Relatividade PDF
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Geometria Lorentziana
1
Rodney Josue Biezuner
Departamento de Matematica
Instituto de Ciencias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
2 de setembro de 2016
1
E-mail: biezunerufmg@gmail.com; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.
Sumario
2 O Espacotempo de Minkowski 18
2.1 Produto Interno e Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Operadores Ortogonais e Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Metrica de Lorentz e Espacotempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Propriedades do Espacotempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Transformacao de Lorentz do tipo Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Medida Quantitativa da Dilatacao do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Matriz do Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Medida Quantitativa da Contracao do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.4 Resumo da Contracao do Espaco e Dilatacao do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.5 Lei de Adicao de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.6 Rotacoes Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Paradoxos 44
3.1 Diagramas de Espacotempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Impossibilidade de se viajar acima da velocidade da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Geodesicas no Espaco de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Paradoxo dos Gemeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Momento-Energia 54
4.1 4-Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Momento-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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8 Topologia Diferencial 62
8.1 Variedades Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Aplicacoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2.1 Particoes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3.1 Vetores Tangentes a Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3.2 Vetores Tangentes como Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3.3 Diferencial de uma Aplicacao Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.4.1 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.5 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.6 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.7 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.8 Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.9 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.10 Campos Vetoriais que Comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.11 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Tensores 86
9.1 Vetores Contravariantes e Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.1.1 Significado Real do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 Convencao da Soma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Vetores e Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.2 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.3 O Espaco Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 Vetores e Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente Tp M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.2 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5.2 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.3 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.4 Traco de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.6 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.7 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11 Conexoes 118
11.1 Conexoes e Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.2 Derivada Covariante ao longo de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.3 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.4 Conexao Compatvel com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.5 O Tensor Torsao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5.1 Conexao Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.6 Conexoes Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6.1 Smbolos de Christoffel da Conexao Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.6.2 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12 Geodesicas 133
12.1 Definicao A Equacao Geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Exemplos de Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.3 Fluxo Geodesico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.4 A Aplicacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.5 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.6 Geodesicas em Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.6.1 Geodesicas em Variedades Riemannianas minimizam distancias localmente . . . . . . 147
12.6.2 Vizinhancas Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.7 Geodesicas em Variedades de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.8 Funcao Distancia em Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.9 Variedades Riemannianas Completas e Teorema de Hopf-Rinow para Variedades Riemannianas156
12.10Apendice: Geodesicas atraves do Metodo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.11Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
13 Curvatura 163
13.1 Mais sobre Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
13.2.1 O Endomorfismo Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
13.2.2 O Significado da Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.2.3 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.2.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
13.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.4 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.5 Variedades Riemannianas de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.6 Apendice: Motivacao para a definicao do tensor curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.6.1 Efeitos de Mare em Mecanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.6.2 Efeitos de Mare em Relatividade Geral: Curvatura como uma medida da aceleracao
relativa de trajetorias geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.6.3 Curvatura como uma medida do transporte paralelo em trajetorias fechadas . . . . . . 194
13.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
19 Causalidade 266
19.1 Orientacao Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
19.2 Teoria de Causalidade para Espacotempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
19.2.1 Cronologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
19.3 Apendice: O Recobrimento Duplo Temporalmente Orientavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Captulo 1
Galileo Galilei (15641642): princpio da relatividade galileana e corpos caem com a mesma aceleracao
no vacuo.
Isaac Newton (16421726): primeira e segunda leis da dinamica, espaco e tempo absolutos, teoria da
gravitacao universal (com o conceito de acao a distancia associado, modelado nos fenomenos eletrico
e magneticos).
Michael Faraday (17911867): lei da inducao de Faraday (inspiracao direta para a teoria da relatividade
especial) e a ideia de campos (eliminando a necessidade da ideia de acao a distancia).
James Clerk Maxwell (18311879): equacoes de Maxwell para o eletromagnetismo; luz e uma onda
eletromagnetica.
Ernst Mach (18381916): princpio da inercia de Mach (inspiracao indireta para a teoria da relatividade
geral; depois refutado).
Albert Einstein (18791955): teoria da relatividade especial e teoria da relatividade geral.
Hermann Minkowski (18641909): conceito do espacotempo.
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navio: quer o navio encontre-se em movimento ou repouso, todos os objetos dentro do navio se comportarao
da mesma forma. Assim, se a agua cai de um balde, ela cai na vertical, mesmo quando o navio se move,
e se houver borboletas voando, elas nao vao se acumular na traseira da cabine (veja [Topper], Cap. 1, pp.
37 e [Petkov], Cap 2, pp. 2328). Quanto ao segundo princpio, e um debate historico se Galileo realmente
realizou um experimento de cima da Torre de Pisa, ja que ele nao ha nenhum documento dele afirmando
isso. O que se conhece e o seu celebre experimento imaginario, em que ele imaginou tres corpos com o mesmo
peso caindo portanto com a mesma aceleracao no vacuo; se dois deles sao colados por uma cola sem peso,
isso nao deve afetar a sua aceleracao, mas agora temos dois corpos, um com o dobro do peso do primeiro.
(Veja [Topper], Cap. 11, pp 8588.)
Newton aceitou os dois princpios de Galileo. O primeiro ele imortalizou na sua primeira lei do movimento,
definindo mais precisamente o movimento no princpio de relatividade de Galileo como sendo movimento
retilneo uniforme, enquanto que o segundo e consequencia da sua segunda lei do movimento, onde ele
introduziu o conceito de massa inercial (uma medida de resistencia ao movimento) e da Lei da Gravitacao
Universal, onde ele introduziu o conceito de massa gravitacional (uma medida da intensidade da forca
gravitacional); o fato da aceleracao dos corpos que caem ser constante era consequencia da equivalencia das
duas. Na Lei da Gravitacao Universal, Newton introduziu tambem o conceito de acao a distancia ou forca
oculta, algo que foi aceito com muita dificuldade na epoca (apesar de Newton invocar os fenomenos eletrico
e magnetico como exemplos de que isso ocorre na realidade). O conceito de acao a distancia so foi aceito
porque sua teoria funcionava. Eventualmente, quando Faraday introduziu os conceitos de campos eletrico
e magnetico, o conceito de campo gravitacional seguiu-se naturalmente. Tambem a questao de porque os
corpos se atraem, bastante debatida na epoca depois da sua introducao por Newton, foi de forma semelhante
ignorada por ele, como escreveu no final das ultimas edicoes do seu Principia Mathematica: E e suficiente
que a gravidade realmente existe e age de acordo com as leis que estabelecemos e e suficiente para explicar
todos os movimentos dos corpos celestes e do nosso mar [isto e, as mares].; ou seja, nao pergunte mais, ou
indague questoes fsicas, mais profundas, pois a matematica funciona e isto e suficiente (veja [Topper], Cap.
4, pp. 2528). Foi o primeiro exemplo em Fsica da atitude cale a boca e faca as contas (veja [Petkov],
Cap. 2, p. 2). A atitude de Newton foi aceita ate que Einstein formulou a Teoria da Relatividade Geral.
Em outra notacao,
( V) = ( V) (V)
= ( V) 2 V.
i j k
V3 V2 V1 V3 V2 V1
V = = , , ,
x y z y z z x x y
V1 V2 V3
donde
i j k
( V) =
V x y z
3 V2 V1 V3 V2 V1
y z z x x y
2
V2 2 V1 2 V1 2 V3
= 2
2
+ ,
yx y z zx
2 V2 2 V1 2 V3 2 V2
2
+ + ,
x xy zy z 2
2 V1 2 V3 2 V3 2 V2
+
xz x2 y 2 yz
2 2 2
V1 V2 V3 2 V1 2 V1 2 V1
= 2
+ + 2
2
,
x yx zx x y z 2
2 V1 2 V2 2 V3 2 V2 2 V2 2 V2
+ 2
+ 2
2
,
xy y zy x y z 2
2 V1 2 V2 2 V3 2 V3 2 V3 2 V3
+ +
xz yz z 2 x2 y 2 z 2
V1 V2 V3
= + + V1 ,
x x y z
V1 V2 V3
+ + V2 ,
y x y z
V1 V2 V3
+ + V3
z x y z
= (div V) V.
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2E 1
= E,
t2 0 0
2B 1
= B.
t2 0 0
Prova. Do lema anterior temos que
No vacuo, em um ambiente livre de cargas eletricas, a primeira e terceira equacoes de Maxwell (leis de Gauss
para o campo eletrico e para o campo magnetico, respectivamente) se tornam
div E = 0,
div B = 0,
logo
Por outro lado, no vacuo, em um ambiente livre de cargas eletricas, a segunda e quarta equacoes de Maxwell
(lei de inducao de Faraday e lei de Ampere com a correcao de Maxwell)
B
rot E = ,
t
E
rot B = 0 0 .
t
Portanto,
2E
rot (rot E) = (rot B) = 0 0 2 , (1.2)
t t
2B
rot (rot B) = 0 0 (rot E) = 0 0 2 .
t t
Reunindo (1.1) e (1.2), obtemos o resultado desejado.
As solucoes das equacoes da onda do Teorema 1.2 sao chamadas ondas eletromagneticas. Pode-se mostrar,
usando as equacoes de Maxwell, que as ondas eletromagneticas sao ondas transversais, ou seja, as vibracoes
dos campos eletrico e magnetico sao na direcao perpendicular a direcao de propagacao da onda (para uma
deducao simples e curta veja, por exemplo, [Woodhouse], Secoes 3.3 e 3.4, pp. 4244; as ondas de som sao
um exemplo de ondas longitudinais, em que as vibracoes sao na mesma direcao de propagacao da onda).
1.3 Corolario. A velocidade de uma onda eletromagnetica no vacuo e
1
c= = 2, 99792458 108 m/s.
0 0
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Prova. Pois
2E
= c2 E,
t2
2B
= c2 B.
t2
Como este valor e igual ao da velocidade da luz, Maxwell concluiu que a luz e uma onda eletromagnetica.
Varios experimentos posteriores corroboraram esta ideia. As equacoes de Maxwell foram as primeiras leis
da Fsica a conterem uma velocidade como uma constante fundamental.
1.2.1 O Eter
Na teoria ondulatoria da luz de Fresnel (1821), a luz era uma onda mecanica que se propaga em um meio
chamado o eter luminfero. Ou seja, as vibracoes da luz correspondiam a vibracoes das moleculas eterias.
A velocidade de propagacao c da luz era uma propriedade do eter. Para conter ondas transversais, o eter
tinha que ser um meio material elastico, embora fosse estranho que nao existissem ondas longitudinais neste
meio. Alem disso, para produzir ondas com esta enorme velocidade de propagacao (em um segundo, a luz
da 7 voltas ao redor da Terra), o eter tinha que ser extremamente rgido. O eter tinha que preencher todo
o Universo, pois a luz se propaga em todo lugar. Era logico consider o eter como estando em repouso em
relacao ao espaco absoluto de Newton, funcionando como uma especie de materializacao deste.
No entanto, uma tal substancia onipresente deveria produzir outros efeitos mecanicos, alem dos fenomenos
luminosos. Como podem os planetas se moverem atraves do eter sem perder energia? O eter penetraria
atraves dos corpos moveis sem perturba-los ou seria arrastado por eles? O eter parecia ser uma substancia
intangvel sem qualquer outro efeito alem de ser o lugar onde os fenomenos luminososo ocorriam ([Springer],
Secao 1.3.3). Todo o conceito do eter soa bastante estranho para nos, ate que lembramos que hoje em dia
a teoria da materia escura, formada de misteriosas partculas que interagem apenas gravitacionalmente, e
bastante aceita.
Da mesma forma Maxwell viu suas ondas eletromagneticas como um fenomeno mecanico em um meio
propagador. Apos reconhecer que a luz era uma onda eletromagnetica, ele identificou este meio propagador
com o eter de Fresnel. Portanto ele acreditava que suas equacoes eram validas em um referencial fixado neste
meio.
De maneira semelhante, em um experimento imaginario (thought experiment) celebre, que Einstein afir-
mou em sua autobiografia ter tido na idade de 16 anos, ele imaginou o que aconteceria se viajassemos em um
raio de luz. Seguindo [Topper] (uma excelente historia cientfica sobre a descoberta de Einstein da Teoria
da Relatividade) vamos descrever o experimento imaginario de Einstein de uma forma diferente: imagine-se
estando na cabine do piloto de uma nave espacial, tendo atras da poltrona uma fonte de luz. A medida que
a nave fosse acelerando, haveria uma hora em que ela ultrapassaria a velocidade da luz e entao a cabine
repentinamente ficaria as escuras. Desta forma seria possivel determinar se a nave estava em repouso ou nao.
Mas isso significaria abandonar o princpio de relatividade de Galileu, tambem fundamental na Mecanica
Newtoniana, que afirmava que nao se podia distinguir quando se estava em repouso e quando se estava em
movimento retilneo uniforme. Para nao violar este princpio, a luz teria que se mover com uma velocidade
igual a soma da velocidade da nave e da velocidade da luz.
Varios experimentos no final do seculo XIX falharam em descobrir qualquer variacao na velocidade da
luz devido ao movimento da fonte, notavelmente o experimento de Michelson-Morley (1881; veja [Springer],
Secao 1.3, para uma descricao breve deste e de outros experimentos e [Ferraro], Captulo 2, para uma
discussao bem mais detalhada pelo mesmo autor).
O Princpio da Relatividade diz que uma vez que as leis da Fsica foram estabelecidas em um referencial
inercial, elas podem ser aplicadas sem modificacao em qualquer outro referencial inercial. A forma ma-
tematica das leis da Fsica e os valores numericos das constantes fsicas basicas que estas leis contem sao as
mesmas em qualquer referencial inercial. No que se refere as leis da Fsica, todos os referenciais inerciais sao
equivalentes. Consequentemente,
1.8 Corolario. Nenhum teste das leis da Fsica produz uma maneira de distinguir um referencial inercial
de outro referencial inercial.
1.9 Corolario. As equacoes de Maxwell no vacuo sao as mesmas em qualquer referencial inercial.
Da o ttulo do artigo original em que Einstein (1905) propos a Teoria da Relatividade Especial: On the
Electrodynamics of Moving Bodies.
Rodney Josue Biezuner 11
s2 = 0
se e somente se
s2 = 0.
Prova. Pois, pelo Princpio de Relatividade, a velocidade da luz e constante igual a 1 em qualquer referencial
inercial.
Eventos que ocorrem na velocidade da luz sao, por exemplo, os eventos emissao de um foton e absorcao do
mesmo.
No que se segue, usaremos a seguinte notacao:
t = x0 ,
x = x1 ,
y = x2 ,
z = x3 .
s2 = s2 .
Rodney Josue Biezuner 12
Prova. [Shutz]Observe que a relacao entre as coordenadas de O e O e linear, porque caso contrario,
existiria um objeto em movimento retilneo uniforme em um referencial (trajetoria reta) que nao estaria em
movimento retilneo uniforme no outro referencial (sua trajetoria nao seria uma reta), contrariando o princpio
de relatividade (ate mesmo galileano). Por simplicidade, assuma tambem que suas origens coincidem, isto
e, os eventos t = x = y = z = 0 e t = x = y = z = 0 sao os mesmos.
Da hipotese de linearidade, segue que t, x, y, z sao funcoes lineares de t, x, y, z, logo s2 e
uma funcao quadratica de t, x, y, z, digamos
3
X
s2 = Mij xi xj . (1.3)
i,j=0
Observe que em princpio podemos ter Mij = Mij (v), onde v e a velocidade relativa entre os dois referenciais
(independe dos eventos). Podemos assumir, sem perda de generalidade, que Mij = Mji (trocando, se
necessario, Mij por (Mij + Mji ) /2).
Para dois eventos em que
s2 = s2 = 0
temos !
3
X 3
X
2 i
Mij xi xj = 0.
M00 (t) + 2 M0i x t + (1.4)
i=1 i,j=1
Escolhendo
xi = t = 1,
xj = xk = 0, se j, k 6= i,
conclumos que
M0i = 0 para i = 1, 2, 3 (1.5)
e, portanto,
3
X
2
Mij xi xj = 0.
M00 (t) +
i,j=1
Se i 6= j, escolhendo agora
xi = 1, xj = 1, t = 2,
k
x = 0, se k 6= i, j,
Rodney Josue Biezuner 13
e
xi = 1, xj = 1, t = 2,
k
x = 0, se k 6= i, j,
obtemos, respectivamente,
2M00 + 2M00 + 2Mij = 0,
2M00 + 2M00 2Mij = 0;
subtraindo estas duas equacoes, conclumos que
Mij = 0
se i 6= j.
Em outras palavras,
Mij = M00 ij para i, j = 1, 2, 3, (1.6)
e h i
2 2 2 2
s2 = M00 (t) (x) (y) (z) = M00 (v) s2 . (1.7)
Denote
(v) = M00 (v) . (1.8)
Afirmamos que (v) 1.
Em primeiro lugar, observamos que e radial, de modo que
(v) = (|v|) = (v) . (1.9)
De fato, escolhendo dois eventos que sao simultaneos no referencial O, isto e, t = 0 (por exemplo, o
comprimento de uma barra) conclumos que
distancia entre dois eventos simultaneos em O
E facil entender isso usando a invariancia do intervalo. Os dois eventos sao: evento A, impacto do
relampago com a parte dianteira do trem, e evento B, impacto do relampago com a parte traseira do trem.
Digamos que estes dois eventos tem coordenadas (xA , tA ) e (xB , tB ) no referencial inercial do observador no
chao O, e coordenadas (x0A , t0A ) e (x0B , t0B ) no referencial inercial do observador dentro do trem O0 . Sejam
x = xB xA ,
t = tB tA ,
e
0
x = x0B x0A ,
0
t = t0B t0A ,
as separacoes espaciais e temporais destes dois eventos em cada um dos referenciais inerciais. Pela invariancia
do intervalo espacotemporal,
2 2 2 2
(x0 ) (t0 ) = (x) (t) .
Mas
t = 0,
ja que os eventos sao simultaneos no referencial inercial O, consequentemente
2 2 2
(x0 ) (t0 ) = (x)
e
x0 > x. (1.10)
Assim, o comprimento de uma barra medido em um referencial em que ela esta em repouso e sempre maior
que o comprimento dela medido em um referencial em que ela se move. Este efeito e a chamada contracao
de Lorenz. O comprimento da barra medido em um referencial em que ela esta em repouso e chamado o seu
comprimento proprio. Portanto, o comprimento proprio e sempre maior que o comprimento medido em
um referencial em que a barra esta se movendo. Na Secao 2.4.3 obteremos uma expressao que nos permitira
calcular exatamente o quanto o comprimento e diminudo no referencial que se move; o fator de contracao
dependera exclusivamente da velocidade deste.
(xA , tA ) = (0, 0) ,
(xB , tB ) = (99, 101) .
pois no referencial inercial Nave os dois eventos, sada da Terra e chegada em Canopus, ocorrem na mesma
posicao, isto e, na propria nave. Para calcular o tempo T decorrido entre os dois eventos de acordo com o
Rodney Josue Biezuner 16
referencial Nave, calculamos as separacoes espaciais e temporais nos dois referenciais inerciais e usamos a
invariancia do intervalo espacotemporal. Temos
x = xB xA = 99,
t = tB tA = 101,
e
0
x = x0B x0A = 0,
0
t = t0B t0A = T.
Como
2 2 2 2
(t0 ) (x0 ) = (t) (x) ,
e
x0 = 0
segue que
2 2 2 2
(t0 ) (x0 ) = (t) (x) ,
isto e,
2 2 2
(t0 ) = (t) (x) ,
e consequentemente,
t0 < t. (1.11)
No caso, mais especificamente temos
T 2 = 1012 992
= 10.201 9.801
= 400
e portanto
T = 20.
Enquanto na Terra se passaram 101 anos, dentro da nave espacial, decorreram apenas 20 anos. Assim, o
intervalo de tempo entre dois eventos medido em um referencial em que eles ocorrem na mesma posicao
e sempre menor que o intervalo de tempo entre os dois eventos medido em um referencial que se move
em relacao ao primeiro. Este efeito e a chamada dilatacao do tempo. O intervalo de tempo entre dois
eventos medido em um referencial em que eles ocorrem na mesma posicao e chamado o seu tempo proprio.
Portanto, o tempo proprio e sempre menor que o tempo medido em um referencial que esta se movendo em
relacao a este referencial. Na Secao 2.4.1 obteremos uma expressao que nos permitira calcular exatamente
o quanto o tempo e dilatado no referencial que se move; o fator de dilatacao dependera exclusivamente da
velocidade deste.
Observe que quanto mais proxima da velocidade da luz e a velocidade da nave, menor o tempo decorrido
na nave. No limite, se a nave se movesse a velocidade da luz (o que e impossvel para partculas materiais,
como veremos no final deste captulo), o intervalo de tempo seria zero, pois neste caso teramos
x = t = 99,
de modo que
2 2 2
(t0 ) = (t) (x) = 0.
Rodney Josue Biezuner 17
O Espacotempo de Minkowski
f (v + w, u) = f (v, u) + f (w, u) ,
f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w) ,
f (v, w) = f (w, v)
f (v, u) = 0
hv, vi > 0,
B = {e1 , . . . , en }
uma base para V. Para 0 6 k 6 n e 1 , . . . , n R, i > 0 para todo i, definimos o produto interno
k
X n
X
hv, wi = i v i wi + i v i wi ,
i=1 i=k+1
18
Rodney Josue Biezuner 19
hv, wi = 0
para todo w V, isso vale em particular para os vetores da base canonica e1 , . . . , en . Mas hv, ei i = i v i ,
logo v i = 0 para todo i e portanto ela e nao-degenerada. Se k = 0 este produto interno e positivo definido,
se k = n este produto interno e negativo definido e se 0 < k < n este produto interno nao e nem positivo
definido nem negativo definido, pois vetores da forma
v = v 1 , . . . , v k , 0, . . . , 0
v = 0, . . . , 0, v k+1 , . . . , v n
q (v) = hv, vi .
2.5 Exemplo. Se q e uma forma quadratica induzida por um produto interno positivo definido ou por um
produto interno negativo definido, entao v e um vetor do tipo luz se e somente se v = 0. Se q e induzida por
um produto interno que nao e definido, entao mesmo que v 6= 0 pode acontecer que v seja um vetor do tipo
luz. Por exemplo, para a forma quadratica do Exemplo 2.4, se k 6= 0 temos
q (ei + ej ) = 0
Rodney Josue Biezuner 20
para todos 1 6 i 6 k e k + 1 6 j 6 n. De fato, e possvel obter uma base para V composta inteiramente de
vetores do tipo luz. No caso k = 1, basta tomar
B0 = {e1 + e2 , e1 e2 , e1 + e3 . . . , e1 + en } .
Para ver que B0 e uma base, basta verificar que os n vetores que a formam sao LI. Se
entao !
n
X n
X
i e1 + (1 2 ) e2 + i ei = 0.
i=1 i=3
1 2 = 0,
3 = . . . = n = 0,
donde i = 0 para todo i.
Note que
q (v) = q (v) ,
para todo v V, pois
q (v) = hv, vi = hv, vi = q (v) .
De modo geral,
q (v) = 2 q (v) .
2.6 Proposicao (Identidade Polar). Um produto interno e completamente determinado por sua forma
quadratica associada. Mais especificamente, se q e a forma quadratica induzida pelo produto interno h, i,
entao
1
hv, wi = [q (v + w) q (v) q (w)] .
2
e
1
hv, wi = [q (v + w) q (v w)]
4
Em particular, toda forma bilinear simetrica induz uma unica forma quadratica.
Prova. Pois,
q (v + w) q (v w) = hv + w, v + wi hv w, v wi
= hv, vi + 2 hv, wi + hw, wi [hv, vi 2 hv, wi + hw, wi]
= 4 hv, wi .
Rodney Josue Biezuner 21
2.7 Definicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno h, i e q sua forma
quadratica associada. A norma de um vetor v V e definida por
p p
kvk = |hv, vi| = |q (v)|.
Observe que a norma de um vetor e sempre um numero positivo ou zero. Vetores do tipo luz tem norma
zero.
2.8 Teorema (Teorema de Sylvester). Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita com produto
interno h, i e q sua forma quadratica associada. Entao V possui uma base ortonormal.
Alem disso, o numero de vetores ei de qualquer base ortonormal B = {e1 , . . . , en } para V tais que
q (ei ) = 1
e o mesmo.
Prova. Para mostrar a existencia de uma base ortonormal faremos inducao sobre a dimensao de V. Seja
n = dim V e verifiquemos primeiro o caso n = 1. Afirmamos que existe u V tal que
q (u) 6= 0.
hv, wi =
6 0.
Se q (v) 6= 0 ou q (w) 6= 0, a afirmacao esta provada. Caso contrario, se q (v) = q (w) = 0, escolhemos
u = v + w, pois
q (v + w) = hv + w, v + wi
= hv, vi + 2 hv, wi + hw, wi
= q (u) + 2 hv, wi + q (w)
= 2 hv, wi
6= 0.
q (u) 6= 0.
U = {v V : hu, vi = 0}
V = U U .
hu, ui = 0
Rodney Josue Biezuner 22
hu, vi
w=v u,
hu, ui
portanto
hu, vi
v= u+w
hu, ui
com o primeiro vetor da soma em U e o segundo em U . Agora, pela hipotese de inducao existe uma base
ortonormal
B0 = {e1 , . . . , en1 }
para U . Tomando en = u, obtemos uma base ortonormal
B = {e1 , . . . , en1 , en }
para V.
Para provar a ultima parte do teorema (seguindo [Lang]), sejam
B = {e1 , . . . , er , er+1 , . . . , en } ,
B0 = {f1 , . . . , fs , fs+1 , . . . , fn }
1 e1 + . . . + r er + s+1 fs+1 + . . . + n fn = 0,
escrevemos
1 e1 + . . . + r er = s+1 fs+1 . . . n fn ,
e tomamos o produto interno desta equacao consigo mesma, obtendo
12 . . . r2 = s+1
2
+ . . . + n2 ,
Rodney Josue Biezuner 23
1 = . . . = r = s+1 = . . . = n = 0,
r + (n s) 6 n,
donde
r 6 s.
Por simetria do argumento, segue tambem que s 6 r e portanto r = s.
Segue que dado um espaco vetorial V com produto interno g e forma quadratica associada q, V possui uma
base ortonormal B = {e1 , . . . , en } tal que em relacao a esta base o produto interno e a forma quadratica se
escrevem na forma
k
X n
X
hv, wi = v i wi v i wi ,
i=1 i=k+1
k n
X 2 X 2
q (v) = vi vi ,
i=1 i=k+1
para todos
v = v i ei , w = wi ei V.
E obvio que a mesma conclusao do Teorema de Sylvester vale para os vetores ej tais que q (ej ) = +1. A razao
do resultado ter sido enunciado em termos da contagem de vetores unitarios negativos decorre da seguinte
convencao:
2.9 Definicao. Dado um espaco vetorial V com produto interno g e sua forma quadratica associada q, o
ndice de g (e de q) e o numero de vetores de uma base ortonormal de V tais que q (ei ) = 1.
2.10 Notacao. Definimos
1 se i = j = 1, . . . , k,
k
ij = 1 se i = j = k + 1, . . . , n,
0 se i 6= j.
k
O smbolo ij e uma generalizacao do delta de Kronecker ij , isto e,
0
ij = ij .
Ele e as vezes chamado o eta de Kronecker. Quando k = 1, omitimos o ndice superescrito e escrevemos
simplesmente ij , isto e,
1
ij = ij
Na representacao matricial, temos
idk 0
k = ,
0 idnk
onde idm e a matriz identidade m m.
2.11 Exemplo. Em Rn , se e1 , . . . , en sao os vetores da base canonica, definimos uma metrica com ndice k
k k
por gij = hei , ej i = ij ,
Rodney Josue Biezuner 24
para todos v, w V.
Uma matriz ortogonal e uma matriz que representa um operador ortogonal em relacao a qualquer base.
Lembramos que se A e uma matriz que representa o operador linear L em relacao a base B = {e1 , . . . , en }
de V, entao a matriz A tem a forma em colunas
A = Le1 . . . Len ,
g = (gij ) .
2.13 Proposicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno h, i e forma quadratica
associada q de ndice k. Entao P e uma matriz ortogonal se e somente se
P T k P = k .
Prova. Seja
B = {e1 , . . . , en }
uma base ortonormal para V satisfazendo
1 se i = 1, . . . , k,
q (ei ) =
1 se i = k + 1, . . . , n.
Se
n
X
v= v i ei ,
i=1
denote
k
X n
X
v #k = v i ei + v i ei .
i=1 i=k+1
v #k = k v
e
hv, wi = v T w#k
Rodney Josue Biezuner 25
e
Le1
k idk 0
P P = ... Le1 . . . Len
0 idnk
Len
Le1 h i
= . . . (Le1 )#k . . . (Len )#k
Len
= [hLei , Lej i]
= k .
v T P T k P w = v T k w.
(2.1)
= hP v, P wi ,
hP v, P wi = hv, wi .
2.14 Proposicao. O conjunto G dos operadores ortogonais e um grupo sob a operacao de composicao de
operadores.
Prova. Claramente, o operador identidade esta em G. Se L, M G, entao
h(L M ) v, (L M ) wi = hL (M v) , L (M w)i
= hM v, M wi
= hv, wi ,
hv, wi = L L1 v , L L1 w = L1 v, L1 w ,
logo L1 G.
G e chamado o grupo ortogonal.
Rodney Josue Biezuner 26
2.15 Definicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e forma quadratica
associada q. Uma aplicacao F : V V tal que
q (F (v) F (w)) = q (v w)
Passo 3. F e linear.
Seja
B = {e1 , . . . , en }
Rodney Josue Biezuner 27
hv, wi = hF (v) , wi
F (v) = v,
isto e,
F = id,
que e um operador ortogonal. Se (2.2) nao se cumpre, pelo Passo 2 F leva bases ortonormais em bases
ortonormais, de modo que se
F (ei ) = fi ,
entao
B0 = {f1 , . . . , fn }
e uma base ortonormal. Se L e o operador ortogonal que leva B0 em B, segue que G = L F e uma isometria
que satisfaz
G (ei ) = ei ,
logo pelo argumento anterior segue que
G = id
e portanto
F = L1
e um operador ortogonal.
2.18 Proposicao. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno. Se F : V V e
uma isometria, entao existe um unico operador ortogonal L e uma unica translacao T tais que
F = T L.
T (p) = p + F (0) .
F = T1 L1 = T2 L2 ,
Rodney Josue Biezuner 28
entao
L1 L1 1
2 = T1 T2 .
Em particular, T11 T2 e um operador linear e como operadores lineares deixam o vetor nulo fixo, segue
que T11 T2 e a translacao nula, isto e, a identidade. Logo,
T11 T2 = id = T1 = T2 ,
L1 L1
2 = id = L1 = L2 .
hv, wi = v 0 w0 + v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 ,
2 2 2 2
q (v) = v 0 + v 1 + v 2 + v 3
hv, wi = ij v i wj .
Segue do Princpio da Relatividade (Teorema 1.13 da Invariancia do Intervalo) que o espacotempo fsico na
Teoria da Relatividade Especial e um espacotempo de Minkowski, com o intervalo entre dois eventos v, w
sendo exatamente q (v w). Mais tarde, quando estudarmos a Teoria da Relatividade Geral, veremos que
isso e verdade apenas localmente.
Vale a pena ressaltar que foi Minkowski quem traduziu a Teoria da Relatividade Especial para a linguagem
do espacotempo (em 1907), isto e, foi ele quem reconheceu que a consequencia principal da teoria foi a
unificacao do espaco e do tempo em uma so unidade. Em suas palavras: De agora em diante, espaco
por si so e tempo por si estao condenados a desaparecer em meras sombras, e somente uma uniao dos
dois preservara uma realidade independente. ([Taylor-Wheeler], Secao 1.5, p. 15.) Inicialmente, Einstein
nao aceitou bem a ideia de Minkowski. Em sua opiniao, estender o espaco para a quarta dimensao mais
mistificava do que esclarecia a teoria. Na verdade, em resposta a formulacao de Minkowski, Einstein e
quotado como tendo dito: Desde que os matematicos invadiram a teoria da relatividade, eu proprio nao a
compreendo mais. Pouco tempo depois, no entanto, Einstein mudou radicalmente de opiniao e reconheceu
a importancia do conceito de espacotempo, que foi fundamental para a elaboracao da Teoria da Relatividade
Geral; Minkowski foi a primeira entre as duas unicas pessoas que ele reconheceu no artigo de publicacao da
teoria como sendo instrumentais na sua formulacao (veja Secao 7.1).
Rodney Josue Biezuner 29
Na realidade, o espacotempo e muito mais que uma linguagem ou uma formalizacao diferente da teoria.
Ele da sentido fsico a Teoria da Relatividade, como [Petkov] argumenta muito persuasivamente no Captulo 5
(especialmente pp. 7576). De fato, o proprio Minkowski (quotado la, p. 78) argumentou convincentemente
que o Postulado da Relatividade deveria ser trocado pelo Postulado do Mundo Absoluto. Ou seja, a principal
ideia da Teoria da Relatividade Especial, que resume tudo e de onde todas as consequencias seguem, e
trocar o espaco e o tempo absoluto de Newton pelo espacotempo absoluto com a metrica de Lorentz (o
espacotempo de Minkowski). [Petkov], Captulo 6, argumenta que a relutancia inicial de Einstein em aceitar
o espacotempo de Minkowski desempenhou um papel importante na relativa demora em desenvolver a Teoria
da Relatividade Geral, mesmo apos ele ter tido o insight do princpio da equivalencia (seu pensamento mais
feliz da vida; veja Secao 7.1).
2.20 Definicao. O grupo das isometrias do espacotempo de Minkowski Isom(M) e chamado o grupo de
Poincare.
Um operador ortogonal do espacotempo de Minkowski e chamado uma transformacao de Lorentz. O
grupo das transformacoes de Lorentz e chamado o grupo de Lorentz.
Assim, transformacoes de Lorentz sao operadores lineares no espacotempo de Minkowski que preservam a
metrica de Lorentz. Consequentemente, o grupo de Lorentz e um subgrupo do grupo de Poincare.
Pode-se provar que o grupo de Poincare e um grupo a 10 parametros. Um subgrupo particularmente fisi-
camente interessante e o subgrupo de Poincare ortocrono proprio, obtido quando se exclui as reflexoes
espaciais e temporais (estas ultimas sao chamadas reversoes temporais; elas se referem a transformacoes de
coordenadas entre dois referenciais inerciais em que o relogio de um esta andando na direcao contraria a do
relogio do outro), que ainda e um grupo a 10 parametros gerado pelas 4 translacoes (nas direcoes t, x, y, z) e
por 6 transformacoes de Lorentz, 3 das quais sao as rotacoes espaciais da geometria euclideana em relacao
aos eixos x, y, z e as outras 3 sao os boosts nas direcoes x, y, z, a serem explicados na proxima secao. Para
maiores detalhes sobre o subgrupo de Poincare ortocrono proprio, veja [Rowe], Secao 1.9, pp. 3134 e [Naber],
Secao 1.3, pp. 1542. Para maiores detalhes sobre o grupo de Poincare geral, veja [Tsamparlis], Secao 1.6,
pp. 1826, para uma deducao com insight geometrico, e Secao 1.7, pp. 2640, para uma deducao puramente
algebrica.
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno. Dizemos que um subespaco W V e
nao degenerado se o produto interno de V restrito a W e nao degenerado; caso contrario, dizemos que W e
degenerado. Por exemplo, no espaco de Minkowski M, o subespaco gerado por e1 , e2 , e3 e nao degenerado,
enquanto que o subespaco gerado por e0 e degenerado.
2.22 Lema. Seja V um espaco vetorial com produto interno. Um subespaco W V e nao degenerado se e
somente se
V = W W .
De fato, seja {e1 , . . . , em } uma base para W e complete esta base ate uma base {e1 , . . . , em , em+1 , . . . en }
para V. Um vetor v V pertence a W se e somente se hv, ei i = 0 para i = 1, . . . , m, ou seja, se e somente
se v = v j ej satisfaz o sistema
gij v j = 0 para i = 1, . . . , m.
Como a matriz (gij ) e invertvel, o subespaco solucao deste sistema tem dimensao exatamente igual a n m.
De (2.3) e (2.15) segue que V = W + W se e somente se W W = 0. Assim, qualquer uma destas
condicoes e equivalente a V = W W . Mas
W W = {w W : w W } ,
2.25 Proposicao. Dois vetores v, w do tipo tempo estao no mesmo cone temporal se e somente se
hv, wi < 0.
Prova: Seja v C (u), para u M que podemos tomar unitario, de modo que hu, ui = 1. Mostraremos
que w M pertence tambem a C (u) se e somente se hv, wi < 0. Escreva
v = au + x,
w = bu + y,
para x, y hui . Temos
hv, wi = hau + x, bu + yi = ab + hx, yi . (2.5)
Como
2
0 > hv, vi = hau + x, au + xi = a2 + kxk ,
2
0 > hw, wi = hbu + y, bu + yi = b2 + kyk ,
Rodney Josue Biezuner 31
segue que
hu, wi = hu, bu + yi = b,
M = C (v) C (v)
B = {e0 , e1 , e2 , e3 }
Assim,
M = C+ C .
A escolha de qual cone temporal e designado como o cone temporal futuro e qual cone temporal e designado
como o cone temporal passado depende portanto da escolha da base. Isso determina uma orientacao no
espaco de Minkowski.
Rodney Josue Biezuner 32
Como observado na demonstracao da Proposicao 2.25, existem vetores do tipo espaco que satisfazem a
desigualdade de Cauchy-Schwartz. Isso nao e verdade para todos os vetores do tipo espaco. Por exemplo,
v = (1, 1, 1, 1) ,
w = (1, 1, 1, 1) ,
pois hz, zi > 0 pela Proposicao 2.23 e hw, wi , hv, vi < 0. A igualdade vale se e somente se z = 0.
2.28 Proposicao (Desigualdade Triangular Reversa). Se v, w M sao do tipo tempo pertencentes ao
mesmo cone temporal, entao
kvk + kwk 6 kv + wk
com a igualdade valendo se e somente se v e w sao multiplos escalares um do outro.
Prova: Como v, w estao no mesmo cone temporal e cones temporais sao convexos, segue que v + w tambem
esta no mesmo cone temporal e em particular tambem e um vetor do tipo tempo, ou seja,
hv + w, v + wi < 0.
Logo,
2 2 2
(kvk + kwk) = kvk + 2 kvk kwk + kwk
2 2
6 kvk 2 hv, wi + kwk
= hv, vi 2 hv, wi hw, wi
= hv + w, v + wi
2
= kv + wk
|hv, wi|
> 1,
kvk kwk
|hv, wi|
cosh = .
kvk kwk
de modo que
1
t= t0 .
1 v2
2.31 Definicao. O numero
1
= (2.6)
1 v2
e chamado o fator de dilatacao do tempo.
Observe que t0 e o tempo proprio no referencial O0 e como
> 1,
isso mostra o que ja vimos antes, que o tempo proprio e sempre menor que o tempo medido em um outro
referencial que esta se movendo em relacao ao referencial onde o tempo proprio e medido. Agora temos uma
expressao que nos da exatamente o quanto o tempo e dilatado.
Conclumos que para dois eventos cujas coordenadas x0 = 0 a transformacao de Lorentz e
t = t0 , (2.7)
0
x = vt . (2.8)
Rodney Josue Biezuner 35
Observe que p
2 1
v= ,
pois a velocidade relativa entre os referenciais pode ser positiva ou negativa, dependendo da direcao em
que um se move em relacao ao outro, portanto opta-se por escrever v explicitamente, e nao em funcao do
parametro . Se v > 0 (isto e, o referencial O0 se move para a direita do referencial O), entao
t = t0 ,
p
x = 2 1t0 ,
enquanto que se v < 0 (isto e, o referencial O0 se move para a esquerda do referencial O), entao
t = t0 ,
p
x = 2 1t0 ,
segue que
2 2
(t0 ) (x0 ) = t2 x2 ,
Substituindo, temos
2 2 2 2
(t0 ) (x0 ) = (t0 + ax0 ) (vt0 + bx0 )
2
= 2 v 2 2 (t0 ) + (2a 2vb) t0 x0
2
+ a2 b2 (x0 )
2 2
= (t0 ) + 2 (a vb) t0 x0 + a2 b2 (x0 )
a vb = 0,
a2 b2 = 1.
v 2 1 b2 = 1
donde
1
b= = .
1 v2
Logo,
a = v.
Assim,
t = t0 + vx0 , (2.9)
0 0
x = vt + x . (2.10)
e 0
t v 0 0 t
x v 0 0 x0
y = 0
. (2.11)
1 0 y0
0
z 0 0 0 1 z0
Observe que a matriz da transformacao de Lorentz boost e simetrica. Em termos apenas de v podemos
escrever
t0 + vx0
t= , (2.12)
1 v2
x0 + vt0
x= . (2.13)
1 v2
A inversa da transformacao de Lorentz e dada por
0
t v 0 0 t
x0 v 0 0 x
0 = . (2.14)
y 0 0 1 0 y
z0 0 0 0 1 z
Rodney Josue Biezuner 37
Ela e facilmente obtida uma vez que notamos que o referencial O se move com velocidade v na direcao
positiva do eixo x do referencial inercial O0 , logo basta substituir v por v em (2.11).
As matrizes das transformacoes de Lorentz boosts nas direcoes y e z sao, respectivamente,
0 v 0 0 0 v
0 1 0 0 0 1 0 0
v 0 0 e 0 0 1 0 .
0 0 0 1 v 0 0
A composta de boosts em direcoes diferentes nao e um boost e portanto o conjuntos dos boosts nao forma um
subgrupo do grupo de Poincare (e uma rotacao, chamada rotacao de Thomas ou precessao de Thomas;
veja [Rowe], Secao 1.9.3, pp. 3334 e [Rahaman], Secao 3.4, p. 31). Este fato so foi descoberto nos anos
1920s e diz-se que surpreendeu Einstein. E claro que se considerarmos apenas boosts em uma unica direcao
eles formam um subgrupo a 1 parametro, isomorfo a R, como veremos na Secao 2.4.5.
A medida da distancia L0 entre a Terra e o sistema estelar de acordo com o referencial inercial Nave O0 e
dada por
L0 = vt0 ,
pois v e a velocidade da nave quando ela deixou a primeira extremidade desta longussima barra (que e o
planeta Terra) e t0 e o tempo que ela levou para chegar a segunda extremidade da barra (o sistema estelar).
