Cuntenutu
- Proprietà di i poligoni regulari
- Elementi di un poligonu regulare
- Vertex
- Latu
- Diagonale
- Centru
- Radio
- Apothem
- Angulu centrale
- Sagita
- Perimetru è area
- Perimetru
- Zona
- Anguli
- Angulu centrale
- Angulu internu o angulu internu
- Anguli esterni
- Esempii di poligoni regulari
- - Poligoni regulari in a vita d'ogni ghjornu è in natura
- Segnali di trafficu
- Mobili
- Architettura è custruzzione
- - Esagoni regulari in natura
- Eserciziu risoltu
- Soluzione
- Zona semicircular
- Area di l'esagunu regulare
- Zona di figura à l'ombra
- Riferimenti
U puligoni rigulari sò quelli chì anu tutti i so lati è i so anguli interni uguali. In a figura seguente ci hè un inseme di sfarenti poligoni, chì sò figure piane limitate da una curva chjusa è solu quelli chì sò messi in risaltu rispondenu à e cundizioni per esse regulare.
Per esempiu, u triangulu equilaterale hè un poligonu regulare, postu chì i so trè lati misuranu listessi, è ancu i so anguli interni, chì valenu 60º ciascuna.
U quatratu hè un quadrilateru cù quattru lati di misura uguale è chì l'anguli interni sò 90º. Seguita u pentagonu regulare, cù cinque lati di listessa dimensione è cinque anguli interni di 108º ciascuna.
Quandu un poligonu hè regulare, sta parolla hè aghjuntu à u so nome speciale, cusì avemu l'esagonu regulare, l'epitagonu regulare ecc.
Proprietà di i poligoni regulari
E pruprietà più impurtanti di i poligoni regulari ponu esse riassunte cusì:
-I lati misuranu listessi, dunque sò equilaterale.
-Sò equiangulare, postu chì tutti i so anguli interni anu uguali misura.
- Puderanu sempre esse inscritti in una circonferenza, chì significa chì si adattanu perfettamente in una, chì si chjama circonferenza circunscrita.
-Per un poligone regulare cù n lati, a misura di un angulu interiore α hè:
α = [180 (n-2)] / n
-Pudete traccià n (n-3) / 2 diagonali da i vertici di un poligonu, sia regulare sia micca.
-A somma di u anguli esterni hè uguale à 360º.
Elementi di un poligonu regulare
Dopu presentemu l'elementi principali di un poligonu regulare, visualizatu in a figura sottu.
Vertex
Puntu cumunu chì dui lati cunsecutivi anu, denotatu V in a figura.
Latu
Hè u segmentu chì unisce dui vertici consecutivi di u poligonu è hè denotatu cum'è ℓ o L.
Diagonale
Segmentu chì unisce dui vertici non consecutivi di u poligonu, in a figura hè denotatu cum'è d.
Centru
Hè u centru cumunu di u circulu iscrittu è di u circulu circunscrittu, denotatu da a lettera O. Pò esse ancu vistu cum'è l'unicu puntu equidistante sia da i vertici sia da i punti medi di ogni latu.
Radio
Hè a radiu r di u circhiu circunscrittu è coincide cù a distanza trà O è un vertice.
Apothem
Hè chjamatu apotema à u raghju di a circunferenza inscritta in u poligonu, riprisentata in a figura cù una lettera à. L'apotema hè perpendiculare à un latu è l'aghjunghje cù u centru O (segmentu rossu in figura 3).
Sapendu u raghju r è a lunghezza di u latu, l'apotema hè calculatu da:
Postu chì, in effetti, l'apotema hè una di e zampe di un triangulu rittangulu (vede a figura 3), l'altra zampa essendu u valore di ℓ / 2 (a mità di un latu) è l'iputenusa u raghju r di u poligonu.
Quandu u teorema di Pitagora hè applicatu à stu triangulu, si ottiene sta equazione, chì hè valida micca solu per l'esagone, ma per qualsiasi poligonu regulare.
