1989-2005 (Com Resoluções)
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br
Matemática 1
Provas ITA
A Equipe Rumoaoita agradece ao Sistema Elite 07) (ITA-89) O produto dos números complexos z = x + yi,
de Ensino Unidade Vila dos Cabanos (PA) por que têm módulo igual a 2 e se encontram sobre a reta y =
disponibilizar essa coletânea de provas do ITA. 2x - 1 contida no plano complexo, é igual a:
6 8 4 2 8 8
a) i b) i c) i d) 2 + 2 i
5 5 5 5 5 5
ITA - 1989 e) Não existe nenhuma número complexos que pertence à
01) (ITA-89) Os valores de , 0 < < e , para os reta y = 2x - 1 e cujo módulo seja 2 .
2
quais a função f: dada por 08) (ITA-89) Um cone e um cilindro , ambos retos, possuem
f(x) = 4x2 - 4x - tg2 , assume seu valor mínimo igual a -4, o mesmo volume e bases idênticas. Sabendo-se que
são: ambos são inscritíveis em uma esfera de raio R, então a
3 2 2 altura H do cone será igual a:
a) e b) e c) e 6 3 4 2 7
4 4 5 5 3 3 a) R b) R c) R d) R e) R
2 2 3 5 2 3 3 5
d) e e) e
7 7 5 5
09) (ITA-89) Justapondo-se as bases de dois cones retos e
idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume v.
02) (ITA-89) Sejam A, B e C subconjuntos de , não
Admitindo-se que a área da superfície deste sólido é igual a
vazios, e A-B = {p ; p A e p B}. Dadas as igualdades: área da superfície de uma esfera de raio H e volume V, a
1-(A-B)xC = (AxC)-(BxC) razão v/V vale:
2-(A-B)xC = (AxB)-(BxC)
3-(A B)-A (A B) - B 11 1 13 1 15 1
a) b) c)
4-A - (B C) = (A-B) (A-C) 4 4 4
5-(A-B) (B-C) = (A-B) (A-B) 17 1 19 1
podemos garantir que: d) e)
4 4
a) 2 e 4 são verdadeiras. b) 1 e 5 são verdadeiras.
c) 3 e 4 são verdadeiras. d) 1 e 4 são verdadeiras.
10) (ITA-89) Os lados de um triângulo isósceles formam um
e)1 e 3 são verdadeiras.
ângulo de 30 graus e o lado oposto a este ângulo mede x
cm. Este triângulo é a base de um pirâmide de altura H cm,
03) (ITA-89) Sejam A e B subconjuntos de R, não vazios,
que está inscrita em um cilindro de revolução. Deste modo,
possuindo B mais de um elemento. Dada uma função
o volume V, em centímetros cúbicos, deste cilindro é igual
f: A B, definidos L: A (AxB) por L(a) = (a,f(a)), para todo
a:
a A. Podemos afirmar que :
1 2 2 2
a) A função L sempre será injetora a) 2 x2H b) xH c) xH d) 3 x2H e) x2H
b) A função L sempre será sobrejetora. 3 3
c) Se f for sobrejetora, então L também o será.
d) Se f não for injetora , então L também não o será. 11) (ITA-89) As circunferências x2 + y2 = 2x e x2 + y2 = 4y
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. possuem um ponto comum P, distinto da origem. Obtenha
a equação da reta tangente à primeira circunferência no
04) (ITA-89) O valor da expressão: 1 - z 2 + 1 + z 2
, ponto P.
sendo z um número complexo, é: a) 5x + 10y = 16 b) 5x + 15y = 20 c) 5x + 5y = 12
a) 5, se z 1 b) 4, se z = 1 c) 0, se Im (z) = 0 d) 3x + 4y = 8 e) 10x + 5y = 20
d) 2, para todo z. e) 3, se Re(z) = 0.
12) (ITA-89) A distância entre os pontos de intersecção da
05) (ITA-89) A equação da parábola, cujo eixo é reta x/10 + y/20 = 1 com a circunferência x2 + y2 = 400 é:
perpendicular ao eixo x e que passa pelo centro da a) 16 5 b) 4 5 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 7
circunferência x2 + y2 - 2ax + 2y = 0, com a > 1, e pelos
pontos (-1, 0), (1, 0) é: 13) (ITA-89) Seja s a reta do plano cartesiano, que passa
a) (a2 - 1)y = a2(x2 - 1) b) (a2 - 1)y = a2(1- x2) pelo ponto (1, 3) e é perpendicular à reta x + y + 1 = 0.
c) (a2 - 1)y = (x2 - 1) d) (a2 - 1)y = a(x2 - 1) Considere uma circunferência com centro na origem e raio
e) (a2 - 1)y = -x2 + 1 R > 0. Nestas condições, se s for tangente à circunferência,
então:
06) (ITA-89) Considerando que a imagem da função da
a) R é um número irracional e R < ½.
função arc sen é o intervalo [- /2, /2] e i = 1 , podemos b) R é um número irracional e ½ < R < 1.
garantir que arc sen (1+xi)/(1-xi) está definida: c) R é um número irracional e R > 1.
a) apenas para x =0 e vale /2. d) R é um número racional e R > 1.
b) para todo x R e vale /2. e) R é um número racional e R < 1.
c) apenas para x R tal que x < 1 e seu valor depende
do valor de x. 14) (ITA-89) O ponto da circunferência x2 + y2 + 4x + 10y +
d) apenas para x R tal que x 1 e seu valor é . 28 = 0 que tem ordenada máxima é:
e) apenas para x R tal que x -1 e seu valor depende do 2 9 3
valor de x. a) ( - 2, ) b) ( 2 - 3 , -1) c) (- , -1)
2 2 10
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raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes reais 13) (ITA-90) Sabendo-se que é um ângulo tal que 2 sen(
7 1 - 60o) = cos ( + 60o), então tg é um número da forma a +
vale enquanto que o produto é , o valor de é:
8 6 b 3 onde
a) 32 b) 56 c) 71 d) 11 e) 0 a) a e b são reais negativos; b) a e b são inteiros;
c) a + b = 1; d) a e b são pares;
07) (ITA-90) O conjunto das soluções reais da equação e) a2 + b2 = 1.
|ln (sen2x)| = ln (sen2x) é dado por: sen x 2
14) (ITA-90) Considere a matriz A =
a) { x :x k ,k Z} b) { x :x k ,k Z} log3 10 2senx
2 2
onde x é real. Então podemos afirmar que:
c) { x :x 2k , k Z} d) { x : 1 x 1}
a) A é inversível apenas para x > 0;
e) { x :x 0} b) A é inversível apenas para x = 0;
c) A é inversível para qualquer x;
08) (ITA-90) Sabendo-se que 3x - 1 é fator de 12x3 - 19x2 + d) A é inversível apenas para x da forma (2k + 1) , k
8x - 1 então as soluções reais da equação 12(33x) - 19(32x) inteiro;
+ 8(3x) - 1 = 0 somam: e) A é inversível apenas para x da forma 2k , k inteiro.
1
a) - log312 b) 1 c)- log312 d) - 1 e) log37 15) (ITA-90) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais
3
que A e B são inversíveis e ABCA = At , onde At é a
09) (ITA-90) Numa progressão geométrica de três termos a transposta da matriz A. Então podemos afirmar que:
razão é e-2a , a soma dos termos é 7 enquanto que a a) C é inversível e det C = det(AB)-1;
diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas b) C não é inversível pois det C = 0;
condições o valor de a é: c) C é inversível e det C = det B;
d) C é inversível e det C = (det A)2. det B;
5
a) ln 2 b) - ln c) ln 3 d) - ln 2 det A
2 e) C é inversível e det C = .
e) não existe número real a nestas condições det B
Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.
10) (ITA-90) Sejam as funções f e g dadas por:
16) (ITA-90) Dizemos que dois sistemas de equações
1 se | x | 1 lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução
f: , f(x) =
0 se | x | 1 de um qualquer dos sistemas for também uma solução do
2x 3 outro. Considere as seguintes afirmações:
g: - {1} , g(x) = I- Dois sistemas de equações lineares 3x3, ambos
x 1 homogêneos, são equivalentes.
