DSC Mat Financ Teoria

Concurso FINEP
Matemática Financeira
Apostila de Teoria
(Material Complementar)
Professor Edílio Rocha Quintino

2013
Conteúdo: Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira; Regime de

Capitalização Simples; Regime de Capitalização Composta; Taxas
Equivalente, Nominal e Efetiva; Descontos; Taxa de Inflação; Fluxos de
Caixa; Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos; e
Tabelas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Definição
É a ciência que procura aliar métodos matemáticos aos fenômenos

econômico-financeiros na construção de todo um instrumental de modelos e
processos, objetivando fornecer respostas compatíveis a uma eficiente
alocação de recursos escassos entre atividades competitivas.
Objetivos da Matemática Financeira
- Transformar fluxos de caixa em equivalentes financeiros, considerando

o valor do dinheiro no tempo; e
- Analisar e comparar alternativas de fluxos de caixa:
- Empréstimos;
- Investimentos;
- Investimento com tomada de empréstimo; e
- Precificação de ativos financeiros.
Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira
- Juro (J)
Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma

coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade
monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento)
por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma
recompensa, definida pelos juros. Desta forma, são os juros que efetivamente
induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de
novos investimentos na economia.
Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
a) O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado

genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
b) A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A
inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume
cada vez menor de compra com o mesmo montante;
c) O capital aplicado/emprestado. Os juros devem gerar um lucro (ou
ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua
Professor Edílio Rocha Quintino Página 2

privação por determinado período de tempo. Esse ganho é estabelecido
basicamente em função das diversas outras oportunidades de
investimentos e definido por custo de oportunidade.
Outras denominações para juro são rendimento do capital, ganho

sobre o capital ou remuneração do capital.
- Capital Inicial (C0)
Capital pode ser definido como sendo a quantia inicial que se tem ou
que se recebe.
Outras denominações para capital inicial são capital (C), principal (P),
valor presente (VP), valor inicial, valor aplicado ou depósito inicial.
- Montante (M ou S)
Montante é o resultado total que se obtém da aplicação do capital, ou

seja, é quanto se recebe ou se paga pelo “empréstimo” do capital.
O montante também é chamado de capital final (Ct), valor futuro (VF),

valor de resgate, “capital + juros”, valor final ou valor capitalizado.
- Período (t ou n)
Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital

ficou aplicado. Este dado vem representado por um número de períodos que
podem ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos.
Representamos o número de períodos pela letra n, mas ele também

pode ser identificado pela letra t, de tempo.
- Taxa de Juros (i ou r)
A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a

remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês,

semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas
maneiras: taxa percentual e taxa unitária.

A taxa percentual se refere aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos
juros para cada centésima parte do capital.
Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende

de juros ao final deste período:
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende

20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.
A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de

cada unidade de capital em certo período de tempo.
No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um

rendimento de 0,20 (20% = ) por unidade de capital aplicada, ou seja:
A transformação da taxa percentual em unitária se processa

simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100. Para a
transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.
EXEMPLOS DE TAXA DE JUROS
Forma PERCENTUAL Para transformar na Forma UNITÁRIA

forma unitária
20% ao ano 20/100 0,2 ao ano
6% ao semestre 6/100 0,06 ao semestre
2% ao mês 2/100 0,02 ao mês
0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia

Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados
utilizando-se a taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos
exercícios, em sua grande maioria, estão indicados pela taxa percentual.
Representação Gráfica dos Conceitos Fundamentais de
Matemática Financeira
Diagrama do fluxo de caixa
Conforme foi comentado, a matemática financeira se preocupa com o

estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem
em distintos momentos no tempo.
Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através

de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa. O
fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática
financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital.
Esquematicamente, pode ser representado da forma seguinte:
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte

financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais
pontos representam os períodos de tempo (datas).
As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou

recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou
aplicações) de dinheiro.

Regras Básicas
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como

a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de
tempo. Por exemplo, admita que um fundo de poupança esteja oferecendo
juros de 2% ao mês e os rendimentos creditados mensalmente. Nesse caso, o
prazo a que se refere a taxa (mês) e o período de capitalização do fundo
(mensal) são coincidentes, atendendo à regra básica.
Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros

definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos e deve ocorrer
necessariamente um “rateio”. É indispensável para o uso das fórmulas
financeiras transformar a taxa de juro anual para o intervalo de tempo definido
pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for considerado mais apropriado
para os cálculos. Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na
mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financeira
podem ser operadas.
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade

de tempo podem ser efetuados através das regras de juros simples (média
aritmética) e de juros compostos (média geométrica), dependendo do regime
de capitalização definido para a operação.
Critérios de capitalização dos juros
Os critérios (regras) de capitalização demonstram como os juros são

transformados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo.
Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos
juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma

progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do
tempo. Neste critério, os juros apenas incidem sobre o capital inicial da
operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo
dos juros acumulados.
Por exemplo, admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5

anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano. O quadro abaixo
ilustra a evolução desta operação ao período, indicando os vários resultados.

Saldo no Crescimento
Juros apurados para Saldo devedor
início de anual do saldo
Ano cada ano ao final de
cada devedor
(R$) cada ano (R$)
ano (R$) (R$)
Início do 1º ano - - 1.000,00 -
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00
Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00
Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00
Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00
Graficamente, temos:
Algumas observações podem ser apresentadas:
a) Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$

1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x R$
1.000,00 = R$ 100,00);
b) Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear (no
exemplo, cresce R$ 100,00 por ano), revelando um comportamento idêntico a
uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos,
R$ 500,00;
c) Se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada ano, a
remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial
(R$ 1.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no
período.
Nota) Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de R$ 100,00 é obtida com

base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os R$ 400,00 de juros que
foram se acumulando ao longo do período.

d) Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total
da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação
do número de anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5
anos.
Se desejar converter essa taxa anual para mês, por exemplo, basta dividir a
taxa anual por 12, isto é: 10% ao ano/12 meses = 0,8333% ao mês, e assim
por diante.
Fórmulas de juros simples
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:
J = VP x i x n
onde:
J = valor dos juros expresso em unidades monetárias;
VP = valor presente (capital). È o valor (em R$) representativo de determinado

momento;
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária; e
n = prazo.
O montante ou valor futuro (VF) é constituído do capital mais o valor

acumulado dos juros, isto é:
VF = VP + J
No entanto, sabe-se que:
J = VP x i x n
Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra, e

colocando-se VP em evidência, temos:
VF = VP (1 + i x n)
Nota) Da fórmula acima, temos que:

VF
VP =
(1+ i x n)
A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitalização (ou de

valor futuro - FCS) dos juros simples.
Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma
data futura, determinando o montante. O inverso, ou seja, 1/(1 + i x n), é
denominado de fator de atualização (ou de valor presente – FAS). Ao se
aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu
equivalente numa data atual.
Exemplo) Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8

meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Solução:
VP = R$ 18.000,00
i = 1,5% ao mês (0,015)
n = 8 meses
VF = M = ?
M = 18.000,00 x (1 + 0,015 x 8)
M = 18.000,00 x 1,12 = R$ 20.160,00
Exemplo) Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está

oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o
pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse
a liquidação da dívida. Considere que a taxa de desconto incide sobre o valor
da dívida.
Solução:
M = R$ 900.000,00
n = 4 meses
i = 7% ao mês (0,07)
C = VP = ?

Taxa proporcional e taxa equivalente
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas, deve-

se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se
refere a taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.
É necessário para o uso das fórmulas de matemática financeira,

conforme abordado anteriormente, expressar esses prazos diferentes na
mesma base (ou unidade) de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da
taxa para o de capitalização, ou de maneira inversa, o período de capitalização
passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros.
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta

transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros,
também chamada de taxa linear. Essa taxa proporcional é obtida da divisão
entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que
ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização

for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o
percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será:
Taxa Proporcional = ao mês
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em

operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora,
descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos
sobre saldo devedor de conta corrente bancária, etc.
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um

mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume
linear de juros.
Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se

aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o
mesmo montante linear de juros. Isto é:
J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00
J( 15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo
são definidas como equivalentes.

