Physics">
N Esquece
N Esquece
N Esquece
Marlon Stefano
Universidade Federal de Ouro Preto
2019
Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Bacharelado-Matemática
Marlon Stefano
CDU 528.2
1
Resumo
1
Sumário
1 Introdução 3
1.1 Introdução ao efeito geodético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Incompatibilidade entre a Teoria Newtoniana e a Teoria Especial da
Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Princı́pio da equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Princı́pio da equivalência segundo Einstein . . . . . . . . . . . 6
1.4 Uma nova teoria de gravitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Ferramentas Matemáticas I 8
2.1 Gravidade como curvatura do espaço-tempo . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 C ∞ -variedades, vetores tangentes, espaços tangentes . . . . . . . . . . 8
2.3 Derivações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Campos Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Campos de 1-Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 Operações com tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2 Campo de Tensores em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.1 Levantamento e abaixamento de ı́ndices . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Curvas parametrizadas e Linhas-Mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Ferramentas matemáticas II 39
3.1 Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 A definição de Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Propriedades de transformação dos coeficientes de conexão . . . . . . 42
3.4 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Geodésicas de uma conexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Geodésicas da métrica e compatibilidade entre a métrica e a
conexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3 A conexão de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Geodésicas do tipo tempo: a Teoria Variacional das Geodésicas
57
3.6 Campos Gravitacionais fracos e o Limite Newtoniano da TGR . . . . 60
1
SUMÁRIO 2
5 As equações de Einstein 79
5.1 O tensor energia-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Poeira e Fluidos Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.2 O princı́pio da covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 O tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 A solução de Schwarzschild 89
6.1 Geometria do espaço-tempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.1 Generalidades: o teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.2 Observadores e quadros de referência no espaço tempo de
Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.3 Intervalos de tempo e distância no espaço-tempo de Schwarzs-
child . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.4 Tempo próprio e dilatação temporal gravitacional . . . . . . . 97
6.1.5 Intervalos de distância própria e dilatação gravitacional do
comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Movimento radial de queda-livre . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3 Precessão de giroscópios em queda-livre: efeito geodético . . . . . . . 103
6.4 O experimento Gravity Probe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Introdução
3
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4
usando a teoria de gravidade de Newton, apesar de que este fato isoladamente não
é suficiente para desconfiarmos da precisão desta teoria de gravitação). A teoria
de gravitação de Newton propõe que em uma partı́cula de massa gravitacional mg
→ → →
age uma força gravitacional F dada por F = mG~g = −mG ∇φ onde ~g é o campo
→
gravitacional devido ao potencial gravitacional φ dado por ~g = −∇φ. O potencial φ
é determinado por uma densidade de massa ρ pela equação de Poisson:
→ →
div(∇φ) =∇2φ = 4πGρ, (1.1)
~r − ~s 3
ZZZ
g(~r) = −G ρ(~s) d ~s (1.2)
B k~r − ~sk3
onde B é a região do espaço em que se situa a distribuição de matéria.
Ao analisar as equações (1.1) e (1.2), notamos que estas não possuem dependência
temporal explicita. Isto significa que φ(~s) responde instantaneamente a uma modi-
ficação na densidade de matéria ρ.
Figura 1.1: A figura mostra uma distribuição de matéria com simetria esférica e
um ponto p fora da distribuição. Cada elemento de massa ρ(~s)∆V contribui para o
campo gravitacional g(r) da distribuição B.
então a equação
~r − ~s 3
ZZZ
g(~r, t) = −G ρ(~s, t) d ~s,
B k~r − ~sk3
significa que ~g , logo também o potencial φ, é instantaneamente reduzido a zero em
t = t0 . Mas isto quer dizer que sinais fı́sicos viajam mais rápido que c (velocidade da
luz). Para compreender melhor este fato, imaginemos que ρ(s, t) seja a densidade de
massa do Sol, e suponhamos que a partir de um instante de tempo t = t0 tivéssemos
ρ(~s, t) = 0 ∀ t ≥ t0 . Então instantaneamente, para todo t ≥ t0 , terı́amos g(~r, t) = 0
na posição ~r da Terra. Ou seja, o campo gravitacional do Sol simplesmente desa-
pareceria para t ≥ t0 , apesar de que a luz do sol demora cerca de 8 minutos para
chegar à Terra. Na nossa suposição o campo gravitacional desaparece instantanea-
mente. Concluı́mos que a gravidade “viaja mais rápido que c”, contrariando uma
das consequências da Relatividade Especial. Tal conclusão significa que a gravitação
Newtoniana não é compatı́vel com a Teoria da Relatividade Especial de Einstein.
Einstein ao propor a teoria especial da relatividade, toma como base para teoria
dois princı́pios:
O Exemplo (1.2.1) contradiz o fato de que sinais luminosos não podem viajar
mais rápido que c, fato esse provindo da teoria especial da relatividade, sendo assim
uma nova teoria de gravitação deve ser construı́da para adequar ao fato de que sinais
fı́sicos não podem viajar mais rápido que c.
d2~x mG →
= − ∇φ (1.3)
dt2 mI
onde mI é a massa inercial da partı́cula. Um fato inexplicável na teoria newtoniana
e que mG = mI , de forma que (1.3) se reduz a
d2~x →
= − ∇φ (1.4)
dt2
→
e todos os corpos experimentam o campo gravitacional ~g = − ∇φ da mesma forma,
ou mais precisamente, de forma independente de suas massas (inercial e gravitaci-
onal). Este fato foi percebido por Galileu através de seus experimentos, sendo um
resultado contrário à teoria então prevalente de Aristóteles de que corpos com maior
massa inercial caem mais rápido que corpos com um mI menor.
Não existe razão a priori na teoria Newtoniana para a qual a grandeza mG que
determina a magnitude da força gravitacional na partı́cula (quando submetida a
um campo gravitacional ) deva ser igual à grandeza que determina a “resistência a
movimento” da partı́cula quando submetida a forças em geral.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6
Ferramentas Matemáticas I
foi:
Gravidade não deve ser vista como uma força no sentido convencional, gravi-
dade deve ser vista como uma propriedade geométrica do espaço-tempo causada pela
presença de matéria-energia.
• partı́culas em movimento de queda livre, isto é, partı́culas que se movem sob
ação exclusiva da gravidade, se propagam ao longo de geodésicas parametri-
zadas em (M, g).
Para elaboramos esta ideia com mais detalhes, vamos estabelecer alguns conceitos
matemáticos dos quais faremos uso.
8
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 9
1
Hausdorff, possuindo base enumerável de abertos.
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 10
vp : C ∞ (M, R) → R
∂
∂µ f = µ
[f (x0 , ..., x3 )] .
p ∂x p=(x0 ,...,x3 )
∂f 0
(∂µ f )(x0 , ..., x3 ) = (x , ..., x3 ).
∂xµ
Ou seja, pelas derivadas parciais da representação local de f no sistema de coor-
denadas (U, φ). ∂µ f consiste em avaliar a derivada parcial de interesse no ponto
p
p = (x0 , ..., x3 ).
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 11
∂µ : C ∞ (M, R) → R
p
com transformação de coordenadas inversa xµ = xµ (x̃0 , ..., x˜3 ). Sob esta trans-
formação de coordenadas, a representação local f (x0 , ..., x3 ) de f restrita a W se
transforma como
f (x̃0 , ..., x̃3 ) → f (x0 (x̃0 , ..., x̃3 ), ..., x3 (x̃0 , ..., x̃3 )).
De fato, note que (f ◦ ψ)(x̃0 , ..., x̃3 ) = (f ◦ φ) ◦ (φ−1 ◦ ψ)(x̃0 , ..., x̃3 ), de forma que
em acordo com a observação (2.2.1) por construção podemos escrever
f (x̃0 , ..., x̃3 ) = f (x0 (x̃0 , ..., x̃3 ), ..., x3 (x̃0 , ..., x̃3 )). (2.1)
Observação 2.3.2. O lada direito da última expressão e de (2.2) acima está somado
sobre o ı́ndice λ. Embora, não tenhamos explicitado isto com um somatório. Está é
a conhecida e muito utilizada “convenção de Einstein”. De forma mais geral, sempre
que tivermos somas do tipo X
Aµ µ
µ
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 12
dxµ · ∂ν = δνµ .
p
Daı́, temos que um campo de 1-formas no aberto U ⊂ M sempre pode ser escrito
na forma:
" # " #
ω(p) · v µ ∂µ = v µ ω(p) · ∂µ = v µ ωµ (x0p , ..., x3p ).
p p
X X ∂xλ ∂xλ
⇒ ω̃µ δνµ = ωλ ⇒ ω̃ ν = ωλ
µ λ
∂ x̃ν ∂ x̃ν
Mudando o ı́ndice fixado ν para µ teremos a equação (2.7) conforme desejado:
∂xλ
ω̃µ = ωλ .
∂ x̃µ
Observação 2.5.1. Se U ⊂ M é um aberto coberto por dois referenciais locais xµ e
x̃µ , as componentes da 1-forma ω relativas a um dos referenciais é suave somente se
as mesmas forem também suaves relativamente ao outro referencial. De fato, temos
pela argumentação acima que a relação entre as componentes de ω relativamente aos
∂xν ∂ x̃µ
dois referenciais locais é ω˜µ = ων e ω ν = ω̃µ . Supondo que ωµ seja suave,
ν
∂ x̃µ ∂xν
ν
∂x ∂x
teremos com µ
suave que o produto ω̃µ = ων é suave. O outro caso é análogo.
∂ x̃ ∂ x̃µ
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 16
2.6 Tensores
Seja V um R-espaço vetorial de dimensão finita e consideremos o seu dual V ∗ .
∗ ∗
Sejam B = {v1 , ..., vn } uma base de V e B ∗ = v 1 , ..., v n base de V ∗ associada a
f : V ∗ −→ R.
φ : V −→ V ∗∗
1. φ é linear.
Com efeito, dados v, u ∈ V e λ ∈ R temos
2. φ é injetiva.
Com efeito, se v ∈ Ker(φ) então φ(v)ω ∗ = 0 ∀ ω ∗ ∈ V ∗ , ou seja, ∀ ω ∗ ∈ V ∗ tem
se ω ∗ (v) = 0. Isto só é possı́vel se v = 0.De fato, se v não é o vetor nulo , então
dada uma base B = {e1 , ..., en } de V teremos v = v j ej , v j ∈ R, j = 1, ..., n
que, para algum j, v j 6= 0. Considerando a base dual associada a B, teremos
∗ ∗
ej (v) = ej (v j ej ) = v j 6= 0, e daı́ segue que v = 0 e portanto ker(φ) = {0}.
Donde φ injetiva.
3. φ é sobrejetiva.
De fato, dado um espaço vetorial real W de dimensão finita, tem se dim(W ) =
dim(W ∗ ), logo dim (V ∗ ) = dim (V ∗∗ ). Pelo teorema do núcleo e da imagem,
temos: dim (Im(φ)) + dim (Ker(φ)) = dim (Im(φ)) + 0 = dim (Im(φ)) =
dim (V ). Portanto, Im(φ) é um subespaço de V ∗∗ com dimensão máxima,
donde Im(φ) = V ∗∗ e φ é sobrejetiva.
v · ω ∗ = ω ∗ (v).
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 17
Nota: Uma outra forma de mostrar que φ é sobrejetiva é exibir para um dado
funcional T : V ∗ −→ R o vetor de V tal que φ(v) = T .Isto é útil para simplificar
o processo de visualizar tensores do tipo (1, 0) como vetores de V . Note que tal
vetor v deve ser tal que T (ω ∗ ) = φ(v)(ω ∗ ) = ω ∗ (v) ∀ ω ∈ V ∗ . Para especificar
quem é v devemos escrevê-lo como combinação linear de elementos de uma base.Seja
∗ ∗
B = {v1 , ..., vn } base de V e seja B ∗ = {v 1 , ..., v n } a base dual assoada a B. Se os
∗
v µ ∈ R, µ = 1, ..., n são tais que v = v µ vµ , então teremos para v µ ∈ B ∗
∗ ∗ ∗
T (v µ ) = φ(v)(v µ ) = v µ (v) ⇒
∗ ∗
⇒ T (v µ ) = v µ (v ν vν ) = v µ .
∗
Portanto, v = T (v µ )vµ .
Definição 2.6.1. Um tensor do tipo (k, l) sobre V é uma forma multilinear
T : V ∗ × ... × V ∗ × V × ... × V −→ R.
Nomenclatura:
Se T ∈ τk,l (V ),então k de diz o posto contravariante de T e l o posto covariante
de T . No caso especial em que k = 0, T se diz um l-tensor covariante. Por exemplo
um tensor do tipo (0, 1) é um 1-tensor covariante.
A seguir, determinaremos uma base especial para Tk,l (V ) e , portanto dim (Tk,l (V )).
Antes disso, iremos discutir duas operações básicas sobre tensores que serão utiliza-
das frequentemente na sequência.
Iremos definir duas operações a seguir das quais faremos uso.
Produto Tensorial:
sejam T e T 0 dois tensores em Tk,l (V ) e Tk0 ,l0 (V ). O produto tensorial de T por
T 0 , denotado por T ⊗ T 0 é um tensor do tipo (k + k 0 , l + l0 ) em Tk+k0 ,l+l0 (V ) definido
0
da seguinte maneira. Se ω(1) , ..., ω(k+k0 ) são k + k 0 1-formas em V ∗ e se u(1) , ..., u(l+l )
são (l + l0 ) vetores em V então
0
T ⊗ T 0 (ω(1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(1) , ..., u(l+l ) ) =
0
= T (ω(1) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(l) ) · T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., u(l+l ) ).
Devemos demonstrar que realmente T ⊗ T 0 é um tensor do tipo (k, l). Ou
seja devemos mostrar que T ⊗ T 0 é uma forma multilinear. Mas isto segue in-
0
duzido da definição: se ω(1) , ..., λω(i) + ω(i) , ..., ω(k+k0 ) são k + k 0 1-formas em V ∗ e se
0
u(1) , ..., βu(j) + u0(j) , ..., u(l+l ) são (l + l0 ) vetores em V , então
0
T ⊗ T 0 (ω(1) , ..., λω(i) + ω(i)
0
, ..., ω(k+k0 ) ; u(1) , ..., βu(j) + u0(j) , ..., u(l+l ) ) =
0
= T (ω(1) , ..., λω(i) + ω(i) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(l) )×
0
×T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., βu(j) + u0(j) , ..., u(l+l ) ) =
0
= λβT (ω(1) , ..., ω(i) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(l) )×T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., u(j) , ..., u(l+l ) )+
0
+λT (ω(1) , ..., ω(i) , ...ω(k) ; u(1) , ..., u(l) )×T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., u0(j) , ..., u(l+l ) )+
0 0
+βT (ω(1) , ..., ω(i) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(l) )×T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., u(j) , ..., u(l+l ) )+
0 0
+T (ω(1) , ..., ω(i) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(l) )×T 0 (ω(k+1) , ..., ω(k+k0 ) ; u(l+1) , ..., u0(j) , ..., u(l+l ) ) =
0
= λβT ⊗ T 0 (ω(1) , ..., ω(i) , ..., ω(k+k0 ) ; u1 , ..., , u(j) , ...u(l+l ) )+
0
+λT ⊗ T 0 (ω(1) , ..., ω(i) , ..., ω(k+k0 ) ; u1 , ..., , u0(j) , ...u(l+l ) )+
0
+βT ⊗ T 0 (ω(1) , ..., ω(i)
0
, ..., ω(k+k0 ) ; u1 , ..., , u(j) , ...u(l+l ) )+
0
+T ⊗ T 0 (ω(1) , ..., ω(i)
0
, ..., ω(k+k0 ) ; u1 , ..., , u0(j) , ...u(l+l ) ),
no caso em que 1 ≤ i ≤ k e l + 1 ≤ j ≤ l + l0 . Os outros cascos são análogos.
2. (λ + β) · T ⊗ T 0 = λ · T ⊗ T 0 + β · T ⊗ T 0 ∀ λ, β ∈ R
3. βT ⊗ (λS + S 0 ) = βλT ⊗ S + βT ⊗ S 0 ∀ λ, β ∈ R
Proposição 2.6.3. Seja {vµ } uma base para V e { v ∗µ } a base dual associada. O
conjunto de tensores
Demonstração. Sejam ω(1) , .., ω(k) k 1-formas em V ∗ e sejam u(1) , ..., u(l) l vetores
em V . Suponha que tenhamos:
n
X
ω(r) = ω(r)µr v µr , r = 1, ..., k,
µr
e n
X
u(s) = v (s)νs vνs , s = 1, ..., l.
