Pertemuan 4 Integral Riemann Dan Kriteria Riemann Untuk Keterintegrallan - Titin Suryani 542310003

HALAMAN SA MPUL
MATERI PERTEMUAN 4
MATA KULIAH
ANALISIS REAL LANJUT
TIM PENGAJAR
Dr. MUCHTADI, M. Pd
Dr. SANDIE, M. Pd
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillah kita panjatkan kehadirat Allah SWT, dimana Materi Ajar Mata
Kuliah Analisis Real Lanjut untuk pertemuan 4 selesai penyusunannya. Materi
ini akan digunakan untuk belajar para mahasiswa semester 2 Program Studi
Magister Pendidikan Matematika. Adapun materi kuliah ini terdiri dari Integral
Riemann, dan Kriteria Integral Riemann untuk Keintegralan; soal latihan; dan
petunjuk atau kunci soal latihan. Untuk dua sub materi pertama dilengkapi
dengan soal latihan dan penyelesaiannya.
Materi untuk perkuliahan mata kuliah analisis real lanjut akan secara rutin
disiapkan di tiap pertemuan yaitu pertemuan 1 – 7, 9 – 15. Sementara
pertemuan 8 merupakan pelaksanaan mid semester, pertemuan 16 merupakan
ujian akhir (UAS). Untuk pelaksanaan perkuliahan, akan dilakukan dengan teknis
unjuk kemampuan oleh para mahasiswa dan pembahasan permasalahan secara
bersama-sama. Sementara untuk penugasan akan diberikan dengan membuat
kembaran soal dan menyiapakan penyelesaian dari soal yang dibuat oleh
mahasiswa. Dan untuk memudahkan pelaksanaan penyelesaian tugas-tugas
tersebut para mahasiswa bisa dibantu dengan penggunaan berbagai software
Artifacial intelligent yang tersedia dan bisa mereka gunakan. Diantarnya
ChartGpt 4.0, Qustion AI, dan Bard. Para mahasiswa dipersilahkan untuk
berkreasi, dan tentunya harus tetap mengacu pada beberapa buku sumber yang
ada di daftar pustaka.
Demikian pengantar ini kami buat, semoga pelaksanaan perkuliahan MK
Analisis real lanjut memudahkan bagi para mahasiswa sekalian. Lebih kurang
mohon ma’af, kesempurnaan hanya milik Allah SWT….
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Penyusun, 05032024
2
DAFTAR ISI
No. Hal.
HALAMAN SAMPUL .............................................................................................................. 1

KATA PENGANTAR ............................................................................................................... 2
DAFTAR ISI .............................................................................................................................. 3
MATERI 4 Integral Riemann dan Kriteria Riemann untuk Keterintegrallan........................... 4
A. Integral Riemann............................................................................................................. 4
1. Definisi Integral Riemann sebagai Limit dari Jumlah Riemann ................................. 4
2. Sifat-sifat Integral Riemann ........................................................................................ 6
3. Teorema Fundamental Kalkulus dan Hubungannya dengan Integral Riemann ........ 10
4. Integrasi Fungsi Kontinu dan Fungsi Terpotong....................................................... 11
5. Integrasi Fungsi Tak Terbatas dan Fungsi Tak Terdefinisi pada Beberapa Titik ..... 13
6. Teorema Perbandingan dan Teorema Integral Cauchy ............................................. 15
B. Kriteria Riemann untuk Keintegrallan .......................................................................... 17
1. Memahami Definisi Integral Riemann dan Cara Menghitungnya ............................ 17
2. Konsep Partisi, Subinterval, dan Titik Sampel dalam Integral Riemann .................. 19
C. Bukti Matematika.......................................................................................................... 20
1. Teorema Chaucy ....................................................................................................... 20
2. Konsep Limit dan Konvergensi dalam Bukti Matematika ........................................ 22
D. Soal Latihan .................................................................................................................. 23
Daftar Pustaka .......................................................................................................................... 24
3
MATERI 4
Integral Riemann dan Kriteria Riemann
untuk Keterintegrallan
Pengalaman Belajar: Mampu menjelaskan Integral Riemann, Kriteria Riemann untuk
keterintegrallan.
A. Integral Riemann
1. Definisi Integral Riemann sebagai Limit dari Jumlah Riemann
4
5
2. Sifat-sifat Integral Riemann
6
Soal:
7
Jawaban Soal:
8
9
3. Teorema Fundamental Kalkulus dan Hubungannya dengan Integral
Riemann
10
4. Integrasi Fungsi Kontinu dan Fungsi Terpotong
11
12
5. Integrasi Fungsi Tak Terbatas dan Fungsi Tak Terdefinisi pada Beberapa
Titik
13
14
6. Teorema Perbandingan dan Teorema Integral Cauchy
15
16
B. Kriteria Riemann untuk Keintegrallan
1. Memahami Definisi Integral Riemann dan Cara Menghitungnya
17
18
2. Konsep Partisi, Subinterval, dan Titik Sampel dalam Integral Riemann
19
C. Bukti Matematika
1. Teorema Chaucy
20
21
2. Konsep Limit dan Konvergensi dalam Bukti Matematika
22
D. Soal Latihan
23
DAFTAR PUSTAKA
24
TUGAS PELENGKAP:
Membuat Kembaran Soal Dan Penyelesaian Soal 1-5 Hal 7-9