No regime de juros simples, taxas proporcionais (lineares) e taxas
equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a
classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.
No exemplo ilustrativo acima, observe que 2,5% a.m. é equivalente a

15% a.s., verificando-se ainda uma proporção entre as taxas. A taxa de 2,5%
está relacionada ao período de um mês, e a de 15%, a seis meses. Logo:
Exemplo) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao

bimestre.
Solução
a) i = 6% x 12 = 72% ao ano
b) i = 10% x 6 = 60% ao ano
Exemplo) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:
(a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre.
Solução:
Conforme foi demonstrado, deve haver uma igualdade entre a proporção das
taxas e entre os períodos a que se referem.
a) a.s., porque
b) a.s.
Exemplo) Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de

rentabilidade de 1,2% a.m., a juros simples. Determinar o valor do rendimento
de uma aplicação de R$10.000,00 efetuada nessa instituição por um prazo de
18 dias.
Solução
VP = 10.000, n = 18 dias , i = 1,2% / 30 = 0,04% a.d.
Rendimento = VF – VP = 10.000,00 x 0,0004 x 18 = R$ 72,00.
Juro exato e juro comercial
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as

aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido

em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de
duas maneiras:
a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365

dias). O juro apurado dessa maneira denomina-se juro exato;
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias.
Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou
ordinário.
Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa

diária de:
a) Juro Exato:
b) Juro Comercial:
Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato

pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo.
Prazo, taxa e capital médios
As fórmulas de prazo, taxa e capital médios são cálculos das médias

ponderadas dos dados fornecidos.
- Prazo médio (nm)
- Taxa média (im)
- Capital médio (Cm)
Juros compostos
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada

período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do

período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período
seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros
acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e
assim por diante.
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para

os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo
remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
Fórmulas de juros compostos
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo

juros periodicamente.
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de

cálculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta
de 10% ao mês. Indicando-se por VP o valor presente e VF o valor futuro, têm-
se os seguintes resultados ao final de cada período:
- Final do 1º mês: o capital de R$ 1.000,00 produz juros de R$ 100,00

(10% x R$ 1.000,00) e um montante de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$
100,00), ou seja:
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1.100,00
- Final do 2º mês: o montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital

deste 2º mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
VF = 1.000,00 x (10 + 0,10) x (1 + 0,10)

VF = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1.210,00
O montante do 2º mês pode ser assim decomposto:
R$ 1.000,00 capital aplicado

R$ 100,00 juros referentes ao 1º mês
R$ 100,00 juros referentes ao 2º mês
R$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1º mês
- Final do 3º mês: dando sequência ao raciocínio de juros compostos:
VF = 1.000,00 x (10 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)

VF = 1.000,00 x (1 + 0,10)3 = R$ 1331,00
- Final do n-ésimo (enésimo) mês: aplicando-se a evolução dos juros

compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro)
acumulado ao final do período atinge:

...
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x x (1 + 0,10)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10)n
Ano Saldo inicial Juros Saldo final
1 1.000,00 0,1 x 1.000 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 0,1 x 1.100 = 110,00 1.210,00
3 1.210,00 0,1 x 1.210 = 121,00 1.331,00
4 1.331,00 0,1 x 1.331 = 133,10 1.464,10
Ao final de cada período, o juro obtido nesse período é incorporado ao

principal que o produziu e passam os dois, principal mais juro, a render juros
no período que segue.
Assim :
S1 = VP + J = VP + VP x i x 1 => S1 = VP x ( 1 + i )
S2 = S1 + J2 = S1 + S1 x i x 1 = S1 x ( 1 + i ) = VP x ( 1 + i ) 2
S3 = VP x ( 1 + i ) 3 e assim por diante.
A fórmula geral é dada por:
n n
Sn = P x ( 1 + i ) ou VF = VP x ( 1 + i )

Exemplo) Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de 1 ano, quanto
deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de
juros compostos ao mês.
Solução:
VF = R$ 27.500,00
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% a.m.
VP = ?
VP =
VP = R$ 22.463,70
De fato, uma aplicação de R$ 22.463,70 hoje a 1,7% a.m. de juros compostos,

produz ao final de um ano o montante de R$ 27.500,00, ou seja,
VF = 22.463,70 x (1,017)12 = R$ 27.500,00
Considerando-se ainda a taxa composta de 1,7% a.m. pelo conceito de valor

presente (VP), é indiferente a essa pessoa receber R$ 22.463,70 (valor
presente) hoje ou esse valor capitalizado ao final de 12 meses. Efetivamente,
esses valores, mesmo distribuídos em diferentes datas, são equivalentes para
uma mesma taxa de juros de 1,7% a.m.
Exemplo) Determinar o valor acumulado em 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., a

partir de um principal de R$ 2.000,00.
Solução:
Basta aplicar a fórmula
VF = VP ( 1 + i ) n
e usar a tabela 1 do Apêndice.
Exemplo) Uma loja oferece duas alternativas de pagamento de um bem cujo

preço é R$ 1.000,00. A primeira é um desconto à vista de 25%; a segunda é o
preço cheio para 30 dias. Dado que o dinheiro do comprador está aplicado a
30% ao mês, qual a melhor alternativa de pagamento.
Solução:
• Valor à vista => R$ 750,00

• Se aplicar esse valor a 30%, seu valor futuro é R$ 975,00, o que não
paga a TV lá na frente.
• Logo, a melhor estratégia é o pagamento à vista com desconto.
Taxas equivalentes
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a

própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e
9% ao trimestre são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação:
{ }
São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes

de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o

regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo
da taxa de juros. Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da
taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período
inteiro, isto é:
onde:
q = número de períodos de capitalização
Por exemplo, a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao

semestre é de 1,66%, ou seja:
√
√
= 0,0166 ou 1,66% a.m.
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente

(equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre.
Ilustrativamente, um capital de R$ 100.000,00 aplicado por dois anos produz:
- Para i = 1,66% e n = 24 meses:

VF = 100.000,00 x (1,0166)24 = R$ 148.457,63
- Para i = 10,3826% e n = 4 semestres

VF = 100.000,00 x (1,103826)4 = R$ 148.457,63

Duas taxas equivalentes, quando
aplicadas a um mesmo capital inicial
(principal), durante um mesmo
período de tempo, produzem o mesmo
capital disponível (montante)
acumulado ao final daquele período.
onde id denota uma taxa de juros ao dia; im, uma taxa de juros ao mês; it, uma
taxa de juros ao trimestre; is, ao semestre; e ia, ao ano.
Outra ilustração visa facilitar o melhor entendimento do conceito e o

cálculo da taxa equivalente de juros no regime exponencial.
Certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação

financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma
aplicação de R$ 10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de R$
11.200,00 (R$ 10.000,00 x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se na taxa
de rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e, em
bases mensais, esses percentual deve ser expresso em termos de taxa
equivalente composta.
Assim, os 12% de rendimento do semestre determinam uma

rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não 2% conforme foi enunciado.
De outra maneira:
√ ao mês
Naturalmente, ao se aplicar R$ 10.000,00 por 6 meses a uma taxa

composta de 1,91% ao mês, chega-se ao montante de R$ 11.200,00:
VF = 10.000,00 x (1,0191)6 = R$ 11.200,00
Verifica-se, então, que o processo de descapitalização da taxa de juro no

regime composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou
seja, da taxa equivalente. Neste caso, o percentual de juro da operação.
Exemplo) Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes

a 25% ao ano?