νs
n
X n
X
ω(1)µ1 ...ω(k)µk u(1)ν1 ...u(νl ) T (v ∗µ1 , ...., v ∗µk ; v1 , ..., vl ).
µ1 ,...,µk =1 ν1 ,...,νl =1
Defina:
T µ1 ...µk ν1 ...νl = T (v ∗µ1 , ..., v ∗µk ; vν1 , ..., vνl ).
e
Xn n
X n
X
∗νs ∗νs ∗νs (s)βs ∗νs
s (s)
v ∗u = v (u ) = v u(s)βs
vβs =
u v (vβs ) = u(s)βs δβνss = u(s)νs .
βs= 1 βs= 1 βs= 1
Uma vez que a escolha de ω(1) , ..., ω(k) e de u(1) , ..., u(l) foi arbitrária, temos:
n
X n
X
T ≡ T µ1 ...µk ν1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗ v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl ,
µ1 ,...,µk =1 ν1 ,...,νl =1
donde, o conjunto {vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗ v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl |1 ≤ µ1 , ..., µk , ν1 , ..., νl ≤ n} gera
Tk,l (V ).
Agora ,considere o tensor identicamente nulo escrito como como combinação
linear dos elementos do conjunto
n
X n
X
0≡ T µ1 ...µk ν1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗ v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl .
µ1 ,...,µk =1 ν1 ,...,νl =1
n
X n
X
ν1
= T µ1 ...µk ν1 ...νl δµβ11 · ... · δµβkk · δσ1 · ... · δσν1l =
µ1 ,...,µk =1 ν1 ,...,νl =1
Assim, vemos que o conjunto {vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗ v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl |1 ≤ µ1 , ..., µk , ν1 , ..., νl ≤ n}
gera Tk,l (V ) e é linearmente independente, portanto uma base.
Os números T µ1 ...µk ν1 ...νl = T (v ∗µ1 , ..., v ∗µk ; vν1 , ..., vνl ) são ditos as componentes
do tensor T na base {vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗ v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl |1 ≤ µ1 , ..., µk , ν1 , ..., νl ≤ n}
que denominamos base produto relativa as bases vµ e v ∗µ .por
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 21
T ⊗T 0 = T µ1 ...µk ν1 ...νl ·T 0β1 ...βk α1 ...αl vµ1 ⊗...⊗vµk ⊗vβ1 ⊗...⊗vβk ⊗v ν1 ⊗...⊗v νl ⊗v α1 ⊗...⊗v αl .
Observe que
Ci,j (T )(ω(1) , ..., ω(i−1) , ω(i+1) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(j−1) , u(j+1) , ..., u(l) ) =
n
X
= T (ω(1) , ..., ω(i−1) , v σ , ω(i+1) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(j−1) , vσ , u(j+1) , ..., u(l) ) =
σ=1
n
X
= T µ1 ...µk ν1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗
σ=1
⊗v ∗ν1 ⊗ ... ⊗ v ∗νl (ω(1) , ..., ω(i−1) , v ∗σ , ω(i+1) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(j−1) , vσ , u(j+1) , ..., u(l) ) =
n
X
= T µ1 ...µk ν1 ...νl ω(1) (vµ1 ) · ... · v σ (vµi ) · ... · ωk (vµk ) · v ∗ν1 (u1 ) · ... · v ∗νj (vσ ) · ... · v ∗νl (v l ) =
σ=1
n
X
= T µ1 ...µi−1 σµi+1 ...µk ν1 ...νj−1 σνj+1 ...νl ω(1) (vµ1 ) · ... · δµσi (vµi )
σ=1
· · ... · ωk (vµk ) · v ∗ν1 · ... · δσνj · ... · v ∗νl (vl ) = T µ1 ...µi−1 σµi+1 ...µk ν1 ...νj−1 σνj+1 ...νl ω(1) (vµ1 )
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 22
= T µ1 ...µi−1 σµi+1 ...µk ν1 ...νj−1 σνj+1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµi−1 ⊗ vµi+1 ⊗ ...
⊗vµk ⊗v ∗ν1 ⊗...⊗v νj−1 ⊗v νj+1 ⊗...⊗v ∗νl (ω1 , ..., ωi−1 , ωi+1 , ..., ωk ; u1 , ..., uj−1 , , uj+1 , ..., ul ).
Portanto
Ci,j (T ) ≡ T µ1 ...µi−1 σµi+1 ...µk ν1 ...νj−1 σνj+1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµi−1 ⊗ vµi+1 ⊗ ... ⊗ vµk ⊗
T µ1 ...µi−1 σµi+1 ...µk ν1 ...νj−1 σνj+1 ...νl vµ1 ⊗ ... ⊗ vµi−1 ⊗ vµi+1 ⊗ ...⊗
Com efeito, note primeiramente que v ∗ν = v ∗ν (ṽβ )ṽ ∗β e vµ = ṽ ∗α (vµ )ṽα . Daı́, temos:
× ω(1) (ṽβ1 ) · ... · v (ṽβi ) · ... · ω(k) (ṽ∗βk ) · ṽ ∗α1 (u(1) ) · ... · ṽ ∗αj (vσ ) · ... · ṽ ∗αl (u(l) ) =
σ
X n
= T β1 ...βi−1 σβi+1 ...βk α1 ...αj−1 σαj+1 ...αl ×
σ=1
× ω(1) (ṽβ1 ) · ... · ω(k) (ṽβk ) · ṽ α1 (u(1) ) · ... · ṽ αl (u(l) )v σ (ṽβi )ṽ ∗αj (vσ ) =
= T β1 ...βi−1 σβi+1 ...βk α1 ...αj−1 σαj+1 ...αl ω(1) (ṽβ1 ) · ... · ω(k) (ṽβk ) · ṽ α1 (u(1) ) · ... · ṽ αl
(u(l) )v σ (ṽβi ) · ṽ ∗αj (ṽβi ) =
= T β1 ...βi−1 σβi+1 ...βk α1 ...αj−1 σαj+1 ...αl ×
× ṽβ1 ⊗ ... ⊗ ṽβi−1 ⊗ ṽβi+1 ⊗ ... ⊗ ṽβk ⊗ ṽ α1 ⊗
⊗...⊗ṽ αj−1 ⊗ṽ αj+1 ⊗...⊗ṽ αl (ω(1) , ..., ω(i−1) , ω(i+1) , ..., ω(k) ; u(1) , ..., u(j−1) , , u(j+1) , ..., ul )
T (x0 , ..., x3 ) = T µ1 ...µk ν1 ...νl (x0 , ..., x3 ) (∂µ1 ⊗ .... ⊗ ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ ... ⊗ dxνl )
(x0 ,...,x3 )
( )
De fato, ao longo da região coberta por U , podemos utilizar a base ∂µ : µ = 0, ..., 3
(x0 ,...,x3 )
para Tp M associada ao referencial xµ e a base dual correspondente para (Tp M )∗ para
estabelecer a base-produto
( )
(∂µ1 ⊗ .... ⊗ ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ ... ⊗ dxνl ) : 1 ≤ µ1 , ..., µk , ν1 , ..., νl
(x0 ,...,x3 )
para Tk,l (T(x0 ,..,x3 ) M ). Como as componentes de T relativas a esta base são dadas
por T (dxµ1 , ..., dxµk , ∂ν1 , .., ∂νl ) = T µ1 ...µk ν1 ...νl temos:
T (x0 , ..., x3 ) = T µ1 ...µk ν1 ...νl (x0 , ..., x3 ) (∂µ1 ⊗ .... ⊗ ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ ... ⊗ dxνl ) .
(x0 ,...,x3 )
Definição 2.6.3. As funções T µ1 ...µk ν1 ...νl (x0 , ..., x3 ) são ditas as componentes do
Demonstração. Se T = T β1 ...βk α1 ...αl (x0 , ..., x3 )∂β1 ⊗ .... ⊗ ∂βk ⊗ dxα1 ⊗ ... ⊗ dxαl
podemos usar as relações entre as bases de cada espaço tangente e cotangente nos
pontos de U associado aos referencias locais xµ e x̃µ para escrevermos
∂ x̃µ1
T =T β1 ...βk ˜
α1 ...αl ∂µ1 ⊗ ...⊗
∂xβ1
∂ x̃µk α1 αl
˜ ν1 ∂x ν1 ∂x
⊗ ∂µk β ⊗ dx̃ ⊗ ... ⊗ dx̃
∂x k ∂ x̃ν1 ∂ x̃νl
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 25
∂ x̃µ1 ∂ x̃µk
T = T β1 ...βk α1 ...αl · ... · ×
∂xβ1 ∂xβk
∂xα1 ∂xαl ˜
× ν
· ... · ν
∂µ1 ⊗ ∂˜µ2 ⊗ ... ⊗ ∂˜µk ⊗ dx̃ν1 ⊗ ... ⊗ dx̃ν1
∂ x̃ 1 ∂ x̃ l
Como T = T µ1 ...µk ν1 ...νl ∂˜µ1 ⊗ .... ⊗ ∂˜µk ⊗ dx̃ν1 ⊗ ... ⊗ dx̃νl na base
n o
∂˜µ1 ⊗ .... ⊗ ∂˜µk ⊗ dx̃ν1 ⊗ ... ⊗ dx̃νl : 1 ≤ µ1 , ..., µk , ν1 , ..., νl ≤ n
como desejado.
Segue imediatamente desta proposição que, tal como no caso de campos vetoriais
e de 1-formas, vale que: se U ⊂ M é um aberto coberto por dois referenciais locais
xµ e x̃µ , basta verificarmos se as componentes de um campo tensorial em U relativa
a um deles são suaves para saber se isto vale relativo a ambos.
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 26
2.7 Métricas
Definição 2.7.1. Uma métrica pseudo-Riemanniana em M é um campo tensorial
suave simétrico e não-degenerado g do tipo (0, 2).
Por um campo tensorial simétrico g do tipo (0, 2) entendemos um campo tal que
para cada p ∈ M ,
g(p) : Tp M × Tp M → R
satisfaz: g(p)(v, w) = g(p)(w, v) ∀ v, w ∈ Tp M.
Um campo tensorial não degenerado g do tipo (0, 2) é um campo tal que para
cada p ∈ Tp M
g(p) : Tp M × Tp M → R
satisfaz: g(p)(v, w) = 0 ∀ v ∈ Tp M ⇔ w = 0. Às vezes, quando o contexto
estiver claro, nos referiremos a uma métrica pseudo-Riemanniana g simplesmente
como uma “métrica”, ou como sendo o “tensor métrico”.
Assim, uma métrica g associa a cada p ∈ M uma forma quadrática não-degenerada
em Tp M que se comporta exatamente como um produto interno, exceto pelo fato
de não ser necessariamente positivo definido.
Dado um aberto U ⊂ M coberto por um referencial local xµ temos que a restrição
de g a U pode ser escrita como
ou simplesmente
g ≡ gµν dxµ ⊗ dxν .
!
As componentes do tensor métrico são gµν (x0 , ..., x3 ) = g(x0 , ..., x3 ) ∂µ ; ∂ν
(x0 ,...,x3 ) (x0 ,..,x3 )
( )
relativamente à base ∂µ ; µ = 0, ..., 3 de Tp M associada ao referencial
(x0 ,...,x3 )
xµ . Podemos enxergar as componentes gµν como sendo as entradas da matriz
[gµν (x0 , .., x3 )]4×4 ≡ G da forma quadrática associada a g(x0 , ..., x3 ) relativamente
ao referencial local xµ . Um conceito especial em nosso estudo é o conceito de as-
sinatura de uma métrica g, que estende o conceito de assinatura de uma forma
quadrática da Álgebra Linear para métricas pseudos-Riemannianas em variedades.
A assinatura de uma forma quadrática não-degenerada em um espaço vetorial
real é dada pelo número n+ de autovalores positivos e pelo número n− de autovalores
negativos da sua matriz Q, sendo representada pelo par ordenado (n+ , n− ). Pela
“Lei da Inercia de Sylvester2 ”, n+ e n− não dependem da escolha da matriz para
representar a forma quadrática. Isto é, se R é outra matriz que representa a mesma
forma quadrática, com R = SQS T para alguma matriz S ∈ GL, então o número
de autovalores positivos de R é o mesmo de Q, bem como o número de autovalores
negativos.
Proposição 2.7.1. Seja g uma métrica pseudo-Riemanniana em M . Então a as-
sinatura de g(p) : Tp M × Tp M → R deve ser a mesma para todo p ∈ M .
Esta proposição nos permite formular a seguinte
2
Para a “Lei de Sylvester”, veja: NORMAN,C.W,“Undergraduate Algebra:First Course”. Ox-
ford: Oxford University Press,1986.
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 27
g(p) : Tp M × Tp M → R,
p ∈ M.
• Assinatura (4, 0): neste caso a métrica é dita “Riemanniana”. Para cada
p ∈ Tp M , g(p) : Tp M × Tp M → R é neste caso um produto interno no espaço
tangente Tp M .
∂xρ ∂xλ
g̃µν = gρλ
∂ x̃µ ∂ x̃ν
equivale à seguinte relação entre as matrizes G̃ e G:
G̃ = J T GJ
De fato, basta observar que
4 h 4 X
4 4 X
4
T
X
T
i X T
X ∂xλ ∂xσ
JGJ µν = J G̃ [J]σν = J µλ
[G]λσ [J]σν = gµσ ν .
σ
µσ
σ λ σ λ
∂ x̃µ ∂ x̃
Portanto segue da Lei de Sylvester que a assinatura da métrica g pode ser de-
terminada usando suas componentes relativas a qualquer referencial local.
Na seção (2.1) falamos do conceito de espaço-tempo. Registremos agora na forma
de uma definição.
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 28
∂xµ
= δνµ ∀ µν = 0, 1, 2, 3,
∂ x̃ν (x̃0 ,...,x̃3 )=0
de forma que a matriz jacobiana desta transformação para (x̃0 , ..., x̃3 ) = 0, satisfaz
J = I4×4 ⇒ det(J) 6= 0.
Note que isto também garante que só existe o ponto (x̃0 , ..., x̃3 ) = 0 com imagem
(x0 , ..., x3 ) = 0. As coordenadas de A no referencial x̃µ serão portanto, conforme
afirmado, (x̃0 , ..., x̃3 ) = 0.
Vamos demonstrar a validade da segunda afirmação do teorema. Para isso, basta
usar a lei de transformação tensorial
∂xµ ∂xν
g̃αβ = gµν
∂ x̃α ∂ x̃β
relacionando as componentes g̃αβ de g relativas ao referencial x̃µ com as componentes
de g relativas ao referencial xµ . Da mesma forma que em (2.10), escreva
∂xµ
= δαµ − Γµατ x̃τ
∂ x̃ν
∂xν
= δβν − Γνβσ x̃σ
∂ x̃β
Daı́,
g̃αβ = hµν + κθµν xθ + O(2) (δαµ − Γµατ x̃τ ) δβν − Γνβσ x̃σ ,
Como vamos manter até a primeira ordem, podemos trocar xθ por x̃θ e ignoraremos
os outros termos na relação
1
xµ = x̃µ − Γµστ x̃σ x̃τ .
2
Posto isto, a relação desejada é
g̃αβ = hµν + κθµν x̃θ (δαµ − Γµατ x̃τ ) δβν − Γνβσ x̃σ
= hµν δαµ δβν − hµν δαµ Γνβσ x̃σ − hµν Γµατ x̃τ δβν
+ κθµν x̃θ δαµ δβν + O(2)
= hαβ − hαν Γνβσ x̃σ − hµβ Γµασ x̃σ + κθαβ x̃θ + O(2) (2.11)
Defina:
hµβ Γµασ := Γβσα = Γβασ
hαν Γνβσ := Γαβσ = Γαβσ
Assim, a equação (2.11) pode ser escrita como
g̃αβ = hαβ + (κσαβ − Γαβσ − Γβσα ) x̃σ + O(2).
Esta expressão mostra claramente o seguinte: para que se tenha
(∂γ g̃αβ ) = 0 ∀ γ,
A
Logo
1
Γαβσ = (κσαβ + κβσα − καβσ )
2
Agora, observe que gµν (A) = hµν e portanto hµν = g µν (A); isto nos permite escrever
2. vale
para [ηµν ]4×4 = diag(−1, 1, 1, 1), sendo que em A vale g̃µν = ηµν .
