BAB 2.

TEORI POTENSIAL
INKOMPRESIBEL
2.1. Garis Aliran, Stream Function, Sirkulasi, Vortisitas
Dalam bab ini akan dibahas teori yang mengawali ilmu termodinamika,
yaitu tentang medan atau aliran potensial. Mula-mula akan dikenalkan garis
aliran atau streamline, kemudian konsep stream function yang merupakan
pernyataan lain dari Hukum kekekalan massa fluida incompressible. ditambah
dengan konsep sirkulasi dan vortisitas. Vortisitas adalah komponen pusar dari
medan aliran. Di sini di definisikan bahwa medan potensial adalah medan
dengan vorisitas nol atau ir-rotasional, atau medan aliran dengan komponen
pusar. Ternyata hanya beberapa jenis aliran elementer yang termasuk dalam
medan potensial, yaitu aliran merata, source/sink, free-vortex dan doublet, yang
dari merekalah akan tersusun teori-teori terapan seperti conformal mapping,
metoda panel, teori airfoil Glauert dan sebagainya.
Tidak kalah penting di sini peran "Teori fungsi variabel kompleks", yang
masih diperkenalkan dalam operasi paling sederhana untuk memberikan
contoh-contoh pemakaiannya yang menawarkan kernudahan.
1)

Teori ini meliputi tinjauan

Aliran incompressible

Mengabaikan viskositas

2- dimensional

Kinematika fluida : deformasi, kecepatan, percepatan fluida.

Metoda Lagrangian

Metoda Eularian

2)

Definisi FLUX adalah kecepatan volume dari aliran lewat permukaan yang
ditinjau dapat dinyatakan pada :
3-dimensi

2- dimensi

fluks =
fluks =

3)

Persamaan Kontinuitas (HKM)

Dalam suatu sistem aliran, Aliran massa
+

masuk
keluar

arah x :
:
:

Keluar dari elemen volumetrik neto =

arah y

arah z

(arah x)

aliran massa neto keluar dari V =

(

)+

masa fluida dalam elemen :

Perubahan masa fluida

)+

Jadi dengan demikian diperoleh persamaan kontinuitas di bawah ini

A.

Hukum Kekekalan masa (kontinuitas) :

Aliran tak mantap, tak mampat

Tiga dimensional
+

B.

Aliran mantap, compressible,

)+

)+

)+

=0:

3-dimensional
(

)+

)=0

)=0

C.

Aliran incompressible : =
3-dimensional
+

=0

2-dimensional

4)

Kartensian

Kutub (polar) :

Persamaan Garis Aliran

a.

+
+

=0
+

=0

Cartesian :
q = veltor kecepatan yang menyinggung garis aliran y(x)
q = u + v
persamaan garis aliran : y = y(x)
kemiringan (slope)

y = y(x)
=

b.

Polar

r = r ()

Kemiringan di P :
=

CONTOH :
a.

Aliran merata :
u = U = kons tan
v = V = kons tan
+

=0

persamaan garis aliran :

tan

tan

=0

b.

(i) V = 0

y = konstan

(ii) U = 0

x = konstan

u=x
v = -y
a.

b.

=0

In y + In x = In konstan

=0

xy = konstan
persamaan garis adalah :
c.

source & sink :

r = x + y

persamaan garis aliran :

r = 0 ; titik singular

m = strength of the source

Source

kalau tanda dibalik m =negativ sink

d.

forced - vortex :

persamaan garis aliran

rotasi benda padat

e.

free-vortex :

r2 = x2 +y2

sirkulasi

k>0

persamaan garis aliran

q0 ;

q ;

r0

STREAM FUNCTION:

(x, y)

flux yang melewati garis

Fluks antara A B(B B)

a.

Cartensian :

HKM (kontinuitas)

definisi stream function (11)

Menghapus keharusan untuk meyakinkan bahwa aliran adalah :

b.

Polar :

2-dimensi

Incompressible

CONTOH :
a.

Aliran merata :

b.

Source di O :

Stream line = konstan.

c.

Free-vortex di O :

Logarithmis
Garis aliran = garis r konstan.
d.

Forced-vortex pusat di O :

Kuadratis

PRINSIP SUPERPOSISI :
Aliran 1

Aliran 2

Kalau

Maka

CONTOH :
a.

Pasangan SOURCE-SINK :

- Source & sink sama kuat (m) di sumbu x berjarak a dari O

- Lingkaran-Iingkaran yang lewat m berpusat di sumbu y

b.

Doublet = pasangan SOURCES-SINK dengan

- Bila a kecil
konstan

ditahan dengan

- Iingkaran-Iingkaran yang lewat

O berpusat di sumbu y.

SIRKULASI

adalah

integral

garis

daripada

komponen

tangensial

mengelilingi kurva tertutup C (berlawanan dengan jarum jam.

VORTICITY :

vorticity

vektor yang arahnya bidang x-y

sebagai gambaran :

vorticity ROTASI
Aliran Irrotasional, Potensial Kecepatan

(singgung)

kecepatan

ALIRAN IRROTATIONAL :
Suatu medan yang bebas dari VORTICITY
Vorticity ()= 0 dimana-mana dalam medan tersebut

Contoh
a.