Solução:
a) Taxa de juros equivalente mensal

i = 25% a.a.
q = 1 ano (12 meses)
√
√
b) Taxa de juros equivalente trimestral

q = 1 ano (4 trimestres)
√
√
Exemplo) Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa

de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.
Solução:
Para a identificação da melhor opção apura-se o montante para as duas taxas
e para um mesmo período. Por exemplo, para n = 1 ano.
VF (9,9% a.s.) = 60.000,00 x (1 + 0,099)2 = R$ 72.468,00

VF(20,78% a.a.) = 60.000,00 x (1 + 0,2078)1 = R$ 72.468,00
Produzindo resultados iguais para um mesmo período, diz-se que as

taxas são equivalentes. É indiferente, para um mesmo prazo e para regime de
juros compostos, aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
Taxa nominal e taxa efetiva
A taxa de juros efetiva é a taxa de juros apurada durante todo o prazo n,

sendo formada exponencialmente através de períodos de capitalização. Ou
seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros
compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte
expressão:
q
Taxa Efetiva (if) = (1 + n) - 1
onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo

de juros de 56,45% ao ano, ou seja:

a.a.
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa é nominal, geralmente é
admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação
e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a
taxa de juros.
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada

mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de
um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses).
Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa

para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização

ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período
de capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).
Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros

superior àquela declarada para a operação. Baseando-se nos dados do
exemplo ilustrativo acima, tem-se:
- Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano
-Taxa proporcional simples (taxa definida para o período de

capitalização) = 3% ao mês
- Taxa efetiva de juros: ( ) = 42,6% ao ano
Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma
operação. Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados
mensalmente, apura-se que a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano.
Para que 36% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação

mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou
seja:
{ √
√ √
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente

mensal chega-se, evidentemente, aos 36% ao ano:
Taxa Efetiva Anual {

Convenciona-se nos exercícios que, quando houver mais de um período
de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma
taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada
através da taxa proporcional. Por outro lado, quando os prazos forem
coincidentes (prazo da taxa e de formação dos juros) a representação da taxa
de juros é abreviada. Por exemplo, a expressão única “10% a.a.” indica que os
juros são também capitalizados em termos anuais.
Exemplo) Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de

um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados
trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do
empréstimo.
Solução:
Admitindo, de acordo com a convenção adotada, que a taxa de juros
pelo período de capitalização seja a proporcional simples, tem-se:
- Taxa nominal (linear): i = 32% a.a.
- Descapitalização proporcional: i = 32%/4 = 8% a.t.
- Montante do empréstimo:
VF = VP x (1+i)4
VF = 11.000,00 x (1,08)4
VF = R$ 14.965,38
- Taxa Efetiva:
if = (1 + 0,08)4 - 1 = (1,08)4 – 1 = 36,0% a.a.
Exemplo) A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com

capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta
aplicação financeira.
Solução:
- Taxa Efetiva:
( )
( )
a.a.

As três taxas acima são Equivalentes, pois quando aplicadas ao mesmo
capital inicial, durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante.
Exemplo) Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma
instituição financeira, calcular o custo efetivo anual, admitindo-se que o período
de capitalização dos juros seja:
a) mensal;
b) trimestral;
c) semestral.
Solução:
a) Custo efetivo (if) = ( ) a.a.
b) Custo efetivo (if) = ( ) a.a.
c) Custo efetivo (if) = ( ) a.a.
Exemplo) Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros.

Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua
rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como:
a) Taxa Efetiva
b) Taxa Nominal
Solução:
a) Taxa Efetiva: a rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta
de 42% a.a.
√ a.m.
Capitalizando-se exponencialmente os juros de 2,97% ao mês, chega-
se, evidentemente, à taxa efetiva anual de 42%, isto é:
(1+0,0297)12-1 = 42% ao ano.
b) Taxa Nominal: a rentabilidade mensal de 42% a.a. é definida pela taxa

proporcional simples, isto é:
a.m.
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano,

chega-se a um resultado efetivo superior à taxa nominal dada de 42% a.a.:
a.a.
Logo, 51,1% é a taxa efetiva anual da operação, sendo de 42% a taxa

declarada (nominal).

Nota) Taxa Over:
- Metodologia de cálculo de taxa de juros utilizada apenas no Brasil;
- Atualmente é utilizada como padrão para empréstimos entre bancos
(CDI);
- Originalmente Taxa de Overnight;
- Convenção de mercado: taxa efetiva de um dia útil multiplicada por 30
(“mensal”); e
- Obviamente, trata-se de uma taxa nominal e o número de dias úteis
que os juros serão capitalizados para o cálculo da taxa efetiva deve ser
informado.
Exemplo) Suponha que a taxa “over” em determinado momento esteja definida

em 5,4% a.m.. No período de referência da taxa, estão previstos 22 dias úteis.
Qual a taxa efetiva do período?
Solução
a taxa efetiva é obtida pela capitalização composta, ou seja:
Descontos
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor

definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras
palavras, o próprio montante da operação.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve

geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado.
Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor
nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu
vencimento.
Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data
do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nomina e o
desconto, ou seja:
Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de

juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é

amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto
composto para as operações de longo prazo.
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois

tipos de descontos: (a) desconto “por dentro” (ou racional) e; (b) desconto
“por fora” (ou bancário, ou comercial)
Desconto em Juros Simples
- Desconto Racional (Desconto “por dentro”): incorpora os conceitos e

relações básicas de juros simples.
Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, VP o capital (ou valor

atual), d a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos
que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida
expressão de juros simples:
Pela própria definição de desconto, obtemos a fórmula:
VF = VP x (1 + d x n)
onde VF representa o valor nominal do título.
Exemplo) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano,

que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42%
a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor
descontado desta operação.
Solução:
Graficamente
- Desconto
Sabemos que
Dr = VP x d x n e VF = VP x (1 + d x n),

ou seja,
Dr = VP x d x n e
logo,
Substituindo os valores, temos:
- Valor Descontado
Sabemos que
Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto
logo,
Valor Descontado = 4.000,00 – 380,10 = R$ 3.619,90
Do ponto de vista do devedor, R$ 380,10 representam o valor que está

deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente (3 meses antes de seu
vencimento). O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de R$
3.619,90.
Exemplo) Determinar a taxa mensal do desconto racional de um título

negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a
R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução:
n = 2 meses (60 dias)
N = R$ 26.000,00
VP = R$ 24.436,10
Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor

atual do título, ou seja:
Dr = VP x i x n;
logo,

- Desconto Comercial (Desconto Bancário ou “por fora”): esse tipo de
desconto, por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título,
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.
Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos
sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor
presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos
adicionais ao tomador de recursos.
A opção desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado,

notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.
O valor desse desconto, que denotaremos por Dc, no regime de juros

simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (VF), da taxa de
desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de
antecipação definido para o desconto (n). Isto é:
O valor descontado “por fora”, aplicando-se a definição, é dado por
ou seja,
VP = VF x (1 – d x n)
Exemplo) Para melhor avaliar as diferenças dos tipos de descontos, são
desenvolvidos os mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto
racional (ou “por dentro”).
1) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que

está sendo liquidado antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a
taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor
descontado desta operação.
Solução:
Analogamente:
- Desconto

DC = N x d x n
DC = 4.000,00 x 0,035 x 3
DC = 420,00
Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato,
conforme ressaltado anteriormente, de o desconto “por fora” ser aplicado
diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual
como é característico das operações de desconto racional.
Em verdade, o valor do desconto “por fora” equivale, num mesmo

momento do tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as
mesmas condições de prazo e taxa. De fato,
DC = VF x d x n = (VP + VP x d x n) x d x n; com VP em evidência, temos:
DC = VP x (1 + d x n) x d x n; como a ordem dos fatores não altera o produto:
DC = VP x d x n x (1 + d x n) = Dr x (1 + d x n).
O resultado acima merece destaque:
Dos exemplos, sabemos que

Dr = R$ 380,00
DC = R$ 420,00
Para uma taxa de 3,5% a.a. e um período de desconto de 3 meses, conforme

estabelecido na ilustração, tem-se:
DC = Dr x (1 + i x n)
DC = 380,10 x (1 + 0,035 x 3)
DC = 380,10 x (1,105)
DC = R$ 420,00
O cálculo do Valor Descontado é desenvolvido:

Valor Descontado = VF - DC = VF – VF x d x n = VF x (1 – d x n), resultado que
merece destaque:
Valor Descontado = 4.000,00 x (1-0,035 x 3) = 4.000,00 x (0,895)

= R$ 3.580,00

Torna-se evidente que o devedor desse título descontado pelo desconto
bancário (desconto comercial, ou “por fora”), assume encargos maiores que
aqueles declarados para a operação.
A taxa de juros desta operação não equivale à taxa de desconto utilizada. Note
que, se são pagos R$ 420,00 de juros sobre um valor atual de R$ R$ 3.580,00,
a taxa de juros assume o seguinte percentual efetivo:
(ou 3,77% a.m. pela taxa equivalente composta: (1 + 0,0377)3 – 1 = 11,73% ao

trimestre.
Logo, no desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de desconto (d) e a

taxa efetiva de juros (i) da operação. Em toda operação de desconto “por fora”
há uma taxa (efetiva) de juro superior à taxa declarada. O item seguinte
dispensa um tratamento mais detalhado para esse assunto.
2) Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias

antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$
26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução:
DC = N x d x n
DC = 26.000,00 – 24.436,10 = R$ 1.563,90
n = 2 meses (60 dias)
VF = R$ 26.000,00
d=?