A
Demonstração. Seja G(A) a matriz de gµν (A). Como temos a assinatura (3, 1), segue
que existe alguma matriz J tal que
Trata-se de um difeomorfismo (global), que associa (x0 , ..., x3 ) = 0 com (x̃0 , ..., x̃3 ) =
0. Assim, x̃µ definido por (2.14) é um referencial local cobrindo o mesmo aberto U
em tono de A e satisfazendo à propriedade (1). Observe que
∂xα ∂
= (J α x̃ν ) = Jνα δµν = Jµα ,
∂ x̃µ ∂ x̃µ ν
de forma que a matriz jacobiana da transformação (2.14) é exatamente J. Segue
que relação tensorial
∂xα ∂xβ
g̃µν = gαβ µ ν
∂ x̃ ∂ x̃
implica que as matrizes
G̃ = J t GJ. (2.15)
Conclusão: a matriz
G̃ = [g̃µν (x0 , ..., x3 )]4×4
é dada em A por
G̃(A) = J t G(A)J = diag(−1, 1, 1, 1).
Além disso, visto que pelo teorema anterior em um aberto contendo A e contido em
U pode-se escrever
gµν (x0 , ..x3 ) ≈ gµν (A) + O(2),
segue de (2.15) que
−1 0 0 0
0 1 0 0
G̃((x̃0 , ..., x̃3 )) ≈
0
+ O(2).
0 1 0
0 0 0 1
Como desejávamos.
Estes resultados mostram que com a mera reformulação da gravitação como
um fenômeno geométrico, abandonando a ideia de gravidade como uma força no
sentido Newtoniano, Einstein já consegue, resolver o problema levantado na seção
(2.1), de introduzir uma descrição da gravidade que incorpore de maneira natural a
equivalência entre massa inercial e massa gravitacional.
Abaixamento de ı́ndices
Dada uma base B = {vµ ; µ = 1, ..., n} para V o isomorfismo Φ leva o vetor
w = wσ vσ na 1-forma Φw definida da seguinte forma:
Se u = uα vα veja que
Levantamento de ı́ndices
Dada uma base B = {vµ ; µ = 1, ..., n} para V seja B ∗ = {v ∗µ ; µ = 1, ..., n} a
base dual associada. A aplicação Ψ leva a 1-forma ω = ωσ v ∗σ no vetor Ψω tal que
T̃ (ω (1) , ..., ω(k − 1), u(1) , ..., u(l) , W ) = T (ω (1) , ..., ω (k−1) , ΦW , u(1) , ..., u(l) ) (2.24)
Para ver isso, basta observar que a equação acima equivale a escrever
T̃ (ω (1) , ..., ω (k−1) , u(1) , ..., u(l) , W ) = T µ1 ···µk ν1 ···νl (ω (1) (vµ1 )) · · · (ω (k−1) (vµk−1 ))
× (ΦW (vµk ))(v ∗ν1 (u(1) ))(v ∗νl (u(l) ))
h i
νl
= T µ1 ···µk ν1 ···νl ωµ(1)1
· · · (Φ W µk(v ))u ν1
(1) · · · u (l)
h i
νl
= T µ1 ···µk ν1 ···νl ωµ(1)1
· · · ((gλτ W τ ∗λ
v )(v µk ))u ν1
(1 ) · · · u(l)
h i
= T µ1 ···µk ν1 ···νl ωµ(1)1
· · · gµk τ W τ uν(ν11 ) · · · uν(l)l
h i
νl
= (gµk λ T µ1 ···µk ν1 ···νl ) ωµ(1) 1
· · · uν1
(ν1 ) · · · u (l) W λ
.
Θ : Tk,l (V ) −→ Tk−1,l+1 (V )
α : I = [0, 1] −→ M
t 7→ α(t) ∈ M.
Dizemos que α(0), α(1) ∈ M são os pontos inicial e final da curva α respectivamente,
e que t é o parâmetro.
xµ = xµ (t), t ∈ J, µ = 0, 1, 2, 3. (2.25)
Para isso, basta que as equações acima sejam da forma α(t) = φ(x0 (t), ..., x3 (t)), t ∈
J. Frequentemente, estaremos interessados em considerar curvas paramétricas com
imagem inteiramente contida numa região aberta U ⊂ M coberta por um referencial
local xµ . Tais curvas serão definidas por equações paramétricas como acima, ficando
subentendido que se o referencial xµ for definido pelo homeomorfismo φ, então a
imagem da curva em M propriamente dita é {φ(x0 , ..., x3 ); t ∈ I}. Neste caso, a
curva paramétrica será dita “suave” se xµ (t) for suave para todo µ = 0, 1, 2, 3, e
t ∈ int(I).
Na sequência, U ⊂ M é um aberto coberto pelo referencial xµ definido por um
homeomorfismo
φ : V ⊂ R4 → U
e xµ = xµ (t), t ∈ I ⊂ R, denota uma curva paramétrica suave em U .
Se C denota a imagem em M descrita pelas equações xµ = xµ (t), ou seja,
C : xµ = xµ (t), t ∈ I.
Observação 2.8.1. Está última proposição é uma afirmação evidente, mas à qual
convém chamar a atenção! Ela manifesta o fato de que uma curva paramétrica é
uma aplicação: como tal ela é determinada por 3 elementos–seu domı́nio, seu contra-
domı́nio e a sua lei de associação, isto é, uma indicação de qual é o único elemento
no conjunto imagem associado a cada elemento do domı́nio. Assim, digamos que
o referencial x̃µ seja determinado pelo homeomorfismo ψ. Então, a representação
de C relativamente a este referencial deve ser a aplicação que leva um dado t no
intervalo de definição I de C no mesmo ponto φ((x0 , ..., x3 )) de M . Logicamente, a
associação deve ser
visto que a função de transição x̃µ (x0 , ..., x3 ) entre os referenciais é dada por (ψ −1 ◦
φ).
Esta proposição nos permite formular a seguinte definição.
Definição 2.8.2. O “vetor tangente” à curva paramétrica C em t = tp ∈ int(I) é
definido por !
µ
dx
T µ (tp ) = ∂µ .
dt t=tp (x0 (tp ),...,x3 (tp ))
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 36
Com efeito, sendo C dada neste novo referencial por x̃µ (t) = x̃µ (x0 (t), ..., x3 (t)), vem
Como
∂xβ
∂˜µ (x̃0 (tp ), ..., x̃3 (tp )) = ∂β ,
∂ x̃µ (x̃0 (tp )),...,x̃3 (tp ) (x0 (tp ),...,x3 (tp )
segue que
!
dx̃µ ∂ x̃µ ∂xβ dxα
∂˜µ = ∂β
dt t=tp (x̃0 (tp ),...,x̃3 (tp )) ∂xα (x0 (tp ),...,x3 (tp )) ∂ x̃
µ
x̃0 (tp ),...,x̃3 (tp ) dt t=tp x0 (tp ),...,x3 (tp )
dxα dxβ
= δαβ ∂β = ∂β .
dt t=tp (x0 (tp ),...,x3 (tp )) dt t=tp (x0 (tp ),...,x3 (tp ))
Como desejado.
Definição 2.8.4. Diremos que a curva paramétrica C é uma curva do tipo tempo
se todos os seus vetores tangentes são vetores do tipo tempo. Isto é, mantendo as
notações da presente seção, se
dxµ dxν
gµν (x0 (t), ..., x3 (t)) < 0 ∀t ∈ int(I).
dt dt
Para aplicações na TGR, curvas do tipo tempo paramétricas C representam pa-
rametrizações da “história da partı́cula”,para partı́culas massivas no espaço-tempo.
Neste contexto, C será dita a “linha-mundo” da partı́cula.
Definição 2.8.5. Suponha que C é uma curva paramétrica do tipo tempo e fixe
um evento O = (x0 (t0 ), ..., x3 (t0 )). Definimos o “tempo próprio” ao longo de C
decorrido entre os eventos O e (x0 (t), ..., x3 (t)) como sendo o número
Z tr
dxµ dxν
τ (t) = −gµν (x0 (u), ..., x3 (u)) du.
t0 du du
Pelo que acabamos de discutir τ (t) não depende da escolha de referencial local
utilizado para representar a curva paramétrica C. O significado fı́sico de τ (t) será
discutido em breve.
dτ
Claramente, como > 0 ∀ t ∈ int(I), temos que τ (t) é uma função crescente
dt
de t para t variando no intervalo de definição de C. Assim, podemos considerar
a função inversa t = t(τ ) definida no conjunto imagem H de τ (t), e analisar a
reparametrização de C pelo tempo próprio, definida para τ ∈ H por
xµ (τ ) := xµ (t(τ )), µ = 0, 1, 2, 3.
Proposição 2.8.2. C está parametrizada pelo tempo próprio se, e somente se,
como afirmamos.
CAPÍTULO 2. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS I 38
C : xµ = xµ (τ ), τ ≥ 0.
dxµ
uµ (τ )∂µ := ∂µ ,
(x0 (τ ),...,x3 (τ )) dτ (x0 (τ ),...,x3 (τ ))
gµν uµ uν = −1 ∀ τ (2.28)
g̃µν = ηµν .
A
Se
C : x̃µ = x̃µ (τ ), τ ≥ 0
dx̃µ
neste referencial e ũµ = são as componentes da 4-velocidades neste referencial,
dτ
já que (2.28) não depende do referencial teremos
dx̃µ dx̃ν
ηµν ũµ uν = ηµν = −1.
τA τA dτ dτ
Daı́, ∆τ > 0 é pequeno e se ∆x̃µ := x̃µ (τA + ∆τ ) − x̃µ (τA ), podemos usar (2.28)
para escrever em boa aproximação
Ferramentas matemáticas II
e
v = v µ ∂µ = v µ (x0 , ..., x3 )∂µ (x0 ,...,x3 )
.
∂f 0
∂ (x0 ,...,x3 )
·f = µ
(x , ..., x3 ),
∂x
onde f (x0 , .., x3 ) é a representação local de f associada ao referencial local (U, xµ ).
Então a derivada usual do campo X na direção do campo v que reproduziria a do
Cálculo usual em espaços euclidiano no referencial local (U, xµ ) seria:
X
∇v X = (Dv X λ )∂λ , (3.1)
λ
onde
X ∂X λ
Dv X λ = vµ .
µ
∂xµ
XX ∂X λ
Ou seja seria ∇v X = vµ ∂λ
λ µ
∂xµ
Entretanto, vamos reescrever a expressão acima transformando para o referencial
µ
x̃ em U . Temos:
∂xµ α ∂xλ β
vµ = ṽ ; X λ
= X̃
∂ x̃α ∂ x̃β
39
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 40
∂X λ X ∂
λ X ∂xλ ∂
∂x β β
= X̃ + X̃ ,
∂xµ β
∂x µ ∂ x̃ β
β
∂ x̃ β ∂xµ
∂ X̃ γ ∂ 2 xλ ∂ x̃γ ˜
= ṽ α α ∂˜γ α
+ ṽ X̃ β
∂γ . (3.2)
∂ x̃ ∂ x̃α ∂ x̃β ∂xλ
Esta seria a expressão para ∇v X no referencial x̃µ sob a mudança de coordenadas
xµ 7→ x̃µ = x̃µ (x0 , ..., x3 ). Mas veja que se escrevemos ∇v X no referencial x̃µ como
na definição em (3.1) obteremos:
∂ x̃λ ˜
ṽ µ ∂λ .
∂ x̃µ
Isto corresponderia a somente a primeira parcela em (3.2)! Vemos que ∇v X definida
por (3.1) só será bem comportada sob mudanças de referencial no caso em que
∂ 2 xλ
= 0 ∀ α, β, o que em geral não será válido. Quaisquer funções de
∂ x̃α ∂ x̃β
transição não-lineares quebrariam essa propriedade.
Exemplo 3.1.1. Pra funções suaves f ∈ C ∞ (M ), a reprodução em um referencial
local da noção de derivada direcional em espaços euclidianos é bem comportada sob
mudanças de referencial.
Vejamos: se f (x0 , ..., x3 ) é a representação local de f associada ao referencial
local xµ cobrindo o aberto U e se v é um campo em U definido relativamente ao
referencial xµ por
v = v µ ∂µ = v µ (x0 , ..., x3 )∂µ (x0 ,...,x3 ) ,
defina
∂f 0
∇v f = v µ (x0 , ..., x3 ) µ
(x , ...x3 ). (3.3)
∂x
Esta seria a noção usual do Cálculo em espaços euclidianos aplicada a (U, xµ ). Agora,
seja x̃µ outro referencial cobrindo U , relativamente ao qual se tenha
∂xµ ˜ ∂f 0 ∂f 0 3 ∂ x̃
λ
vµ = ∂α e (x , ..., x 3
) = (x̃ , ..., x̃ ) (x0 , ...x3 )
∂ x̃α ∂xµ ∂ x̃λ ∂xµ
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 41
(uma vez que f (x0 , ..., x3 ) = f (x̃0 , ..., x̃3 )).Então, levando isto em (3.3), obtemos:
µ λ
∂f α ∂x 3 ∂ x̃ ∂f
∇v f = v µ (x0 , ..., x3 ) µ
= ṽ α
(x̃ 0
, ..., x̃ ) µ
(x0 , ...x3 ) λ (x̃0 , ..., x̃3 ) =
∂x ∂ x̃ ∂x ∂ x̃
∂f λ ∂f
= ṽ α
λ
δα = ṽ α α ,
∂ x̃ ∂ x̃
sendo esta exatamente a expressão para ∇v f no referencial x̃µ que se obteria apli-
cando a ele a definição (3.3) . Portanto esta noção de derivada é bem comportada
sob mudança de referenciais, no caso em que consideramos funções f ∈ C ∞ (M ).
∇v (X1 + X2 ) = ∇v X1 + ∇v X2 .
∇∂µ ∂ν = Γλµν ∂λ .
Segunda expressão: existe uma outra expressão equivalente a (3.5) que cos-
X ∂xβ ∂ x̃µ
tuma ser útil. Para obtermos ela, começamos considerando a relação µ ∂xα
=
µ
∂ x̃
δαβ ∀ α, β. Como o lado direito desta é constante, fixando ρ = 0, 1, 2, 3 e derivando
em relação a x̃ρ temos: β µ
∂ ∂x ∂x
ρ
= 0.
∂ x̃ ∂ x̃µ ∂ x̃α
Ora, o lado esquerdo da última pode ser reescrito de forma a ficarmos com
β µ
∂ ∂ x̃ ∂x ∂ x̃β ∂ 2 xµ
+ = 0.
∂ x̃ρ ∂xµ ∂ x̃α ∂xµ ∂ x̃ρ ∂ x̃α
Como
∂ x̃β ∂xω ∂ 2 x̃β
∂
= ,
∂ x̃ρ ∂xµ ∂ x̃ρ ∂xω ∂xµ
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 44
vem:
∂ x̃β ∂ 2 xµ ∂xµ ∂ x̃ω ∂ 2 x̃β
= − .
∂xµ ∂ x̃ρ ∂ x̃α ∂ x̃α ∂xρ ∂xω ∂xµ
Fazendo uma reindexação para que o termo no lado direito de (3.5) tenha os mesmos
ı́ndices do lado esquerdo da última, reescrevemos ela como:
Para concluir esta seção vamos mostrar que de fato a noção de uma conexão ∇
em M resolve o problema de tentarmos definir “genuinamente” a noção de derivada
de um campo de vetores na direção de outro campo. Mais precisamente mostraremos
o seguinte resultado.
Proposição 3.3.1. Sejam xµ e x̃µ dois referenciais locais cobrindo a região aberta
U ⊂ M e sejam F, v dois campos vetoriais tais que relativamente aos referencias
xµ , x̃µ se tenha
F = F λ ∂λ ; F = F̃ µ ∂µ
e
v = v µ vµ ; v = ṽ µ vµ .
Então, a derivada covariante de F sobre v em U pode ser determinada pela expressão
(3.4) tanto relativamente ao referencial xµ quanto a x̃µ . Isto é, vale
!
∂X λ ν λ
∂ X̃
∇v X = v + Γλµν X µ v ν ∂λ = v ν + Γ̃λµν X̃ µ ṽ ν ∂˜λ
∂xν ∂ x̃ν
∂ x̃θ
∇µ (F ω ∂ω ) = ∇ ˜ (F̃ ω ∂˜ω ).
∂xµ ∂θ
Para provar que ambas as expressões tem o mesmo valor, escrevamos
ν
∂F ν λ
+ Γµλ F ∂ν (3.7)
∂xµ
relativamente ao referencial xµ , e mudemos para x̃µ usando as transformações já
conhecidas:
∂xν α ∂xλ η
Fν = F̃ ; F λ
= F̃ ,
∂ x̃α ∂ x̃η
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 45
definida por
t 7→ V (t)
onde V (t) ∈ Tα(t) M ∀ t ∈ I.
