TC 1

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
TEORIA QUÂNTICA DOS CAMPOS

Parte 1
Jorge Crispim Romão
Departamento de Fı́sica
2004
2
Índice
1 Quantificação dos Campos Livres 5

1.1 Formalismo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Quantificação canónica para partı́culas . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Quantificação canónica para campos . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Simetrias e Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Quantificação dos campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 O campo escalar real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Causalidade Microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Flutuações do vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 O campo escalar carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 O produto ordenado no tempo e o propagador de Feynman . . 25
1.3 Segunda quantificação do campo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 O formalismo canónico para o campo de Dirac . . . . . . . . . 27
1.3.2 Causalidade Macroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3 O Propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Quantificação do Campo Electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Formalismo da métrica indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 O Propagador de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5 Simetrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Conjugação de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.3 Inversão no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5.4 O Teorema T CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Problemas Capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Estados Fı́sicos. Matriz S. Redução LSZ. 55

2.1 Estados Fı́sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Estados in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Representação espectral para campos escalares . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Estados out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Matriz S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Fórmula de redução para campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . 64
1
2 Índice
2.7 Fórmula de redução para fermiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.1 Estados in e out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.2 Representação espectral para fermiões . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.3 A fórmula de redução para fermiões . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 Fórmula de redução para fotões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9 Secções eficazes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Teoria das Perturbações Covariante 81

3.1 A matriz U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Expansão perturbativa das funções de Green . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Teorema de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Amplitudes Vácuo - Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Regras de Feynman para λϕ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Regras de Feynman para QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.1 Efeito de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 Difusão elástica electrão - positrão (Bhabha Scattering) . . . . 105
3.6.3 Loop de fermiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6.4 Regras de Feynman para QED . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7 Receita Geral para as regras de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.7.1 Exemplo: Electrodinâmica escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Correcções Radiativas 117

4.1 Renormalização a 1 loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Polarização do vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.2 Self-energy do electrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.3 O vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2 As identidades de Ward-Takahashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.1 Transversalidade do propagador do fotão n = 0, p = 1 . . . . . 136
4.2.2 Identidade para o vértice n = 1, p = 0 . . . . . . . . . . . . . 139
4.3 Contratermos e contagem de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4 Momento magnético anómalo do electrão . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5 Correcções radiativas à difusão de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 148
A Técnicas e fórmulas úteis para a renormalização 153

A.1 Parâmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.2 Parametrização de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3 Rotação de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.4 Integrais Escalares em Regularização Dimensional . . . . . . . . . . . 158
A.5 Integrais Tensoriais em Regularização Dimensional . . . . . . . . . . . 159
A.6 Função Γ(z) e outras fórmulas úteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.7 Explicit formulæ for the 1–loop integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Índice 3
A.7.1 Tadpole integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.7.2 Self–Energy integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.7.3 Triangle integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.7.4 Box integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.8 Divergent part of 1–loop integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.8.1 Tadpole integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.8.2 Self–Energy integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.8.3 Triangle integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.8.4 Box integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.9 Passarino-Veltman Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.9.1 The general definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.9.2 The divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.10 Examples of 1-loop calculations with PV functions . . . . . . . . . . . 168
A.10.1 Vaccum Polarization in QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.10.2 Electron Self-Energy in QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.10.3 QED Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.10.4 µ → eγ: Neutral scalar charged fermion loop . . . . . . . . . . 174
4 Índice
Capı́tulo 1
Quantificação dos Campos Livres
1.1 Formalismo Geral
1.1.1 Quantificação canónica para partı́culas
Antes de expormos a quantificação canónica de sistemas com um número infinito de

graus de liberdade, como são os campos, vamos recordar brevemente a quantificação
para sistemas de partı́culas.
Comecemos por um sistema duma só partı́cula com um grau de liberdade, como
por exemplo, o movimento de uma partı́cula a uma dimensão. As equações de
movimento clássicas são obtidas a partir da acção
Z t2
S= dtL(q, q̇) . (1.1)
t1
A condição δS = 0 dá as equações de Euler-Lagrange
d ∂ ∂L
− =0 (1.2)
dt ∂ q̇ ∂q
que são as equações do movimento.
Para se proceder à quantificação é conveniente passar primeiro para a formulação
Hamiltoniana. Começamos por definir o momento p conjugado da coordenada q por
∂L
p= (1.3)
∂ q̇
Então introduzimos o Hamiltoniano pela transformação da Legendre
H(p, q) = pq̇ − L(q, q̇) (1.4)

Em termos de H as equações de movimento são
5
6 Capı́tulo 1. Quantificação dos Campos Livres
∂H
{H, q}P B = = q̇
∂p
∂H
{H, p}P B =− = ṗ (1.5)
∂q
onde o parêntesis de Poisson é definido por
∂f ∂g ∂f ∂g
{f (p, q), g(p, q)}P B = − (1.6)
∂p ∂q ∂q ∂p
satisfazendo, obviamente
{p, q}P B = 1 . (1.7)

A quantificação efectua-se passando p e q a serem operadores hermı́ticos que em
vez de satisfazerem à Eq. (1.7) obedecem à relação de comutação (h̄ = 1)
[p, q] = −i (1.8)
∂
que é trivialmente verificada na representação das coordenadas onde p = −i . A
∂q
dinâmica é dada pela equação de Schrödinger
∂
H(p, q) |ΨS (t)i = i |ΨS (t)i (1.9)
∂t
Conhecido o estado em t = 0, |ΨS (0)i, a Eq. (1.9) determina completamente o
estado |Ψs (t)i e portanto o valor de qualquer observável fı́sica. Esta descrição onde
os estados dependem do tempo e os operadores não, é conhecida pela representação
de Schrödinger.
Existe uma descrição alternativa, onde a dependência no tempo passa para os
operadores e os estados são independentes do tempo. É a chamada representação
de Heisenberg. Para a definirmos integramos formalmente a Eq. (1.9). Obtemos
|ΨS (t)i = e−iHt |ΨS (0)i = e−iHt |ΨH i . (1.10)

O estado na representação de Heisenberg, |ΨH i é definido como o estado na
representação de Schrödinger para t = 0. O operador unitário e−iHt permite passar
duma representação para outra. Se definirmos os operadores na representação de
Heisenberg por
OH (t) = eiHt OS e−iHt (1.11)

então os elementos de matriz são independentes da representação. De facto
D E
hΨS (t)|OS |ΨS (t)i = ΨS (0)|eiHt OS e−iHt |ΨS (0)
1.1. Formalismo Geral 7
= hΨH |OH (t)|ΨH i . (1.12)
A evolução no tempo do operador OH (t) é dada pela equação
dOH (t) ∂OH

= i[H, OH (t)] + (1.13)
dt ∂t
que se obtém facilmente da Eq. (1.11). O último termo na Eq. (1.13) só está presente
se OH depender do tempo explicitamente.
Na teoria não relativista a diferença é muito pequena se trabalharmos com
funções próprias da energia. Se ψn (q, t) = e−iωn t un (q) for a função de onda de
Schrödinger então a função de onda de Heisenberg é simplesmente un (q). No caso
da teoria relativista a representação de Heisenberg é mais conveniente pois é mais
fácil descrever a evolução dos operadores do que dos estados. Também a covariância
de Lorentz é mais facilmente obtida na representação de Heisenberg, pois o tempo
e as coordenadas passam a estar juntas nos operadores de campo.
Na representação de Heisenberg a relação de comutação fundamental é agora
[p(t), q(t)] = −i (1.14)

A dinâmica é agora dada por
dp(t) dq(t)
= i[H, p(t)] ; = i[H, q(t)] (1.15)
dt dt
Repare-se que nesta representação as equações fundamentais são semelhantes às
equações clássicas com a substituição
{, }P B =⇒ i[, ] (1.16)
No caso dum sistema com n graus de liberdade as Eqs. (1.14) e (1.15) são gen-
eralizadas para
[pi (t), qj (t)] = −iδij (1.17)
[pi (t), pj (t)] = 0 (1.18)
[qi (t), qj (t)] = 0 (1.19)
ṗi (t) = i[H, pi (t)] ; q̇i (t) = i[H, qi (t)] (1.20)

Porque é um exemplo importante, vamos ver o caso do oscilador harmónico. O
Hamiltoniano é
1
H = (p2 + ω02 q 2 ) (1.21)
2
As equações de movimento são
ṗ = i[H, p] = −ω02 q
q̇ = i[H, q] = p =⇒ q̈ + ω02 q = 0 (1.22)
É conveniente introduzir os operadores

1 1
a= √ (ω0 q + ip) ; a† = √ (ω0 q − ip) (1.23)
2ω0 2ω0
As equações de movimento para a e a† são muito simples
ȧ(t) = −iω0 a(t) e a† (t) = iω0 a† (t) (1.24)

que têm como soluções
a(t) = a0 e−iω0 t ; a† (t) = a†0 eiω0 t (1.25)

e que obedecem às relações de comutação
[a, a† ] = [a0 , a†0 ] = 1 (1.26)
[a, a] = [a0 , a0 ] = 0 (1.27)
[a† , a† ] = [a†0 , a†0 ] = 0 (1.28)
Em termos de a, a† o Hamiltoniano é
1 1
H = ω0 (a† a + aa†) = ω0 (a†0 a0 + a0 a†0 )
2 2
1
= ω0 a†0 a0 + ω0 (1.29)
2
onde se usou
[H, a0 ] = −ω0 a0 ; [H, a†0 ] = ω0 a†0 (1.30)

Vemos que a0 desce a energia dum estado da quantidade ω0 e a†0 sobe a energia
dessa mesma quantidade. Como o Hamiltoniano é uma soma de quadrados não deve
ter valores próprios negativos. Então deve haver um estado base, |0i, definido por
a0 |0i = 0 (1.31)
n
Um estado |ni é obtido por aplicação de a†0 . Se definirmos
1 † n
|ni = √ a0 |0i (1.32)
n!
então
hm|ni = δmn (1.33)

e

1
H |ni = n + ω0 |ni (1.34)
2
Veremos na teoria quântica dos campos, que os equivalentes de a0 e a†0 serão os
operadores de destruição e criação de partı́culas.
1.1.2 Quantificação canónica para campos
Passemos agora a sistemas com um número infinito de graus de liberdade. Especi-

ficar o estado do sistema é agora dar para todos os pontos do espaço-tempo um
número (ou mais, se não se tratar dum escalar). Os equivalentes das coordenadas
qi (t) e das velocidades, q̇i , são aqui os campos ϕ(~x, t) e as suas derivadas ∂ µ ϕ(~x, t).
A acção é
Z
S= d4 xL(ϕ, ∂ µ ϕ) (1.35)
onde a densidade Lagrangeana L é um funcional dos campos ϕ e das suas derivadas
∂ µ ϕ. Consideremos somente sistemas fechados para os quais L não depende ex-
plicitamente das coordenadas xµ (a energia e o momento linear são assim conser-
vados). Para simplificar consideramos sistemas descritos por n campos escalares
ϕr (x), r = 1, 2, · · · n. A estacionaridade de acção, δI = 0, conduz então às equações
de movimento, chamadas equações de Euler-Lagrange
∂L ∂L
∂µ − =0 r = 1, · · · n (1.36)
∂(∂µ ϕr ) ∂ϕr
Para o caso dos campos escalares reais livres que estamos a considerar é fácil de
ver que a densidade Lagrangeana é
n
X
1 1
L= ∂ µ ϕr ∂µ ϕr − m2 ϕr ϕr (1.37)
r=1 2 2
sendo as equações de movimento, as equações de Klein- Gordon
⊓ + m2 )ϕr = 0 ;
(⊔ r = 1, · · · n (1.38)
Para definir as regras da quantificação canónica temos que passar para o formal-
ismo Hamiltoniano, em particular precisamos de definir o momento π(x) conjugado
do campo ϕ(x). Para se fazer uma analogia como os sistemas com n graus de
liberdade, dividamos o espaço 3-dimensional em elementos de volume ∆Vi . Assim
introduzimos a coordenada ϕi (t) como a média de ϕ(~x, t) no elemento de volume
∆Vi , ou seja
Z
1
ϕi (t) ≡ d3 xϕ(~x, t) (1.39)
∆Vi (∆Vi )
e também
Z
1
ϕ̇i (t) ≡ d3 xϕ̇(~x, t) (1.40)
∆Vi (∆Vi )
Então
Z X
L= d3 xL → ∆Vi Li (1.41)
i
Assim o momento canónico é
∂L ∂Li
pi (t) = = ∆Vi ≡ ∆Vi πi (t) (1.42)
∂ ϕ̇i (t) ∂ ϕ̇i (t)
e o Hamiltoniano
X X
H= pi ϕ̇i − L = ∆Vi (πi ϕ̇i − Li ) (1.43)
i i
Passando à notação contı́nua definimos o momento conjugado
∂L(ϕ, ϕ̇)
π(~x, t) ≡ (1.44)
∂ ϕ̇(~x, t)
tal forma que o seu valor médio em ∆Vi é πi (t) definido na Eq. (1.42). A Eq. (1.43)
sugere que se introduza uma densidade Hamiltoniana tal que
Z
H = d3 xH (1.45)
H = π ϕ̇ − L (1.46)
Para definir as regras de quantificação canónica, usamos primeiro as coordenadas

ϕi (t) e os momentos conjugados pi (t). Temos
[pi (t), ϕj (t)] = −iδij
[ϕ(t), ϕj (t)] = 0
[pi (t), pj (t)] = 0 (1.47)
Em termos do momento πi (t) temos
δij
[πi (t), ϕj (t)] = −i (1.48)
∆Vi
Passando para o limite contı́nuo, ∆Vi → 0, obtemos
[ϕ(~x, t), ϕ(~x′ , t)] = 0
[π(~x, t), π(~x′ , t)] = 0

[π(~x, t), ϕ(~x′ , t)] = −iδ(~x − ~x′ ) (1.49)
Estas relações são a base da teoria quântica. Para o caso de n campos escalares,
a generalização é:
[ϕr (~x, t), ϕs (~x′ , t)] = 0

[πr (~x, t), πs (~x′ , t)] = 0
[πr (~x, t), ϕs (~x′ , t)] = −iδrs δ(~x − ~x′ ) (1.50)
onde
∂L
πr (~x, t) = (1.51)
∂ ϕ̇r (~x, t)
e o Hamiltoniano é
Z
H= d3 xH (1.52)
onde
n
X
H= πr ϕ̇r − L (1.53)
r=1
1.1.3 Simetrias e Leis de Conservação
O formalismo Lagrangeano fornece um método poderoso para relacionar simetrias

com leis de conservação. Ao nı́vel do teoria clássica o resultado fundamental é o
Teorema de Noether
A cada transformação contı́nua de simetria que deixa L e as equações do
movimento invariante, corresponde uma lei de conservação.
Dem:
Em vez de demonstrar o teorema para todos os casos, vamos ver as leis de
conservação que emergem em três casos importantes
i) Translações
Consideremos uma translação infinitesimal
x′µ = xµ + εµ (1.54)
Então
∂L
δL = L′ − L = εµ (1.55)
∂xµ
e L′ conduz às mesmas equações de movimento que L, porque diferem por uma
4-divergência. Se L for invariante para translações então a Eq. (1.55) diz-nos
que não pode ter dependência explicita nas coordenadas xµ . Então
" #
X ∂L ∂L
δL = δϕr + δ(∂µ ϕr )
r ∂ϕr ∂(∂µ ϕr )
" #
X ∂L
= ∂µ εν ∂ν ϕr (1.56)
r ∂(∂µ ϕr )
onde usámos as equações do movimento, isto é a Eq. (1.36). Igualando as

Eqs. (1.55) e (1.56) e usando o facto de que εµ é arbitrário obtemos
∂µ T µν = 0 (1.57)
onde T µν é o tensor energia-momento definido por
X ∂L
T µν = −g µν L + ∂ ν ϕr (1.58)
r ∂(∂µ ϕr )
Usando estas relações podemos definir as quantidades conservadas
Z
µ
P ≡ d3 xT 0µ
dP µ
=0 (1.59)
dt
Notando que T 00 = H é fácil de ver que P µ é o 4-vector momento. Assim a

invariância para translações conduz à conservação do 4-momento.
ii)Transformações de Lorentz
Sejam as transformações de Lorentz infinitesimais
x′µ = xµ + ω µ ν xν (1.60)
Como vimos, para o caso da equação de Dirac, a transformação (1.60) é acom-

panhada por uma transformação dos campos
ϕ′r (x′ ) = Srs (ω)ϕs (x) (1.61)
Para o caso de campos escalares Srs = δrs e para spinores vimos que Srs =
δrs + 18 [γµ , γν ]rs ω µν . Em geral a variação de ϕr provém de dois efeitos. Temos
−1
δϕr (x) = Srs (ε)ϕs (x′ ) − ϕr (x)
1 h i
= − ωαβ (xα ∂ β − xβ ∂ α )δrs + Σαβ
rs ϕs (1.62)
2
onde definimos
1
Srs (ω) = δrs + ωαβ Σαβ
rs . (1.63)
2
Então
" #
αβ ∂L
δL = −ω xα ∂β L = ∂µ δϕr (1.64)
∂(∂µ ϕr )
o que dá
∂µ M µαβ = 0 (1.65)
com
∂L
M µαβ = xα T µβ − xβ T µα + Σαβ ϕs (1.66)
∂(∂µ ϕr ) rs
O momento angular conservado é então
Z Z " #
X
αβ 3 0αβ 3 α 0β β 0α
M = d xM = dx x T −x T + Σαβ
rs ϕs (1.67)
r,s
com
dM αβ
=0 (1.68)
dt
iii) Simetrias internas
Se admitirmos que o Lagrangeano é invariante para uma transformação de
simetria interna
δϕr (x) = −iελrs ϕs (x) (1.69)
então facilmente podemos mostrar que (ver Problema 1.2)
∂µ J µ = 0
∂L
J µ = −i λrs ϕs (1.70)
∂(∂µ ϕr )
o que conduz à carga conservada

Z
dQ
Q(λ) = −i d3 xπr λrs ϕs ; =0 (1.71)
dt
Estas relações entre simetrias e leis de conservação foram deduzidas para a teoria
clássica. Vejamos agora o que se passa quando quantificamos a teoria. Na teoria
quântica os campos ϕr (x) tornam-se operadores actuando no espaço de Hilbert dos
estados. Aos observáveis fı́sicas estão relacionadas com elementos de matriz destes
operadores. Devemos portanto exigir covariância de Lorentz a esses elementos de
matriz. Isso faz com que os operadores tenham que obedecer a certos requisitos.
O que isto quer dizer é que a correspondência da relação entre os campos clássicos
ϕ′r (x′ ) = Srs (a)ϕs (x) (1.72)

deve ser feita, na teoria quântica, por
D E
Φ′α |ϕr (x′ )|Φ′β = Srs (a) hΦα |ϕs (x)|Φβ i (1.73)
Deve existir uma transformação unitária U(a, b) que deve relacionar os estados
nos dois referenciais de inércia,
|Φ′ i = U(a, b) |Φi (1.74)

onde aµ ν e bµ são definidos por
x′µ = aµ ν xν + bµ (1.75)
Usando a Eq. (1.74) na Eq. (1.73) obtemos que os operadores do campo devem
transformarem-se de acordo com
U(a, b)ϕr (x)U −1 (a, b) = Srs

(−1)
(a)ϕs (ax + b) (1.76)
Vejamos as consequências desta relação para as translações e transformações de
Lorentz. Consideremos primeiro as translações. A Eq. (1.76) escreve-se então
U(b)ϕr (x)U −1 (b) = ϕr (x + b) (1.77)

Para deslocamentos elementares poderemos escrever
µ
U(ε) ≡ eiεµ P ≃ 1 + iεµ P µ (1.78)
onde P µ é um operador hermı́tico. Então a Eq. (1.77) reduz-se a
i[P µ , ϕr (x)] = ∂ µ ϕr (x) (1.79)

A correspondência com a mecânica clássica e a teoria quântica não relativista
sugere que identifiquemos P µ com o 4-vector momento, isto é, P µ ≡ P µ onde P µ foi
definido na Eq. (1.59) .
Como temos uma expressão explicita para P µ e sabemos as relações de comutação
da teoria, a Eq. (1.79) torna-se um constrangimento adicional que a teoria tem que
verificar para ser invariante para translações. Veremos explicitamente que isso é
verdade para as teorias em que estamos interessados.
Para as transformações de Lorentz x′µ = aµ ν xν escrevemos para uma trans-
formação infinitesimal
aµ ν = gνµ + ω µ ν + O(ω 2) (1.80)

e portanto
i
U(ω) ≡ 1 − ωµν Mµν (1.81)
2
Então obtemos da Eq. (1.76) o constrangimento
i[Mµν , ϕr (x)] = xµ ∂ ν ϕr − xµ ∂ µ ϕr + Σµν

rs ϕs (x) (1.82)
Mais uma vez a correspondência clássica leva-nos a identificar Mµν = M µν onde o
momento angular M µν é definido pela Eq. (1.68). Para cada teoria teremos que ver-
ificar a Eq. (1.82) para que a teoria seja invariante para transformações de Lorentz.
Veremos que isso é verdade para os casos de interesse.
1.2 Quantificação dos campos escalares
1.2.1 O campo escalar real

O campo escalar real descrito pela densidade Lagrangeana
1 1
L = ∂ µ ϕ∂µ ϕ − m2 ϕϕ (1.83)
2 2
a que corresponde a equação de Klein-Gordon
⊓ + m2 )ϕ = 0
(⊔ (1.84)
é o exemplo de campo mais simples e de facto já foi usado para introduzir o formal-
ismo geral. Recapitulando, o momento conjugado é
∂L
π= = ϕ̇ (1.85)
∂ ϕ̇
e as relações de comutação são
[ϕ(~x, t), ϕ(~x′ , t)] = [π(~x, t), π(~x′ , t)] = 0

[π(~x, t), ϕ(~x′ , t)] = −iδ(~x − ~x′ ) (1.86)
O Hamiltoniano é dado por
Z
H = P0 = d3 xH
Z
1 2 1 ~ 2 1 2 2
= d3 x π + |∇ϕ| + m ϕ (1.87)
2 2 2
e o momento linear por
Z
P~ = − ~
d3 xπ ∇ϕ (1.88)
Usando as Eqs. (1.87) e (1.88) é trivial verificar que
i[P µ , ϕ] = ∂ µ ϕ (1.89)
demonstrando assim a invariância da teoria para transformações. Do mesmo modo
se pode verificar a invariância da teoria para translações de Lorentz, Eq. (1.82), com
Σµν
rs = 0 (spin zero).
Para definirmos os estados da teoria é conveniente termos os estados próprios da
energia e momento. Para os construirmos comecemos por fazer uma decomposição
de Fourier de ϕ(~x, t) em ondas planas:
1.2. Quantificação dos campos escalares 17
Z h i
ϕ(~x, t) = f a(k)e−ik·x + a† (k)eik·x
dk (1.90)
onde
q
d3 k
f
dk ≡ ; ωk = + |~k|2 + m2 (1.91)
(2π)3 2ωk
é a medida invariante de Lorentz. Como na teoria quântica ϕ é um operador,
também a(k) e a† (k) serão operadores. Como ϕ é real a† (k) é o conjugado hermı́tico
de a(k). Para determinarmos as suas relações de comutação, comecemos por resolver
a Eq. (1.90) em ordem a a(k) e a† (k). Usando as propriedades usuais das funções
delta, obtemos
Z
↔
a(k) = i d3 xeik·x ∂ 0 ϕ(x)
Z
† ↔
a (k) = −i d3 xe−ik·x ∂ 0 ϕ(x) (1.92)
onde se introduziu
∂b ∂a ↔
−
a∂ 0 b = a
b (1.93)
∂t ∂t
O segundo membro da Eq. (1.92) é independente do tempo como pode ser verificado
explicitamente (ver Problema 1.3). Esta observação é importante porque podemos
escolher tempos iguais para calcularmos as relações de comutação. Obtemos
Z Z h i
† ′ 3 ↔ ′ ↔
[a(k), a (k )] = dx d3 y eik·x ∂ 0 ϕ(~x, t), e−ik ·y ∂ 0 ϕ(~y , t)
= (2π)3 2ωk δ(~k − ~k ′ ) (1.94)
[a(k), a(k ′ )] = [a† (k), a† (k ′ )] = 0 (1.95)

Vemos assim, que à parte uma pequena diferença na normalização, a(k) e a† (k)
devem ser interpretados como operadores de destruição e criação de estados de 4-
momento k µ . Para mostrar isto é fácil de ver que
Z h i
1 f ω a† (k)a(k) + a(k)a† (k)
H = dk k (1.96)
2
Z h i
1 f ~
P~ = dk k a† (k)a(k) + a(k)a† (k) (1.97)
2
Usando estas formas pode-se mostrar que
[P µ , a† (k)] = k µ a† (k) (1.98)
[P µ , a(k)] = −k µ a(k) (1.99)
mostrando que de facto a† (k) adiciona 4-momento k µ e a(k) destrói 4-momento

k µ . Que a quantificação tenha produzido uma infinidade de osciladores não deve
constituir uma surpresa. De facto os a(k), a† (k) correspondem à quantificação dos
modos normais do campo de Klein-Gordon clássico.
Por analogia com o caso do oscilador harmónico, estamos agora em posição de
encontrar os estados próprios de H. Comecemos por definir o estado base, que em
teoria dos campos se chama vácuo. Por analogia com o caso do oscilador harmónico
temos
a(k) |0ik = 0 ; ∀k (1.100)

Então o vácuo, que designaremos por |0i, será simbolicamente dado por
|0i = Πk |0ik (1.101)

e admitimos que está normalizado, isto é h0|0i = 1. Ao calcularmos a energia do
vácuo temos imediatamente o primeiro problema com infinitos em Teoria Quântica
dos Campos (TQC). De facto
Z D h i E
1 f ω 0| a† (k)a(k) + a(k)a† (k) |0
h0|H|0i = dk k
2
Z D h i E
1 f ω 0| a(k), a† (k) |0
= dk k
2
Z
1 d3 k
= 3
ωk (2π)3 2ωk δ (3) (0)
2 (2π) 2ωk
Z
1
= d3 k ωk δ 3 (0) = ∞ (1.102)
2
Este infinito pode ser compreendido como a soma das energias do ponto zero.
P
No caso discreto seria k 21 ωk = ∞. Este infinito é removido facilmente. Para isso
notemos que só medimos energia em relação ao vácuo e essas serão finitas. Assim
podemos definir a energia ao vácuo como sendo zero. Matematicamente isto é feito
µ
do modo seguinte. Definimos um novo operador PN.O. por
Z h i
µ 1 f k µ a† (k)a(k) + a(k)a† (k)
PN.O. ≡ dk
2
1 Z f µD h † i E
− dk k 0| a (k)a(k) + a(k)a† (k) |0
2
Z
= f k µ a† (k)a(k)
dk (1.103)
µ
Agora h0|PN.O. |0i = 0. O ordenamento dos operadores em que os operadores de
destruição aparecem à direita das de criação chama-se ordenamento normal e a
notação usual é:
1
: (a† (k)a(k) + a(k)a† (k)) :≡ a† (k)a(k) (1.104)
2
Portanto remover a energia e momento infinitos do vácuo corresponde a escolher os
nossos operadores com ordenamento normal. É o que faremos sempre no seguimento,
não mais escrevendo ”N.O.” para o indicar.
Uma vez escolhido o vácuo podemos construir os estados por aplicação dos oper-
adores de criação a† (k). Tal como no caso do oscilador harmónico podemos definir
o operador número
Z
N= f a† (k)a(k)
dk (1.105)
É fácil de ver que N comuta com H pelo que os estados próprios de H também o
são de N. Poderı́amos pensar que o estado de uma partı́cula com 4- momento k µ
seria dado por a† (k) |0i. De facto temos
Z
′
P µ a† (k) |0i = f k ′µ a† (k ′ )a(k ′ )a† (k) |0i
dk
Z
= d3 k ′ k ′µ δ 3 (~k − ~k ′ )a† (k) |0i
= k µ a† (k) |0i (1.106)
Na† (k) |0i = a† (k) |0i (1.107)

De modo semelhante o estado a† (k1 )...a† (kn ) |0i seria um estado com n partı́culas.
Contudo os estados do tipo acabados de definir têm um problema pois não são
normalizáveis, não podendo assim constituir uma base para o espaço de Hilbert
(chamado neste caso espaço de Fock). Este é o problema com estados de 4-momento
perfeitamente bem definido como por exemplo as ondas planas. Pode ser resolvido
formando grupos de onda
Z
|1i = λ f
dkC(k)a†
(k) |0i (1.108)
Então
Z D E
h1|1i = λ2 f dk
dk f C ∗ (k )C(k ) 0|a(k )a† (k )|0
1 2 1 2 1 2
Z
= λ2 f
dk|C(k)| 2
=1 (1.109)
ou seja
Z −1/2
λ= f
dk |C(k)| 2
(1.110)
desde que C(k) seja de quadrado integrável. Se (k) for só diferente de zero na
vizinhança dum certo 4-momento k µ , o estado terá um 4-momento bem definido.
Uma base para o espaço de Fock pode ser construı́da a partir dos estados de n -
partı́culas normalizadas
Z −1/2
|ni = n! f · · · dk
dk f |C(k , · · · k )|2
1 n 1 n
Z
f · · · dk
dk f C(k , · · · k )a† (k ) · · · a† (k ) |0i (1.111)
1 n 1 n 1 n
que satisfazem
hn|ni = 1 (1.112)
N |ni = n |ni (1.113)
Devido à comutatividade dos operadores a† (k) na Eq. (1.111) as funções C(k1 · · · kn )

são simétricas isto é
C(· · · ki , · · · kj , · · ·) = C(· · · kj · · · ki · · ·) (1.114)

Isto mostra que os quanta que emergem da quantificação canónica escalar real obe-
decem à estatı́stica de Bose-Einstein. Esta interpretação em termos de partı́culas,
com os seus operadores de criação e destruição que resulta da quantificação canónica
é designada por segunda quantificação.
1.2.2 Causalidade Microscópica
Classicamente o campo pode ser medido com precisão arbitrária. Quânticamente

vários problemas se põem. O primeiro é que o importante são os elementos de matriz
e não os campos que agora são operadores. Independentemente desta questão, só
deverá ser possı́vel falar de medida de ϕ em dois pontos x e y do espaço-tempo se

[ϕ(x), ϕ(y)] se anular. Vejamos em que condições isso se passa.
Z nh i h i o
[ϕ(x), ϕ(y)] = f dk
dk f a(k1 ), a† (k2 ) e−ik1 ·x+ik2 ·y + a† (k1 ), a(k2 ) eik1 x−ik2 ·y
1 2
Z
= f eik1 ·(x−y) − eik1 ·(x−y)
dk 1
≡ i∆(x − y) (1.115)
A função ∆(x − y) é invariante de Lorentz e satisfaz as relações
⊓x + m2 )∆(x − y) = 0
(⊔ (1.116)
∆(x − y) = −∆(y − x) (1.117)
∆(~x − ~y , 0) = 0 (1.118)
A última relação assegura que o comutador dos dois campos a tempos iguais se
anula. A invariância de Lorentz assegura então que
∆(x − y) = 0 ; ∀ (x − y)2 < 0 (1.119)

Isto quer dizer que em dois pontos que não podem ser ligados por um sinal de
luz ou por qualquer meio fı́sico, isto é (x − y)2 < 0, os campos, se interpretados
como observáveis fı́sicos, podem ser medidos independentemente um do outro. Este
resultado é conhecido como Causalidade Microscópica. Notemos ainda que
∂ 0 ∆(x − y)|x0=y0 = −δ 3 (~x − ~y ) (1.120)

o que assegura a relação de comutação canónica, Eq. (1.86).
1.2.3 Flutuações do vácuo
É um resultado bem conhecido da Mecânica Quântica que para um oscilador har-

mónico a coordenada não é bem definida para os estados de energia, isto é
D E
n|q 2 |n > (hn|q|ni)2 = 0 (1.121)
A teoria quântica, sendo um conjunto ∞ de osciladores também tem este compor-
tamento, isto é,
h0|ϕ(x)ϕ(y)|0i =
6 0 (1.122)
embora
h0|ϕ(x)|0i = 0 (1.123)
Podemos calcular a Eq. (1.122).
Z D E
h0|ϕ(x)ϕ(y)|0i = f dk
dk f e−ik1 ·x eik2 ·y 0|a(k )a† (k )|0
1 2 1 2
Z
= f e−ik·(x−y) ≡ ∆ (x − y)
dk (1.124)
1 +
A função ∆+ (x − y) corresponde à parte de frequências positivas de ∆(x − y), daı́

o ı́ndice +. Quando y −→ x esta expressão é quadraticamente divergente
D E Z Z
2 f d 3 k1
0|ϕ (x)|0 = ∆+ (0) = dk 1 = (1.125)
(2π)3 2ωk1
Esta divergência não pode ser eliminada como o ponto zero da energia. De facto
as flutuações do vácuo têm consequências observáveis como por exemplo o desloca-
mento de Lamb. Podemos ficar menos preocupados com o resultado da Eq. (1.125)
se notarmos que para medirmos o quadrado do operador ϕ no ponto x precisamos
de frequências arbitrariamente grandes e portanto da energia infinita. Fisicamente
só produtos de campos considerados em média numa região do espaço tempo finita
têm significado.
1.2.4 O campo escalar carregado
A descrição em termos de campos reais não permite a distinção entre partı́culas e

antipartı́culas. Só se aplica portanto aos casos em que não há distinção, um exemplo
sendo o π 0 . Para o caso mais usual das partı́culas serem distintas das antipartı́culas é
necessário alguma carga (eléctrica ou outra) que os distinga. Para isso necessitamos
de campos complexos como por exemplo na prescrição mı́nima.
A teoria do campo escalar complexo obtêm-se facilmente a partir de dois campos
reais ϕ1 e ϕ2 com a mesma massa. Se designarmos por ϕ a quantidade complexa
ϕ1 + iϕ2
ϕ= √ (1.126)
2
então
L = L(ϕ1 ) + L(ϕ2 ) =: ∂ µ ϕ† ∂µ ϕµ − m2 ϕ† ϕ : (1.127)

que conduz às equações de movimento
⊓ + m2 )ϕ = 0 ; (⊔
(⊔ ⊓ + m2 )ϕ† = 0 (1.128)
A teoria dada pela Eq. (1.127) tem ao nı́vel clássico uma corrente conservada, ∂µ J µ =
0 com
↔µ
J µ = iϕ† ∂ ϕ (1.129)
Assim esperamos que ao nı́vel quântico a carga Q
Z
Q= d3 x : i(ϕ† ϕ̇ − ϕ̇† ϕ) : (1.130)
seja conservada, isto é, [H, Q] = 0. Para mostrarmos isso temos que saber as relações
de comutação. A definição da Eq. (1.126) e as relações de comutação para ϕ1 e ϕ2
permitem concluir as seguintes relações para ϕ e ϕ† :
[ϕ(x), ϕ(y)] = [ϕ† (x), ϕ† (y)] = 0 (1.131)
[ϕ(x), ϕ† (y)] = i∆(x − y) (1.132)
Para tempos iguais podemos obter da Eq. (1.132)
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = [π † (~x, t), ϕ† (~y , t)] = −iδ 3 (~x − ~y ) (1.133)
onde
π = ϕ̇† ; π † = ϕ̇ (1.134)
A expansão em ondas planas é
Z h i
ϕ(x) = f a (k)e−ik·x + a† (k)eik·x
dk + −
Z h i
ϕ† (x) = f a (k)e−ik·x + a† (k)eik·x
dk (1.135)
− +
onde a definição de a± (k) é
a1 (k) ± ia2 (k) † a†1 (k) ∓ ia†2 (k)

a± (k) = √ ; a± = √ (1.136)
2 2
A álgebra dos operadores a± é facilmente obtida a partir de álgebra dos ai′ s.
Obtemos para os comutadores que não se anulam:
[a+ (k), a†+ (k ′ )] = [a− (k), a†− (k ′ )] = (2π)3 2ωk δ 3 (~k − ~k ′ ) (1.137)
permitindo portanto a identificação de a+ e a†+ como operadores de destruição e
criação para quanta do tipo + e de um modo semelhante para os quanta do tipo −.
Podemos construir os operadores número para os quanta + e −:
Z
N± = f a† (k)a (k)
dk (1.138)
± ±
É fácil de verificar que
N+ + N− = N1 + N2 (1.139)
onde
Z
Ni = f a† (k)a (k)
dk (1.140)
i i
Em termos dos operadores + e − o operados energia-momento é

Z h i
Pµ = f k µ a† (k)a (k) + a† (k)a (k)
dk (1.141)
+ + − −
onde já se considerou a ordenação normal. Usando a decomposição da Eq. (1.135)

a carga Q escreve-se
Z
Q = d3 x : i(ϕ† ϕ̇ − ϕ̇† ϕ̇) :
Z h i
= f a† (k)a (k) − a† (k)a (k)
dk + + − −
= N+ − N− (1.142)
Usando as relações (1.137) é fácil de mostrar que
[H, Q] = 0 (1.143)
mostrando que Q é conservada. A Eq. (1.142) permite interpretar os quanta +
como tendo carga +1 e os quanta − carga −1. Enquanto não forem introduzidas
interacções a teoria é simétrica, não sendo possı́vel distinguir entre os dois tipos de
quanta. Das relações de comutação (1.137) resulta
[P µ , a†+ (k)] = k µ a†+ (k)
[Q, a†+ (k)] = +a†+ (k) (1.144)
mostrando assim que a†+ (k) cria um quanta com 4-momento k µ e carga +. Do mesmo
modo se mostrar que a†− cria um quanta de carga − e que a± (k) destroem quantas
de carga + e − respectivamente.
1.2.5 O produto ordenado no tempo e o propagador de

Feynman
O operador ϕ† cria uma partı́cula de carga +1 ou destrói uma partı́cula de carga −1.
Em qualquer dos casos adiciona uma carga total +1. De modo semelhante ϕ destrói
uma unidade de carga. Formemos um estado de 1− partı́cula (não normalizada) de
carga +1 por aplicação de ϕ† no vácuo:
|Ψ+ (~x, t)i ≡ ϕ† (~x, t) |0i (1.145)

A amplitude para o estado |Ψ+ i se propagar para o futuro para o ponto (~x′ , t′ ) com
t′ > t é dada por
D E
θ(t′ − t) hΨ+ (~x′ , t′ )|Ψ+ (~x, t)i = θ(t′ − t) 0|ϕ(~x′ , t′ )ϕ† (~x, t)|0 (1.146)
Se em ϕ† (~x, t) |0i somente o operador a†+ (k) é activo, em h0| ϕ(~x′ , t′ ) o mesmo acon-
tece só com a+ (k). Portanto a Eq. (1.146) é o elemento da matriz para criar um
quanta de carga +1 em (~x, t) e reabsorvê-lo pelo vácuo em (~x′ , t′ ) com t′ > t.
Existe uma outra maneira de aumentar a carga por +1 em (~t) e diminuı́-la por
−1 em (~x′ , t′ ). Basta para isso criar um quanta de carga menos em ~x′ no instante t′
e propagá-lo para ~x onda é absorvida no instante t > t′ . A amplitude é então
D E
θ(t − t′ ) hΨ− (~x, t)|Ψ− (~x′ , t′ )i = 0|ϕ†(~x, t)ϕ(~x′ , t′ )|0 θ(t − t′ ) (1.147)
A soma das duas amplitudes das Eqs. (1.146) e (1.147) é o chamado propagador
de Feynman. Pode ser escrito duma forma mais compacta introduzido o produto
ordenado no tempo. Dados dois operadores a(x) e b(x′ ) define-se o produto ordenado
no tempo T
T a(x)b(x′ ) = θ(t − t′ )a(x)b(x′ ) + θ(t′ − t)b(x′ )a(x) (1.148)

Nesta prescrição os tempos mais antigos estão sempre á direita dos mais recentes.
Pode-se aplicar a um número arbitrário de operadores. Com esta definição, o propa-
gador de Feynman é
D E
∆F (x′ − x) = 0|T ϕ(x′)ϕ† (x)|0 (1.149)
Usando a decomposição de ϕ e ϕ† podemos calcular ∆F (para campos livres,

claro)
Z h i
′
∆F (x − x) = f θ(t′ − t)e−ik·(x −x) + θ(t − t′ )eik·(x −x)
dk
′ ′
(1.150)
Im ko
x
x
Re ko
Figura 1.1:
Z
d4 k i ′
= 4 2 2
e−ik·(x −x) (1.151)
(2π) k − m + iε
Z
d4 k ′
≡ 4
∆F (k)e−ik·(x −x) (1.152)
(2π)
onde
i
∆F (k) ≡ (1.153)
k 2 − m2 + iε
∆F (k) é o propagador no espaço dos momentos (transformada de Fourier). A

equivalência entre a Eq. (1.151) e a Eq. (1.150) faz-se fazendo a integração no plano
complexo k 0 e usando o teorema dos resı́duos. O contorno é definido pela prescrição
iε conforme está indicado na Fig. (1.1). Aplicando o operador (⊔⊓′x +m2 ) a ∆F (x′ −x)
em qualquer das formas da Eq. (1.150) podemos mostrar que
⊓′x + m2 )∆F (x′ − x) = −iδ 4 (x′ − x)

(⊔ (1.154)
isto é, ∆F (x′ −x) é a função de Green da equação de Klein-Gordon com as condições
fronteira de Feynman.
Na presença de interacções o propagador de Feynman deixa de ter a forma simples
da Eq. (1.150). Contudo o propagador livre, Eq. (1.150), desempenhará um papel
fundamental em teoria das perturbações.
1.3 Segunda quantificação do campo de Dirac
Vamos agora aplicar o formalismo da segunda quantificação ao campo de Dirac.