1.536,90 = 26.000,00 x d x 2
A liquidação de um título antes de seu vencimento foi efetuada pela taxa

mensal de desconto “por fora” de 3,0% (d = 3,0% ao mês).

A taxa acima não indica o custo efetivo desta operação, mas a taxa de
desconto aplicada sobre o valor nominal (resgate) do título. O juro efetivo desta
operação de desconto é aquele obtido pelo critério racional (“por dentro”), igual
a 3,2% a.m., conforme visto anteriormente.
Despesas bancárias
É importante registrar que em operações de desconto com bancos

comerciais são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto
de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas pela
instituição financeira. Estas taxas são geralmente fixas e incidem sobre o valor
nominal do título uma única vez no momento do desconto.
A formulação do desconto “por fora” foi vista anteriormente:
DC = VF x d x n
Chamando de t a taxa administrativa cobrada pelos bancos em suas

operações de desconto e incluindo esta taxa na formulação, tem-se:
DC = VF x d x n + VF x t,
o que nos dá que
DC = VF x (d x n + t)
De forma análoga, o Valor Descontado “por fora” incluindo-se a

cobrança da taxa administrativa t é apurado da forma seguinte:
Valor Descontado (Comercial) = VF - DC = VF – VF x (d x n + t), ou seja,
Valor Descontado (Comercial) = VF x [1 –

(d x n + t)]
Exemplo) Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 é descontada num
banco dois meses antes do seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de
desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-
se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados
integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa
administrativa.
Solução:
VF = R$ 60.000,00
d = 2,8% a.m.

n = 2 meses
t = 1,5% sobre valor nominal
- Desconto
Sabemos que
DC = VF x (d x n + t); substituindo os valores, temos:
DC = 60.000,00 x (0,028 x 2 + 0,015)
DC = 60.000,00 x (0,071) = R$ 4.260,00
- Valor Descontado
Valor Descontado (Comercial) = VF x [1 – (d x n x t)]; substituindo os valores,
temos:
Valor Descontado (Comercial) = 60.000,00 x [1 – (0,028 x 2 + 0,015)]
= 60.000,00 x [1 – 0,071] = 60.000,00 x 0,929 = R$ 55.740,00
Taxa implícita de juros do desconto “por fora”
Conforme foi introduzido nos exemplos anteriores, o desconto “por fora”,

ao ser apurado sobre o valor nominal (resgate) do título, admite implicitamente
uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação.
Por exemplo, suponha um título de valor nominal de R$ 50.000,00

descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5% ao
mês.
Aplicando-se o critério de desconto ”por fora”, como é típico destas

operações, tem-se:
Observe que a taxa de juros de 5% ao mês não permite relacionar, com

base na teoria desenvolvida, VP e VF em nenhum momento do tempo. Ou
seja, esta taxa se aplicada ao valor descontado de R$ 47.000,00 não produz,
para o período de um mês, o montante de R$ 50.000,00 (de fato, R$ 49.875,00
= R$ 47.500,00 + 5% de R$ 47.500,00).
Logo, há uma taxa de juros na operação, superior aos declarados 5% ao

mês, que conduz VP e VF a um mesmo resultado no período. Esta taxa é
obtida pelo critério de desconto racional (“juros por dentro”), ou seja,
DC = VP x d x n, o que nos dá:

Substituindo os valores, chega-se a:
O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 5,26% numa

operação de desconto de 5% a.m. (d = 5%) pelo período de um mês.
Admitindo, em sequência, que esta operação de desconto tenha sido

realizada com antecipação de dois meses, tem-se:
À base de juros simples, esta taxa equivale a 5,56% ao mês, ou seja:
Em termos de juros compostos, critério tecnicamente mais correto, a

taxa de todo o período (bimestre) atinge 11,1%. No entanto, a mensal efetiva é
a equivalente composta:
√ √
Algumas observações conclusivas com relação aos tipos de descontos

simples são elaboradas a seguir:
a) o desconto “por fora” á apurado sobre o valor de resgate (valor

nominal) do título, e o desconto “por dentro” é obtido sobre o valor
líquido liberado (capital).
Em verdade, o desconto “por fora”, apesar de amplamente adotado
nas operações bancárias e comerciais de curto prazo, não pode ser
entendido como juro em sua forma mais rigorosa de interpretação. É
preferível interpretá-lo como uma metodologia peculiar de cálculo,
pois o seu valor é obtido do montante a pagar (ou receber) e não do
capital efetivamente empregado pelo devedor (ou credor).

O valor do desconto “por fora” será sempre superior ao do desconto
“por dentro” quando obtidos em idênticas condições de prazo e taxa,
determinando maior volume de receitas ao credor;
b) a operação de desconto “por fora” a uma determinada taxa d, e a um
prazo n, implica a existência de uma taxa implícita i apurada para
este mesmo prazo, a qual é calculada segundo os critérios de
desconto racional (“por dentro”). A taxa de desconto “por fora”
adotada numa operação será sempre inferior à taxa de desconto
racional calculada nas mesmas condições;
c) no exemplo ilustrado de desconto acima, definiu-se em 5% a taxa de
desconto da operação. No entanto, ao se apurar o custo racional
desta operação, que é determinado sobre o capital efetivamente
empenhado, chega-se à taxa implícita mensal de 5,26% para n = 1
mês, e de 11,1% para n = 2 meses.
Os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem ser

substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula:
Assim, para a obtenção da taxa implícita (i) da operação, basta conhecer

a taxa de desconto “por fora” e o prazo do desconto. Aplicando-se esta fórmula
nos exemplos anteriores:
n = 1 mês
n = 2 meses
Deve ser ressaltado que essas taxas mensais são representativas do

regime de juros simples. Para cálculos mais rigorosos é necessário, conforme
foi discutido em itens anteriores, adotar o regime de juros compostos.
Para o desconto de um mês, a taxa implícita mensal de 5,26% está

correta. Lembre-se que, para um único período, os dois regimes de
capitalização produzem o mesmo resultado.
No entanto, para um desconto de dois meses, a taxa mensal não é

5,56%, resultado da média aritmética da taxa bimestral de 11,1%. Nas

operações com mais de um período, é necessário sempre trabalhar com juros
compostos, ou seja:
Taxa Mensal Implícita √ ao mês
Assim, pela fórmula direta apresentada, o custo efetivo deve ser apurado
para todo o período de apuração e, a partir deste resultado, pode-se obter, pelo
critério de juros compostos, a taxa equivalente para os intervalos de tempo.
Por exemplo, admita uma taxa de desconto (d) de 2,7% a.m. para uma
operação de desconto de 35 dias. O custo efetivo para o período de 35 dias
pela fórmula direta atinge:
para 35 dias.
Observe que o valor percentual de d é representativo para todo o prazo

da operação.
A partir deste custo efetivo para todo o período do desconto (35 dias),
pode-se apurar o equivalente composto para outros intervalos de tempo:
Taxa Efetiva Mensal:

( √ ) a.m.
Taxa Efetiva Anual:

( √ ) a.a.
e assim por diante.
Desconto Composto
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo

prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o
desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora”.
O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado

no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto “por dentro” (racional)
envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime
de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.
- Desconto Composto “por fora” (Desconto Comercial): caracteriza-se pela

incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual
é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores.
Nessa conceituação, o desconto composto “por fora” apresenta os

seguintes resultados numa sucessão de períodos:

1º Período:
VP1 = VF – DC1
Como:
DC1 = VF x d
tem-se:
VP1 = VF – VF x d
VP1 = VF x (1-d)
O valor VF x (1-d) é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de
desconto no período seguinte.
2º Período:
DC2 = VF x (1-d) x d
Logo:
VP2 = VP1 – DC2
VP2 = VF x (1-d) – VF x (1-d) x d = VF – VF x d – VF x d + VF x d2
VP2 = VF – 2 x VF x d + VF x d2 = VF x (1- 2 x d + d2)
VP2 = VF x (1-d)2
Para o 3º período, temos:
VP3 = VF x (1-d)3
E assim sucessivamente até o enésimo período:
n
VP = VF x (1 – d)
- Desconto Composto “por dentro” (Desconto Racional): é aquele
estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos.
Sendo assim, o valor descontado racional equivale ao valor presente de

juros compostos, ou seja:
Exemplo) Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e

deseja antecipar a retirada. Se o regime de Desconto Composto é utilizado e a
taxa é de 8% ao mês, qual o valor resgatado na data de hoje?
Solução:

Matemática Financeira e Inflação
Em ambientes inflacionários é indispensável, para o correto uso das

técnicas da Matemática Financeira, ressaltar, nas várias taxas de juros
nominais praticadas na economia, o componente devido à inflação e aquele
declarado como real. A parte real é aquela obtida livre das influências da taxa
de depreciação monetária verificada, isto é, adicionalmente à inflação.
De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode

ser entendido pela elevação geral dos preços dos vários bens e serviços.
Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de

mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.
Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se

caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na
maior parte do tempo, em níveis relevantes.
É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários

econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real
permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas
condições, mesmo pequenas oscilações dos índices de preços produzem
impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a
competitividade dos ativos negociados no mercado.
- Índices de preços e taxas de inflação
Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que,

entre outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais
de preços de um período para outro. Em outras palavras, o índice de preços
representa uma média global das variações de preços que se verificaram num
conjunto de determinados bens ponderada pelas quantidades respectivas.
No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços, sendo originados de

amostragens e critérios desiguais e elaborados por diferentes instituições de
pesquisa. É importante, antes de selecionar um índice para atualização de uma
série de valores monetários, proceder-se a uma análise de sua
representatividade em relação aos propósitos em consideração.

