Mathematics">
01 Matematica PDF
01 Matematica PDF
01 Matematica PDF
Escola Naval
. 1
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Áreas e volumes de sólidos usuais e sólidos de revolução .............................................................. 271
Triedros e ângulos poliédricos; Poliedros convexos; Teorema de Euler; Poliedros regulares .......... 284
O Princípio de Cavalieri e sua aplicação ao cálculo dos volumes de sólidos simples; Prismas;
Pirâmides; Cilindros e cones; Troncos; Esfera e suas partes ............................................................... 290
Seções cônicas: estudo geométrico da circunferência, elipse, hipérbole e parábola. ....................... 290
TRIGONOMETRIA: Medidas de arcos e de ângulos em graus e radianos; Arcos côngruos ............ 302
Funções trigonométricas e seus gráficos; Cálculo das linhas dos arcos usuais. Funções trigonométricas
inversas. ............................................................................................................................................... 304
Relações entre as linhas trigonométricas de um ângulo; Cálculo das expressões sen (a ± b), cos (a ±
b), tg (a ± b), cotg (a ± b) , sen a/2 e tg a/2; Expressões de sen a, cos a, e tg a em função da tg a/2;
Transformações de somas de linhas trigonométricas em produtos e vice-versa; e identidades
trigonométricas ..................................................................................................................................... 311
Equações e inequações trigonométricas; Resolução entre os elementos de um triângulo
qualquer. .............................................................................................................................................. 329
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - Vetores no IR2 e IR3 adição de vetores,
multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial; produto misto; Módulo de um vetor;
Desigualdade triangular; Geometria analítica no IR2 e IR3, ponto, reta, plano, ângulos e distâncias;
Cônicas; Equações reduzidas das curvas cônicas. Quádricas. ............................................................ 344
. 2
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
ANÁLISE E ÁLGEBRA - Noções sobre conjuntos; Pertinência; Partes de um
conjunto; Operações: união, interseção, diferença, complemento; Propriedade
das operações
Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br
CONJUNTOS
Conjunto é uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma
característica, nos dá ideia de coleção.
Noções Primitivas
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições:
- Conjunto;
- Elemento;
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de
conjuntos.
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser
uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de
algum outro conjunto.
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade.
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Exemplos:
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10.
Exemplos:
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10}
. 1
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
- Conjunto das vogais
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e
escrevemos A ≠ B.
Exemplos:
1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B.
2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade
dos conjuntos.
Tipos de Conjuntos
- Conjunto Universo
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando.
Exemplo:
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos.
- Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 0 ou, simplesmente { }.
Exemplo:
A = {x| x é natural e menor que 0}
- Conjunto Unitário
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento.
Exemplos:
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3}
- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6}
. 2
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Relação de Pertinência
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou não pertence). Ele relaciona elemento
com conjunto.
Exemplo:
Seja o conjunto B={1, 3, 5, 7}
* 1∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B
* 2 B, 6 B , 9 B
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos
que A é subconjunto de B.
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas
caraterísticas de um conjunto maior.
Exemplos:
- B = {2, 4} ⊂A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 ∈ {2, 3, 4, 5, 6} e 4 ∈ {2, 3, 4, 5 ,6}
Relação de inclusão
Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto
é subconjunto ou não de outro conjunto.
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos:
. 3
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Dizemos que B ⊂ A ou que A ⊃ B
- União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem
a A ou a B. Representa-se por A U B.
Simbolicamente: A U B = {x | x∈A ou x∈B}
Exemplos:
- {2, 3} U {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}
- {2, 3, 4} U {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}
- {2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
- {a, b} U = {a, b}
- Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem,
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos:
- {2, 3, 4} ∩ {3, 5} = {3}
- {1, 2, 3} ∩{2, 3, 4} = {2, 3}
- {2, 3} ∩{1, 2, 3, 5} = {2, 3}
- {2, 4} ∩{3, 5, 7} =
. 4
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas
vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim
a relação dada será verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma
eficiência.
- Diferença
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A
e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B.
Simbolicamente: A – B = {x | x ∈ A e x B}
Exemplos:
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} A – B = {1, 3} e B – A =
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} A – B = {1} e B – A = {4}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5}
Note que A – B ≠ B - A
- Complementar
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
. 5
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2}
c) C = C = S
Exemplos:
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do
partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam
a pesquisa?
Resolução pela Fórmula
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
» n(A U B) = 92 + 80 – 35
» n(A U B) = 137
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo?
(A) 16 motoristas
(B) 32 motoristas
(C) 48 motoristas
(D) 36 motoristas
Resolução:
. 6
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas?
(A) 20%
(B) 25%
(C) 27%
(D) 33%
(E) 35%
Resolução:
70 – 50 = 20.
20% utilizam as duas empresas.
Resposta: A.
Referências
GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções
Questões
03. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar
documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para
atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes
de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de
classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos.
Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles
somam um total de
(A) 58.
(B) 65.
(C) 76.
(D) 53.
(E) 95.
. 7
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
04. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC) O diagrama indica a distribuição
de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse
país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da
delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo
tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país
ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro.
06. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Considere dois conjuntos
A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que
apresenta o conjunto B.
(A) {1;2;3}
(B) {0;3}
(C) {0;1;2;3;5}
(D) {3;5}
(E) {0;3;5}
07. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa biblioteca são lidos apenas
dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que todo
frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de
frequentadores que leem ambos, é representado:
(A) 26%
(B) 40%
(C) 34%
(D) 78%
(E) 38%
08. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC) Uma pesquisa, com 200
pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou -se
que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam
as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total
de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente
que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a
(A) 50.
(B) 26.
(C) 56.
(D) 10.
(E) 18.
. 8
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
09. (INÊS – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa recepção, foram servidos
os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 7
comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados?
(A) 0
(B) 5
(C) 1
(D) 3
(E) 2
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma
pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular,
constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas
operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B.
Quantas pessoas foram consultadas?
(A) 420
(B) 650
(C) 500
(D) 720
(E) 800
Respostas
01. Resposta: C.
De acordo com os dados temos:
7 vereadores se inscreveram nas 3.
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer
nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três)
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico.
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram.
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores.
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18
02. Resposta: D.
26 + 7 + 38 + x = 100
x = 100 - 71
x = 29%
03. Resposta: B.
Técnicos arquivam e classificam: 15
. 9
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31
Classificam e atendem: 4
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 -
4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público.
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos.
04. Resposta: D.
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas.
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três
medalhas multiplica-se por 3.
Intersecções:
6 ∙ 2 = 12
1∙2= 2
4∙2= 8
3∙3= 9
Somando as outras:
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46
05. Resposta: B.
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}
10 elementos.
06. Resposta: E.
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B.
A – B são os elementos que tem em A e não em B.
Então de A B, tiramos que B = {0; 3; 5}.
07. Resposta: B.
80 – x + x + 60 – x = 100
- x = 100 - 140
x = 40%
08. Resposta: E.
. 10
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200
92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200
x + 462 – 280 = 200 x + 182 = 200 x = 200-182 x = 18
09. Resposta: C.
2 + 3 + 4 + x = 10
x = 10 - 9
x=1
10. Resposta: C.
Caro aluno, como no edital está escrito os principais conjuntos numéricos, ele não determina
quem será, portanto devemos estudar os seguintes conjuntos:
Números Naturais;
Números Inteiros;
Números Racionais;
. 11
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Números Reais; (neste tópico ele abordará, os módulos, propriedades, intervalos, conjuntos
com máximo e mínimo)
Números complexos (porém este terá um tópico específico abaixo)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as
mesmas propriedades algébricas que estes números.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos
números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Subconjuntos notáveis em N:
4 - Números primos
P={2,3,5,7,11,13...}
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números
consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 7 e 8 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
. 12
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 7, 8 e 9 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número
dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0,
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
. 13
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Relações essenciais numa divisão de números naturais:
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto!
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Para todo a, b e c ∈ 𝑁
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c)
2) Comutativa da adição: a + b = b + a
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural,
continua como resultado um número natural.
Referências
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções
Questões
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina
e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e
os pagamentos na seguinte tabela:
. 14
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI) José, funcionário
público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00
de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José?
(A) R$ 1800,00
(B) R$ 1765,00
(C) R$ 1675,00
(D) R$ 1665,00
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será:
(A) 2
(B) 5
(C) 25
(D) 50
(E) 100
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é:
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
. 15
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa,
quantos bombons ao todo Joana possui?
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Gabarito
01. B/ 02. B/ 03. E/ 04. B/ 05. A/ 06. E/ 07. D/ 08. E/ 09. A/ 10. D
Comentários
01. Alternativa: B.
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127
120 – 127 = - 7
Ele tem um débito de R$ 7,00.
02. Alternativa: B.
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765
O salário líquido de José é R$ 1.765,00.
03. Alternativa: E.
D= dividendo
d= divisor
Q = quociente = 10
R= resto = 0 (divisão exata)
Equacionando:
D = d.Q + R
D = d.10 + 0 D = 10d
Pela nova divisão temos:
𝑑 𝑑
5𝐷 = . 𝑄 → 5. (10𝑑) = . 𝑄 , isolando Q temos:
2 2
. 16
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
50𝑑 2
𝑄= → 𝑄 = 50𝑑. → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100
𝑑 𝑑
2
04. Alternativa: B.
2100
12
= 175
05. Alternativa: A.
345 – 67 = 278
Depois ganhou 90
278 + 90 = 368
06. Alternativa: E.
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
07. Alternativa: D.
15000
= 3000
5
Cada região terá 3000 voluntários.
08. Alternativa: E.
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28.
09. Alternativa: A.
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11.
(11 + 1)2 = 24
10. Alternativa: D.
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram
na conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0,
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela
letra Z (Zahlen = número em alemão).
. 17
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...};
Z* = Z – {0}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero,
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de
zero é o próprio zero.
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo
nunca pode ser dispensado.
. 18
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Considere as seguintes situações:
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a
variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3).
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto
do segundo.
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto.
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado
não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência
do elemento neutro.
- Não existe divisão por zero.
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer
número inteiro por zero é igual a zero.
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
. 19
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo.
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo.
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Propriedades da Potenciação:
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números
inteiros.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas
aparecimento de:
9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3
. 20
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte
em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos
números não negativos.
Exemplos:
3
(a) 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 8 = –2, pois (–2)³ = -8.
3
3
(c) 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 27 = –3, pois (–3)³ = -27.
3
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Questões
01. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados
e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades
educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas”
e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos
atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a
maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja.
Verificou o preço de alguns produtos:
TV: R$ 562,00
DVD: R$ 399,00
. 21
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Micro-ondas: R$ 429,00
Geladeira: R$ 1.213,00
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em
cada cidade.
. 22
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite,
em ºC será de:
(A) 10
(B) 35
(C) 45
(D) 50
(E) 55
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele
levará para adquirir a televisão será:
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 15
09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura.
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura
de 3cm, o número de livros na pilha é:
(A) 10
(B) 15
(C) 18
(D) 20
(E) 22
Gabarito
01. A/ 02. D/ 03. D/ 04. B/ 05. D/ 06. D/ 07. E/ 08. D/ 09. D/ 10. E
Comentários
01. Alternativa: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
02. Alternativa: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do
orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
03. Alternativa: D.
Maior inteiro menor que 8 é o 7
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7.
. 23
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Portanto: 7(- 7) = - 49
04. Alternativa: C.
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos
05. Alternativa: B.
Moto: 2 rodas
Carro: 4
12.2=24
124-24=100
100/4=25 carros
06. Alternativa: D.
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190
07. Alternativa: E.
45 – (- 10) = 55
08. Alternativa: D.
420 : 35 = 12 meses
09. Alternativa: D.
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos:
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm
36 : 3 = 12 livros de 3 cm
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo.
10. Alternativa: E.
8 + 13 = 21
21– 15 = 6
25 – 6 = 19
m
Um número racional é o que pode ser escrito na forma , onde m e n são números inteiros, sendo
n
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum
encontrarmos na literatura a notação:
m
Q = { : m e n em Z, n diferente de zero}
n
. 24
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma
característica especial: existe um período.
Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ...
. 25
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento
através de alguns exemplos:
Exemplos:
3
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração .
9
2) Seja a dízima 5, 1717....
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a
parte inteira, logo ele vem na frente:
17 512
5 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶
99 99
512
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração .
99
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o
dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima.
232 1222
1 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶
990 990
611
Simplificando por 2, obtemos x = , a fração geratriz da dízima 1, 23434...
495
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa
zero.
. 26
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
3 3
. Indica-se =
3 3
1) Módulo de – é
2 2 2 2
3 3 3 3
2) Módulo de + é . Indica-se =
2 2 2 2
3 3
Números Opostos: Dizemos que – e são números racionais opostos ou simétricos e cada um
2 2
3 3
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – e ao ponto zero da reta são iguais.
2 2
𝒂 −𝒏 𝒃 𝒏
( ) ,𝒂 ≠ 𝟎 = ( ) ,𝒃 ≠ 𝟎
𝒃 𝒂
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais.
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em
toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o
produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
. 27
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q,
isto é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o
próprio q, isto é: q × 1 = q
a
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = em Q, q diferente de zero, existe :
b
Exemplos:
Propriedades da Potenciação:
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
. 28
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente
anterior.
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente,
conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
2) 0,216 Representa o produto 0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6) 3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se
3
0,216 = 0,6.
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo.
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
100 10 10
O número não tem raiz quadrada em Q, pois tanto como , quando elevados ao
9 3 3
100
quadrado, dão .
9
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um
quadrado perfeito.
. 29
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2
O número não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado
3
2
dê .
3
Referências
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções
http://mat.ufrgs.br
Questões
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em
cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais
ela recebeu de troco?
(A) R$ 40,00
(B) R$ 42,00
(C) R$ 44,00
(D) R$ 46,00
(E) R$ 48,00
. 30
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência
14
(𝐴) − 4; −1; √16; √25;
3
14
(𝐵) − 1; −4; √16; ; √25
3
14
(𝐶) − 1; −4; ; √16; ; √25
3
14
(𝐷) − 4; −1; √16; ; √25
3
14
(𝐸 ) − 4; −1; ; √16; √25
3
07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x
ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como
resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a
(A) 52/25.
(B) 13/6.
(C) 7/3.
(D) 5/2.
(E) 47/23.
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as:
− 1 real: ¼ das moedas
− 50 centavos: 1/3 das moedas
− 25 centavos: 2/5 das moedas
− 10 centavos: as restantes
Mariana totalizou a quantia contida no cofre em
(A) R$ 62,20.
(B) R$ 52,20.
(C) R$ 50,20.
(D) R$ 56,20.
(E) R$ 66,20.
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas.
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial?
(A) 145
(B) 185
(C) 220
(D) 260
(E) 120
. 31
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Gabarito
01. B/ 02. B/ 03. C/ 04. D/ 05. B/ 06. D/ 07. B/ 08. A/ 09. A/ 10. C
Comentários
01. Alternativa: B.
Somando português e matemática:
1 9 5 + 9 14 7
+ = = =
4 20 20 20 10
O que resta gosta de ciências:
7 3
1− =
10 10
02. Alternativa: B.
8,3 ∙ 7 = 58,1
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais
Troco:100 – 58 = 42 reais
03. Alternativa: C.
2 2 1
5
+9+3
Mmc(3,5,9)=45
18+10+15 43
=
45 45
O restante estuda alemão: 2/45
2
180 ∙ 45 = 8
04. Alternativa: D.
𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68
𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91
Salário foi R$ 841,91.
05. Alternativa: B.
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
4 3 17
+
3 2= 6 =1
3 4 17
+
2 3 6
06. Alternativa: D.
√16 = 4
√25 = 5
14
3
= 4,67
14
A ordem crescente é: −4; −1; √16; 3
; √25
07. Alternativa: B.
2+𝑥
=5
3−𝑥
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥
6𝑥 = 13
13
𝑥=
6
. 32
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. Alternativa: A.
1
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙ = 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠
4
1
50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 3 ∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠
2
25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 5 ∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠
10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠
30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20
09. Alternativa: A.
3
800 ∙ = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠
4
1
600 ∙ 5 = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres
1
800 ∙ 4 = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres
1
200 ∙ = 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠
8
10. Alternativa: C.
9 75 675
∙ = = 45 𝑎𝑛𝑜𝑠
5 3 15
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
Assim temos:
. 33
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0}
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0}
Propriedades
É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos
de módulo, números opostos e números inversos (quando possível).
a≤b↔b–a≥0
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos.
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b)
Observações
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos.
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b)
. 34
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem
o sinal.
c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal.
Máximos e Mínimos.
Quando estudarmos as equações do segundo grau também iremos ver sobre máximos e mínimos,
mas como o próprio nome já diz, traz a ideia de um maior valor e de um menor valor, portanto para saber
sobre esse conceito basta observar em intervalos, qual será o valor máximo e qual será o valor mínimo,
mas as vezes eles não estarão no conjunto formado, daí não terá máximo ou mínimo.
Questões
. 35
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto
3 1
que melhor representa a diferença 4 − 2 na reta dos números reais é:
(A) P.
(B) Q.
(C) R.
(D) S.
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa.
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um
máximo de 100 lâmpadas.
(A) 36.
(B) 57.
(C) 78.
(D) 92.
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola,
3
Zeca percorre uma distância igual a da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente.
4
7
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a de um quilômetro,
5
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a
2
(A)
3
3
(B) 4
1
(C)
2
4
(D)
5
3
(E)
5
06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP) Para
numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por
exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003
mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em
mL, será
(A) 1,111.
(B) 2,003.
(C) 2,893.
(D) 1,003.
(E) 2,561.
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual
a
(A) 5/16.
(B) 1/6.
(C) 8/24.
(D)1/ 4.
(E) 2/5.
. 36
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor.
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a:
(A) 145.
(B) 133.
(C) 127.
(D) 118.
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados.
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a
(A) 87.
(B) 59.
(C) 28.
(D) 65.
(E) 63.
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno,
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu
(A) R$ 74.000,00.
(B) R$ 93.000,00.
(C) R$ 98.000,00.
(D) R$ 102.000,00.
(E) R$ 106.000,00.
Gabarito
01. D/ 02. C/ 03. A/ 04. D/ 05. E/ 06. C/ 07. B/ 08. B/ 09. B/ 10. B
Comentários
01. Alternativa: D.
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15
2.x = 3791 + 15
x = 3806 / 2
x = 1903
02. Alternativa: C.
. 37
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo.
03. Alternativa: A.
3 1 3−2 1
− = = = 0,25
4 2 4 4
04. Alternativa: D.
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas.
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva
nas três equações abaixo:
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100:
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém)
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18.
05. Alternativa: E.
Ida + volta = 7/5 . 1
3 7
.𝑥 + 𝑥 =
4 5
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
15𝑥 + 20𝑥 = 28
35𝑥 = 28
28
𝑥 = 35 (: 7/7)
4
𝑥 = 5 (volta)
3 4 3
Ida: 4 . 5 = 5
06. Alternativa: C.
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem.
99 – 10 + 1 = 90.
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número.
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml
De 100 a 999
999 – 100 + 1 = 900 números
9000,003 = 2,7 ml
1000 = 0,004ml
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893
07. Alternativa: B.
Tarefa: x
Primeira semana: 3/8x
1 3 1
2 semana:3 ∙ 8 𝑥 = 8 𝑥
3 1 4 1
1ª e 2ª semana: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = 𝑥
8 8 8 2
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade.
3ªsemana: 2y
4ª semana: y
1
2𝑦 + 𝑦 = 2 𝑥
. 38
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1
3𝑦 = 2 𝑥
1
𝑦 = 6𝑥
08. Alternativa: B.
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como:
D = d.Q + R
Sabemos que o R = 5
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133.
09. Alternativa: B.
* número 40: é par.
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37
* número 35: é ímpar.
Seu maior divisor é 35.
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14
* número 66: é par.
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50
* número 27: é ímpar.
Seu maior divisor é 27.
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14
* Por fim, vamos somar os resultados:
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59
10. Alternativa: B.
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim:
* Breno:
𝟏 𝟏
. . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟐 𝟑
𝟏
. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟔
x = 62000 . 6
x = R$ 372000,00
* Carlos:
𝟏
𝟒
. 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
. 39
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Propriedades: Sendo a um número real positivo e x e y números reais quaisquer, demonstra-se que:
a) √𝒙𝟐 = |𝒙|
b) |x| = a x = - a ou x = a
e) |x| = | - x|
f) x2 = |x|2 = |x2|
g) |x.y| = |x|.|y|
𝐱 |𝐱|
h) | | =
𝐲 |𝐲|
- Equação modular
Exemplos
a) Resolver a equação |2x + 1| = 5.
De acordo com as propriedades, temos:
2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2 ou
2x + 1 = -5 2x = -6 x = -3
S = {-3,2}.
b) |9x + 2| = -3
Sabemos que o módulo é sempre positivo, como o valor do módulo é igual a -3, não podemos ter |9x
+ 2| < 0. Portanto o conjunto solução da equação é S = ᶲ
- Inequação Modular
Exemplo
Resolvendo a inequação |2x + 1| > 5.
De acordo com P1, podemos escrever:
2x + 1 < -5 2x < -6 x < -3 (I) ou
2x + 1 > 5 2x > 4 x > 2 (II)
Fazendo a união:
. 40
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Referência
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1 – Versão beta – Editora Moderna
Questões
05. (FEI) Os valores reais de x que satisfazem a inequação |2x – 1| < 3 são tais que:
(A) x < 2
(B) x > - 1
(C) ½ < x < 2
(D) x > 2
(E) – 1 < x < 2
Respostas
01. Resposta: A.
|2x – 3| = 5
2x – 3 = 5 ou 2x – 3 = - 5
2x = 5 + 3 2x = - 5 + 3
2x = 8 2x = - 2
x=8:2 x=-2:2
x=4 x=-1
. 41
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
V = {- 1, 4}
02. Resposta: C.
|2x – 5| < 3
Pela propriedade c:
- 3 < 2x – 5 < 3
- 3 + 5 < 2x < 3 + 5
2 < 2x < 8 (dividindo por 2)
1<x<4
V = {x ∈ R| 1 < x < 4}
03. Resposta: E.
Pela propriedade:
04. Resposta: B.
Resolução: teórico, basta observar as propriedades.
05. Resposta: E.
|2x – 1| < 3
Pela propriedade c:
- 3 < 2x – 1 < 3
- 3 + 1 < 2x < 3 + 1
- 2 < 2x < 4 (dividindo por 2)
-1<x<2
ESTRUTURAS LÓGICAS
A lógica pela qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração)
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material.
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes
avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A
lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a
investigação, o conhecimento e a demonstração científica. O método científico que ele preconizava
assentava nas seguintes fases:
. 42
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Por este e outros motivos, Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal.
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica
matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados, que tem como objetivo criar um grupo de
leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é
possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras.
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionada a maneira específica de
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que
envolvem questões matemáticas, as sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio.
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada proposição ao
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o
aprendizado.
Proposição
Conceito de proposição
TOME NOTA!!!
Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença,
ou ainda proposição, é pela presença de:
- sujeito simples: "Carlos é médico";
- sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos";
- sujeito inexistente: "Choveu"
- verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à apreciação de julgamento
de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição.
Atenção: orações que não tem sujeito, NÃO são consideradas proposições lógicas.
A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios1 (ou axiomas):
. 43
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
I – PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição
falsa é falsa.
II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa
ao mesmo tempo.
Se esses princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como
proposição.
Chamamos de valor lógico de uma proposição: a verdade, se a proposição for verdadeira (V), e a
falsidade, se a proposição for falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos
verdade e falsidade respectivamente.
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua
análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples:
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa
(do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou
verdadeiro ou falso.
1) Proposições simples (ou atômicas): são formadas por uma única oração, sem conectivos, ou seja,
elementos de ligação. Representamos por letras minusculas: p, q, r,... .
Exemplos:
O céu é azul.
Hoje é sábado.
2) Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam
as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. Representamos por letras maiusculas: P, Q, R,
... .
Exemplos:
O ceu é azul ou cinza.
Se hoje é sábado, então vou à praia.
Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos
em lógica matemática.
Sentença Aberta
3) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou
valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
. 44
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira”
(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7
Exemplos
1. p( x) : x 4 9
A sentença matemática x 4 9 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação.
Obviamente, apenas um deles, x 5 , torna a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros
números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como x 5.
2. q( x) : x 3
Dessa maneira, na sentença x 3 , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém,
alguns são verdadeiros, como x 2 , e outros são falsos, como x 7.
4) Proposição (sentença) fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele
verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Observe os exemplos:
Questões
01. (INPI - Tecnologista em Propriedade Industrial – CESPE) Um órgão público pretende organizar
um programa de desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação
continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, publicou, por engano, um
anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de “os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e
possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem
ter entre 30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público”.
Considere que X = o conjunto de todos os servidores do órgão; A = o conjunto dos servidores do órgão
que têm mais de 30 anos de idade; B = o conjunto dos servidores do órgão que têm menos de 50 anos
de idade e C = o conjunto dos servidores do órgão com mais de cinco anos de experiência no serviço
público. Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 elementos, julgue os itens
seguintes. Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas com universo X dadas respectivamente por “o servidor x
tem entre 30 e 50 anos de idade” e “o servidor x possui mais de cinco anos de experiência no serviço
público”.
Então, se C é subconjunto de A∩B, então o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x)
coincide com o conjunto universo X.
(A) Certo (B) Errado
. 45
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (PM/RR - Soldado da Polícia Militar – UERR) Uma sentença aberta pode ser transformada numa
proposição se for atribuído valor a uma variável. Dada a sentença aberta p(y): y2 > 10, assinale o valor a
ser atribuído para tornar a proposição p(y) verdadeira:
(A) x = 4
(B) y = -2
(C) y = 1
(D) x = 0
(E) y = 5
Respostas
01. Resposta: A.
Se C é subconjunto de A∩B, então todos os servidores com mais de 5 anos de experiência têm entre
30 e 50 anos de idade.
Logo, a sentença p(x)→q(x) é verdadeira.
Mas, se o servidor escolhido tiver uma idade menor que 30 anos ou maior que 50, mesmo sendo p(x)
falsa, dada a tabela verdade, a sentença p(x) →q(x) também será verdadeira.
Logo, para todas as idades dos servidores, a sentença p(x) →q(x) será verdade.
Sendo assim, o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x) coincide com o conjunto
universo X.
02. Resposta: E.
Analisando as alternativas:
A) x = 4, errado pois não temos a variável x.
B) y = -2, errado, pois −22 = 4 < 10
C) y = 1, errado, pois 12 = 1 < 10
D) x = 0, não temos a variável x.
E) y = 5, correto. 52 = 25 > 10
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade)
ou F (falsidade).
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das
proposições simples que a compõe.
Definição:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes
contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”)
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise
Combinatória.
. 46
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Construção da tabela verdade de uma proposição composta
Vamos começar contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições
simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p 1” 2n / 2 =
2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante.
Exemplos
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)
2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2 n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23
-1
= 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição
temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos
valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição).
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores
das proposições.
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico
oposto daquele de p.
Pela tabela verdade temos:
Simbolicamente temos:
~V = F ; ~F = V
V(~p) = ~V(p)
. 47
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos
Na primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos os termos passam
a ter como valor lógico a falsidade.
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:”
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a
seguinte proposição ~p: “Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol”,
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua
proposição primitiva.
p ≡ ~(~p)
Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas,
sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos.
Exemplo:
1. Saturno é um planeta do sistema solar.
2. Sete é um número real maior que cinco.
Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar”
e “Sete é um número relativo maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas
proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si.
Conjunção
Exemplos
(a)
p: A neve é branca. (V)
q: 3 < 5. (V)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
(b)
p: A neve é azul. (F)
q: 6 < 5. (F)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F
(c)
p: Pelé é jogador de futebol. (V)
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F
. 48
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(d)
p: A neve é azul. (F)
q: 7 é número ímpar. (V)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F
- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é
verdadeira (V), escrevendo:
V(p) = V
- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e
“T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por:
V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T).
Disjunção
3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de
duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando
pelo menos uma das proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas.
Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”).
Pela tabela verdade temos:
Exemplos
(a)
p: A neve é branca. (V)
q: 3 < 5. (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V
(b)
p: A neve é azul. (F)
q: 6 < 5. (F)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F
(c)
p: Pelé é jogador de futebol. (V)
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F)
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V
(d)
p: A neve é azul. (F)
q: 7 é número ímpar. (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
. 49
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Para entender melhor vamos analisar o exemplo.
p: Nathan é médico ou professor. (Ambas podem ser verdadeiras, ele pode ser as duas coisas ao
mesmo tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva).
Podemos escrever:
Nathan é médico ^ Nathan é professor
q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista,
as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exclusiva).
Reescrevendo:
Mario é carioca v Mario é paulista.
Exemplos
Condicional
Exemplos
(a)
p: A neve é branca. (V)
q: 3 < 5. (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V
(b)
p: A neve é azul. (F)
q: 6 < 5. (F)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V
(c)
p: Pelé é jogador de futebol. (V)
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F
. 50
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(d)
p: A neve é azul. (F)
q: 7 é número ímpar. (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V
Bicondicional
Exemplos
(a)
p: A neve é branca. (V)
q: 3 < 5. (V)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V
(b)
p: A neve é azul. (F)
q: 6 < 5. (F)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V
(c)
p: Pelé é jogador de futebol. (V)
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F
(d)
p: A neve é azul. (F)
q: 7 é número ímpar. (V)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por:
p: Luciana estuda.
q: João bebe.
r: Carlos dança.
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P”, “Q”, “R”, “S”, “T”, “U”, “V” e “X”
representadas por:
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança.
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda.
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe.
. 51
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições.
Depois reescrevermos de forma simbólica, vejamos:
Continuando:
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe.
(p v r) ↔ ~q
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”,
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes.
- O uso de parêntesis
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de
ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá as seguintes proposições:
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente,
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes:
. 52
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos
01. p → q ↔ s ^ r, é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la
numa condicional há que se usar parêntesis:
p →( q ↔ s ^ r )
E para convertê-la em uma conjunção:
(p → q ↔ s) ^ r
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os
valores lógicos.
. 53
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que:
A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um
ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F}
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada:
. 54
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2) Comutativa: p ^ q ⇔ q ^ p
A tabela verdade de p ^ q e q ^ p são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ q ↔ q ^ p é tautológica.
3) Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r)
A tabela verdade de (p ^ q) ^ r e p ^ (q ^ r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^
r) é tautológica.
4) Identidade: p ^ t ⇔ p e p^w⇔w
A tabela verdade de p ^ t e p, e p ^ w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ t ↔ p e p ^ w ↔ w
são tautológicas.
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente
da conjunção.
1) Idempotente: p v p ⇔ p
A tabela verdade de p v p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p v p ↔ p é tautológica.
2) Comutativa: p v q ⇔ q v p
A tabela verdade de p v q e q v p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v q ↔ q v p é tautológica.
. 55
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r)
A tabela verdade de (p v q) v r e p v (q v r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p v q) v r ↔ p v (q v
r) é tautológica.
4) Identidade: p v t ⇔ t e pvw⇔p
A tabela verdade de p v t e p, e p v w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p v t ↔ t e p v w ↔ p
são tautológicas.
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro
da disjunção.
2) Absorção:
- p ^ (p v q) ⇔ p
- p v (p ^ q) ⇔ p
. 56
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (p ^ q) e p são idênticas, ou seja
a bicondicional p v (p ^ q) ↔ p é tautológica.
Referências
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002.
Questões
01. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição “P” é
verdade e o valor lógico de uma proposição “Q” é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as
duas proposições é:
(A) Falso
(B) Verdade
(C) Inconclusivo
(D) Falso ou verdade
. 57
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
( ) Certo ( ) Errado
(A) Ou.
(B) E.
(C) Ou exclusivo.
(D) Implicação (se...então).
(E) Bicondicional (se e somente se).
