MTD Spline
MTD Spline
MTD Spline
Oleh:
Retno Agus Pratiwi
12/333239/TK/39671
Penjelasan
Fungsi spline merupakan fungsi yang digunakan untuk membentuk kurva melalui
potongan-potongan polinomial derajat n. Bagian-bagian yang dihubungkan oleh fungsi ini
tiap belokannya dinamai knots dan melengkapi kondisi yang kontinyu untuk fungsi itu sendiri
dan fungsi derivatif n-1. Sehingga fungsi spline dari derajat n adalah sebuah fungsi kontinyu
dengan derivatif n-1 yang kontinyu.
Fungsi spline didefinisikan sebagai potongan-potongan polinomial; polinomial
(semua derajat n) bergabung dalam knots ( j ; j= 1, 2, ... , m) mengikuti kondisi kontinyuitas
untuk fungsinya sendiri dan derivatif n-1 yang pertama darinya. Umumnya, n sama dengan
tiga; sebuah fungsi spline kubik di definisikan sebagai :
y=S ( x )=P j ( x )=a j +b j x +c j x 2 +d j x 3
j1 x j ;( 0= ; m +1= )
k
(1)
menunjukkan derivatif ke-k dari bagian polinomial ke-j). Sehingga, parameter yang
j ; j=1, 2, , m.
m+ n+1.
Page 1
membuat fungsi spline yang menyesuaikan data menjadi masalah nonlinear dan selanjutnya
tidak dapat diatasi (Amos and Slater, 1969).
Definisi dari fungsi spline dalam konteks polinomial (persamaan 1) sesuai apabila
koefisien polinomial diketahui. Bagaimanapun, dalam proses perhitungan dari penyesuaian
kurva hitung kuadrat terkecil, mudah untuk mendefinisikan spline dalam konteks B-Splines
(Schoenberg 1969, Greville 1969, Powell 1967). Untuk spline kubik :
Gambar 1. Fungsi spline kubik (kurva solid) dengan 2 knot, menyesuaikan titik-titik data (memotong).
x min
dan
+
(x k )
x max
( x k )
atau jika
tidak maka sama dengan nol. Berdasarkan definisi mereka (persamaan 2 sampai 4) B-splines
memenuhi
Page 2
Persamaan 2 sampai 4 memiliki makna bahwa jumlah dari parameter yang tidak
diketahui sama dengan jumlah dari parameter bebas dalam fungsi spline. Sehingga,
penyesuaian fungsi spline dengan menggunakan persamaan (2) adalah problem linear,
dimana posisi dari knot tertentu. Selain itu, persamaan (5) membuat moment matrix (X'X)
dalam hitung kuadrat terkecil menyesuaikan heptadiagonal (matriks identitas 7x7) yang mana
menguntungkan ketika jumlah knot sangatlah besar (Powell, 1967).
Perhitungan koefisien polinomial dalam persamaan (1) dari koefisien B-Spline dalam
persamaan (2) dapat dibuat dengan mudah melalui identifikasi fungsi dan nilai derivatif dari
knot, misalnya. Sistem persamaan berikut dapat diselesaikan dengan berulang untuk
dj,cj,bj
dan
aj
Ada 3 kriteria yang harus diperhatikan dalam membentuk spline dengan basis fungsi
B-spline yaitu menentukan order untuk model, banyaknya knot, dan lokasi penempatan knot.
Order untuk model dapat ditentukan berdasarkan pola umum yang terjadi pada data,
sedangkan banyaknya knot dan lokasi knot ditentukan berdasarkan perubahan pola di daerah
tertentu pada kurva (Adi, 2005). Knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat
perubahan perilaku pola pada interval yang berlainan (Andrianto, 2009). Untuk memperoleh
model B-spline yang optimal (terbaik) maka perlu dipilih lokasi knot yang optimal pula. Ada
beberapa kriteria yang dapat digunakan dalam pemilihan knot yang optimal yaitu fungsi
resiko prediksi (P), Cross Validation (CV), dan Generalized Cross Validation (GCV).
Interpolasi Spline menghendaki kurva yang diperoleh mempunyai pola seperti interpolasi
linear dan kurva tersebut mulus. Untuk itu disyaratkan :
1. Derivatif ke satu dan derivatif ke dua dari fungsi interpolasi tersebut kontinyu.
2. Harga derivatif ke satu tidak jauh berbeda antar titik interpolasi (Harga derivatif ke
dua sekecil mungkin)
Page 3
S0 ( x ) ; x [x 1 , x 2 ]
Sx = S1 ( x ) ; x [ x1 , x2 ]
Sn1 ( x ) ; x [x n1 , x n ]
y i+1 y i
x i+1x i
Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i , y i ) dan
untuk sembarang
mi=
x [ x i , x +1i ]
x ,(S ( x ) )
, sehingga
S i ( x ) y i
xx i
yang memberikan
S i ( x )= y i+ mi ( xx i )
y i+
y i +1 y i
( xx i )
x i +1x i
Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak didefinisikan sepenuhnya oleh nilainilai di
xi
S i (x)=ai x2 +b i x +c i
Page 4
x1
x2
xn
yy
y1
y2
yn
x i , i=0,1,2, , n1
yaitu:
S ' i1 ( x i )=S' i (x i)
Jadi dari sini dipunyai n1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3 n1
persamaan, tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan.
3. Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ' ( x 0 ) =0 atau S ( {x} rsub {0} )=0
Sekarang dimisalkan
'
'
z i=S i ( x i ) . karena S i ( xi ) = y i , S i ( x i )=z i , dan
z i+1z i
2 ( x i+1x i )
2
( xx i ) + z i ( xxi ) + y i
x=x i+1
Page 5
diperoleh
y i+1=S i ( x )=
y i+1 yi =
zi +1z i
2
( xx i ) + z i ( xx i ) + y i
2 ( x i +1x i)
z i+1 zi
( xx i) + zi ( xx i )
2
y i+1 yi =
z i+1 dari z i
z i+1 zi
( xx i)
2
y i +1 y i
z i
xi +1x i
Spline kubik
Diketahui suatu fungsi
sejumlah titik data
f (x)
S (x)
adalah suatu
potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang
bersebelahan, dengan ketentuan, untuk i=0,1,2, , n1
(S0) Potongan fungsi pada subinterval
3
[ x i , x i+1 ] ,i=0,1,2, , n1
S i ( x )=ai ( xx i) + bi ( xxi ) + ci ( xx i ) +d i
(S1) Pada setiap titik data
x=x i , i=0,1, , n
S ( xi ) =f ( xi )
(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam:
S i ( xi +1 )=Si +1 ( x i+1 ) , i=0,1,2, , n2
(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama:
S ' i ( xi +1 )=S ' i +1 ( x i+1 ) , i=0,1,2, , n2
(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama:
S } rsub {i} left ({x} rsub {i+1} right ) = {Si +1 ( x i+1 ) , i=0,1,2, , n2
(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas
x0
dan
xn
dipenuhi:
S ( x 0 )=S left ({x} rsub {n} right ) =0
S ' ( x 0 ) =f ' ( x 0 ) dan S ' ( x n ) =f ' (x n ) (disebut batas apitan/ clamped boundary)
d i= y i , c i =
d i+1d i hi
1
( 2 bi +b i ) , ai=
( b b ) C .3 .1
hi
3
3 hi i+1 i
Page 6
Daftar Pustaka
Page 7
Page 8