Portanto p
L0 = 1 v 2 L. (2.15)
O evento A e a partcula passando pela extremidade esquerda da barra, enquanto que o evento B e a
partcula passando pela extremidade direita da barra. No referencial (t, x) da barra (isto e, no referencial
em que a barra encontra-se em repouso), os eventos A e B tem coordenadas
(tA , xA ) = (0, 0) ,
(tB , xB ) = (t, L0 ) ,
L0 = vt,
enquanto que no referencial (t0 , x0 ) da partcula (isto e, no referencial em que a partcula esta em repouso)
os eventos A e B tem coordenadas
L = v.
Em particular,
t L0
= ,
L
o que mostra que nao e possvel que os comprimentos (distancias espaciais) sejam relativos, isto e, variem
com a velocidade do referencial, sem que os tempos (intervalos temporais) tambem sejam e vice-versa.
Pela invariancia do intervalo,
2 = t2 L20 .
Substituindo L0 = vt, obtemos p
= 1 v 2 t,
Rodney Josue Biezuner 39
de modo que o tempo proprio, medido no referencial em que os eventos ocorrem na mesma posicao, e sempre
menor que o tempo medido em um referencial em que os eventos ocorrem em diferentes posicoes. Dividindo
ambos os lados por e substituindo t/ por L0 /L, obtemos
p
L = 1 v 2 L0 ,
de modo que o comprimento proprio, isto e, o comprimento de um objeto em um referencial em que ele esta
em repouso, e sempre maior que o comprimento do objeto medido em um referencial em relacao ao qual ele
se move (mover-se em relacao a um objeto causa a contracao do mesmo na dimensao ao longo da direcao
do movimento).
z 0 0 0 1 z 00
e 0
v0 0 0 0 00 v 00 00 0 0
00
t t
x v 0 0 0 0 0 v 00 00 00
0 0 x00
y = 0
,
1 0 y 00
0 1 0 0 0
z 0 0 0 1 0 0 0 1 z 00
isto e,
0
v0 0 0 00 v 00 00
v 0 0 0 0 0
0 0
v
0 0
= v
0 0 0 00 00
v 00 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 00 0 00
0 00 (v 0 + v 00 ) 0
(1 + v v ) 0
0 00 (v 0 + v 00 ) 0 00 (1 + v 0 v 00 ) 0 0
= .
0 0 1 0
0 0 0 1
Portanto,
= 0 00 (1 + v 0 v 00 ) ,
v = 0 00 (v 0 + v 00 ) .
pois
|senh x| < cosh x
para todo x R, ja que sempre temos
|ex ex | ex + ex
<
2 2
e
tanh (R) = (1, 1) , (2.18)
porque, pela regra de LHopital,
senh x ex ex
lim tanh x = lim = lim x
x+ x+ cosh x x+ e + ex
2x
e 1 2e2x
= lim 2x = lim = 1.
x+ e + 1 x+ 2e2x
Rodney Josue Biezuner 41
Vale a identidade
tanh a + tanh b
tanh (a + b) = . (2.19)
1 + tanh a tanh b
De fato, temos
ea + ea eb + eb ea ea eb eb
cosh a cosh b + senh a senh b = +
2 2 2 2
ea+b + eab + ea+b + eab ea+b eab ea+b + eab
= +
4 4
ea+b + eab
=
2
= cosh (a + b) .
Da,
senh (a + b) senh a cosh b + cosh a senh b
tanh (a + b) = =
cosh (a + b) cosh a cosh b + senh a senh b
senh a cosh b + cosh a senh b
= cosh a cosh b
cosh a cosh b + senh a senh b
cosh a cosh b
senh a senh b
+
= cosh a cosh b
senh a senh b
1+
cosh a cosh b
tanh a + tanh b
= .
1 + tanh a tanh b
Segue de (2.18) e da injetividade da funcao tangente hiperbolica que se
|v 0 | , |v 00 | < 1,
v 0 = tanh a,
v 00 = tanh b.
donde
|v| < 1.
Se v 0 = 1, entao
1 + v 00
v= =1
1 + v 00
e se v 0 = 1, entao
1 + v 00
v= = 1.
1 v 00
As mesmas conclusoes valem para v 00 = 1.
t0
t cosh senh
= .
x senh cosh x0
Em termos da rapidez, se denotarmos por LOO0 a transformacao de Lorentz das coordenadas do referencial
O0 para o referencial O, a lei de adicao de velocidades da teoria da relatividade pode ser escrita na forma
Portanto, o subgrupo dos boosts em relacao a uma direcao fixada e isomorfo ao grupo a um parametro de
adicoes R. Dado que boosts sao rotacoes hiperbolicas e que as rotacoes em R3 formam um grupo (ou seja, a
composta de duas rotacoes no espaco em relacao ao mesmo eixo ou em relacao a eixos diferentes e uma rotacao
no espaco em relacao ao mesmo eixo ou em relacao a um eixo diferente dos outros dois, respectivamente)
podemos entender a surpresa de Einstein ao ser informado que os boosts nao formam um grupo, ou seja,
que a composta de rotacoes hiperbolicas em R4 nao e uma rotacao hiperbolica (em R2 evidentemente e).
Captulo 3
Paradoxos
Escolha um dos referenciais inerciais. Escolhemos o referencial inercial Laboratorio. Os eixos t, x neste re-
ferencial inercial sao representados perpendicularmente, como usual. Em seguida representamos a trajetoria
no espacotempo do referencial inercial Nave nas coordenadas do referencial Laboratorio. Esta trajetoria
corresponde ao eixo t0 do referencial inercial Nave, pois, ao longo desta trajetoria, a posicao da nave nao
44
Rodney Josue Biezuner 45
muda. Para obter o eixo x0 do referencial inercial Nave, precisamos obter as linhas de simultaneidade em
relacao a este referencial, pois o eixo x0 e exatamente o conjunto dos pontos que tem coordenada temporal
t0 = 0. Para obter as linhas de simultaneidade do referencial Nave, trace primeiro as duas trajetorias de
raios de luz no referencial Laboratorio; se os eixos tem a mesma escala (tempo e espaco medidos em metros),
estas trajetorias fazem um angulos de 45 com os eixos. As linhas de simultaneidade do referencial Nave
sao entao as linhas paralelas tais que os pontos das intersecoes destas linhas com as trajetorias da luz sao
equidistantes da trajetoria da nave (porque eles ocorrem ao mesmo tempo no referencial inercial Nave, ja
que a velocidade da luz e a mesma em todos os referenciais inerciais). Uma destas linhas de simultaneidade
sera o eixo x0 ; qual delas dependera da escolha da origem no referencial inercial Nave (na figura, as origens
dos dois referenciais foi escolhida como sendo a mesma).
Usando diagramas espacotempo podemos por exemplo entender melhor a contracao de Lorentz e a di-
latacao do tempo. No diagrama a seguir, a barra em repouso no referencial laboratorio (t, x) tem compri-
mento proprio L. No referencial nave (t0 , x0 ), o comprimento L0 da barra e medido quando os seus extremos
sao simultaneos, isto e, ao longo de uma linha de simultaneidade deste referencial. Portanto, o segmento
correspondente a L0 no diagrama e a hipotenusa de um triangulo retangulo cujo cateto correspondente a L e
paralelo ao eixo x; o outro cateto e a diferenca temporal t entre os extremos do segmento L0 (vistos como
eventos no espacotempo) quando eles sao medidos no referencial (t, x), onde eles nao sao simultaneos. Como
2 2
(L0 ) = L2 (t) ,
segue que
L0 < L.
segue que
t > t0 .
Rodney Josue Biezuner 46
Com obter uma visao equilibrada da Historia, vamos investigar os acontecimentos do ponto de vista da
Federacao, mais especificamente no referencial inercial da nave Enterprise (coordenadas t0 , x0 ). Especifica-
mente, quando ocorreram neste sistema de coordenadas a assinatura do Tratado de Shalimar (evento A) e o
impacto do Super com a nave, que causou a sua completa destruicao (evento B)?
Temos
(tA , xA ) = (4, 0) ,
(tB , xB ) = (1, 3) .
Como a velocidade da Enterprise em relacao ao planeta Shalimar e 0, 6, segue que o fator de dilatacao do
tempo e
1 1
= =p = 1, 25.
1v 2 1 0, 62
de modo que a transformacao de Lorentz do referencial inercial de Shalimar para o referencial inercial
Enterprise e
v 1, 25 0, 75
= .
v 0, 75 1, 25
Logo,
t0A
1, 25 0, 75 tA 1, 25 0, 75 4 5
= = =
x0A 0, 75 1, 25 xA 0, 75 1, 25 0 3
e
t0B
1, 25 0, 75 tB 1, 25 0, 75 1 1
= = =
x0B 0, 75 1, 25 xB 0, 75 1, 25 3 3
Rodney Josue Biezuner 48
Portanto, no referencial inercial da Enterprise, sua explosao ocorre antes que os Klingons disparem o
torpedo. Na verdade, se formos interpretar os eventos ocorridos no diagrama de espacotempo da Enterprise,
ela misteriosamente explode ao mesmo tempo que dispara um novo torpedo fotonico em orientacao reversa
(propulsor superluz na frente da ogiva) na direcao do planeta Shalimar, torpedo este que miraculosamente
entra no lancador dos Klingons sem causar-lhes quaisquer danos. O Imperio Klingon usa esta interpretacao
dos dados para acusar a Federacao de duplicidade e de ela ter causado o reincio das hostilidades, disparando
um torpedo defeituoso a partir da nave dos negociadores que causou a destruicao da propria nave estelar
agressora, mas que por sorte foi capturado pelos Klingons antes de causar danos.
Em geral, se algum objeto material ou sinal puder exceder a velocidade da luz, a ordem cronologica de
eventos sera alterada em algum referencial inercial. De fato, se isso ocorre, a trajetoria no espacotempo
do objeto material ou sinal tera uma inclinacao menor que 45 em relacao ao eixo x. Logo, existira um
referencial inercial em que estes eventos ocorrem simultaneamente. E quando observados a partir de qualquer
referencial inercial movendo-se com uma velocidade maior que este segundo referencial, a ordem cronologica
dos eventos sera alterada. Por exemplo, no diagrama espacotempo abaixo, o evento A e a emissao de um
sinal ou lancamento de um objeto (projetil) acima da velocidade da luz e o evento B e a recepcao deste sinal
ou projetil. E facil ver no referencial inercial (t, x) que o sinal ou objeto viaja acima da velocidade da luz,
pois a sua trajetoria tem inclinacao menor que a inclinacao da trajetoria de um raio de luz neste referencial.
Obtemos entao um referencial inercial (t0 , x0 ) em que esta trajetoria e paralela as linhas de simultaneidade
neste referencial; isso significa que os eventos A e B ocorrem simultaneamente neste referencial. Ou seja, nos
deparamos com um sinal instantaneo (comunicacao instantanea) ou com o teletransporte instantaneo de um
objeto material. Ja no referencial inercial (t00 , x00 ), o evento B ocorre antes do evento A: o sinal ou objeto
foi primeiro recebido e depois foi enviado.
Rodney Josue Biezuner 49
O observador que segue a trajetoria permanece em repouso durante todo o tempo, isto e, os eventos A
e B ocorrem na mesma posicao em seu referencial inercial. Portanto, como ja vimos antes, o tempo proprio
medido no seu referencial e exatamente
tB tA .
O observador que segue a trajetoria curva no espacotempo claramente nao esta em um referencial inercial,
ja que o proprio fato da sua trajetoria ser curva em relacao a um referencial inercial mostra que ele sofre
aceleracao ao longo de sua trajetoria. Por outro lado, faz sentido comparar o tempo proprio que ele mede
(em seu referencial nao inercial), ou seja, quanto tempo se passa medido no seu relogio de pulso ou no seu
relogio biologico. Dividindo a sua trajetoria em segmentos infinitesimais e usando a metrica de Lorentz,
conclumos como na figura que em cada um destes segmentos da sua trajetoria vale
2 2 2 2
( ) = (t) (x) 6 (t) ,
ou seja,
6 t.
Somando (integrando) as contribuicoes destes segmentos infinitesimais ao longo da trajetoria toda, con-
clumos que o tempo proprio medido seguindo-se a trajetoria e menor que o tempo proprio medido ao
longo da trajetoria , onde o observador encontra-se em repouso. Mais precisamente, podemos escrever
" 2 #
2 2 2 x 2
( ) = (t) (x) = 1 (t) ,
t
de modo que p
= 1 v 2 t,
donde Z tB p
AB = 1 v 2 dt.
tA
Da, como 1 v 2 < 1, segue que Z tB
AB < dt = tAB .
tA
Embora acabamos de ver isso apenas no caso em que o observador encontra-se em repouso, isto e, eventos A
e B ocorrem no mesmo referencial, e facil obter a mesma conclusao no caso geral, fazendo-se uma mudanca
de coordenadas.
anos. Para efeitos dramaticos, se um dos astronautas tivesse um irmao gemeo na epoca que partiu da Terra
e este tivesse permanecido la, quando ele retornar, o irmao gemeo terrestre tera envelhecido 202 anos (mas
talvez nao tenha morrido, pois se foi desenvolvida tecnologia para viajar a velocidades proximas da luz, e
possvel que tambem foi desenvolvida tecnologia para permitir as pessoas viverem consideravelmente mais
tempo) enquanto que o irmao gemeo astronauta tera envelhecido apenas 40 anos.
O paradoxo dos gemeos e o seguinte: como todos os referenciais inerciais sao equivalentes, na primeira
parte da viagem, da Terra a Canopus, o astronauta mede no referencial inercial Nave que a Terra viajou
para um ponto situado a 99 anos-luz de distancia de sua posicao a uma velocidade 99/101 da luz, levando
portanto 101 anos para atingir aquela posicao, enquanto que do ponto de vista do referencial Terra, so se
passaram 20 anos; na segunda parte da viagem, a Terra retornou a posicao que o espaconave ocupa, tendo
gastado novamente 101 anos de acordo com o referencial Nave e 20 anos de acordo com o referencial Terra.
Portanto, passaram-se 202 anos na espaconave e apenas 40 anos na Terra, exatamente o contrario do que
havamos concludo no paragrafo anterior.
A resolucao trivial deste paradoxo e que enquanto o referencial Terra e de fato um referencial inercial pois
permanece em repouso (relativamente) durante toda a viagem, o referencial Nave e um referencial inercial na
primeira parte da viagem, mas e um referencial inercial diferente na segunda parte da viagem. No momento
em que ele muda a direcao do seu movimento para retornar para a Terra, ele deixa de ser um referencial
inercial, ele passa de um referencial inercial para outro.
Mas ainda ha duas questoes interessantes a resolver:
1. Sera que os calculos que fizemos anteriormente ainda estao corretos, isto e, decorreram-se 202 anos
na Terra e apenas 40 anos na espaconave, ou a aceleracao que a espaconave sofreu quando mudou de
direcao para retornar a Terra afeta os calculos?
2. A questao anterior pode ser resolvida no ambito da Teoria da Relatividade Especial, que trata apenas
de referenciais inerciais em movimento retilneo uniforme um com relacao ao outro, ou, ja que existe
uma aceleracao envolvida na mudanca da direcao da espaconave, esta questao so pode ser resolvida no
ambito da Teoria da Relatividade Geral que, como veremos, trata tambem de referenciais acelerados?
Em [Taylor-Wheeler], Box 4-1, p. 132, os autores afirmam categoricamente que nao ha necessidade de se
usar a Teoria da Relatividade Geral. Ja em [Stephani], Secao 3.4, pp. 2021, o autor afirma que para uma
resposta confiavel, e necessario recorrer a Teoria da Relatividade Geral. Ambos estao corretos.
A Teoria da Relatividade Especial se aplica apenas a observacoes (medicoes) feitas em referenciais iner-
ciais, de modo que nao podemos realmente dizer o que aconteceu com o astronauta durante o processo de
aceleracao. Mas, supondo que podemos tornar o processo de aceleracao tao curto quanto quisermos, po-
demos considerar um salto instantaneo de um referencial para o outro. Acompanhe a nossa discussao no
diagrama espacotempo a seguir. O referencial inercial da Terra tem coordenadas (t, x), o referencial inercial
da nave na ida tem coordenadas (t0 , x0 ) e o referencial inercial da nave na volta tem coordenadas (t00 , x00 ). O
salto entre referenciais inerciais ocorre no evento B (chegada da nave a Canopus e, simultaneamente, partida
de volta para a Terra). Imediatamente na chegada a Canopus, o evento B e simultaneo ao evento D na
Terra. Com a mudanca instantanea de referenciais (mudanca instantanea da direcao da trajetoria da nave),
o tempo medido na Terra da um salto de D para E (observe as linhas de simultaneidade; a linha inferior
e a linha de simultaneidade no referencial inercial da nave na ida, isto e, os eventos C e D sao simultaneos
neste referencial, e a linha de simultaneidade superior e a linha de simultaneidade do referencial inercial da
nave na volta, isto e, os eventos C e E sao simultaneos neste outro referencial; os eventos D e E nao estao
em escala no eixo t, pois, como veremos a seguir, eles estao relativamente muito proximos dos eventos A e
C, respectivamente). Por causa deste efeito, o astronauta sera mais jovem que o seu irmao gemeo quando
retornar a Terra.
Rodney Josue Biezuner 52
Vamos determinar a localizacao no espacotempo dos eventos D, E nas coordenadas do referencial inercial
Terra para calcular o tempo decorrido la entre a partida da nave e o seu retorno. Para isso vamos encontrar
as equacoes para as linhas de simultaneidade nas coordenadas (t, x). O fator de dilatacao do tempo e
1 1 101
= =s 2 = 20 .
1 v2
99
1
101
Como
t0
v t
= ,
x0 v x
obtemos a equacao para a linha de simultaneidade inferior
101 99
t0 = t vx = t x,
20 20
isto e, como t0D = 20,
101 99
20 = t x.
20 20
Como xD = 0, segue que que
400
tD = = 3, 96,
101
ou seja, quando a nave chega em Canopus depois de 20 anos, como medido no seu referencial, ela mede
que transcorreram 3, 96 anos na Terra. Quando a nave salta de referencial, apos mudar de direcao, a linha
de simultaneidade superior tem inclinacao igual e com sinal oposto ao da linha de simultaneidade inferior.
Como a posicao do evento C no referencial Terra e (tC , xC ) = (202, 0), pois o ponto medio da trajetoria
da Terra no espacotempo tem posicao (101, 0), simultaneo ao evento B no referencial inercial Terra, como
vimos, segue por simetria que
tE = 202 3, 96 = 198, 04,
Rodney Josue Biezuner 53
ou seja, nesta mudanca instantanea de referenciais ha um salto na medida do tempo transcorrido na Terra
conforme a nave mede: o tempo na Terra conforme medido no novo referencial inercial da nave na volta e
que transcorreram na Terra 198, 04 anos. Assim, quando a nave retorna a Terra, transcorreram na Terra
202 anos, enquanto que na nave transcorreram apenas 40 anos.
E claro que este salto na contagem de tempo e fisicamente impossvel, assim como e fisicamente impossvel
uma mudanca instantanea na direcao da nave. Numa situacao fsica real, a nave levaria algum tempo para
mudar de direcao, de modo que a sua trajetoria no espacotempo seria uma curva diferenciavel, com as linhas
de simultaneidade mudando de forma contnua a medida que a nave desacelera e acelera para mudar de
direcao. Teramos entao uma trajetoria curva que, como vimos na Secao 3.3, tem um tempo proprio menor
que o tempo medido na trajetoria reta entre os eventos A e C; uma analise detalhada do paradoxo dos
gemeos ao longo deste argumento pode ser vista em [Ferraro], Secao 4.5, pp. 103107.
A historia do paradoxo dos gemeos comeca no ano 1911 e foi um dos fenomenos mais discutidos e
incompreendidos da teoria, mas a ocorrencia do fenomeno foi confirmada experimentalmente um numero
enorme de vezes, de forma direta depois da invencao dos relogios atomicos em 1949 (relogios atomicos em
avioes marcaram um tempo menor do que o decorrido no chao entre decolagem e aterrisagem). Veja [Topper],
pp. 77-78, 127129 (a resolucao de Einstein usando a Teoria da Relatividade Geral; aceleracao, assim como
a gravidade, faz com que o tempo ande mais devagar), pp. 145146 (uma comprovacao atraves dos inumeros
experimentos realizados em aceleradores de partculas em circuito fechado).
Captulo 4
Momento-Energia
4.1 4-Vetores
Tanto na Teoria da Relatividade Especial quanto na Geral, e conveniente descrever o movimento de um
objeto em um referencial inercial (em Relatividade Especial) ou em um sistema de coordenadas geral (em
Relatividade Geral) em coordenadas do espacotempo dependendo do seu tempo proprio , isto e, de acordo
com o tempo medido em seu proprio referencial, e portanto independente de referencial. Assim, em um
referencial inercial a trajetoria de uma partcula livre e uma curva parametrizada pelo tempo proprio
( ) = (t ( ) , x ( ) , y ( ) , z ( )) ,
e a geodesica que uma partcula livre segue no espacotempo curvo seria parametrizada pelo tempo proprio
( ).
Vetores no espacotempo tem 4 coordenadas e para distingui-los dos vetores espaciais (projecoes espaciais),
sao frequentemente chamados de quadrivetores ou 4-vetores. Assim, temos o quadrivetor deslocamento,
ou seja deslocamento no espacotempo
s = (t, x, y, z)
e o quadrivetor velocidade
ds dt dx dy dz
u= = , , , , (4.1)
d d d d d
ou 0 ( ) para uma trajetoria curva ( ) no espacotempo. O quadrivetor velocidade e por definicao tangente
a trajetoria da partcula no espacotempo.
Observe que se a trajetoria do objeto no espacotempo e uma curva, o seu referencial proprio obviamente
nao e um referencial inercial. Entretanto, em cada instante de tempo existe um referencial inercial que tem
a mesma velocidade que o objeto; este referencial inercial que comove com o objeto e temporario, pois no
proximo instante de tempo ele nao esta mais se comovendo com o objeto. Ele e chamado o seu referencial
comovente temporario (em ingles: momentarily comoving reference frame (MCRF)). O quadrivetor veloci-
dade em um determinado instante de tempo (tangente a trajetoria da partcula naquele instante de tempo)
e justamente o vetor base e0 do seu referencial comovente temporario naquele momento.
Como o tempo proprio do objeto e o tempo t de um referencial inercial arbitrario estao relacionados
atraves da equacao p
= 1 v 2 t, (4.2)
onde v e a velocidade espacial do objeto em relacao a este referencial inercial (v = kvk), isto e,
dx dy dz
v= , , ,
dt dt dt
54
Rodney Josue Biezuner 55
segue que p
d = 1 v 2 dt,
e portanto as coordenadas do quadrivetor velocidade no referencial inercial tambem podem ser escritas na
forma
1 dx dy dz 1
u= 1, , , = (1, v)
1 v2 dt dt dt 1 v2
ou
1 1
u= (1, v x , v y , v z ) = (1, v) . (4.3)
1v 2 1 v2
Observe que quando v << 1 temos t e
u (1, v x , v y , v z ) = (1, v) ,
u = (1, 0, 0, 0) .
pois
1 1
hu, ui = (1, v x , v y , v z ) , (1, v x , v y , v z )
1 v2 1 v2
1 h x 2 y 2 z 2
i
= 1 + (v ) + (v ) + (v )
1 v2
1
1 + v 2
= 2
1v
= 1.
4.2 Momento-Energia
4.1 Definicao. Se m e a massa de um objeto, definimos o quadrivetor momento-energia
P = mu. (4.5)
de modo que
2
kPk = m2 . (4.6)
Rodney Josue Biezuner 56
Note que a massa m de um objeto, sendo a norma do quadrivetor momento-energia (um vetor do espacotempo
de Minkowski), tem o mesmo valor em qualquer referencial inercial. Em outras palavras, ela nao depende
da velocidade do referencial: massa nao aumenta com a velocidade e na teoria da relatividade nao se define
massa relativstica (veja [Okun1] para uma exposicao clara, incluindo a origem historica deste termo e
ate seu uso inicial por Einstein para inferir a atracao da luz por uma massa gravitacional (ele raciocinou
que fotons teriam massa m = E/c2 ), antes de formular a Teoria da Relatividade Geral, quando abandonou
essa ideia inconsistente, e uma coletanea de artigos criticando os conceitos de massa de repouso e massa
relativstica em [Okun2]). Por outro lado, massa e mais facilmente medida em um referencial em que o
objeto esta em repouso.
Se m = 0, entao P e um vetor do tipo luz, e consequentemente u tambem e, donde v = 1. Portanto,
fotons nao possuem massa.
4.2 Definicao. A componente temporal do quadrivetor momento-energia e chamada a energia rela-
tivstica E do objeto e sua projecao espacial o seu momento relativstico p.
Assim,
m
E= ,
1 v2
mv x mv y mv z
m
p= v= , , ,
1 v2 1 v2 1 v2 1 v2
de modo que
m2 = E 2 p2 . (4.7)
Note que tanto a energia relativstica quanto o momento relativstico dependem do referencial, ja que sao
componentes (coordenadas) de um quadrivetor. Observe tambem que massa nao e a mesma coisa que energia:
energia e a componente temporal do quadrivetor momento-energia, enquanto que massa e a magnitude deste
vetor. Apenas que, em relatividade, elas sao medidas com as mesmas unidades de medida (quilogramas), da
mesma forma que tempo e espaco em relatividade sao medidos com as mesmas unidades de medida (metros),
apesar de nao serem a mesma coisa.
Em unidades do espacotempo (ct, x, y, z) em que a velocidade da luz e c e nao normalizada para 1, a
relacao entre o tempo proprio e o tempo em um referencial inercial arbitrario e
r v 2
= 1 t
c
e o quadrivetor velocidade tem coordenadas
1 x y z 1
u= r v 2 (c, v , v , v ) = r v 2 (c, v) ,
1 1
c c
de modo que o momento-energia e
m x y z m
P= r v 2 (c, v , v , v ) = r v 2 (c, v) ,
1 1
c c
mas a energia relativstica e
mc2
E=r v 2
1
c
Rodney Josue Biezuner 57
E0 = mc2
para a energia de repouso; ou seja, a energia de um objeto nao desaparece quando ele esta em repouso, como
na mecanica de Newton, mas ao contrario e enorme (por causa do fator c2 ).
Captulo 5
Aceleracao no Espacotempo de
Minkowski
58
Captulo 6
59
Captulo 7
O Princpio de Equivalencia
Geodesicas no Espacotempo Curvo
60
Rodney Josue Biezuner 61
7.1.1 Inercia
Antes, porem, e necessario considerar o conceito de inercia e as trajetorias que as partculas livres per-
correm no espacotempo. Isso nos guiara na motivacao dos conceitos necessarios para o desenvolvimento do
espacotempo curvo (variedade de Lorentz) fsico alem da simples colagem de espacos tangentes de Minkowski.
Newton aceitou o Princpio da Relatividade Galileana: nao existe repouso e movimento uniforme absoluto.
Mas existe a aceleracao absoluta e ela e a justificativa para a existencia do espaco absoluto. A aceleracao
absoluta e em relacao a este espaco. Alem disso, a inercia e uma medida da resistencia de um corpo a sofrer
uma aceleracao, e esta e dada pela massa do corpo.
No espacotempo plano de Minkowski as geodesicas sao retas. Quaisquer trajetorias curvas implicam na
existencia de uma aceleracao e portanto de uma forca agindo. A aceleracao e absoluta, mas nao e necessario
postular um espaco absoluto para entende-la. Ela existe no espacotempo absoluto de Minkowski.
No espacotempo curvo da Relatidade Geral, partculas que se movem apenas por inercia, sem sofrer
a acao de forcas, tambem se movem ao longo de geodesicas. Na geometria de Lorentz elas nao sofrem
qualquer alteracao de direcao, isto e, as partculas que seguem trajetorias geodesicas no espacotempo nao
sofrem aceleracao (nao estao sujeitas a acao de forcas). Elas se movem por inercia, seguindo as trajetorias
geodesicas do espacotempo. Apenas as geodesicas do espacotempo curvado da relatividade geral sao curvas,
logo na projecao tridimensional existe uma aceleracao. Alem disso, devido a curvatura do espacotempo, as
trajetorias geodesicas se aproximam, o que era interpretado como os corpos se atraindo sujeitos a forca da
gravidade. Isso nao existe no espacotempo curvo. Portanto, nao existe uma forca de gravidade: a gravidade
e apenas uma manifestacao da curvatura do espacotempo.
Forcas so existem quando as partculas sao impedidas de percorrer sua trajetoria geodesica no espacotempo.
Por exemplo, quando um corpo esta apoiado sobre o chao, impedido de cair, impedido de seguir a sua tra-
jetoria geodesica natural no espacotempo curvado.
Captulo 8
Topologia Diferencial
= { }A
= 1 1 1
: (V ) (V ) ,
1
= 1 1
: (V ) (V ) ,
62
Rodney Josue Biezuner 63
de estrutura diferenciavel, do que definir estruturas diferenciaveis como classes de equivalencia de atlas com-
patveis, ou seja, de atlas tais que as cartas de sao todas compatveis com as cartas do outro; uma funcao
definida em uma variedade diferenciavel e diferenciavel (veremos a definicao logo a seguir) com relacao a dois
atlas diferentes se e somente se eles sao compatveis, portanto atlas compatveis definem a mesma estrutura
diferenciavel neste sentido. Se uma variedade topologica possui uma estrutura diferenciavel (toda variedade
topologica de dimensao n 6 3 possui, mas para toda dimensao n > 4 existem variedades topologicas compac-
tas que nao possuem) ela possui uma quantidade nao enumeravel de estruturas diferenciaveis (veja [Lee 1],
p. 30, Problem 1.6). Por outro lado, a estrutura diferenciavel de uma variedade diferenciavel e unica, no
sentido que todo atlas diferenciavel esta contido em um unico atlas maximal (para uma demonstracao, veja
[Lee 1], p. 13, Proposition 1.17).
Surpreendentemente, a condicao de ser de Hausdorff (que assegura, entre outras coisas, que conjuntos
finitos de pontos sao fechados e que limites de sequencias convergentes sao unicos) nao e implicada pela
definicao (veja Exerccio 8.44). A condicao de possuir uma base enumeravel garante a existencia de particoes
da unidade. Por outro lado, dado um conjunto X, uma estrutura diferenciavel sobre X determina uma
topologia para X (veja Exerccio 8.45). Observe que toda variedade diferenciavel e localmente conexa por
caminhos e que uma variedade diferenciavel e conexa se e somente se ela e conexa por caminhos (Exerccio
8.46). Alem disso, toda variedade diferenciavel e paracompacta, isto e, toda cobertura de uma variedade
diferenciavel por abertos admite uma subcobertura localmente finita; mais que isso, esta subcobertura pode
ser tomada enumeravel (veja [Lee 1] para demonstracoes destas afirmacoes).
Quando nos referirmos a uma variedade diferenciavel, assumimos que ela esta munida de uma estrutura
diferenciavel. Denotaremos as vezes uma variedade diferenciavel M de dimensao n por M n quando for
necessario especificar a dimensao da variedade. Tambem denotaremos uma carta do atlas por (, U ) quando
a sua imagem nao for importante nas consideracoes.
f : U Rn Rk
f = f 1
C (M ) = {f : M R : f e diferenciavel} .
C (M ) e um espaco vetorial porque a combinacao linear de funcoes diferenciaveis e uma funcao diferenciavel.
Rodney Josue Biezuner 64
1 F : U Rm Rn
e1 F
e = (e1 ) 1 F 1
e
e 1 ,
e e1 sao difeomorfismos. A aplicacao 1 F e uma representacao de F em coordenadas.
Ressaltamos de novo que o que definimos como funcao diferenciavel e aplicacao diferenciavel sao chamadas
funcao suave e aplicacao suave em outros lugares.
8.5 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M N e um difeomorfismo se F e um
homeomorfismo e F 1 tambem e diferenciavel.
Se existir um difeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis M e N , dizemos que elas sao difeomor-
fas.
Se duas variedades diferenciaveis sao difeomorfas, em particular elas possuem a mesma dimensao.
O conceito de difeomorfismo leva naturalmente a perguntar se, dada uma variedade diferenciavel, estru-
turas diferenciaveis diferentes sobre ela definem sempre duas variedades diferenciaveis difeomorfas ou nao.
A resposta e que para variedades diferenciaveis de dimensao n 6 3 existe apenas uma estrutura diferenciavel
a menos de difeomorfismo, enquanto que mesmo R4 tem um numero nao enumeravel de estruturas dife-
renciaveis nao difeomorfas; sabe-se que esferas de dimensao ate n = 20, n 6= 4, possuem um numero finito de
estruturas diferenciaveis a menos de difeomorfismo e este numero e conhecido (veja referencias em Wikipedia
e [Lee 1], p. 40). Quantas estruturas diferenciaveis difeomorfas S4 possui (ou mesmo se este numero e maior
que 1 ou finito) e uma questao em aberto, a conjectura de Poincare generalizada.
Uma das aplicacoes diferenciaveis mais importantes entre variedades sao as curvas diferenciaveis:
8.6 Definicao. Uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao diferenciavel
: I M onde I R e um intervalo.
8.8 Teorema (Existencia de Particoes da Unidade). Toda cobertura por abertos de uma variedade
diferenciavel possui uma particao da unidade subordinada.
8.10 Corolario (Lema de Extensao). Dados um fechado A, um aberto V A em uma variedade dife-
renciavel M e uma funcao diferenciavel f : A Rk existe uma extensao diferenciavel fe : M Rk de f
tal que supp fe V .
Em particular, se (, U ) e uma carta local e V (U ), qualquer funcao diferenciavel f : V Rk
pode ser estendida a uma funcao diferenciavel fe : M Rk com supp fe (U ).
Prova: Para a primeira parte veja [Lee 2], p. 45, Lemma 2.26. A segunda parte segue imediatamente da
primeira, ja que V U e fechado.
temos que
dx1 dxn
0
(t) = (t) , . . . , (t) ,
dt dt
e em particular
dx1 dxn
v = 0 (t0 ) = (t0 ) , . . . , (t0 ) .
dt dt
Se f : Rn R e uma funcao diferenciavel em p, entao a derivada direcional de f em p na direcao de v e
dada pela regra da cadeia por
n
" n #
i X dxi
0
X f dx
(f ) (t0 ) = df(t0 ) 0 (t0 ) = (p) (t0 ) = (t0 ) i f (p) ,
i=1
xi dt i=1
dt x
o que significa que a derivada direcional na direcao de v pode ser vista como um operador linear sobre funcoes
diferenciaveis que depende apenas do vetor v.
Rodney Josue Biezuner 66
8.11 Definicao (Preliminar). Seja : I M uma curva diferenciavel com (t0 ) = p. O vetor
tangente a curva em p e uma funcao vp : C (M ) R definida por
0
vp (f ) = (f ) (t0 ) .
Um vetor tangente a variedade M em p e qualquer vetor tangente a uma curva diferenciavel passando
por p.
Ou seja, cada curva diferenciavel em M passando por p da origem a um vetor tangente em p. E claro que
curvas diferenciaveis diferentes , : I M com (t0 ) = (s0 ) = p podem dar origem ao mesmo vetor
tangente: basta que
0 0
(f ) (t0 ) = (f ) (s0 )
para todo f .
onde denotamos 1 (t) = x1 (t) , . . . , xn (t) em coordenadas locais. Segue que para todos f, g
segue que
n
X dxi
vp = (t0 ) i |p .
i=1
dt
Reciprocamente, se v e o funcional linear
n
X
vp = ci i |p ,
i=1
Finalmente, se
n
X
ci i |p = 0,
i=1
entao
n
X (f )
ci (x0 ) = 0
i=1
xi
para todo f C (M ). Definindo para cada j
fj x1 , . . . , xn = xj
Note que nesta definicao o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p M forma naturalmente um espaco
vetorial real, pois e um subespaco do espaco vetorial dos funcionais lineares em C (M ):
(vp + wp ) (f g) = vp (f g) + wp (f g)
= vp (f ) g (p) + f (p) vp (g) + wp (f ) g (p) + f (p) wp (g)
= [(vp + wp ) (f )] g (p) + f (p) [(vp + wp ) (g)] .
Mas a dimensao deste espaco nao e imediatamente obvia. Alem disso, nao e claro que todo vetor tangente
segundo esta definicao e um vetor tangente segundo a definicao anterior. Embora seja consequencia das
Proposicoes 8.12 e 8.13 que vetores tangentes a curvas sao funcionais lineares em C (M ) que sao derivacoes,
logo o espaco vetorial dos vetores tangentes segundo a definicao anterior e um subespaco vetorial do espaco
vetorial dos vetores tangentes segundo a nova definicao, ainda nao sabemos que todo todo funcional linear
em C (M ) que e uma derivacao e o vetor tangente a alguma curva. Isso provara ser verdade quando
provarmos que o espaco vetorial dos funcionais lineares em C (M ) que sao derivacoes tambem tem dimensao
n (Proposicao 8.22). Em outras palavras, as duas definicoes nao sao apenas equivalentes, mas de fato definem
o mesmo conceito de vetor tangente. De agora em diante, utilizaremos a Definicao 8.14 para vetor tangente.
Apesar dos vetores tangentes (derivacoes) estarem definidas no espaco global C (M ), o proximo resul-
tado mostra que a sua atuacao e local.
8.16 Proposicao. Seja vp : C (M ) R um vetor tangente. Se f, g C (M ) coincidem em uma
vizinhanca de p, entao vp (f ) = vp (g).
Rodney Josue Biezuner 69
dFp : Tp M TF (p) N
definida por
[dFp (vp )] (f ) = vp (f F )
para todo f C (N ).
Note que como f C (N ) e F e de classe C , f F C (M ). dFp (v) e uma derivacao em F (p) porque
Prova: Provaremos a segunda parte; a primeira parte e deixada como exerccio. Por definicao, para todo
f C (P )
h i
d (G F )p (vp ) (f ) = vp (f (G F )) = vp ((f G) F ) = dFp (vp ) (f G)
= dGF (p) (dFp (vp )) (f ) .
8.20 Corolario. Se F : M N e um difeomorfismo, entao dFp e um isomorfismo para cada p M e
1
d F 1 F (p) = (dFp ) .
8.23 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e : U M uma carta de uma vizinhanca de um
ponto p M . A base obtida na demonstracao da Proposicao 8.12 sera chamada a base coordenada do
espaco tangente Tp M associada a carta e denotada por
1 |p , . . . , n |p
ou por
,...,
x1 p xn p
quando for conveniente ou necessario explicitar as coordenadas da carta.
8.4 Coordenadas
8.4.1 Diferencial em Coordenadas
Seja B = {e1 , . . . , en } a base canonica de Rn . Se : U Rn V e uma carta para uma vizinhanca
coordenada V de p = (x) M , a base coordenada associada a e tambem dada por
= dx (ei ) .
xi p
De fato, se f C (M ), entao
(f )
i
(f ) = (x) = ei (f ) = dx (ei ) (f ) .
x p xi
8.24 Definicao.
f (f )
(p) = (f ) = (x) .
xi xi p xi
Vamos ver agora como e a diferencial de uma aplicacao diferenciavel em coordenadas.
Primeiro recordaremos o caso em que as variedades sao espacos euclideanos. Denote por Bm = {e1 , . . . , em }
e Bn = {f1 , . . . , fn } as bases canonicas de Rm e Rn , respectivamente. Observe que se F : U Rm Rn
e uma aplicacao diferenciavel, entao dFx : Rm Rn e a derivada usual para cada x U e pela regra da
cadeia
m m
(f F ) X f F j X F j
dFx (ei ) (f ) = ei (f F ) = (x) = (F (x)) (x) = (x) fj (f ) ,
xi j=1
xj xi j=1
xi
ou seja,
n
X F j
dFx (ei ) = (x) fj .
j=1
xi
F 1 F 1
x1 . . .
. xm
J = .. ..
. =: [dFx ]Bm ,Bn .
F n F n
1
...
x xm
m
v i ei , entao
P
Ou seja, se v =
i=1
m n
"m #
j
i F
X X X
i
dFx (v) = v dFx (ei ) = v (x) fj ,
i=1 j=1 i=1
xi
isto e,
F 1 F 1
. . .
1
x1 xm v
. . ..
[dFx (v)]Bn = .
. .
. . = J [v]Bm .
F n F n v m
...
x1 xm
No caso geral, se F : M N e uma aplicacao diferenciavel, sejam : U Rm (U ) , : V
m n
n
R (V ) cartas de vizinhancas de p = (x) em M e de F (p) = (y) em N , respectivamente, de modo
que
Fe = 1 F : U Rm Rn .
Escrevendo
F = Fe
temos
! n j n
h i X F
e X Fej
dFp i
= dFp [dx (e i )] = dy d F
ex (e i ) = dy
i
(x) f j
= (x) dy (fj )
x
p x xi
j=1 j=1
n
!
Fej
X
= (x) .
j=1
xi y j F (p)
Rodney Josue Biezuner 72
Portanto, se
( )
Bp = ,..., .
x1 p xm p
( )
BF (p) = ,..., ,
y 1 F (p) y n F (p)
sao as bases coordenadas de Tp M e TF (p) N , respectivamente, entao a matriz que representa a diferencial
dFp em relacao a estas bases e
Fe1 Fe1
...
x1 xm
[dFp ]Bp ,BF (p) = ... ..
.
.
Fen Fen
...
x1 xm
T M = {(p, v) : p M e v Tp M }
com um atlas
= { : U Rn T M }A
definido por !
n
X
(x, v1 , . . . , vn ) = (x) , vi i (x) .
i=1
Na definicao acima, o proprio atlas define a topologia necessaria em T M (Exerccio 8.45).
. 1
Frequentemente identificamos o espaco total com o fibrado e dizemos simplesmente que E e o fibrado vetorial
sobre M . Fibrados tangentes sao exemplos de fibrados vetoriais.
8.27 Definicao. Seja E um fibrado vetorial de dimensao k sobre M . Uma secao de E e uma aplicacao
s : M E tal que s = Id|M .
(Xf ) (p) = Xp f
X (f g) = (Xf ) g + f (Xg)
para todos f, g C (M ).
As duas definicoes sao equivalentes. Usando a ultima definicao, podemos definir combinacoes lineares de
campos vetoriais de forma natural.
8.30 Notacao. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial dos campos vetoriais diferenciaveis
em M e denotado por T (M ).
Rodney Josue Biezuner 74
[dFp (Xp )] (f ) = Xp (f F ) ,
logo,
[X (f F )] (p) = Xp (f F ) = [dFp (Xp )] (f ) = YF (p) f = (Y f ) (F (p)) .
F (f X + gY ) = f F 1 F X + g F 1 F Y
[(F X) f ] F = X (f F )
ou, equivalentemente,
(F X) f = X (f F ) F 1 .
Prova:
F
M N
1
f .f F
R
Primeiro provamos a linearidade de F . No que se segue, q = F (p). Temos
e
[F (f X)]q = dFp (f X)p
= dFp (f (p) Xp )
= f (p) dFp (Xp )
= f F 1 (q) (F X)q .
