Funkcjonał

Funkcjonał – wieloznaczne pojęcie matematyczne, opisujące różne typy funkcji; przeważnie są definiowane przeciwdziedziną, a czasem też dziedziną w sensie zbioru argumentów. Według różnych autorów funkcjonał to funkcja:

1. o wartościach liczbowych^[1];
2. o wartościach liczbowych na zbiorze funkcji^[2][a];
3. rzeczywista lub zespolona określona na dowolnym zbiorze^[3][4];
4. rzeczywista lub zespolona na dowolnym zbiorze funkcji^[3][5];
5. z przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów^[6];
6. powyższego typu będąca jednocześnie przekształceniem liniowym^[7] ;
7. rzeczywista na przestrzeni liniowej^[8] nad ciałem liczb rzeczywistych^[9];
8. rzeczywista na przestrzeni Banacha lub jej podzbiorze^[10].

Trzecie ani czwarte znaczenie nie są rozłączne z piątym, ponieważ:

• funkcję rzeczywistą lub zespoloną można określić na przestrzeni liniowej ze skalarami rzeczywistymi lub zespolonymi;
• przestrzenią tą może być przestrzeń funkcyjna.

Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej forma, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie^[11]. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

(1) Funkcja

${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$

przekształca argument ${\displaystyle x_{0}}$ na wartość funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji ${\displaystyle f}$ całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu ${\displaystyle x_{0},}$ tj.

${\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0}).}$

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie ${\displaystyle f,x_{0}\mapsto g(x_{0})}$ wyznaczone przez dany argument ${\displaystyle x_{0}}$ odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję ${\displaystyle g}$ – nazywa się wtedy dualną do funkcji ${\displaystyle f,}$ a obydwie funkcje są funkcjonałami liniowymi.

Całki postaci

${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{a}^{b}H(f(x),f'(x),\dots )\;{\text{d}}x,}$

gdzie:

${\displaystyle H}$ – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję ${\displaystyle f}$ na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

• pole pod wykresem nieujemnej funkcji ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\mapsto S(f)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x,}$

• p-ta norma funkcji całkowalnej

${\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}=\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p},}$

• długość krzywej na płaszczyźnie

${\displaystyle f\mapsto L(f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x.}$

Dla danego wektora ${\displaystyle {\vec {x}}}$ z przestrzeni wektorowej ${\displaystyle X,}$ iloczyn skalarny ${\displaystyle {\vec {x}}}$ z wektorem ${\displaystyle {\vec {y}}}$ oznaczony ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ lub ${\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle }$ jest skalarem. Dlatego ${\displaystyle {\vec {x}}}$ wyznacza funkcjonał:

${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}.}$

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci ${\displaystyle F=G}$ są funkcje, dla których wartości funkcjonałów ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G}$ są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

${\displaystyle f\left(x+y\right)=f(x)+f(y).}$

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht^[6] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci

${\displaystyle f(x)=\alpha _{1}\xi _{1}+\alpha _{2}\xi _{2}+\ldots +\alpha _{n}\xi _{n}}$

zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4) ${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}\xi _{i}\eta _{j}.}$

[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. ${\displaystyle f,\varphi }$ powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang^[7]  używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V}$ (nad ciałem ${\displaystyle K}$) w ciało ${\displaystyle K.}$ Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

• Natomiast Komorowski (1978) używa jedynie określenia forma, pisząc^[12]:

Elementy przestrzeni ${\displaystyle V^{*}}$ nazywamy formami liniowymi na ${\displaystyle V;}$ często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. ${\displaystyle L(V_{1},\dots ,V_{n};K)}$ nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak (1976) pisze^[13]:

[...] operator liniowy ${\displaystyle T\colon X\longrightarrow {\mathbf {K} }}$ nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

• dystrybucja
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma dwuliniowa
• forma kwadratowa

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983. ISBN 83-01-03903-5.
• Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: PWN, 1978.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.
• Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: PWN, 1973.
• Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
• Antoni Pierzchalski: Rachunek wariacyjny. W: Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Anna Żakowska: funkcjonał [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

• III. Modules, § 6. The dual space and dual module. W: Serge Lang: Algebra. Nowy York: Springer-Verlag, 2005, s. 142–146.