Como veremos se alguma coisa terá que ser alterada porque senão serı́amos con-
duzidos a partı́culas obedecendo à estatı́stica de Bose enquanto sabemos que os
electrões obedecem à estatı́stica de Fermi.
1.3. Segunda quantificação do campo de Dirac 27
1.3.1 O formalismo canónico para o campo de Dirac

A densidade Lagrangeana que conduz à equação de Dirac é
L = iψγ µ ∂µ ψ − mψψ (1.155)

O momento conjugado a ψα é
∂L
πα = = iψα† (1.156)
∂ ψ̇α
enquanto que o momento conjugado a ψα† é zero. A densidade Hamiltoniana é então
H = π ψ̇ − L = ψ † (−i~ ~ + βm)ψ
α·∇ (1.157)
A invariância para translações e para transformações de Lorentz de L conduz aos
tensores T µν e M µνλ . Usando óbvias generalizações das fórmulas das Eqs. (1.58) e
(1.66) obtemos
T µν = iψγ µ ∂ ν ψ (1.158)
e
M µνλ = iψγ µ (xµ ∂ λ − xλ ∂ ν + σ νλ )ψ (1.159)

onde
1
σ νλ = [γ ν , γ λ ] (1.160)
4
O 4-momento P e o momento angular M νλ são então
µ
Z
Pµ ≡ d3 xT 0µ
Z
µλ
M ≡ d3 xM 0νλ (1.161)
ou ainda
Z
H ≡ d3 xψ † (−i~ ~ + βm)ψ
α·∇
Z
P~ ≡ ~
d3 xψ † (−i∇)ψ (1.162)
Se definirmos o operador momento angular J~ ≡ (M 23 , M 31 , M 12) obtemos

Z
1~ 1
J~ = d xψ3 †
~r × ∇ + ~σ ψ (1.163)
i 2
que tem o aspecto familiar J~ = L

~ + S.
~ Podemos ainda identificar uma corrente
µ µ µ
conservada ∂µ j = 0 com j = ψγ ψ que dá origem à carga conservada
Z
Q= d3 xψ † ψ (1.164)
Tudo o que fizemos até aqui é ao nı́vel clássico. Para aplicar o formalismo
canónico devı́amos agora exigir relações de comutação e verificar se a covariância de
Lorentz era verificada. Isso leva-nos no entanto a problemas. Para vermos quais os
problemas e como os resolver introduzimos as expansões em ondas planas
Z Xh i
ψ(x) = f
dk b(p, s)u(p, s)e−ip·x + d† (p, s)v(p, s)eip·x (1.165)
s
Z Xh i
†
ψ (x) = f
dk b† (p, s)u†(p, s)e+ip·x + d(p, s)v †(p, s)e−ip·x (1.166)
s
onde u(p, s) e v(p, s) são os spinores introduzidos no estudo de equação de Dirac e

b, b† , d e d† são operadores. Para vermos que temos problemas com a quantificação
canónica se esta não for modificada para fermiões, calculemos P µ . Obtemos
Z Xh i
Pµ = f kµ
dk b† (k, s)b(k, s) − d(k, s)d† (k, s) (1.167)
s
onde se usaram as relações de ortogonalidade e fecho das spinores u(p, s) e v(p, s).
Da relação (1.167) resulta que se definirmos o vácuo como b(k, s) |0i = d(k, s) |0i = 0
e se quantificarmos com comutadores as partı́culas b e as partı́culas d contribuirão
como sinais opostos para a energia e a teoria não terá um estado de base estável.
De facto este era o problema que aparecia com as soluções de energia negativa e
é fácil de compreender que é essa a razão do sinal − na Eq. (1.167). A teoria dos
buracos exigia estatı́stica de Fermi pelo que veremos como o spin e a estatı́stica
estão relacionadas.
Para vermos quais as relações a que b, b† , d e d† devem obedecer recordemos que
ao nı́vel quântico é sempre necessário verificar que a invariância para translações e
para as transformações de Lorentz é mantida. Para as translações isso exige que
i[Pµ , ψ(x)] = ∂µ ψ ; i[Pµ , ψ(x)] = ∂µ ψ (1.168)

Em vez de impormos a quantificação canónica e verificarmos a Eq. (1.168) vamos
antes impor a Eq. (1.168) e descobrir as relações de comutação dos operadores.
Usando as expansões Eqs. (1.165) e (1.166) é fácil de ver que a Eq. (1.168) conduz
às relações
[Pµ , b(k, s)] = −kµ b(k, s) ; [Pµ , b† (k, s)] = kµ b† (k, s) (1.169)
[Pµ , d(k, s)] = −kµ d(k, s) ; [Pµ , d† (k, s)] = kµ d† (k, s) (1.170)
Usando a expansão para Pµ obtemos
Xh i
b† (P, s′)b(p, s′ ) − d(p, s′ )d† (p, s′ )), b(k, s) = −(2π)3 2k 0 δ 3 (~k − p~)b(k, s) (1.171)
s′
e mais três relações semelhantes. Se admitirmos que
[d† (p, s′ )d(p, s′ ), b(k, s)] = 0 (1.172)

a condição da Eq. (1.171) escreve-se
Xh i
b† (p, s′ ){b(p, s′ ), b(k, s)} − {b† (p, s′ ), b(k, s)}b(p, s′ ) =
s′
= −(2π)3 2k 0 δ 3 (~p − ~k)b(k, s) (1.173)
onde os parêntesis {, } são anticomutadores. É fácil de ver que se impusermos as

relações de quantificação canónica com anticomutadores em vez de comutadores
então a Eq. (1.173) será verificada. Devemos ter
{b† (p, s), b(k, s)} = (2π)3 2k 0 δ 3 (~p − ~k)δss′

{d† (p, s′), d(k, s)} = (2π)3 2k 0 δ 3 (~p − ~k)δss′ (1.174)
e todos os outros anticomutadores nulos. Note-se que como b anticomuta com d e

d† , então comuta com d† d e portanto a Eq. (1.172) é verificada.
Com as relações de anticomutação as contribuições para P µ são ambas positivas.
Tal como no caso dos bosões temos que subtrair a energia do ponto zero. Isto faz-se
tomando todas as quantidades com ordenamento normal. Assim temos para P µ ,
Z X
Pµ = f kµ
dk : b† (k, s)b(k, s) − d(k, s)d†(k, s) :
s
Z X
= f kµ
dk : b† (k, s)b(k, s) + d† (k, s)d(k, s) : (1.175)
s
e para a carga
Z
Q = d3 x : ψ † (x)ψ(x) :
Z Xh i
= f
dk b† (k, s)b(k, s) − d† (k, s)d(k, s) (1.176)
s
o que quer dizer que os quanta b têm carga +1 e os d carga −1. É curioso notar
que foi a segunda quantificação do campo de Dirac que introduziu o sinal − na
Eq. (1.176) tornando a carga uma quantidade sem sinal definido enquanto que a
densidade de probabilidade era na teoria de Dirac definida positiva. Passa-se o
contrário com o caso dos bosões. É fácil mostrar que
[Q, b† (k, s)] = b† (k, s) [Q, d(k, s)] = d(k, s)

(1.177)
[Q, b(k, s)] = −b(k, s) [Q, d† (k, s)] = −d† (k, s)
o que implica
[Q, ψ] = −ψ ; [Q, ψ] = ψ (1.178)

Em QED a carga é eQ (e < 0) pelo que −e > 0 e assim vemos que ψ cria positrões
e aniquila electrões e o contrário para ψ.
Podemos introduzir os operadores número
N + (p, s) = b† (p, s)b(p, s) ; N − (p, s) = d† (p, s)d(p, s) (1.179)

em termos dos quais
Z X
P µ
= f kµ
dk (N + (k, s) + N − (k, s)) (1.180)
s
Z X
Q = f
dk (N + (k, s) − N − (k, s)) (1.181)
s
Usando as relações de anticomutação da Eq. (1.174) é agora fácil mostrar que a

teoria é invariante para transformações de Lorentz, isto é (ver Problema 1.2)
i[M µν , ψ] = (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )ψ + σ µν ψ (1.182)
1.3.2 Causalidade Macroscópica

As relações de anticomutação na Eq. (1.174) podem ser usadas para encontrar as
relações de anticomutação a tempos iguais dos campos. Obtemos
{ψα (~x, t), ψβ† (~y , t)} = δ 3 (~x − ~y )δαβ (1.183)

e
{ψα (~x, t), ψβ (~y , t)} = {ψα† (~x, t), ψβ† (~y , t)} = 0 (1.184)
Estas relações podem ser generalizadas para tempos iguais
Z h i h i
{ψα (x), ψβ† (y)} = f
dp (p
/ + m)γ 0 −ip·(x−y)
e − (−p
/ + m)γ 0 ip·(x−y)
e
αβ αβ
h i
= (i∂/x + m)γ 0 i∆(x − y) (1.185)
αβ
onde a função ∆(x − y) foi definida para o caso do campo escalar. O facto de
aparecer o γ 0 na Eq. (1.185) pode ser compreendido por se ter considerado ψ † e não
ψ. De facto se multiplicarmos à direita por γ 0 obtemos
{ψα (x), ψ β (y)} = (i∂/x + m)αβ i∆(x − y) (1.186)

e
{ψα (x), ψβ (y)} = {ψα (x), ψ β (y)} = 0 (1.187)

É fácil de verificar a covariância da Eq. (1.186). Usamos
U(a, b)ψ(x)U −1 (a, b) = S −1 (a)ψ(ax + b)
U(a, b)ψ(x)U −1 (a, b) = ψ(ax + b)S(a)

S −1 γ µ S = aµ ν γ ν (1.188)
e obtemos
U(a, b){ψα (x), ψ β (y)}U −1 (a, b) =

−1
= Sατ (a){ψτ (ax + b), ψτ (ax + b), ψ λ (ay + b)}Sαβ (a)
−1
= Sατ (a)(i∂/ax + m)τ λ i∆(ax − ay)Sλβ (a)
= (i∂/ + m)αβ i∆(x − y) (1.189)
onde se usou o facto ∆(x − y) ser uma função invariante e S −1 i∂/ax S = i∂/x . Para
(x − y)2 < 0 os anticomutadores anulam-se pois nesse caso ∆(x − b) também se
anula. Este resultado permite mostrar que duas observáveis construı́das a partir de
bilineares em ψ e ψ comutam para partes do espaço tempo tais que (x − y)2 < 0.
Assim
h i
ψ α (x)ψβ (x), ψ λ (y)ψτ (y) =
= ψ α (x){ψβ (x), ψ λ (y)}ψτ (y) − {ψα (x), ψ λ (y)}ψβ (x)ψτ (y)

+ψ λ (y)ψα (x){ψβ (x), ψτ (y)} − ψ λ (y){ψτ (y), ψα (x)}ψβ (x)
= 0 (1.190)
para (x − y)2 < 0. Assim a causalidade microscópica é satisfeita nas observáveis

fı́sicas (densidade de carga, densidade de momento).
1.3.3 O Propagador de Feynman
Tal como para o caso do campo escalar carregado há duas maneiras de aumentar a
carga por uma unidade em x′ e diminui-la também por uma unidade em x. Elas são
D E
θ(t′ − t) 0|ψβ (x′ )ψα† (x)|0 (1.191)
D E
θ(t − t′ ) 0|ψα† (x)ψβ (x′ )|0 (1.192)
Na Eq. (1.191) um electrão de energia positiva é criado em ~x no instante t, propaga-

se até x′ onde é destruı́do no instante t′ > t. Na Eq. (1.192) um positrão de energia
positiva é criado em x′ e destruı́do em x com t > t′ . O propagador de Feynman é
obtido considerando as duas amplitudes. Devido à troca entre ψβ e ψ α deve haver um
sinal menos entre as duas amplitudes pelo que o propagador de Feynman é definido
tomando a diferença das duas amplitudes (multiplicamos por γ 0 para aparecer ψ)
D E
SF (x′ − x)αβ = θ(t′ − t) 0|ψα (x′ )ψ β (x)|0
D E
−θ(t − t′ ) 0|ψβ (x)ψα (x′ )|0
D E
≡ 0|T ψα (x′ )ψ β (x)|0 (1.193)
onde se definiu o produto ordenado no tempo para fermiões
T η(x)χ(y) ≡ θ(x0 − y 0)η(x)χ(y) − θ(y 0 − x0 )χ(y)η(x) . (1.194)

Inserindo na Eq. (1.193) as expansões para ψ e ψ obtemos:
Z h i
′
SF (x − x)αβ = f (p
dk
′
/ + m)αβ θ(t′ − t)e−ik·(x −x) + (−p
′
/ + m)αβ θ(t − t′ )eik·(x −x)
Z
d4 k i(k/ + m)αβ −ik·(x′ −x)
= e
(2π)4 k 2 − m2 + iε
Z
d4 k ′
≡ 4
SF (k)αβ e−ik·(x −x) (1.195)
(2π)
1.4. Quantificação do Campo Electromagnético 33
onde SF (k) é o propagador de Feynman no espaço dos momentos. O propagador de

Feynman é a Função de Green para a equação de Dirac isto é
(i∂/λα SF (x′ − x)αβ = iδλβ δ 4 (x′ − x) (1.196)
1.4 Quantificação do Campo Electromagnético
1.4.1 Introdução
O campo electromagnético livre é descrito pelo Lagrangeano Clássico

1
L = − Fµν F µν (1.197)
4
onde
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (1.198)
As equações de Maxwell são
∂α F αβ = 0 (1.199)
que corresponde às equações
~
~ ·E
∇ ~ =0 ; ~ ×B
∇ ~ = ∂E (1.200)
∂t
As outras equações são uma consequência directa da Eq. (1.198) e podem-se escrever
1
∂α Fe αβ = 0 ; Fe αβ = εαβµν Fµν (1.201)
2
e correspondem a
~
~ ·B
∇ ~ =0 ; ~ = − ∂B
~ ×E
∇ (1.202)
∂t
Classicamente as quantidades com significado fı́sico são os campos E ~ e B,
~ os
potenciais Aµ são auxiliares cuja escolha não é única devido à invariância de gauge
da teoria. Quânticamente os potenciais Aµ é que desempenham o papel importante.
Basta lembrar, por exemplo, a prescrição para o acoplamento mı́nimo. Devemos
portanto formular a teoria quântica em termos dos potenciais Aµ e não dos campos
~ a B.
E ~
Ao tentarmos aplicar a quantificação canónica aos potenciais Aµ entramos ime-
diatamente em dificuldades. Por exemplo, se definirmos o momento conjugado por
∂L
πµ = (1.203)
∂(Ȧµ)
obtemos
∂L ∂A0
πk = = −Ȧk − = Ek
∂(Ȧk ) ∂xk
∂L
π0 = =0 (1.204)
∂ Ȧ0
Portanto o momento conjugado à coordenada A0 anula-se o que impede a aplicação
directa do formalismo canónico. O problema tem a sua origem no facto de que o
fotão, que queremos descrever, só tem dois graus de liberdade (helicidade positiva
ou negativa) e aqui estamos a usar um campo Aµ com 4 graus de liberdade. De
facto temos de impor restrições em Aµ para que ele descreva de facto o fotão.
Este problema pode ser abordado de 3 maneiras diferentes:
i) Gauge de Radiação
Historicamente este foi o primeiro método. Baseia-se no facto que é sempre
possı́vel escolher uma gauge, chamada gauge de radiação onde
A0 = 0 ; ~ ·A
∇ ~=0 (1.205)
isto é, o potencial A~ é transversal. As condições (1.205) reduzem os graus de
liberdade a 2, as componentes transversais de A. ~ É então possı́vel aplicar o
formalismo canónico a estes campos transversais e assim quantificar o campo
electromagnético. O problema com este método é que perdemos a covariância
explicita de Lorentz. É então sempre preciso mostrar que ela é recuperada no
resultado fı́sico final. Este método é descrito no livro de Bjorken e Drell.
ii) Quantificação de sistemas com ligações

Pode-se mostrar que o electromagnetismo é um exemplo dum sistema de
Hamilton generalizado, isto é, um sistema onde existem ligações ou constrang-
imentos. A maneira de quantificar estes sistemas foi desenvolvida por Dirac
para sistemas de partı́culas com n graus de liberdade. A generalização para
teoria dos campos é feita no âmbito da quantificação via integral de caminho.
Estudaremos este método em Teoria Quântica dos Campos II pois ele é o único
que permite generalização para as teorias de gauge não abelianas.
iii) Métrica Indefinida

Formalmente existe um outro processo, designado, por razões que serão claras
mais adiante, de métrica indefinida, que foi desenvolvido por Gupta e Bleuler.
Neste formalismo, que será o que vamos estudar, a covariância de Lorentz é

mantida, isto é, trabalharemos sempre com o 4-vector Aµ , mas o preço a pagar
é o aparecimento de estados com norma negativa. É então preciso definir o
espaço de Hilbert dos espaços fı́sicos como um sub-espaço onde a norma é
positiva. Vemos assim que para manter a covariância explı́cita de Lorentz
temos que complicar a teoria.
1.4.2 Formalismo da métrica indefinida
Para resolver a dificuldade do momento π 0 ser nulo vamos começar por modificar o
Lagrangeano de Maxwell introduzindo um novo termo
1 1
L = − Fµν F µν − (∂ · A)2 (1.206)
4 2ξ
onde ξ é um parâmetro sem dimensões. As equações do movimento são agora
!
µ 1 µ
⊓A − 1 −
⊔ ∂ (∂ · A) = 0 (1.207)
ξ
e os momentos conjugados
∂L 1
πµ = = F µ0 − g µ0 (∂ · A) (1.208)
∂ Ȧµ ξ
isto é


 π 0 = − 1ξ (∂ · A)

(1.209)
 πk = E k
Repare-se que o Lagrangeano (1.205) e as equações de movimento (1.207) se
reduzem à teoria de Maxwell na gauge ∂ · A = 0. Por isso se diz que a escolha da
Eq. (1.205) corresponde a uma classe de gauge de Lorentz dependendo do parâmetro
ξ. Dentro deste abuso de linguagem (porque de facto não estamos a pôr ∂·A = 0 pois
então os problemas voltariam) o valor de ξ = 1 é designado por gauge de Feynman
e ξ = 0 gauge de Landau.
Da Eq. (1.207) resulta que
⊔
⊓(∂ · A) = 0 (1.210)
pelo que (∂ ·A) é um campo escalar sem massa. Embora seja possı́vel prosseguir com
ξ arbitrário, tomaremos daqui em diante o caso ξ = 1 (gauge de Feynman). Então
a equação de movimento coincide com a teoria de Maxwell na gauge de Lorentz.
Como já não temos π 0 = 0, podemos impor as relações de comutação canónicas a

tempos iguais:
[π µ (~x, t), Aν (~y , t)] = −ig µ ν δ 3 (~x − ~y )

[Aµ (~x, t), Aµ (~y , t)] = [πµ (~x, t), πν (~y , t)] = 0 (1.211)
Do facto de [Aµ (~x, t), Aµ (~y , t)] = 0 a tempos iguais podemos concluir que as derivadas
espaciais de Aµ comutam a tempos iguais. Então notando que
π µ = −Ȧµ + derivadas espaciais (1.212)

podemos escrever em lugar da Eq. (1.211)
[Aµ (~x, t), Aν (~y , t)] = [Ȧµ (~x, t), Ȧµ (~y , t)] = 0
[Ȧµ (~x, t), Aν (~y , t)] = igµν δ 3 (~x − ~y ) (1.213)
Se compararmos estas relações com as correspondentes para o caso do campo escalar

real, onde a única não nula é
[ϕ̇(~x, t), ϕ(~y , t)] = −iδ 3 (~x − ~y ) (1.214)

vemos (gµν = diag. (+, −, −, −) que as relações para as componentes espaciais são
iguais mas diferem no sinal para a componente temporal. Este sinal vai ser a fonte
dos problemas anteriormente mencionados.
Não nos preocupando de momento com o sinal diferente, expandimos Aµ (x) em
ondas planas:
Z 3 h
X i
µ
A (x) = f
dk a(k, λ)εµ (k, λ)e−ik·k + a† (k, λ)εµ∗ (k, λ)eik·x (1.215)
λ=0
onde εµ (k, λ) são um conjunto de quatro 4-vectores independentes que podemos

assumir serem reais sem perda de generalidade. Vamos fazer uma escolha para estes
4-vectores. Para isso escolhemos εµ (1) e εµ (2) ortogonais a k µ e nµ tais que
εµ (k, λ)εµ (k, λ′ ) = −δλλ′ para λ, λ′ = 1, 2 (1.216)

Depois escolhemos εµ (k, 3) no plano (k µ , nµ ), ortogonal a nµ e normalizado, isto é
εµ (k, 3)nµ = 0 ; εµ (k, 3)εµ (k, 3) = −1 (1.217)

Finalmente escolhemos εµ (k, 0) = nµ . Os vectores εµ (k, 1) e εµ (k, 2) são designados
por polarizações transversais, enquanto que εµ (k, 3) e εµ (k, 0) por longitudinal e
escalar respectivamente. Podemos mesmo dar um exemplo. No referencial onde

nµ = (1, 0, 0, 0) e ~k é segundo o eixo dos zz temos
εµ (k, 0) ≡ (1, 0, 0, 0) ; εµ (k, 1) ≡ (0, 1, 0, 0)

εµ (k, 2) ≡ (0, 0, 1, 0) ; εµ (k, 3) ≡ (0, 0, 0, 1) (1.218)
Em geral pode-se mostrar que
′
ε(k, λ) · ε∗ (k, λ′ ) = g λλ
X
g λλ εµ (k, λ)ε∗ν (k, λ) = g µν (1.219)
λ
Inserindo a expansão (1.215) em (1.213) obtemos
[a(k, λ), a† (k ′ , λ′ )] = −g λλ 2k 0 (2π)3 δ 3 (~k − ~k ′ )

′
(1.220)
mostrando mais uma vez que o quanta associado a λ = 0 tem uma relação de
comutação com o sinal trocado. Antes de atacarmos este problema podemos ainda
verificar que a generalização da Eq. (1.213) para tempos arbitrários é
[Aµ (x), Aν (y)] = −igµν ∆(x, y) (1.221)

mostrando bem o carácter covariante da teoria. A função ∆(x − y) é a mesma que
foi introduzida para os campos escalares.
Portanto, até aqui, tudo se passa como se fossem 4 campos escalares. Há no
entanto o problema do sinal diferente num dos comutadores. Vamos ver as con-
sequências desse sinal. Para isso introduzimos o vácuo definido por
a(k, λ) |0i = 0 λ = 0, 1, 2, 3 (1.222)

Para encontrarmos o problema construı́mos o estado de 1 - partı́cula com polarização
escalar
Z
|1i = f f (k)a† (k, 0) |0i
dk (1.223)
e calculemos a sua norma
Z D E
h1|1i = f dk
dk f f ∗ (k )f (k ) 0|a(k , 0)a† (k , 0)|0
1 2 1 2 1 2
Z
= − h0|0i f |f (k)|2
dk (1.224)
onde se usou a Eq. (1.220) para λ = 0. O estado |1i tem norma negativa. O mesmo
cálculo para as outras polarizações dá normas positivas. Assim concluı́mos que o
nosso espaço de Fock tem métrica indefinida. Que acontece então à interpretação
probabilı́stica da mecânica quântica?
Para resolver este problema notemos que de facto não estamos a trabalhar com
a teoria de Maxwell pois modificamos o Lagrangeano. O que nós gostarı́amos era
de impor a condição ∂ · A = 0 mas é impossı́vel como equação para operadores pois
então π 0 = 0 e voltarı́amos a ter os problemas iniciais. Podemos no entanto exigir
aquela condição dum modo mais fraco, como sendo uma condição a ser verificada
somente pelos estados fı́sicos. Especificamente, exigimos que a parte de ∂ · A que
contém o operador de aniquilação (frequências positiva) anula os estados fı́sicos
∂ µ A(+)
µ |ψi = 0 (1.225)
Os estados |ψi podem ser escritas na forma
|ψi = |ψT i |φi (1.226)

onde |ψT i é obtido a partir do vácuo com operadores de criação com polarização
transversal e |φi com polarização escalar e longitudinal. Esta decomposição depende
claro de escolha dos vectores de polarização. Para vermos as consequências da
Eq. (1.225) basta analisar os estados |φi pois ∂ µ A(+) µ envolve apenas polarização
escalar e longitudinal
Z X
i∂ · A(+) = f e−ik·x
dk a(k, λ) ε(k, λ) · k (1.227)
λ=0,3
pelo que a Eq. (1.225) se reduz a

X
k · ε(k, λ) a(k1 λ) |φi = 0 (1.228)
λ=0,3
A condição (1.228) não determina completamente |φi. De facto há muita ar-
bitrariedade na escolha dos vectores de polarização transversal, aos quais podemos
sempre adicionar um termo proporcional a k µ pois k · k = 0. Esta arbitrariedade
deve-se reflectir na escolha de |φi. A condição (1.228) é equivalente a
[a(k, 0) − a(k, 3)] |φi = 0 (1.229)

Podemos construir |φi como uma combinação linear de estados |φn i com n fotões
escalares ou longitudinais:
|φi = C0 |φ0 i + C1 |φ1 i + · · · + Cn |φn i + · · ·
|φ0 i ≡ |0i (1.230)
Os estados |φn i são estados próprios de operadores número para fotões longitudinais
e escalares
N ′ |φn i = n |φn i (1.231)

onde
Z h i
N′ = f a† (k, 3)a(k, 3) − a† (k, 0)a(k, 0)
dk (1.232)
Então
n hφn |φn i = hφn |N ′ |φn i = 0 (1.233)

onde se usou a Eq. (1.229). Isto quer dizer que
hφn |φn i = δn0 (1.234)

ou seja, para n 6= 0 o estado |φn i tem norma zero. Então para o estado geral |φi
obtemos
hφ|φi = |C0 |2 ≥ 0 (1.235)

e os coeficientes Ci , i = 1, · · · n · · · são arbitrários. Temos que mostrar que esta
arbitrariedade não afecta as observáveis fı́sicas. O Hamiltoniano é
Z
H = d3 x : π µ Ȧµ − L :
1Z 3 X 3 h i
~ 0 )2 :
~ i )2 − Ȧ20 − (∇A
= d x: Ȧ2i + (∇A
2 i=1
Z " 3
#
X
= f
dk k 0 † †
a (k, λ)a(k, λ) − a (k, 0)a(k, 0) (1.236)
λ=1
É fácil de ver que se |ψi for um estado fı́sico então

D
R f 0 P2 E
hψ|H|ψi ψT | dk k λ=1 a† (k, λ)a(k, λ)|ψT
= (1.237)
hψ|ψi hψT |ψT i
e a arbitrariedade dos estados fı́sicos desaparece por completo quando tomamos
valores médios. Além disso só as polarizações fı́sicas transversais contribuem para
o resultado. Pode-se mostrar (ver problema 2.10) que a arbitrariedade de |φi está
relacionada com uma transformação de gauge dentro da classe das gauges de Lorentz.
É importante notar que embora para valores médios de observáveis fı́sicos só as
polarizações transversais contam, as polarizações longitudinal e escalar são necessárias
para a consistência da teoria. Em particular elas aparecem quando se consideram
somas completas sobre estados intermédios.
A invariância para translações é facilmente mostrada. Para isso escrevemos
Z 3
X
Pµ = f kµ
dk (−g λλ) a† (k, λ)a(k, λ) (1.238)
λ=0
Então
Z X nh i
µ ν
i[P , A ] = dk f ′ ik µ
f dk (−g λλ) a† (k, λ)a(k, λ), a(k ′, λ′ ) εν (k ′ , λ′ )e−ik·x
λ,λ′
h i ′
o
+ a† (x, λ)a(k, λ), a† (k ′ , λ′ ) ε∗ν (k ′ , λ′ )eik ·x
Z Xh i
= f ik µ
dk a(k, λ)εν (k, λ)e−ik·x − a† (k, λ)εν (k, λ)eik·x
λ
= ∂ µ Aν (1.239)
o que mostra a invariância para translações.

De modo semelhante se pode mostrar para as transformações de Lorentz (ver
Problema 1.11). Para isso é preciso notar que
Z h i
M ik = d3 x : xj T 0k − xk T 0j + E j Ak − E k Aj : (1.240)
Z h i
M 0i = d3 x : x0 T 0i − xi T 00 − (∂ · A)Ai − E i A0 : (1.241)
onde
T 0i = −(∂ · A)J i A0 − E k ∂ i Ak
3 h
X i
T 00
= Ȧ2i + (∇A ~ 0 )2
~ j )2 − Ȧ2 − (∇A (1.242)
0
i=1
Usando estas expressões é possı́vel mostrar que o fotão tem helicidade ±1 corre-
spondendo a spin 1. Para isso comecemos por escolher a direcção de ~k como o eixo
3 e tomemos para vector de polarização a escolha da Eq. (1.218). Um estado fı́sico
de 1 fotão será então (não normalizado)
|k, λi = a† (k, λ) |0i λ = 1, 2 (1.243)

Vamos ver o momento angular segundo o eixo 3. Isto deverá ser
M 12 |k, λi = M 12 a† (k, λ) |0i

= [M 12 , a† (k, λ)] |0i (1.244)
onde se usou o facto de que o vácuo satisfaz M 12 |0i = 0. O operador M 12 tem

uma parte que corresponde ao momento angular orbital e outra que diz respeito ao
spin. A parte do momento angular orbital é nula (momento angular na direcção
do movimento) como se pode ver calculando o comutador. De facto o resultado
do comutador com o momento angular orbital é proporcional a k 1 ou k 2 que por
hipótese são nulos. Calculemos a parte de spin. Usando a notação
Aµ = Aµ(+) + Aµ(−) (1.245)

onde Aµ(+) (Aµ(−)) corresponde às frequências positivas (negativas) temos
: E 1 A2 − E 2 A1 := E 1(+) A2(+) + E 1(−) A2(+) + A2(−) E 1(+) + E 1(−) A2(−) − (1 ↔ 2)

(1.246)
Então
h i
: E 1 A2 − E 2 A1 :, a† (k, λ) =
h i h i
= E 1(+) A2 (+), a† (k, λ) + E 1(+) , a† (k, λ) A2(+)
h i h i
+E 1 (−) A2 (+), a† (k, λ) + A2(−) E 1(+) , a† (k, λ) − (1 ↔ 2)
h i h i
= E 1 A2(+) , a† (k, λ) + A2 E 1(+) , a† (k, λ) − (1 ↔ 2) (1.247)
Agora (recordar que λ = 1, 2)
Z X h i
′
[A 2(+) †
, a (k, λ)] = f
dk ε2 (k ′ , λ′ ) a(k ′ , λ′ ), a† (k, λ) e−ik ·x
′
λ′
= ε2 (k, λ)e−ik·x
Z X h i
′
[E 1(+) , a† (k, λ)] = f
dk ik ′0 ε0 (k ′ , λ′ ) + ik ′1 ε0 (k ′ , λ′ )
′
a(k ′ , λ′), a† (k, λ) e−ik ·x
λ′
= ik 0 ε1 (k, λ)e−ik·x (1.248)
Então
Z h i
d3 x : E 1 A2 − E 2 A1 :, a† (k, λ)
Z h i
= d3 xe−ik·x E 1 ε2 (k, λ) + A2 ik 0 ε1 (k, λ) − E 2 ε1 (k, λ) + A1 ik 0 ε2 (k, λ)
Z h i
↔ ↔
= d3 xe−ik·x ε1 (k, λ)∂ 0 A2 (x) − ε2 (k, λ)∂ 0 A1 (x) (1.249)
onde se usou o facto de que E i = −Ȧi , i = 1, 2 para a nossa escolha de referencial

e de vectores de polarização. Por outro lado temos
Z
↔
a(k, λ) = −i d3 xeik·x ∂ 0 εµ (k, λ)Aµ (x)
Z
† ↔
a (k, λ) = i d3 xe−ik·x ∂ 0 εµ (k, λ)Aµ (x) (1.250)
Para a nossa escolha isto dá
Z
↔
a† (k, 1) = −i d3 xe−ik·x ∂ 0 A1 (x)
Z
† ↔
a (k, 2) = −i d3 xe−ik·x ∂ 0 A2 (x) (1.251)
e portanto
[M 12 , a† (k, λ)] = iε1 (k, λ)a† (k, 2) − iε2 (k, λ)a† (k, 1) (1.252)
Vemos assim que o estado a† (k, λ) |0i , λ = 1, 2 não é um estado próprio do operador
M 12 . Contudo as combinações lineares
1
a†R (k) = √ (a† (k, 1) + ia† (k, 2))
2
1
a†L (k) = √ (a† (k, 1) − ia† (k, 2)) (1.253)
2
representando polarização circular direita e esquerda verificam
[M 12 , a†R (k)] = a†R (k) ; [M 12 , a†L (k)] = −a†L (k) (1.254)

mostrando portanto que o fotão tem spin 1 com polarização circular esquerda ou
direita (helicidade negativa ou positiva).
1.4.3 O Propagador de Feynman
O propagador de Feynman é definido como o valor de expectação no vácuo do

produto ordenado dos campos, isto é
Gµν (x, y) ≡ h0|T Aµ (x)Aν (y)|0i
= θ(x0 − y 0 ) h0|Aµ (x)Aν (y)|0i + θ(y 0 − x0 ) h0|Aν (y)Aµ (x)|0i (1.255)

Inserindo as expansões para Aµ (x) e Aν (y) obtemos
Z h i
0 −x0 )
Gµν (x − y) = −gµν f e−ik·(x−y) θ(x0 − y 0 ) + eik·(x−y)θ(y
dk
Z
d4 k i
= −gµν 4 2
e−ik·(x−y)
(2π) k + iε
Z
d4 k
≡ Gµν (k)e−ik·(x−y) (1.256)
(2π)4
onde Gµν (k) é o propagador de Feynman no espaço dos momentos
−igµν
Gµν (k) ≡ (1.257)
k 2 + iε
É fácil de mostrar que Gµν (x − y) é a função de Green da equação do movimento

que neste caso (ξ = 1) é a equação das ondas, isto é
⊓x Gµν (x − y) = igµν δ 4 (x − y)
⊔ (1.258)
Estas expressões para Gµν (x − y) e Gµν (k) correspondem ao caso particular em que
ξ = 1 na Eq. (1.205). É a chamada gauge de Feynman. Para o caso geral de ξ 6= 1,
a equação de movimento é
" ! #
1 µ
⊓x gρµ − 1 −
⊔ ∂ ∂ρ Aρ (x) = 0 (1.259)
ξ
Para este caso (ξ 6= 1) as relações de comutação a tempos iguais são mais complicadas
(ver Problema 1.12). Usando essas relações é possı́vel mostrar que o propagador de
Feynman continua a ser a função de Green do operador da equação de movimento,
isto é,
" ! #
1 µ
⊔x gρµ
⊓ − 1− ∂ ∂ρ h0|T Aρ(x)Aν (y)|0i = ig µν δ 4 (x − y) (1.260)
ξ
Usando esta forma para o propagador é então possı́vel obter
gµν kµ kν
Gµν (k) = −i + i(1 − ξ) 2 (1.261)
k2 + iε (k + iε)2
numa gauge arbitrária (do tipo de Lorentz).

