Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej, opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi, astronomowi i matematykowi starożytnemu. Twierdzenie to pojawia się w dziele Almagest ^[1] .

W dowolnym czworokącie ${\displaystyle ABCD\,}$ wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków^[2][3]:

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.}$

(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Weźmy dowolny czworokąt ${\displaystyle ABCD\,}$ wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt ${\displaystyle K\,}$ na przekątnej ${\displaystyle AC\,}$ tak, że półprosta ${\displaystyle BK\,}$ przecina przekątną ${\displaystyle AC\,}$ tak, aby ${\displaystyle \angle ABD=\angle KBC}$. W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty ${\displaystyle \Delta ABD\,}$ i ${\displaystyle \Delta KBC\,}$.

Z konstrukcji wynika, że ${\displaystyle \angle ABD=\angle KBC}$ oraz ${\displaystyle \angle ADB=\angle KCB}$, ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty ${\displaystyle \Delta ABD\,}$ i ${\displaystyle \Delta KBC\,}$ są więc podobne, dzięki czemu otrzymujemy

${\displaystyle |KC|:|AD|=|BC|:|BD|\,}$,

skąd

${\displaystyle |KC|\cdot |BD|=|AD|\cdot |BC|.}$

(2)

Trójkąty ${\displaystyle \Delta ABK\,}$ i ${\displaystyle \Delta DBC\,}$, mające równe kąty ${\displaystyle \angle ABK}$ i ${\displaystyle \angle DBC}$ oraz kąty ${\displaystyle \angle BAC}$ i ${\displaystyle \angle BDC}$ (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Odpowiednie boki są więc do siebie proporcjonalne:

${\displaystyle |AK|:|DC|=|AB|:|BD|\,}$,

a zatem

${\displaystyle |AK|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|.}$

(3)

Sumując ze sobą równości (2) oraz (3), otrzymujemy

${\displaystyle |AK|\cdot |BD|+|KC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}$,

co w konsekwencji daje

${\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}$

i ostatecznie

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}$,

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie^[3][4]. Załóżmy, że w czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ zachodzi (1). Znajdźmy taki punkt ${\displaystyle K}$, spełniający warunki

${\displaystyle \angle ABK=\angle DBC}$ oraz ${\displaystyle \angle BAK=\angle BDC}$.

Dzięki temu wnioskujemy, że trójkąty ${\displaystyle \Delta DBC\,}$ oraz ${\displaystyle \Delta ABK\,}$ są podobne i zachodzi

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}}={\frac {|AK|}{|CD|}}}$.

Z drugiej strony, ponieważ ${\displaystyle \angle ABK=\angle DBC}$ oraz

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|DB|}}={\frac {|BK|}{|BC|}}}$

trójkąty ${\displaystyle \Delta ABD\,}$ i ${\displaystyle \Delta KBC}$ są do siebie podobne.

Dzięki temu wnioskujemy, że zachodzą (2) oraz (3). Łącząc je, otrzymujemy

${\displaystyle (|AK|+|KC|)\cdot |BD|=|AB|\cdot |DC|+|AD|\cdot |BC|}$

Z założenia wynika jednak, że ${\displaystyle (|AK|+|KC|)=|AC|}$, co oznacza, że punkt ${\displaystyle K}$ leży na odcinku ${\displaystyle |AC|}$. Ale wtedy

${\displaystyle \angle BAK=\angle =BAC=\angle BDC}$,

co oznacza, że wierzchołki ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle D}$ leżą na tym samym okręgu, co ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Każdy inny przypadek można sprowadzić do tego poprzez odpowiednie przekształcenia: translację i skalowanie. Każdy z wierzchołków ${\displaystyle \,P_{1},\ldots ,P_{4}\,}$ czworokąta można wtedy przedstawić w postaci

${\displaystyle P_{i}=(\,\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}\,){\text{ gdzie }}\alpha _{i}\in \,[\,0,2\pi ).\,}$

gdzie ${\displaystyle \alpha _{i}}$ jest kątem pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem ${\displaystyle P_{i}}$. Możemy również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do obiegu wskazówek zegara, tzn. zachodzi

${\displaystyle \,\alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}\,}$.