- Taxa nominal e taxa real
A taxa nominal de juros é aquela adotada normalmente nas operações

correntes de mercado, incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo
da operação. Constitui-se, em outras palavras, numa taxa pré-fixada de juros,
que incorpora as expectativas da inflação.
É importante separar claramente a taxa nominal de juros, que mede o

resultado de uma operação em valor corrente, da taxa nominal (linear)
estudada anteriormente, que indica a descapitalização do juro de forma
proporcional (juros simples).
Em consequência, o termo real para as operações de Matemática

Financeira denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou
seja, quanto se ganhou (ou perdeu) verdadeiramente, sem a interferência das
variações verificadas nos preços.
O objetivo do cálculo da taxa real (r) é o de expurgar a indexação da

taxa total de juros (nominal), de maneira a expressar o juro real.
Por exemplo, foi publicada que a remuneração das aplicações em

determinado título atinge 12,8% num período, sendo de 9,2% a taxa de inflação
deste intervalo de tempo. Logo, quem aplicou, ilustrativamente, R$ 100.000,00
no início do período, obteve um rendimento nominal de R$ 12.800,00 (12,8% x
R$ 100.000,00) no período, totalizando um montante de R$ 112.800,00.
Por outro lado, para manter inalterado o seu poder de compra, o capital
acumulado do aplicador deve atingir, ao final do período, a soma de R$
109.200,00 (R$ 100.000,00 x 1,092). Como o valor de resgate soma R$
112.800,00 conclui-se pela existência de um lucro real, em valores monetários,
de R$ 3.600,00 (R$ 112.800,00 – R$ 109.200,00). Isto é o aplicador obteve um
ganho real, acima do principal investido corrigido pela inflação, de R$ 3.600,00.
Em termos percentuais, o retorno real da operação, determinado pela relação
entre o lucro (ganho) e o valor aplicado, ambos expressos em moeda de
mesmo poder de compra, é igual a 3,3% (R$ 3.600,00/R$ 109.200,00).
De uma maneira geral, a fórmula de apuração da taxa real é a seguinte:
Substituindo-se os valores do exemplo acima na expressão de cálculo

de r, tem-se:

A taxa real também pode ser negativa, desde que a inflação supere a
variação nominal dos juros. Por exemplo, sabe-se que no mesmo período da
ilustração anterior o dólar apresentou uma evolução de 7,5%, abaixo, portanto,
da inflação de 9,2%. Quem aplicou R$ 100.000,00 neste ativo no período
conseguiu resgatar R$ 107.500,00 (R$ 100.000,00 x 1,075). Como precisava
obter um montante de R$ 109.200,00 para manter o poder de compra da
moeda com base na taxa de inflação da economia, conclui-se que o investidor
teve uma perda real de R$ 1.700,00 (R$ 107.500,00 – R$ 109.200,00). Ou, em
termos percentuais, a perda real atingiu a taxa negativa de R$ 1,56% (- R$
1.700,00/R$ 109.200,00).
Em outras palavras, o aplicador obteve somente 98,44% (R$

107.500,00/R$ 109.200,00) do valor de seu investimento corrigido, perdendo
em conseqüência 1,56% em capacidade de compra.
Pela expressão de cálculo da taxa real, tem-se:
Exemplo) Suponha que uma pessoa adquira, no início de determinado ano, um

imóvel por R$ 60.000,00, vendendo-o, dois anos após, por R$ 85.320,00.
Sendo de 31,1% a inflação deste biênio, pede-se determinar a rentabilidade
nominal e real anual produzida por esta operação.
Solução:
Rentabilidade Nominal (i)
Ou seja, √
Rentabilidade Real (r)
Ou seja, √
Nota) A Taxa Referencial (TR) é apurada a partir das taxas prefixadas de juros
praticadas pelos bancos na colocação de títulos de sua emissão. A TR é
utilizada como um indexador em diversos contratos de financiamentos
(inclusive nos pagamentos de seguros), e também em aplicações financeiras,
como a caderneta de poupança. A TR é calculada e divulgada pelo Banco
Central do Brasil (Bacen).
Nota) O Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros (IOF)

incide sobre as diversas modalidades de operações de crédito a pessoas
físicas e pessoas jurídicas, como concessão de empréstimos, operações de
desconto, financiamentos, etc.

Fluxos de Caixa
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos

que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.
É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras

que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e
financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de
desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de
pagamentos/recebimentos de aluguéis, prestações oriundas de compras a
prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, etc.
Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e

tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados e
diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração
(limitados ou indeterminados) e de valores (constantes ou variáveis).
Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do

fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da Matemática
Financeira, o assunto será tratado separadamente. Inicialmente, estudaremos o
fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de formação-
padrão. É entendido como um modelo-padrão de uma sucessão de
pagamentos ou de recebimentos.
Na sequência, estudaremos as demais classificações dos fluxos de

caixa, definidas como não-convencionais.
Os termos dos fluxos de caixa são genericamente representados por R

(recebimentos) ou P (pagamentos), sendo para as demais variáveis
empregadas adotam a simbologia tradicional (VP, VF, n, i).
- Modelo-padrão
Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e

tipos, exigindo cada um deles um tratamento específico em termos de
formulações.
Esquematicamente, os fluxos de caixa são identificados com base na

seguinte classificação:
1. {
2. {

3. {
4. {
O modelo-padrão de um fluxo de caixa, conforme grifado no esquema

acima com “(*)”, é verificado quando os termos de uma sucessão de
pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes
classificações:
a) Postecipados – indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos

começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo,
não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é paga
ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais
em intervalos seqüenciais.
b) Limitados – o prazo do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o

número de termos (pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um
financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo fixo de
tempo.
c) Constantes – indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de

caixa são iguais entre si.
d) Periódicos – é quando os intervalos entre os termos do fluxo são

idênticos entre si. Ou seja, o tempo entre um fluxo e outro é constante.
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da

seguinte:
Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificação-

padrão apresentada anteriormente.
- o recebimento (R) inicial ocorre em n = 1: postecipado;
- a diferença entre a data de um termo e outro é constante:

periódico;
- o prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n

períodos: limitado ou finito:
- os valores dos recebimentos são uniformes (iguais): constantes.