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 46
Como discutido na seção anterior, na TGR estamos interessados quase que ex-
clusivamente em curvas inteiramente contidas em um aberto U ⊂ M coberto por
um referencial local xµ . Por isso, de agora em diante, consideraremos exclusiva-
mente curvas paramétricas que satisfaçam a esta condição. Posto isto, digamos que
relativamente ao referencial xµ a curva C seja dadas pelas equações paramétricas
0 0
x = x (t)
.
C : .. ; t∈I
3
x = x3 (t)
onde
C : x̃µ = x̃µ (t), µ = 0, 1, 2, 3, t∈I
e onde as componentes ṽ µ (t) satisfazem
∂ x˜µ 0
ṽ µ = (x (t), ..., x3 (t))v γ (t).
∂xγ
Além disso,
∂ x̃µ 0 3 ∂xβ 0
γ
(x (t), ..., x (t)) µ
(x̃ (t), ..., x̃3 (t)) = δγβ ,
∂x ∂ x̃
o que juntamente com
∂xβ 0
∂˜µ (x̃0 (t),...,x̃3 (t))
= (x̃ (t), ..., x̃3 (t))∂β (x̃0 (t),...,x̃3 (t))
∂ x̃µ
nos assegura que de fato
Definição 3.4.2. Dizemos que o campo vetorial V (t) ao longo de C é suave se suas
componentes v µ (t) forem funções suaves de t ∈ int(I).
A expressão (3.9) mostra que esta definição independe da escolha de um referen-
cial local.
A noção de derivada covariante construı́da na seção anterior pode ser especiali-
zada para campos de vetores ao longo de uma curva paramétrica.
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 47
Proposição 3.4.1. (Derivada covariante ao longo de uma curva). Seja ∇ uma co-
nexão em M e sejam V (t) e W (t) campos suaves definidos sobre a curva paramétrica
C. Então, existe uma única noção de derivada covariante que leva V (t) em um novo
DV (t)
campo vetorial suave ao longo de C, denotado por , que satisfaz às seguintes
dt
propriedades:
D D D
1. (V (t) + W (t)) = V (t) + W (t)
dt dt dt
D d D
2. (f (t)V (t)) = f (t) V (t) + f (t) V (t)
dt dt dt
3. Se V (t) é a restrição à curva C de um campo V̄ definido em U ⊂ M , isto é
D d D
V (t) = v µ (t)∂µ + v µ (t) ∂µ .
dt dt (x0 (t),...,x3 (t)) dt (x0 (t),...,x3 (t))
D
∂µ = ∇T (t) ∂µ ,
dt (x0 (t),...,x3 (t)) (x0 (t),...,x3 (t))
d ν
onde T (t) = x (t) ∂µ .
dt (x0 (t),...,x3 (t))
Segue das propriedades da conexão ∇ que :
D d ν
∂µ = ∇T (t) ∂µ = x (t) ∇∂ν ∂µ
dt (x0 (t),...,x3 (t)) (x0 (t),...,x3 (t)) dt (x0 (t),...,x3 (t))
d ν
= x (t) ∂( µ) Γλνµ ∂λ ,
dt (x0 (t),...,x3 (t)) (x0 (t),...,x3 (t))
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 48
e daı́,
D dv µ D
V (t) = (t)∂µ + v µ (t) ∂µ =
dt dt (x0 (t),...,x3 (t)) dt (x0 (t),...,x3 (t))
λ
dxν
dv µ λ
= (t) + (t)v (t)Γνµ ∂λ .
dt dt (x0 (t),...,x3 (t))
D
Convém observar que o item 3 da proposição (3.4.1) e a derivada covariante
dt
não dependem da escolha do referencial local em U . De fato, suponha que x̃µ é
outro referencial local relativamente ao qual
C : x̃µ ,
D
para V . E daı́, através de um cálculo semelhante ao feito na proposição (3.3.1),
dt
teremos:
λ
dxν
λ
dx̃ν
dv dṽ
(t) + µ λ
(t)v (t)Γνµ ∂λ ≡ (t) + (t)ṽ (t)Γ̃νµ ∂˜λ
µ λ
.
dt dt 0 3
(x (t),...,x (t)) dt dt (x̃0 (t),...,x̃3 (t))
(3.10)
Vamos discutir agora o conceito de paralelismo e transporte paralelo ao longo de C.
tais que o campo de vetores V (t) ao longo de C é paralelo se, e somente se, V (t) =
Pt (V (0)).
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 49
dv λ dxν
(t) + (t)v µ (t)Γλνµ = 0, t ∈ I, λ = 0, 1, 2, 3. (3.11)
dt dt
Observe que (3.11) acima é um sistema de equações diferencias ordinárias de primeira
ordem para as componentes v λ (t) do campo V (t) na representação considerada.
Assim, fixadas condições inicias
Dado t = tp > 0 em I, o vetor V (tp ) acima é por definição o vetor obtido por
“transporte paralelo” de V∗ ao longo de C desde t = 0 até t = tp ou, alternativamente
do ponto O = (x0 (0), ..., x3 (0)) até p = (x0 (tp ), ..., x3 (tp )).
Suponha que tivéssemos escolhido trabalhar com outro referencial local x̃µ co-
brindo o aberto U ⊂ M. Defina as componentes do vetor V∗ relativas a este referen-
cial por
V∗ = v˜∗ µ ∂˜µ .
(x0 (0),...,x3 (0))
∂ x̃ρ 0
Como v˜∗ ρ = (x (0), ..., x3 (0))v∗α teremos que as equações de transporte paralelo
∂xα
para o campo V (t) = ṽ λ (t)∂˜λ escrito relativamente ao referencial x̃µ são
(x̃0 (t),...,x̃3 (t))
dadas pelo seguinte sistema de EDO’s de primeira ordem
λ
dṽ dx̃µ ν
(t) + Γ˜λµν ṽ (t) = 0
dt dt λ = 0, 1, 2, 3, t ∈ I.
ṽ λ (0) = ṽ λ
∗
Este sistema que tem solução única será satisfeito se pegarmos, dados os v β ,
β = 0, 1, 2, 3 da equação (3.11)
∂ x̃λ 0
ṽ λ (t) = (x (t), ..., x3 (t))v β (t) (3.13)
∂xβ
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 50
Pois válida a condição inicial, e além disso, a última equação acima significa v β (t) =
∂xβ α
ṽ , e já que os v β , β = 0, 1, 2, 3 satisfazem (3.11), segue de (3.10) que também
dx̃α
validarão o último sistema..
Então, por definição segue que o transporte paralelo de V∗ ao longo de C, até t,
será dado relativamente ao referencial x̃µ por
ṽ λ (t)∂˜λ ≡ v λ ∂λ .
(x̃0 (t),...,x̃3 (t)) (x0 (t),...,x3 (t))
D
temos que qualquer noção de derivada covariante ao longo de C que satisfaça
dt
ás propriedades 1 e 2 da proposição 3.3 fica caracterizada pela condição de que
D
[Pt (V∗ )] = 0 ∀ V∗ ∈ T(x0 (0),...,x3 (0)) e ∀ t ∈ I.
dt
D
Isto é, pela condição de que o campo Pt (V∗ ) seja paralelo segundo para todo
dt
D
V∗ ∈ T(x0 (0),...,x3 (0)) M , no sentido de que isto é suficiente para se determinar ao
dt
longo de C para qualquer campo de vetores W (t) sobre C.
a expansão de W (t) nesta base. Então, nestas condições dada uma noção de derivada
D
covariante qualquer satisfazendo as propriedades 1 e 2 da proposição 3.3, podemos
dt
escrever pela regra de Leibniz que será:
∂ d∆µ (t) D
W (t) = Eµ (t) + ∆µ (t) Eµ (t).
dt dt dt
Se adicionalmente esta noção de derivação covariante for tal que os isomorfismos Pt
sejam os operadores de transporte paralelo associados a ela, então os Eµ (t) serão
D
campos paralelos ao longo de C e poderemos escrever, via Eµ (t) = 0, a seguinte
dt
forma para a última expressão acima:
D
Isto é, para todo t, W (t) fica determinado como a imagem do isomorfismo Pt do
dt
vetor em T(x0 (0),...,x3 (0)) M cujas componentes na base ∂µ ; µ = 0, 1, 2, 3 são os
0
d∆µ (t)
, µ = 0, 1, 2, 3.
dt
3.5 Geodésicas
Novamente, visando as aplicações à TGR, iremos nos restringir durante essa
seção a curvas paramétricas com traço inteiramente contido em um aberto U ⊂ M
coberto por um referencial local xµ .
A equação paramétrica de uma tal curva será escrita como
onde
dxµ (t)
T (t) = ∂µ
dt (x0 (t),...,x3 (t))
C : xµ = xµ (t), µ = 0, 1, 2, 3.
g(x0 (t), ..., x3 (t))(V (t), W (t)) = Aµ (t)B ν (t)g(x0 (t), ..., x3 (t))(Eµ , Eν ).
vem daı́
g(V (t), W (t)) = gµν (x0 (0), ..., x3 (0))Aµ (t)B ν (t).
Temos daı́:
d dAµ ν dB ν µ
g(V (t), W (t)) = gµν (x0 (0), ..., x3 (0)) B (t) + gµν (x0 (0), ..., x3 (0)) A (t)
dt dt dt
(3.14)
Agora, observe que pela regra Leibniz para a derivada covariante ao longo de C e
D dAµ
pelo fato de que Eµ (t), Eν (t) são por construção paralelos, temos V (t) = Eµ (t)
ν
dt dt
D dB
e W (t) = Eν (t). Daı́,
dt dt
dAµ ν
D
g V (t), W (t) = B (t)g(Eµ (t), Eν (t))
dt dt
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 54
e
dB ν
D
g V (t), W (t) = Aµ (t) g(Eµ (t), Eν (t)).
dt dt
Utilizando novamente a compatibilidade estas se reduzem a
dAµ ν
D
g V (t), W (t) = B (t)gµν (x0 (0), ..., x3 (0)),
dt dt
dB ν
D
g V (t), W (t) = Aµ (t) gµν (x0 (0), ..., x3 (0)).
dt dt
Claramente a soma destas duas últimas expressões é igual a (3.14), como desejado.
Reciprocamente, suponha que vala a propriedade
d D D
g(V, W ) = g V, W + g V, W
dt dt dt
V (t) = Pt · V∗ e W (t) = Pt · W∗
D D
os transportes paralelos de V∗ e W∗ ao longo de C. Então, V (t) e W (t) são nulos,
dt dt
d
o que aplicado a equação acima fornece g(V (t), W (t)) = 0. Logo, g(V (t), W (t)) é
dt
uma função constante de t, valendo daı́
como desejado.
O resultado do lema acima é uma caracterização extremamente importante da
compatibilidade de uma métrica e uma conexão. Ele também pode ser lido em
termos da derivação covariante de um campo na direção de outro associada a ∇.
Teorema 3.5.1. ∇ é compatı́vel com a métrica g se e somente se para todos campos
de vetores suaves, V, X e W tivermos
D D
V (t) = ∇T (tp ) V (x0p , ..., x3p ), e W (t) = ∇T (tp ) W (x0p , ..., x3p )
dt tp dt tp
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 55
Daı́, o resultado seguirá do lema anterior se pudermos mostrar que o lado esquerdo
d
de (3.15) se reduz a g(V (t), W (t)) . Com efeito observe que se f é uma função
dt t=tp
real suave definida em U com representação f (x0 , ..., x3 ) relativamente ao referencial
xµ , então
∂f 0 ∂f
∇X f |(x0p ,...,x3p ) = ∆µ (x0p , ..., x3p ) µ
(xp , ..., x3p ) = T µ (tp ) µ (x0p , ..., x3p ).
∂x ∂x
Além disso, pela regra da cadeia, se g(t) = f (x0 (t), ..., x3 (t)), então
µ
dg ∂f 0 3 dx ∂f 0
= (x , ..., x ) = T µ (tp ) (x , ..., x3p ).
dt ∂xµ p p
dt t=tp ∂xµ p
f (x0 , ..., x3 ) = g(x0 , ..., x3 )(V (x0 , ..., x3 ), W (x0 , ..., x3 )).
∇ν ∂σ = ∇σ ∂ν ⇒ g(∇ν ∂σ , ∂µ ) = g(∇ν ∂σ , ∂µ ),
∇σ ∂µ = ∇µ ∂σ ⇒ g(∇σ ∂µ , ∂ν ) = g(∇µ ∂σ , ∂ν ),
∇µ ∂ν = ∇ν ∂µ ⇒ g(∇µ ∂ν , ∂σ ) = g(∇µ ∂ν , ∂σ ).
Levando isto em conta, vê-se que (I) + (III) − (II) resulta em :
ou seja,
1
g(∇σ ∂ν ) = (∂σ gµν + ∂ν gσµ − ∂µ gνσ ).
2
Agora, usando
∇σ ∂ν = Γλσν ∂λ
no lado esquerdo da última expressão obtemos
1
gµλ Γλσν = (∂σ gµν + ∂ν gσµ − ∂µ gνσ ).
2
Daı́,
1
Γρσν = gρµ (∂σ gµν + ∂ν gσµ − ∂µ gνσ ).
2
Então vemos que as hipóteses de compatibilidade e de simetria nos permitem escrever
as componentes da conexão ∇ de forma única em termos dos coeficientes da métrica
g.
C : xµ = xµ (t) 0 ≤ t ≤ 1
dxµ p
onde ẋµ (u) = (u), µ = 0, 1, 2, 3, e G(xµ , ẋµ ) = −gµν (x0 (u), ..., x3 (u))ẋµ (u)ẋν (u).
du
Ou seja, τ (C) é o tempo próprio decorrido entre os eventos. Nos referiremos por
isso a Ξ(C) como o “funcional de tempo próprio” associado à métrica g.
Temos o seguinte fato:
Teorema 3.5.3. Se uma curva paramétrica C ∈ Ξ extremiza o funcional de tempo
próprio então esta curva satisfaz a equação das geodésicas sempre que parametrizada
pelo tempo próprio τ .
Demonstração. É possı́vel demonstrar2 que a extremização do funcional de tempo
próprio é atingidos por curvas que satisfaçam à equação de Euler-Lagrange associ-
ada:
d ∂G ∂G
µ
− µ = 0, µ = 0, 1, 2, 3.
du ∂ ẋ ∂x
Para uma tal curva teremos:
∂G ∂ h σ ρ 2
1
i 1
σ ρ −2
1
σ ρ σ ρ
= (−g σρ ẋ ẋ ) = (−g σρ ẋ ẋ ) −g σρ δµ ẋ − gσρ ẋ δ µ =
∂ ẋµ ∂ ẋµ 2
1 1
(−gσρ ) [−2gµρ ẋρ ] = − gµν ẋν
=
2 G
e
∂G ∂ h σ ρ 2
1
i
= (−gσρ ẋ ẋ ) =
∂xµ ∂xµ
1 1 1
= (−gσρ ẋσ ẋρ )− 2 (∂µ gσρ )(−1)x̃σ ẋρ = − (∂µ gσρ )(−1)x̃σ ẋρ .
2 2G
Digamos que a parametrização desta curva pelo tempo próprio a partir do evento p
seja
τ 7→ (f 0 (τ ), ..., f 3 (τ )),
dxµ df µ dτ
onde deve-se ter f µ (τ (u)) = xµ (u). Então, para µ = 0, 1, 2, 3, (u) = (τ ) .
Z u du dτ du
µ µ
Ou, visto que τ (u) = G(x (θ); ẋ (θ))dθ e portanto
0
dτ
(u) = G(xµ (u); ẋµ (u)),
du
deve-se ter
dxµ df µ df µ
= (τ )G = (τ (u))G.
du dτ dτ
Assim:
df ν df ν
ẋν = G (τ (u)) = G(xµ (u); ẋµ (u)) .
dτ dτ
E, daı́
df ν
d ∂G d 1
= − gµν G (τ (u)) =
du ∂ ẋµ du G dτ
df ν df ν
d d 0 3
= −gµν = −gµν (x (u), ..., x (u)) −
du dτ du dτ
dxρ df ν d df ν dxρ df ν d2 f ν dτ
−(∂ρ gµν ) −gµν (τ (u)) = −(∂ρ gµν ) −gµν 2 (τ (u)) =
du dτ du dτ du dτ dτ du
2
Veja: GODINHO. Leonor; NATÁRIO. José. An Introduction to Rimannian Geometry, With
Applications to Mechanics and Relativity. London: Springer, 2014.