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych ${\displaystyle x=(\,\cos \alpha ,\sin \alpha \,)}$ and ${\displaystyle y=(\,\cos \beta ,\sin \beta \,)}$, to ich odległość euklidesowa wynosi

${\displaystyle ||x-y||={\sqrt {2-2\cos(|\alpha -\beta |)}}=2\sin \left({{|\alpha -\beta |} \over 2}\right).}$

Jeśli ${\displaystyle (P_{i},P_{j}),\;\;i<j}$ jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to wzór ten przyjmuje postać

${\displaystyle |P_{i}P_{j}|=2\sin \left({\alpha _{j} \over 2}-{\alpha _{i} \over 2}\right).}$

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

${\displaystyle |P_{1}P_{3}|\cdot |P_{2}P_{4}|=|P_{1}P_{2}|\cdot |P_{3}P_{4}|+|P_{1}P_{4}|\cdot |P_{2}P_{3}|}$

przyjmie wtedy postać

${\displaystyle \sin \left({\alpha _{3} \over 2}-{\alpha _{1} \over 2}\right)\sin \left({\alpha _{4} \over 2}-{\alpha _{2} \over 2}\right)=\sin \left({\alpha _{2} \over 2}-{\alpha _{1} \over 2}\right)\sin \left({\alpha _{4} \over 2}-{\alpha _{3} \over 2}\right)+\sin \left({\alpha _{4} \over 2}-{\alpha _{1} \over 2}\right)\sin \left({\alpha _{3} \over 2}-{\alpha _{2} \over 2}\right).}$

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={1 \over 2}\left(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right)}$.

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co będzie dowodziło jej prawdziwości.

Rozpatrzmy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ wpisany w okrąg ${\displaystyle O}$^[5] [6]. Przekształćmy punkty ${\displaystyle B,C}$ oraz ${\displaystyle D}$ poprzez inwersję względem nowego okręgu ${\displaystyle O_{1}}$ o środku w punkcie ${\displaystyle A}$ i pewnym promieniu ${\displaystyle r}$. Jako, że punkty te leżą na okręgu ${\displaystyle O}$, który przechodzi przez środek okręgu ${\displaystyle O_{1}}$, ich obrazy ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D'}$będą współliniowe^[7]. Wynika z tego, że

${\displaystyle |B'C'|+|C'D'|=|B'D'|}$.

(4)

Zauważmy teraz, że jeśli dwa punkty ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ zostaną przekształcone przez inwersję względem okręgu o promieniu ${\displaystyle r}$, to zachodzić będzie^[6]

${\displaystyle |P'Q'|={\frac {r^{2}\cdot |PQ|}{|OP|\cdot |OQ|}}}$

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków ${\displaystyle |B'C'|}$, ${\displaystyle |C'D'|}$ i ${\displaystyle |D'B'|}$ otrzymamy

${\displaystyle {\begin{aligned}|B'C'|&={\frac {r^{2}\cdot |BC|}{|AB|\cdot |AC|}},\\|C'D'|&={\frac {r^{2}\cdot |CD|}{|AC|\cdot |AD|}},\\|D'B'|&={\frac {r^{2}\cdot |DB|}{|AD|\cdot |AB|}}.\end{aligned}}}$

(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4), otrzymamy

${\displaystyle {\frac {|BC|}{|AB|\cdot |AC|}}+{\frac {|CD|}{|AC|\cdot |AD|}}={\frac {|DB|}{|AD|\cdot |AB|}},}$

z której po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wynika teza.

Powyższe rozumowanie jest jednocześnie dowodem twierdzenia odwrotnego: jeśli założymy, że w czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ zachodzi zależność (1) i ponownie wykonamy inwersję punktów ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ względem pewnego okręgu o środku w ${\displaystyle A}$, to otrzymamy równość (4), z której wynika, że punkty ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D'}$ są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez ${\displaystyle A}$, co czyni je współokręgowymi.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie^[8][6]:

Jeśli ${\displaystyle ABCD}$ jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,}$

(10)

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ jest wpisany w okręgu.

Dowód powyższej nierówności opiera się o inwersję^[5]  i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako, że punkty ${\displaystyle B,C}$ i ${\displaystyle D}$ nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy niekoniecznie współliniowe punkty ${\displaystyle B',C'}$ i ${\displaystyle D'}$. Punkty te będą spełniały nierówność trójkąta

${\displaystyle |B'C'|+|C'D'|\geq |B'D'|}$,

przy czym równość w niej zachodzić będzie, gdy punkty te będą współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach otrzymamy nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, zachodzącego w dowolnym czworokącie ${\displaystyle ABCD}$^[3]:

${\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}-2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|\cos(\angle A+\angle C)}$

Gdy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ jest wpisany w okrąg, to suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

${\displaystyle |AC|^{2}\cdot |BD|^{2}=|AB|^{2}\cdot |CD|^{2}+|BC|^{2}\cdot |AD|^{2}+2|AB|\cdot |CD|\cdot |BC|\cdot |AD|}$

i ostatecznie ${\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|}$.

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

• A. Bogomolny: Ptolemy by Inversion from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

• Uniwersytet Wiedeński - łacińskie tłumaczenie z 1515 roku.
• Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie - niemieckie tłumaczenie 1912 roku.

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.

• H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.

• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.

• Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.

• Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X

• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.{{Cytuj książkę}} Nieznane pola: "adres link".