. 58
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Respostas
01. Resposta: A.
Pela tabela verdade da bicondicional
02. Resposta: B.
Pela tabela verdade:
Tabela-verdade conjunção
Tabela-verdade disjunção
Tabela da condicional
Tabela da bicondicional
03. Resposta: E.
Como já foi visto, a disjunção só é falsa quando as duas proposições são falsas.
. 59
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
05. Resposta: D.
Observe novamente a tabela abaixo, considere A = p, B = q e Z = condicional.
06. Resposta: E.
RvS→T
Para a condicional ser falsa, devemos ter:
V→F
Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa.
E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas.
Lembrando pela tabela verdade de cada uma:
Condicional
Disjunção
07. Resposta: B.
v e v = V (I) certo
v ou f = F (II) ERRADO, logo por eliminação só nos resta a alternativa B.
Recíproca
Proposição Recíproca
A proposição recíproca de p→q é q→p.
Exemplo:
p: Paulo nasceu em Curitiba.
q:Paulo é paranaense.
p→q Se Paulo nasceu em Curitiba, então ele é paranaense.
A recíproca é: q→p Se Paulo é paranaense, então ele nasceu em Curitiba.
As proposições original e recíproca podem ter valores lógicos diferentes.
Contrapositiva
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo
estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
. 60
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são
CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES.
Exemplo
Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes.
a) p ^ q ⇔ q ^ p
b) p v q ⇔ q v p
c) p ∨ q ⇔ q ∨ p
d) p ↔ q ⇔ q ↔ p
. 61
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2 - Reflexiva (equivalência por reflexão)
p→p⇔p→p
3 – Transitiva
Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E
Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO
P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) .
Equivalências notáveis
a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
. 62
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
3 – Idempotência
a) p ⇔ (p ∧ p)
b) p ⇔ (p ∨ p)
4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas
invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem.
Exemplo
Exemplo
. 63
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p)
Exemplo
4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q
Exemplo
5 - Pela bicondicional
a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição
c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
6 - Pela exportação-importação
. 64
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]
Note que:
Exemplos
Exemplo
Vamos determinar:
a) A contrapositiva de p → q
b) A contrapositiva da recíproca de p → q
c) A contrapositiva da contrária de p → q
. 65
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Resolução
a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p
A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q
b) A recíproca de p → q é q → p
A contrapositiva q → q é ~p → ~q
c) A contrária de p → q é ~p → ~q
A contrapositiva de ~p → ~q é q → p
Questões
Respostas
01. Resposta: A.
A negação de P→Q é P ^ ~ Q
A equivalência de P→Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P
Quantificadores
. 66
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Em Lógica e em Matemática, são chamadas proposições somente as sentenças declarativas, às quais
se pode associar um e, somente um, dos valores lógicos, V ou F.
As sentenças que não podem ser classificadas com V ou F, são chamadas de sentenças abertas.
Exemplos
a) x + 2 > 15
b) Em 2018, ele será presidente do Brasil novamente.
Observe que as variáveis “x” e “ele”, analisando os valores lógicos temos que:
a) x > 13
Se x assumir os valores maiores que 13 (14,15, 16, ...) temos que a sentença é verdadeira.
Se assumir valores menores ou iguais a 13 (12,11, 10, ...) temos que a sentença é falsa.
Sentenças que contêm variáveis são chamadas de sentenças funcionais. Estas sentenças não são
proposições lógicas, pois seu valor lógico (V ou F) é discutível em função do valor de uma variável.
Podemos transformar as sentenças abertas em proposições lógicas por meio de duas etapas: atribuir
valores às variáveis ou utilizar quantificadores.
QUANTIFICADORES
TIPOS DE QUANTIFICADORES
Exemplos
- Quantificador existencial: é indicado pelo símbolo “∃” (lê-se: “existe”, “existe pelo menos um” e
“existe um”).
Exemplos
. 67
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2) (∃y ∊ N) (y + 5 < 3) - Lê-se: Existe um número y pertencente ao conjunto dos números Naturais, tal
que y + 5 < 3 (falsa).
Observação: Temos ainda um quantificador existencial simbolizado por “∃?”, que significa: “existe um
único”, “existe um e um só” e “existe só um”.
REPRESENTAÇÃO
∀: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
(∀𝑥)(𝑝(𝑥)) {
𝑝(𝑥): 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
∃: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
(∃𝑥)(𝑝(𝑥)) {
𝑝(𝑥): 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
Exemplos
Quando um quantificador incide sobre uma variável, está diz-se aparente ou muda, caso contrário,
diz variável livre.
Vejamos:
A letra “x” é nas sentenças abertas “2x + 2 = 18”; “x > 5” é considerada variável livre, mas é considerada
aparente nas proposições: (ᗄx) (x > 5) e (Ǝx) (2x + 2 = 18).
Ou seja, qualquer que seja a sentença aberta p(x) em um conjunto A substituem as equivalências?
(ᗄ x ϵ A) (p(x)) ⇔ (ᗄ y ϵ A) (p(y))
(Ǝ x ϵ A) (p(x)) ⇔ (Ǝ y ϵ A) (p(y))
. 68
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos
Consideremos no conjunto dos números reais (R) a sentença aberta “x2 = 16”, por ser: 42 = 16, (-4)2 =
16 e 4 ≠ -4.
A primeira proposição diz que existe pelo menos um x ϵ R tal que x3 = 27 (x = 3), é uma afirmação
de existência. Observe que não existe outra forma de obtermos o resultado, uma vez que não podemos
colocar número negativo elevado a expoente ímpar e obter resultado positivo (propriedade da potência).
A segunda proposição diz que não pode existir mais de um x ϵ R tal que x3 = 27; é uma afirmação
de unicidade.
A conjunção das duas proposições diz que existe x ϵ R e um só tal que x3 = 27. Para indicarmos este
fato, vamos escrever da seguinte forma:
(Ǝ! x ϵ R) (x3 = 27)
Exemplos
(Ǝ! x ϵ N) (x2 – 9 = 0)
(Ǝ! x ϵ Z) (-1 < x < 1)
(Ǝ! x ϵ R) (|x| = 0)
1º - Seja uma sentença quantificada do tipo (∀x)(A(x)). Sua negação será dada da seguinte forma:
substitui-se o quantificador universal pelo existencial e nega-se o predicado A(x), obtendo-se
(∃x)(~A(x)).
Exemplo
2º - Seja uma sentença quantificada do tipo (∃x)(B(x)). Sua negação será dada da seguinte forma:
substitui-se o quantificador existencial pelo universal e nega-se o predicado B(x), obtendo-se
(∀x)(~B(x)).
Exemplo
. 69
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Quantificador Universal passa para Existencial e vice e versa:
1º passo (∀x) ⇨ (∃x)
(∃x) ⇨ (∀x)
2º passo Conserva-se a condição de existência da variável, caso exista.
3º passo Nega-se o predicado.
Exemplos
Resolução:
Como sabemos para negarmos temos 3 passos importantes, logo:
~ [(∀x ∈ R) (∃ y ∈ R) (x.y = 1)] ⇔ [(∃x ∈ R) (∀ y ∈ R) (x.y ≠ 1)]
Resposta: C
2 - Seja p(x) uma proposição com uma variável “x” em um universo de discurso. Qual dos itens a seguir
define a negação dos quantificadores?
I. ~[(∀x) (p(x))] ⇔ (∃x) (~ p(x));
II. ~[(∃x) (p(x))] ⇔ (∃x) (~ p(x));
III. ~[(∃x) (p(x))] ⇔ (∀x) (~ p(x));
(A) apenas I;
(B) apenas I e III;
(C) apenas III;
(D) apenas II;
(E) apenas II e III.
Resolução:
Questões
. 70
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
III - Pelo menos um fumante é mau atleta.
IV - Todos os fumantes são bons atletas.
As proposições que formam um par tal que uma é a negação da outra são:
(A) I e II
(B) I e III
(C) II e III
(D) II e IV
(E) III e IV
02. (SEDUC-CE – Língua Portuguesa – SEDUC-CE/2016) Assinale a alternativa que nega a seguinte
proposição:
Algum professor que trabalha na escola não é efetivo.
04. (EMSERH – Agente de Portaria – FUNCAB/2016) Considere que as seguintes afirmações são
verdadeiras:
Respostas
01. Resposta: E.
Sabemos que a negação do quantificador "Todos" é "Pelo menos um" (vice - versa) e que ao negarmos
qualquer proposição significa trocar seu sentido, temos que:
III - Pelo menos um fumante é mau atleta.
IV - Todos os fumantes são bons atletas.
Formam um par tal que uma é a negação da outra.
02. Resposta: A.
Negação do todo, nenhum e algum...
Algum não é → Todo é.
Nenhum é → Algum é.
Todo é → Algum não é.
. 71
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
03. Resposta: D.
A negação de nenhum é algum, assim sendo João não precisa ter todas as calças azuis, basta ter
uma.
04. Resposta: B.
(A) ERRADA → Todo maranhense é trabalhador
(B) CORRETA.
(C) ERRADA → Todo maranhense pescador é trabalhador
(D) ERRADA → Todo Maranhense pescador é trabalhador
(E) ERRADA → Existe maranhense trabalhador que não é pescador.
RELAÇÃO
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação
ao par ordenado (x, y) ou (a, b).
Par Ordenado
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente
distinguir a ordem destes elementos.
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y.
. 72
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5.
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3.
Temos que:
- P é o ponto de coordenadas a e b;
- o número a é chamado de abscissa de P;
- o número b é chamado ordenada de P;
- a origem do sistema é o ponto O (0,0).
A (4,3)
B (1,2)
C (-2,4)
D (-3,-4)
E (3,-3)
F (-4,0)
G (0,-2)
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença
ao 2º conjunto (B).
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁}
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano.
Exemplo
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas.
. 73
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos:
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)}
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem
conjuntos iguais.
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B).
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6
b) Diagrama de flechas
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto).
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim
representado no diagrama de flechas:
c) Plano cartesiano
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).
Noção de Relação
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos:
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)}
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja:
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10}
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos.
. 74
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação:
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B.
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B
Noção de Função
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A
e y ϵ B.
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B.
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.
. 75
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Analisemos agora através dos gráficos:
Elementos da função
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B,
conhecida também como função de A em B.
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função.
Representado no gráfico:
. 76
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D.
Logo, D(f) = A.
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B.
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x).
(Lê-se: y é igual a f de x).
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A,
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂
B.
Exemplo:
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) =
x+3.
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem
deste conjunto.
F(-2) = -2 + 3 = 1
F(-1) = -1 + 3 = 2
F(0) = 0 + 3 = 3
F(1) = 1 + 3 = 4
F(2) = 2 + 3 = 5
Exemplos:
1) y = x2 + 3x
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R.
1
2) 𝑦 = 𝑥
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R*
𝒙
3) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟐
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0 x ≠ 2.
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2}
. 77
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida
por:
Com a ϵ R* e b ϵ R.
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o
contradomínio, Im = R.
Quando b = 0, chamamos de função linear.
x y (x,y)
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3)
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1)
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1)
. 78
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Tipos de Função
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k.
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas).
Função Identidade
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta
os quadrantes pares.
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares:
Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também
distintas no contradomínio.
. 79
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja
interceptar o gráfico da função, uma única vez.
Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos
um elemento do domínio.
. 80
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função.
Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Exemplo:
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora.
. 81
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo:
. 82
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Através do gráfico da função notamos que:
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo
x (horizontal) é agudo (< 90º) e
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º).
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos
uma equação do 1º grau, ax + b = 0.
Exemplo:
Determinar o zero da função:
f(x) = x + 3
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3
Graficamente temos:
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo
x.
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3,
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente.
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b.
−𝒃
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
𝒂
Podemos expressar a fórmula acima graficamente:
. 83
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Estudo do sinal da função
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que:
- A função se anule (y = 0);
- A função seja positiva (y > 0);
- A função seja negativa (y < 0).
Exemplo:
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0).
1) Qual o valor de x que anula a função?
y=0
2x – 4 = 0
2x = 4
4
x=
2
x=2
A função se anula para x = 2.
. 84
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) Quais valores de x tornam negativa a função?
y<0
2x – 4 < 0
2x < 4
x<4
2
x<2
A função é negativa para todo x real menor que 2.
- Para x = 2 temos y = 0;
- Para x > 2 temos y > 0;
- Para x < 2 temos y < 0.
Referências
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996
Questões
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado.
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto,
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de:
(A) 8 900.
(B) 8 950.
(C) 9 000.
(D) 9 050.
(E) 9 150.
. 85
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale
a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T:
(A) T = 3t
(B) T = 3t + 2,50
(C) T = 3t + 2.50t
(D) T = 3t + 7,50
(E) T = 7,50t + 3
03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então
(A) x = 5.
(B) x = 6.
(C) x = -6.
(D) x = -5.
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta.
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática
de natação?
(A) 50,0
(B) 52,5
(C) 55,0
(D) 57,5
(E) 60,0
. 86
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑥
07. (BRDE-RS - Adaptada) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 2
+
2
10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 𝑥. Para que a firma
3
não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de:
(A) R$ 20.000,00
(B) R$ 33.000,00
(C) R$ 35.000,00
(D) R$ 38.000,00
(E) R$ 40.000,00
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta
Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas
seu núcleo ainda está incandescente.
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius.
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina
num ponto a 1200 metros da superfície?
(A) 15º C
(B) 38º C
(C) 53º C
(D) 30º C
(E) 61º C
Respostas
01. Resposta: E.
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade
(ΔQ) vendida:
∆𝐿 7000 − (−1000) 8000
𝑅= →𝑅= →𝑅= → 𝑅 = 100
∆𝑄 80 − 0 80
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo
menos 90.500,00
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos:
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida,
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas:
∆𝐿 91500 91500
𝑅= → 100 = → 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 = → ∆𝑄 = 915
∆𝑄 ∆𝑄 100
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00
. 87
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. Resposta: B.
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de
tempo, e acrescentado 2,50 fixo
T = 3t + 2,50
03. Resposta: D.
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5
04. Resposta: E.
A proporção de oxigênio/tempo:
10,5 21,0 𝑥
= =
2 4 10
4x = 210
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg
52,5litros----70kg
x-------------80kg
x = 60 litros
05. Resposta: C.
Aplicando segundo as condições mencionadas:
x=1
f(1) = 2.1 - p
f(1) = m - 1
x=6
f(6) = 6m - 1
7.6+4 42+4
𝑓(6) = 2 = 2 = 23 ; igualando as duas equações:
23 = 6m - 1
m=4
Como queremos m – p , temos:
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente.
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5
06. Resposta: D.
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b:
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b.
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim:
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I )
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II )
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos:
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação.
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos:
y = a.x + b
0 = – 5.3 + b
b = 15
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 .
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim:
x = – 5.y + 15
5.y = – x +15
y = – x / 5 + 15/5
y = – x / 5 + 3 (função inversa)
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim:
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15
07. Resposta: E.
𝑥
C(x) = 2 + 10000
. 88
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2
F(x) = 3 𝑥
F(x) ≥ C(x)
2 𝑥
𝑥≥ + 10000
3 2
08. Resposta: C.
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma
posição “mais alta” do que o 2º ponto.
Vamos analisar as alternativas:
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R,
e, assim, a função é crescente.
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente.
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente.
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente.
09. Resposta: A.
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b:
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b.
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim:
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4
( V ) 3 = a.( – 1) + b
a=4–3=1
Portanto, a função fica: y = x + 4
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim:
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4
10. Resposta: C.
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim:
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes
Assim: 15 . 2 = 30º C
Assim: 23º C + 30º C = 53º C
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma:
. 89
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Com a, b e c reais e a ≠ 0.
Onde:
a é o coeficiente de x2
b é o coeficiente de x
c é o termo independente
Exemplos:
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0
Exemplo:
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real,
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função:
Concavidade da Parábola
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função
definida por um polinômio do 2º grau.
. 90
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Vértice da parábola
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv).
- Eixo de simetria
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto).
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que:
f (-3) = f (1) = 0
f (-2) = f (0) = -3
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por:
. 91
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
As coordenadas do vértice são dadas por:
Onde:
x1 e x2 são as raízes da função.
Exemplo:
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também
o valor máximo ou mínimo da mesma.
. 92
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}.
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”.
b
x , onde, = b2 – 4.a.c
2.a
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau.
Observe que:
Exemplos
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença
matemática que a define.
. 93
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Resolução:
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos:
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x .
O vértice da parábola é (-2,4), temos:
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo
ponto (2;3).
Resolução:
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos:
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4
→ k = 2.
Referências
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996
Questões
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em
100−𝑡 2
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) = . Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em
𝑡+1
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a
(A) 10 Km/h
(B) 20 Km/h
(C) 90 Km/h
(D) 100 Km/h
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y)
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco
sobre a porta (A e B).
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância ̅̅̅̅
𝐴𝐵, em metros, é igual a
. 94
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 2,1.
(B) 1,8.
(C) 1,6.
(D) 1,9.
(E) 1,4.
04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR) A interseção entre os gráficos das
funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza:
(A) no 1º e 2º quadrantes
(B) no 1º quadrante
(C) no 1º e 3º quadrantes
(D) no 2º e 4º quadrantes
Respostas
01. Resposta: A.
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0:
100−02
𝑑(0) = 0+1
= 100𝑘𝑚
100 – t² = 0
– t² = – 100 . (– 1)
t² = 100
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ
02. Resposta: D.
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40
L(x)=-2x²+28x+40
𝑏 28
𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = − 2𝑎 = − −4 = 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠
03. Resposta: B.
C=0,81, pois é exatamente a distância de V
F(x)=-x²+0,81
0=-x²+0,81
X²=0,81
X=0,9
A distância AB é 0,9+0,9=1,8
04. Resposta: A.
-2x+3=x²+5x-6
X²+7x-9=0
=49+36=85
−7 ± √85
𝑥=
2
−7 + 9,21
𝑥1 = = 1,105
2
−7 − 9,21
𝑥2 = = −8,105
2
Para x=1,105
Y=-2.1,105+3=0,79
Para x=-8,105
Y=19,21
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante.
. 95
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Funções racionais; Gráficos de funções reais
FUNÇÃO RACIONAL
Uma função racional, y = f(x), é uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de
dois polinômios P(x) e Q(x).
Considerações:
- O domínio de uma função racional consiste de todos os números reais x tais que Q(x) 0.
- Ao contrário dos polinômios, cujos gráficos são curvas contínuas (sem interrupções), o gráfico de
uma função racional pode apresentar interrupções (descontinuidades) nos pontos onde o denominador é
igual a zero.
- Ao contrário dos polinômios, uma função racional pode não estar definida para determinados valores
de x. Próximo desses valores, algumas funções racionais têm gráficos que se aproximam bastante de
uma reta vertical (assíntota vertical) que é representada por linhas tracejadas.
Uma exceção é o caso em que, apesar do denominador ser igual a zero para um determinado valor
de x, este pode ser cancelado no processo de fatoração e simplificação. Nesse caso, a função racional
apresenta um "furo" no ponto onde o denominador é igual a zero.
. 96
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Outra característica de algumas funções racionais, é o fato de algumas funções começar e/ou
terminar cada vez mais perto de uma reta horizontal (assíntota horizontal).
Referência
http://www.calculo.iq.unesp.br
Questão
01. Determine o Domínio das funções abaixo, sendo x pertencente ao conjunto dos números reais.
2𝑥+3
(A) 𝑥−2
(B) √3𝑥 + 18
3𝑥
(C)
√2𝑥−4
Resposta
01.
(A) Observe que a única restrição dar-se-á no denominador, logo x – 2 ≠0
x≠2
S = { xϵR/ x ≠ 2}
(B) 3x + 18 ≥0
3x ≥ -18
x ≥ -18/3
x ≥ -6
S = { xϵR/ x ≥ -6}
(C) 2x – 4 >0
2x > 4
x> 4/2
x>2
S = { xϵR/ x>2}
. 97
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Composição de funções
FUNÇÃO COMPOSTA
Função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela
junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a
formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f,
representada por gof.
Exemplos
1) Dado uma função f(x) = x + 1 e g(x) = x2. Qual será o resultado final se tomarmos um x real e a ele
aplicarmos sucessivamente a lei de f e a lei de g?
O resultado final é que x é levado a (x +1)2. Essa função h de R em R que leva x até (x+1)2 é chamada
de função composta.
Referências
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único
http://www.brasilescola.com
Questões
01. (PREF. CARIACICA/ES – AGENTE TRÂNSITO – FAFIPA) Sejam f e g funções reais, tais que
f(x)= 2x + 3
g(x)= x3
02. (SEDUC/RJ – Professor de Matemática – CEPERJ) O gráfico da função f, uma parábola cujo
vértice é o ponto (2, 3), é mostrado a seguir:
. 98
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O gráfico que representa a função g, cuja lei de formação é g(x) = 2f(x–3) – 4, é:
O valor de f (g(–2)) é
(A) –12
(B) –10
(C) –8
(D) –6
(E) –5
. 99
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
04. (FEI-SP) Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, se f(g(x)) = 8x + 7, o valor de a + b
é:
(A) 13
(B) 12
(C) 15
(D) 6
(E) 5
05. (MACK-SP) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que
seja x real. O valor de m é:
(A) 9/4
(B) 5/4
(C) – 6/5
(D) 9/5
(E) – 2/3
x2−1
06. (PUC-PR) Considere f(x) = x−2
e g(x) = x – 1. Calcule f(g(x)) para x = 4:
(A) 6
(B) 8
(C) 2
(D) 1
(E) 4
09. (CBTU/ METROREC – Técnico de Gestão – Administração – CONSUPLAN) Sejam f(x) e g(x)
funções do 1º grau representadas no gráfico a seguir. A raiz da função composta f(g(x)) é
(A) 3.
(B) 6.
(C) 9.
(D) 12.
. 100
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
10. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários –
CONSULPLAN) Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual a
(A) –3.
(B) –1.
(C) 2.
(D) 4.
Respostas
01. Resposta: E.
G(2)=2³=8
F(8)=2.8+3=16+3=19
02. Resposta: D.
Observando com atenção a função f(x), temos:
f (x) = (10x + 4) / (5x + 2)
f (x) = 2 [(5x + 2) / (5x + 2)]
f(x) = 2
Assim, g(f(x)) = 2² - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 = h(x)
Logo o gráfico que representa a função h(x) é uma constante passando pelo ponto y = 1.
03. Resposta: E.
a=1/2
b=-1
f(x)=1/2 x-1
G(-2)=3(-2)-2=-8
F(-8)=-4-1=-5
04. Resposta: D.
Temos que f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 8x + 7
Para calcular f(g(x)) temos que substituir g(x) no lugar de x na função f:
2.g(x) + 3 = 8x + 7 (agora isolamos g(x))
2.g(x) = 8x + 7 – 3
2.g(x) = 8x + 4 (dividindo por 2)
g(x) = 4x + 2, onde a = 4 e b = 2
a+b=4+2=6
05. Resposta: C.
Temos que substituir g(x) no lugar de x na função f e substituir f(x) no lugar de x na função g:
f(g(x)) = g(f(x))
3 – 4.g(x) = 3.f(x) + m
3 – 4.(3x + m) = 3.(3 – 4x) + m
3 – 12x – 4m = 9 – 12x + m
3 – 12x – 9 + 12x = m + 4m
- 6 = 5m
m = - 6/5
06. Resposta: B.
Calcular f(g(x)) para x = 4, temos f(g(4)):
então, calculamos primeiro g(4) = 4 – 1 = 3, substituindo:
32 −1 9−1
f(3) = 3−2
= 1
=8
07. Resposta: C.
G(f(x))=(2x-10)²-100=0
4x²-40x+100-100=0
4x²-40x=0
X²-10x=0
X(x-10)=0
. 101
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
X=0 ou x-10=0
X=10
08. Resposta: B.
f(g(x)) = 12x + 8
substituindo g(x) em f:
2.g(x) – 6 = 12 + 8
2.(ax + b) – 6 = 12x + 8
2ax + 2b – 6 = 12x + 8, dois polinômios são iguais quando tem os mesmos coeficientes. Então:
2a = 12 → a = 12/2 → a = 6
2b – 6 = 8 → 2b = 8 + 6 → b = 14/2 → b = 7
a + b = 6 + 7 = 13
09. Resposta: C.
O gráfico representa as funções do 1º grau. Como sabemos que a fórmula geral da função é:
f(x) = ax + b, vamos descobrir os valores de a e b para que possamos montar a sentença matemática
que expresse a função f(x)
Analisando o gráfico de f(x), temos que b = 1 (onde x = 0 e y = 1) a = -b/x → a = ¼ e b = 1, montando
temos: f(x) = 1/4x + 1
Agora vamos equacionar g(x) , b = 2 e a = -2/3 → g(x) = -2/3x + 2
Fazendo f(gx) → ¼.(-2/3x + 2) + 1 → -2/12x + 2/4 + 1 → fazendo o mmc entre 4 e 12→
−2𝑥 + 3.2 + 12.1
= −2𝑥 + 6 + 12, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜
12
10. Resposta: A.
f(g(x)) = f (x + 5) = 2 . (x + 5) – 4 = 2.x + 10 – 4 = 2.x + 6
Por fim, a raiz é calculada fazendo f(g(x)) = 0. Assim:
0 = 2.x + 6
2.x = – 6
x=–6/2
x=–3
Funções inversas
FUNÇÃO INVERSA
A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função
f. Vejamos a figura abaixo:
Observe que:
. 102
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1 - a função f "leva" o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f -1, "traz de volta" o valor - 16
até o valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2.
2 - outra maneira de entender essa ideia é: a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a
inversa, f -1, associa o valor -2 ao valor -16.
3 - dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1,
invertendo as colunas x e y.
4 - se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f -1 a um número qualquer, obtemos esse número
de volta.
Definição:
Seja uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f -1 é a função
, com domínio B e imagem A tal que:
Exemplo
A ideia de trocar x por y para escrever a função inversa, nos fornece um método para obter o gráfico
de f-1 a partir do gráfico de f. Vejamos então como isso é possível...Levando em conta que:
Propriedade:
-1
Os gráficos cartesianos de f e f são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano
cartesiano.
1° Passo: isolamos o x.
2° passo: trocamos x por y e y por x.
1° passo:
. 103
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
y−1
y – 1 = 3x → x = 3
(isolamos o x)
2º passo:
x−1 𝑥−1
y= 3
(trocamos x por y e y por x), temos a inversa de f(x) → 𝑓 −1 (𝑥) = 3
.
Referências
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções
http://www.calculo.iq.unesp.br
Questões
02. (RECEITA FEDERAL – Auditor Fiscal da Receita Federal – ESAEF) Considere a função bijetora
f, de em é definida por em que é o conjunto de
números reais. Então os valores da função inversa de f, quando x = -8 e x = 8 são, respectivamente,
iguais a:
(A) -7 ; 3
(B) -7; -3
(C) 1/9; -1/63
(D) -1/9; -1/63
(E) -63; 9
Respostas
01. Resposta: E.
Basta isolar o x:
y 300x
= (multiplicando em cruz)
1 400 − x
300x = y(400 − x)
300x = 400y − xy
300x + xy = 400y (colocando − se o x em evidência)
x(300 + y) = 400y
400y
x=
300 + y
02. Resposta: A.
Vamos calcular as duas funções inversas
F(x) = (x² - 1)
Y= x² - 1
Y + 1 = x²
X = √𝑦 + 1
Y = √𝑥 + 1
f-1(x) = √𝑥 + 1
. 104
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
e a outra
f(x) = x – 1
y=x–1
y+1=x
x+1=y
f-1(x) = x + 1
para x = -8 < 0
f-1(x) = x + 1
f-1(-8) = -8 + 1 = -7
para x = 8 >0
f-1(x) = √𝑥 + 1
f-1(8) = √8 + 1 = √9 = 3
Função exponencial
Definição
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:
. 105
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...)
- y = ex se, e somente se, x = ln(y)
- ln(ex) =x
- ex+y= e x.e y
- ex-y = e x/ey
- ex.k = (ex)k
A Constante de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos
que:
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um
dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e = 2,718281828459045235360287471352662497757
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com
expoente x, isto é:
ex = exp(x)
X Y
-3 1
8
-2 1
4
-1 1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
Questões
01. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) As funções
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃 (𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o
. 106
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde
1980.
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade?
(A) 1,023%
(B) 1,23%
(C) 2,3%
(D) 0,023%
(E) 0,23%
02. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a
(A) 20 anos.
(B) 25 anos.
(C) 50 anos.
(D) 15 anos.
(E) 10 anos.
03. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é:
(A) 6 meses
(B) 8 meses
(C) 5 meses
(D) 10 meses
(E) 4 meses
04. (CBTU- Assistente Operacional – FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t)
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância,
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico)
são, respectivamente, iguais a:
(A) 2048 e 4
(B) 1024 e 4
(C) 2048 e 2
(D) 1024 e 2
(E) 1024 e 8
Respostas
01. Resposta: C.
𝑃 (𝑡) = 234 . (1,023)𝑡
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0:
𝑃 (0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil
. 107
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1:
𝑃 (1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples:
População %
234 --------------- 100
239,382 ------------ x
234.x = 239,382 . 100
x = 23938,2 / 234
x = 102,3%
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento)
02. Resposta: A.
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡
50000
50,1 .𝑡 = 2000
50,1 .𝑡 = 52
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim:
0,1 . t = 2
t = 2 / 0,1
t = 20 anos
03. Resposta: A.
500 = 4000 * 2-0.5t
500/4000 = 2 -0.5t
simplificando,
1/8 = 2 -0.5t
deixando o expoente positivo, invertemos a base:
1/8 = 1/2 0.5t
(½)3 = (½)0,5t
0,5t=3
t = 3/0,5 = 6.
04. Resposta: A.
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial
Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048.
Função logarítmica
. 108
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
log −6−𝑥 2𝑥 = 1
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8
é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome
de condição de existência.
log𝑥 100 = 2
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1.
Então a nossa condição de existência da equação acima é que: x ϵ R* + - {1}
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de
existência, já que -10 é um número negativo.
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a
condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1.
7log5 625𝑥 = 42
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos
temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se
quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim:
⇒ log5 𝑥 = 2 ⟺ 52 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = 25
Lembre-se que:
log𝑏 (𝑀. 𝑁 ) = log𝑏 𝑀 + log𝑏 𝑁 e que log5 625 = 4, pois 5 = 625.
4
3 log2𝑥 64 = 9
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa:
1
2𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 > ⟹ 𝑥 > 0
2
. 109
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
E, além disto, temos também a seguinte condição: 2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição
de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior,
este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos:
log−6−𝑥 2𝑥 = 1
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos
verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação.
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x:
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e
não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência
do logaritmando 2x: 2x > 0 ⇒ x > 0
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero
que você veja. O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra
diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0?
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que
seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não
possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto
solução da equação é portanto S = { }, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições
de existência da equação.
Função Logarítmica
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f 0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x,
lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa.
. 110
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente,
y=a.ln(x+m)+k.
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.
Função logarítmica de base a é toda função f:R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 com a ϵ R*+ e a ≠
1.
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável,
mas sim um número real.
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois:
𝑥
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏 = 𝑎
x y = log x
0,001 y = log 0,001 = -3
0,01 y = log 0,01 = -2
0,1 y = log 0,1 = -1
1 y = log 1 = 0
10 y = log 10 = 1
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos
da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de
. 111
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo,
se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque:
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico,
que para dois valor de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais
positivos, com a > 1.
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que
log 𝑎 𝑥2 < log 𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log 𝑎 𝑥2 =
log 𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1.
Questões
. 112
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 2000
(B) 1000
(C) 500
(D) 100
(E) 10
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5.
(A) 5
(B) 4
(C) 1
(D) 2
(E) 3
05. ( TRT - 13ª REGIÃO (PB) -ANALISTA JUDICIÁRIO - ESTATÍSTICA-FCC) Com base em um
levantamento histórico e utilizando o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a
. 113
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse
lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3
A profundidade desse lago, em cm, está entre.