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 59
df ρ df ν d2 f ν
= −(∂ρ gµν ) G − gµν 2 G.
dτ dτ dτ
Notando que
df λ df θ df λ df θ
∂G 1 1
= − (∂ g
µ λθ )G G = − G(∂µ gλθ ) ,
∂xµ 2G dτ dτ 2 dτ dτ
df ρ df ν d2 f ν 1 df λ df θ
−(∂ρ gµν ) G − gµν 2 G + G(∂µ gλθ ) = 0.
dτ dτ dτ 2 dτ dτ
Cancelando o fator de G vem
df ρ df ν d2 f ν 1 df λ df θ
−(∂ρ gµν ) − gµν 2 + (∂µ gλθ ) = 0, µ = 0, 1, 2, 3. (3.17)
dτ dτ dτ 2 dτ dτ
Ou seja: reescrevendo
df ρ df ν 1 df ρ df ν d2 f ν
(∂ρ gµν ) = (∂ρ gµν ) − gµν 2 ,
dτ dτ 2 dτ dτ dτ
1 df λ df θ 1 df ρ df ν
(∂µ gλθ ) = (∂µ gρν ) ,
2 dτ dτ 2 dτ dτ
multiplicando para cada µ = 0, 1, 2, 3 a equação (3.17) por g ωµ , para ω = 0, 1, 2, 3
fixo, e somando sobre µ, a equação de Euler-Lagrange fica:
d2 f ω 1 ωµ df ρ df ν
0= + g (∂ g
ρ νµ + ∂ g
ν µρ − ∂ g
µ ρν ) .
dτ 2 2 dτ dτ
Quer dizer: após reparametrização pelo tempo próprio τ , a curva que extremiza o
funcional de tempo próprio satisfaz às equações
d2 f ω ρ
ω df df
ν
+ Γ ρν = 0, ω = 0, 1, 2, 3, (3.18)
dτ 2 dτ dτ
onde os Γωρν são os sı́mbolos de Christoffel. Como querı́amos demonstrar.
Em conclusão: geodésicas do tipo tempo parametrizadas pelo tempo próprio τ
ligando dois eventos causalmente conectados p, q ∈ U podem ser entendidas como
curvas que extremizam o tempo próprio entre p, q, com G dado pela equação (3.18),
isto significa que que a equação das geodésicas é a equação de movimento de uma
partı́cula massiva livre3 . Este é mais um motivo pelo qual as geodésicas repre-
sentam “linhas retas” elas são as trajetórias seguidas por partı́culas massivas na
ausência de qualquer outra força, isto é, no caso, em queda livre, sujeitas apenas
à ação da gravidade. Além disso, observando que as geodésicas são determinadas
pela métrica, isto mostra também que movimento sob o campo gravitacional é des-
crito pela métrica, sugerindo novamente que a gravitação deva ser vista como um
fenômeno geométrico. Mas note que é preciso especializarmos para geodésicas do
tipo tempo nesta discussão para que o tempo próprio esteja definido.
3
Veja: GODINHO. Leonor; NATÁRIO. José. An Introduction to Rimannian Geometry, With
Applications to Mechanics and Relativity. London: Springer, 2014.
CAPÍTULO 3. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS II 60
e mantendo termos até ordem lı́der em hµν (já que |hµν | 1), vem:
1
Γµ00 = − η µρ ∂ρ h00 .
2
Visto que ∂0 h00 = 0, segue que
3
1 X µρ
Γµ00 = − η ∂ρ h00 .
2 ρ=1
Vemos que
• Γ000 = 0, pois η 0ρ = 0 quando ρ = 1, 2, 3.
3
1 X µρ 1
• Γµ00 =− η ∂ρ h00 = − ∂µ h00 ∀ µ = 1, 2, 3, pois η µρ = δ µρ .
2 ρ=1 2
3. (consistência com o caso vetorial) Se T é um campo tensorial do tipo (1, 0), isto
é, um campo vetorial, então pede se consistência com a derivação covariante
de campos de vetores, no sentido de que se ω é campo de um 1-formas e F é
um campo de vetores, então
63
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 64
5. para um tensor do tipo (0, 0), isto é uma função escalar f , ∇f é um tensor
do tipo (0, 1), ou seja, uma 1-forma que define-se como sendo a que age em
campos vetoriais F do seguinte modo:
(∇f )(F ) = DF f.
∂F γ
γ
Com ∇F = + Γαθ F ∂γ ⊗ dxθ e F = δνβ ∂β teremos
γ
∂xθ
∇F = (Γγαθ δνα ) ∂γ ⊗ dxθ = Γγνθ ∂γ ⊗ dxθ .
E daı́
∇F ⊗ ω = Γγνθ ωτ ∂γ ⊗ dxθ ⊗ dxτ ,
e
C1,1 (∇F ⊗ ω) = Γσνθ ωσ dxθ .
Assim,
C1,1 (∇F ⊗ ω) · ∂µ = Γσνµ ωσ .
Como
F ⊗ ∇ω = F β Wψκ ∂β ⊗ dxψ dxκ ,
temos
C1,1 (F ⊗ ∇ω) = F σ Wψσ dxψ ,
e daı́
C1,1 (F ⊗ ∇ω) · ∂µ = F σ Wµσ = δνσ Wµσ = Wµν .
Então, temos que a equação
∇(ω(F )) · X = ∇X (ω(F )) = C1,1 ((∇F ) ⊗ ω) · X + C1,1 (F ⊗ ∇ω) · X
para X = ∂µ e F = ∂ν fornece
∂µ ων = Γσνµ + Wµν ,
donde segue que
Wµν = ∂µ ων − Γσνµ .
Portanto, ∇ω fica unicamente determinado como
∇ω = ∂µ ων − Γσνµ dxµ ⊗ dxν .
Demonstração. Isto pode ser verificado facilmente utilizando os casos (1, 0) e (0, 1)
anteriores
Em conclusão, vamos sumarizar os resultados obtidos. Seja V um campo vetorial,
ω um campo de 1-formas, e T um campo tensorial do tipo (k, l), dados relativamente
ao referencial local xµ por
V = V α ∂α , ω = ωα dxα ,
Então
∇V = Θµν ∂µ ⊗ dxν
∇ω = Wµν dxµ ⊗ dxν
∇T = T µ1 ...µk ν1 ...νl ρ ∂µ1 ⊗ · · · ⊗ ∂µk ⊗ dxν1 ⊗ · · · ⊗ dxνl ⊗ dxρ
têm suas componentes, θνµ , Wµν , T µ1 ...µk ν1 ...νl ρ , relativamente ao referencial local xµ
∇ν V µ = ∂µ ων − Γσνµ
∇(∇X).
Como ∇X é um campo tensorial do tipo (1, 1) então ∇(∇X) será um campo ten-
sorial do tipo (1, 2). Seja xµ um referencial cobrindo um aberto U ⊂ M , relativo ao
qual X = X κ ∂κ e
∇(∇X)(dx , ∂β , ∂α ) − ∇(∇X)(dx , ∂α , ∂β ) 6= 0,
∇α ∇β X − ∇β ∇α X 6= 0.
Como ρ ν
˜ α∇
∇ ˜ β X̃ − ∇ ˜ α X̃ = ∂x ∂x ∂ x̃ (∇ρ ∇ν X λ − ∇ν ∇ρ X λ )
˜ β∇
∂ x̃α ∂ x̃β ∂xλ
vemos que nesse caso será
∇α ∇β X − ∇β ∇α X = 0 ∀ α, β
∇(∇X)(dx , ∂β , ∂α ) − ∇(∇X)(dx , ∂α , ∂β ) = 0 ∀ β, α,
qualquer que seja o campo X. Equivalentemente, temos então o seguinte
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 69
∇α ∇β X − ∇β ∇α X
não é identicamente nulo nesta região para alguma escolha de α, β, ∈ {0, 1, 2, 3},
então não exite referencial local x̃µ cobrindo U relativamente ao qual se tenha g̃µν ≡
ηµν . Em particular, (M, g) não é (isométrico ao) o espaço-tempo de Minkowski.
Quando dizemos que (M, g) não é o espaço-tempo de Minkowski acima, inter-
preta se: a representação local gµν de g associada a um certo referencial (U, xµ )
de M não pode ser reduzida a ηµν através de uma mudança de coordenadas. Se
(M, g) é o espaço-tempo de Minkowski, qualquer aberto U ⊂ M pode ser coberto
por coordenadas xµ relativas às quais a métrica tem representação local ηµν .
Estas considerações motivam a introdução do chamado “Tensor Curvatura de
Riemann”. Trata se do único tensor do tipo (1, 3) que satisfaz, dado um referencial
local (U, xµ ) para (M, g) cobrindo o aberto U ⊂ M , à equação
Desta forma:
• para o espaço tempo de Minkowski (M, g), o tensor de Riemann possui com-
ponentes Rαβγ identicamente nulas relativamente a qualquer referencial local.
Proposição 4.2.1.
∇µ Rαβγ = ∂µ Rαβγ + Γµθ Rαβγ θ − Γθµα Rθβγ − Γθµβ Rαθγ − Γθµγ Rαβθ
= ∂µ ∂α Γβγ − ∂µ ∂β Γαγ + termos em Γ∂Γ e ΓΓΓ
As parcelas em ΓΓΓ e Γ∂Γ podem ser desprezadas, pois possuem produtos das
derivadas de primeira e segunda ordem da métrica e relativamente ao referencial
inercial local xµ em torno de A os coeficientes do tensor métrico são dados por
gµν = ηµν + O(2). Daı́, relativamente ao referencial xµ podemos escrever
e portanto
Como esta identidade é tensorial, ela deve ser valida em todo referencial local co-
brindo uma região aberta em torno de A.
Cλ : xµ = xµ (σ, λ), −ε ≤ σ ≤ ε, −δ ≤ λ ≤ δ
T = T µ (σ, λ)∂ ,
(x0 (σ,λ),...,x3 (σ,λ))
satisfazem
gµν T µ T ν = −1, −ε ≤ σ ≤ ε, −δ ≤ λ ≤ δ
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 72
e as curvas paramétricas
Dσ : λ 7→ xµ (σ, λ)
são suaves. Assumiremos também que as curvas Dσ , são curvas paramétricas regu-
lares, no sentido de que seus vetores tangentes
J = J µ (σ, λ)∂µ
(x0 (σ,λ),...,x3 (σ,λ))
J µ (σ, 0)∂µ
(x0 (σ,0),...,x3 (σ,0))
De fato, basta observar que a “separação” entre estes corpos será dada relativa-
mente ao referencial xµ por
de forma que
! !!
D2 µ D D µ
ξ (σ)∂µ = ∆λ J (σ, λ)∂µ ,
dσ 2 (x0 (σ,0),...,x3 (σ,0)) dσ dσ (x0 (σ,λ),...,x3 (σ,λ)) (σ,λ)=(σ,0)
∂xµ (σ, λ)
T µ (σ, λ) = ,
∂σ
e conforme já ressaltado na equação (4.11),
∂J(σ, λ)
J µ (σ, λ) = .
dλ
Considerando J µ ∂µ como um campo vetorial ao longo de Cλ , sua derivada covariante
ao longo desta curva será o campo
µ
D ∂J µ ν ρ
J= + Γνρ J T ∂µ
dσ dσ
1
Conforme observado no Capı́tulo 1 no contexto do Gedankenexperiment do elevador de Eins-
tein, campos gravitacionais se manifestam pela aceleração relativa de campos gravitacionais se
manifestam pela aceleração relativa de corpos vizinhos em queda-livre.
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 74
DJ
ao longo de Cλ . A derivada do campo ao longo desta curva será por sua vez
dσ
D2 J ∂ ∂J µ
µ ν ρ
= + Γνρ J T ∂µ
dσ 2 ∂σ ∂σ
α
µ ∂J α θ ω
+ Γαβ + Γθω J T T β ∂µ .
∂σ
Desenvolvendo:
D2 J ∂ 2J µ λ ν ρ
µ ∂x ν ρ µ ∂J ρ µ ν ∂T
= + (∂λ Γνρ ) J T + Γνρ T + Γνρ J ∂µ
dσ 2 ∂σ 2 ∂σ ∂σ ∂σ
α
µ ∂J β µ α θ ω β
+ Γαβ T + Γαβ Γθω J T T ∂µ . (4.12)
∂σ
∂ 2J µ ∂ 3 xµ ∂ 3J µ ∂ 2 xµ
µ ∂
Observe que = e, visto que x (σ, λ) é suave, que = .
∂σ 2 ∂σ∂σ∂λ ∂σ∂σ∂λ ∂λ ∂σ 2
Por outro lado, o fato de Cλ ser uma geodésica significa que
∂ 2 xµ ν
µ ∂x ∂x
ρ
+ Γ νρ = 0. (4.13)
∂σ 2 ∂σ ∂σ
Logo
∂ 2J µ ∂xρν
∂ ∂x
2
= −Γµνρ
∂σ ∂λ ∂σ ∂σ
∂xφ ∂xν ∂xρ ∂ 2 xν ∂xρ ∂xν ∂ 2 xρ
= −(∂φ Γµνρ ) − Γµνρ − Γµνρ
∂λ ∂σ ∂σ ∂λ∂σ ∂σ ∂σ ∂λ ∂σ
ν α
∂J ρ ∂J β
= −(∂φ Γµνρ )J φ T ν T ρ − Γµνρ T − Γµαβ T .
∂σ ∂σ
Levando isto na equação (4.12) obtemos:
D2 J 2 ρ
µ λ ν ρ µ ν φ ρ µ α β θ ω µ ν∂ x
= (∂λ Γνρ )T J T − (∂φ Γνρ )T J T + Γαβ Γθω T J T + Γνρ J ∂µ .
dσ 2 ∂σ 2
∂ 2 xρ
Usando a equação (4.13) para na última, isto é, usando
∂σ 2
∂ 2 xρ θ
ρ ∂x ∂x
ω
= −Γθω ,
∂σ 2 ∂σ ∂σ
vem:
D2 J
= (∂λ Γµνρ )T λ J ν T ρ − (∂φ Γµνρ )T ν J φ T ρ + Γµαβ Γαθω T β J θ T ω − Γµνρ Γρθω T θ J ν T ω ∂µ .
dσ 2
Reindexando,
D2 J µ µ µ θ µ θ
λ ν ρ
= ∂λ Γνρ − ∂ν Γλρ + Γ λθ Γνρ − Γ νθ Γλρ T J T ∂µ ;
dσ 2
ou seja:
D2 J
= (Rλνρ µ T λ J ν T ρ )∂µ .
dσ 2
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 75
Escrevendo
D2 J
2 µ
dJ
2
:= ∂µ
dσ dσ 2
para denotar as componentes da derivada covariante de segunda ordem do campo J
relativamente ao referencial xµ , vem:
D2 J µ
2
= Rλνρ µ T λ J ν T ρ , (4.14)
dσ
que é a relação desejada. Esta equação é a chamada “equação de desvio geodésico”,
ou “equação de Jacobi”.
d2 x i ik ∂φ
Partı́cula de referência: 2
= −δ k
(x1 , x2 , x3 )
dt ∂x
d2 i i ik ∂φ
Partı́cula vizinha: (x + ξ ) = −δ (x1 + ξ 1 , x2 + ξ 2 , x3 + ξ 3 ) (4.15)
dt2 ∂xk
Aqui, φ(x1 , x2 , x3 ) é o potencial gravitacional (Newtoniano) visto neste referencial
~ = (ξ 1 (t), ξ 2 (t), ξ 3 (t)) é o vetor de separação em um dado tempo t entre
inercial e ξ(t)
a partı́cula de referência, situada em xi = xi (t), e a segunda partı́cula situada em
xi (t) + ξ i (t). Para pequenas separações, digamos, | ξ i | 1 ∀ i, ∀ t, o lado direito
de (4.15) pode ser escrito em primeira ordem como
ik ∂φ 1 1 2 2 3 3 ik ∂φ 1 2 3 ∂ ∂φ 1 2 3
−δ (x +ξ , x +ξ , x +ξ ) = −δ (x , x , x ) + j (x , x , x ) ξ j .
∂xk ∂xk ∂x ∂xk
Levando isto em (4.15) e subtraindo a equação de movimento para a partı́cula
~
de referência, segue que: para pequenas separações, o vetor de separação ξ(t) =
1 2 3
(ξ (t), ξ (t), ξ (t))) evolui segundo a equação
d2 ξ i
2
ik ∂ φ
= −δ (x , x , x ) ξ j .