1.5 Simetrias Discretas
Sabe-se do estudo da equação de Dirac que as operações inversão no espaço (Pari-

dade) e conjugação de carga são simetrias da equação de Dirac. Mais concretamente,
se ψ(x) for uma solução da equação de Dirac então
ψ ′ (x) = ψ ′ (−~x, t) = γ0 ψ(~x, t) (1.262)

T
ψ c (x) = Cψ (x) (1.263)
também o são (tomando a carga −e para ψ c ). Operações semelhantes se podem
definir para campos escalares e vectoriais.
Com a segunda quantificação os campos deixam de ser funções e passam a ser
operadores. Temos então que encontrar operadores unitários P e C que descrevam
essas operações dentro do formalismo da segunda quantificação. Existe ainda uma
outra simetria discreta, a inversão no tempo que ao nı́vel da segunda quantificação
será descrita por um operador antiunitário T . Vamos exemplificar com o caso do
campo escalar como se constroem estes operadores para o caso de campos livres. Os
campos de Dirac e Maxwell são deixados como exercı́cios.
1.5.1 Paridade
Para definir o significado da operação de Paridade temos que pôr o sistema em

interacção com o sistema da medida considerado sistema clássico. Isto quer dizer
que consideramos o sistema descrito por
L −→ L − jµ (x)Aµext (x) (1.264)

onde se considerou que a interacção é electromagnética. jµ (x) é a corrente electro-
magnética que tem a forma:
↔
jµ (x) = ie : ϕ∗ ∂ µ ϕ : campo escalar
jµ (x) = e : ψγµ ψ : campo de Dirac (1.265)

Numa transformação de Paridade invertemos o sistema de medida pelo que os cam-
pos clássicos exteriores são agora
~ x, t) = Aµ (−~x, t)
Aµext = (A0ext (−~x, t)) − A(−~ (1.266)
Para que a dinâmica do novo sistema seja idêntica à do original (o que se deve
passar se a Paridade for conservada) é necessário que as equações do movimento
não mudem. Isto é garantido se
1.5. Simetrias Discretas 45
PL(~x, t)P −1 = L(−~x, t) (1.267)
Pjµ (~x, t)P −1 = j µ (−~x, t) (1.268)
As Eqs. (1.267) e (1.268) são as condições a que uma teoria deve obedecer para que
a Paridade seja conservada. Além disso P deve deixar as relações de comutação
invariantes para que a dinâmica quântica seja inalterada. Para cada teoria que
conserve a Paridade, deverá ser possı́vel encontrar um operador unitário P que
verifique estas condições.
Vamos encontrar P para o caso do campo escalar. É fácil de ver que a condição
Pϕ(~x, t)P −1 = ±ϕ(−~x, t) (1.269)

satisfaz todos os requisitos. O sinal ± é a paridade intrı́nseca da partı́cula descrita
pelo campo ϕ (+ para escalar e − para pseudo escalares). Em termos das expansões
do momento a Eq. (1.269) escreve- se
Pa(k)P −1 = ±a(−k) ; Pa† (k)P −1 = ±a† (−k) (1.270)

~ ~ 0 0
q −k significa que se mudou k em −k (mas k ficou inalterado, isto é, : k =
onde
+ |~k|2 + m2 ). É mais fácil resolver a Eq. (1.270) no espaço dos momentos. Como
P deverá ser unitário introduzimos
P = eiP (1.271)
Então
iµ
Pa(k)P −1 = a(k) + i[P, a(k)] + · · · + [P, [· · · , [P, a(k)] · · ·] + · · ·
n!
= −a(−k) (1.272)
onde escolhemos o caso do campo pseudo-escalar.

A Eq. (1.272) sugere a forma
λ
[P, a(k)] =
[a(k) + εa(−k)] (1.273)
2
onde λ e ε = ±1 são a determinar. Obtemos
λ2
[P, [P, a(k)]] = [a(k) + εa(−k)] (1.274)
2
e portanto
" #
−1 1 (iλ)2 (iλ)4
P a(k)P = a(k) + iλ + +···+ + · · · (a(k) + εa(−k))
2 2! n!
1 1
= [a(k) − εa(−k)] + eiλ [a(k) + εa(−k)]
2 2
= −a(−k) (1.275)
Resolvemos a Eq. (1.275) se escolhermos λ = π e ε = +1 (λ = π e ε = −1 para o

caso do campo escalar). É então fácil de ver que
Z
π f h † i
Pps = − dk a (k)a(k) + a† (k)a(−k) = Pps
†
(1.276)
2
é solução da Eq. (1.273) para λ = π e ε = +1. Então
Z h i
π f a† (k)a(k) + a† (k)a(−k)
Pps = exp −i dk (1.277)
2
e para o campo escalar

πZ f h † i
Ps = exp −i dk a (k)a(k) − a† (k)a(−k) (1.278)
2
Para o caso do campo de Dirac a condição equivalente à Eq. (1.269) é agora
Pψ(~x, t)P −1 = γ 0 ψ(−~x, t) (1.279)

Repetindo os mesmos passos obtemos
Z h
π f b† (p s)b(p, s) − b† (p, s)b(−p, s)
PDirac = exp −i dp 1
2

† †
+ d (p, s)d(p, s) + d (p, s)d(−p · s) (1.280)
O caso do campo de Maxwell é deixado como exercı́cio.
1.5.2 Conjugação de carga
As condições para haver invariância são agora
CL(x)C −1 = L ; Cjµ C −1 = −jµ (1.281)

onde jµ é a corrente electromagnética. As condições (1.281) são verificadas para os
campos escalares carregados se
Cϕ(x)C −1 = ϕ∗ (x) ; Cϕ∗ (x)C −1 = ϕ(x) (1.282)
e para o campo de Dirac se
Cψα (x)C −1 = Cαβ ψβ (x)
Cψ α (x)C −1 = −ψβ (x)Cβα

−1
(1.283)
onde C é a matriz de conjugação de carga.

Finalmente para que jµ Aµ seja invariante devemos ter para o campo electromagnéti-
co
CAµ C −1 = −Aµ (1.284)
Usando um método semelhante ao caso de Paridade é possı́vel encontrar o oper-

ador C para as diversas teorias. Obtemos por exemplo, para o caso escalar
Z
π f
Cs = exp i dk (a†+ − a†− )(a+ − a− ) (1.285)
2
e para o caso do campo de Dirac
C = C1 C2 (1.286)
com
( Z )
X h i
C1 = exp −i f
dp † †
φ(p, s) b (p, s)b(p, s) − d (p, s)d(p, s)
s
( )
π Z f Xh † †
i
C2 = exp i dp b (p, s) − d (p, s) [b(p, s) − d(p, s)] (1.287)
2 s
onde a fase φ(p, s) foi introduzida em (1.209)
v(p, s) = eiφ(p,s) uc (p, s)

u(p, s) = eiφ(p,s) v c (p, s) (1.288)
1.5.3 Inversão no Tempo
Classicamente o significado da invariância para a inversão no tempo t → −t é claro.

Trocamos o sinal do tempo, as velocidades mudam de sentido e o sistema vai do
que era o estado final para o estado inicial. É esta troca entre o estado inicial e
final que faz que em mecânica Quântica o operador responsável pela inversão no
tempo seja antilinear ou antiunitário. De facto hf |ii = hi|f i∗ e portanto se quere-
mos hT ϕf |T ϕi i = hϕi |ϕf i então T deve incluir a operação de efectuar o complexo
conjugado. De facto pode-se escrever
T = UK (1.289)
onde U é unitário e K é a instrução para tomar o complexo conjugado de todos os
c-numbers. Então
hT ϕf |T ϕi i = hUKϕf |UKϕi i
= hUϕf |Uϕi i∗
= hϕf |ϕi i∗ = hϕi |ϕf i (1.290)
como querı́amos. Uma teoria será invariante para a inversão no tempo se
T L(~x, t)T −1 = L(~x, −t)

T jµ (~x, t)T −1 = j µ (~x, −t) (1.291)
Para o campo escalar esta condição é satisfeita se
T ϕ(~x, t)T −1 = ±ϕ(~x, −t) (1.292)

e para o campo electromagnético se
T Aµ (~x, t)T −1 = Aµ (~x, −t) (1.293)

tornando invariante j µ Aµ . Para o campo de Dirac a transformação é
T ψα (~x, t)T −1 = Tαβ ψβ (~x, −t) (1.294)

Para que a Eq. (1.291) seja verificada é fácil de ver que a matriz T deve satisfazer
T γµ T −1 = γµT = γ µ∗ (1.295)
e que na representação de Dirac temos
T = iγ 1 γ 3 (1.296)
Aplicando o mesmo tipo de raciocı́nio já usado para P e C podemos agora encontrar
T ou equivalentemente U. Por exemplo para o campo de Dirac notando que
T u(p, s) = u∗ (−p, −s)eiα+ (p,s)

T v(p, s) = v ∗ (−p, −s)eiα−(p,s) (1.297)
podemos escrever U = U1 U2 e obter
( Z )
Xh i
U1 = exp −i f
dp † †
α+ b (p, s)b(p, s) − α− d (p, s)d(p, s) (1.298)
s
( Z
π Xh
U2 = exp −i f
dp b† (p, s)b(p, s) + b† (p, s)b(−p − s)
2 s
#)
† †
− d (p, s)d(p, s) − d (p, s)d(−p, −s) (1.299)
1.5.4 O Teorema T CP
É um teorema fundamental da Teoria Quântica dos Campos que o produto T CP é

uma invariância de qualquer teoria desde que satisfaça às seguintes hipóteses gerais:
• A teoria é local e covariante debaixo de transformações de Lorentz
• A teoria é quantificada usando a relação normal entre spin e estatı́stica, isto

é, comutadores para bosões e anticomutadores para fermiões.
Este teorema que é devido a Lüdus, Zumino, Pauli e Schwinger tem como con-
sequência importante que sempre que uma das simetrias discretas não é simetria
da teoria, então uma das outras também não será para preservar a invariância do
produto. Para a demonstração do teorema ver, por exemplo, os livros de Bjorken e
Drell e de Itzykson e Zuber.
Problemas Capı́tulo 1
1.1 Verifique para o campo escalar as relações de invariância para translações e

transformação de Lorentz, i.e.
i[P µ , ϕ] = ∂ µ ϕ
i[M µν , ϕ] = (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )ϕ (1.300)
1.2 Mostre que
∂ 0 ∆(x − y)|x0=y0 = −δ 3 (~x − ~y ) (1.301)
1.3 Mostre que
Z
d4 k i
e−ik·(x−y) =
(2π) k − m2 + iε
4 2
Z h i
= f θ(x0 − y 0 )e−ik·(x−y) + θ(y 0 − x0 )eik·(x−y)
dk (1.302)
f ≡
onde dk d3 k
.
(2π)3 2k 0
Sugestão: Integre em k 0 e use a prescrição iε para definir os contornos.
1.4 Mostre que a teoria de Dirac depois de segunda quantificação mantém a in-
variância para as transformações de Lorentz, isto é:
1
i[M µν , ϕ] = (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )ϕ + σ µν ϕ ; σ µν = [γ µ , γ ν ] (1.303)
4
Problemas 51
1.5 Mostre que
{ψα (~x, t), ψβ† (~y , t)} = δαβ δ 3 (~x − ~y ) (1.304)
1.6 Mostre que
D E
SF (x − y)αβ = θ(x0 − y 0 ) 0|ψα (x)ψ β (y ∗ )|0
D E
−θ(y 0 − x0 ) 0|ψβ (y)ψα (x)|0 (1.305)
corresponde a
Z
d4 p i(p/ + m)αβ −ip·(x−y)
SF (x − y)αβ = e (1.306)
(2π)4 p2 − m2 + iε
Sugestão: Expanda ψα e ψ β em ondas planas.
1.7 Mostre que
(i∂/x + m)αβ SF (x − y)βγ = iδαγ δ 4 (x − y) (1.307)
1.8 Mostre que é sempre possı́vel escolher os potenciais tais que
~ ·A
A0 = 0 , ∇ ~=0 (gauge de Radiação) (1.308)
1.9 Mostre que se tem
[Aµ (x), Aν (y)] = −igµν ∆(x − y) (1.309)
1.10
a) Considere o valor de expectação de Aµ no estado |φi. Mostre que
Z
hφ|Aµ |φi = C0∗ C1 f e−ik·x h0| [ε (k, 3)a(k, 3) + ε (k, 0)a(k, 0)] |φ i
dk µ µ 1
+complexo conjugado (1.310)

b) Escolha o estado |φ1 i da forma

Z h i
|φ1 i = f f (k) a† (k, 3) − a† (k, 0) |0i
dk (1.311)
Mostre que
Z
hφ|Aµ |φi = f [ε (k, 3) + ε (k, 0)] (C ∗ C e−ik·x f (k) + c.c.)
dk (1.312)
µ µ 0 1
c) Escolha εµ (k, λ) reais. Mostre que
kµ
εµ (k, 3) + εµ (k, 0) = (1.313)
(n · k)
d) Mostre que
hφ|Aµ |φi = ∂µ Λ(x) (1.314)
onde
⊓Λ = 0
⊔ (1.315)
Comente o resultado.
1.11 Mostre a covariância de teoria para transformações de Lorentz, isto é
i[M µν , Aλ ] = (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )Aλ + Σµν,λ σ Aσ (1.316)
onde
Σµν,λσ = g µλ g νσ − g µσ g λν (1.317)
1.12 Mostre que no caso geral de ξ 6= 1 temos
[Aµ (~x, t), Aν (~y , t)] = 0
[Ȧµ (~x, t), Aν (~y , t)] = igµν [1 − (1 − ξ)gµ0 ] δ 3 (~x − ~y )
[Ȧi (~x, t), Ȧj (~y , t)] = [Ȧ0 (~x, t), Ȧ0 (~y , t)] = 0
[Ȧ0 (~x, t), Ȧi (~y , t)] = i(1 − ξ)∂i δ 3 (~x − ~y ) (1.318)
Problemas 53
1.13 Utilize os resultados do problema anterior para mostrar que se tem

" ! #
µ 1 µ
⊓x g ρ − 1 −
⊔ ∂ ∂ρ h0|T Aρ(x)Aν (y)|0i = ig µν δ 4 (x − y) (1.319)
ξ
onde
! !
1 µ
⊓g µ ρ − 1 −
⊔ ∂ ∂ρ Aρ = 0 (1.320)
ξ
1.14 Encontrar o operador P para os campos de Dirac e Maxwell.
1.15 Obtenha o operador C para os campos escalares, de Dirac e de Maxwell.
1.16 Mostre que
T ψα (~x, t)T −1 = Tαβ ψβ (~x, −t) (1.321)
garante
T L(~x, t)T −1 = L(~x, −t) (1.322)
desde que T γµT −1 = γ µ∗ . Encontrar T na representação de Dirac.
1.17 Encontrar o operador T para os campos escalares, de Dirac e de Maxwell.
1.18 Considere o Lagrangeano
L = ψiγ µ Dµ PL ψ − mψψ (1.323)
onde
τa
Dµ = ∂µ + iAaµ
2
1 − γ5
PL = (1.324)
2
Mostre que a teoria não é invariante para P nem para C mas sim para o
produto CP.
Capı́tulo 2
Estados Fı́sicos. Matriz S.

Redução LSZ.
2.1 Estados Fı́sicos
Vimos no capı́tulo anterior, para o caso de campos livres, como construir o espaço
dos estados da teoria, o chamado espaço de Fock. Quando consideramos o prob-
lema fı́sico real com as interacções presentes não mais seremos capazes de resolver
o problema exactamente. Por exemplo, a interacção entre electrão e fotões é dada
por um conjunto de equações não lineares acopladas
(i∂/ − m)ψ = eA
/ψ
∂µ F µν = eψγ ν ψ (2.1)
que não têm solução exacta. Na prática teremos que recorrer a métodos aproxima-
dos. No capı́tulo seguinte veremos como desenvolver uma teoria das perturbações
covariante. Aqui vamos somente estudar as propriedades gerais da teoria.
Comecemos pelos estados fı́sicos. Como não sabemos resolver o problema exac-
tamente não podemos provar as hipóteses que vamos sobre eles fazer. No entanto
estas são hipóteses razoáveis baseadas essencialmente na covariância de Lorentz.
Escolhemos os nossos estados como estados próprios de energia e momento linear, e
claro de todas as demais observáveis que comutem com P µ . Além disto admitimos
que
i) Os valores próprios de p2 são não negativos e p0 > 0.
ii) Existe um estado base não degenerado com a energia mı́nima que é invariante
de Lorentz. Designa-se este estado por vácuo |0i e por convenção
55
56 Capı́tulo 2. Estados Fı́sicos. Matriz S. Redução LSZ.
pµ |0i = 0 (2.2)
E

iii) Existem estados de uma partı́cula p(i) tais que
p(i)
µ p
(i)µ
= m2i (2.3)
para cada partı́cula estável de massa mi .
iv) O vácuo e os estados de uma partı́cula formam um espectro discreto de pν .
2.2 Estados in
Como estamos sobretudo interessados em problemas de difusão (Scattering) devemos

construir estados que tenham uma interpretação simples quando t → −∞. Neste
instante as partı́culas que vão participar na difusão ainda não interagiram umas com
as outras e movem-se somente sob a acção das interacções próprias (supomos que
as interacções são desligadas adiabaticamente quando |t| → ∞, o que é apropriado
para problemas de difusão).
Procuramos operadores criando estados de uma partı́cula propagando- se com
a massa fı́sica. Para sermos explı́citos comecemos por um campo escalar hermı́tico
dado pelo lagrangeano
1 1
L = ∂ µ ϕ∂µ ϕ − m2 ϕ2 + j(x)ϕ(x) (2.4)
2 2
onde a corrente j(x) é um operador escalar construı́do pelos campos interactuando
com ϕ no ponto x. Por exemplo, essas interacções podem ser auto-interacções de
forma
λ 4
j(x)ϕ(x) = ϕ (x) (2.5)
4!
ou seja
λ 3
j(x) = ϕ (x) (2.6)
4!
O campo ϕ satisfaz a equação de movimento
⊓ + m2 )ϕ(x) = j(x)
(⊔ (2.7)
e as relações de comutação canónicas, a tempos iguais;
2.2. Estados in 57
[ϕ(~x, t)ϕ(~y , t)] = [π(~x, t)π(~x, t)] = 0
[π(~x, t), ϕ(~y , t)] = −iδ 3 (~x − ~y ) (2.8)
onde
π(x) = ϕ̇(x) (2.9)

se admitirmos que j(x) não contém derivadas. Designemos por ϕin (x) o operador
que cria estados de uma partı́cula. Será um funcional dos campos ϕ(x) e doutros
campos presentes em j(x). A sua existência será mostrada por construção explicita.
Exigimos que ϕin (x) satisfaça as condições:
i) ϕin (x) transforma-se para translações e transformações de Lorentz da mesma

maneira do que ϕ(x). Para translações temos então
i [P µ , ϕin (x)] = ∂ µ ϕin (x) (2.10)
ii) A evolução no espaço tempo de ϕin (x) corresponde a uma partı́cula livre de
massa m, isto é
⊓ + m2 )ϕin (x) = 0
(⊔ (2.11)
Destas duas definições resulta que ϕin (x) cria estados de uma partı́cula a partir do
vácuo. De facto consideremos um estados |ni tal que
P µ = pµn |ni (2.12)

Então
∂ µ hn|ϕin (x)|0i = i hn| [P µ , ϕin (x)] |0i
= ipµn hn|ϕin (x)|0i (2.13)
e portanto
⊓ hn|ϕin (x)|0i = −p2n hn|ϕin (x)|0i

⊔ (2.14)
Então
⊓ + m2 ) hn|ϕin (x)|0i = (m2 − p2n ) hn|ϕin (x)|0i = 0

(⊔ (2.15)
onde se usou o facto de que ϕin (x) é um campo livre (3.7). Portanto os vários
estados criados do vácuo por ϕin são aqueles em que p2n = m2 , isto é, estados de
uma partı́cula de massa m.
A decomposição de Fourier de ϕin (x) é então a mesma do que para campos livres,
isto é,
Z h i
ϕin (x) = f a (k)e−ik·x + a† (k)eik·x
dk (2.16)
in in
onde ain (k) e a†in (k) satisfazem a álgebra usual de operadores de destruição e criação.
Em particular, por aplicação sucessiva de a†in (k) podemos criar um estado de n
partı́culas.
Para escrever ϕin (x) em termos de ϕ(x) e j(x) comecemos por introduzir a função
de Green retardada do operador de K.G.
⊓x + m2 )∆ret (x − y; m) = δ 4 (x − y)
(⊔ (2.17)
onde
∆ret (x − y; m) = 0 se x0 < y 0 (2.18)

Então podemos escrever
√ Z
Zϕin (x) = ϕ(x) − d4 y∆ret (x − y; m)j(y) (2.19)
O
√ campo ϕin (x) definido por (3.15) satisfaz as duas condições iniciais. A constante
Z foi introduzida para normalizar ϕin de tal forma que tenha amplitude 1 para
criar estados√de uma partı́cula do vácuo. O facto de que ∆ret = 0 para x0 → −∞
sugere que Zϕin (x) é, de alguma forma, um limite de ϕ(x) quando x0 → −∞.
De facto como ϕ e ϕin são operadores, a condição assimptótica correcta deve ser
imposta aos seus elementos de matriz. Sejam |αi e |βi dois estados normalizados.
Definimos os operadores
Z
f ↔
ϕ (t) = i d3 xf ∗ (x) ∂ 0 ϕ(x)
Z
↔
ϕfin =i d3 xf ∗ (x) ∂ 0 ϕin (x) (2.20)
onde f (x) é uma solução normalizável da equação de K.G. Pelo teorema de Green
ϕfin não depende do tempo (para ondas planas f = e−ik·x e ϕfin = ain ). Então a
condição assimptótica (Lehmann, Symanzik e Zimmermann) é:
√
lim hα| ϕf (t) |βi = Z hα| ϕfin |βi (2.21)
t→−∞
2.3. Representação espectral para campos escalares 59
2.3 Representação espectral para campos escalares
Vimos que Z tinha o significado do quadrado de amplitude de ϕ(x) para produzir

estados de uma partı́cula do vácuo. Vamos agora encontrar uma expressão formal
para Z e mostrar que 0 ≤ Z ≤ 1.
Comecemos por calcular o valor de expectação no vácuo do comutador de dois
campos
i∆′ (x, y) ≡ h0| [ϕ(x), ϕ(y)] |0i (2.22)

Como não sabemos resolver as equações para os campos ϕ não podemos resolver
exactamente o problema de determinar ∆′ ao contrário do caso de campos livres.
Podemos no entanto determinar a sua forma usando argumentos gerais de invariância
de Lorentz e o espectro assumido pelos estados fı́sicos.
Para isso introduzimos um conjunto completo de estados entre os dois operadores
na Eq. (2.22) e usamos invariância para translações para escrever
hn|ϕ(y)|mi = hn| eiP ·y ϕ(0)e−iP ·y |mi
= ei(pn −pm )·y hn|ϕ(0)|mi (2.23)
Então
X
∆′ (x, y) = −i h0|ϕ(0)|ni hn|ϕ(0)|0i (e−ipn ·(x−y) − eipn ·(x−b) )
n
≡ ∆′ (x − y) (2.24)
isto é, tal como no caso livre, ∆′ é uma função de x − y. Introduzindo agora
Z
1= d4 q δ 4 (q − pn ) (2.25)
obtemos
Z " #
d4 q X 4
∆′ (x − y) = −i (2π) 3
δ (pn − q)| h0|ϕ(0)|ni |2 (e−iq·(x−y) − eiq·(x−y) )
(2π)3 n
Z
d4 q
= −i 3
ρ(q)(e−iq·(x−y) − eiq·(x−y) ) (2.26)
(2π)
onde introduzimos a densidade ρ(q) (amplitude espectral)

X
ρ(q) = (2π)3 δ 4 (pn − q)| h0|ϕ|0)|ni |2 (2.27)
n
que mede a contribuição para ∆′ dos estados com 4− momento q µ . ρ(q) é invariante
para transformações de Lorentz (como se pode mostrar usando a invariância de ϕ(x)
e as propriedades do vácuo e dos estados |ni) e anula-se quando q não está no cone
de luz do futuro (devido às propriedades assumidas para os estados fı́sicos). Então
podemos escrever
ρ(q) = ρ(q 2 )θ(q 0 ) (2.28)

e obtemos
Z
d4 q
∆′ (x − y) = −i ρ(q 2 )θ(q 0 )(e−iq·(x−y) − eiq·(x−y) )
(2π)3
Z Z h i
d4 q
= −i dσ 2 δ(q 2 − σ 2 )ρ(σ 2 )θ(q 0 ) e−iq·(x−y) − eiq·(x−y)
(2π)3
Z ∞
= dσ 2 ρ(σ 2 )∆(x − y; σ) (2.29)
0
onde
Z
d4 q
∆(x − y; σ) = −i 3
δ(q 2 − σ 2 )θ(q 0 )(e−iq·(x−y) − eiq·(x−y) ) (2.30)
(2π)
é a função invariante definida para o comutador de campos livres com massa σ.
A expressão (3.25) é conhecida como a decomposição espectral do comutador de
dois campos. Esta expressão vai-nos permitir mostrar que 0 ≤ Z < 1. Para isso
separamos os estados de uma partı́cula da soma (3.23). Seja |pi um estado de uma
partı́cula de momento p. Então
√ Z
h0|ϕ(x)|pi = Z h0|ϕin (x)|pi + d4 y∆ret(x − y; m) h0|j(y)|pi
√
= Z h0|ϕin (x)|pi (2.31)
pois
D E
h0|j(y)|pi = ⊓ + m2 )ϕ(y)|p =
0|(⊔
⊓ + m2 )e−ip·y h0|ϕ(0)|pi
= (⊔
= (m2 − p2 )e−ip·y h0|ϕ(0)|pi = 0 (2.32)
Por outro lado

2.4. Estados out 61
Z
d3 k
h0|ϕin (x)|pi = e−ik·x h0|ain (k)|pi
(2π)32ωk
= e−ip·x (2.33)
e portanto
Z
ρ(q) = (2π)3 f δ 4 (p − q)Z +
dq contribuições de mais que uma partı́cula
= Zδ(q 2 − m2 )θ(q 0 ) + · · · (2.34)
Então
Z ∞
′
∆ (x − y) = Z∆(x − y; m) + dσ 2 ρ(σ 2 )∆(x − y; σ) (2.35)
m21
onde m1 é a massa do menor estado de duas ou mais partı́culas. Notando finalmente

que
∂ ′ ∂
0
∆ (x − y)|x0=y0 = 0 ∆(x − y; σ)|x0=y0 = −δ 3 (~x − ~y ) (2.36)
∂x ∂x
obtemos a relação pretendida
Z ∞
1=Z+ dσ 2 ρ(σ 2 ) (2.37)
m21
ou
0≤Z<1 (2.38)
onde a última equação resulta da positividade de ρ(σ 2 ).
2.4 Estados out
Tal como reduzimos a dinâmica para t → −∞ a campos livres ϕin é possı́vel também
definir no limite t → +∞ os campos análogos, ϕout (x). Estes campos serão o estado
final dum problema de difusão. O formalismo é decalcado do caso dos campos ϕin e
por isso escrevemos somente as fórmulas relevantes sem mais demonstrações. ϕout (x)
obedece às relações
i [P µ , ϕout ] = ∂ µ ϕout
⊓ + m2 )ϕout = 0
(⊔ (2.39)
e tem a expansão
Z h i
ϕout (x) = f a (k)e−ik·x + a† (k)eik·x
dk (2.40)
out out
A condição assimptótica é agora

√
lim hα| ϕf (t) |βi = Z hα| ϕfout |βi (2.41)
t→∞
e
√ Z
Zϕout (x) = ϕ(x) − d4 y∆adv (x − y; m)j(y) (2.42)
onde as funções de Green ∆adv satisfazem
⊓x + m2 )∆adv (x − y; m) = δ 4 (x − y)
(⊔
∆adv (x − y; m) = 0 ; x0 > y 0 (2.43)
Para estados de uma partı́cula
√
h0|ϕ(x)|pi = Z h0|ϕout (x)|pi
√
= Z h0|ϕin (x)|pi
√
= Ze−ip·x (2.44)
2.5 Matriz S
Temos neste momento toda a maquinaria formal necessária ao estudo das amplitudes
de transição entre um estado inicial e um estado final, os chamados elementos da
matriz S. Comecemos por um estado inicial com n partı́culas que não interactuam
(bem separadas)
|p1 · · · pn ; ini ≡ |α ; ini (2.45)

onde p1 · · · pn indicam o 4−momento e os demais números quânticos caracterizando
as partı́culas. O estado final será em geral um estado de m partı́culas
|p′1 · · · p′m ; outi ≡ |β ; outi (2.46)

2.5. Matriz S 63
O elemento Sβα da matriz S é definido pela amplitude
Sβα ≡ hβ ; out|α ; ini (2.47)

A matriz S é o operador que induz um isomorfismo entre os estados in e estados
out (que por hipótese são um conjunto completo de estados):
hβ ; out| = hβ ; in| S
hβ ; in| = hβ ; out| S −1
hβ ; out|α ; ini = hβ ; in|S|α ; ini = hβ ; out|S|α; outi (2.48)
Das propriedades assumidas para os estados resultam as seguintes propriedades para

a matriz S.
i) h0|S|0i = h0|0i = 1 (estabilidade e unicidade do vácuo)
ii) A estabilidade dos estados de 1 partı́cula dá
hp ; in|S|p ; ini = hp ; out|p ; ini = hp ; out|p ; ini = 1 (2.49)
porque |p ; ini = |p ; outi.

iii) ϕin (x) = Sϕout (x)S −1
iv) A matriz S é unitária. Para mostrar a unitariedade temos

D E
δβα = hβ ; out|α ; outi = β ; in|SS † |α ; in (2.50)
e portanto
SS † = 1 (2.51)
v) A matriz S é invariante de Lorentz. Para mostrar isto fazemos
ϕin (ax + b) = U(a, b)ϕin (x)U −1 (a, b) = USϕout (x)S −1 U −1
= USU −1 ϕout (ax + b)US −1 U −1 (2.52)
Mas
ϕin (ax + b) = Sϕout (ax + b)S −1 (2.53)

pelo que obtemos
S = U(a, b)SU −1 (a, b) (2.54)
2.6 Fórmula de redução para campos escalares
Os elementos da matriz S são aquilo que está directamente ligado à experiência. De

facto |Sβα |2 representa a probabilidade de transição entre o estado inicial |α ; ini e o
estado final |β ; outi. Vamos aqui usar todo formalismo anterior para escrever estes
elementos de matriz em termos das chamadas funções de Green para os campos
em interacção. Assim o problema do cálculo dessas probabilidades de transição será
transferido para o cálculo das funções de Green da teoria. Claro que estas não podem
ser calculadas exactamente mas veremos no capı́tulo seguinte como desenvolver uma
teoria da perturbações covariante para o cálculo dessas funções de Green.
Vamos então proceder à dedução da relação entre os elementos da matriz S e
as funções de Green da teoria. Esta técnica chama- se redução LSZ dos nomes de
Lehmann, Symanzik e Zimmermann que a introduziram. Por definição
D E
hp1 · · · ; out|q1 · · · ; ini = p1 , · · · ; out|a†in (q1 )|q2 , · · · ; in (2.55)
Usando
Z
↔
a†in (q1 ) = −i d3 xe−iq1 x ∂ 0 ϕin (x) (2.56)
t
onde o integral é independente do tempo, e portanto pode ser calculado para um

tempo arbitrário t. Se tomarmos t → −∞ e usarmos a condição assimptótica para
campos in, Eq. (2.21), obtemos
Z
−1/2 ↔
hp1 · · · ; out|q1 · · · ; ini = − lim iZ d3 xe−iq1 ·x ∂ 0 hp1 · · · ; out|ϕ(x)|q2 · · · ; ini
t→−∞ t
(2.57)
De igual modo se pode mostrar que
D E
p1 · · · ; out|a†out(q1 )|q2 · · · ; in =
Z
−1/2 ↔
= − lim iZ d3 xe−iq1 ·x ∂ 0 hp1 · · · ; out|ϕ(x)|q2 · · · ; ini (2.58)
t→∞ t
Então usando o resultado

2.6. Fórmula de redução para campos escalares 65
Z Z Z
3
tf ∂
lim − lim d xf (~x, t) = lim dt d3 xf (~x, t)
t→∞ t→−∞ tf →∞,ti →−∞ ti ∂t
Z
= d4 x∂0 f (~x, t) (2.59)
e se subtrairmos a Eq. (2.58) da Eq. (2.57) obtemos
D E
hp1 · · · ; out|q1 · · · ; ini = p1 · · · ; out|a†out (q1 )|q2 · · · ; in
Z h i
−1/2 ↔
+iZ d4 x ∂0 e−iq1 ·x ∂ 0 hp1 · · · ; out|ϕ(x)|q2 · · · ; ini (2.60)
O primeiro termo no segundo membro da Eq. (2.60) corresponde a uma soma de

termos desconexos, em que pelo menos uma das partı́culas não é afectada pela colisão
(será zero se nenhum dos momentos inicial coincidir com os momentos finais). A
sua forma é
D E
p1 · · · ; out|a†out (q1 )|q2 · · · ; in =
n
X
= (2π)3 δ 3 (~px − ~q1 ) hp1 , · · · , pbk , · · · , ; out|q2 , · · · ; ini (2.61)
k=1
onde pbk significa que esse momento foi retirado desse estado. Para o segundo termo
escrevemos
Z h i
↔
d4 x ∂0 e−iqi x ∂ 0 hp1 · · · ; out|ϕ(x)|q2 · · · ; ini
Z h i
= d4 x ∂02 e−iq1 ·x h· · ·i + e−iq1 ·x ∂02 h· · ·i
Z h i
= d4 x (−∆2 + m2 )e−iq1 ·x h· · ·i + e−iq1 ·x ∂02 h· · ·i
Z
= d4 xe−iq1 ·x (⊔
⊓ + m2 ) hp1 · · · ; out|ϕ(x)|q2 · · · ; ini (2.62)
onde se usou (⊔⊓ + m2 )e−iq1 ·x = 0 e fez uma integração por partes (o que para
ser rigorosamente justificado exigiria a substituição de ondas planas por grupos de
ondas).
Portanto depois deste primeiro passo na redução obtemos
hp1 , · · · pn ; out|q1 · · · qℓ ; ini =

n
X
= 2p0k (2π)3 δ 3 (~pk − ~q1 ) hp1 , · · · pbk ; · · · pn ; out|q2 · · · q2 · · · qℓ ; ini
k=1
Z
−1/2
+iZ d4 xe−iq1 x (⊔
⊓ + m2 ) hp1 · · · pn ; out|ϕ(x)|q2 · · · qℓ ; ini (2.63)
Procedemos agora à repetição desde mesmo processo até substituirmos completa-

mente todos os momentos por operadores de campo. Para sermos especı́ficos retire-
mos agora um momento do estado final. A partir de agora não consideramos mais
os termos desconexos pois na prática estamos interessados em situações onde todas
as partı́culas interactuam. Temos então
hp1 · · · pn ; out|ϕ(x1)|q2 · · · qℓ ; ini = hp2 · · · pn ; out|aout (p1 )ϕ(x1 )|q2 · · · qℓ ; ini

