Interpolasi Dan Aproksimasi

BAB 5
Interpolasi dan Aproksimasi

Interpolasi merupakan proses penentuan dan pengevaluasian suatu fungsi yang grafiknya
melalui sejumlah titik tertentu. Sebaliknya, pada aproksimasi grafik fungsi yang diperoleh
tidak harus melalui.
5.1 Interpolasi Polinomial
Fungsi polinomial berderajat n mempunyai bentuk
Untuk n = 1, diperoleh fungsi linear.

n = 2, diperoleh fungsi kuadratis.
n = 3, diperoleh fungsi kubik.
Bila diberikan dua buah titik (x0,y0) dan (x1,y1) dengan x0x1, maka fungsi linear yang melalui
kedua titik tersebut adalah
Fungsi ini disebut fungsi interpotasi antara titik (x0,y0) dan (x1,y1).
Secara umum, bila terdapat n+1 titik data (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) dengan semua xi berbeda,
maka fungsi interpolasinya adalah
dengan
5.2
Interpotasi beda terbagi Newton

Bila x1, x2 dan x3 adalah empat bilangan yang berbeda, maka didefinisikan : beda
terbagi orde satu (first order devided difference) adalah
beda terbagi orde dua (second order devided difference) adalah
Universitas Gadjah Mada
beda terbagi orde tiga (thirth order devided difference) adalah
Andaikan Pn(x) adalah polinomial yang menginterpolasi f(xi) pada titik xi,untuk i = 0, 1, 2, ...,
n, yang berarti
derajat Pn(x) n dan Pn(xi)=f(xi), 1.= 0,1, .............. ,n
dengan menggunakan definisi beda terbagi, maka :
Secara umum dikatakan sebagai rumus beda terbagi Newton :
5.3
Interpolasi Spline
Cara paling sederhana melakukan interpolasi adalah dengan membuat segmen-
segmen garis yang menghubungkan titik-titik interpolasi. Cara ini disebut interpolasi linear
sepotong-sepotong. Namun demikian hasil interpolasi ini tidak mulus.
Interpolasi Spline menghendaki kurva yang diperoleh mempunyai pola seperti
interpolasi linear dan kurva tersebut mulus. Untuk itu disyaratkan
I. Derivatif ke satu dan derivatif ke dua dari fungsi interpolasi tersebut kontinyu.
II.
Harga derivatif ke satu tidak jauh berbeda antar titik interpolasi (Harga derivatif ke dua
sekecil mungkin)
Misal terdapat n buah titik interpolasi (xi, yi),i=1, ... ,n, x1 < x2 < ... < xn dan a = x1, b = xn.
Fungsi interpolasi spline pada titik-titik ini adalah s(x) yang mempunyai sifat :
I.
s(x) adalah polinomial berderajat 3 pada tiap interval [xj-1,xj] , untuk j=2,3, ..., n
II.
s(x), s'(x) dan s(x) bersifat kontinyu untuk a x b
III. s'(x1)=s'(xn)=0
Fungsi interpolasi spline interval xj-1 x xj berbentuk :
dengan Mi = s" (xi)

Penyederhanaan fungsi tersebut menghasilkan sistem persamaan linear
untuk j = 2,3,...,n-1.
Disamping itu, M1 = Mn = 0 .
Sebagai contoh, akan ditentukan fungsi spline yang menginterpolasi data-data
Dari titik-titik tersebut dihasilkan sistem persamaan linear :
Selanjutnya diperoleh M2 =
M3 = 0
Dengan demikian fungsi interpolasinya adalah :
5.4. Pencocokan kurva dengan regresi linear

Dalam pencocokan suatu fungsi pada data-data hasil pengukuran, semakin banyak
data maka kecermatan kurva yang dicocokkan semakin tinggi. Pendekatan terbaik adalah
meninjau fungsi dengan sedikit parameter bebas dan menentukan nilai parameter tersebut
sedemikian rupa sehingga simpangan fungsi dari titik-titik data adalah sekecil mungkin.
Fungsi linear didefinisikan sebagai
dengan a dan b adalah konstanta yang akan ditentukan.

Simpangan garis dari masing-masing titik data didefinisikan oleh
dengan n adalah banyak titik data.

Total kuadrat simpangan
Akan dicari a dan b sehingga D minimal. Nilai D akan minimal jika derivatif parsial D
terhadap a dan b adalah nol.
Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh
5.5
Pencocokan kurva dengan polinom
Suatu polinom berderajat m dituliskan sebagai
Prinsip kuadrat terkecil pada regresi linear dapat digunakan pada pencocokan dengan kurva
polinom ini. Supaya D minimum maka derivatif parsial D terhadap kofisien-koefisien
a0, a1, a2, ...., an haruslah sama dengan nol.
Setelah dilakukan penyederhanaan-penyederhanaan, diperoleh
Umpan balik
1.
Suatu alat memberikan respon terhadap masukan yang diberikan kepadanya sebagai
berikut :
input
output
0,5
1,0
2,0
0,47 9
0,84 1
0,90 9
Andaikan alat tersebut sebagai sebuah fungsi, gunakan interpolasi untuk menentukan
fungsi tersebut. Selanjutnya perkirakan output jika diberikan input Bandingkan untuk
berbagai macam interpolasi.
I.
Diberikan data-data sebagai berikut :

x
0,0
0,2
0,4
0,7
0,9
1,0
1,016
0,768
0,648
0,401
0,272
0,193
entukan fungsi regresi potinom orde 2 untuk data-data tersebut. Selanjutnya

gunakan untuk memperkirakan nilai y bila x = 0,5

Interpolasi Dan Aproksimasi

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Interpolasi Dan Aproksimasi

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Deskripsi Asli:

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

Interpolasi Dan Aproksimasi

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

BAB 5

Interpolasi dan Aproksimasi

Untuk n = 1, diperoleh fungsi linear.

Interpotasi beda terbagi Newton

terbagi orde satu (first order devided difference) adalah

beda terbagi orde dua (second order devided difference) adalah

Universitas Gadjah Mada

beda terbagi orde tiga (thirth order devided difference) adalah

Secara umum dikatakan sebagai rumus beda terbagi Newton :

s(x), s'(x) dan s(x) bersifat kontinyu untuk a x b

dengan Mi = s" (xi)

Penyederhanaan fungsi tersebut menghasilkan sistem persamaan linear

Dari titik-titik tersebut dihasilkan sistem persamaan linear :

Dengan demikian fungsi interpolasinya adalah :

5.4. Pencocokan kurva dengan regresi linear

dengan a dan b adalah konstanta yang akan ditentukan.

dengan n adalah banyak titik data.

Universitas Gadjah Mada

Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh

Pencocokan kurva dengan polinom

Suatu polinom berderajat m dituliskan sebagai

Setelah dilakukan penyederhanaan-penyederhanaan, diperoleh

Universitas Gadjah Mada

Diberikan data-data sebagai berikut :

entukan fungsi regresi potinom orde 2 untuk data-data tersebut. Selanjutnya

Universitas Gadjah Mada

Anda mungkin juga menyukai