Sobre a composta (fog)(x) = f(g(x)) podemos garantir que: II- Dois sistemas de equações lineares, 3x3, ambos
3 3 indeterminados, não são equivalentes.
a) se x , f(g(x)) = 0 b) se 1 < x < , f(g(x)) = 1
2 2 III- Os dois sistemas de equações lineares dados a seguir
4 4 são equivalentes:
c) se < x < 2 , f(g(x)) = 1 d) se 1 < x , f(g(x)) = 1 x y 5 x 2y z 3
3 3
e) n.d.a y z 8 x y z 4
11) (ITA-90) Sejam os números reais e x onde 0 < < x y z 10 4x y 2z 14
2
De acordo com a definição dada podemos dizer que:
1 a) As três afirmações são verdadeiras;
e x 0. Se no desenvolvimento de ((cos )x + (sen ) )8
x b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira;
35 c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
o termo independente de x vale , então o valor de é: d) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
8
e) As três afirmações são falsas.
a) b) c) d) e) n.d.a.
6 3 12 4 17) (ITA-90) Considere o sistema linear homogêneo nas
incógnitas x1 , x2 , ..., xn dado por
12) (ITA-90) Sejam a e b constantes reais positivas. a1x1 (a1 1)x 2 ... (a1 n 1)x n 0
Considere x = a2 tg t + 1 e y2 = b2 sec2t - b2 onde 0 t . a 2 x1 (a 2 1)x 2 ... (a 2 n 1)x n 0
2
Então uma relação entre x e y é dada por: ............................................................
b b2 an x1 (an 1)x 2 ... (an n 1)x n 0
a) y (x 1)2 , x a b) y ( x 1)2 , x 1
a a4 onde a1 , a2 , ..., an são números reais dados. Sobre a
b b solução deste sistema podemos afirmar que:
c) y (x 1), x d) y (x 1), x 1
a2 a2 a) Se ai > 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única
solução;
a2 b) Se ai < 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma única
e) y ( x 1), x 1
b2 solução;
c) Se ai > 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível;
d) Se ai < 0 , i = 1, 2, ..., n o sistema é impossível;
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e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer que sejam circunferência com a reta y = 2 x . Nestas condições o
os valores dos números a1 , ..., an dados. perímetro do triângulo de vértices A, B e C é:
18) (ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas a) 6 2 3 b) 4 3 2 c) 2 3
eram versadas na arte de contar, houve uma grande
d) 5 3 2 e) n.d.a.
tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi
salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros.
Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar 22) (ITA-90) Considere a reta (r) mediatriz do segmento
seus dois comandados pelo serviço bem executado, cujos extremos são os pontos em que a reta 2x - 3y + 7 = 0
anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo intercepta os eixos coordenados. Então a distância do
de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo 1 1
ponto ( , ) à reta (r) é:
encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os 4 6
dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o
constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a 5 3 4 2 3 2
a) b) c) 3 13 d) e)
idéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo 2 13 7 3
ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois
grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. 23) (ITA-90) Considere um prisma triangular regular cuja
Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor
agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte lado de um triângulo ABC inscritível num círculo de raio x
que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é semelhante ao
teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma
as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, em cm3 é:
sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento
pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3
a) x b) x c) x d) x e) n.d.a.
recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram 3 5 10 10
constrangidos em comunicar o procedimento noturno.
Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e 24) (ITA-90) Seja V o vértice de uma pirâmide com base
verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é
parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no
paga pelos seus cálculos. vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da
Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo pirâmide será igual a:
primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então o 1 1 1
número de moedas que havia originalmente no baú era: a) 2 2 2 b) 2 2 c) 2 2
6 6 3
a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a.
1
d) 2 2 1 e) n.d.a.
19- (ITA-90) Na figura abaixo 0 é o centro de uma 6
circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por E e F
é tangente a esta circunferência e que a medida dos 25) (ITA-90) Considere a região do plano cartesiano xOy
ângulos 1, 2 e 3 são dadas, respectivamente, por 49º, 18º, definida pelas desigualdades x-y < 1, x+y > 1 e (x-1)2+y2 <
34º, determinar a medida dos ângulos 4, 5, 6 e 7. Nas 2. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em
alternativas abaixo considere os valores dados iguais às torno do eixo x é igual a:
medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 4 8 4 8
a) b) c) (2 2) d) ( 2 1) e) n.d.a.
a) 97º, 78º , 61º, 26º b) 102º, 79º, 58º, 23º 3 3 3 3
c) 92º, 79º, 61º, 30º d) 97º, 79º, 61º, 27º
e) 97º, 80º, 62º, 29º ITA - 1991
1 01) (ITA-91) Considere as afirmações:
2
I- Se f: é uma função par e g: uma função
D
+ 4 qualquer, então a composição gof é uma função par.
0 II- Se f: é uma função par e g: uma função
5 7
3 6 F ímpar, então a composição fog é uma função par.
C
A B III- Se f: é uma função ímpar e inversível então f -1:
é uma função ímpar.
20) (ITA-90) Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamente Então:
pelas equações 3x - 4y + 12 = 0 e 3x - 4y + 4 = 0. a) Apenas a afirmação I é falsa;
b) Apenas as afirmações I e II são falsas;
Considere ( ) o lugar geométrico dos centros das c) Apenas a afirmação III é verdadeira;
circunferências que tangenciam simultaneamente (r) e (s). d) Todas as afirmações são falsas;
Uma equação que descreve ( ) é dada por: e) n.d.a.
a) 3x - 4y + 8 = 0 b) 3x + 4y + 8 = 0 c) x - y + 1 = 0
d) x + y = 0 e) 3x - 4y - 8 = 0 02) (ITA-91) Sejam a , a > 1 e f: definida por f(x) =
ax a x
21) (ITA-90) Seja C o centro da circunferência x2 + y2 - . A função inversa de f é dada por:
2
6 2 y = 0. Considere A e B os pontos de interseção desta
a) loga(x - x2 1 ), para x > 1
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Então:
b) loga(-x + x2 1 ), para x a) Apenas I é verdadeira.
c) loga(x + x2 1 ), para x b) Apenas II é falsa.
c) Apenas III é verdadeira.
2 d) Todas são verdadeiras.
d) loga(-x + x 1 ), para x < -1
e) nda e) n.d.a.
03) (ITA-91) Seja definida por: 09) (ITA-91) Se A = {x : |x2 + x + 1| |x2 + 2x - 3|}, então
temos:
e x , se x 0
1
a) A = [-2 , ] [4 , + [
f(x) = x2 1, se 0 x 1 2
ln x , se x 1 1
b) A = [ , 4]
2
Se D é um subconjunto não vazio de tal que f: D é
c) A = [-3 , 1]
injetora, então:
d) A = ]- , -3] [1, + [
a) D = e f(D) = [-1 , + [
e) n.d.a.
b) D = ]- , 1] ]e , + [ e f(D) = ]-1 , + [
c) D = [0 , + [ e f(D) = ]-1 , + [ 10) (ITA-91) Na divisão de P(x) = a5x5 + 2x4 + a4x3 + 8x2 -
d) D = [0 , e] e f(D) = [-1 , 1] 32x + a3 por x - 1, obteve-se o quociente Q(x) = b4x4 + b3x3
e) n.d.a. + b2x2 + b1x + b0 e o resto -6. Sabe-se que (b4 , b3 , b2 , b1)
Notação: f(D) = {y : y = f(x), x D} e ln x denota o é uma progressão geométrica de razão q > 0 e q 1.
logaritmo neperiano de x. Podemos afirmar:
Observação: esta questão pode ser resolvida a) b3 + a3 = 10 b) b4 + a4 = 6 c) b3 + b0 = 12
graficamente. d) b4 + b1 = 16 e) n.d.a.
04) (ITA-91) Sejam w = a + bi com b 0 e a, b, c .O 11) (ITA-91) Numa progressão geométrica de razão q,
conjunto dos números complexos z que verificam a sabe-se que:
equação wz + wz + c = 0, descreve: I- o produto do logaritmo natural do primeiro termo a1 pelo
a) Um par de retas paralelas. logaritmo natural da razão é 24.
b) Uma circunferência. II- a soma do logaritmo natural do segundo termo com o
c) Uma elipse. logaritmo natural do terceiro termo é 26.
a Se ln q é um número inteiro então o termo geral 2n vale:
d) Uma reta com coeficiente angular m = .
b a) e6n - 2 b) e4 + 6n c) e24n d) e4 6n e) nda
e) n.d.a. Notação: ln q denota o logaritmo natural (ou neperiano) de
q
05) (ITA-91) Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2 , então
1 z 12) (ITA-91) O conjunto dos números reais que verificam a
podemos afirmar que w = é dado por: inequação 3logx + log (2x + 3)3 < 3 log 2, é dado por:
1 z
a) {x : x > 0} b) {x : 1 x 3}
t t
a) i cotg b) i tg c) i cotg t 1 1
2 2 c) {x :0<x } d) {x : x < 1}
2 2
d) i tg t e) n.d.a.
e) n.d.a.