1 2 3
dt2 ∂xj ∂xk
Esta é a equação Newtoniana para a força de maré experimentada por uma distri-
buição de partı́culas não-interagentes em queda-livre no campo gravitacional consi-
derado. O chamado “tensor de maré não relativı́stico”
2
i ik ∂ φ 1 2 3
E j := δ (x , x , x ) ,
∂xj ∂xk
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 76
d2 ξ i
tal que = −E i j ξ j , descreve as chamadas forças de maré que causam a apro-
dt2
ximação de partı́culas vizinhas ao longo do sistema, gerando forças de tensão dis-
tribuı́das ao longo de toda sua extensão.
C0 : y µ = f µ (σ), ∀ σ ∈ I (4.17)
onde f µ (σ) = y µ (φ0 (σ), ..., φ3 (σ)). Visto que (4.16) acima é uma parametrização da
geodésica C0 pelo tempo próprio, e já que
dφµ dφν df µ df ν
−1 = gµν ≈ ηµν ,
dσ dσ dσ dσ
sob a mudança de coordenadas de xµ para y µ ao longo da região V ⊂ M , podemos
assumir que (4.17) acima também é uma parametrização da geodésica C0 pelo tempo
próprio.
Ora, como y µ pode ser considerado para todos os efeitos práticos (em boa apro-
ximação) um referencial inercial, podemos considerar que existe uma transformação
de Lorentz definindo um novo referencial local ỹ µ em V (ou seja, a transformação
de Lorentz em questão seria vista como uma aplicação de mudança de coordenadas
ỹ µ = ỹ(y 0 , ..., y 3 )) tal que, se C0 se escreve relativamente a ỹ µ como
C0 = ỹ µ = hµ (σ),
dhλ
Ora, com = δ0λ , a última reduz simplesmente para
dσ
d2 wµ
= −R̃0ν0 µ wν . (4.18)
d2 σ
Além disso, claramente podemos identificar o “parâmetro afim” σ com a coordenada
temporal t, definida via ct := ỹ 0 6 . Com isso, chegamos ao resultado que querı́amos
df 0 df 3 df µ df ν
3
O 4-vetor tangente , ..., de C0 : y µ = f µ (σ) em σ é unitário, isto é, ηµν =
dσ dσ dσ dσ
−1, ∀ σ ∈ I. Logicamente, isto vale em particular para σ = 0. Com isso, claro que existe uma
transformação de Lorentz levando o 4-vetor tangente em σ = 0 no vetor unitário (1, 0, 0, 0, ). Esta
é a transformação de Lorentz à qual nos referimos aqui.
4
A transformação de Lorentz ỹ µ = ỹ µ (y 0 , ..., y 3 ) é selecionada de forma a levar o 4-vetor tangente
0 3
df df
, ..., |σ=0 de C0 : y µ = f µ (σ), σ ∈ I em σ = 0 no 4-vetor de componentes (1, 0, 0, 0)
dσ dσ
relativas a ỹ µ . Daı́, em seguida, restringindo σ a uma vizinhança suficiente pequena I˜ ⊂ I de
dhµ
σ = 0, podemos assumir por continuidade que temos em boa aproximação ≈ δ0µ ∀ σ ∈ I.
˜
5
dσ
A equação de desvio geodésico é uma equação para o “campo de Jacobi” J µ ∂µ ao longo C0 ,
escrita relativamente ao referencial local xµ . Como o 4- vetor de separação ξ µ (σ)∂µ
(x0 (σ,0),...,x3 (σ,0))
entre as geodésicas C0 e C∆λ (ao longo de C0 ) introduzido na seção anterior satisfaz ξ µ ≡ J µ ∆λ,
podemos multiplicar a equação de Jacobi em ambos os lados por ∆λ para escrever a equação de
desvio geodésico para o 4- vetor de separação entre as geodésicas C0 e C∆λ . Relativamente ao
D2 ξ µ
referencial local xµ esta equação seria, daı́, = Rλνρ µ T λ ξ ν T ρ .
dσ 2
dhµ
6
Como = δ0µ , a linha-mundo da partı́cula de referência pode ser escrita como h0 (σ) =
dσ
σ, h1 = h2 = h3 = 0, lembrando que em σ = 0 temos hµ (0) = 0 ∀ µ. Assim, para a 0-
ésima componente, obtemos ct := ỹ 0 = σ. Isto significa que podemos interpretar a “coordenada
temporal” ỹ 0 = ct como o tempo próprio ao longo da linha-mundo da partı́cula de referência.
CAPÍTULO 4. FERRAMENTAS MATEMÁTICAS III 78
1 d2 w µ
= −R̃0ν0 µ wν . (4.19)
c2 dt2
Esta expressão, restrita apenas às componentes espaciais do campo fornece
d2 w i
2
= −c2 R̃0j0 i wj , i, j = 1, 2, 3. (4.20)
dt
Mas, as componentes espacias do 4-vetor de separação vão coincidir, visto que ỹ µ
é para todos efeitos práticos um referencial inercial (por construção), com as com-
ponentes do “vetor de separação” Newtoniano considerado na seção anterior. Isto
significa que no limite Newtoniano as componentes do tensor de Riemann codificam
as forças de maré, o tensor de maré Newtoniano sendo dado por
E i j ≡ c2 R̃0j0 j .
As equações de Einstein
79
CAPÍTULO 5. AS EQUAÇÕES DE EINSTEIN 80
Figura 5.1: O vetor com rótulo P(x0 , ..., x3 )∆V representa o 4-momentum da porção
de matéria situada no elemento de volume ∆V .
Ou também, uma vez que no presente caso o tensor métrico é invariante sob trans-
formação de Lorentz, isto é, já que
g(n, P) = ñα P α = nα P α ,
podemos escrever
vµ ν
−Tµν n = cnα P α (5.2)
c
v
Se restringimos nesta última expressão n = , então
c
v v densidade de massa-energia conforme medida por
−T , = O em seu referencial instantâneo de repouso,
c c
no evento de interesse.
De fato, neste caso será ñα ∂˜α = (1, 0, 0, 0)4 , de forma que
vµ vν
−Tµν = cñP̃ α = cη̃00 P̃ 0 = −cP̃ 0
c c
onde η̃µν 5 denotam as componentes do tensor métrico relativamente ao referencial
x̃µ . Nossa afirmação segue de se observar que a componente P̃ 0 da densidade de
4-momentum no referencial instantâneo de repouso do observador O deve ser jus-
tamente a densidade de massa-energia para a nossa distribuição de matéria-energia
conforme medida por este observador, multiplicada por um fator de c−1 .
Dado um 4-vetor unitário do tipo espaço s ortogonal a 4-velocidades v do obser-
vador O, isto é, tal que g(s, s) = 1 e g(v, s) = 0, define-se que
v
componente na direção “espacial” s da densidade de
−T ,s = c × .
c 4-momentum, conforme medido por O
~ =
onde “·” representa o produto interno euclidiano usual entre ~s̃ = (s̃1 , s̃2 , s̃3 ) e P̃
µ
v
(P̃ 1 , P̃ 2 , P̃ 3 ). Logo, −Tµν sν fornece a projeção da parte espacial da densidade de
c
4-momentum, conforme visto no referencial instantâneo de repouso do observador
O no evento de interesse, na direção s̃.
Sejam s(1) e s(2) 4-vetores do tipo espaço ortogonais à 4-velocidade do observador
O. Novamente, isto significa que no referencial instantâneo de repouso x̃µ no evento
de interesse, s(1) e s(2) são puramente espaciais. Então, define-se que
valor do tensor de tensão da distribuição contı́nua de
T (s(1) , s(2) ) = matéria-energia avaliado nas direções espaciais s(1) e s(2)
conforme visto pelo observador O.
A interpretação do tensor de tensão é que T (~n, ~l) é a força por unidade de área na
direção ~l exercida sobre a porção da matéria situada no semi-espaço determinado
pelo plano π e ~n pela porção de matéria situada no semi-espaço oposto (veja estes
elementos na figura (5.2)).
0 0 0 P
CAPÍTULO 5. AS EQUAÇÕES DE EINSTEIN 85
|~v |2
= P 2 γ 2 (~u) + ρc2 γ 2 (~u)
c
|u|2
= ρc + P 2 γ 2 (~u).
2
(5.9)
c
Rµν µν . Como
∇µ (g αµ R) = ∇µ (g αµ )R + g αµ ∇µ R = g αµ ∇µ R,
onde usamos ∇µ (g αµ ) = 0, temos
∇µ (g αµ R) = g αµ ∇µ R := ∇α R.
Assim,
αµ 1 αµ αµ 1 αµ
∇µ R − ∇µ (g R) = ∇µ R − g R = 0.
2 2
Por outro lado vimos que ∇µ T µα = 0 de forma que a equação
1
Gµν = Rµν − g µν R = κT µν
2
onde κ é constante, é consistente. Quer dizer: embora o tensor de Ricci seja a con-
tração mais simples possı́vel do tensor de curvatura para um tensor do tipo (0, 2), e
portanto, a relação mais simples entre geometria do espaço-tempo e massa-energia-
momentum ser Tµν = κRµν , esta relação não seria consistente porque enquanto
1
∇µ T µν = 0, ∇µ Rµν = g µν R. Isto poderia ser resolvido codificando a curvatura do
2
1
espaço tempo não por Rµν , mas por Gµν = Rµν − gµν R, que satisfaz ∇µ Gµν = 0,
2
e colocando Gµν = κTµν . Esta foi a equação de campo gravitacional proposta por
Einstein, as famosas “Equações de Einstein”. Evidentemente, esta não é a única pos-
sibilidade para uma relação consistente e simples entre curvatura do espaço-tempo e
matéria-energia-momentum. Mas até o presente momento, todas as evidências expe-
rimentais apontam para a validade da relação proposta por Einstein em detrimento
de outras diversas levantadas.
T µν = ρU µ U ν ,
multiplicando por gµν esta expressão e somando sobre esses ı́ndices temos
1 1
gµν Rµν − gµν g µν R = κρgµν U µ U ν ⇒ R − δνν R = −c2 κρ = T ν ν ,
2 2
c2 c2 µν
µν
R = κρg µν + κρU µ U ν = κ ρg + T µν
.
2 2
1
Uma vez que no limite Newtoniano de campos fracos R00 = − ∇2 h00 , T00 = c2 ρ,
2
c2
g00 = −1 + h00 ≈ −1 e h00 = φ, temos
2
2 2
κc2 ρ
1 2 c c 2
− ∇ h00 = R00 = κ ρg00 + T00 = κ − ρ + ρc = ,
2 2 2 2
c2 2
c2
κρc4
daı́, como φ = h
2 00
⇒ −4πGρ = −∇ h
2 00
= , vem
2
8πG
κ=− ,
c4
e a equação de campo de Einstein fica
8πG
Gµν = − Tµν .
c4
Capı́tulo 6
A solução de Schwarzschild
2. O elemento de linha ds2 = gµν dxµ dxν é invariante por reversão temporal, isto
é, invariante por mudanças do tipo t → −t.
Então procuramos por coeficientes gµν que são independentes da coordenada tem-
poral x0 = t e de modo que ds2 depende apenas de invariantes rotacionais das
coordenadas espaciais x1 , x2 , x3 , ou seja, procuramos por uma métrica estática, es-
tacionaria e isotrópica.
Vamos começar encontrando a forma geral de uma métrica estática e espacial-
mente isotrópica e em seguida restringimos ao caso estacionário.
A forma geral para o elemento de linha ds2 é
dX · dX, X · X e X · dX
, onde X ≡ (rsenθ cos ϕ, rsenθsenϕ, r cos θ). Posto isto, temos que ds2 deve ter a
forma
89
CAPÍTULO 6. A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD 90
Logo,
t̃ = t + f (r)
dt̃2 = (dt + f 0 (r)dr)2 = dt2 + 2f 0 (r)dtdr + dr2 ⇒ dt2 = dt̃2 − 2f 0 (r)dtdr − dr2 .
Precisamos ter
C
drdt(C − 2f 0 (r)D) = 0 ⇒ f 0 (r) =
2D
e teremos
ds2 = A(r2 dθ2 + r2 sen2 dϕ2 ) + Bdr2 + Ddt2 .
Substituindo Ar2 → r̃2 ficamos com
Trocando D → A, vem
isto é,
gµν = diag(g00 , g11 , r2 , r2 sen2 θ).
Para encontrar as componentes do tensor métrico g00 e g11 vamos utilizar as
equações de campo de Einstein para região exterior da distribuição de matéria-
energia com simetria esférica. Primeiramente, iremos encontrar os sı́mbolos de Ch-
ristoffel para os coeficientes métricos gµν . Para tanto, vamos utilizar a equação de
Euler-Lagrange e a equação das geodésicas:
d ∂L ∂L
µ
− µ = 0,
dσ ∂ ẋ ∂x
d2 xµ ν
µ dx dx
λ
+ Γνλ = 0,
dσ 2 dσ dσ
CAPÍTULO 6. A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD 91
com lagrangeano
1 dxµ dxν 1
L = gµν = gµν ẋµ ẋν ,
2 dσ dσ 2
sendo σ é um parâmetro afim para a geodésica. Para fins de cálculo vamos definir
1 1
g00 = 00
≡ −eA , g11 = 11 ≡ eB
g g
de modo que o lagrangeano tenha forma
2 2 2 2 !
1 1 dt dr dθ dϕ
L = gµν ẋµ ẋν = −eA + eB + r2 + r2 sen2 θ .
2 2 dσ dσ dσ dσ
2 2 !
d dt 1 dt dr
−eA − −ȦeA + ḂeB =0⇒
dσ dσ 2 dσ dσ
" 2 2 #
2
dt dt dr Ȧ dt Ḃ dr
−eA 2
+ A0 + + eB−A = 0.
dσ dσ dσ 2 dσ 2 dσ
Comparando com a equação das geodésicas obtemos
Ȧ 0 A0 0 Ḃ
Γ000 = , Γ10 = Γ01 = , Γ11 = eB−A
0
2 2 2
e os demais Γ0µν são nulos.
Para µ = 1 temos
2 2 2 2 !
∂L 1 0 A dt 0 B dr dθ 2 dϕ ∂L dr
1
= −A e +Be + 2r + 2rsen θ , 1
= eB ⇒
∂x 2 dσ dσ dσ dσ ∂ ẋ dσ
2 2 2 2 !
d B dr 1 dt dr dθ dϕ
e − −A0 eA + B 0 eB + 2r + 2rsen2 θ =0⇒
dσ dσ 2 dσ dσ dσ dσ
" 2 2 2 2 #
d2 r B 0 A0
dr dr dt dt dθ dϕ
eB + + Ḃ + eA−B − re−B − re−B sen2 θ = 0;
dσ 2 2 dσ dσ dσ 2 dσ dσ dσ
Ḃ A0 B0
Γ110 = , Γ100 = eA−B , Γ111 = , Γ122 = −re−B , Γ133 = −re−B sen2 θ,
2 2 2
CAPÍTULO 6. A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD 92
Em resumo:
Ȧ 0 A0 Ḃ
Γ000 = , Γ10 = Γ001 = , Γ011 = eB−A
2 2 2
Ḃ A0 B0
Γ110 = , Γ100 = eA−B , Γ111 = , Γ122 = −re−B , Γ133 = −re−B sen2 θ
2 2 2
1
Γ210 = , Γ233 = −senθ cos θ,
r
Γ13 = r−1 , Γ332 = cot θ.
3
Para µ = ν = 0 temos
R0β0 β = ∂0 Γββ0 − ∂β Γβ00 − Γββθ Γθ00 + Γβ0θ Γθβ0
! ! 0
Ȧ Ḃ Ȧ A A−B
= ∂0 + − ∂0 − ∂1 e − Γββ0 Γ000
2 2 2 2
− Γββ1 Γ100 − Γββ2 Γ200 − Γββ3 Γ300 + Γβ00 Γ0β0 + Γβ10 Γ1β0 + Γβ20 Γ2β0 + Γβ30 Γ3β0
B̈ A00 A−B A0 0
= − e − (A − B 0 )eA−B − Γ110 Γ000
2 2 2
− Γ111 Γ100 − Γ221 Γ100 − Γ331 Γ100 + Γ100 Γ010 + Γ110 Γ110
A0 2 A0 B 0 A0
00
B̈ Ḃ 2 ȦḂ
A−B A
= + − −e + − + . (6.1)
2 4 4 2 4 4 r
Para µ = ν = 1:
R1β1 β = ∂1 Γββ1 − ∂β Γβ11 − Γββθ Γθ11 + Γβθ Γθβ1
0
B0 2
A
= ∂1 + + − ∂0 Γ011 − ∂1 Γ111 − Γββ0 Γ011
2 2 r
− Γββ1 Γ111 − Γββ2 Γ211 − Γββ3 Γ311 + Γβ10 Γ0β1 + Γβ11 Γ1β1 + Γβ12 Γ2β1 + Γβ13 Γ3β1
!