Dados
log 2 = 0,30
log 3 = 0,48
(A)150 e 160
(B)160 e 170
(C) 170 e 180
(D)180 e 190
(E)190 e 200
(A) 0 a 1.
(B)0 a 5.
(C)0 a 10.
(D)0 a 100.
(E)1 a 6.
. 114
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é
(A)0,563
(B)0,669
(C)0,966
(D)1,623
(E)2,402
Respostas
01. Resposta: C.
log n = 3 - log 2
log n + log 2 = 3 * 1
onde 1 = log 10 então:
log (n * 2) = 3 * log 10
log(n*2) = log 10 ^3
2n = 10^3
2n = 1000
n = 1000 / 2
n = 500
02. Resposta: D.
E = log20 + log5
E = log(2 x 10) + log5
E = log2 + log10 + log5
E = log10 + log (2 x 5)
E = log10 + log10
E = 2 log10
E=2
03. Resposta: C.
(x)=log2(x-2)
Verificamos a condição de existência, daí x-2>0
x>2
Logo a reta x=2 é uma assíntota vertical.
04. Resposta: B.
8p=3
23p=3
log23p=log3
3p=(log3/log2)
p=(log3/log2).1/3
3q=5
q.log3=log5
q=log5/log3
3.p.q= 3. (log3/log2).1/3.log5/log3 = log5/log2
3.p.q/(1+3.p.q)
log5/log2/(1+log5/log2)
(log5/log2)/( log2/log2+ log5/log2)
(log5/log2)/(log2+log5)/log2)
(log5/log2)/( log10)/log2)
(log5/ log10)=
log5
05. Resposta: A
Como sabemos que ln (0,60) = -0,51
então ln (1 / 0,60) = 0,51
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03*t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p)
1 - p = 0,60. p
. 115
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
p = 0,625
06. Resposta: E
onde y = i0 . 0,6 (x/88)
então:
i0/ 3 = i0.0,6 (x/88)
(i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88)
1/3 = 0,6 (x/88)
log 1/3 = log 0,6 (x/88)
log 1 - log 3 = x/88 * log 6/10
0 - 0,48 = x/88 *. log 6/10
88 . (- 0,48) = X . [ log 6 - log 10 ]
6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2
como log10 na base 10 = 1.
- 42,24 = X . [ log 3 + log 2 - (1)]
- 42,24 = X . [ 0,48 + 0,30 - 1 ]
X = - 42,24 / - 0,22
X = (42,24 / 0,22) = 192
X = 192 cm
07. Resposta: B
A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos:
medida 1 = log 1 = 0
medida 2 = log 10 = 1
medida 3 = log 100 = 2
medida 4 = log 1000 = 3
medida 5 = log 10000 = 4
medida 6 = log 100000 = 5
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5.
08. Resposta: A.
y = log (81) (1/27)
y = -3log(81)(3)
y = -3. 1/4
y = -3/4
x(-3/4) = 8
Elevando os dois termos à quarta potência:
x-3 = 84
1/x3 = 84
Agora raiz cubica dos dois termos:
1/x = 8 4/3
Como 3√8=2
1/x = 24
1/x = 16
x = 1/16
09. Resposta: C.
De acordo com o enunciado:
log n = 3 - log 2
log n + log 2 = 3 . 1
, onde 1 = log 10
então:
log (n .2) = 3 . log 10
log(n.2) = log 10 3
2n = 103
2n = 1000
n = 1000 / 2
n = 500
. 116
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
10. Resposta: B.
Log 6 = Log (2. 3)
De acordo com uma das propriedades:
Log (A*B) = Log A + Log B
Então, Log (2*3) = Log 2 + Log 3.
Fatorando o número 28 temos que
28=2x2x7
Temos que:
Log 28 = Log (2x2x7)
ou seja,
Log 28 = Log 2+Log 2+ Log 7
Portanto:
Log 2+ Log 3 + X = Log 2 + Log 2 +Log 7
Cortando o Log 2 dos dois lados temos:
Log 3 + X = Log 2 + Log 7
Dados os valores da tabela, e substituindo-os , temos que:
0,477 + X = 0,301+0,845
X = 0,669
Funções trigonométricas
OBS.: Caros alunos, para facilitar seus estudos, iremos abordar este tópico mais abaixo, em
Funções trigonométricas e seus gráficos; Cálculo das linhas dos arcos usuais. Funções
trigonométricas inversas.
LIMITE
A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de
aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo
diferencial e em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.
Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: tende), isto é,
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐴
𝑥→𝑎
se, tendendo x para o seu limite, de qualquer maneira, sem atingir o valor a, o módulo de f(x) – A se torna
e permanece menor que qualquer valor positivo, predeterminado, por menor que seja.
Teoremas
1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus
limites.
2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de
seus limites.
3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus
limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.
. 117
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que
esta raiz precisa ser real.
Devemos ter atenção em não supor que lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), pois lim 𝑓 (𝑥) depende do comportamento de
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.
4ª)
Exemplo:
5ª)
Exemplo:
6ª)
Exemplo:
. 118
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
7ª)
Exemplo:
8ª)
Exemplo:
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
Se
Se
CONTINUIDADE
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições
são satisfeitas:
é contínua em a .
. 119
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Caso particular: usa-se para provar que uma função tem zeros.
Notas:
Exemplo
Exercícios exemplificativos:
. 120
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
DERIVADAS
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente trigonométrica do
ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de
y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x 0 é dada por:
Regras de derivação
Grupo I
1. A derivada de uma constante é zero.
(c)’ = 0
4. Derivada da potência.
(un)’ = n un-1. u’
6. Derivada do produto.
(u.v)’ = u’. v + u.v’
(r.s.t...z)' = r'.s.t...z + r.s'.t...z +...+ r.s.t...z'
7. Derivada da divisão.
(u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v2
Grupo II
8. ( eu )’ = eu.u'
9. (ln u)’ = u' / u
10. (sen u)’ = cos u.u’
11. (cos u)’ = - sen u.u’
12. (tan u)’ = sec2u.u’
Grupo III
13. (au)’ = au . ln a . u’
14. (loga u)’ = u’(x) / u ln a
15. (cot u)’ = - csc2 u u’
16. (sec u)’ = sec u tan u u’
17. (csc u)’ = - csc u cot u u’
18. (sen-1u)’ = u’ / (1- u2)1/2
19. (cos-1u)’ = - u’ / (1 - u)2 )1/2
20. (tan-1u)’ = u’ / (1 + u2)
21. (cot-1u)’ = - u’ / (1 + u2)
22. (sec-1u)’ = u’ / |u|.(u2 – 1)1/2
23. (csc-1u)’ = - u’ / |u|.(f(x)2 – 1)1/2
. 121
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Grupo IV - Hiperbólicas
24. (senh u)’ = cosh u.u'
25. (cosh u)’ = senh u.u'
26. (tanh u)’ = sech2u.u'
27. (coth u)’ = - csch2 u . u’
28. (sech u)’ = - sech u tanh u . u’
29. (csch u)’ = - csch u coth u . u’
30. (senh-1u)’ = u’ / (1 + u2 )1/2
31. (cosh-1u)’ = u’ / (u2 -1)1/2
32. (tanh-1u)’ = u’ / (1- u2)
33. (coth u)’ = - u’ / (u2 -1)
34. Dx |u| = ( u Dx u) ) / |u|
Regra da Cadeia
A derivada de g(u(x)) é a derivada da função externa calculada na função interna, vezes a derivada da
função interna.
Dxv(u(x)) = Duv(u).Dxu(x)
. 122
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x1= abscissa de um ponto de máximo local.
x2= abscissa de um ponto de mínimo local.
x3= abscissa de um ponto de máximo local.
As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3, respectivamente, são paralelas ao
eixo x, logo, a derivada de f anula-se para x1, x2 e x3, ou seja, f’(x1) = f’(x2) = f’(x3) = 0.
Observação:
Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira anula–se.
Regra L’ Hôpital
Aqui será trabalhado somente com a ideia intuitiva, não explorando definições que, provavelmente,
causariam muita confusão e distanciariam do objetivo.
Porém, no estudo dos limites de uma função há casos em que nos deparamos com indeterminações
do tipo:
Nesses casos recorremos a diversos casos de fatoração para tentarmos driblar a indeterminação,
como por exemplo:
. 123
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
No entanto há situações em que não é possível utilizar nenhum desses artifícios. Para esses casos
utilizamos as regras de L´Hopital, que podem ser muito bem trabalhadas no ensino médio, sempre com
a finalidade de facilitar a intepretação do comportamento das funções e a construção de gráficos.
Conhecendo as duas propriedades, fica mais fácil o cálculo dos limites que aparecem nas
indeterminações citadas anteriormente. Deixe bem claro aos alunos que essas propriedades só podem
ser utilizadas se as hipóteses forem satisfeitas.
Exemplo
. 124
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Reta tangente e Reta Normal ao gráfico de uma função
. 125
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
. 126
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
. 127
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Referências
http://www.aedmoodle.ufpa.br/pluginfile.php/314420/mod_resource/content/0/Aula%2015%20-%20Plano%20tangente%20e%20gradiente.pdf
Stewart, James. Cálculo: Volume 1. 5ªed. Cengage Learning. São Paulo.
somatematica.com.br
brasilescola.com
colegioweb.com.br
matematiques.com.br
Questões
. 128
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. ( IF/BA – Professor de Matemática – AOCP) Sejam f e g funções duas vezes derivável, f ' (1 )
= 2, f " (1) = 4, g(0) = 1, g'(0) = 2, g"(0) = 8. O valor da derivada segunda da função composta (fog) no
ponto 0 (zero) é:
(A) 0.
(B) 8.
(C) 16.
(D) 32.
(E) 64.
que é (são):
(A) -1 ou 11.
(B) 1 ou -11.
(C) 5/2.
(D) -1.
(E) 1.
Respostas
01. Resposta: A.
Como a questão pede o valor de a então teremos que encontrar o ponto x=0.
𝑠𝑒𝑛𝑥
Assim calcularemos o limite de x tendendo a 0 de f(x) = 𝑥 .
𝑠𝑒𝑛𝑥
Então lim 𝑥
, como temos uma indeterminação do tipo 0/0, aplicaremos a regra de L’Hôpital.
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
Assim, lim 𝑥
= lim 1
= 1, portanto o valor de a é 1.
𝑥→0 𝑥→0
02. Resposta: D.
Q = f(g(x))
Q'= f'(g(x))g'(x) (Pela regra da cadeia)
Q"= f''(g(x))g'(x)g'(x) + f'(g(x))g''(x) (Pela regra do produto)
Q"(0) = f''(1).2.2+f'(1).8
Q"(0) =4.2.2+2.8 = 32
03. Resposta E.
𝑥 2−3𝑥−4
f(x) 𝑥+5
42 −3.4−4
f(4) = 4+5
=0
(−1)2−3.(−1)−4
f(-1) = −1+5
=0
f’(c) é a derivada de f no ponto c, Calculemos f’(x).
(2x – 3).(𝑥+5)−(𝑥 2−3𝑥−4).(1) 2𝑥 2+7𝑥−15−𝑥 2+3𝑥+4 𝑥 2 +10𝑥−11
f’(x) = (𝑥+5)²
= (𝑥+5)²
= (𝑥+5)²
𝑐 2+10𝑐−11 0−0
Assim, f’(c) = (𝑐+5)²
= 5
c² +10c -11=0
Logo resolvendo essa equação do 2º grau, c’ = 1 e c” = -11(fora do intervalo)
Portanto a única solução é c’ = 1. Alternativa E.
. 129
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Integrais imediatas
INTEGRAL
- Integrais Imediatas
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também
muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas ideias. Assim, nesta seção,
será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F(x) é primitiva da função f (x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida
da função (fx) e é denotada por:
Vejamos os exemplos:
. 130
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Propriedades da integral indefinida
Sejam f(x) e g(x) funções definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:
∫(𝑢𝑣)′𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′𝑣 𝑑𝑥
De forma mais simplificada poderemos escrever 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Exemplo:
∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥
Voltando:
∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − (2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 ) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
. 131
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Integral por Substituição ou Mudança e Variável
Substituindo na integral
𝑒 𝑦 𝑑𝑦 1 𝑦
∫ = 𝑒 +𝑐
2 2
Integral definida
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo
específico, digamos, a ≤ x ≤ b. O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x.
Vejamos a definição:
Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada
função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano
cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física.
Observe a ilustração a seguir:
Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o
intervalo a e b:
A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois
intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o
produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá
a área total da superfície sob a curva.
. 132
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:
Exemplos
01. Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) = – x² +
4, no intervalo [-2,2].
. 133
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2, é de 10,6 unidades
de área.
Esboço da região:
Para encontrar os limites de integração, fazemos f (x) = g(x) , isto é, x + 6 = x², que fornece x² -x -6 =
0. Pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes da equação dita anteriormente, x = -2 e x = 3, que
serão os limites de integração. Observe pelo gráfico acima que x + 6 ≥ x², para todo x em [-2, 3].
Para calcular a área da região limitada por:
125
Portanto a área será 6
𝑢𝑎.
. 134
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x.
.
É preciso observar que cada secção transversal do sólido B, obtida a partir de x, , é um
círculo centrado no ponto e raio f(x) e, portanto, cuja área é .
Exemplo
Seja , . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja
pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e .
Resolução
. 135
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de , pelo eixo
x, e as retas x=0 e ,
é dado por:
Exemplo
Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para , sendo girada
primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.
Resolução
. 136
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O volume do sólido é dado por:
Referências
Curso de Graduação em Administração a Distância
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf
Questões
01. (IF-BA – Professor de Matemática – INSTITUTO AOCP) A integral ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 tem como
resultado:
(A) –xcos(x) + sen(x) + c
(B) xcos(x) - sen(x) + c
𝑥2
(C) − 2
cos(x) + c
𝑥2
(D) cos(x) + c
2
(E) –cos(X) + c
Respostas
01) Resposta: A.
Para resolver esta questão devemos utilizar integral por partes. 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Seja 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
. 137
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
x.(-cos(x)) - ∫ − cos(𝑥) 𝑑𝑥
-xcos(x) + sen(x) + c
02. Resposta: D.
2
∫ 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥
1
𝑥3 23 13 8 1 7 10
𝑥+ 3
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [1,2], 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 2 + 3
− (1 + 3 ) = 2 + 3 − 1 − 3 = 1 + 3 = 3
SEQUÊNCIAS
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de
aniversário dos alunos de uma determinada escola.
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a 1 para o
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo a n é também chamado
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos
atenção ao estudo das sequências numéricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.
Exemplos:
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos
que esta é uma sequência finita com a 1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10
= 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada.
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões
diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos
termos, na mesma ordem.
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x =
5; y = 8; z = 15; e t = 17.
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.
. 138
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplos:
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a:
an = n2 – 2n, com n ∈ N*.
Teremos:
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17
Teremos:
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências.
Exemplos:
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*.
- a1 = 12
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.
. 139
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma
fórmula geral para seus termos.
Observação 3
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um
número natural.
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética.
Sequência de Fibonacci
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento,
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento
de modelos explicativos de fenômenos naturais.
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam
a sequência de Fibonacci.
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada
retângulo áureo ou retângulo de ouro.
. 140
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑦 𝑎
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 𝑎
= 𝑏 (1).
Como: b = y – a (2).
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0.
Resolvendo a equação:
𝑎(1±√5 1−√5
𝑦= 2
em que ( 2
< 0) não convém.
𝑦 (1+√5
Logo: 𝑎 = 2
= 1,61803398875
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:
1 + √5
𝜃=
2
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo
como o caso da fachada do Partenon.
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r).
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a 1, a2, a3, a4, ......., an, ....
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo
imediatamente anterior a ele.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1
Exemplos:
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a 1 = 5 e razão r = 4
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a 1 = 2 e razão r = 7
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a 1 = 23 e razão r = - 2.
. 141
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
n° termo é:
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫
(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧 ). 𝐧
𝐒𝐧 =
𝟐
Propriedades:
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém,
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos.
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos
a
anterior com o posterior. Ou seja, (a 1, a2, a3, ...) <==> a2 = a3 .
1
Exemplo:
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q).
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a 1, a2, a3, a4, ......., an,...
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo
imediatamente anterior a ele.
. 142
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎𝑛
𝑞 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎4 = ⋯ … … … = 𝑎𝑛−1
1 2 3
Exemplos:
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 3 e razão q = 2
−9 −9 1
- (-36, -18, -9, , ,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = - 36 e razão q =
2 4 2
5 5 1
- (15, 5, 3, 9,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 15 e razão q = 3
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = - 2 e razão q = 3
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 1 e razão q = - 3
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 5 e razão q = 1
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 7 e razão q = 0
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 0 e razão q indeterminada
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando
a1 < 0 e 0 < q < 1.
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
quando a1 < 0 e q > 1.
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária.
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos:
1° termo: a1
2° termo: a2 = a1.q
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4
. . . . .
. . . . .
. . . . .
n° termo é:
an = a1.qn – 1
. 143
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo
limite. Então temos a seguinte fórmula:
𝐚𝟏
𝐒= → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏
𝟏−𝐪
2 2
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 = 1 = 1 = 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a
1−
2 2
4.
|𝐏𝐧 | = √(𝐚𝟏 . 𝐚𝐧 )𝐧
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo:
1- O produto de n números positivos é sempre positivo.
2- No produto de n números negativos:
a) se n é par: o produto é positivo.
b) se n é ímpar: o produto é negativo.
Propriedades
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto
destes extremos.
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos.
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos.
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a 1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3 . a1 .
Exemplo:
Questões
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...)
. 144
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 339
(B) 337
(C) 333
(D) 331
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07.
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é
(A) –6,7.
(B) 0,23.
(C) –3,1.
(D) –0,03.
(E) –0,23.
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a n, em
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:
(A) 58
(B) 59
(C) 60
(D) 61
(E) 62
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
(A) 3,1
(B) 3,9
(C) 3,99
(D) 3, 999
(E) 4
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a
(A) 264.
(B) 2126.
(C) 266.
(D) 2128.
(E) 2256.
. 145
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado
na figura.
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a
(A) 36.
(B) 38.
(C) 39.
(D) 40.
(E) 42.
Respostas
01. Resposta: A.
r = 48 – 45 = 3
𝑎1 = 45
. 146
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339
02. Resposta: D.
𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03
03. Resposta: B.
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 -
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 -
(8; 9; 10; 11; …).
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E, portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59.
04. Resposta: E.
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S 1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S 1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
05. Resposta: C.
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 .
Assim:
𝑎6 = 26−1 = 25 = 32
𝑎8 = 28−1 = 27 = 128
A soma fica: 32 + 128 = 160.
06. Resposta: E.
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2
100 = 4 ∙ 𝑞2
𝑞2 = 25
𝑞=5
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520
07. Resposta: B.
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4
A64 = ?
a1 = 1
q=4
n = 64
. 147
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1
08. Resposta: D.
𝑟1 𝑟2
Se estão em Progressão Geométrica, então: 𝑟
= 𝑟1
, ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2 .
2
Assim: 𝑟1 = 144
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim:
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12
𝑟 + 𝑟2 = 40
09. Resposta: C.
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟
𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35
10. Resposta: A.
99 = 9 + (𝑛 − 1)10
10𝑛 − 10 + 9 = 99
𝑛 = 10
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9
99 = 90 + (𝑛 − 1)
𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2
19+1=20
11. Resposta: D.
r=4
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936
Portanto, o último algarismo é 6.
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b 2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos
deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no
universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R).
No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar √−1 por i, convenção que
utilizamos até os dias atuais.
Assim: √−1 = i, que passamos a chamar de unidade imaginária.
A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números
complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados,
ou seja:
z = (x, y)
onde x ∈ a R e y ∈ a R.
. 148
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Então, por definição, se z = (x, y) = (x,0) + (y, 0)(0,1) onde i = (0,1), podemos escrever que:
z = (x, y) = x + yi
Exemplos
(5, 3) = 5 + 3i
(2, 1) = 2 + i
(-1, 3) = - 1 + 3i
Dessa forma, todo o números complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + yi, conhecido como
forma algébrica, onde temos:
x = Re(z), parte real de z
y = Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos: Dois números complexos são iguais se, e somente se,
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di,
temos que:
z1 = z2 <==> a = c e b = d
Adição de números complexos: Para somarmos dois números complexos basta somarmos,
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z2 = c + di, temos
que:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos,
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z 1 = a + bi e z2 = c + di, temos
que:
z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i
Nota: As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os
números complexos.
Propriedade:
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real.
𝑧. 𝑧̅ ∈ 𝑅
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z 1= a + bi e z2= c + di, temos
que:
. 149
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1= 1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2= -1
i7 = i6. i =(-1).i= -i ......
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se módulo de z, indicado por |z| ou 𝜌 , a
distância entre a origem (O) do plano de Gauss e o afixo de z (P).
| z |= 𝜌 =√ 𝑎2 + 𝑏2
. 150
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
É dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a + b) + i sen(a + b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar
os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a + b) + i sen(a + b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para
todo número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra
forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a) + isen(a)] [cos(b) + isen(b)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais,
logo
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para obter
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a - b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
a) Multiplicação
b) Divisão
c) Potenciação
d) Radiciação
. 151
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo
Calcular a raiz quadrada do número complexo:
Para k = 0, teremos:
Questões
01. (PM/SP – CABO – CETRO) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo
abaixo.
(1 + 2𝑖 )2
𝑧=
𝑖
(A) 36.
(B) 25.
(C) 5.
(D) 6.
. 152
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
03. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa correspondente à forma
trigonométrica do número complexo z=1+i:
𝜋 𝜋
(A) 𝒛 = √2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
4 4
𝜋 𝜋
(B) 𝑧 = 2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
4 4
√2 𝜋 𝜋
(C) 𝑧 = (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
2 4 4
1 𝜋 𝜋
(D) 𝑧 = (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
2 4 4
√2 𝜋 𝜋
(E) 𝑧 = (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
2 3 3
1+√5𝑖
05. (Professor/Pref Itaboraí) O inverso do número complexo 2
é:
1 + √5𝑖
(𝐴)
2
1 − √5𝑖
(𝐵)
2
(C) 1 − √5𝑖
1 + √5𝑖
(𝐷)
3
1 − √5𝑖
(𝐸)
3
1+2𝑖
06. (UFPA) A divisão 1−𝑖
dá como resultado
−1 3
(A) 2
−2𝑖
1 3
(B) + 𝑖
2 2
−1 3
(C) + 𝑖
2 2
1 3
(D) 2
−2𝑖
. 153
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. (UCMG) O complexo z, tal que 5z + 𝑧̅ = 12 +16i, é igual a:
(A) - 2 + 2i
(B) 2 - 3i
(C) 1 + 2i
(D) 2 + 4i
(E) 3 + i
2+3𝑖
09. (Viçosa – MG) A parte real de 2−3𝑖 é:
(A) -2/13
(B) -5/13
(C) -1/13
(D) -4/13
2−𝑖
10. (Mack – SP) O conjugado de 𝑖
, vale:
(A) 1 - 2i
(B) 1 + 2i
(C) 1 + 3i
(D) -1 + 2i
(E) 2 - i
Gabarito
01. C/ 02. E/ 03. A/ 04. E/ 05. E/ 06. C/ 07. C/ 08. D/ 09. B/ 10. D
Comentários
01. Resposta: C.
1 + 4𝑖 − 4 −3 + 4𝑖 𝑖
𝑧= = ∙ = 3𝑖 + 4
𝑖 𝑖 𝑖
|𝑧| = √32 + 4² = 5
02. Resposta: E.
x=6-x
x=3
4+y=2y
y=4
|𝑧| = √32 + 4² = 5
03. Resposta: A.
𝜌 = √12 + 1² = √2
1 √2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = = = 𝑠𝑒𝑛𝜃
√2 2
𝜋
𝜃=
4
𝜋 𝜋
𝑧 = √2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 )
4 4
04. Resposta: E.
62/4=15 e resto 2 então i62=i2= -1
123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i, como 𝑖 = √−1
𝑖 62 + 𝑖 123 = −1 − √−1
05. Resposta: E.
O inverso de z é 1/z :
. 154
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2 2 1 − √5𝑖 2 − 2√5𝑖 2 − 2√5𝑖 2 − 2√5𝑖 1 − √5𝑖
= . = = = =
1 + √5𝑖 1 + √5𝑖 1 − √5𝑖 12 − (√5𝑖)2 1 − 5𝑖 2 6 3
06. Resposta: C.
Temos q a = 1; b = 2; c = 1; d = - 1
Através da fórmula já vista vamos efetuar a divisão:
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 1.1 + (−1). 2 2.1 − (1. (−1))
( 2 2
)+( 2 2
)𝑖 → ( 2 2
)+( 2 )𝑖 →
𝑐 +𝑑 𝑐 +𝑑 1 + (−1) 1 + (−1)2
1−2 2+1 −1 3
+ 𝑖→ + 𝑖
2 2 2 2
07. Resposta: C.
f(z) = z2 – z + 1 (1 - i)2 – (1 - i) + 1 1 - 2i + i2 – 1 + i +1 i2 – i + 1; como i2 = - 1, então: - 1 – i +
1=-i
08. Resposta: D.
A fórmula do número complexo é z = a + bi, e de seu conjugado será 𝑧̅ = a - bi
Logo temos:
5.(a + bi) + (a - bi) = 12 + 16i 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i 6a + 4bi = 12 + 16i, para um número
complexo ser igual ao outro, vamos igualar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte
imaginária:
6a = 12 a = 2; 4bi = 16i b = 4
Montando o complexo: z = a + bi z = 2 + 4i
09. Resposta: B.
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
( 2 2
)+( 2 )𝑖
𝑐 +𝑑 𝑐 + 𝑑2
10. Resposta: D.
Vamos multiplicar o denominador e numerador pelo conjugado do denominador – i. Lembre-se que i2
=-1
2 − 𝑖 −𝑖 −2𝑖 + 𝑖 2 −2𝑖 − 1
. → → → −2𝑖 − 1
𝑖 −𝑖 −𝑖 2 −(−1)
Temos que o conjugado de um número complexo é: a + bi a - bi, logo
-1 – 2i -1 + 2i
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com
problemas de contagem, sendo eles:
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC);
- Fatorial de um número natural;
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação);
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação).
. 155
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras.
Exemplos
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã,
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco?
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades:
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de
possibilidades:
. 156
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega.
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade?
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas:
Questões
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é:
(A) 19
(B) 480
(C) 420
(D) 90
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro) Seja N a
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O valor de N é:
(A) 120
(B) 240
(C) 360
(D) 480
Comentários
01. Resposta: B.
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as
possibilidades de fazermos o pedido:
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras.
02. Resposta: C.
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 =
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo,
teremos 4 possibilidades, montando temos:
. 157
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
n! = n. (n – 1 ). (n – 2). ... . 1
Onde:
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”)
Por convenção temos que:
0! = 1
1! = 1
Exemplos
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila.
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições:
9!
2) Dado , qual o valor dessa fração?
5!
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos:
9! 9.8.7.6.5!
= = 3024
5! 5!
TIPOS DE AGRUPAMENTO
Exemplos
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos
podemos formar com este conjunto?
. 158
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar
a fórmula do arranjo.
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p).
Então:
𝒏!
𝑨𝒏, 𝒑 =
(𝒏 − 𝒑)!
Utilizando a fórmula:
Onde n = 6 e p = 3
n! 6! 6! 6.5.4.3!
An, p = → A6,3 = = = = 120
(n − p)! (6 − 3)! 3! 3!
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha?
n = 18 (professores)
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico)
Exemplos
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO?
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L?
. 159
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L.
Exemplos
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes.
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ...
𝑨𝒏, 𝒑 𝒏!
𝑪𝒏, 𝒑 = → 𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒑! (𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 =
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...).
Aplicando a fórmula:
n! 7! 7! 7.6.5.4! 210 210
Cn, p = → C7,4 = = = = = = 35 grupos de professores
(n − p)! p! (7 − 4)! 4! 3! 4! 3! 4! 3.2.1 6
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com
extremidades em dois desses pontos?
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos.
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos:
A) arranjo com repetição;
. 160
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
B) permutação com repetição;
C) combinação com repetição.
Vejamos:
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto,
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter
elementos repetidos.
Indicamos por AR n,p
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑
Exemplo
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema
decimal) podem ser formadas?
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos:
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados:
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas.
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros
teríamos:
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em
que o mesmo elemento aparece.
𝒏!
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) = …
𝜶! 𝜷! 𝜸!
. 161
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Com α + β + γ + ... ≤ n
Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
n=5
α = 3 (temos 3 vezes a letra A)
β = 2 (temos 2 vezes a letra R)
Equacionando temos:
𝒏! 𝟓! 𝟓. 𝟒. 𝟑! 𝟓. 𝟒 𝟐𝟎
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) = … → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) = = = = = 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔
𝜶! 𝜷! 𝜸! 𝟑! 𝟐! 𝟑! 𝟐! 𝟐. 𝟏 𝟐
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da
seguinte forma:
𝑷𝒄𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações
circulares será dado por:
5! 5.4!
𝑃𝑐 5 = = = 4! = 4.3.2.1 = 24
5 5
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem.
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑
Exemplo
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos?
Ilustrando temos:
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade
de enumerar todas as possibilidades:
n=3ep=2
𝟒! 𝟒! 𝟒. 𝟑. 𝟐! 𝟏𝟐
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 = = = = =𝟔
𝟐! (𝟒 − 𝟐)! 𝟐! 𝟐! 𝟐! 𝟐! 𝟐
Referências
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia
Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003.
. 162
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Questões
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é:
(A) 4
(B) 660
(C) 1 320
(D) 3 960
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de
placas diferentes será igual a
(A) 175.760.000.
(B) 183.617.280.
(C) 331.776.000.
(D) 358.800.000.
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o
número de códigos diferentes que se pode obter é de
(A) 10.
(B) 30.
(C) 50.
(D) 150.
(E) 250.
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais,
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições
alimentares dos três é igual a
(A) 384.
(B) 392.
(C) 396.
(D) 416.
(E)432.
06. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que
Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre
suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28.
. 163
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
07. (PREF. NEPOMUCENO/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa
sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras
é possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas
acesas?
(A) 12.
(B) 18.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 36.
Comentários
01. Resposta: B.
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos:
n!
Cn, p =
(n − p)! p!
Onde n = 12 e p = 3
n! 12! 12! 12.11.10.9! 1320 1320
Cn, p = → C12,3 = = = = = = 220
(n − p)! p! (12 − 3)! 3! 9! 3! 9! 3! 3.2.1 6
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660.
02. Resposta: C.
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos
_ _ _ _ _ _ _
101010 242424 24=331.776.000
03. Resposta: B.
_____
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores
. 164
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco.
32-2=30
04. Resposta: E.
Para Alberto: 5+4=9
Para Bianca: 4
Para Carolina: 12
___
9.4.12=432
05. Resposta: A.
1001.
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126
06. Resposta: C.
Anagramas de RENATO
______
6.5.4.3.2.1=720
Anagramas de JORGE
_____
5.4.3.2.1=120
720
Razão dos anagramas: 120 = 6
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos
07. Resposta: C.
1ª possibilidade: 2 ventiladores e 3 lâmpadas
3!
𝐶3,2 = =3
1!2!
4!
𝐶4,3 = 1!3! = 4
𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12
4!
𝐶4,4 = 0!4! = 1
𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3
4!
𝐶4,3 = 1!3! = 4
𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4
4!
𝐶4,4 = =1
0!4!
𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20
. 165
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. Resposta: A.
Engenheiros
3!
𝐶3,1 = =3
2! 1!
Técnicos
9! 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
𝐶9,3 = = = 84
3! 6! 6 ∙ 6!
3 . 84 = 252 maneiras
09. Resposta: D.
F _ _ _ _ P4 = 4!
I _ _ _ _ P4 = 4!
L _ _ _ _p4 = 4!
U_ _ _ _P4 = 4!
ZF_ _ _P3 = 3!