Notação: loga denota o logarítimo de a na base 10
06) (ITA-91) Os valores de m de modo que a equação x3 -
6x2 - m2x + 30 = 0 tenha duas de suas raízes somando um, n n n 1 n 1
13)(ITA-91) Sejam A = 3k e B = .11k .
são: k 0 k k 0 k
a) 0 b) 3 e 3 c) 1 e -1
6561
d) 2 e -2 e) nda Se ln B - ln A = ln então n é igual a:
4
07) (ITA-91) Seja S o conjunto de todas as raízes da a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) n.d.a.
equação 12x3 - 16x2 - 3x + 4 = 0 . Podemos afirmar que:
a) S ]-1 , 0[ ]0 , 1[ ]1 , 2[ 14) (ITA-91) Uma escola possui 18 professores sendo 7 de
b) S ]-2 , -1[ ]0 , 1[ ]3 , 4[ Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas
maneiras podemos formar comissões de 12 professores de
c) S [0 , 4]
modo que cada uma contenha exatamente 5 professores
d) S ]-2 , -1[ ]1 , 2[ ]3 , 4[
de Matemática, com no mínimo 2 de Física e no máximo 2
e) n.d.a.
de Química ?
a) 875 b) 1877 c) 1995
08) (ITA-91) Considere as afirmações:
d) 2877 e) n.d.a.
I- A equação 3x4-10x3 + 10x - 3 = 0 só admite raízes reais.
II- Toda equação recíproca admite um número par de
15) (ITA-91) Sejam m e n números reais com m n e as
raízes.
matrizes:
III- As raízes da equação x3 + 4x2 - 4x - 16 = 0. São
exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 - x - 2 = 0 .
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Matemática 7
Provas ITA
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8 Matemática
Provas ITA
a) (- , 0) (0, 1/2) (1, 3/2) (3/2, + ) onde an é o enésimo termo da progressão geométrica e Pn
b) (- , 1/2) (1, 5/2) (5/2, + ) é o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n
c) (- , 1/2) (1/2, 2/3) (1, 3/2) (3/2, + ) primeiros termos é igual a:
d) (- , 0) (1, + ) 39 1 310 1 38 1 39 1
e) n.d.a. a) b) c) d) e) n.d.a.
6 6 6 3
03) (ITA-92) Dadas as funções f: e g : , ambas 09) (ITA-92) Sejam a, b, c, d números reais não nulos que
estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = estão nesta ordem em progressão aritmética. Sabendo que
fog. Então podemos afirmar que: o sistema a seguir:
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é
2 b
estritamente crescente. 4.2a.x 2c.y .2
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é 3 é possível e indeterminado, podemos
d b
estritamente crescente. 3 .x 9.3 .y 81
c) h é estritamente crescente, mas não necessariamente afirmar que a soma desta progressão aritmética é:
inversível. a) 13 b) 16 c) 28 d) 30 e) n.d.a.
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é
estritamente decrescente. 10) (ITA-92) Seja A M3x3 tal que det A = 0. Considere as
e) nda afirmações:
I- Existe X M3x1 não nula tal que AX é identicamente nula.
04) (ITA-92) Considere o número complexo z = a + 2i cujo II- Para todo Y M3x1, existe X M3x1 tal que AX = Y.
argumento está no intervalo (0, /2). Sendo S o conjunto
dos valores de a para os quais z6 é um número real, 1 5
podemos afirmar que o produto dos elementos de S vale: III- Sabendo que A 0 1 então a primeira linha da
a) 4 b) 4/ 3 c) 8 d) 8/ 3 e) n.d.a. 0 2
transposta de A é 5 1 2 .
05) (ITA-92) Sabe-se que 2(cos /20 +i sen /20) é uma Temos que:
raiz quíntupla de w. Seja S o conjunto de todas as raízes de a) Todas são falsas.
w 16 2i b) Apenas II é falsa.
z4 - 2z2 + = 0. Um subconjunto de S é: c) Todas são verdadeiras.
8 2
d) Apenas I e II são verdadeiras.
a) {2 (cos 7 /8 + i sen 7 /8), 21/2(cos /8 + i sen /8)}
1/2
e) n.d.a.
b) {21/2(cos 9 /8 + i sen 9 /8), 21/2(cos 5 /8 + i sen 5 /8)}
c) {21/4(cos 7 /8 + i sen 7 /4), 21/4(cos /4 + i sen /4)} 11) (ITA-92) Seja C = { X M2x2; X2 + 2X = 0}. Dadas as
d) {21/4(cos 7 /8 + i sen 7 /8), 21/4(cos /8 + i sen /4)} afirmações:
e) n.d.a. I- Para todo X C, (X + 2I) é inversível.
II- Se X C e det(X + 2I) 0 então X não é inversível.
06) (ITA-92) Considere a equação: III- Se X C e det X 0 então det X > 0.
Podemos dizer que:
2 2 2 a) Todas são verdadeiras. b) Todas são falsas.
det G( x ) 2x F( x ) 0 onde: c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas I é verdadeira.
e) n.d.a.
[G( x )]2 4x 2 [F( x )]2
12) (ITA-92) A igualdade
n n m m
x4 x3 x 1 x2 1 ( 1) k 7n 2 m =64 é
F( x ) e G( x ) , com x R, x 0. k 0 k j 0 j
2 x
x válida para:
Sobre as raízes reais dessa equação, temos: a) Quaisquer que sejam n e m naturais positivos.
a) Duas delas são negativas. b) Qualquer que seja n natural positivo e m = 3.
b) Uma delas é um número irracional. c) n = 13 e m = 6. d) n ímpar e m par.
c) Uma delas é um número par. e) n.d.a.
d) Uma delas é positiva e outra negativa.
e) n.d.a. 13) (ITA-92) No desenvolvimento (x + y)6, ordenado
segundo as potências decrescentes de x, a soma do 2o
07) (ITA-92) Sejam a e b constante reais. Sobre a equação: termo com 1/10 do termo de maior coeficiente é igual a oito
x4 - (a + b)x3 + (ab + 2)x2 - (a + b)x + 1 = 0 podemos afirmar vezes a soma de todos os coeficientes. Se x = (2)z+1 e y =
que: (1/4)z-1/2, então:
a) Não possui raiz real se a < b < -3. a) z [0, 1] b) z (20, 50) c) z (- , 0]
b) Não possui raiz real se a > b > 3. d) z [1, 15] e) n.d.a.
c) Todas as raízes são reais se a 2e b 2.
d) Possui pelo menos uma raiz real se -1 < a b < 1. 1 log 2
e) n.d.a. 14) (ITA-92) Seja . O conjunto solução
2 log 2 log 3
08) (ITA-92) Numa progressão geométrica de razão inteira 2
q > 1. Sabe-se que a1an = 243, log q Pn 20 e log q a n = 6, da desigualdade 2sen x no intervalo [0, 2 ) é:
3
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Matemática 9
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10Matemática
Provas ITA
06. (ITA-93) Num triângulo ABC retângulo em A, seja a 11. (ITA-93) Sabendo-se que a soma das raízes da
projeção D a projeção de A sobre CB. Sabendo-se que 1 1 0 2
o segmento BC mede cm e que o ângulo DAC mede equação x 0 x 0 = 0 é -8/3 e que S é o conjunto
0 b x x
graus, então a área do triângulo ABC vale: b x 2 b
2 2
a) (sec )(tg ) b)
2
(sec )(tg ) destas raízes, podemos afirmar que:
2 2 a) S [-17, -1] b) S [1, 5]
2
2
2 c) S [-1, 3] d) S [-10,0]
c) (sec )(tg ) d) (cossec )(cotg ) e) S [0, 3]
2 2
2
e) (cossec2 )(cotg ) 12. (ITA-93) Um acidente de carro foi presenciado por
2 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de
pessoas que soube do acontecimento t horas após é
07. (ITA-93) Seja f: uma função não nula, ímpar e B
periódica de período p. Considere as seguintes dado por: f (t ) onde B é a população da
1 Ce kt
informações:
cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do
I . f(p) 0 acidente 3 horas após, então o tempo passou até que
II . f(-x) = -f(x-p), x 1/5 da população soubesse da notícia foi de:
III . f(-x) = f(x-p), x a) 4 horas. b) 5 horas. c) 6 horas.
IV . f(x) = -f(-x), x d) 5 horas e 24 min. e) 5 horas e 30 min.