: (, ) V M
Alem disso, para cada t fixado, t = (t, ) e um difeomorfismo e o fluxo e um grupo aditivo a um parametro,
isto e,
0 = id,
t+s = t s .
em coordenadas locais (veja Proposicao 8.37 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais de
segunda ordem, as quais nao sao vetores tangentes por nao satisfazerem a regra do produto. Para definir
calculo diferencial de ordem superior, e necessario o conceito de derivada covariante, que veremos no Captulo
11.
Por outro lado, a operacao
X Y Y X
define um campo vetorial.
Rodney Josue Biezuner 76
[X, Y ] = XY Y X.
[X, Y ] = X Y Y X,
ou seja,
[X, Y ]p f = Xp (Y f ) Yp (Xf ) .
O colchete de Lie e de fato um campo vetorial, pois
[X + Y, Z] = [X, Z] + [Y, Z] ,
[Z, X + Y ] = [Z, X] + [Z, Y ] .
F [X, Y ] = [F X, F Y ] .
Rodney Josue Biezuner 77
Prova: (i) e (ii) sao imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos
[f X, gY ] h = f [X (g (Y h))] g [Y (f (Xh))]
= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)] g [(Y f ) (Xh)] g [f Y (Xh)]
= f gX (Y h) gf Y (Xh) + f [(Xg) (Y h)] g [(Y f ) (Xh)]
= f g (XY Y X) h + [f (Xg) Y ] h [g (Y f ) X] h
= [f g [X, Y ] + f (Xg) Y g (Y f ) X] h.
(XY ) (f F ) = X [Y (f F )] = X [(F Y ) f F ] = (F X) (F Y ) f F
e, analogamente,
(Y X) (f F ) = (F Y ) (F X) f F.
Logo,
(F [X, Y ]) f = [X, Y ] (f F ) F 1
= (XY Y X) (f F ) F 1
= [(F X) (F Y ) (F Y ) (F X)] f F F 1
= [F X, F Y ] f.
Uma algebra de Lie e um espaco vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicacao bilinear)
anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Captulo 10). Portanto, esta proposicao mostra
que T (M ) com a operacao colchete e uma algebra de Lie.
8.37 Proposicao (Colchete de Lie em coordenadas locais). Se X, Y T (M ) sao campos vetoriais
que se expressam em coordenadas locais por
n n
X X
X= Xi e Y = Yi ,
i=1
xi i=1
xi
entao
n
Y j X j
X
[X, Y ] = Xi i Y i i
,
i,j=1
x x xj
Rodney Josue Biezuner 78
Em particular,
, =0
xi xj
para todos i, j.
Prova: Temos
n
! n X n X n
X
i f X
i f i f f
X Yi
X (Y f ) = X Y i
= X Y i
= Y X i
+ i
i=1
x i=1
x i=1
x i=1
x
n n 2 n n i
X X f X f X Y
= Yi Xj j i + i
Xj j
i=1 j=1
x x i=1
x j=1
x
n n
X 2f X i
j Y f
= XjY i + X
i,j=1
xj xi i,j=1 xj xi
e, por simetria,
n n n n
X 2f X i
j X f
X 2
j i f
X X i f
Y (Xf ) = Y jXi j i
+ Y j i
= X Y i j
+ Yj j .
i,j=1
x x i,j=1
x x i,j=1
x x i,j=1
x xi
Como
2f 2f
= ,
xi xj xj xi
os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X, Y ] f = X (Y f )
Y (Xf ) e a expressao do enunciado e obtida trocando os ndices i, j.
Na linguagem de pushforwards,
[(t ) Y ]p Yp
(LX Y )p = lim .
t0 t
A definicao de derivada de Lie nao e operacionalmente util, ja que em geral e muito difcil e mesmo
impossvel obter o fluxo explicitamente. Felizmente, como veremos agora, a derivada de Lie coincide com o
colchete de Lie e este e muito facil de calcular.
8.39 Teorema (Interpretacao Geometrica do Colchete de Lie). Se X, Y T (M ) sao campos veto-
riais, p M e t e o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M entao
[X, Y ] = LX Y.
Prova: Primeiro observe que se g : (, ) V R e uma funcao diferenciavel tal que
g (0, q) = 0 para todo q V,
entao existe uma aplicacao diferenciavel h : (, ) V R tal que
g (t, q) = th (t, q) .
De fato, basta definir Z 1
g
h (t, q) = (ts, q) ds
0 s
e notar que, pelo Teorema Fundamental do Calculo,
Z 1 Z 1
g
th (t, q) = t (ts, q) ds = [g (ts, q)] ds
0 s 0 s
s=1
= [g (ts, q)]s=0 = g (t, q) g (0, q)
= g (t, q) .
Em particular, segue que
g
(t, q) = h (0, q) .
t t=0
Seja agora f C (M ). Defina g : (, ) V R por
g (t, q) = f (q) f (t (q)) ,
ou, em notacao funcional,
g (t, ) = f f t .
Entao g (0, q) = f (q) f (0 (q)) = f (q) f (q) = 0, de modo que a observacao que fizemos no incio da
demonstracao se aplica e existe uma aplicacao diferenciavel h : (, ) V R tal que
f (t (q)) = f (q) th (t, q)
isto e,
f t = f th (t, )
e, alem disso (por definicao de vetor tangente, lembrando que t e uma curva diferenciavel, trajetoria do
fluxo do campo X na direcao reversa),
g (f t )
h (0, q) = (t, q) =
t t=0 t
t=0
t (q)
= f = X(0,q) f
t t=0
= Xq f.
Rodney Josue Biezuner 80
Da (na primeira equacao na demonstracao da Proposicao 8.31 substitua F por t e p por t (p)),
h i
[dt ]t (p) Yt (p) f = Yt (p) (f t ) = Yt (p) f tYt (p) (h (t, )) .
Portanto,
h i
[dt ]t (p) Yt (p) f Yp f
(LX Y )p f = lim
t0 t
Yt (p) f tYt (p) (h (t, )) Yp f
= lim
t0 t
Yt (p) f Yp f
= lim lim Yt (p) (h (t, ))
t0 t t0
(Y f ) (t (p)) (Y f ) (p)
= lim Yp (h (0, ))
t0
t
t (p)
= (Y f ) Yp (h (0, ))
t t=0
= Xp (Y f ) Yp (Xf )
= [X, Y ]p f.
Portanto, o colchete de Lie de dois campos vetoriais e a derivade de Lie. E a derivada de Lie e a derivada
direcional do segundo campo vetorial ao longo do fluxo do primeiro; ela nao e uma derivada direcional no
senso exato do termo, porque ela nao depende apenas da direcao do primeiro campo, ou seja, nao podemos
usar qualquer curva tangente ao primeiro campo para calcula-la, mas apenas uma trajetoria do campo. A
principal diferenca entre a derivada de Lie e a derivada covariante (que e uma derivada direcional na correta
assumpcao da palavra) esta entao resumida nas Proposicoes 8.37 e 11.2: enquanto que a derivada covariante
(X Y )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a Xp , a
derivada de Lie (LX Y )p depende dos valores de X ao longo de uma curva tangente a Yp e do valor de Y ao
longo de uma curva tangente a Xp : de fato,
n
X
Xp Y i Yp X i
(LX Y )p = [X, Y ]p = ,
i=1
xi
e por definicao de vetor tangente, os coeficientes Xp Y 1 , . . . , Xp (Y n ) dependem dos
valores de Y ao longo
1 n
de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Xp e os coeficientes Yp X , . . . , Yp (X ) dependem
dos valores de X ao longo de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Yp ).
Outra diferenca importante entre a derivada de Lie e a derivada covariante e que em variedades rieman-
nianas esta e mais natural no seguinte sentido. Denotando q = t (p), na derivada de Lie o vetor Yq e trazido
ao longo da trajetoria do campo X para o espaco tangente Tp M , onde ele e subtrado do vetor Xp atraves
do operador linear (t ) . Em uma interpretacao geometrica que veremos na Proposicao 11.27, o vetor
Yq tambem e trazido ao longo da trajetoria do campo X para o espaco tangente Tp M , mas atraves de um
operador linear chamado transporte paralelo, que e interpretado, como o nome indica, como um operador
que nao muda a direcao do vetor original em um sentido que veremos em maiores detalhes no Captulo 11.
Assim, o conceito de derivada covariante esta mais proximo ao conceito de derivada direcional em Rn , onde
identificamos Tp Rn atraves de translacoes, que preservam as direcoes de vetores.
Mas e importante ressaltar que nenhuma das derivadas, tanto a derivada de Lie quanto a derivada
covariante, dependem apenas de Xp e Yp , ou seja, nenhum deles e um tensor, um conceito que veremos
no proximo captulo. Apesar disso, ambos aparecerao na definicao do segundo tensor mais importante em
Geometria Riemanniana, o tensor curvatura (o tensor mais importante e obviamente o tensor metrica).
Rodney Josue Biezuner 81
e o fluxo local do campo F X. Para provar este resultado, note primeiro que se f C (M ), entao por
definicao de vetor tangente
d f (t (p)) f (p)
Xp (f ) = f t (p) = lim
dt t=0
t0 t
porque a trajetoria t (p) e uma curva diferenciavel que tem Xp como vetor tangente em t = 0. Por definicao,
se q = F (p), temos
F X = X
se e somente se
F t = t F.
8.42 Teorema. Se X, Y T (M ) sao campos vetoriais e t , s sao os fluxos locais respectivos de X, Y em
uma vizinhanca V de M , entao
t s = s t
se e somente se
[X, Y ] = 0
em V .
Prova: Se t s = s t , como t e um difeomorfismo, segue do Corolario 8.41 que (t ) Y = Y , de
modo que
[(t ) Y ]p Yp Yp Yp
[X, Y ]p = (LX Y )p = lim = lim =0
t0 t t0 t
para todo p V .
Reciprocamente, se [X, Y ] = 0 em V , considere a curva : (, ) Tp M definida por
(t) = [(t ) Y ]p .
Rodney Josue Biezuner 82
(f )
d0 (ei ) (f ) = (0)
xi
16i6k
(f ) 0, . . . 0, h , 0, . . . , 0 f ( (0))
= lim
h0 h
f 10 . . . i1
0 i i+1
h 0 . . . k0 (0) f (0)
= lim
h0 h
f ih (0) f (0)
= lim
h0 h
= Ei (0) (f )
= ei (f ) ,
(f )
d0 (ei ) (f ) = (0)
xi
k+16i6n
(f ) 0, . . . 0, h , 0, . . . , 0 f ( (0))
= lim
h0 h
k+16i6n
f 10 20 . . . k0 . . . k0 0, . . . 0, h , 0, . . . , 0 f (0)
= lim
h0 h
k+16i6n
f 0, . . . 0, h , 0, . . . , 0 f (0)
= lim
h0 h
f
= (0)
xi
= ei (f ) ,
portanto
d0 (ei ) = ei
para i = 1, . . . , n. Segue que (x) = x1 , . . . , xn e um difeomorfismo local e portanto uma carta para uma
vizinhanca de p = 0.
Rodney Josue Biezuner 84
Observe que podemos calcular explicitamente dx (e1 ) para todo x e nao somente na origem, obtendo
(f )
dx (e1 ) (f ) = (x)
x1
(f ) x1 + h, x2 . . . , xn f ( (x))
= lim
h0 h
f 1x1 +h 2x2 . . . kxk 0, . . . 0, xk+1 , . . . , xn f ( (x))
= lim
h0 h
f 1x1 +h 2x2 (. . . (nxn (0)) . . .) f (0)
= lim
h0 h
= E1 (x) (f ) ,
ou seja,
E1 (x) = dx (e1 ) =
x1 x
para todo x onde a carta esta definida. Isso prova o resultado para i = 1.
Mas, pelo teorema anterior, como [Ei , Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1 , . . . , Ek comutam, isto
e,
it jt = it jt
para todos i, j = 1, . . . , k. Logo, para i = 2, . . . , k podemos escrever
para i = 2, . . . , k, para todo x onde a carta esta definida, terminando a demonstracao do resultado.
Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajetorias de campos linearmente independentes
E1 , . . . , En podem ser usadas para formar as retas coordenadas de um sistema de coordenadas (veja
[Spivak], Vol. I, pp. 220-221, para uma afirmacao mais precisa deste resultado).
8.11 Exerccios
8.44 Exerccio. Considere o subconjunto X = (R {0}) R+ {1} de R2 com a seguinte base para a
sua topologia:
(a) intervalos do tipo (a, b) {0}, a < b;
(b) intervalos do tipo (a, b) {1}, 0 6 a < b;
(c) unioes de intervalos do tipo [(a, 0) {0}] [(0, b) {1}], a < 0 < b.
Verifique que X possui uma base enumeravel, que conjuntos finitos de pontos sao fechados em X e que
todo ponto de X possui uma vizinhanca difeomorfa a um conjunto aberto de R. Observe que X nao e, no
entanto, um espaco de Hausdorff, porque os pontos (0, 0) e (0, 1) nao possuem vizinhancas abertas disjuntas.
= { }A
= 1 1 1
: (V ) (V ) ,
1
= 1 1
: (V ) (V ) ,
xk x U \1
(V ) ,
1 1
(xk ) y U \ (V ) .
Tensores
Temos
dx1 dxn
dx
= ,..., .
dt dt dt
Em um outro sistema de coordenadas y 1 , . . . , y n a curva e descrita por:
de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e dado por
1
dy n
dy dy
= ,..., .
dt dt dt
A regra da cadeia nos da como as coordenadas do vetor velocidade mudam de um sistema de coordenadas
para o outro:
n
dy i X y i dxj
= (9.1)
dt j=1
xj dt
para i = 1, . . . , n.
Considere agora o conceito do gradiente de uma funcao, usualmente identificado com um vetor. No
sistema de coordenadas x1 , . . . , xn , o gradiente e definido por
f f
x f (x) = (x) , . . . , (x)
x1 xn
enquanto que no sistema de coordenadas y 1 , . . . , y n o gradiente e dado por
f f
y f (x) = (x) , . . . , n (x)
y 1 y
Novamente, a regra da cadeia nos da como as coordenadas do gradiente mudam de um sistema de coordenadas
para o outro:
n
f X xj f
= (9.2)
y i j=1
y i xj
86
Rodney Josue Biezuner 87
para i = 1, . . . , n.
Comparando as expressoes (9.1) e (9.2), vemos que elas sao bem diferentes. Isso fica ainda mais claro se
considerarmos o Jacobiano da mudanca de coordenadas y = y (x),
i
y
J= (9.3)
xj
ou seja,
y 1 y 1
...
x1 xn
J = .. ..
.
. .
y n y n
...
x1 xn
Temos
dy dx
=J (9.4)
dt dt
enquanto que
T
y f = J 1 x f, (9.5)
pois
x1 x1
...
y 1 y n
dxi
J 1
=
= .. ..
.
dy j . .
xn xn
...
y 1 y n
Note que as leis de transformacao nao sao exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja que e
necessario transpor a matriz de mudanca de coordenadas. Observe tambem que para as formulas concidirem,
teramos que ter
T
J = J 1 ,
isto e, J precisaria ser uma transformacao ortogonal, o que equivale a requerer que os dois sistemas de
coordenadas x1 , . . . , xn e y 1 , . . . , y n sejam ortonormais, o que raramente ocorre.
O fato de que o gradiente de uma funcao sob uma mudanca de coordenadas transformar-se de uma maneira
diferente da de um vetor mostra que ele e um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivos na proxima
secao, vetores que se transformam de acordo com a expressao (9.1) sao chamados vetores contravariantes,
enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressao (9.2) sao chamados vetores covariantes
(ou simplesmente covetores).
As coordenadas de um vetor contravariante sao convencionalmente denotadas por superescritos:
v = v1 , . . . , vn ,
(9.6)
porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, aceleracao, etc., ou seja, vetores cujas di-
mensoes estao diretamente relacionadas as dimensoes das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-
dor (acima da barra da fracao), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sao convencionalmente
denotadas por subescritos:
v = (v1 , . . . , vn ) , (9.7)
porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra da
fracao), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimensoes que sao inversas as dimensoes das coordenadas.
Rodney Josue Biezuner 88
gradiente perfura as hiperfcies de nvel. Como no caso linear, a direcao do vetor gradiente e a direcao em
que mais hiperfcies de nvel sao perfuradas por unidade de distancia. Isso e quase equivalente a dizer que
o gradiente aponta na direcao em que a funcao cresce com maior rapidez (como se demonstra em Calculo),
pois perfurar as hiperfcies de nvel equivale a subir ou descer a montanha de contornos do grafico de f ,
dependendo do sentido escolhido.
Rodney Josue Biezuner 89
B = {e1 , . . . , en } ,
denotaremos por [v]B o vetor coluna cujos elementos sao as coordenadas do vetor v em relacao a base B, ou
seja, se
v = v i ei ,
entao
v1
[v]B = ... .
vn
Tambem abusaremos esta notacao as vezes, escrevendo [v]B = v 1 , . . . , v n .
9.1 Definicao. Sejam V um espaco vetorial real e
B1 = {e1 , . . . , en } ,
B2 = {f1 , . . . , fn } ,
duas bases para V . A matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e a matriz A tal
que
[v]B2 = A [v]B1 . (9.8)
Quando necessario, ela sera denotada por AB1 B2 .
9.2 Notacao. Denotaremos o elemento que ocupa a i-esima linha e a j-esima coluna de A por Aij .
Rodney Josue Biezuner 90
B1 = {e1 , . . . , en } ,
B2 = {f1 , . . . , fn } ,
duas bases para um espaco vetorial real V . Se A = Aij e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1
ei = Aji fj . (9.9)
ei = Aji fj , (9.10)
a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e contraria: como
[v]B1 = A1 [v]B2 ,
segue que se
[v]B1 = v 1 , . . . , v n ,
[v]B2 = w1 , . . . , wn ,
entao i
v i = A1 j
wj . (9.11)
A lei de transformacao (9.10) e considerada a lei de transformacao fundamental. Portanto, a observacao
acima motiva a seguinte definicao:
9.4 Definicao. Vetores que se transformam de maneira contraria a lei (9.10) sao chamados vetores con-
travariantes.
Assim, os vetores do proprio espaco vetorial V sao vetores contravariantes.
9.3.2 Covetores
9.5 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. Um covetor de V e qualquer funcional
linear : V R.
O espaco vetorial dos covetores de V , com as definicoes naturais de soma de covetores e multiplicacao de
covetores por escalares reais e chamado o espaco dual de V e denotado por V .
Portanto, covetor de V nada mais e que um sinonimo para funcional linear sobre V .
Rodney Josue Biezuner 91
9.6 Definicao. Seja B = {e1 , . . . , en } uma base para o espaco vetorial V . Definimos a base dual
B = e1 , . . . , en
de V por
ei (ej ) = ij , i, j = 1, . . . , n. (9.12)
Um covetor arbitrario V expressa-se em coordenadas com relacao a base dual B na forma
= i ei .
Observe que se
v = v i ei ,
entao
ei (v) = v i . (9.13)
9.7 Definicao. Sejam V, W espacos vetoriais. Dada uma aplicacao linear A : V W , definimos a
aplicacao linear dual ou transposta A : W V de A por
(A ) v = (Av)
B1 = {e1 , . . . , en } ,
B2 = {f1 , . . . , fn }
B1 = e1 , . . . , en ,
B2 = f 1 , . . . , f n
as respectivas bases duais para V . Se A e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 ,
entao i
ei = A1 j f j . (9.14)
T
Consequentemente, A1 e a matriz de mudanca de coordenadas da base dual B1 para a base dual B2 ,
isto e,
T
[]B = A1 []B . (9.15)
2 1
ek = Blk f l .
Entao
ik = ek (ei ) = ek Aji fj = Aji ek (fj ) = Aji Blk f l (fj )
= Aji Blk jl = Aji Bjk = Bjk Aji ,
Rodney Josue Biezuner 92
segue que se
[]B = (1 , . . . , n ) ,
1
[]B = (1 , . . . , n ) ,
2
entao
i = Aji j . (9.16)
Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores da
base do espaco vetorial, que convencionamos ser a lei de transformacao fundamental. Esta observacao motiva
a seguinte definicao:
9.9 Definicao. Vetores que se transformam da mesma forma que a lei (9.10) sao chamados vetores cova-
riantes.
Assim, os covetores do espaco dual V sao vetores covariantes.
Em vista desta identificacao, um vetor v V pode ser visto como um funcional linear sobre V cuja acao
em covetores de V e dada por
v () = (v) . (9.17)
Em particular,
ei ej = ij
(9.18)
e se
= i ei ,
entao
ei () = i . (9.19)
Rodney Josue Biezuner 93
1 (x) = 1 x1 , . . . , xn = y 1 x1 , . . . , xn , . . . , y n x1 , . . . , xn ,
j
isto e, denotamos as funcao coordenadas 1 (x) por y j (x).
9.12 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e
: U (U ) ,
: V (V ) ,
y j
= . (9.20)
xi p xi y j p
Portanto, se um vetor v Tp M se escreve em coordenadas em relacao as bases Bx e By nas formas
i
v = vx ,
xi p
v = vyj ,
y j p
entao, pelas Proposicoes 9.3 e 9.12, a lei de transformacao de coordenadas e dada por
xi j
vxi = v . (9.21)
y j y
Rodney Josue Biezuner 94
do espaco tangente Tp M associada a carta da origem a uma base dual coordenada para o espaco
cotangente Tp M associada a carta que denotaremos por
n o
Bp = dx1 p , . . . , dxn |p .
(9.22)
Portanto, qualquer covetor Tp M pode ser escrito de maneira unica como
= i dxi p ,
(9.23)
onde !
i = . (9.24)
xi p
Vamos investigar agora como as coordenadas de um covetor tangente se transformam quando ha uma mu-
danca de bases coordenadas, de uma carta para outra.
9.15 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e : U (U ) , : V (V )
duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = (x) = (y) em M . Sejam
( )
Bx = ,..., ,
x1 p xn p
( )
By = ,...,
y 1 p y n p
as respectivas bases duais. Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e dada
por
xi
dxi p = dy j p .
j
(9.25)
y
Rodney Josue Biezuner 95
Prova: Pela Proposicao 9.12, a mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e dada por
y j
= .
xi p xi y j p
[]B = (1x , . . . , nx ) ,
x
[]B = (1y , . . . , ny ) ,
y
entao
y j y
xi =
.
xi j
Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-
riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E importante ressaltar que
esta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.
9.5 Tensores
9.5.1 Definicao
9.16 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e V seu espaco dual.
Um k-tensor covariante em V (ou tensor covariante de ordem k) e uma funcao real k-linear
T : V . . . V R.
| {z }
k vezes
Um l-tensor contravariante em V (ou tensor contravariante de ordem l) e uma funcao real l-linear
T : V . . . V R.
| {z }
l vezes
Um tensor do tipo (k, l) e um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e, uma funcao real multilinear
T : V . . . V V . . . V R.
| {z } | {z }
k vezes l vezes
O espaco vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera denotado por T k (V ); o espaco vetorial dos
l-tensores contravariantes sobre V sera denotado por Tl (V ) e o espaco vetorial dos (k, l) tensores sobre V
sera denotado por Tlk (V ). Estes espacos vetoriais sao chamados espacos tensoriais.
9.17 Exemplo. Um 1-tensor covariante e simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produto
interno, sao 2-tensores covariantes. Determinantes sao n-tensores covariantes em Rn .
Algumas identificacoes naturais (isto e, independente de especificacao de bases):
T0k (V ) = T k (V ) ;
Rodney Josue Biezuner 96
Tl0 (V ) = Tl (V ) ;
T1 (V ) = V = V.
9.18 Proposicao. Seja End (V ) o espaco vetorial dos operadores lineares sobre V . Entao existe um iso-
morfismo natural
T11 (V )
= End (V ) .
Prova. Um isomorfismo natural : End (V ) T11 (V ) pode ser definido por
l
9.19 Proposicao. Considere o espaco vetorial L V k (V ) ; V das aplicacoes multilineares
T : V . . . V V . . . V V.
| {z } | {z }
k vezes l vezes
(T ) v1 , . . . , vk , 1 , . . . , l , l+1 = l+1 T v1 , . . . , vk , 1 , . . . , l .
9.21 Exemplo. Sejam 1 , 2 dois covetores (1-tensores covariantes). Entao
Usando produtors tensoriais, podemos obter uma base para o espaco tensorial Tlk (V ):
Rodney Josue Biezuner 97
9.22 Proposicao. Se
B = {e1 , . . . , en }
e uma base para o espaco vetorial V e
B = e1 , . . . , en
e uma base para o espaco tensorial Tlk (V ). Alem disso, qualquer tensor T Tlk (V ) se escreve na forma
T = Tij11...i
...jl i1
k
e . . . eik ej1 . . . ejl , (9.27)
onde
Tij11...i
...jl
= T ei1 , . . . , eik , ej1 , . . . , ejl .
k
(9.28)
Em particular, dim Tlk (V ) = nk+l .
Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espaco tensorial Tlk (V ). Seja T Tlk (V ) um tensor qualquer
e defina
Tij11...i
...jl
= T ei1 , . . . , eik , ej1 , . . . , ejl .
k
T v1 , . . . , v k , 1 , . . . , l
= Tij11...i
...jl i1
v . . . vkik j11 . . . jl l
k 1
= Tij11...i
...jl i1
e (v1 ) . . . eik (vk ) ej1 1 . . . ejl l
k
= Tij11...i
...jl i1
e . . . eik ej1 . . . ejl v1 , . . . vk , 1 , . . . , l .
k
Para mostrar que Bkl e linearmente independente, suponha que exista uma combinacao linear nula
T = Cij11...i
...jl i1
k
e . . . eik ej1 . . . ejl = 0
segue que
0 = T (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl ) = Crs11...r
...sl
k
k+p
Observe que, se F Tlk (V ), G Tqp (V ) e T = F G Tl+q (V ), entao
j ...j jl+1 ...jl+q j1 jl jl+1
, . . . , ejl+q
Ti11...iklik+1 ...ik+p = T ei1 , . . . , eik , eik+1 , . . . , eik+p , e , . . . , e , e
de modo que
j ...j j ...j j1 ...jl j ...j
Ti11...iklik+1
l+1 l+q l+1 l+q
...ik+p = Fi1 ...ik Gik+1 ...ik+p . (9.29)
r1 rk 1 j1 1 jl
T (fr1 , . . . , frk , f s1 , . . . , f sl )
= Ai1 . . . Aik A s1
... A sl
j1 jl
= Ari11 . . . Arikk A1 s1 . . . A1 s Frs11...r ...sl
k
.
l
9.24 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Para cada p M definimos o espaco tensorial
tangente Tlk (Tp M ) a M em p. Seja : U (U ) uma carta de uma vizinhanca de um ponto p M . A
base coordenada ( )
Bp = ,...,
x1 p xn p
do espaco tangente Tp M associada a carta e sua respectiva base dual
n o
Bp = dx1 p , . . . , dxn |p
dao origem a base coordenada associada a carta para o espaco tensorial tangente Tlk (Tp M )
( )
Bkl p = dxi1 p . . . dxik p
... (9.31)
xj1 p xjl p 16i1 ,...,ik 6n
16j1 ,...,jl 6n
Rodney Josue Biezuner 99
as expressoes em coordenadas para um tensor Tp Tlk (Tp M ) em relacao a estas bases. Entao
y r1 y rk xj1 xjl s1 ...sl
Eij11...i
...jl
(p) = . . . . . . F (p) . (9.32)
k i
x 1 i s
x k y 1 y sl r1 ...rk
Prova: Segue das Proposicoes 9.12, 9.15 e 9.23.
tr A = Aii .
A partir disso pode-se definir o traco de um operador linear sobre um espaco vetorial real de dimensao finita
como sendo o traco de qualquer uma de suas representacoes matriciais com respeito a uma base fixada pois
pode-se provar que o traco independe da base escolhida, ou seja, que o traco e uma nocao independente de
coordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espaco vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre V
e T11 (V ), podemos definir logo de incio o traco para operadores lineares independemente de coordenadas.
Alem da vantagem obvia de se ter uma definicao que nao se refere a coordenadas, a maior vantagem e que
ela sera naturalmente generalizada para definir o traco de tensores.
Observe que e uma consequencia da Proposicao 9.22 que os produtos tensoriais da forma v, V ,
v V , geram T11 (V ); em outras palavras, todo (1, 1)-tensor e uma combinacao linear de tais produtos
tensoriais.
9.26 Definicao. O traco de (1, 1)-tensores e o funcional linear tr : T11 (V ) R definido por
tr ( v) = (v)
em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T11 (V ).
Se : End (V ) T11 (V ) e o endomorfimo natural, entao o traco de um operador linear A End (V )
e definido por
tr A = tr ( (A)) .
Rodney Josue Biezuner 100
T = Tij ei ej ,
entao
tr T = Tii . (9.33)
Se A End (V ), entao
tr A = Aii . (9.34)
Prova: Por definicao,
tr T = Tij tr ei ej = Tij ei (ej ) = Tij ji = Tii .
Da, como
i
tr A = [ (A)]i ,
e, pela Proposicao 9.18,
j
[ (A)]i = (A) ei , ej = ej (Aei ) = ej Aki ek
e um (1, 1)-tensor.
9.28 Definicao. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ndices p, q, o traco de T com respeito aos ndices p, q
(ndice covariante p e ndice contravariante q) e o tensor tr T do tipo (k 1, l 1) definido por
= tr T v1 , . . . , vp1 , , vp , . . . , vk1 , 1 , . . . , q1 , , q , . . . , l1 .
Se for necessario explicitar os ndices em relacao aos quais foi tomado o traco, denotaremos trpq T .
T = Tij11...i
...jl i1
k
e . . . eik ej1 . . . ejl .
entao as coordenadas de
j ...j
tr T = (tr T )i11...ik1
l1
ei1 . . . eik1 ej1 . . . ejl1
= tr S
= Sii
= T ei1 , . . . , eip1 , ei , eip , . . . , eik1 , ej1 , . . . , ejq1 , ei , ejq , . . . , ejl1
j ...j ij ...j
= Ti11...ip1
q1 q l1
iip ...ik1 .
definido por
!
x, Tij11...i
...jl
k i1 ,...,ik =1,...,n
j1 ,...,jl =1...,n
!
(x) , Tij11...i
...jl i1 ik
= dx . . . dx ... .
k p p xj1 p xjl p
Fibrados tensoriais sao fibrados vetoriais (veja o Exerccio 1.3). Note que
T 0 M = C (M ) ,
T1 M = T M,
T 1 M = T M,
T0k M = T k M,
Tl0 M = Tl M.
A menos que seja dito o contrario, lidaremos apenas com campos tensoriais diferenciaveis. Note que
T 0 (M ) = C (M ) ,
T1 (M ) = T (M ) ,
T0k (M ) = T k (M ) ,
Tl0 (M ) = Tl (M ) .
para todo p V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma
j1 ...jl i1
ik
Tp = Ti1 ...ik (p) dx p . . . dx p ... . (9.36)
xj1 p xjl p
Entao T e um campo tensorial diferenciavel se e somente se para toda carta as funcoes Tij11...i
...jl
k
: V R
sao diferenciaveis para todos os ndices i1 , . . . , ik , j1 , . . . , jl = 1 . . . , n.
9.8 Exerccios
9.33 Exerccio. Defina explicitamente o fibrado cotangente e mostre que ele e um fibrado vetorial. Defina
explicitamente o conceito de campos covetoriais.
9.34 Exerccio. Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definicao 9.30 e de fato uma variedade dife-
renciavel.
9.35 Exerccio. Mostre que um fibrado tensorial e um fibrado vetorial.
9.36 Exerccio. Demonstre a Proposicao 9.32.
9.37 Exerccio. Seja T : M Tlk M uma secao do fibrado tensorial. Mostre que T e diferenciavel (e,
portanto, um campo tensorial diferenciavel) se e somente se para toda vizinhanca V M e para todos os cam-
pos vetoriais X1 , . . . , Xk e para todas os campos covetoriais 1 , . . . , l a funcao T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l :
V R definida por
e diferenciavel.
Captulo 10
Variedades Metricas
e as funcoes componentes gij do tensor metrica g sao diferenciaveis para toda parametrizacao se e somente
se g e diferenciavel.
Omitindo o smbolo do ponto de atuacao p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente
gij = , (10.3)
xi xj
103
Rodney Josue Biezuner 104
G = (gij ) (10.5)
segue que G e uma matriz simetrica. Observe que devido a simetria existem apenas
n (n + 1)
2
componentes potencialmente distintos do tensor metrica, ao inves dos n2 componentes distintos para um
tensor 2-covariante geral.
Usando o produto simetrico de tensores (veja [Lee 1], Cap. 12, p. 315), que no caso de covetores e
simplesmente
1
:= ( + ) (10.6)
2
e a simetria do tensor metrica, podemos escrever a expressao
Estritamente falando, uma variedade metrica e um par (M, g), onde M e uma variedade diferenciavel
e g a metrica riemanniana, ja que uma mesma variedade diferenciavel pode admitir diferentes metricas
riemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando nao houver perigo de confusao, nos
vamos nos referir a variedade riemanniana simplesmente por M .
10.2 Exemplo (Metrica Euclidiana). A variedade riemanniana mais simples e o espaco euclidiano Rn
com a metrica euclidiana gij = ij , que denotaremos En .
10.3 Exemplo (Metrica Semieuclidiana). A variedade semi-riemanniana mais simples de ndice k e o
espaco semi-euclidiano Rn com a metrica semieuclidiana gij = ij
k
, que denotaremos Mnk .
10.4 Exemplo (Metrica de Lorentz). A variedade de Lorentz mais simples de ndice 1 e o espaco de
Minkowski n-dimensional Rn , n > 2, com a metrica de Lorentz gij = ij . Denotaremos este espaco
por Mn , enquanto que o espacotempo de Minkowski da relatividade especial M4 continuara a ser denotado
geralmente apenas por M.
10.5 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma metrica riemanniana.
Rodney Josue Biezuner 105
De fato, esta soma e finita em uma vizinhanca de p, portanto define um tensor diferenciavel em M ; alem
disso, como uma combinacao linear finita positiva de produtos internos e um produto interno, ela define um
produto interno em Tp M .
Observe que a demonstracao acima nao funciona para metricas semi-riemannianas. De fato, uma com-
binacao linear finita de metricas semi-riemannianas, mesmo positiva, nao e necessariamente uma metrica
semi-riemanniana. Por exemplo, a soma das metricas semi-riemannianas em R4
hv, wi1 = v1 w1 + v2 w2 v3 w3 v4 w4 ,
hv, wi2 = v1 w1 v2 w2 + v3 w3 + v4 w4 ,
hv, wi1 = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 + v4 w4 ,
hv, wi2 = v1 w1 v2 w2 + v3 w3 + v4 w4 ,
e o tensor
T (v, w) = 2 (v3 w3 + v4 w4 ) ,
que e degenerado, pois se v0 = (1, 1, 0, 0), entao
T (v0 , w) = 0
para todo w R4 . A realidade e que existem variedades diferenciaveis que nao admitem metricas semi-
riemannianas. Por exemplo, e possvel provar, usando tecnicas de Topologia Diferencial, que esferas de
dimensao par nao admitem metricas de Lorentz (em particular S4 nao pode ser uma variedade de Lorentz; o
espacotempo nao pode ser uma esfera 4-dimensional); mais geralmente, e possvel provar que toda variedade
diferenciavel compacta de dimensao mpar possui uma metrica de Lorentz e que uma variedade diferenciavel
compacta de dimensao par admite uma metrica de Lorentz se e somente se ela tem caracterstica de Euler nula
(veja [Steenrod], Theorem 40.13, p. 207). Por outro lado, todas as variedades diferenciaveis nao compactas
admitem metricas de Lorentz (veja [BEE], p. 50).
10.6 Exemplo (Metrica Produto). Se (M1 , g1 ) e (M2 , g2 ) sao duas variedades metricas, entao definimos
a metrica produto g = g1 g2 na variedade produto M1 M2 por
h(v1 , v2 ) , (0, w2 )i(p1 ,p2 ) = hv1 , 0ip1 + hv2 , w2 ip2 = hv2 , w2 ip2 ,
h(v1 , v2 ) , (w1 , 0)i(p1 ,p2 ) = hv1 , w1 ip1 + hv2 , 0ip2 = hv1 , w1 ip1 ,
segue que
hv1 , w1 ip1 = 0
para todo w1 Tp1 M1 e
hv2 , w2 ip2 = 0
para todo w2 Tp2 M2 , e a nao-degenericidade de g1 , g2 implica que
v1 = v2 = 0.
10.7 Definicao. Sejam M, N variedades metricas. Um difeomorfismo F : M N e uma isometria se
para todo p M e para todos v, w Tp M . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M e N sao
isometricas.
Dizemos que M e N sao localmente isometricas se para todo p M existe uma vizinhanca Vp de p
em M e uma isometria F : Vp F (Vp ) N e reciprocamente para todo q N existe uma vizinhanca Wq
de q em N e uma isometria G : Wp G (Wp ) M .
Dizemos que uma variedade metrica (M, g) e plana, se ela e localmente isometrica ao espaco euclidiano
ou ao espaco semi-euclidiano.
Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade metrica possui uma estrutura natural de grupo
em que o produto de isometrias e definido como a composicao das aplicacoes. Este grupo e denotado por
Isom (M ) .
10.8 Exemplo. O grupo de isometrias de En consiste das composicoes de operadores ortogonais e translacoes.
O grupo de isometrias de M e o grupo de Poincare.
E facil ver que isometria e uma relacao de equivalencia na classe das variedades metricas. Geometria
Riemanniana e principalmente o estudo das propriedades que sao invariantes por isometrias. Uma excelente
referencia para o estudo de grupos de isometrias de variedades riemannianas e [Kobayashi].
Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M N entre variedades diferenciaveis e uma imersao se
dFp e injetiva para todo p M .
10.9 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (N, h) uma variedade riemanniana e F : M N
uma imersao. A metrica induzida por F em M (tambem chamada a metrica do pullback), denotada
por
g = F h,
e definida por
hv, wip := hdFp v, dFp wiF (p) (10.10)
para todo p M e para todos v, w Tp M .
Com esta metrica definida em M , a imersao F torna-se uma imersao isometrica. Na linguagem do
pullback, um difeomorfismo F entre duas variedades metricas (M, g) e (N, h) e uma isometria se
g = F h.
e uma variedade diferenciavel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensao n. Uma carta global para o
grafico de f e : Rn graf(f ) definida por
x1 , . . . , x n = x1 , . . . , x n , f x1 , . . . , x n .
Como
se k 6= n + 1,
(
k kj
= f
xj se k = n + 1,
xj
ou seja,
f
(x) = 0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0, j (x)
xj j x
segue que
f f
gij (x) = (x) , (x) = (x) , (x) = ij + . (10.12)
xi xj (x,f (x)) xi xj
Rn+1 xi xj
Rodney Josue Biezuner 108
Outro exemplo de superfcie 2-dimensional e uma superfcie de revolucao gerada por uma curva. Espe-
cificamente seja : I R2 , (t) = ( (t) , (t)) uma curva parametrizada regular tal que (t) 6= 0 para
todo t I; podemos imaginar contida no plano yz definindo
Se girarmos esta curva ao redor do eixo z obteremos uma superfcie parametrizada regular S. A imagem de
S e a imagem da aplicacao : I R R3 dada por
a partir de podemos obter cartas locais restringindo o parametro a um intervalo aberto de comprimento
2. Da,
(t, ) = (0 (t) cos , 0 (t) sen , 0 (t)) ,
t
(t, ) = ( (t) sen , (t) cos , 0) ,
donde
2 2
g11 (t, ) = (t, ) , (t, ) = , = [0 (t)] + [ 0 (t)] ,
t t (t,) t t R3
g12 (t, ) = (t, ) , (t, ) = , = 0,
t (t,) t R3
2
g22 (t, ) = (t, ) , (t, ) = , = [ (t)] .
(t,) R 3
Portanto
2 2
[0 (t)] + [ 0 (t)]
0
G (t, ) = 2 .
0 [ (t)]
10.11 Exemplo (Esfera). A metrica euclidiana induz uma metrica na esfera de raio r
n 2 2 o
2
Snr = x Rn+1 : kxk = x1 + . . . + xn+1 = r2
que chamaremos a metrica canonica de Snr . Denotaremos a esfera unitaria por Sn , simplesmente. Vamos ver
os coeficientes gij para diferentes cartas da esfera.
a) Como grafico de funcao:
O hemisferio superior da esfera e o grafico da funcao f : Br Rn R dada por f x1 , . . . , xn =
q
2 2
r2 (x1 ) . . . (xn ) . Como
f xi
(x) = q ,
xi 2
r2 kxk
segue que
xi xj
gij (x) = ij + 2. (10.13)
r2 kxk
Similarmente para o hemisferio inferior. Estas cartas nao cobrem o equador da esfera.
b) Como superfcie de revolucao:
A parametrizacao da esfera de raio r como superfcie de revolucao e
Segue que
r2
0
G (, ) = .
0 r2 sen2
c) Atraves da projecao estereografica:
Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, r), a reta a partir de N que intercepta o
plano xn+1 = 0 em um ponto x e = x1 , . . . , xn , 0 , intercepta a esfera em um ponto (x). Portanto, a carta
projecao estereografica a partir do polo norte : Rn Snr \ {N } e definida por
x N ) = tx1 , . . . , txn , (1 t) r
(x) = N + t (e
onde t > 0 e tal que k (x)k = r. Ou seja, t e tal que
2 2
t2 kxk + (1 t) r2 = r2 ,
donde
2r2
t= 2.
r2 + kxk
Logo, !
2
2r2 x1 2r2 xn kxk r2
x1 , . . . , x n
= 2,..., 2,r 2 2 , (10.14)
r2 + kxk r2 + kxk r + kxk
donde
2r2 kj 4r2 xj xk
se k 6= n + 1,
2 2
r2 + kxk
2
k r2 + kxk
(x) =
xj 4r3 xj
se k = n + 1.
2
r2 + kxk2
Segue que as componentes do tensor metrica nas coordenadas dadas pela carta sao
*n+1 n+1
+
X k X l
gij (x) = (x) , j (x) = (x) ek , (x) el
xi x (x) xi xj
k=1 n+1 l=1 R
n+1 k l n+1 k l n+1 k k
X
X X
= i j
hek , el iRn+1 = i j
kl =
x x x x xi xj
k=1 l=1 k=1
n 2 2 i k 2 2 j k
X 2r ki 4r x x 2r kj 4r x x 16r6 xi xj
= +
2 2 2 2 2 4
r + kxk r2 + kxk
2 2 2
k=1 r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk
n k 2
4 j k i k
4 i j
4
X 4r ki kj 8r ki x x + kj x x 16r x x x 16r6 xi xj
= 2 + 4 +
3 4
2 2 2 2
k=1 r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk
2
4r4 ij 16r4 xi xj 16r4 xi xj kxk 16r6 xi xj
= 2 3 + 4 + 4
2 2 2 2
r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk
4r4 ij 16r4 xi xj 16r4 xi xj
= 2 3 + 3
2 2 2
r2 + kxk r2 + kxk r2 + kxk
4r4 ij
= 2 .
2
r2 + kxk
Rodney Josue Biezuner 110
Observe que
4r4
2
r2 + kxk2
4r4
G (x) = ..
=
. 2 I.
2 + kxk2
4r4
r
2
2
r2 + kxk
Usando a projecao estereografica a partir do polo sul obtemos duas cartas que cobrem toda a esfera.
10.12 Exemplo (Espaco Hiperbolico). Considere o semiespaco superior de Rn
H n = x 1 , . . . , x n Rn : x n > 0 .
Com a topologia induzida como aberto de Rn , Hn e uma superfcie diferenciavel de dimensao n. Se definirmos
diretamente em Hn a metrica
ij
gij x1 , . . . , xn =
2, (10.16)
(xn )
entao Hn e uma variedade riemanniana chamada o espaco hiperbolico n-dimensional. Observe que
1
(xn )2
.
1
G=
.. =
I.
(xn )2
1
2
(xn )
10.13 Exemplo (Toros). O toro mergulhado em R3 e uma superfcie de revolucao gerada pelo crculo.
Tomando o crculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizacao (t) = (R + r cos t, r sen t)
obtemos a parametrizacao para o toro bidimensional como superfcie de revolucao
Outra metrica induzida de RN importante para o toro, nao localmente isometrica a metrica dada acima
(como veremos depois) e a metrica plana do toro: considerando o toro como a superfcie n-dimensional
Tn = S1 . . . S1 R2n , a metrica euclidiana de R2n induz uma metrica no toro da seguinte forma.
Escrevendo
n 2 2 2 2 2 2 o
Tn = S1 . . . S1 = x R2n : x1 + x2 = x3 + x4 = . . . = x2n1 + x2n = 1 ,
Temos, portanto,
k sen j se k = 2j 1,
() = cos j se k = 2j,
j
0 se k 6= 2j 1, 2j.
ou seja,
j j
= 0, . . . , 0, sen , cos , 0, . . . 0
j 2j1 2j
Da
gij () = () , j () = () , j () = ij , (10.17)
i () i R2n
que sao os mesmos componentes da metrica euclidiana. Portanto, o toro plano e localmente isometrico ao
plano Rn . Observe que considerando T2 como uma superfcie de R3 ou como uma superfcie de R4 define
duas metricas completamente diferentes para a mesma superfcie.
10.14 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana e : I M uma curva parametrizada. O com-
primento do segmento de definido no intervalo [a, b] I e definido por
Z b
` () = k 0 (t)k(t) dt. (10.19)
a
10.15 Exemplo. Considere a curva parametrizada (t) = (0, t) no semiespaco positivo R2+ ; temos 0 (t) =
(0, 1) = e2 . Se R2+ e considerado uma subvariedade riemanniana do plano euclidiano, entao
Z b Z b
` () = ke2 k(0,t) dt = dt = b a.
a a
G (p) = AT A
donde
2
det G = (det A) .
Denotando por vol [v1 , . . . , vn ] o volume do paraleleppedo formado pelos vetores v1 , . . . , vn , sabemos que
" #
vol 1
,..., n
= det A vol [e1 , . . . , en ] = det A = det G (p) ,
x p x p
com Jij j i
= y /x . Denote * +
hij (p) = ,
y i p y j p
p
e
H = (hij ) .
Segue que
" # " #
det G (p) = vol ,..., = det J vol ,..., (10.21)
x1 p xn p y 1 p y n p
= det J det H (p) .
Podemos agora definir o volume.
10.16 Definicao. Seja M n uma variedade riemanniana e M um conjunto aberto, conexo e com fecho
compacto, tal que esta contida em uma vizinhanca coordenada (U ) de uma parametrizacao : U
(U ) e a fronteira de 1 () tem medida nula em Rn . O volume de e definido por
Z
vol = det G dx1 . . . dxn . (10.22)
1 ()
Rodney Josue Biezuner 113
Se M e um compacto, tome qualquer cobertura finita {Vi }i=1,...,n de por vizinhancas parametrizadas
de M e considere uma particao da unidade {i }i=1,...,n subordinada a esta cobertura; se i : Ui Vi ,
i = 1, . . . , n, sao parametrizacoes destas vizinhancas, definimos
n Z
X
vol = i det G dx1 . . . dxn . (10.23)
i=1 1
i ()
Segue da formula de mudanca de variaveis para integrais multiplas e de (10.21) que o volume esta bem
definido, isto e, nao depende da carta. Na linguagem de formas, o elemento de volume riemanniano
dVg = det G dx1 . . . dxn = det G dx1 . . . dxn (10.25)
e uma n-forma (para um tratamento usando formas, veja [Lee 2] e especialmente [Lee 1], Cap. 16, p. 422
em diante, que traz o teorema de Stokes e suas varias versoes para variedades riemannianas).
G G G
(g, h) 7 gh1
e diferenciavel.
10.18 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se e
somente se as aplicacoes
G G
g 7 g 1
G G G
(g, h) 7 gh
sao diferenciaveis.
Prova: Suponha que G e um grupo de Lie. Entao a primeira aplicacao e diferenciavel porque e a composta
das aplicacoes diferenciaveis
G G G G
x 7 (e, g) 7 eg 1 = g 1
Rodney Josue Biezuner 114
(lembre-se que a inclusao na variedade produto sempre e uma aplicacao diferenciavel). A segunda e dife-
renciavel porque e a composta das aplicacoes diferenciaveis
G G GG G
1
g, h1 g h1
(g, h) 7 7 = gh
10.20 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Dado g G, entao as aplicacoes translacao a esquerda por g
Lg : G G
(10.26)
g 7 gh
e similarmente 1
(dRg )h = dRg1 gh . (10.29)
10.21 Definicao. Uma algebra de Lie (sobre R) e um espaco vetorial G munido de uma aplicacao bilinear,
chamada o colchete de Lie,
[, ] : V V R
que satisfaz
(i) (anticomutatividade)
[X, Y ] = [Y, X] ; (10.30)
(ii) (identidade de Jacobi)
[[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = 0 (10.31)
para todos X, Y, Z G.
Rodney Josue Biezuner 115
10.22 Exemplo. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial T (M ), equipado com o colchete
de Lie e uma algebra de Lie.
10.23 Exemplo. O espaco vetorial das matrizes reais n n com a operacao colchete definida por
[A, B] = AB BA (10.32)
para todo h G. Em particular, um campo invariante a esquerda fica completamente determinado pelo seu
valor em algum ponto qualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe entao, tomando h = e,
segue que
Xg = (dLg )e Xe . (10.35)
O proximo resultado garante a existencia de um numero infinito de campos invariantes a esquerda em um
grupo de Lie.
10.26 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espaco tangente Te G possui uma
extensao a um campo invariante a esquerda X T (G).
10.27 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Entao o colchete de Lie de campos invariantes a esquerda e
invariante a esquerda.
Em particular, o subespaco dos campos invariantes a esquerda e uma algebra de Lie.
Prova: Sejam X, Y T (G) campos invariantes a esquerda. Temos, para toda f C (G),
Como o subconjunto dos campos invariantes a esquerda e um subespaco vetorial de T (G), segue que ele
e uma (sub)algebra de Lie.
Podemos agora definir uma operacao colchete de Lie no espaco tangente (espaco vetorial) Te G que o
transforma em uma algebra de Lie:
10.28 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A algebra de Lie G de G e o espaco tangente Te G munido do
colchete de Lie
[Xe , Ye ] := [X, Y ]e . (10.36)
onde X, Y T (G) sao quaisquer extensoes invariantes a esquerda dos vetores tangentes Xe , Ye .
Pode-se mostrar que a algebra de Lie dos campos invariantes a esquerda e isomorfa ao espaco tangente Te G,
em particular como espaco vetorial ela tem dimensao finita, igual a dimensao de G (veja [Lee 1], Teorema
8.37, e [Warner], p.86, Definicao 3.1).
Podemos agora introduzir uma metrica em G com certas propriedades algebricas.
10.29 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma metrica h, ig em G e invariante a esquerda
se
hv, wih = (dLg )h v, (dLg )h w Lg h (10.37)
para todos g, h G e para todos v, w Te G. Analogamente, definimos uma metrica invariante a direita.
Uma metrica que e ao mesmo tempo invariante a esquerda e a direita e chamada uma metrica bi-
invariante.
Em outras palavras, em uma metrica invariante a esquerda, toda translacao a esquerda Lg e uma isometria,
enquanto que em uma metrica invariante a direita, toda translacao a direita Rg e uma isometria. Em uma
metrica bi-invariante todas as translacoes sao isometrias. A existencia de metricas bi-invariantes para grupos
de Lie compactos e estabelecida no Exerccio 7 de [Carmo]. A existencia de metrica invariantes a esquerda
ou a direita em qualquer grupo de Lie e estabelecida atraves da seguinte definicao.
10.30 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Suponha que h, i e algum produto interno em Te G. Entao a
metrica em G definida por D E
hv, wig = dLg1 g v, dLg1 g w (10.38)
e
para todo g G e para todos v, w Te G, e invariante a esquerda.
Analogamente, a metrica em G definida por
D E
hv, wig = dRg1 g v, dRg1 g w
e
lembrando que Lh1 g1 Lg = Lh1 g1 g = Lh1 . Analogamente prova-se a invariancia a direita da segunda
metrica.
Ha uma relacao entre o produto interno e o colchete de Lie em G = Te G que caracteriza as metricas
bi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.
10.31 Teorema. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie G. A metrica invariante a esquerda definida
na proposicao anterior e bi-invariante se e somente se o produto escalar h, i em G = Te G usado para definir
a metrica satisfaz
h[V, X] , W i = hV, [W, X]i
para todos V, W, X G.
10.4 Exerccios
10.32 Exerccio. Mostre que a metrica produto e de fato uma metrica. Porque
Conexoes
E possvel definir geodesicas e estudar suas propriedades sem falar de curvatura. Na verdade e ate possvel
falar em geodesicas sem falar de metrica. Geodesicas sao generalizacoes das retas da geometria euclideana.
Embora seja possvel definir geodesicas como curvas que minimizam distancias em variedades riemannianas
e curvas que maximizam o tempo proprio em variedades de Lorentz, pelo menos localmente (e neste caso
a nocao de geodesica estaria tambem fundamentalmente ligada a nocao de metrica) esta propriedade e
tecnicamente difcil de trabalhar como definicao. Ao inves, escolheremos uma propriedade diferente das
retas para generalizar: retas sao caracterizadas como curvas com aceleracao nula. Esta propriedade nao faz
nenhuma referencia a metrica e pode ser utilizada mesmo em variedades diferenciaveis que nao tenham uma
estrutura metrica. E em relatividade geral ela faz mais sentido, ja que partculas livres seguem trajetorias
geodesicas no espacotempo curvo, ja que nao estao sujeitas a forcas externas e portanto nao sofrem aceleracao,
assim como partculas livres na mecanica newtoniana seguem trajetorias retas com velocidade uniforme. Para
usar esta propriedade, precisaremos primeiro definir o conceito de derivadas de campos tangentes a curvas
segundo uma direcao. Como em geral nao existe um espaco ambiente Rn onde a variedade esta mergulhada,
nao e imediatamente obvio como defini-lo. Se : I M e uma curva diferenciavel em uma variedade M
nao podemos simplesmente definir
0 (t) 0 (t0 )
00 (t0 ) = lim
tt0 t t0
porque 0 (t) T(t) M e 0 (t0 ) T(t0 ) M vivem em diferentes espacos vetoriais, logo sua diferenca nao
faz sentido. Ja vimos que a derivada de Lie nao e uma boa solucao para este problema, ja que ela nao e
uma derivada direcional. A definicao do conceito de conexao atende esta necessidade de definir uma nocao
de derivacao intrnseca para campos vetoriais e se comporta exatamente como uma derivada direcional. O
nome conexao se refere exatamente a ideia de conectar localmente os espacos tangentes de uma variedade.
11.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma conexao em M e uma
aplicacao
: T (M ) T (M ) T (M ) ,
denotada por (X, Y ) 7 X Y que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) f X+gY Z = f X Z + gY Z,
(ii) X (Y + Z) = X Y + X Z,
(iii) X (f Y ) = f X Y + (Xf ) Y.
118
Rodney Josue Biezuner 119
X = X i i e Y = Y j j ,
entao
X Y = X Y j j + X i Y j i j .
(11.1)
Em particular, (X Y )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente
a Xp .
Prova: Usando as propriedades de uma conexao, obtemos
X Y = X Y j j
= Y j X j + X Y j j
= Y j X i i j + X Y j j
= X i Y j i j + X Y j j .
Em particular,
(X Y )p = X i (p) Y j (p) (i j )p + Xp Y j (p) j |p .
Os coeficientes X 1 (p) , . . . , X n (p) dependem apenas do valor de X em p; os coeficientes Xp Y 1 , . . . , Xp (Y n ),
por definicao de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por p
cujo vetor tangente em p e Xp .
Da expressao (11.1), escrevendo os campos vetoriais i j em termos dos campos base k na forma
i j = kij k , (11.2)
X Y = X Y k + X i Y j kij k .
(11.3)
11.3 Definicao. As funcoes suaves kij definidas pela expressao (11.3) sao chamadas os smbolos de
Christoffel associados a carta particular utilizada.
Observe que em princpio precisamos obter n3 smbolos de Christoffel para determinar uma conexao. No
caso de conexoes riemannianas, como veremos, a sua simetria diminuira o numero de smbolos diferentes.
11.4 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma conexao.
Prova: Se V e uma vizinhanca coordenada de M , dadas n3 funcoes arbitrarias kij C (V ), a formula
(11.3) define uma conexao em V , vista como subvariedade de M . Se {V } e uma cobertura de M por
vizinhancas coordenadas, cada uma com uma conexao definida, entao podemos definir uma conexao
global em M , usando uma particao da unidade { } subordinada a esta cobertura, por
X
X Y =
X Y.
Rodney Josue Biezuner 120
As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencao
especial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem de
satisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso caso
temos
X X
X (f Y ) =
X (f Y ) = [(Xf ) Y + f
XY ]
X X
= (Xf ) Y + f
XY
= (Xf ) Y + f X Y.
11.5 Exemplo (Conexao Euclidiana). Identificando espacos tangentes em Rn com o proprio Rn , vetores
tangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicacoes suaves Rn Rn , nos definimos a
conexao euclidiana : T (Rn ) T (Rn ) T (Rn ) por
(f Y ) f Y j Y j
dYp (Xp ) (f ) = Xp (f Y ) = X i i
= Xi j i
= Xi i (f ) .
x x x x xj
Em notacao mais sucinta, a expressao em coordenadas da conexao euclidiana que obtemos a partir de (11.5)
e
X Y = X Y j . (11.6)
xj
Segue de (11.3) e da observacao no incio da demonstracao da Proposicao 11.4 que a conexao euclidiana e
de fato uma conexao com smbolos de Christoffel kij = 0.
Esta e uma conexao tanto para o espaco euclidiano, para o espaco semieuclidiano e para o espaco de
Minkowski, ja que apenas a estrutura diferencial esta envolvida.
11.6 Definicao. Seja : I M uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M . Um campo
vetorial ao longo da curva e um campo vetorial diferenciavel V : I T M tal que V (t) T(t) M
para todo t I.
O espaco vetorial dos campos vetoriais ao longo de uma curva e denotado T ().
11.7 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao . Existe uma unica corres-
pondencia que associa a cada campo vetorial diferenciavel V ao longo de uma curva diferenciavel : I M
um outro campo diferenciavel
DV
dt
ao longo de tal que
D DV DW
(V + W ) = + ,
dt dt dt
D df DV
(f V ) = V + f
dt dt dt
para todos os campos diferenciaveis V, W ao longo de e para toda funcao diferenciavel f : I R, e tal
que, se V e induzido por um campo de vetores X T (M ), ou seja, V = X , entao
DV
= 0 (t) X.
dt
Localmente,
dV k di k j
DV
= + V k , (11.7)
dt dt dt ij
Prova: Observe que para a expressao 0 (t) X fazer sentido, devemos entender o subescrito 0 (t) neste
smbolo como qualquer extensao local do campo 0 (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao 11.2 so
importa o valor da extensao em (t), isto e, o vetor tangente 0 (t), e o valor de X em uma curva tangente
a 0 (t) em (t), que pode ser tomada como sendo a propria curva .
DV DV
Vamos provar primeiro a unicidade de . Suponha que exista um tal campo satisfazendo todas
dt dt
as propriedades do enunciado. Seja
V (t) = V j (t) j |t
a expressao local do campo V . Pelas primeiras duas propriedades do enunciado, temos
dV j
DV j Dj
= (t) j |t + V (t) .
dt t dt dt t
Pela terceira propriedade,
di
Dj
= 0 (t) j
t
= d i j = (t) i j |t .
dt t dt (t)i t dt
DV
Portanto, localmente o campo se escreve na forma
dt
k
di
DV dV k j
= (t) + (t) ij (t) V (t) k |t ,
dt t dt dt
DV
o que mostra que o campo e unicamente determinado.
dt
DV
Para determinar a existencia de , dada uma carta (, U ) para uma vizinhanca de (t), defina o
dt
DV
campo em (U ) pela expressao (11.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz
dt
todas as propriedades do enunciado.
Rodney Josue Biezuner 122
DV
11.8 Definicao. O campo diferenciavel e chamado a derivada covariante de V ao longo da curva
dt
.
Y X = 0
DV
Logo, a existencia local do campo V (t) satisfazendo = 0 para todo t e V (t0 ) = V0 corresponde a uma
dt
solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais
dV 1 di
(t) 1ij (t) V j (t) = 0
(t) +
dt dt
..
.
n i
dV d
n j
dt (t) + dt (t) ij (t) V (t) = 0
t : T(t0 ) M T(t) M
00 = id,
rt sr = st .
1 (s) = 2 (s) = p,
1 (t) = 2 (t) = q,
entao em geral
1 2
st (V ) 6= st (V )
para todo V Tp M . Como veremos depois, o transporte paralelo sera o mesmo, independente do caminho
utilizado para ir de p ate q, se e somente se a curvatura riemanniana for nula.
(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel em M vale
d DV DW
hV, W i = , W + V, . (11.10)
dt dt dt
(iii) Para todos os campos X, Y, Z T (M ) vale
para T(t0 ) M . Usando a Proposicao 11.10, estenda cada um dos vetores E1 |t0 , . . . , En |t0 paralelamente a
campos E1 , . . . , En ao longo de . Segue da definicao de compatibilidade que
Bt = { E1 |t , . . . , En |t }
e uma base ortonormal para T(t) M para cada t I. Dados campos diferenciaveis V e W ao longo de ,
podemos entao escrever
V = V i (t) Ei |t e W = W j (t) Ej |t
com as funcoes V i , W j diferenciaveis, pois
V i (t) = hV, Ei i e W j (t) = hW, Ej i .
Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sao paralelos ao longo de , temos
DE1 DEn
= ... = = 0,
dt dt
logo
dV i dV i
DV i DEi
= (t) Ei | t + V (t) = (t) Ei |t ,
dt t dt dt t dt
e, similarmente,
dW j
DW
= (t) Ej |t .
dt t
dt
Da,
dV i dW j
DV DW j i
,W + V, = Ei , W Ej + V Ei , Ej
dt dt dt dt
dV i j dW j
= W hEi , Ej i + V i hEi , Ej i
dt i dt
dW j
dV
= Wj + V i ij
dt dt
n n
dV i i i
i dW d X i i
X
= W +V = V W
i=1
dt dt dt i=1
d
= hV, W i .
dt
(ii) (iii) Seja p M e : I M uma curva diferenciavel com (t0 ) = p e 0 (t0 ) = Xp . Entao, por
definicao de vetor tangente,
* + * +
d
DY DZ
Xp hY, Zi = Y(t) , Z(t) = , Zt + Yt ,
0 0
dt t=t0 dt t0
dt t0
= 0 (t0 ) Y , Zt0 + Yt0 , 0 (t0 ) Z
(t0 ) (t0 )
D E D E
= (X Y )p , Zp + Yp , (X Z)p .
Rodney Josue Biezuner 125
(iii) (ii) Se V, W sao campos ao longo de uma curva diferenciavel em M com (t0 ) = p e 0 (t0 ) = Xp ,
entao
d
hVt , Wt i = Xp hVt , Wt i
dt t=t0
D E D E
= (X V )p , Wt + Vt , (X W )p
= 0 (t0 ) V , Wt0 + Vt0 , 0 (t0 ) W
(t0 ) (t0 )
* + * +
DV DW
= , Wt0 + Vt0 , .
dt
t0 dt
t0
A condicao hV, W i constante justifica o nome campos paralelos.
11.13 Definicao. Seja M uma variedade metrica com uma conexao . Dizemos que a conexao e com-
patvel com a metrica, quando ela satisfaz qualquer uma das condicoes da proposicao anterior.
Y X = Y X k + Y i X j kij k ,
[X, Y ] = X Y k Y X k k ,
Prova: Como
[i , j ] = i j j i = kij kji k
e [i , j ] = 0, seguem os resultados.
Em particular, para conexoes simetricas o numero de smbolos de Christoffel potencialmente diferentes cai
para
n2 (n + 1)
.
2
Seja M uma variedade diferenciavel com duas conexoes e . Defina o tensor diferenca
D (X, Y ) = Y X Y X.
X hY, Zi = hX Y, Zi + hY, X Zi ,
Y hX, Zi = hY X, Zi + hX, Y Zi ,
Z hX, Y i = hZ X, Y i + hX, Z Y i .
11.17 Teorema. Seja M uma variedade metrica. Entao existe uma unica conexao simetrica compatvel
com a metrica de M .
Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexao simetrica compatvel com a metrica atraves da
expressao (11.16). Alem disso, pelo lema, qualquer conexao simetrica compatvel com a metrica satisfara a
identidade (11.5), o que estabelece a unicidade.
11.18 Definicao. Seja M uma variedade metrica. A unica conexao simetrica compatvel com a metrica
de M e chamada a conexao metrica (ou conexao de Levi-Civita) de M .
Se M e uma variedade riemanniana, esta conexao e chamada conexao riemanniana, se M e uma
variedade semi-riemanniana, ela e chamada conexao semi-riemanniana e se M e uma variedade de
Lorentz, ela e chamada conexao de Lorentz.
Isometrias preservam conexoes riemannianas, como esperado:
11.19 Proposicao. Sejam (M, g) e (M f, ge) variedades metricas isometricas com conexoes metricas e ,
e
respectivamente. Se F : M M f e uma isometria, entao
F (X Y ) =
e F X (F Y )
Mostraremos que e uma conexao metrica em M . A unicidade da conexao metrica garantira entao que
= ,
o que provara o resultado. De fato, temos
h i
f X+gY Z = F1 e F (f X+gY ) (F Z)
h i
= F1 e F (f X+gY ) (F Z)
h i
= F1 e (f F 1 )F X+(gF 1 )F Y (F Z)
h i
= F1 f F 1 e F X (F Z) + g F 1
e F Y (F Z)
h i h i
= F1 f F 1 e F X (F Z) + F1 g F 1
e F Y (F Z)
h i h i
= f F1 e F X (F Z) + gF1
e F Y (F Z)
= f X Z + gY Z,
h i
X (Y + Z) = F1 e F X F (Y + Z)
h i
= F1 e F X F Y +
e F X F Z
h i h i
= F 1 e F X F Y + F 1
e F X F Z
= X Y + X Z
Rodney Josue Biezuner 128
e
h i
X (f Y ) = F1 e F X F (f Y )
h i
= F1 e F X (f F Y )
h i
= F1 f F 1 e F X F Y + (F X) f F 1 F Y
h i
= F1 f F 1 e F X F Y + F 1 (F X) f F 1 F Y
h i
= F1 f F 1 e F X F Y + (F X) f F 1 F 1 (F Y )
h i
= f F1 e F X F Y + X f F 1 F F 1 (F Y )
= f X Y + (Xf ) Y,
= F1 [F X, F Y ]
= F1 F [X, Y ]
= [X, Y ] .
Observe que para provar que e uma conexao simetrica, foi suficiente usar o fato que F e um difeomorfismo.
Para estabelecer a compatibilidade de com a metrica de M e necessario usar o fato que F e uma
isometria. Com efeito, dados X, Y, Z T (M ), sejam V = F Y e W = F Z. Entao temos
hX Y, Zi + hY, X Zi
D h i E D h iE
= F1 e F X (F Y ) , F1 W + F1 V, F1
e F X (F Z)
D E D E
= e F X (F Y ) , W + V,
e F X (F Z)
D E D E
= e F X (F Y ) , F Z + F Y,
e F X (F Z)
= F X hF Y, F Zi
= X hY, Zi .
isto e,
f = hY, Zi F 1 ;
assim, usando a propriedade
(F X) f = X (f F ) F 1 ,
Rodney Josue Biezuner 129
temos
F X hF Y, F Zi = X (f F ) F 1 = X hY, Zi F 1 ,
ou seja,
[hX Y, Zi + hY, X Zi] (p) = [X hY, Zi] (p) .
11.20 Exemplo (Conexao Metrica em Rn ). A conexao euclidiana definida no Exemplo 11.4 e a conexao
riemanniana de En , e a conexao semi-riemanniana de Mnk e e a conexao de Lorentz do espaco de Minkowski
Mn . De fato, a conexao e compatvel com a metrica, pois se : I Rn e uma curva diferenciavel e V, W
sao campos ao longo de induzidos pelos campos vetoriais X, Y , respectivamente, entao segue da regra da
cadeia que
d
d d
V(t) , W(t) = V(t) , W(t) + V(t) , W(t)
dt dt dt
= dX(t) ( (t)) , W(t) + V(t) , dY(t) (0 (t))
0
D E D E
= 0 (t) X (t) , W(t) + V(t) , 0 (t) Y (t)
* + * +
DV DW
= , W(t) + V(t) , .
dt (t) dt (t)
G1 = g ij .
(11.17)
hi j , k i = m
ij gmk . (11.18)
Rodney Josue Biezuner 130
i j = m
ij m .
11.22 Lema. Seja M uma variedade metrica com uma conexao metrica . Entao
1
hi j , k i = (i gjk + j gik k gij ) . (11.19)
2
Prova: Por (11.16) temos que
1
hi j , k i =(i hj , k i + j hi , k i k hi , j i hi , [j , k ]i hj , [i , k ]i + hk , [i , j ]i)
2
1
= (j gik + i gjk k gij ) ,
2
ja que [m , l ] = 0.
11.23 Proposicao. Seja M uma variedade metrica com uma conexao metrica . Entao
1
kij = (i gjm + j gim m gij ) g mk . (11.20)
2
Prova: Pelos lemas temos
1
glm lij = (i gjm + j gim m gij ) .
2
Logo
n
1 X
g mk glm lij = (i gjm + j gim m gij ) g mk .
2 m=1
O lado esquerdo desta equacao e
g km gml lij = lk lij = kij .
11.24 Corolario. Se e a conexao metrica de En , Mnk e Mn , entao
kij = 0. (11.21)
Consequentemente,
n
X
X Y k k
X Y = (11.22)
k=1
e
i j = 0. (11.23)
Prova: Pois, como
k
gij = ij constante,
segue que
k gij = 0
para todos os ndices i, j, k.
Rodney Josue Biezuner 131
11.25 Corolario. Seja M uma variedade metrica com uma conexao metrica . Entao
e
k g ij = g ip jpk g pj ipk . (11.25)
Prova: Para provar a primeira identidade, usando a compatibilidade da metrica temos
k gij = hi , j i = hk i , j i + hi , k j i
xk
D E
= hpki p , j i + i , pkj p
= pki hp , j i + pkj hi , p i
= pki gpj + pkj gip .
glp g pj = lj ,
obtendo
glp k g pj = (k glp ) g pj .
Como
g il glp k g pj = g il glp k g pj
= pi k g pj
= k g ij ,
k g ij = g il (k glp ) g pj = g il g pj k glp
= g il g pj glm m m
pk + gmp lk
= g pj g il glm m il pj m
pk g g gmp lk
il j p
= g pj m
i
m
pk g m lk
= g pj ipk g il jlk .
f (t) = ht (V ) , t (W )i .
Rodney Josue Biezuner 132
B = {E1 , . . . , En }
Bt = {t (E1 ) , . . . , t (En )}
e uma base ortonormal de T(t) M para todo t I. A orientacao positiva de Bt segue por continuidade da
funcao determinante.
11.27 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja M uma variedade
metrica com uma conexao metrica . Dado um campo X T (M ), seja : I M uma curva integral do
campo X passando por p, ou seja,
(0) = p,
0 (t) = X ( (t)) para todo t I.
Se Y T (M ), entao
t1 Y(t) Yp
d 1
(X Y )p = lim = Y(t) .
t0 t dt t t=0
Prova: Seja B = {E1 , . . . , En } uma base ortonormal para Tp M . Pelo lema, Bt = {t (E1 ) , . . . , t (En )} e
uma base ortonormal de T(t) M para todo t I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se
segue que
t1 Y(t) = Y i (t) Ei .
Logo,
dY i
d 1
t Y(t) = (0) Ei .
dt t=0 dt
Por outro lado, pela Proposicao 11.7, temos tambem
D i
(X Y )p = Y (t) t (Ei )
dt t=0
dY i
D
(0) 0 (Ei ) + Y i (t)
= (t (Ei ))
dt dt t=0
dY i
= (0) Ei ,
dt
ja que os campos t (E1 ) , . . . , t (En ) sao paralelos ao longo de por definicao.
Este resultado tambem vale para conexoes gerais em variedades diferenciaveis, mas o resultado requer um
pouco mais de conhecimento de fibrados (veja [Dodson-Poston], Theorem 4.05, pp. 226227).
Captulo 12
Geodesicas
De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma variedade metrica, estaremos supondo que ela esta
munida da sua conexao metrica.
h (t) = at + b
Como
0
( h) (t) = h0 (t) 0 (h (t)) ,
k 0 (t)k constante,
133
Rodney Josue Biezuner 134
e, como acabamos de provar, uma condicao necessaria para que h seja uma geodesica e
( h)0 (t)
constante,
conclumos que uma condicao necessaria para que a reparametrizacao h seja uma geodesica e que
h0 (t) constante,
ou seja,
h (t) = at + b
para algumas constantes a, b R. Alem disso, escrevendo (t) = h (t) = (at + b), segue que
D 0 D 0
(t) = a2 (at + b) = 0,
dt dt
logo h e uma geodesica.
12.3 Definicao. Uma geodesica : I M e normalizada (ou unitaria) se
k 0 (t)k 1.
Toda geodesica que nao e um ponto (ou seja, k 0 (t)k 6= 0) pode ser normalizada atraves de uma parame-
trizacao por comprimento de arco: se : I M e uma parametrizacao qualquer para uma geodesica,
ela pode ser reparametrizada para se tornar uma geodesica normalizada escolhendo-se um ponto t0 I e
definindo o parametro comprimento de arco
Z t
s (t) = k 0 (t)k dt. (12.2)
t0
12.4 Teorema (Teorema de Existencia e Unicidade de Geodesicas). Seja M uma variedade metrica.
Entao para todos p M e v Tp M , e para cada t0 R, existe um intervalo aberto I R contendo t0 e
uma unica geodesica : I M tal que (t0 ) = p e 0 (t0 ) = v.
Prova: Seja V uma vizinhanca coordenada de p, com x1 , . . . , xn suas coordenadas. Pela expressao em
coordenadas locais da derivada covariante de um campo ao longo de uma curva obtida no captulo anterior,
uma curva (t) = x (t) = x1 (t) , . . . , xn (t) e uma geodesica se e somente se as suas componentes satisfazem
o sistema de equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem nao linear (quasilinear), chamado a equacao
geodesica,
d2 xk i
k dx dx
j
+ ij = 0, k = 1, . . . , n. (12.3)
dt2 dt dt
Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as n
equacoes de primeira ordem
dxk
vk = , k = 1, . . . , n,
dt
de modo que estas equacoes juntamente com
dv k
+ kij v i v j = 0, k = 1, . . . , n,
dt
Rodney Josue Biezuner 135
formam um sistema de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue entao do teorema de
existencia e unicidade para solucoes de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem.
Note que este teorema permanece valido para geodesicas definidas em variedades diferenciaveis dotadas de
uma conexao nao necessariamente metrica.
Isometrias preservam geodesicas:
12.5 Proposicao. Sejam M, N variedades metricas isometricas e seja F : M N uma isometria. Se
: I M e uma geodesica de M tal que
(0) = p,
0 (0) = v,
(0) = F (p) ,
0 (0) = dFp (v) .
Prova: Segue imediatamente do fato de isometrias preservarem conexoes metricas (Proposicao 11.19) e da
regra da cadeia.
kij 0,
x (t) = tv + x0
g11 constante,
g12 = g21 = g 12 = g 21 = 0,
2 gij = 0.
Portanto,
1
1ij = (i gj1 + j gi1 1 gij ) g 11 ,
2
1 1
2ij = (i gj2 + j gi2 2 gij ) g 22 = (i gj2 + j gi2 ) g 22 .
2 2
Logo,
1
111 = (1 g11 + 1 g11 1 g11 ) g 11 = 0,
2
1
112 = 121 = (1 g21 + 2 g11 1 g12 ) g 11 = 0,
2
1 1 1 1
122 = (2 g21 + 2 g21 1 g22 ) g 11 = (1 g22 ) g 11 = 2r2 sen cos 2 = sen cos ,
2 2 2 r
e
1
211 = (1 g12 + 1 g12 ) g 22 = 0,
2
1 1 1 1 cos
212 = 221 = (1 g22 + 2 g12 ) g 22 = (1 g22 ) g 22 = 2r2 sen cos 2
= ,
2 2 2 r sen2 sen
1
222 = (2 g22 + 2 g22 ) g 22 = 0.
2
Apenas os smbolos 212 = 221 e 122 sao nao nulos. Portanto a equacao geodesica para a esfera e
2 1 2 2
d x + 122 dx dx = 0,
dt2
dt dt
2 2 1 2
d x + 22 dx dx = 0,
12
dt2 dt dt
ou seja, 2
d2 d
sen cos = 0,
dt2
dt
d2 cos d d
+2 = 0.
dt2 sen dt dt
Resolver este sistema de equacoes diferenciais nao lineares acopladas nao e facil. Por outro lado, e facil
verificar por substituicao direta que o equador
= /2,
= t,
Rodney Josue Biezuner 137
= t,
= 0 ,
e uma solucao para este sistema. Observe agora que rotacoes sao isometrias da esfera: rotacoes do espaco
euclideano R3 sao transformacoes ortogonais e portanto isometrias de R3 ; como a restricao de uma rotacao
de R3 a esfera e uma rotacao da esfera e esta tem a metrica induzida de R3 , ela e uma isometria da esfera.
Uma vez que geodesicas sao preservadas por isometrias, conclumos que os grandes crculos da esfera (isto
e, crculos cujos centros sao o centro da esfera, que podem tambem ser obtidos intersectando a esfera com
planos passando pela origem) sao suas geodesicas, ja que dado um ponto p da esfera e um vetor tangente v
a esfera neste ponto existe um grande crculo passando por p com a direcao de v.
12.8 Exemplo (Geodesicas de Sn ). Um argumento envolvendo isometrias pode ser usado para obter
diretamente que as geodesicas de Sn Rn+1 sao os grandes crculos, sem passar pela equacao geodesica.
Primeiramente, provamos que a geodesica (t) = x1 (t) , . . . , xn (t) , xn+1 (t) que passa pelo polo norte
(0) = en+1 com velocidade 0 (0) = e1 e o meridiano x2 = . . . = xn = 0. De fato, suponha por absurdo que
xi (t0 ) 6= 0 para algum t0 e para algum ndice 2 6 i 6 n. Considere a isometria : Sn Sn definida por
( e a restricao da transformacao ortogonal correspondente de Rn+1 , logo e uma simetria da esfera, como
observado no final do exemplo anterior). Como isometrias preservam geodesicas e
g12 = g21 = g 12 = g 21 = 0,
1 gij = 0.
Rodney Josue Biezuner 138
Portanto,
1 1
1ij = (i gj1 + j gi1 1 gij ) g 11 = (i gj1 + j gi1 ) g 11 ,
2 2
1
2ij = (i gj2 + j gi2 2 gij ) g 22 .
2
Logo,
1
111 = (1 g11 + 1 g11 ) g 11 = 0,
2
1 1 1 2 1
112 = 121 = (1 g21 + 2 g11 ) g 11 = (2 g11 ) g 11 = 3 y2 = ,
2 2 2 y y
1
122 = (2 g21 + 2 g21 ) g 11 = 0,
2
e
1 1 1 2 1
211 = (1 g12 + 1 g12 2 g11 ) g 22 = (2 g11 ) g 22 = y2 = ,
2 2 2 y3 y
1
212 = 221 = (1 g22 + 2 g12 2 g12 ) g 22 = 0,
2
1 1 1 2 1
222 = (2 g22 + 2 g22 2 g22 ) g 22 = (2 g22 ) g 22 = 3 y2 = .
2 2 2 y y
A equacao geodesica para o plano hiperbolico e
2
x00 x0 y 0 = 0,
y
1 1
y 00 + (x0 )2 (y 0 )2 = 0,
y y
Para resolver este sistema, consideraremos dois casos.
(i) Caso x0 = 0.
Neste caso, x (t) x0 , enquanto que y (t) satisfaz a equacao
1 0 2
y 00 (y ) = 0
y
que escrevemos na forma
2
yy 00 (y 0 ) = 0
que e equivalente a 0
y0
= 0,
y
ou seja,
y 0 = ky
para alguma constante k R. A solucao desta equacao e
y (t) = y0 ekt
para alguma constante y0 > 0. Portanto, neste caso as geodesicas sao (t) = x0 , y0 ekt , as semi-retas
superiores do plano hiperbolico.
(ii) Caso x0 6= 0.
Rodney Josue Biezuner 139
xx0 + yy 0 = ax0
12.12 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p M existem uma vizinhanca
V de (p, 0) em T M tal que (V) = U e uma vizinhanca coordenada de p em M , > 0 e uma aplicacao
diferenciavel
: (, ) V T U
tais que
(q,v) (t) = (t, q, v) : (, ) T U
e a unica trajetoria do campo geodesico que satisfaz a condicao inicial (0, q, v) = (q, v) para todo (q, v) V.
Prova: Basta aplicar o Teorema 12.10 ao campo geodesico, elemento de T (T M ), e ao ponto P = (p, 0)
TM.
Uma reinterpretacao do resultado acima que vai ser mais util e facil de usar na sequencia:
12.13 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p M existem uma vizinhanca
V de p em M , , > 0 e uma aplicacao diferenciavel
: (, ) V M
onde
V = {(q, v) : q V e v Tq M, kvk < }
tais que
(q,v) (t) = (t, q, v) : (, ) M
e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais (0) = q, 0 (0) = v para todo q V e para todo
v Tq M tal que kvk < .
Este resultado afirma que se kvk < , a geodesica (t, q, v) existe no intervalo (, ). Podemos de fato
aumentar a velocidade da geodesica, mas ao preco de diminuir o seu intervalo de definicao (e vice-versa).
Para isso basta reparametrizar a geodesica:
12.14 Proposicao. Seja : (, ) M uma geodesica tal que (0) = p e 0 (0) = v. Para qualquer
a > 0 a curva
(t) = (at)
e uma geodesica tal que (0) = p e 0 (0) = av definida no intervalo , . Consequentemente,
a a
: (2, 2) V M
onde
V = {(q, v) : q V e v Tq M, kvk < }
tais que
(q,v) (t) = (t, q, v) : (2, 2) M
e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais (0) = q, 0 (0) = v para todo q V e para todo
v Tq M tal que kvk < .
Rodney Josue Biezuner 141
Assim,
v
expp (v) = (1, p, v) = ||v|| , p,
||v||
e geometricamente expp (v) e o ponto de M obtido percorrendo a partir de p a geodesica com velocidade
inicial v durante um intervalo de tempo unitario ou, equivalentemente, percorrendo a geodesica que parte de p
com velocidade unitaria igual a v/ ||v|| um comprimento igual a kvk. Em particular, se : (2, 2) V M
e a aplicacao diferenciavel dada pelo Corolario 12.15, a aplicacao exponencial exp esta definida em todo V e
para todo q V a aplicacao exponencial
expq : B (0) Tq M M
Devido as propriedades especiais de coordenadas normais enumeradas na proposicao a seguir, elas constituem
uma ferramenta vital em geometria riemanniana, como veremos em varios resultados nestas notas.
12.20 Proposicao. Seja V uma vizinhanca normal de p e x1 , . . . , xn coordenadas normais em p. Nestas
coordenadas vale
gij (p) = ij ,
gij
(p) = 0
xk
e
kij (p) = 0
para todos os ndices i, j, k.
Alem disso, para cada v Tp M , a geodesica v (t) = (t, p, v) partindo de p com velocidade inicial v e
representada em coordenadas normais por um segmento radial, isto e,
de modo que
= d expp 0 Ei = Ei ,
xi p
logo * +
gij (p) = , = hEi , Ej i = ij .
xi p xj p
O resultado sobre a geodesica segue do fato de que por definicao
kij (p) v i v j = 0
Rodney Josue Biezuner 143
dV i
DV
= (t0 ) .
dt t0 dt xi p
Como coordenadas normais em p simplificam bastante as expressoes locais de varios objetos diferenciais e
geometricos no ponto p, elas sao muito usadas para obter resultados em geometria riemanniana que dependem
apenas da situacao em p, facilitando os calculos necessarios.
Vamos agora mostrar que uma isometria e definida pela diferencial em um unico ponto:
12.21 Proposicao. Sejam M, N variedades riemannianas, com M conexa. Se F, G : M N sao isome-
trias tais que
F (p) = G (p) ,
dFp = dGp ,
entao F = G.
Prova: Seja
A = {q M : F (q) = G (q)} .
Entao A 6= , pois p A, e por continuidade A e fechado. Como M e conexa, para provar o resultado basta
mostrar que A e aberto. Para isso, provaremos que se q0 A entao qualquer vizinhanca normal V de q0 esta
contida em A. De fato, se q V , seja v Tq0 M tal que
F (q) = F (v (1)) = dFp (v) (1) = dGp (v) (1) = G (v (1)) = G (q) .
12.22 Definicao. Uma curva diferenciavel por partes em M e uma aplicacao contnua : [a, b] M
tal que existe uma particao do intervalo [a, b]
12.23 Definicao. Seja : [a, b] M uma curva diferenciavel por partes. Uma variacao de e uma
aplicacao
F : (, ) [a, b] M
tal que
(i) F (0, t) = (t) ;
(ii) existe uma particao de [a, b] por pontos
DV DV
e .
dt ds
12.25 Lema (Lema de Simetria). Seja F : (, ) [a, b] M uma variacao. Entao
D F D F
= .
ds t dt s
Prova: Escrevendo F localmente em coordenadas na forma
2 xi xi xj
= i + i j
ts t s
2 xi xj xi
= i + j i
st i t s
D x
= i
dt s
D F
= .
dt s
No que se segue, identificaremos o espaco tangente a Tp M no vetor v com o proprio Tp M , isto e,
Tv (Tp M ) = Tp M . A fronteira B (p) de uma bola geodesica e chamada uma esfera geodesica e denotada
S (p).
12.26 Lema (Lema de Gauss). Seja M uma variedade metrica, p M e v Tp M tal que expp (v) esta
definido. Entao D E
d expp v v, d expp v w = hv, wi
para todo w Tp M .
Em particular, as geodesicas radiais que partem de p sao ortogonais as esferas geodesicas centradas em
p.
Prova: Decompondo Tp M = hvi + hvi , se w hvi entao w = av para algum escalar a 6= 0. Temos
expp d d
d expp v v = (v) = expp ((t + 1) v) = (1, p, (t + 1) v)
v dt t=0 dt t=0
d 0
= (t + 1, p, v) = (p,v) (1) ,
dt t=0
= a hv, vi
= hv, wi .
Rodney Josue Biezuner 146
Se w hvi , entao hv, wi = 0 e para terminar a demonstracao do lema temos que provar que
D E
d expp v v, d expp v w = 0.
Para algum > 0, considere a curva : (, ) Tp M com (0) = v, 0 (0) = w e k (s)k constante
= kwk, ou seja, e um pequeno arco de crculo centrado na origem de Tp M e raio kvk, comecando em v e
com velocidade inicial w. Definimos uma variacao F : (, ) [0, 1] M de por
Em particular, as curvas principais da variacao Fs (t) sao geodesicas, mais especificamente as geodesicas
radiais (1, p, t (s)) = (t, p, (s)) que passam por p com velocidade (s). Uma variacao F cujas curvas
principais sao geodesicas e chamada uma variacao geodesica.
Como
F
(s, t) = d expp t(s) ( (s)) ,
t
F
(s, t) = d expp t(s) (t0 (s)) ,
s
segue que
F
(0, 1) = d expp v v,
t
F
(0, 1) = d expp v w,
s
Rodney Josue Biezuner 147
de modo que
D E F F
d expp v v, d expp v w = (0, 1) , (0, 1) .
p t s p
Mostraremos que
F F
(0, 1) , (0, 1) =0
t s p
pois
D F
=0
dt t
F
ja que Fs (t) sao geodesicas e e seu campo velocidade. Pelo Lema de Simetria,
t
F D F F D F 1 F F
, = , = , .
t dt s t ds t 2 s t t
Mas
F
F
t (s, t)
=
t (s, 0)
= k (s)k constante,
=
d expp ( (s))
0
e assim
F F
, = 0.
t t s
Em particular, como
F
(0, 0) = 0,
s
conclumos que
F F F F
, (0, 1) = , (0, 0) = 0.
t s t s
12.28 Proposicao (Geodesicas minimizam distancias localmente). Sejam M uma variedade rieman-
niana, p M e B (p) uma bola normal centrada em p. Seja : [0, 1] B (p) um segmento de geodesica
com (0) = p e denote q = (1).
Se : [0, 1] M e qualquer curva diferenciavel por partes ligando p a q, entao
` () 6 ` () .
para t (0, 1], onde c e uma curva diferenciavel por partes em Tp M com kc (t)k = 1 para todo t e r :
(0, 1] R e uma funcao diferenciavel por partes; de fato, basta considerar (t) = exp1
p ( (t)) e definir
(t)
c (t) = e r (t) = k (t)k .
k (t)k
Se retorna ao ponto p, de modo que (t1 ) = 0 para algum t1 > 0, redefinimos c eliminando todo o
segmento ([0, t1 ]), o que nao prejudicara o resultado, pois mostraremos que a curva resultante ainda assim
possui comprimento maior que a geodesica. Denote
Da, Z 1 Z 1 Z 1
` () > k0 (t)k dt > |r0 (t)| dt > r0 (t) dt = r (1) r () = ` () r () .
Fazendo 0, como r () 0, segue o primeiro resultado.
Para que tenhamos ` () = ` () e necessario que
F
= 0,
t
ou seja,
c0 (t) = 0
e portanto c constante. Como r0 (t) > 0, e entao uma reparametrizacao monotona de , donde ([0, 1]) =
([0, 1]).
Se ([0, 1]) 6 B (p) = B (p), consideramos o primeiro instante t1 (0, 1] tal que (t1 ) B (p). Entao,
` () > ` |[0,t1 ] > > ` () .
O resultado vale apenas localmente: um segmento de geodesica suficientemente grande pode nao ser mini-
mizante. Por exemplo, as geodesicas de uma esfera (crculos maximais) que partem de um ponto p deixam
de ser minimizantes depois que passam pelo antpoda de p.
Vale a recproca da Proposicao 12.28 e ela e ate mais forte. Antes uma definicao e um resultado preliminar.
12.29 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana.
Se V e uma vizinhanca em M que e uma vizinhanca normal para todos os seus pontos, dizemos que V e
uma vizinhanca totalmente normal.
Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma vizinhanca uniformemente normal se existe > 0 tal
que para todo q V a bola geodesica B (q) = expq (B (0)) contem V .
Observe que em uma vizinhanca uniformemente normal, dois pontos quaisquer da vizinhanca sao ligados por
uma geodesica radial. Toda vizinhanca uniformemente normal e em particular totalmente normal.
12.30 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada p M existe uma vizinhanca W de p que e
uma vizinhanca uniformemente normal.
Prova: Sejam > 0, V e V como na Proposicao 12.13. Defina F : V M M por
F (q, v) = q, expq v .
Temos F (p, 0) = (p, p) e
I
dF (p, 0) =
0 I
pois d expp 0 = I. Portanto, F e um difeomorfismo local em uma vizinhanca de (p, 0), logo existe uma
vizinhanca V0 V de (p, 0) em T M tal que F aplica V0 difeomorficamente sobre uma vizinhanca W 0 de (p, p)
em M M . Para algum > 0, escolha V0 da forma
V0 = {(q, v) : q V 0 e v B (0) Tq M }
onde V 0 e uma vizinhanca de p em M . Escolha a vizinhanca W de p em M de tal forma que W W W 0 .
Entao, para todo q W e B (0) Tq M temos
F ({q} B (0)) {q} W
o que implica, pela definicao de F ,
B (q) = expq (B (0)) W.
Rodney Josue Biezuner 150
12.31 Corolario (Curvas que minimizam distancias sao geodesicas). Seja M uma variedade rieman-
niana. Se : [a, b] M e uma curva diferenciavel por partes com parametro proporcional ao comprimento
de arco que tem comprimento menor ou igual a qualquer outra curva diferenciavel por partes ligando (a)
a (b), entao e uma geodesica.
Em particular, e diferenciavel em todo o intervalo [a, b].
Prova: Sejam t0 [a, b] e V uma vizinhanca uniformemente normal de (t0 ). Seja I = [t0 , t0 + ] [a, b]
um intervalo fechado tal que (I) V . Entao a restricao |I e uma curva diferenciavel por partes ligando
dois pontos de uma bola normal. Pela Proposicao 12.28, ` (|I ) e igual ao comprimento da geodesica
radial ligando (t0 ) a (t0 + ) (caso contrario obteramos outra curva diferenciavel por partes com
comprimento menor que ligando (a) a (b), contrariando a hipotese). Segue da mesma proposicao que
a imagem de |I e a imagem desta geodesica. Como |I esta parametrizada por um parametro proporcional
ao comprimento de arco, segue que |I e ela propria uma geodesica.
Observe que este resultado e global, nao apenas local: dados dois pontos quaisquer de uma variedade
riemanniana, se existir uma curva ligando eles que minimiza distancias, entao ela e uma geodesica. Por outro
lado, dados dois pontos arbitrarios em uma variedade riemanniana pode nao existir nenhuma geodesica que
os ligue: considere Rn com a bola centrada em zero e raio 1 removida; para > 0 suficientemente pequeno,
nao existe nenhuma geodesica que une os pontos
(1 , 0, . . . , 0) e (1 + , 0, . . . , 0) ,
por exemplo, e esta afirmacao vale para quaisquer dois pontos antpodas muito proximos ao bordo da bola
removida.
12.32 Exemplo (Geodesicas de H 2 usando isometrias). Como no Exemplo 12.8, para determinar as
geodesicas do plano hiperbolico usaremos isometrias.
Primeiramente, usando o Corolario 12.31 mostraremos que o semieixo y superior e uma geodesica. De
fato, seja (t) = (0, t), t > 0, uma parametrizacao por comprimento de arco deste semieixo e considere um
segmento |[a,b] . Temos
Z b Z b
1
` () = k 0 (t)k(t) dt = dt = log b log a.
a a t
Se c : [a, b] H2 , c (t) = (x (t) , y (t)) , e qualquer curva diferenciavel por partes com c (a) = (a) = (0, a)
e c (b) = (b) = (0, b), entao
q q
Z b Z b [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 Z b [y 0 (t)]2 Z b 0
y (t)
` (c) = kc0 (t)kc(t) dt = dt > dt = dt = ` () .
a a y (t) a y (t) a y (t)
Observe que, diferentemente da esfera, variedade compacta, esta geodesica de H2 tem comprimento infinito,
como as retas do plano R2 .
As isometrias do plano hiperbolico sao dadas pelas transformacoes de Mobius
az + b
T (z) = , ad bc = 1,
cz + d
onde z = x + iy C. Estas isometrias transformam o semieixo y em semicrculos superiores ou em semi-retas
superiores x = x0 , y > 0. Estas sao as geodesicas de H2 , pois por todo ponto p H2 passa um tal semicrculo
ou uma tal semi-reta, em todas as direcoes possveis. A demonstracao de todos estes detalhes e deixada ao
leitor (Exerccio 12.54).
garante que esta geodesica esteja contida em W (as duas geodesicas radiais, uma partindo de q1 e outra
partindo de q2 podem se ligar atraves de um ponto p fora de W B (q1 ) B (q2 ).
12.33 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma
vizinhanca convexa se para todos os pontos p, q V existe uma unica geodesica minimizante ligando p a
q cuja imagem esta inteiramente contida em V .
O raio de uma bola geodesica pode ser escolhido de tal forma que ela se torne convexa.
12.34 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p M existe R > 0 tal que qualquer geodesica
de M que e tangente a esfera geodesica Sr (p) de raio r < R em q M esta fora da bola geodesica Br (p)
numa vizinhanca de q.
Prova: Seja V uma vizinhanca totalmente normal de p. Restringindo convenientemente o intervalo de
definicao, podemos assumir que todas as geodesicas de V tem velocidade 1. Podemos portanto nos restringir
ao fibrado tangente unitario
T1 V = {(q, v) T M : q V , v Tq M e kvk = 1} .
Seja : (, ) T1 V M a aplicacao diferenciavel tal que (t, q, v) e a geodesica que no instante t = 0
passa por q com velocidade v, kvk = 1. Definimos
u (t, q, v) = exp1
p ( (t, q, v))
e F : (, ) T1 V R por
2
F (t, q, v) = ku (t, q, v)k ,
ou seja, F mede o quadrado da distancia (medida em Tp M , nao na variedade M ) a origem de um ponto que
se desloca sobre a geodesica . Temos
F u
= 2 u, ,
t t
2
2F 2u
u
2
= 2 u, 2 + 2
t
.
t t
Seja agora r > 0 tal que Br (p) = expp Br (0) V e uma geodesica tangente a esfera geodesica no ponto
q = (0, q, v). Pelo lema de Gauss,
u
u (0, q, v) , (0, q, v) = 0
t
ja que (t, q, v) e uma geodesica radial que parte de q. Em particular,
F
(0, q, v) = 0.
t
Se mostrarmos que para r suficientemente pequeno o ponto crtico (0, q, v) de F e um mnimo estrito, de
modo que os pontos de estao a uma distancia de p maior que r, a demonstracao estara concluda.
Para provar isso, basta observar que para q = p temos u (t, p, v) = tv e portanto
2F 2
(0, p, v) = 2 kvk = 2,
t2
logo existe uma vizinhanca W V de p tal que
2F
(0, q, v) > 0
t2
para todo q W . Escolha R > 0 tal que Br (p) = expp BR (0) W . Entao, se r < R, F tem um mnimo
estrito em (0, q, v).
Rodney Josue Biezuner 152
12.35 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p M existe > 0 tal que a bola
geodesica B (p) e convexa.
Prova: Seja R > 0 como no lema. Escolha W e < 0 como no Lema 12.30 com < R/2. Tome < tal
que B (p) W . Afirmamos que B (p) e convexa.
De fato, sejam q1 , q2 B (p) e a unica geodesica minimizante de comprimento menor que 2 < 2 < R
ligando q1 a q2 ; em particular, esta contida na bola BR (p). Suponha por absurdo que o interior de nao
esta contido em B (p). Entao existe um ponto q no interior de onde a distancia maxima r < R de p a
e atingida. Logo e tangente a esfera geodesica Sr (p) em q, mas os pontos de numa vizinhanca de q
estarao no fecho de Br (p), contradizendo o lema.
ou seja, o seu comprimento e o seu tempo proprio. O mesmo vale para curvas em variedades de Lorentz,
isto e, curvas no espacotempo curvo.
Da Proposicao 12.2 segue no entanto que geodesicas sempre sao ou do tipo luz, ou do tipo espaco ou do
tipo tempo.
12.37 Lema. Sejam M uma variedade de Lorentz e p M . Seja : [0, T ] M uma curva diferenciavel
por partes do tipo tempo com (0) = p, tal que
= exp1
p : I Tp M
esta definida. Entao e uma curva do tipo tempo que esta contida em um unico cone temporal de Tp M .
Em particular, nao tem autointersecoes.
Rodney Josue Biezuner 153
Prova: Provaremos o resultado apenas no caso em que e diferenciavel, o caso mais geral ficando como
exerccio (ou veja [ONeill], Lema 5.33, p. 146). Note que (0) = 0.
O Lema de Gauss garante que e uma curva do tipo tempo em Tp M : de fato, como
0
0 (t) = expp (t) = d expp (t) 0 (t) ,
e portanto e uma curva do tipo tempo em Tp M se e somente se e uma curva do tipo tempo em M .
Seja C o cone temporal de Tp M tal que 0 (0) C. Como a funcao
e contnua e f (0) < 0, segue que f (t) < 0 para todo t [0, ) se > 0 e suficientemente pequeno, de modo
que 0 ([0, )) C pela Proposicao 2.25. Alem disso, pela formula de Taylor,
(t) = 0 (0) t + O t2 ,
de modo que
h (t) , (t)i = h 0 (0) , 0 (0)i t2 + O t3 ,
donde (t) e um vetor do tipo tempo para todo t [0, ) (diminuindo , se necessario); analogamente, temos
de modo que
h (t) , 0 (0)i < 0
para todo t [0, ) (diminuindo , se necessario) e portanto ([0, )) C. Portanto, (t) e 0 (t) estao no
mesmo cone temporal para todo t [0, ), isto e,
e negativa e estritamente decrescente para t (0, ), pois g 0 (t) < 0. Mas o mesmo argumento acima permite
concluir que enquanto a curva permanecer no cone C, (t) sera do tipo tempo, (t) e 0 (t) estarao no
mesmo cone temporal e portanto (12.10) valera. Segue que nunca teremos g (t) = 0, isto e, a curva nunca
cruzara a fronteira do cone temporal C.
Observe que o resultado acima nao impede uma curva do tipo tempo em uma variedade de Lorentz de possuir
autointersecoes, pois se a imagem de uma tal curva nao esta inteiramente contida na imagem da aplicacao
exponencial expp para algum ponto p, ela pode ter autointersecoes fora de expp (Tp M ). Fisicamente, uma
partcula que percorresse tal trajetoria estaria viajando no tempo para o passado. Existem variedades,
mesmo riemannianas que nao sao cobertas por expp (Tp M ) para nenhum p M ; tais variedades sao cha-
madas variedades nao completas (veja a Secao 12.9 para mais detalhes). E existem exemplos de modelos
de espacotempos para o universo que admitem curvas do tipo tempo com autointersecoes (os primeiros tais
modelos foram obtidos por Godel).
12.38 Proposicao (Geodesicas do tipo tempo em Variedades de Lorentz maximizam distancias
localmente). Sejam M uma variedade de Lorentz, p M , V uma vizinhanca normal de p e q V . Se
existir uma curva do tipo tempo em V ligando p a q, entao existe uma geodesica radial do tipo tempo em V
ligando p a q e alem disso ela e a unica curva do tipo tempo com comprimento maximal ligando p a q.
Rodney Josue Biezuner 154
Prova: Seja uma curva do tipo tempo ligando p a q. Pelo lema, = exp1 p esta contida em um unico
cone temporal de Tp M . Portanto, o segmento radial L (t) = tx0 , t [0, 1], que liga 0 a v = exp1 p q esta
neste mesmo cone temporal. Segue que a geodesica radial (t) = expp (L (t)) que liga p a q e do tipo tempo
pelo Lema de Gauss.
O argumento para provar o restante do teorema e uma modificacao da demonstracao da Proposicao 12.28,
a seguir.
Como na demonstracao daquela proposicao, escrevemos (t) de forma unica em coordenadas polares na
forma
(t) = expp (r (t) c (t))
para t (0, 1], onde c e uma curva diferenciavel por partes em Tp M com hc (t) , c (t)i = 1 para todo t, ja
que e do tipo tempo, e r : (0, 1] R e uma funcao diferenciavel por partes, e definimos
Como
2
|r0 (t)| 6 h0 (t) , 0 (t)i < 0,
segue que
k0 (t)k = |h0 (t) , 0 (t)i| 6 |r0 (t)| .
Rodney Josue Biezuner 155
r0 (t) > 0;
de fato, se a curva voltasse sobre si mesma, seu vetor velocidade seria do tipo luz em algum momento. Da,
Z 1 Z 1 Z 1
` () = lim k0 (t)k dt 6 lim |r0 (t)| dt = lim r0 (t) dt = ` () .
0 0 0
Como em variedades riemannianas, todo ponto de uma variedade de Lorentz possui uma vizinhanca
convexa (de fato, este resultado e verdadeiro para qualquer variedade metrica). A demonstracao deste
resultado e exatamente igual a do Lema 12.34 e Proposicao 12.35. Note que na demonstracao daquele lema,
a funcao distancia pode ser tomada como a funcao distancia euclideana nas coordenadas normais de Tp M ,
nao a funcao distancia da variedade riemanniana (isto e, nao consideramos a metrica de Lorentz de Tp M ; se
desejar, veja a demonstracao detalhada em [ONeill], Cap. 5, Proposicao 7, p. 103). Enunciamos o resultado
explicitamente para futura referencia:
12.39 Proposicao. Seja M uma variedade de Lorentz. Para todo p M existe > 0 tal que a bola geodesica
B (p) e convexa.
dist (p, q) = inf {` (c) : c e uma curva diferenciavel por partes ligando p e q} .
12.41 Proposicao. Se existe uma geodesica minimizante ligando p e q, entao dist (p, q) = ` ().
Prova: Segue do Corolario 12.31.
12.42 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Com a funcao distancia definida acima,
M e um espaco metrico.
Alem disso, a topologia de M como espaco metrico coincide com a topologia inicial de M como variedade
diferenciavel.
Prova: De fato, a funcao distancia satisfaz as tres propriedades da funcao distancia de um espaco metrico:
(i) Simetria:
dist (p, q) = dist (q, p) .
(ii) Desigualdade triangular:
dist (p, q) 6 dist (p, r) + dist (r, q) .
(iii) Positividade:
dist (p, q) > 0
e
dist (p, q) = 0 se e somente se p = q.
Todas as propriedades seguem imediatamente da definicao (a desigualdade triangular segue da definicao de
nfimo) exceto a afirmacao que dist (p, q) = 0 implica p = q. Suponha o contrario e considere uma bola
normal B (p) que nao contem q. Como dist (p, q) = 0, existe uma curva c ligando p a q com comprimento
menor que , contradizendo a Proposicao 12.28.
Rodney Josue Biezuner 156
Pela Proposicao 12.41, se existir uma geodesica minimizante ligando p e q entao dist (p, q) = ` (). Em
particular, dado p M , se > 0 e suficientemente pequeno, a bola geodesica B (p) de raio coincide com
a bola metrica de centro em p e raio definida pela funcao distancia:
Logo, bolas geodesicas contem bolas metricas e vice-versa, portanto as topologias sao as mesmas.
De agora em diante, consideraremos variedades riemannianas tambem como espacos metricos com a nocao
de distancia definida acima.
12.44 Lema. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Se expp esta definida em todo Tp M , entao
qualquer ponto q M pode ser ligado a p por um segmento geodesico tal que
` () = dist (p, q) .
Prova: Seja r = dist (p, q). Tome uma bola geodesica fechada B (p). Se q B (p), entao existe uma
geodesica radial minimizante ligando p a q e nao ha nada a provar. Se q / B (p), lembrando que a funcao
distancia e contnua e esferas geodesicas sao conjuntos compactos, seja x0 S (p) = B (p) onde a funcao
atinge um mnimo em S (p). Seja (s) = expp (sV ) a geodesica radial unitaria ligando p a x0 . Por hipotese,
esta definida para todo t R. Para provar o lema, basta mostrar que
(r) = q.
A e fechado em [0, r] pela continuidade da funcao distancia e de . Se provarmos que para todo s0 A vale
s0 + A para todo > 0 suficientemente pequeno, isso implicara que A tambem e aberto no conjunto
conexo [0, r] e portanto A = [0, r]; em particular, r A, o que implica dist ( (r) , q) = r r = 0, o que e
equivalente a (r) = q.
Rodney Josue Biezuner 157
Seja entao s0 A e considere uma bola geodesica fechada B ( (s0 )). Temos
atinge um mnimo em S ( (s0 )). Para provar a afirmacao, basta entao mostrar que y0 = (s0 + ), pois
neste caso
r s0 = + dist ( (s0 + ) , q) ,
donde
dist ( (s0 + ) , q) = r (s0 + ) .
De fato, temos
dist (p, y0 ) > dist (p, q) dist (q, y0 ) = r [r (s0 + )] = s0 + .
Por outro lado, a curva quebrada que liga p a y0 constituida do segmento geodesico que vai de p a (s0 )
e do raio geodesico que vai de (s0 ) a y0 tem comprimento s0 + . Portanto,
dist (p, y0 ) = s0 +
e esta curva quebrada e uma geodesica (logo, nao e quebrada), donde y0 = (s0 + ), o que termina a
demonstracao.
12.45 Teorema (Teorema de Hopf-Rinow). Uma variedade riemanniana conexa e geodesicamente com-
pleta se e somente se ela e completa como um espaco metrico.
Prova:
1. M variedade riemanniana completa como espaco metrico = M variedade riemanniana geodesicamente
completa.
Rodney Josue Biezuner 158
Suponha por absurdo que exista uma geodesica unitaria : [0, a) M que nao se estende a um
intervalo [0, a + ) para nenhum > 0. Seja {ti } uma sequencia crescente tal que ti a; em particular, {ti }
e uma sequencia de Cauchy. Seja qi = (ti ). Como e parametrizada por comprimento de arco, segue que
e (qi ) e uma sequencia de Cauchy em M . Logo qi q M . Seja V uma vizinhanca uniformemente normal
de q e > 0 tal que V esta contido em qualquer bola geodesica de raio centrada em um ponto de V .
Para j suficientemente grande temos qj V e tj > a . O fato que B (qj ) e uma bola geodesica implica
que toda geodesica partindo de qj existe por um intervalo de tempo pelo menos igual a . Em particular
isso vale para a geodesica satisfazendo (0) = qj e 0 (0) = 0 (tj ). Por unicidade de geodesica, esta e
e (t) = (t tj ) e uma extensao de alem de a,
uma reparametrizacao de , isto e, (t) = (t + tj ), logo
contradizendo a hipotese inicial.
2. M variedade riemanniana geodesicamente completa = M espaco metrico completo.
Para provar a recproca, demonstraremos um resultado mais forte:
Se existe p M tal que expp esta definida em todo Tp M , entao M e um espaco metrico completo.
Seja {qi } M uma sequencia de Cauchy. Para cada i, seja i (s) = expp (sVi ) a geodesica radial unitaria
que liga p a qi , e seja
di = dist (p, qi ) ,
de modo que pelo lema
qi = expp (di Vi ) .
Alem disso, {di } e uma sequencia de Cauchy em R, pois
Como sequencias de Cauchy sao limitadas, {di } e limitada; alem disso kVi k = 1 para todo i, logo {di Vi }
e limitada em Tp M . Portanto, uma subsequencia {dik Vik } converge para V Tp M . Por continuidade da
aplicacao exponencial,
qik = expp (dik Vik ) expp (V ) .
Como a sequencia original {qi } e de Cauchy, ela converge para o mesmo ponto para o qual sua subsequencia
converge.
Em particular, o conceito de variedade riemanniana geodesicamente completa e equivalente ao conceito de
variedade riemanniana completa como espaco metrico para variedades conexas e para estas podemos nos
referir simplesmente a uma variedade riemanniana completa, implicando ambos os conceitos.
12.46 Corolario. Toda variedade riemanniana compacta e geodesicamente completa.
12.48 Corolario. Os conjuntos fechados e limitados de uma variedade riemanniana conexa sao compactos
se e somente se ela e geodesicamente completa.
Prova: Seja A M fechado e limitado. Como A e limitado, A esta contido em uma bola metrica B (p; r).
Pelo Lema 12.44, existe uma bola BR (0) Tp M tal que
B (p; r) expp BR (0) = BR (p).
Rodney Josue Biezuner 159
A bola geodesica fechada BR (p) e compacta, pois e a imagem de um compacto pela aplicacao contnua expp .
Logo, A e um subconjunto fechado de um compacto, portanto e compacto.
Reciprocamente, a condicao de conjuntos fechados limitados serem compactos em um espaco metrico
implica que o espaco metrico e completo: sequencias de Cauchy sao limitadas, logo seu fecho e compacto e
portanto possuem uma subsequencia convergente, o que implica para sequencias de Cauchy que a sequencia
toda e convergente.
12.49 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana conexa e existe p M tal que expp esta definida em
todo Tp M entao M e geodesicamente completa.
Prova: Segue da demonstracao do teorema de Hopf-Rinow.
12.50 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana conexa completa, entao quaisquer dois pontos p, q
M podem ser ligados por um segmento geodesico tal que
` () = dist (p, q) .
L : T M R.
No Calculo de Variacoes, procura-se encontrar um metodo para determinar curvas que minimizam o
funcional acao; isto e chamado o princpio da acao mnima.
Prova: Vamos considerar primeiro o caso M = Rn para compreender melhor a ideia da demonstracao. Seja
: [a, b] Rn uma curva diferenciavel arbitraria satisfazendo (a) = (b) = 0 e considere a seguinte
variacao de
F (s, t) = (t) + s (t) .
Denotando
s (t) = F (s, t)
considere a funcao diferenciavel real f : (, ) R definida por
Z b
f (s) = S (s ) = L (s (t) , s (t)) dt.
a
f 0 (0) = 0.
Ja que
ds
= (t) ,
ds
ds
= (t) ,
ds
segue que
Z b
L L
f 0 (s) = (s , s ) i
+ (s , s ) i
dt.
a xi v i
Por outro lado, integrando por partes, temos
Z b b Z b Z b
L i L i d L i d L
(s , s ) dt = (s , s ) dt = (s , s ) i dt,
a v i v i a a dt v i a dt v i
de modo que
Z b
L d L
f 0 (s) = (s , s ) (s , s ) i dt.
a xi dt v i
Agora, f 0 (0) = 0 implica
Z b
L d L
(, ) (, ) i dt = 0
a xi dt v i
Como e arbitraria, segue que
L d L
(, ) (, ) =0
xi dt v i
para todo i.
Em uma variedade riemanniana (M, g) existem dois lagrangianos associados de forma natural:
L (p, v) = kvkp ,
2
E (p, v) = kvkp .
Rodney Josue Biezuner 161
E mais facil trabalhar com o funcional energia, ja que o lagrangiano da energia nao apresenta problemas de
diferenciabilidade na origem. Alem disso, um mnimo para o funcional energia e um mnimo para o funcional
comprimento, pois a desigualdade de Cauchy-Schwartz implica que
!1/2 !1/2
b b b
Z Z Z
2 1/2
L () = 0
k (t)kp dt 6 k 0
(t)kp dt 1 dt = b aE () .
a a a
E x1 , . . . , xn , v 1 , . . . , v n = gij x1 , . . . , xn v i v j ,
e ao longo de uma curva (t) = x1 (t) , . . . , xn (t) ele e dado por
1
dxn dxi dxj
1 n dx
E x ,...,x , ,..., = gij x1 , . . . , xn .
dt dt dt dt
Logo,
E gij dxi dxj
= ,
xk xk dt dt
enquanto que
E dxi
k
= 2gik .
v dt
de modo que, pela regra da cadeia, segue que
transforma-se na equacao
d2 xi dxi dxj
gik gik gij
im 2 + j
+ j
k
g mk = 0,
dt x x x dt dt
d2 xm dxi dxj
2
+ m
ij = 0.
dt dt dt
12.11 Exerccios
12.54 Exerccio. Mostre que as transformacoes de Mobius introduzidas no Exemplo 12.32 sao isometrias
do plano hiperbolico e complete os outros detalhes.
12.55 Exerccio. Mostre que M e geodesicamente completa se e somente se para todo p M a aplicacao
exponencial esta definida em todo Tp M.
Captulo 13
Curvatura
T : T1 (M ) . . . T1 (M ) T 1 (M ) . . . T 1 (M ) C (M ) (13.1)
definindo
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l (p) = Tp X1 |p , . . . , Xk |p , 1 p , . . . , l p .
(13.2)
para todo p V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma
Tp = Tij11,...,i
,...,jl
(p) dxi1 p . . . dxik p j1 |p . . . jl |p ,
k
Xr |p = X ir (p) ir |p , r = 1, . . . , k,
s |p = js (p) dxjs p , s = 1, . . . , l,
temos
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l (p) = X i1 . . . X ik j1 . . . jl Tij11,...,i
,...,jl
k
(p) . (13.3)
Ou seja, o valor de T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l em p depende apenas das componentes do campo tensorial
T em p e dos valores dos campos vetoriais e de 1-formas em p. Neste sentido, dizemos que tensores sao
puntuais. Contraste isso com uma conexao, que nao e um tensor porque ao inves da linearidade satisfaz a
regra do produto.
163
Rodney Josue Biezuner 164
j j
X Y Z Y X Z = X (Y Z) Y (X Z)
xj xj
= X Y Zj Y X Zj
xj xj
= X Y Zj Y X Zj
xj
= (XY Y X) Z j
xj
= [X,Y ] Z.
Esta relacao e valida para qualquer variedade metrica localmente isometrica a Rn (Exerccio 13.39).
13.1 Definicao. Seja M uma variedade metrica. O endomorfismo curvatura de M e o campo tensorial
de ordem (3, 1)
R : T (M ) T (M ) T (M ) T (M )
definido por
R (X, Y ) Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. (13.4)
Observamos que alguns autores, tais como [Carmo], definem a curvatura com o sinal oposto, mas a maioria
define como acima. O fato de termos identificado R com um tensor do tipo (3, 1) segue da Proposicao 9.19
e pelo fato de R ser multilinear sobre C (M ), conforme e demonstrado na proposicao a seguir. Em outras
palavras, R e identificado com o campo tensorial
R : T1 (M ) T1 (M ) T1 (M ) T 1 (M ) R
definido por
R (X, Y, Z, ) = (R (X, Y ) Z) .
Uma motivacao extra para a definicao do tensor curvatura pode ser vista no apendice no final deste captulo.
R (X, f Y ) Z = X f Y Z f Y X Z [X,f Y ] Z
= X (f Y Z) f Y X Z f [X,Y ]+(Xf )Y Z
= f X Y Z + (Xf ) Y Z f Y X Z f [X,Y ] Z (Xf ) Y Z
= f X Y Z Y X Z [X,Y ] Z
= f R (X, Y ) Z.
A linearidade em relacao a primeira variavel e imediatamente estabelecida uma vez que se observa que
De fato,
R (Y, X) Z = Y X Z X Y Z [Y,X] Z
= X Y Z + Y X Z [X,Y ] Z
= X Y Z + Y X Z + [X,Y ] Z
= R (X, Y ) Z.
R (X, Y ) (f Z) = X Y (f Z) Y X (f Z) [X,Y ] (f Z)
= X (f Y Z) + X ((Y f ) Z) Y (f X Z) Y ((Xf ) Z)
f [X,Y ] Z [X, Y ] (f ) Z
= f X Y Z + (Xf ) Y Z + (Y f ) X (Z) + X (Y f ) Z
f Y X Z (Y f ) X Z (Xf ) Y Z Y (Xf ) Z
f [X,Y ] Z [X, Y ] (f ) Z
= f X Y Z f Y X Z + [X (Y f ) Y (Xf )] Z f [X,Y ] Z [X, Y ] (f ) Z
= f X Y Z f Y X Z f [X,Y ] Z + [Y, X] (f ) Z [X, Y ] (f ) Z
= f X Y Z Y X Z [X,Y ] Z
= f R (X, Y ) Z.
i j = j i . (13.7)
Rodney Josue Biezuner 166
Prova: Na introducao a esta secao vimos que R 0 para Rn (de fato, foi o que nos levou a definir R em
primeiro lugar; este resultado e trazido aqui apenas para referencia e enfase). Como [i , j ] = 0, segue que
i j Z = j i Z
Prova: Vamos mostrar que se R = 0 entao M e localmente isometrica a Rn , ja que a recproca e obvia (a
curvatura e um invariante isometrico local; Exerccio 13.39).
Dado p M , escolha uma base ortonormal
n o
E1 |p , . . . , En |p
para Tp M . Seja x1 , . . . , xn um sistema de coordenadas para uma vizinhanca de p tal que i |p = Ei |p para
todo i (por exemplo, um sistema de coordenadas normal).
Diminuindo a vizinhanca se necessario, podemos assumir que o domnio da parametrizacao e um pequeno
cubo
C = x Rn : xi < , i = 1, . . . , n .
Para cada i faca um transporte paralelo do vetor Ei |p ao longo de todas as imagens parametrizadas
dos eixos do cubo, cobrindo todos os pontos da vizinhanca parametrizada pelo cubo: por exemplo, co-
mece transportando paralelamente o vetor Ei |p ao longo da imagem parametrizada do eixo x1 ; entao, a
partir de cada ponto da imagem parametrizada do eixo x1 , transporte paralelamente ao longo da imagem
parametrizada do segmento paralelo ao eixo x2 ; entao, sucessivamente, transporte paralelamente ao longo
das imagens parametrizadas dos segmentos paralelos aos eixos x3 , . . . , xn . Deste modo, obtemos n campos
vetoriais ortonormais
E1 , . . . , En
definidos na vizinhanca parametrizada pelo cubo C . Estes campos vetoriais sao suaves pela aplicacao
sucessiva do teorema da dependencia suave das solucoes de EDOs nas condicoes iniciais, pois os campos Ei
sao as solucoes do sistema de EDOs
DEi
= 0.
dt
Rodney Josue Biezuner 167
Afirmamos que os campos E1 , . . . , En sao paralelos em C . Para provar isso, basta provar que
i Ej = 0
para todos i, j.
Fixe j. Seja
M k = x C : xk+1 = . . . = xn = 0
a fatia k-dimensional do cubo correspondente a intersecao do plano k-dimensional x1 , . . . , xk , . . . , 0 com o
cubo C . Por construcao, 1 Ej = 0 em M 1 , 2 Ej = 0 em M 2 e, em geral, k Ej = 0 em M k .
Provaremos por inducao que
1 Ej = . . . = k Ej = 0 (13.8)
em M k para todo k; em particular, para k = n, obtemos a afirmacao.
Ja vimos que o caso k = 1 e valido. Assuma a validade de (13.8) para k. Em M k+1 temos k+1 Ej = 0
por construcao e
1 Ej = . . . = k Ej = 0
em M k por hipotese de inducao. Resta apenas mostrar que i Ej = 0 para i = 1, . . . , k no resto de M k+1 .
Para isso, como ja temos i Ej = 0 na fatia k-dimensional M k (a fatia que ocupa o centro de M k+1 ), basta
provar que
k+1 (i Ej ) = 0,
pois isso implicara que o campo i Ej continuara sendo nulo ao ser paralelamente transportado para o resto
de M k+1 . Mas, como R = 0, temos
i k+1 Ej k+1 (i Ej ) [i ,k+1 ] Ej = 0
[Ei , Ej ] = Ei Ej Ej Ei .
Ei Ej = Ej Ei = 0,
donde
[Ei , Ej ] = 0
para todos i, j em C . Portanto, pelo Teorema 8.43, existem coordenadas y 1 , . . . , y n para uma vizinhanca
possivelmente menor de p, tais que
Ei = .
y i
Nestas coordenadas,
k
gij = i
, j = hEi , Ej i = ij ,
y y
logo a parametrizacao das coordenadas y i define uma isometria entre esta vizinhanca parametrizada de p e
um aberto de Rn .
Para a demonstracao original deste resultado para variedades riemannianas por Riemann, comentada e em
notacao moderna, veja [Spivak], Vol. II, pp. 179-204. Observe que a demonstracao acima mostra que se
pudermos encontrar campos E1 , . . . , En ortonormais e paralelos na variedade M , entao ela e localmente
isometrica a Rn . Consequentemente, tais campos em geral nao existem. Isso significa que o transporte
paralelo de vetores ao longo de curvas com extremidades coincidentes em geral da resultados diferentes
(como exemplo, considere o transporte paralelo de um vetor na esfera do polo norte ao polo sul, ao longo
de dois meridianos fazendo um angulo reto). Assim, o tensor curvatura mede a independencia de caminhos
do transporte paralelo (veja Teorema 13.37 no apendice a este captulo). Outra coisa importante que a
curvatura mede e o assim chamado desvio geodesico (veja Proposicao 13.35 no apendice a este captulo).
Este e a influencia da curvatura no transporte paralelo sao discutidos detalhadamente no apendice deste
captulo.
13.5 Proposicao. Vale
R (i , j ) k = i j j i k . (13.9)
Em particular, os componentes do tensor endomorfismo curvatura sao
l
ljk lik
Rijk = m l m l
jk im ik jm + . (13.10)
xi xj
Prova: A primeira afirmacao segue de [i , j ] = 0.
A segunda afirmacao segue da primeira por calculo direto, observando primeiramente que os componentes
do tensor R sao definidos da forma usual, usando a multilinearidade do tensor, por
l
R (X, Y ) Z = Rijk X iY j Z k , (13.11)
xl
de modo que
l
R (i , j ) k = Rijk . (13.12)
xl
Logo, lembrando que
i j = m
ij m ,
Rodney Josue Biezuner 169
segue que
R (i , j ) k
= i j k j (i k )
= i m m
jk m j (ik m )
= i m m
jk m j (ik m )
mjk m
= m
jk i m + m m
ik j
m ik
m
xi xj
ljk lik
= m l
jk im l + l m l
ik jm l
j l
xi x
!
ljk lik
= m l m l
jk im ik jm + l .
xi xj
13.6 Proposicao (Simetrias do Tensor Endomorfismo Curvatura). O tensor endomorfismo curvatura
satisfaz as seguintes propriedades:
(a) R (X, Y ) Z = R (Y, X) Z.
(b) (identidade de Bianchi) R (X, Y ) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X) Y = 0.
Em termos dos componentes do tensor endomorfismo curvatura, estas identidades sao respectivamente
equivalentes a
l l
(a) Rijk = Rjik .
l l l
(b) Rijk + Rjki + Rkij = 0.
Consequentemente,
l
Riik = 0.
Prova: A primeira propriedade segue diretamente da definicao, como ja vimos. A segunda propriedade
segue da simetria da conexao, aplicada duas vezes, e da identidade de Jacobi para o colchete de Lie:
g ] , Y = ] , Y = (Y )
(13.14)
para todo Y .
Em coordenadas,
X [ (Y ) = X i i , Y j j = gij X i Y j = gij X i dxj (Y ) ,
ou seja,
X [ = gij X i dxj . (13.15)
Escrevendo os componentes do covetor X [ em coordenadas na forma
X [ = Xj dxj , (13.16)
segue que
Xj = gij X i . (13.17)
Diz-se que o covetor X [ e obtido a partir do vetor X descendo um ndice. Por este motivo esta operacao e
denotada pelo smbolo bemol, porque em partituras musicais o smbolo bemol e usado para abaixar a altura
da nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ] na
forma
] = i i , (13.18)
segue que
k k , j = (j ) ,
donde
j = gkj k .
Multiplicando pela matriz inversa g ij , como
g ij gjk k = g ij gjk k = ki k = i ,
segue que
n
X
i = g ij j . (13.19)
j=1
Diz-se que o vetor ] e obtido a partir do covetor subindo um ndice. Por este motivo esta operacao
e denotada pelo smbolo sustenido, porque em partituras musicais o smbolo sustenido e usado para subir a
altura da nota musical que lhe segue.
O vetor gradiente e definido a partir da operacao de subir um ndice:
Rodney Josue Biezuner 171
13.8 Definicao. Seja M uma variedade metrica. Dada uma funcao f C (M ), definimos o campo
gradiente de f por
grad f = df ] .
Em outras palavras, o vetor gradiente e definido por
hgrad f, Y i = df (Y )
para todo Y .
Em coordenadas, como
f i
df = dx ,
xi
temos
f
grad f = g ij
j . (13.20)
xi
A operacao de subir ou descer um ndice pode ser aplicada a qualquer tensor:
13.9 Definicao. Seja M uma variedade metrica. Se T Tlk (M ), entao T [ Tl1 k+1
(M ) e o tensor definido
por
T [ X1 , . . . , Xk , Xk+1 , 1 , . . . , q1 , q+1 , . . . , l = T X1 , . . . , Xp , . . . , Xk , 1 , . . . , q1 , Xk+1
[
, q+1 , . . . , l
e T ] Tl+1
k1
(M ) e o tensor definido por
]
T ] X1 , . . . , Xp1 , Xp+1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l , l+1 = T X1 , . . . , Xp1 , l+1 , Xp+1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l .
Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ndice de um tensor teremos que explicitar qual ndice
estamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um smbolo especial. Em
coordenadas, descendo o ultimo ndice, as componentes do tensor resultante sao dadas por
j ...j [
i1 , . . . , ik , ik+1 , dxj1 , . . . , dxjl1
Ti11...ikl1
ik+1 = T
[
= T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl1 , ik+1
= T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl1 , gik+1 p dxp
j ...j p
= gik+1 p Ti11...ikl1 ,
= g jl+1 q Tij11...i
...jl
k1 q
,
Rodney Josue Biezuner 172
Outra aplicacao importante do isomorfismo musical e estender a operacao de tomar o traco de tensores.
Enquanto que o traco de tensores elimina um ndice covariante e um ndice contravariante, o traco em relacao
a metrica definido a seguir elimina dois ndices covariantes.
13.10 Definicao. Seja M uma variedade metrica. Se T Tlk (M ), entao o traco de T em relacao a
metrica g e o tensor trg T Tlk2 (M ) definido por
trg T = tr T ] .
Em coordenadas, o traco de T em relacao a metrica g em relacao aos dois ultimos ndices, subindo o ultimo
ndice antes de tomar o traco, e dado por
j ...jl j1 ...jl i
(trg T )i11...ik2 = T ] i1 ...i i = g ij Tij11...i
...jl
k2 ij
.
k2
Por exemplo, se T T 2 (M ) e um tensor simetrico, de forma que nao importa qual ndice escolhemos subir,
entao trg T T 0 (M ) = C (M ) e a funcao definida por
i
trg T = T ] i
= g ij Tij .
13.11 Exemplo (Contracao do Tensor Metrica). Estamos agora em condicao de entender porque
denotamos a inversa da matriz metrica G = (gij ) por G1 = g ij , ou seja, porque
g ik gkj = ji .
Em particular,
l
Rijk = g ml Rijkm . (13.26)
Prova: Pois o tensor curvatura e obtido atraves do tensor endomorfismo curvatura pela operacao de descer
o seu unico ndice contravariante, enquanto que o tensor endomorfismo curvatura e obtido atraves do tensor
curvatura pela operacao inversa, isto e, subir o seu ultimo ndice. Tambem podemos provar diretamente: a
primeira identidade segue de
Rijkl = R (i , j , k , l ) = hR (i , j ) k , l i
m m
= Rijk m , l = Rijk hm , l i
m
= gml Rijk ,
Potencialmente, o tensor curvatura tem n4 componentes. A presenca de simetrias reduz bastante o
numero de componentes nao nulas e de componentes independentes:
13.14 Proposicao (Simetrias do Tensor Curvatura). O tensor curvatura satisfaz as seguintes propri-
edades:
(a) R (X, Y, Z, W ) = R (Y, X, Z, W ) .
(b) R (X, Y, Z, W ) = R (X, Y, W, Z) .
(c) R (X, Y, Z, W ) = R (Z, W, X, Y ) .
(d) (identidade de Bianchi) R (X, Y, Z, W ) + R (Y, Z, X, W ) + R (Z, X, Y, W ) = 0.
Em termos dos componentes do tensor curvatura, estas identidades sao respectivamente equivalentes a
(a) Rijkl = Rjikl .
(b) Rijkl = Rijlk .
(c) Rijkl = Rklij .
(d) Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0.
Prova: (a) Segue imediatamente de
R (X, Y ) Z = R (Y, X) Z.
(b) Como
R (X, Y, Z, Z) = hR (X, Y ) Z, Zi
= hX Y Z, Zi hY X Z, Zi [X,Y ] Z, Z .
Rodney Josue Biezuner 174
hX Y Z, Zi = X hY Z, Zi hY Z, X Zi ,
hY X Z, Zi = Y hX Z, Zi hX Z, Y Zi ,
1
[X,Y ] Z, Z = [X, Y ] hZ.Zi .
2
Logo, novamente pela compatibilidade da metrica,
1
R (X, Y, Z, Z) = X hY Z, Zi Y hX Z, Zi [X, Y ] hZ.Zi
2
1 1 1
= X (Y hZ, Zi) Y (X hZ, Zi) [X, Y ] hZ.Zi
2 2 2
1
= [(XY Y X) hZ, Zi [X, Y ] hZ.Zi]
2
1
= [[X, Y ] hZ, Zi [X, Y ] hZ.Zi]
2
= 0.
(d) A identidade de Bianchi para o tensor curvatura segue da identidade de Bianchi para o tensor endomor-
fismo curvatura.
(c) Segue da identidade de Bianchi aplicadas as quatro permutacoes cclicas dos quatro vetores:
Somamos estas 4 identidades. Aplicando (a) cancelamos todos os termos das primeiras duas colunas ((1, 1)
cancela com (4, 2), (2, 1) cancela com (1, 2), (3, 1) cancela com (2, 2) e (4, 1) cancela com (3, 2)). Quanto aos
termos da ultima coluna, segue de (a) e (b) que
R (Z, X, Y, W ) = R (X, Z, W, Y ) ,
R (W, Y, Z, X) = R (Y, W, X, Z) ,
2R (Z, X, Y, W ) + 2R (W, Y, Z, X) = 0.
Da,
R (Z, X, Y, W ) = R (W, Y, Z, X) = R (Y, W, Z, X) .
13.15 Corolario. Vale
R (X, X, Z, W ) = R (X, Y, Z, Z) = 0.
Em termos dos componentes do tensor curvatura,
Alem disso, qualquer soma de tres componentes do tensor curvatura obtidos atraves da permutacao cclica
de tres ndices e igual a zero.
Rodney Josue Biezuner 175
Prova: A validade das duas primeiras identidades foram vistas na demonstracao da proposicao; de qualquer
modo, Riikl = 0 segue da propriedade (a) e Rijkk = 0 segue da propriedade (b). A prova da ultima afirmacao
e deixada como exerccio (Exerccio 13.40).
13.16 Corolario. Se M e uma variedade metrica de dimensao 2, entao das 24 = 16 componentes do tensor
curvatura, existem 12 componentes nulas e apenas uma componente independente.
Prova: Pelo corolario temos
As componentes potencialmente nao nulas sao apenas R1212 , R1221 , R2112 , R2121 . E possvel escolher uma
dentre estas quatro e escrever as tres outras em funcao dela usando as relacoes de simetria. Por exemplo,
escolhendo R1212 , temos
R1221 = R1212 ,
R2112 = R1212 ,
R2121 = R2112 = R1212 .
Observe que a simetria da identidade de Bianchi nao desempenha nenhum papel, porque no caso n = 2,
como tambem no caso n = 3, ela e consequencia de (a)-(c). De fato, como no maximo 3 ndices sao diferentes
nestes casos, pelo menos um dos coeficientes na soma cclica (d) sera da forma Rijkk e portanto nulo, logo
ela se reduzira a uma ou duas das propriedades (a)-(c). Basta ver isso no caso k = l:
e equivalente a (Rijkk = 0)
Rjkik + Rkijk = 0
ou seja,
Rjkik = Rkijk ,
que corresponde a aplicar (c) e depois (a).
As propriedades de simetria do endomorfismo curvatura reduzem um pouco o numero de componentes a
calcular, mas nao tanto quanto o tensor curvatura, ja que nao tem tantas simetrias. Pela Proposicao 13.6
temos imediatamente 8 componentes nulas
1 2 1 2
R111 = R111 = R112 = R112 = 0,
1 2 1 2
R221 = R221 = R222 = R222 = 0,
13.17 Exemplo (Curvatura da Esfera). Considerando a esfera como uma superfcie de revolucao com
parametrizacao
(x, y, z) (, ) = (r sen cos , r sen sen , r cos ),
vimos no Exemplo 12.7 que
g11 = r2 ,
g12 = g21 = 0,
g22 = r2 sen2 ,
Primeiro calcularemos as componentes do tensor endomorfismo curvatura. Como observado antes, basta
1 1 2 2
calcular as 4 componentes independentes R121 , R212 , R121 , R212 . Para isso usamos a formula
l
ljk lik
Rijk = m l m l
jk im ik jm +
xi xj
ljk lik
= 1jk li1 1ik lj1 + 2jk li2 2ik lj2 + .
xi xj
Fazendo k = i, segue que
l
lji lii
Riji = 1ji li1 1ii lj1 + 2ji li2 2ii lj2 + .
xi xj
Veremos que ha apenas 2 componentes independentes nao nulas.
1 1
No caso l = 1, temos que calcular R121 e R212 . O unico smbolo de Christoffel 1ij nao nulo e 122 e
2ii = 0 para todo i, logo para i 6= j temos
1
1ji 1ii
Riji = 1ji 1i1 1ii 1j1 + 2ji 1i2 2ii 1j2 +
xi xj
1ii
= 2ji 1i2 .
xj
Da,
1 111
R121 = 221 112 =0
e
1 122
R212 = 212 122
cos ( sen cos )
= ( sen cos )
sen
2 2 2
= cos + cos sen
= sen2 .
Rodney Josue Biezuner 177
2 2
No caso l = 2, temos que calcular R121 e R212 . Para i 6= j temos
l
2ji 2ii
Riji = 1ji 2i1 1ii 2j1 + 2ji 2i2 2ii 2j2 +
xi xj
2ji
= 2ji 2i2 1ii 2j1 + .
xi
Da,
2 221
R121 = 221 212 111 221 +
cos cos cos
= 0+
sen sen sen
2
cos sen cos2
2
= +
sen2 sen2
= 1
e
2 212
R212 = 212 222 122 211 + = 0.
Portanto,
1 1
R212 = R122 = sen2 ,
2 2
R121 = R211 = 1,
enquanto que as demais 12 componentes sao todas nulas.
Para calcular as 24 = 16 componentes do tensor curvatura da esfera, pelo Corolario 13.16 basta calcular
uma componente nao nula. Como
m 1 2
Rijkl = gml Rijk = g1l Rijk + g2l Rijk
segue que
1 2
R1212 = g12 R121 + g22 R121 = r2 sen2 .
Portanto, as 4 componentes nao nulas do tensor curvatura da esfera sao
R1212 = r2 sen2 ,
R1221 = R1212 = r2 sen2 ,
R2112 = R1212 = r2 sen2 ,
R2121 = R1212 = r2 sen2 .
13.18 Exemplo (Curvatura do Plano Hiperbolico). Como vimos no Exemplo 12.9, temos
1
g11 = g22 = ,
y2
g12 = g21 = 0,
e
111 = 122 = 212 = 221 = 0,
1
211 = ,
y
1
112 = 121 = 222 = .
y
Rodney Josue Biezuner 178
l
lji lii
Riji = 1ji li1 1ii lj1 + 2ji li2 2ii lj2 + .
xi xj
No caso l = 1, para i 6= j,
1
1ji 1ii
Riji = 1ji 1i1 1ii 1j1 + 2ji 1i2 2ii 1j2 + i
x xj
1ji
= 1ji 1i1 2ii 1j2 + .
xi
Da
1 121
R121 = 121 111 211 122 + =0
x
e
1 112
R212 = 112 121 222 112 +
y
1 1 1 1
= 2 + 2 = 2.
y2 y y y
No caso l = 2, para i 6= j,
1
2ji 2ii
Riji = 1ji 2i1 1ii 2j1 + 2ji 2i2 2ii 2j2 + i
x xj
2
ii
= 1ji 2i1 1ii 2j1 + 2ji 2i2 2ii 2j2 .
xj
Da,
2 211
R121 = 121 211 111 221 + 221 212 211 222
y
1 1 1
= +00+ 2 + 2
y2 y y
1
=
y2
e
2 222
R212 = 112 221 122 211 + 212 222 222 212 = 0.
x
Portanto,
1 1 2 2 1
R122 = R212 = R121 = R211 =
y2
e as demais 12 componentes sao todas nulas.
Para calcular as componentes do tensor curvatura do plano hiperbolico, basta calcular a componente nao
nula
1 2 1
R1212 = g12 R121 + g22 R121 = 4.
y
Rodney Josue Biezuner 179
A partir de n > 4, identidade de Bianchi reduz o numero de componentes independentes. Para ver isso de
forma concreta no caso n = 4, primeiro observe que seguindo o raciocnio acima restam apenas
n2 n2 1
= 21
12
n=3
componentes independentes, que sao exatamente as componentes da parte triangular superior ou inferior da
matriz
kl
12 13 14 23 24 34
ij
12 R1212 R1213 R1214 R1223 R1224 R1234
13 R1312 R1313 R1314 R1323 R1324 R1334
14 R1412 R1413 R1414 R1423 R1424 R1434
23 R2312 R2313 R2314 R2323 R2324 R2334
24 R2412 R2413 R2414 R2423 R2424 R2434
34 R3412 R3413 R3414 R3423 R3424 R3434
No caso n = 4 a identidade de Bianchi desempenha um papel, reduzindo de 21 para 20 o numero de
componentes independentes. De fato, como visto no final da demonstracao do Corolario 13.16, qualquer nova
condicao deve envolver 4 ndices distintos. As componentes com 4 ndices diferentes ocupam a antidiagonal
da matriz acima, logo so ha 3 componentes independentes com 4 ndices diferentes; por exemplo, na parte
triangular superior da matriz acima estas componentes sao: R1234 , R1423 = R2314 e R1324 = R3124 . A
identidade de Bianchi
R1234 + R2314 + R3124 = 0
permite escrever
R1234 = R2314 R3124 ,
o que elimina R1234 como componente independente.
No caso geral, a identidade de Bianchi elimina n4 componentes independentes, ja que este e o numero
de modos que podemos escolher 4 ndices diferentes dentre n ndices e a identidade de Bianchi elimina um
destes (no caso n = 5, a identidade de Bianchi eliminara R1234 , R1345 , R1245 , R1235 , R2345 como componentes
independentes). Portanto, o numero total final de componentes independentes e
n4 2n3 + 3n2 2n n4 2n3 + 3n2 2n
n n!
=
8 4 8 (n 4)!4!
n4 2n3 + 3n2 2n n (n 1) (n 2) (n 3)
=
8 24
3n 6n + 9n 6n n4 6n3 + 11n2 6n
4 3 2
=
24
2n4 2n2
=
24
n2 n2 1
= .
12
Assim, existem 6 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao 3 dentre
34 = 81 componentes, e 20 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao
4 dentre 44 = 256 componentes, como as que sao estudadas em relatividade geral.
tensor curvatura estamos perdendo informacao: os tensores mais simples contem menos informacao que o
tensor original. O mais importante dentre estes tensores e o tensor de Ricci.
13.20 Definicao. Seja M uma variedade metrica. O tensor curvatura de Ricci de M (ou simplesmente
tensor de Ricci) denotado Ric, e o campo tensorial covariante de ordem 2 definido como o traco do tensor
endomorfismo curvatura em relacao ao seu primeiro ndice covariante e seu unico ndice contravariante ou,
equivalentemente, como o traco em relacao a metrica do tensor curvatura no seu primeiro e ultimo ndices.
Portanto, os componentes da curvatura de Ricci sao dados por
k
Rij = Rkij = g km Rkijm . (13.30)
Pelas simetrias do tensor endomorfismo curvatura, usar tracos diferentes nao faria diferenca ou apenas
implicaria em uma troca de sinal:
n
X n
X n
X
k k k
Rij = Rkij = Rikj = Rijk .
k=1 k=1 k=1
Prova: Temos
Rij = g km Rkijm = g km Rjmki = g mk Rmjik = Rji .
O segundo tensor e a curvatura escalar, que e uma funcao real.
13.22 Definicao. Seja M uma variedade metrica. A curvatura escalar de M , denotada S, e a funcao
real S : M R definida como o traco em relacao a metrica do tensor de Ricci:
13.23 Exemplo (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar da Esfera). Para variedades metricas de
dimensao 2 a curvatura de Ricci e
k 1 2
Rij = Rkij = R1ij + R2ij .
Referindo aos calculos efetuados no Exemplo 13.17, segue que a curvatura de Ricci da esfera e
1 2
R11 = R111 + R211 = 1,
1 2
R12 = R21 = R112 + R212 = 0,
1 2
R22 = R122 + R222 = sen2 .
1 sen2 2
S= + = 2.
r2 r2 sen2 r
Ou seja, a curvatura escalar da esfera tende a 0 (curvatura escalar do plano euclideano) quando r .
Rodney Josue Biezuner 182
13.24 Exemplo (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar do Plano Hiperbolico). Referindo aos
calculos efetuados no Exemplo 13.18, segue que
1 2 1
R11 = R111 + R211 = ,
y2
1 2
R12 = R21 = R112 + R212 = 0,
1 2 1
R22 = R122 + R222 = 2.
y
Logo, a curvatura escalar do plano hiperbolico e
2 1 2 1
S = y 2 + y 2 = 2.
y y
Como o tensor metrica e a curvatura de Ricci sao ambos tensores 2-covariantes simetricos, e natural se
perguntar se existe uma relacao mais direta entre eles.
13.25 Definicao. Uma variedade metrica M e chamada uma variedade de Einstein se existe uma funcao
f : M R tal que
Ric = f g. (13.33)
Neste caso, dizemos tambem que g e uma metrica de Einstein.
Pela Proposicao 13.32, variedades de curvatura seccional constante (esta nocao de curvatura sera definida
na proxima secao) sao variedades de Einstein. Observe que como
pois
trg g = g jk gjk = g jk gkj = jj = n,
segue que
S
f= .
n
Logo,
13.26 Proposicao. M e uma variedade de Einstein se e somente se
S
Ric = g. (13.34)
n
O nome variedades de Einstein vem da equacao de Einstein (em unidades geometrizadas G = c = 1) que
como deduziremos mais tarde e
1
Ric Sg + g = 8T,
2
onde T e um 2-tensor simetrico (o tensor de momento-energia) que descreve a densidade e fluxo do momento
e energia presentes em cada ponto do espaco-tempo e e a constante cosmologica. No vacuo, T = 0 e a
equacao de Einstein se torna
1
Ric Sg + g = 0
2
(e assim, a constante cosmologica mede a densidade de energia do vacuo). Tomando o traco desta equacao
com respeito a metrica, como trg Ric = S e trg g = n = 4 para o espaco-tempo 4-dimensional, segue que
S 2S + 4 = 0
Rodney Josue Biezuner 183
ou seja,
S = 4
(curvatura escalar do vacuo). Segue que a equacao de Einstein para o vacuo e
Ric = g,
ou seja, a metrica do vacuo e uma metrica de Einstein no sentido da Definicao 13.33. Vale a pena observar
que Einstein considerou como o seu maior erro a introducao da constante cosmologica na sua equacao da
relatividade geral. Ele a introduziu para poder produzir um universo estatico; quando Hubble observou a
expansao do universo atraves do afastamento mutuo das galaxias, Einstein removeu a constante cosmologica
da sua equacao (o que equivale efetivamente a considerar = 0). Quando no final da decada de 90 foi
observada a aceleracao da expansao do universo, ela foi reintroduzida, com valor positivo a ser determinado
atraves de experimentos (correntemente, o valor e bem proximo de zero).
Matematicamente, o interesse em metricas de Einstein provem de um resultado provado por Hilbert:
metricas de Einstein sao pontos crticos para o funcional curvatura escalar
Z
S (g) = S dV
M
13.28 Proposicao. v, w V sao linearmente independentes se e somente se
|v w| =
6 0.
Assuma w 6= 0, caso contrario v e w sao automaticamente linearmente dependentes e nao ha nada que precise
ser provado. Considere o vetor
hv, wi
z=v 2 w.
kwk
Rodney Josue Biezuner 184
Temos
* +
2 hv, wi hv, wi
kzk = hz, zi = v 2 w, v 2 w
kwk kwk
* + * + * +
hv, wi hv, wi hv, wi hv, wi
= hv, vi v, 2 w 2 w, v + 2 w, 2 w
kwk kwk kwk kwk
2 2 2 2
2 hv, wi hv, wi hv, wi kwk
= kvk 2 2 + 4
kwk kwk kwk
2 2 2 2
= kvk kvk kvk + kvk
= 0.
logo
hv, wi
v= 2 w.
kwk
13.29 Definicao. Seja M uma variedade metrica e um plano de Tp M . A curvatura seccional de M
associada a e definida por
R (X, Y, Y, X) R (X, Y, Y, X)
K (X, Y ) = 2 = 2 2 2. (13.36)
|X Y | kXk kY k hX, Y i
X = a11 Z + a21 W,
Y = a12 Z + a22 W.
Temos, usando as simetrias do tensor curvatura (em primeiro lugar, o fato que R (Z, Z, , ) = R (W, W, , ) =
R (, , Z, Z) = R (, , W, W ) = 0),
2
= (det A) R (Z, W, W, Z) ,
Rodney Josue Biezuner 185
|X Y |
2 2 2
= kXk kY k hX, Y i
2 2 2
= ka11 Z + a21 W k ka12 Z + a22 W k ha11 Z + a21 W, a12 Z + a22 W i
2 2 2 2
= a211 kZk + 2a11 a21 hZ, W i + a221 kW k a212 kZk + 2a12 a22 hZ, W i + a222 kW k
h i2
2 2
a11 a12 kZk + (a11 a22 + a21 a12 ) hZ, W i + a21 a22 kW k
4 2 4 2 2
= a211 a212 kZk + 4 (a11 a21 a12 a22 ) hZ, W i + a221 a222 kW k + a211 a222 + a221 a212 kZk kW k
2 2
+ 2 a211 a12 a22 + a212 a11 a21 kZk hZ, W i + 2 a221 a12 a22 + a222 a11 a21 kW k hZ, W i
4 2 4 2 2
a211 a212 kZk a211 a222 + 2a11 a12 a21 a22 + a212 a221 hZ, W i a221 a222 kW k 2 (a11 a12 a21 a22 ) kZk kW k
2 2
2 a211 a12 a22 + a212 a11 a21 kZk hZ, W i 2 a221 a12 a22 + a222 a11 a21 kW k hZ, W i
h i
2 2 2
= a211 a222 2a11 a12 a21 a22 + a212 a221 kZk kW k hZ, W i
2
= (det A) |Z W | .
Logo,
R (X, Y, Y, X) R (Z, W, W, Z)
= .
|X Y | |Z W |
O conhecimento da curvatura seccional para todos os planos determina o tensor curvatura:
13.30 Proposicao. Se R1 e R2 sao dois tensores covariantes de ordem 4 em um espaco vetorial V que
satisfazem as propriedades de simetria listadas na Proposicao 13.14 tais que
K1 (X, Y ) = K2 (X, Y )
R1 = R2 .
(segue diretamente da definicao no caso em que X, Y sao linearmente independentes; se X, Y sao linearmente
dependentes, um e multiplo escalar do outro e a identidade e trivial, ja que cada lado e igual a zero pelas
propriedades de simetria). Da,
R1 (X + Z, Y, Y, X + Z) = R2 (X + Z, Y, Y, X + Z) . (13.38)
Como
R1 (X + W, Y, Y, X + W ) = R1 (X, Y, Y, X) + R1 (X, Y, Y, W )
+ R1 (W, Y, Y, X) + R1 (W, Y, Y, W )
= R1 (X, Y, Y, X) + 2R1 (X, Y, Y, W ) + R1 (W, Y, Y, W )
Como
Defina agora
R = R1 R2 . (13.42)
Entao R e um 4-tensor covariante que satisfaz as mesmas propriedades que R1 , R2 satisfazem. A identidade
(13.41) implica que
R (X, Y, Z, W ) + R (X, Z, Y, W ) = 0.
Portanto, R e antisimetrico com relacao a qualquer par adjacente de ndices: a relacao acima prova a
antisimetricidade de R para o par adjacente interno e das regras de simetria da Proposicao 13.14 obtemos a
antisimetricidade em relacao aos pares adjacentes esquerdo e direito. Da
Da identidade de Bianchi
ou seja,
n
X
Ric (X, X) = K (X, Ek ) . (13.43)
k=2
Em outras palavras, para cada vetor unitario X Tp M , Ric (X, X) e a soma das curvaturas seccionais de
planos gerados por X e os outros vetores de uma base ortonormal. Por outro lado, como Ric e bilinear e
Rodney Josue Biezuner 187
simetrico, ele e completamente determinado pelos seus valores Ric (X, X) em vetores unitarios X: se X, Y
sao vetores tais que X + Y, X Y 6= 0,
1
Ric (X, Y ) = (Ric (X + Y, X + Y ) Ric (X Y, X Y ))
4
1 2 X +Y X +Y 2 X Y X Y
= kX + Y k Ric , kX Y k Ric ,
4 kX + Y k kX + Y k kX Y k kX Y k
" n n
#
1 2
X 2
X
= kX + Y k K (X + Y, Ek ) kX Y k K (X Y, Fk ) ,
4
k=2 k=2
Similarmente, se {E1 , . . . , En } e uma base ortonormal para Tp M , entao a curvatura escalar e dada por
n
X
S = g ij Rij = ij Rij = Rii = Ric (Ei , Ei ) ,
i=1
ou seja, X
S= K (Ei , Ej ) . (13.44)
i6=j
Em outras palavras, a curvatura escalar e a soma de todas as curvaturas seccionais de planos gerados por
pares de vetores de uma base ortonormal.
13.31 Exemplo (Curvaturas de Variedades de Dimensao 2). No caso de variedades de dimensao 2
existe apenas um plano em Tp M : o proprio. Para estas variedades, a curvatura seccional pode ser considerada
uma funcao K : M R. Alem disso, se {E1 , E2 } e uma base ortonormal para Tp M , segue da discussao
anterior que
S (p) = 2K (E1 , E2 ) = 2K (p) ,
ou seja, para variedades riemannianas de dimensao 2 a curvatura seccional e essencialmente a curvatura
escalar:
S = 2K. (13.45)
Alem disso, temos
R (X, Y, Z, W ) = K (p) [hX, W i hY, Zi hX, Zi hY, W i] (13.46)
De fato, o unico componente independente de R e
Como a equacao acima define um tensor 4-covariante de ordem 4 que tem as mesmas componentes que R,
ele e R. Segue que
Ric (X, Y ) = K (p) g (X, Y ) , (13.47)
Rodney Josue Biezuner 188
pois
" n n
#
1 2
X 2
X
Ric (X, Y ) = kX + Y k K (X + Y, Ek ) kX Y k K (X Y, Fk )
4
k=2 k=2
1h 2 2
i
= kX + Y k K (X + Y, E2 ) kX Y k K (X Y, F2 )
4
1h 2 2
i
= K (p) kX + Y k kX Y k
4
= K (p) g (X, Y ) .
Em particular, toda variedade de dimensao 2 e uma variedade de Einstein:
S
Ric = g. (13.48)
2
Entao R
e satisfaz todas as propriedades de simetria da Proposicao 13.14. De fato,
e (Y, X, Z, W ) = K0 [hY, W i hX, Zi hY, Zi hX, W i]
R
= K0 [hX, W i hY, Zi hX, Zi hY, W i]
=Re (X, Y, Z, W ) ,
R
e (X, Y, Z, W ) + R
e (Y, Z, X, W ) + R
e (Z, X, Y, W )
= K0 [hX, W i hY, Zi hX, Zi hY, W i + hY, W i hZ, Xi hY, Xi hZ, W i + hZ, W i hX, Y i hZ, Y i hX, W i]
= 0.
Como
R
e (X, Y, Y, X) K0 [hX, Xi hY, Y i hX, Y i hX, Y i]
K
e (X, Y ) =
2 2 2 = 2 2 2 = K0 , (13.54)
kXk kY k hX, Y i kXk kY k hX, Y i
segue da Proposicao 13.30 que R = R e e a recproca segue entao de (13.54).
(13.49) e equivalente a (13.50): claramente (13.50) segue de (13.49) pela definicao da curvatura a partir
do endomorfismo curvatura; reciprocamente, se (13.50) vale, entao
Se X, Y sao vetores nao nulos, como vimos na discussao no final da secao anterior, temos
" n n
#
1 2
X 2
X
Ric (X, Y ) = kX + Y k K (X + Y, Ek ) kX Y k K (X Y, Fk )
4
k=2 k=2
1h 2 2
i
= kX + Y k (n 1) K0 kX Y k (n 1) K0
4
1h 2 2
i
= (n 1) K0 kX + Y k kX Y k
4
= (n 1) K0 hX, Y i ;
13.33 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada ponto p M escolha uma base ortonor-
mal {E1 , E2 , . . . , En } de Tp M e defina
Rijkl = R (Ei , Ej , Ek , El ) .
para todo p M .
Rodney Josue Biezuner 190
Como um tensor e determinado pelos seu valores em uma base, esta equacao e valida se e somente se
Vemos que em uma variedade riemanniana de curvatura seccional constante o tensor curvatura pode ser
expresso diretamente em funcao da metrica.
Aqui, n = 3. Pela segunda lei de Newton, a equacao de movimento para cada trajetoria (para cada s fixado)
e dada por
2F
(s, t) + U (s, t) = 0
t2
onde U e o potencial gravitacional Newtoniano. Para calcular a aceleracao relativa entre as trajetorias
produzidas por forcas de mare, calculamos
2F
(s, t) + U (s, t) = 0.
s t2
Escrevendo em coordenadas
2F
(s, t) = x1 (s, t) , . . . , xn (s, t)
t 2
e
U U
(s, t) = (s, t) , . . . , n (s, t) .
x1 x
Segue que, comutando derivadas,
2 xi 2 xi
2
= 2
s t t s
enquanto que, pela regra da cadeia,
n
X 2 U xj
U
i
= .
s x j=1
xi xj s
O termo
2 2 x1 xn
F
= ,...,
t2 s t2 s s
e a aceleracao relativa das trajetorias, enquanto que o termo
n
X 2 U xj
i,j=1
xi xj s
ou seja, partculas seguindo ao longo de retas paralelas nao sofrem aceleracao uma em direcao a outra, porque
no final das contas as retas paralelas se mantem a mesma distancia uma da outra e F/s = 0. Mas em
variedades riemannianas (nao localmente isometricas a Rn , como veremos mais tarde) isso nao e verdade
D D
porque as derivadas covariantes e nao comutam, de modo que, enquanto que
dt ds
D D F
= 0,
ds dt t
em geral temos
D2
F
6= 0
dt2 s
e existe uma aceleracao temporal mensuravel entre as trajetorias geodesicas na variedade. De fato, a nao
comutatividade das derivadas covariantes pode ser medida pelo tensor curvatura:
13.34 Lema (Curvatura como medida da nao comutividade da Derivada Covariante). Seja F :
(, ) [a, b] M uma variacao e V um campo vetorial ao longo de F . Entao,
D DV D DV F F
=R , V.
dt ds ds dt t s
Prova: Escreva
F (s, t) = x1 (s, t) , . . . , xn (s, t)
e
V = V i (s, t) i
em uma vizinhanca coordenada. Entao
DV D V i D
= V i i = i + V i i ,
ds ds s ds
donde
D DV 2V i V i D V i D DD
= i + i + i + V i i .
dt ds st s dt t ds dt ds
Trocando a letra t pela letra s, tambem obtemos
D DV 2V i V i D V i D DD
= i + i + i + V i i .
ds dt st t ds s dt ds dt
Logo,
D DV D DV DD DD
=Vi i . (13.55)
dt ds ds dt dt ds ds dt
Como
F xj
= j ,
t t
F xk
= k ,
s s
temos
D xk
i = xk i = k i .
ds s k s
Rodney Josue Biezuner 193
Da,
xk
DD D
i = k i
dt ds dt s
2 xk xk D
= i + (k i )
st k s dt
2 xk xk
= i + xj (k i )
st k s t j
2 xk k
x x j
= i + j k i .
st k s t
Da mesma forma, trocando t por s e depois j por k,
DD 2 xk xk xj
i = i + j k i
ds dt ts k t s
2 xk xj xk
= i + k j i .
st k t s
Portanto,
D DV D DV xj xk
=Vi
j k i k j i
dt ds ds dt t s
j
x xk
=Vi R (j , k ) i
t s
pois
[j ,k ] i = 0
ja que [j , k ] = 0. O fato de que R e um tensor permite agora escrever
xj xk
D DV D DV
=R j , k V i i
dt ds ds dt t s
F F
=R , V.
t s
Observe que definir a curvatura simplesmente por
R (X, Y ) Z = X Y Z Y X Z,
de modo que a curvatura mediria apenas e diretamente o grau de nao comutatividade da derivada covariante,
nao e satisfatorio, porque esta expressao nao define um tensor. De fato, ela nao e linear na terceira variavel:
X Y (f Z) Y X (f Z) = X (f Y Z) X ((Y f ) Z) Y (f X Z) + Y ((Xf ) Z)
= f X Y Z + (Xf ) Y Z + (Y f ) X (Z) + X (Y f ) Z
f Y X Z (Y f ) X Z (Xf ) Y Z Y (Xf ) Z
= f X Y Z f Y X Z + [X (Y f ) Y (Xf )] Z
= f (X Y Z Y X Z) + [X, Y ] (f ) Z.
R (X, Y ) Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z.
Rodney Josue Biezuner 194
pois
[X,Y ] (f Z) = f [X,Y ] Z + [X, Y ] (f ) Z
e o termo [X, Y ] (f ) Z que restou acima e eliminado, deixando f [X,Y ] Z. A demonstracao do Lema 13.34
nao funciona se R nao e um tensor.
Podemos agora calcular a aceleracao temporal entre as geodesicas da variedade.
13.35 Proposicao (Equacao do Desvio Geodesico). Seja F : (, ) [a, b] M uma variacao
geodesica. Entao,
D2 F
F F F
+R , =0
dt2 s s t t
Prova: Como cada trajetoria de F e uma geodesica, temos
D F
= 0,
dt t
donde
D D F
= 0.
ds dt t
Invocando o Lema de Simetria 12.25 (cuja validade depende de que o tensor torcao seja nulo), obtemos
D D F D D F F F F
0= = R ,
ds dt t dt ds t t s t
D D F F F F
= +R ,
dt dt s s t t
2
D F F F F
= +R , .
dt2 s s t t
A equacao do desvio geodesico da Relatividade Geral e chamada equacao de Jacobi em Geometria Rie-
manniana. Em Relatividade Geral, o termo da curvatura
F F F
R ,
t s t
e interpretado como sendo o responsavel pelas forcas que produzem efeitos de mare, isto e, a curvatura
do espacotempo e que causa os efeitos de mare, fazendo com que partculas-teste que seguem trajetoria
geodesicas no espacotempo acelerem uma na direcao da outra.
F : [a, b] [c, d] M.
Um campo vetorial ao longo de F e um campo diferenciavel V : [a, b] [c, d] T M tal que V (s, t)
TF (s,t) M para cada (s, t).
Rodney Josue Biezuner 195
Uma superfcie parametrizada difere em poucos detalhes de uma variacao. Em particular, o Lema 13.34 vale
para uma superfcie parametrizada.
13.37 Teorema (Efeito da Curvatura no Transporte Paralelo em uma Trajetoria Fechada). Seja
F : [s0 , S] [t0 , T ] M uma superfcie parametrizada e denote
p = F (s0 , t0 ) ,
F
U= ,
s (s0 ,t0 )
F
V = .
t (s0 ,t0 )
Seja
: Tp M Tp M
o transporte paralelo ao longo das curvas da fronteira desta superfcie parametrizada, isto e,
= ts00+tt0 st00+ss
+t
0
ts00t
+s
0 +t
st00s0 +s
onde
Se W Tp M , entao
1
R (U, V ) W = lim (W (W )) .
s,t0 st
Rodney Josue Biezuner 196
Prova: Como
st00+ss
+t
0
st00s
+t
0 +s
= id,
ts00+tt0 ts00t0 +t = id,
podemos escrever
h i
W (W ) = ts00+tt0 st00+ss
+t
0
s
t0 +t
0 s0 +s t
s0
0 t 0 +t (W ) t
s0 +s
0 t0 +t s
t0
0 s0 +s (W ) .
Ja que
lim ts00+tt0 st00+ss
+t
0
= id,
s,t0
Isso e equivalente a calcular a diferenca entre os transportes paralelos do vetor W de Tp M ate Tq M , onde
q = F (t0 + t, s0 + s) e o vertice oposto do retangulo ao longo dos dois caminhos possveis da fronteira
do retangulo.
Pelo Lema 11.27 (substituindo a derivada covariante pela derivada covariante ao longo de uma curva e
invertendo a aplicacao do transporte paralelo), temos para s, t quaisquer
onde Y e um campo ao longo da superfcie tal que Y(s0 ,t0 ) = W . Com esta expressao em mente, reescrevemos
o lado direito de (13.56) adicionando e subtraindo termos, de modo a decompor os dois caminhos do retangulo
nos quatro lados do mesmo:
st00s
+t
0 +s
ts00t0 +t (W ) ts00t
+s
0 +t
st00s0 +s (W )
= st00s
+t
ts00t0 +t Y(s0 ,t0 ) ts00t
+s
st00s0 +s Y(s0 ,t0 )
0 +s 0 +t
= st00s
+t
s0
0 +s
t0 t0 +t Y(s0 ,t0 ) Y(s0 ,t0 +t)
+ st00s
+t
0 +s
Y(s0 ,t0 +t) Y(s0 +s,t0 +t)
ts00t
+s
t0
0 +t
s0 s0 +s Y(s0 ,t0 ) Y(s0 +s,t0 )
ts00t
+s
0 +t
Y(s0 +s,t0 ) + Y(s0 +s,t0 +t) .
Rodney Josue Biezuner 197
13.7 Exerccios
13.38 Exerccio. Mostre que toda aplicacao
T : T 1 (M ) . . . T 1 (M ) T1 (M ) . . . T1 (M ) C (M )
multilinear sobre C (M ) e induzida por um campo tensorial em Tlk (M ).
13.39 Exerccio. Mostre que a curvatura e um invariante isometrico local. Conclua que
R (X, Y ) Z = 0
para qualquer variedade metrica localmente isometrica a Rn .
13.40 Exerccio. Usando (a)-(d) da Proposicao 13.14, prove o Corolario 13.15.
Captulo 14
Gostaramos de definir uma nocao completa de calculo diferencial em variedades diferenciaveis, isto e, deriva-
das segundas e todas as derivadas de ordem superior. A derivada de uma funcao real f (sua diferencial) e um
funcional linear df , isto e, um tensor 1-covariante. Para podermos derivar mais uma vez, precisamos definir
a nocao da derivada de um tensor 1-covariante. Para definirmos derivadas de ordem superior, precisamos
definir as derivadas de tensores de todos os tipos (k, l). Assim como a derivada de uma funcao aumenta a
ordem covariante de 0 para 1, a derivada de (k, l)-tensores aumentara a ordem covariante de k para k + 1:
ela sera um tensor do tipo (k + 1, l). Por este motivo, ela sera chamada derivada covariante. Na verdade,
ela sera construda a partir da derivada covariante de campos vetoriais (a qual recebe este nome em funcao
do seu uso na definicao da derivada covariante de tensores) e isso sera feito em duas etapas: primeiro gene-
ralizaremos a definicao de derivada covariante de campos vetoriais (conexoes), que e uma nocao de derivada
direcional, para definir derivadas covariantes de campos tensoriais, ou seja, derivadas direcionais de campos
tensoriais (que sera chamada uma conexao em Tlk (M )); esta sera usada em seguida para definir a nocao
propriamente dita de derivada covariante de campos tensoriais, a chamada derivada covariante total.
: T (M ) Tlk (M ) Tlk (M )
X (F G) = (X F ) G + F (X G) .
(iv) comuta com todos os tracos: se tr denota o traco com relacao a qualquer par de ndices, entao
X (tr F ) = tr (X F ) .
198
Rodney Josue Biezuner 199
X [ (Y )] = (X ) (Y ) + (X Y ) .
(X T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l = X T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
T X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l
X
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l
j=1
X [ (Y )] = X tr ( Y )
= tr X ( Y )
= tr (X Y ) + tr ( X Y )
= X (Y ) + (X Y ) .
Para provar (b), procedemos por inducao separadamente sobre k e l. O caso (k, l) = (0, 1) segue de (a)
e (ii):
(X ) (Y ) = X [ (Y )] (X Y )
= X ( (Y )) (X Y ) .
Da mesma forma, o caso (k, l) = (1, 0) segue de (a) e de (ii) (usando a definicao da aplicacao de um vetor a
um covetor via a dualidade entre V e o bidual V ):
(X Y ) () = (X Y )
= X [ (Y )] (X ) (Y )
= X [ (Y )] Y (X ) .
Agora assuma que (b) vale para todos os inteiros p < k, q < l. Mostraremos que isso implica que (b) vale
para k, l. Como todo T Tlk (M ) se escreve na forma
n
X
T = Fi Gj
i,j=1
X T = (X F ) G + F (X G) ,
Rodney Josue Biezuner 200
donde
(X T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= [(X F ) G] X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
+ [F (X G)] X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= (X F ) X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
+ F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 (X G) Xk , l .
Mas
(X F ) X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
= X F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
k1
X
F X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
i=1
l1
X
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , X j , . . . , l1 G Xk , l
j=1
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 (X G) Xk , l
= F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 X G Xk , l
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G X Xk , l
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , X l .
Portanto,
(X T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= X F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l + F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 X G Xk , l
k1
X
F X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
i=1
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G X Xk , l
l1
X
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , X j , . . . , l1 G Xk , l
j=1
F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , X l
= X F X1 , . . . , Xk1 , 1 , . . . , l1 G Xk , l
k1
X
(F G) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk1 , Xk , 1 , . . . , l1 , l
i=1
(F G) X1 , . . . , Xk1 , X Xk , 1 , . . . , l1 , l
l1
X
(F G) X1 , . . . , Xk1 , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l1 , l
j=1
(F G) X1 , . . . , Xk1 , Xk , 1 , . . . , l1 , X l
Rodney Josue Biezuner 201
= X (F G) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
(F G) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l1
X
(F G) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l
j=1
= X T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
T X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l1
X
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l .
j=1
Passo 2. Existencia.
Defina : T (M ) Tlk (M ) Tlk (M ) por (b) (o que inclui (a), como visto acima). Mostraremos que
e uma conexao e satisfaz todas as propriedades (i)-(iv).
Inicialmente, as propriedades de uma conexao:
(1) f X+gY T = f X T + gY T.
Primeiro, para campos covetoriais: para todo Z vale
logo
f X+gY = f X + gY .
Para T Tlk (M ) temos
(f X+gY T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= (f X + gY ) T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
T X1 , . . . , f X+gY Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l
X
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , f X+gY j , . . . , l .
j=1
Como
(f X + gY ) T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= f X T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l + gY T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l ,
T X1 , . . . , f X+gY Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= T X1 , . . . , f X Xi + gY Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= f T X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l + gT X1 , . . . , Y Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
Rodney Josue Biezuner 202
T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , f X+gY j , . . . , l
= T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , f X j + gY j , . . . , l
= f T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l + gT X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , Y j , . . . , l ,
segue o resultado.