A00 B 00 2 B̈ Ḃ 2
ȦḂ B 00
= + − 2 − eB−A + − −
2 2 r 2 2 2 2
− Γ000 Γ011 − Γ110 Γ011 − Γ001 Γ111 − Γ111 Γ111 − Γ021 Γ111 − Γ331 Γ111 + Γ010 Γ001
+ Γ110 Γ011 + Γ011 Γ110 + Γ111 Γ111 + Γ212 Γ212 + Γ313 Γ313
!
00 02 0 0 0 2
A A AB B ȦḂ Ḃ B̈
= + − − − eB−A − + + . (6.2)
2 4 4 r 4 4 2
Para µ = 0 e ν = 1 temos
Para µ = ν = 3:
Para µ = 0 e ν = 3:
Para µ = 1 e ν = 2:
Para µ = 1 e ν = 3
Para µ = 2 e ν = 3
A0 2 A0 B 0 A0
00
β A−B A
R0β0 = −e + − + = 0,
2 4 4 r
β A00 A02 A0 B 0 B 0
R1β1 = + − − = 0,
2 4 4 r
r
R2β2 β = e−B 1 + (A0 − B 0 ) − 1 = 0,
2
(1 − rB 0 ) e−B − 1 = 0. (6.14)
λ(r) = e−B(r) ,
temos
dλ
= −B 0 e−B
dr
e (6.14) pode ser escrita sob a forma
λ dλ 1
+ = ⇒
r dr r
d k1
(λr) = 1 ⇒ λ(r) = 1 + = e−B ,
dr r
1
Veja: CHENG. Ta-Pei. Relativity,Gravitation and Cosmology A basic introduction. New
York: Oxford University Press, 2005.
CAPÍTULO 6. A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD 96
ek
A −B+k k −B k k1
g00 = −e = −e =− = −e e = −e 1 + .
g11 r
Do limite newtoniano para campos fracos obtemos
2φ k k1
g00 = −1 − 2 = −e 1 + .
c r
Fixamos as constantes impondo que no “infinito” seja g00 = −1. Então, devemos
2GM
ter k0 = 0 , portanto −k1 = e a métrica de Schwarzschild é dada por
c2
" −1 #
2GM 2GM
gµν = diag −1 + 2 , − −1 + 2 , r2 , r2 sen2 θ .
cr cr
dtob = dtem .
Daı́, o tempo próprio entre os sinais luminosos quando eles chegam em rob é dado
por
1 1
2GM 2 2GM 2
dτob = 1 − 2 dtob = 1 − 2 dtem .
c ro b c ro b
2GM
Agora, observe que se rob é grande o suficiente para que 1, então
c2 rob
dτob = dtem
d 2 xµ λ
µ dx dx
ν
+ Γ λν = 0, ∀ µ = 0, 1, 2, 3,
dτ 2 dτ dτ
onde τ é o tempo próprio da partı́cula ao longo da geodésica. Por outro lado, estas
equações podem ser obtidas da equação de Euler-Lagrange com lagrangeano
2 −1 2 2 2
2 2GM dt 2GM dr 2 dθ 2 2 dϕ
L = c −1 + 2 − −1 + 2 +r +r sen θ = −c2 .
cr dτ cr dτ dτ dτ
Desta última expressão podemos obter uma equação com r em função de ϕ, ou seja,
uma equação para a órbita da partı́cula.
Começamos usando a regra da cadeia para obter
dr dr dϕ
= .
dτ dϕ dτ
dϕ
De h = r2 , temos
dτ
dr dr h
= .
dτ dϕ r2
CAPÍTULO 6. A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD 102
Portanto, órbitas circulares somente são possı́veis se 3RS < r. Utilizando o fato que
2 2 2 −2
dϕ dϕ dt 2 dϕ 2M G
= =k −1 + 2 ,
dτ dt dτ dt cr
vemos que
2 2 2 2
c2 GM
dϕ −2 2M G dϕ −2 2M G Gm
=k −1 + 2 =k −1 + 2 2 2
= 3 ,
dt cr dτ cr r (c r − 3GM ) r
1
2GM 3GM 2
onde utilizamos que da equação (6.22) temos k = 1 − 2 1− 2 . In-
r cr cr
dϕ Gm
tegrando = e utilizando que ϕ(0) = 0, obtemos o perı́odo coordenado da
dt r3 r
r3
órbita dado por T = 2π . Observe que esta expressão é a mesma para uma
GM
órbita circular de raio r na teoria Newtoniana, no entanto, r não é o raio da órbita
no caso relativı́stico.
onde − 12
dt 2GM 3GM
=k 1− 2 = 1−
dτ cr r
dϕ GM
=Ω= 2 3
dt cr
dϕ dϕ dt dt
= =Ω = u0 Ω = u3
dτ dt dt dτ
[uµ ] = u0 (1, 0, 0, Ω).
Assim, podemos reescrever a equação (6.26) como
0 0 3 3 2 2GM
g00 s u + g33 s u = 0 ⇒ c −1 + s0 u0 + r2 s3 u3 = 0,
r
donde −1
0 −2 2 3 2GM
s =c r s Ω 1− .
r
Daı́, as equações de transporte paralelo se tornam
dsµ
+ Γµ0ν sν u0 + Γµ3ν sν u3 = 0.
dτ
Utilizando os sı́mbolos de Christoffel já encontrados para a geometria de Schwarzs-
child, obtemos
ds0
+ Γ001 s1 u0 = 0 (6.27)
dτ
ds1
+ Γ100 s0 u0 + Γ133 s3 u3 = 0 (6.28)
dτ
ds2
=0 (6.29)
dτ
ds3
+ Γ313 s1 u3 = 0
(6.30)
dτ
onde
−1
0 GM 2GM 1 GM 2GM
Γ00 = 2 1− 2 , Γ00 = 2 1− 2
r cr r cr
2GM 1
Γ133 = −r 1 − 2 , Γ313 = .
cr r
Esta solução mostra que a parte espacial do 4-spin está girando com relação ao
eixo radial do giroscópio de um ângulo (Ω+Ω0 )t. Este é o chamado efeito “geodético”
2π
ou “precessão de De Sitter” Quando Ωt = 2π, ou seja, t = T = , temos
Ω
− 12
0 3GM
Ω T = 2π 1 − 2 < 2π.
cr
Portanto, depois de uma órbita completa, a parte espacial do 4-spin sofreu uma
precessão na direção da órbita de um ângulo
− 12 !
3GM
α = 2π − Ω0 T = 2π 1 − 1 − 2 . (6.46)
cr
Este ângulo, o “ângulo de De Sitter”, é uma das previsões clássicas da TGR mais
importantes, tendo sida prevista por De Sitter na década de 1910. Como a equação
(6.46) mostra, trata-se de um efeito pequeno. Mas como discutiremos na próxima
seção ele foi medido experimentalmente em um dos experimentos mais marcante
da ciência dos últimos 50 anos – a missão Gravity Probe B (Universidade de Stan-
ford/Nasa)
Relatividade Especial
A.1 Preliminares
• Evento: um evento pode ser considerado como uma ocorrência fı́sica sem
duração temporal e sem extensão espacial, em que se atribui coordenadas
espacias x0 , x1 , x2 , x3 e uma coordenada temporal x4 = ct onde c é a veloci-
dade da luz e t o instante em que o evento ocorre, assim, o tempo é medido
em unidades de distância ao convencionarmos que c = 1.
108
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 109
x2 = x̃2
t = t̃
A verdade é que estas relações não estão realmente corretas, iremos deduzir uma
transformação de coordenadas que mostrará que t 6= t̃ para certas velocidades V .
É evidente que se considerarmos todos os eventos possı́veis e rotularmos to-
dos com coordenadas x0 , ..., x3 teremos M ' R4 . Desse modo definimos em M a
aplicação
g :M ×M →R
definida por g(u, v) = u0 v 0 + u1 v 1 + u2 v 2 − u3 v 3 .
Proposição A.1.1. A aplicação g definida acima é uma forma bilinear e satisfaz:
1. g(u, v) = g(v, u) ∀ u, v ∈ M
2. g(u, v) = 0 ∀ u ∈ M e v ∈ M fixado ⇒ v = ~0
Demonstração. 1. É obvio.
2. Se v = (v 0 , ..., v 3 ) tome u = (v 0 , v 1 , v 2 , −v 3 ), então g(u, v) = (v 0 )2 + (v 1 )2 +
(v 2 )2 + (v 3 )2 = 0 ⇔ v i = 0, i = 0, ..., 3 ⇒ v = ~0.
Sejam x = (x0 , ..., x3 ) e x̃ = (x̃0 , ..., x̃3 ) dois eventos na linha-mundo de um fóton,
e considere o vetor deslocamento d~ = (x0 − x̃0 , ..., x2 − x̃2 ) entre os dois eventos.
Como d~ representa o deslocamento de um fóton do evento x ao evento x̃ no intervalo
de tempo t0 − t̃0 temos que o vetor velocidade é dado por
0
∆x ∆x1 ∆x2
~v = , ,
∆t ∆t ∆t
2 2
X ∆xi
e k~v k = = c2 , portanto
i=0
∆t
c2 · (t0 − t̃0 ) = (x3 − x̃3 ) = (x0 − x̃0 )2 + (x1 − x̃1 )2 + (x2 − x̃2 )2
.
Segue da ultima equação que
g(x − x̃, x − x̃) = (x0 − x̃0 )2 + (x1 − x̃1 )2 + (x2 − x̃2 )2 − (x3 − x̃3 ) = 0,
é denominado o cone de luz do evento x̃. O nome vem do fato de que g(x− x̃, x− x̃) =
(x0 − x̃0 )2 + (x1 − x̃1 )2 + (x2 − x̃2 )2 − (x3 − x̃3 ) representa a equação de um cone em
R4 com vértice em x̃. Para sermos mais precisos, o evento x pertencer ao cone de
luz de x̃ significa que x e x̃ podem ser conectados por um sinal de luz. Os vetores v
tais que g(v, v) = 0 são denominados “vetores do tipo luz”, estes estão no cone de
luz do evento x̃ = (0, 0, 0, 0).
de modo que x não está no cone de luz do evento x̃ e não pode ser conectado a x̃ por
um sinal luz. Ou seja, a separação espacial é grande o suficiente que para conectar os
dois eventos com um sinal fı́sico seria necessário que tal sinal viajasse com velocidade
superior a da luz! Vetores x ∈ M tais que g(x, x) < 0 são denominados “vetores do
tipo espaço”. Os vetores v = (0, 0, 0, 1) e (1, 1, 1, 1) são respectivamente do “tipo
tempo” e do “tipo espaço” .
A definição da forma bilinear g não foi sem propósito. Pelo o que foi exposto
acima, g quando restrita ao subespaço de R4 gerado pelos vetores (x0 , 0, 0, 0), (0, x1 , 0, 0)
e (0, 0, x2 , 0) se comporta como o produto interno euclidiano usual em R3 . Assim,
possibilita determinar a separação espacial entre eventos e fornece interpretações
fı́sicas a respeito de tais eventos. Vimos que g tem a propriedade de ser simétrica,
portanto, associamos a g uma forma quadrática
Q:M →R
T (vµ ) = ṽµ .
g (T (wµ ), T (wν )) = g T (wµλ vλ ), T (wνσ vσ ) = wµλ wνσ g (T (vλ ), T (vσ )) = wµλ wνλ ηλλ ,
por outro lado, g(wµ , wν ) = g((wµλ vλ , wνσ vσ ) = wµλ wνσ g (vλ , vσ ) = wµλ wνλ ηλλ = ηµν ,
portanto
g (T (wµ ), T (wν )) = ηµν ,
donde C 0 = {T (wµ ); µ = 0, 1, 2, 3} é um conjunto ortonormal de R4 . Agora, suponha
que 0 = λµ T (wµ ), então
⇒ λµ = 0, µ = 0, 1, 2, 3,
pois a equação λµ wµσ = 0 ∀ σ = 0, 1, 2, 3, nos leva a um sistema homogêneo de
quatro equações e quatro variáveis, que sabemos possuir ou a solução trivial ou
infinitas soluções. Se tivermos infinitas soluções, então existiria infinitas formas de
se escrever 0 = λµ wµσ T (vσ ) variando os escalares λµ mas seria absurdo uma vez que
{T (vσ ); σ = 0, 1, 2, 3} é uma base de R4 . Segue que C 0 é um conjunto linearmente
independente, logo base de R4 .
Para finalizar, note que se existir S : R4 → R4 transformação linear tal que
T (vµ ) = S(vµ ), µ = 0, 1, 2, 3, então
como desejado.
Observe que a transformação linear T : R4 → R4 definida acima claramente é
um isomorfismo. Assim, se B = {v0 , ..., v3 } e B 0 = {ṽ0 , ..., ṽ 3 } são as bases tais que
T (vµ ) = ṽµ devemos ter T −1 (ṽµ ) = vµ e se vµ = Λσµ ṽσ ⇒ T −1 (ṽµ ) = Λσµ ṽσ . Agora,
dado v ∈ R4 , relativamente a base B, temos v = v µ vµ daı́ v µ vµ = v µ T −1 (ṽµ ) =
v µ Λσµ ṽσ . Assim, se v = ṽ σ ṽσ ⇒ ṽ σ = v µ Λσµ . Logo a matriz de T −1 relativa a base B 0
é dada por 0
Λ0 Λ01 Λ02 Λ03
Λ10 Λ11 Λ12 Λ13
Λ0 Λ21 Λ22 Λ23 = Λ.
2
g(vµ , vν ) = g(Λσµ ṽσ , Λβν ṽβ ) = Λσµ Λβν g(ṽσ , ṽβ ) = Λσµ Λβν ησβ = ηµν ⇒
ΛT ηΛ = η
v3 v˜3
2
X 2
X 2
X
(v 3 w3 )2 > (w3 )2 (vµ )2 ≥ (wµ )2 (v µ )2 da desigualdade Schwartz em R3 temos
µ=0 µ=0 µ=0
2 2 2
!2 2
!2
X X X X
µ 2
(w ) (v µ )2 ≥ v µ wµ ⇒ (v 3 w3 )2 > v µ wµ ⇒
µ=0 µ=0 µ=0 µ=0
2
X
⇒ v 3 w3 > wµ vµ .
µ=0
Se ocorrer
2
X 2
X 2
X
3 3 3 3 µ µ µ µ 3 3
v w >0⇒v w > w v ≥ w v ⇒v w > wµ v µ ⇒ g(v, w) < 0.
µ=0 µ=0 µ=0
Caso ocorra v 3 w3 < 0 teremos v 3 (−w3 ) > 0, considerando o vetor −w, daı́ g(v, −w) <
0 pelo que foi provado acima, portanto g(v, w) > 0.
1. v ∼ v ∀ v ∈ τ.
2. v ∼ w ⇒ w ∼ v ∀ w, v ∈ τ.
3. Se v, w e u ∈ τ e v ∼ w, w ∼ u então v ∼ u.
O item (1) é obviamente valido pois todo v ∈ τ é do tipo tempo. O item (2) segue
da simetria de g. Agora observe que dados v, w e u ∈ τ são tais que v ∼ w e w ∼ u
então temos w3 u3 > 0 e w3 v 3 > 0 caso contrário terı́amos w3 u3 < 0 ou w3 v 3 < 0
(não pode ocorrer v 3 w3 = 0 ou v 3 w3 = 0 pois estamos lidando com vetores do tipo
tempo) logo g(v, w) > 0 ou g(u, w) > 0 o que contraria a hipótese. Assim w3 u3 > 0
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 116
e w3 v 3 > 0, daı́ segue que (w3 )2 v 3 u3 > 0 ⇒ v 3 u3 > 0, donde g(v, u) > 0 e portanto
u ∼ v.
Uma relação de equivalência em um conjunto determina uma partição sobre o
conjunto. A relação ∼ em τ determina duas partições sobre τ , se w ∼ v então
w3 v 3 > 0 isto acontece quando w3 e v 3 possui o mesmo sinal. Denotaremos por τ +
o conjunto dos vetores de τ tais que sua coordenada temporal seja positiva e de τ −
o conjunto dos elementos de τ que tem a coordenada temporal negativa. Diremos
que os elementos de de τ + estão direcionados para o futuro e os de τ − direcionados
para o passado.