Angulu centrale
Hè l'angulu chì u so vertice coincide cù u centru O è chì i so lati sò i segmenti chì uniscenu u centru cù dui vertici cunsecutivi. A so misura in gradi sessagesimali hè 360º / n, induve n hè u numeru di i lati di u poligonu.
Sagita
Hè a differenza trà u raghju di u poligonu è l'apotema (vede a figura 3). Denotendu a sagita cum'è S:
S = r - a
Perimetru è area
Perimetru
Hè facilmente calculatu aghjunghjendu e lunghezze di i lati. Siccomu ogni latu hà a stessa lunghezza L è ci sò n lati, u perimetru P hè spressu cum'è:
P = n.L
Zona
In un poligonu regulare l'area A hè data da u pruduttu trà u semi-perimetru (a mità di u perimetru) è a lunghezza di l'apotema à.
A = P.a / 2
Siccomu u perimetru dipende da u numeru di lati n, risulta chì:
A = (nL) .a / 2
Dui poligoni regulari ponu avè u listessu perimetru ancu s'elli ùn anu micca u listessu numeru di lati, postu chì dipende allora da a lunghezza di i lati.
In u so libru V Cullezzione, u matematicu Pappu d'Alessandria (290-350), l'ultimu di i grandi matematichi grechi antichi, hà fattu vede chì trà tutti i poligoni regulari cù u listessu perimetru, quellu chì hà a più grande area hè quellu chì hà u più grande numeru di lati.
Anguli
L'anguli pertinenti in un poligonu regulare sò mostrati in a Figura 4, denotata da e lettere greche α, β è γ.
Angulu centrale
Nanzu avemu citatu l'angulu centrale, trà l'elementi di u poligonu regulare, hè l'angulu chì u so vertice hè in u centru di u poligonu è i lati sò i segmenti chì si uniscenu à u centru cù dui vertici consecutivi.
Per calculà a misura di l'angulu centrale α, divide 360 ° per n, u numeru di lati. O 2π radianti trà n:
α = 360º / n
Equivalente in radiani à:
α = 2π / n
Angulu internu o angulu internu
In a figura 4 l'angulu internu β hè quellu chì u so vertice coincide cù unu di a figura è i so lati sò dinò lati di a figura. Hè calculatu in gradi sessagesimali da:
β = [180 (n-2)] / n
O in radiani aduprendu:
β = [π (n-2)] / n
Anguli esterni
Sò denotati da a lettera greca γ. A figura mostra chì γ + β = 180º. Cusì:
γ = 180º – β
A somma di tutti l'anguli esterni à un poligonu regulare hè 360º.
Esempii di poligoni regulari
Dopu avemu i primi 8 poligoni regulari. Osservemu chì quandu u numeru di lati aumenta, u poligonu diventa di più in più simile à a circonferenza in a quale sò inscritti.
Pudemu imaginà chì, rendu a lunghezza di i lati più chjuca è più chjuca, è aumentendu u numeru di questi, uttenemu a circonferenza.
- Poligoni regulari in a vita d'ogni ghjornu è in natura
I poligoni regulari si trovanu in ogni locu in a vita d'ogni ghjornu è ancu in a natura. Videmu alcuni esempii:
Segnali di trafficu
Poligoni regulari cum'è trianguli equilaterali, quatrati è rombi abbondanu in a signaletica chì vemu in autostrade è strade. In a figura 6 vedemu un segnu di stop ottagonale.
Mobili
Innumerevuli mobuli anu u quatratu, per esempiu, cum'è una figura geomitrica caratteristica, cusì tanti tavuli, sedie è panche sò quadrati. Un parallelepipedi hè generalmente una scatula cù i lati in forma di rettangulu (chì ùn hè micca un poligonu regulare), ma ponu ancu esse quadrati.
Architettura è custruzzione
Piastrelle o piastrelle nantu à i pavimenti è i muri, sia in case sia in strade, sò spessu furmate cum'è poligoni regulari.
