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Financeira
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Financeira
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1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
59
Prazo (n)
O prazo ou nmero de perodos number of periods, de um contrato ou
operao financeira representa o intervalo de tempo existente entre a data
da tomada do emprstimo ou incio da realizao de um investimento
Momento Presente e a data de pagamento ou resgate do investimento
quando da ocorrncia da nica ou ltima parcela Momento Futuro.
Juros ( j )
Juros, em ingls interest, a remunerao de um capital aps um
determinado perodo de tempo. O pagamento dos juros pode ser realizado
em diferentes momentos de tempo, devendo, portanto, ser acordado a sua
forma de pagamento. O pagamento dos juros est relacionado modalidade
da taxa de juros negociada.
O valor dos juros de uma operao financeira a diferena entre o Valor
Inicial (ou o capital total alocado em um contrato, ou o emprstimo
realizado em uma operao financeira) e o Valor Final (ou o total das
inverses contratuais realizadas). Os juros sero sempre expressos em
unidades monetrias.
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Montante (FV)
Montante ou Valor Futuro ou Future Value em ingls representa o valor
total recebido de uma aplicao ou restitudo para pagamento de um
emprstimo, corresponde ao Capital Inicial acrescido de Juros. Uma
operao de emprstimo significa que dever haver a devoluo do mesmo
ao final de um prazo, acrescido de juros.
Montante = Valor Presente + Juros
Fluxo de Caixa
Um Fluxo de Caixa uma representao grfica das entradas e sadas de
recursos no caixa no decorrer do tempo. elaborado a partir de um eixo
horizontal, fracionado em unidades de tempo, no qual so indicadas as
ENTRADAS e SADAS de recursos nos seus respectivos momentos de tempo.
Por conveno, as movimentaes de recursos sero representadas por
setas, sendo que setas para CIMA representaro SADAS
setas para BAIXO
de recursos e
59
1
Prazo
ms
0
1
2
3
4
5
O eixo poder ser medido em dias, meses, bimestres, trimestres,
quadrimestres, semestres ou anos.
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2. CAPITALIZAO SIMPLES
No regime de Capitalizao Simples o perodo de capitalizao ser sempre
igual ao prazo do contrato, ou seja, os juros sero incorporados ao
capital somente ao trmino do contrato.
Portanto, neste regime de capitalizao o Perodo de Capitalizao ser
SEMPRE IGUAL AO PRAZO DO CONTRATO.
Ex.: Um capital de R$ 1.000,00 foi investido por um prazo de 6 meses. Para
uma taxa de juros de 5% ao ms, determinar o valor a ser resgatado ao final
do perodo em Capitalizao Simples.
Com capitalizao AO TRMINO DO CONTRATO.
Pero
Saldo credor
Juros do
Juros a serem
Saldo credor no
do
0
1m
2m
3m
4m
5m
6m
Inicial
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
Perodo 5% am
0
50,00
50,00
50,00
50,00
50,00
50,00
Capitalizados
0
0
0
0
0
0
300,00
final Perodo
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.300,00
(final do
contrato)
Conforme pode ser verificado acima, em Capitalizao Simples os juros
gerados em determinado perodo NO sero acrescidos ao valor inicial
no final de cada perodo de capitalizao e no perodo seguinte
produziro os mesmos juros, independentemente do perodo de
capitalizao.
Neste regime, a remunerao ocorre sempre sobre o valor original do
investimento, ou seja, os juros sero calculados, independentemente do
prazo do investimento, sobre o valor original.
Supondo o investimento de um Capital Inicial PV aplicado por um prazo de
n perodos a uma taxa de juros i% ao perodo, teremos, ao final, um
montante FV determinado, perodo a perodo conforme segue:
(como o clculo ser realizado perodo a perodo => n = 1)
1. Perodo
Principal = PV
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Juros = PV.i
Portanto temos:
FV1 = PV + PV . i
2. Perodo
FV2 = FV1 + PV . i
substituindo FV1 ,conforme acima, temos:
FV2 = PV + PV . i + PV . i
FV2 = PV . (1 + i + i)
FV2 = PV . (1 + 2.i)
3. Perodo
FV3 = FV2 + PV . i
substituindo FV2 , temos:
FV3 = PV + PV . i + PV . i + PV . i
FV3 = PV . (1 + i + i + i)
FV3 = PV . (1 + 3.i)
De forma anloga, para n perodos teremos:
FVn = PV . (1 + n .
Montante definido como sendo o total do principal (P) acrescido
de juros (J), logo:
FV = PV + J
Na equao acima temos:
FV = PV . (1 + i . n)
Desta forma, em capitalizao simples temos:
PV + J = PV . (1 + i . n)
PV + J = PV + PV . i . n
J = PV + PV . i . n PV, subtraindo PV, resta:
J = PV . i . n
J = PV . i . n
J
P V = i .n
J
i = PV .n
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J
n = PV .i para o clculo do nmero de perodos
2.1 TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas so proporcionais quando existe uma Proporo entre as taxas e
a durao dos prazos de tempo a que se referem.
Por exemplo:
5,0% a.m. proporcional a 30% a.s.
Assim, ao aplicarmos um capital PV de $200,00, por um perodo de tempo n
de 2 meses a uma taxa de juros i de 24% a.a., em regime de capitalizao
simples, teremos:
J = PV . i . n
onde:
J=?
PV = 200,00
n = 2 meses
i = 24% a.a.
Como a taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo,
(em meses, por exemplo), temos que ajustar uma das variveis. Para ajustar
i, poderemos determinar a taxa proporcional i P para um perodo mensal.