(2) X (T + S) = X T + X S.
E obvio da definicao.
(3) X (f T ) = f X T + (Xf ) T.
Note que esta regra do produto e um caso especial de (iii). Primeiro, para campos covetoriais: para todo
Z vale
logo
X (f ) = f X + (Xf ) .
Para T Tlk (M ) temos
(X f T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
= X f T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
(f T ) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l
X
(f T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l
j=1
= (Xf ) T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l + f X T X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l
k
X
(f T ) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l
X
(f T ) X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l
j=1
(X Y ) () = X [ (Y )] Y (X )
= X [ (Y )] (X ) (Y )
= (X Y )
k+p
X
(F G) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk+p , 1 , . . . , l+q
i=1
l+q
X
(F G) X1 , . . . , Xk+p , 1 , . . . , X j , . . . , l+q .
j=1
Temos tambem
k+p
X
(F G) X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk+p , 1 , . . . , l+q
i=1
k
X
F X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l G Xk+1 , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , l+q
=
i=1
k+p
X
F X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l G Xk+1 , . . . , X Xi , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , l+q
+
i=k+1
e
l+q
X
(F G) X1 , . . . , Xk+p , 1 , . . . , X j , . . . , l+q
j=1
l
X
F X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l G Xk+1 , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , l+q
=
j=1
l+q
X
F X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l G Xk+1 , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , X j , . . . , l+q .
+
j=l+1
Rodney Josue Biezuner 204
Portanto,
[X (F G)] X1 , . . . , Xk , Xk+1 , . . . , Xk+p , 1 , . . . , l , l+1 , . . . , l+q
( k
X
= X F X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , l F X1 , . . . , X Xi , . . . , Xk , 1 , . . . , l
i=1
l
X
F X1 , . . . , Xk , 1 , . . . , X j , . . . , l G Xk+1 , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , l+q
j=1
k+p
X
G Xk+1 , . . . , X Xi , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , l+q
i=k+1
l+q
X
G Xk+1 , . . . , Xk+p , l+1 , . . . , X j , . . . , l+q
j=l+1
(iv) Para provar esta propriedade, estabeleceremos primeiro uma formula para X T em coordenadas. Se
T = Tij11...i
...jl
k
dxi1 . . . dxik j1 . . . jj
e
X = X m m ,
entao
X T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
= X m m T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
= X m (m T ) i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
j ...j
= X m (m T )i11...ikl
e a expressao em coordenadas para a derivada covariante de um campo tensorial, como veremos na Proposicao
14.9, e
k l
j ...j pj ...j
j ...j
X X
(m T )i11...ikl = m Tij11...i
...jl
k
T j1 ...jl
p
i1 ...ir1 pir+1 ...ik mir + Ti11...iks1 s+1 l jmp
s
. (14.1)
r=1 s=1
isto e, que
j ...j j ...j
[m (tr F )]i11...ik1
l1
= [tr (m F )]i11...ik1
l1
.
Escrevendo
n
X
F = Fij11...i
...jl
k
dxi1 . . . dxik j1 . . . jl ,
i1 ,...,ik =1
j1 ,...,jl =1
Rodney Josue Biezuner 205
Logo,
j ...j
[m (tr F )]i11...ik1
l1
j ...j k l
(tr F )i11...ik1
l1
X j ...j p
X j ...j pjs+1 ...jl
= (tr F )i11...ir1
l
pir+1 ...ik mir + (tr F )i11...iks1 jmp
s
xm r=1 s=1
j1 ...jq1 ujq ...jk1 k l
Fi1 ...ip1 uip ...il1 X j ...j uj ...j p
X j ...j uj ...j pjs+1 ...jk1
= Fi11...ip1
q1 q k1
uip ...ir1 pir+1 ...il1 mir + Fi11...ip1
q1 q s1
uip ...il1 jmp
s
xm r=1 s=1
e
j ...j
[tr (m F )]i11...ik1
l1
j ...j uj ...j
= (m F )i11...ip1
q1 q k1
uip ...il1
j ...j uj ...j k l
Fi11...ip1
q1 q k1
uip ...il1
X j ...j uj ...j p
X j ...j uj ...j pjs+1 ...jk1
= Fi11...ip1
q1 q k1
uip ...ir1 pir+1 ...il1 mir + Fi11...ip1
q1 q s1
uip ...il1 jmp
s
.
xm r=1 s=1
(X ) (Y ) = X [ (Y )] (X Y )
= X Y k k X Y k + X i Y j kij k
= X Y k (k ) X Y k + X i Y j kij (k )
= X Y k k X Y k + X i Y j kij k
= X Y k k + Y k X (k ) X Y k k + X i Y j k kij
k
= Y k X i i X i Y j k kij
x
i k i j k
= X X j ik Y
xi
k
= X i i X i j jik dxk (Y ) .
x
Rodney Josue Biezuner 206
T : T1 (M ) . . . T1 (M ) T 1 (M ) . . . T 1 (M ) C (M )
definido por
T Y1 , . . . , Yk , X, 1 , . . . , l = X T Y1 , . . . , Yk , 1 , . . . , l .
(14.4)
O nome derivada covariante pode ser agora compreendido: a derivada covariante total de um tensor aumenta
em um a sua ordem covariante.
A derivada covariante total do tensor metrica g e o tensor identicamente nulo:
14.4 Proposicao (Derivada Covariante Total do Tensor Metrica). Se (M, g) e uma variedade metrica,
entao
g = 0.
Prova: Pela definicao e pela compatibilidade da conexao com a metrica, temos
g (X, Y, Z) = Z g (X, Y )
= Z [g (X, Y )] g (Z X, Y ) g (X, Z Y )
= Z hX, Y i hZ X, Y i hX, Z Y i
= 0.
Da demonstracao vemos que a conexao riemanniana pode ser equivalentemente caracterizada como a unica
conexao simetrica tal que g = 0. O fato que g = 0 foi um serio empecilho para Einstein no seu caminho
em direcao a descoberta da Teoria da Relatividade Geral, como veremos no Captulo 16.
14.5 Proposicao (Significado da Derivada Covariante Total Nula). Se (M, g) e uma variedade
metrica e X T (M ), entao
X = 0
se e somente se X e um campo paralelo.
Prova: Veja a observacao que se segue a Definicao 14.10 e observe que se X T (M ), entao por definicao
X (Y ) = Y X.
14.6 Definicao. Dizemos que um tensor T Tlk (M ) e paralelo se T = 0.
ou seja,
2 f (X, Y ) = Y (Xf ) (Y X) f. (14.5)
O laplaciano de f e definido por
f = trg 2 f. (14.6)
14.8 Notacao. Seja
T = Tij11...i
...jl
dxi1 . . . dxik
...
k
xj1 xjl
um campo (k, l)-tensorial. Entao temos duas notacoes bastante difundidas para escrever a expressao em
coordenadas da derivada covariante total de T :
T = m Tij11...i
...jl
dxi1 . . . dxik dxm j
... (14.7)
k
x 1 xjl
e
T = Tij11...i
...jl
k ;m
dxi1 . . . dxik dxm
j
... (14.8)
x 1 xjl
Isto e, cada componente do campo (k + 1, l)-tensorial derivada covariante total e denotado por
m Tij11...i
...jl
k
= Tij11...i
...jl
k ;m
. (14.9)
Por exemplo, se
X = Xi ,
xi
entao
X = j X i dxj = X;ji dxj . (14.10)
xi xi
14.9 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao . Entao as componentes
da derivada covariante total em um sistema de coordenadas sao dadas por
l k
j ...j pjs+1 ...jl
X X
m Tij11...i
...jl
k
= Tij11...i
...jl
k ;m
= m Tij11...i
...jl
k
+ Ti11...iks1 jmp
s
Tij11...i
...jl
p .
r1 pir+1 ...ik mir
(14.11)
s=1 r=1
m Tij11...i
...jl
k
(p) = m Tij11...i
...jl
k
(p) .
Rodney Josue Biezuner 208
Tij11...i
...jl
k ;m
= T i1 , . . . , ik , m , dxj1 , . . . , dxjl
= (m T ) i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
k
X
= m T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl T i1 , . . . , m ir , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
r=1
l
X
T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , m dxjs , . . . , dxjl
s=1
k
X
= m Tij11...i
...jl
T i1 , . . . , pmir p , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
k
r=1
l
X
T i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , jmp dxp , . . . , dxjl
s
s=1
k l
j ...j pjs+1 ...jl
X X
= m Tij11...i
...jl
k
Tij11...i
...jl
p +
r1 pir+1 ...ik mir
Ti11...iks1 jmp
s
.
r=1 s=1
j X i = X;ji = j X i + X p ijp ;
j i = i;j = j i p pij ;
m Rijkl = Rijkl;m = m Rijkl Rpjkl pim Ripkl pjm Rijpl pkm Rijkp plm .
14.10 Proposicao (Regra do Produto). Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao .
Entao
...jl jl+1 ...jl+q jl+1 ...jl+q jl+1 ...jl+q
m Fij11...i k
Gik+1 ...ik+p = m Fij11...i
...jl
k
Gik+1 j1 ...jl
...ik+p + Fi1 ...ik m Gik+1 ...ik+p .
Da,
j ...j j ...j
m Ti11...iklik+1
l+1 l+q
...ik+p
k+p
X
T i1 , . . . , im ir , . . . , ik , ik+1 , . . . , ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
r=1
l+q
X
T i1 , . . . , ik , ik+1 , . . . , ik+p , dxj1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q .
s=1
Como
m T i1 , . . . , ik , ik+1 , . . . , ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
...jl jl+1 ...jl+q
= m Fij11...i k
G ik+1 ...ik+p
j1 ...jl jl+1 ...jl+q j1 ...jl jl+1 ...jl+q
= m Fi1 ...ik Gik+1 ...ik+p + Fi1 ...ik m Gik+1 ...ik+p ,
k+p
X
T i1 , . . . , im ir , . . . , ik , ik+1 , . . . , ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
r=1
k
X
F i1 , . . . , im ir , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl G ik+1 , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
=
r=1
k+p
X
F i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl G ik+1 , . . . , im ir , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
r=k+1
k
X jl+1 ...jl+q
= F i1 , . . . , im ir , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl Gik+1 ...ik+p
r=1
k+p
X
Fij11...i
...jl
G ik+1 , . . . , im ir , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
k
r=k+1
e
l+q
X
T i1 , . . . , ik , ik+1 , . . . , ik+p , dxj1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
s=1
l
X
F i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl G ik+1 , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
=
s=1
l+q
X
F i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl G ik+1 , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl+q
s=l+1
l
X jl+1 ...jl+q
= F i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl Gik+1 ...ik+p
s=1
l+q
X
Fij11...i
...jl
G ik+1 , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl+q ,
k
s=l+1
Rodney Josue Biezuner 210
segue que
j ...j j ...j
m Ti11...iklik+1
l+1 l+q
...ik+p
" k
X
= m Fij11...i...jl
F i1 , . . . , im ir , . . . , ik , dxj1 , . . . , dxjl
k
r=1
l
#
j ...j
X
F i1 , . . . , ik , dxj1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl
l+1 l+q
Gik+1 ...ik+p
s=1
k+p
"
jl+1 ...jl+q
X
Fij11...i
...jl
G ik+1 , . . . , im ir , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q
+ k
m Gik+1 ...ik+p
r=k+1
l+q
#
X
G ik+1 , . . . , ik+p , dxjl+1 , . . . , im dxjs , . . . , dxjl+q
s=l+1
jl+1 ...jl+q jl+1 ...jl+q
= m Fij11...i
...jl
k
Gik+1 ...ik+p + F j1 ...jl
i1 ...ik m Gik+1 ...ik+p .
Este resultado justifica a notacao m .
14.11 Lema. Seja M uma variedade metrica. Entao
k gij = gij;k = 0
e
ij
k g ij = g;k =0
para todos os ndices i, j, k.
Prova: Embora ja tenhamos demonstrado a primeira afirmacao na Proposicao 14.4, forneceremos outra
demonstracao que a derivada covariante total do tensor metrica g e o tensor identicamente nulo usando a
formula para as componentes da derivada covariante. De fato, pelo Corolario 11.25,
Logo,
k gij = gij;k = k gij gip pjk gpj pik = 0.
Para calcular k g ij , primeiro observamos que
k ij = i;k
j
= k ij + ip jpk pj pik
= ii jik jj jik
= 0.
Portanto,
k gip g pj = k ij = 0.
g li gip k g pj = 0,
segue que
0 = pl k g pj = k g lj .
Em vista dos resultados acima, a derivada covariante se comporta bem com a operacao de subir ou descer
um ndice:
14.12 Proposicao. Seja M uma variedade metrica. Entao
j ...j j1 ...jl1 p j ...j p
m Ti11...ikl1
ik+1 = m gi k+1 p Ti1 ...ik = gik+1 p m Ti11...ikl1 , (14.12)
e
j ...jl jl+1
m Ti11...ik1 = m g jl+1 p Tij11...i
...jl
k1 p
= g jl+1 p m Tij11...i
...jl
k1 p
. (14.13)
f = i f dxi .
E comum denotar
fi = i f, (14.14)
de modo que
2 f = j fi dxi dxj = fi;j dxi dxj .
Temos
j fi = fi;j = j fi fp pij = ij
2
f kij k f. (14.15)
Ou seja,
2 f = ij
2
f kij k f dxi dxj .
(14.16)
Tambem e comum escrever
2
fij = ij f, (14.17)
de modo que
2 f = fij fk kij dxi dxj .
(14.18)
Da obtemos a formula do laplaciano em coordenadas:
f = trg 2 f = g ij 2 f
ij
= g ij ij
2
f g ij
kij k f.
Rodney Josue Biezuner 212
14.14 Proposicao (Identidade de Bianchi Diferencial). Seja M uma variedade metrica. A derivada cova-
riante total do tensor curvatura satisfaz a seguinte propriedade:
Em termos de componentes,
Prova: Em primeiro lugar, devido a propriedade de simetria 14.14 (c) do tensor curvatura, a identidade do
enunciado e equivalente a identidade
A vantagem desta identidade e que o campo na quarta posicao e o mesmo (isto e, Y ) em todos os termos.
Por multilinearidade, basta provar que
R (i , j , k , l , m ) + R (j , m , k , l , i ) + R (m , i , k , l , j ) = 0
R (i , j , k , l , m ) = m R (i , j , k , l )
= m hR (i , j ) k , l i
= hm R (i , j ) k , l i + hR (i , j ) k , m l i .
R (i , j ) k = i j k j i k [i ,j ] k
= i j k j i k ,
Da, em p,
R (i , j , k , l , m ) + R (j , m , k , l , i ) + R (m , i , k , l , j )
= m i j k m j i k + i j m k i m j k
+j m i k j i m k , l
= j m i k m j i k + m i j k i m j k
+i j m k j i m k , l
= R (j , m ) i k + R (m , i ) j k + R (i , j ) m k , l
= hR (j , m ) 0 + R (m , i ) 0 + R (i , j ) 0, l i
= 0,
ja que i k = j k = m k = 0 em p.
Rodney Josue Biezuner 213
div X = i X i = i X i .
Isto e,
div X = tr X.
Dado um campo vetorial X T (M ), de maneira analoga definimos sua divergencia por
div X = tr X.
Em coordenadas,
div X = i X i = X;ii .
Para definir a divergencia de um campo covetorial T1 (M ), observe que ao descermos ndices no ultimo
termo obtemos
X;ii = g ij Xj;i = g ij X [ = trg X [ ,
j;i
div T = trg T.
Observe que
f = trg 2 f = div f.
Em coordenadas, se T e um 2-tensor contravariante,
(div T )i = j T ij = T;jij .
se T e um 2-tensor covariante,
(div T )i = g jk k Tij .
14.16 Proposicao. Seja M uma variedade metrica. Entao
Da,
g jl (m Rijkl + k Rijlm + l Rijmk ) = 0,
donde, pela regra do produto e pelo fato que p g rs = 0,
m g jl Rijkl + k g jl Rijlm + g jl l Rijmk = 0.
(14.23)
Como
Rpq = g rs Rrpqs ,
Rijkl = Rjikl ,
Rijlm = Rjiml ,
o primeiro termo desta soma e
m Rik ,
enquanto que o segundo termo e
k Rim .
Logo a identidade (14.23) e equivalente a
m Rik = k Rim + g jl l Rijmk .
Da,
g ik m Rik = g ik k Rim + g ik g jl l Rijmk
= (div Ric)m + g jl l g ik Rijmk
14.17 Proposicao. Se M n e uma variedade de Einstein conexa e n > 3, entao M tem curvatura escalar
constante.
Prova: Temos
S
Ric = g,
n
donde
S
Rij = gij
n
e, portanto,
1
k Rij = gij k S.
n
Logo,
1 kj 1 1
(div Ric)i = g jk k Rij = g gij k S = ik k S = i S.
n n n
Segue da proposicao anterior que
S S
= .
2 n
Se n 6= 2, esta identidade implica que
S = 0
e portanto S constante, se M e conexa.
Como toda variedade riemanniana de dimensao 2 e uma variedade de Einstein e existem variedades de
dimensao 2 que nao possuem curvatura escalar constante, este resultado nao vale se n = 2.
Captulo 15
O Tensor Momento-Energia
Na Teoria da Relatividade Geral, o tensor momento-energia (tambem chamado tensor tensao-energia) des-
creve a densidade e fluxo de energia e momento no espacotempo e e responsavel por criar a curvatura no
espacotempo. Nas palavras de Wheeler, o espacotempo age na materia dizendo a ela como se mover [isto
e, na ausencia de forcas atuando, apenas sob o efeito de sua propria inercia, ao longo das geodesicas do
espacotempo]; por sua vez, a materia age sobre o espacotempo, dizendo a ele como se curvar ([MTW], Secao
1.2, p. 5). Exceto que materia na Teoria da Relatividade possui um significado mais geral, nao restrito
apenas a massa.
15.1 4-Vetores
Tanto na Teoria da Relatividade Especial quanto na Geral, e conveniente descrever o movimento de um
objeto em um referencial inercial (em Relatividade Especial) ou em um sistema de coordenadas geral (em
Relatividade Geral) em coordenadas do espacotempo dependendo do seu tempo proprio , isto e, de acordo
com o tempo medido em seu proprio referencial, e portanto independente de referencial. Assim, em um
referencial inercial a trajetoria de uma partcula livre e uma curva parametrizada pelo tempo proprio
( ) = (t ( ) , x ( ) , y ( ) , z ( )) ,
e a geodesica que uma partcula livre segue no espacotempo curvo seria parametrizada pelo tempo proprio
( ).
Vetores no espacotempo tem 4 coordenadas e para distingui-los dos vetores espaciais (projecoes espaciais),
sao frequentemente chamados de quadrivetores ou 4-vetores. Assim, temos o quadrivetor deslocamento,
ou seja deslocamento no espacotempo
s = (t, x, y, z)
e o quadrivetor velocidade
ds dt dx dy dz
u= = , , , , (15.1)
d d d d d
ou 0 ( ) para uma trajetoria curva ( ) no espacotempo. O quadrivetor velocidade e por definicao tangente
a trajetoria da partcula no espacotempo.
Observe que se a trajetoria do objeto no espacotempo e uma curva, o seu referencial proprio obviamente
nao e um referencial inercial. Entretanto, em cada instante de tempo existe um referencial inercial que tem
a mesma velocidade que o objeto; este referencial inercial que comove com o objeto e temporario, pois no
proximo instante de tempo ele nao esta mais se comovendo com o objeto. Ele e chamado o seu referencial
comovel temporario (em ingles: momentarily comoving reference frame (MCRF)). O quadrivetor velocidade
215
Rodney Josue Biezuner 216
u (1, v x , v y , v z ) = (1, v) ,
u = (1, 0, 0, 0) .
kuk = 1 (15.4)
pois
1 1
hu, ui = (1, v x , v y , v z ) , (1, v x , v y , v z )
1 v2 1 v2
1 h x 2 y 2 z 2
i
= 1 + (v ) + (v ) + (v )
1 v2
1
1 + v 2
= 2
1v
= 1.
15.2 Momento-Energia
15.1 Definicao. Se m e a massa de um objeto, definimos o quadrivetor momento-energia
P = mu. (15.5)
Rodney Josue Biezuner 217
de modo que
kPk = m. (15.7)
Note que a massa m de um objeto, sendo a norma do quadrivetor momento-energia (um vetor do espacotempo
de Minkowski), tem o mesmo valor em qualquer referencial inercial. Em outras palavras, ela nao depende
da velocidade do referencial: massa nao aumenta com a velocidade e na teoria da relatividade nao se define
massa relativstica (veja [Okun1] para uma exposicao clara, incluindo a origem historica deste termo e
ate seu uso inicial por Einstein para inferir a atracao da luz por uma massa gravitacional (ele raciocinou
que fotons teriam massa m = E/c2 ), antes de formular a Teoria da Relatividade Geral, quando abandonou
essa ideia inconsistente, e uma coletanea de artigos criticando os conceitos de massa de repouso e massa
relativstica em [Okun2]). Por outro lado, massa e mais facilmente medida em um referencial em que o
objeto esta em repouso.
Observe que m = 0 se e somente se P e um vetor do tipo luz, e consequentemente u tambem e, donde
v = 1. Portanto, fotons nao possuem massa.
15.2 Definicao. A componente temporal do quadrivetor momento-energia e chamada a energia rela-
tivstica E do objeto e sua projecao espacial o seu momento relativstico p.
Assim,
m
E= ,
1 v2
mv x mv y mv z
m
p= v= , , ,
1 v2 1 v2 1 v2 1 v2
de modo que
m2 = E 2 p2 . (15.8)
Note que tanto a energia relativstica quanto o momento relativstico dependem do referencial, ja que sao
componentes (coordenadas) de um quadrivetor. Observe tambem que massa nao e a mesma coisa que energia:
energia e a componente temporal do quadrivetor momento-energia, enquanto que massa e a magnitude deste
vetor. Apenas que, em relatividade, elas sao medidas com as mesmas unidades de medida (quilogramas), da
mesma forma que tempo e espaco em relatividade sao medidos com as mesmas unidades de medida (metros),
apesar de nao serem a mesma coisa.
Em unidades do espacotempo (ct, x, y, z) em que a velocidade da luz e c e nao normalizada para 1, a
relacao entre o tempo proprio e o tempo em um referencial inercial arbitrario e
r v 2
= 1 t
c
e o quadrivetor velocidade tem coordenadas
1 x y z 1
u= r v 2 (c, v , v , v ) = r v 2 (c, v) ,
1 1
c c
Rodney Josue Biezuner 218
15.3 Fluxos
15.3.1 Definicao
Fluxo (flux ) e a taxa de transferencia de um material (uma grandeza concreta tal como, por exemplo, massa,
carga eletrica, numero de partculas) ou propriedade (uma grandeza abstrata tal como, por exemplo, energia
ou momento) ao longo de uma direcao, por unidade de area, por unidade de tempo. Ele e portanto uma
grandeza vetorial, cuja unidade e quantidade de material ou propriedade por unidade de area por unidade
de tempo. Por exemplo, o material pode estar sendo transferido da esquerda para a direita no eixo x, ou
na direcao normal a uma certa superfcie de referencia. [As vezes, fluxo por unidade de tempo e chamado
simplesmente de fluxo, enquanto que fluxo por unidade de area por unidade de tempo e chamado de densidade
de fluxo.]
15.3 Exemplo. No fluxo de massa o material transferido comumente se refere a um fluido (taxa de
transferencia de fluido, ou seja, taxa de escoamento) ou a uma certa substancia dissolvida em um fluido. A
taxa de transferencia de massa pode ser medida, por exemplo, em kg/m2 s ou, o que e equivalente no caso
de um fluido de densidade constante, em litros/m2 s.
Um exemplo simples de fluxo de energia e a taxa de transferencia de calor, que e energia termica,
medida em joules/m2 s.
No fluxo de momento, a taxa de transferencia dada por unidades de momento por unidade de area
por unidade de tempo, tem as mesmas unidades de forca por area ((kgm/s)/m2 s = (kgm/s2 )/m2 ), ou seja,
pressao. Assim, a forca aplicada a um objeto pode ser vista como a taxa de transferencia de momento para
o objeto. O fluxo de momento tambem chamado estresse.
No que se segue, convencionaremos que o fluxo sera positivo quando a transferencia de material ou proprie-
dade e no sentido orientado positivo do eixo xi . Se o fluxo tem sinal negativo, isso significa que a transferencia
de material esta-se realizando no sentido orientado negativo do eixo xi .
Rodney Josue Biezuner 219
Em um referencial inercial em que as partculas nao estao em repouso, digamos em que as partculas tem
velocidade v, o volume e alterado devido a contracao
de Lorentz: por exemplo, um paraleleppedo solido
de volume xyz tera um volume xyz 1 v 2 medido em um referencial em que as partculas tem
velocidade v em uma das direcoes x, y, z. A densidade do numero de partculas sera entao
n
.
1 v2
O fluxo de partculas e o numero de partculas que atravessam uma superfcie por unidade de area, por
unidade de tempo. Alem da orientacao da superfcie, em Relatividade area e tempo dependem do referencial.
Obviamente, no referencial em que as partculas estao em repouso o fluxo e zero. Em um referencial em que
as partculas movem-se com todas com a velocidade v em uma mesma direcao, digamos na direcao x0 , se
considerarmos a superfcie normal a x0 a area sera a mesma (ja que nao ha contracao nas direcoes transversais
Rodney Josue Biezuner 220
N = nu
Logo,
n n
N= (1, v x , v y , v z ) = (1, v) .
1v 2 1 v2
Note que a densidade do numero de partculas no referencial proprio e a norma do quadrivetor fluxo e
portanto independente do referencial inercial (o que tambem e obvio da definicao dela):
de modo que
kNk = n. (15.9)
Para obter o tensor momento-energia da poeira, vamos assumir por simplicidade que as partculas tem a
mesma massa m. No referencial comovel temporario das particulas, em que elas se encontram em repouso,
a energia de cada partcula e a energia de repouso m. Portanto, a energia por unidade de volume, ou seja,
a densidade de energia, e
= nm.
Em fluidos mais gerais, existe um movimento aleatorio das partculas, logo energia cinetica de movimento
(mesmo em um referencial media dos referenciais) e a densidade de energia do fluido tera uma expressao
bem diferente. Em um referencial em que as partculas se movem com a mesma velocidade v, a densidade
de energia ainda e o numero de partculas por unidade de volume vezes a energia de cada partcula, que e
dada por
n m nm
= = .
1v 2 1v 2 1 v2
Para obter o tensor momento-energia da poeira, basta determinar os seus componentes em algum refe-
rencial. No caso da poeira, a determinacao dos seus componentes no seu referencial comovel temporario e
particularmente simples. Nao ha movimento das partculas, logo os momentos sao todos nulos. Assim, no
referencial comovel temporario, o tensor momento-energia tem componentes
0 0 0
0 0 0 0
T = 0 0 0 0 .
0 0 0 0
Rodney Josue Biezuner 221
div T = 0,
ja que o divergente mede infinitesimalmente o fluxo total por unidade de volume (veja o apendice a este
captulo).
0 0 0 P
T = ( + P ) (u u) + P g.
V x = V x (t, x, y, z) ,
V y = V y (t, x, y, z) ,
V z = V z (t, x, y, z) ,
Rodney Josue Biezuner 223
no instante inicial t = 0, esta derivada sendo calculada no instante de tempo t. Se o campo de escoamento e
dado atraves de uma expressao fechada (e nao por uma expressao aproximada), entao podemos conhecer o
campo de velocidades com exatidao. Obviamente, e mais difcil encontrar F, dado V, do que encontrar V,
dado F.
Ft Ft (x + sx) Ft (x)
d (Ft )x v = = lim .
v s0 s
Portanto, se e pequeno, o paraleleppedo P (0) e levado pelo escoamento do campo depois de decorrido um
intervalo de tempo t no paraleleppedo P (t) com um vertice em Ft (x) e os outros vertices localizados nos
pontos Ft (x) + v1 (t), Ft (x) + v2 (t) e Ft (x) + v3 (t), onde
v1 (t) = d (Ft )x v1 ,
v2 (t) = d (Ft )x v2 ,
v3 (t) = d (Ft )x v3 .
Logo, pela regra da derivada do produto e a propriedade de comutatividade do produto escalar com o produto
vetorial, segue que
dV dv1 dv2 dv3
= (v2 v3 ) + v1 v3 + v1 v2
dt dt dt dt
dv1 dv2 dv3
= (v2 v3 ) + (v3 v1 ) + (v1 v2 ) .
dt dt dt
Em t = 0, temos
v2 v3 = 2 i,
v3 v1 = 2 j,
v1 v2 = 2 k.
dvi (t)
Para calcular , lembramos a definicao do campo de escoamento F(t, x) do campo de velocidades V(x):
dt
dFt
(x) = V(Ft (x)).
dt
Derivando com relacao a x, temos
dFt
d (x) = d [V(Ft )]x .
dt
Invertendo a ordem de derivacao na derivada parcial mista do lado esquerdo e aplicando a regra da cadeia
no lado direito, temos
d
[d (Ft )x )] = dVFt (x) d (Ft )x . (15.10)
dt
Aplicando ambos os lados desta equacao ao vetor vi = vi (0) obtemos no lado esquerdo (pois vi e um vetor
constante)
d d dvi
[d (Ft )x ] vi = [d (Ft )x vi ] = (t),
dt dt dt
enquanto que no lado direito obtemos
Segue que
dvi
(t) = dVFt (x) vi (t). (15.11)
dt
Em particular, em t = 0 temos F0 (x) = x, donde
dvi
= dVx vi ,
dt t=0
d (det)X : R3 R3 R3 R
Segue que
onde [d (Ft )x ]i denota a i-esima linha da matriz d (Ft )x . Por outro lado, pela comutatividade dos operadores
d
diferenciais d e e pela regra da cadeia, temos
dt
d dFt
[d (Ft )x ] = d (x) = d [V(Ft (x))] = dVFt (x) d (Ft )x .
dt dt
Logo,
d
d (det)d(Ft ) [d (Ft )x ]
x dt
= det dVFt (x) d (Ft )x 1 , [d (Ft )x ]2 , [d (Ft )x ]3
+ det [d (Ft )x ]1 , dVFt (x) d (Ft )x 2 , [d (Ft )x ]3
+ det [d (Ft )x ]1 , [d (Ft )x ]2 , dVFt (x) d (Ft )x 3 .
Rodney Josue Biezuner 227
onde dVFt (x) d (Ft )x i denota a i-esima linha da matriz dVFt (x) d (Ft )x . Da, usando a linearidade da funcao
determinante com relacao a uma linha fixada, temos
det dVFt (x) d (Ft )x 1 , [d (Ft )x ]2 , [d (Ft )x ]3
P V x Ftj P 3 V x F j 3 V x F j
3
t P t
j j j
j=1 x x j=1 x y j=1 x z
2 2 2
= det Ft Ft Ft
x y z
3 3 3
Ft Ft Ft
x y z
x 1 x 1 x 1
V Ft V Ft V Ft V x Ft2 V x Ft2 V x Ft2
x x x y x z y x y y y z
2 2 2
2 2
Ft Ft Ft Ft Ft Ft2
= det + det
x y z x y z
3 3 3 3 3 3
Ft Ft Ft Ft Ft Ft
x y z x y z
x 3 x 3 x 3
V Ft V Ft V Ft
xz x z y z z
2 2
Ft Ft Ft2
+ det
x y z
Ft3 Ft3 Ft3
x y z
1
Ft Ft1 Ft1 Ft2 Ft2 Ft2 Ft3 Ft3 Ft3
x y z x y z x y z
V x V x V x
Ft2 Ft2 Ft2 Ft2 Ft2 Ft2 Ft2 Ft2 Ft2
= det
+ det +
xz det
x x3 y z y x y z x y z
Ft3 Ft3 Ft3 Ft3 Ft3 Ft3 Ft3 Ft3
Ft
x y z x y z x y z
V x
= det d (Ft )x .
x
Similarmente,
V y
det [d (Ft )x ]1 , dVFt (x) d (Ft )x 2 , [d (Ft )x ]3 = det d (Ft )x ,
y
V z
det [d (Ft )x ]1 , [d (Ft )x ]2 , dVFt (x) d (Ft )x 3 = det d (Ft )x .
z
Portanto,
V x V y V z
d
d (det)d(Ft ) [d (Ft )x ] = Ft (x) + Ft (x) + Ft (x) det d (Ft )x
x dt x y z
= div V(Ft (x)) det d (Ft )x .
onde, por definicao, o lado direito e o fluxo total do campo V atraves da superfcie . Em particular,
se div V = 0 em um aberto de Rn , o fluxo total e nulo atraves de qualquer superfcie fechada contida no
aberto. Pelo Teorema do Valor Medio para Integrais,
Z
1
div V = div V (x)
vol
Consequentemente, Z
1
div V (x) = lim V .
0 vol B (x) S (x)
Equacao de Einstein
= 4G, (16.1)
[Note que G e G denotam conceitos completamente diferentes, nao relacionados.] Assim, pela segunda lei
de Newton, o campo gravitacional G por definicao nada mais e que a aceleracao da gravidade g:
F
G= = g.
m
Considerando um aberto contendo a fonte 0 tal que sua fronteira e uma superfcie regular fechada ,
segue que Z Z
1
G n ds = GM 2
rn ds.
b
r
16.1 Lema. Se R3 e um aberto tal que sua fronteira e uma superfcie regular fechada e 0
/ ,
vale Z
1 4 se 0 ,
rn ds =
2 0 se 0
/ .
b
r
Prova: Primeiro observamos que
r
b
div = 0.
r2
229
Rodney Josue Biezuner 230
De fato,
r
b x x1 , x2 , x3
= 3 = hP i3/2 ,
r2 kxk 3 2
(xi ) i=1
de modo que
hP
3 2 i3/2 2 hP3 2 i1/2
xi 3 xi xi
" i # i
r
b x i=1 i=1
i = i h i3/2 =
r2 P3 2
hP
3 2
i5/2
i=1 (xi ) i=1 (xi )
2
1 3 xi
= 2 4 ,
kxk kxk
logo
3 i P3 2
xi
r X r 3 i=1
3
b b
div 2 = i = 2 4 = 0.
r i=1
r2 kxk kxk
1
Considere primeiro o caso 0
/ , de modo que o campo vetorial 2 b r e um campo suave em . Podemos
r
entao aplicar o Teorema da Divergencia para obter
Z Z
1 r
n
b
2
r
b ds = div 2 dv = 0.
r r
1
Se 0 , o campo vetorial r tem uma singularidade em 0 e o Teorema da Divergencia nao se aplica
r2
b
a regiao . Considere entao uma esfera de raio R centrada em 0 e contida em . Entao o aberto \BR (0)
cuja fronteira e SR (0) nao contem a singularidade 0, logo segue do resultado anterior que
Z
1
2
rn ds = 0.
b
SR (0) r
Como Z Z Z
1 1 1
rn ds = rn ds + rn ds,
r2 r2 r2
b b b
SR (0) SR (0)
temos que Z Z
1 1
rn ds = rn ds.
r2 r2
b b
SR (0)
Nesta ultima integral, para manter a convencao de n ser o vetor normal apontando para fora da superfcie
em relacao ao aberto que ela engloba, o vetor n aponta para dentro da esfera, isto e,
n = b
r,
de modo que Z Z
1 1 1
2
rn ds = 2 ds = 4R2 = 4.
R2
b
r R
Segue do Lema 16.1 que Z
G n ds = 4GM.
Rodney Josue Biezuner 231
Tambem segue dela que se e um aberto tal que nao contem a fonte, teremos
Z
G n ds = 0.
Isso significa que cada partcula de massa M dentro da regiao contribui para a integral de superfcie o
valor 4GM , enquanto que partculas fora da regiao nao contribuem nada. Portanto, o valor da integral
e 4G vezes a massa total dentro da regiao . Para uma distribuicao contnua de massa com densidade
de massa (x), a massa total dentro da regiao e dada por
Z
dv.
Consequentemente, Z Z
G n ds = 4G dv
Mas, pelo Teorema da Divergencia, tambem temos que
Z Z
G n ds = div G dv,
logo, Z
[div G + 4G] dv = 0.
Como isso e valido para qualquer domnio com fronteira regular arbitrario, segue que
div G = 4G.
div T = 0.
deve ser tambem um 2-tensor simetrico com divergencia nula. Chamamos este tensor de tensor de Einstein
e o denotamos por G. Desta forma, a equacao para a geracao da gravidade (isto e, para o efeito da massa-
energia sobre a curvatura do espacotempo) e
G = T,
onde e uma constante de proporcionalidade a ser determinada mais tarde (o fato que ira determina-la e
simplesmente a exigencia que no limite para campos gravitacionais estaticos, relativamente fracos, ela devera
corresponder a lei da gravitacao universal de Newton). Portanto, o 2-tensor simetrico G deve ser construdo
apenas a partir do tensor da curvatura de Riemann e da metrica, deve satisfazer div G = 0 e deve ser em
princpio uma funcao linear da curvatura (se vamos medir a curvatura, nao ha motivo para medi-la de uma
forma complicada, nao linear). Estas exigencias naturais determinam o tensor G:
1
G = Ric Sg. (16.3)
2
Em termos de componentes, a equacao de Einstein se escreve na forma covariante
1
Rij Sgij = Tij , (16.4)
2
e na forma contravariante
1
Rij Sg ij = T ij . (16.5)
2
A equacao de Einstein e portanto um sistema de 10 equacoes independentes, ja que os tensores envolvidos sao
simetricos. Cada uma destas equacoes e uma equacao parcial diferencial nao linear de segunda ordem, isto
2
e, envolvendo gij , k gij e kl gij , as componentes da metrica e suas derivadas parciais de primeira e segunda
ordem. Por outro lado, gij sao as componentes da metrica em algum sistema de coordenadas particular,
e como ha 4 coordenadas, temos 4 graus de liberdade, o que em princpio deveria tornar impossvel obter
uma solucao unica a partir de dados iniciais e de fronteira, como em problemas bem determinados tpicos de
EDPs. No entanto, a condicao G = 0, que corresponde a 4 equacoes, faz com que o sistema efetivamente
possua apenas 6 equacoes independentes para as 6 componentes gij que permitem caracterizar a geometria
independentemente das coordenadas.
Podemos obter a curvatura escalar exclusivamente em termos do tensor momento-energia, o que ajuda
muito em certos calculos. De fato, fazendo a contracao em relacao a metrica da equacao de Einstein, como
trg Ric = S,
trg g = 4,
obtemos
S = trg T. (16.6)
Em termos de componentes,
S = g ij Tij = Tii = gij T ij .
Assim, a equacao de Einstein pode reescrita na forma
1
Ric = T (trg T ) g . (16.7)
2
Ric = 0.
Isso nao significa que a curvatura do espacotempo no vacuo e nula, pois o tensor de Ricci nao contem toda
a informacao da curvatura: podemos ter Ric = 0 mas R 6= 0 (isso acontece com a metrica de Schwarzschild,
como veremos mais tarde).
Rodney Josue Biezuner 233
d2 xk dxi dxj
2
+ kij = 0,
d d d
para k = 0, 1, 2, 3, x0 = ct.
Primeiro vamos usar o princpio de equivalencia para obter uma expressao para a aceleracao da gravidade.
Considere uma partcula livre no seu referencial comovente temporario em que ela esta em repouso, de modo
que
dxj
= 0, i = 1, 2, 3,
d
dx0 dt
=c .
d d
Para k = 1, 2, 3, temos entao que
2
d2 xk
dt
= c2 k00 .
d 2 d
Escolhendo t = , segue que
d2 xk
= c2 k00 ,
d 2
isto e, a aceleracao da partcula e
a = c2 100 , 200 , 300 .
(16.8)
Rodney Josue Biezuner 234
Esta e, pelo princpio de equivalencia, a aceleracao da gravidade g. Suas componentes sao os smbolos
de Christoffel 100 , 200 , 300 . Vamos calcular estes smbolos em um campo gravitacional fraco.
A hipotese de um campo gravitacional fraco permite escrever a metrica do espacotempo na forma
gij = ij + hij ,
|hij | 1.
Assumindo que o tensor metrica g e h sao diagonais (o que e razoavel, ja que o tensor momento-energia
e, conforme veremos mais abaixo), temos
gij = 0, se i 6= j,
donde
1
g ii = ,
gii
g ij = 0, se i 6= j,
ou seja
2
ds = 1 + 2 c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 .
2
(16.10)
c
Queremos apenas determinar . Usando as equacoes de Einstein na forma (16.7), escolhemos trabalhar
com a equacao
1
R00 = T00 g00 trg T .
2
Vamos calcular primeiro R00 . Como
k
Rij = Rkij ,
segue que
k
R00 = Rk00 ,
0
ja que R000 = 0, pelas simetrias do tensor endomorfismo curvatura. Temos
l
ljk lik
Rijk = m l
jk im m l
ik jm +
i
.
x xj
Mas, como |h00 | 1, a metrica e aproximadamente de Minkowski e podemos assumir que os smbolos de
Christoffel se anulam, pois
1
kij = (i gjm + j gim m gij ) g mk
2
e as componentes da metrica gij sao aproximadamente constantes, logo suas derivadas se anulam. Portanto,
l
ljk lik
Rijk = i
.
x xj
Da,
k k00 kk0
Rk00 = k
.
x x0
Como estamos supondo um campo estatico, que nao depende da variavel temporal x0 , qualquer derivada em
relacao a esta variavel e nula, logo
k k00
Rk00 =
xk
e
1
k00 = (i gjm + j gim m gij ) g mk
2
1
= (0 g0m + 0 g0m m g00 ) g mk
2
1
= (m g00 ) g mk
2
1
= (k g00 ) g kk .
2
Assim, para k = 1, 2, 3,
k 1 2 1
kk g00 g kk = 2 kk
2
Rk00 = .
2 c
Consequentemente,
1
R00 = . (16.11)
c2
Rodney Josue Biezuner 236
O tensor momento-energia para fluidos perfeitos velocidades baixas (v/c 0) e dominado pelo compo-
nente T 00 = c2 e as outras componentes podem ser consideradas nulas. Portanto, usando g00 00 = 1,
obtemos
trg T = 00 T 00 = c2
e
1 1
T00 g00 trg T = T00 00 00 T 00
2 2
1
= T00
2
1
= c2 .
2
Conclumos que no limite Newtoniano a equacao
1
R00 = T00 + g00 trg T
2
e
1 2
= c . (16.12)
2
Comparando com a equacao da gravitacao universal de Newton (16.2)
= 4G,
conclumos que
8G
=
, (16.13)
c2
as vezes chamada a constante gravitacional de Einstein. Usando unidades geometrizadas G = c = 1, a
equacao de Einstein se escreve na forma
1
Ric Sg = 8T. (16.14)
2
G = ui uj .
