ယူကလစ်ဒ် စပေ့စ်

စပေ့စ် (ခေါ်) နေရာရပ်ဝန်းသဘော တစ်ခု၏ အတိုင်းဆ (အကွာအဝေး တွက်ထုတ်မှု သဘောတရား)က $${\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$ ဤသို့ ဖြစ်ပြီး ပမာဏရင်း (norm) ရှာဖွေနည်း^[၁]က $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.}$$ ဤသို့ ဖြစ်နေလျှင် ၎င်းစပေ့စ်ကို ယူကလစ်ဒ် စပေ့စ် (အင်္ဂလိပ်: Euclidean space; ယူကလစ်ဒီးယန်း စပေ့စ်) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၌ အခြေခံကျလှသော အာကာသဖွဲ့စည်းပုံ ဖြစ်ပြီး (အချိန်မပါဘဲ) တပြန့်ညီ နေရာသဘောကို ဖော်ပြရာ၌ အသုံးဝင်သည်၊ အသုံးများသည်။ အကွာအဝေး ရှာလိုလျှင် ချအမှတ် (coordiante)ရှိ အလျားအပိုင်းခွဲများကို ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်ဖြင့် တွက်ထုတ်ရသော ရိုးရှင်းသည့် စပေ့စ် (နေရာသဘော) ဖြစ်သည်။

ဟစ်လ်ဘာ့တ် စပေ့စ် (en:Hilbert space) ကဲ့သို့ ကိန်းထွေးများ မပါဝင်ဘဲ ယူကလစ်ဒ် စပေ့စ်အတွက် ချအမှတ်(coordinate) အဖြစ် သုံးသော ကိန်းလုံးတခုချင်းစီတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များချည်း ဖြစ်သဖြင့် တစ်ခါတရံတွင် ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် n ^[၂] ရှိသော ယူကလစ်ဒ် စပေ့စ်ကို ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ညွှန်းသည်။

ထူးရှားနှိုင်းရသီအိုရီသုံး မင်ခေါ့ဗ်ရှကီး စပေ့စ်^{(ဂျာမန်အမည်ဖြစ်သဖြင့် ဂျာမန်အသံထွက်ကို ယူလျက်)} (Minkowski space) သည် ယူကလစ်ဒ်စပေ့စ် ကဲ့သို့ပင် တပြန့်ညီမှု (flatness) ရှိသည်။ သို့သော် မင်ခေါ့ဗ်ရှကီးစပေ့စ်၏ အတိုင်းဆမှာ ကွဲပြားသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည့် ယူကလစ်ဒ်စပေ့စ်မဟုတ် (non-Euclidean)။ ယူကလစ်ဒ်စပေ့စ်၌ တာသေဝန်း (ball) မှာ တိုင်းကြောင်း၃ခုတွင် စက်လုံး၊ တိုင်းကြောင်း၂ခုတွင် စက်ဝိုင်း ဖြစ်သည်။ မင်ခေါ့ဗ်ရှကီး စပေ့စ်၌မူ တိုင်းကြောင်း၂ခုတွင် တာသေဝန်းများက ဟိုက်ပါဘိုလာ (hyperbola)ပုံ ဖော်ဆောင်သည်။^[၃]

တပြန့်ညီမှု (flatness) မရှိတော့ဘဲ တာယွင်းမှု (curvature) ရှိသွားသည့် စပေ့စ် (နေရာသဘော)တိုင်းသည် ယူလစ်ဒ်စပေ့စ် မဟုတ် (non-Euclidean) ဟု ဆိုနိုင်သည်။