Assim:
i1
i2
24%
i2
P1 = P2 => 12meses = 1ano => 24 . 1 = 12 . i => i = 24 / 12 =
2
2
2,0% a.m.
Portanto, a taxa de 2,0% a.m. Proporcional taxa de 24% a.a., sendo
assim, com as unidades de tempo iguais:
J = 200 . 0,02 . 2
J = $ 8,00
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Assim:
J1 = PV . i1 . n1
J2 = PV. i2 . n2
Do conceito de equivalncia temos:
J1 = J2
Logo:
PV . i1 . n1 = PV . i2 . n2
simplificando PV (capitais iguais), temos:
i1 . n1 = i2 . n2
ou
i1
n2
i2 = n1
J1 = PV . i1 . n1
i1 = 4,0% a.m.
J1 = 500 . 0,04 .3
n1 = 3 meses
J1 = 60
PV = 500,00
J2 = ?
J2 = P . i2 . n2
i2 = ?
n2 = 1 trimestre
60 = 500 . i2 . 1
PV = 500,00
60 = 500 . i2
i2 = 60 / 500 = 0,12 x 100 = 12% a.t.
Assim, a taxa de 4,0% a.m. para uma aplicao por 3 meses equivalente
taxa de 12% a.t. para aplicao por 1 trimestre.
Outrossim, a taxa proporcional seria:
i1
i2
4 ,0%
12%
P1 = P2 => 1mes = 3meses
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Prazo n
ao dia (a.d.)
dias
ao ms (a.m.)
meses
ao bimestre (a.b.)
bimestres
ao trimestre (a.t.)
trimestres
ao quadrimestre (a.q.)
quadrimestres
ao semestre (a.s.)
semestres
ao ano (a.a.)
anos
semestre = 2
trimestre = 4
bimestre = 6
dias = 360 comerciais
1 semestre equivale:
trimestre = 2
bimestre = 3
meses = 6
dia = 180 comerciais
1 Quadrimestre equivale:
bimestre = 2
meses = 4
dias = 120 comerciais
Ms
Janeiro
Fevereiro
Maro
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Total
Tempo exato
31
28
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
365 dias
Tempo Comercial
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
360 dias
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6% a.m.
i2 = 18% a.t.
. Taxas Proporcionais:
6%
18%
1mes = 3meses => Taxa e prazo a que se refere
. Taxas Equivalentes:
J1 = J2
PV1 . i1 . n1 = PV2 . i2 . n2 , como P1 = P2 , temos:
i1 . n1 = i2 . n2
6% . 12 = 18% . 4
72% = 72%
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Exemplos:
Juros Simples
J = PV . i . n
FV = PV + J
FV = PV( 1 + i.n)
1 Determine as taxas nominais proporcionais a 60% a.a:
a) Ao semestre
b) Ao trimestre
c) Ao ms
d) Ao dia
b) Ao ms
c) Ao dia
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5 Uma aplicao de R$ 25.000,00 foi feita hoje a uma taxa nominal de 0,8% a.m.
Determine o prazo de resgate de R$ 40.000,00.
6 Tenho R$ 50.000,00 hoje para construir uma empresa, mas para a sua abertura
necessrio R$ 80.000,00. Se desejo abrir uma empresa daqui a 3 anos, qual ser a taxa
nominal de juros que devo receber de uma instituio financeira?
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9 Uma aplicao de R$ 25.000,00 a taxa nominal de 1,5% a.m. foi realizada durante 4
bimestres. Determine o valor do resgate.
02) Uma pessoa aplica $ 8.000,00 por 75 dias a uma taxa linear (nominal)
de 20% a.a. Calcular os juros e o montante.
03) Foram aplicados $ 8.000,00 pelo perodo de 183 dias, que renderam $
10.000,00 de juros. Quais as taxas nominais de juro mensal e anual?
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04) Qual o valor dos juros obtidos por um investidor que aplicou $ 2.000,00
pelo perodo de 37 dias a uma taxa nominal de juros simples de 20% a.m.?
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09) Uma empresa que aplicou $ 800.000,00 no overnight obteve uma taxa
nominal de 31% a.m. Quais o valor dos juros e do montante bruto obtidos
pela empresa?
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14) Que capital aplicado a juros simples a uma taxa nominal de 1,2% a.m.
rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
15) Por quanto tempo um capital de $ 11.500,00 foi aplicado para que
rendesse R$1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa proporcional de
mercado de 4,5% a.m.?
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TRABALHO
1) Determinar quanto render um capital de R$ 60.000,00 aplicado a taxa nominal de
59
59
18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa
nominal de juros de 5% ao ms e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros.
19) Determinar o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225
dias, taxa nominal de 5,6% ao ms.
20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa nominal de 6,2% ao ms, por
174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00.
3.CAPITALIZAO COMPOSTA
O conceito de capitalizao composta est diretamente relacionado ao
perodo de capitalizao, capitalizar significa acrescer juros ao capital, e o
elemento que distingue os sistemas Simples e Composto o perodo de
capitalizao, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros sero
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mensalmente,
bimestralmente,
trimestralmente,
Perodo
1
2
3
4
5
6
0
m
m
m
m
m
m
Perodo
1
2
3
4
5
6
0
m
m
m
m
m
m
Perodo
Saldo devedor do
final Perodo
1.000,00
1.050,00
1.102,50
1.157,63
1.215,51
1.276,28
1.340,10
Saldo devedor do
final Perodo
1.000,00
1.000,00
1.100,00
1.100,00
1.210,00
1.210,00
1.331,00
Saldo devedor do
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Perodo 5%
Inicial
1
2
3
4
5
6
0
m
m
m
m
m
m
Perodo
1
2
3
4
5
6
0
m
m
m
m
m
m
am
0
50,00
50,00
50,00
57,50
57,50
57,50
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.150,00
1.150,00
1.150,00
Capitalizados
final Perodo
0
0
0
150,00
0
0
172,50
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.150,00
1.150,00
1.150,00
1.322,20
Saldo devedor do
final Perodo
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.300,00
composta
significa
investimento
de
um
nmero
de
perodos
de
capitalizao.
