Zawartość
- Właściwości wielokątów regularnych
- Elementy wielokąta foremnego
- Wierzchołek
- Bok
- Przekątna
- Centrum
- Radio
- Apothem
- Kąt centralny
- Sagita
- Obwód i obszar
- Obwód
- Powierzchnia
- Kąty
- Kąt centralny
- Kąt wewnętrzny lub kąt wewnętrzny
- Kąty zewnętrzne
- Przykłady wielokątów regularnych
- - Regularne wielokąty w życiu codziennym i przyrodzie
- Sygnały drogowe
- Meble
- Architektura i budownictwo
- - W naturze regularne sześciokąty
- Ćwiczenie rozwiązane
- Rozwiązanie
- Obszar półkola
- Obszar regularnego sześciokąta
- Zacieniony obszar rysunku
- Bibliografia
Plik regularne wielokąty to takie, które mają równe wszystkie boki i kąty wewnętrzne. Na poniższym rysunku przedstawiono zestaw różnych wielokątów, które są figurami płaskimi ograniczonymi zamkniętą krzywą i tylko te, które są podświetlone, spełniają warunki regularności.
Na przykład trójkąt równoboczny jest wielokątem regularnym, ponieważ jego trzy boki mają takie same wymiary, podobnie jak kąty wewnętrzne, każdy o wartości 60º.
Kwadrat jest czworobokiem o czterech bokach o jednakowych wymiarach i wewnętrznych kątach 90º. Następuje regularny pięciokąt z pięcioma bokami o jednakowej wielkości i pięcioma kątami wewnętrznymi po 108º każdy.
Kiedy wielokąt jest regularny, to słowo jest dodawane do jego specjalnej nazwy, więc mamy regularny sześciokąt, regularny siedmiokąt i tak dalej.
Właściwości wielokątów regularnych
Najważniejsze właściwości wielokątów regularnych można podsumować następująco:
-Boki mierzą tak samo, dlatego są równoboczny.
-Are równokątny, ponieważ wszystkie jego wewnętrzne kąty mają jednakową miarę.
-Mogą być zawsze wpisane w obwód, co oznacza, że idealnie pasują do jednego, który jest tzw ograniczony obwód.
-Dla regularnego wielokąta o n bokach miara kąta wewnętrznego α wynosi:
α = [180 (n-2)] / n
-Możesz narysować n (n-3) / 2 przekątnych z wierzchołków wielokąta, zarówno regularnych, jak i nie.
-Suma kąty zewnętrzne jest równa 360º.
Elementy wielokąta foremnego
Następnie przedstawiamy główne elementy wielokąta foremnego, zwizualizowane na poniższym rysunku.
Wierzchołek
Wspólny punkt, który mają dwa kolejne boki, oznaczony jako V na rysunku.
Bok
Jest to odcinek, który łączy dwa kolejne wierzchołki wielokąta i jest oznaczony jako ℓ lub L.
Przekątna
Segment, który łączy dwa niesąsiadujące po sobie wierzchołki wielokąta, na rysunku oznaczono go jako re.
Centrum
Jest to wspólny środek wpisanego okręgu i opisanego okręgu, oznaczony literą O. Można go również postrzegać jako jedyny punkt w równej odległości od obu wierzchołków i punktów środkowych każdego boku.
Radio
To radio r okręgu opisanego i pokrywa się z odległością między O a wierzchołkiem.
Apothem
To się nazywa apothem do promienia obwodu wpisanego w wielokąt, przedstawionego na rysunku za pomocą litery do. Apothem jest prostopadły do jednej strony i łączy go ze środkiem O (czerwony segment na ryc. 3).
Znając promień r i długość boku, apothem oblicza się ze wzoru:
Ponieważ w efekcie apotem jest jedną z odnóg trójkąta prostokątnego (patrz rysunek 3), druga noga ma wartość ℓ / 2 (połowa boku), a przeciwprostokątna promień r wielokąta.
Kiedy twierdzenie Pitagorasa zostanie zastosowane do tego trójkąta, otrzymamy to równanie, które jest ważne nie tylko dla sześciokąta, ale dla każdego regularnego wielokąta.
