Евклид фәзасы

Евклид фәзасы — Евклидча геометриянең аксиомалары белән тасвирлана торган 3-үлчәмле фәза яки гомуми мәгънәдә: уңай тамгалы скаляр тапкырчыгыш билгеләнгән фәза.

${\displaystyle n}$-үлчәмле Евклид фәзасы ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n},}$ дип билгеләнә, шулай ук ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ билгесе кулланыла.

Евклид фәзасы уңай чын скаляр тапкырчыгыш барлыгы белән билгеләнә, шуннан скаляр тапкырчыгышның үзлекләре бөтен фәзага хас:

• Бисызыклылык: һәр векторлар ${\displaystyle u,v,w}$ һәм һәр чын саннар ${\displaystyle a,b}$ өчен ${\displaystyle \quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)}$ һәм ${\displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);}$
• Симметриялелек: һәр векторлар ${\displaystyle u,v}$ өчен ${\displaystyle \quad (u,v)=(v,u);}$
• Уңай тамгалы итеп билгеләнү: һәр ${\displaystyle u}$ өчен ${\displaystyle \quad (u,u)\geqslant 0,}$ һәм ${\displaystyle (u,u)=0\Rightarrow u=0.}$

Евклид фәзасы мисалы — ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ координатлар фәзасы түбәндәге билгеләнгән скаляр тапкырчыгыш белән:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Евклид фәзасында ${\displaystyle u}$ векторы озынлыгы болай табыла: ${\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}}$ һәм ${\displaystyle |u|}$ итеп билгеләнә.

Евклид фәзасында ${\displaystyle u}$ һәм ${\displaystyle v}$ векторлары арасындагы почмак болай билгеләнә:

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).}$

Коши-Буняковский тигезсезлегеннән ${\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.}$ чыгарыла, шуңа күрә ${\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)}$ билгеләнә.

${\displaystyle x}$ һәм ${\displaystyle y}$ элементлары арасындагы ераклык болай билгеләнә:

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Евклид фәзалары мисаллары:

• ${\displaystyle 1}$ үлчәмле ${\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}$ (чын туры сызык)
• ${\displaystyle 2}$ үлчәмле ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ (евклид яссылыгы)
• ${\displaystyle 3}$ үлчәмле ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ (3-үлчәмле евклид фәзасы)

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.