Supondo
Capital
Inicial
PV
capitalizado
valor do
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Substituindo PV = FV1
FV2 = FV1 + FV1 . i
FV2 = FV1 (1 + i)1
substituindo FV1 , teremos:
FV2 = PV . (1 + i) . (1 + i)
FV2 = PV . (1 + i)2
3o. Perodo
O principal PV, agora, o valor do
FV = PV x (1 + i)n
Equao para a obteno do montante em regime de juros
compostos.
J = PV x [(1 + i)n - 1]
Equao para a obteno dos juros em regime de capitalizao
composta.
59
Exemplos:
Juros Compostos
FV = PV x (1 + i)n
J = PV x [(1 + i)n - 1]
1 Um emprstimo foi contrado a uma taxa efetiva de 3,5% a.m., para 8 meses. O valor
a se devolvido R$ 38.700,00. Determine o capital emprestado.
3 Tenho R$ 50.000,00 para realizar uma negociao imobiliria, mas o dono do imvel
s vende por R$ 70.000,00. Se aplicar o dinheiro que tenho em uma instituio que
paga uma taxa efetiva de 1,5% a.m., quanto tempo terei que esperar?
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C ( 1 + i1 ) = C (1 = i2 )
59
C ( 1 + i1) = (1 + i2 )
C
n
( 1 + i1 ) = ( 1 + i2 )
Converso entre taxa menor para uma maior (ou taxa total)
n
i =(1+i) -1
unitria
i = [ ( 1 + i ) 1 ] x 100
Exemplo:
Determine a taxa anual para uma taxa de 2% a.m. efetiva:
ia.a =
2
100
[(1+
ia.a = [ ( 1,02 )
12
12
] x 100
1 ] x 100
TAXA TOTAL = neste caso dizemos que a taxa total ganha no perodo de
capitalizao de 1 ano foi de 26,82% a.a.
1 i - 1 x 100
Exemplo:
Uma taxa de 30% a.a correspondente a quanto ao ms?
[
12
ia.m=
1+
30
100
-1
x100
59
ia.m=
12
1,3
-1
] x100
4) O Sr. Manoel aplicou seu capital de R$ 80.000,00 em um banco que paga uma taxa
efetiva de juros de 4,3% a.m. Determine:
a) Qual o valor acumulado (montante ou valor futuro) aps 5 meses?
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6) Qual o capital que devo aplicar hoje em um banco que paga uma taxa efetiva de 8%
a.m., com juro composto, para que no final de 7 meses possa ter um valor acumulado de
R$ 900.000,00?
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9) Aps quanto tempo o capital de R$ 580.000,00, aplicado a juro composto a uma taxa
efetiva de 9% a.m., rendeu R$ 575.686,33 de juros?
10) O capital de R$ 20.000,00, investido a uma taxa efetiva de 2% a.m., com juro
composto, elevou-se (capital + juro) para R$ 28.227,53. Qual foi o prazo dessa
aplicao?
11) Ache a taxa efetiva de juro anual equivalente as seguintes taxas efetivas:
a) 3% a.m.
b) 15% a.t.
12) Um investimento a prazo fixo esta rendendo 80% a.a. (taxa efetiva). Ache:
a) a taxa efetiva mensal equivalente taxa dada.
b) A taxa efetiva semestral equivalente taxa dada.
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13) Numa certa poca, o Banco do Brasil S.A. comprometeu-se a pagar a importncia
de R$ 205.000,00, 1 ano aps o vencimento, para quem investisse R$ 100.000,00.
Determine:
a) A taxa efetiva mensal de juro desse investimento,
b) A taxa efetiva trimestral de juro desse investimento.
14) Em quanto tempo (anos, meses e dias) um capital triplica de valor a ser aplicado a
juro composto com uma taxa efetiva de 8% a.m., capitalizado mensalmente?
15) O que prefervel ganhar em um trimestre: taxa nominal de 8% a.m, com juro
simples, ou taxa efetiva 7,6% a.m, com juro composto?
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17) Uma ferramenta promete pagar uma taxa de juros de 1% a.m. para investimentos
por 6 meses (prazo fixo). Qual a taxa total desses investimentos, supondo:
a) Regime de juro simples? (utilize taxa nominal)
b) Regime de juro composto? (utilize taxa efetiva)
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20) Uma pessoa depositou um valor num banco, a juros compostos, com capitalizao mensal.
Sabendo que aps 8 meses o saldo era de $ 15.445,37 e aps 12 meses, do depsito, o saldo
passou a ser de $ 51.301,88, calcule a taxa efetiva de juros.
TRABALHO
01) Um investidor tem condies de aplicar seu dinheiro a uma taxa efetiva de 1,5% a.m., no
mercado de capitais, capitalizvel mensalmente. Se ele emprestar $ 12.000,00 por um ano,
quanto dever receber para que sua aplicao seja equivalente ao emprstimo neste perodo?
02) O capital de $ 29.200,00 produziu o montante de $ 44.000,00 em um ano. Considerando a
capitalizao mensal, qual a taxa efetiva mensal de juros?
03) A taxa efetiva de juros compostos, recebida por um investimento, foi de 10% a.a.. Se o
rendimento foi de $ 274,73, sobre um capital investido de $ 830,00, quanto tempo o capital
ficou aplicado?