Podemos concluir que:
a) I e II são falsas d) I e IV são falsas 13. (ITA-93) Numa progressão aritmética com 2n +1
b) I e III são falsas e) II e IV são falsas termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma
c) II e III são falsas dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta
3x 2 y z 7 progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último
08. (ITA-93) Analisando o sistema termo será igual a:
x y z 0
a) 34 b) 40 c) 42 d) 48 e) 56
2x y 2z 1
concluímos que este é: 14. (ITA-93) A soma dos 5 primeiros termos de uma
a) Possível e determinado com xyz = 7. progressão aritmética de razão r é 50 e a soma dos
b) Possível e determinado com xyz = -8. termos de uma progressão geométrica infinita de razão
c) Possível e determinado com xyz = 6. q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo
2
d) Possível e indeterminado. termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r ,
e) Impossível. podemos afirmar que a soma dos 4 primeiros termos da
progressão geométrica será:
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Matemática 11
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Matemática 13
Provas ITA
1
c) log21 e
1
( log23). d)
1
(-1 + log21) e (-1 + log23). ( 1) n n!.
2 2 2 01) (ITA-95) Seja A = sen ;n
1 n! 6
e) log31 e (-1 + log35).
2 Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o
próprio A?
18) (ITA-94) Numa circunferência inscreve-se um a) (- , -2) [2, ) b) (- , -2) c) [-2, 2]
quadrilátero convexo ABCD tal que ABC = 70o. Se x = d) [-2, 0] e) [0, 2]
ACB + BDC, então: 02) (ITA-95) Seja a função f: definida por:
a) x = 120o b) x = 110º c) x = 100º a(x /2) se, x /2
d) x = 90º e) x = 80o f ( x)
( /2) (a/x)senx se, x /2
19) (ITA-94) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui onde a > 0 é uma constante. Considere K = { y R;
área S. Se x = ABC e r é o raio da circunferência f ( y ) =0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f ( / 2) K?
circunscrita a este triângulo, então: a) 2/4 b) /2 c) d) 2/2 e) 2
a) S = r2cos(2x) b) S = 2r2sen(2x)
1 1 1 03) (ITA-95) Uma vez, para todo x 1 e n N, vale a
c) S = r2sen(2x) d) S = r2cos2x e) S = r2sen2x
2 2 2 desigualdade xn > n(x - 1). Temos como conseqüência que,
para 0 < x < 1 e n N, tem-se:
20) (ITA-94) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, a) xn-1 < [n(1 + x)]-1 b) xn-1 < [(n + 1)(1 + x)]-1
n-1 2 -1
pelas equações 3x - 4y = 3 e 2x + y = 2. Um ponto P c) x < [n (1 - x)] d) xn-1 < [(n + 1)(1 - x)]-1
pertencente à reta s tem abcissa positiva e dista 22 e) xn-1 < [n(1 - x)]-1
unidades de medida da reta r. Se ax + by + c = 0 é a
equação da reta que contém P e é paralela a r, então a + b 04) (ITA-95) Considere todos os números de cinco
+ c é igual a : algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em
a) 132 b) 126 c) 118 d) 114 e) -112 qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses
números está entre:
21) (ITA-94) Um triângulo equilátero é tal que A: (0, 3), B: a) 5.106 e 6.106. b) 6.106 e 7.106. c) 7.106 e 8.106.
d) 9.106 e 10.106. e) 10.106 e 11.106.
(3 3 ,0) e a abcissa do ponto C é maior que 2. A
circunferência circunscrita a este triângulo tem raio r e 05) (ITA-95) Para cada n N, temos que:
centro em O: (a, b). Então a2 + b2 + r2 é igual a:
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 4n 4n 4n
1- + - ... - + 1 é igual a:
2 4 4n 2
22)(ITA-94) Um prisma regular hexagonal tem como altura a) (- 1)n22n. b) 22n. c) (- 1)n2n.
o dobro da aresta da base. A razão entre o volume deste d) (- 1)n+1 22n. e) (- 1)n+1 2n.
prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a:
a) (6 2 )/ b) (9 2 )/ c) (3 6 )/ 06) (ITA-95) Se a soma dos termos da progressão
geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 : ... é igual ao termo
d) (6 3 )/ e) (9 3 )/ médio de uma progressão aritmética de três termos, então
a soma dos termos da progressão aritmética vale:
23) (ITA-94) Um tetraedro regular tem área total igual a a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2
6 3 cm2. Então sua altura, em cm, é igual a:
07) (ITA-95) Os dados experimentais da tabela abaixo
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 3 2 e) 2 3 correspondem às concentrações de uma substância
química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo
24) (ITA-94) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura que a linha que passa pelos três pontos experimentais é
h e o raio da base r são tais que os números , h, r formam, uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após
nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6 . O 2,5 segundo é:
valor da área total deste cilindro é: Tempo(s) Concentração(moles)
a) 3 b) 2 3 c) 15 3 d) 20 3 e) 30 3 1 3,00
2 5,00
25) (ITA-94) Um tronco de pirâmide regular tem como 3 1,00
bases triângulos equiláteros, cujos lados medem, a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80
respectivamente, 2 cm e 4 cm. Se a aresta lateral do tronco
mede 3 cm, então o valor de sua altura h, em cm, é tal que: 08) (ITA-95) A divisão de um polinômio P(x) por x2 - x
resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto - 7x. O resto da
a) 7 <h< 8 b) 6 <h< 7 c) 2 3 < h < 3 3 divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
d) 1 < h < 2 e) 2 2 < h < 3 2
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14Matemática
Provas ITA
17) (ITA-95) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem 25) (ITA-95) Dada uma pirâmide triangular, sabe-se que
coeficiente angular 2a e tangência a parábola y = x2 - 1 no sua altura mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de
ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm2, vale:
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Matemática 15
Provas ITA
a 2 327 a 2 109 a2 3 06) (ITA-96) Seja a R [- /4, /4] um número real dado. A
a) b) c) solução (x0, y0) do sistema de equações:
4 2 2
(sen a)y (cos a)x tga
a2 3 (2 33 ) a 2 3 (1 109 ) é tal que:
d) e) (cos a)y (sen a)x 1
2 4
a) x0. y0 = tg a b) x0. y0 = - sec a c) x0. y0 = 0
d) x0. y0 = sen2 a e) x0. y0 = sen a
ITA - 1996
01) (ITA-96) Seja a , a > 0 e a 1 e considere a matriz A: 07) (ITA-96) Seja f : * uma função injetora tal que
2 f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2,
log a 3a log10 3a x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão
. Para que a característica de A
A log a 1 / a log a a geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que
log a 1 log10 1 4
5 xi
seja máxima, o valor de a deve ser tal que:
f ( xi ) 13 f (2) 2f ( x1) e f 2 f (2 x1 ) ,
i 1
i 1 xi 1
a) a 10 e a 1/3 b) a 10 e a 1/3
então o valor de x1 é:
c) a 2ea 10 d) a 2ea 3 e) a 2ea 10 a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1
02) (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e 08) (ITA-96) Um hexágono regular e um quadrado estão
considere as seguintes afirmações: inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui
uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância
I- (A - B)C (B AC)C =
entre estas arestas paralelas será:
II- (A - BC)C = B - AC
III- [(AC - B) (B - A)]C = A 3 2 2 1 3 1
a) R b) R c) R
Sobre essas afirmações podemos garantir que: 2 2 2
a) Apenas a afirmação I é verdadeira.
b) Apenas a afirmação II é verdadeira. 2 1 3 1
d) R e) R
c) Apenas a afirmação III é verdadeira. 2 2
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 09) (ITA-96) Tangenciando externamente a elipse 1, tal
que 1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse
03) (ITA-96) Numa pirâmide triangular regular, a área da 2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de
base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da 1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de 1.
esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro
igual a: quadrante, o centro de 2 é:
a) 3 1 b) 3 1 c) 1 3 3 1 a) (7,3) b) (8,2) c) (8,3) d) (9,3) e) ( 9,2)
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16Matemática
Provas ITA
16) (ITA-96) Seja [0, /2], tal que: (sen x + cos x) = m. 22) (ITA-96) Considere as funções reais f e g definidas por:
sen 2 1 2x x
Então, o valor de y será: f ( x) , x R - { -1, 1} e g( x ) ,x R-{-
sen3 cos 3 1 x2 1 2x
2(m2 1) 2(m2 1) 2(m2 1) 1/2}. O maior subconjunto de R onde pode ser definida a
a) 2
b) 2
c) composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é:
m( 4 m ) m( 4 m ) m(3 m2 )
a) ]-1, -1/2[ ]-1/3, -1/4[ b) ]- , -1[ ]-1/3, -1/4[
2(m2 1) 2(m2 1) c) ]- , -1[ ]-1/2, 1[ d) ]1, [
d) 2
e) e) ]-1/2, -1/3[
m(3 m ) m(3 m2 )
23) (ITA-96) Seja f : R R definida por:
17) (ITA-96) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre
o volume e a área total do poliedro cujos vértices são 3x 3, x 0
f ( x)
centros das faces do cubo será: x2 4x 3, x 0
3 3 3 a) f é bijetora e ( fof )( 2 / 3) f 1(21) .
a) x cm b) x cm c) x cm
9 18 6
b) f é bijetora e ( fof )( 2 / 3) f 1(99) .
