidade no movimento dos fluidos
Número de Deborah Reologia dos fluidos viscoelásticos (polímeros acima do Tg)
Número de Eötvös determinação da forma da gota
Número de Froude Relação entre as forças gravitacional e de inércia
Número de Knudsen Aproximação do contínuo em fluidos
Número de Laplace Convecção natural em fluidos miscíveis
Número de Morton Determinação da forma da gota
242
A. Isenmann Operações Unitárias
Calor:
Nome Aplicação
Número de Biot Condutividade térmica na superfície vs. volumétrica de
sólidos
Número de Brinkmann Transferência de calor por condução entre uma superficie e
um líquido viscoso (tipicamento usado no processamento de
polímeros fundidos).
Número de Eckert Transferência de calor por convecção
Número de Foppl–von Flambagem de cascas delgadas
Karman
Número de Fourier Transferência de calor
Número de Graetz Fluxo de calor
Número de Grashof Convecção natural
Número de Hagen Convecção forçada
Número de Karlovitz Combustão turbulenta
Número de Lewis Difusão molecular vs. difusão térmica
Número de Nusselt Transferência de calor por convecção forçada
Número de Peel Adesão de microestruturas sobre substratos (adesivos)
Número de Stanton Transferência de calor por convecção forçada
Número de Stefan Transferência de calor durante mudanças de fases
243
A. Isenmann Operações Unitárias
Matemática/Física/outros:
Nome Aplicação
Número de Courant- Resolução numérica de equações diferenciais
Friedrich-Levy
Número de Ekman Geofísica (forças de atrito por viscosidade)
Número de Erlang Unidade de intensidade de tráfego, corresponde ao quociente
entre o Tempo de utilização e o tempo de observação em
circuitos de telefonia. (telecomunicações e telefonia)
Número de Mach Dinâmica dos gases (velocidade do gás vs. velocidade do
som)
Número de Reynolds Magneto-hidrodinâmica
magnético
Número de Rossby Forças inerciais em geofísica
244
A. Isenmann Operações Unitárias
245
A. Isenmann Operações Unitárias
8.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde
se aplicam)
Alguns símbolos são usados em diferentes contextos. Também na literatura padrão não há
unanimidade na dedicação destes símbolos.
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A. Isenmann Operações Unitárias
Hp m Altura pressão
Hr m Altura fricção
evH kJ/mol Entalpia molar de evaporação
RH kJ/mol Entalpia molar de reação
He --- Constante de Henry
k (variável) Constante de velocidade
kgas, kliq m/s Coeficiente de transferência mássica
W
kw Coeficiente de transferência térmica
m2 K
kg m
K Força
s2
Km --- Carga
l m Comprimento característico
L m Comprimento; altura de leitos fixos e fluidizados.
m kg Massa
m kg/s Fluxo de massa (= velocidade de massa)
M g/mol Massa molar
n mol Quantidade molar
n 1/s Número de rotações
n --- Asperidade relativa
n --- Expoente politrópico
nteor --- Número de pratos teóricos
n mol/s Fluxo molar (= fluxo de massa)
n i mol/s Velocidade de transferência de massa
NA 1/mol Constante de Avogadro; NA = 6,023.1023 mol-1)
NA --- Número adimensional
N --- Constante de Nernst (= constante de distribuição)
Nel kW Potência elétrica recebida
Nutil kW Potência útil (fora do calor)
Nu --- Número de Nusselt
kg
p Pressão; pressão de vapor.
m s2
kg
pi Pressão parcial do componente i.
m s2
Pr --- Número de Prandtl
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J
q Fluxo de calor
s m2
q W/m² Carga da área de aquecimento
Q kJ Quantidade de calor
Q kJ/s Fluxo de calor
r m Raio; raio interno.
R m Raio; raio externo.
J J
R Constante dos gases; R = 8,314 .
mol K mol K
kg
R Resistência da torta de filtragem
m2 s
Re --- Número de Reynolds
S m² Superfície
S --- Relação de retirada
Sg m²/kg Superfície específica
Sc --- Número de Schmidt
Sh --- Número de Sherwood
t s Tempo
T K Temperatura
u m/s Velocidade do fluxo; velocidade linear
u m/s Velocidade média do fluxo
u0 m/s Velocidade no tubo vazio
U m Circunferência
v --- Relação de refluxo (= taxa de refluxo)
v --- Relação de lavagem
v´ --- Taxa de reevaporação
V m³ Volume
V m³/s Fluxo de volume = vazão = velocidade de volume
w m/s Velocidade; velocidade do fluxo
w m/s Velocidade média das partículas
W kJ Trabalho útil
x --- Fração molar
y --- Fração molar
z m Coordenada do local (em direção ao movimento)
Z --- Número de aceleração rotacional relativa; relação de aceleração
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A. Isenmann Operações Unitárias
kg
Tensão tangencial (na deformação linear por empuxo)
m s2
S s Tempo de saturação (superfície do adsorvente)
--- Fator de forma
1/s Velocidade angular.
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