04) O capital de $ 25.000,00, aplicado taxa nominal de 24% a.a. capitalizvel
semestralmente, produziu o montante de $ 37.800,00. Quanto tempo ficou aplicado?
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05) Quais os juros de $ 20.000,00 no fim de 2 anos e meio, a uma taxa efetiva de 20% a.a.
capitalizvel trimestralmente?
06) Um capital de $ 140.000,00 rendeu $ 59.090,00 de juros numa capitalizao trimestral.
Sabendo-se que ficou aplicado por 2 anos, qual a taxa anual de juros efetiva e nominal ?
07) Determinar o montante composto de $ 35.000,00 durante 3 anos, 7 meses e 25 dias, a uma
taxa efetiva de juros de 10% a.t., capitalizvel trimestralmente.
08) Um objeto vendido por $ 50.000,00 de entrada e $ 100.000,00 em 1 ano, ou, por
$120.000,00 vista. Se a taxa efetiva de juros de mercado de 2% a.m. capitalizvel
mensalmente, qual a melhor alternativa?
09) Uma pessoa aplicou num banco um valor que, aps 9 meses, rendeu $ 2.480,00 de juros.
Sabendo que a taxa efetiva de 0,83% a.m.,com capitalizao mensal, qual foi o valor
aplicado?
10) Em quanto tempo triplica uma populao que cresce a uma taxa efetiva de 3% a.a.?
11) Uma pessoa emprestou um valor, para aps 24 meses receber um total de $ 150.699,68.
Sendo a taxa efetiva, capitalizvel mensalmente, de 3,5% a.m., qual o valor do capital
emprestado?
12) Uma pessoa recebeu $ 106,62 de juros, sobre um capital de $ 500,00 taxa efetiva de
2,8% a.b., capitalizvel bimestralmente. Calcule o tempo que este capital ficou aplicado.
13) Daqui a 2 anos uma pessoa dever efetuar um pagamento de $ 150.699,68, referente ao
valor do emprstimo contrado hoje mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa efetiva
de 3,5% a.m., capitalizvel mensalmente. Qual o valor do emprstimo?
14) O capital de $ 32.000,00 produziu o montante de $ 78.371,00 em 1 ano. Sendo mensal a
capitalizao, qual a taxa efetiva de juros?
15) O capital de $ 32.000,00 produziu o montante de $ 82.848,00 em 1 ano. Sendo mensal a
capitalizao, qual a taxa efetiva de juros?
16) Quanto tempo ficou aplicado um capital de $ 1.200,00 para formar um montante de
$3.200,00 taxa efetiva de 14,594177% a.m., capitalizvel mensalmente?
17) Que capital, aplicado a juros compostos, taxa efetiva de 480% a.s.. com capitalizao
mensal, formou um montante de $ 8.700,00 aps 2 anos e 1 ms?
18) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado a uma taxa nominal de 230% a.t., capitalizado
mensalmente, durante 1 ano. Calcule o valor dos juros compostos.
19) Um capital de $ 800,00 foi aplicado a juros compostos, durante 7 meses, formando um
montante de $ 1.200,00. Sendo a capitalizao mensal, qual a taxa efetiva de juros?
20) Determine a taxa equivalente:
De:
Para:
a) 35,0% a.a.
.......% a.m.
b) 46,5% a.m.
.......% a.t..
59
c) 2,5% a.m.
.......% a.d.
d) 14,0% a.m.
.......% a.a.
21) Uma pessoa depositou num banco um valor, a juros compostos. Sabendo que aps 6 meses
tinha um saldo de $ 9.918,21 e, passados mais 5 meses, o saldo passou a $ 30.267,98 calcule a
taxa efetiva de juros.
22) Uma pessoa depositou num banco um valor, a juros compostos. Sabendo que aps 6 meses
tinha um saldo de $ 9.918,21 e, passados mais 5 meses, o saldo passou a $ 30.267,98, calcule
quanto foi aplicado.
23) Aps 6 meses, determinado capital formou um montante de $ 1.559,95. Sendo a taxa
trimestral efetiva de 41,6247867% e a capitalizao mensal, qual foi o valor aplicado?
24) Um capital de $ 1.500,00 foi aplicado num banco taxa nominal de 234% a.s..,
capitalizado mensalmente, durante 9 meses. Calcule o montante.
25) Uma pessoa aplicou $ 300,00 recebendo aps 3 anos e 1 ms o valor de $ 750,00. Sendo a
capitalizao mensal, qual a taxa efetiva de juros?
26) Um capital de $ 450,00, aplicado taxa efetiva de 15,2% a.m., capitalizado mensalmente,
rendeu de juros $ 2.382,01. Quanto tempo este capital ficou aplicado?
27) Uma pessoa aplicou $ 300,00 recebendo aps 1 ano e 3 meses o valor de $ 750,00. Sendo a
capitalizao mensal, qual a taxa efetiva de juros?
28) Aps 8 meses, determinado capital formou um montante de $ 1.559,95. Sendo a taxa
trimestral efetiva de 41,6247867% e a capitalizao mensal, qual foi o valor aplicado?
29) Um capital de $ 1.500,00 foi aplicado num banco, taxa nominal de 2,34% a.t..,
capitalizado mensalmente, durante 9 meses. Calcule o montante.
30) Um capital de $ 450,00 aplicado taxa efetiva de 12,5% a.m., capitalizado mensalmente,
rendeu de juros $ 2.512,46. Quanto tempo este capital ficou aplicado?
31) Uma pessoa depositou um valor num banco, a juros compostos, com capitalizao mensal.
Sabendo que aps 8 meses o saldo era de $ 15.445,37 e aps 12 meses, do depsito, o saldo
passou a ser de $ 51.301,88. Calcule o valor aplicado.