E Tessellazioni sò superfici ricoperte interamente cù piastrelle chì anu diverse forme geomettriche. Cù u triangulu, u quatratu è l'esagone si ponu fà tessellazioni regulare, quelle chì adopranu solu un tippu di figura per copre perfettamente, senza lascià spazii vioti (vede a figura 6).
Ancu l'edifizii facenu usu di i poligoni regulari in elementi cum'è e finestre è a dicurazione.
- Esagoni regulari in natura
Sorprendentemente, l'esagone regulare hè un poligonu chì appare spessu in natura.
I favi fatti da l'ape per cunservà u mele sò furmati assai à pocu pressu à un esagunu regulare. Cum'è Pappu d'Alessandria hà osservatu, in questu modu l'ape ottimizanu u spaziu per almacenà u più meli pussibule.
È ci sò ancu esagoni regulari in e cunchiglie di e tartarughe è di i fiocchi di neve, chì piglianu ancu varie forme geomettriche assai belle.
Eserciziu risoltu
Un esagonu regulare hè inscrittu in un semicerculu di raghju 6 cm, cum'è mostratu in a figura. Chì hè u valore di a zona ombreggiata?
Soluzione
L'area ombreggiata hè a differenza trà l'area di u semicirculu cù u raghju R = 6 cm è l'area di tuttu l'esagonu, un poligonu regulare à 6 lati. Cusì averemu bisognu di formule per l'area di ognuna di ste figure.
Zona semicircular
TO1 = π R2 / 2 = π (6 cm)2 / 2 = 18π cm2
Area di l'esagunu regulare
A formula per calculà l'area di un poligonu regulare hè:
A = P.a / 2
Induve P hè u perimetru è à hè l'apotema. Postu chì u perimetru hè a somma di i lati, averemu bisognu di u valore di questi. Per l'esagunu regulare:
P = 6ℓ
Cusì:
A = 6ℓa / 2
Per truvà u valore di u latu ℓ, hè necessariu custruisce figure ausiliarie, chì spiegheremu quì sottu:
Cuminciamu cù u picculu triangulu rittangulu à manca, chì l'iputenusa hè ℓ. Un angulu internu di l'esagone hè uguale à:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º
U raghju chì avemu tracciatu in verde biseghja questu angulu, dunque l'angulu acutu di u picculu triangulu hè 60º. Cù l'infurmazioni furnite, stu triangulu hè risoltu, truvendu u latu turchinu chjaru, chì misura listessa à l'apotema:
Gamba opposta = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm
Stu valore hè u doppiu di a zampa turchina scura di u grande triangulu à a diritta, ma da stu triangulu sapemu chì l'iputenusa misura 6 cm perchè hè u razziu di u semicerculu. A perna restante (fondu) hè uguale à ℓ / 2 postu chì u puntu O hè à mezu à u latu.
Postu chì l'anguli interni di stu triangulu ùn sò micca cunnisciuti, pudemu dichjarà u teorema di Pitagora per ellu:
36 = 3 ℓ2 + ℓ2 / 4
(13/4) ℓ2 = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Cù questu valore l'apotema hè calculatu:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Chjamemu2 à a zona di l'esagunu regulare:
= 28,8 cm2
Zona di figura à l'ombra
TO1 - À2 = 18π cm2 - 28,8 cm2 = 27,7 cm2
Riferimenti
- Baldor, A. 1973. Geometria è trigonometria. Edizione Culturale Centroamericana.
- Prufittate di matematica. Tessellazioni. Recuperatu da: enjoylasmatematicas.com.
- E. A. 2003. Elementi di geometria: cù esercizii è geometria di a bussula. Università di Medellin.
- Esagoni in natura. Recuperatu da: malvargamath.wordpress.com.
- Jiménez, R. 2010. Matematica II. Geometria è trigonometria. Seconda edizione. Prentice Hall.
- Poligoni regulari. Recuperatu da: mate.ingenieria.usac.edu.gt.
- Wikipedia. Apothem. Ritruvatu da: es.wikipedia.org.