- Valor presente e fator de valor presente
O valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme

discutido anteriormente, para uma taxa periódica de juros, é determinado
pelo somatório dos valores presentes de cada um de seus valores.
Reportando à representação gráfica do fluxo-padrão apresentado,

tem-se:
Logo:
Colocando-se R em evidência:
[ ]
[⏟ ]
A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente,

sendo representada pela matemática Financeira FVP (i,n).
Com isso, a formulação do valor presente assume a expressão:
- Valor futuro e fator de valor futuro
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos
montantes de cada um dos termos da série de pagamentos/recebimentos.
Graficamente, tem-se a seguinte representação:

O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de
caixa. Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte
expressão:
Colocando-se R em evidência:
[⏟ ]
Identicamente, a expressão entre colchetes é definida por Fator de

Valor Futuro e representada por FVF(i,n).
A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é
expressão da forma seguinte:
- Cálculo dos Valores Presente e Futuro de uma Série Uniforme

Postecipada
O valor presente (VP) de uma série uniforme postecipada é o valor no

tempo “0” (zero) que equivale à soma de todos os “n” pagamentos (P), ou
recebimentos (R), descontados pela mesma taxa de juros “i”.
Inicialmente, suponhamos 4 recebimentos.
- Cálculo do Valor Presente (VP) supondo 4 pagamentos

Considere as equações abaixo:
Fazendo Equação II – Equação I, temos:
[ ]
- Cálculo do Valor Futuro (VF) supondo 4 pagamentos
Basta lembrar que ; assim,
[ ]
Nota) O valor VF é o resultado da capitalização dos recebimentos (R) dados

pela série uniforme postecipada esquematizada acima.
- “Generalizando” os cálculos o FVP e do FVF para “n” períodos
O valor presente (VP) e o valor futuro (VF) de uma série uniforme

postecipada com “n” recebimentos de valor igual a “R”, descontados pela
mesma taxa de juros “i”, são dados por:
(Consultar Tabelas 3 e 4 no Apêndice)

(Consultar Tabela 2 no Apêndice)
Uma demonstração para as duas fórmulas acima, usando um resultado

oriundo do estudo de progressões geométricas, é apresentada abaixo.
Observe que FVP, conforme é apresentado na formulação anterior entre

colchetes, equipara-se à soma de uma progressão geométrica (PG) de n
-1
termos, sendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) igual a (1+i) , e o n-ésimo
-n
termo (an) igual a (1+i) .
A fórmula de cálculo da soma de uma PG (Sn) é dada por:
Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos de uma PG, tem-

se:
Multiplicando o numerador e o denominador por , obtêm-se:
[ ]
[ ]
[ ]
n
onde obtemos a penúltima igualdade colocando o fator (1+i) em evidência no
denominador.
Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do valor

presente, observe que a expressão do FVF representa a soma de uma
n-1
progressão geométrica, onde a1 = 1; q = (1+i) e an = (1+i) .
Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de uma PG, tem-
se:

Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na
identidade do valor presente, chega-se a:
Exemplo) Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e

consecutivos de R$ 4.000,00. Para uma taxa de 2% a.m., até que preço
compensa adquirir o aparelho a vista?
Solução:
Sabemos que
VP = P x FVP(i = 2%, n=7), onde P (Pagamento) = R$ 4.000,00. Da Tabela 4,
obtemos FVP (i = 2%, n = 7) = 6,47199. Logo,
VP = R$ 4.000,00 x 6,47199 = R$ 25.887,96.
Assim, o fluxo de pagamentos descrito no problema equivale ao
pagamento de R$ 25.887,96 à vista.
Exemplo) Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos

trimestrais, iguais e sucessivos de R$ 700,00 sendo a taxa de juros igual a 1%
a.t.
Solução:
VP = P x FVP(i = 1%, n = 12), onde P (Pagamento) = R$ 700,00. Da Tabela 4,
obtemos FVP (i = 1%, n = 12) = 11,2551. Logo,
VP = R$ 700,00 x 11,2551 = R$ 7.878,57.
Exemplo) Um veículo novo que está sendo vendido a R$ 30.000,00 à vista.

Qual o valor da prestação de um plano de financiamento sem entrada, com
saldo em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira um
mês após a compra, admitindo-se uma taxa de juros igual a 3% a.m.?
Solução:
P = VP x da Tabela 3, temos que
Logo,
P = R$ 30.000,00 x 0,11723 = R$ 3.516,90.
Exemplo) Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma

sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos, no valor de R$ 800,00
cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2%
a.m.
Solução:
Sabemos que VF = P x FVF (i = 2%, n = 7); da Tabela e, temos que FVF
(i = 2%, n = 7) = 7,43428. Logo,

VF = R$ 800,00 x 7,43428 = R$ 5.947,42.
Exemplo) (Banco Central – 2001) Um contrato de aplicação financeira prevê

que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de
aplicação durante 18 meses com o objetivo de atingir o montante de R$
100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que
deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa de
rendimento de 3% a.m..
a) $ 5.555 b) $ 4.900 c) $ 4.782 d) $ 4.270 e) $ 4.000
Solução:
Temos que VF = R$ 100.000,00; i = 3% a.m.; n = 18 meses; como VF = P x
FVF (i = 3%, n = 18), a Tabela 2 nos fornece FVF (i = 3%, n = 18) = 23,4144;
logo,
R$ 100.000,00 = P x 23,4144, donde concluímos que P = R$ 4.270,88. A opção
correta é a de letra “d”.
Exemplo) (Banco Central – 2001) Um consumidor compra um bem de

consumo durável no valor de R$ 10.000 financiado totalmente em 18
prestações mensais de R$ 727,09, vencendo a primeira ao fim do
primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação o
consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o resto
da dívida. Calcule o valor mais próximo do pagamento do consumidor
que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do financiador original.
a)$ 3.840 b)$ 3.938 c)$ 4.025 d)$ 4.178 e)$ 4.362
Solução:
1ª Parte) Cálculo da taxa de juros envolvida na operação.
Temos que VP = R$ 10.000,00; P = R$ 727,09; n = 18. Como
VP = P x FVP (i = ?, n = 18), então
A Tabela 3, para o inverso do FVP e para n = 18, nos fornece uma taxa i
= 3% ªm.

2ª Parte) Cálculo do valor a ser pago no momento da quitação das
parcelas de números 13,14, ..., 17 e 18, quando do pagamento da 12ª
prestação.
Temos que VP = ?; P = R$ 727,09; i = 3%; n = 6 (= 18-13+1).
Como VP = P x FVP (i = 3%, n = 6) e a Tabela 4 nos dá que FVP (i = 3%, n =
6) = 5,41719, então VP = 727,09 x 5,41719 = R$ 3.938,78. A opção correta é a
de letra “b”.
- Fluxos de caixa não convencionais
Antecipado
O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a

ocorrer antes do final do primeiro período, conforme é representado
graficamente acima. Por exemplo, um aluguel pago no início do período de
competência (geralmente no início do mês) enquadra-se como um fluxo de
caixa antecipado por um período (mês). Se dois aluguéis forem adiantados ao
locador, a antecipação é de dois períodos, e assim por diante.
O valor presente e o montante de um fluxo de caixa antecipado podem

ser obtidos com a utilização da fórmula do modelo-padrão para a parte
convencional do fluxo, com a adição dos termos antecipados (corrigidos) a
esse resultado.
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois

períodos:
Para uma taxa de juros de 4% ao período, tem-se:

[ ]
⏟
[ ]
⏟ ⏟ ⏟
Diferido (Carência)
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o

final do primeiro período, conforme ilustrado no gráfico anterior
Nessa ilustração, a série inicia-se no período imediatamente após o final
do primeiro intervalo de tempo, indicando consequentemente uma carência de
um período. Se a série começar a ocorrer no momento 3 do gráfico, a carência
atinge dois períodos: no momento 4 tem-se uma carência de 3 períodos; e
assim por diante.
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final
do primeiro período. Para a Matemática Financeira, a carência existe quando o
primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do primeiro período, ou seja,
após ter ocorrido c períodos de tempo.
Periodicidade
A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa

ocorrem. Se esses intervalos forem sempre iguais, diz-se que os fluxos são
periódicos, enquadrando-se no modelo-padrão apresentado.
Se, por outro lado, os termos se verificarem em intervalos irregulares
(diferentes entre si), tem-se o que se denomina de fluxos de caixa não-
periódicos.
O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico, onde os
valores não se verificam uniformemente em termos de sua periodicidade.