1. Misalkan Misalkan f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x^2, hitunglah:
a. ∫₀¹ (f(x) + 3g(x))dx
b. ∫₀¹ f(x)dx + ∫₀¹ g(x)dx
Bandingkan hasil kedua integral tersebut. Apakah sesuai dengan sifat linearitas integral
Riemann?
Penyelesaian:
a. ∫₀¹ (f(x) + 3g(x))dx

= ∫₀¹ (2x + 1 + 3x²)dx
= ∫₀¹ 2x dx + ∫₀¹ dx + ∫₀¹ 3x²dx
= x² + x + x³ |₀¹
= (1 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0)
=3
b. ∫₀¹ f(x)dx + ∫₀¹ g(x)dx
= ∫₀¹ (2x + 1)dx + ∫₀¹ x²dx
= x² + x + x³ |₀¹
= (1 + 1 + 1) - (0 + 0 + 0)
=3
Membandingkan hasil kedua integral tersebut:
Kita peroleh bahwa ∫₀¹ (f(x) + 3g(x))dx = ∫₀¹ f(x)dx + ∫₀¹ g(x)dx.
Kesimpulan:
Ya, hasil yang diperoleh sesuai dengan sifat linearitas integral Riemann. Sifat linearitas
menyatakan bahwa integral dari jumlah atau selisih fungsi-fungsi terintegrasi sama dengan
jumlah atau selisih dari integral masing-masing fungsi tersebut.
2. Misalkan h(x) = {1 untuk x < 1; x^2 untuk x >= 1}. Hitunglah:
a. ∫₀² h(x) dx
b. ∫₀¹ h(x) dx + ∫₁² h(x) dx
Bandingkan hasil kedua integral tersebut. Apakah sesuai dengan sifat aditif integral
Riemann?
25
Penyelesaian:
a. ∫₀² h(x) dx = ∫₀¹ (1)dx + ∫₁² (x^2)dx = x |₀¹ + (x^3)/3 |₁² = (1 - 0) + ((8 - 1)/3) = 9/3
b. ∫₀¹ h(x) dx + ∫₁² h(x) dx = (x |₀¹ + (x^3)/3 |₁²) = (1 - 0) + ((8 - 1)/3) = 9/3
Dari penyelesaian diperoleh bahwa ∫₀² h(x) dx = ∫₀¹ h(x) dx + ∫₁² h(x) dx. Ini sesuai dengan
sifat aditif integral Riemann yang menyatakan bahwa penjumlahan fungsi yang
terintegralkan sama dengan integral dari penjumlahan fungsi tersebut.
3. Kembaran soal no 3
26
27
Menyelesaikan Soal Latihan Hal 23 – 24 No. 1 – 10

Penyelesaian :
28
29
30
31
32
6. Kembaran soal 6
33
34
35
36
37
38

Pertemuan 4 Integral Riemann Dan Kriteria Riemann Untuk Keterintegrallan - Titin Suryani 542310003

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Pertemuan 4 Integral Riemann Dan Kriteria Riemann Untuk Keterintegrallan - Titin Suryani 542310003

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Judul Asli

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

Pertemuan 4 Integral Riemann Dan Kriteria Riemann Untuk Keterintegrallan - Titin Suryani 542310003

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

HALAMAN SA MPUL

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

HALAMAN SAMPUL .............................................................................................................. 1

1. Memahami Definisi Integral Riemann dan Cara Menghitungnya

Membuat Kembaran Soal Dan Penyelesaian Soal 1-5 Hal 7-9

a. ∫₀¹ (f(x) + 3g(x))dx

b. ∫₀¹ f(x)dx + ∫₀¹ g(x)dx

a. ∫₀¹ (f(x) + 3g(x))dx

Menyelesaikan Soal Latihan Hal 23 – 24 No. 1 – 10

Anda mungkin juga menyukai