32) Qual o prazo para um capital dobrar se for colocado a taxa de 10% a.m.
a) em regime de capitalizao simples com taxa nominal?
b) em regime de capitalizao composta com taxa efetiva?
33) Determine as taxas efetivas anuais dadas as seguintes taxas:
a) 3% a.m.
b) 1% a.m.
c) 0,5% a.m.
d) 4% a.b.
e) 5% a.s.
f) 46% a.s
59
d=N.i.n
A=Nd
A=N(1i.n)
59
Exemplos:
1 Qual o valor a ser pago hoje por um ttulo de R$ 50.000,00 cujo vencimento ocorrer
daqui a 3 meses, supondo que a taxa de desconto comercial simples seja 5,5% a.m.?
2) Um ttulo a ser vencido em 4 meses foi pago hoje por R$ 17.000,00, com uma taxa
de desconto comercial simples de 30% a.a. Determine o valor futuro desse ttulo?
59
59
ij
2
ij
1 i j .n
id
1 id .n
1 Ache a taxa de juros simples equivalente a uma taxa de desconto comercial simples
de 9% a.m, dado um prazo de 3 meses.
2 Uma banco esta cobrando uma taxa de juros simples de 12% a.m, para emprstimos
de 60 dias. Qual a taxa de desconto simples equivalente?
59
1) Uma financeira faz emprstimos a curto prazo, cobrando uma taxa de desconto
comercial simples de 15% a.m. para emprstimos com prazo de 2 meses. Qual a taxa
de juros simples?
2) Ache a taxa de desconto simples equivalente a uma taxa de juros simples de 6% a.t,
dado um prazo de 1 ano.
3) Uma instituio financeira cobra uma taxa de desconto simples de 5,5% a.b. para
uma certa operao, determine a taxa de juros simples equivalente para um perodo de 2
trimestres.
A ( 1 i )- = N
1 i n
N = A( 1 i )
-n
-n
FV = PV ( 1 i )
59
Exemplos:
1 Uma duplicata no valor de R$ 35.000,00 vai ser descontada 3 meses antes do seu
vencimento a uma taxa de 5% a.m. Determine o valor do desconto composto comercial
N A1 i n ou
1 i n
So iguais, sendo:
FV = N
Prof. Ms. Jos Donizeti Rodrigues
59
PV = A
Exemplos:
1 Uma pessoa deseja liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dvida representada
por um ttulo cujo valor nominal de R$ 100.000,00. Sabendo que o banco credor
utiliza uma taxa efetiva de desconto composto de 3% a.m., ache o valor atual desse
ttulo e o valor do desconto.
59
5 Um ttulo de valor nominal R$ 65.000,00 foi quitado por R$ 47.850,00 a uma taxa
efetiva de desconto de 3,5% ao ms. Determine o prazo de antecipao.
59
3) Um ttulo quitado 150 dias antes do vencimento por $ 56.000,00 sofre desconto
composto comercial de 2% a.m. Qual era o valor nominal do ttulo?
59
10) O valor de uma nota promissria de R$ 42.000,00. Qual o seu valor nominal,
sabendo que ela vencer dentro de 120 dias e que a taxa efetiva de juro, utilizada no
calculo, foi de 3% a.m? (utilize o desconto composto racional).
59
11) Um titulo de valor nominal igual a R$ 200.000,00, foi liquidado 6 meses antes do
vencimento por R$ 133.268,44. Ache a taxa efetiva de desconto composto racional
mensal utilizada nessa operao.
12) Uma nota promissria, de valor de face igual a R$ 71.500,00, foi paga antes do
vencimento por R$ 63.526,82. Ache o prazo de antecipao dessa operao. Sabendo
que foi utilizada uma taxa efetiva de desconto composto racional de 3% a.m.
13) Calcule os valores nominal e atual de um ttulo que foi liquidado 3 meses antes do
vencimento, sabendo que o desconto composto sofrido por esse titulo foi de R$
7.488,94 e que a taxa efetiva de juro dessa transao foi de 5% a.m.
a) para o desconto composto racional;
b) para o desconto composto comercial.
59
Quando temos um ttulo a vencer e devemos renegoci-lo para outra data, devemos
primeiro calcul-lo na data de hoje (valor focal) para ento recalcula o seu valor no
futuro, nesse processo utilizada a taxa efetiva de desconto composto racional.
n
FV = PV ( 1 + i ) N = A ( 1 + i )
FV
n
PV = 1 i
N
n
A = 1 i
Exemplos:
1 Um gerente tem um ttulo a se pago de R$ 100.000,00 para 150 dias a uma taxa
efetiva de 3% a.m, no podendo saldar essa dvida ele prope um novo ttulo para 240
dias. Qual ser o valor futuro do novo ttulo?
2 Um engenheiro tem uma dvida de R$ 250.000,00 para ser paga em 186 dias, mas
resolve antecipar o pagamento para 90 dias, sabendo que o banco cobra uma taxa
efetiva de 2,5% ao ms de desconto composto. Calcule o novo valor a ser pago pela
dvida?
59
2) Uma empresa possu 3 ttulos a pagar sendo o vencimento deles vista, 102 dias e
174 dias e o valor dos ttulos so de R$ 150.000,00 cada. A empresa prope a um banco
a troca por um nico ttulo para 45 dias: Sendo R$ 50.000,00 vista, com a taxa de
desconto de 3,2% ao ms. Determine o valor do novo ttulo.
3) Uma pessoa deve um ttulo de R$ 35.000,00 para 2 trimestres, ela prope pagar a
um banco, dois pagamentos iguais: um para 50 dias e outro para 2 quadrimestres a uma
taxa de 3% a.m. Determine o valor das parcelas.