3 3
d) x cm e) x cm c) f é sobrejetora mas não é injetora.
3 2
d) f é injetora mas não é sobrejetora.
18) (ITA-96) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo e) f é bijetora e ( fof )( 2 / 3) f 1(3) .
retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a
soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do 24) (ITA-96) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio de
paralelepípedo é igual a 694 cm2, então o volume deste uma corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a
paralelepípedo, em cm3, é igual a: equação da reta que contém A e B é dada por:
a) 1200 b) 936 c) 1155 d) 728 e) 834 a) y = 2x - 3 b) y = x-1 c) y = -x + 3
d) y = 3x/2 - 2 e) y = -x/2 + 2
19) (ITA-96) Três pessoas A, B e C, chegam no mesmo dia
a uma cidade onde há cinco hotéis H1, H2, H3, H4 e H5. 25) (ITA-96) São dadas as retas r: x - y + 1 + raiz2 = 0 e s:
Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, raiz3 x + y - 2 raiz3 = 0 e a circunferência C: x2 + 2x + y2 =
qual/quais das seguintes afirmações, referentes à 0. Sobre a posição relativa desses três elementos,
distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são podemos afirmar que:
correta(s)? a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.
I- Existe um total de 120 combinações b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é
II- Existe um total de 60 combinações se cada pessoa tangente a C.
pernoitar num hotel diferente c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é
III- Existe um total de 60 combinações se duas e apenas tangente à C.
duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel d) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é
a) Todas as afirmações são verdadeiras. tangente à C.
b) Apenas a afirmação I é verdadeira. e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.
c) Apenas a afirmação II é verdadeira.
d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. ITA - 1997
e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
01) (ITA-97) Se Q e I representam, respectivamente, o
conjunto dos números racionais e o conjunto dos números
irracionais, considere as funções . definidas por
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Matemática 17
Provas ITA
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18Matemática
Provas ITA
c) 6 + ( 2 +2)i d) (2 3 - 1)+( 2 3 + 3)i 22) (ITA-97) Dado um número real a com a > 1, seja S o
conjunto solução da inequação
e) 2 + ( 6 +2)i x 7
1
log 1/a log a log 1/a (x 1)
16) (ITA-97) Seja S o conjunto dos números complexos que a
satisfazem simultaneamente, às equações: Então S é o intervalo:
z - 3i = 3 e z + 1 = z - 2 -i a) [4, + [ b) [4, 7[ c) ]1, 5]
O produto de todos os elementos de S é igual a: d) ]1, 4] e) [1, 4[
a) -2 + i 3 b) 2 2 + 3i 3 c) 3 3 - 2i 3 23) (ITA-97) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2, 0) e C:
d) - 3 + 3i e) -2 + 2i (0, 3). Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das bissetrizes
internas do triângulos ABC. Então x + y é igual a:
17) (ITA-97) Sejam a1, a2, a3 e a4 números reais formando,
nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a1 a) 12/(5 + 13 ) b) 8/(2 + 11 ) c) 10/(6 + 13 )
0. Sejam x1, x2 e x3 as raízes da d) 5 e) 2
equação a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0. Se x1 = 2i, então:
a) x1 + x2 + x3 = -2 b) x1 + x2 + x3 = 1 24) (ITA-97) A altura e o raio da base de um cone de
2 revolução medem 1 cm e 5 cm respectivamente. Por um
c) x 12 +x 2 + x 32 =4 d) x1 . x2 . x3 = 8 ponto do eixo do cone situado a d cm de distância do
e) x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = 5 vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um
tronco de cone. O volume deste tronco é a média
18) (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta geométrica entre os volumes do cone dado e do cone
ordem, uma progressão aritmética de razão r. Seja um menor formado. Então d é igual a:
número real com > 0 e 1 satisfazendo 3ax + 2ay - az = 2 3 3 5
3 3 5 3
0 . Então r é igual a a) b) 3 c)
3 2 2
a) a2 b)(½)a c)log2a4 d)loga (3/2) e)loga3
3 2 3 3
19) (ITA-97) A seqüência (a1, a2, a3 e a4) é uma progressão d) e)
* 2 3
geométrica de razão q com q 1 e a1 0. Com
relação ao sistema:
25) (ITA-97) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular
a1x a 2 y c regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a
, podemos afirmar que:
a3 x a 4 y d base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base
a) É impossível para c, d [-1, 1] menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a
b) É possível e determinado somente se c = d. cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A
altura (em cm) do tronco mede:
c) É indeterminado quaisquer que sejam c, d .
*
d) É impossível quaisquer que sejam c, d . a) a 3 b) a 35 c) a 3
e) É indeterminado somente se d = cq2. 5 10 2 5
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Matemática 19
Provas ITA
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20Matemática
Provas ITA
20) (ITA-98) Considere as afirmações sobre polígonos 25) Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0 , 0), B =
convexos: (-1 , 2) e C = (-3 , -4). Os ângulos internos distintos e o
(I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais vértice D deste paralelogramo são, respectivamente:
coincide com o número de lados. 3 2
(II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o a) , e D = (-2 , -5) b) , e D = (-1 , -5)
4 4 3 3
quádruplo do número de lados.
2 3
(III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados c) , e D = (-2 , -6) d) , e D = (-2 , -6)
de um polígono é um número natural, então o número de 3 3 4 4
lados do polígono é ímpar. 2
e) , e D = (-2 , -5)
Então: 3 3
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. ITA - 1999
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira. Principais notações
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. Z - o conjunto de todos os números inteiros.
R - o conjunto de todos os números reais.
21) (ITA-98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas C - o conjunto de todos os números complexos.
suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que
estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste
[a, b] = {x R: a x b} ] - , b] = {x R: x b}
paralelogramo, em cm2, vale:
[a, b[ = {x R: a x < b} ] - , b[ = {x R: x < b}
36 27 44 48 48
a) b) c) d) e) ]a, b] = {x R: a < x b} [a, + [ = {x R: a x}
5 4 3 3 5 ]a, b[ = {x R: a < x < b} ]a, + [ = {x R: a < x}
(a, b) - par ordenado g o f - função composta de
22) (ITA-98) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado gef
por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por A-1 = matriz inversa da matriz A At - matriz transposta da
um plano convenientemente escolhido , dele se destaca um matriz A
novo poliedro convexo, que possui apenas faces
quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a
menos que o original e uma face a mais que o número de
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Matemática 21
Provas ITA
Questões 1 0 -1 1 0 x 1
1) (ITA-99) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de A ,I ,X eB
0 -1 2 0 1 y 2
R. Considere as afirmações:
I - Se (E x G) (F x H), então E F e G H. Se x e y são soluções do sistema (AA´ -3I)X = B, então x +
II - Se (E x G) (F x H), então (E x G) (F x H) = F x H. y é igual a:
III - Se (E x G) (F x H) = F x H, então (E x G) (F x H). a) ( ) 2 b) ( ) 1 c) ( ) 0 d) ( ) -1 e) ( ) -2
Então:
a) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 8) (ITA-99) Sejam x, y e z números reais com y 0.
b) ( ) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. Considere a matriz inversível
c) ( ) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. x 1 1
d) ( ) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. A y 0 0 .
e) ( ) Todas as afirmações são verdadeiras.
z -1 1
2) (ITA-99) Listando-se em ordem crescente todos os Então:
números de cinco algarismos distintos formados com os a) ( ) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a
elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 x + 1.
ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a: b) ( ) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a
a) ( ) 74 b) ( ) 75 c) ( ) 79 0.
d) ( ) 81 e) ( ) 92 c) ( ) A soma dos termos da primeira coluna de A-1 é igual
3) (ITA-99) Sejam f, g: R R funções definidas por f(x) = a 1.
x x d) ( ) O produto dos termos da segunda linha de A-1 é igual
3 1
e g(x) = . Considere as afirmações: a y.
2 3 e) ( ) O produto dos termos da terceira coluna de A-1 é
I - Os gráficos de f e g não se interceptam. igual a 1.
II- As funções f e g são crescentes.
