Ptolemaioksen lause

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmioihin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.^[1][2][3]

Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):

${\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD,}$ ^[4]

eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus ^[4]).

Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja toteamalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

${\displaystyle AB\cdot AB+AD\cdot AD=AC\cdot AC}$

eli

${\displaystyle AB^{2}+AD^{2}=AC^{2}.}$

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.^[5]

Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

${\displaystyle AC\sim AB\cdot AD+CB\cdot CD.}$

Lävistäjien suhde on siten (todistus ^[5])

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}}.}$ ^[5]

Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää

${\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD}$.

Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.^[6]

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Konstruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset(${\displaystyle \angle ABE=\angle CDA}$ ja ${\displaystyle \angle BEA=\angle CAD}$). Tällöin ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {AB}{AD}}={\frac {BE}{DC}},}$ joten ${\displaystyle BE={\frac {AB\cdot DC}{AD}}.}$ Koska myös ${\displaystyle \angle EAC=\angle BAD}$, on ${\displaystyle {\frac {AD}{AC}}={\frac {AB}{AE}}}$, sillä kolmiot ${\displaystyle EAC}$ ja ${\displaystyle BAD}$ ovat yhteneviä. Siten ${\displaystyle EC={\frac {AC\cdot DB}{AD}}.}$ Siten ${\displaystyle ABCD}$ on jännenelikulmio, joten ${\displaystyle \angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA=180^{\circ }.}$ Siten pisteet ${\displaystyle C,B}$ ja ${\displaystyle E}$ ovat samalla suoralla, joten ${\displaystyle EC=EB+BC}$. Nyt saadaan siis ${\displaystyle {\frac {AC\cdot DB}{AD}}={\frac {AB\cdot DC}{AD}}+BC.}$ Kertomalla yhtälö puolittain ${\displaystyle AD}$:llä saadaan ${\displaystyle AC\cdot DB=AB\cdot DC+BC\cdot AD.}$

Oletetaan sitten, että ${\displaystyle ABCD}$ ei ole jännenelikulmio. Tällöin ${\displaystyle \angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA\neq 180^{\circ },}$ joten pisteet ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa ${\displaystyle EC<EB+BC}$. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä ${\displaystyle {\frac {AC\cdot DB}{AD}}<{\frac {AB\cdot DC}{AD}}+BC.}$ Siis ${\displaystyle AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD.}$ Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen: ${\displaystyle AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD}$, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos ${\displaystyle ABCD}$ on jännenelikulmio.