ZIF_ _P2 = 2!
ZILFU-1
ZILUF
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105
Portanto, ZILUF está na 106 posição.
10. Resposta: D.
A primeira pessoa apertará a mão de 7
A Segunda, de 6, e assim por diante.
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28
NÚMERO BINOMIAL
𝑛 𝑛!
( )= , se n ≥ k
𝑘 𝑘!(𝑛−𝑘)!
𝑛
( ) = 0, se n < k
𝑘
𝑛−1 𝑛−1 𝑛
b) ( )+( )=( )
𝑘−1 𝑘 𝑘
𝑛 𝑛−𝑘 𝑛
c) ( ) . =( )
𝑘 𝑘+1 𝑘+1
𝑛 𝑛 𝑛
d) Temos que ( ) = 1 , ( ) = 1 e ( ) = 𝑛
0 𝑛 1
. 166
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
TRIÂNGULO DE PASCAL OU TARTAGLIA
Definição: é uma tabela formada por números binomiais dispostos de tal forma que os binomiais de
mesmo numerador situam-se na mesma linha e os mesmo denominador na mesma coluna.
BINÔMIO DE NEWTON
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 (onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio]).
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota: Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem
definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja,
igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil
memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O
resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro
termo do item (d) acima teríamos:
5 × 4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20 ÷ 2
= 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até
n. Assim o terceiro termo é 10 a 3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b
cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b) 7 será:
. 167
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Observações:
1) O desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais
.
4) A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Questões
01. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
(A) 144𝑥 2
(B) 258𝑥 2
(C) 3𝑥 7
(D) 𝑥 9
(E) 672𝑥³
03. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
1 6
04. O termo independente de x no desenvolvimento de (x + 𝑥
) é:
(A) 6
(B) 15
(C) 18
(D) 20
(E) 30
. 168
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
5
06. Qual o valor numérico de ( ).
3
(A) 10
(B) 5
(C) 2
(D) 1
(E) 20
2𝑥 2𝑥
07. O(s) valor(es) de x que torna(m) verdadeira a equação ( ) = ( ) é:
𝑥−1 3
(A) x = 2 ou x = 1
(B) x = 1 ou x = 4
(C) x = 3 ou x = 4
(D) x = 4 ou x = 3
(E) x = 2 ou x = 4
Respostas
01. Resposta: E.
Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n, onde:
a = 2x
b=1
n=9
Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos
indicados.
Temos então:
9 9! 9 .8 .7 .6!
T6+1 = T7 = ( ). (2x)9 - 6 . (1)6 = . (2𝑥)3 . 1 = .8𝑥³ = 672𝑥³
6 [(9−6)! ×6!] 3 .2.1 .6!
Portanto o sétimo termo procurado é 672x 3.
02. Resposta: A.
Temos:
a = 2x
b = 3y
n=8
Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6
T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto
termo).
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer k = 4 na fórmula do termo
geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:
8 8! 8 .7 .6 .5 .4!
T4+1 = T5 = ( ). (2x)8-4 . (3y)4 = [(8−4)! .4!] . (2x)4 . (3y)4 = (4! .4 .3 .2 .1 . 16x4 . 81y4
4
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
03. Resposta: C.
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo,
3n = 15 de onde se conclui que n = 5.
04. Resposta: D.
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não
possui x.
Temos no problema dado:
a=x
1
b=𝑥
n = 6.
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
6 1 6 6
Tk + 1 = ( ). x6 - k . (𝑥 )k = ( ). x6 - k . x- k = ( ). x6 - 2p .
𝑘 𝑘 𝑘
. 169
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1.
Logo, fazendo 6 – 2k = 0, obtemos k = 3. Substituindo então k por 6, teremos o termo procurado.
Temos então:
6 6! 6 .5 .4 .3!
T3+1 = T4 = ( ). x0 = [(6−3)! .3!] = 3! .2 .1 = 20
3
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
05. Resposta: D.
5! = 5.4.3.2.1 = 120
06. Resposta: A.
(5) =
5! 5.4.3! 5.4 20
= 3!.2! = 2.1 = 2 = 10
3 3!(5−3)!
07. Resposta: E.
Esses dois números binomiais são iguais se:
x – 1 = 3 ou x – 1 + 3 = 2x
x = 3 + 1 ou 2 = 2x – x
x=4 ou x=2
Probabilidade
PROBABILIDADE
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do
conhecimento.
Definições:
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos
probabilísticos.
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos,
mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas faces.
Exemplo:
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é:
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do
espaço amostral n(A) = 8
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E.
. 170
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo:
a) no lançamento de 3 moedas:
E1→ aparecer faces iguais
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)}
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)}
Como, C = S – E
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos,
então: A ∩ B = Ø.
Sejam os eventos:
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par.
A = {2,4,6}
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5.
B = {5}
. 171
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø.
𝐧(𝐄)
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐒)
Exemplo:
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida
da seguinte forma:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
E = {1, 3, 5} n(E) = 3
n(E) 3 1
P(E) = = = = 0,5 𝑜𝑢 50%
n(S) 6 2
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B).
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
= + −
𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆)
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
P (A U B) = P(A) + P(B)
. 172
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo:
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ?
P (A U B) = 100% = 1
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos:
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1
P (A ∩ B) = 0,03 = 3%
Probabilidade condicional
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade
𝐴
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (𝐵 ), a razão:
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑨|𝑩) = =
𝒏(𝑩) 𝑷(𝑩)
P (A ∩ B) = P(A). P(B)
. 173
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo:
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5
na dado e cara na moeda.
Sendo, c = coroa e k = cara.
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)}
Evento A: 3 ou 5 no dado
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)}
4 1
𝑃(𝐴) = =
12 3
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de
ocorrer o evento B. Com isso temos:
P (A ∩ B) = P(A). P(B)
1 1 1
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = . =
3 2 6
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei
binomial.
. 174
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e 𝐸̅.
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes.
- Cada experimento é independente dos demais.
Exemplo:
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras?
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que
satisfaz o problema, pode ser:
Temos que:
n=4
k=3
1 1
̅̅̅ = 1 −
𝑃(𝐸 ) = , 𝑃(𝐸)
2 2
1 3 1 1
Podemos também resolver da seguinte forma: (43) maneiras de ocorrer o produto (2) . (1 − 2) ,
portanto:
4 1 3 1 1 1 1 1
( )
𝑃 𝐸 = ( ) . ( ) . (1 − ) = 4. . =
3 2 2 8 2 4
Referências
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único
BUCCHI, Paulo – Curso prático de Matemática – Volume 2 – 1ª edição - Editora Moderna
Questões
01. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês
é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em
uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos
alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é
(A) 23,7%
(B) 30,0%
(C) 44,1%
(D) 65,7%
(E) 90,0%
02. (ENEM - CESGRANRIO) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada.
Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos
diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
. 175
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III)
sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o
exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
(A) P(I) < P(III) < P(II)
(B) P(II) < P(I) < P(III)
(C) P(I) < P(II) = P(III)
(D) P(I) = P(II) < P(III)
(E) P(I) = P(II) = P(III)
03. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
(A) 1/100
(B) 19/100
(C) 20/100
(D) 21/100
(E) 80/100
04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades
dos funcionários de certa repartição pública:
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é:
(A) 30%;
(B) 35%;
(C) 40%;
(D) 45%;
(E) 55%.
05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas.
São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5.
Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição.
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é:
(A) 16/25;
(B) 16/19;
(C) 12/19;
(D) 4/5;
(E) 3/5.
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32
quadradinhos brancos.
. 176
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) ½;
(B) ¼;
(C) 1/8;
(D) 9/16;
(E) 7/32.
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é:
(A) 3/5.
(B) 2/10.
(C) 1/10.
(D) ½.
(E) 2/3.
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Uma loja
de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto
em um serviço autorizado.
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos
seis primeiros meses é de aproximadamente:
(A) 90%
(B) 81%
(C) 54%
(D) 11%
(E) 89%
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma
caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios
para o consumo.
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados?
(A) 2/153
(B) 1/9
(C) 1/51
(D) 1/3
(E) 4/3
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O jogo da
memória é um clássico jogo formado por peças que apresentam uma figura em um dos lados. Cada figura
se repete em duas peças diferentes. Para começar o jogo, as peças são postas com a figura voltada para
baixo, para que não possam ser vistas. Cada participante deve, na sua vez, virar duas peças e deixar que
todos as vejam. Caso as figuras sejam iguais, o participante deve recolher consigo esse par e jogar
novamente. Se forem peças diferentes, estas devem ser viradas novamente e a vez deve ser passada ao
participante seguinte. Ganha o jogo quem tiver descoberto mais pares, quando todos eles tiverem sido
recolhidos.
Fonte:<http:// www.wikipedia.org/wiki/Jogo_de_memoria>. Acesso em: 13.mar.2014.
Suponha que o jogo possua 2n cartas, sendo n pares distintos. Qual é a probabilidade de, na primeira
tentativa, o jogador virar corretamente um par igual?
1
(A) 2𝑛−1
1
(B) 𝑛
1
(C) 2𝑛
1
(D) 𝑛−1
1
(E) 𝑛+1
. 177
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Respostas
01. Resposta: D.
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3%
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7%
02. Resposta: E.
Em 20 equipes com 10 atletas, temos um total de 200 atletas, dos quais apenas um havia utilizado
substância proibida.
A probabilidade desse atleta ser um dos escolhidos pelo:
Modo I é
1 199 198 3
𝑃(𝐼) = 3 ∙ ∙ ∙ =
200 199 198 200
Modo II é
1 1 9 8 3
𝑃 (𝐼𝐼) = ∙3∙ ∙ ∙ =
20 10 9 8 200
Modo III é
1 19 18 1 10 10 3
𝑃(𝐼𝐼𝐼 ) = 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ =
20 19 18 10 10 10 200
A equipe dele pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada e a probabilidade dele ser o
sorteado na equipe é 1/10
P(I)=P(II)=P(III)
03. Resposta: C.
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre
100.
04. Resposta: D.
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário:
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18
Logo a probabilidade é:
18
𝑃 (𝐸 ) = = 0,45 = 45%
40
05. Resposta: C.
B = bolas brancas
T = bolas pretas
Total 20 bolas = S (espaço amostral)
P(B) = 1/5
𝑛(𝐵) 1 𝑛(𝐵) 20
𝑃(𝐵) = → = → 𝑛(𝐵) = =4
𝑛(𝑆) 5 20 5
𝑛(𝑇) 15
𝑃 (𝑇2) = =
𝑛(𝑆) 19
. 178
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4 15 60 12
. = =
5 19 95 19
06. Resposta: E.
Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 64 quadradinhos no total, logo a probabilidade será de:
14 7
𝑃 (𝐸 ) = =
64 32
07. Resposta: C.
𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
A probabilidade é calculada por 𝑃 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1
Assim, 𝑃 = 10
08. Resposta: B.
6 / 60 = 0,1 = 10% de ter problema
Assim, se 10% tem problemas, então 90% não apresentam problemas.
90 90 8100
𝑃= .
100 100
= 10000
= 81%
09. Resposta: C.
3 2 6 1
𝑃 = 18 . 17 = 306 = 51
(: 6 / 6)
10. Resposta: A.
Como a primeira carta pode ser qualquer uma, as chances são certas (1). Após, a segunda carta
precisa ser igual à primeira, e só há 1 igual. Assim:
1 1 1
𝑃= 1
. 2𝑛−1 = 2𝑛−1
POLINÔMIOS
Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para
identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação,
potenciação e radiciação.
Em resumo:
- Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por exemplo:
x2y
3x – 2y
x + y5 + ab
- Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo, ou seja, que possui apenas coeficiente
e parte literal. Por exemplo:
a2 → 1 é o coeficiente e a2 parte literal.
. 179
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3x2y → 3 é o coeficiente e x2y parte literal.
- 5xy6 → -5 é o coeficiente e xy6 parte literal
- Adição
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes.
Exemplos:
1 - Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+ (– 3x2) = – 3x2
+ (+ 8x) = + 8x
+ (– 6) = – 6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
– 2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) = – 2x2 + 5x – 7
- Subtração
Exemplos:
1 - Subtraindo – 3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (– 3x2) = + 3x2
– (+ 10x) = – 10x
– (– 6) = + 6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
. 180
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
- Multiplicação
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:
1) Multiplicação de monômio com polinômio.
2) Multiplicação de número natural com polinômio.
3) Multiplicação de polinômio com polinômio.
- Divisão
. 181
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que diz que base
igual na divisão, repete a base e subtrai os expoentes.
Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de como resolver divisões de polinômio
por monômio.
Exemplo 1: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2)
O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab 2, que é um
monômio, irá dividir cada um deles, veja:
(10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2)
10𝑎3 𝑏3 8𝑎𝑏2
+
2𝑎𝑏2 2𝑎𝑏2
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por
monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal
por parte literal.
10𝑎3 𝑏3 8𝑎𝑏2
+
⏟2𝑎𝑏2 ⏟
2𝑎𝑏2
5𝑎 2𝑏 4
ou
O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x2y, que é um
monômio irá dividir cada um deles, veja:
9𝑥 2 𝑦 3 6𝑥 3 𝑦 2 𝑥𝑦
2
− 2
− 2
3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio.
Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte
literal.
9𝑥 2 𝑦 3 6𝑥 3 𝑦 2 𝑥𝑦 1
2
− 2
− 2 ⟶ 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 −
3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥
Portanto,
1 1𝑥 −1
(9𝑥 2 𝑦 3 − 6𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦): (3𝑥 2 𝑦) = 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 𝑜𝑢 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 −
3𝑥 3
. 182
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
P( x) D( x )
R( x) Q( x)
Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Obs: Quando temos R(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x)
é divisor de P(x).
Exemplo:
Determinar o quociente de P(x) = x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 por D(x) = x2 + 3x – 2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
Verificamos que:
x
4
x 3
- 2
7x 9x
- 1 (x 2 3x - 2) (x 2 - 2x 1) (2x 1)
P(x) D(x) Q(x) R(x)
O dispositivo de Briot-Ruffini
Utiliza-se para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x 3 – 5x2 + x – 2 por (x – 2).
Resolução:
. 183
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º
coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste;
5) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto
com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente;
6) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à
esquerda deste serão os coeficientes do quociente.
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4.
Saiba: P(x) = 2x3 + x – 1 é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das
potências xn (n = 1, 2, 3, ...) e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.
Saiba:
P(x) = 140x5 + √2 x3 – x2 + 3 NÃO é um polinômio de coeficientes racionais porque há pelo menos
um coeficiente das potências xn (n = 1, 2, 3, ...) ou do termo independente que não é um número racional.
No caso, o coeficiente irracional (que é um número real não racional) é √2 da potência cúbica. Preste
atenção: P(x) não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.
Um polinômio D(x) divide um polinômio A(x) - não nulo - se existe um polinômio Q(x) tal que
A(x) ≡ Q(x)D(x)
Por exemplo, D(x) = x + 2 divide A(x) = x 3 + 2x2 – 9x – 18 pois existe um Q(x) = x2 – 9 tal que A(x) ≡
Q(x)D(x). Veja:
x3 + 2x2 – 9x – 18 ≡ (x + 2)(x2 – 9)
Denotamos D(x) | A(x) e lemos: D(x) divide A(x) ou A(x) é divisível por D(x). Q(x) é o quociente.
Procedimento
Obtendo um mdc usando FATORAÇÃO:
Obter a fatoração de P1, P2, etc... Isso quer dizer, decomponha P1, P2, etc... em fatores com menor
grau possível onde os fatores ainda sejam polinômios racionais.
1) Um mdc entre os polinômios é igual produto dos fatores comuns dos polinômios.
2) Caso não existam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc(P1, P2, ...) = 1
Exemplos:
1) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (x2 – 1)
x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1)
x2– 1 = (x – 1)(x + 1)
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x 2– 2x + 1 e x2– 1.
. 184
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x 2– 2x + 1 e 5x2– 5 .
Entretanto, em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de mdc (entre polinômios não
nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de mdc
para polinômios.
Pela definição, para que um polinômio M(x) seja mdc entre A(x) e B(x) - não nulos - basta que M(x)
divida A(x) e B(x).
Perceba, por exemplo, que A(x) = x2 – 2x + 1 e B(x) = x2 – 1 são ambos divisíveis por x – 1,
2x – 2, 3x – 3, – 4x + 4, ... enfim! A(x) e B(x) são divisíveis por qualquer polinômio da forma
a(x – 1) onde a é uma constante não nula.
Pelo Teorema de D'Alembert, (x – 1) | A(x) assim como (x – 1) | B(x), pois A(1) = B(1) = 0.
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse
Exemplo
Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1:
Resolução
Achamos a raiz do divisor:
x + 1= 0 x=-1
Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1 P(- 1) = - 5 = r
Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5.
Note que P(x) é divisível por ax + b quando r = 0, ou seja, quando . Daí vem o
enunciado do seguinte teorema:
Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio 1 se e somente
se .
O caso mais importante da divisão de um polinômio P(x) é aquele em que o divisor é da forma (x
- ).
Note que é a raiz do divisor. Então o resto da divisão de P(x) por (x – ) é:
r = P( )
Assim:
. 185
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
P(x) é divisível por (x – ) quando r = 0, ou seja,
quando P( ) = 0.
Exemplo
Questões
04. (UF/AL) Seja o polinômio do 3° grau p = ax³ + bx² + cx + d cujos coeficientes são todos positivos.
O n° real k é solução da equação p(x) = p(- x) se, e somente se, k é igual a:
(A) 0
(B) 0 ou 1
(C) - 1 ou 1
(D) ± √c/a
(E) 0 ou ± √-c/a
. 186
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
06. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, satisfaz as seguintes condições:
P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
07. (MACK)
Considerando as divisões de polinômios acima, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x 2
– 8x + 12 é:
(A) 3x – 2
(B) x + 1
(C) 2x + 2
(D) 2x + 1
(E) x + 2
08. (FGV) Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. Um outro divisor de f
é o polinômio:
(A) x2 – 4
(B) x2 + 1
(C) (x + 1)2
(D) (x – 2)2
(E) (x – 1)2
09. (FGV) Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x – 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1, então
o valor de P (5) é:
(A) 48
(B) 32
(C) 27
(D) 16
(E) 12
𝑘
10. (MACK) Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então 𝑚 , (m≠ 0), vale:
(A) 2/5
(B) – 5/14
(C) 7/2
(D) 2/7
(E) 1/2
Respostas
01. Resposta: D.
02. Resposta: A.
. 187
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2
P(1) = 4 + 3 – 2 + 1+ k = 2
10 + k = 2
k=2–6
k=–4
Substituindo k, e fazendo P(3), teremos:
P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4
P(3) = 4.(3)4 + 3.(3)3 + 2.(3)2 + 3 -4
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4
P(3) = 386
03. Resposta: E.
04. Resposta: E.
p(x) = p(- x)
ax³ + bx² + cx + d = - ax³ + bx² - cx + d
2ax³ + 2cx = 0
2(ax³ + cx) = 0
ax³+cx=0
Como k é solução da equação ax³ + cx = 0, teremos
p(k) = ak³ + ck = 0
ak³ + ck = 0
k(ak² + c) = 0
k = 0 ou
ak² + c = 0
k² = - c/a
k = ± √−𝑐/𝑎
05. Resposta: E.
A(x) = B(x) x3 + ax2 + bx + c = bx3 + 2x2 + cx + 2 x3 +ax2 + bx +c - bx3 - 2x2 – cx - 2 = 0
x3 (1 - b) + x2(a - 2) + x(b - c) + c – 2 = 0, daí tiramos:
b = 1 ; a = 2 ; b = c ; c = 2 , b = 2 , então se b = 1 e b = 2 , b não pode ter dois valores, logo não existe
resposta correta.
06. Resposta: E.
P(x) = x3 + ax2 + bx + c
P(1) = 13+ a12 + b1 + c a + b + c = - 1
P(- x) + P(x) = - x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c 2ax2 + 2c = 0 ax2 + c = 0 a = 0 ; c = 0
Substituindo em a + b + c = - 1, b = - 1
P(2) = 23 - 1.2 = 8 - 2 = 6
07. Resposta: E.
P(x) = Q(x) (x – 2) + 4; Q(x) = Q1 (x) (x – 6) + 1
P(x) = (Q1 (x) (x – 6) + 1) (x – 2) + 4
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + x – 2 + 4
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + (x + 2)
R(x) = x + 2
. 188
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. Resposta: C.
09. Resposta: E.
P(x) = (x – 3)3 . Q(x) + R(x)
P(0) = – 27 . Q(0) = 27 ⟹ Q(0) = – 1
P(2) = – 1 . Q(2) = – 1 ⇒ Q(2) = 1
P(5) = ?
Q(x) = ax + b
Q(0) = b = – 1
Q(2) = 2a – 1 = 1 a = 1 Q(x) = x – 1
P(5) = (5 – 3)3 . Q(5) P(5) = 8 . (5 – 1) = 32
10. Resposta: B.
Resolução:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Denominamos equação polinomial ou equação algébrica toda equação que pode ser escrita na forma
p(x)=0, em que p(x)=anxn + an-1xn-1 + na-2xn-2 + an-3xn-3 + ... +a2x2 + a1x + a0 é um polinômio de grau n, com
n≥1 e an≠0.
O grau e as raízes de uma equação polinomial p(x)=0 são, respectivamente, iguais ao grau e às raízes
do polinômio p(x). O conjunto solução será o conjunto de todas as suas raízes.
Exemplos
a) x² - 4x + 4 = 0
grau: 2
Raízes: -2 e 2.
Conjunto solução: S = {-2; 2}
b) 3x – 6 = 0
Grau: 1
Raiz: 2
Conjunto solução: S = {2}
O Teorema fundamental da álgebra foi demonstrado satisfatoriamente pela primeira vez em 1798, na
tese de doutorado de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que na época tinha apenas 20 anos.
Definição: Toda equação polinomial de grau n, com n≥1, admite pelo menos uma raiz complexa.
. 189
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Como consequência temos o Teorema da decomposição em fatores:
Uma equação polinomial de grau n tem raízes complexas (não necessariamente distintas).
Exemplo
Escreva o polinômio p(x) de raízes -1, 2+i e 2-i, tal que p(2)=9.
Pelo teorema da decomposição em fatores, o polinômio p(x) pode ser escrito como:
P(x)=an.[x-(-1)].[x-(2+i)].[x-(2-i)]
= an.(x+1).(x-2-i).(x-2+i)
= an.(x+1).(x²-4x+5)
= an.(x³-3x²+x+5)
Como p(2)=9, segue que:
P(2) = 9 = an.(2³-32²+2+5)
= an.3 = 9
an = 3
Portanto p(x)=3(x³-3x²+x+5) = 3x³-9x²+3x+15
Podemos decompor a equação polinomial 2x 6 + 14x5 + 12x4 - 68x3 - 38x2 + 150x - 72=0 da seguinte
maneira:
2( x -1)( x -1)( x -1)( x +3)(x +3)( x + 4) = 0 ⇒ 2( x - 1)3 (x + 3)2 (x + 4)= 0
Dizemos que: a raiz 1 tem multiplicidade 3 ou que 1 é raiz tripla da equação; a raiz -3 tem multiplicidade
2 ou que -3 é raiz dupla da equação; a raiz -4 tem rnultiplicidade 1 ou que -4 é raiz simples da equação.
Note que a multiplicidade de cada raiz da equação corresponde ao expoente do fator que contém essa
raiz. Por exemplo, a raiz -3 tem multiplicidade 2, e o expoente do fator que a contém é igual a 2. Como a
raiz -3 tem multiplicidade 2, a equação inicial é divisível por (x + 3) e (x + 3)², porém não é divisível por (x
+ 3)³, por exemplo.
DICA: A quantidade de vezes que um número aparece como raiz de uma equação polinomial
indica a multiplicidade dessa raiz.
Exemplos
a) x2 -10x+25= 0 ⇒ (x-5)(x-5)= 0 ⇒ (x – 5)² =0
Como há dois fatores (x-5), dizemos que a raiz 5 tem multiplicidade 2.
RAÍZES COMPLEXAS
A seguir está enunciado um teorema que trata das raízes complexas não reais de uma equação
polinomial de coeficientes reais, ou seja, das raízes complexas da forma z=a+bi, com a∈IR e b∈IR*.
. 190
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Se o número complexo z e a+bi, com a∈IR e b∈IR*, é raiz de uma equação polinomial com coeficientes
reais, então o conjugado de z, dado por 𝑧̅ =a-bi, também é raiz dessa equação.
Se uma equação polinomial de coeficientes reais possui uma raiz complexa não real z de multiplicidade
m, então 𝑧̅ (conjugado de z) também é uma raiz complexa não real de multiplicidade m dessa equação.
Uma equação polinomial de coeficientes reais possui um número par de raízes complexas não reais.
Portanto, caso o grau de uma equação polinomial de coeficientes reais seja ímpar, essa equação
necessariamente possui um número ímpar de raízes reais.
Exemplos
01. Qual é o grau mínimo de uma equação polinomial de coeficientes reais que possui 2 como raiz
simples, 2 + i como raiz dupla e 1 – i como raiz tripla.
(A) 6
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
Resolução
Como a equação polinomial possui coeficientes reais, o conjugado de cada raiz complexa não real
também é raiz da equação. Logo:
2 é raiz
2 + i é raiz dupla, então 2 – i também é raiz dupla
1 – i é raiz tripla, então 1 + i também é raiz tripla.
Portanto, a equação polinomial possui no mínimo 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11 raízes, ou seja, o grau mínimo
da equação é 11, logo alternativa D.
02. Qual é o conjunto solução da equação x 4 - 7x3 + 10x2 + 26x – 60 = 0, sabendo que 3+i é uma das
raízes da equação.
(A) S = {3 + i, 3 - i,-2, 3}
(B) S = {3 + i, 3 - i}
(C) S = {3 + i,-2, 3}
(D) S = {3 + i, 3 - i,-3, 2}
(E) S = {3 + i, 3 - i, 0, -1}
Resolução
Como a equação tem coeficientes reais e 3 + i é uma raiz, então 3 - i também é raiz, então podemos
escrever:
(x –(3 + i)) . (x – (3 – i)) = (x – 3 – i) . (x – 3 + i) = x² - 3x +ix - 3x +9 – 3i – ix + 3i – i² = x² - 6x + 9 + 1 =
x² - 6x + 10, portanto para encontrar as outras raízes basta dividirmos o polinômio x 4 - 7x3 + 10x2 + 26x
– 60 por x² - 6x + 10, ou seja:
. 191
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Questões
01. (IF/BA – Professor de Matemática - INSTITUTO AOPC) Para que a equação x5 - 2x4 + 4x3 - 11x2
+ 9x + (m - 3) tenha pelo menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2, devemos ter
(A) m > 2 ou m < - 2.
(B) - 2 < m < 2.
(C) m > 3 ou m < - 3.
(D) - 3 < m < 3.
(E) m múltiplo de 3.
02. (IF/BA – Professor de Matemática - INSTITUTO AOPC) A equação x3 - 147x + 686 = 0 tem por
raízes os números m e n, sendo m raiz dupla e n = - 2 m. Nessas condições, o valor de (m + n) é
(A) 7.
(B) -7 .
(C) -7 ou 7.
(D) 7 - i.
(E) -7 + i.
Respostas
01. Resposta: D.
Para que uma raiz real esteja entre 0 e 2 basta tomarmos com ponto de partida que; f(0)<0 e f(2)>0,
para assim saber que entre 0 e 2 teremos uma raiz, a partir daí descobrir os possíveis valores de m para
que isto ocorra.
f(0) = 05-2.04+4.03 – 11.02 + 9.0+ (m-3) < 0
m–3<0
m<3
02. Resposta: B.
Produto das raízes, utilizando uma fórmula é dada por:
Sendo o polinômio do 3º grau podemos ter:
ax³ + bx² + cx + d = 0
x1 . x2 . x3= -d/a , temos
m² . (-2m) = -681
-2m³3 = -681
m³ = 681/2
m³ = 343
3
m = √343
. 192
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
m = 7 , logo as raízes são, 7, 7 e -14 , portanto m + n = 7 - 14 = - 7
03. Resposta: D.
Vamos testar para alguns valores de n:
para n = 1 ; f(1) = 6
para n = 2 ; f(2) = 30
para n = 3 ; f(3) = 84 Não é múltiplo de 5
Assim f(n) não é divisível por 5 para todo n ≥ 2
MATRIZES
Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes. O crescente uso dos computadores tem
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia,
Matemática, Física, dentre outras.
Definição
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais
dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo:
. 193
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.
Exemplo
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita.
Exemplos
1
𝐴 = (5 −1 ) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3
2
7 −2
𝐵=[ ] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2
3 4
√5 1/3 1
𝐶=‖ 7 2 −5‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3
−4 1/5 2
−1 5 8 ]
𝐷=[ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3
−1 2 −3
Exemplo
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por:
. 194
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Matrizes Especiais
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos:
Exemplo
𝐴 = [1 7 −5] , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3
Exemplo
1
𝐵 = [−5] , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1
7
Exemplo
0 0
𝐶 = (0 0) , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2
0 0
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos,
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n.
Exemplo
3 2
𝐷=( ) , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2.
−4 1
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a 11 e a22).
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D.
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: I n.
Exemplos
. 195
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma:
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma
matriz e vice e versa. Ou seja:
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A.
Exemplo
2 −1 2 7
𝐴=[ ] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [ ]
7 10 − 10
Observe que:
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz A t.
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At.
Generalizando, temos:
- Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos.
Representamos por -A tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n.
Exemplo
Exemplo
. 196
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo
Exemplo
1 −5]
𝐴= [
3 2
Exemplo
1 −5]
𝐵= [
3 𝑖
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são
nulos.
Exemplo
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são
nulos.
Exemplo
Igualdade de matrizes
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja:
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q
Sendo A = B, temos:
m=pen=q
. 197
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Operações com matrizes
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B.
Exemplo
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:
Exemplo
. 198
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k.
Exemplo
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B
(segunda).
. 199
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente
A.B ≠ B.A
Matriz Inversa
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A -1 = In
e A-1.A = In ou seja:
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎.
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 . 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 { 𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴.
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
Exemplos
1
8 −2 −1
1) A matriz 𝐵 = [ ] é inversa da matriz 𝐴 = [23 ] , pois:
3 −1 −4
2
2 5 1 2
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = ( ) 𝑒𝐵 =( ) , são inversas entre si:
1 3 1 1
2 1
3) Dada a matriz 𝐴 = [ ], determine a inversa, A-¹.
3 2
𝑎 𝑏
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [ ] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛
𝑐 𝑑
2 1 𝑎 𝑏 1 0 2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑 1 0
[ ].[ ]=[ ]→[ ]=[ ]
3 2 𝑐 𝑑 0 1 3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑 0 1
Questões
01. (Pref. de Rio de Janeiro/RJ – Prof. Ensino Fund. – Matemática- Pref. de Rio de Janeiro-
RJ/2016) Considere as matrizes A e B, a seguir.
. 200
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale:
(A) 9
(B) 0
(C) – 9
(D) – 11
10 14
(B) [ ]
78 90
2 3
(C) [ ]
4 5
6 6
(D) [ ]
20 36
8 11
(E) [ ]
74 84
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma
das regiões da cidade durante uma semana.
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da
semana.
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno
do 7º dia será:
(A) 61
(B) 59
(C) 58
(D) 60
(E) 62
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma
𝑎 𝑏]
matriz 𝐴 = [ e sua respectiva matriz transposta A t em uma matriz identidade, são condições a serem
𝑐 𝑑
cumpridas:
(A) a=0 e d=0
(B) c=1 e b=1
(C) a=1/c e b=1/d
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1
(E) b=-c e a=d=1/2
2 1 0 4 −2
𝐴=( ) ∙𝐵 = ( )
3 −1 1 −3 5
. 201
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
−1 −5 1 )
(A) (
1 15 11
1 5 1 )
(B) (
−1 15 − 11
1 5 −1
(C) ( )
1 −15 11
1 5 1)
(D) (
1 15 11
−1 5 − 1 )
(E) (
1 15 − 11
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes:
6 𝑦 1 −3 7 7
( )+( )=( )
7 2 8 5 15 7
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira.
