Algebra ogólna

Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci

${\displaystyle (A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n}),}$

gdzie:

• ${\displaystyle A}$ – pewien zbiór,
• ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}\in A}$ – pewne wyróżnione elementy,
• ${\displaystyle f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A}$ – pewne funkcje, które interpretuje się jako ${\displaystyle k_{i}}$-argumentowe działania w ${\displaystyle A.}$

Przykładami algebr są grupa addytywna

${\displaystyle (G,+,0),}$

grupa multiplikatywna

${\displaystyle (G,\cdot ,1),}$

oraz pierścień

${\displaystyle (R,+,\cdot ,0).}$

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)^[1][2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne^[3].

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci^[4] :

${\displaystyle (A,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$

gdzie:

${\displaystyle A}$ jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),

${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ są pewnymi elementami zbioru ${\displaystyle A}$ (nazywanymi elementami wyróżnionymi),

${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$ są działaniami określonymi w zbiorze ${\displaystyle A,}$ przy czym ${\displaystyle f_{i}}$ jest działaniem ${\displaystyle k_{i}}$-argumentowym, tzn. jest funkcją postaci ${\displaystyle f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A}$ oraz ${\displaystyle k_{i}>0.}$

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Dwie algebry:

${\displaystyle (A,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

i

${\displaystyle (B,g_{1},g_{2},\dots ,g_{r},b_{1},b_{2},\dots ,b_{s})}$

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli ${\displaystyle m=r}$ oraz ${\displaystyle n=s,}$ oraz dla każdego ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,m\}}$ działania ${\displaystyle f_{i}}$ oraz ${\displaystyle g_{i}}$ są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. ${\displaystyle f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A}$ oraz ${\displaystyle g_{i}\colon B^{k_{i}}\to B}$^[4] .

Niech ${\displaystyle \sim }$ będzie relacją równoważności w zbiorze ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle k}$-argumentowe działanie ${\displaystyle f}$ w ${\displaystyle A}$ nazywa się zgodnym z relacją ${\displaystyle \sim }$ jeśli dla każdych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A}$

${\displaystyle x_{1}\sim y_{1}\wedge \ldots \wedge x_{k}\sim y_{k}\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{k})\sim f(y_{1},\dots ,y_{k})}$^[4] .

W szczególności gdy ${\displaystyle f}$ jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle x_{1}\sim y_{1}\Rightarrow f(x_{1})\sim f(y_{1}),}$

a gdy ${\displaystyle f=\circ }$ jest działaniem dwuargumentowym, to

${\displaystyle x_{1}\sim y_{1}\wedge x_{2}\sim y_{2}\Rightarrow x_{1}\circ x_{2}\sim y_{1}\circ y_{2}.}$

Innymi słowy działanie ${\displaystyle f}$ w zbiorze ${\displaystyle A}$ jest zgodne z relacją ${\displaystyle \sim }$ jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Relację równoważności ${\displaystyle \sim }$ w algebrze ${\displaystyle (A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})}$ nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant m}$ działanie ${\displaystyle f_{i}}$ jest zgodne z relacją ${\displaystyle \sim }$^[4] .

Dysponując kongruencją ${\displaystyle \sim }$ na algebrze ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})}$ można skonstruować algebrę podobną do ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ Niech ${\displaystyle A/_{\sim }}$ będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ definiujemy jako

${\displaystyle {\mathcal {B}}:=(A/_{\sim },g_{1},\dots ,g_{m},b_{1},\dots ,b_{n}),}$

gdzie elementy wyróżnione ${\displaystyle b_{j},\ 1\leqslant j\leqslant n}$ są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów ${\displaystyle a_{j}}$ względem relacji ${\displaystyle \sim }$ tzn.