Kąt centralny
Jest to kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem O i którego boki są segmentami łączącymi środek z dwoma kolejnymi wierzchołkami. Jego miara w stopniach sześćdziesiętnych wynosi 360º / n, gdzie n to liczba boków wielokąta.
Sagita
Jest to różnica między promieniem wielokąta a apotemem (patrz rysunek 3). Oznaczając sagite jako S:
S = r - a
Obwód i obszar
Obwód
Można to łatwo obliczyć, dodając długości boków. Ponieważ każdy bok ma równą długość L i istnieje n boków, obwód P jest wyrażony jako:
P = n.L
Powierzchnia
W regularnym wielokącie obszar A jest określony przez iloczyn między półobwodem (połową obwodu) a długością apotemy do.
A = P.a / 2
Ponieważ obwód zależy od liczby boków n, okazuje się, że:
A = (nL). A / 2
Dwa regularne wielokąty mogą mieć ten sam obwód, nawet jeśli nie mają tej samej liczby boków, ponieważ wtedy zależałoby to od długości boków.
W jego książce V Kolekcjamatematyk Pappus z Aleksandrii (290-350), ostatni z wielkich starożytnych matematyków greckich, wykazał, że spośród wszystkich regularnych wielokątów o tym samym obwodzie, ten o największej powierzchni jest tym z największą liczbą boków.
Kąty
Odpowiednie kąty w regularnym wielokącie pokazano na rysunku 4, oznaczonym greckimi literami α, β i γ.
Kąt centralny
Wcześniej wspominaliśmy o kącie środkowym, pomiędzy elementami wielokąta foremnego, jest to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku wielokąta, a boki to segmenty, które łączą środek z dwoma kolejnymi wierzchołkami.
Aby obliczyć miarę kąta środkowego α, podziel 360º przez n, czyli liczbę boków. Lub 2π radianów między n:
α = 360º / n
Odpowiednik w radianach:
α = 2π / n
Kąt wewnętrzny lub kąt wewnętrzny
Na rysunku 4 kąt wewnętrzny β to ten, którego wierzchołek pokrywa się z jedną z figur, a jego boki są również bokami figury. Oblicza się go w stopniach sześćdziesiętnych według:
β = [180 (n-2)] / n
Lub w radianach przy użyciu:
β = [π (n-2)] / n
Kąty zewnętrzne
Oznaczono je grecką literą γ. Rysunek pokazuje, że γ + β = 180º. A zatem:
γ = 180º – β
Suma wszystkich kątów zewnętrznych do wielokąta foremnego wynosi 360º.
Przykłady wielokątów regularnych
Następnie mamy pierwszych 8 regularnych wielokątów. Obserwujemy, że wraz ze wzrostem liczby boków wielokąt staje się coraz bardziej podobny do obwodu, w który jest wpisany.
Możemy sobie wyobrazić, że zmniejszając i zmniejszając długość boków oraz zwiększając ich liczbę, otrzymamy obwód.
- Regularne wielokąty w życiu codziennym i przyrodzie
Regularne wielokąty można znaleźć wszędzie w życiu codziennym, a nawet w przyrodzie. Zobaczmy kilka przykładów:
Sygnały drogowe
Regularne wielokąty, takie jak trójkąty równoboczne, kwadraty i romby, są bogate w oznakowania, które widzimy na autostradach i drogach. Na rysunku 6 widzimy znak stopu w kształcie ośmiokąta.
Meble
Niezliczone meble mają na przykład kwadrat jako charakterystyczną figurę geometryczną, podobnie jak wiele stołów, krzeseł i ław jest kwadratowych. Równoległościan to zwykle pudełko o bokach w kształcie prostokąta (który nie jest regularnym wielokątem), ale można je również wykonać jako kwadratowe.
Architektura i budownictwo
Płytki na podłogach i ścianach, zarówno w domach, jak i na ulicach, mają często kształt regularnych wielokątów.