(A) 4.
(B) 6.
(C) 8.
(D) 10.
Respostas
01. Resposta: D.
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las:
5 −2 0 1 2 −2
𝐵. 𝐴 = [−1 2 4] . [−1 3 0 ] →
−3 −2 1 2 1 3
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3 7 4 −10
[ −1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3 ] = [5 8 14 ]
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3 1 −11 9
02. Resposta: B.
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes.
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B):
2 3
2 1 0 2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6 8 11
𝐶 𝑥𝐵 = [ ] . [4 5] → [ ]=[ ]
4 6 7 4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6 74 84
6 6
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma
ordem:
8 11 8 11 2 3 8 + 2 11 + 3 10 14
[ ]+𝐴= [ ]+[ ]→[ ]=[ ]
74 84 74 84 4 6 74 + 4 84 + 6 78 90
03. Resposta: E.
Turno i –linha da matriz
Turno j- coluna da matriz
2º turno do 2º dia – a22=18
3º turno do 6º dia-a36=25
1º turno do 7º dia-a17=19
Somando:18+25+19=62
. 202
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
04. Resposta: E.
𝑎 𝑏 ] [𝑎 𝑐 2𝑎 𝑏+𝑐 1 0
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
+ ]=[ ]=[ ]
𝑐 𝑑 𝑏 𝑑 𝑏+𝑐 2𝑑 0 1
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c
2d=1
D=1/2
05. Resposta: B.
1 5 1 )
𝐴∙𝐵 = (
−1 15 − 11
06. Resposta: D.
6+1 = 7 𝑦−3 = 7
( )
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
y=10
DETERMINANTES
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema
linear”.
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras
verticais, como no exemplo abaixo:
Definições
Exemplos
- A = [-2] → det A = - 2
- B = [5] → det B = 5
- C=[0] → det C=0
. 203
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Esquematicamente:
Exemplos
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 +
-a12 a21 a33 - a32 a23 a11
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos
produtos, temos:
. 204
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31
- a11 a23 a32 - a12 a21 a33
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de
repetirmos a 1º e 2º colunas.
Determinantes – Propriedades - I
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes:
Exemplo
Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a
posição de duas filas paralelas, então:
detB = - detA
Exemplo
Assim,
detB = - detA
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem
determinante igual a zero.
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA
Assim: detA = 0
Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos
uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA
Exemplo
. 205
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos
de A por k, então:
det(k.A) = kn.detA
Exemplo
Assim:
det(k.A) = k3.detA
Exemplos:
O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela
multiplicada por um número.
Exemplo:
abc
Considere o determinante detA= d e f
g hi
. 206
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo:
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52
- Consequência
Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação
linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.
Exemplo:
1 2 8
Seja D= 3 2 12
4 1 05
Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª
coluna multiplicada por 3.
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0
Use a regra de Sarrus e verifique.
. 207
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
det(A.B) = detA . detB
Exemplo:
1 2
A= detA=3
0 3
4 3
B= detB=-2
2 1
8 5
A.B= det(A.B)=-6
6 3
Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n 2), chamamos menor complementar do elemento aij e
indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e
a coluna j da matriz A.
Exemplo:
1 2 3
Sendo A= 4 1 0 , temos:
2 1 2
1 0
M11= =2
1 2
4 0
M12= =8
2 2
4 1
M13= =2
2 1
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor
complementar de aij.
. 208
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo:
3 1 4
Sendo A 2 1 3 , temos:
1 3 0
1+1 2
13
A11=(-1) .M11=(-1) . =-9
3 0
2 3
A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. =-3
1 0
3 1
A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. =5
2 1
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz cofator de A a matriz cujos elementos são os
cofatores dos elementos de A; indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A.
Exemplo:
1 3 2
Sendo A= 1 0 1 , temos:
4 2 1
0 1
A11=(-1)1+1. =2
2 1
1 1
A12=(-1)1+2. =-5
4 1
1 0
A13=(-1)1+3. =2
4 2
3 2
A21=(-1)2+1. =1
2 1
1 2
A22=(-1)2+2. =-7
4 1
1 3
A23=(-1)2+3. =10
4 2
3 2
A31=(-1)3+1. =-3
0 1
1 2
A32=(-1)3+2. =3
1 1
1 3
A33=(-1)3+3. =-3
1 0
. 209
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Assim:
2 5 2 2 1 3
cof A= 1 7 10 e adj A= 5 7 3
3 3 3 2 10 3
-Definição
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Então:
- Para n = 1
A=[a11] det A=a11
- Para n 2:
ou seja:
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos
elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores.
Exemplos:
a11 a12
Sendo A= , temos:
a21 a22
detA = a11.A11 + a12.A12, onde:
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21
Assim:
detA = a11.a22 + a12.(-a21)
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.
3 0 0 0
1 2 3 2
- Sendo A= , temos:
23 5 4 3
9 3 0 2
. 210
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2 3 2
A11 = (-1)1+1. 1 4 3 =-11
3 0 2
Assim:
- Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
Exemplo:
5 0 1 2
3 2 1 0
Sendo A=
4 1 0 0
3 2 2 0
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que
calcular apenas um cofator.
Assim:
detA = 2.A14 + 0.A24 + 0.A34 + 0.A44
3 2 1
A14=(-1)1+4 4 1 0 =+21
3 2 2
detA = 2 . 21 = 42
Exemplo:
1 2 3 1
0 1 2 1
Calcule det A sendo A=
2 3 1 2
3 4 6 3
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de
Laplace, calcularemos ainda três cofatores.
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:
. 211
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1 2 3 1
0 1 2 1
A=
0 7 7 4
0 2 3 0
1 2 1 1 2 1
detA=1.(-1) . 7 1+1
7 4 = 7 7 4
2 3 0 2 3 0
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0)
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14
detA = -35
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular
superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular
inferior.
Assim:
detA=a11.a22.a33. …
.ann
2ª. A é triangular inferior
detA=a11.a22.a33. …
.ann
. 212
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1 0 0 0
0 1 0 0
In= 0 0 1 0
0 0 0 1
detIn=1
Exemplos:
- Determinante de Vandermonde de ordem 3
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d 2
a 3 b3 c3 d 3
- Propriedade
Exemplo:
Calcule o determinante:
1 2 4
detA= 1 4 16
1 7 49
1 1 1
t
detA = 2 4 7
1 16 49
. 213
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30
Questões
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o
𝑏
𝑥 2
determinante da matriz [ ] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema
2 𝑦
𝑥 + 2𝑦 = 7
{ , é igual a:
2𝑥 + 𝑦 = 8
(A) 2.
(B) –2.
(C) 4.
(D) –1.
1 𝑥
02. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que o determinante | |é igual a zero
−2 4
para x igual a
(A) 1.
(B) 2.
(C) -2.
(D) -1.
(A) 1
(B) 0
(C) cos 2x
(D) sen 2x
(E) sen x/2
. 214
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa
planilha fornece o valor do determinante:
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor
do determinante associado à matriz M é
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
(E) 50
Respostas
01. Resposta: B.
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
{
2𝑥 + 𝑦 = 8
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
{
2𝑥 + 𝑦 = 8
. 215
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- 3y = - 6
y=2
x = 7 - 2y
x=7–4=3
𝑏
|3 2| = 8
2 2
6–b=8
B=-2
02. Resposta: C.
D = 4 - (-2x)
0 = 4 + 2x
x=-2
03. Resposta: C.
det = cos²x - sen²x
det = cos(2x)
04. Resposta: A.
−1 −1 −1
𝐴 = ( 2 −1 −1 )
2 2 −1
−1 −1 −1
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = | 2 −1 −1|
2 2 −1
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9
05. Resposta: B.
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
{
2𝑥 + 𝑦 = 8
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
{
2𝑥 + 𝑦 = 8
Somando as equações:
- 3y = - 6
y=2
x=7–4=3
𝑏
𝐷𝑒𝑡 = |3 2|
2 2
6–b=8
b=-2
06. Resposta: A.
A.B=I
1 0 1 𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0
( 2 1 0 )∙( 𝑑 𝑒 𝑓 ) = ( 0 1 0 )
0 1 1 𝑔 ℎ 𝑖 0 0 1
. 216
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎+𝑔 𝑏+ℎ 𝑐+𝑖 1 0 0
( 2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓 ) = ( 0 1 0 )
𝑑+𝑔 𝑒+ℎ 𝑓+ 𝑖 0 0 1
𝑐+𝑖 = 0
{ +𝑓=0
2𝑐
𝑓+𝑖 = 1
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
{
𝑓−𝑐=1
−2𝑐 − 𝑓 = 0
{
𝑓−𝑐 =1
Somando as equações:
-3c=1
C=-1/3
f=2/3
07. Resposta: D.
1 3 2 0
𝑀 = (3 1 0 2)
2 3 0 1
0 2 1 3
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula:
𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna.
3 1 2
𝐶13 = (−1)4 ∙ | 2 3 1 |
0 2 3
𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23
A13=2.23=46
1 3 0
𝐶43 = (−1)7 | 3 1 2 |
2 3 1
𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2
A43=1.2=2
D = 46 + 2 = 48
. 217
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Estudo dos Sistemas Lineares; Regra de Cramer,Teorema de Rouché,Teorema
de Cauchy e Teorema de Jacobi
SISTEMAS LINEARES
Definição
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2,
x3,.., xn são as incógnitas.
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.
Sistema Linear
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x 1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n
variáveis.
𝑥−𝑦+𝑧 = 2
𝑏) { é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
Exemplo:
4𝑥 + 3𝑦 = 1
𝑎) {
2𝑥 − 5𝑦 = −2
Temos que:
4 3 4 3 1
𝐴=( ) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = ( ) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎.
2 −5 2 −5 −2
Solução de um sistema
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada
uma das equações do sistema.
Exemplo:
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema:
. 218
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
{ 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
Exemplos:
2𝑥 − 𝑦 = −1
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
7𝑥 − 3𝑦 = −2
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD)
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
B) O sistema { apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
𝑥−𝑦+𝑧 = 1
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI)
𝑥−𝑦+𝑧 = 4
C) O sistema {−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira
𝑥−𝑦+𝑧 = 2
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI).
Sistemas escalonados
O processo de escalonamento de um sistema linear ocorre por meio de operações elementares, que
são iguais às utilizadas no teorema de Jacobi.
Esse teorema diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada, facilitando os cálculos.
Vejamos seu conceito:
“Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por
um mesmo número (não nulo), e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de
outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B”.
Atente-se ao simples detalhe de somar os elementos aos seus correspondentes de outra fila, ou seja,
se multiplicarmos uma linha por um número qualquer (k), (não nulo), deveremos somar o resultado
(elemento x k) pelos elementos de outra linha. Vejamos um exemplo.
Pelo Teorema de Jacobi, transforme os elementos a21, a31 e a41 da 1ª coluna em zero e calcule o
determinante da matriz
. 219
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Fazendo:
Linha 2 + Linha 1;
Linha 3 - Linha 1;
Linha 4 - 2*Linha 1.
A matriz resultante é
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não
nulo.
Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado.
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x.
Assim temos:
-2z = 8 → z = -4
. 220
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
{
𝑦+𝑧 = 2
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será
chamada de variável livre do sistema.
Vamos ao passo a passo:
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z.
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
{
𝑦 = 2−𝑧
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema.
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI.
. 221
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª:
−𝑥 + 𝑦 = −2
−𝑥 + 𝑦 = −2 (2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.) 2𝑥 − 3𝑦 = 1
𝑆′ { ← (+)
2𝑥 − 3𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = −1
Escalonamento de um sistema
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo:
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em
geral, mais simples.
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e
2.
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes.
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações,
até o sistema ficar escalonado.
Vejamos um exemplo:
Que é equivalente a:
. 222
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
-Substituímos a 3ª equação pela soma
dela com a 2ª equação, multiplicada por 4:
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
{ 𝑦 − 𝑧 = −4 4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧=3
𝑧=3
Exemplo:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
{ 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.):
-3x + 3y – 6z = -3
3x – 2y – z = 0
y – 7z = -3
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
{ 𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.)
-8x + 8y – 16z = -8
8x - 6y + 2z = 2
2y – 14z = -6
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
{ , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼.
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
Sistemas homogêneos
Observe as equações lineares seguintes:
. 223
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações
homogêneas.
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de
solução nula, trivial ou imprópria.
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações.
Exemplo:
𝑥+𝑦−𝑧=0
Escalonando o sistema {2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0 , 𝑣𝑒𝑚:
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥+𝑦−𝑧 = 0
{ 𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto
poderá ser retirada do sistema.
𝑥+𝑦−𝑧 = 0
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada { 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼.
𝑦 + 3𝑧 = 0
Teorema de Cauchy
É nula a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos cofatores dos elementos correspondentes
noutra fila paralela.
Partindo, sem perda de generalidade, da Linha 1 e usando como fila paralela a Linha 2, nossa conjetura
torna-se:
. 224
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Mas o membro esquerdo pode ser visto como a aplicação da Regra de Laplace na linha 2 do seguinte
determinante:
Como um determinante com duas filas paralelas iguais é nulo, o teorema se confirma para ordem 3.
Grau de indeterminação
Em um sistema possível e indeterminado, o grau de indeterminação é dado por n – p,
correspondente ao número de incógnitas escolhidas arbitrariamente, onde:
n é o número de incógnitas e
p é a característica da matriz.
Regra de Cramer
. 225
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
Consideramos o sistema { . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
𝑎 𝑏 ),
desse sistema é 𝑀 = ( cujo determinante é indicado por D = ad – bc.
𝑐 𝑑
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 =𝑒
Escalonando o sistema, obtemos: { (∗)
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes,
𝑎 𝑒
obteremos ( 𝑐 𝑓 ), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce.
𝐷𝑦
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 = 𝐷 .
𝑒 𝑏
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz ( ), cujo determinante
𝑓 𝑑
𝐷𝑥
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 = 𝐷
, D ≠ 0.
Resumindo:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑎 𝑏|
Um sistema { é possível e determinado quando 𝐷 = | ≠ 0, e a solução desse sistema
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑐 𝑑
é dada por:
𝑫𝒙 𝑫𝒚
𝒙= 𝒆𝒚 =
𝑫 𝑫
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal.
Exemplo:
𝑥+𝑦+𝑧 = 0
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
1 1 1
De início temos que |4 −1 −5| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD.
2 1 2
0 1 1 𝐷𝑥 18
𝐷𝑥 = |−6 −1 −5| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 = = = −2
𝐷 −9
−3 1 2
1 0 1 𝐷𝑦 −27
𝐷𝑦 = |4 −6 −5| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 = = =3
𝐷 −9
2 −3 2
1 1 0 𝐷𝑧 9
𝐷𝑧 = |4 −1 −6| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 = = = −1
𝐷 −9
2 1 −3
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das
equações do sistema.
Assim, S = {(-2,3-1)}.
Discussão de um sistema
. 226
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
Consideremos novamente o sistema { , cuja forma escalonada é:
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
{(𝑎𝑑
⏟ − 𝑏𝑐) . 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗)
𝐷
𝑎 𝑏|
em que 𝐷 = | é o determinante da matriz incompleta do sistema.
𝑐 𝑑
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da
Regra de Cramer.
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*),
temos SPI ou SI.
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:
D ≠ 0 → SPD
D = 0 → (SPI ou SI)
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s)
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI.
Exemplo:
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
Vamos discutir, em função de m, o sistema 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
{
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑚𝑧 = 2
1 −2 3
Temos: 𝐷 = |3 1 1 | = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14
2 3 𝑚
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
{ 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 ⟺ { 7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2 7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
ou ainda { , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼.
7𝑦 − 8𝑧 = 2
Assim:
m ≠ - 2 → SPD
m = -2 → SPI
Observações:
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI).
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI.
OBS.: Caro aluno, vimos várias formas de se discutir e resolver um sistema linear, porém em
sua prova objetiva, você deverá escolher o que for mais fácil e que tiver mais afinidade para
utilizar, ninguém é obrigado a utilizar um método específico, a não ser que, no enunciado da
questão estiver pedindo para utilizar determinado teorema, caso contrário você está livre para
escolher o que for mais simples.
. 227
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Questões
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares
2 x 3 y 5
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado:
x my 2
3x y z 5
03. Resolver e classificar o sistema: x 3 y 7
2 x y 2 z 4
x 2 y z 5
04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 2 x y 2 z 5
3x y mz 0
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução.
08. Se os sistemas:
x + y = 1 ax – by = 5
S1: { e S2: {
x – 2y = −5 ay – bx = −1
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
(A) 1
(B) 4
(C) 5
(D) 9
(E) 10
2 x y 7
10. Resolver o sistema .
x 5 y 2
. 228
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de
equações lineares
3 3
𝑥 + 2𝑦 + 2 𝑧 = 2
( 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 )
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
Respostas
01. Resposta: E.
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy:
2 4
D 12 12 0
3 6
6 4
Dx 36 36 0
9 6
2 6
Dy 18 18 0
3 9
3
02. Resposta: m R / m .
2
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que:
2 3
D 2m 3
1 m
3
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠
2
. 229
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos
elementos do conjunto:
3
m R / m
2
3 1 1
2 1 2
5 1 1
Dx 7 3 0 30 0 7 12 0 14 25
2 1 2
3 5 1
Dy 1 7 0 42 0 4 14 0 10 50
242
3 1 5
Dz 1 3 7 36 14 5 30 21 4 100
2 1 4
1 2 1
D 2 1 2 m 12 2 3 2 4m
3 1 m
D = -5m + 15
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3
. 230
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos
elementos do conjunto:
m R / m 3
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica.
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero.
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não
possua solução.
08. Resposta: E.
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema:
S1: x + y = 1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5).
Logo, 3y = 6 \ y = 2.
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica:
-3b = 9 \ b = - 3
. 231
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra
equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
11. Resposta: C.
3
1 2
𝐷 = | 2 1 2 | = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0
1
2 4 3
. 232
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3 3
2 9 9
𝐷𝑥 = | 2 2 | = + 6 + 24 − − 6 − 12 = 12
2 1 1 2 2
3 4 3
Dx 0, portanto o sistema tem infinitas soluções.
12. Reposta: D.
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2)
(II) 4a + b – 2c = 9
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a:
(I) 2a + 3b + 4c = 17
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5)
Então:
(I) 2a + 3b + 4c = 17
(II) b +2c = 5
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções),
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega).
Substituímos c em (II):
b + 2α = 5
b = 5 - 2α
substituímos b e c em (I):
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17
2a + 15 - 6α + 4α = 17
2a = 17 – 15 + 6α - 4α
2a = 2 + 2α : (2)
a=1+α
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então:
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6
SEMELHANÇA
De acordo com o dicionário, semelhante vem do latim – similare – que significa “parecer-se com, ter a
mesma aparência que”.
Porém em Geometria, para que duas figuras geométricas sejam semelhantes é preciso que elas sejam
mais do que “parecidas”, elas devem ter formas iguais e dimensões proporcionais.
Em relação ao perímetro:
Em relação a área:
Exemplo
. 233
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Ângulos
A = A’
B = B’
C = C’
D = D’
E = E’
Lados
AB é proporcional à A’B’
BC é proporcional à B’C’
CD é proporcional à C’D’
DE é proporcional à D’E’
EA é proporcional à E’A’
Caro aluno, os mais utilizados casos de semelhança será semelhança em triângulos e teorema de
Tales.
Questões
01. (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede
15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura
do prédio, em metros, é:
(A) 25
(B) 29
(C) 30
(D) 45
(E) 75
. 234
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1
02. Se a razão entre a área do Retângulo R1 e a área do Retângulo R2 é de 64, e o comprimento de R1
é 4cm, qual é o comprimento de R2, sabendo que esses retângulos são semelhantes?
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 32
Respostas
01. Resposta: A.
Como as figuras são semelhantes teremos:
𝑥 5
=
15 3
Assim,
3x = 15 . 5
75
x= 3
x = 25 m, logo alternativa A.
02. Resposta: D.
Como os retângulos são semelhantes, então a razão entre suas áreas será igual ao quadrado da razão
entre seus lados, assim:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑅1 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅1 2
=( )
Á𝑟𝑒𝑎 𝑅2 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅2
1 4 2
=( )
64 𝑥
1 16
64
= 𝑥2
x² = 64 . 16
x² = 1024
x = √1024
x = 32
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os
ângulos congruentes (iguais).
eÂ=D̂ ̂=̂
B E Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF
são semelhantes e escrevemos ABC~DEF.
Critérios de semelhança
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes.
. 235
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
̂=D
Nas figuras ao lado: A ̂ e Ĉ = F̂
2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais,
então os triângulos são semelhantes.
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios,
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos
correspondentes congruentes (iguais).
Questões
01. (PC/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) Com relação à semelhança de triângulos, analise as
afirmativas a seguir:
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes.
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados homólogos proporcionais.
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Nessas condições, está correto o que se afirma em:
(A) I e II, apenas
(B) II e III, apenas
(C) I e III, apenas
(D) I, II e III
(E) II, apenas
̅̅̅̅ = AC
02. Na figura abaixo AB ̅̅̅̅, CB
̅̅̅̅ = CD
̅̅̅̅, a medida do ângulo DĈB é:
. 236
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 34°
(B) 72°
(C) 36°
(D) 45°
(E) 30°
(A) 120°
(B) 110°
(C) 105°
(D) 100°
(E) 95°
(A) 0,70
(B) 0,75
(C) 0,80
(D) 0,85
(E) 0,90
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco,
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a
aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte.
A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro.
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é
aproximadamente:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Respostas
. 237
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
01. Resposta: D.
Todas as afirmações estão corretas pois em todos os casos os triângulos são semelhantes.
02. Resposta: C.
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC
tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais:
AĈB = AB̂ C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°.
36° + x + x = 180°
2x = 180° - 36°
2x = 144
x = 144 : 2
x = 72
Logo: AĈB = AB ̂ C = 72°
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles:
CB̂ D = CD
̂ B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°.
72° + 72° + y = 180°
144° + y = 180°
y = 180° - 144°
y = 36º
03. Resposta: D.
̂ C = 90° (reto).
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD
O ângulo BD ̂ C = 30° → AD̂ B = 60º.
04. Resposta: B.
Sendo x o lado do quadrado:
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes.
O ângulo BA ̂ C é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais:
̅̅̅̅
AB ̅̅̅̅
AC
̅̅̅̅
EF
= ̅̅̅̅
CF
1 3
= (multiplicando em “cruz”)
x 3−x
3x = 1.(3 – x)
3x = 3 – x
3x + x = 3
. 238
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4x = 3
x=¾
x = 0,75
05. Resposta: A.
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos:
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então:
̅̅̅̅
CG ̅̅̅̅
AG
̅̅̅̅
= ̅̅̅̅
EF AF
8 80
r
= 30
8r = 8.3
r=3m
Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa
hipotenusa:
Sendo:
A= hipotenusa
b e c = catetos
h= altura
m e n = projeções do catetos
Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos
retângulos que são:
I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
HIP2 = CAT2 + CAT2
a² = b² + c²
. 239
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
c² = a.m
b² = a.n
Exemplo
A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da
hipotenusa desse triângulo.
2𝑥
Do enunciado se um cateto é x o outro é 3
, e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma
𝑏.ℎ
cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 = 2
, então:
A = 12
2𝑥
𝑥.
3
2
= 12
2𝑥 2
= 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2
6
x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6
2.6
Uma cateto mede 6 e o outro 3 = 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa:
a2 = 62 + 42
a2 = 36 + 16
a2 = 52
𝑎 = √52
𝑎 = √13.4
𝑎 = 2√13
Questões
02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa
Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e
de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: AB = 24 m e BC = 18 m. Usando
seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede:
(A) 30
(B) 28
(C) 26
(D) 35
(E) 42
. 240
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se
determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos.
(A) 24cm
(B) 8cm
(C) 64cm
(D) 16cm
(E) 6cm
04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares.
Se BC = 8 e AC = 6, o valor de AB é:
(A) 3 6
(B) 4 3
(C) 12 7
(D) 2 5
(E) 4 2
Respostas
01. Resposta: C.
Primeiramente devemos calcular o valor da hipotenusa deste triângulo, para posteriormente calcular
a altura (utilizando a relação ALT.HIP = CAT.CAT).
HIP² = CAT² + CAT²
X² = 6² + 8²
X² = 36 + 64 = 100
X = 10.
ALT.10 = 6.8
ALT = 48/10 = 4,8
02. Resposta: A.
Pelo teorema de Pitágoras:
̅̅̅̅
𝐴𝐶 2 = 242 + 182
̅̅̅̅ 2 = 576 + 324
𝐴𝐶
̅̅̅̅
𝐴𝐶 2 = 900
̅̅̅̅ = √900
𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 30
𝐴𝐶
03. Resposta B.
. 241
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras:
102 = x2 + 62
100 = x2 + 36
100 – 36 = x2
x2 = 64
x = √64
x = 8 cm
04. Resposta: D.
Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais.
32 = (2a2) +b2
9 = 4a2 + b2 (II)
42 = a2 + (2b)2
16 = a2 + 4b2 (III)
5 = a2 + b2 (substituindo em (I)):
x2 = 4.5
x2 = 20
x = √20
x = 2√5
05. Respostas: B.
Utilizando as relações métricas, temos:
Teorema de Pitágoras:
a2 = 82 + 62
a2 = 64 + 36
a2 = 100
a = √100
a = 10 cm
HIP.ALT = CAT.CAT
10.h = 8.6
10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm
CAT2 = HIP.PROJ
. 242
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
62 = 10.n
36 = 10 n
n = 36 : 10 = 3,6 cm
82 = 10.m
64 = 10m
m = 64 : 10 = 6,4 cm
No triângulo da figura ao
lado: a2 = b2 + c2 - 2cm
Questões
(A)10
(B)11
(C)12
(D)13
(E)14
. 243
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. O valor de x na figura seguinte é:
(A)10,775
(B)10
(C)11,775
(D)11
(E)12
(A)14√2
(B)15√2
(C)16√2
(D)17√2
(E)18√2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Respostas
01. Resposta: C.
x2 = 82 + 102 – 2.8.1,25
x2 = 64 + 100 – 20
x2 = 144
. 244
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x = √144
x = 12
02. Resposta: A.
152 = 202 + 162 – 2.20.x
115 = 400 + 256 – 40x
40x = 656 – 225
40x = 431
x = 431 : 40
x = 10,775
03. Resposta: B.
x2 = 122 + 92 + 2.12.9,375
x2 = 144 + 81 + 225
x2 = 450
x = √450 (dividindo 450 por 2 obtemos 225 que tem raiz exata e é 15)
x = √225.2
x = 15√2
04. Resposta: A.
72 = 42 + 52 + 2.4.x → 49 = 16 + 25 + 8x → 49 – 16 – 25 = 8x → 8x = 8 → x = 8 : 8 → x = 1
05. Resposta: E.
O maior lado do triângulo é 10 cm, então:
102 = 100
42 + 92 = 16 + 81 = 97
100 > 97 → triângulo obtusângulo.
06. Resposta: D.
O maior lado do triângulo é 13, então:
132 = 169
52 + 122 = 25 + 144 = 169
169 = 169 → triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras)
POLÍGONOS
Um polígono é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não
colineares.
Elementos de um polígono
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: ̅̅̅̅
AB, ̅̅̅̅
BC, ̅̅̅̅
CD, ̅̅̅̅
DE e ̅̅̅̅
AE.
. 245
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: ̅̅̅̅
AC, ̅̅̅̅
AD, ̅̅̅̅
BD, ̅̅̅
CE̅ e ̅̅̅̅
BE.
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura):
, , , , .
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo
(assinalados em vermelho na figura): , , , , .
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela
abaixo.
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o número de lados ou de
ângulos ou de vértices de um polígono.
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3.
(𝐧−𝟑).𝐧
2 - Total de diagonais: 𝐝 = .
𝟐
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°.
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma
constante, isto é, Se = 360°.
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das
quatro acima:
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎° 𝐒𝐢
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 = ou 𝐚𝐢 = .
𝐧 𝐧
𝟑𝟔𝟎° 𝐒𝐞
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 = ou 𝐚𝐞 = .
𝐧 𝐧
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Vejamos:
Fonte: http://www.somatematica.com.br
. 246
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
1) Os ângulos correspondentes são congruentes:
Fonte: http://www.somatematica.com.br
Questões
(A) 80°
(B) 90°
(C) 100°
(D) 70°
(E) 50°
. 247
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia:
(A) Triangular
(B) Quadrangular
(C) Pentagonal
(D) Hexagonal
(E) Decagonal
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos.
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são:
(A) 54 e 12
(B) 18 e 60
(C) 12 e 54
(D) 60 e 18
(E) 15 e 30
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse
polígono?
(A) 20
(B) 24
(C) 26
(D) 30
(E) 32
Respostas
01. Resposta: D.
Heptágono (7 lados) → n = 7
Si = (n – 2).180°
Si = (7 – 2).180°
Si = 5.180° = 900°
02. Resposta: D.
Icoságono (20 lados) → n = 20
(𝑛−3).𝑛
𝑑=
2
(20−3).20
𝑑= 2
= 17.10
d = 170
03. Resposta: A.
A soma dos ângulos internos do pentágono é:
Si = (n – 2).180º
Si = (5 – 2).180º
Si = 3.180º → Si = 540º
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º
540º = 5x + 3x / 2 + 20º
520º = 10x + 3x / 2
1040º = 13x
. 248
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
X = 1040º / 13 → x = 80º
04. Resposta: C.
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter:
d=n
(𝑛−3).𝑛
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando)
2
(n – 3).n = 2n
n–3=2
n=2+3
n = 5 → pentagonal
05. Resposta: C.
Do enunciado, temos:
Si = 5.Se
(n – 2).180º = 5.360°
(n – 2).180° = 1800°
1800
n – 2 = 180
n – 2 = 10
n = 10 + 2 = 12 lados
(𝑛−3).𝑛
𝑑= 2
(12−3).12
𝑑=
2
d = 9.6 = 54 diagonais
06. Resposta: B.
Temos que ae = 15°
360°
𝑎𝑒 =
𝑛
360°
15° =
𝑛
15n = 360
n = 360 : 15
n = 24 lados
07. Resposta: D.
Um eneágono possui 9 lado, portanto 9x125 = 1.125cm.
POLÍGONOS REGULARES
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais.
. 249
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
I) Triângulo Equilátero:
- Lado: l = r√3
r
- Apótema: a =
2
II) Quadrado:
- Lado: l = r√2
r√ 2
- Apótema: a =
2
- Lado: l = r
r√ 3
- Apótema: a =
2
Questões
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em
centímetros:
(A) 4
(B) 4√3
(C) 8
(D) 8√2
(E) 12
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa
circunferência é:
(A) 15 cm
(B) 10 cm
(C) 8 cm
(D) 20 cm
(E) 25 cm
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado
está inscrito, em dm, vale:
(A) 4√2 dm
(B) 5√2 dm
(C) 6√2 dm
(D) 7√2 dm
(E) 8√2 dm
. 250
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Respostas
01. Resposta: B.
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono
𝑟√3 8√3
𝑎= 2
→𝑎 = 2
= 4√3 cm
02. Resposta: D.
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero.
𝑟 𝑟
𝑎 = 2 → 10 = 2 → r = 2.10 → r = 20 cm
03. Resposta: C.
Sendo a = 6, temos:
𝑟√2
𝑎=
2
𝑟√2
6= 2
→ 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo)
12
r= (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2)
√2
12.√2 12√2
𝑟= →𝑟= 2
→ 𝑟 = 6√2 dm
√2.√2
𝑏.ℎ
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 =
2
. 251
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2
Fazendo:
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2
Então:
𝑆1 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛−2 𝑆1
= → = 𝑘2
𝑆2 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛−2 𝑆2
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale
Referências
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual
www.somatematica.com.br
Questão
. 252
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Resposta
01. Resposta: B.
A razão entre as Áreas =e igual ao quadrado da razão entre os lados.