${\displaystyle b_{j}:=[a_{j}]_{\sim }.}$

a działania ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$ są zdefiniowane wzorami^[4] :

${\displaystyle g_{i}([x_{1}]_{\sim },\dots ,[x_{k_{i}}]_{\sim }):=[f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}})]_{\sim }.}$

Aby działania ${\displaystyle g_{i}}$ były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k_{i}}.}$ Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k_{i}},y_{1},\dots ,y_{k_{i}}\in A}$

${\displaystyle x_{1}\sim y_{1}\wedge \ldots \wedge x_{k_{i}}\sim y_{k_{i}}\Rightarrow f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}})\sim f_{i}(y_{1},\dots ,y_{k_{i}})}$

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja ${\displaystyle \sim }$ była kongruencją.

Homomorfizmem algebr podobnych ${\displaystyle (A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})}$ i ${\displaystyle (B,g_{1},\dots ,g_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle h\colon A\to B}$ taką, że

${\displaystyle h(f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}}))=g_{i}(h(x_{1}),\dots ,h(x_{k_{i}}))}$

dla ${\displaystyle i=1,\dots ,m.}$ W szczególności, gdy ${\displaystyle f_{i}=\circ ,\ g_{i}=\bullet }$ są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

${\displaystyle h(x_{1}\circ x_{2})=h(x_{1})\bullet h(x_{2}).}$

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru ${\displaystyle D}$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ są symbolami działań ${\displaystyle k}$-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór ${\displaystyle A}$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi ${\displaystyle d_{k}\in D_{k}}$ ${\displaystyle k}$-argumentowego działania ${\displaystyle \phi _{k}\colon A^{k}\to A.}$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole ${\displaystyle d_{k}}$ z działaniami ${\displaystyle \phi _{k}.}$

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(F,\mu ),}$ gdzie ${\displaystyle F}$ jest zbiorem, a ${\displaystyle \mu \colon F\to \mathbb {N} }$ nazywa się typem algebry. Parę ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,F_{A})}$ nazywa się algebrą typu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jeśli zbiory ${\displaystyle F_{A}}$ i ${\displaystyle F}$ są równoliczne i każdemu ${\displaystyle f\in F}$ odpowiada ${\displaystyle f_{A}\in F_{A}}$ taki, że ${\displaystyle f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.}$ Element ${\displaystyle f_{A}}$ nazywa się działaniem lub operacją ${\displaystyle \mu (f)}$-argumentową.

Algebrę ${\displaystyle (G,\circ )}$ nazywa się półgrupą jeśli działanie ${\displaystyle \circ }$ jest łączne, tzn. dla każdych ${\displaystyle a,b,c\in G}$

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$

Algebrę ${\displaystyle (G,\circ ,e)}$ nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto

• Dla każdego ${\displaystyle a\in G}$ zachodzi

${\displaystyle a\circ e=a.}$

• Dla każdego ${\displaystyle a\in G}$ istnieje ${\displaystyle b\in G}$ takie, że

${\displaystyle a\circ b=e.}$

Element ${\displaystyle e}$ nazywa się elementem neutralnym działania ${\displaystyle \circ ,}$ a ${\displaystyle b}$ elementem odwrotnym do ${\displaystyle a}$ lub elementem przeciwnym do ${\displaystyle a}$ i oznacza odpowiednio ${\displaystyle a^{-1}}$ lub ${\displaystyle -a.}$

Grupę ${\displaystyle (G,\circ ,e)}$ w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych ${\displaystyle a,b\in G}$ zachodzi

${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się ${\displaystyle (G,+,0)}$ i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się ${\displaystyle (G,\cdot ,1)}$ i nazywa grupą multiplikatywną.

Algebrę ${\displaystyle (R,+,\cdot ,0)}$ nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli

• ${\displaystyle (R,+,0)}$ jest grupą przemienną,
• ${\displaystyle (R,\cdot )}$ jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych ${\displaystyle a,b,c\in R}$

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,}$

${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.}$

Zobacz publikację Algebra abstrakcyjna w Wikibooks

Zobacz hasło algebra w Wikisłowniku

• algebra nad ciałem

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.

• General algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].