Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie planimetrii wiążące boki i przekątne czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele Almagest^[1] .

W dowolnym czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków^[2][3][4]:

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.}$

(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Niech dany będzie czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ wpisany w okrąg oraz punkt ${\displaystyle K}$ leżący na przekątnej ${\displaystyle AC}$ tak, by półprosta ${\displaystyle BK}$ przecinała przekątną ${\displaystyle AC}$ przy zachowaniu równości kątów ${\displaystyle \sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC.}$ Wówczas otrzymuje się trójkąty ${\displaystyle \triangle ABD}$ i ${\displaystyle \triangle KBC.}$

Z konstrukcji wynika, że ${\displaystyle \sphericalangle ABD=\sphericalangle KBC}$ oraz ${\displaystyle \sphericalangle ADB=\sphericalangle KCB,}$ ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty ${\displaystyle \triangle ABD}$ i ${\displaystyle \triangle KBC}$ są więc podobne, dzięki czemu

${\displaystyle |KC|:|AD|=|BC|:|BD|,}$

skąd

${\displaystyle |KC|\cdot |BD|=|AD|\cdot |BC|.}$

(2)

Trójkąty ${\displaystyle \triangle ABK}$ i ${\displaystyle \triangle DBC}$ są podobne, gdyż mają równe kąty ${\displaystyle \sphericalangle ABK}$ i ${\displaystyle \sphericalangle DBC}$ oraz kąty ${\displaystyle \sphericalangle BAC}$ i ${\displaystyle \sphericalangle BDC}$ (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:

${\displaystyle |AK|:|DC|=|AB|:|BD|,}$

a zatem

${\displaystyle |AK|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|.}$

(3)

Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się

${\displaystyle |AK|\cdot |BD|+|KC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,}$

co w konsekwencji daje

${\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}$

i ostatecznie

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|,}$

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie^[3][5]. Niech w czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt ${\displaystyle K,}$ który spełnia warunki

${\displaystyle \sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC}$ oraz ${\displaystyle \sphericalangle BAK=\sphericalangle BDC.}$

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów ${\displaystyle \triangle DBC}$ oraz ${\displaystyle \triangle ABK,}$ przy czym

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}}={\frac {|AK|}{|CD|}}.}$

Z drugiej strony, ponieważ ${\displaystyle \sphericalangle ABK=\sphericalangle DBC}$ oraz

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}},}$

trójkąty ${\displaystyle \triangle ABD}$ i ${\displaystyle \triangle KBC}$ są podobne.

Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając

${\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|.}$

Z założenia wynika jednak, że ${\displaystyle (|AK|+|KC|)=|AC|,}$ co oznacza, że punkt ${\displaystyle K}$ leży na odcinku ${\displaystyle |AC|.}$ Ale wtedy

${\displaystyle \sphericalangle BAK=\sphericalangle BAC=\sphericalangle BDC,}$

czyli wierzchołki ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle D}$ leżą na tym samym okręgu, co ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C.}$

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$ czworokąta jako

${\displaystyle P_{i}=(\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}),{\text{ gdzie }}\alpha _{i}\in [0,2\pi ),}$

przy czym ${\displaystyle \alpha _{i}}$ oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem ${\displaystyle P_{i}.}$ Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest

${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}.}$

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych ${\displaystyle x=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ i ${\displaystyle y=(\cos \beta ,\sin \beta ),}$ to ich odległość euklidesowa

${\displaystyle \|x-y\|={\sqrt {2-2\cos(|\alpha -\beta |)}}=2\sin \left({\frac {|\alpha -\beta |}{2}}\right).}$

Jeśli ${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$ dla ${\displaystyle i<j,}$ jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako

${\displaystyle |P_{i}P_{j}|=2\sin \left({\frac {\alpha _{j}}{2}}-{\frac {\alpha _{i}}{2}}\right).}$

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

${\displaystyle |P_{1}P_{3}|\cdot |P_{2}P_{4}|=|P_{1}P_{2}|\cdot |P_{3}P_{4}|+|P_{1}P_{4}|\cdot |P_{2}P_{3}|}$

przyjmie wtedy postać

${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right)=\sin \left({\frac {\alpha _{2}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{3}}{2}}\right)+\sin \left({\frac {\alpha _{4}}{2}}-{\frac {\alpha _{1}}{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha _{3}}{2}}-{\frac {\alpha _{2}}{2}}\right).}$

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\tfrac {1}{2}}{\big (}\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ){\big )}.}$

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Niech dany będzie czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ wpisany w okrąg ${\displaystyle O}$^[6] [7]. Niech dane będą również punkty ${\displaystyle B',C'}$ oraz ${\displaystyle D'}$ będące obrazami inwersyjnymi punktów ${\displaystyle B,C,D}$ względem nowego okręgu ${\displaystyle O_{1}}$ o środku w punkcie ${\displaystyle A}$ i pewnym promieniu ${\displaystyle r.}$ Ponieważ punkty ${\displaystyle B,C,D}$ leżą na okręgu ${\displaystyle O,}$ który przechodzi przez środek okręgu ${\displaystyle O_{1},}$ to ich obrazy ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D'}$ będą współliniowe^[8]. Wynika stąd, że

${\displaystyle |B'C'|+|C'D'|=|B'D'|.}$

(4)

Dla każdych dwóch punktów ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q,}$ przekształcanych przez inwersję względem okręgu o promieniu ${\displaystyle r,}$ zachodzić będzie^[7]

${\displaystyle |P'Q'|={\frac {r^{2}\cdot |PQ|}{|OP|\cdot |OQ|}}.}$

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków ${\displaystyle |B'C'|,}$ ${\displaystyle |C'D'|}$ i ${\displaystyle |D'B'|}$ otrzymuje się

${\displaystyle {\begin{aligned}|B'C'|&={\frac {r^{2}\cdot |BC|}{|AB|\cdot |AC|}},\\|C'D'|&={\frac {r^{2}\cdot |CD|}{|AC|\cdot |AD|}},\\|D'B'|&={\frac {r^{2}\cdot |DB|}{|AD|\cdot |AB|}}.\end{aligned}}}$

(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest

${\displaystyle {\frac {|BC|}{|AB|\cdot |AC|}}+{\frac {|CD|}{|AC|\cdot |AD|}}={\frac {|DB|}{|AD|\cdot |AB|}},}$

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ względem pewnego okręgu o środku w ${\displaystyle A,}$ to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D'}$ są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez ${\displaystyle A,}$ co czyni je współokręgowymi.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie^[9][7]:

Jeśli ${\displaystyle ABCD}$ jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|\leqslant |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,}$

(10)

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji^[6]  i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D',}$ które spełniają nierówność trójkąta

${\displaystyle |B'C'|+|C'D'|\geqslant |B'D'|.}$

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta ${\displaystyle ABCD}$^[3]:

${\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}-2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|\cos(\sphericalangle A+\sphericalangle C).}$

Gdy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

${\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}+2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|}$

i ostatecznie ${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.}$

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
• Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
• Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.

Polskojęzyczne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Twierdzenie Ptolemeusza, „Delta”, czerwiec 2009, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Twierdzenie Ptolemeusza, „Delta”, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-30] .

Obcojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ptolemy's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-03].
• Ptolemeus theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-03].
• A. Bogomolny: Ptolemy by Inversion from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

• Almagest. Uniwersytet Wiedeński. – łacińskie tłumaczenie z 1515 roku
• Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie. – niemieckie tłumaczenie 1912 roku