Tanto o cálculo do valor presente, como o do valor futuro, devem ser
processados, respectivamente, pelo somatório da atualização e capitalização
de cada um dos termos.
Duração
A duração de um fluxo de caixa pode ser finita, característica do modelo-

padrão, ou indeterminada (indefinida), quando o prazo não é conhecido
previamente.
No caso de uma série infinita, determina-se unicamente o seu valor
presente.
A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilustrada da
forma seguinte:
O cálculo do valor presente é efetuado a partir do cálculo do fator de

Valor Presente (FVP) para uma série postecipada uniforme.
Sabemos que para uma série uniforme postecipada com “n”
recebimentos, o seu valor presente (VP) é dado por
[ ] [ ]
Há um resultado que nos afirma que
dado um número qualquer i > 0, então
para todo número n pertencente ao conjunto dos números naturais.
Assim, quando temos que
Em outras palavras, o valor presente desse fluxo é determinado pela

relação entre pagamento/recebimento periódico, igual e sucessivo, e a taxa de
juros considerada.
As séries indeterminadas encontram aplicações práticas principalmente
em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis,

na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de
dividendos, etc.
Com o intuito de proceder a uma aplicação prática do cálculo do valor
presente de um fluxo indeterminado, admita que um imóvel esteja rendendo R$
2.000,00 de aluguel mensalmente. Sendo de 2% a.m. o custo de oportunidade
de mercado (ganho da melhor alternativa de aplicação disponível), pode-se
avaliar preliminarmente que o valor deste imóvel atinge R$ 100.000,00, isto é:
O valor de referência do imóvel, válido para uma avaliação inicial, é o

valor presente do fluxo de rendimentos mensais (aluguéis) previsto por um
prazo indeterminado, descontado a um custo de oportunidade.
Exemplo) O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média R$

200.000/mês. Calcular o valor presente dessas rendas, considerando um custo
de capital de 2% a.m..
Exemplo) Para fazer uma doação, que paga R$100.000 por ano, para sempre,
quanto dinheiro deve ser reservado hoje se a taxa de juros é 10%?
Exemplo) A Companhia de Seguro Bob´s Life Co. está tentando lhe vender
uma apólice que renderia a você e a seus herdeiros R$ 5.000 por ano, para
sempre. Se a taxa de retorno exigida nesse investimento igual a 8%, quanto
você pagaria pela apólice?
O modelo de fluxos de caixa com duração indeterminada pressupõe que

o valor dos dividendos permaneça inalterado ao longo dos anos. No entanto,
podem ser previstos em diversas situações crescimentos periódicos nesses
valores.
Definindo-se por g a taxa periódica e constante de crescimento dos
dividendos, tem-se para um fluxo de caixa indeterminado:

onde i>g. Para “n” períodos, temos:
çã
Fazendo Equação II- Equação I, temos:
( )
mas
( )
Exemplo) Uma loja comercial tem apresentado receita média anual de R$

1.500.000,00. Sabendo-se que possui potencial de crescer em média 5% ao
ano o faturamento no futuro, qual o valor do negócio para uma taxa de juros de
10%?
Valor do Negócio =
Exemplo) O dividendo de determinada ação está fixado em R$ 0,85 para o

próximo ano. Está previsto também que estes dividendos irão crescer a uma
taxa constante de 4% ao ano indefinidamente.
Admitindo-se que os acionistas dessa empresa desejam obter uma
rentabilidade mínima de 15% a.a., determinar o valor teórico de compra desta
ação, que denotaremos por Po.
Solução:

Por se tratar de um fluxo de caixa indefinido, com os dividendos
crescendo anualmente a uma taxa constante, então
Este é o preço máximo (teórico) que se pagaria por essa ação de forma a
satisfazer o retorno mínimo desejado de 15%.
Valores
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes,

se os fluxos de caixa apresentarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos
não forem sempre iguais entre si.
Se os valores de caixa apresentarem-se desiguais (variáveis), o valor
presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de seus
termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos
montantes de cada um dos termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente
para a data futura.
Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para

operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo
desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros.
Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida, devendo as
condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre
o credor (mutuante) e o devedor (mutuário).
Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira,
a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de
pagamentos e recebimentos.
Definições Básicas
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam,

basicamente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são
restituídos ao credor do capital.
Antes do estudo dos vários sistemas, é importante que sejam definidos
os principais termos empregados nas operações de empréstimos e
financiamentos.

i) Encargos (Despesas) Financeiros – Representam os juros da
operação, caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o
credor.
ii) Amortização – Refere-se exclusivamente ao pagamento do principal
(capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas
periódicas (mensais, trimestrais, etc.). Alguns poucos tipos de empréstimos
permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único
pagamento ao final do período. Essa situação é descrita no denominado
Sistema de Amortização Americano, a ser estudado mais adiante.
iii) Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em
determinado momento, após a dedução do valor já pago ao credor a título de
amortização.
iv) Prestação – É composto do valor da amortização mais os encargos
financeiros devidos em determinado período de tempo. Assim
Prestação = Amortização + Encargos
v) Carência – Muitas operações de empréstimos e financiamentos

preveem um diferimento na data convencional do início dos pagamentos. Por
exemplo, ao se tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em
prestações trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente três meses
(um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo-se as demais ao final
de cada um dos trimestres subseqüentes. Pode, no entanto, ocorrer um
diferimento (carência) no pagamento da primeira prestação, iniciando-se, por
exemplo, 9 meses após o recebimento do capital emprestado. Neste caso, diz-
se que a carência corresponde a dois trimestres, ou seja, ela equivale ao prazo
verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro
trimestre) e a do final do 9º mês.
É importante acrescentar, ainda, que a carência significa a postergação
só do principal, não sendo incluídos necessariamente os juros. Os encargos
financeiros podem, dependendo das condições contratuais estabelecidas,
serem pagos ou não durante a carência. É mais comum o pagamento dos juros
durante a carência. Na hipótese de se decidir pela carência dos juros, os
mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de
amortização do principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de
pagamento.
Exemplo Ilustrativo Geral – Visando ilustrar os principais sistemas de

amortização normalmente adotados no mercado financeiro, admita, de uma
maneira geral, um empréstimo com as seguintes condições básicas:
- Valor do Empréstimo = R$ 100.000,00
- Prazo da Operação = 5 anos
- Taxa de Juros = 30% ao ano (efetiva)

Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome

indica, tem como característica básica serem as amortizações do principal
sempre iguais (ou constantes) em todo o prazo da operação. O valor da
amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo
número de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce

após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos
períodos.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as

prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão
aritmética.
Admita que o empréstimo de R$ 100.000,00 descrito no Exemplo Geral

deva ser pago, dentro de um prazo de 5 anos, em 10 prestações semestrais.
Desconsiderando inicialmente a existência de um prazo de carência, pode-se
elaborar a seguinte planilha financeira para a operação de empréstimo.
Conforme foi comentado, o SAC determina que a restituição do principal

(capital emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada
amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o
principal (R$ 100.000,00) e o número fixado de prestações (10 semestres), ou
seja:
Os pagamentos desses valores determinam, como é natural,

decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos,

ocasionando ainda reduções nos valores semestrais dos juros e das
prestações.
Para o cálculo dos juros trabalhou-se, como é mais comum nessas
operações de crédito de médio e longo prazos, com a taxa equivalente
composta:
Taxa Equivalente Semestral de 30% a.a. √
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior,
apresentam valores aritmeticamente decrescentes, conforme são apurados na
penúltima coluna da planilha acima. Para o final do primeiro semestre, os
encargos financeiros somam: 14,0175% x R$ 100.000,00 = R$ 14.017,50; para
o final do segundo semestre: 14,0175% x R$ 90.000,00 = R$ 12.615,75; para o
final do 3º semestre: 14,0715% x R$ 80.000,00 = R$ 11.214,00; e assim por
diante.
Somando-se, para cada período, o valor da amortização do principal

com os respectivos encargos financeiros, tem-se o valor da prestação
semestral do financiamento. Assim, para o primeiro semestre a prestação
atinge: R$ 10.000,00 + R$ 14.017,50 = R$ 24.017,50; para o segundo
semestre: R$ 10.000,00 + R$ 12.615,80 = R$ 22.615,80; e assim
sucessivamente.
Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de R$ 1.401,70 no

valor dos juros de cada período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas)
reduzirem o saldo devedor da dívida (base de cálculo dos juros)
semestralmente em R$ 10.000,00. Esta diminuição provoca, em consequência,
uma redução nos juros de 14,0175% x R$ 10.000,00 = R$ 1.401,75.
Nota) A ilustração desenvolvida não previu a existência de prazo de carência

para a amortização do empréstimo. Ao se supor uma carência de 2 anos
(contada a partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações
podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência

b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento
da primeira amortização
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo

de amortizações de maior valor.

É interessante notar, ainda, que nas três hipóteses de carência
consideradas o valor total dos pagamentos semestrais (prestações) difere
bastante. Para o item a, o total das prestações atinge R$ 233.166,50; para o
item b, este valor sobe para R$ 255.768,04; e no item c, o valor total atinge R$
299.292,70.
Na realidade, essas diferenças não estão efetivamente significando

elevações no custo relativo da dívida. O que ocorre é um maior prazo na
restituição do capital emprestado, o que determina maiores valores absolutos
de juros. Assim, o custo da operação (taxa de juros) para as três ilustrações
sugeridas não é alterado, ou seja, é igual a 14,0175% a.s., apesar de os
encargos financeiros assumirem valores monetários diferentes ao longo do
tempo.