O triângulo de catetos 3 e 5 possui área igual a 7,5. Já o outro triângulo possui o dobro de área,
conforme o enunciado. Assim sendo teremos:
A1/A2 = 7,5/15 = ½
½ = 3²/x²
X = 3√2
E A1/A2 = 7,5/15 = ½
½ = 5²/y²
Y= 5√2.
a) Reta secante: é uma reta que tem dois pontos em comum com a circunferência.
b) Reta tangente: é uma reta que tem um único ponto em comum com a circunferência.
c) Reta exterior (ou externa): é uma reta que não tem pontos em comum com a circunferência.
Relação métrica em uma circunferência (ou potência de ponto) é uma característica do ponto em
relação à circunferência, e portanto não depende da reta escolhida, desde que intercepte a circunferência.
E é importante destacar:
. 253
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
II) Duas secantes: sendo PD e PB duas secantes e P o ponto de intersecção, temos:
Questões
(A) 36
(B) 45
(C) 48
(D) 50
(E) 54
(A) 20/3
(B) 3/5
(C) 1
(D) 4
(E) 15
03. De um ponto exterior a uma circunferência são traçadas uma tangente e uma secante, conforme a
figura seguinte. A tangente ̅̅̅̅
AB mede 10 m e as medidas ̅̅̅̅AC e ̅̅̅̅
CD são iguais. Assim, o comprimento da
̅̅̅̅ é igual a:
secante AD
. 254
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 10 m
(B) 5√2 m
(C) 10√2 m
(D) 15√2 m
(E) 15 m
Respostas
01. Resposta: E.
Para calcular o perímetro do triângulo, temos que calcular o raio r da circunferência. Temos que
prolongar o segmento AO até interceptar a circunferência, determinando um ponto E.
02. Resposta: B.
De acordo com a relação entre duas cordas:
x.10 = 2.3
10x = 6
6 3
x= =
10 5
03. Resposta: C.
̅̅̅̅
𝐴𝐵 2 = ̅̅̅̅
𝐴𝐶 . ̅̅̅̅
𝐴𝐷
2
10 = x.2x
100 = 2x2
x2 = 100/2
x2 = 50
. 255
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x = √50
x = 5√2
̅̅̅̅ = 2x AD
AD ̅̅̅̅ = 2.5√2 AD
̅̅̅̅ = 10√2 m
GEOMETRIA DE POSIÇÃO
A geometria de posição estuda os três entes primitivos da geometria: ponto, reta e plano no espaço.
Temos o estudo dos postulado, das posições relativas entre estes entes.
Na matemática nós temos afirmações que são chamadas de postulados e outras são chamadas de
teoremas.
Postulado: são afirmações que são aceitas sem demonstração. Isto é, sabemos que são
verdadeiras, porém não tem como ser demonstradas.
Teorema: são afirmações que tem demonstração.
I) Postulados da existência:
a) No espaço existem infinitos pontos, retas e planos. (este postulado também é chamado de
postulado fundamental da geometria de posição).
a) Dois pontos distintos determinam uma única reta. (Observe que a palavra distintos está
destacada, tem que ser distintos e não somente dois pontos).
b) Três pontos não colineares determinam um único plano. (Observe que as palavras não
colineares estão destacadas, tem que ser não colineares e não somente três pontos).
- Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no plano.
. 256
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Estudo das posições relativas
Vamos estudar, agora, as posições relativas entre duas retas; entre dois planos e entre um plano e
uma reta.
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
𝐶𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠(𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) ∶ {𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 {𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Não coplanares: - Reversas
- Retas paralelas coincidentes: tem todos os pontos em comum. Temos duas retas, sendo uma
sobre a outra.
representamos por r ≡ s
Observação: duas retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de
perpendiculares.
Observação: duas retas reversas que “formam” entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de
ortogonais.
Como podemos verificar, retas paralelas distintas e retas reversas não tem ponto em comum. Então
esta não é uma condição suficiente para diferenciar as posições, porém é uma condição necessária. Para
diferenciar paralelas distintas e reversas temos duas condições:
- Paralelas distintas não tem ponto em comum e estão no mesmo plano (coplanares).
- Reversas não tem ponto em comum e não estão no mesmo plano (não coplanares).
. 257
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
a) Reta paralela ao plano: não tem nenhum ponto em comum com o plano. A intersecção da reta com
o plano é um conjunto vazio.
Observação: uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas retas do plano, mas não a todas.
b) Reta contida no plano: tem todos os pontos em comum com o plano. Também obedece ao
postulado da Inclusão. A intersecção da reta com o plano é igual à própria reta.
c) Reta secante (ou incidente) ao plano: tem um único ponto em comum com o plano. A intersecção
da reta com o plano é o ponto P.
. 258
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Questões
05. Complete a seguinte frase: “Duas retas que não tem pontos em comum são
________________________ ou ____________________________ .
(A) paralelas – reversas.
(B) paralelas distintas – reversas.
(C) paralelas distintas – perpendiculares.
(D) paralelas – perpendiculares.
(E) paralelas – concorrentes.
06. Conforme as sentenças a seguir complete com (V) para verdadeira e (F) para falsa:
( ) Ponto não tem definição.
( ) Dois planos que não tem pontos em comum são paralelos.
( ) Duas retas que são paralelas a um mesmo plano podem ser paralelas entre si.
( ) Teorema é sempre um Postulado.
A alternativa que mostra a ordem assinalada é a alternativa?
(A) V – V – V – V
(B) F – F – F – F
(C) V – F – F – V
(D) F – V – V – F
(E) V – V – V – F
07. Sejam r e s duas retas distintas, paralelas entre si, contidas em um plano α. A reta t, perpendicular
ao plano α, intercepta a reta r em A. As retas t e s são:
(A) Reversas e não ortogonais.
(B) Ortogonais.
(C) Paralelas entre si.
(D) Perpendiculares entre si.
(E) Coplanares.
. 259
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
08. Assinale a alternativa correta:
(A) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
(B) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam
paralelas ao outro.
(C) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
(D) Se duas retas quaisquer são paralelas a um plano, então elas são paralelas uma à outra.
(E) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este último plano.
Respostas
01. Resposta: D.
02. Resposta: E.
03. Resposta: C.
04. Resposta: B.
05. Resposta: B.
06. Respostas: E.
07. Resposta: B.
08. Resposta: E.
09. Resposta: C.
Caros alunos, para o estudo de áreas, devemos utilizar paralelamente o uso de perímetros, assim sendo
abordaremos aqui tudo o que vocês irão utilizar.
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm
. 260
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Área é a medida da superfície de uma figura plana.
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um
quadrado que tem 1 m de lado.
1) Retângulo
- sendo b a base e h a altura:
2. Paralelogramo
- sendo b a base e h a altura:
3. Trapézio
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura:
4. Losango
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor:
. 261
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
5. Quadrado
- sendo l o lado:
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido.
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles:
V) circunferência inscrita:
Questões
. 262
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados,
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando:
(A) o arame é cortado em duas partes iguais.
(B) uma parte é o dobro da outra.
(C) uma parte é o triplo da outra.
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento.
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros.
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a:
(A) 2 400.
(B) 2 600.
(C) 2 800.
(D) 3000.
(E) 3 200.
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que:
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica;
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento.
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão
capazes de gerar em conjunto, em watts, é:
(A) 294000.
(B) 38200.
(C) 29400.
(D) 3820.
(E) 2940.
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno?
(A) R$ 10.000,00.
(B) R$ 100.000,00.
(C) R$ 125.000,00.
(D) R$ 115.200,00.
(E) R$ 100.500,00.
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém,
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m 2 de piso a mais do que o necessário. O
perímetro dessa sala, em metros, é de:
(A) 21,2.
(B) 22,1.
(C) 23,4.
(D) 24,3.
(E) 25,6
. 263
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha.
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique
de fora.
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é:
(A) 576.
(B) 704.
(C) 832.
(D) 1 150.
(E) 1 472.
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura:
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total
desse piso é, em m², igual a
(A) 324
(B) 400
(C) 225
(D) 256
(E) 196
Respostas
01.Resposta: C.
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal:
. 264
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
d2 = l2 + l2
2
(2√7) = 2l2
4.7 = 2l2
2l2 = 28
28
l2 = 2
A = 14 cm2
02. Resposta: A.
- um quadrado terá perímetro x
x
o lado será l = e o outro quadrado terá perímetro 30 – x
4
30−x
o lado será l1 = 4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos:
S = S1 + S2
S=l²+l1²
x 2 30−x 2
S = (4) + ( 4
)
x2 (30−x) 2
S= + , como temos o mesmo denominador 16:
16 16
x2 +302 −2.30.x+x2
S= 16
x2 +900−60x+x2
S=
16
2x2 60x 900
S= 16
− 16
+ 16
,
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice
−b
que e dado pela fórmula: x = , então:
2a
−60 60
−( )
16
xv = 2 = 16
4
2.
16 16
60 16 60
xv = 16 . 4
= 4
= 15,
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15.
03. Resposta: D.
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x:
Perímetro = x + 285
8.0,8x + 6x = x + 285
6,4x + 6x – x = 285
11,4x = 285
x = 285:11,4
x = 25
Sendo S a área do retângulo:
S= b.h
S= 0,8x.x
S = 0,8x2
Sendo St a área total da figura:
St = 6.0,8x2
St = 4,8.252
St = 4,8.625
St = 3000
04. Resposta: E.
Retângulo com as seguintes dimensões:
Largura: 3,5 m = 350 cm
Comprimento: 8,4 m = 840 cm
A = 840.350
. 265
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A = 294.000 cm2
Potência = 294.000.0,01 = 2940
05. Resposta: D.
Comprimento: x
Largura: x – 28
Perímetro = 200
x + x + x – 28 + x – 28 = 200
4x – 56 = 200
4x = 200 + 56
x = 256 : 4
x = 64
Comprimento: 64
Largura: 64 – 28 = 36
Área: A = 64.36 = 2304 m2
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00
06. Resposta: A.
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala.
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é:
A = 30 – 3,6
A = 26,4 m2
- sendo x o comprimento:
x.4 = 26,4
x = 26,4 : 4
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala)
07. Resposta: C.
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo.
A = AT + AR
32.20
A= 2
+ 16.32
08. Resposta: D.
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale
a 2x e a base menor x, portanto:
𝑏+𝐵
𝐴= ∙ℎ
2
𝑥 + 2𝑥
24 = ∙𝑥
2
. 266
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
48 = 3𝑥 2
X²=16
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m²
I- Círculo:
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é
2𝜇𝑟
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 = . 𝑟, então temos:
2
. 267
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Questões
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada
um com 10 cm de raio, tangentes entre si.
2
Se as bases dos quatro tanques ocupam 5
da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base
de cada tanque?
Dado: use 𝜋=3,1
(A) 2.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 16.
. 268
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π)
cm2.
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada?
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor
igual a 60°:
Respostas
01. Resposta: B.
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 =
20 cm. Então a área a ser calculada será:
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
2
. 269
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
𝐴= + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔
2
𝜋𝑟 2
𝐴= + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔
2
𝜋𝑟 2 𝑙 2 √3
𝐴= +
2 4
(3,14 ∙ 102 ) 202 ∙ 1,73
𝐴= +
2 4
400 ∙ 1,73
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
4
𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330
02. Resposta: A.
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então:
C = 20π
2π.r = 20π
20π
r = 2π
r = 10 cm
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2
03. Resposta: D.
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h)
Aret = 24,8.20
Aret = 496 m2
2
4.Acirc = 5.Aret
2
4.πr2 = 5.496
992
4.3,1.r2 =
5
12,4.r2 = 198,4
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4
d = 2r =2.4 = 8
04. Resposta: E.
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula A coroa = π(R2 – r2).
Acoroa = 3,14.(102 – 82)
Acoroa = 3,14.(100 – 64)
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2
- como o ângulo dado é 30°
360° : 30° = 12 partes iguais.
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2
05. Resposta: D.
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que
a área do quadrado é A = L 2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual
a 6 raios do círculo. Então:
6r = L → r = L/6
A = Aq – 9.Ac
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r)
𝐿 2 𝐿2 𝜋𝐿2
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. ( ) → 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋. → 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
6 36 4
. 270
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
06. Resposta: C.
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo
de 90°).
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋. 𝑟 2 𝜋. 42
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − → 𝐴 = 𝑙2 − → 𝐴 = 42 − → 𝐴 = 16 − 4𝜋
4 4 4
07. Resposta: E.
Asegmento = Asetor - Atriângulo
Substituindo as fórmulas:
𝑎𝜋𝑟 2 𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎 60°. 𝜋. 62 6.6. 𝑠𝑒𝑛60° 36𝜋 √3
𝐴𝑠𝑒𝑔 = − → 𝐴𝑠𝑒𝑔 = − → 𝐴𝑠𝑒𝑔 = − 6.3.
360° 2 360° 2 6 2
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
- Principio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções
planas de iguais altura possuírem a mesma área.
Vejamos:
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois
sólidos com essa coleção de chapas.
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume.
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço
dos determinados por α.
. 271
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número
de moedas congruentes.
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência).
Sólidos geométricos
Elementos de um prisma:
a) Base: pode ser qualquer polígono.
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases.
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo.
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais.
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas.
f) Altura: distância entre as duas bases.
Classificação:
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras:
1- Quanto à base:
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo.
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero.
. 272
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono.
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono.
E, assim por diante.
2- Quanta à inclinação:
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°).
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°.
Fórmulas:
- Área da Base
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim
por diante.
- Área Lateral:
Soma das áreas das faces laterais
- Área Total:
At=Al+2Ab
- Volume:
V = Abh
Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais,
que são:
Fórmulas:
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc)
- Volume: V = a.b.c
- Diagonal: D = √a2 + b 2 + c 2
Fórmulas:
- Área Total: At = 6.a2
. 273
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Volume: V = a3
- Diagonal: D = a√3
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior.
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base.
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: a p2 = h2 + ab2.
Classificação:
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras:
1- Quanto à base:
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo.
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero.
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono.
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono.
E, assim por diante.
2- Quanta à inclinação:
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base.
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base.
Fórmulas:
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante.
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠
- Área Total: At = Al + Ab
1
- Volume: 𝑉 = 3 . 𝐴𝑏 . ℎ
- TRONCO DE PIRÂMIDE
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a
figura:
. 274
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares.
Elementos de um cilindro:
a) Base: é sempre um círculo.
b) Raio
c) Altura: distância entre as duas bases.
. 275
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas
geratrizes.
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com
a inclinação:
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°).
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°.
Fórmulas:
- Área da Base: Ab = π.r2
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h.
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior.
. 276
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Elementos de um cone:
a) Base: é sempre um círculo.
b) Raio
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base.
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas
geratrizes.
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação.
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base.
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base.
Fórmulas:
- Área da base: Ab = π.r2
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é
dada pela fórmula: ASM = r.h.
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo
equilátero, para isto temos que: g = 2r.
TRONCO DE CONE
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura,
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
. 277
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Elementos
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor;
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco.
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na
composição do tronco de cone.
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso.
Onde:
h = altura
g = geratriz
Exemplo:
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m.
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14.
. 278
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
V) ESFERA
Elementos da esfera
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera.
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera.
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos.
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível.
Fórmulas
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema
de Pitágoras: R2 = r2 + d2.
- Área: A = 4.π.R2
4
- Volume: V = 3 . π. R3
Fuso Esférico:
Cunha Esférica:
. 279
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Fórmula do volume da cunha:
𝛼. 𝜋. 𝑅3
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
270°
Referências
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual
Editora
www.brasilescola.com.br
Questões
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no
tanque é igual a
(A) 980.
(B) 1020.
(C) 1460.
(D) 1580.
(E) 1610.
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões
dadas, em centímetros, pela figura a seguir.
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura
. 280
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de:
(A) 9,5
(B) 2,3
(C) 0,95
(D) 0,23
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em
cm2, é:
(A) 90π
(B) 100π
(C) 80π
(D) 110π
(E) 120π
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse
prisma é:
(A) 288√3 cm3
(B) 144√3 cm3
(C) 200√3 cm3
(D) 100√3 cm3
(E) 300√3 cm3
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais
a:
(A) 27 m2 e 54 m3
(B) 9 m2 e 18 m3
(C) 54 m2 e 27 m3
(D) 10 m2 e 20 m3
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa
pirâmide, em cm3, é igual a:
(A) 60
(B) 60√3
(C) 80
(D) 80√3
(E) 90√3
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14:
(A) 282,60 litros.
(B) 28.260 litros.
(C) 282.600,00 litros.
(D) 28.600,00 litros.
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é:
(A) 6√3
(B) 6√2
(C) 8√2
(D) 8√3
(E) 8
. 281
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) 330 cm³
(B) 720 dm³
(C) 330 m³
(D) 360 dm³
(E) 336 dm³
Respostas
01. Resposta: B.
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza
para poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que
vazou.
V= a . b . c
V= 3,5 . 1,2 . 0,8
V= 3,36 m³
1 m³__________ 1000 LITROS
3,36__________ x
x= 3.360 L
02. Resposta: B.
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo:
V = 8x3x1 = 24cm³
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³)
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g.
9120/1000 = 9,120kg.
03. Resposta: C.
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula:
V=M.L.C
13,25 = M . 2,4 . 5,8 =
13,92M = 13,25
M = 13,25/13,92
M = 0,95m
04. Resposta: B.
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm.
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm
Al = 2.π.r.h
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π
05. Resposta: A.
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = A b.h, do enunciado temos que a aresta da base é a
= 4 cm e a altura h = 12 cm.
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular
6.𝑎 2√3
𝐴𝑏 = 4
6.42 √3 6.16√3
𝐴𝑏 = 𝐴𝑏 = 𝐴𝑏 = 6.4√3 𝐴𝑏 = 24√3 cm2
4 4
V = 24√3.12
. 282
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
V = 288√3 cm3
06. Resposta: C.
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m.
At = 6.a2 V = a3
2
At = 6.3 V = 33
At = 6.9 V = 27 m3
2
At = 54 m
07. Resposta: D.
𝑙 2√3
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 = 4
.
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm.
82 √3 64√3
𝐴𝑏 = 4
= 4
𝐴𝑏 = 16√3
Cálculo do volume:
1
𝑉 = 3 . 𝐴𝑏 . ℎ
1
𝑉 = 3 . 16√3. 15
𝑉 = 16√3. 5
𝑉 = 80√3
08. Resposta: C.
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m.
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros
282,26. 1000 = 282 600 litros
09. Resposta: D.
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16
cm.
g2 = h2 + r2
162 = h2 + 82
256 = h2 + 64
256 – 64 = h2
h2 = 192
h = √192
h = √26 . 3
h = 23√3
h = 8√3 cm
10. Resposta: E.
ℎ𝑡
𝑉 = (𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏 )
3
AB=144 dm²
Ab=36 dm²
. 283
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
4 4 4
𝑉 = (144 + √144 ∙ 36 + 36) = (144 + 72 + 36) = 252 = 336 𝑑𝑚 3
3 3 3
POLIEDROS
Diedros
Sendo dois planos secantes (planos que se cruzam) α e β, o espaço entre eles é chamado de diedro.
A medida de um diedro é feita em graus, dependendo do ângulo formado entre os planos.
Poliedros
São sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces,
arestas e vértices. Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos,
pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns
exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices
do poliedro.
Cada vértice pode ser a interseção de três ou mais arestas. Observando a figura abaixo temos que em
torno de cada um dos vértices forma-se um triedro.
Convexidade
Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no
máximo, dois pontos. Ele não possuí “reentrâncias”. E caso contrário é dito não convexo.
. 284
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de
faces, valem as seguintes relações de Euler:
1) Poliedro Fechado: V – A + F = 2
2) Poliedro Aberto: V – A + F = 1
Observação: Para calcular o número de arestas de um poliedro temos que multiplicar o número de
faces F pelo número de lados de cada face n e dividir por dois. Quando temos mais de um tipo de face,
basta somar os resultados.
𝑛. 𝐹
𝐴=
2
Podemos verificar a relação de Euler para alguns poliedros não convexos. Assim dizemos:
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.
Exemplos:
1) O número de faces de um poliedro convexo que possui exatamente oito ângulos triédricos é?
A cada 8 vértices do poliedro concorrem 3 arestas, assim o número de arestas é dado por
𝑛. 𝐹 3.8
𝐴= →𝐴= = 12
2 2
Soma dos ângulos poliédricos: as faces de um poliedro são polígonos. Sabemos que a soma das
medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada por:
S = (v – 2).360º
Poliedros de Platão
São poliedros que satisfazem as seguintes condições:
- todas as faces têm o mesmo número n de arestas;
- todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas;
- for válida a relação de Euler (V – A + F = 2).
Exemplos:
1) O prisma quadrangular da figura a seguir é um poliedro de Platão.
. 285
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Vejamos se ele atende as condições:
- todas as 6 faces são quadriláteros (n = 4);
- todos os ângulos são triédricos (m = 3);
- sendo V = 8, F = 6 e A = 12, temos: 8 – 12 + 6 = 14 -12 = 2
As faces são 2 triangulares e 3 faces são quadrangulares, logo não é um poliedro de Platão, uma vez
que atende a uma das condições.
m n A V F Poliedro
3 3 6 4 4 Tetraedro
3 4 12 8 6 Hexaedro
4 3 12 6 8 Octaedro
3 5 30 20 12 Dodecaedro
5 3 30 12 20 Icosaedro
Poliedros Regulares
Um poliedro e dito regular quando:
- suas faces são polígonos regulares congruentes;
- seus ângulos poliédricos são congruentes;
Por essas condições e observações podemos afirmar que todos os poliedros de Platão são ditos
Poliedros Regulares.
Observação:
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.
. 286
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Por exemplo, uma caixa de bombom, como a da figura a seguir, é um poliedro de Platão (hexaedro),
mas não é um poliedro regular, pois as faces não são polígonos regulares e congruentes.
- Não Poliedros
Os sólidos acima são: Cilindro, Cone e Esfera, são considerados não planos pois possuem suas
superfícies curvas.
Cilindro: tem duas bases geometricamente iguais definidas por curvas fechadas em superfície lateral
curva.
Cone: tem uma só base definida por uma linha curva fechada e uma superfície lateral curva.
Esfera: é formada por uma única superfície curva.
- 4 faces triangulares
- 4 vértices
- 6 arestas
Tetraedro
. 287
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- 6 faces quadrangulares
- 8 vértices
- 12 arestas
Hexaedro
- 8 faces triangulares
- 6 vértices
- 12 arestas
Octaedro
Dodecaedro
- 20 faces triangulares
- 12 vértices
- 30 arestas
Icosaedro
Referências
http://educacao.uol.com.br
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php
http://www.infoescola.com
Questões
01. (POLÍCIA CIENTÍFICA/PR – Perito Criminal – IFBC/2017) A alternativa que apresenta o número
total de faces, vértices e arestas de um tetraedro é:
(A) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas
(B) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas
(C) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas
(D) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas
(E) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas
. 288
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces
é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a:
(A) 11
(B) 32
(C) 10
(D) 22
(E) 20
03. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro
pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
(A) 3240°
(B) 3640°
(C) 3840°
(D) 4000°
(E) 4060°
05. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale:
(A) 6.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 12.
(E) 9.
Respostas
01. Resposta: D.
4 faces triangulares
- 4 vértices
- 6 arestas
02. Resposta: D.
Basta utilizar a fórmula da soma dos ângulos poliédricos.
S = (V – 2).360°
7200° = (V – 2).360° (passamos o 360° dividindo)
7200° : 360° = V – 2
20 = V – 2
V = 20 + 2
V = 22
03. Resposta: A.
Temos 2 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 4 faces pentagonais.
F=2+2+4
F=8
𝟐.𝟑+𝟐.𝟒+𝟒.𝟓 𝟔+𝟖+𝟐𝟎 𝟑𝟒
𝑨= 𝟐
= 𝟐
= 𝟐
= 𝟏𝟕
V–A+F=2
V – 17 + 8 = 2
V = 2 + 17 – 8
V = 11
. 289
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A soma é:
S = (v – 2).260°
S = (11 – 2).360°
S = 9.360°
S = 3240°
04. Resposta: C.
05. Resposta: B.
𝟐𝑨
Do enunciado temos S = 720° e que 𝑭 = 𝟑 .
S = 720°
(V – 2).360° = 720°
V – 2 = 720° : 360°
V–2=2
V=2+2
V=4
V–A+F=2
𝟐𝑨
𝟒 − 𝑨 + 𝟑 = 𝟐 (o mmc é igual a 3)
𝟏𝟐−𝟑𝑨+𝟐𝑨 𝟔
=
𝟑 𝟑
- 3A + 2A = 6 – 12
-A=-6 x(- 1) multiplicando por -1
A=6
𝟐.𝟔 𝟏𝟐
Se A = 6 𝑭 = 𝟑
= 𝟑
=𝟒
Obs.: Caros alunos, para facilitar seus estudos, este tópico será abordado acima em Áreas e
volumes de sólidos usuais e de revolução.
CÔNICAS
As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuem todas elas, um aspecto singular:
podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície
cônica, conforme mostrado na figura a seguir:
. 290
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula. No caso da elipse já
sabemos que:
Excentricidade = e = c/a
𝑐 √𝑎2 − 𝑏2
𝑒= =
𝑎 𝑎
Ora, como c < a, vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto,
positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e
1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua
excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a
igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência.
A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
𝑐 √𝑎2 + 𝑏2
𝑒= =
𝑎 𝑎
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do
que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja a = b, teremos uma hipérbole
equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.
Cônica e
Circunferência 0
Elipse 0<e<1
Hipérbole e>1
Quanto à parábola, podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a
excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:
Equação Geral das Cónicas (eq. de 2° grau em x e y): Ax 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (1) com A,
B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos.
Elipse: é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é
constante e maior que a distância entre eles.
Equação Reduzida
. 291
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Focos: (±c, 0), sendo c2 = a2 − b2
Eixo maior = 2a
Eixo menor = 2b
Distância focal =2c
Vértices: (±a, 0), (0,±b)
Equação Reduzida
. 292
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Parábola: é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta
(diretriz), que não contém o ponto.
Equação Reduzida
y2 = 2px (p > 0)
Equação Reduzida
y2 = −2px (p > 0)
. 293
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Equação Reduzida
x2 = 2py (p > 0)
Equação Reduzida
x2 = −2py (p > 0)
(y − β)2 = 2p (x − α)
. 294
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(x − β)2 = 2p (y − α)
Hipérbole: é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois
pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles.
Equação Reduzida
Equação Reduzida
. 295
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Equação Reduzida da Hipérbole centrada em (α, β):
Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF =
e. Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma
constante real.
Temos então, pela condição dada, PF = e . Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:
√(𝑥 − 𝑓)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑒. √(𝑥 − 𝑑)2 + (𝑦 − 𝑦)2
Ou finalmente:
x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0
. 296
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos y 2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0
Fazendo d = - f, vem: y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y 2 = 2px, onde f = p/2,
conforme vimos no texto correspondente.
A constante e é denominada excentricidade.
Propriedades Refletoras
A elipse, a parábola e a hipérbole são curvas que possuem propriedades que as tornam importantes
em várias aplicações. Aqui vamos ocupar-nos apenas das chamadas propriedades de reflexão dessas
curvas, relacionadas com pontos especiais chamados focos.
O caso da elipse
A elipse é uma curva fechada para a qual existem dois pontos especiais, os focos. A propriedade de
reflexão da elipse é a seguinte: A partir de um dos focos tracemos um segmento de reta qualquer. Este
segmento encontra a elipse num ponto, e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a
curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, o segundo segmento passa pelo outro foco. (Nota: Os
ângulos com as curvas são os ângulos com as respectivas tangentes nos pontos em causa.)
Esta propriedade faz com que a elipse tenha várias aplicações práticas. Uma aplicação óptica vê-se
no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse
e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no
outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.
Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da elipse pode encontrar-se em salas que têm a
forma de meio elipsoide (um elipsoide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu
eixo, isto é, da reta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas
falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros
ruídos. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos
na Europa e nos Estados Unidos.
O caso da parábola
A parábola é uma curva com um foco. A propriedade de reflexão da parábola é a seguinte: A partir de
um ponto qualquer tracemos um segmento de reta paralelo ao eixo da parábola. Este segmento encontra
. 297
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
a parábola num ponto, e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo
igual ao do primeiro segmento, o segundo segmento passa pelo foco.
Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Um exemplo são as
vulgares antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os sinais vindos de um satélite de
televisão.
Uma aplicação óptica são os faróis dos automóveis e das motocicletas, que são espelhados por dentro
e em que se coloca a lâmpada no foco.
O caso da hipérbole
A hipérbole é uma curva com dois ramos e dois focos. A propriedade de reflexão da hipérbole é a
seguinte: A partir de um ponto qualquer tracemos um segmento de reta dirigido a um dos focos da
hipérbole. Este segmento encontra o correspondente ramo da hipérbole num ponto, e se a partir deste
traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, o segundo
segmento passa pelo outro foco.
. 298
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Esta propriedade faz com que a hipérbole tenha várias aplicações práticas. Um exemplo de uma
aplicação óptica é o chamado telescópio de reflexão. É constituído basicamente por dois espelhos, um
maior, chamado primário, que é parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Os dois espelhos dispõem-
se de modo que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um
dos da segunda.
Quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são dirigidos para o foco, pela propriedade
de reflexão da parábola. Como este também é foco da hipérbole, pela propriedade de reflexão desta os
raios de luz refletem-se no espelho hiperbólico e seguem em direção ao outro foco da hipérbole. Os raios
de luz passam através de um orifício no centro do espelho primário, atrás do qual está uma lente-ocular
que permite corrigir ligeiramente a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à
película fotográfica.
A vantagem deste tipo de telescópio reside no fato de ter um comprimento muito menor do que os
telescópios de refração (isto é, de lentes) com o mesmo poder de ampliação. Por exemplo, uma objetiva
fotográfica com 500 mm de distância focal é muito grande e pesada se for de refração, o que já não
acontece se for de reflexão, sendo pequena e manejável, o que pode ser vantajoso.
Outro exemplo é o telescópio Hubble (em órbita desde 1990 a 600 km da Terra), que se baseia nestas
propriedades de reflexão. O seu espelho primário tem 2.4 metros de diâmetro. Como está fora da
atmosfera, as imagens que o telescópio Hubble recolhe do espaço são muito mais claras e rigorosas do
que as recebidas pelos telescópios utilizados no solo, pois os raios de luz não são absorvidos nem
distorcidos pela atmosfera. Um telescópio de refracção com o mesmo poder de ampliação do Hubble
seria tão grande e pesado que nenhum foguetão seria capaz de o pôr em órbita.
Questões
01. Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas
descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.
𝑥2 𝑦 2 ( ) Elipse
(𝐼) + =1
4 3
𝑥 𝑦 ( ) Hipérbole
(𝐼𝐼) + = 1
4 9
𝑥2 𝑦 ( ) Reta
(𝐼𝐼𝐼 ) + = 1
4 9
𝑦 2 𝑥2 ( ) Circunferência
(𝐼𝑉) − =1
3 4
. 299
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑥2 𝑦 2 ( ) Parábola
(𝑉) + =1
9 9
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para
baixo, é:
A) I, IV, II, V e III
B) I, V, III, IV e II
C) II, III, V, I e IV
D) III, II, IV, I e V
E) IV, II, V, I e III
03. Qual é a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de
equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
𝑥2 𝑦2
(A) 25 + 16 = 1
𝑥2 𝑦2
(B) 16 + 25 = 1
𝑥2 𝑦2
(C) 25 + 9
=1
𝑥2 𝑦2
(D) + 25 = 1
9
04. Qual é a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da hipérbole de equação
9x² - 16y² = 144
−2
(A) 𝑦 = 5 𝑥 2 + 10
2
(B) 𝑦 = 𝑥 2 + 10
5
−2
(C) 𝑦 = 𝑥 2 − 10
5
2 2
(D) 𝑦 = 5
𝑥 − 10
05. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e é perpendicular à reta que passa pelo
centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da
hipérbole de equação x2/64 – y2/36 = 1 .