Para um evento x0 em M definimos o conjunto CT (x0 ) = {w ∈ M ; Q(w − x0 ) <
0} que simplesmente é o interior do cone de luz CN (x0 ), temos CT (x0 ) = CT+ ∪ CT−
onde CT+ (x0 ) = {w ∈ M ; w − x0 ∈ τ + } = CT (x0 ) ∩ τ + e CT+ (x0 ) = {w ∈ M ; w − x0 ∈
τ − } = CT (x0 ) ∩ τ − . Assim, definimos o conjunto CN+ (x0 ) = {w ∈ CN (x0 ); w − x0 ∈
τ + } de modo que w e u estarem em CN+ (x0 ) significa que x0 e w podem ser ligados
por um sinal luminoso. Mais precisamente x0 pode ser considerado a emissão de um
fóton e w a recepção.
Denominaremos o último conjunto definido acima por cone de luz do futuro do
evento x0 .
De modo análogo vamos definir para o evento x0 o conjunto CN− (x0 ) como sendo
o conjunto dos eventos w em CN (x0 ) tais que w − x0 está em τ − , ou seja, CN− =
{w ∈ CN (v); w − x0 ∈ τ − }. Denominaremos CN− (x0 ) por cone de luz do passado do
evento x0 .
assim, g(v, w2 + w3 ) = 0.
Observe que se w1 , w2 ∈ τ + então g(w1 , w1 ) < 0 e g(w2 , w2 ) < 0, além disso
temos que g(w1 , w2 ) < 0 pelo teorema acima. Dessa observação temos que g(w1 +
w2 , w1 + w2 ) < 0 e portanto w1 + w2 ∈ τ + .
Segue que sendo w1 + w2 do tipo tempo, v é do tipo espaço pelo último corolário.
Contradição.
Posto isto, diremos que um vetor v do tipo luz está direcionado para o futuro
quando g(v, w) < 0 ∀ w ∈ τ + e direcionado para o passado quando g(v, w) >
0 ∀ w ∈ τ + . Com essas informações que dizem respeito a orientação temporal de
eventos de M podemos estabelecer condições necessárias e suficientes para que a
matriz de mudança de coordenadas não inverta a ordem temporal dos vetores do
tipo luz e do tipo tempo. O próximo teorema, que não demonstraremos2 , será de
grande utilidade para o proposito de determinar uma transformação de Lorentz que
não possua essas caracterı́sticas indesejáveis.
2. Λ preserva a ordem temporal dos vetores do tipo luz, ou seja, se {vµ } e {ṽµ µ}
são duas ases ortonormais de M , então v 3 e ṽ 3 = Λ3µ v µ tem o mesmo sinal.
O teorema acima deixa claro que uma transformação de Lorentz que não é or-
tocrônica necessariamente inverte a ordem temporal de vetores do tipo tempo. Daqui
em diante, iremos considerar apenas bases ortonormais vµ de M tais que v3 é do
tipo tempo direcionado para o futuro. Queremos também estabelecer condições para
que a matriz da transformação de Lorentz não inverta a ordem espacial dos eventos.
Devemos notar que sendo Λ uma matriz de mudança de bases ortonormais a matriz
Λ satisfaz
ΛT ηΛ = η,
daı́
det(ΛT ηΛ) = det(Λ)2 det(η) = det(η) ⇒ det(Λ)2 = 1 ⇒ det(Λ) = ±1
.
1
A quantidade q é frequentemente encontrada, e a denominamos fator de
2
1 − βc2
Lorentz, a denotamos por γ(β) ou simplesmente γ.
Utilizando o mesmo raciocı́nio para o caso em que consideramos dois eventos x̃ e
x̃0 que ocorrem na linha mundo de um ponto em repouso agora no quadro S teremos
No quadro S 0 teremos
∆x̃µ = Λµν ∆xν = Λµ3 ∆x3 e ∆x̃3 = Λ33 ∆x3 6= 0,
∆x̃µ Λµ ∆x3 Λµ ∆x̃µ
assim, teremos que = 33 3 = 33 e = 0, µ = 1, 2, logo
∆3̃ Λ3 ∆x Λ3 ∆x̃3
∆x̃0 Λ03 (∆x̃0 )2 (Λ03 )2 (Λ03 )2 + (Λ13 )2 + (Λ23 )2 (Λ33 )2 − 1 β2
= ⇒ = = = = ,
∆x̃3 Λ33 (∆x̃3 )2 (Λ33 )2 (Λ33 )2 v c2
qualquer que seja o ponto analisado no quadro S. O mesmo raciocı́nio usado para
interpretar a quantidade β é utilizada aqui. Assim, −β é a velocidade de S relati-
vamente a S 0 , daı́
∆x̃0 ∆x̃0 β Λ03
= = − =
∆x̃3 c∆t̃ c Λ33
β β
e Λ03 = −Λ33 = −γ .
c c
∆x2 = ∆x̃2 = 0
∆t = γ(∆t̃ + β ∆x̃0 )
c2
onde ∆xµ = xµ − xµ0 são as coordenadas do vetor x − x0 relativas ao quadro S.
Como x e x0 ocorrem na mesma posição espacial no quadro S 0 devemos ter
∆x̃0 = 0, e portanto
∆t = γ∆t̃.
Mas γ > 1, e daı́, ∆t > ∆t̃. Logo, o tempo medido entre os dois eventos no quadro
S é maior que o tempo medido pelo observador que preside em S 0 .
Este efeito curioso revela que o tempo é uma grandeza relativa! Apesar de termos
observadores com relógios sincronizados e em movimento relativo uniforme, eles nem
sempre concordam sobre o intervalo de tempo entre dois eventos.
Definição A.3.1. O tempo próprio entre dois eventos é o intervalo de tempo medido
entre eles em um quadro onde os dois ocorrem na mesma posição espacial.
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 122
cx0
0 = cγ(x − βt) ⇒ cx0 = ctβ ⇒ ct = .
β
Assim, o diagrama de Minkowski pode ser representado como na figura abaixo
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 123
Podemos ver este fato através do diagrama, uma vez que o cone de luz de qualquer
um desse eventos pode ser obtido por translação do cone de luz do evento E0 para
o evento em questão.
Assim, se dois observadores O e O0 presidindo em referenciais inerciais distintos
discordam sobre a ordem temporal de dois eventos A e B, então B está fora do cone
de luz do evento A e vice-versa. Segue da definição de cone de luz do evento A que
B não pode ser conectado a A por um sinal luminoso e vice-versa.
Agora, imagine que A represente o acionar do detonador de uma bomba que
explode em B. Nesta situação um observador estaria observando primeiro o acionar
do detonador e em seguida o explodir da bomba, algo de se esperar. No entanto, o
outro observador, observaria primeiro o explodir da bomba e em seguida o acionar
do seu detonador, algo que destrói a nossa noção de causalidade, isto é, que um
evento possa influenciar no outro.
Não deixamos essa noção ser quebrada, não permitindo que sinais fı́sicos viagem
com velocidade superior a da luz. Portanto, este exemplo só seria possı́vel se sinais
fı́sicos viajassem com velocidade superior a c. Não permitindo que isso ocorra, os
observadores concordariam que o evento B não poderia causar o evento A.
∆x̃µ = Λµν v ν = 0, µ = 0, 1, 2,
e
1
∆x̃3 = −((∆x0 )2 + (∆x1 )2 + (∆x2 )2 − (∆x3 )2 ) 2
p p
= −g(x − x0 , x − x0 ) = −ηµν ∆xµ ∆xν .
3
Veja: NABER. Gregory L. Geometry of Minkowski sapcetime. 2.ed. Lodon: Springer, 2010.
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 125
α:I→M
α(t) = xµ (t)vµ ,
Observe que
dxµ (h(s)) µ dh
(α ◦ h)0 (s) = (x (h(s))) vµ = h0 (s)α0 (h(s)) = h0 (s)α0 (t) ⇒
ds ds
g(h0 (s)α0 (t), h0 (s)α0 (t)) = [h0 (s)]2 g(α0 (t), α0 (t)) < 0.
Portanto, α ◦ h também é do tipo tempo e direcionado para o futuro.
Para uma curva α : [a, b] → M , definimos o comprimento do tempo próprio de
α como sendo o número
Z b Z br
1 dxµ dxν
L(α) = |g(α0 (t), α0 (t))| 2 dt = −ηµν dt.
a a dt dt
A interpretação fı́sica para L(α) é a seguinte:
A Hipótese do relógio: se α : [a, b] → M representa a linha mundo de uma
partı́cula então o número L(α) é interpretado como sendo o intervalo de tempo entre
os eventos α(a) e α(b) mencionados por um relógio que viaja junto com partı́cula.
Teorema A.4.1. Sejam p e q dois eventos em M então p − q é do tipo tempo e
direcionado para o futuro se, e somente se, existe uma curva α : [a, b] → M do tipo
tempo direcionada para o futuro tal que α(a) = p e α(b) = q.
Demonstração. Omitiremos a demonstração4 .
Agora, daremos argumentos plausı́veis para interpretar fisicamente a quantidade
L(α).
Dada uma partição P = {a = t0 , t1 , ..., ti−1 , ti = b} do intervalo [a, b], onde
a = t0 < t1 < ... < ti = b, segue do teorema acima que vi = α(ti ) − α(ti−1 ) é do
tipo tempo e direcionado para o futuro. Logo τ (vi ) é interpretado como o intervalo
de tempo entre α(ti−1 ) e α(ti ) em um referencial em que os dois eventos ocorrem na
mesma posição espacial.
Se uma partı́cula massiva que viaja com velocidade constante tem sua linha
mundo parametrizada por α, então τ (vi ) é o intervalo de tempo entre esses eventos
medido por um relógio que viaja junto com a partı́cula. Relativamente a esse quadro
admissı́vel s
∆xµi ∆xνi
q
τ (vi ) = −ηµν ∆xµi ∆xνi = −ηµν ∆ti .
∆ti ∆ti
Como α é contı́nua, teremos para ∆ti suficiente pequeno, ∆x3i pequeno. Como
a velocidade da partı́cula em relação ao nosso quadro de referencia é para curtos
intervalos de tempo constante, vemos que τ (vi ) é uma boa aproximação para o
intervalo de tempo mensurado pelo “relógio da partı́cula” entre os eventos α(ti−1 ) e
α(ti ). Portanto, a soma s
n
X ∆xµi ∆xνi
−ηµν ∆ti
i=1
∆ti ∆ti
é uma boa aproximação para o intervalo de tempo entre α(a) e α(b) que é mensurado
pelo relógio que viaja com a partı́cula. As aproximações melhoram quando ∆ti tende
a zero, e no limite a soma acima se aproxima da definição de L(α)
Vimos que a definição de uma curva α : I → M do tipo tempo direcionada para
o futuro independe da parametrização e do referencial escolhido. Voltaremos nossa
atenção, a partir de agora, para um tipo especial de parametrização, vamos assumir
que 0 ∈ I.
4
Veja: NABER. Gregory L. Geometry of Minkowski sapcetime. 2.ed. Lodon: Springer, 2010.
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 127
dτ 1
Temos = |g(α0 (t), α0 (t))| 2 > 0 e infinitamente diferenciável, logo τ é uma
dt
bijeção crescente do intervalo I em um intervalo J com inversa h : J → I dife-
1 1
renciável, e h0 (τ ) = 0 = 1 > 0. Portanto τ assim definida é uma
τ (t) |g(α0 (t), α0 (t))| 2
mudança de parâmetro. Fisicamente estamos parametrizando α por medidas de
tempo que realmente estão sendo registradas ao longo de α.
Usaremos a mesma notação para α e suas coordenadas relativamente a uma base
admissı́vel quando esta estiver parametrizada pelo parâmetro τ ou pelo parâmetro
t, ou seja, α(τ ) = xµ (τ )vµ .
dxµ
O vetor α0 (τ ) = vµ é dito a 4-velocidade de α e denotamos por U = U µ (τ )vµ .
dτ
Temos U, um vetor do tipo tempo unitário.
Com efeito,
α0 (t)
α(τ ) = α(h(t)) ⇒ α0 (τ ) = α0 (h(t))h0 (t) = 1 ⇒
|g(α0 (t), α0 (t))| 2
g(α0 (t), α0 (t))
⇒ g(α0 (τ ), α0 (τ )) = = −1 ∀ τ,
|g(α0 (t), α0 (t))|
pois g(α0 (t), α0 (t) < 0. Assim, g(U, U ) = −1.
A segunda derivada de α parametrizada pelo tempo próprio é dito a 4−aceleração
d 2 xµ
de α, e denotamos por A = Aµ (τ )vµ o vetor α00 (τ ) = vµ . Este é ortogonal a U
dτ 2
para todo τ , em particular é do tipo espaço se não for ~0. Basta observar que
g(U, U ) = g(α0 (τ ), α0 (τ )) = −1 ⇒
d
⇒ g(α0 (τ ), α0 (τ )) = 2g(α0 (τ ), α00 (τ )) = 2g(U (τ ), A(τ )) = 0 ∀ τ.
dτ
A velocidade e aceleração mundial de uma partı́cula que tem sua linha mundo
parametrizada por α é essencial para compreensão da dinâmica da partı́cula. Para
um dado observador talvez seja mais provável para ele parametrizar α pelo tempo
atribuı́do por ele para cada evento em α, isto é, parametrizar α pela coordenada x3
de cada evento em α em vez de τ . Então, devemos procurar um procedimento para
encontrar U (τ ) e V (τ ) dessas parametrização.
Começamos observando que como α é suave então x3 (τ ) é infinitamente dife-
dx3
renciável. Como α é do tipo tempo e direcionada para o futuro, devemos ter >0
3 −1 dτ
dτ dx
e logo x3 (τ ) possui inversa τ = h(x3 ) com 3
= > 0. Assim, x3 define
dx dτ
uma mudança de parâmetro e vale
v "
u
0 2
1 2 2 2 #
dτ 0 3 0 3
1 u dx dx dx p
= g(α (x ), α (x )) 2
= t1 − + + = 1 − β 2 (x3 ),
dx3 dx3 dx3 dx3
dx3 1
Temos = (1 − β) 2 , que iremos denotar por γ = γ(x3 ), daı́
dτ
dx̃µ
= 0, µ = 0, 1, 2 γ = 1 e β(x30 ) = 0.
dx̃3 x3 =x30
Neste quadro temos que a partı́cula cuja linha mundo é α encontra-se momen-
taneamente em repouso, tal quadro e denominado o quadro de repouso instantâneo
da partı́cula. Pela proposição anterior, g(A, A) = |~a| nesse quadro. Como g(A, A) é
invariante sobre as transformação de coordenadas de Lorentz, então todos os obser-
vadores admissı́veis concordam sobre a magnitude da 3-aceleração de α em relação
aos seus quadros instantâneos de repouso.
Com essas ideias em mente, vamos analisar a seguinte situação: um explorador
futurista pretende viajar para uma parte distante do universo, seu ponto de partida
será a Terra. Ele pretende viajar com uma aceleração constante de um g (uma
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 129
donde, obtemos :
A3 = gU 0 e A0 = gU 3 ,
ou seja, U 0 e U 3 são soluções do sistema de EDOs
( 3
dU
dτ
= gU 0 (1)
dU 0 3
.
dτ
= gU (2)
d2 u0 du3
Derivando (2) temos = g , substituindo em (1) vem
dτ 2 dτ
1 d2 U 0 0 d2 U 0
= gU ⇒ − g 2 U 0 = 0.
g dτ 2 dτ 2
A equação acima tem como equação caracterı́stica
r2 − g 2 = 0
quem tem solução r = ±g, logo a solução é dada por
U 0 (τ ) = c1 egτ + c2 e−gτ .
Em τ = 0 devemos ter U 0 (0) = 0 e A0 (0) = g, utilizando estas condições iniciais
obtemos o seguinte sistema
c 1 = 1
(
c1 + c2 = 0 2
⇒ 1 ,
gc1 − gc2 = g c 2 = −
2
1
segue dai que U 0 (τ ) = (egτ − e−gτ ) = sinh gτ e U 3 = cosh gτ .
2
dx0 dx3
Como = U 0 (τ ) = sinh(gτ ) e = U 3 (τ ) = cosh gτ , vem
dτ dτ
(
x0 (τ ) = g1 cosh gτ + k1
.
x3 (τ ) = g1 sinh gτ + k2
APÊNDICE A. RELATIVIDADE ESPECIAL 130
1
Supondo que x0 (0) = e x3 (0) = 0, sem perca alguma, simplesmente para
g
termos as constates nulas no sistema acima, logo obtemos
(
x0 (τ ) = g1 cosh gτ
.
x3 (τ ) = g1 sinh gτ
131