Exemplo) Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos,
carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com
base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Temos a planilha abaixo:
Sistema de Amortização Francês (SAF)

O Sistema de Amortização Francês (SAF), amplamente adotado no
mercado financeiro do Brasil, estipula, ao contrário do SAC, que as prestações
devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao
modelo-padrão de fluxos de caixa, conforme já estudado.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as

parcelas de amortização assumem valores crescentes.
Em outras palavras, no SAF os juros decrescem e as amortizações
crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre
igual ao valor da prestação.
Considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente. A planilha
financeira deste sistema é dada abaixo e é elaborada partindo-se da última
coluna para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações e,
posteriormente, para cada período, os juros e, por diferença, as parcelas de
amortização e o respectivo saldo devedor.

As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula
de valor presente do modelo-padrão:
VP = P x FVP (i, n),
onde P é o valor da prestação periódica igual e sucessiva; e FVP é a
abreviatura de Fator de Valor Presente. Para a taxa i = 14,0175% a.s. e para
um plano de 10 prestações, n= 10, temos que FVP (i = 14,0175%, n = 10) =
5,212555. Logo,
.
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em
cada um dos períodos. Assim, para o primeiro semestre, tem-se:
- Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior):
14,0175% x R$ 100.000,00 = R$ 14.017,50
- Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos
juros acumulados para o período):
R$ 19.184,40 – R$ 14.017,50 = R$ 5.166,90
- Saldo Devedor (Saldo Anterior no Momento Zero – Parcela de

Amortização do Semestre):
R$ 100.000,00 – R$ 5.166,90 = R$ 94.833,10
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:

- Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior):
14,0175% x R$ 94.833,10 = R$ 13.293,20
- Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e o dos
juros acumulados para o período):
R$ 19.184,40 – R$ 13.293,20 = R$ 5.891,20
- Saldo Devedor (Saldo Anterior no Momento Um – Parcela de

Amortização do Semestre):
R$ 94.833,10 – R$ 5.891,20 = R$ 88.941,90
e assim por diante.

Exemplo) Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos,
carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com
base em uma taxa de juros de 10%. Temos a planilha abaixo:
Nota) Identicamente aos demais sistemas, no SAF podem verificar-se períodos

de carência, nos quais, ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou
capitalizados.
Tabela Price
O sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma

variante do sistema francês. Na realidade, o sistema francês, desenvolvido
originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu esta denominação pelo seu
uso amplamente generalizado na França no século passado.
O sistema Price, fundamentalmente adotado quando os períodos das

prestações (normalmente mensais, mas não necessariamente) se
apresentarem menores que o da taxa de juros, tem como característica básica
o uso da taxa proporcional (linear) simples em vez da taxa equivalente
composta de juros.
Sistema de Amortização Misto
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido para as

operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa
basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) ou Price e o
sistema de amortização constante (SAC), daí explicando-se a sua
denominação. Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, deve-se
somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e dividir o resultado por dois.

Ao se adotar o sistema misto de amortização para o empréstimo
contraído tem-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes valores:
Para os demais semestres segue-se o mesmo raciocínio. A planilha

financeira do sistema misto, elaborada por meio do SAC e do SAF, é dada
abaixo:
Comparações entre SAC, SAF e SAM
Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização estudados

(SAC, SAF e SAM) é desenvolvida a partir do exemplo ilustrativo geral.
A partir das planilhas financeiras dadas anteriormente, observa-se que

as prestações do SAC decrescem linearmente à razão de R$ 1.401,70 por
semestre. Este valor constante representa, conforme discutido, os juros de
14,0175% aplicados sobre o valor da amortização semestral (R$ 10.000,00).
No SAF, as prestações são sempre iguais, atingindo a R$ 19.184,40 em cada
período.
Graficamente, o comportamento das prestações para os critérios de

amortização considerados é ilustrado abaixo:

O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as
prestações.
No que se refere à parcela de amortização, os valores são constantes no

SAC e crescentes no SAF. No sistema francês a parcela cresce
exponencialmente à taxa de juros admitida na operação.
No que se refere aos saldos devedores, o decréscimo no SAC é mais

acentuado do que nos demais sistemas. Quando do pagamento da 5ª
prestação do SAC, por exemplo, o saldo devedor corresponde a 50% da dívida.
No SAF, ao se liquidar a metade das prestações, o saldo devedor totaliza ainda
a 65,8% da dívida, somente atingindo a marca dos 50% quando do pagamento
da 7ª prestação (aproximadamente).
As parcelas de juros apuradas para os três sistemas são definidas,

evidentemente, com base no comportamento dos respectivos saldos
devedores. O total dos juros calculados no SAF é bastante superior ao do SAC,
ficando os valores do SAM numa posição intermediária.
Por se tratar de uma média do SAC e do SAF, o sistema misto dispensa

maiores comentários. As prestações do SAM decrescem linearmente (PA
decrescente), sendo a razão igual à metade da razão do SAC, ou seja, R$
700,85.
A prestação inicial do SAM é menor que a do SAC, porém maior que a

do SAF. O inverso ocorre com a última prestação.
É importante ser acrescentado, ainda, que o SAM, diante de suas

características de formação, é um plano financeiramente equivalente ao SAC e
ao SAF. Ao se descontar as prestações do SAM, à taxa de juros i, o valor
presente encontrado é exatamente igual ao financiamento (principal).

Sistema de Amortização Americano
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução

do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação
de uma só vez. Não se prevê, de acordo com esta característica básica do
SAA, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros
costumam ser pagos periodicamente.
Admita, no exemplo ilustrativo geral descrito, que os R$ 100.000,00

captados devam ser amortizados pela SAA mediante uma única parcela ao
final do 3º ano. Os juros são pagos semestralmente à taxa efetiva de
14,0175%. A planilha financeira a seguir ilustra a operação:
Nota) Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e

financiamentos, o custo efetivo, qualquer que seja o sistema de amortização
adotado, é a própria taxa de juro considerada. O custo efetivo do exemplo
ilustrativo geral é de 14,0175% a.s. (ou: 30% a.a.), que representa a taxa
contratada para a operação.
Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do

juro declarado, outros tipos de encargos, tais como impostos, comissões, taxas
administrativas, etc. Estas despesas adicionais devem ser consideradas na
planilha de desembolsos financeiros, onerando o custo efetivo da operação.
Nessas ocasiões, torna-se indispensável a apuração do custo efetivo de

um empréstimo, permitindo melhores comparações com outras alternativas. O
cálculo do custo efetivo é desenvolvido pelo método da taxa interna de retorno
(TIR), que será estudado na cadeira de finanças.

Apêndice
Tabelas
Tabela 1
(

Tabela 4

Tabela 5

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Concurso FINEP

Professor Edílio Rocha Quintino

Conteúdo: Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira; Regime de

É a ciência que procura aliar métodos matemáticos aos fenômenos

Objetivos da Matemática Financeira

- Transformar fluxos de caixa em equivalentes financeiros, considerando

- Analisar e comparar alternativas de fluxos de caixa:

- Investimento com tomada de empréstimo; e

- Precificação de ativos financeiros.

Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma

Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:

a) O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado

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Outras denominações para juro são rendimento do capital, ganho

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Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital

Representamos o número de períodos pela letra n, mas ele também

A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês,

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Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende

O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende

A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de

No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um

A transformação da taxa percentual em unitária se processa

EXEMPLOS DE TAXA DE JUROS

Forma PERCENTUAL Para transformar na Forma UNITÁRIA

20% ao ano 20/100 0,2 ao ano

6% ao semestre 6/100 0,06 ao semestre

2% ao mês 2/100 0,02 ao mês

0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia

Professor Edílio Rocha Quintino Página 4

Representação Gráfica dos Conceitos Fundamentais de

Diagrama do fluxo de caixa

Conforme foi comentado, a matemática financeira se preocupa com o

Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através

A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte

As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas (ou

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Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como

Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros

Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade

Critérios de capitalização dos juros

Os critérios (regras) de capitalização demonstram como os juros são

O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma

Por exemplo, admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5

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Início do 1º ano - - 1.000,00 -

Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00

Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00

Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00

Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00

Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00

Algumas observações podem ser apresentadas:

a) Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$