Z
↔
= 0lim iZ −1/2 d3 y1 eip1 ·y1 ∂ y10 hp2 · · · pn ; out|ϕ(y1)ϕ(x1 )|q2 · · · qℓ ; ini
y1 →∞
= hp2 · · · pn ; out|ϕ(x1 )ain (p1 )|q2 · · · qℓ ; ini

Z
↔
+ 0lim iZ −1/2 d3 y10 eip1 ·y1 ∂ y10 hp2 · · · pn ; out|ϕ(y1)ϕ(x1 )|q2 · · · qℓ ; ini
y1 →∞
Z
↔
− 0lim iZ −1/2 d3 y10eip1 ·y1 ∂ y10 hp2 · · · pn ; out|ϕ(x1 )ϕ(y1 )|q2 · · · qℓ ; ini
y1 →−∞
= hp2 · · · pn ; out|ϕ(x1 )ain (p1 )|q2 · · · qℓ ; ini

!Z
−1/2 ↔
+iZ lim − 0lim
0
d3 y1 eip1 ·y1 ∂ y10 hp2 · · · pn ; out|T ϕ(y1)ϕ(x1 )|q2 · · · qℓ ; ini
y1 →∞ y1 →−∞
(2.64)
onde se usaram as propriedades do produto ordenado no tempo. Usando agora o

mesmo raciocı́nio que conduziu à Eq. (2.62) obtemos
hp1 · · · pn , ; out|ϕ(x1)|q2 · · · qℓ ; ini = termos desconexos

Z
−1/2
+iZ ⊓y1 + m2 ) hp2 · · · pn ; out|T ϕ(y1)ϕ(x1 )|q2 · · · qℓ ; ini (2.65)
d4 y1 eip1 ·y1 (⊔
Não é muito difı́cil generalizar este método para obter a fórmula final de redução
para campos escalares
hp1 · · · pn ; out|q1 · · · qℓ ; ini = termos desconexos

!n+ℓ Z h P Pℓ i
i i
n
pk ·yk −i q ·x
1 r r
+ √ d4 y1 · · · d4 y1 d4 x1 · · · d4 xℓ e 1
z
2.7. Fórmula de redução para fermiões 67
⊓y1 + m2 ) · · · (⊔
(⊔ ⊓xℓ + m2 ) h0|T ϕ(y1) · · · ϕ(yn )ϕ(x1 ) · · · ϕ(xℓ )|0i (2.66)
Esta equação é a equação fundamental em teoria quântica dos campos. Permite-

nos relacionar as amplitudes de transição com as funções de Green da teoria. A
quantidade
h0|T ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )|0i = G(x1 · · · xn ) (2.67)

é a chamada função de Green completa para r = m + ℓ partı́culas e diagramatica-
mente introduzimos a notação
xn xl
. . ..
G(x1 · · · xn ) = (2.68)
.... xi
x1
Os factores (⊔⊓ + m2 ) na Eq. (2.66) forçam as pernas exteriores a estarem na ca-

mada de massa. De facto, no espaço dos momentos (⊔ ⊓ + m2 ) → (−p2 + m2 ).
Portanto a Eq. (2.66) será nula excepto se os propagadores das pernas exteriores
1
estiverem na camada de massa pois então têm um pólo em p2 −m 2 , obtendo-se então
os resı́duos desses pólos. Assim, para as amplitudes de transição interessam so-

mente as chamadas funções de Green truncadas, isto é, com as pernas exteriores
removidas. No próximo capı́tulo aprenderemos a calcular estas funções em teoria
das perturbações.
2.7 Fórmula de redução para fermiões

2.7.1 Estados in e out
A definição de estados in e out segue exactamente os mesmos passos do que o caso

dos campos escalares, por isso indicamos somente os resultados sem demonstração.
Os campos ψin (x) satisfazem as condições
(i∂/ − m)ψin (x) = 0

[Pµ , ψin (x)] = −i∂µ ψin (x) (2.69)
Os campos ψin (x) produzem somente estados de uma partı́cula e estão relacionados
com os campos ψ(x) por
q Z
Z2 ψin (x) = ψ(x) − d4 ySret(x − y, m)j(y) (2.70)
onde ψ(x) satisfaz a equação de Dirac
(i∂/ − m)ψ(x) = j(x) (2.71)

e Sret é a função de Green retardada
(i∂/x − m)Sret (x − y, m) = δ 4 (x − y)
Sret (x − y) = 0 ; x0 < y 0 (2.72)
Os campos ψin (x), como campos livres, têm a expansão de Fourier

Z Xh i
ψin (x) = f
dp bin (p, s)u(p, s)e−ip·x + d†in (p, s)v(p, s)eip·x (2.73)
s
satisfazendo os operadores bin , din e seus adjuntos exactamente a mesma álgebra que
no caso dos campos livres. A condição assimptótica é agora
q
f f
lim hα| ψ (t) |βi = Z2 hα| ψin |βi (2.74)
t→−∞
f
onde ψ f (t) e ψin têm significados semelhantes à Eq. (2.20).
Para os campos ψout obtemos essencialmente as mesmas expressões, com ψin
substituı́do por ψout . As diferenças são na condição assimptótica
q
f
lim hα| ψ f (t) |βi = Z2 hα| ψout |βi (2.75)
t→∞
e com a relação entre os campos ψout e ψ que é agora

q Z
Z2 ψout = ψ(x) − d4 ySadv (x − y; m)j(y) (2.76)
onde
(i∂/x − m)Sadv (x − y; m) = δ 4 (x − y)
Sadv (x − y; m) = 0 x0 > y 0 (2.77)

2.7.2 Representação espectral para fermiões
Consideremos o valor de expectação no vácuo do anticomutador de dois campos de

Dirac,
′
Sαβ (x, y) ≡ i h0| {ψα (x), ψ β (y)} |0i
X
= i h0| ψα (0) |ni hn| ψ β (0) |0i e−ipn (x−y)
n

+ h0| ψ β (0) |ni hn| ψα (0) |0i eipn ·(x−y)
′
≡ Sαβ (x − y) (2.78)
onde se introduziu um conjunto completo de estados próprios do 4− momento. Tal

como anteriormente introduzimos a amplitude espectral ραβ (q)
X
ραβ (q) ≡ (2π)3 δ 4 (pn − q) h0| ψα (0) |ni hn| ψ β (0) |0i (2.79)
n
Procuramos agora encontrar a forma geral de ραβ (q) usando argumentos de in-
variância. ραβ (q) é uma matriz 4 × 4 e pode portanto ser escrita na forma
µ µν 5
ραβ (q) = ρ(q)δαβ + ρµ (q)γαβ + ρµν (q)σαβ + ρ̃(q)γαβ + ρ̃µ (q)(γ µ γ 5 )αβ (2.80)
Argumentos de invariância restringem a forma dos coeficientes ρ(q), ρµ (q), ρµν (q),
ρ̃(q) e ρ̃µ (q). Para isso usamos as propriedades dos campos para transformações de
Lorentz, isto é
U(a)ψα (0)U −1 (a) = Sαλ

−1
(a)ψ λ (0)
U(a)ψ α (0)U −1 (a) = ψ λ (0)Sλα (a)
S −1 γ µ S = aµ ν γ ν (2.81)
Então podemos mostrar que a matriz ραβ deve obedecer à relação
ρ(q) = S −1 (a)ρ(qa−1 )S(a) (2.82)

onde se usou uma notação matricial. Esta relação dá as propriedades dos diversos
coeficientes em (3.73). Por exemplo
ρµ (a) = aµ ν ρν (qa−1 ) (2.83)

isto é, ρµ transforma-se como um 4−vector.

Usando o facto de que ραβ é função somente de q e anula-se fora do cone de luz
do futuro podemos finalmente escrever
ραβ (q) = ρe1 (q 2 )q/αβ + ρ2 (q 2 )δαβ + ρ̃1 (q 2 )(q/γ 5 )αβ + ρ̃2 (q 2 )γαβ
5
(2.84)
isto é, ραβ (q) está determinado a menos de 4 funções escalares de q 2 . Exigindo
invariância da teoria para a Paridade obtemos em vez da Eq. (2.82)
0
ραβ (~q, q0 ) = γαλ ρλδ (−~q, q 0 )γδβ
0
(2.85)
o que inserido na Eq. (2.84) implica
ρe1 = ρe2 = 0 (2.86)

Portanto para a teoria de Dirac, que conserva Paridade, obtemos finalmente
ραβ (q) = ρ1 (q 2 )q/αβ + ρ2 (q 2 )δαβ (2.87)

Repetindo agora os passos análogos ao caso escalar podemos escrever
Z ∞ n
′
Sαβ (x − y) = dσ 2 ρ1 (σ 2 )Sαβ (x − y; σ)+
0
h i o
+ σρ1 (σ 2 ) − ρ2 (σ 2 ) δαβ ∆(x − y; σ) (2.88)
onde ∆ e Sαβ são as funções definidas para os campos livres. Pode-se mostrar que
i) ρ1 e ρ2 são reais
ii) ρ1 (σ 2 ) ≥ 0
iii) σρ1 (σ 2 ) − ρ2 (σ 2 ) ≥ 0
Usando as relações anteriores podemos extrair a contribuição dos estados de partı́cu-

la para a Eq. (2.88). Obtemos
′
Sαβ (x − y) = Z2 Sαβ (x − y; m)
Z ∞
2
+ dσ ρ1 (σ 2 )Sαβ (x − y; σ)
m21
h i
+ σρ1 (σ 2 ) − ρ2 (σ 2 ) δαβ ∆(x − y; σ) (2.89)
onde m1 é o limiar para a produção de duas ou mais partı́culas. Calculando a

Eq. (2.89) a tempos iguais podemos obter
Z
1 = Z2 + dσ 2 ρ1 (σ 2 ) (2.90)
m21
ou seja
0 ≤ Z2 < 1 (2.91)
2.7.3 A fórmula de redução para fermiões
Para obter a fórmula de redução para fermiões vamos proceder como no caso do
campo escalar. A única dificuldade reside nos ı́ndices spinoriais. Os operadores de
criação e destruição exprimem-se em termos dos campos ψin por
Z
bin (p, s) = d3 xu(p, s)eip·x γ 0 ψin (x)
Z
d†in (p, s) = d3 xv(p, s)e−ip·x γ 0 ψin (x)
Z
b†in (p, s) = d3 xψ in (x)γ 0 e−ip·x u(p, s)
Z
din (p, s) = d3 xψ in (x)γ 0 eip·x v(p, s) (2.92)
sendo os integrais independentes do tempo. De facto para sermos rigorosos devı́amos

substituir as soluções de onda plana por grupos de onda, mas para simplificar não
o fazemos. Para estabelecermos as fórmulas de redução comecemos por reduzir um
electrão do estado inicial,
D E
hβ; out|(ps)α; ini = β; out|b†in (p, s)|α, in
D E
= hβ − (p, s); out|α; ini + β; out|b†in (p, s) − b†out (p, s)|α; in
= termos desconexos
Z D E
+ d3 x β; out|ψin (x) − ψ out (x)|α; in γ 0 e−ip·x u(p, s)
= termos desconexos
Z D E
1
− lim − lim √ d3 x β; out|ψ(x)|α; in γ 0 e−ip·x u(p, s)
t→+∞ t→−∞ Z2
= termos desconexos
Z hD E
−1/2
−Z2 d4 x β; out|∂0 ψ(x)|α; in γ 0 e−ip·x u(p, s)
D E i
+ β; out|ψ(x)|α; in γ 0 ∂0 (e−ip·x u(p, s)) (2.93)
Usando agora
(iγ 0 ∂0 + iγ i ∂i − m)(e−ip·x u(p, s)) = 0 (2.94)

obtemos finalmente, depois de integrar por partes,
D E
β; out|b†in (ρ, s)|α; in = termos desconexos
Z D E
−1/2 ←
−iZ2 d4 x β; out|ψ(x)|α; in (−i∂/x − m)e−ip·x u(p, s) (2.95)
Do mesmo modo a redução duma antipartı́cula no estado inicial dá
D E
β; out|d†in(p, s)|α; in = termos desconexos
Z
−1/2
+iZ2 d4 xe−ip·x v(p, s)(i∂/x − m) hβ; out|ψ(x)|α; ini (2.96)
enquanto que a redução de uma partı́cula ou duma antipartı́cula no estado final dão,
respectivamente,
hβ; out|bout (p, s)|α; ini = termos desconexos

Z
−1/2
−iZ2 d4 xeip·x u(p, s)(i∂/x − m) hβ; out|ψ(x)|α; ini (2.97)
hβ; out|dout(p, s)|α; ini = termos desconexos

Z D E
−1/2 ←
+iZ2 d4 x β; out|ψ(x)|α; in (−i∂/x − m)v(p, s)eip·x (2.98)
Repare-se na relação formal entre um electrão no estado inicial e um positrão no

estado final (e vice versa). Para passar duma à outra situação basta fazer
u(p, s)e−ip·x → −v(p, s)eip·x (2.99)

Os passos seguintes da redução são semelhantes tendo somente atenção aos sinais
por causa dos anticomutadores. Para escrevermos a expressão final denotamos os
momentos do estado hin| por pi e pi respectivamente para partı́culas e antipartı́culas

e os do estado hout| por p′i , p′i . Além disso fazemos a convenção (necessária por causa
dos sinais),
|(p1 , s1 ), · · · , (p1 , s1 ); · · · ; ini = b†in (p1 , s1 ) · · · d†in (p1 , s1 ) · · · |0i (2.100)
hout; (p′1 , s′1 ) · · · , (p′1 , s′1 ) · · ·| = h0| · · · dout (p′1 , s′1 ), · · · bout (p′1 , s′1 ) (2.101)
Então se n(n′ ) for o número total de partı́culas (antipartı́culas) obtemos
hout; (p′1 , s′1 ) · · · , (p′1 , s′1 ) · · · |(p1 , s1 ), · · · (p1 , s1 ), · · · ; ini = termos desconexos
Z
−1/2 −1/2 ′
+(−iZ2 )n (iZ2 )n d4 x1 · · · d4 y1 · · · d4 x′1 · · · d4 y1′ · · ·
P P P P
(p′i ·x′i )+i (p′i ·yi′ )
e−i (pi ·xi )−i (pi ·yi ) +i
e
u(p′1 , s′1 )(i∂/x′1 − m) · · · v(p1 , s1 )(i∂/y1 − m)
h0| T (· · · ψ(y1′ ) · · · ψ(x′1 )ψ(x1 ) · · · ψ(y1 ) · · · |0i

← ←
(−i∂/x1 − m)u(p1 , s1 ) · · · (−i∂/y1′ − m)v(p′1 , s′1 ) (2.102)
A Eq. (2.102) é a equação fundamental que permite relacionar os elementos da

matriz S com as funções de Green de teoria. Os operadores dentro do produto
ordenado no tempo poderão ser reordenados à custa dum possı́vel sinal. O sinal
indicado é para a ordenação descrita. Em termos gráficos a função de Green
h i
′ ′ ′ ′
h0| T ψ(ym ′ ) · · · ψ(y1 )ψ(xℓ′ ) · · · ψ(x1 )ψ(x1 ) · · · ψ(xℓ )ψ(y1 ) · · · ψ(ym ) |0i (2.103)
é descrita pelo diagrama1 da Fig. (2.1).

←
Os operadores (i∂/ − m) e (−i∂/ − m) põem as partı́culas na camada de massa
e removem os propagadores das linhas exteriores (Funções de Green truncadas).
Resta calcular estas funções de Green a partir da teoria, o que faremos no próximo
capı́tulo.
1
Havendo conservação de número leptónico o número de partı́culas menos número de an-
tipartı́culas é conservado, isto é
ℓ − m = ℓ ′ − m′
x’l’ y’1
x’1 y’m’
.. . ...
... ...
x1 ym
xl y1
Figura 2.1:
2.8 Fórmula de redução para fotões
O formalismo LSZ para fotões apresenta algumas dificuldades resultantes das par-
ticularidades do campo electromagnético. Quando se adopta um formalismo (gauge
de radiação) onda as únicas componentes do campo Aµ são as transversais (como
por exemplo no Bjorken e Drell) os problemas aparecem em mostrar a invariância
de Lorentz e de gauge da matriz S. No formalismo da métrica indefinida que nós
adoptámos as dificuldades residem com os estados de métrica negativa, para além
da invariância de gauge.
Nós vamos aqui passar por cima de todos estes pontos delicados e admitir que
podemos definir campos in pela relação
q Z
Z3 Aµin (x) = Aµ (x) − µν
d4 yDret (x − y)jν (y) (2.104)
e igualmente para os campos out
q Z
Z3 Aµout (x) µ
= A (x) − µν
d4 yDadv (x − y)jν (y) (2.105)
onde
⊓Aµin = ⊔
⊔ ⊓Aµout = 0
⊓Aµ = j µ
⊔
µν
⊓Dadv
⊔ ret = δ µν δ µ (x − y) (2.106)
Os campos in e out são campos livres e têm portanto uma decomposição de
Fourier em ondas planas e operadores de criação e destruição da forma
2.8. Fórmula de redução para fotões 75
Z 3 h
X i
Aµin (x) f
dk ain (k, λ)εµ (k, λ)e−ik·x + a†in (k, λ)εµ (k, λ)eik·x (2.107)
λ=0
e portanto
Z
↔
ain (k, λ) = −i d3 xeik·x ∂ 0 εµ (k, λ)Ain
µ (x)
Z
↔
a†in (k, λ) = i d3 xe−ik·x ∂ 0 εµ (k, λ)Ain
µ (x) (2.108)
onde, como habitualmente, ain (k, λ) e a†in (k, λ) são independentes no tempo. Na
expressão Eq. (2.107) aparecem todas as polarizações, mas como os elementos da
matriz S serão entre estados fı́sicos, as polarizações longitudinais e escalar não con-
tribuem.
Neste formalismo aquilo que é complicado discutir é a representação espectral.
Nós não vamos entrar nesses detalhes e dizemos, simplesmente, que se pode mostrar
que 0 ≤ Z3 < 1 e que Z3 é independente de gauge. A fórmula de redução obtém-se
facilmente. Temos
D E
hβ; out|(kλ)α; ini = hβ − (k, λ); out|α; ini + β; out|a†in (k, λ) − a† out(k, λ)|αin
= termos desconexos
Z
↔
+i d3 xe−ik·x ∂ 0 εµ (k, λ) hβ; out|Aµin (x) − Aµout (x)|α; ini
= termos desconexos
Z
−1/2 ↔
−i( lim − lim )Z3 d3 xe−ik·x ∂ 0 hβ; out|Aµ (x)|α; ini εµ (k, λ)
t→+∞ t→−∞
= termos desconexos
Z
−1/2 ↔
−iZ3 d4 xe−ik·x ∂ 0 hβ; out|Aµ(x)|α; ini εµ (k, λ)
= termos desconexos
Z
−1/2
−iZ3 d4 xe−ik·x ⊔
~ x hβ; out|Aµ (x)|α; ini εµ (k, λ)
⊓ (2.109)
A fórmula final para a redução de fotões é então
hk1′ · · · kn′ ; out|k1 · · · kℓ ; ini = termos desconexos

y1 yn
. . ..
.... xl
x1
Figura 2.2:
!n+ℓ Z h P Pℓ i
−i 4 4 4 4 i
n
ki′ ·yi −i ki ·xi
+ √ d y1 · · · d yn d x1 · · · d xℓ e
Z3
′ ′
εµ1 (k1 , λ1 ) · · · εµℓ (kℓ , λℓ )ε∗µ1 (k1′ , λ′1 ) · · · ε∗µn (kn′ , λ′n )
⊓y1 · · · ⊔
⊔ ⊓xℓ h0| T (Aµ′1 (y1 ) · · · Aµ′n (yn )Aµ1 (x1 ) · · · Aµℓ (xℓ ) |0i (2.110)
o que diagramaticamente corresponde à Fig. (2.2).
2.9 Secções eficazes
As fórmulas de redução Eqs.(2.66), (2.102) e (2.110) constituem os resultados fun-

damentais deste capı́tulo. Relacionam as amplitudes de transição com as funções
de Green da teoria. No próximo capı́tulo indicaremos como calcular as funções de
Green pelo único método conhecido, a chamada teoria das perturbações covariante.
Antes de concluirmos este capı́tulo vamos indicar como se relacionam as amplitudes
de transição entre um estado inicial e final
Sf i ≡ hf ; out|i; ini (2.111)

com as quantidades que são medidas experimentalmente, as chamadas secções efi-
cazes da difusão. Então o caminho entre a experiência (secções eficazes) e a teoria
(funções de Green) ficará estabelecido.
Como vimos nas fórmulas de redução há sempre uma contribuição trivial para a
matriz S, que corresponde aos chamados termos desconexos, em que o sistema passa
do estado inicial para o final (que é igual) sem sofrer interacção. A subtracção desta
contribuição trivial leva-nos à introdução da matriz T através da relação
Sf i = 1f i − i(2π)4 δ 4 (Pf − Pi )Tf i (2.112)

2.9. Secções eficazes 77
onde se factorizou explicitamente a função delta de conservação de energia e mo-

mento. Se desprezarmos a contribuição trivial, a probabilidade de transição do
estado inicial para o final será dada por
Wf ←i = |(2π)4 δ 4 (Pf − Pi )Tf i |2 (2.113)

Para prosseguir é preciso encontrar o significado do quadrado de função delta.
Esta aparece porque estamos a usar ondas planas. Para obviar este problema pode-
mos pôr o sistema numa caixa de volume V e considerar que a interacção teve uma
duração 2T . Então
Z Z T
4 4 3
(2π) δ (Pf − Pi ) = lim d x dx0 ei(Pf −Pi )·x (2.114)
V →∞ V −T
T →∞
Mas
Z Z T 2
F ≡ d3 x dx0 ei(Pf −Pi )·x = V δP~f P~j sin |T (Ef − Ei )| (2.115)
V −T |Ef − Ei |
O quadrado desta expressão é agora calculável e dá
4
|F |2 = V 2 δP~f ,P~i sin2 |T (Ef − Ei )| (2.116)
|Ef − Ei |2
Se quisermos a taxa de transição por unidade de tempo e por unidade de volume
dividimos por V 2T . Então
sin2 T (Ef − Ei )
Γf i = lim V δP~f ,P~i 2 |Tf i |2 (2.117)
V →∞ T (Ef − Ei )2
T →∞
Usando agora os resultados
lim V δP~f P~j = (2π)3 δ 3 (P~f − P~i )

V →∞
sin2 T (Ef − Ei )
lim 2 = (2π)δ(Ef − Ei ) (2.118)
T →∞ T (Ef − Ei )2
obtemos a taxa de transição por unidade de volume e por unidade de tempo
Γf i ≡ (2π)4 δ 4 (Pf − Pi )|Tf i |2 (2.119)

Para obter a secção eficaz dividimos esta taxa de transição pelo fluxo e normalizamos
as densidades a uma partı́cula por unidade de volume. Além disso multiplicamos
pelo número de partı́culas no estado final com energias num certo intervalo. Obtemos
n
1 1 Y d 3 pj
dσ = Γf i 0 3
(2.120)
ρ1 ρ2 |~v12 | j=3 2pj (2π)
onde
ρ1 = 2E1 ; ρ2 = 2E2 (2.121)

Uma maneira equivalente de escrever esta equação é
n
Y
1
dσ = (2π)4 δ 4 (Pf − Pi )|Tf i |2 dpj (2.122)
2 2 2 1/2
4 [(pi · p2 ) − m1 m2 ] j=3
o que exibe bem o carácter invariante de Lorentz de cada uma das partes que entram
na secção eficaz. Os factores do fluxo incidente e do espaço da fase são puramente
cinemática. A fı́sica está no elemento da matriz Tf i .
De notar que na nossa convenção, fermiões e bosões têm a mesma normalização,
isto é, os estados de uma partı́cula obedecem a
hp|p′ i = 2p0 (2π)3 δ 3 (~p − p~′ ) (2.123)

diferindo assim da convenção do Bjorken e Drell para o caso dos fermiões.
Problemas 79
2.1 Mostre que a representação espectral para os fermiões ραβ (q) satisfaz
a) ρ(q) = S −1 (a)ρ(qa−1 )S(a)
b) ραβ (~q, q 0 ) = γαλ
0
ρλδ (−~q, q 0 )γδβ
0
2.2 Use os resultados do problema anterior para mostrar que numa teoria que con-
serva a Paridade, como QED,
ραβ (q) = ρ1 (q 2 )q/αβ + ρ2 (q 2 )δαβ (2.124)
2.3 Mostra que as funções ρ1 e ρ2 definidas em 2.2 satisfazem as propriedades

i) ρ1 e ρ2 são reais
ii) ρ1 (σ 2 ) ≥ 0
iii) σρ1 (σ 2 ) − ρ2 (σ 2 ) ≥ 0
2.4 Demonstrar que para o campo de Dirac se tem

Z ∞
1 = Z2 + dσ 2 ρ1 (σ 2 ) (2.125)
m21
2.5 Mostre que
h0| [ϕin (x), ϕout (y)] |0i = i∆(x − y; m) (2.126)

Capı́tulo 3
Teoria das Perturbações

Covariante
3.1 A matriz U
Neste capı́tulo vamos ver como desenvolver um método de cálculo para as funções
de Green da teoria. De tudo o que vimos nos dois últimos capı́tulos ressalta que só
sabemos como calcular para campos livres, como eram por exemplo os campos in
e out. Ora as funções de Green em que estamos interessados são dadas em termos
dos campos fı́sicos com interacções com os quais não sabemos calcular. Vamos aqui
desenvolver o formalismo que permite exprimir os campos fı́sicos em termos dos
campos in por meio duma série perturbativa e assim conseguir calcular as funções
de Green em teoria das perturbações. Para isso começamos por definir a matriz U.
Os campos fı́sicos com interacções ϕ(~x, t) e os seus momentos conjugados π(~x, t)
satisfazem as mesmas relações de comutação a tempos iguais que os campos in,
ϕin (~x, t) e os seus momentos conjugados πin (~x, t). Além disso tanto ϕ como ϕin
formam conjuntos completos de operadores, no sentido de que qualquer estado pode
ser obtido por aplicação de ϕ ou ϕin no vácuo. Isto implica que deve haver uma
transformação unitária U(t) que relacione ϕ com ϕin , ou seja,
ϕ(~x, t) = U −1 (t)ϕin (~x, t)U(t)

π(~x, t) = U −1 (t)πin (~x, t)U(t) (3.1)
A dinâmica de U pode ser encontrada por conhecemos as equações do movimento

para ϕ(x) e ϕin (x). Estas são
∂ϕin
(x) = i[Hin (ϕin , πin ), ϕin ]
∂t
81
82 Capı́tulo 3. Teoria das Perturbações Covariante
∂πin
(x) = i[Hin (ϕin , πin ), πin ] (3.2)
∂t
e
∂ϕ
(x) = i[H(ϕ, π), ϕ]
∂t
∂π
(x) = i[H(ϕ, π), π] (3.3)
∂t
Então das Eqs. (3.2) e (3.1) resulta
∂ h i
ϕ̇in (x) = U(t)ϕ(x)U −1 (t)
∂t
h i
= U̇ (t)U −1 (t), ϕin + i [H(ϕin , πin ), ϕin (x)]
h i
= ϕ̇in (x) + U̇ U −1 + iHI (ϕin , πin ), ϕin (3.4)
onde
HI (ϕin , πin ) = H(ϕin , πin ) − Hin (ϕin , πin ) ≡ HI (t) (3.5)

e de modo semelhante
h i
π̇in (x) = π̇in + U̇ U −1 + iHI (ϕin , πin ), πin (3.6)
Das Eqs. (3.4) e (3.6) resulta que
iU̇ U −1 = HI (t) + E0 (t) (3.7)

onde E0 (t) comuta com ϕin e πin e é portanto um número função do tempo (não é
um operador). Definindo
HI′ (t) = HI (t) + E0 (t) (3.8)

obtemos uma equação diferencial para U(t), que é
∂U(t)
i = HI′ (t)U(t) (3.9)
∂t
A solução desta equação em termos dos campos in é a base da teoria das per-
turbações.
Para integrar a Eq. (3.9) precisamos duma condição inicial. Para isso introduzi-
mos o operador
U(t, t′ ) ≡ U(t)U −1 (t′ ) (3.10)

3.1. A matriz U 83
que obviamente satisfaz
U(t, t) = 1 (3.11)
É fácil de ver que U(t, t′ ) satisfaz a Eq. (3.9) isto é
∂U(t, t′ )
= HI′ (t)U(t, t′ )
i (3.12)
∂t
Para prosseguirmos transformamos a Eq. (3.12) numa equação integral equivalente,
isto é,
Z t
U(t, t′ ) = 1 − i dt1 HI′ (t1 )U(t1 , t′ ) (3.13)
t′
Esta equação pode ser iterada obtendo-se a expansão
Z t Z t Z t1
U(t, t′ ) = 1 − i dt1 HI′ (t1 ) + (−i)2 dt1 HI′ (t1 ) dt2 HI (t2 )
t′ t′ t′
Z t Z t1 Z tn−1
n
+ · · · + (−i) dt1 dt2 · · · dtn HI′ (t1 ) · · · HI′ (tn )
t′ t′ t′
+··· (3.14)
Claro que esta expansão só poderá ser útil de alguma forma se HI tiver um
parâmetro pequeno e se puderem desprezar termos a partir de certa ordem. Voltando
à Eq. (3.14), como t1 ≥ t2 ≥, · · · tn o produto é ordenado no tempo e podemos
escrever
∞
X Z t Z t1 Z tn−1
′ n
U(t, t ) = 1 + (−i) dt1 dt2 · · · dtn T (HI′ (t1 ) · · · HI′ (tn )) (3.15)
n=1 t′ t′ t′
Usando a simetria para t1 , t2 podemos escrever
Z t Z t1 Z t Z t2
dt1 dt2 T (HI′ (t1 )HI′ (t2 )) = dt2 dt1 T (HI′ (t1 )HI′ (t2 ))
t′ t′ t′ t′
Z Z
1 t t
= dt1 dt2 T (HI′ (t1 )H2′ (t2 )) (3.16)
2 t′ t′
1 1
Em geral, para n integrações, em vez de 2
será n!
pelo que obtemos
∞ Z Z
X (−i)n t t
U(t, t′ ) = 1 + dt1 · · · dtn T (HI′ (t1 ) · · · HI′ (tn ))
n=1 n! t′ t′
Z t
≡ T exp[−i dtHI′ (t)]
t′
Z t
= T exp[−i d4 xHI (ϕin )] (3.17)
t′
onde o produto ordenado da exponencial é para ser interpretado através de sua

expansão.
Os operadores U satisfazem a seguinte regra multiplicativa
U(t, t′ ) = U(t, t′′ )U(t′′ , t′ ) (3.18)

o que se pode ver através de definição Eq. (3.10) ou através da expressão explicita
Eq. (3.17). Da Eq. (3.18) resulta ainda
U(t, t′ ) = U −1 (t′ , t) (3.19)
3.2 Expansão perturbativa das funções de Green
Como vimos no capı́tulo anterior, a técnica de redução de LSZ reduz o cálculo dos
elementos da matriz S a um ingrediente básico, as chamadas funções de Green. Estas
são valores de expectação no vácuo de produtos ordenados no tempos de campos de
Heisenberg, ϕ(x):
G(x1 , · · · , xn ) ≡ h0| T ϕ(x1 )ϕ(x2 ) · · · ϕ(xn ) |0i (3.20)

A ideia básica do cálculo das funções de Green consiste em exprimir os campos
ϕ(x) em termos dos campos ϕin (x) usando o operador U. Obtemos
G(x1 , · · · , xn ) = h0| T (U −1 (t1 )ϕin (x1 )U(t1 , t2 )ϕin (x2 )U(t2 , t3 ) · · ·
· · · U(tn−1 , tn )ϕin (xn )U(tn )) |0i

= h0| T (U −1 (t)U(t, t1 )ϕin (x1 )U(t1 , t2 ) · · ·
· · · U(tn−1 , tn )ϕin (xn )U(tn − t)U(−t)) |0i (3.21)
onde t é um tempo que vamos deixar ir para ∞. Quando t → ∞, t é mais tarde do

que todos os ti e −t é anterior a todos os ti . Podemos portanto extrair U −1 (t) e U(−t)
para fora do produto ordenado no tempo. Usando a propriedade multiplicativa do
operador U podemos escrever
Z t
−1
G(x1 , · · · , xn ) = h0| U (t)T ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) exp[−i HI′ (t′ )dt′ ] U(−t) |0i
−t
(3.22)
3.2. Expansão perturbativa das funções de Green 85
onde o produto T é para ser aplicado depois de expandir o exponencial. Se não

fosse pela presença dos operadores U −1 (t) e U(−t) terı́amos conseguido exprimir
a função G(x1 · · · xn ) completamente em termos dos campos in. Vamos mostrar
agora que o vácuo é um estado próprio do operador U(t). Para isso consideremos
um estado arbitrário in |αp; ini que contém uma partı́cula de momento p, sendo
os demais números quânticos representados colectivamente por α. Para simplificar
continuamos a considerar o caso do campo escalar. Escrevemos então
hαp; in|U(−t)|0i = hα; in|ain (p)U(−t)|0i

→ ← 
Z
∂ ∂
= −i d3 xfp∗ (~x, −t′ )  ′ − ′  hα; in| ϕin (~x, −t′ )U(−t) |0i
∂t ∂t
(3.23)
onde fp (~x, t) = e−ip·x . Agora vamos usar a Eq. (3.1) para expressar ϕin (~x, −t) em
termos de ϕ(~x, −t). Obtemos:
hαp; in|U(−t)|0i =
Z D E
↔′
= −i d3 xfp∗ (~x, −t′ )∂ 0 α; in|U(−t′ )ϕ(~x, −t′ )U −1 (−t′ )U(−t)|0
Z h ←
= −i d3 xfp∗ (~x, −t′ ) − ∂ 0′ hα; in| U(−t′ )ϕ(~x, −t′ )U −1 (−t′ )U(−t) |0i
i
+ hα; in| U(−t′ )ϕ̇(~x, −t′ )U −1 (−t′ )U(−t) |0i
Z ′
+i d3 xfp∗ (~x, −t′ ) hα; in| U̇(−t′ )ϕ(~x, −t′ )U −1 (−t′ )U(−t) |0i
Z
+i d3 xfp∗ (~x, −t′ ) hα; in| U(−t′ )ϕ(~x, −t′ )U̇ −1 (−t′ )U(−t) |0i (3.24)
Tomamos agora o limite t = t′ → ∞. Então
√
hαp; in| U(−t) |0i = Z hα; in| U(−t)ain (p) |0i
+ hα; in| U̇ (−t)ϕ(~x, −t) + U(−t)ϕ(~x, −t)U̇ −1 (−t)U(−t) |0i (3.25)
Agora o primeiro termo na Eq. (3.25) é zero pois ain (p) |0i = 0. O segundo também
é zero pois (omitindo o argumento para simplificar)
U̇ϕ + UϕU̇ −1 U = U̇ U −1 ϕin U + ϕin U U̇ −1 U

= U̇ U −1 ϕin U − ϕin U̇ U −1 U
= [U̇U −1 , ϕin ]U = −i[HI , ϕin ]U = 0 (3.26)
onde se usou a Eq. (3.6) e a hipótese de interacções sem derivadas. Concluı́mos

assim que
lim hαp; in|U(−t)|0i = 0 (3.27)

t→∞
para todos os estados in que contenham pelo menos uma partı́cula. Isto quer dizer
que
lim U(−t) |0i = λ− |0i (3.28)

t→∞
De modo semelhante se podia mostrar que
lim U(t) |0i = λ+ |0i (3.29)

t→∞
Voltando agora à expressão para a função de Green, podemos escrever
Z t
G(x1 , · · · xn ) = λ− λ∗+ h0| T ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) exp −i HI′ (t′ )dt′ |0i (3.30)
−t
A dependência no operador U saiu do valor da expectação do vácuo. Para prosseguir

calculemos as constantes λ± ou melhor a combinação λ− λ∗+ que aparece na Eq. (3.30).
Obtemos (no limite t → ∞)
λ− λ∗+ = h0| U(−t) |0i h0| U −1 (t) |0i
= h0| U(−t)U −1 (t) |0i = h0| U(−t, t) |0i

Z t
′
= h0| T exp +i dt HI′ (t′ ) |0i
−t
Z t
= h0| T exp −i dt ′
HI′ (t′ ) |0i−1 (3.31)
−t
Usando este resultado podemos escrever a função de Green Eq. (3.30) na forma
t R
h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) exp[−i −t dt′ HI′ (t′ )]) |0i
G(x1 , · · · , xn ) = Rt (3.32)
h0| T (exp[−i −t dt′ HI′ (t′ )) |0i
quando t → ∞. Antes de escrevermos a expressão final podemos agora calcular o

número E0 (t). De facto fazendo
HI′ = HI + E0 (3.33)
3.3. Teorema de Wick 87
t R
e notando que E0 não é um operador, aparece-nos um factor exp[−i −t dt′ E0 (t′ )]
tanto no numerador como no denominador, cancelando no final. A expressão final
obtém-se da Eq. (3.32) substituindo HI′ por HI . Obtemos portanto
R
t
h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) exp[−i −t dt′ HI (t′ )]) |0i
G(x1 · · · , xn ) = Rt
h0| T (exp[−i −t dt′ HI (t′ )) |0i
P∞ (−i)m R∞
4 4
m=0 m! −∞ d y1 · · · d ym h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xm )HI (y1 ) · · · HI (ym ) |0i
= P∞ (−i)n R +∞ 4 4
n=0 n! −∞ d y1 · · · d yn h0| T (HI (y1 ) · · · HI (yn )) |0i
(3.34)
Esta equação é o resultado fundamental. As funções de Green foram expressas

em termos dos campos in cuja álgebra conhecemos. É portanto possı́vel reduzir a
Eq. (3.34) a números. Nessa redução desempenha um papel fundamental o teorema
de Wick que passamos a expor.
3.3 Teorema de Wick
Para calcularmos as amplitudes que aparecem na Eq. (3.34) temos que mover os
operadores de destruição para a direita até actuarem no vácuo. O resultado final é
o teorema de Wick que tem a seguinte expressão
T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn )) =

= : ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) : +[h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i : ϕin (x3 ) · · · ϕin (xn ) : +perm. ]
= [h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i h0| T (ϕin (x3 )ϕin (x4 )) |0i : ϕin (x5 ) · · · ϕin (xn ) + perm. ]
+···


 h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i · · · h0| T (ϕin (xn−1 )ϕin (xn )) |0i + perm.


 n par
+



 h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 ) |0i · · · h0| T (ϕin (xn−2 )ϕin (xn−1 )) |0i ϕin (xn ) + perm.

n ı́mpar
(3.35)
Demonstração :
A demonstração faz-se por indução. Para n = 1 é certamente verdadeiro (e
trivial). Também é fácil de verificar para n = 2. De facto
T (ϕin (x1 )ϕn (x2 )) =: ϕn (x1 )ϕin (x2 ) : +c-number (3.36)

onde o c − number resulta das comutações que é necessário efectuar para colocar
os operadores de destruição à direita. Para encontrar esta constante não é preciso
fazer de facto as contas mas somente notar que
h0| : · · · : |0i = 0 (3.37)

Então
T (ϕin (x1 )ϕin (x2 ) =: ϕin (x1 )ϕin (x2 ) : + h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i (3.38)
o que está de acordo com a Eq. (3.35).