III- f(-2) g(-1) = f(-1) g(-2). 1
Então: 9) (ITA-99) Se x [0, /2[ é tal que 4 tg4x = + 4,
cos 4 x
a) ( ) Apenas a afirmação (I) é falsa.
b) ( ) Apenas a afirmação (III) é falsa. então o valor de
c) ( ) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. sen 2x + sen 4x
d) ( ) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 15 15 3 5
e) ( ) Todas as afirmações são falsas. a) ( ) b) ( ) c) ( )
4 8 8
d) ( ) ½ e) ( ) 1
4) (ITA-99) Seja a R com a > 1. O conjunto de todas as
soluções reais da inequação a2x(1 - x) > ax - 1, é:
10) (ITA-99) O conjunto de todos os números reais q > 1,
a) ( ) ]-1, 1[ b) ( ) ]1, + [ c) ]-½, 1[ para os quais a1, a2 e a3, formam, nesta ordem, uma
d) ( ) ]- , 1[ e) ( ) vazio progressão geométrica de razão q e representam as
medidas dos lados de um triângulo, é:
5) (ITA-99) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da
equação 1 5 1 5
a) ( ) ]1, [ b) ( ) ]1, ]
log 1 (x + 1) = log4 (x - 1) 2 2
4
Então: 1 5 1 5
c) ( ) ]1, ] d) ( ) ]1, [
a) ( ) S é um conjunto unitário e S ]2, + [. 5 4
b) ( ) S é um conjunto unitário e S ]1, 2 [.
e) ( ) ]1, 1+ 5 [
c) ( ) S possui dois elementos distintos e S ]-2, 2 [.
d) ( ) S possui dois elementos distintos e S ]1,+ [.
e) ( ) S é o conjunto vazio. 11) (ITA-99) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2, ...,
6. Os números complexos zk = ak + ibk são tais que zk = 2
6) (ITA-99) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função e bk 0, para todo k = 1, 2, ..., 6. Se (a1, a2, ..., a6) é uma
composta progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então z3 é
h o g o f: R R é a função identidade. Considere as igual a:
afirmações: 8 6
a) ( ) 2i b) ( ) i c) ( ) 3 + i
I - A função h é sobrejetora. 5 5
II- Se x0 R é tal que f(x0) = 0, então f(x) 0 para todo x 3 3 73 4 2 2 17
R com x x0. d) ( ) i e) ( ) i
5 5 5 5
III- A equação h(x) = 0 tem solução em R.
Então:
12) (ITA-99) Considere a circunferência C de equação x2 +
a) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 4x +
b) ( ) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
8y + 4 = 0. Então:
c) ( ) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
a) ( ) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
d) ( ) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) ( ) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
e) ( ) Todas as afirmações são falsas.
c) ( ) C e E são tangentes exteriormente.
d) ( ) C e E são tangentes interiormente.
7) (ITA-99) Considere as matrizes
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22Matemática
Provas ITA
1 e) ( ) {z C: arg z = +k ,k Z}
d) ( ) 2 e) ( ) 2 1 -1 4
16 2
15) (ITA-99) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta 21) (ITA-99) Seja a R com 0 < a < . A expressão
2
faces triangulares e quadrangulares. O número de faces
quadrangulares, o número de faces triangulares e o número 3 3
sen a sen a sen a
total de faces formam, nesta ordem, uma progressão 4 4 2
aritmética. O número de arestas é: é idêntica a:
a) ( ) 10 b) ( ) 17 c) ( ) 20 d) ( ) 22 e) ( ) 23
2cotg2a 2cotga 2
a) ( ) b) ( ) c) ( )
Nota: resolva as questões numeradas de 16 a 25 no 1 cotg2a 1 cotg2a 1 cotg2a
caderno de respostas. Na folha de leitura óptica assinale a
1 3cotga 1 2cotga
alternativa escolhida em cada uma das 25 questões. Ao d) ( ) e) ( )
terminar a prova, entregue ao fiscal o caderno de 2 1 cotga
respostas e a folha de leitura óptica.
22) (ITA-99) A soma de todos os valores de a [0, 2 [ que
16) (ITA-99) Considere as funções f e g definidas por f(x) = tornam o sistema
x - 2/x, para x 0 e x y z 0
x
g(x) = , para x -1. O conjunto de todas a s soluções x sen a y cos a z (2 sen a cos a) 0
x 1
da inequação x sen2 a y cos 2 a z (1 3 sen 2 a 2 sen 2a) 0
(g o f) (x)<g(x) possível e indeterminado é:
é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e)
a) ( ) [1, + [ b) ( ) ]- , -2[ c) ( ) [-2, -1[
d) ( ) ]-1, 1[ e) ( ) ]-2, -1[ ]1, + [ 23) (ITA-99) Pelo ponto C: (4, -4) são traçadas duas retas
que tangenciam a parábola y = (x-4)2 + 2 nos pontos A e B.
17) (ITA-99) Seja a R com a > 1. Se b = log2 a, então o A distância do ponto C à reta determinada por A e B é:
valor de a) 6 12 b) 12 c) 12 d) 8 e) 6
3 a 2 a2 1
log4 a + log2 4a + log2 + (log8 a) - log1
a 1 2 a 1 24) (ITA-99) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e
é: 3m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta
tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A
65 2b2 3b 1
a) ( ) 2b - 3 b) ( ) b 2 c) ( ) e B. A área, em m2, do triângulo ABC é:
18 2
27 3
2b 2 63b 36 b2 9b 7 a) ( ) 27 3 b) ( ) c) ( ) 9 3
d) ( ) e) ( ) 2
18 9
27 2
d) ( ) 27 2 e) ( )
18) (ITA-99) Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = 2
p(x + 2) - x2 - 2, para todo x R. Se -2 é uma raiz de p(x),
então o produto de todas as raízes de p(x) é: 25) (ITA-99) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano
a) ( ) 36 b) ( ) 18 c) ( ) -36 d) ( ) -18 e) ( ) 1 que intercepta as três arestas, formando um triângulo com
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Matemática 23
Provas ITA
lados medindo 8m, 10m, e 12m. O volume, em m3, do (A) 2 (B) 5 (C) 2 (D) 1 (E) 3
sólido formado é:
a) ( ) 15 6 b) ( ) 5 30 c) ( ) 6 15
I um intervalo de números reais com
07 (ITA 00) Sendo
d) ( ) 30 6 e) ( ) 45 6 a e b m com a b , o número real
extremidades em
ITA - 2000 b a é chamado de comprimento de I .
Considere a inequação:
01 (ITA 00) f ,g : R
Sejam R definidas por
3 3 cos 5 x
6x 4 5x 3 7x2 4x 0
f ( x) x e g ( x) 10 . Podemos afirmar que:
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é
(A) f é injetora e par e g é ímpar. verdadeira é igual a:
(B) g é sobrejetora e g f é par. 3 3 7 11 7
(A) (B) (C) (D) (E)
(C) f é bijetora e g f é ímpar. 4 2 3 6 6
(D) g é par e g f é impar. 08 (ITA 00) Seja S [ 2, 2] e considere as afirmações:
(E) f é ímpar e g f é par. 1 1
x
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24Matemática
Provas ITA
2 3 1 1 1 1
14 (ITA 00) Um cilindro circular reto é seccionado por um
plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e 0 x
separa na base um arco de 120º. Sendo de 30 3 cm 2 a
P 1 e X y .
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Matemática 25
Provas ITA
a 0 0 1 0 0
(C) x (D) x (E) x
M 0 b 1 e I 0 1 0 6 3 4 2 4 3
0 0 c 0 0 1 ITA 2001
em que a 0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma 1. (ITA 01) Se a R é tal que 3y2 y + a = 0 tem raiz
progressão geométrica de razão q 0 . Sejam 1 , e dupla, então a solução da equação 32x+1 3x + a = 0
2
a) log2 6 b) log2 6 c) log3 6 d) log36 e) 1 log3
3 as raízes da equação det( M I ) 0 . Se
2. (ITA 01) O valor da soma a + b para que as raízes do
1 2 3 a e 1 2 3 7a , polinômio 4x4 20x3 + ax2 25x + b estejam em
progressão aritmética de razão 1/2 é.