5) Uma pessoa tem dois ttulos a vencer: um em 90 dias, e outro em 120 dias, os
valores so de: R$ 60.000,00 e R$ 50.000,00 respectivamente, ela prope ao banco a
substituio por 3 ttulos iguais sendo : um para o 1 bimestre, outro para 2 bimestres e
outro para 3 trimestres, a uma taxa de 3,5% a.m. Determine o valor dos novos ttulos.
59
7) Uma loja vende um conjunto de sofs por R$ 500,00 de entrada, mais trs prestaes
mensais de R$ 800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro a taxa
de 1,2% a.m, quanto dever dispor hoje para poder efetuar a compra?
8) Uma televiso vendida vista por R$ 1.500,00 ou, ento, o prazo em 3 prestaes
mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestao se a loja pretende ganhar
3% no financiamento?
9) Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condies: entrada de R$ 1000,00 mais
uma parcela de R$ 1.200,00, aps um ms. Um cliente prope pagar uma entrada de R$
600,00 mais 2 prestaes mensais e iguais, vencendo a 1 um ms aps a compra. Se a
loja financia a uma taxa de juros de 3% a.m, qual o valor de cada parcela, de modo que
as duas formas sejam equivalentes?
59
10) Uma nota promissria, cujo valor nominal de R$ 50.000,00, vence daqui a 1
ms. O devedor prope a troca por outra nota promissria, a vencer daqui a 3 meses.
Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissria para que os capitais sejam
equivalentes, taxa efetiva de juros composto de 2% a.m.?
11) Uma pessoa tem uma dvida de R$ 60.000,00 que vence daqui a 2 meses e outra de
R$ 80.000,00 daqui a trs meses. Quanto dever aplicar hoje, taxa de juros efetivos de
2% a.m.?
12) Uma empresa prev pagamentos mensais de $ 250.000,00 daqui a 1,2 3 meses.
Quanto dever aplicar hoje, no mnimo, a taxa de juros composto de 1,6% a.m.
59
TRABALHO
1) Um gerente de uma pequena empresa deveria pagar hoje, a um banco, a importncia
de R$ 2.000.000,00. No podendo efetuar tal pagamento, prope ao banco dois
pagamentos de mesmo valor nominal, dentro de 2 e 3 meses, respectivamente.
Utilizando a taxa de desconto composto de 7% a.m, quais sero os valores nominais
desses dois novos ttulos?
2) Dois ttulos, cujos valores nominais so iguais a R$ 5.000.000,00, vencero dentro
de 3 e 6 meses, respectivamente. Eles devem ser substitudos por outro dois ttulos, de
mesmo valor nominal, vencveis dentro de 10 e 12 meses, respectivamente.
Empregando nos clculos a taxa de desconto composto de 4% a.m, quais sero os
valores nominais dos novos ttulos?
3) Um conjunto de armrios vendido por R$ 3.000,00 vista, ou, ento, com uma
entrada mais trs parcelas mensais de R$ 800,00 cada uma. Se a loja financia suas
vendas com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m, qual o valor da entrada?
4) Um terno vendido em uma loja por R$ 800,00 de entrada mais uma parcela de R$
400,00, aps um ms. Um comprador prope dar R$ 200,00 de entrada. Nessas
condies, qual o valor da parcela mensal para que as duas formas de pagamento sejam
59
equivalentes, sabendo-se que a loja opera com uma taxa de juros compostos de 4%
a.m.?
5) Um equipamento vendido vista por R$ 3.000,00, podendo tambm ser financiado
da seguinte forma:
. entrada 30 %;
. duas parcelas mensais sendo a segunda igual ao dobro da primeira e vencendo a
primeira dois meses aps a compra.
Se a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m., qual o valor de cada
prestao?
6) Um conjunto de sofs vendido vista por R$ 1.500,00, ou, a prazo, em trs
prestaes mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira a terceira o
triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestao. Sabendo-se que a loja opera a
uma taxa de juros compostos de 5% a.m.
7) Carlos pretende vender seu terreno pelo preo R$ 50.000,00 vista. Entretanto,
dadas as dificuldades de venda vista, est disposto a fazer o seguinte plano de
pagamento:
. entrada de R$ 10.000,00
. R$ 10.000,00 aps trs meses
. duas parcelas, sendo a segunda 50% superior a primeira, vencveis em seis meses e um
ano aps a compra, respectivamente.
Admitindo-se que a taxa de juros compostos do financiamento seja de 4% a.m, calcule o
valo da ltima parcela.
8) Uma determinada loja vende um automvel usado em trs parcelas, sendo R$
1.500,00 de entrada, R$ 2.000,00 trs meses aps de R$ 3.500,00 seis meses aps a
compra. Considerando que a taxa de juros compostos mensal cobrados de 5% e, ainda,
que o comprador prope adiar a terceira parcela para oito meses aps a compra, a
entrada dever ser alterada para que o valor de modo que as alternativas de pagamento
sejam equivalentes?
9) (Concurso para Controlador da Arrecadao Federal) Carlos pretende vender o seu
terreno pelo preo de R$ 600.000,00 vista. Entretanto, em face das dificuldades de
venda vista, est disposto a fazer o seguinte plano de pagamento:
. entrada de R$ 120.000,00;
. R$ 250.000,00 no fim de seis meses;
. duas parcelas, sendo a segunda 50% superior primeira, vencveis em 1 ano e 15
meses, respectivamente.