Prosseguindo com a indução, vamos supor que Eq. (3.35) é válida para algum n.
Temos que mostrar que é também válida no caso n + 1.
Consideremos então T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn + 1)) e supomos que tn+1 é o tempo mais
cedo. Então
T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn+1 )) =
= T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ))ϕin (xn+1 )

= : ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) : ϕin (xn+1 )
X
+ h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i : ϕin (x3 ) · · · ϕin (xn ) : ϕin (xn+1 )
perm
+··· (3.39)
Para escrever a Eq. (3.39) na forma Eq. (3.35) é necessário encontrar a regra
para introduzir ϕin (xn + 1) no interior do produto normal. Para isso notemos que
se
(+) (−)
ϕin (x) = ϕin (x) + ϕin (x) (3.40)
(+) (−)
onde ϕin (x) contém o operador de destruição e ϕin (x) o operador de criação pode-
mos escrever
XY (−) Y (+)
: ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) := ϕin (xi ) ϕin (xj ) (3.41)
A,B i∈A j∈B
onde a soma é sobre todos os conjuntos A, B que constituem partições dos n ı́ndices.
Então
: ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) : ϕin (xn+1 ) =

XY (−) Y (+) (+) (−)

= ϕin (xi ) ϕin (xj )[ϕin (xn+1 ) + ϕin (xn+1 )]
A,B i∈A j∈B
XY (−) Y (+)
= ϕin (xi ) ϕin (xj )ϕ+
in (xn+1 )
A,B iǫA j∈B
XY (−) (−) Y (+)
+ ϕin (xi )ϕin (xn+1 ) ϕin (xj )
A,B i∈A j∈B
XY (−) X Y (+) (+) (−)
+ ϕin (xi ) ϕin (xj ) h0| ϕin (xk )ϕin (xn+1 ) |0i (3.42)
A,B i∈A k∈B j∈Bj6=k
Agora podemos escrever
(+) (−)
h0| ϕin (xk )ϕin (xn+1 ) |0i = h0| ϕin (xk )ϕin (xn+1 ) |0i
= h0| T (ϕin (xk )ϕin (xn+1 ) |0i (3.43)
onde se usou o facto de tn+1 ser o tempo mais cedo. Podemos portanto escrever a
Eq. (3.42) na forma
: ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn ) : ϕin (xn+1 ) =: ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn+1 ) :
X
+ : ϕin (x1 ) · · · ϕin (xk−1 )ϕin (xk+1 ) · · · ϕin (xn ) : h0| T (ϕin (xk )ϕin (xn+1 ) |0i
k
(3.44)
Com este resultado a Eq. (3.39) toma a forma geral da Eq. (3.35) para n + 1
provando portanto o teorema. É conveniente tentar fazer o caso n = 4 para se ver
a mecânica do teorema a trabalhar. A importância do teorema de Wick resulta dos
seguintes corolários.
Corolário 1 : Se n é ı́mpar h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn )) |0i = 0 o que obviamente
é consequência das Eqs. (3.35) e (3.37) e de
h0| ϕin (x) |0i = 0 (3.45)
Corolário 2: Se n é par
h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn )) |0i =

X
= δp h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i · · · h0| T (ϕin (xn−1 )ϕin (xn )) |0i (3.46)
perm
onde δp é o sinal de permutação que é necessário introduzir para o caso de fermiões.

Este resultado que é o mais importante na prática resulta também das Eqs. (3.35),
(3.37) e (3.45).
Portanto os valores de expectação no vácuo do produto ordenado no tempo de n
operadores que aparecem na fórmula geral Eq. (3.34) são obtidos considerando todos
os valores de expectação dos campos tomados dois a dois (contracções) de todas as
formas possı́veis. Ora essas contracções não são mais do que os propagadores de
Feynman dos campos livres. Por exemplo
h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 )) |0i
= h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )) |0i h0| T (ϕin (x3 )ϕin (x4 ) |0i
+ h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x3 )) |0i h0| T (ϕin (x2 )ϕin (x4 )) |0i
+ h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x4 )) |0i h0| T (ϕin (x2 )ϕin (x3 )) |0i
= ∆F (x1 − x2 )∆F (x3 − x4 ) + ∆F (x1 − x3 )∆F (x2 − x4 )

+∆F (x1 − x4 )∆F (x2 − x3 ) (3.47)
onde
Z
d4 k i
∆F (x − y) = 4 2 2
e−ik(x−y) (3.48)
(2π) k − m + iǫ
é o propagador de Feynman da teoria livre para o caso de campos escalares.
É conveniente usar uma representação gráfica para estes propagadores. Temos,
no espaço das configurações,
Z
d4 k i
y x ∆F (x − y) = e−ik·(x−y) (3.49)
(2π) k − m2 + iǫ
4 2
Z
d4 p i(p / + m)
y x SF (x − y)αβ = αβe−ip·(x−y) (3.50)
β p α (2π)4 p2 − m2 + iǫ
k Z
d4 k −ig µν −ik·(x−y)
x y DFµν (x − y) = e (3.51)
µ ν (2π)4 k 2 + iǫ
respectivamente para campos escalares, spinoriais e para o fotão (na gauge de Feyn-
man).
Como o Hamiltoniano de interacção está ordenado normalmente não haverá con-
tracções entre os campos que aparecem em HI , mas somente com os outros campos
x3 x4 x3 x4
y1 y2 y1 y2
x1 x2 x1 x3 x4 x2
x3
y2
y1 y2
y1
x1 x2
x1 x2
Figura 3.1:
fora de HI . Assim as contracções ficam ligadas aos pontos correspondendo a HI que

são chamados vértices. Para ilustrar este ponto consideremos a teoria λϕ4 onde
1
λ : ϕ4in (x) :
HI (x) = (3.52)
4!
2
Então uma contribuição de ordem λ para G(x1 , x2 , x3 , x4 ) vem do termo
λ2
h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 ) : ϕ4in (y1 ) :: ϕ4in (y2 ) : |0i (3.53)
(4!)2
e conduz a diagramas como os representados na Fig. (3.1). Nestes diagramas a

interacção é representada por quatro linhas saindo dum ponto (y1 ou y2 ). Essas
linhas são contracções dum campo aparecendo em HI com outro campo que pode
ser pertenvente a outro HI ou um dos outros campos em G(x1 · · · x4 ). Para encontrar
as regras de Feynman temos agora somente um problema de cálculo combinatório.
Não as vamos apresentar aqui pois elas são mais simples no espaço dos momentos,
o que veremos a seguir.
Nas figuras anteriores os diagramas a), b) e d) são ditos conexos e o diagrama c)
é desconexo. Um diagrama diz-se desconexo quando há uma sub-parte do diagrama
que não está ligada de modo nenhum a uma linha externa. Vamos ver já de seguida
que estes não contribuem para as funções de Green. O diagrama d) é conexo mas
diz-se redutı́vel porque pode ser obtido através do produto de funções de Green mais
simples. Como veremos no seguimento só os diagramas irredutı́veis são importantes.
y3 y4 y3 y4
y5
y1 y2
y1 y2 y1 y2
a) b) c)
Figura 3.2:
3.4 Amplitudes Vácuo - Vácuo
Vimos na secção anterior exemplos do numerador da Eq. (3.34). Vamos aqui olhar
para o denominador, as chamadas amplitudes vácuo - vácuo sem linhas externas.
Continuando a usar como exemplo a teoria λϕ4 alguns dos diagramas contribuindo
para essas amplitudes são as indicadas na Fig. (3.2). Os diagramas associados com
o numerador da Eq. (3.34) podem ser separados unicamente numa parte conexa
e noutra desconexa. Para todos os diagramas que têm como parte conexa uma
contribuição que é de ordem s na interacção HI o numerador de G(x1 · · · xn ) toma
a forma
∞ Z
X (−i)p
d4 y1 · · · d4 yp h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn )HI (y1 ) · · · HI (ys )) |0ic
p=0 p!
p!
× h0| T (HI (ys+1) · · · HI (yp )) |0i (3.54)
s!(p − s)!
onde o ı́ndice c indica que só as partes conexas são incluı́das. O factor combinatório
 
p p!
  = (3.55)
s s!(p − s)!
é o número de maneiras de extrair s termos HI dum conjunto de p. Então escrevemos

a Eq. (3.54) na forma
Z
(−i)s
d4 y1 · · · d4 ys h0| T (ϕin (x1 ) · · · ϕin (xn )HI (y1 ) · · · H(ys )) |0ic
s!
∞
X (−i)r Z 4
× d z1 · · · d4 zr h0| T (HI (z1 ) · · · HI (zr )) |0i (3.56)
r=0 r!
3.5. Regras de Feynman para λϕ4 93
Esta equação tem a forma dum diagrama conexo de ordem s vezes uma série
infinita de amplitudes vácuo-vácuo, que cancela exactamente o denominador. Isto
é verdade para qualquer ordem pelo que podemos escrever
P P P
i Gi (x1 · · · xn ) ( i Gci (x1 , · · · xn ))( k Dk )
G(x1 , · · · xn ) = P = P
k Dk k Dk
X
= Gci (x1 · · · yn ) (3.57)
i
onde Gci são os diagramas conexas e Dk os disconexos. Este resultado quer dizer em
termos simples que podemos esquecer completamente todos os diagramas desconexas
e considerar apenas os diagramas conexas no cálculo das funções de Green. Esta é
simplesmente a soma de todos os diagramas de Feynman conexos. Assim a estrutura
da Eq. (3.34) simplifica-se enormemente.
3.5 Regras de Feynman para λϕ4
Para vermos como as regras de Feynman aparecem vamos considerar o caso do

campo escalar real com uma auto interacção de forma
λ
: ϕ4in := −LI
HI = (3.58)
4!
Para sermos precisos vamos considerar duas partı́culas no estado inicial e duas
no estado final. Então o elemento de matriz S é
Sf i = hp′1 p′2 ; out|p1 p2 ; ini

Z
4 ′ ′
= (i) d4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 e−ip1 ·x1 −ip2 ·x2 +ipix3 +ip2 ·x4
⊓x1 + m2 ) · · · (⊔
(⊔ ⊓x4 + m2 ) h0| T (ϕ(x1 )ϕ(x2 )ϕ(x3 )ϕ(x4 )) |0i (3.59)
Para a função de Green usamos as fórmulas das Eqs. (3.34) e (3.57) e escrevemos
∞ Z
X (−iλ)p
G(x1 , x2 , x3 , x4 ) = d4 z1 · · · d4 zp
0 p!
ϕ4in (z1 ) ϕ4 (zp )
h0| T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 ) : : · · · : in :) |0i (3.60)
4! 4!
Como o caso p = 0 é trivial (não há interacção) começamos pelo caso p = 1
x3 x4
x1 x2
Figura 3.3:
p=1
Então a função de Green é
Z !
ϕ4 (z)
G(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−iλ) d z h0| T ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 ) : in
4
: |0i
4!
Z
4!
= (−iλ) d4 z∆F (x1 − z)∆F (x2 − z)∆F (x3 − z)∆F (x4 − z)
4!
(3.61)
a que corresponde no espaço das configurações o diagrama representado na Fig. (3.3).

Para prosseguir introduzimos a transformada de Fourier dos propagadores, por ex-
emplo
Z
d4 q1 +iq1 ·(x1 −z)
∆(x1 − z) = e ∆F (q1 ) (3.62)
(2π)4
onde
i
∆F (q1 ) = (3.63)
q12 − m2
Então
Z
G(x1 , · · · x4 ) = (−iλ) d4 zd4 q1 · · · d4 q4 e−iq1 ·x1 −iq2 x2 −iq3 x3 −iq4 x4 +i(q1 +q2 +q3 +q4 )·z
∆F (q1 )∆F (q2 )∆F (q3 )∆F (q4 )

Z
= (−iλ) d4 q1 · · · d4 q4 e+iq1 ·x1 +iq2 ·x2 +iq3 ·x3+iq4 ·x4
(2π)4 δ 4 (q1 + q2 + q3 + q4 )∆F (q1 )∆F (q2 )∆F (q3 )∆F (q4 )
p’1 p’2
-i λ
p1 p2
Figura 3.4:
(3.64)
Portanto se introduzirmos o elemento reduzido da matriz T definido pela relação
Sf i = δf i − i(2π)4 δ(Pf − Pi ) Tf i (3.65)

obtemos
−iTf i = (−iλ) (3.66)

Para este amplitude desenhamos o diagrama de Feynman da Fig. (3.4) e associamos
ao vértice o número (−iλ).
p=2
Consideremos agora um caso mais complicado, o cálculo de G(x1 · · · x4 ) em segunda

ordem no parâmetro. Depois deste caso estaremos em posição de formular as regras
de Feynman no espaço dos momentos com toda a generalidade. Da Eq. (3.60) resulta
em segunda ordem em λ:
G(x1 , · · · x4 ) =
Z !
(−iλ)2 ϕ4 (z1 ) ϕ4in (z2 )
= d z1 d z2 h0| T ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 ) : in
4 4
:: : |0ic
2! 4! 4!
Z
(−iλ)2 4×3 4×3
= d4 z1 d4 z2 × ×2
2! 4! 4!

∆F (x1 − z1 )∆F (x2 − z1 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − z2 )∆F (z2 − x3 )∆F (z2 − x4 )
+∆F (x1 − z1 )∆F (x2 − z2 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − x3 )∆F (z2 − x4 )

+ ∆F (x1 − z2 )∆F (x2 − z1 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − x4 )∆F (z1 − x3 )
Z
(−iλ)2
= d4 z1 d4 z2
 2!

x3 x4 x3 x4 x3 x4

1
__ z1 z2 1 z
__ z2 1 z
__ z2
1 1
2 2 2
x1 x2 x1 x2 x1 x2


+ (z1 ↔ z2 ) (3.67)

Vamos agora passar para o espaço dos momentos. Comecemos pelo diagrama a)
G(a) (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
Z
(−iλ)2 1
= d4 z1 d4 z2 ∆F (x1 − z1 )∆F (x2 − z1 )∆F (z1 − z2 )∆F (z1 − z2 )
2! 2
∆F (z2 − x3 )∆F (z2 − x4 )
Z
(−iλ)2 1 d4 q1 d4 q2 d4 q3 d4 q4 d4 q5 d4 q6
= d4 z1 d4 z2
2! 2 (2π)4 (2π)4 (2π)4 (2π)4 (2π)4 (2π)4
ei[(q1 ·x1 +q2 ·x2 −q3 ·x3 −q4 ·x4 )+z1 ·(q5 −q1 −q2 +q6 )+z2 ·(q3 +q4 −q5 −q6 )]
∆F (q1 )∆F (q2 )∆F (q3 )∆F (q4 )∆F (q5 )∆F (q6 )
Z
(−iλ)2 1 d4 q1 d4 q5 4
= (2π)4 · · · δ (q1 + q2 − q3 − q4 ) ei[q1 ·x1 +q2 ·x2 −q2 ·x3−q4 ·x4 ]
2! 2 (2π)4 (2π)4
∆F (q1 )∆F (q2 )∆F (q3 )∆F (q4 )∆F (q5 )∆F (q1 + q2 − q5 ) (3.68)
Agora introduzimos esta relação na fórmula de redução. Obtemos
Z
(a) ′ ′
Sf i = (i)4 d4 x1 · d4 x4 e−i[p1·x1 +p2 ·x2 −p1 ·x3 −p2 ·x4 ]
⊓x1 + m2 ) · · · (⊔
(⊔ ⊓x4 + m2 )G(a) (x1 , · · · , x4 ) (3.69)
A única dependência de G(a) em xi (i = 1, · · · 4) é na exponencial, pelo que
⊓xi + m2 ) → (−qi2 + m2 )
(⊔ (3.70)
e portanto usando
(−qi2 + m2 )∆F (qi ) = −i (3.71)

obtemos
Z Z
(a) (−iλ)2 1 4 4 d4 q1 d4 q5
Sf i = d x1 · · · d x4 · · · (2π)4 δ 4 (q1 + q2 − q3 − q4 )
2! 2 (2π)4 (2π)4
′ ′
e−i[x1 ·(p1 −q1 )+x2 ·(p2 −q2 )−x3 ·(p1 −q3 )−x4 ·(p2 −q4 )] ∆F (q5 )∆F (q1 + q2 − q5 )
Z
(−iλ)2 1 d4 q1 d4 q5
= · · · (2π)4 δ 4 (q1 + q2 − q3 − q4 )(2π)4 δ 4 (p1 − q1 )
2! 2 (2π)4 (2π)4
(2π)4 δ 4 (p2 − q2 )(2π)4 δ 4 (p′1 − q3 )(2π)4 δ 4 (p′2 − q4 )∆F (q5 )∆F (q1 + q2 − q5 )
Z
(−iλ)2 1 d4 q5
= (2π)4 δ 4 (p1 + p2 − p′1 − p′2 )∆F (q5 )∆F (p1 + p2 − q5 ) (3.72)
2! 2 (2π)4
Esta expressão pode ser escrita na forma:
(a) 4 4 (−iλ) 2
1 Z d4 q
Sf i = (2π) δ (p1 + p2 − p′1 − p′2 ) ∆F (q)∆F (p1 + p2 − q) (3.73)
2! 2 (2π)4
Se designarmos por a′ ) o diagrama a) com z1 ↔ z2 e refizermos o cálculo anterior

obtemos exactamente o mesmo resultado da Eq. (3.73). Portanto
Z
(a+a′ ) 1 d4 q
Sf i = (2π)4 δ 4 (p1 + p2 − p′1 − p′2 )(−iλ)2 ∆F (q)∆F (p1 + p2 − q) (3.74)
2 (2π)4
ou ainda, em termos da matriz Tf i

p’1 p’2
1
__ q q-p1-p2
2
p1 p2
Figura 3.5:
Z
(a+a′ ) 21 d4 q
−iTf i = (−iλ) ∆F (q)∆F (p1 + p2 − q) (3.75)
2 (2π)4
Para este resultado desenhamos o diagrama de Feynman da Fig. (3.5), que tem a
mesma topologia de a) e a′ ) mas agora no espaço dos momentos. Assim vemos
que para calcular a matriz −iT , associamos a cada vértice o factor (−iλ), a cada
R d4 q
linha interna o propagador ∆F e por cada loop o integral (2π) 4 . Além disso há
conservação de 4- momento em cada vértice. Finalmente há ainda um factor de

simetria (ver à frente) de 12 para este diagrama.
Se repetirmos os cálculos para os diagramas b) + b′ ) e c) + c′ ) é fácil de ver que
obtemos
Z
(b+b′ ) 21 d4 q
−iTf i = (−iλ) ∆F (q)∆F (q − p1 + p′1 ) (3.76)
2 (2π)4
e
(c+c′ ) 1 Z d4 q
−iTf i = (−iλ)2 4
∆F (q)∆F (q − p1 + p′2 ) (3.77)
2 (2π)
a que correspondem os diagramas da Fig. (3.6).
Depois deste exercı́cio estamos em condições de enunciar com toda a generalidade
as regras de Feynman para a teoria λϕ4 para o cálculo dos elementos de matriz −iT ,
isto é, depois de factorizar o (2π)4 δ 4 (· · ·). Estas são (para um processo com n pernas
exteriores):
1. Desenhar todos os diagramas topológicamente distintos com n pernas exteri-

ores.
2. Por cada vértice multiplicar por (−iλ)
3. A cada linha interior associar um propagador ∆F (q)

3.6. Regras de Feynman para QED 99
p’1 p’2
p’1 p’2
q-p1-p’1
1 1 q-p1-p’2
__ __
2 2
q q
p1 p2 p1 p2
Figura 3.6:
R
d q 4
4. Por cada loop incluir o integral (2π)4 . O sentido deste momento é irrelevante
nesta teoria mas tem que haver conservação de 4 - momento em cada vértice.
5. Multiplicar pelo factor de simetria do diagrama. Este é definido por
Maneiras distintas de ligar os vértices às pernas exteriores

S= (3.78)
Permutações em cada vértice × Permutações de vértices iguais
6. Some as contribuições de todos os diagramas topológicamente distintos. O

resultado é o elemento da matriz −iT que entra na fórmula para a secção
eficaz de difusão.
3.6 Regras de Feynman para QED
Passemos agora ao caso de QED. Também é uma teoria sem derivadas na interacção
que é portanto
LI = −HI = −eQψ in γ µ ψin Ain

µ (3.79)
As escrevermos a Eq. (3.79) mudámos a nossa convenção anterior e passámos a
chamar e ao módulo de carga do electrão. O sinal está em Q que para o electrão é
−1. A vantagem da Eq. (3.79) é que permite uma generalização fácil para o caso
dos quarks onde Q deixará de ser inteiro. Para QED, isto é com electrões, podemos
portanto escrever
LQED
I = eψ in γ µ ψin Ain
µ (3.80)
Devido à conservação de carga eléctrica, as funções de Green que vamos ter de

calcular têm um número igual de campos ψ e ψ. Em geral serão
G(x1 · · · xn xn+1 · · · x2n ; y1 · · · yp ) =
= h0| T (ψ(x1 ) · · · ψ(xn )ψ(xn+1 ) · · · ψ(x2n )Aµ1 (y1 ) · · · Aµp (yp )) |0i (3.81)
onde omitiremos os ı́ndices spinoriais nos campos fermiónicos. Esta expressão está
escrita em termos dos campos fı́sicos. Seguindo um processo idêntico ao do caso dos
campos escalares podemos derivar uma fórmula para G em termos dos campos in.
Será
R
µ d4 zLI (z)]
h0| T ψin (x1 ) · · · ψ in (x2n )Aµin1 (y1 ) · · · Ainp (yp ) e[i |0i
G(x1 · · · x2n ; y1 · · · yp ) = R
h0| T exp[i d4 zLI (z)] |0i
R
µ d4 tLI (z)]
= h0| T ψin (x1 ) · · · ψ in (x2n )Aµin1 (y1 ) · · · Ainp (yp ) e[i |0ic
(3.82)
onde os campos em LI estão ordenados normalmente e h0| · · · |0ic significa que apenas
consideramos os diagramas conexos.
Para chegarmos às regras de Feynman vamos considerar alguns processos simples.
3.6.1 Efeito de Compton
Este processo diz respeito à reação
e− + γ → e− + γ (3.83)
para o qual escolhemos a cinemática da Fig. (3.7). O elemento da matriz S a
calcular, é portanto
Sf i = h(p′ , s′ ), k ′ ; out|(p, s), k; ini (3.84)

Usando (3.93) e (3.100) podemos escrever:
Sf i =
Z Z
′ ′ ′ ′ ′
= d4 xd4 x′ d4 yd4 y ′e−i[p·x+k·y−p ·x −k y ] εµ (k)ε∗µ (k ′ )
→ ←
u(p′ , s′ )α′ (i∂ x′ −m)α′ β ′ ⊔ ~ y′ h0| T (ψβ ′ (x′ )ψ β (x)Aµ (y)Aµ′ (y ′) |0i (−i∂ x −m)βα uα (p, s)
~ y⊔
⊓ ⊓
γ γ
k k’
p p’
e- e-
Figura 3.7:
(3.85)
Temos portanto que calcular a função de Green
G(x′ , x, y, y ′) ≡ h0| T (ψβ ′ (x′ )ψ β (x)Aµ (y)Aµ′ (y ′)) |0i (3.86)

Se usarmos agora a Eq. (3.82) e o facto de que a interacção tem um número
ı́mpar de campos, vemos que a contribuição mais baixa é quadrática na interacção
(pelo teorema de Wick o valor de expectação no vácuo do produto ordenado no
tempo dum número ı́mpar de campos é nulo). Temos portanto
G(x, x′ , y, y ′) =
Z
(ie)2 in
= d4 z1 d4 z2 h0| T (ψβin′ (x′ )ψ β (x)Ain in ′
µ (y)Aµ′ (y )
2!
in
: ψ in (z1 )γ σ ψin (z1 )Ain ρ in in
σ (z1 ) :: ψ (z2 )γ ψ (z2 )Aρ (z2 ) : |0i
Z
(ie)2 σ in
= (γ )γδ (γ ρ )γ ′ δ′ d4 z1 d4 z2 h0| T (ψβin′ (x′ )ψ β (x)Ain in ′
µ (y)Aµ′ (y )
2!
in in
: ψ γ (z1 )ψδin (z1 )Ain in in
σ (z1 ) :: ψ γ ′ (z2 )ψδ′ (z2 )Aρ (z2 )) |0i (3.87)
Usemos agora o teorema de Wick para escrever h0| T (· · ·) |0i em termos dos propa-
gadores. Obtemos
in in in
h0| T (ψβin′ (x′ )ψ β (x)Ain in ′ in in in in
µ (y)Aµ (y ) : ψ γ (z1 )ψδ (z1 )Aσ (z1 ) :: ψ γ ′ (z2 )ψδ′ (z2 )Aρ (z2 )) : |0i
in in
= h0| T ψβin′ (x′ )ψ γ (z1 ) |0i h0| T ψδin′ (z2 )ψ β (x) |0i h0| T ψδin (z1 )ψ γ ′ (z2 ) |0i
h0| T (Ain in in ′ in
µ (y)Aσ (z1 )) |0i h0| T Aµ′ (y )Aρ (z2 ) |0i
y y’ y y’
x z2 z1 x’ x z2 z1 x’
a) b)
y y’ y y’
x z1 z2 x’ x z1 z2 x’
c) d)
Figura 3.8:
in in
+ h0| T ψβin′ (x′ )ψ γ (z1 ) |0i h0| T ψδin′ (z2 )ψ β (x) |0i h0| T ψδin (z1 )ψ γ ′ (z2 )|0
h0| T Ain in in ′ in
µ (y)Aρ (z2 ) |0i h0| T Aµ′ (y )Aσ (z1 ) |0i
in in in
+ h0| T ψβin′ (x′ )ψ γ ′ (z2 ) |0i h0| T ψδin (z1 )ψ β (x) |0i h0| T ψδin′ (z2 )ψ γ (z1 ) |0i
µ (y)Aσ (z1 ) |0i h0| T Aµ′ (y )Aρ (z2 ) |0i
in in in
+ h0| T ψβin′ (x′ )ψ γ ′ (z2 ) |0i h0| T ψδin (z1 )ψ β (x) |0i h0| T ψδin′ (z2 )ψ γ (z1 ) |0i
µ (y)Aρ (z2 ) |0i h0| T Aµ′ (y )Aσ (z1 ) |0i
= SF β ′ γ (x′ − z1 )SF δ′ β (z2 − x)SF δγ ′ (z1 − z2 )DF µσ (y − z1 )DF µ′ ρ (y ′ − z2 )
+SF β ′ γ (x′ − z1 )SF δ′ β (z2 − x)SF δγ ′ (z1 − z2 )DF µρ (y − z2 )DF µ′ σ (y ′ − z1 )
+SF β ′ γ ′ (x′ − z2 )SF δβ (z1 − x)SF δ′ γ (z2 − z1 )DF µσ (y − z1 )DF µ′ ρ (y ′ − z2 )
+SF β ′ γ ′ (x′ − z2 )SF δβ (z1 − x)SF δ′ γ (z2 − z1 )DF µρ (y − z2 )DF µσ (y ′ − z1 ) (3.88)
Para se compreender melhor a Eq. (3.88) é conveniente desenhar os diagramas

correspondentes (no espaço das configurações). É o que fazemos na Fig. (3.8) Daı́ é
claro que b) ≡ c) e a) ≡ d) pois z1 e z2 são nomes irrelevantes. Daqui resulta um
factor de 2 que vai cancelar com o 2!1 na Eq. (3.87). (De facto este resultado é geral,
para n vértices tenho n! que cancela com o n!1 do desenvolvimento da exponencial).
Tenho portanto só dois diagramas distintos que vou considerar que são c) e d).
Então (já incluindo o factor de 2) temos
Z
(2) ′ ′ 2 σ ρ
G (x, x , y, y ) = (ie) (γ )γδ (γ )γ ′ δ′ d4 z1 d4 z2 SF β ′ γ ′ (x′ − z2 )SF δβ (z1 − x)
SF δ′ γ (z2 − z1 )DF µσ (y − z1 )DF µ′ ρ (y ′ − z2 ) (3.89)
Para prosseguir, podı́amos tal como no caso de λϕ4 , passar para as transformadas
de Fourier dos propagadores. Contudo é mais fácil desembaraçar-mo-nos primeiro
das pernas exteriores usando os resultados
(i∂/x − m)αλ SF λβ (x − y) = iδαβ δ 4 (x − y)

←
SF αλ (x − y)(−i∂/y − m)λβ = iδαβ δ 4 (x − y) (3.90)
⊓x DF µν (x − y) = igµν δ 4 (x − y)
⊔ (3.91)
Obtemos assim
Z
(c) 2 ′ ′ ′ ′ ′
Sf i = (ie) d4 xd4 x′ d4 yd4 y ′e−i(p·x+k·y−p ·x −k ·y ) εµ (k)gµσ ε∗µ (k ′ )gµ′ ρ
(γ σ )γδ (γ ρ )γ ′ δ′ u(p′ , s′ )α′ δα′ γ ′ uα (p, s) δδα

Z
d4 z1 d4 z2 δ 4 (x′ − z2 )δ 4 (x − z1 )δ 4 (y − z1 )δ 4 (y ′ − z2 ) SF δ′ γ (z2 − z1 )
Z
′ ′ ′
= (ie)2 d4 z1 d4 z2 e−i(p·z1 +k·z1−p ·z2 −k ·z2 ) εµ (k)ε∗µ (k ′ )
u(p′ , s′ )α′ (γµ′ )α′ δ′ SF δ′ γ (z2 − z1 )(γµ )γα uα (p, s) (3.92)
Finalmente usamos
Z
d4 q i(q/ + m) −iq·(z2 −z1 )
SF (z2 − z1 ) = e
(2π)4 q 2 − m2 + iǫ
Z
d4 q
≡ SF (q)e−iq·(z2 −z1 ) (3.93)
(2π)4
para obter
Z
(c) d4 q 4 4 −iz1 ·(p+k−q)+iz2 ·(p′ +k′ −q)
Sf i = d z1 d z2 e
(2π)4
′
εµ (k)εµ ∗ (k ′ )u(p′ , s′ )(ieγµ′ )SF (q)(ieγµ′ )u(p, s)
= (2π)4 δ (4) (p + k − p′ − k)·

′
εµ (k)εµ ∗ (k ′ )u(p′ , s′ )(ieγµ′ ′ )SF (p + k)(ieγµ )u(p, s) (3.94)
µ µ’
k k’
p p+k p’
Figura 3.9:
µ µ’
k k’
p p-k’ p’
Figura 3.10:
Portanto o elemento da matriz T é
(c) ′
−iTf i = εµ (k)εµ ∗ (k ′ )u(p′ , s′)(ieγµ′ )SF (p + k)(ieγµ )u(p, s) (3.95)
correspondente ao diagrama da Fig. (3.9) Na Eq. (3.95) agrupámos (ieγµ ) porque

vai ser claro que é a regra de Feynman para o vértice. As setas nestes diagramas
correspondem ao fluir da carga (do electrão). Repare-se que a um electrão no estado
inicial associamos o spinor u(p, s) e a um electrão no estado final o spinor u(p′ , s′).
Como o resultado da linha do electrão tem que dar um número começamos a escrever
do final da linha no sentido contrário às setas.
De modo semelhante, para o diagrama d) obterı́amos o diagrama representado
na Fig. (3.10), a que corresponde a seguinte expressão para a amplitude,
(d) ′
−iTf i = εµ (k)ε∗µ (k)u(p′ , s′ )(ieγµ )SF (p − k ′ )(ieγµ′ )u(p, s) (3.96)
Olhando para as Eqs. (3.95) e (3.96) estamos quase em posição de enunciar as regras
de Feynman para QED. Vamos só antes disso, analisar outro caso em que entrem
positrões.
p p’
q q’
Figura 3.11:
3.6.2 Difusão elástica electrão - positrão (Bhabha Scatter-

ing)
Este exemplo vai-nos ensinar duas coisas. Primeiro como é que os positrões entram
nas amplitudes e segundo, que em alguns casos devido à anticomutatividade dos
fermiões há sinais menos relativos entre os diagramas. Temos
D E
Sf i = (p′ , s′ ), (q ′ , s′); out|(p, s), (q, s); in (3.97)
correspondendo à cinemática da Fig. (3.11). Notar que as setas são no sentido da

carga do electrão, mas os momentos correspondem aos momentos das partı́culas:
p a entrar e p′ a sair para o electrão e q e entrar e q ′ a sair para o positrão. No
seguimento não vamos indicar a dependência no spin para simplificar as fórmulas.
Então, usando (3.93) escrevemos:
Z
′ ′ ′ ′
Sf i = d4 xd4 yd4x′ d4 y ′e−i[p·x+q·y−p ·x −q ·y ]
→ →
u(p′ )α (i∂/x′ − m)αβ v γ (q)(i∂/y − m)γδ
h0| T ψ δ′ (y ′ )ψβ (x′ )ψβ ′ (x)ψδ (y) |0i

← ←
(−i∂/x − m)β ′ α′ uα′ (p)(−i∂/y′ − m)δ′ γ ′ vγ ′ (q ′ ) (3.98)
Temos portanto de calcular a função de Green
G(y ′, x′ , x, y) ≡ h0| T ψ δ′ (y ′)ψβ (x′ )ψ β ′ (x)ψδ (y) |0i (3.99)

A contribuição de ordem mais baixa é de segunda ordem (há claro uma contribuição
sem interacção mas isso corresponde aos termos disconexos em que não estamos
interessados). Temos (para simplificar neste exemplo vamos omitir a indicação de
que se trata de campos in):
x z1 x’ x x’
__ + z1 z2
z2
y y’ y y’
a) b)
Figura 3.12:
Z
′ ′ (ie)2 µ
G(y , x , x, y) = (γ )ǫǫ (γ )ϕϕ d4 z1 d4 z2
′
ν
′
2
h0| T ψ δ′ (y ′)ψβ (x′ )ψ β ′ (x)ψδ (y) : ψ ǫ (z1 )ψǫ′ (z1 )Aµ (z1 ) :: ψ ϕ (z2 )ψϕ′ (z2 )Aν (z2 ) : |0i
Z
(ie)2 µ
= (γ )εε′ (γ ν )ϕϕ′ d4 z1 d4 z2
2
h
− SF βǫ (x′ − z1 )SF ǫ′ β ′ (z1 − x)SF δϕ (y − z2 )SF ϕ′ δ′ (z2 − y ′ )DF µν (z1 − z2 )
+SF δǫ (y − z1 )SF ǫ′ β ′ (z1 − x)SF βϕ (x′ − z2 )SF ϕ′ δ′ (z2 − y ′ )DF µν (z1 − z2 )

i
+(z1 ↔ z2 ) (3.100)
Mais uma vez a troca (z1 ↔ z2 ) compensa o 2!1 e temos dois diagramas com
um sinal menos relativo conforme está representado na Fig. (3.12). Analisemos a
contribuição do diagrama a)
Z
(a) ′ ′ ′ ′
Sf i = − d4 xd4 yd4 x′ d4 y ′ d4 z1 d4 z2 (ie)2 (γ µ )εε′ (γ ν )ϕϕ′ e−i[p·x+q·y−p ·x −q ·y ]
→ →
u(p′ )α (i∂/′x − m)αβ v γ (q)(i∂/y − m)γδ
SF βε (x′ − z1 )SF ε′β ′ (z1 − x)SF δϕ (y − z2 )SF ϕ′ δ′ (z2 − y ′)