(A) 7𝑥 − 𝑦 − 11 = 0
(B) −7𝑥 + 𝑦 = −11
(C) 7𝑥 − 𝑦 = −11
(D) −7𝑥 − 𝑦 − 11 = 0
Respostas
01. Reposta: A.
Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas
características das equações, observe:
Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador,
nesse caso item (II)
Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse
caso o item (V)
Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)
Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)
Parábola: temos só x² ou só y², item (III)
. 300
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. Resposta: A.
8 −6
C( , )
O centro C da circunferência é { −2 −2
𝐶(−4,3)
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
2 2 2
𝑁𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 {𝑎 = 25 𝑒 {𝑏 = 16 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 {25 =2 16 + 𝑐 . 𝑂 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 é 𝐶 (0,0).
𝑎=5 𝑏=4 𝑐 =9
𝑐=3
A elipse tem eixo maior sobre o eixo x, dessa forma o foco de coordenadas positivas é F(3,0).
(𝑥−𝑥𝑐)2 (𝑦−𝑦𝑐)2
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑎2
+ 𝑏2
=1
25 = 𝑏 2 + 9 , 𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 é 𝐶(0,0)𝑒 𝑠𝑢𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é: (𝑥−0)2 (𝑦−0)2
+ =1
𝑏 2 = 16 52 42
𝑥2 𝑦2
{ 𝑏=4 { + 16 = 1
25
10 = 𝑎. 0 + 𝑏. 0 + 𝑐
𝑁𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 (0,10) ∈ 𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 {
𝑐 = 10
−2
𝑦= 5
𝑥 2 + 0𝑥 + 10
𝐷𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 é: { −2
𝑦= 𝑥 2 + 10
5
P(2,3)
r: {
⊥s
2
{𝑎 = 64 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
2
= 1 ⟹ { 𝑎2 = 8 ∴ {𝑐 = 64 + 36 → 𝐹(10,0)
𝑥2 𝑦2
𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒: { − 2
64 36
{𝑏 = 36 𝑐 = 100
𝑏=6 𝑐 = 10
. 301
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0
8 −4
𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎: { 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (−2 , )
2
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜(−4,2)
𝑥 −10
|10 −4 |=0
0 2 𝑦 0 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
20 − 4𝑦 − 2𝑥 − 10𝑦 = 0 𝑃(2,3)
−1 𝑦 − 3 = 7. (𝑥 − 2)
𝑠: −2𝑥 − 14𝑦 + 20 = 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑟 {𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 ⟹ 𝑟: { 𝑦 − 3 = 7𝑥 − 14
−(−2) 𝑚𝑟 = 7
𝑚𝑠 = −14 7𝑥 − 𝑦 − 11 = 0
1
{ 𝑚𝑠=−
7
- submúltiplos do grau
O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que:
1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau.
1’ = 60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto.
II) Radiano
A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da
circunferência sobre a qual está arco está determinado.
. 302
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos:
l
α=
r
O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma
circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C → lmax = 2πr.
Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será:
2πr
α= ==> α = 2π rad
r
Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad.
Conversões
- graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples.
Exemplo:
Converter 150° para radianos.
180° π rad
150° x rad
180° π
=
150° x
180𝑥 = 150𝜋
150π
x= (simplificando)
180
5π
x= rad
6
Exemplo:
3π
Converter 2 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também).
3𝜋 3.180 540
= = = 270°
2 2 2
- Arcos Côngruos: Basta dividir o ângulo por 360 e utilizar o resto da divisão. (Para isto os ângulos
deverão ser maiores que 360, ou seja, não estarão na primeira volta, e sim nas demais.
Exemplos:
700º = 700 : 360 = 360 . 1 + 340, assim o arco côngruo a 700 na primeira volta será o 340º.
5 π = 5.180 = 900° = 900 : 360 = 360 . 2 + 180, assim o arco côngruo do 5 π na primeira volta será o
180 = π.
Questões
5𝜋
(B) 6
𝑟𝑎𝑑
𝜋
(C) 6
𝑟𝑎𝑑
𝜋
(D) 𝑟𝑎𝑑
3
2𝜋
(E) 3
𝑟𝑎𝑑
. 303
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
5𝜋
02. Um ângulo de 4
rad equivale a quantos graus?
(A) 180°
(B) 210°
(C) 300°
(D) 270°
(E) 225°
03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14)
(A) 6°
(B) 5°
(C) 4°
(D) 3°
(E) 2°
Respostas
01. Resposta: E.
180° π rad
120° x rad
180° 𝜋
120°
=𝑥
180x = 120π
120𝜋
𝑥= 180
(simplificando)
2𝜋
𝑥= 3
𝑟𝑎𝑑
02. Resposta: E.
5𝜋 5.180° 900°
4
= 4
= 4
= 225°
03. Resposta: A.
Neste caso, usamos regra de três:
180° π rad
x 0,105 rad
180° 𝜋
𝑥
= 0,105
π.x = 180°.0,105
3,14x = 18,9
x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01
x ≅ 6°
Funções trigonométricas e seus gráficos; Cálculo das linhas dos arcos usuais.
Funções trigonométricas inversas.
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos:
. 304
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π
e que possuem a mesma imagem. Observe:
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ,
onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno,
função cosseno e função tangente.
. 305
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Características da função cosseno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º
quadrantes. Observe:
. 306
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Gráfico da função tangente
. 307
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos
. 308
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Referências
brasilescola.com
uff.br/webmat
Questões
01. (IFB – Professor de Matemática – IFB/2017) As funções senoides por serem periódicas são muito
utilizadas nos cálculos de movimentos de marés, movimentos de pêndulos, sinais de ondas sonoras e
02. (IF/SC – Professor de Matemática – IF/SC) Dada a função f (x) = sen x - cos x, quantos zeros
. 309
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2].
(B) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /4, pi /4].
(C) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /4, pi /4].
(D) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /6, pi /6].
Respostas
01. Resposta: B.
O período de uma função y = a+b*sen(cx+d) é simplesmente 2pi/c, assim o período da função em
específico é pi. Logo a primeira afirmativa é FALSA.
A imagem da função pode ser encontrada considerando que toda função seno está entre -1 e 1. Veja:
-1 ≤ sen(2x+pi/2) ≤ 1
-3 ≤ 3sen(2x+pi/2) ≤ 3
-2 ≤ 1+3sen(2x+pi/2) ≤ 4
Assim, Im(f(x)) = [-2, 4]. Ou seja, a segunda afirmação também é FALSA. Analisando as afirmações
só nos resta a alternativa B como resposta.
02. Resposta: D.
Observe que para a função dar zero, temos que ter senx = cosx, assim temos o ângulo de 45° e seus
correspondentes no 2°, 3° e 4° quadrantes, mas precisamos ficar atentos a alguns fatos:
- A função é no intervalo de 0 à 3pi, ou seja, uma volta e meia no círculo;
- os sinais de seno e cosseno variam de acordo com o quadrante:
1ºQ: senx = + e cosx = +
2°Q: senx = + e cosx = - (não serve pois o seno e cosseno devem ser iguais)
3ºQ: senx = - e cosx = -
4°Q: senx = - e cosx = + (não serve, pois o seno e cosseno devem ser iguais)
Então as soluções estão no 1° e 3° quadrantes, mas o intervalo é de uma volta e meia, assim passa
pelo primeiro quadrante 2 vezes e 1 vez pelo terceiro quadrante, portanto possui 3 soluções.
03. Resposta: A.
. 310
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Para x: -1 < 4x < 1, ou seja, -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição
vista acima, deveremos ter -pi /2 < y < pi /2.
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2].
04. Resposta: D.
Seja w = arcsen 2/3.
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen 2w + cos2w = 1 (Relação
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem:
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9.
Logo:
cosw = ± √5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, intervalo
no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +√5 / 3.
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (√5 / 3)] = 2/√5 / 3
Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (√5 / 3)/ 5 que é o valor de y procurado.
05. Resposta: B.
Seja 2*sen(3x) + 1 = 0
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R.
x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3
Concluímos que o conjunto solução é:
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z}
06. Resposta: D.
Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero.
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos:
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0 sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ x = 2kπ / 7, k E Z
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z.
Então: 3x = π + 2kπ x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z.
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z}
Obs.: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim:
sen (5x) + sen (2x) = 0 sen (5x) = - sen (2x)
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos:
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos:
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre
um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto
determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o
eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro
ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco
AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
. 311
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k
)=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do
arco de medida x radianos.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) =
cos(a) = cos(a+2k ) = x'
Tangente: Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é
perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM
correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k )
= µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O
seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos(
/2)=0 e sen( /2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
. 312
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao
intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em
relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O
seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas
são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sen(3 /2)=-1
. 313
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = - cos(b)
tg(a) = - tg(b)
. 314
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do
que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
. 315
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0<a<2 e 0<b<2 , a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
tg(a) - tg(b)
tg(a-b)=
1 + tg(a)tg(b)
Arcos côngruos (ou congruentes) (Já vimos este assunto, porém aqui explicarei com mais
detalhes)
Os arcos no círculo trigonométrico possuem origem e extremidade. Uma volta completa no círculo
trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad. mas nem todos os arcos possuem o mesmo comprimento,
pois eles podem ter número de voltas completas diferentes. Com isso podemos definir que:
Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma extremidade e
diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras.
Uma regra prática e eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a
diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos
arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.
Exemplo:
Verificar se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.
8390º – 6230º = 2160
. 316
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.
De maneira geral:
Exemplos:
1) Um móvel partindo do ponto A, origem dos arcos, percorreu um arco de 1690°. Quantas voltas
completas deu e qual quadrante parou?
Logo, o móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário. Como 180º < 250º < 270º, o móvel parou
no 3º quadrante.
22𝜋
5 = 22 = 20 + 2 = 2 + 1
2𝜋 10 10 10 5
22𝜋 1 2𝜋 2𝜋
= (2 + ) . 2𝜋 = 4𝜋 + = 2.2𝜋 +
5 5 5 5
52𝜋
5 = 52 = 50 + 2 = 5 + 1
2𝜋 10 10 10 5
52𝜋 1 2𝜋 2𝜋
= (5 + ) . 2𝜋 = 10𝜋 + = 5.2𝜋 +
5 5 5 5
2𝜋
Os arcos são côngruos, pois ambos são expressos pela forma 5
+ 2𝑘𝜋.
Referência
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy – Matemática Fundamental – 2º grau Volume Único – FTD - São Paulo: 1994
Questões
01. ( MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Se um arco mede α graus, a expressão geral
dos arcos côngruos a ele é dada por α + k 360° , onde k é um número inteiro. Por outro lado, se um arco
mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2 kπ, onde k é um número
inteiro. Um móvel A, partindo do ponto de origem dos arcos de uma circunferência trigonométrica,
percorreu um arco de 1690 graus. O móvel B, partindo deste mesmo ponto de origem, percorreu um arco
de 35π⁄8 radianos. Desse modo, pode-se afirmar que o móvel:
(A) A deu 4 voltas no sentido anti-horário e parou no I quadrante.
(B) A deu 4 voltas no sentido horário e parou no III quadrante.
(C) B deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no I quadrante.
(D) B deu 2 voltas completas no sentido horário e parou no I quadrante.
(E) independente do número de voltas, os móveis A e B pararam no primeiro quadrante.
. 317
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (PETROBRAS – Técnico de Estabilidade Junior – CESGRANRIO) No ciclo trigonométrico de
centro O, representado na figura, os ângulos PÔB e QÔS são congruentes, e o arco AP, tomado no
sentido anti-horário, mede 164°. Reduzindo-se o arco AQ ao primeiro quadrante, o valor encontrado será
igual a
(A) 16°
(B) 24°
(C) 64°
(D) 74°
(E) 86°
03. (Marinha – Fuzileiro Naval – Marinha) Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um
relógios quando são exatamente 7 horas?
(A) 210°
(B) 180°
(C) 165°
(D) 150°
(E) 120°
Respostas
01. Resposta: C.
Basta reduzirmos a primeira volta ambos os ângulos.
1690° = 250° + 4.360, ou seja deu quatro voltas no sentido anti-horário e parou no 3° quadrante.
35π
⁄8 = 32π⁄8 + 3π⁄8 . Ou seja, ele deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no 1°
quadrante.
02. Resposta: D.
. 318
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Observe que o arco AB possui 180°, Como o arco AP = 164°, nos resta que PB = 180° – 164° = 16°,
portanto QS = 16°, temos que AQ = 270° - 16° = 254°, como a questão pede para encontrar no primeiro
quadrante devemos fazer 254° – 180° = 74°
03. Resposta: D.
Observe que no relógio temos 12 horas, como uma volta completa é de 360°, ao dividirmos por 12
obtemos 30° então para cada hora possuímos 30 graus.
No exercício, o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio de 7 para 12 temos 5 horas, logo 5 .
30 = 150°.
04. Resposta: B.
Como AQ = 294°, QA (no sentido anti-horário) = 360° – 294° = 66°, mas de P até o ponto onde temos
no ciclo 180° possui o mesmo valor (66°) Então o arco PS = 66° + 90° = 156°
Aqui aprenderemos relações que são fundamentais para a resolução de questões trigonométricas.
Exemplo:
Dado sem x = 1/3 , com π/2 < x < π , obter cos x.
Usando a relação fundamental, temos:
1 2 1 8 8 2√2
( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − = → 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√ = ±
3 9 9 9 3
Como o intervalo esta compreendido π/2 < x < π, notamos que x está no 2º quadrante, e
2√2
consequentemente, cos x < 0. , assim teremos 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − 3
𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝝅
Relação II - 𝒕𝒈𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ 𝟐 + 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁
O eixo (vertical) das tangentes é obtido ao se tangenciar, por uma reta, o ciclo no ponto A, origem da
contagem dos arcos.
. 319
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Valores Notáveis
𝝅
𝒕𝒈
𝟒
Pela relação fundamental II, temos:
𝜋 √2
𝜋 𝑠𝑒𝑛 4
𝑡𝑔 = = 2 =1
4 𝑐𝑜𝑠 𝜋 √2
4 2
Exemplo:
3𝜋
Para calcular 𝑡𝑔 4 , devemos unir o centro à extremidade do arco, prolongando esse segmento até o
eixo das tangentes.
. 320
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3𝜋 √2
3𝜋 𝑠𝑒𝑛 4
𝑡𝑔 = = 2 = −1
4 3𝜋 √2
𝑐𝑜𝑠 4 − 2
7𝜋 √2
7𝜋 𝑠𝑒𝑛 4 −
2 = −1
𝑡𝑔 = =
4 7𝜋 √2
𝑐𝑜𝑠 4
2
Assim como para a tangente para a cotangente também é necessário acoplar um eixo externo, porém
ele é feito no ponto B, que corresponde a π/2 radianos.
𝟏 𝝅
Relação IV – 𝐬𝐞𝐜 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ 𝟐 + 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁
1
Relação V – cossec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍
Exemplos:
5𝜋 1 1
1) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 = = = −√2
4 5𝜋 √2
𝑠𝑒𝑛 4 − 2
5𝜋 1 1
2) 𝑠𝑒𝑐 = = =2
3 5𝜋 1
𝑐𝑜𝑠 2
3
. 321
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
5𝜋 √3
5𝜋 𝑐𝑜𝑠 6 − 2
3) 𝑐𝑜𝑡𝑔 = = = −√3
6 5𝜋 1
𝑠𝑒𝑛 6 2
Questões
π √5−1 𝜋
01. (SAMAE – CONTADOR – FUNTEF/PR) Considerando que sen 10 = 4
, o valor de 𝑐𝑜𝑠 10
é:
√10 + 2√5
(𝐴)
4
√10 − 2√5
(𝐵)
4
√12√5
(𝐶 )
4
(D) -1/2
(E) 1/4
02. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°, determine o valor da
expressão E = sen² x + tg² x.
(A) 9/4
(B) 11/4
(C) 13/4
(D) 15/4
(E) 17/4
03. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) O gráfico da função f(x) = cos²x
– sen²x + cos x, no intervalo [0,2π], intercepta o eixo das abscissas em três pontos distintos (a,0), (b,0) e
(c,0), sendo a < b < c. Nessas condições, a diferença (c − b) vale
(A) π /3
(B) 2π /3
(C) π
(D) π /6
(E) 5π /6
Respostas
01. Resposta: A.
Sen²x + cos²x = 1
2
√5 − 1
( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
4
2
√5 − 1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1−( )
4
5 − 2√5 + 1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1−
16
6 − 2√5
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1−
16
16 6 − 2√5
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −
16 16
. 322
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
10 − 2√5
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
16
√10 + 2√5
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
4
02. Resposta: D.
Sen²x + cos²x = 1
1 2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + ( ) = 1
2
2
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 −
4
2
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
4
√3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±
2
Como está no primeiro quadrante
√3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = +
2
2
√3 3
2 (2)
2 2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2 √3 3 4 3 15
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + =( ) + = + = +3=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2 1 2 4 1 4 4
( ) 4
2
03. Resposta: B.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥
Substituindo na função:
f(x) = cos²x - (1 - cos²x) + cosx
f(x)=cos²x + cos²x + cosx - 1
f(x)=2cos²x + cosx - 1
f(x)=0=2cos²x + cosx -1
∆= 1 + 8 = 9
−1±3
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
4
−1+3 1
cos 𝑥 = =2
4
−1−3
cos 𝑥 = = −1
4
5𝜋
𝑐= 3
𝑏=𝜋
5𝜋 2𝜋
𝑐−𝑏 = −𝜋 =
3 3
04. Resposta: D.
1
sec 180° = = −1
cos 180°
√2
𝑠𝑒𝑛(−45) = −𝑠𝑒𝑛 45 = −
2
1 1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 450° = = =1
𝑠𝑒𝑛450 𝑠𝑒𝑛90
. 323
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
360 – 315 = 45
√2
cos 315° = cos 45 =
2
Substituindo:
2 2
√2 √2 2 2
−1 + (− ) . 1 + ( ) = −1 + + = −1 + 1 = 0
2 2 4 4
TRANSFORMAÇÕES
Estaremos aqui obtendo fórmulas que possibilitem encontrar funções circulares da soma e diferença
de dois arcos, dobro (ou triplo) de arco e transformações em produto.
̂ e 𝑅𝐴𝑃
Os arcos 𝐴𝑃𝑄 ̂ possuem a mesma medida (a + b) e, consequentemente, as cordas 𝐴𝑄
̅̅̅̅ e 𝑃𝑅
̅̅̅̅
também têm medidas iguais.
As coordenadas dos pontos acimas são:
A (1,0);
P (cos a, sen a);
Q (cos (a + b), sen (a + b) e
R (cosb, - sen b).
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏 2. 𝑡𝑔 𝑥
∗ 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) ≡ ⇒ 𝑡𝑔 2𝑥 ≡
1 − 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏 𝑎=𝑏=𝑥 1 − 𝑡𝑔2 𝑥
𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏
∗ 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) ≡
1 + 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏
Exemplos:
1) sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º . cos 45º + sen 45º . cos 60º
2) cos 135º = cos (90º + 45º) = cos 90º . cos 45º – sen 90º . sen 45º
. 324
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
3) Demonstre que cos (2π + x) = cos x.
cos (2π + x) = cos 2π . cos x – sen 2π . sen x = 1 . cos x – 0 . sen x = cos x
- Arcos Duplos
Utilizado quando as fórmulas do seno, cosseno e tangente do arco (a + b), fazemos b = a.
𝟐𝒕𝒈 𝒂 𝝅
𝒕𝒈 𝟐𝒂 = (𝒂 ≠ + 𝒌𝝅)
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐 𝒂 𝟒
Exemplos:
Observe o ciclo trigonométrico:
̂ que mede a.
Nele é mostrado um arco 𝐴𝑀
Vamos determinar:
1) sen 2a.
2) cos 2a.
3) O quadrante que está o arco que mede 2a.
4) sen 3a.
Resolvendo temos:
1) sen 2a.
Como sen 2a = 2.sen a. cos a e sabemos que sen a = 3/5 , com a no 2º quadrante, encontramos o
cos através de: sen2 a + cos2 a = 1 cos2 a = 1 – 9/25 cos2 a = 16/25, como sabemos que a pertence
ao 2º quadrante, logo o seu cosseno é negativo: cos a = -4/5.
Com isso fazemos:
3 4 24
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2. . (− ) → 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = −
5 5 25
2) cos 2a.
. 325
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Como cos 2a = cos2 a – sen2 a, teremos:
16 9 7
cos 2𝑎 = − → cos 2𝑎 =
25 25 25
4) sen 3a.
Como sen 3a = sen (2a + a) sen 3a = sen 2a . cos a + sen a . cos 2a
24 4 3 7 117
𝑠𝑒𝑛 3𝑎 = (− ) . (− ) + ( ) . ( ) → 𝑠𝑒𝑛 3𝑎 =
25 5 5 25 125
- Arco Metade
Vamos achar valores que mede a/2, conhecendo os valores das funções trigonométricas do arco que
mede a.
Vamos determinar os valores partindo do cos a, partindo dele determinamos os valores de
𝑎 𝑎 𝑎
𝑠𝑒𝑛 2 , 𝑐𝑜𝑠 2 𝑒 𝑡𝑔 2 .
Vamos primeiramente ajusta-la ao nosso problema fazendo 2x = a cos a = cos2 a/2 – sen2 a/2 (I)
Como temos que o cos2 a/2 = 1 – sen2 a/2:
𝑎 𝑎 𝑎 1 − cos 𝑎 𝒂 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂
cos 𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 → 2𝑠𝑒𝑛2 = 1 − cos 𝑎 → 𝑠𝑒𝑛2 = = 𝒔𝒆𝒏 = ±√
2 2 2 2 𝟐 𝟐
E como:
𝑎
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝜋
𝑡𝑔 2 = 2
𝑎 ( 𝑐𝑜𝑚 ≠ 2 + 𝑘. 𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍) , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐶𝑂𝑆 2
2
𝒂 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂
𝒕𝒈 = ±√
𝟐 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒂
. 326
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- Transformação da soma em produto
As fórmulas abaixo relacionadas nos permitirão transformar somas em produtos.
𝑝+𝑞 𝑝−𝑞
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑝 + 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2. 𝑠𝑒𝑛 . 𝑐𝑜𝑠
2 2
𝑝−𝑞 𝑝+𝑞
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑝 − 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2. 𝑠𝑒𝑛 . 𝑐𝑜𝑠
2 2
𝑝+𝑞 𝑝−𝑞
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + cos 𝑞 = 2. 𝑐𝑜𝑠 . 𝑐𝑜𝑠
2 2
𝑝+𝑞 𝑝−𝑞
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − cos 𝑞 = −2. 𝑠𝑒𝑛 . 𝑠𝑒𝑛
2 2
Exemplos:
Vamos transformar em produtos:
1) N = sen 4x + sen 6x
Vamos chamar 4x = p e 6x = q
Usando a primeira das fórmulas vistas, obtemos:
4𝑥 + 6𝑥 4𝑥 − 6𝑥
𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 → 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ). cos(−𝑥) → 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 5𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2 2
2) N = 1 – sen 4x
𝜋
Vamos substituir 1 por sen π/2, obtemos: 𝑁 = 𝑠𝑒𝑛 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥
2
Onde: π/2 = p e 4x = q
𝜋 𝜋
2 − 4𝑥 + 4𝑥 𝜋 𝜋
𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 ( ) . 𝑐𝑜𝑠 (2 ) → 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 ( − 2𝑥) . 𝑐𝑜𝑠 ( + 2𝑥)
2 2 4 4
Referências
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único
IEZZI, Gelson – Matemática Elementar – Volume 3 - Trigonometria
Questões
02. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°, determine o valor da
expressão E = sen² x + tg² x.
(A) 9/4
(B) 11/4
(C) 13/4
(D) 15/4
(E) 17/4
. 327
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO –
EXÉRCITO BRASILEIRO) A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades
senx=(m+1)/m e cos x=(m+2)/m é
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) -4
(E) -6
Respostas
01. Resposta: A.
sen 90°=1
cos〖180°〗= -1
1+(-1)=0
02. Resposta: D.
Sen²x+cos²x=1
1 2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + ( ) = 1
2
1
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 −
4
3
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
4
√3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±
2
Como está no primeiro quadrante
√3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = +
2
2
√3 3
2 (2)
2 2
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2 √3 3 4 3 15
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + =( ) + = + = +3=
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 1 2 4 1 4 4
( ) 4
2
03. Resposta: E.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑚+1 2 𝑚+2 2
( ) +( ) =1
𝑚 𝑚
𝑚 2 + 2𝑚 + 1 𝑚 2 + 4𝑚 + 4
+ −1=0
𝑚2 𝑚2
𝑚 2 + 2𝑚 + 1 + 𝑚 2 + 4𝑚 + 4 − 𝑚 2 = 0
𝑚 2 + 6𝑚 + 5 = 0
S = -b/a → S = -6/1 = -6
04. Resposta: B.
O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por:
. 328
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
tg x + tg y
𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) =
1 – tg x . tg y
33 – 99.tg y = 3 + tg y
100.tg y = 30
tg y = 30/100
tg y = 0,3
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma
igualdade.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais,
é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.
sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que
a incógnita deverá assumir em cada equação.
- cos x = cos α
. 329
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Para que x e α possuam o mesmo cosseno, é necessário que suas extremidades coincidam ou sejam
simétricas em relação ao eixo dos cossenos, ou, em outras palavras, que ocupem no ciclo a mesma
vertical.
Nessas condições, com α dado, os valores de x que resolvem a equação cos x = cos α são: x = a ou
x = 2π- α.
- tg x = tg α
Dois arcos possuem a mesma tangente quando são iguais ou diferem π radianos, ou seja, têm as
extremidades coincidentes ou simétricas em relação ao centro do ciclo.
Questões
01. (Bombeiros MG) As soluções da equação trigonométrica sem(2x) – 1/2 = 0, que estão na primeira
determinação são:
(A) x = π/12 ou x = 3π/24
(B) x = π/12 ou x = 5π/12
(C) x = π/6 ou x = 3π/12
(D) x = π/6 ou x = 5π/24
. 330
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. (PC/ES - Perito Criminal Especial – CESPEUnB) Considerando a função f(x) = senx - √3 cosx,
em que o ângulo x é medido em graus, julgue o item seguinte:
f(x) = 0 para algum valor de x tal que 230º < x < 250º.
( ) Certo ( )Errado
( )Certo ( )Errado
3
04. (UNIPAR) A soma de todas as raízes da equação 1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 4, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é igual a:
(A) 5π
(B) 4π
(C) 3π
(D) 2π
(E) π
05. (FGV) Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel tenha sido dada (em milhares de
𝜋𝑡
reais) por 𝑅 (𝑡) = 3000 + 1500. 𝑐𝑜𝑠 ( 6 ), em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro
e assim por diante. A receita de março foi inferior à de fevereiro em:
(A) R$ 850.000,00
(B) R$ 800.000,00
(C) R$ 700.000,00
(D) R$ 750.000,00
(E) R$ 650.000,00
Resposta
01. Resposta: B
Temos então: sem(2x) = 1/2
Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6.
Resolvendo:
2x = π/6
x = π/12
ou
2x = 5π/6
x = 5π/12
. 331
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑠𝑒𝑛𝑥 = √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 (passar o 𝑐𝑜𝑠𝑥 dividindo para o 1° membro)
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑥
= √3 (das relações fundamentais temos que 𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 )
𝑡𝑔𝑥 = √3
Verificando no ciclo quais ângulos tem este valor de tangente:
x = 60° ou x = 240°
se t = 0 P = 7, temos o ponto de início do gráfico sendo (0, 7) e não (0, 5) como está no gráfico.
04. Resposta: B
3
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
=4
3 = 4. (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
3 = 4 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 4 − 3
4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 4
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√4
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ± 2
Os ângulos que tem cosseno igual a mais ou menos ½ são: π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3.
𝜋 2𝜋 4𝜋 5𝜋
3
+ 3 + 3 + 3 =
𝜋+2𝜋+4𝜋+5𝜋 12π
= 3
= 3
= 4𝜋
05. Resposta: D
𝜋 180°
Lembrando que = = 30° R(t) = 3000 + 1500.cos(30°.t)
6 6
No mês de fevereiro: t = 2
R(2) = 3000 + 1500.cos(30°.2)
R(2) = 3000 + 1500. cos60°
R(2) = 3000 + 1500.1/2
R(2) = 3000 + 750 = 3.750
No mês de março: t = 3
R(3) = 3000 + 1500.cos(30°.3)
. 332
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
R(3) = 3000 + 1500.cos90°
R(3) = 3000 + 1500.0
R(3) = 3.000
INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Inequação trigonométrica será onde teremos os sinais da desigualdades, e algum valor trigonométrico,
por exemplo:
Senx> -1
Cosx≤ 1
tgx≥-2
A solução dessa inequação pode ser dada na primeira volta do ciclo trigonométrico como S = { x |
y < x < π – y}. Para estender essa solução para o conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x |
y + 2kπ < x < π – y + 2kπ, k } ou S = { x | y + 2kπ < x < (2k + 1)π – y, k }
. 333
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Seja n o cosseno de um arco y, tal que – 1 < n < 1. A solução deve ser dada a partir de dois intervalos: 0
≤ n < 1 ou – 1 < n ≤ 0. Veja a figura a seguir:
Para que a solução dessa inequação esteja na primeira volta do ciclo trigonométrico, devemos
apresentar S = { x | 0 ≤ x < y ou 2π – y ≤ x < 2π }. Para estender essa solução para o conjunto
dos reais, podemos dizer que S = { x | 2kπ ≤ x < π + 2kπ ou 2π – y + 2kπ < x < (k + 1).2π,
k }.
Na primeira volta do ciclo, a solução é S = { x | y < x < 2π – y}. No conjunto dos reais, a solução
éS={x | y + 2kπ < x < 2π – y + 2kπ, k }.
. 334
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A solução dessa inequação pode ser dada no conjunto dos reais como S = { x | y + 2kπ < x
π 3π
< /2 + 2kπ ou y + π + 2kπ < x < /2 + 2kπ}. Na primeira volta do ciclo, temos: S = { x |y<x
< π/2 ou y + π < x < 3π/2, k }.
Na primeira volta do ciclo, temos como solução: S = { x | 0 ≤ x < y ou π/2 < x < y + π ou 3π/2 < x
< 2π}. No conjunto dos reais a solução é S = { x | kπ ≤ x < y + kπou π/2 + kπ < x < (k + 1).π,
k }.
Questões
1
02. O conjunto solução da inequação senx ≥ 2 é?
π 5π
(A) S = {x IR/ 3
≤x≤ 3
}
5π π
(B) S = {x IR/ 4
≤x≤ 4
}
π 5π
(C) S = {x IR/ ≤x≤ }
4 4
5π π
(D) S = {x IR/ 6
≤x≤ 6
}
π 5π
(E) S = {x IR/ ≤x≤ }
6 6
Respostas
01. Resposta: B.
2cosx ≤ 1, então
1 1
cosx ≤ , se observarmos no círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1 quadrante, cos60° = ,
2 2
π 1 π 5π
portanto em radianos teremos cos3 = 2
, e no 4º quadrante será 2π - 3
= 3
, então a solução dessa
inequação será:
. 335
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
π 5π
S = {x IR/ ≤x≤ }
3 3
02. Resposta: E.
1
senx ≥2
Observe que se imaginarmos o círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1° quadrante,
1 π 1 π 5π
sen30°= 2, portanto em radianos teremos sen 6 = 2, e no 2° quadrante o correspondente de 6 será 6 ,
assim a inequação será da seguinte forma: para valores maiores que ½ no seno.
A palavra trigonometria significa: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida), traduzido mais ou menos
para estudo das medidas de três ângulos. A figura que tem três ângulos chama-se Triângulo.