Admitindo-se que a taxa de juros de mercado de 6% a.m (juros compostos), o valor da
ltima parcela (que vence em 15 meses) ser de (desprezar os centavos da resposta):
a) R$ 270.240,00
c) R$ 350.835,00
b) R$ 308.795,00
d) R$ 405.782,00
10) (Concurso para Controlador da Arrecadao Federal Adaptado) A loja Bom
Som vende um conjunto de som em duas parcelas: R$ 200,00 de entrada e R$ 400,00
aps 5 meses. Francisco prope adiar a segunda parcela por mais 3 meses.
Considerando que a taxa de juros mensal cobrada de 5% e o regime de capitalizao
59
9. FLUXO DE CAIXA
Uma empresa possui recebimentos (entradas) e pagamentos (sadas), para saber-se ela
tem capital ou seu saldo devedor, devemos pegar as entradas e sadas e traz-los para a
data de hoje para compar-los a fim de verificar o valor focal.
Exemplos:
1 Uma empresa na data de 05 de janeiro de 2013 possui as seguintes entradas e sadas:
Recebimentos
05/02
R$ 15.000,00
Recebimentos
05/03
R$ 20.000,00
Pagamentos
05/04
R$ 30.000,00
Recebimentos
05/06
R$ 10.000,00
Determine o valor do fluxo de caixa para uma taxa efetiva de converso de 8% a.a.
59
Fluxo em milhares de R$
- 100
- 100
70
70
70
70
70
59
Recebimentos
1/jan. R$ 180.000,00
1/mar. R$ 210.000,00
1/set. R$ 240.000,00
Recebimentos
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1/jul. R$ 220.000,00
1/out. R$ 758.597,60
1/mar. R$ 250.000,00
1/ago. R$ 600.000,00
20
20
30
90
30
30
anos
59
10) Uma empresa estuda a possibilidade de adquirir uma mquina nova visando
aumento da capacidade produtiva. O custo para adquirir a mquina de R$ 150.000,00
e sua vida til de 5 anos. Aps esse perodo, o equipamento ter valor igual a zero.
Os ganhos adicionais estimados com a introduo dessa nova mquina so dados a
seguir em termos reais:
59
12) Uma firma tem uma taxa de atratividade de 10% a.a., supondo que os projetos a
seguir so mutuamente exclusivos, qual deles deve ser escolhidos?
Projeto A:
Projeto B:
59
13) Uma grfica estuda a possibilidade de adquirir um novo equipamento para ser
utilizado por 8 anos. Tal investimento exigir um desembolso inicial de R$ 25.000,00.
Ao final de 8 anos, o equipamento poder ser vendido por R$ 3.000,00 como sucata.
A utilizao do equipamento proporcionar um ganho lquido adicional de R$ 4.200,00
por ano, ao final de cada ano. Verifique se o projeto deve ou no ser implantado pela
empresa, considerando que ela pode aplicar o dinheiro uma taxa de 8% a.a.
1200
1200
1200
1200
4 meses
1200
F=
1 0,05
1200
1 0,05
1200
1 0,05
1200
1 0,05 4
59
1 i n 1
T.
i . 1 i n
Onde temos:
T = valor de cada prestao;
F = soma dos valores atuais das n prestaes iguais a T;
Aplicando a frmula do modelo bsico do sistema price ao problema
anterior, temos:
1 0,05 4 1
F 1200 .
0,05 . 1 0,05 4
= 4255,14
59
6) Uma mercadoria est sendo vendida, sem entrada, em 12 prestaes mensais, iguais
e consecutivas (sistema price) de R$ 55,00 cada, vencendo a 1 um ms aps a compra.
Achar o valor `a vista dessa mercadoria, sendo a taxa de juros efetiva de 73,53% a.a.
59
8) Uma mquina industrial est sendo vendida, sem entrada, em 12 prestaes mensais,
iguais e consecutivas de R$ 10.000,00 cada, vencendo a 1 um ms aps a compra.
Calcule o valor vista dessa mquina, sabendo que a taxa efetiva de juro de 94,5%
a.a.
59
financiado, e o financiamento incidir sobre o saldo restante para calcular o valor das
parcelas. Lidaremos tambm com problemas que envolvem carncias nos pagamentos.
Segue as frmulas para clculo de valor financiado ou preo vista ( PV ), valor da
parcela ou prestao ( PMT ), podemos tambm resolver os exerccios propostos
utilizando as tabelas financeiras 4 e 6 em anexo na apostila.
PV PMT .
1 i n 1
i . 1 i n
PMT PV .
i . 1 i n
1 i n 1
Exemplos:
1 Um automvel foi financiado pelo sistema price nas seguintes condies: 36 parcelas
de R$ 450,00, mais entrada de R$ 15.500,00, sabendo que a taxa efetiva de juros de
2% a.m., qual o valor vista desse automvel?
4 Uma pessoa compra um conjunto de sof que custa vista R$ 1.800,00 na loja, mas
parcela o conjunto em 5 prestaes mensais iguais, com carncia de 2 meses. Calcule o
valor das prestaes mensais sabendo que a taxa efetiva de juros de 4 % a.m.
59
59
a.m. e deve ser pago em 12 prestaes mensais iguais. Qual o valor dessas prestaes?
R: R$425,52
5) Quanto devemos aplicar hoje num investimento, de forma a poder retirar R$1.000,00
no final de todo ms, durante os prximos 20 meses, se a taxa de juros nominal paga
pelo investimento for de 12% a.a. capitalizada mensalmente? R: R$ 18.045,55
59
7) Uma agncia de carros anuncia em 25/12/2013 que vende qualquer automvel para
comear a pagar em 25/03/2014, ou seja, 1 prestao aps o carnaval do ano que vem.