← ←
(−i∂/x − m)β ′ α′ uα′ (p)(−i∂/′y − m)δ′ γ ′ vγ ′ (q ′ )DF µν (z1 − z2 )
Z
′ ′
= − d4 z1 d4 z2 e−i[p·z1 +q·z2−p ·z1 −q ·z2 ]
u(p′ )(ieγ µ )u(p)v(q)(ieγ ν )v(q ′ )DF µν (z1 − z2 ) (3.101)

Agora usando a transformada de Fourier do propagador do fotão
Z
d4 k −igµν −ik·(z1 −z2 )
DF µν (z1 − z2 ) = e
(2π)4 k 2 + iε
µ
p p’
p’-p
q ν q’
Figura 3.13:
Z
d4 k
≡ DF µν (k)e−ik·(z1 −z2 ) (3.102)
(2π)u
obtemos
(a)
Sf i = −u(p′ )(ieγ µ )u(ρ)v(q)(ieγ ν )v(q ′ )
Z
d4 k ′ ′
d4 z1 d4 z2 4
DF µν (k)e−iz1 ·(p−p +k) e−iz2 ·(q−q −k)
(2π)
= −(2π)4 δ 4 (p + q − p′ − q ′ )u(p′ )(ieγ ν )u(p)v(q)(ieγ µ )v(a′ )DF µν (p′ − p)
(3.103)
e portanto o elemento da matriz T é

(a)
−iTf i = −u(p′ )(ieγ µ )u(p)DF µν (p′ − p)v(q)(ieγ ν )v(q ′) (3.104)
a que corresponde o diagrama de Feynman da Fig. (3.13).
Dum modo semelhante chegarı́amos a
(b)
−iTf i = v(q)(ieγ µ )u(p)DF µν (p + q)u(p′ )(ieγ ν )v(q ′) (3.105)
que corresponde ao diagrama da Fig. (3.14). Qual dos dois diagramas tem o sinal
− é irrelevante. Depende das convenções em construir os estados in que levaram à
Eq. (3.97). Só o sinal relativo é importante.
3.6.3 Loop de fermiões
Antes de enunciamos as regras de Feynman convém ver o que se passa com loops
de fermiões. Um exemplo é a correcção de segunda ordem ao propagador do fotão
da Fig. (3.15).
p p’
p+q
µ ν
q q’
Figura 3.14:
Figura 3.15:
Primeiro é fácil de ver que a orientação do loop só é relevante se conduzir

a diagramas topológicamente diferentes. Assim os diagramas da Fig. (3.16) são
topológicamente iguais e só um deles deve ser considerado. Mas os diagramas
seguintes da Fig. (3.17) são topológicamente diferentes e devem ambos ser incluı́dos.
O segundo aspecto dos loops de fermiões tem a ver com um sinal menos que deve
afectar os diagramas onde eles aparecem. Para compreender esse sinal basta notar
que por definição de loop ele não está ligado a linhas fermiónicas externas. Deve
portanto ter origem apenas na interacção, isto é vir de termos da forma
Figura 3.16:
1 4 1 4
2 3 2 3
Figura 3.17:
h0| T · · · : ψ(z1 )A
/(z1 )ψ(z1 ) : · · · : ψ(zn A
/(zn )ψ(zn ) : · · · |0i (3.106)
ora para levar isto para a ordenação que conduz a um loop é necessário sempre fazer
uma permutação ı́mpar daquela ordenação inicial pelo que obtemos um sinal (−)
para esses loops.
3.6.4 Regras de Feynman para QED
Estamos agora em posição de enunciar as regras de Feynman para QED
1. Para um dado processo desenhar todos os diagramas topológicamente distin-

tos.
2. Para cada electrão que entra no diagrama um factor u(p, s). Se sair do dia-
grama um factor u(p, s)
3. Para cada positrão deixando o diagrama (estado final) um factor v(p, s) e
entrando o diagrama (estado inicial) um factor v(p, s).
4. Para cada fotão o vector εµ (k) no estado inicial e ε∗µ (k) no estado final
5. Por cada linha fermiónica interna o propagador
(p
/ + m)αβ
β p α SFαβ (p) = i (3.107)
p2 − m2 + iε
6. Por cada fotão virtual o propagador (gauge de Feynman)
gµν
µ ν DF µν (k) = −i (3.108)
k k2
7. Por cada vértice o factor
µ ieγ µ
8. Por cada momento interno não fixado por conservação de momento (caso de
loops) um factor
Z
d4 q
(3.109)
(2π)4
9. Por cada loop de fermiões um sinal −1.
10. Um factor −1 entre diagramas que diferem por trocas de linhas fermiónicas.
(Em caso de dúvida recorrer ao teorema de Wick)
Notas:
• Em QED não há factores de simetria, isto é são sempre iguais a 1.
• Em toda esta discussão não considerámos os factores Z que entram nas fórmu-
las de redução. Isto é verdade em ordem mais baixa. Mas os factores Z
podem ser calculados em teoria de perturbação. Para isso a ser definição é
(por exemplo para o electrão)
lim SF′ (p) = Z2 SF (p) (3.110)

p
/→m
onde SF′ (p) é o propagador com interacções. Assim podemos obter em teoria
de perturbações.
Z2 = 1 + O(α) + · · · (3.111)
Em
√ ordem superiores é necessário corrigir a linhas exteriores por estes factores
Z.
3.7. Receita Geral para as regras de Feynman 111
3.7 Receita Geral para as regras de Feynman
Vamos aqui apresentar, sem demonstração, um método geral de obter as regras de

Feynman de qualquer teoria, mesmo que os acoplamentos tenham derivadas, o que
é importante para o Modelo Sandard das intercções fundamentais.
O ponto de partida é a acção tomada como funcional dos campos
Z
Γ0 [ϕ] ≡ d4 xL[ϕ]· (3.112)
De facto Γ0 [ϕ] é o funcional gerador das funções de Green irredutı́veis de uma

partı́cula em ordem mais baixa, mas a demonstração desse facto está fora do âmbito
deste curso. As regras são as seguintes:
Propagadores:
(2) δ 2 Γ0 [ϕ]
1. Calcular Γ0 (xi , xj ) ≡
δϕ(xi )δϕ(xj )
(2)
2. Calcular a Transformada de Fourier (TF) e obter Γ0 (pi , pj ) através de
Z
(2) (2)
(2π)4 δ 4 (pi + pj )Γ0 (pi , pj ) ≡ d4 xi d4 xj e−i(pi ·xi +pj ·xj ) Γ0 (xi , xj ) (3.113)
onde todos os momentos são incoming.
3. O propagador de Feynman é
(0) (2)
GF ij = i[Γ0 (pi , pj )]−1 (3.114)
Vértices
(n) δn Γ0 [ϕ]
1. Calcular Γ0 (x1 · · · x4 ) = δϕ(x1 )···δϕ(x4 )
2. Calcular a TF definida por
(n)
(2π)4 δ 4 (p1 + p2 + · · · + pn )Γ0 (p1 · · · pn )
Z
(n)
≡ d4 x1 · · · d4 xn e−i(p1 ·x1 +···pn ·xn ) Γ0 (x1 · · · xn ) (3.115)
3. O vértice, no espaço dos momentos, é então dado por
(n)
iΓ0 (p1 , · · · pn ) (3.116)
Notas:
• Para os campos fermiónicos é preciso ter cuidado com a ordem de derivação.

A convenção é
δ2
ψ(z)Γψ(z) ≡ Γβα δ 4 (z − x)δ 4 (z − y) (3.117)
δψα (x)δψ β (y)
ψα (x) e ψβ (x) são aqui tomados como campos clássicos anticomutativos (variá-
veis de Grassmann)
• As derivadas funcionais são definidas por
δϕi (x)
≡ δik δ 4 (x − y) (3.118)
δϕk (y)
3.7.1 Exemplo: Electrodinâmica escalar
O Lagrangeano é:
λ
L = (∂µ − ieQAµ )ϕ∗ (∂ µ + ieQAµ )ϕ − mϕ∗ ϕ + LEM − (ϕ∗ ϕ)2 (3.119)
4
Portanto
↔
Lint = −ieQϕ∗ ∂ µ ϕAµ + e2 Q2 ϕ∗ ϕAµ Aµ (3.120)
os propagadores são os habituais. Vejamos somente os vértices. Há dois vértices. O
cúbico é dado por
µ
k
q
3.7. Receita Geral para as regras de Feynman 113
Z
→ ←
Γ(3)
µ (x1 , x2 , x3 ) = −ieQ d4 zδ 4 (z − x1 )(∂ µ − ∂ µ )δ 4 (z − x2 )δ 4 (z − x3 ) (3.121)
logo
Z
4 4
(2π) δ (p + k + q)Γ(3)
µ (p, q, k) ≡ −ieQ d4 zd4 x1 d4 x2 d4 x3 e−i(x1 p+x2q+x3 k)
→ ←
δ 4 (z − x1 ) (∂ µ − ∂ µ )δ 4 (z − x2 )δ 4 (x − x3 )
Z
= −ieQ d4 zd4 x2 e−i[(p+k)·x+q·x2] ∂µ δ 4 (z − x2 )
Z
+ieQ d4 zd4 x1 e−i[px1 +(q+k)z] ∂µ δ 4 (z − x1 )
= −ieQ(ipµ − iqµ )(2π)4 δ 4 (p + q + k) (3.122)
Portanto este vértice é
iΓµ (p, q, k) = ieQ (pµ − qµ ) = −ieQ (qµ − pµ ) (3.123)

O outro vértice é
µ k1 k2 υ
p q
Γ(4) 2 2 4 4 4
µν (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2e Q δ (x1 − x2 )δ (x1 − x3 )δ (x1 − x4 )gµν (3.124)
Γ(4) 2
µν (p, q, k1 , k2 ) = 2(eQ) gµν (3.125)
logo o vértice é
i2e2 Q2 gµν (3.126)

3.1 Mostre explicitamente que o teorema da Wick é válido para o caso de 4 campos,
isto é
T (ϕin (x1 )ϕin (x2 )ϕin (x3 )ϕin (x4 )) =: ϕin (x1 ) · · · ϕin (x4 ) : + · · · (3.127)
3.2 Para o caso da teoria λϕ4 verifique as regras de Feynman para os diagramas
p’1 p’2
p’1 p’2
q-p1-p’1
1 1 q-p1-p’2
__ __
2 2
q q
p1 p2 p1 p2
3.3 Considere uma teoria com a interacção
λ
LI = − ϕ3in (3.128)
3!
a) Encontre as regras de Feynman x
b) Calcule o factor de simetria do diagrama
Problemas 115
3.4 Verifique para o efeito de Compton que o diagrama
µ µ’
k k’
p p-k’ p’
dá o resultado da Eq. (3.96).
3.5 Verifique a equação Eq. (3.105).
3.6 Mostre que em QED os factores de simetria são sempre 1.
3.7 Calcule explicitamente o elemento da matriz T para o processo e+ e− → γγ

(aniquilação dos pares) e verifique que coincide com as regras gerais.
3.8 Mostre que as amplitudes para e+ e− → γγ e e− γ → e− γ estão relacionadas.

Como se pode obter uma da outra?
Capı́tulo 4
Correcções Radiativas
4.1 Renormalização a 1 loop

Vamos considerar a teoria descrita pelo Lagrangeano
1 1
LQED = − Fµν F µν − (∂ · A)2 + ψ(i∂/ + eA
/ − m)ψ . (4.1)
4 2ξ
Os propagadores livres são
!
b a i
p ≡ SF0 βα (p) (4.2)
/p − m + iε βα
" #
gµν (ξ − 1) kµ kν
−i 2 +
k + iε 1 (k 2 + iε)2
( ! )
µ ν kµ kν 1 kµ kν
k = −i gµν − 2 2
+ξ 4
k k + iε k
≡ G0F µν (k) (4.3)
O vértice é
α
p’
µ +ie(γµ )βα e = |e| > 0 (4.4)
p
β
117
118 Capı́tulo 4. Correcções Radiativas
k k
p+k
Figura 4.1:
Vamos agora considerar as correcções radiativas em primeira ordem (isto é, 1 -

loop) para os propagadores e para o vértice.
4.1.1 Polarização do vácuo

Em primeira ordem a contribuição para o propagador do fotão é dada pelo diagrama
da Figura 4.1 que escrevemos na forma
G(1) 0 0
µν (k) ≡ Gµµ′ i Πµ′ ν ′ (k)Gν ′ ν (k) (4.5)
onde
Z !
2 d4 p i i
i Πµν = −(+ie) 4
Tr γµ γν
(2π) /p − m + iε /p + k/ − m + iε
Z
d4 p Tr[γµ (p
/ + m)γν (p
/ + k/ + m)]
= −e2
(2π) (p − m + iε)((p + k)2 − m2 + iε)
4 2 2
Z
d4 p [2pµ pν + pµ kν + pν kν − gµν (p2 + p · k − m2 )
= −4e2 (4.6)
(2π)4 (p2 − m2 + iε)((p + k)2 − m2 + iε)
Simples contagem de potências de p mostra que este integral, é quadraticamente

divergente. De facto a divergência é, como veremos, apenas logarı́tmica. Sendo o
integral divergente temos que o regularizar primeiro para depois absorvermos essas
divergências nos parâmetros da teoria. Aqui vamos usar o método de regularização
dimensional. Para um valor de d suficientemente baixo o integral converge. Se
definirmos ǫ = 4 − d, no fim de termos feito o integral devemos obter um resultado
divergente quando ǫ → 0. Obtemos portanto1
Z
2 ǫ dd p [2pµ pν + pµ kν + pν kµ − gµν (p2 + p · k − m2 )]
i Πµν (k, ǫ) = −4e µ
(2π)d (p2 − m2 + iε)((p + k)2 − m2 + iε)
1
Onde µ é um parâmetro com as dimensões de massa introduzido para assegurar a dimension-
ǫ
alidade correcta da constante de acoplamento em dimensão d, isto é, [e] = 4−d
2 = 2 . Assim pomos
ǫ
e → eµ 2 . Para mais detalhes ver o Apêndice.
4.1. Renormalização a 1 loop 119
Z
2 ǫ dd p Nµν (p, k)
= −4e µ (4.7)
(2π) (p − m + iε)((p + k)2 − m2 + iε)
d 2 2
onde
Nµν (p, k) = 2pµ pν + pµ kν + pν kµ − gµν (p2 + p · k − m2 ) (4.8)
Para efectuar este integral começamos por utilizar a parametrização de Feynman
para escrever o denominador sobre a forma dum único termo. Para isso usamos (ver
Apêndice)
Z 1
1 dx
= 2 (4.9)
ab 0 [ax + b(1 − x)]
para obter
Z Z
1 dd p Nµν (p, k)
i Πµν (k, ǫ) = −4e2 µǫ dx
0 (2π) [x(p + k)2 − xm2 + (1 − x)(p2 − m2 ) + iε]2
d
Z Z
1 dd p Nµν (p, k)
= −4e2 µǫ dx
0 (2π)d [p2 + k · px + xk 2 − m2 + iε]2
Z Z
2 ǫ
1 dd p Nµν (p, k)
= −4e µ dx (4.10)
0 (2π) [(p + kx) + k 2 x(1 − x) − m2 + iε]2
d 2
Para dimensão d suficientemente pequena o integral é convergente e podemos efec-

tuar a mudança de variável
p → p − kx (4.11)
Obtemos então
Z Z
2 ǫ
1 dd p Nµν (p − kx, k)
i Πµν (k, ǫ) = −4e µ dx (4.12)
0 (2π)d [p2 − C + iǫ]2
onde
C = m2 − k 2 x(1 − x) (4.13)
Nµν é um polinómio de segundo grau no momento do loop (ver Eq. (4.8)). No entanto
usando o facto de que o denominador da Eq. (4.12) só depende de p2 podemos
mostrar que
Z
dd p pµ
=0
(2π)d [p2 − C + iǫ]2
Z Z
dd p pµ pν 1 µν dd p p2
2 = g (4.14)
d
(2π) [p − C + iǫ]
2 d (2π)d [p2 − C + iǫ]2
Isto quer dizer que só temos que calcular integrais da forma
Z
dd p (p2 )r
Ir,m =
(2π)d [p2 − C + iǫ]m
Im p0
x Re p0
Figura 4.2:
Z Z
dd−1 p (p2 )r
= dp0 (4.15)
(2π)d [p2 − C + iǫ]m
Para efectuar esta integração vamos usar a integração no plano complexo da variável
p0 conforme descrito na Fig. (4.2). A deformação do contorno corresponde à chamada
a rotação de Wick,
Z +∞ Z +∞
0
p → ip0E ; →i dp0E (4.16)
−∞ −∞
e p2 = (p0 )2 − |~p|2 = −(p0E )2 − |~p|2 ≡ −p2E , onde pE = (p0E , p~) é um vector

euclidiano, isto é, calculamos o seu produto interno usando a métrica euclidiana
diag(+, +, +, +),
p2E = (p0E )2 + |~p|2 (4.17)
Podemos então escrever (para mais detalhes ver o Apêndice)
Z r
d d pE p2E
Ir,m = i(−1)r−m m (4.18)
(2π)d [p2E + C]
onde não mais precisamos do iǫ, pois o denominador é estritamente positivo2 (C > 0).
Para calcularmos Ir,m escrevemos
Z Z
d d−1
d pE = dp p dΩd−1 (4.19)
q
onde p = (p0E )2 + |~p|2 é o comprimento do vector pE no espaço euclidiano a d
dimensões e dΩd−1 é o ângulo sólido que generaliza as coordenadas esféricas. Os
ângulos são definidos por
pE = p(cos θ1 , sin θ1 cos θ2 , sin θ1 sin θ2 , sin θ1 sin θ2 cos θ3 , . . . , sin θ1 · · · sin θd−1 )
(4.20)
2
O caso de C < 0 obtém-se por continuação analı́tica da fórmula final.

Z Z π Z 2π
dΩd−1 = sin θ1d−2 dθ1 · · · dθd−1 (4.21)
0 0
Usando agora
Z π
m
√ Γ( m+1
2
)
sin θ dθ = π (4.22)
0 Γ( m+2
2
)
onde Γ(z) é a função Gama, obtemos
Z d
π2
dΩd−1 =2 d (4.23)
Γ( 2 )
A integração em p faz-se usando o resultado

Z ∞ xp Γ( p+1 )
dx n = π(−1)q−1 ap+1−nq p+1
n
p+1 (4.24)
0 (x + an )q n sin(π n
) Γ( 2 − q + 1)
para finalmente se obter
d (−1)r−m Γ(r + d2 ) Γ(m − r − d2 )

Ir,m = iC r−m+ 2 (4.25)
Γ( d2 )
d
(4π) 2 Γ(m)
Notemos, para finalizar, que a representação integral de Ir,m , Eq. (4.15) é válida
somente para d < 2(m − r) para assegurar a convergência quando p → ∞. Contudo
a forma já integrada da Eq. (4.25) pode ser continuada analiticamente para todos
os valores de d excepto para aqueles em que a função Γ(m − r − d/2) tem pólos, isto
é (ver secção A.6), para
d
m − r − 6= 0, −1, −2, . . . (4.26)
2
Para a aplicação aos integrais que aparecem em regularização dimensional é conve-
niente escrever Eq. (4.25) usando a relação d = 4 − ǫ. Obtemos
ǫ
(−1)r−m 4π 2 Γ(2 + r − 2ǫ ) Γ(m − r − 2 + 2ǫ )
Ir,m =i C 2+r−m (4.27)
(4π)2 C Γ(2 − 2ǫ ) Γ(m)
que tem pólos para m − r − 2 ≤ 0 (ver secção A.6).

Voltemos agora ao cálculo de Πµν . Primeiro notemos que após a mudança de
variável da Eq. (4.11) obtemos

Nµν (p − kx, k) = 2pµ pν + 2x2 kµ kν − 2xkµ kν − gµν p2 + x2 k 2 − xk 2 − m2 (4.28)
e portanto
Z
ǫ dd p Nµν (p − kx, k)
Nµν ≡ µ
(2π)d [p2 − C + iǫ]2

2
= − 1 gµν µǫ I1,2 + − 2x(1 − x)kµ kν +x(1 − x)k 2 gµν + gµν m2 µǫ I0,2 (4.29)
d
Usando agora a Eq. (4.27) podemos escrever
!ǫ
ǫ i 4πµ2 2
Γ( 2ǫ )
µ I0,2 =
16π 2 C Γ(2)
!
i C
= 2
∆ǫ − ln 2 + O(ǫ) (4.30)
16π µ
onde se usou a expansão da função Γ, Eq. (A.47),

ǫ 2
Γ = − γ + O(ǫ) (4.31)
2 ǫ
onde γ é a constante de Euler e se definiu, Eq. (A.50),
2
∆ǫ = − γ + ln 4π (4.32)
ǫ
De modo semelhante
!ǫ
ǫ i 4πµ2 2
Γ(3 − 2ǫ ) Γ(−1 + 2ǫ )
µ I1,2 = − C
16π 2 C Γ(2 − 2ǫ ) Γ(2)
!
i C
= 2
C 1 + 2∆ǫ − 2 ln 2 + O(ǫ) (4.33)
16π µ
Devido à presença dum pólo em 1/ǫ nas expressões anteriores temos que expandir
todas as quantidades até O(ǫ). Assim temos também
2 2 1 1
−1= − 1 = − + ǫ + O(ǫ2 ) (4.34)
d 4−ǫ 2 8
Substituindo agora as equações anteriores na Eq. (4.29), e usando a Eq. (4.13),
obtemos
" ! #
1 1 i C
Nµν = gµν − + ǫ + O(ǫ2 ) 2
C 1 + 2∆ǫ − 2 ln 2 + O(ǫ)
2 8 16π µ
" ! #
2 2 i C
+ − 2x(1 − x)kµ kν +x(1 − x)k gµν + gµν m ∆ǫ − ln + O(ǫ)
16π 2 µ2
" ! #
i C
= − kµ kν ∆ǫ − ln 2 2x(1 − x)
16π 2 µ
"
i C
+ 2
gµν k 2 ∆ǫ x(1 − x) + x(1 − x) + ln 2 − x(1 − x) − x(1 − x)
16π µ
Gµν = + +
+ +
Figura 4.3:
#
1 1
+ x(1 − x) −
2 2
" #
i C 1 1
+ 2
gµν m2 ∆ǫ (−1 + 1) + ln 2 (1 − 1) + (− + ) (4.35)
16π µ 2 2
e finalmente
!
i C 2

Nµν = ∆ǫ − ln g µν k − k µ k ν 2x(1 − x) (4.36)
16π 2 µ2
e usando Eq. (4.7) obtemos

!
1 Z 1 C
2 2
Πµν = −4e gµν k − kµ kν dx 2x(1 − x) ∆ǫ − ln 2
16π 2 0 µ

= − gµν k 2 − kµ kν Π(k 2 , ǫ) (4.37)
onde " #
Z
2 2α 1 m2 − x(1 − x)k 2
Π(k , ǫ) ≡ dx x(1 − x) ∆ǫ − ln (4.38)
π 0 µ2
Esta expressão é claramente divergente quando ǫ → 0. Antes de falarmos propria-
mente de renormalização analisemos melhor o significado de Πµν (k). O propagador
do fotão é dado pela série representada na Figura 4.3, onde
≡ i Πµν (k) = soma de todos os diagramas

(4.39)
próprios em todas as ordens
Em ordem mais baixa temos a contribuição representada na Figura 4.4 que é o que
Figura 4.4:
nós calculámos. Para prosseguir é conveniente reescrever o propagador livre do fotão

!
kµ kν 1 kµ kν T 1 kµ kν
iG0µν = gµν − 2 + ξ = P µν + ξ
k k2 k4 k2 k4
≡ iG0T 0L
µν + iGµν (4.40)
T
onde se introduziu o projector transversal Pµν definido por
!
T kµ kν
Pµν = gµν − 2 (4.41)
k
que obviamente satisfaz as relações

 k µ Pµν
T
=0
(4.42)

PµT ν Pνρ
T T
= Pµρ
O propagador completo também poderá ser escrito em geral,
Gµν = GTµν + GLµν (4.43)

onde GTµν satisfaz
GTµν = Pµν
T
Gµν (4.44)
Nós obtivemos, em primeira ordem, que o tensor de polarização do vácuo é
transversal, isto é
i Πµν (k) = −ik 2 Pµν

T
Π(k) (4.45)
Este resultado é de facto válido para todas as ordens e pode ser mostrado utilizando
as identidades de Ward-Takahashi, como veremos na secção 4.2. Isto quer dizer que
a parte longitudinal do propagador não é renormalizada
GLµν = G0L
µν (4.46)
Para a parte transversal obtemos
1 T 1 ′ ′ 1
iGTµν = Pµν
T
2
+ Pµµ′
2
(−i)k 2 P T µ ν Π(k)(−i)PνT′ ν 2
k k k
T 1 2 T ρλ T 1 2 Tτσ T 1
+Pµρ (−i)k P Π(k)(−i)P λτ (−i)k P Π(k)(−i)P σν +···
k2 k2 k2
T 1 h 2 2
i
= Pµν 1 − Π(k) + Π (k ) + · · · (4.47)
k2
ou seja, somando a série geométrica,
1
iGTµν = Pµν
T
(4.48)
k 2 [1 + Π(k)]
Tudo o que fizemos até aqui é formal porque a função Π(k) é divergente. A maneira
mais satisfatória de resolver esta dificuldade é a seguinte: O Lagrangeano inicial
donde partimos tinha sido obtido a partir da teoria clássica e nada nos diz que seja
válido em geral. De facto, como acabámos de ver, a normalização das funções de
onda vem alterada quando calculamos correcções de 1 - loop e o mesmo se passa
com os parâmetros fı́sicos da teoria, a carga e a massa. Assim podemos pensar que
o Lagrangeano correcto se obtém adicionando ao Lagrangeano clássico correcções
para manter as definições da carga e massa e a renormalização das funções de onda.
Aos termos que se adicionam ao Lagrangeano dá-se o nome de contratermos3
Ltotal = L(e, m, ...) + ∆L (4.49)
Os contratermos são definidos a partir das condições de normalização que impuser-

mos sobre os campos e outros parâmetros da teoria. Em QED temos ao nosso dispor
a normalização dos campos do fotão e do electrão e os dois parâmetros fı́sicos a carga
e a massa. As condições de normalização são em larga medida arbitrárias. Há no
entanto conveniência em manter as expressões tanto quanto possı́vel perto das en-
contradas na teoria livre (sem correcções) pelo que definimos para a normalização
do campo do fotão
lim k 2 iGRT T
µν = 1 · Pµν (4.50)
k→0
em que GRT µν é o propagador renormalizado calculado a partir do Lagrangeano Ltotal .

A justificação para esta expressão vem do argumento seguinte. Consideremos a
difusão de Coulomb em todas as ordens de teoria de perturbações. Devemos ter
então a situação ilustrada na Figura 4.5, Pode-se mostrar, usando as identidades de
Ward-Takahashi, que os últimos 3 diagramas cancelam no limite q = p′ − p → 0.
Então a condição de normalização Eq. (4.50) significa que devemos ter a situação
descrita na Figura 4.6, que quer dizer que o valor da carga eléctrica é determinado
no limite q → 0 da difusão de Coulomb.
3
Esta interpretação em termos de correcções quânticas faz sentido porque um desenvolvimento
em série na constante de acoplamento é em QED um desenvolvimento em h̄L . Ver adiante mais
sobre este ponto.
Figura 4.5:
lim =
q 0
Figura 4.6:
O Lagrangeano de contratermos deve ter a mesma forma que o Lagrangeano

clássico. Tradicionalmente escreve-se na forma
1 1
∆L = − (Z3 − 1)Fµν F µν = − δZ3 Fµν F µν (4.51)
4 4
que corresponde à seguinte regra de Feynman
!
k k 2 kµ kν
µ υ −i δZ3 k gµν − 2
k
(4.52)
Então devemos ter

!
kµ kν
iΠµν = iΠloop
µν − ik 2
gµν − 2
k
T
= −i (Π(k, ǫ) + δZ3 ) Pµν (4.53)
Devemos portanto fazer a substituição
Π(k, ǫ) → Π(k, ǫ) + δZ3 (4.54)
no propagador do fotão. Obtemos então

1 1
iGTµν = Pµν
T
(4.55)
k 2 1 + Π(k, ǫ) + δZ3
A condição de normalização, Eq. (4.50), implica
Π(k, ǫ) + δZ3 = 0 (4.56)
o que permite determinar a constante δZ3 . Obtemos

Z " #
2α 1 m2
δZ3 = −Π(0, ǫ) = − dx x(1 − x) ∆ǫ − ln 2
π 0 µ
" #
α m2
= − ∆ǫ − ln 2 (4.57)
3π µ
O propagador renormalizado do fotão pode então ser escrito4

T
Pµν
iGµν (k) = 2
+ i GLµν (4.58)
k [1 + Π(k, ǫ) − Π(0, ǫ)]
As correcções radiativas finitas são dadas através da função
ΠR (k 2 ) ≡ Π(k 2 , ǫ) − Π(0, ǫ)
4
Notar que a massa do fotão não é renormalizada, isto é o pólo em k 2 = 0 mantém-se .
" #
2α Z 1 m2 − x(1 − x)k 2
=− dx x(1 − x) ln
π 0 m2
 ! !1/2 !1/2 
α 1 2m 2
4m 2
4m2 
=− +2 1+ 2  −1 cot−1 −1 − 1 (4.59)

3π 3 k k2 k2 
expressão válida para k 2 < 4m2 . Para valores k 2 > 4m2 a expressão para ΠR (k 2 )
obtém-se por continuação analı́tica. Usando (k 2 > 4m2 )

−1 −1 iπ
cot iz = i − tanh z+ (4.60)
2
e !1/2 s
4m2 4m2
−1 →i 1− (4.61)
k2 k2
obtemos
 !  s !1/2
α 1 2m2  4m2 4m2
R 2
Π (k ) = − +2 1+ 2 −1 + 1 − 2 tanh−1 1 − 2
3π  3 k k k
s 
π 4m2 
−i 1− 2  (4.62)
2 k 
A parte imaginária de ΠR é portanto dada por

!s !
α 2m2 4m2 4m2
Im ΠR (k 2 ) = 1+ 2 1− 2 θ 1− 2 (4.63)
3 k k k
5
e está relacionada com a produção de pares e+ e− .
4.1.2 Self-energy do electrão

O propagador completo do electrão será dado pela série diagramática da Figura 4.7,
ou seja

0 0
S(p) = S (p) + S (p) − i Σ(p) S 0 (p) + · · ·

= S 0 (p) 1 − i Σ(p)S(p) (4.64)
Multiplicando à esquerda por S0−1 (p) e à direita por S −1 (p) obtemos

5
Para k 2 > 4m2 há a possibilidade de produzir um par e+ e− . Assim ao processo virtual sobrepõe
-se um processo real.
= + +
+ + ...
Figura 4.7:
S0−1 (p) = S −1 (p) − i Σ(p) (4.65)

ou ainda
S −1 (p) = S0−1 (p) + i Σ(p) (4.66)

onde se identificou
≡ −i Σ(p) (4.67)
Como
i
S0 (p) = =⇒ S0−1 (p) = −i(p
/ − m) (4.68)
/p − m
então vem
S −1 (p) = S0−1 (p) + iΣ(p)

= −i /p − (m + Σ(p)) (4.69)
Vemos assim que basta calcular Σ(p) em todas as ordens para se obter o propagador
completo do electrão. O nome de self-energy dado a Σ(p) provém obviamente de
se vir somar a m. De facto, como veremos, também vai alterar o coeficiente de /p e
portanto alterar a normalização dos campos além de renormalizar a massa m.
Em ordem mais baixa, o único diagrama que contribui para Σ(p) é o representado
na Figura 4.8 e portanto
Z
d4 k gµν i
−iΣ(p) = (+ie)2 (−i) γ µ
γν (4.70)
(2π)4 k 2 − µ̂2 + iε /p − k/ − m + iε
onde se escolheu o gauge de Feynman (ξ = 1) para o propagador do fotão bem como
se introduziu uma pequena massa µ̂ por causa de divergências no infravermelho
(k 2 → 0). Usando regularização dimensional e o facto de que em dimensão d se tem
/ + k/)γ µ = −(p
γµ (p / + k/)γµγ µ + 2(p
/ + k/) = −(d − 2)(p
/ + k/)
p p+k p
Figura 4.8:
mγµ γ µ = m d (4.71)
obtemos
Z
ǫ 2 dd k 1 /p + k/ + m
−i Σ(p) = −µ e d 2 2
γµ γµ
(2π) k − µ̂ + ε (p + k)2 − m2 + iε
Z
ǫ 2 dd k −(d − 2)(p / + k/) + m d
= −µ e
(2π) [k − µ̂ + iε] [(p + k)2 − m2 + iε]
d 2 2
Z Z
ǫ 2
1 dd k −(d − 2)(p/ + k/) + m d
= −µ e dx
0 (2π) [(k − µ̂ ) (1 − x) + x(p + k)2 − xm2 + iε]2
d 2 2
Z Z
1 dd k −(d − 2)(p/ + k/) + m d
= −µǫ e2 dx
0 (2π) [(k + px)2 + p2 x(1 − x) − µ̂2 (1 − x) − xm2 + iε]2
d
Z Z
1 dd k −(d − 2) [p
/(1 − x) + k/] + m d
= −µǫ e2 dx
0 (2π)d [k 2 + p2 x(1 − x) − µ̂2 (1 − x) − xm2 + iε]2
Z 1
ε 2
= −µ e dx − (d − 2)p
/(1 − x) + m d I0,2 (4.72)
0
onde
i h h
2 2 2
ii
I0,2 = ∆ ǫ − ln −p x(1 − x) + m x + µ̂ (1 − x) (4.73)
16π 2
A contribuição do loop para self-energy Σ(p) pode-se então escrever na forma
Σ(p)loop = A(p2 ) + B(p2 ) /p (4.74)
com
h Z h ii
2 ǫ 1 1
2 2 2
A = e µ (4 − ǫ)m dx ∆ǫ − ln −p x(1 − x) + m x + µ̂ (1 − x)
16π 2 0
Z 1
1
B = −e2 µǫ (2 − ǫ) dx (1 − x) ∆ǫ
16π 2 0
h i
2 2 2
− ln −p x(1 − x) + m x + µ̂ (1 − x) (4.75)
Usando agora as expansões

ǫ 1
µ (4 − ǫ) = 4 1 + ǫ ln µ − + O(ǫ2 )
4

1
µǫ (4 − ǫ)∆ǫ = 4 ∆ǫ + 2 ln µ − + O(ǫ)
4

ǫ 1
µ (2 − ǫ) = 2 1 + ǫ ln µ − + O(ǫ2 )
2

1
µǫ (2 − ǫ)∆ǫ = 2 ∆ǫ + 2 ln µ − + O(ǫ) (4.76)
2
podemos escrever
Z " " ##
2 4 e2 m 1 1 −p2 x(1 − x) + m2 x + µ̂2 (1 − x)
A(p ) = dx ∆ǫ − − ln (4.77)
16π 2 0 2 µ2
e
Z " " ##
2 2 e2 1 −p2 x(1 − x) + m2 x + µ̂2 (1 − x)
B(p ) = − dx (1 − x) ∆ǫ − 1 − ln
16π 20 µ2
(4.78)
Para prosseguir com o programa de renormalização temos que introduzir agora o
Lagrangeano dos contratermos. É dado por
∆L = i (Z2 − 1) ψγ µ ∂µ ψ − (Z2 − 1) m ψψ + Z2 δm ψψ + δZ1 e ψγ µ ψAµ (4.79)
e portanto a self-energy vem
−i Σ(p) = −i Σloop (p) + ip

/ δZ2 − i m δZ2 + i δm (4.80)
Ao contrário do caso do propagador do fotão vemos que temos duas constantes a

determinar. No esquema de renormalização on-shell que se usa normalamente em
QED as duas constantes de renormalização são obtidas requerendo que o pólo do
propagador seja na massa fı́sica do electrão e que o resı́duo do pólo tenha o mesmo
valor que para o propagador livre. Isto quer dizer que devemos ter
/ = m) = 0 → δm = Σloop (p
Σ(p / = m)

∂Σ ∂Σloop
= 0 → δZ2 = (4.81)
/ p/=m
∂p / p/=m
∂p
Obtemos então para δm,
δm = A(m2 ) + m B(m2 )
Z (" !#
2 me2 1 m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
= dx 2∆ǫ − 1 − 2 ln
16π 2 0 µ2
" !#)
m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
−(1 − x) ∆ǫ − 1 − ln
µ2
" !#
2 m e2 3 1 Z1 m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
= ∆ǫ − − dx (1 + x) ln
16π 2 2 2 0 µ2
" Z !#
3αm 1 2 1 m2 x2
= ∆ǫ − − dx (1 + x) ln (4.82)
4π 3 3 0 µ2
onde no último passo na Eq. (4.82) se tomou o limite µ̂ → 0 pois o integral não
diverge nesse limite6 .
De modo semelhante obtemos para δZ2 ,