Parkietaż to powierzchnie pokryte w całości płytkami o różnych geometrycznych kształtach. Za pomocą trójkąta, kwadratu i sześciokąta można tworzyć zwykłe teselacje, takie, które wykorzystują tylko jeden typ figury, aby idealnie pokryć, bez pozostawiania pustych przestrzeni (patrz rysunek 6).
Podobnie budynki wykorzystują regularne wielokąty w elementach takich jak okna i dekoracje.
- W naturze regularne sześciokąty
Zaskakujące jest, że sześciokąt foremny jest wielokątem, który często pojawia się w naturze.
Plaster miodu wykonany przez pszczoły do przechowywania miodu ma kształt bardzo z grubsza regularnego sześciokąta. Jak zauważył Pappus z Aleksandrii, w ten sposób pszczoły optymalizują przestrzeń do przechowywania jak największej ilości miodu.
W skorupach żółwi i płatkach śniegu znajdują się również regularne sześciokąty, które również przybierają różne, bardzo piękne kształty geometryczne.
Ćwiczenie rozwiązane
Sześciokąt foremny jest wpisany w półkole o promieniu 6 cm, jak pokazano na rysunku. Jaka jest wartość zacienionego obszaru?
Rozwiązanie
Obszar zacieniowany to różnica między polem półkola o promieniu R = 6 cm a polem całego sześciokąta, regularnego wielokąta sześciobocznego. Będziemy więc potrzebować wzorów na pole każdej z tych liczb.
Obszar półkola
DO1 = π R2 / 2 = π (6 cm)2 / 2 = 18π cm2
Obszar regularnego sześciokąta
Wzór na obliczenie pola powierzchni wielokąta foremnego to:
A = P.a / 2
Gdzie P. to obwód i do jest apotem. Ponieważ obwód jest sumą boków, będziemy potrzebować ich wartości. Dla zwykłego sześciokąta:
P = 6ℓ
A zatem:
A = 6ℓa / 2
Aby znaleźć wartość boku ℓ, konieczne jest skonstruowanie figur pomocniczych, które wyjaśnimy poniżej:
Zacznijmy od małego prawego trójkąta po lewej stronie, którego przeciwprostokątna to ℓ. Wewnętrzny kąt sześciokąta jest równy:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º
Promień, który narysowaliśmy na zielono, dzieli ten kąt na pół, dlatego kąt ostry małego trójkąta wynosi 60º. Dzięki dostarczonym informacjom ten trójkąt został rozwiązany, znajdując jasnoniebieską stronę, która mierzy to samo co apothem:
Przeciwległa noga = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm
Ta wartość to jest podwójne ciemnoniebieskiej nogi dużego trójkąta po prawej stronie, ale z tego trójkąta wiemy, że przeciwprostokątna ma 6 cm, ponieważ jest to promień półkola. Pozostała noga (dół) jest równa ℓ / 2, ponieważ punkt O znajduje się pośrodku boku.
Ponieważ kąty wewnętrzne tego trójkąta nie są znane, możemy podać dla niego twierdzenie Pitagorasa:
36 = 3 ℓ2 + ℓ2 / 4
(13/4) ℓ2 = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Przy tej wartości obliczana jest apothem:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Zadzwońmy2 do obszaru sześciokąta foremnego:
= 28,8 cm2
Zacieniony obszar rysunku
DO1 - DO2 = 18π cm2 - 28,8 cm2 = 27,7 cm2
Bibliografia
- Baldor, A. 1973. Geometria i trygonometria. Wydawnictwo Kulturalne Ameryki Środkowej.
- Ciesz się matematyką. Parkietaż. Odzyskany z: enjoylasmatematicas.com.
- E. A. 2003. Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
- Sześciokąty w przyrodzie. Odzyskany z: malvargamath.wordpress.com.
- Jiménez, R. 2010. Matematyka II. Geometria i trygonometria. Druga edycja. Prentice Hall.
- Regularne wielokąty. Odzyskany z: mate.ingenieria.usac.edu.gt.
- Wikipedia. Apothem. Odzyskane z: es.wikipedia.org.