Nessas condies um Fiat Punto custa vista R$ 42.000,00, sendo dada uma entrada de
R$ 22.500,00 e sabendo que a taxa efetiva cobrada pela agncia de 1,5% a.m. e o
saldo financiado em 36 meses, determine o valor das prestaes.
TRABALHO
1) Determinar o valor de cada uma das 6 prestaes mensais e iguais, que
liquidam um dbito de R$ 2.000,00, sendo a taxa efetiva de juros composta de 2 % a.m.
2) A quantia de R$ 5.000,00 foi financiada em 12 prestaes mensais iguais. Se
o credor cobra uma taxa efetiva de juros de 1% a.m., calcular o valor das
59
prestaes. Calcular tambm o valor das prestaes mensais caso haja um perodo
de carncia de 2 meses at o pagamento da primeira prestao.
3) Uma pessoa deve pagar por um financiamento 6 prestaes mensais
antecipadas de R$ 1.300,00 cada uma. Calcular o valor que originou esse fluxo de
pagamentos se a taxa efetiva de juros cobrada for de 2% a.m.
4) Pagam-se 7 prestaes mensais antecipadas na compra de um veculo. Se o valor de
cada uma das quatro primeiras prestaes de R$ 400,00 e das 3 ltimas R$ 1.000,00,
calcular somente o valor do financiamento sabendo-se que a taxa efetiva de juro
cobrado de 1,2% a.m.
5) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispe de 4 alternativas
para pagamento: vista R$ 2.300,00 ou 8 prestaes mensais de R$ 431,11 ou 4
prestaes mensais de R$ 965,75 sendo a primeira prestao daqui a 4 meses ou um
nico pagamento de R$ 4.930,26 daqui a 8 meses. Do ponto de vista financeiro,
qual plano o melhor considerando que a taxa efetiva de juros praticada de
10%a.m.?
6) Um financiamento de R$12.000,00 ser pago em 15 prestaes mensais iguais. Se a
taxa efetiva de juros for de 1% a.m., calcular o valor das prestaes e o montante
respectivo. Se as prestaes fossem pagas com 5 meses de carncia, qual seria o
seu valor e o montante dessas prestaes? R: R$865,49 e R$13.931,70;
7) Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestaes trimestrais, com os
valores: R$ 20.000,00, R$ 5.000,00, R$ 10.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 30.000,00. Sendo
a taxa efetiva de juros para aplicaes financeiras vigente no mercado de 2,5% a.m.,
qual o valor do terreno vista?
8) Calcule o valor do investimento necessrio para garantir um recebimento anual de
R$ 10.000,00 no final de cada um dos prximos anos, sabendo-se que esse investimento
remunerado com uma taxa efetiva de 10% a.a, no regime de juros composto?
59
R$ 3.000,00 em 15/09;
R$ 5.000,00 em 15/10;
R$ 4.000,00 em 15/11.
Qual ser o capital formado, em 15/12 do mesmo ano, por essa pessoa, a
partir desses depsitos?
Soluo:
Supondo o ms comercial, termos as seguintes capitalizaes:
1 depsito ficar investido durante 4 meses;
2 depsito ficar investido durante 3 meses;
3 depsito ficar investido durante 2 meses;
4 depsito ficar investido durante 1 ms.
Nessas condies, temos:
S n 14.832,91
INVESTIMENTOS
COM
DEPSITOS
PERIDICOS
IGUAIS
Podemos calcular o valor acumulado ( S n ) por uma pessoa que efetua depsito iguais
(PMT) em uma instituio financeira, durante determinado prazo, para que em certa
data, tenha formado um capital futuro, ou podemos calcular o valor a ser depositado
durante o prazo estipulado para formar o valor acumulado ou um capital futuro.
Sn
1 i n 1
PMT .
i
PMT S n .
ou
1 i n 1
59
59
59
5) Uma financeira est remunerando o capital na base de 4,5% a.m. a uma taxa efetiva
de juro. Se uma pessoa faz depsitos mensais de R$ 10.000,00, quanto ter acumulado
logo aps o 15 depsito?
6) Uma pessoa deseja fazer uma viagem dentro de 10 meses. Para isso ela dever ter,
na poca da viagem, um capital de R$ 30.000,00. Quanto dever depositar mensalmente
em depsitos iguais em um banco que est pagando uma taxa efetiva de juros de
11%a.t., de modo que logo aps o 10 depsito, ela tenha aquela importncia?
7) Desejo formar um capital de R$ 60.000,00 para um filho meu fazer a faculdade, para
isso tenho 5 anos, sabendo que o banco paga uma taxa efetiva de 0,9% a.m. qual ser o
valor dos depsitos iguais que terei que fazer para formar o capital em 5 anos?
8) Desejo fazer uma poupana programada para minha aposentadoria, de modo que
daqui a 10 anos eu possa ter a importncia de R$ 700.000,00, sabendo que o banco paga
uma taxa efetiva de 0,8% a.m. Qual o valor das prestaes mensais e iguais a serem
feitas?
59
9) Se disponho de R$ 2.200,00 mensais para poder aplicar durante 15 anos, a uma taxa
de 1% a.m. Qual ser o valor do capital formado aps os 15 anos?
BIBLIOGRAFIA
NEWMAN, Donald G., LAVELLE, Jerome P. Engenharia Economica 1 edio,
editora LTC ou Anhanguera Educacional PLT 140, 2014.
HAZZAN, Samuel; POMPEU, Nicolau, Matemtica Financeira 6 edio, editora
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PUCCINI, Abelardo de Lima, Matemtica Financeira: objetiva e aplicada 9
edio, editora Elsevier, 2011.
LAUREANO, Jos Luiz; LEITE, Olmpio Vissoto, Os segredos da Matemtica
Financeira 5 edio, edita tica, 1997.
59