2
então a b 2 c 2 é igual a : a) 36 b) 41 c) 26 d) 27 e) 20
21 91 36 21 91
(A) (B) (C) (D) (E) 3. (ITA 01) Se z = 1 + i 3 , z. w = 1 e [0, 2 ] é um
8 9 9 16 36 argumento de z, w, então é igual a:
22 (ITA 00) Num triângulo acutângulo ABC , o lado
a) b) c)
2
d)
5
e)
3
oposto ao ângulo  mede 5 cm . Sabendo: 3 3 3 2
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26Matemática
Provas ITA
b) apenas II é verdadeira 1 1 1
c) apenas III é verdadeira a) f(x) + < d) f(x)
2n 2 2n
d) apenas I e III são verdadeiras
1 1 1
e) todas as afirmações são verdadeiras b) f(x) e) f(x)
2n 2 2n
1 1 1 1 1 1
c) n +1 f(x)
2 2
1 2 3 4
9. (ITA 01) Considere a matriz A =
1 4 9 16 16. (ITA 01) Considere as funções f(x) =
1 8 27 64 5 + 7x 5 7x
, g( x ) = e h(x) = arctg a:
4 4
A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa
de A é: Se é tal que h (f(a)) + h(g(a) = /4, então f(a) g(a) vale:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7 7
a) 0 b) 1 c) d) e) 7
4 2
10. (ITA 01) Sendo e os ângulos agudos de um
triângulo retângulo, e sabendo que sen22 2 cos2 = 0, 17. (ITA 01) O conjunto de todos os valores de m para os
então sen é igual a: quais a função
2 4
2 4
8 4
8 x2 (2m 3) x (m 2 3)
a) b) c) d) e) zero f(x) =
2 2 2 4 2 2
x ( 2m 1) x (m 2)
11. (ITA 01) O raio da base de um cone circular reto é está definida e é não negativa para todo x real é:
igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. 1 7 7
Sabendo-se que o volume do cone. Sabendo-se que o a) [ , [ b) ]1/4, [ c) ] 0, [ d) ]- , 1/4 ] e) ]1/4,7/4[
4 4 4
volume do cone é 128m3, temos que o raio da base e altura
do cone medem, respectivamente, em metros: 18. (ITA 01) A parte imaginária de
a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8 ((1 + cos 2x) + i sen 2x)k, k inteiro positivo, x real é
a) 2 senk x. cosk x b) senkx. coskx
12. (ITA 01) De dois polígonos convexos, um tem a mais c) 2ksen kx. coskx d) 2k senkx. coskx
que outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos e) sen kx . coskx
números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é
igual a: 19. (ITA 01) O polinômio com coeficientes reais
a) 53 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
tem duas raízes distintas, cada uma delas com
multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a
13. (ITA 01) Seja o ponto A = (r , 0) , r 0. O lugar
soma dos coeficientes é igual a:
geométrico dos pontos P = (x ,y) tais que é de 3r2 a
a) 4 b) 6 c) 1 d) 1 e) 4
diferença entre o quadrado da distância de P e A e o dobro
do quadrado da distância de P à rota y = r é:
a) uma circunferência centrada em (r, 2r) com raio r. 20. (ITA 01) Seja m R, m 0. Considere o sistema
b) uma elipse centrada em (r, 2r) com semi-eixos valendo
re 2r.
c) uma parábola com vértice em (r, r)
d) duas retas paralelas distando r 3 uma da outra.
e) uma hipérbole centrada em (r, 2r) com semi-eixos
valendo r. O produto dos valores de m para os quais o sistema admite
solução não-trival é:
14. (ITA 01) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2 log25
não-vazios. Com respeito às afirmações:
I. x {[Y (X Y)C] [X YC)C} 21. (ITA 01) Considere os números de 2 a 6 algarismos
II. Se Z X então (Z Y) (X (ZC Y)} = X Y. distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8.
III. Se (X Y)C Z então ZC X. Quantos destes números são ímpares e começam com um
temos que: dígito par?
a) apenas I é verdadeira a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas I e III são verdadeiras. 22. (ITA 01) Sendo dado
d) apenas II e III são verdadeiras ( ) (
ln 2 4 3 6 4 8 ...n 2n = an e ln 2 3 3 4 4 ...2n 2n = bn )
e) todas são verdadeiras.
então,
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 2n
15. (ITA 01) Se f : ]0, 1[ R é tal que, x ]0,1[,... + + ... +
1 1 2 3 4 5 2n
f(x) e f(x) = + f x f
x 1 é igual a:
2 4 2 2 a) na 2bn b) 2an - bn c) na bn
então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ...e 0 d) bn na e) na + bn
x 1 é:
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Matemática 27
Provas ITA
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28Matemática
Provas ITA
e) não é possível determinar a ordem de chegada, por um plano paralelo à base de forma que o volume da
porque o trecho não apresenta uma descrição pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide
matematicamente correta. original?
a) 2 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 8 m
cos 25º sen 65º Quetão 21
13. Seja a matriz: O valor de seu 21. Seja a função f dada por
sen 120º cos 390º
x-1 x2
determinante é f(x) = (log35) . log5 8 log3 + log3 41+2 x
x(3x+1)
2 .
2 2 3 3 3 Determine todos os valores de x que tornam f não-
a) b) c) d) 1 e) 0
3 2 2 negativa.
Questão 22
14. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais x y
4
t 2
22. Mostre que: 2 C 8,4 , para quaisquer x e
que AB = A e BA = B. Então, A B é igual a y x
2 t t t t
a) (A + B) b) 2(A + B ) c) 2(A + B ) y reais positivos.
t t t t
d) A + B e) A B Obs.: Cn,p denota a combinação de n elementos
15. Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que e tomados p a p.
sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes Questão 23
reais 2 x 1 não-nulas, tais que: AV = V e AW = W. 23. Com base no gráfico da função polinomial y = f(x)
esboçado abaixo, responda qual é o resto da divisão de
Se a, b são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2
x 1, então a + b vale 1
f(x) por x ( x 1).
a) 0 b) 1 c) 1 d) ½ e) ½ 2
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Matemática 29
Provas ITA
ão 27 2iz 2 5 z i
27. Considere n pontos distintos A1, A2, An sobre uma I. Se , então
2
circunferência de raio unitário, de forma que os 1 3z 2iz 3 | z |2 2 | z |
comprimentos dos arcos A1A2, A2A3, , An-1An formam 2iz 2 5 z i
uma progressão geométrica de termo inicial e razão .
2
1 3z 2iz 3 | z |2 2 | z |
1
. Para que os valores de n N teremos o
2 2iz 3i 3 2| z | 3 2
II. Se z 0e , então | | .
1 (1 2i ) z 5|z|
comprimento do arco AnA1 menor que do
512
(1 i ) z 2
comprimento da circunferência? III. Se , então 2 arg z + é um argumento
Obs.: Para todo arco AkAl, o comprimento considerado é 4 3 4i 12
o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al no sentido de .
anti-horário. é (são) verdadeira(s):
Questão 28 a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III.
28. Seja S a área total da superfície de um cone circular d) apenas I e III. e) apenas II.
reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e 02. O valor de y2 - xz para o qual os números sen , x , y,
da base desse cone. Obtenha uma expressão que 12
forneça h em função apenas de S e m. z e sen 75°, nesta ordem, formam uma progressão
Questão 29 aritmética, é:
29. Considere o seguinte raciocínio de cunho 4 6 2 5 2 3
cartesiano: Se a circunferência de centro C = (h, 0) e a) 3 b) 2 c) 6 d) 2 e)
4
raio r intercepta a curva y = + x , x > 0, no ponto A =
03. Considere a função
(a, a ) de forma que o segmento AC seja
1 /( 2 x ) 1/ x
perpendicular à reta tangente à curva em A, então x = a f : Z \ {0} R, f ( x) 3x 2 92x 1 32 x 5 1
é raiz dupla da equação em x que se obtém da A soma de todos os valores de x para os quais a equação
intersecção da curva com a circunferência. y2 + 2y + f(x) = 0 tem raiz dupla é:
Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
1
angular dessa reta tangente em A é .
2 a 04. Considere uma função f : R R não-constante e tal
que f(x + y) = f(x)f(y), x, y R.
30. Se x, y e z são os ângulos ABC e sen x = Das afirmações:
I. f(x) > 0 , x R.
sen y + sen z
, prove que o triângulo ABC é retângulo. II. f(nx) = [f(x)]n, x R, n N*.
cos y + cos z III. f é par.
é (são) verdadeira(s):
ITA 2003 a) apenas I e II. b) apenas II e III.
c) apenas I e III. d) todas. e) nenhuma.
NOTAÇÕES
C: conjunto dos números complexos.