Aliran merata :

b.

Source atau sink (disekeliling)

c.

Free vortex (disekeliling)

Sirkulasi

Contoh :
a.

Aliran shear merata :

Vorticity 0, bukan irrotational

Aliran rotational
Walaupun kecepatan sejajar
b.

Forced vortex :
memang seperti benda padat berputar
dimanapun

Aliran rotational

Contoh : aliran irrotational

Aliran merata
Source, sink, doublet
Free vortex
VELOCITY POTENTIAL ()

tak tergantung lintasan (ACB atau AC'B)

berharga tunggal
berharga tunggal
(single valued)

= potensial kecepatan (velocity potential)

selain dititik-titik singular

Agar single-valued = 0, aliran irrotational

Aliran = POTENTIAL FLOW = single-valued
Kalau tidak single-valued (multi-valued) :
- Tergantung pada lintasan yang dipilih
RINGKASAN :
Aliran potential (pengaruh viscos diabaikan)
Aliran yang invicid dan irrational ( =
Syarat :

= 0)

= vel. Potential single-valued

q = u + v

atau :

syarat

irrotational

Aliran incompressible (2-dimensi) :

definisi Stream function :

irrotational

TEORI FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS :

Suatu fungsi
adalah analytic ( single-value) dalam suatu domain D bila dan ada
dan memenuhi persamaan Cauhy-Riemann

Yang akibatnya (x,y) dan (x, y) adalah harmonik dalam D artinya

Polar :

CONTOH :
a)

Aliran merata : u=U,v=V

a. Source di O :

b. Free-vortex di 0 :

c. Doublet dengan kekuatan = zam di O

2.2. Pemakaian Aljabar Bilangan Kompleks

Karena

vel. Potential () dan stream function ( )

Untuk aliran potential tak mampat
(

= 0 dan )

Dapat menyusun fungsi analitis w(z)

POTENSIAL
KOMPLEKS
Dalam suatu domain D dalam bidang komplex.

Analisa dan
bisa menggunakan analisa variable komplek.

CONTOH : (potential kompleks)

a. Aliran merata :

b. Source di O :

c. Free-vortex di O :

d. Doublet di O :

Kalau w(z) analitis (dalam suatu domain)

CONTOH :

a. Aliran merata

b. Source di O :

c. Free-vortex di O :

d. Doublet di O :

Aliran merata melewati benda :

Aliran ideal (inviscid)

Sama dengan benda berjalan dengan kecepatan konstan melewati fluida diam.
Simulasi diperoleh dengan kombinasi aliran merata + (doublet, source, sink,
vortex)

Batasan (syarat-syarat) :
a) Jauh dari benda, pengaruh adanya tak dirasa
b) Tak ada aliran menembus batas benda
c) Tak ada "singularity" dalam daerah fluida
d) Jumlah "source" dan "sink" dalam benda = nol.
Contoh-contoh :
a.

Half body dari Rankine

b.

Rankine oval

ALIRAN LEWAT SILINDER :

Potential kompleks :

a.

Kekuatan doublet menentukan besarnya silinder : (terhadapV)

b. Usahakan lingkaran r = a suatu garis aliran

c.

Stream function pada lingkaran r = a

Misal :

d. Potensial kompleks

Kekuatan doublet

dilingkaran r = a

2.3. ALIRAN LEWAT SILINDER DENGAN SIRKULASI

Potential Kompleks:
Dengan adanya tambahan sirkulasi (vortex), tidak nol lagi di lingkaran r =a, agar
tetap nol, dicari harga c.

dilingkaran

agar di r = a
potensial kompleks :

2.4

THEOREMA BLASIUS
Misal w(z) = potensial kompleks aliran dua dimensi invicid lewat benda. X dan Y
adalah komponen gays dalam arah x dan y. M adalah momen berlawanan
dengan arah jarum jam di z = 0, maka

C : kurva yang merupakan batas benda.

Contoh :
Artinya : X = 0, tidak ada drag di lembert paradox Y=

lift hasil dari Kutt

Joukowski. M = 0, lift ,
bekerja melalui gars lewat 0.
2.5

CONFORMAL MAPPING
Fungsi transformasi
Catatan :

potensial kompleks dibidang z adalah juga potensial kompleks dibidang

sources, sinks dan vortex tertransformasi ke sources, sinks dan vortex dengan

kecepatan kompleks W tertransformasi mengikuti mapping function di atas.

potential kecepatan (W)

kekuatan yang sama

2.6

TRANSFORMASI JOUKOWSKI
Jauh dari benda aliran "free stream"

Modified Joukowski Transformation :

Kelemahan "Joukowski transformation" :
sudut pada "trailing edge" (TE) harus nol (cusped).
Modifikasi :

untuk n=2 transformasi Joukowski.

Mirip dengan Joukowski tapi sudut "trailing edge" (TE) tertentu.