∂Σloop ∂A ∂B
δZ2 = = +B+m (4.83)
/ p/=m
∂p / p/=m
∂p / p/=m
∂p
onde
Z
∂A 4 e2 m2 1 2(1 − 1)x
= dx
/ p/=m
∂p 16π 2 0 −m2 x(1 − x) + m2 x + µ̂2 (1 − x)
Z
2 α m2 1 (1 − x)x
= dx
π 0 m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
Z " !#
α 1 m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
B = − dx (1 − x) ∆ǫ − 1 − ln
2π 0 µ2
Z
∂B α 1 2x(1 − x)2
m

= − m2 dx (4.84)
∂p
/ p/=m 2π 0 m2 x2 + µ̂2 (1 − x)
Substituindo Eq. (4.84) em Eq. (4.83) obtemos

" Z ! Z #
α 1 1 1 m2 x2(1 + x)(1 − x)xm2 1
δZ2 = − ∆ǫ − − dx (1 − x) ln
−2 dx 2 2
2π 2 2 0 0 µ2 m x + µ̂2 (1 − x)
(4.85)
onde se tomou o limite µ̂ → 0 onde possı́vel e tal não é possı́vel no último termo.
Vemos assim que Z2 é divergente infravermelho. Se tivéssemos usado outras gauges
(ξ 6= 1) verı́amos que δm não era alterado enquanto que Z2 já o era mostrando assim
também a sua dependência da gauge.
4.1.3 O vértice
O único diagrama é o indicado na Figura 4.9 que dá a contribuição (na gauge de
Feynman, ξ = 1)
Z
d4 k gρσ
−ieΛ(1) ′
µ (p , p) = (−ie) 3
4
(−i) 2
(2π) k − µ2 + iε
6
δm não é divergente infra-vermelho (IR).
p’
µ k
p
Figura 4.9:
/′ − k/) + m]
i[(p / − k/) + m]
i[(p
γσ γ µ γρ (4.86)
(p′ − k)2 − m2 + iε (p − k)2 − m2 + iε
onde Λµ é definido a partir do vértice completo Γµ através da relação
iΓµ ≡ −ie(γµ + Λµ ) (4.87)

O integral que define Λµ (p′ , p) é divergente. Tal como anteriormente esperamos
resolver este problema introduzindo funções renormalizadas e constantes de renor-
malização (infinitas). Assim definimos
ΓR
µ ≡ Z 1 Γµ (4.88)
ou seja
ΛR
µ = Z1 Λµ + γµ (Z1 − 1) (4.89)
A constante de renormalização será determinada a partir duma escolha de renorma-
lização conveniente. A mais conveniente é (p2 = p′2 = m2 )
u(p′ )ΛR ′
µ (p , p)u(p)|p=p′ = 0 (4.90)
(1)
o que permite calcular Z1 através da igualdade
(1)
(Z1 − 1)u(p)γµ u(p) = −u(p)Λ(1)
µ u(p) (4.91)
Contudo em vez de fazer este cálculo, podemos utilizar a identidade de Ward (que
provaremos mais à frente) e que na forma que aqui nos interessa relaciona o vértice
com a self-energy do electrão na forma seguinte
∂
Λµ (p, p) = − Σ(p) (4.92)
∂pµ
Então
∂
Λµ (p′ , p) = − Σ(p) + Λµ (p′ , p) − Λµ (p, p)
∂pµ
∂ R
= (Z2−1 − 1)γµ + Λµ (p′ , p) − Λµ (p, p) − Z2−1 Σ (p) (4.93)
∂pµ
Se recordarmos a definição de Z1
Λµ (p′ , p) = (Z1−1 − 1)γµ + Z1−1 ΛR ′

µ (p , p) (4.94)
e calcularmos u(p)Λµ (p, p)u(p) nas duas expressões concluı́mos que
Z1 = Z2 (4.95)
e portanto
∂ R
Z1−1 ΛR ′ ′ −1
µ (p , p) = Λµ (p , p) − Λµ (p, p) − Z2 Σ (p) (4.96)
∂pµ
ou seja
∂ R
ΛR ′ ′
µ (p , p) = Z1 [Λµ (p , p) − Λµ (p, p)] − Σ (p) (4.97)
∂pµ
Normalmente só interessa conhecer ΛR µ calculado entre dois spinores de Dirac,
′ R ′
isto é u(p )Λµ (p , p)u(p). Isto simplifica bastante os cálculos e permite escrever
i
ΛR ′ 2
µ (p , p) = γµ F1 (q ) + σµν q ν F2 (q 2 ) (4.98)
2m
onde se usou a identidade de Gordon e o facto de que ΛR ′
µ (p , p) é para ser calculado
entre spinores na camada de massa. As funções F1 (q 2 ) e F2 (q 2 ), designadas por
factores de forma, são dados por integrais complicados. Damos aqui somente o
resultado para q 2 < 0
( ! Z )
α µ̂ θ θ θ/2
F1 (q 2 ) = ln + 1 (θ coth θ − 1) − tanh − 2 coth θ β tanh βdβ
π m 4 2 0
α θ
F2 (q 2 ) = (4.99)
2π sinh θ
onde
θ q2
sinh2
=− · (4.100)
2 4m
No limite de zero momento transferido (q = p′ − p = 0) obtemos
4.2. As identidades de Ward-Takahashi 135

 F1 (0) = 0
(4.101)
 α
F2 (0) = 2π
resultado que usaremos mais adiante.
4.2 As identidades de Ward-Takahashi

No estudo do vértice utilizámos a identidade de Ward
∂
Λµ (p, p) = − Σ(p) (4.102)
∂pµ
Vamos aqui deduzir a expressão mais geral dessas identidades. A discussão que
se segue é formal no sentido que as diversas funções de Green que intervém nas
identidades são infinitas. É preciso mostrar que é possı́vel encontrar um esquema de
regularização que preserve as identidades. Isto acontece quando se usa um esquema
de regularização que preserve a invariância de gauge, por exemplo a regularização
dimensional ou a de Pauli-Villars. As identidades de Ward são uma consequência
da invariância de gauge da teoria. Quando estudarmos os métodos funcionais isso
será mais claro. Aqui vamos somente usar o facto que a teoria possui uma corrente
conservada
jµ = eψγµ ψ
(4.103)
∂µ j µ = 0
Estamos interessados em calcular a seguinte quantidade
∂xµ h0| T jµ (x)ψ(x1 )ψ(y1 ) · · · ψ(xn )ψ(yn )Aν1 (z1 ) · · · Aνp (zp ) |0i (4.104)
Esta quantidade não é zero apesar de ∂ µ jµ = 0 porque no produto ordenado no
tempo intervém funções θ que envolvem a coordenada x0 . Por exemplo, para o
campo ψ(xi ) devemos ter uma contribuição da forma
∂x0 [θ(x0 − x0i )j0 (x)ψ(xi ) + θ(x0i − x0 )ψ(xi )j0 (x)]

= δ(x0 − x0i )j0 (x)ψ(xi ) − δ(x0 − x0i )ψ(xi )j0 (x)
= [j0 (x), ψ(xi )]δ(x0 − x0i ) (4.105)
Obtemos assim (∧ significa que o termo é omitido)
∂xµ h0| T jµ (x)ψ(x1 ) · · · ψ(yn )Aν1 (z1 ) · · · Aνp (zp ) |0i

µ,x ν,y
Figura 4.10:
n
X n
= h0| T [j0 (x), ψ(xi )] δ(x0 − x0i )ψ(yi )+
i=1
h i o
d
+ψ(xi ) j0 (x), ψ(yi ) δ(x0 − yi0 ) ψ(x1 )ψ(y1 ) · · · ψ(xi )ψ(yi ) · · · Aνp (zp ) |0i
p
X
+ h0| T ψ(x1 ) · ψ(yn )Aνp (z1 ) · · · [j0 (x), Aνj (zj )]δ(x0 − zj0 ) · · · Aνp (zp ) |0i
j=1
(4.106)
Usando agora as relações de comutação canónicas (tempos iguais)
[j0 (x), ψ(x′ )]δ(x0 − x′0 ) = −eψ(x)δ 4 (x − x′ )
[j0 (x), ψ(x′ )]δ(x0 − x′0 ) = eψ(x)δ 4 (x − x′ ) (4.107)
[j0 (x), Aµ (x′ )]δ(x0 − x′0 ) = 0

R
que expressam que ψ, ψ e Aµ criam quantas de carga Q = d3 xj 0 (x) igual a −e, +e
e zero, respectivamente, obtemos
∂xµ h0| T jµ (x)ψ(x1 ) · · · ψ(yn )Aν1 (z1 ) · · · Aνp (zp ) |0i

n h
X i
= e h0| T ψ(y1 ) · · · Aνp (zp ) |0i δ 4 (x − yi ) − δ 4 (x − xi ) (4.108)
i=1
Tomando diversos valores de n e p obtemos diferentes relações entre funções de

Green. Vamos no seguimento consideramos dois casos importantes.
4.2.1 Transversalidade do propagador do fotão n = 0, p = 1

A função de Green h0| T jµ (x)Aν (y) |0i corresponde ao diagrama da Figura 4.10 e
está relacionada com o propagador completo do fotão representado na Figura 4.11
pela seguinte equação diagramática (equação de Dyson-Schwinger)
µ,x ν,y
Figura 4.11:
µ,x ν,y = µ,x ν,y + µ,x ν,y
(4.109)
que se escreve
Z
Gµν (x − y) = G0µν (x − y) − i d4 x′ G0µρ (x − x′ ) h0| T j ρ (x′ )Aν (y) |0i (4.110)
Apliquemos agora a derivada ∂xµ . Obtemos
Z
∂xµ Gµν (x − y) = ∂xµ G0µν (x − y) − i d4 x′ ∂xµ G0µρ (x − x′ ) h0| T j ρ (x′ )Aµ (y) |0i (4.111)
Mas
Z
d4 p −i(x−x′ )·p 0
G0µρ (x −x)=′
e Gµρ (p) (4.112)
(2π)4
onde
" ! #
pµ pν 1 pµ pν
G0µν (p) = −i gµν − 2 2
+ξ 4 (4.113)
p p p
Então
Z
d4 p −i(x−x′ )·p
∂xµ G0µρ (x −x) =′
e (−ipµ )G0µρ (p)
(2π)4
Z
d4 p −i(x−x′ )·p
= e (−ipρ )F (p2 )
(2π)4
Z
′ d4 p −i(x−x′ )·p
= −∂ρx e F (p2 )
(2π)4
= −∂ρx Fe (x − x′ )
′
(4.114)
Portanto
Z
∂xµ Gµν (x − y) = ∂xµ G0µν (x − y) + i d4 x′ ∂xρ′ Fe (x − x′ ) h0| T jρ (x′ )Aν (y) |0i
Z
d4 xFe (x − x′ )∂ρx h0| T j ρ (x′ )Aν (y) |0i
′
= ∂xµ G0µν (x − y) − i
= ∂xµ G0µν (x − y) (4.115)
onde se fez uma integração por partes e se usou a identidade de Ward-Takashashi

para n = 0, p = 1. Obtivemos portanto
∂xµ Gµν (x − y) = ∂xµ G0µν (x − y) (4.116)

o que no espaço dos momentos implica
pµ Gµν (p) = pµ G0µν (p) (4.117)
Isto quer dizer que a parte longitudinal do propagador do fotão não é renormal-
izada, ou seja que a self-energy é transversal. De facto
pν
pµ G0µν (p) = −iξ (4.118)
p2
ou ainda
pν −1 pν
pµ = −iξ 2
Gνµ (p) = −ξ 2 Γνµ (p) (4.119)
p p
Mas de acordo com as nossas definições
1
Γνµ (p) = −(gνµ p2 − pν pµ ) − pν pµ + Πνµ (p2 ) (4.120)
ξ
logo
pν 11 ν
−ξ 2
Γνµ (p) = pµ − 2
p Πνµ (p2 ) = pµ (4.121)
p ξp
ou seja
pν Πνµ (p2 ) = 0 (4.122)

isto é, a self-energy é transversal, como querı́amos mostrar.
µ,x
β,x1 α,y1
Figura 4.12:
µ,x
β,x1 α,y1
Figura 4.13:
4.2.2 Identidade para o vértice n = 1, p = 0
Estamos agora interessados na função de Green
h0| T jµ (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i (4.123)
a que corresponde o diagrama da Figura 4.12. Esta função de Green pode-se rela-
cionar com o vértice h0| T Aµ (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i correspondente ao diagrama da
Figura 4.13, através da seguinte equação diagramática
µ,x µ,x
= (4.124)
β,x1 α,y1 β,x1 α,y1
e que se escreve
Z
h0| T Aµ (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i = −i d4 x′ G0µν (x − x′ ) h0| T j ν (x′ )ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i
(4.125)
Tomando a transformada de Fourier
Z
′
d4 xd4 x1 d4 y1 ei(p ·x1 −p·y1−q·x) h0| T Aµ (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i
Z
′
= −iG0µν (q) d4 xd4 x1 d4 y1 ei(p ·x1 −p·y1−q·x) h0| T j ν (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i (4.126)
onde os sentidos dos momentos são os indicados na Figura 4.14, e o momento trans-
ferido q é dado por
q = p′ − p (4.127)
Por outro lado, por definição do vértice Γµ temos
Z
′
d4 xd4 x1 d4 y1 ei(p ·x1−p·y1 −q·x) h0| T Aµ (x)ψβ (x1 )ψ α (y1 ) |0i
= (2π)4 δ 4 (p′ − p − q)Gµν (q)[S(p′ )iΓν (p′ , p)S(p)]βα (4.128)
Portanto
(2π)4 δ(p′ − p − q)Gµν (q)S(p′ )iΓν (p′ , p)S(p)

q = p’ - p
p
p’
β α
Figura 4.14:
Z
′
= −iG0µν (q) d4x d4 x1 d4 y1 ei(p ·x1 −p·y1−q·x) h0| T j ν (x)ψ(x1 )ψ(y1 ) |0i (4.129)
Multiplicando por q µ e usando o resultado

qν
q µ Gµν (q) = q µ G0µν (q) = −iξ (4.130)
q2
podemos escrever (usando a identidade de Ward para n = 1, p = 0)
(2π)4 δ(p′ − q − p)S(p′ )q ν Γν (p′ , p)S(p)

Z
′
= i d4 xd4 x1 d4 y1 ∂xν h0| T jν (x)ψβ (x1 )ψ(y1 ) |0i ei(p ·x1 −p·y1−q·x)
Z
′
= ie d4x d4 x1 d4 y1 ei(p ·x1 −p·y1−q·x) h0| T ψ(x1 )ψ(y1 ) |0i [δ(x − y1 ) − δ(x − x1 )]
= ie(2π)4 δ(p′ − p − q)[S(p′ ) − S(p)] (4.131)

ou ainda
h i
q ν Γν (p′ , p) = ie S −1 (p) − S −1 (p′ ) (4.132)
Como q ν = (p′ − p)ν obtemos desta expressão, no limite p′ = p,
∂S −1
Γν (p, p) = −ie
∂pν
!
∂Σ
= −e γν − ν (4.133)
∂p
Usando Γν = −e(γν + Λν ) obtemos finalmente a identidade de Ward na forma

utilizada atrás
∂Σ
Λν (p, p) = − . (4.134)
∂pν
4.3 Contratermos e contagem de potências

Tudo aquilo que vimos nas secções anteriores pode ser interpretado do modo seguinte.
O Lagrangeano inicial L(e, m, · · ·) foi obtido a partir duma correspondência entre a
mecânica clássica e a mecânica quântica. É então natural que seja modificado por
correcções quânticas sendo o Lagrangeano total dado então por
Ltot = L(e, m, · · ·) + ∆L (4.135)

e
∆L = ∆L(1) + ∆L[2] + · · · (4.136)

onde ∆L[i] é a correcção correspondendo a “i − loops” ou, o que é o mesmo, à
ordem h̄i pois uma contagem em termos de h̄ é o mesmo que uma contagem em
termos de loops7 . Esta interpretação é bastante atraente porque no limite h̄ → 0
o Lagrangeano se reduz ao clássico. Com o Lagrangeano Ltot podemos então obter
resultados finitos, embora Ltot ele mesmo seja infinito por causa dos termos em ∆L.
Dentro desta linguagem os resultados até à ordem h̄ podem ser escritos
1 µ 1
L(e, m, · · ·) = − Fµν F µν + Aµ Aµ − (∂ · A)2
4 2 2ξ
+iψ∂/ψ − mψψ − eψA
/ψ (4.137)
1
∆L(1) = − (Z3 − 1)Fµν F µν + (Z2 − 1)(iψ∂/ψ − mψψ)
4
+Z2 δmψψ − e(Z1 − 1)ψA
/ψ (4.138)
O Lagrangeano
1 µ 1
Ltot = − Z3 Fµν F µν + Aµ Aµ − (∂ · A)2
4 2 2ξ
+Z2 (iψ∂/ψ − mψψ + δmψψ)
E V
7 E−1+L
h̄ = h̄ 2 + 2 . Notar que são válidas as seguintes relações L = I − V + 1 ; 3V = E + 2I.
4.3. Contratermos e contagem de potências 143
−eZ1 ψA
/ψ (4.139)
produzirá funções de Green renormalizadas e finitas até à ordem h̄.

De facto só mostrámos que as funções de Green de 2 pernas exteriores (propa-
gadores) e de 3 pernas exteriores (vértice) eram finitas. É importante verificarmos
se todas as outras funções de Green, com um número arbitrário de pernas exteriores,
são finitas pois já esgotámos toda a nossa liberdade ao escolhermos a massa, a con-
stante de acoplamento e os resı́duos dos pólos. Isto leva-nos à chamada contagem
de potências.
Consideremos um diagrama de Feynman G com L loops, IB linhas internas de
Bosões e IF linhas internas de Fermiões. Se houver vértices com derivadas, δv é o
número de derivadas no vértice v. Define-se então o grau superficial de divergência
(notar que L = IB + IF + 1 − V )
X
ω(G) = 4L + δv − IF − 2IB
v
X
= 4 + 3IF + 2IB + (δv − 4) (4.140)
v
Para grandes valores do momento o diagrama divergirá com
Λω (G) se ω(G) > 0 (4.141)

e com
ln Λ se ω(G) = 0 (4.142)
onde Λ é um cutoff. Os diversos termos têm a origem seguinte:
Z
d4 q
(por loop) → 4L
(2π)4
∂µ ⇔ kµ → δv
(4.143)
i → −IF
/q − m
i → −2IB
q 2 − m2
A expressão para ω(G) é mais útil quando expressa em termos do número de

linhas externas e da dimensionalidade dos vértices da teoria. Seja ωv a dimensão,
em termos de massa, do vértice v, isto é
3
ωv = δv + #campos bosónicos + #campos fermiónicos (4.144)
2
Então, se designarmos por fv (bv ) o número de linhas internas fermiónicas (bosóni-

cas) que vão dar ao vértice v, podemos escrever
X X 3 3
ωv = (δv + fv + bv ) + EF + EB (4.145)
v v 2 2
onde EF (EB ) são o número de linhas externas fermiónicas (bosónicas). Atendendo
a que temos
1X
IF = fv
2 v
1X
IB = bv (4.146)
2 v
obtemos
X X 3
ωv = δv + 3IF + 2IB + EF + EB (4.147)
v v 2
Substituindo na expressão para ω(G) obtemos finalmente
3 X
ω(G) = 4 − EF − EB + (ωv − 4) (4.148)
2 v
Se [gv ] for a dimensão em termos de massa da constante de acoplamento do vértice

v, então
ωv + [gv ] = 4 (4.149)
De acordo com a expressão anterior para o grau superficial de divergência clas-

sificamos as teorias em três classes
i) Teorias não renormalizáveis

Contém pelo menos um vértice com ωv > 4. O grau superficial de divergência
aumenta com o número de vértices, isto é com a ordem das teorias de per-
turbações. Para uma ordem suficientemente grande ∀ função de Green diverge.
ii) Teorias renormalizáveis

Todos os vértices têm ωv ≤ 4 e pelo menos um tem ωv = 4. Se todos os
vértices tiverem ωv = 4 então
3
ω(G) = 4 − EF − EB (4.150)
2
4.3. Contratermos e contagem de potências 145
e todos os diagramas contribuindo para uma dada função de Green têm o

mesmo grau de divergência. Somente um número finito de funções de Green
são divergentes.
iii) Teorias super-renormalizáveis

Todos os vértices têm ωv < 4. Somente um número finito de diagramas é
divergente 8 .
Voltando ao nosso problema de saber quais os diagramas divergentes em QED,

podemos fazer a tabela seguinte.
EF EB ω(G) Grau efectivo

de divergencia
0 2 2 0 (cons. de corrente
0 3 0 (T. de Furry)
0 4 0 Convergente
2 0 1 0 (cons. de corrente)
2 1 0 0
Tabela 6.1
Todos os outros diagramas são superficialmente convergentes. Como veremos o grau

efectivo de divergência é reduzido em virtude das identidades de Ward ou seja de
conservação de corrente.
Esta análise mostra que até à ordem h̄ o Lagrangeano
1 1 1
Ltot = − Z3 Fµν F µν + µAµ Aµ − (∂ · A)2
4 2 2ξ
+Z2 (iψ∂/ψ − mψψ + δmψψ)
−eZ1 ψA
/ψ (4.151)
produz funções de Green finitas e renormalizadas com um número arbitrário de

pernas. Resta mostrar, o que não faremos aqui, que o Lagrangeano anterior continua
a ser válido numa ordem qualquer com a mesma forma, com a única diferença que
as constantes Z1 , Z2 , Z3 e δm serão dados por séries, p.e.
(1) (2)
Z1 = Z1 + Z1 + · · · (4.152)
8
O grau efectivo de divergência é por vezes inferior ao grau superficial, quando devido a simetrias
da teoria algumas potências do momento exterior podem ser factorizadas. É o que acontece com
a polarização do vácuo em QED.
O Lagrangeano anterior permite uma outra interpretação que por vezes também é
útil. Os campos A, ψ e ψ são os campos renormalizados que produzem resı́duos iguais
a 1 nos pólos dos propagadores, e as constantes m, e são a massa e a carga fı́sicas.
Definamos os campos não renormalizados ψ0 , ψ 0 e A0 e os parâmetros despidos
(dependentes do cutoff) µ20 , m0 e de acordo com
√
ψ0 = Z2 ψ m0 = m − δm
√
ψ = Z2 ψ µ20 = Z3−1 µ2
√ q (4.153)
A0 = Z3 A e0 = Z1 Z2 Z3−1 e = √1Z3 e
−1
ξ 0 = Z3 ξ
Então o Lagrangeano em termos das quantidades despidas é idêntico ao La-
grangeano original9
1 1 1
L = − F0µν F0µν + µ0 A0µ Aµ0 − (∂ · A0 )2
4 2 2ξ0
+i(ψ 0 ∂/ψ0 − m0 ψψ0 ) − e0 ψ 0 A
/0 ψ0 (4.154)
As funções de Green despidas estão relacionadas com as funções de Green renor-

malizadas por
Gn,ℓ
0 (p1 , · · · p2n , k1 , · · · kℓ , µ0 , m0 , ℓ0 , ξ0 , Λ)
ℓ/2
= Z2n (Λ)Z3 Gn,ℓ
R (p1 , · · · p2n , k1 · · · kℓ , µ, m, e, ξ) (4.155)
onde p1 · · · p2n são os momentos dos fermiões e k1 · · · kℓ os momentos dos bosões.
4.4 Momento magnético anómalo do electrão

Vamos aqui ver como as correcções finitas produzem resultados verificados experi-
mentalmente dando credibilidade a todo o programa de renormalização. Calculemos
a correcção ao momento magnético anómalo do electrão. O momento magnético do
electrão é dado por
e ~σ
~µ = g (4.156)
2m 2
2 µ2
9
Os termos µ2 A2 = 20 A20 e 2ξ1
(∂ · A)2 = 2ξ10 (∂ · A0 )2 não são renormalizados. Isto é uma
consequência das identidades de Ward-Takashashi. A identidade de Ward Z1 = Z2 é crucial para
que e0 A0 = eA dando um significado ao acoplamento mı́nimo independente da renormalização.
4.4. Momento magnético anómalo do electrão 147
onde e = −|e| para o electrão.

Um dos grandes triunfos da equação de Dirac foi prever o valor g = 2. Definamos
a anomalia do momento magnético através da relação
g = 2(1 + a) (4.157)
ou seja
g
−1 a= (4.158)
2
Vamos calcular a anomalia a dada pela correcção de 1-loop. Vejamos primeiro de
que forma é que apareceria um valor de a 6= 0 em mecânica quântica não relativista.
A equação de Schrödinger para uma partı́cula num campo exterior é
 
~ 2
∂ϕ  (~p − eA) e
i = + eφ − ~ϕ
(1 + a)~σ · B (4.159)
∂t 2m 2m
~ = ∇
Consideremos que o campo exterior é um campo magnético B ~ × A.
~ Então
conservando somente termos em primeira ordem em e obtemos
p2 ~+A
p~ · A ~ · p~ e
H = −e − ~ ×A
(1 + a)~σ · ∇ ~
2m 2m 2m
≡ H0 + Hint (4.160)
A amplitude de transição devida a Hint é
Z
′ e d3 x χ† −i~p′ ·~x ~+A
~ · p~ + (1 + a)~σ × ∇
~ · A]e
~ i~p·x χ
hp | Hint |pi = − 3
e [~p · A
2m (2π)
Z
e d3 x χ† ′
= − 3
[(~p + ~p) + i(1 + a)σ i ǫijk q j Ak ]e−i~q·x χ
2m (2π)
e χ† ′
= − [(p + p)k + i(1 + a)σ i ǫijk q j ]Ak (q)χ (4.161)
2m
É este o resultado que queremos comparar com o limite não relativista da correcção
do vértice. A amplitude é dada por
A = eu(p′ )(γµ + ΛR µ
µ )u(p)A (q)

′ 2 i
= eu(p ) γµ (1 + F1 (q )) + σµν q ν F2 (q 2 ) u(p)Aµ (q)
2m
e n h i o
= u(p′ ) (p′ + p)µ 1 + F1 (q 2 ) + iσµν q ν [1 + F2 (q ′ )] u(p)Aµ (q) (4.162)
2m
~ =∇
onde se usou a identidade Gordon. Para um campo magnético externo B ~ ×A
~
2
e no limite q → 0 a expressão anterior reduz-se a
e n o
A = u(p′ ) (p′ + p)k [1 + F1 (0)] + iσkj q j [1 + F2 (0)] u(p)Ak (q)
2m

e ′ ′ k i kij j α
= u(p ) −(p + p) + iΣ ǫ q 1 + u(p)Ak (q) (4.163)
2m 2π
onde se usaram os resultados 4.101

 F1 (0) = 0
(4.164)
 α
F2 (0) = 2π
Usando a forma explicita dos spinores u
 
χ
 
u(p) =   (4.165)
~
σ ·(~ ~
p−eA) χ
2m
podemos escrever no limite não relativista

e χ† α
A=− (p′ + p)k + i 1 + σ i ǫijk q j χAk (4.166)
2m 2π
o que após identificação com (6.136) conduz a
α
aeth = (4.167)
2π
Este resultado obtido pela primeira vez por Schwinger e confirmado experimental-
mente foi muito importante na aceitação do programa de renormalização em QED.
4.5 Correcções radiativas à difusão de Coulomb

Vimos no capı́tulo anterior que a difusão de Coulomb correspondente ao diagrama
da Figura 4.15, tinha a seguinte expressão para o elemento da matriz S
1
Sf i = iZe2 (2π)δ(Ei − Ef ) u(pf )γ 0 u(pi ) (4.168)
|~q|2
Vamos agora estudar as correcções radiativas a este resultado, em ordem mais
baixa. Devido às divergências infravermelhas que vão aparecer é conveniente intro-
duzir uma massa para o fotão, o que em termos dum campo clássico quer dizer um
screening. Se tomarmos
e−µ|~x|
A0c (x) = Ze (4.169)
4π|~x|
4.5. Correcções radiativas à difusão de Coulomb 149
µ
x Ac
pi pf
Figura 4.15:
µ µ µ µ µ
x Ac x Ac x Ac x Ac x Ac
pi pf pi pf pi pf pi pf
Figura 4.16:
então a transformada de Fourier é

1
A0c (q) = Ze (4.170)
|~q|2 + µ2
o que mostra que o µ tem o efeito duma massa. Com estas modificações temos
i
Sf i = iZe2 (2π)δ(Ef − Ei ) 2 2
u(pf )γ 0 u(pi ) (4.171)
|~q| + µ
Estamos interessados em calcular as correcções até à ordem e3 na amplitude.
Para isso contribuem os diagramas representados na Figura 4.16. O diagrama 1 é de
ordem e2 enquanto que os 2, 3, e 4 são de ordem e4 . Portanto a interferência entre
1 e (2 + 3 + 4) é de ordem α3 e deverá ser adicionada ao resultado do bremstrahlung
num campo de Coulomb. A contribuição de 1 + 2 + 3 obtém-se muito facilmente
notando que
eAµc γµ → eAµc (γµ + ΛR R νρ

µ + Πµν G γρ ) (4.172)
onde ΛR R
µ e Πµν foram calculados anteriormente. Obtemos

(1+2+3) 2 1 α 1
Sf i = iZe (2π)δ(Ei − Ef ) 2 2
u(pf )γ 0 1 + − ϕ tanh ϕ
|~q| + µ π 2
Z
µ ϕ
1 + ln (2ϕ coth 2ϕ − 1) − 2 coth 2ϕ β tanh βdβ
m 0
! # )
coth2 ϕ 1 /q α ϕ
+ 1− (ϕ coth ϕ − 1) + − u(pi ) (4.173)
β 9 2m π sinh 2ϕ
onde
|~q|2
= sinh2 ϕ (4.174)
4m
Finalmente o quarto diagrama dá
Z " #
(4) 2 2 d4 k 2πδ(Ef − k 0 ) 0 i 0
0 2πδ(k − Ei )
Sf i = (iZe) (e) u(p f ) γ γ
(2π)4 (pf − k)2 − µ2 k/ − m + iε (k − pi )2 − µ2
Z 2 α2
= −2i 2πδ(Ef − Ei )u(pf )[m(I1 − I2 ) + γ 0 Ei (I1 + I2 )]u(pi ) (4.175)
π
onde
Z
1
I1 = d3 k (4.176)
[(~pf − ~k)2 + µ2 ][(~pi − ~k)2 + µ2 ][(~p)2 − (~k)2 + iε]
e
Z ~k
1
(~pi + p~f )I2 ≡ d3 k (4.177)
2 [(~pf − ~k)2 + µ2 ][(~pi − ~k)2 + µ2 ][(~p)2 − (~k)2 + iε]
No limite µ → 0 pode-se mostrar que
!
π2 2p sin(θ/2)
I1 = 3 2 ln (4.178)
2ip sin θ/2 µ
( " # " ! #)
π2 π 1 1 2p sin θ/2 µ
I2 = 1− −i 2 ln + ln
2p3 cos2 θ/2 2 sin θ/2 sin θ/2 µ 2p
(4.179)
Com estas expressões obtemos para a secção eficaz

4.5. Correcções radiativas à difusão de Coulomb 151
dσ Z 2 α2 1 X
= |u(pf )Γu(pi )|2 (4.180)
dΩ |~q|2 2 pol
onde
/q
Γ = γ 0 (1 + A) + γ 0 B+C (4.181)
2m
e
Z
α µ ϕ ϕ
A = 1 + ln (2ϕ coth 2ϕ − 1) − 2 coth 2ϕ dββ tanh β − tanh ϕ
π m 0 2

1 1 Zα
+ 1 − coth2 ϕ (ϕ coth ϕ − 1) + − 2 |~q|2 E(I1 + I2 ) (4.182)
3 9 2π
α ϕ
B = − (4.183)
π sinh 2ϕ
Zα
C = − m|~q|2 (I1 − I2 ) (4.184)
2π 2
Então
1X 1
|u(pf )pu(pi )|2 = Tr[Γ(p
/i + m)Γ(p
/f + m)]
4 pol 4
θ
= 2E 2 (1 − β 2 sin2 θ/2) + 2E 2 2Bβ 2 sin2
! 2
2 θ 2 2
+2E 2ReA 1 − β sin + 2ReC(2mE) + O(α2 ) (4.185)
2
Notar que A, B e C são de ordem α e que a dependência em µ desapareceu (o
resultado não depende de ImA ou ImC). O resultado final é portanto, até ordem
α3 :
! !
dσ dσ 2α µ ϕ
= 1+ 1 + ln (2ϕ coth ϕ − 1) − tanh ϕ
dΩ elastic
dΩ Mott
π m 2
Z !
ϕ coth2 ϕ 1
−2 coth 2ϕ dββ tanh β + − (ϕ coth ϕ − 1) +
0 3 9
# )
ϕ B 2 sin2 θ/2 β sin θ2 [1 − sin θ/2]
− + Zαπ (4.186)
sinh 2ϕ 1 − β 2 sin2 θ/2 1 − β 2 sin2 θ/2
Tal como tı́nhamos anunciado, o resultado é divergente infravermelho (no limite

µ → 0). Como explicamos anteriormente esta divergência não é fı́sica e é resolvida
da seguinte maneira. Os detectores têm uma energia abaixo da qual não detectam,
pelo que no limite ω → 0 o bremsstrahlung na presença do campo de Coulomb e a
difusão no campo de Coulomb não são distinguidas pelo detector. Isto quer dizer
que temos que somar os dois resultados. Se considerarmos um intervalo de energia
∆E com µ ≤ ∆E ≤ E obtemos
" # ! Z " #
dσ dσ d3 k 2 2pi · pf m2 m2
(∆E) = e − −
dΩ BR
dΩ Mott ω≤∆E 2ω(2π)3 k i · pi k · pf (k · p·)2 (k · pf )2
(4.187)
Introduzindo uma massa para o fotão (isto é ω = (|~k|2 + µ2 )1/2 ) o integral pode
ser efectuado obtendo-se
" # ! (
dσ dσ 2α 2∆E 1 1+β
(∆E) = (2ϕ coth 2ϕ − 1) ln + ln
dΩ BR
dΩ Mott
π µ 2β 1 − β
Z )
1 1 − β2 1 1 1 + βξ
− cosh 2ϕ dξ 2 2 2 1/2
ln
2 β sin θ/2 cos θ/2 (1 − β ξ )[ξ − cos θ/2] 1 − βξ
(4.188)
Vemos agora que quando consideramos a secção eficaz inclusiva
! " #
dσ dσ dσ
(∆E) = + (∆E)
dΩ dΩ elastic
dΩ BR
!
dσ
= (1 − δR + δB ) (4.189)
dΩ Mott
onde δR e δB são expressões complicadas que dependem da energia ∆E (resolução de

detector) mas não dependem do parâmetro µ que pode finalmente ser posto igual a
zero. Pode-se mostrar que em QED todas as divergências podem ser tratadas duma
forma semelhante. Notar que o efeito final do bremsstrahlung é finito e pode ser
importante.
Apêndice A
Técnicas e fórmulas úteis para a

renormalização
May 19, 2010
A.1 Parâmetro µ
A razão do parâmetro µ introduzindo no texto é a seguinte. Em dimensão d = 4 − ǫ,
os campos Aµ e ψ têm as dimensões dadas pelos termos cinéticos da acção
Z
1
d
d x − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )2 + ψγ · ∂ψ (A.1)
4
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0 = −d + 2 + 2[Aµ ] ⇒ [Aµ ] = 21 (d − 2) = 1 − ǫ
2
(A.2)
1 3 ǫ
0 = −d + 1 + 2[ψ] ⇒ [ψ] = 2
(d − 1) = 2
− 2
Usando estas dimensões no termo de interacção

Z
SI = dd xeψγµ ψAµ (A.3)
obtemos
[SI ] = −d + [e] + 2[ψ] + [A]

ǫ
= −4 + ǫ + [e] + 3 − ǫ + 1 −
2
ǫ
= [e] − (A.4)
2
Portanto se quisermos que a acção não tenha dimensões (notar que h̄ = c = 1,
portanto a acção não tem dimensões) temos que pôr
153
154 Apêndice A. Técnicas e fórmulas úteis para a renormalização
ǫ
[e] = (A.5)
2
Assim vemos que em dimensões d 6= 4 a constante de acoplamento tem dimensões.
Como é mais conveniente trabalhar com uma constante de acoplamento sem di-
mensões introduzimos um parâmetro µ com dimensões de massa e quando estamos
em d 6= 4 fazemos a substituição
ǫ
e → eµ 2 (ǫ = 4 − d) (A.6)
mantendo a constante e sem dimensões.
A.2 Parametrização de Feynman

A forma mais geral dum integral a 1–loop é1
Z
dd k k µ1 · · · k µp
T̂nµ1 ···µp ≡ (A.7)
(2π)d D1 D2 · · · Dn
onde
Di = (k + ri )2 − m2i + iǫ (A.8)
onde os momentos ri estão relacionados com os momentos exteriores (por convenção
tomados todos incoming) através das relações
j
X
rj = pi ; j = 1, . . . , n − 1
i=1
Xn
rn = pi = 0 (A.9)
i=1
conforme indicado na Fig. (A.1). Nestas expressões aparecem no denominador

produtos dos denominadores dos propagadores das partı́culas no loop. É conve-
niente combinar esses produtos num só denominador. Isso consegue-se através duma
técnica devida a Feynman. Exemplifiquemos para dois denominadores
Z
1 1 dx
= (A.10)
ab 0 [ax + b(1 − x)]2
A demonstração é trivial. De facto, a primitiva da função integranda é