R: conjunto dos números reais. 05. Considere o polinômio P(x) = 2x + a2x2 +... + anxn, cujos
Z: conjunto dos números inteiros. coeficientes 2, a2,..., an formam, nesta ordem, uma
N = {0, 1, 2, 3,...}. progressão geométrica de razão q > 0. Sabendo que ½ é
N* = {1, 2, 3,...}. uma raiz de P e que P(2) = 5460, tem-se que o valor de
z : conjunto do número z C. n2 q3
i : unidade imaginária; i2 = 1. 4
é igual a:
arg z : um argumento de z C \ {0}. q
[a, b] = {x R ; a < x < b}. 5 3 7 11 15
]a, b[ = {x R ; a < x < b}. a) b) c) d) e)
4 2 4 6 8
: conjunto vazio. 06. Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1
A \ B = {x A ; x B}. por (x - 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por
XC = U \ X , para X U, U . (x+1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é
I : matriz identidade n x n. ab
A 1 : inversa da matriz inversível A. divisível por (x - 2), tem-se que o valor de é igual a:
AT : transposta da matriz A. c
a) -6 b) -4 c) 4 d) 7 e) 9
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B.
m ( AB) : medida (comprimento) de AB . 07. Das afirmações abaixo sobre a equação
z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo:
01. Seja z C. Das seguintes afirmações independentes: I. A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de
módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1.
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30Matemática
Provas ITA
III. Se n N* e r é uma raiz qualquer desta equação, então destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos,
n k distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos
r 1 centros destas circunferências é parte:
. É (São) verdadeiras(s):
3 2 a) de uma elipse. b) de uma parábola.
k 1
c) de uma hipérbole. d) de duas retas concorrentes.
a) nenhuma. b) apenas I. c) apenas II.
e) da reta y = - x.
d) apenas III. e) apenas I e III.
16. A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que
08. Seja k R tal que a equação 2x3 + 7x2 + 4x + k = 0 é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto
possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, distinta de
{(x, y) IR2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0},
x1. Então, (k + x1) x2 é igual a:
é igual a:
a) -6 b) -3 c) 1 d) 2 e) 8
a) 6 b) 5/2 c) 2 2 d) 3 e) 10/3
09. Considere o conjunto S = {(a, b) N x N : a + b = 18}.
18! 17. Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm.
A soma de todos os números da forma , (a, b) S, Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4
a!b!
cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices
é:
Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual,
a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12!
em cm2, a :
10. O número de divisores de 17640 que, por sua vez, são 15 7
a) 3 15 b) 7 3 c) 5 6 d) 3 e) 15
divisíveis por 3 é: 2 2
a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 72
18. Considere três polígonos regulares tais que os números
11. Sejam A e P matrizes n x n inversíveis e B = P-1 AP. que expressam a quantidade de lados de cada um
Das afirmações: constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o
I. BT é inversível e (BT) 1 = (B 1)T. produto destes três números é igual a 585 e que a soma de
II. Se A é simétrica, então B também o é. todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a
III. det(A - I) = det(B - I), R. 3780o. O número total das diagonais nestes três polígonos
é (são) verdadeira(s): é igual a :
a) todas. b) apenas I. c) apenas I e II. a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106
d) apenas I e III. e) apenas II e III.
19. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e
12. O número de todos os valores de a [0,2 ], distintos, OB de comprimento 2 R e lado AB de comprimento 2R.
para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em
4 x y 6 z cos 3a torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB , é
x 2 y 5z sen 2a , é possível e não-homogêneo, é igual a :
6x 3y 4z 2 cos a a) R3/2 b) R 3 c) 4 R3/3 d) 2 R3 e) 3 R3
igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 20. Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5 cm e
cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8
13. Para todo x R, a expressão [cos(2x)]2 [sen (2x)]2 sen cm2. A distância de cada face desta pirâmide ao centro de
x é igual a: sua base, em cm, é igual a:
a) 2 4[sen (2x) + sen (5x) + sen (7x)]. 15 5 6 4 3 7
b) 2 4 [2 sen x + sen (7x) - sen (9x)]. a) b) c) d) e) 3
3 9 5 5
c) 2 4 [ sen (2x) - sen (3x) + sen (7x)]. 21. Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U.
d) 2 4[ sen x + 2 sen (5x) sen (9x)]. Usando apenas as definições de igualdade, reunião,
e) 2 4 [sen x + 2 sen (3x) + sen (5x)]. intersecção e complementar, prove que:
I - Se A B = , então B Ac.
II - B \ Ac = B A.
14. Considere os contradomínios das funções arco-seno e
22. Determine o conjunto dos números complexos z para
arco-cosseno como sendo , e [0, ],
2 2 os quais o número
respectivamente. Com respeito à função z z 2
= pertence ao conjunto dos números
3 z 1 z 1 3
f : [ 1,1] , , f(x) = arcsen x + arccos x, temos
2 2
reais. Interprete (ou identifique) este conjunto
que: geometricamente e faça um esboço do mesmo.
a) f é não-crescente e ímpar.
b) f não é par nem ímpar. c) f é sobrejetora.
d) f é injetora. e) f é constante. 23. Considere a seguinte situação baseada num dos
paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V
15. Considere a família de circunferências com centros no A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga
segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma apostam uma corrida em linha reta, correndo com
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Matemática 31
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32Matemática
Provas ITA
25 49 81 25 e) 4
8. Considere um polígono convexo de nove lados, em que a) b) c) d)
as medidas de seus ângulos internos constituem uma 9 16 25 7
progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior 15. Para algum número real r, o polinômio 8x3 4x2 42x +
ângulo mede, em graus, 45 é divisível por (x r)2. Qual dos números abaixo mais
a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 está próximo de r?
a) 1,62 b) 1,52 c) 1,42 d) 1,32 e) 1,22
9. O termo independente de x no desenvolvimento do
12 16. Assinale a opção que representa o lugar geométrico
binômio 33 x 5x é dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação
3
5x 3 x x2 y2 x y 1
3 40 2 6 1 .
a) 729 45 b) 972 3 15 c) 891 3 3 d) 376 3 5 e) 165
3
75 det 288
5 3
4 2 0 1
10. Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é 34 5 3 1
uma matriz quadrada nxn , n 2: a) Uma elipse. b) Uma parábola.
I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. e) Uma reta.
uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i,j = 1,2, , n, 17. A soma das raízes da equação z3 + z2 - |z|2 + 2z = 0, z
então det A = a11a22 ann. C, é igual a
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
por 2 1 e a segunda por 2 1 , mantendo-se
inalteradas as demais colunas, então det B = det A. 18. Dada a equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em
Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s): que m é uma constante real, considere as seguintes
a) apenas I b) apenas III informações:
c) apenas I e II d) apenas II e III e) todas I. Se m ] 6, 6[, então existe apenas uma raiz real.
II. Se m = 6 ou m = + 6, então existe raiz com
11. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a multiplicidade 2.
360 cm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal III. m R, todas as raízes são reais.
está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas
pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da a) I b) II c) III
d) II e III e) I e II
base da pirâmide é de 54 3 cm2, então, a área lateral
da pirâmide mede, em cm , 2 19. Duas circunferências concêntricas C1 e C2 têm raios de
a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 6 cm e 6 2 cm, respectivamente. Seja AB uma corda
d) 108 3 e) 45 427 de C2, tangente à C1. A área da menor região delimitada
pela corda AB e pelo arco mede, em cm2,
12. O conjunto de todos os valores de , , tais
a) 9( 3) b) 18( + 3) c) 18( 2)
d) 18( + 2) e) 16( + 3)
que as soluções da equação (em x)
4 4 2 20. A área total da superfície de um cone circular reto, cujo
x 48 x tg 0 são todas reais, é
raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de
um circulo de diâmetro igual ao perímetro da seção
a) b) c) d) e)
meridiana do cone. O volume deste cone, em cm3, é igual
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Provas ITA
8. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos 16. O intervalo I R que contém todas as soluções da
meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas inequação
contidas em uma semi-esfera formam uma progressão
aritmética de razão 1 x 1 x
3 3
arctan arctan é
r r 2 2 6
. Se o volume da menor cunha for igual a , então a) [ 1, 4]. b) [ 3, 1]. c) [ 2, 3]. d) [0, 5].
45 18
n é igual a e) [4, 6].
a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7.
1 zw
17. Seja z C com |z| = 1. Então, a expressão
9. Considere um prisma regular em que a soma dos z w
ângulos internos de todas as faces é 7200º. O número de
assume valor:
vértices deste prisma é igual a
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1.
a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22.
b) menor que 1, para todo w com |w| < 1.
c) maior que 1, para todo w com w z.
10. Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal
no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados d) igual a 1, independente de w com w z..
por e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.
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Matemática 35
Provas ITA
3 3
25) (a) Mostre que o número real 2 5 2 5
é raiz da equação x 3 3 x 4 0.
(b) Conclua de (a) que é um número racional.
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