Em todo triângulo retângulo os lados recebem nomes especiais. O maior lado (oposto do ângulo de
90°) é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados menores (opostos aos dois ângulos agudos) são
chamados de Catetos.
Observe a figura:
- a é a hipotenusa.
- b e c são os catetos.
Para estudo de Trigonometria, são definidos no triângulo retângulo, três razões chamadas
trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
- 𝑠𝑒𝑛 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
. 336
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
No triângulo acima, temos:
Quando a soma de dois ângulos é igual a 90°, eles são chamados de Ângulos Complementares. E,
neste caso, sempre o seno de um será igual ao cosseno do outro.
Valores Notáveis
A tabela a seguir representa os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°,
considerados os três ângulos notáveis da trigonometria.
30° 45° 60°
sen 1 √2 √3
2 2 2
cos √3 √2 1
2 2 2
tg √3 1 √3
3
Questões
01. Um avião levanta voo formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sua altura, em metros, após
ter percorrido 600 m será:
(A) 100
(B) 200
(C) 300
(D) 400
(E) 500
02. (UDESC) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria.
. 337
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Sabendo-se que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano
inclinado medem 280√3 cm, conforme mostra a figura acima, então, a escada deverá ter:
(A) 10 degraus
(B) 28 degraus
(C) 14 degraus
(D) 54 degraus
(E) 16 degraus
03. (FUVEST) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo 𝛼, como mostra a figura.
Sabendo que sen20° = 0,342 e cos20° = 0,940, a altura da torre, em metros, será aproximadamente:
(A) 14,552
(B) 14,391
(C) 12,552
(D) 12,391
(E) 16,552
04. (U. Estácio de Sá) Simplificando a expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛17º. 𝑐𝑜𝑡𝑔17°. 𝑐𝑜𝑡𝑔73°. 𝑠𝑒𝑐73°, encontramos:
(A) – 2
(B) – 1
(C) 2
(D) 1
(E) 5
06. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra o perfil de um muro
construído para conter uma encosta pouco estável. A primeira parte da rampa tem 10m de comprimento
e inclinação de 25° com a horizontal, e a segunda parte tem 10 m de comprimento e inclinação de 50°
com a horizontal.
Considerando sen25° = 0, 42 e cos25° = 0,91, o valor da altura total do muro (h) é, aproximadamente:
(A) 11,1m.
(B) 11,8m.
(C) 12,5m.
(D) 13,2m.
(E) 13,9m.
. 338
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
07. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma
altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme
mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com
o chão e a uma distância BR de medida 6√2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos
A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do
deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre
(A) 3 e 4.
(B) 4 e 5.
(C) 5 e 6.
(D) 6 e 7.
Respostas
01. Resposta: C.
Do enunciado temos a seguinte figura.
600 m é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo dado, então temos que usar o seno.
cat. oposto
sen30° = hipotenusa
1 h
2
= 600 → 2h = 600 → h = 600 : 2 = 300 m
02. Resposta: C.
Para saber o número de degraus temos que calcular a altura ̅̅̅̅
BC do triângulo e dividir por 20 (altura de
cada degrau). No triângulo ABC, ̅̅̅̅
BC e ̅̅̅̅
AC são catetos, a relação entre os dois catetos é a tangente.
cat.oposto ̅̅̅̅
BC
tg30° = = ̅̅̅̅
cat.adjacente AC
. 339
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Número de degraus = 280 : 20 = 14
03. Resposta: A.
Observando a figura, nós temos um triângulo retângulo, vamos chamar os vértices de A, B e C.
Como podemos ver h e 40 m são catetos, a relação a ser usada é a tangente. Porém no enunciado
foram dados o sen e o cos. Então, para calcular a tangente, temos que usar a relação fundamental:
𝑠𝑒𝑛𝛼 0,342
𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝛼𝑥 → 𝑡𝑔𝛼 = 0,940 → tg𝛼 = 0,3638
̅̅̅̅
𝐴𝐶 ℎ
𝑡𝑔𝛼 = ̅̅̅̅
𝐴𝐵
→ 0,363 = 40 → h = 40.0,363 → h = 14,552 m
04. Resposta: D.
Temos que usar as relações fundamentais.
𝑐𝑜𝑠17°
𝑦=
𝑠𝑒𝑛73°
Sendo 17° + 73° = 90° (ângulos complementares), lembrando que quando dois ângulos são
complementares o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, resulta que sen73° = cos17°. Então:
𝑐𝑜𝑠17°
𝑦= =1
𝑐𝑜𝑠17°
05. Resposta: A.
06. Resposta: B.
Observando a figura, temos: h = x + y
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
e 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥25º = 10 → 0,42 = 10 → x = 10.042 → x = 4,2
𝑦 𝑦 𝑦 𝑦
𝑠𝑒𝑛50º = → 𝑠𝑒𝑛(2.25º) = → 2. 𝑠𝑒𝑛25º. 𝑐𝑜𝑠25º = → 2.0,42.0,91 =
10 10 10 10
. 340
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑦
→0,76 = 10 → y = 10.076 → y = 7,6
07. Resposta: B.
Do enunciado temos a seguinte figura:
BR = 6√2
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 √2 ℎ
𝑠𝑒𝑛45° = → = → 2ℎ = 6√2. √2 → 2h = 12 → h = 6
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 6√2
√3 6 18
3
= 𝑥+6 → √3. (𝑥 + 6) = 18 → 𝑥 + 6 = . Racionalizando, temos:
√3
18.√3 18√3
𝑥+6= →𝑥+6= → 𝑥 + 6 = 6√3 (√3 ≅ 1,7)
√3.√3 3
x = 6.1,7 – 6
x = 10,2 – 6 = 4,2
08. Resposta: C.
Pelo enunciado a hipotenusa mede 10 e o seno de um dos ângulos (vamos chamar este ângulo de α)
mede 0,8.
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑥
𝑠𝑒𝑛 ∝= ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
→ 0,8 = 10 → x = 10.0,8 → x = 8 cm
. 341
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)
100 𝑥 100 𝑥
= ⟶ =
𝑠𝑒𝑛 120° 𝑠𝑒𝑛 45° 𝑠𝑒𝑛 60° 𝑠𝑒𝑛 45°
Exemplo:
Analise o esquema abaixo:
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?
Questões
01. Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Qual é a medida
do terceiro lado?
(A) 4√7 cm
(B) √7 cm
(C) 3√7 cm
(D) 5√7 cm
(E) 2√7 cm
. 342
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
02. Qual é o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:
(A) √13
(B) 2√13
(C) 3√13
(D) 4√13
(E) 5√13
(A) √32 𝑐𝑚
(B) √2 𝑐𝑚
(C) 8√2 𝑐𝑚
(D) 8√256 𝑐𝑚
(E) 8√80 𝑐𝑚
04. (Universidade Federal de Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e
10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:
Respostas
01. Resposta: E.
De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma,
aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira:
. 343
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2
x² = 172 – 48 * 3
x² = 172 – 144
x² = 28
x = 2√7 cm
02. Resposta: B.
Pela lei dos cossenos
x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2
x² = 100 – 48
x² = 52
√x² = √52
x = 2√13
03. Resposta: C.
Pela lei dos senos:
𝑥 8
=
𝑠𝑒𝑛45° 𝑠𝑒𝑛30°
𝑥. 𝑠𝑒𝑛30° = 8. 𝑠𝑒𝑛45°
1 √2
𝑥. = 8.
2 2
𝑥 = 8√2 𝑐𝑚
04. Resposta: E.
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo,
basta somar os comprimentos do lado do triângulo.
10 + 15 + x
O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cossenos:
x2 = 102 + 152 – 2·10·15·cos 60°
x2 = 100 + 225 – 2·150·cos 60°
x2 = 325 – 300·1/2
x2 = 325 – 150
x2 = 175
x = √175 (Basta decompor o 175 em fatores primos)
x = √52 . 7
x = 5√7
Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é:
10 + 15 + x
25 + 5√7
5·5 + 5√7
5(5 + √7)
O VETOR
. 344
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja,
o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma
direção e o mesmo sentido de AB.
Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o
compõe. Guarde esta ideia, pois ela é importante!
Vetor livre – aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu módulo, a sua
direção e o seu sentido.
Exemplo: o vetor u das figuras acima.
Vetor deslizante – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da
sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta suporte que o contém. Os vetores
deslizantes são conhecidos também como cursores.
Notação: (u, r) – vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r.
Exemplo: ver figura abaixo
Vetor ligado – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da sua
direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está localizado a sua origem.
Notação: (u, O) – vetor ligado ao ponto O.
Exemplo: ver figura abaixo.
Notas:
a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição.
b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no estudo de Mecânica
Racional ou Mecânica Geral, disciplinas vistas nos semestres iniciais dos cursos de Engenharia.
c) neste trabalho, ao nos referirmos aos vetores, estaremos sempre considerando os vetores livres
. 345
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u, existe o vetor – u, que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u, porém,
de sentido oposto.
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou
seja:
| u | = u = 1.
O VETOR NULO
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a
ux = u . cosq . Observe que se q = 90º, teremos cosq = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo
r, será nula.
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.
. 346
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
P=O+u
u=P–O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por
conseguinte, O (0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P
(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P – O = (x, y) – (0, 0) = (x – 0 , y – 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de
coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada acima),
sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada
eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R 2, ou seja, base do
plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos
considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a
representação do vetor u, no espaço seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .
. 347
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
A demonstração desta fórmula é fácil, quando soubermos determinar o produto interno de vetores,
conforme você mesmo confirmará na sequência deste trabalho.
ADIÇÃO
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.
Regra do triângulo
Regra do paralelogramo
SUBTRAÇÃO
Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u – v , como sendo
igual
à soma u + ( -v ) .
Veja a figura abaixo:
Exemplo
Seja u = (2, 3, 4) e a = 5, então:
a.u = 5.(2, 3, 4) = (10, 15, 20).
. 348
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR
Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j
Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima,
teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das
componentes correspondentes ou homônimas.
Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma
importante fórmula, a saber:
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:
É óbvio que: w = u + v
Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:
w2 = u2 + 2.u.v + v2
Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se que os
vetores u e v são perpendiculares).
Assim, substituindo, vem:
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos).
Exemplos
Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.
1 – Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i – 5 j e v = i + j , pede-se determinar:
a) o vetor soma u + v
b) o módulo do vetor u + v
c) o vetor diferença u – v
d) o vetor 3 u – 2 v
e) o produto interno u.v
Resolução:
a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i – 4 j
b) | u + v| = Ö 32 + 42 = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
c) u – v = (2, -5) – (1, 1) = (1, -6) = i – 6 j
d) 3u – 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i – 17 j
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = – 3
. 349
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
PRODUTO VETORIAL
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos
escrevem a x b. Podemos defini-lo como
onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e n é o
vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares à a e b
simultaneamente: se n é perpendicular, então −n também o é.
O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de
coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se
(i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.
Uma forma fácil de calcular a direção do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema
de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na
direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.
Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como
pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a
orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial.
O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito à um sistema de coordenadas
destro, como se segue:
Significado geométrico
O comprimento do produto vetorial, a × b, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido
pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do
paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.
Propriedades algébricas
O produto vetorial é anticomutativo,
a × b = -b × a,
A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adição de vetores
e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.
. 350
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
PRODUTO MISTO
O produto misto (também chamado de produto triplo) é uma operação que envolve 3 vetores e 2
produtos, sendo o escalar e o vetorial. Essa operação do produto misto tem por símbolos “x” e “^”, que
resultam em um número real, podendo ser desenvolvido como uma determinante.
Essa operação é geralmente usada para calcular o volume de paralelepípedos e tetraedros. Nessa
postagem, eu estarei resolvendo exercícios simples, para demonstrar o método.
Exemplos
Resolução:
Para resolver esse exercício vou montar uma determinante, e repetirei as duas primeiras colunas; em
seguida, traçarei três linhas diagonais para a direita, e três linhas diagonais para a esquerda.
Após tracejar as linhas, iremos multiplicar os números destas, sendo que as linhas diagonais para a
esquerda serão multiplicadas por “menos”, isto é, terá valor negativo no final.
Vp =((2x6x5)+(−3x9x1)+(4x8x7))−((−3x8x5)+(2x9x7)+(4x6x1))⇒
⇒Vp =((60)+(−27)+(224))−((−120)+(126)+(24))⇒
⇒Vp =(257)−(30)⇒
⇒Vp =227 m3
⃗ =(6,0,0), 𝑉
2) Determinar o volume do paralelepípedo, sendo 𝑈 ⃗ =(0,7,2) e 𝑊
⃗⃗⃗ =(0,1,4)
Resolução:
A partir da determinante abaixo, vamos copiar as duas primeiras colunas e fazer as devidas
multiplicações, lembrando sempre de pôr o sinal de menos para os resultados das linhas diagonais à
esquerda.
. 351
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Preparando a equação do paralelepípedo,
Vp =((6x7x4)+(0x2x0)+(0x0x1))−((0x0x4)+(6x2x1)+(0x7x0))⇒
Vp =((168)+(0)+(0))−((0)+(12)+(0))⇒
Vp =(168)−(12)=156 m3
Resolução:
Reduzindo os 4 vetores em 3:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 =(B−A) = (5,4,0)−(0,0,0)=(5,4,0)
⃗⃗⃗⃗⃗ =(C−A) = (0,1,7)−(0,0,0)=(0,1,7)
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =(D−A) = (6,0,3)−(0,0,0)=(6,0,3)
𝐴𝐷
Este determinante irá gerar os resultados das multiplicações, do lado direito (positivo) e do lado
esquerdo (negativo), lembrando que o tetraedro tem um sexto de volume, quando relacionado ao
paralelepípedo.
Com isso,
1
Vt =6.(((5x1x3)+(4x7x6)+(0x0x0))−((4x0x3)+(5x7x0)+(0x1x6)))⇒
1
⇒Vt = (((15)+(168)+(0))−((0)+(0)+(0)))⇒
6
1
⇒Vt=6.((15)+(168))=30,5.
O módulo de um número real “a” é um número real que indica o tamanho do segmento de reta das
extremidades “0” e “a” ou a distância do ponto “a” até o ponto “0” na reta numérica. O módulo de um vetor,
também conhecido como norma de um vetor, não difere em definição do módulo de um número real.
Para calcular o módulo de um número real, geralmente utilizamos a ideia de distância desse número
até a origem. Origem é o ponto 0: aquele em que, à direita, ficam os números positivos e, à esquerda, os
números negativos. Portanto, aquele que conhece a distância do ponto “a” até a origem “0” conhece
também o módulo do número “a”.
A notação utilizada para representar a afirmação “módulo de a é igual à distância de a até a origem” é
a seguinte:
|a| = d(a,0)
. 352
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Na imagem acima, observe que |6| = 6, pois a distância de 6 até 0 é 6. Observe também que |–6| = 6,
pois d(–6,0) = 6.
Vetores são objetos criados para observar direção, sentido e intensidade de movimento de objetos no
espaço. Esse espaço não se restringe às três dimensões comumente estudadas no Ensino Médio, mas
se trata de um espaço “n-dimensional”, isto é, o espaço em que os vetores são observados pode ter uma
dimensão (esse espaço é chamado de reta), duas dimensões (plano), três dimensões (espaço), quatro
dimensões (espaço-tempo) etc.
Os vetores são representados geometricamente por flechas. Geralmente eles partem da origem, e as
coordenadas de seu ponto final são escritas para identificá-lo. Na imagem abaixo, o vetor v = (a,b), pois
(a,b) é o ponto final do vetor v.
A norma ou módulo de um vetor é um número real que representa o comprimento desse vetor. Dessa
forma, calcular a norma de um vetor é o mesmo que calcular a distância entre o ponto (a,b) e a origem
(0,0). Utilizando |v| como notação para módulo do vetor v = (a,b), pertencente ao plano, teremos:
|v| = √(a² + b²)
Caso o vetor v = (a,b,c) pertença ao espaço tridimensional, seu módulo será encontrado desta forma:
|v| = √(a² + b² + c²)
Consequentemente, se o vetor v = (a, b, … ,n) pertencer a um espaço n-dimensional, a soma no interior
da raiz quadrada terá n parcelas:
|v| = √(a² + ⋯ + n²)√(a2 + ... + n2)
Exemplo: Para calcular a norma do vetor v = (3, – 5), utilize: |v| = √(a² + b²)
|v| = √34)
Referências
coladaweb.com/matematica/calculo-de-vetores-calculo-vetorial
matematica-ga.blogspot.com.br/2006/10/produto-vetorial.html
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/norma-ou-modulo-um-vetor.htm
Questões
. 353
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Suponha que cada quadrado da figura represente uma distância de 1,0 cm de aresta. Nesse caso, o
vetor deslocamento resultante terá módulo, direção e sentido indicados em:
Suponha que cada quadrado da figura represente uma distância de 1,0 cm de aresta. Nesse caso, o
vetor deslocamento resultante terá módulo, direção e sentido indicados em:
02. (EBSERH – Engenheiro – INSTITUTO AOPC) Sobre análise vetorial, assinale a alternativa
correta.
(A) O produto escalar de dois vetores é definido como: em que θAB é o ângulo
formado entre A e B.
(B) O produto vetorial de dois vetores é definido como: em que é um vetor
unitário normal ao plano que contém A e B.
(C) A projeção escalar de um vetor sobre um vetor é dada por: enquanto a projeção vetorial
de um vetor sobre um vetor é dada por:
Respostas
01. Resposta: A.
Para resolver esta questão, basta redesenhar os vetores encaixando o começo de um ao término do
outro, medir as arestas horizontais e verticais do início do primeiro vetor ao fim do último vetor.
Para determinar o valor da diagonal é só calcular a raiz da soma das medida das arestas horizontais
ao quadrado e as verticais ao quadrado
D = √62 + 82 = √100 = 10cm
No redesenho dos vetores é possível verificar que a posição de vetor resultante é diagonal e aponta
para o nordeste.
02. Resposta: B.
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos
escrevem a x b. Podemos defini-lo como
onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e n é o
vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
. 354
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
As superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superfícies dadas pelas equações de 2º
grau a três variáveis acima, onde cada quádrica tem sua equação padrão dada pela tabela seguinte:
Elipsóide
Parabolóide elíptico
Parabolóide Hiperbólico
Cone
. 355
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Hiperbolóide de Uma Folha:
Elipsóide:
. 356
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Cilindro de Base Parabólica Cilindro de Base Hiperbólica
René Descartes (1596-1650) rompeu com as tradições clássicas da Geometria grega e criou a
Geometria analítica.
Temos dois eixos orientados, um horizontal e outro vertical, perpendiculares entre si. O eixo horizontal
é chamado de “eixo das abscissas” e o eixo vertical e chamado de “eixo das ordenadas”.
Estes eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de “quadrantes”.
O ponto O e chamado de ponto “Zero” ou “Ponto de Origem” do sistema.
Ponto médio
. 357
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
- se M(xM, yM) é ponto médio do
segmento ̅̅̅̅
AB, temos a fórmula do
ponto médio:
xA + xB
xM =
2
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵
𝑦𝑀 =
2
𝑑𝐴𝐵
= √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os três vértices de um triângulo ABC, para calcular a
área desse triângulo temos a fórmula:
|D| xA yA 1
A= , onde D = |xB yB 1|
2
xC yC 1
E a condição para que os três estejam alinhados (mesma linha ou mesma reta) é que D = 0.
Questões
01. O ponto A(2m + 1, m + 7) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, o valor de m é:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
. 358
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
04. Se M(4, 5) é ponto médio entre A(6, 1) e B. As coordenadas x B e yB, respectivamente, são iguais
a:
(A) 2 e 9
(B) 2 e 7
(C) 9 e 2
(D) 3 e 9
(E) 1 e 8
06. Se a distância entre os pontos A(8, 2) e B(3, y) é igual a 5√2, sendo B é um ponto do 1° quadrante,
então o valor de y é:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
07. Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, - 3) sejam colineares?
(A) 4 e 5
(B) 5 e – 6
(C) – 5 e 6
(D) – 4 e 5
(E) 6 e 5
08. A área de um triângulo que tem vértices nos ponto A(2, 1), B(4, 5) e C(0, 3), em unidades de área,
é igual a:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 2
09. Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual
a:
(A) 2
(B) 0
(C) – 2
(D) 1
(E) ½
Respostas
01. Resposta: B.
Se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares temos que x = y.
x=y
2m + 1 = m + 7
2m – m = 7 – 1
m=6
02. Resposta: D.
. 359
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Se P pertence ao eixo das abscissas y = 0.
y=0
4p – 12 = 0
4p = 12
p = 12/4
p=3
x=2+p
x=2+3
x=5
Logo: P(5, 0)
03. Resposta: D.
x +x y +y
xM = A B e yM = A B
2 2
4+2 −1+5
xM = = 3 e yM = =2
2 2
04. Resposta: A.
xA +xB yA +yB
xM = yM =
2 2
6+xB 1+yB
4= 5=
2 2
6 + 𝑥𝐵 = 2.4 1 + 𝑦𝐵 = 2.5
𝑥𝐵 = 8 − 6 = 2 𝑦𝐵 = 10 − 1 = 9
05. Respostas: A.
06. Resposta: C.
𝑑𝐴𝐵 = 5√2
07. Resposta: E.
Colineares (mesma linha) ou seja, os pontos dados devem estar alinhados. A condição para isto é que
D = 0.
. 360
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑐 3 1
𝐷=|2 𝑐 1| = 0 (para resolver o determinante D, repetimos as 1ª e 2ª colunas)
14 −3 1
= 𝑐 2 + 42 − 6 − 14𝑐 + 3𝑐 − 6 =
= 𝑐 2 − 11𝑐 + 30
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
∆= (−11)2 − 4.1.30
∆= 121 − 120 = 1
−b±√∆
c=
2a
08. Resposta: B.
|D|
A fórmula da área do triângulo é A = .
2
= 10 + 0 + 12 – 0 – 6 – 4 = 22 – 10 = 12
|12|
A= =6
2
09. Resposta: E.
Do enunciado temos que (m + 2n, m – 4) = (2 – m, 2n), se esses dois pontos são iguais:
m + 2n = 2 – m (I) e m – 4 = 2n (II), substituindo (II) em (I), temos:
m+m–4=2–m
2m – 4 = 2 – m
2m + m = 2.+ 4
3m = 6
m=6:3
m = 2 (substituindo 2 em (II))
2 – 4 = 2n
- 2 = 2n
n=-2:2
n=-1
Logo: mn = 2-1 = ½ (expoente negativo, invertemos a base e o expoente fica positivo.
ESTUDO DA RETA
. 361
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Coeficiente angular da reta
Definimos o coeficiente angular (ou declividade) da reta r o número m tal que 𝐦 = 𝐭𝐠𝛂.
Então, temos:
- se m = 0
a reta é paralela ao eixo x, isto é, α = 0°.
- se m > 0
temos um ângulo α, tal que 0° < α < 90°. O ângulo α é agudo.
- se m < 0
temos um ângulo α, tal que 90° < α < 180°. O ângulo α é obtuso.
cateto aposto
No triângulo retângulo: tgα = cateto adjacente , então temos que o coeficiente angular m
é:
yB −yA ∆𝐲
m= m=
xB −xA ∆𝐱
. 362
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Considerando uma reta r e um ponto A(x0, y0) pertencente à reta. Tomamos outro ponto B(x, y) genérico
diferente de A. Com esses dois pontos pertencentes à reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular.
∆y m y−y0
m= = , multiplicando em “cruz”:
∆x 1 x−x0
Exemplos:
1- Uma reta tem inclinação de 60° em relação ao eixo x. Qual é o coeficiente angular desta reta?
2- Uma reta passa pelos pontos A(3, -1) e B(5, 8). Determinar o coeficiente angular dessa reta.
∆y yB −yA 8−(−1) 9
Solução: m = = m= m=
∆x xB −xA 5−3 2
3- Uma reta passa pelo ponto A(2, 4) e tem coeficiente angular m = 5. Determinar a equação
fundamental dessa reta.
Solução: o ponto por onde a reta passa são os valores de xo e yo para substituir na fórmula, então:
Exemplos:
(r) 2x – 3y + 8 = 0 a = 2, b = - 3 e c = 8
(s) – x + 10 = 0 a = - 1, b = 0 e c = 10
(t) 3y – 7 = 0 a = 0, b = 3 e c = - 7
(u) x + 5y = 0 a = 1, b = 5 e c = 0
−𝐚
Da equação geral da reta, temos uma nova fórmula para o coeficiente angular: 𝐦 = 𝐛
ax + by + c = 0
by = −ax − c
−ax c
y= b
−b
. 363
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
−a −c
Na equação reduzida da reta temos que b
é o coeficiente angular (m) da reta e b
é o coeficiente
linear (q) da reta. Então, a equação reduzida é da forma:
y = mx + q
Observações:
I) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente o coeficiente
angular e o coeficiente linear.
II) As retas de inclinação igual a 90° (reta vertical ao eixo x) não
possuem equação reduzida.
A bissetriz de ângulos de
retas, nada mais é a que a
aplicação direta da fórmula
da distância de um ponto a
uma reta
Paralelismo e perpendicularismo
Considere-se no Plano Cartesiano duas reta r e s.
. 364
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Se as retas são paralelas, o ângulo 𝛼 de inclinação em relação ao eixo x é o mesmo. Este ângulo nos
dá o valor do coeficiente angular da reta e, sendo mr e ms, respectivamente os coeficientes angulares de
r e s, temos:
1) Se r e s são paralelas: mr = ms
2) Se r e s são concorrentes: mr ≠ ms
|𝐚𝐱 𝐨 + 𝐛𝐲𝟎 + 𝐜|
𝐝𝐏,𝐫 =
√𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐
|3x+4y−1|
dP,r = √32 +42
substituindo x = 1 e y = 2 (coordenadas do ponto P)
(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c’ = 0.
Exemplos:
(r) 2x – 3y + 8 = 0 e (s) 2x – 3y – 7 = 0 são paralelas, pois a = 2 e b = - 3 nas duas equações.
|𝐜 − 𝐜′|
𝐝𝐫,𝐬 =
√𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐
. 365
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
Exemplo 1: Calcular a distância entre as retas (r) 4x + 3y – 10 = 0 e (s) 4x + 3y + 5 = 0.
Solução: temos que a = 4 e b = 3 nas duas equações e somente o valor de c é diferente, então, c = -
10 e c’ = 5 (ou c = 5 e c’ = - 10).
|−10−5| |−15| 15 15
dr,s = = = = =3
√42 +32 √16+9 √25 5
Solução: primeiro temos que dividir a equação da reta (s) por dois para que a e b fiquem iguais nas
duas equações.
(s) 6x – 4y – 12 = 0 :(2) 3x – 2y – 6 = 0
Logo, a = 3, b = - 2, c = 8 e c’ = - 6 (ou c = - 6 e c’ = 8)
14 √13 14√13
dr,s = . = 13
√13 √13
Questões
01. (FGV-SP) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0) é:
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) 3
(E) 1/3
𝑘
02. (MACK-SP) Se os pontos (2, - 3), (4, 3) e (5, 2) estão numa mesma reta, então k é igual a:
(A) – 12
(B) – 6
(C) 6
(D) 12
(E) 18
03. (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(- 3, 4) e cujo coeficiente angular é ½ é:
(A) x + 2y + 11 = 0
(B) x – y + 11 = 0
(C) 2x – y + 10 = 0
(D) x – 2y + 11 = 0
(E) nda
04. Uma reta forma com o eixo x um ângulo de 45°. O coeficiente angular dessa reta é:
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) √3
(E) – √3
. 366
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
(A) y = 2x – 1
(B) y = - 3x + 14
(C) y = x + 2
(D) y = - x + 8
(E) y = 3x – 4
07. Considere a reta (r) de equação 2x – 3y + 7 = 0. O valor de a para que o ponto P(1, a) pertença a
esta reta é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
10. Dada uma reta r de equação 3x + 4y + 15 = 0, a distância do ponto P(1, 3) à reta r é igual a:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
11. Sabendo que o ponto P(a, 2a) pertence ao 1° quadrante e que a distância desse ponto até a reta
(r) 3x + 4y = 0 é igual a 22, o valor de a é:
(A) 11
(B) – 11
(C) – 10
(D) 10
(E) 20
Respostas
01. Resposta: B.
∆y
Como temos dois pontos, o coeficiente angular é dado por m = .
∆x
𝑦𝐵 −𝑦𝐴 0−3 −3
𝑚= 𝑚= = =-1
𝑥𝐵 −𝑥𝐴 3−0 3
02. Resposta: D.
. 367
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
𝑘
Chamando os pontos, respectivamente, de A(2, - 3), B(4, 3) e C(5, 2) e se esses três pontos estão
numa mesma reta, temos:
mAB = mBC (os coeficientes angulares de pontos que estão na mesma reta são iguais)
yB −yA y −y
xB −xA
= xC −xB
C B
k
3−(−3) −3
4−2
= 5−4
2
k−6
6
= 2
2 1
k−6
3= 2
k–6=6
k=6+6
k = 12
03. Resposta: D.
xo = - 3, yo = 4 e m = 1/2. Nesta questão as alternativas estão na forma de equação geral, então temos
que desenvolver a equação fundamental.
y – yo = m(x – xo)
1
y – 4 = .(x – (-3)) (passamos o 2 multiplicando o 1° membro da equação)
2
2.(y – 4) = 1(x + 3)
2y – 8 = x + 3
2y – 8 – x – 3 = 0
- x + 2y – 11 = 0 .(- 1)
x – 2y + 11 = 0
04. Resposta: A.
O coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼.
𝑚 = 𝑡𝑔45° m = 1
05. Resposta: C.
xo = 3, yo = 5 e 𝑚 = 𝑡𝑔45° = 1. As alternativas estão na forma de equação reduzida, então:
y – yo = m(x – xo)
y – 5 = 1.(x – 3)
y–5=x–3
y=x–3+5
y=x+2
06. Resposta: B.
Dada a equação geral da reta, para determinar a reduzida basta isolar o y.
- 2x + 4y + 12 = 0
4y = 2x – 12 (passamos o 4 dividindo para o segundo membro separadamente cada termo)
2𝑥 12
𝑦= 4
− 4
𝑥
𝑦 = 2−3
07. Resposta: A.
No ponto P x = 1 e y = a, basta substituir esses valores na equação.
2x – 3y + 7 = 0
2.1 – 3.a + 7 = 0
2 – 3a + 7 = 0
- 3a = - 2 – 7
- 3a = - 9 x(-1)
3a = 9
. 368
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS
a=9:3
a=3
08. Resposta: B.
−𝑎
Vamos denominar as retas de (r) x + ay – 3 = 0 e (s) 2x – y + 5 = 0 e utilizando a fórmula 𝑚 = 𝑏 para
calcular o coeficiente angular das retas.
−1
(r) a = 1 e b = a 𝑚𝑟 = 𝑎
−2
(s) a = 2 e b = - 1 𝑚𝑠 = =2
−1
2a = - 1
−1
𝑎 = 2 = −0,5
09. Resposta: A.
Na reta (r) a = a e b = - 2, na reta (s) a = 2 e b = 1
−𝑎 𝑎 −2
𝑚𝑟 = −2 = 2 e 𝑚𝑠 = 1
= −2
- a = - 1 x(-1) a = 1
10. Resposta: C.
A reta r tem a = 3, b = 4 e c = 15
|3𝑥+4𝑦+15|
𝑑𝑃,𝑟 = √𝑎 2+𝑏 2
substituindo x = 1 e y = 3 (coordenadas do ponto P)
11. Resposta: D.
Na reta r (r) a = 3 e b = 4.
𝑑𝑃,𝑟 = 22
|3𝑥+4𝑦|
√𝑎 2+𝑏 2
= 22 (substituindo x = a e y = 2a)
OBS.: Caros alunos, o conteúdo de Cônicas, equações reduzidas das curvas cônicas já foi
abordado anteriormente, no tópico de Seções Cônicas: estudo geométrico da circunferência,
elipse hipérbole e parábola.
. 369
1462868 E-book gerado especialmente para ANA CAROLINA MORAIS