Derivando
2
kuk = gij ui uj = ui uj = 1, (16.16)
obtemos
uj uj
;i
= 0,
donde, novamente pela regra do produto,
uj;i uj + uj uj;i = 0.
uj;i uj = 0. (16.17)
uj uj ui + ui uj uj;i = 0
;i
ui uj;i = 0.
2 xj xi xk j
+ = 0.
2 ik
Rodney Josue Biezuner 238
G + g = 8T.
Observe que o tensor G + g continua sendo livre de divergencia. Esta equacao modificada admite uma
solucao estatica para o universo (veja [MTW], Cap. 27, Box 27.5). Por outro lado, no vacuo onde T = 0, a
equacao modificada de Einstein se torna
1
Ric Sg + g = 0,
2
ou seja,
G = g
e nao mais G = 0, de modo que podemos dizer que a constante cosmologica mede a densidade de energia
do vacuo (o que e consistente com a nocao de que o vacuo nao e realmente vazio de acordo com a teoria
quantica). Tomando o traco desta equacao com respeito a metrica, como trg Ric = S e trg g = 4, segue que
S 2S + 4 = 0
ou seja,
S = 4.
Segue que a equacao de Einstein para o vacuo e
Ric = g.
A Solucao de Schwarzschild
Por exemplo, uma carta deste atlas seria (, R (0, +) (0, ) (0, 2)); variando o domnio de e ,
cobrimos todo M com excecao da origem. Note que aqui = constante denota paralelos e = constante
denota meridianos (o exemplo de carta dado deixa de cobrir um semiplano fechado de R3 ). Neste tipo de
carta temos
0 = t = (1, 0, 0, 0) ,
1 = r = (0, sen cos , sen sen , cos ) ,
2 = = (0, r cos cos , r cos sen , r sen ) ,
3 = = (0, r sen sen , r sen cos , 0) ,
239
Rodney Josue Biezuner 240
g00 = h0 , 0 i = 1,
g01 = g10 = h0 , 1 i = 0,
g02 = g20 = h0 , 1 i = 0,
g03 = g30 = h0 , 1 i = 0,
g11 = h1 , 1 i = 1,
g12 = g21 = h1 , 2 i = 0,
g13 = g31 = h1 , 3 i = 0,
g22 = h2 , 2 i = r2 ,
g23 = g32 = h2 , 3 i = 0,
g33 = h3 , 3 i = r2 sen2 .
d 2 = d2 + sen2 d2 ,
No caso de uma estrela esfericamente simetrica, o espacotempo resultante deve ser esfericamente simetrico.
Como a estrela tambem e suposta estatica, a metrica nao deve depender da variavel temporal t. Assim, a
metrica de Schwarzschild deve ser do tipo
Fazendo uma mudanca de variavel em R+ , podemos considerar C (r) = r2 , logo podemos escrever a metrica
de Schwarzschild na forma
ds2 = T (r) dt2 + D (r) dr2 + r2 d 2 .
Nesta normalizacao, em cada espaco de repouso t = constante, a superfcie r = constante e a esfera padrao
S2r de raio r, com curvatura gaussiana 1/r2 e area 4r2 .
A unica fonte de gravitacao no universo de Schwarzschild e a propria estrela, que nao modelamos. Logo
o espacotempo e um vacuo e a equacao de Einstein implica que
Ric = 0,
lim T (r) 1,
r+
lim D (r) 1.
r+
lim T (r) 1,
r+
lim D (r) 1.
r+
Entao
T (r) = f (r) ,
1
D (r) = ,
f (r)
com
2M
f (r) = 1 .
r
17.4 Definicao. Considere a variedade diferenciavel M = R (2M, +) S2 . M torna-se uma variedade
de Lorentz quando definimos nela a metrica de Schwarzschild
2M 1
ds2 = 1 dt2 + dr2 + r2 d2 + r2 sen2 d2 . (17.2)
r 2M
1
r
Para as coordenadas de Schwarzschild (t, r, , ) temos
2M r 2M
g00 = 1 = ,
r r
1 r
g11 = = ,
2M r 2M
1
r
g22 = r2 , (17.3)
2 2
g33 = r sen ,
gij = 0 se i 6= j.
Rodney Josue Biezuner 242
e, caso contrario,
k gij = 0. (17.8)
Logo, de (17.3), (17.4), (17.6) e (17.7) segue que, para k = 0,
1 1
0ij = (i gj0 + j gi0 0 gij ) g 00 = (i gj0 + j gi0 ) g 00 ,
2 2
000 = (0 g00 ) g 00 = 0,
1 1
001 = 010 = (0 g10 + 1 g00 ) g 00 = (1 g00 ) g 00
2 2
M
= ,
r (r 2M )
1
002 = 020 = (0 g20 + 2 g00 ) g 00 = 0,
2
1
003 = 030 = (0 g30 + 3 g00 ) g 00 = 0,
2
011 = (1 g10 ) g 00 = 0,
1
012 = 021 = (1 g20 + 2 g10 ) g 00 = 0,
2
1
013 = 031 = (1 g30 + 3 g10 ) g 00 = 0,
2
022 = (2 g20 ) g 00 = 0,
1
023 = 032 = (2 g30 + 3 g20 ) g 00 = 0,
2
033 = (3 g30 ) g 00 = 0;
para k = 1,
1
1ij = (i gj1 + j gi1 1 gij ) g 11 ,
2
Rodney Josue Biezuner 244
1 1
100 = (20 g01 1 g00 ) g 11 = (1 g00 ) g 11
2 2
M 2M 2 M (r 2M )
= 2 3 = ,
r r r3
1
101 = 110 = (0 g11 + 1 g01 1 g01 ) g 11 = 0,
2
1
102 = 120 = (0 g21 + 2 g01 1 g02 ) g 11 = 0,
2
1
103 = 130 = (0 g31 + 3 g01 1 g03 ) g 11 = 0,
2
1 M
111 = (1 g11 ) g 11 = ,
2 r (r 2M )
1
112 = 121 = (1 g21 + 2 g11 2 g12 ) g 11 = 0,
2
1
113 = 31 = (1 g31 + 3 g11 1 g13 ) g 11 = 0,
1
2
1 1
122 = (22 g21 1 g22 ) g 11 = (1 g22 ) g 11 = 2M r,
2 2
1
123 1
= 32 = (2 g31 + 3 g21 1 g23 ) g 11 = 0,
2
1 1
133 = (23 g31 1 g33 ) g 11 = (1 g33 ) g 11 = (2M r) sen2 ;
2 2
para k = 2,
1
2ij = (i gj2 + j gi2 2 gij ) g 22 ,
2
1
200 = (0 g02 + 0 g02 2 g00 ) g 22 = 0,
2
1
201 = 210 = (0 g12 + 1 g02 2 g01 ) g 22 = 0,
2
1
202 = 20 = (0 g22 + 2 g02 2 g02 ) g 22 = 0,
2
2
1
203 = 30 = (0 g32 + 3 g02 2 g03 ) g 22 = 0,
2
2
1
211 = (1 g12 + 1 g12 2 g11 ) g 22 = 0,
2
1 1 1
212 = 221 = (1 g22 + 2 g12 2 g12 ) g 22 = (1 g22 ) g 22 = ,
2 2 r
1
213 = 231 = (1 g32 + 3 g12 2 g13 ) g 22 = 0,
2
1
222 = (2 g22 ) g 22 = 0,
2
1
223 = 232 = (2 g32 + 3 g22 2 g23 ) g 22 = 0,
2
1 1
233 = (3 g32 + 3 g32 2 g33 ) g 22 = (2 g33 ) g 22 = sen cos ;
2 2
e, finalmente, para k = 3,
1 1
3ij = (i gj3 + j gi3 3 gij ) g 33 = (i gj3 + j gi3 ) g 33 ,
2 2
Rodney Josue Biezuner 245
1
300 = (0 g03 + 0 g03 ) g 33 = 0,
2
1
301 = 310 = (0 g13 + 1 g03 ) g 33 = 0,
2
1
302 = 20 = (0 g23 + 2 g03 ) g 33
3
= 0,
2
1
303 = 30 = (0 g33 + 3 g03 ) g 33
3
= 0,
2
311 = (1 g13 ) g 33 = 0,
1
312 = 321 = (1 g23 + 2 g13 ) g 33 = 0,
2
1 1 1
313 = 31 = (1 g33 + 3 g13 ) g 33
3
= (1 g33 ) g 33 = ,
2 2 r
322 = (2 g23 ) g 33 = 0,
1 1 cos
323 = 332 = (2 g33 + 3 g23 ) g 33 = (2 g33 ) g 33 = ,
2 2 sen
333 = (3 g33 ) g 33 = 0.
Ric = S = 0. (17.9)
Ela nao e uma metrica plana, pois o seu tensor curvatura nao e nulo, mas e uma metrica assintoticamente
plana, isto e,
l
Rijk 0 quando r 0.
Prova: As componentes do tensor endomorfismo curvatura sao dadas por
l
Rijk = m l m l l l
jk im ik jm + i jk j ik
k
Lembramos que Rkkj = 0. Usando (17.5), para ij = 00 temos
k
Rk00 = m k m k k k
00 km k0 0m + k 00 0 k0
donde
0
R000 = 0,
1
R100 = 100 111 010 100 110 101 + 1 100 = 100 111 010 100 + 1 100
6M 2
M (r 2M ) M M M (r 2M ) 2M
= + 3 + 4
r3 r (r 2M ) r (r 2M ) r3 r r
2M 2 2M 6M 2 4M 2 2M
= 4 3 + 4 = 4 3 ,
r r r r r
2
R200 = 100 221 020 200 120 201 + 2 200 = 100 221
M (r 2M ) 1 M 2M 2
= = ,
r3 r r3 r4
3
R300 = 00 31 30 00 30 01 + 3 300 = 100 331
1 3 0 3 1 3
M (r 2M ) 1 M 2M 2
= = ,
r3 r r3 r4
logo
R00 = 0; (17.10)
para ij = 01 temos
k
Rk01 = m k m k k k
01 km k1 0m + k 01 0 k1
= 1k2 k01 ,
donde
0
R002 = 0,
1
R102 = 112 101 = 0,
2
R202 = 122 201 = 0,
3
R302 = 132 301 = 0,
logo
R02 = R20 = 0; (17.12)
para ij = 03 temos
k
Rk03 = m k m k k k
03 km k3 0m + k 03 0 k3
= 1k3 k01 ,
Rodney Josue Biezuner 247
donde
0
R003 = 0,
1
R103 = 113 101 = 0,
2
R203 = 123 201 = 0,
3
R303 = 133 301 = 0,
logo
R03 = R30 = 0; (17.13)
para ij = 11 temos
k
Rk11 = m k m k k k
11 km k1 1m + k 11 1 k1
= 111 kk1 0k1 k10 1k1 k11 2k1 k12 3k1 k13 + k k11 1 kk1 ,
donde
0
R011 = 111 001 001 010 101 011 211 112 311 113 + 0 011 1 001
= 111 001 001 010 1 001
M2 M2 2M (r M )
= 2 2 + 2
r2 (r 2M ) r2 (r 2M ) r2 (r 2M )
2M
= 2 ,
r (r 2M )
1
R111 = 0,
2
R211 = 111 221 021 210 121 211 221 212 321 213 + 2 211 1 221
= 111 221 221 212 1 221
M 1 1
= 2 + 2
r (r 2M ) r2 r
M
= 2 ,
r (r 2M )
3
R311 = 111 331 031 310 131 311 231 312 331 313 + 3 311 1 331
= 111 331 331 313 1 331
M 1 1
= 2 + 2
r (r 2M ) r2 r
M
= 2 ,
r (r 2M )
logo
R11 = 0; (17.14)
para ij = 12 temos
k
Rk12 = m k m k k k
12 km k2 1m + k 12 1 k2
= 212 kk2 1k2 k11 2k2 k12 3k2 k13 + k k12 1 kk2 ,
Rodney Josue Biezuner 248
donde
0
R012 = 212 002 102 011 202 012 302 013 + 0 012 1 002 = 0,
1
R112 = 0,
2
R212 = 212 222 122 211 222 212 322 213 + 2 212 1 222 = 2 212
1
= 2,
r
3
R312 = 212 332 132 311 232 312 332 313 + 3 312 1 332
= 212 332 332 313 1 332
1 1 1
= cot cot + 2
r r r
1
= 2,
r
logo
R12 = R21 = 0; (17.15)
para ij = 13 temos
k
Rk13 = m k m k k k
13 km k3 1m + k 13 1 k3
= 313 kk3 1k3 k11 2k3 k12 3k3 k13 + k k13 1 kk3 ,
donde
0
R013 = 313 003 103 011 203 012 303 013 + 0 013 1 003 = 0,
1
R113 = 0,
2
R213 = 313 223 123 211 223 212 323 213 + 2 213 1 223 = 0,
3
R313 = 313 333 133 311 233 312 333 313 + 3 313 1 333 = 0,
logo
R13 = R31 = 0; (17.16)
para ij = 22 temos
k
Rk22 = m k m k k k
22 km k2 2m + k 22 2 k2
= 122 kk1 1k2 k21 2k2 k22 3k2 k23 + k k22 2 kk2 ,
Rodney Josue Biezuner 249
donde
0
R022 = 122 001 102 021 202 022 302 023 + 0 022 2 002 = 122 001
M
= ,
r
1
R122 = 122 111 112 121 212 122 312 123 + 1 122 2 112
= 122 111 212 122 + 1 122
M r 2M
= + 1
r r
M
= ,
r
2
R222 = 0,
3
R322 = 122 331 132 321 232 322 332 323 + 3 322 2 332
= 122 331 332 323 2 332
r 2M 1 r 2M cos2 1
= cot2 + 2
= +
r sen r sen sen2
2
2 2
2M 1 cos 2M sen
= 1 + + = 1 + +
r sen2 r sen2
2M
= ,
r
logo
R22 = 0; (17.17)
para ij = 23 temos
k
Rk23 = m k m k k k
23 km k3 2m + k 23 2 k3
= 323 kk3 1k3 k21 2k3 k22 3k3 k23 + k k23 2 kk3 ,
donde
0
R023 = 323 003 103 021 203 022 303 023 + 0 023 2 003 = 0,
1
R123 = 323 113 113 121 213 122 313 123 + 1 123 2 113 = 0,
2
R223 = 0,
3
R323 = 323 223 123 221 223 222 323 223 + 2 223 2 223 = 0,
logo
R23 = R32 = 0; (17.18)
e, finalmente, para ij = 33 temos
k
Rk33 = m k m k k k
33 km k3 3m + k 33 3 k3
= 133 kk1 + 233 kk2 1k3 k31 2k3 k32 3k3 k33 + k k33
Rodney Josue Biezuner 250
donde
0
R033 = 133 001 + 233 002 103 031 203 032 303 033 + 0 033 = 133 001
M
= sen2 ,
r
1
R133 = 133 111 + 233 112 113 131 213 132 313 133 + 1 133
= 133 111 313 133 + 1 133
M r 2M
= sen2 + sen2 sen2
r r
M
= sen2 ,
r
2
R233 = 133 221 + 233 222 123 231 223 232 323 233 + 2 233
= 133 221 323 233 + 2 233
r 2M cos
= sen2 + sen cos cos2 + sen2
r sen
2M
= sen2 ,
r
3
R333 = 0,
logo
R33 = 0. (17.19)
Para mostrar que a metrica de Schwarzschild e uma metrica assintoticamente plana, precisamos calcular
as demais componentes do tensor curvatura.
17.7 Proposicao. Se a massa esferica estatica, isolada, tem raio R = 2M , o espacotempo para r > R com
a metrica de Schwarzschild satisfaz a equacao de Einstein.
Campos de Jacobi
Neste captulo estudaremos como a curvatura afeta as geodesicas. Em um ponto p, as geodesicas radiais
partem deste ponto e se irradiam. Veremos que em uma regiao de curvatura seccional positiva as geodesicas
se separam menos, em comparacao com as geodesicas (retas) no espaco euclidiano (ou seja, os raios em
Tp M ), enquanto que em uma regiao de curvatura seccional negativa as geodesicas se separam mais.
onde v (s) e uma curva de Tp M partindo de v (0) = v com velocidade v 0 (0) =: w. Para cada s fixado,
Fs (t) = F (s, t) e a geodesica radial que parte de p com velocidade v (s). A velocidade de afastamento destas
geodesicas radiais no ponto (t) e exatamente o vetor
F
(0, t) = d expp tv tw, (18.1)
s
que e o vetor velocidade da curva transversal partindo de (t). Neste captulo estudaremos este campo
em detalhes. Veremos em primeiro lugar nesta secao que ele satisfaz uma equacao diferencial, chamada a
equacao de Jacobi (tambem conhecida como equacao do desvio geodesico em Relatividade Geral). [Para
conveniencia do leitor, repetimos o Lema 13.34 que foi visto no apendice do Captulo 13, juntamente com a
sua demonstracao.]
18.1 Lema. Seja F : (, ) [a, b] M uma variacao e V um campo vetorial ao longo de F . Entao
D DV D DV F F
=R , V.
dt ds ds dt t s
251
Rodney Josue Biezuner 252
Entao !
n n n
DV D X
i
X V i X D
= V i = i + Vi i ,
ds ds i=1 i=1
s i=1
ds
donde
n n n n
D DV X 2V i X V i D X V i D X DD
= i + i + i + Vi i .
dt ds i=1
st i=1
s dt i=1
t ds i=1
dt ds
Trocando t por s,
n n n n
D DV X 2V i X V i D X V i D X DD
= i + i + i + Vi i .
ds dt i=1
st i=1
t ds i=1
s dt i=1
ds dt
Logo,
n
D DV D DV X DD DD
= Vi i . (18.2)
dt ds ds dt i=1
dt ds ds dt
Escrevendo
F (s, t) = x1 (s, t) , . . . , xn (s, t) ,
de modo que
X xj n
F
= j ,
t j=1
t
X xk n
F
= k ,
s s
k=1
temos
X xk n
D
i = P xk i = k i .
ds s k s
k=1
Da,
n
!
DD D X xk
i = k i
dt ds dt s
k=1
n n
X 2 xk X xk D
= k i + (k i )
st s dt
k=1 k=1
n n
X 2 xk X xk
= k i + P xj (k i )
st s t j
k=1 k=1
n 2 k n
X x X xk xj
= i + j k i .
st k s t
k=1 k,j=1
Portanto,
n n
D DV D DV X X xj xk
Vi
= j k i k j i
dt ds ds dt i=1
t s
j,k=1
n n
X xj xk
X
= Vi R (j , k ) i
i=1
t s
j,k=1
n n j n k
X X x X x
= V iR j , k i
i=1 j=1
t s
k=1
n
X
F F
=R , V i i
t s i=1
F F
=R , V.
t s
18.2 Proposicao (Equacao de Jacobi). Seja F : (, ) [0, 1] M uma variacao geodesica e denote
F
J (t) = (0, t) .
s
Entao J satisfaz a equacao diferencial linear
D2 J
+ R (J, 0 ) 0 = 0. (18.3)
dt2
Prova: Como as curvas principais t 7 F (s, t) da variacao sao geodesicas, temos
D F
= 0.
dt t
Segue do lema anterior e do Lema de Simetria 12.25 que
D D F D D F F F F
0= = R ,
ds dt t dt ds t t s t
D D F F F F
= +R ,
dt dt s s t t
2
D F F F F
= 2 +R , .
dt s s t t
18.4 Proposicao (Existencia e Unicidade de Campos de Jacobi). Seja : I M uma geodesica. Dado
t0 I e V, W T(t0 ) M , existe um unico campo de Jacobi ao longo de tal que
J (t0 ) = V ,
DJ
(t0 ) = W.
dt
Em particular, os campos de Jacobi ao longo de uma geodesica formam um espaco vetorial de dimensao 2n.
Prova: Seja {E1 (t) , . . . , En (t)} campos ortonormais paralelos ao longo de . Escrevendo
n
X
J= J i Ei ,
i=1
temos
n
D2 J X d2 J i
(t) = Ei ,
dt2 i=1
dt2
e
n n n
0 0
X
k
X d j X d l
R (J, ) = R J Ek , Ej El
j=1
dt dt
k=1 l=1
n
X d j d l k
= J R (Ek , Ej ) El
dt dt
j,k,l=1
n
X
i d j d l k
= Rkjl J Ei ,
dt dt
j,k,l=1
de modo que a equacao de Jacobi e equivalente ao sistema de equacoes diferenciais lineares de segunda
ordem:
n
d2 J i X j
i d d
l
+ Rkjl Jk = 0
dt2 dt dt
j,k,l=1
para i = 1, . . . , n. Como o sistema e linear, a existencia e unicidade de solucoes esta garantida em todo o
intervalo I, dadas condicoes iniciais.
Um campo vetorial ao longo de uma curva que nao seja do tipo luz sempre pode ser decomposto nas suas
componentes tangencial e normal:
V = V > V .
No caso de campos de Jacobi, ambas as componentes sao tambem campos de Jacobi:
18.5 Proposicao. Seja : I M uma geodesica que nao e do tipo luz e J um campo vetorial ao longo
de . Decomponha
J = J> J
nas suas componentes tangencial e normal, respectivamente. Entao J e um campo de Jacobi se e somente
se J > e J sao campos de Jacobi.
Prova: Pela linearidade da equacao de Jacobi, se J > , J sao campos de Jacobi entao J e um campo de
Jacobi.
Reciprocamente, seja J um campo de Jacobi. Como J > e um multiplo escalar de 0 , temos
R J > , 0 = 0,
Rodney Josue Biezuner 255
donde
R (J, 0 ) = R J , 0 .
D 0
D DW 0 DW 0
hW, 0 i = , + W, = , ,
dt dt dt dt
DW 0
de modo que hW, 0 i = 0 implica , = 0, isto e, se W e normal a geodesica , entao sua derivada
dt
DW
covariante tambem e normal a ; da mesma forma, se W e um campo tangente a , entao sua derivada
dt
DW
covariante tambem e tangente a , pois se W = f 0 , entao
dt
DW df D 0 df
= 0 + f = 0.
dt dt dt dt
Logo,
>
D2 J D2 J >
= ,
dt2 dt2
D2 J D2 J
= .
dt2 dt2
Portanto, a equacao de Jacobi
D2 J
+ R (J, 0 ) 0 = 0
dt2
da origem as duas equacoes de Jacobi
D2 J >
+ R J > , 0 0 = 0,
dt2
D2 J
+ R J , 0 0 = 0.
dt2
18.6 Exemplo. Existem sempre dois campos de Jacobi tangenciais triviais ao longo de uma geodesica :
e
J1 (t) = t 0 (t) (18.5)
que satisfaz as condicoes iniciais
DJ1
J1 (0) = 0 e (0) = 0 (0) .
dt
O primeiro e um campo de Jacobi porque
D2 J0 D D 0 D
2
= = 0 = 0,
dt dt dt dt
R (J0 , 0 ) 0 = R ( 0 , 0 ) = 0.
O segundo e um campo de Jacobi porque
D2 J1 D 0 D 0
D DJ1 D
2
= = 0 + t = = 0,
dt dt dt dt dt dt
R (J1 , 0 ) 0 = R (t 0 , 0 ) 0 = tR ( 0 , 0 ) 0 = 0.
De fato, J0 e o campo variacional da variacao F (s, t) = (t + s), enquanto que J1 e o campo variacional
da variacao F (s, t) = (tes ). Como estas variacoes sao apenas reparametrizacoes das geodesicas , elas nao
podem dizer mais nada do que a propria .
Devido ao visto no exemplo anterior, apenas campos de Jacobi normais ao longo de sao interessantes,
capazes de fornecer informacao geometrica nova.
18.7 Proposicao. Seja : I M uma geodesica, t0 I e J um campo de Jacobi ao longo de . Entao
hJ (t) , 0 (t)i = At + B,
onde
DJ 0
A= (t0 ) , (t0 ) ,
dt
0 DJ 0
B = hJ (t0 ) , (t0 )i (t0 ) , (t0 ) t0 .
dt
Em particular, um campo de Jacobi ao longo de e normal a 0 se e somente se
DJ
J (t0 ) , (t0 ) 0 (t0 ) .
dt
Alem disso, qualquer campo de Jacobi ortogonal a 0 em dois pontos e um campo normal.
18.8 Lema. Em particular, o subespaco dos campos de Jacobi tangenciais tem dimensao 2, enquanto que o
subespaco dos campos de Jacobi normais tem dimensao 2n 2.
Prova: Pela compatibilidade da metrica,
d2 D 0
0 d DJ 0
hJ, i = , + J,
dt2 dt dt dt
DJ D 0
2
d DJ 0 D J 0
= , = , + ,
dt dt dt2 dt dt
2
D J 0
= ,
dt2
= hR (J, 0 ) 0 , 0 i
= R (J, 0 , 0 , 0 )
= 0.
Rodney Josue Biezuner 257
Logo,
f (t) = hJ (t) , 0 (t)i = At + B
para alguns A, B R. Como
J (0) = 0,
DJ
(0) = w.
dt
Prova: E obvio que J (0) = 0. Para mostrar que
DJ
(0) = w,
dt
calculamos
DJ Dh i Dh i
(t) = d expp tv tw = td expp tv w
dt dt dt
Dh i
= d expp tv w + t d expp tv w .
dt
Logo,
DJ
(0) = d expp 0 w = w.
dt
Em coordenadas normais, e facil calcular campos de Jacobi:
18.10 Proposicao. Sejam p M , x1 , . . . , xn coordenadas normais centradas em p e : I M uma
geodesica radial partindo de p. Entao, para cada vetor V Tp M , o campo de Jacobi ao longo de tal que
J (0) = 0,
DJ
(0) = V,
dt
e dado por
n
X
i
J (t) = tV .
i=1
xi (t)
Rodney Josue Biezuner 258
Prova: Como M tem curvatura seccional constante K, seu endomorfismo curvatura e dado por
conforme vimos no captulo anterior. Logo, como k 0 k = 1, se J e um campo de Jacobi normal temos que
Portanto, a equacao de Jacobi para um campo normal de Jacobi ao longo de uma geodesica unitaria em uma
variedade com curvatura seccional constante K e
D2 J
+ KJ = 0.
dt2
Escolhendo um campo vetorial paralelo normal E (t) ao longo de e substituindo J (t) = (t) E (t) na
equacao de Jacobi podemos obter uma solucao para esta equacao para quaisquer condicoes iniciais; pelo
teorema de existencia e unicidade ela e a unica solucao para a equacao. De fato, temos
D2 (E)
D D (E) D d DE D d
= = E + = E
dt2 dt dt dt dt dt dt dt
d2 d DE
= 2E+
dt dt dt
d2
= 2 E,
dt
logo, substituindo J (t) = (t) E (t) na equacao de Jacobi produz
2
d
+ K E = 0
dt2
V = Vr + VS ,
onde Vr esta na direcao de /r e VS e tangente a esfera Sr (p) que passa por q. Entao a metrica g pode
ser escrita
2 2
kVr ke + kVS ke
se K = 0,
R2 2 r 1
2 2
kV k kVS ke
kV kg = r e + 2
sen se K = 2 > 0,
r R R
2
kVr k2 + R senh2 r kVS k2 1
se K = < 0.
e e
r2 R R2
Rodney Josue Biezuner 260
Como a distancia radial e a distancia euclideana (tambem consequencia do lema de Gauss) temos que
kVr kg = kVr ke .
e um campo de Jacobi J (t) que se anula em p e tal que J (r) = VS . Em particular, J e normal a 0 em
p e q e portanto J e normal ao longo de pela Proposicao 18.7. Logo, J possui a representacao dada na
Proposicao 18.11. Segue que
2
2 2 2 2 2 2 2
DJ
kVS kg = kJ (r)k = | (r)| kE (r)k = | (r)| kE (0)k = | (r)|
,
(0)
dt
Como as metricas na bola B (0) Rn , onde identificamos Rn com ambos os espacos tangentes Tp M e TpeM
f
1
e e uma isometria.
sao identicas pela Proposicao 18.12, segue que
18.14 Lema. Sejam p M e : I M a geodesica radial partindo de p com velocidade inicial 0 (0) = V .
Seja W Tp M com kW k = 1 e considere o campo de Jacobi J tal que
J (0) = 0,
DJ
(0) = W.
dt
Entao
2 1
kJ (t)k = t2 R (V, W, W, V ) t4 + o t4 .
3
Em particular, se e uma geodesica unitaria,
2 1
kJ (t)k = t2 K (V, W ) t4 + o t4
3
e
1
kJ (t)k = t K (V, W ) t3 + o t3 .
6
Prova: Para simplificar a notacao, denotaremos
DJ
J 0 (t) = (t) ,
dt
D2 J
J 00 (t) = (t)
dt2
e, em geral,
Dk J
J (k) (t) =
(t) .
dtk
Para provar o resultado, aplicaremos a formula de Taylor a funcao real f : I R definida por
2
f (t) = kJ (t)k = hJ (t) , J (t)i .
Temos
f 0 = 2 hJ, J 0 i ,
f 00 = 2 hJ 0 , J 0 i + 2 hJ, J 00 i
2
= 2 kJ 0 k + 2 hJ, J 00 i ,
e
2
f (0) = kJ (0)k = 0,
f (0) = 2 hJ (0) , J 0 (0)i = 0,
0
2 2
f 00 (0) = 2 kJ 0 (0)k + 2 hJ (0) , J 00 (0)i = 2 kJ 0 (0)k = 2.
Como
e
J 00 (0) = R (J (0) , 0 (0)) 0 (0) = R (0, V ) V = 0,
segue que
f 000 (0) = 6 hJ 0 (0) , J 00 (0)i + 2 hJ (0) , J 000 (0)i = 0.
Rodney Josue Biezuner 262
de modo que
f (4) (0) = 8 hJ 0 (0) , J 000 (0)i = 8 hW, J 000 (0)i .
Mas
000 D 00
hJ (0) , W i = J (t) ,W
dt t=0
D 0 0
= R (J (t) , (t)) (t) ,W .
dt t=0
Afirmamos que
D
R (J (t) , 0 (t)) 0 (t)
, W = R (V, W, W, V ) .
dt t=0
De fato, como
hR (J, 0 ) 0 , J 0 i = R (J, 0 , 0 , J 0 )
= R ( 0 , J 0 , J, 0 )
= hR (J 0 , 0 ) 0 , Ji ,
segue que
d d
hR (J, 0 ) 0 , J 0 i = hR (J 0 , 0 ) 0 , Ji ,
dt dt
donde
D D
R (J, 0 ) 0 , J 0 0 0
+ hR (J, ) , J i = 00
R (J 0 , 0 ) 0 , J + hR (J 0 , 0 ) 0 , J 0 i .
dt dt
Calculando em t = 0, como J (0) = J 00 (0) = 0 e J 0 (0) = W , temos que
D 0 0
R ( (t) , J (t)) (t)
, W = hR (W, V ) V, W i = R (W, V, V, W ) .
dt t=0
Consequentemente,
f (4) (0) = 8R (V, W, W, V ) .
Segue portanto da formula de Taylor que
1
f (t) = t2 R (V, W, W, V ) t4 + o t4 .
3
Quando, kV k = kW k = 1, temos R (V, W, W, V ) = K (V, W ) e portanto
1
f (t) = t2 K (V, W ) t4 + o t4 .
3
Para provar a ultima expressao do enunciado, seja
p
g (t) = kJ (t)k = f (t).
Rodney Josue Biezuner 263
2
Entao f (t) = [g (t)] e
Da
g (0) = 0,
2 2
f 00 (0) = 2 [g 0 (0)] + 2g (0) g 00 (0) = 2 = 2 [g 0 (0)] + 0
= g 0 (0) = 1,
f 000 (0) = 6g 0 (0) g 00 (0) + 2g (0) g 000 (0) = 0 = 6g 00 (0) + 0
= g 00 (0) = 0,
2
f (4) (0) = 6 [g 00 (0)] + 8g 0 (0) g 000 (0) + 2g (0) g (4) (0) = 8K (V, W ) = 0 + 8g 000 (0) + 0
= g 000 (0) = K (V, W ) .
onde v (s) e uma curva de Tp M com v (0) = v, v 0 (0) = w e kv (s)k = kwk = 1. Considere os raios partindo
da origem, eles se afastam do raio tv com velocidade absoluta
tv (s)
= ktv 0 (0)k = t kwk = t.
s
s=0
J (0) = 0,
DJ
(0) = w,
dt
ele satisfaz as hipoteses do enunciado do Lema 18.14 e portanto
F
= t 1 K (V, W ) t3 + o t3 .
s (0, t)
6
Isso significa que as geodesicas radiais Fs (t) se afastam da geodesica radial F0 (t) = expp (tv) com velocidade
que difere de t por uma termo de terceira ordem cujo sinal e o oposto do sinal da curvatura seccional da
variedade em p associada ao plano gerado por v e w. Isso significa que se Kp () > 0 as geodesicas se
afastam menos que os raios do espaco tangente Tp M , enquanto que se Kp () < 0 as geodesicas se afastam
mais que os raios do espaco tangente Tp M .
Rodney Josue Biezuner 264
18.15 Definicao. Seja : [a, b] M uma geodesica. Dizemos que o ponto q = (b) e conjugado ao
ponto p = (a) ao longo de se existe um campo de Jacobi J ao longo de nao identicamente nulo que se
anula em p e q, isto e, tal que
J (a) = J (b) = 0.
A multiplicidade do ponto conjugado q e a dimensao do subespaco dos campos de Jacobi que se anulam
em p e q.
Pelo teorema de existencia e unicidade, a dimensao do espaco dos campos de Jacobi que se anulam em p e
n; como o campo de Jacobi tangencial J (t) = t 0 (t) so se anula em p (de fato, qualquer campo de Jacobi
tangencial que se anula em dois pontos e necessariamente nulo pela Proposicao 18.7), a multiplicidade de
um ponto conjugado e no maximo n 1. Em particular, na definicao de pontos conjugados, o ponto q e
conjugado a p se e somente se existir um campo de Jacobi normal ao longo de nao identicamente nulo que
se anula em p e q. O numero n 1 e atingido na esfera pela Proposicao 18.11, ja que para pontos antipodais
existe um campo de Jacobi que anula neles para cada campo paralelo normal.
18.16 Proposicao. Sejam p M , v Tp M e q = expp (v). Entao expp e um difeomorfismo local em uma
vizinhanca de v se e somente se q nao e conjugado a p ao longo da geodesica (t) = expp (tv).
Alem disso, a multiplicidade de q e igual a dim ker d expp v .
Prova: Como vimos na Proposicao 18.9, todo campo de Jacobi ao longo de tal que J (0) = 0 e da forma
J (t) = d expp tv tw.
isto e, se e somente se v e ponto crtico de expp . Como os campos de Jacobi J1 , . . . , Jk que se anulam em p
sao linearmente independentes se e somente se os vetores
J (a) = V,
J (b) = W.
Rodney Josue Biezuner 265
Prova: Seja J o espaco vetorial dos campos de Jacobi ao longo de tais que J (a) = 0. Este espaco tem
DJ
dimensao n, correspondente as n escolhas linearmente independentes de (a). Defina uma aplicacao linear
dt
: J T(b) M por
(J) = J (b) .
Como (b) nao e conjugado a (a), e injetiva. Ja que dim J = n = dim T(b) M , segue que e um
isomorfismo. Logo existe J1 J tal que
J1 (b) = W,
ou seja, existe um unico campo de Jacobi J1 ao longo de tal que
J1 (a) = 0,
J1 (b) = W.
Considerando o espaco vetorial Je dos campos de Jacobi ao longo de tais que J (b) = 0 e a aplicacao linear
: Je T(a) M por
(J) = J (a) ,
conclumos de maneira analoga que existe um unico campo de Jacobi J2 ao longo de tal que
J2 (a) = V,
J2 (b) = 0.
Causalidade
Em geral, uma variedade de Lorentz nao possui campos vetoriais do tipo tempo globalmente definidos.
19.2 Definicao. Dizemos que uma variedade de Lorentz M e temporalmente orientavel se existe uma
funcao que atribui a cada ponto p um cone temporal p em Tp M e um campo vetorial do tipo tempo tais
que Xp p para todo p M .
Neste caso, dizemos que e uma orientacao temporal para M .
Se v Tp M e um vetor do tipo causal, dizemos que v e dirigido para o futuro se v p e para o passado
se v p .
Em outras palavras, v e dirigido para o futuro se
hv, Xp i < 0
e para o passado se
hv, Xp i > 0.
Veja a demonstracao do Teorema 19.12 para uma definicao alternativa usando transporte paralelo.
19.3 Definicao. Uma variedade de Lorentz conexa, temporalmente orientada, e chamada um espacotempo.
Em Relatividade Geral se trabalha com espacotempos, ja que e altamente improvavel que dois observadores,
mesmo nao inerciais, se encontrem em um ponto do espacotempo e o tempo para um segue o seu ritmo
natural em direcao ao futuro, enquanto que para o outro observador o tempo corre em direcao ao passado.
266
Rodney Josue Biezuner 267
19.2.1 Cronologia
19.4 Definicao. Dados pontos p, q M , dizemos que p precede q cronologicamente e escrevemos
pq
se existe uma curva diferenciavel do tipo tempo orientada para o futuro ligando p a q.
Dizemos que p precede q causalmente e escrevemos
p6q
p<q
se p 6 q e p 6= q.
As relacoes e 6 sao claramente transitivas.
Rodney Josue Biezuner 268
([]) = (1)
e um recobrimento duplo.
Prova: Dotamos M f da topologia quociente atraves desta relacao de equivalencia, o que torna Mf um espaco
de recobrimento topologico com : M f M a aplicacao de recobrimento. Lembramos entao que o
espaco de recobrimento topologico de uma variedade diferenciavel possui uma unica estrutura de variedade
diferenciavel que torna a aplicacao de recobrimento diferenciavel (veja [Lee 1], Proposicao 4.40, p. 92, para
uma demonstracao). Finalmente, definimos uma metrica de Lorentz em M f atraves do pullback da projecao,
isto e,
ge = g,
ou seja,
ge[] (e
v , w)
e = g(1) d[] ve, d[] w
e .
Em particular, e uma isometria local.
Note que se M e temporalmente orientavel, entao M
f = M . Caso contrario, mostraremos que M
f e. Para
isso, precisaremos dos lemas a seguir.
Rodney Josue Biezuner 269
e (0) = pe0 .
Se =
e, entao
e (1) = [] .
Prova: Este resultado parece ser incorreto pelo seguinte argumento. Suponha que
1 (p0 ) = pe+ e
0 ,p0 .
Como ambos M e M f sao variedades de Lorentz e toda variedade diferenciavel e localmente contratil, podemos
assumir vizinhancas contrateis Ve de pe
0 tais que V
e = V , V sendo uma vizinhanca contratil de p0 .
Dentro das vizinhancas Ve podemos tomar lacos e com pontos inicial e final em pe 0 . Se o enunciado e
correto, entao se = e , segue que
pe e (1) = .
0 =
Em particular, +
6= ,
ja que pe+ e
0 6= p
+
0 . Mas e , sendo lacos com pontos inicial e final em p0 , dentro da vizinhanca contratil
V , sao (diferenciavelmente) homotopicos e portanto
+
= ,
uma contradicao.
Se o resultado for correto, um possvel argumento seria o seguinte. Para fixar ideias, assuma que pe0 e a
classe de equivalencia da curva constante 0 (t) p0 . Neste caso, o campo paralelo a curva constante 0
com vetor inicial v0 e simplesmente V (t) v0 .
Defina et : [0, 1] M
f por
et (s) =
e (st) ,
de modo que et e simplesmente o segmento da curva e que liga pe0 a e (t), seu domnio reparametrizado para
[0, 1]. Observe que e (s) pe0 e que
e0 e a curva constante e1 = e. Seja t = et . Mostraremos que o
conjunto
A = {t [0, 1] :
et (1) = [t ]}
e aberto e fechado em [0, 1], provando o resultado. Por escolha, 0 A. (. . .)
Sejam pe M e
f e, : [0, 1] M curvas diferenciaveis por parte tais que
e f
e (0) = e (0) = pe0 ,
e (1) = e (1) = pe.
Se Ve , Ve sao os campos paralelos ao longo de respectivamente e, e definidos por Ve (0) = Ve (0) = ve0 , entao
D E
Ve (1) , Ve (1) < 0.
Rodney Josue Biezuner 270
Prova: A unicidade de ve0 segue do fato de toda aplicacao de recobrimento diferenciavel ser um difeomorfismo
local. Sejam
= e,
= .
e
V (0) = V (0) = (e
v0 ) = v0
e D E D E
hV (1) , V (1)i = Ve (1) , Ve (1) = Ve (1) , Ve (1) .
e (1) = [] ,
e (1) = [] ,
contradizendo
e1 (1) =
e2 (1) = pe.
19.12 Teorema. Toda variedade de Lorentz nao temporalmente orientavel possui um recobrimento duplo
temporalmente orientavel.
Prova: Veja Teorema 3.3 em [BEE], p. 52. Implcita na demonstracao deste teorema e uma definicao
alternativa para a orientabilidade temporal de uma variedade de Lorentz M : M e temporalmente orientavel
se, fixados um ponto base qualquer p0 M e um vetor do tipo tempo qualquer v0 Tp0 M , para todo
p M e para todas as curvas diferenciaveis , ligando p0 a p, os campos paralelos V , V ao longo de
respectivamente , definidos por V (0) = V (0) = v0 satisfazem
Esta condicao implica que o transporte paralelo do cone futuro determinado por v0 em p0 para qualquer
ponto p e independente do caminho escolhido de p0 para p. Logo, uma escolha consistente de vetores do tipo
tempo futuros pode ser feita por transporte paralelo a partir de p0 .
Referencias Bibliograficas
[BEE] John K. BEEM, Paul E. EHRLICH e Kevin L. EASLEY, Global Lorentzian Geometry,
2nd. Ed., Marcel Dekker, 1996.
[Benn-Tucker] Ian M. BENN e Robin W. TUCKER, An Introduction to Spinors and Geometry with
Applications in Physics, Adam Hilger, 1987.
[Berger] Marcel BERGER, A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer, 2002.
[Fleisch2] Daniel FLEISCH, A Students Guide to Vectors and Tensors, Cambridge University
Press, 2012.
[Gron-Naess] Oyvind GRON e Arne NAESS, Einsteins Theory: A Rigorous Introduction for the
Mathematically Untrained, Springer, 2011.
[Hoffman-Kunze] Kenneth HOFFMAN e Ray KUNZE, Linear Algebra, 2nd. Edition, Prentice-Hall, 1971.
271
Rodney Josue Biezuner 272