Z
1 x
dx 2 = (A.11)
[ax + b(1 − x)] b [(a − b)x + b]
1
We introduce here the notation T̂ to distinguish from a more standard notation that will be
explained in section A.9.
A.2. Parametrização de Feynman 155
pn
p1 k
p2 k+r1 pn-1
p3 k+r3
pi
Figura A.1:
p p
p+k
Figura A.2:
e portanto Eq. (A.10) segue imediatamente. Por derivação sucessiva em ordem a a

e b obtemos Z
1 Γ(p + q) 1 xp−1 (1 − x)q−1
= dx (A.12)
ap bq Γ(p)Γ(q) 0 [ax + b(1 − x)]p+q
e por indução obtemos uma fórmula geral
Z Z
1 1 1−x1
= Γ(n) dx1 dx2 · · ·
a1 a2 · · · an 0 0
Z 1−x1 −···−xn−1 dxn−1
(A.13)
0 [a1 x1 + a2 x2 + · · · + an (1 − x1 − · · · − xn−1 )]n
Antes de terminar esta secção vamos dar um exemplo que será útil no caso das self–
energies. Consideremos a situação descrita pela cinemática da Fig. (A.2). Obtemos
então
Z Z
1 dd k 1
I = dx
0 (2π)d [(k + p)2 − m1 + iǫ] [k 2 − m22 + iǫ]
2
Z 1 Z
dd k 1
= dx
0 (2π) [k + 2p · k x + p x − m21 x − m22 (1 − x) + iǫ]2
d 2 2
Z 1 Z
dd k 1
= dx
0 (2π) [k + 2P · k − M 2 + iǫ]2
d 2
Z Z
1 dd k 1
= dx (A.14)
0 (2π) [(k + P ) − P 2 − M 2 + iǫ]2
d 2
onde na última linha se completou o quadrado do termo no momento k do loop. As

grandezas P e M 2 são, neste caso da self–energy, definidas por
P = xp (A.15)
e
M 2 = −x p2 + m21 x + m22 (1 − x) (A.16)
só dependem das massas, momentos exteriores e dos parâmetros de Feynman. Agora
fazendo a mudança de variável k → k − P eliminamos os termos lineares em k e
obtemos finalmente Z 1 Z
dd x 1
I= dx (A.17)
0 (2π) [k − C + iǫ]2
d 2
onde C é independente do momento k e dado por
C = P 2 + M2 (A.18)
Notar que os factores iǫ se adicionam correctamente e se podem pôr sempre como

na Eq. (A.17).
A.3 Rotação de Wick

Do exemplo visto na secção anterior se pode concluir que todos os integrais escalares
se podem reduzir à forma
Z r
dd x k2
Ir,m = (A.19)
(2π)d [k 2 − C + iǫ]m
Também e fácil de ver que todos os integrais tensoriais se podem reduzir a integrais
escalares. Por exemplo
Z
dd x kµ
=0
(2π)d [k 2 − C + iǫ]m
Z
dd x kµ kν 1 µν Z d k2
= g d x (A.20)
(2π)d [k 2 − C + iǫ]m d [k 2 − C + iǫ]m
e assim sucessivamente. Então os integrais Ir,m são os que serão importantes para
calcular. Vamos supor que C > 0 e o caso C < 0 far-se-á por continuação analı́tica.
Para calcular o integral Ir,m vamos usar a integração no plano complexo da variável
k 0 conforme descrito na Fig. (A.3). Podemos escrever
A.3. Rotação de Wick 157
Im k0
x Re k0
Figura A.3:
Z Z r
dd−1 k 0 k2
Ir,m = dk h im (A.21)
(2π)d k02 − |~k|2 − C + iǫ
A função integranda tem pólos para

q
0
k =± |~k|2 + C − iǫ (A.22)
conforme indicado na Fig. (A.3). Assim, usando as propriedades das funções com-
plexas (Teorema de Cauchy), podemos deformar o contorno passando a integração
do eixo real para o eixo imaginário mais os dois quarto de cı́rculo indicados na
figura. A contribuição destes quarto de cı́rculos no infinito é nula se a dimensão
for suficientemente pequena para o integral convergir, como estamos a supor em
regularização dimensional. Então transformámos a integração ao longo do eixo real
numa integração ao longo do eixo imaginário no plano da variável complexa k 0 . Se
escrevermos então
Z +∞ Z +∞
0
k = ikE0 com 0
dk → i dkE0 (A.23)
−∞ −∞
e k 2 = (k 0 )2 − |~k|2 = −(kE0 )2 − |~k|2 ≡ −kE2 , onde kE = (kE0 , ~k) é um vector

euclidiano, isto é, calculamos o seu produto interno usando a métrica euclidiana
diag(+, +, +, +),
kE2 = (kE0 )2 + |~k|2 (A.24)
Podemos então escrever
Z r
r−m d d kE kE2
Ir,m = i(−1) m (A.25)
(2π)d [kE2 + C]
onde não mais precisamos do iǫ pois o denominador é estritamente positivo (C > 0).
Este procedimento é conhecido como Rotação de Wick. É de notar que a prescrição
de Feynman para os propagadores que deu origem ao iǫ nos denominadores é crucial
para se poder fazer a rotação de Wick.
A.4 Integrais Escalares em Regularização Dimen-

sional
Vimos na secção anterior que os integrais a calcular em regularização dimensional
tinham a forma geral da Eq. (A.25). Vamos aqui encontrar uma expressão geral
para Ir,m . Para isso escrevemos
Z Z
d d−1
d kE = dk k dΩd−1 (A.26)
q
onde k = (kE0 )2 + |~k|2 é o comprimento do vector kE no espaço euclidiano a d
dimensões e dΩd−1 é o ângulo sólido que generaliza as coordenadas esféricas. Os
ângulos são definidos por
kE = k(cos θ1 , sin θ1 cos θ2 , sin θ1 sin θ2 , sin θ1 sin θ2 cos θ3 , . . . , sin θ1 · · · sin θd−1 )
(A.27)
Z Z π Z 2π
dΩd−1 = sin θ1d−2 dθ1 · · · dθd−1 (A.28)
0 0
Usando agora
Z π √ Γ( m+1 )
sin θm dθ = π 2
m+2 (A.29)
0 Γ( 2 )
onde Γ(z) é a função gama, obtemos
Z d
π2
dΩd−1 =2 d (A.30)
Γ( 2 )
A integração em k faz-se usando o resultado

Z ∞ xp Γ( p+1 )
dx n n q
= π(−1)q−1 ap+1−nq p+1
n
p+1 (A.31)
0 (x + a ) n sin(π n
) Γ( 2 − q + 1)
para finalmente se obter
d (−1)r−m Γ(r + d2 ) Γ(m − r − d2 )

Ir,m = iC r−m+ 2 (A.32)
Γ( d2 )
d
(4π) 2 Γ(m)
Notemos, para finalizar, que a representação integral de Ir,m , Eq. (A.19) é válida
somente para d < 2(m − r) para assegurar a convergência quando k → ∞. Contudo
a forma já integrada da Eq. (A.32) pode ser continuada analiticamente para todos
os valores de d excepto para aqueles em que a função Γ(m − r − d/2) tem pólos, isto
é (ver secção A.6), para
d
m − r − 6= 0, −1, −2, . . . (A.33)
2
A.5. Integrais Tensoriais em Regularização Dimensional 159
Para a aplicação aos integrais que aparecem em regularização dimensional é conve-

niente escrever Eq. (A.32) usando a relação d = 4 − ǫ. Obtemos
ǫ
(−1)r−m 4π 2 Γ(2 + r − 2ǫ ) Γ(m − r − 2 + 2ǫ )
Ir,m =i C 2+r−m (A.34)
(4π)2 C Γ(2 − 2ǫ ) Γ(m)
A.5 Integrais Tensoriais em Regularização Dimen-

sional
Frequentemente estamos também interessados em calcular os integrais tensoriais da
forma da Eq. (A.7)
Z
T̂nµ1 ···µp ≡ (A.35)
(2π)d D1 D2 · · · Dn
Para fazermos estes integrais começamos por efectuar a redução ao mesmo denomi-
nador usando a parametrização de Feynman. O resultado é
Z Z Z
1 1−x1 −···−xn−1 dd k k µ1 · · · k µp
T̂nµ1 ···µp = Γ(n) dx1 · · · dxn−1
0 0 (2π)d [k 2 + 2k · P − M 2 + iǫ]n
Z 1 Z 1−x1 −···−xn−1
= Γ(n) dx1 · · · dxn−1 Inµ1 ···µp (A.36)
0 0
onde se definiu
Z
Inµ1 ···µp ≡ (A.37)
(2π)d [k 2 + 2k · P − M 2 + iǫ]n
que designamos por integral tensorial. Em princı́pio todos estes integrais se podem
escrever em termos de integrais escalares. No entanto é conveniente ter uma fórmula
geral para os obter. Essa fórmula pode ser obtida notando que
∂ 1 2kµ
n = −n (A.38)
µ 2 2
∂P [k + 2k · P − M + iǫ] [k 2 + 2k · P − M 2 + iǫ]n+1
Usando a relação anterior pode-se mostrar que
i (4π)ǫ/2 Z ∞ dt n−3+ǫ/2 ∂ ∂
Inµ1 ···µp = 2 p
t ··· e−t C (A.39)
16π Γ(n) 0 (2t) ∂Pµ1 ∂Pµp
onde C = P 2 + M 2 . Depois de efectuadas as derivadas os integrais podem ser feitos

usando as propriedades da função Γ (ver secção A.6). Notar que P , M 2 e portanto C
dependem não só dos parâmetros de Feynman mas também dos momentos exteriores.
A.6 Função Γ(z) e outras fórmulas úteis

A definição da função Γ é
Z ∞
Γ(z) = tz−1 e−t dt (A.40)
0
ou
Z ∞
tz−1 e−µt dt = µ−z Γ(z) (A.41)
0
A função Γ(z) tem as seguintes propriedades
Γ(z + 1) = zΓ(z)
Γ(n + 1) = n! (A.42)
Outra função relacionada com a função Γ é a sua derivada logarı́tmica com as

propriedades
d
ψ(z) = ln Γ(z) (A.43)
dz
ψ(1) = −γ (A.44)
1
ψ(z + 1) = ψ(z) + (A.45)
z
onde γ é a constante de Euler. A função Γ(z) tem pólos para z = 0, −1, −2, · · ·.
Junto do pólo z = −m temos
(−1)m 1 (−1)m
Γ(z) = + ψ(m + 1) + O(z + m) (A.46)
m! m + z m!
Daqui concluı́mos que quando ǫ → 0

ǫ 2 (−1)n 2
Γ = + ψ(1) + O(ǫ) Γ(−n + ǫ) = + ψ(n + 1) + 1 (A.47)
2 ǫ n! ǫ
e !
π2 ǫ2
Γ(1 + ǫ) = 1 − γǫ + γ 2 + +··· , ǫ→0 (A.48)
6 2!
Usando estes resultados podemos expandir os nossos integrais em potências de ǫ e
extrair a parte divergente e a parte finita. Exemplifiquemos para um dos integrais
da self–energy.
A.7. Explicit formulæ for the 1–loop integrals 161
ǫ
i 4π 2 2 Γ(1 + 2ǫ )
I0,2 =
(4π)2 C ǫ

i 2
= 2
− γ + ln 4π − ln C + O(ǫ)
16π ǫ
i
= [∆ǫ − ln C + O(ǫ)] (A.49)
16π 2
onde introduzimos a notação
2
∆ǫ = − γ + ln 4π (A.50)
ǫ
para uma combinação que vai aparecer em todas as expressões.
A.7 Explicit formulæ for the 1–loop integrals

Although we have presented in the previous sections the general formulæ for all the
integrals that appear in 1–loop, Eqs. (A.34) and (A.39), in pratice it is convenient to
have expressions for the most important cases with the expansion on the ǫ already
done. The results presented below were generated with the Mathematica package
OneLoop [1] from the general expressions. In these results the integration on the
Feynman parameters has still to be done. This is in general a difficult problem and
we will present in section A.9 an alternative way of expressing these integrals more
convenient for a numerical evaluation.
A.7.1 Tadpole integrals

With the definitions of Eqs. (A.34) and (A.39) we get
i
I0,1 = C(1 + ∆ǫ − ln C)
16π 2
I1µ = 0
i 1 2 µν
I1µν = C g (3 + 2∆ǫ − 2 ln C) (A.51)
16π 2 8
where for the tadpole integrals
P =0 ; C = m2 (A.52)
because there are no Feynman parameters and there is only one mass. In this case
the above results are final.
A.7.2 Self–Energy integrals

For the integrals with two denominators we get,
i
I0,2 = (∆ǫ − ln C)
16π 2
i
I2µ = 2
(−∆ǫ + ln C)P µ
16π

i 1
I2µν = µν
Cg (1 + ∆ǫ − ln C) + 2(∆ǫ − ln C)P P µ ν
16π 2 2

i 1
I2µνα = − Cg µν (1 + ∆ǫ − ln C)P α − Cg να(1 + ∆ǫ − ln C)P µ
16π 2 2

µα ν α µ α µ ν
− Cg (1 + ∆ǫ − ln C)P − (2∆ǫ P P − 2 ln CP P )P (A.53)
where, with the notation and conventions of Fig. (A.1), we have
P µ = x r1µ ; C = x2 r12 + (1 − x) m22 + x m21 − x r12 (A.54)
A.7.3 Triangle integrals

For the integrals with three denominators we get,
i −1
I0,3 =
16π 2 2C
i 1
I3µ = Pµ
16π 2 2C

i 1
I3µν = µν
Cg (∆ǫ − ln C) − 2P P µ ν
16π 2 4C

i 1
I3µνα = Cg µν (−∆ǫ + ln C)P α + Cg να (−∆ǫ + ln C)P µ
16π 2 4C

µα ν α µ ν
+ Cg (−∆ǫ + ln C)P + 2P P P

i 1
I3µναβ = C 2
(1 + ∆ǫ − ln C) g µα νβ
g + g µβ να
g + g αβ µν
g
16π 2 8C

+ 2C (∆ǫ − ln C) g µν P α P β + g νβ P α P µ + g να P β P µ + g µα P β P ν

+g µβ P α P ν + g αβ P µ P ν − 4P α P β P µ P ν (A.55)
where
A.8. Divergent part of 1–loop integrals 163
P µ = x1 r1µ + x2 r2µ
C = x21 r12 + x22 r22 + 2x1 x2 r1 · r2 + x1 m21 + x2 m22
+(1 − x1 − x2 ) m23 − x1 r12 − x2 r22 (A.56)
A.7.4 Box integrals
i 1
I0,4 =
16π 2 6C 2
i −1 µ
I4µ = P
16π 2 6C 2

i −1
I4µν = µν
Cg − 2P P µ ν
16π 2 12C 2

i 1
I4µνα = C (g µν α
P + g να µ
P + g µα ν
P ) − 2P α µ ν
P P
16π 2 12C 2

i 1
I4µναβ = C 2
(∆ ǫ − ln C) g µα νβ
g + g µβ να
g + g αβ µν
g
16π 2 12C 2

− 2C g µν P α P β + g νβ P α P µ + g ναP β P µ + g µα P β P ν

µβ α ν αβ µ ν α β µ ν
+g P P +g P P + 4P P P P (A.57)
where
P µ = x1 r1µ + x2 r2µ + x3 r3µ

C = x21 r12 + x22 r22 + x23 r32 + 2x1 x2 r1 · r2 + 2x1 x3 r1 · r3 + 2x2 x3 r2 · r3
+x1 m21 + x2 m22 + x3 m23 + (1 − x1 − x2 − x3 ) m24
−x1 r12 − x2 r22 − x3 r32 (A.58)
A.8 Divergent part of 1–loop integrals

When we want to study the renomalization of a given theory it is often convenient to
have expressions for the divergent part of the one-loop integrals, with the integration
on the Feynman parameters already done. We present here the results for the most
important cases. These divergent parts were calculated with the help of the package
OneLoop [1].
A.8.1 Tadpole integrals

h i i
Div I0,1 = ∆ǫ m2
16π 2
h i
Div I1µ = 0
h i i 1
Div I1µν = ∆ǫ m4 g µν (A.59)
16π 2 4
A.8.2 Self–Energy integrals

h i i
Div I0,2 ∆ǫ=
16π 2
h i
µ i 1
Div I2 = 2
− ∆ǫ r1µ
16π 2
h i
µν i 1 2 2 2 µν µ ν
Div I2 = ∆ǫ (3m1 + 3m2 − r1 )g + 4r1 r1
16π 2 12
h i
µνα i 1
Div I2 = 2
− ∆ǫ (4m21 + 2m22 − r12 ) (g µν r1α + g να r1µ + g µα r1ν )
16π 24

+ 6 r1αr1µ r1ν (A.60)
A.8.3 Triangle integrals

h i
Div I0,3 = 0
h i
Div I3µ = 0
h i i 1
Div I3µν = ∆ǫ g µν
16π 2 4
h i
i 1
Div I3µνα = − µν α α να µ µ µα ν
∆ǫ g (r1 + r2 ) + g (r1 + r2 ) + g (r1 + r2 ) ν
16π 2 12
h i
i 1
Div I3µναβ = ∆ǫ (2m21 + 2m22 + 2m23 ) g µα g νβ + g αβ g µν + g µβ g να
16π 2 48
h i h i
+g αβ 2r1µ r1ν + r1µ r2ν + (r1 ↔ r2 ) + g µβ 2r1α r1ν + r1α r2ν + (r1 ↔ r2 )
h i h i
+g νβ 2r1α r1µ + r1α r2µ + (r1 ↔ r2 ) + g µν 2r1α r1β + r1α r2β + (r1 ↔ r2 )
h i h i
+g µα 2r1β r1ν + r1β r2ν + (r1 ↔ r2 ) + g να 2r1β r1µ + r1β r2µ + (r1 ↔ r2 )
A.9. Passarino-Veltman Integrals 165

+ −r12 + r1 · r2 − r22 g µα g νβ + g αβ g µν + g µβ g να (A.61)
A.8.4 Box integrals

h i h i h i h i
Div I0,4 = Div I4µ = Div I4µν = Div I4µνα = 0
h i
i 1
Div I4µναβ = ∆ǫ g µν g αβ + g µβ g αν + g µα g νβ (A.62)
16π 2 24
A.9 Passarino-Veltman Integrals

A.9.1 The general definition
The description of the previous sections works well if one just wants to calculate
the divergent part of a diagram or to show the cancellation of divergences in a
set of diagrams. If one actually wants to numerically calculate the integrals the
task is normally quite complicated. Except for the self-energy type of diagrams the
integration over the Feynman parameters is normally quite difficult.
To overcome this problem a scheme was first proposed by Passarino and Velt-
man [2]. These scheme with the conventions of [3, 4] was latter implemented in the
Mathematica package FeynCalc [5] and, for numerical evaluation, in the LoopTools
package [6, 7]. The numerical evaluation follows the code developed earlier by van
Oldenborgh [8].
We will now describe this scheme. We will write the generic one-loop tensor
integral as
(2πµ)4−d Z d k µ1 · · · k µp
Tnµ1 ···µp ≡ d k (A.63)
iπ 2 D0 D1 D2 · · · Dn−1
where we follow for the momenta the conventions of section A.2 and Fig. A.1 and
defined D0 ≡ Dn and mn = m0 so that D0 = k 2 − m20 (remember that rn ≡ r0 = 0.
The main difference between this definition and the previous one Eq. (A.7) is that
a factor of 16πi 2 is taken out. This is because, as we have seen in section A.3 these
integrals always give that prefactor. So with our new convention that prefactor
has to included in the end. Factoring out the i has also the convenience of dealing
with real functions in many cases.2 From all those integrals in Eq. (A.63) the
scalar integrals are, has we have seen, of particular importance and deserve a special
notation. It can be shown that there are only four independent such integrals,
namelly (4 − d = ǫ)
Z
(2πµ)ǫ 1
A0 (m20 ) = dd k (A.64)
iπ 2 k 2 − m20
2
The one loop functions are in general complex, but in some cases they can be real. These cases
correspond to the situation where cutting the diagram does not corresponding to a kinematically
allowed process.
2 (2πµ)ǫ Z d Y 1
1
B0 (r10 , m21 , m22 ) = 2
d k 2 2
(A.65)
iπ i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 2
2 2 2 (2πµ)ǫ Y 1
C0 (r10 , r12 , r20 , m21 , m22 , m23 ) = dd k 2
(A.66)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 3
2 2 2 2 2 2 (2πµ)ǫ Y 1
D0 (r10 , r12 , r23 , r30 , r20 , r13 , m21 , . . . , m23 ) = dd k 2
(A.67)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
where
rij2 = (ri − rj )2 ; ∀ i, j = (0, n − 1) (A.68)
2
Remember that with our conventions r0 = 0 so ri0 = ri2 . In all these expressions
the iǫ part of the denominator factors is supressed. The general one-loop tensor
integrals are not independent. Their decomposition is not unique. We follow the
conventions of [5, 7] to write
Z 1
µ (2πµ)4−d Y 1
B ≡ dd k k µ 2
(A.69)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
µν (2πµ)4−d Z d µ ν Y 1
1
B ≡ 2
d k k k 2 2
(A.70)
iπ i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 2
µ (2πµ)4−d Y 1
C ≡ dd k k µ 2
(A.71)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 2
µν (2πµ)4−d Y 1
C ≡ dd k k µ k ν 2
(A.72)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 2
µνρ (2πµ)4−d Y 1
C ≡ dd k k µ k ν k ρ 2
(A.73)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 3
µ (2πµ)4−d Y 1
D ≡ dd k k µ 2
(A.74)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
µν (2πµ)4−d Z d µ ν Y 3
1
D ≡ 2
d k k k 2 2
(A.75)
iπ i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 3
µνρ (2πµ)4−d Y 1
D ≡ dd k k µ k ν k ρ 2
(A.76)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
Z 3
µνρσ (2πµ)4−d Y 1
D ≡ dd k k µ k ν k ρ k σ 2
(A.77)
iπ 2 2
i=0 [(k + ri ) − mi ]
These integrals can be decomposed in terms of (reducible) functions in the following

way:
B µ = r1µ B1 (A.78)
B µν = g µν B00 + r1µ r1ν B11 (A.79)
A.9. Passarino-Veltman Integrals 167
C µ = r1µ C1 + r2µ C2 (A.80)

2
X
C µν = g µν C00 + riµ rjν Cij (A.81)
i=1
2
X 2
X
C µνρ = (g µν riρ + g νρriµ + g ρµ riν ) C00i + riµ rjν rkρ Cijk (A.82)
i=1 i,j,k=1
3
X
Dµ = riµ Di (A.83)
i=1
3
X
D µν = g µν D00 + riµ rjν Dij (A.84)
i=1
3
X 2
X
D µνρ = (g µν riρ + g νρriµ + g ρµ riν ) D00i + riµ rjν rkρ Dijk (A.85)
i=1 i,j,k=1
D µνρσ = (gµν gρσ + gµρ gνσ + gµσ gνρ ) D0000
3
X
+ g µν riρ rjσ + g νρriµ rjσ + g µρ riν rjσ + g µσ riν rjρ (A.86)
i,j=1

+g νσ riµ rjρ + g ρσ riµ rjν D00ij
3
X
+ riµ rjν rkρ rlσ Cijkl (A.87)
i,j,k,l=1
All coefficient functions have the same arguments as the corresponding scalar func-
tions and are totally symmetric in their indices. In the FeynCalc [5] package one
generic notation is used,
h i
PaVe i, j, . . . , {r210 , r212 , . . .}, {m20 , m21 , . . .} (A.88)
for instance h i
2
B11 (r10 , m20 , m21 ) = PaVe 1, 1, {r210 }, {m20 , m21 } (A.89)
All these coefficient functions are not independent and can be reduced to the scalar
functions. FeynCalc provides the command PaVeREduce[...] to acomplish that.
This is very useful if one wants to check for cancellation of divergences or for gauge
invariance where a number of diagrams have to cancel.
A.9.2 The divergences

The package LoopTools provides ways to numerically check for the cancellation
of divergences. However it is useful to know the divergent part of the Passarino-
Veltman integrals. Only a small number of these integrals are divergent. They
are
h i
Div A0 (m20 ) = ∆ǫ m20 (A.90)
h i
Div B0 (r210 , m20 , m21 ) = ∆ǫ (A.91)
h i 1
Div B1 (r210 , m20 , m21 ) = − ∆ǫ (A.92)
2
h i 1
Div B00 (r210 , m20 , m21 ) = ∆ǫ 3m20 + 3m21 − r10
2
(A.93)
12
h i 1
Div B11 (r210 , m20 , m21 ) = ∆ǫ (A.94)
3
h i 1
Div C00 (r210 , r212 , r220 , m20 , m21 , m22 ) = ∆ǫ (A.95)
4
h i 1
Div C001 (r210 , r212 , r220 , m20 , m21 , m22 ) = − ∆ǫ (A.96)
12
h i 1
Div C002 (r210 , r212 , r220 , m20 , m21 , m22 ) = − ∆ǫ (A.97)
12
h i 1
Div D0000 (r210 , . . . , m20 , . . .) = ∆ǫ (A.98)
24
(A.99)
These results were obtained with the package LoopTools, after reducing to the
scalar integrals with the command PaVeReduce, but they can be verified by com-
paring with our results of section A.8, after factoring out the i/(16π 2 ).
A.10 Examples of 1-loop calculations with PV

functions
In this section we will work out in detail a few examples of one-loop calculations
using the FeynCalc package and the Passarino-Veltman scheme.
A.10.1 Vaccum Polarization in QED

We have done this example in section 4.1.1 using the techniques described in sec-
tions A.3, A.4 and A.5. Now we will use FeynCalc. The first step is to write the
Matematica program. We list it below:
(*********************** Program VacPol.m **************************)
(* First input FeynCalc *)
<< FeynCalc.m
(* These are some shorthands for the FeynCalc notation *)
dm[mu_]:=DiracMatrix[mu,Dimension->D]
dm[5]:=DiracMatrix[5]
A.10. Examples of 1-loop calculations with PV functions 169
ds[p_]:=DiracSlash[p]
mt[mu_,nu_]:=MetricTensor[mu,nu]
fv[p_,mu_]:=FourVector[p,mu]
epsilon[a_,b_,c_,d_]:=LeviCivita[a,b,c,d]
id[n_]:=IdentityMatrix[n]
sp[p_,q_]:=ScalarProduct[p,q]
li[mu_]:=LorentzIndex[mu]
L:=dm[7]
R:=dm[6]
(* Now write the numerator of the Feynman diagram. We define the

constant
C=alpha/(4 pi)
*)
num:= - C Tr[dm[mu] . (ds[q] + m) . dm[nu] . (ds[q]+ds[k]+m)]
(* Tell FeynCalc to evaluate the integral in dimension D *)
SetOptions[OneLoop,Dimension->D]
(* Define the amplitude *)
amp:=num * FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[q+k,m], \
PropagatorDenominator[q,m]]
(* Calculate the result *)
res:=(-I / Pi^2) OneLoop[q,amp]
(***************** End of Program VacPol.m *********************)
The output from Mathematica is:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Out[4]= (4 C (k + 6 m B0[0, m , m ] - 3 (k + 2 m ) B0[k , m , m ])
2 2
(k g[mu, nu] - k[mu] k[nu])) / (9 k )
Now remembering that,

α
C= (A.100)
4π
and
i Πµν (k, ε) = −i k 2 Pµν
T
Π(k, ε) (A.101)
we get
" ! #
α 4 8 m2 2 2 4 2m2
Π(k, ε) = − − B0 (0, m , m ) + 1 + B0 (k 2 , m2 , m2 ) (A.102)
4π 9 3 k2 3 k2
To obtain the renormalized vacuum polarization one needs to know the value of
Π(0, ε). To do that one has to take the limit k → 0 in Eq. (A.102). For that one
uses the derivative of the B0 function
∂
B0′ (p2 , m21 , m22 ) ≡ 2
B0 (p2 , m21 , m22 ) (A.103)
∂p
to obtain

α 4 4 8
Π(0, ε) = − + B0 (0, m2 , m2 ) + m2 B0′ (0, m2 , m2 ) (A.104)
4π 9 3 3
Using
1
B0′ (0, m2 , m2 ) = (A.105)
6m2
we finally get
α 4
Π(0, ε) = −δZ3 = B0 (0, m2 , m2 ) (A.106)
4π 3
and the final result for the renormalized vertex is:
" ! #
R α 1 2m2
Π (k) = − + 1+ 2 B0 (k 2 , m2 , m2 ) − B0 (0, m2 , m2 ) (A.107)
3π 3 k
If we want to compare with our earlier analytical results we need to know that
m2
B0 (0, m2 , m2 ) = ∆ε − ln (A.108)
µ2
Then Eq. (A.107) reproduces the result of Eq. (4.57). The comparison between
Eq. (A.107) and Eq. (4.59) can be done numerically using the package LoopTools[7].
A.10.2 Electron Self-Energy in QED

In this section we repeat the calculation of section 4.1.2 using the Passarino-Veltman
scheme. We start with the Mathematica program,
(********************* Program SelfEnergy.m ***********************)
(* First input FeynCalc *)
<< FeynCalc.m
(* These are some shorthands for the FeynCalc notation *)

dm[mu_]:=DiracMatrix[mu,Dimension->D]
dm[5]:=DiracMatrix[5]
ds[p_]:=DiracSlash[p]
mt[mu_,nu_]:=MetricTensor[mu,nu]
fv[p_,mu_]:=FourVector[p,mu]
epsilon[a_,b_,c_,d_]:=LeviCivita[a,b,c,d]
id[n_]:=IdentityMatrix[n]
sp[p_,q_]:=ScalarProduct[p,q]
li[mu_]:=LorentzIndex[mu]
L:=dm[7]
R:=dm[6]
(* Tell FeynCalc to reduce the result to scalar functions *)
SetOptions[{B0,B1,B00,B11},BReduce->True]
(* Now write the numerator of the Feynman diagram. We define the

constant
C= - alpha/(4 pi)
The minus sign comes from the photon propagator. The factor
i/(16 pi^2) is already included in this definition.
*)
num:= C dm[mu] . (ds[p]+ds[k]+m) . dm[mu]
(* Tell FeynCalc to evaluate the one-loop integral in dimension D *)
SetOptions[OneLoop,Dimension->D]
(* Define the amplitude *)
amp:= num \
FeynAmpDenominator[PropagatorDenominator[p+k,m], \
PropagatorDenominator[k]]
(* Calculate the result *)
res:=(-I / Pi^2) OneLoop[k,amp]
ans=-res;
(*
The minus sign in ans comes from the fact that -i \Sigma = diagram
*)
(* Calculate the functions A(p^2) and B(p^2) *)
A=Coefficient[ans,DiracSlash[p],0];
B=Coefficient[ans,DiracSlash[p],1];
(* Calculate deltm *)
delm=A + m B /. p->m
(* Calculate delZ2 *)
Ap2 = A /. ScalarProduct[p,p]->p2
Bp2 = B /. ScalarProduct[p,p]->p2
aux=2 m D[Ap2,p2] + Bp2 \

+ 2 m^2 D[Bp2,p2] /. D[B0[p2,0,m^2],p2]->DB0[p2,0,m^2]
aux2= aux /. p2->m^2
aux3= aux2 /. A0[m^2]->m^2 (B0[m^2,0,m^2] -1)
delZ2=Simplify[aux3]
(***************** End of Program SelfEnergy.m ********************)

The output from Mathematica is:
2 2
A = -(C (-2 m + 4 m B0[p , 0, m ]))
2 2 2 2 2 2
C (p + A0[m ] - (m + p ) B0[p , 0, m ])
B = -(-----------------------------------------)
2
p
2 2 2 2 2
C (m - A0[m ] - 2 m B0[m , 0, m ])
delm = ------------------------------------
m
2 2 2 2 2
delZ2= C (-2 + B0[m , 0, m ] - 4 m DB0[m , 0, m ])
We therefore get

αm 1
A = − + B0 (p2 , 0, m2 ) (A.109)
π 2
" ! #
α 1 m2
B = 1 + 2 A0 (m2 ) − 1 + 2 B0 (p2 , 0, m2 ) (A.110)
4π p p

3αm 1 1 2 2
δm = − + 2
A0 (m ) + B0 (m2 , 0, m2 ) (A.111)
4π 3 3m 3
One can check that Eq. (A.111) is in agreement with Eq. (4.82). For that one needs
the following relations,

A0 (m2 ) = m2 B0 (m2 , 0, m2 ) − 1 (A.112)
m2
B0 (m2 , 0, m2 ) = ∆ε + 2 − ln (A.113)
µ2
Z 1 m2 x2 5 3 m2
dx(1 + x) ln = − + ln (A.114)
0 µ2 2 2 µ2
For δZ2 we get

α h i
δZ2 = 2 − B0 (m2 , 0, m2 ) − 4m2 B0′ (m2 , λ2 , m2 ) (A.115)
4π
This expression can be shown to be equal to Eq. (4.85) although this is not trivial.
The reason is that B0′ is IR divergent, hence the parameter λ that controls the
divergence.
A.10.3 QED Vertex

A.10.4 µ → eγ: Neutral scalar charged fermion loop
Bibliografia
[1] J. C. Romao, http://porthos.ist.utl.pt/OneLoop .
[2] G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B160, 151 (1979).
[3] A. Denner, Fortschr. Phys. 41, 307 (1993).
[4] R. Mertig, M. Bohm and A. Denner, Comput. Phys. Commun. 64, 345 (1991).
[5] R. Mertig, http://www.feyncalc.org .
[6] T. Hahn and M. Perez-Victoria, Comput. Phys. Commun. 118, 153 (1999),
[hep-ph/9807565].
[7] T. Hahn, http://www.feynarts.de/looptools .
[8] G. J. van Oldenborgh, Comput. Phys. Commun. 66, 1 (1991).
175

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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

TEORIA QUÂNTICA DOS CAMPOS

Jorge Crispim Romão

1 Quantificação dos Campos Livres 5

2 Estados Fı́sicos. Matriz S. Redução LSZ. 55

2.7 Fórmula de redução para fermiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Teoria das Perturbações Covariante 81

4 Correcções Radiativas 117

A Técnicas e fórmulas úteis para a renormalização 153

A.7.1 Tadpole integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Quantificação dos Campos Livres

1.1 Formalismo Geral

1.1.1 Quantificação canónica para partı́culas

Antes de expormos a quantificação canónica de sistemas com um número infinito de

A condição δS = 0 dá as equações de Euler-Lagrange

H(p, q) = pq̇ − L(q, q̇) (1.4)

{p, q}P B = 1 . (1.7)

|ΨS (t)i = e−iHt |ΨS (0)i = e−iHt |ΨH i . (1.10)

OH (t) = eiHt OS e−iHt (1.11)

= hΨH |OH (t)|ΨH i . (1.12)

A evolução no tempo do operador OH (t) é dada pela equação

dOH (t) ∂OH

[p(t), q(t)] = −i (1.14)

[pi (t), qj (t)] = −iδij (1.17)

[pi (t), pj (t)] = 0 (1.18)

[qi (t), qj (t)] = 0 (1.19)

ṗi (t) = i[H, pi (t)] ; q̇i (t) = i[H, qi (t)] (1.20)

É conveniente introduzir os operadores

ȧ(t) = −iω0 a(t) e a† (t) = iω0 a† (t) (1.24)

a(t) = a0 e−iω0 t ; a† (t) = a†0 eiω0 t (1.25)

[a, a† ] = [a0 , a†0 ] = 1 (1.26)

[a, a] = [a0 , a0 ] = 0 (1.27)

[a† , a† ] = [a†0 , a†0 ] = 0 (1.28)

[H, a0 ] = −ω0 a0 ; [H, a†0 ] = ω0 a†0 (1.30)

hm|ni = δmn (1.33)

1.1.2 Quantificação canónica para campos

Passemos agora a sistemas com um número infinito de graus de liberdade. Especi-

Assim o momento canónico é

Passando à notação contı́nua definimos o momento conjugado

Para definir as regras de quantificação canónica, usamos primeiro as coordenadas

[pi (t), ϕj (t)] = −iδij

[pi (t), pj (t)] = 0 (1.47)

Em termos do momento πi (t) temos

[ϕ(~x, t), ϕ(~x′ , t)] = 0

[π(~x, t), π(~x′ , t)] = 0

[ϕr (~x, t), ϕs (~x′ , t)] = 0

[πr (~x, t), ϕs (~x′ , t)] = −iδrs δ(~x − ~x′ ) (1.50)

1.1.3 Simetrias e Leis de Conservação

O formalismo Lagrangeano fornece um método poderoso para relacionar simetrias

onde usámos as equações do movimento, isto é a Eq. (1.36). Igualando as

onde T µν é o tensor energia-momento definido por

Usando estas relações podemos definir as quantidades conservadas

Notando que T 00 = H é fácil de ver que P µ é o 4-vector momento. Assim a

Como vimos, para o caso da equação de Dirac, a transformação (1.60) é acom-

ϕ′r (x′ ) = Srs (ω)ϕs (x) (1.61)

δϕr (x) = −iελrs ϕs (x) (1.69)

então facilmente podemos mostrar que (ver Problema 1.2)

o que conduz à carga conservada