School Work > Essays & Theses">
Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Definisi
Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor
eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
Ax = x
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor
eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya
kembali Ax = x sebagai Ax = Ix
(I – A)x = 0
Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika
Persamaan karakteristik
1 0 3 2 3 2
I – A = - =
0 1 1 0 1
det(I – A) = (-3) - (-2) = 0
= 2 - 3 + 2 = 0
1 = 2, 2 = 1
Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1
Ruang vektor:
Jika = 2 diperoleh:
Cara Maple
> with(LinearAlgebra):
Mendefinisikan matriks
> A := matrix(2,2,[3,2,-1,0]);
é 3 2ù
A := ê ú
ë K1 0û
Persamaan Karakteristik
> det(lambda*(LinearAlgebra:-IdentityMatrix(2,2))-A);
K3 l C l 2 C 2
Nilai eigen
> eigenvalues(A);
2, 1
Vektor eigen
> eigenvectors(A);
[ 1, 1, { [ K1 1 ] } ] , [ 2, 1, { [ K2 1 ] } ]
Untuk diperoleh vektor eigen = [-2, 1] dan diperoleh vektor eigen = [-
1,1].
Diagonalisasi
Definisi:
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah
matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks
diagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A
Contoh:
Tentukan sebuah matriks P yang mendiagonalisasi
Penyelesaian:
Persamaan karakteristiknya
> restart;
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[0,0,-2,1,2,1,1,0,3]);
é0 0 K2 ù
ê ú
A := ê 1 2 1ú
ê ú
ë1 0 3û
> det((lambda*LinearAlgebra:-IdentityMatrix(3,3)-A));
8 l K 5 l2 C l3 K 4
> eigenvalues(A);
1, 2, 2
> eigenvectors(A);
[ 1, 1, { [ K2 1 1 ] } ] , [ 2,
2, { [ K1 0 1 ] , [ 0 1 0 ] } ]
> P:=matrix(3,3,[-2,-1,0,1,0,1,1,1,0]);
é K2 K1 0ù
ê ú
P := ê 1 0 1ú
ê ú
ë 1 1 0û
> a:=evalm(inverse(P));
é K1 0 K1 ù
ê ú
a := ê 1 0 2ú
ê ú
ë 1 1 1û
> b:=evalm(A&*P);
é K2 K2 0ù
ê ú
b := ê 1 0 2ú
ê ú
ë 1 2 0û
> evalm(a&*b);
é1 0 0ù
ê ú
ê0 2 0ú
ê ú
ë0 0 2û
Diagonalisasi Ortogonal
Definisi:
Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka:
(a) Nilai eigen matriks A semuanya adalah bilangan real.
(b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal.
Contoh soal:
Tentukan sebuah matriks Ortogonal P yang mendiagonalisasi
Penyelesaian: