Buku Ajar Geometri Transformasi

Model Guided Note Taking (GNT)

Oleh:
Dr. Lusi Rachmiazasi Masduki, M.Pd.
Pukky Tetralian Bantining Ngastiti, S.Pd.,M.Mat.
 Buku Ajar Geometri Transformasi
Model Guided Note Taking (GNT)
2021 I 00273
Penulis
Dr. Lusi Rachmiazasi Masduki, M.Pd.
Pukky Tetralian Bantining Ngastiti, S.Pd.,M.Mat.

ISBN : 978-623-6356-32-6

Editor
Dr.Abdul Rahman H.,M.T.,CT.,CHCP.

Desain Sampul
Lukas Liani, S.Psi
Layout
Asep Nugraha, S.Hum

Cetakan Pertama, Agustus 2021

v+ 177 hlm ; 14.8 x 21 cm
Penerbit
Yayasan Pendidikan dan Sosial
Indonesia Maju (YPSIM) Banten
Kavling Muntil Blok A. 12, Ciracas
Kota Serang Provinsi Banten
E-mail: Ypsimbanten@gmail.com
Website : www.ypsimbanten.com
WhatsApp: 0815 9516 818
ANGGOTA IKAPI No. 039/BANTEN/2020
(IKATAN PENERBIT INDONESIA)
Hak Cipta Dilindungi oleh Undang-undang Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian
atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun juga tanpa izin tertulis dari Penerbit
 KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT

atas rahmat dan hidayah -Nya atas terselesaikannya buku
ajar Geometri Transformasi dengan model guided note
taking. Tim peneliti memberikan masukan atas
permasalahan yang terjadi di dunia pendidikan dalam
bentuk pelaksanaan penelitian dan menghasilkan sebuah
buku ajar , Selanjutnya Tim peneliti telah merumuskan
masalah dan ternyata masih banyak mahasiswa mengalami
kesulitan terhadap mata kuliah yang berkaitan Geometri
salah satunya adalah mata kuliah Geometri Transformasi.

Kemudian dari hasil penelitian kami menunjukkan

bahwa rata -rata mahasiswa mengalami kesulitan dalam
pembuatan grafik dan kesulitan dalam mengerjakan soal
abstraksi berkaitan dengan geometri . Oleh karena itu Tim
peneliti membuat buku ajar Geometri Transformasi dengan
model guided note taking (GNT), sehingga mahasiswa bisa
lebih aktif dalam proses pembelajaran.

Demikianlah pengantar dari saya semoga

bermanfaat bagi kita semua, dan atas kritik dan sarannya
kami ucapkan banyak terima kasih. Aamiin

Semarang, 19 Juni 2021

Penulis

i
 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..........................................................iv
DAFTAR ISI........................................................................v
Modul 1: Relasi, Fungsi, dan Transformasi...................1
Kegiatan Belajar 1: Relasi dan Fungsi....................1
Rangkuman Relasi dan Fungsi...............................5
Kegiatan Belajar 2: Transformasi............................6
Rangkuman Transformasi.....................................12
Tes Formatif Modul 1............................................13
Modul 2: Isometri dan Pencerminan.............................16
Kegiatan Belajar 1: Isometri..................................16
Rangkuman Isometri.............................................21
Kegiatan Belajar 2: Pencerminan..........................22
Rangkuman Pencerminan.....................................27
Tes Formatif Modul 2............................................28
Modul 3: Setengah Putaran dan Ruas Garis Berarah. 31
Kegiatan Belajar 1: Setengah Putaran..................31
Rangkuman Setengah Putaran.............................36
Kegiatan Belajar 2: Ruas Garis Berarah...............37
Rangkuman Ruas Garis Berarah..........................41
Tes Formatif Modul 3............................................42
Modul 4: Translasi..........................................................46
Kegiatan Belajar 1: Translasi................................46
Rangkuman Translasi...........................................51

v
 Kegiatan Belajar 2: KetertutupanTranslasi............52
Rangkuman Ketertutupan Translasi......................54
Tes Formatif Modul 4............................................55
Modul 5: Rotasi...............................................................58
Kegiatan Belajar 1: Rotasi.....................................58
Rangkuman Rotasi................................................87
Kegiatan Belajar 2: Komposisi Rotasi...................88
Rangkuman Komposisi Rotasi............................103
Tes Formatif Modul 5..........................................104
Modul 6: Refleksi Geser dan Grup Isometri...............108
Kegiatan Belajar 1: Refleksi Geser.....................108
Rangkuman Refleksi Geser................................112
Kegiatan Belajar 2: Grup Isometri.......................113
Rangkuman Grup Isometri..................................117
Tes Formatif Modul 6..........................................118
Modul 7: Teorema Dasar Isometri...............................121
Kegiatan Belajar 1: Teorema Keunggulan dan
Teorema Dasar Isometri......................................121
Rangkuman Teorema Keunggulan dan Teorema
Dasar Isometri.....................................................129
Kegiatan Belajar 2: Kesamaan (Parity) dan
Persamaan Isometri............................................130
Rangkuman Kesamaan (Parity) dan Persamaan
Isometri................................................................142
Tes Formatif Modul 7..........................................144

v
Modul 8: Similaritas......................................................147
Kegiatan Belajar 1: Similaritas dan Dilatasi.........147
Rangkuman Similaritas dan Dilatasi....................156
Kegiatan Belajar 2: Teorema Similaritas dan
Persamaan Similaritas........................................157
Rangkuman Teorema Similaritas dan Persamaan
Similaritas............................................................162
Tes Formatif Modul 8..........................................163
Modul 9: Grup Simetri dan Grup Dihedral..................166
Kegiatan Belajar 1: Simetri dan Grup Simetri......166
Rangkuman Simetri dan Grup Simetri.................169
Kegiatan Belajar 2: Grup Dihedral dan Teorema
Leonardo.............................................................170
Rangkuman Grup Dihedral dan Teorema
Leonardo.............................................................173
Tes Formatif Modul 9..........................................174
Daftar Pustaka.........................................................175
Tentang Penulis...................................................... 177

v
 Modul 1
Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Kegiatan belajar 1 : Relasi dan Fungsi

A. Pengertian Relasi
Definisi 1.1:
Misalkan A dan B (.....................) tak kosong dan P(x,y)
kalimat matematika terbuka x  A y  A . Relasi R
ke
dari himpunan A ke B merupakan suatu himpunan
yang (...........................) pasangan terurut (a,b)
dengan
a  A dan b  B serta P (a,b) bernilai benar.
Contoh 1.1
A {z z  5, z suatu bilangan asli}, P(x,y) = x habis
membagi y. Relasi R dari himpunan A ke A yang
ditunjukkan oleh P(x,y) adalah {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}, seperti gambar 1.1 berikut.

Beberapa istilah yang perlu diingat dalam relasi dua

fungsi yaitu peta, prapeta, domain, dan range.

1
B. Macam-Macam Relasi
Definisi 1.2:
Misalkan A suatu (……………..……….), R suatu relasi
dari A ke A. R disebut relasi refleksi jika dan hanya jika
untuk setiap x  A berlaku x, x A .

Contoh 1.2
Misalkan A = {1,2,3,4} dengan
R1  {(1,1), (2,4), (4,1), (4,4)}dan
R2  {(1,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}. R1 bukan relasi
refleksi, sebab 2,3 A , sedangkan (2,2), (3,3)  R1 .
akan tetapi, R2 adalah relasi refeksi sebab untuk setiap
x  A maka (x, x)  R2 yaitu
(1,1),(2,2), (3,3),(4,4)  R2 .

Definisi 1.3:
Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi
dari A ke A. Relasi R disebut (……………….) jika dan
hanya jika untuk setiap x, y R berlaku y, x R .

Contoh 1.3
R1 dan R2 pada contoh 1.2, masing-masing bukan
merupakan relasi simetri, sebab 2,4 R1 . Akan tetapi
4,2 R1 dan 4,1 R2 , tetapi 1,4 R2

Definisi 1.4:
Misalkan A suatu himpunan tak kosong, R suatu relasi
pada A. Relasi R disebut (.....................) jika dan
hanya
jika untuk setiap x, y, ( y, z)  R berlaku x, z R

2
 Definisi 1.5:
Misalkan A suatu himpunan, R suatu relasi pada A.
Relasi R disebut (......................) jika dan hanya jika R
adalah relasi refleksi, simetri, dan transitif.

Definisi 1.6:
Misalkan A,B dua himpunan dan R relasi dari A ke B
Relasi balikan (invers) dari R yang ditulis R-1
x, yy, x R.
Contoh 1.4
R1 dan R2 pada contoh 1.2, dapat ditentukan bahwa
R1
1
 1,1, (4,2), (1,4), (4,4) dan
2  1,1, (2,2), (3,3), (1,4), (4,4)
R1

C. Pengertian Fungsi
Definisi 1.7
Suatu relasi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
(……………….) jika dan hanya jika setiap x  Aada
dengan tunggal y  B sehingga (x, y)  f .
Contoh 1.5
Misalkan R himpunan semua bilangan real. Ditetapkan
relasi f dari R ke R sebagai berikut.
1. f (x)  x2 , x  R
2. f (x)  x3, x  R
Manakah diantara relasi diatas yang merupakan fungsi?
Penyelesaian:
1. Karena  x  R, x2  x  x ,maka x adalah
x
anggota R dan juga merupakan hasil yang tunggal
3
 maka setiap
x  R mempunyai peta, yaitu x2, jadi f
merupakan fungsi dari R ke R.
2. Karena  x  R, x3  x  x  x  R , xxx
maka
adalah anggota R dan juga merupakan hasil yang
tunggal maka setiap x  R mempunyai peta, yaitu x3,
jadi f merupakan fungsi dari R ke R.

D. Macam-Macam Fungsi
Definisi 1.8
Misalkan f (......................) dari himpunan A ke himpunan
B. Fungsi ini disebut fungsi A ke B jika dan hanya jika
y  B ada x  A sehingga y = f(x).

Definisi 1.9
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B.
Fungsi ini disebut (..........) dari A ke B jika dan hanya
jika
untuk setiap x, y  A , jika x  y f (x) f ( y) .
maka 

Teorema 1.1
Misalkan f fungsi dari A ke B. Pernyataan  x, y  A , jika
xy f (x) f ( y) ekuivalen dengan pernyataan:
maka 
 x, y  A jika f(x) = f(y) maka x = y.

Teorema 1.2
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah satu-
satu jika dan hanya jika  x, y  A jika f(x) = f(y) maka x =

4
y.

Definisi 1.10
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
(……………….) jika dan hanya jika f merupakan fungsi
kepada dan fungsi satu-satu.

5
 Rangkuman

1. Relasi R dari himpunan A ke B mempunyai suatu

himpunan yang anggota-anggotanya adalah
pasangan terurut (a,b) dengan a  A ke b  B dan
R(a,b) berarti benar.
2. Relasi ekuivalen adalah
a. Relasi refleksi;
b. Relasi simetri;
c. Relasi transitif.
3. Setiap relasi R dari himpunan A ke B
mempunyai relasi balikan (invers) ,
1
yaitu R  {(a,b) (b, a)  R}
4. Relasi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
fungsi jika dan hanya jika setiap x  A ada tunggal
y  B sehingga f(x) = y.
5. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
fungsi satu-satu jika dan hanya jika setiap unsur
yA x  A sehingga f(x)=y.
ada
6. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
fungsi satu-satu jika dan hanya jika setiap x, y  A
dengan
x  y maka f (x) f ( y) atau untuk setiap

x, y  A menjadi f(x)=f(y) maka x = y.
7. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B disebut
fungsi bijektif jika dan hanya jika f merupakan
fungsi kepada dan fungsi satu-satu.

6
Kegiatan Belajar 2 : Transformasi
A. Pengertian Transformasi
Definsi 1.11
Misalkan V bidang Euclides. Fungsi T dari V ke V
disebut suatu (……………….) jika dan hanya jika T
sebuah fungsi bijektif.

Contoh 1.6
Misalkan V bidang Euclides dan A sebuah titik tertentu
pada V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut.
i) T(P) = A, jika P = A
ii) Jika p V p  A ,T(P) = Q dengan Q
dan
merupakan titik tengah ruas garis AP .
Apakah relasi T merupakan suatu transformasi?
Penyelesaian
Karena yang harus diteliti relasi T sehubungan dengan
suatu transformasi, berdasarkan defiinsi 1.11,
diperoleh persyaratan suatu transformasi, yaitu:
1. T suatu fungsi dari V ke V
2. T suatu fungsi bijektif.
Dari definisi 1.10, diperoleh persyaratan bahwa suatu
fungsi bijektif adalah
1. Fungsi tersebut harus merupakan fungsi kepada
2. Fungsi tersebut harus merupakan fungsi satu-satu.

B. Komposisi Transformasi
Definisi 1.12
Andaikan diberikan dua transformasi T1 dan T2,
komposisi dari T1 dan T2 yang ditulis dengan notasi
T1  T2 ditetapkan sebagai:
T1  T2 P  T1T2 P,P V

7
 Teorema 1.3
Apabila diberikan dua transformasi T1 dan T2,
(……………….) dari T1 dan T2 merupakan suatu
transformasi. (Teorema ini disebut pula teorema
ketertutupan transformasi).

Contoh 1.7
Ambil transformasi T1 yang ditetapkan.
i) T(P) = A, jika P = A
ii) Jika P V p  A ,T(P) = Q dengan Q
dan
merupakan titik tengah ruas garis AP .
Misalkan V bidang Euclides, sedangkan A suatu titik
tertentu. T1 ditetapkan untuk setiap P V ,
iii) Jika P=A, T1(P) = A.
iv) Jika P  A, T1 (P)=P’ dengan P’ titik tengah AP .
Selanjutnya, kita ambil relasi T2 yang ditetapkan
sebagai berikut, misalnya V bidang Euclides dan g
suatu garis
tertentu. Untuk P V
setiap
v) Jika P  g , T2 (P) = P
vi) Jika P  T2 (P) = P’ dengan P’ titik tengah ruas
g
garis tegak lurus dari P ke g. Berdasarkan
Selidiki : 2.1,  X V
a) Apakah T2 suatu transformasi ? dan
b) Apakah T1  T2 = T2  T1
? Penyelesaian:
1. Ditunjukkan bahwa
a. T2 fungsi dari V ke V

8
 X  g maka X

tunggal dari X oleh T2, Berdasarkan 2.2,

 X V dan X  g . Ada tunggal garis tegak
lurus kepada g melalui X. Hal ini mengakibatkan

9
 tunggalnya titik tengah ruas garis tegak lurus dari
X ke g. Jadi, untuk X V dan X  g , ada
tunggal peta anggota V yang memenuhi 2.2, jadi
T2 suatu fungsi dari V ke V.

b. T2 fungsi bijektif
1) T2 fungsi kepada
Ambil sebarang Y V . Apabila Y  g , ada
prapeta Y oleh T2, Apabila Y  g , ada
tunggal garis l yang tegak g melalui Y.
Misalnya, [N]  g  l . Akhirnya ada garis

NY . Hal ini mengakibatkan ada ruas garis

NX sehingga Y  NX YN  XY . Dari
dan
uraian ini, ada X sehingga
YX  g dan Y =
T(x). jadi T2 fungsi kepada.
2) T2 fungsi satu-satu
Ambil dua titik sebarang X ,Y V sehingga
X  Y , unutk X,Y pada sisi yang berbeda
oleh garis g, T2 (X )  T2 (Y ) T2 ( X )
sebab
dan T2 (Y )
terletak pada sisi yang berbeda
oleh garis g. Perhatikan Gambar 1.2

1
Gambar 1.2

1
 Untuk X,Y pada sisi yang sama dengan g,
dengan
XY  g . Karena XY  g maka
jarak dari X ke g dengan jarak dari Y ke g
berbeda. Akibatnya T2 (X )  T2 (Y ) sebab
jarak dari T2 ( X ) ke g separuh jarak dari X ke
g. sementara itu, jarak dari T2 (Y) ke g
separuh jarak dari X ke g. Sementara itu,
jarak dari T2 (Y) ke g separuh jarak dari Y
ke
g. Perhatikan Gambar 1.3

Gambar 1.3
Untuk X,Y pada sisi yang sama oleh g, XY
tidak tegak lurus g. Hal ini berakibat ada
garis l melalui X tegak lurus g dan garis m
melalui Y tegak lurus g, g // l . Karena
T2 ( X )  l // m maka
T2 ( X )  m
l, dan
T2 (X )  T2 (Y ) , perhatikan gambar 1.4,
jadi T2 fungsi satu-satu.

1
Gambar 1.4

1
 Karena T2 fungsi kepada dan satu-satu, T2 pun
suatu fungsi bijektif. Dengan demikian T2
merupakan fungsi dari V kepada V dan bijektif
sehingga T2 merupakan fungsi dari V kepada V
dan bijektif sehingga T2 disebut sebagai suatu
transformasi.
2. Ambil sumbu x sebagai garis g dan sumbu y
sebagai garis yang melalui titik A tegak lurus
garis g. Akibatnya, titik A dapat dimisalkan
berkoordinat (0,b), ambil sebarang titik
P(x, y) V 1, didapat
1
 
T (P)   y merupakan titik tengah
1  x, b 
2 2 
AP, P(x, y) V .
 1 
T (P)  P(x, y) V ,
2  x, y ,
 2 
Pandang
TT
 
(P) (P) 1  1 1 1 
T  T x, b  y
T1  x, y    
 2   2 2 1 12
2
1 1  
T  T (P)
T  T (P)  T x, b  y  x, b  y
2 1 21 
 

 



2
2
2  2 4 
Jadi T1  T2 (P)  T2  (P),P(x, y) V
T1
Maka itu, T1  T2  T2  T1 akibat dari contoh ini,
dapat di Tarik kesimpulan bahwa pada
komposisi transformasi tidak bersifat komutatif.

Teorema 1.4
Komposisi transformasi bersifat asosiatif

1
C. Transformasi Balikan (invers)
Definisi 1.13
Suatu transformasi  disebut (......................)
jika dan hanya jika setiap P V berlaku  (P) =
P.

Teorema 1.5
Jika T suatu transformasi dan  suatu
(……………….), berlaku T      T  T

Definisi 1.14
Suatu transformasi T1 disebut (......................)
(invers) dari trasnformasi T jika dan hanya jika
berlaku
T1  T  T  T1  

Teorema 1.6
Setiap transformasi T mempunyai satu
transformasi balikan (invers)

Teorema 1.7
Misalkan diberikan dua1buah transformasi T1
dan T2, maka T  T   T  T
1 1

1 2 2 1

1
 Rangkuman

1. Himpunan semua transformasi terhadap operasi

komposisi "" membentuk grup yang disebut
grup transformasi.
2. Langkah pengkajian untuk menyatakan suatu
relasi T merupakan suatu transformasi adalah
analisis sebagai berikut:
a) T fungsi dari V ke V
b) T fungsi bijektif
1) T fungsi kepada
2) T fungsi satu-satu
3. Jika T1 dan T2 transformasi, T1  T2
juga merupakan transformasi.
4. Untuk setiap transformasi T1, T2, dan T3 berlaku
T1  T2  T3  T1  T2  T3 .
5. Jika T1 dan T2 transformasi,
T  T   T 1  T 1 .
1

2 1 1 2

6. Jika T1 dan T2 transformasi, maka komposisi

transformasi dari T1 dan T2 ditetapkan sebagai:
T1  T2 (P)  T1[T2 (P)],P V .
7. T1 disebut transformasi balikan(invers)
dari transformasi T jika dan hanya jika
T1  T  T  T1   .

1
 Tes Formatif Modul 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Diberikan A = semua bilangan asli, Relasi
 
R  (x, y) x, y  A, dan 2x  y 10 . Domain dan
range dari relasi R adalah….
A. Domain = {(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)},
Range={8,6,4,2}.
B. Domain = {1, 2, 3, 4}, Range={8,6,4,2}.
C. Domain = {(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)},
Range={1,2,3,4}.
D. Domain = {2, 4, 6, 8}, Range={1,2,3,4}.

2. Diberikan A = {2,4,6,8}. Relasi pada A yang

merupakan relasi refleksi adalah….
A. [(2,2),(2,4),(2,6),(4,6), (6,8),(8,2), (8,4)]
B. [(2,2),(2,4),(2,6),(4,6), (6,8),(8,2), (8,8)]
C. [(2,4),(4,4),(2,6),(4,6), (6,6),(6,8), (8,8)]
D. [(2,2),(2,4),(4,4),(2,6), (6,6),(6,8), (8,8)]

3. Diberikan C = {a,b,c,d}. Relasi pada C yang

merupakan relasi transitif adalah…..
A. [(a,a), (c,c), (d,d)]
B. [(a,b),(b,c),(c.d),(a,c)]
C. [(b,c),(d,c),(c,a),(b,d)]
D. [(d,c),(c,c),(d,e),(c,a),(b,d),(d,a)]

4. Diberikan R = himpunan semua bilangan real,

Relasi-relasi f di bawah ini yang merupakan fungsi
pada R adalah….

1
 x 1
A.
f(x) x2  5x  6
=
B. f(x, y)= (x, y)2x 2
 y2  1, x  R, y  R 
C. f(x, y)= (x, y) xy 1
D. f(x) = x – 2

5. diberikan R = himpunan bilangan real. Di antara

fungsi-fungsi f di bawah ini yang merupakan fungsi
satu-satu dari R ke R adalah…..
A.
f(x) = -x2
B. f(x) = x2 + 1
C. f(x) = 4x – 2
D. f(x) = x4
6. Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan
pusatnya di titik A ditetapkan relasi T sebagai
berikut untuk setiap P V .
titik
i) T(P) = A, jika P = A.
ii) T(P)=Q Sehingga AP.AQ = r2 , jika P  A .
Pernyataan yang benar berikut ini adalah….
A. T bukan fungsi dari V ke V
B. T fungsi dari V ke V
C. T suatu transformasi
D. T mempunyai balikan
7. Diberikan T1 dan T2 merupakan suatu transformasi,
pernyataan
1 1
yang benar adalah……
A. (T )  T
1 1
B. (T  T )1  T 1  T 1
1 2 1 2
C. T 1 dan T 1 belum tentu transformasi
1 2

1
D. T1  T2  T2  T1

1
 8. Diberikan T suatu transformasi. Pernyataan yang
benar adalah….
A.
Semua titik pada bidang V berpindah tempat
oleh T
B.
Ada titik pada bidang V yang tidak berpindah
tempat oleh T
C.
Semua titik pada V mempunyai peta oleh T
D.
Tidak semua titik pada V mempunyai prapeta
oleh T
Untuk soal no 9) dan no 10) pilihlah
A. Jika 1 dan 2 benar
B. Jika 1 dan 3 benar
C. Jika 2 dan 3 benar
D. Jika 1, 2, dan 3 semuanya benar
9. Diberikan relasi  himpunan semua transformasi
dan "" operasi komposisi. Pernyataan yang
benar adalah…
1. Relasi identitas  yang ditetapkan
 (P)  P,P  V maka  g
2. "" tertutuppada 
3. Jika T1 dan T2   maka T1  T2   .
10. Jika V bidang Euclides, relasi-relasi dari V ke V
berikut ini
yang merupakan transformasi adalah…..
1. T1(P)  (x 1, 2y),P(x, y) V
2. T2 (P)  (x, y 1),P(x, y) V

3. T3 (P)  1
( x, y  2),P(x, y) V
2

2
 Modul 2
Isometri dan Pencerminan

Kegiatan Belajar 1 : Isometri

A. Pengertian Isometri
Definisi 2.1
Misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini
disebut (……………….) jika dan hanya jika untuk
setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang
Euclides V
berlaku bahwa P'Q'  PQ' dimana P’ = T(P) dan
Q’=T(Q).
Contoh 2.1
Misalkan diketahui garis g pada bidang V. pandang
transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut:
a) Jika P  g maka T(P) = P.
b) Jika P  g maka T(P)=P’ sehingga g sumbu dari
PP' . Apakah transformasi T ini suatu isometri atau
bukan?
Penyelesaian :
Sesuai definisi 2.1 ambil sembarang dua titik P dan Q
anggota dari V. selanjutnya misalkan T(P)=P’ dan
T(Q)=Q’. dari pemisalan T(P)=P’ dan T(Q)=Q’. akan
diperoleh dua hal yaitu:
1. g sumbu dari PP' , apabila g  PP'  N
misalkan
mak
a PN  NP' .

2. g sumbu dari QQ' , apabila misalkan

g  QQ'  Mmaka QM  MQ' .

2
 Sekarang, perhatikan gambar 2.1 hubungkan masing-
masing P dan Q, P’ dan Q’, P dan M, serta P’ dan M.

2
 Gambar 2.1
Kemudian, perhatikan PNM dengan P' NM .
Karena PN=NP’, PNM  P' NM (sudut siku-siku)
dan NM=NM maka PNM  P' NM . Akibatnya :
1. PM= P’M
2. PMN  P' MN
Sekarang, pandang PQM dengan P'Q' M .
PM = P’M
NMQ  NMQ'(siku-siku)
PMN  P'MN
PMQ  NMQ  PMN
P' MQ' NMQ'  P' MN
P' MQ' NMQ  PMN
Akibatnya : PMQ  P' MQ'
QM = Q’M
Dari (1), (2), dan (3) PQM  P'Q' M
disimpulkan
Akibatnya, PQ=P’Q’.
Karena P dan Q siambil sebarang titik pada V, dapat
disimpulkan bahwa setiap pasangan titik P dan Q pada
V berlaku P’Q’=PQ. Jadi, transformasi T yang ditetapkan
memenuhi definisi 2.1. Maka itu, dapat disimpulkan
bahwa transformasi T merupakan suatu isometri.

2
B. Sifat-Sifat Isometri
Teorema 2.1
Setiap (......................) bersifat:
a) Memetakan garis menjadi garis
b) Mengawetkan ukuran sudut
c) Mengawetkan kesejajaran

Teorema 2.2
Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu
isometri, maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus.

Teorema 2.3
Komposisi dua buah isometri adalah sebuah
(......................).

C. Isometri Langsung Dan Isometri Lawan

Definisi 2.2
Misalkan (P1,P2,P3) adalah ganda tiga titik yang tidak
kolinear. Apabila urutan perputaran P1,P2 ke P3 sesuai
dengan perputaran jarum jam, (P1,P2,P3) disebut memiliki
orientasi negative. Apabila urutan perputaran P1,P2 ke P3
berlawanan dengan perputaran jarum jam, (P1,P2,P3)
disebut memiliki (......................).

Contoh 2.2
Misalkan diberikan enam buah titik (lihat gambar 2.2).
Karena urutan perputaran A, B, ke C berlawanan dengan
perputaran jarung jam, maka (A, B, C) berorientasi
positif. Sedangkan urutan perputaran P, Q, ke R sesuai
dengan perputaran jarum jam, akibatnya (P, Q, R)
berorientasi negative.

2
 Gambar 2.2
Definisi 2.3
Misalkan T suatu transformasi. T disebut (......................)
apabila setiap ganda tiga titik (P1,P2,P3) yang tidak
kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari
petanya. Sementara itu, lainnya disebut tidak
mengawetkan orientasi.

Definisi 2.4
Suatu transformasi T disebut (……………….) jika dan
hanya jika transformasi itu mengawetkan orientasi.
Sementara itu, transformasi T disebut transformasi
lawan jika dan hanya jika transformasi itu tidak
mengawetkan orientasi.

Definisi 2.5
(……………….) adalah isometri yang merupakan
transformasi langsung, sedangkan isometri lawan adalah
isometri yang merupakan transformasi lawan.

Contoh 2.3
Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam contoh
2.1, sudah ditelusuri bahwa transformasi T ini
merupakan suatu isometri. Apakah T merupakan
isometri langsung atau isometri lawan?

2
 Perhatikan gambar 2.3. misalkan ambil tiga titik tak
kolinear sebarang; A, B, dan C. Kemudian, cari T(A),
T(B), dan T(C). misalkan T(A)=A’, T(B)=B’ dan T(C)=C’.

Gambar 2.3
Karena (A, B, C) berorientasi positif, sedangkan (A’, B’,
C’) berorientasi negative, maka transformasi T
merupakan transformasi lawan. Akibatnya, T suatu
isometri lawan.

2
 Rangkuman

1. Transformasi T disebut isometri jika dan hanya

jika untuk setiap pasangan titik P dan Q pada
bidang Euclides V berlaku P’Q’=PQ dimana
P’=T(P) dan Q’=T(Q).
2. Setiap isometri bersifat
a. Memetakan garis menjadi garis
b. Mengawetkan ukuran sudut
c. Mengawetkan kesejajaran.
3. Jika g  h dan T suatu isometri, T(g)  T(h).
4. Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri
5. Isometri langsung adalah isometri yang mengawetkan
orientasi dan isometri lawan adalah isometri yang tidak
mengawetkan orientasi.

2
 Kegiatan Belajar 2 : Pencerminan
A. Pengertian pencerminan
Definisi 2.6
Sebuah (......................) pada sebuah garis g adalah
fungsi  g yang ditetapkan untuk setiap titik P pada
bidang Euclides V sebagai berikut:
a) Jika P  g maka  g (P) = P ( Gambar 2.4a)
b) Jika P  g maka  g (P) = Q sehingga g

merupakan sumbu dari PQ (Gambar 2.4b)

Gambar 2.4
Selanjutnya, g disebut sumbu refleksi (cermin)  g .
Contoh 2.4
Misalkan diberikan titik A,B, dan C serta garis g,
seperti pada gambar 2.5 dibawah ini.

Gambar 2.5
Lukis:
a) Titik A’ sehingga A’=  g (A)

2
b) Titik B’ sehingga B’=  g (B)
c) Titik C’ sehingga C’=  g (C)

Penyelesaian
a) Karena A’=  g (A) dan A g maka g merupakan

sumbu dari A' A , artinya, A’ terletak pada garis l yang

melalui A dan tegak lurus terhadap g. apabila
{N}  l  g maka AN=NA’ dan A dengan A’ terletak
pada sisi yang berbeda oleh g.
b) Karena B’=  g (B) B  g maka B’ = B.
dan
c) Karena C’=  g (C) dan
C  g maka G merupakan

sumbu dari CC' . Akibatnya, C’ terletak pada garis m

yang melalui C dan tegak lurus g sehingga jika
{M}  m  g maka CM = MC’ dan C dengan C’
terletak pada sisi yang berbeda oleh g.
Lukisan
a) Buat garis l melalui A tegak lurus g. cari {N}  l  g .

Buatlah ruas garis

NA'  AN NA'l dan A’
sehingga
dengan A terletak pada sisi yang berbeda oleh g.
b) Jelas
c) Buat garis m melalui C tegak lurus g. cari
{M}  m  g . Buatlah ruas garis
MC'  CM
sehingga MC' m dan C’ dengan C terletak pada sisi
yang berbeda oleh g.
2
 Gambar 2.6

B. Pencerminan Sebagai Suatu Isometri

Teorema 2.4
Setiap pencerminan pada garis merupakan suatu
isometri lawan

Definisi 2.7
Suatu transformasi yang balikannya adalah
transformasi itu sendiri disebut (......................).

Teorema 2.5
Setiap pencerminan pada garis merupakan suatu
involusi.

C. Persamaan pencerminan pada garis

Bahasan pada persamaan pencerminan pada garis
dibatasi hanya pada garis yang istimewa. Adapun
ruus-rumus (……………….) pada garis-garis
istimewa ini tertuang pada teorema berikut dan
pembuktiannya hanya salah satu.

3
Teorema 2.6
Misalkan g pencerminan pada garis g dan P(x, y) V ,
apabila:
a) g  (x, y) x  0maka g (P)  (-x, y)
b) g  (x, y) x  0maka  (P)  (x,-y)
g
c) g  (x, y) x  amaka  (P)  (2a - x, y)
g

d) g  (x, y) y  bmaka g (P)  (x,2b - y)

 (P)  (y,x)
e) g  (x, y) y  xmaka g


f) g  (x, y) y  xmaka g (P)  (-y,-x)
  (1 m2 )x 
2my 2mx  (m2 1) y 
g) g  (x, y) y  mxmaka (P)  
  1 ,
g
m2 1 m 2


Contoh 2.5
Diketahui garis g  (x, y) y x h  (x, y) y 0 serta
dan
titik-titik A(1,4) dan B(-2,1).
Tentukan :
a) A’ sehingga A'    .
g h

b) A’ sehingga A A'  g  h
Penyelesaian: .A
a) Karena g  (x, y) y x g (P)  ( y, x),P(x, y)
maka

3
 dan h  (x, y) y 0 h (P)  (x, y),P(x, y).
Jadi, maka
g  h (P)  g [h (P)]  g [(x, y)]  ( y, x),P(x, y)
Koordinat A’ dapat dicari dengan memakai rumus
komposisi dua pencerminan diatas, yaitu A’=
g  h ( A)  g  h (1,3)  3,1.

3
b) B  ( g  h )(B')
 ( g  h)1(B)  ( g  )1
h  ( g  ) h (B')
1

1 1
 (   )(B) (B')
g h

 (h  g )(B)  B'

h  g (P)  (h [g (P)]  h [( y, x)]  ( y,x),P(x, y)
Jadi, B'    (B)     [(2,1)]  (1,2)
h g h g

Contoh 2.6
Diketahui garis g  (x, y) y  xdan
h  (x, y) 3y  x  3. Tentukan persamaan garis h’

sehingg
a h' g (h) .
Penyelesaian
g  (x, y) y  x g (P)  ( y,x),P(x, y)
maka

Misalkan Q(x0 , y0 )h maka diperoleh hubungan,

3y0  x0  3
g (Q)  g (x0 , y0 )  ( y0 ,x0 g (Q)  (x, y)
).misalkan maka diperoleh hubungan ( y0
,x0 )  (x, y)
 y0  x dan  x0  y
 y0  x dan x0  y
Apabila (2) disubtitusikan pada 1 akan diperoleh,
3(-x) = (-y) +3
3
Y = 3x + 3
Jadi, h' (x, y) y  3x  3.

3
 Rangkuman

1. Pencerminan pada sebuah garis g adalah fungsi g

yang ditetapkan P V sebagai berikut.
a)
Jika P  g maka g (P)  P .
b)
Jika P  g maka  g (P)  Q , g sumbu datar PQ
2. Jarak Antara peta ke garis cermin dengan prapeta
ke garis cermin adalah sama.
3. Pencerminan merupakan suatu isometri lawan.
4. Pencerminan merupakan suatu involusi
5. Pencerminan mempunyai titik invariant tak terhingga
banyak.

3
 Tes Formatif Modul 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

Untuk soal nomor 1 dan 2
A. Jika 1 dan 2 benar
B. Jika 1 dan 3 benar
C. Jika 2 dan 3 benar
D. Jika 1, 2, dan 3 semuanya benar

1) Pernyataan-pernyataan yang benar berikut ini adalah…..

1. Jika T suatu isometri maka T suatu transformasi.
2. Jika T suatu transformasi maka T suatu isometrei
3. Suatu transformasi yang memetakan garis menjadi garis
adalah isometri.
2) Pernyataan yang benar berikut ini adalah ……
1. Komposisi isometri bersifat asosiatif
2. Komposisi isometri bersifat komutatif
3. Setiap isometri mempunyai balikan
3) Diberikan titik -titik A(2, -1), B(4,0), C(-4,1), dan D (-2,k). apabila
T suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, besar k
adalah…
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
4) Diberikan relasi T dengan rumus: T [(x, y)]  (kx, y), (x, y) V . Agar T
suatu isometri, syaratnya adalah…
A. k {0}
B. k {1.1}
C. k {1}
D. k {1,0,1}
5) Apabila T 1, T2, T3, dan T4 masing-masing isometri, T  T  T  T 1 =
A.
1
T 1  T 1  T 1  T 1 2 3 4

4 3 2 1

B. T 1  T 1  T 1  T 1
1 3 2 1

3
C. T 1  T 1  T 1  T 1
1 2 3 4

3
6) Lukislah dibawah ini yang menyatakan bahwa A' ( g  h )( A) adalah…

A. h B. h
g A g
A A1
A’ A1

A’

C. h h
A g D. g
A1 A=A1
A’

A’

7) Diberikan garis g  (x, y) y  2 x dan titik B=(-1,2). Koordinat titik C

sehingga B   g (C) adalah
…. A. (-1, -2)
B. (-1, 2)
C. (1, 2)
D. (1, -2)

8) Diberikan garis g  (x, y) y  1dan h  (x, y) x  y 1  0.

Persamaan garis h'  g (h) adalah…
A. x, y y  x  3  0
B. x, y x  y 1  0
C. x, y y  x 1  0
D. x, y x  y  3  0

3
9) Diberikan garis g  (x, y) kx  3 y  1  0 dan titik B(3,1). Nilai k sehingga
 g (B)  B adalah…
4
A. 
3
4
B.
3
2
C.
3
2
D. 
3 1 5
10) Diberikan h  (x, y) 2 x  2ky  1  0, titik A(2,-1), dan C , Nilai k
2 2
 
sehingga  
 h (C )  A adalah…
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

3
 Modul 3
Setengah putaran dan ruas garis berarah

Kegiatan belajar 1 : Setengah Putaran

A. Pengertian setengah putaran
Setengah putaran merupakan keadaan khusus
pencerminan, yaitu pencerminan terhadap suatu titik.
“Garis sumbu” dalam pencerminan diambil alih perannya
oleh (......................) setengah putaran.
Definisi 3.1
Misalkan V bidang euclides dan A titik tertentu pada
bidang V. (……………….) pada titik A adalah fungsi  A
yang didefinisikan untuk setiap titik P pada V sebagai
berikut:
1) Apabila P = A, maka  A (P) = A
2) Apabila P  A, maka  A (P) = Q sehingga A titik
tengah ruas garis PQ .

Gambar 3.1

Contoh 3.1
Diberikan A,B, dan C adalah titik-titik pada bidang
Euclides V. Lukis:
a) Titik D sehingga D =  A (B).
b) Titik E sehingga C =  A (E)

4
Penyelesaian:
a) D =  A (B) berdasarkan definisi 3.1, A adalah titik

tengahBD . Karena B  A , maka ada ruas garis BA .

Kemudian perpanjangan ruas garis BA kearah titik A
sehingga memperoleh ruas garis AD yang ekuivalen
dengan ruas garis BA . Akibatnya ruas garis BD
dimana A merupakan titik tengah ruas garis BD .

Artinya D =  A (B).

b) C =  A (E) berdasarkan definisi 3.1, A adalah titik tengah

EC . Karena C  A , maka ada ruas garis CA .

Kemudian perpanjangan ruas garis CA kearah titik A

sehingga memperoleh ruas garis AE yang ekuivalen

dengan ruas garis CA . Akibatnya mendapatkan ruas
garis EC , titik A
sebagai titik tengahnya, artinya C =  A (E).

Gambar 3.2
1. Setengah putaran sebagai suatu isometri
Teorema 3.1
Setiap setengah putaran adalah suatu isometri

4
 2. Sifat- sifat setengah putaran
Teorema 3.2

4
 Apabila garis-garis g dan h berpotongan tegak lurus
dititik A, maka  A  g  h .
Teorema 3.3
Apabil gh g  h  h  g .
a
maka

Teorema 3.4
Setiap setengah putaran adalah (......................).

3. Persamaan setengah putaran

Teorema 3.5
Apabila A (a,b) dan P(x, y) sebarang titik, maka
 A (P)  (2a  x,2b  y)

B. Lanjutan setengah putaran

Sifat – sifat setengah putaran dan pencerminan
disebabkan ketentuan invarian, kolineasi, dan dilatasi.
Definisi 3.2
Misalkan A suatu titik tertentu pada bidang Euclides dan
T suatu transformasi. Titik A disebut (.....................) pada
transformasi T jika dan hanya jika berlaku T(A) =A.

Teorema 3.6
Setiap refleksi pencerminan pada garis mempunyai tak
hingga (......................).

Teorema 3.7
Setiap (……………….) mempunyai tepat satu titik
invarian.

Definsi 3.3

4
 Sebuah transformasi T yang mempunyai sifat bahwa
sebuah garis petanya adalah sebuah garis maka T
disebut (......................).

Teorema 3.8
Setiap refleksi pada garis merupakan suatu kolineasi.

Definisi 3.4
Suatu kolineasi yang mempunyai sifat bahwa peta dan
prapeta suatu garis akan sejajar disebut (......................).

Teorema 3.10
Setiap setengah putaran merupakan dilatasi

Teorema 3.11
Komposisi dua setengah pitaran denga pusat yang
berbeda memiliki titik invariant.

Teorema 3.12
Apabila diberikan titik A dan B sehingga A  B ,maka
hanya ada satu buah setengah putaran yang
memetakan A ke B.

Teorema 3.13
Apabila T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A
sebuah titik tertentu maka AT(L) jika dan hanya jika
T 1(A)  L.

Contoh 3.3
Diberikan
L  {(x, y) x2  4 y 2  16}, A(4,-3) dan B (3,1).
Jika g adalah sumbu x, selidiki apakah
4
A( g   B )(L) ?

4
 Penyelesaian
(   ) 1  B 1 1 g
 
g B

 g B

 B [x, y]  (2.3  x,2.1  y)  (6  x,2  y), (x, y) V

 g [(x, y)]  (x, y, (x, y) V
Maka,
(   ) 1[x, y]
g
B

 ( B   g )[x, y]
  B [( g (x, y)]
 (6  x,2  y)
Sehingga
( g   B ) 1 ( A)
 (6  4,2  3)
 (2,1)
Karena (2)2 +4(1)2 = 4 + 4 = 8  16, maka (2,-1) L atau
(g   B )1( A)  L . Berdasarkan teorema 3.13, bahwa
A(g   B )(L) .
dengan mempelajari uraian-uraian diatas, diharapkan
memperoleh gambaran serta pemahaman yang cukup
mengenai pengertian setengah putaran, sifat-sifat
setengah putaran, dan persamaan setengah putaran.

4
 Rangkuman

1. Setengah putaran pada titik A adalah fungsi  A yang

didefinisikan untuk setiak titik P pada bilangan
Euclides V sebagai berikut.
a. Apabila P=A, maka  A (P)=A.
b. Apabila P  A, maka  A (P)=Q sehingga A titik
tengah ruas garis PQ .
2. Setengah putaran adalah suatu isometri.
3. Setengah putaran merupakan komposisi dari dua
pencerminan dengan kedua cerminnya saling tegak
lurus dan melalui pusat putaran.
4. Setengah putaran merupakan suatu involusi.
5. Setengah putaran hanya mempunyai satu titik
invariant
6. Persamaan setengah putaran  A (P) = (2a-x,2b-y)
jika P(x,y) dan A(a,b).
7. Setiap pencerminan pada garis mempunyai tak
hingga titik invariant
8. Setiap pencerminan pada garis merupakan kolineasi.
9. Setiap setengah putaran merupakan suatu kolineasi
10. Setiap setengah putaran merupakan dilatasi.
11. Komposisi dua setengah putaran dengan pusat yang
berbeda tidak memiliki invariant.
12. Jika diberikan titik A dan B sehingga A  B maka
hanya ada satu buah setengah putaran yang
memetakan A ke B.
13. Jika T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A
sebuah titik tertentu maka AT(L) jika dan hanya
jika T-1(A)  L

4
Kegiatan belajar 2 : Ruas garis berarah
A. Pengertian ruas garis berarah
Definisi 3.5
Suatu ruas (……………….) adalah ruas garis yang salah
satu ujungnya dinamakan pangkal dan ujung lainnya

dinamakan akhir. Apabila A dan B dua titk, AB ditetapkan

sebagai ruas garis berarah dengan pangkal titik A dan akhir
titik B.

Definisi 3.6
AB  CD (dibaca garis AB ekuivalen dengan ruas garis
CD) apabila  P (A)  D dengan P titik tengah BC .

Gambar 3.3

Contoh 3.4
Diberikan titik A,B,C, dan F pada bidang Euclides seperti
gambar 3.14.

Gambar 3.4

4
Lukis :
a) D sehingga AB  CD
b) E sehingga AB  EF
Penyelesaian

a) AB  CD , apabila  P (A)  D , dengan P titik tengah

BC maka titik D diperoleh dengan cara mencari titik
tengah BC , kemudian beri nama titik P, selanjutnya
cari D sehingga D =  P ( A) .

b) AB  EF , apabila  Q ( A)  F , dengan Q titik tengah

BE .  Q ( A)  maka Q merupakan titik

Karena F

tengah AF . Karena Q titik tengah BE , maka

 Q (B)  E . Sehingga titik E diperoleh dengan cara

mencari titik tengah AF , yaitu titik Q, kemudian

mencari titik E sehingga E   Q (B) .

4
 Gambar 3.5

5
B. Sifat-sifat ruas garis berarah
Teorema 3.14

Apabila AB dan CD (……………….) maka

segiempat ABCD sebuah jajaran gnjang jika dan
hanya jika
AB  CD .

Teorema 3.15
Relasi "" pada himpunan ruas garis
berarah merupakan (.........). Artinya, apabila

diberikan AB , CD , dan EF maka

a) AB  BA (Sifat refleksi)
b) Jika
AB  CD maka CD  AB (sifat simetri)
c) Jika
AB  CD CD  EF AB  EF
dan maka
(sifat transitif)

Teorema 3.16
Apabila diberika titik P dan AB maka ada titik Q yang
tunggal
PQ  AB .
sehingga

C. Kelipatan ruas garis berarah

Perkalian sebuah bilangan real dengan sebuah ruas
garis berarah perhatikan definisi 3.7 berikut.

Andaikan diberikan AB dan k suatu bilangan real.

5
 Apabila k > 0 maka k AB adalah AP sehingga
P  AB dan AP = k(AB). Apabila k < 0 maka k AB
adalah AP dengan P anggota sinar yang
berlawanan

5
 dengan AB AP  k AB . Selanjutnya AP
sedangkan

disebut kelipatan dari AB .

Contoh 3.5
Apabila dberikan titik A dan B seperti dibawah ini.

Gambar 3.6

Lukis :
1
a) AB
2
3
b)  AB
4

Penyelesaian
1 1
a) Karena k  0 maka AB adalah AP
= 2 2
sehingg 1
P  AB dengan AP (AB).
a
= 2
sehingga Q anggota
3 sinar yang3berlawanan
b) Karena k =
  0 AQ = 3 AB=
dengan AB , dengan 3 AB . AQ
AB adalah
maka 4
4 4
4

Gambar 3.7

4
 Rangkuman

1. Ruas garis berarah berbeda dengan ruas garis,

ruas garis berarah salah satu ujungnya disebut

titik pangkal dan lainnya titik akhir. AB ruas garis

berarah dengan pangkal titik A dan akhir titik B.
2. Relasi "" merupakan relasi ekuivalen pada
himpunan semua ruas garis berarah.
3. Titik- titik A,B,C dan D memenuhi
AB  jika
CD
dan hanya jika ABCD jajaran genjang.

4. Jika diberikan titik P dan AB , maka ada titik Q

yang tunggal
sehingga PQ  AB .
5. Ada dua hal yang perlu diingat:
a. Ke AB adalah AP
P dan
sehingga
AB
AP  k AB untuk k > 0.

b. Ke AB adalah AP sehingga P anggota sinar

yang berlawanan dengan AB
sedangkan AP  k AB untuk k < 0.

4
 Tes Formatif Modul 3

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Apabila A(-1.4) dan g  {(x, y) y  2x 1}, maka persamaan  A (g)
adalah…
A. {(x, y) 2x  y 13  0}
B. {(x, y) 2x  y  5  0}
C. {(x, y) 2x  y  5  0}
D. {(x, y) 2x  y 11  0}
2) Apabila diberikan titik F, garis g F g , maka  F   g adalah…
dan
A. Tak mempunyai titik invarian
B. Mempunyai satu titik invarian
C. Mempunyai dua titik invarian
D. Mempunyai lebih dari dua titik invarian
3) Jika ABC siku-siku di B maka  A  B   C mempunyai …….titik
invarian
A. 0
B. 1
C. Banyak tapi terhingga
D. Tak terhingga
4) Manakah diantara lukisan berikut yang menyatakan Y   X Z  Z ' ?
Z
Z1
A. Y
Y
Z’ Z1
X X
Z Z’

Y
C. D. Z
X X

Z1 Z1
Z Y
Z’ Z’

4
5) Apabila A(4,1) dan g  {(x, y) y  x  1  0}, maka persamaan g’
sehingga  A (g')  g adalah…
A. {( x, y) x  y  5  0}

B. {( x, y) x  y  5  0}

C. {( x, y) y  x  5  0}

D. {(x, y) x  y  5  0}

6) Diberikan A (0,0), B(5,4), dan C(-2,4). Koordinat titik D sehingga

CD  BA adalah…
A. (-1,-6)
B. (-3,0)
C. (-7,0)
D. (-2,-7)
7) Apabila A ( -h,-k), B(5,-2 3 ), C (k, 8 3 , dan D(-9,h). Nilai h dan k
sehingga segiempat ABCD membentuk jajaran genjang adalah…
A. h  2  3, k  2  53
5
3, k  2  53
B. h  2  5
3, k  2  53
C. h  2  5
3, k  2  53
D. h  2 
5
8) Diberikan A(1,1), B(1,-2), dan C(0,3). Koordinat D sehingga
AD  2BC adalah….
A. (-1,11)
B. (1,7)
C. (-1,7)
D. (1,11)
9) Apabila A(6,2), B(1,-k), C(k,h), dan D(-h,1) maka nilai h dan k
sehingga AC  BD adalah…
A. h = -4, k = 1
B. h = -1, k = 4
C. h = 4, k = 1
D. h = 1, k = -4

4
10) Diberikan A (0,1), B (2,0), C(3, -3). Koordinat titik D sehingga
1
AC   DB adalah ….
3
A. (-12,11)
B. (11,-12)
C. (-11,12)
D. (12,-11)

4
 Modul 4
Translasi

Kegiatan Belajar 1 : Translasi

A. Pengertian Translasi
Sebelum masuk ke materi translasi sebelumnya akan
dibahas tentang hubungan antara dua ruas garis
berarah, yang masing-masing titik ujungnya merupakan
peta dari komposisi dua pencerminan pada garis yang
sejajar.

Teorema 4.1
Misalkan diberikan dua buah garis g dan h yang
(……………….) dan dua titik A dan B, maka
AA"  BB"
dengan
A"  (h   g )( A) dan B"  (h   g )(B) .
Berdasarkan teorema 4.1 ini, bahwa apabila g // h maka
setiap ruas garis berarah dengan pangkal sebuah titik
dan
berakhir titik petanya oleh (h  g ) adalah ekuivalen
dengan setiap ruas garis berarah. Dengan kata lain, hasil
transformas (h  g ) adalah seakan-akan menggeser
i
setiap titik sejauh jarak yang tetap dana arah yang
sama. Transformasi seperti ini dinamakan suatu (..........)
(geseran).

Definisi 4.1
Suatu relasi  dinamakan suatu (......................) apabila

ada ruas garis berarah AB sehingga setiap titik P pada

4
 bidang V ,  AB (P)  P'dan PP'  AB . Translasi
seperti ini ditulis dengan notasi  AB .

4
 Contoh 4.1
Diberikan tiga titik A, B , dan P yang tak kolinear.
Lukis :
a) Titik P’ sehingga  AB (P)  P'
b) Titik P’’ sehingga  AB (P")  P

Penyelesaian
a) Karena
 AB (P)  PP'  AB AB  PP' .
P'maka atau
Dengan pengetahuan ruas garis berarah, maka dapat
melukis titik P’ yang memenuhi syarat.
b) Karena
P   AB (P") maka P' P  atau AB  P' P
AB
, juga dapat dilukis dengan menggunakan konsep
ruas garis berarah, maka dapat melukis titik P’’ yang
memenuhi syarat.

Gambar 4.1

B. Translasi sebagai suatu isometri

Teorema 4.2
AB  CD jika dan hanya jika  AB   CD
4
 Teorema 4.3
Apabila g//h., CD  g,C  g, D  h AB  maka
dan 2CD
 AB  h  g

Teorema Akibat
1. Setiap translasi C dapat ditulis sebagai komposisi dua
refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan
1
berjarak AB .
2
2. Jika AB
sebuah garis dan M titik tengah AB
sedangkan g, h dan n masing-masing tiga garis tegak
lurus di titik A,M, dan B pada AB maka
 AB  h  g  n  h .
3. Translasi merupakan suatu isometri.

Teorema 4.4
Jika  AB sebuah translasi, maka  1  
AB AB

C. Persamaan Translasi
Dalam hal ini akan mempelajari dua macam translasi,
yaitu translasi dengan ruas garis berarah titik awal di
pusat sumbu dan translasi dengan ruas garis berarah
titik awal suatu titik sebarang.

Teorema 4.5
Apabila  OA dengan O(0,0), A(a,b) dan T suatu
transformasi yang ditetapkan untuk semua titik P(x,y) V
4
dengan rumus: T(P)= (x+a, y+b) maka T=  OA .

4
 Teorema 4.6
Jika A (a,b), B (c,d) dan P(x,y) maka
 AB (P)  ((c  a)  x,(d  b)  y) .

Contoh 4.2
Diberika titik-titik A(1,2), B(3,-1), C(-2,-3) dan kurva
K  {(x, y y 2  2x  4}. Tentukan :
a) Titik C’ sehingga  AB (C)  C'
b) Titik C’’ sehingga  AB (C")  C
c) K’ sehingga K’=  AB (K)
d) K”sehingga K =  AB (K")
Penyelesaian
a = 1, b = 3, c=3 dan d = 2, berdasarkan teorema 4.6
diperoleh:
 AB (P)  ((3 1)  x,(1 2)  y),P(x, y)
 AB (P)  (2  x,3  y),P(x, y)
Selanjutnya untuk:
a = 1, b = 3, c=3 dan d = 2, berdasarkan teorema 4.6
diperoleh:
 AB (P)  ((1 3)  x,(2 1)  y),P(x, y)
 AB (P)  (2  x,3  y),P(x, y)
a) C'  AB (C)   AB (2,3)  (2  2,3  3)  (0,6)
b) Karena  AB (C") maka  AB  AB (C")   BAC
C
 ( BA   AB (C")   BA (C)   (C")   BA (C)
 C"  BA (C")   BA (2,3)  (2  2,3  3)  (4,0)
c) Misalkan P x0 , y0   K maka y2  2x  4 (1)
0 0
5
 Misalkan (x,y) =  AB (x0 , y0 )  (2  x0 ,3  y0
)
Maka didapat
(2)
x0  x  2 dan y0  y  3
Dari (1) dan (2) diperoleh:
(y + 3)2 = 2 (x – 2) – 4
y2 + 6y + 9 = 2x – 4 – 4
y2 + 6y – 2x + 17 = 0
jadi, K’= A (K)  {(x, y) y 2  6y  2x 17
 0} B

d) Karena K =  AB (K") maka K”=  BA (K) . Misalkan

Q(x1, y1)  K maka
y 2  2x  4 , (3)
1 1

Misalkan (x,y) =  BA (x1, y1)  (2  x1,3  y1) , didapat

x1  x  2 y1  y  3 (4)
dan
Dari 3 dan 4 didapat,
(y - 3)2 = 2(x + 2) – 4
y2 – 6y + 9 = 2x + 4 – 4
y2 – 6y – 2x + 9 = 0
jadi K" {(x, y) y2  6y  2x  9  0}
,

5
 Rangkuman

1. Translasi adalah suatu transformasi yang

memindahkan semua titik pada bidang Euclides V
dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

2. AB  CD jika dan hanya jika  AB   CD .

3. Translasi dapat ditulis sebagai komposisi dari dua
pencerminan yang kedua sumbunya sejajar dan
berjarak setengah dari panjang translasi.
4. Translasi merupakan isometri langsung.
5. Jika  AB sebuah translasi maka  AB1  .
B
A
6. Jika A(a,b), B(c,d) dan P(x,y) maka
 AB (P)  ((c  a)  x,(d  b)  y) .

5
Kegiatan belajar 2 : Ketertutupan translasi
A. Komposisi translasi
Sebelum mempelajari hasil komposisi dari dua translasi
atau lebih, maka perlu mempelajari satu teori yaitu pada
teorema 4.7 berikut ini
Teorema 4.7
Jika  AB suatu translasi dan C, D titik-titik sehingga
AB  2CD , maka    D   C .
AB

Teorema 4.8
Komposisi translasi adalah (......................) (disebut juga
teorema ketertutupan translasi)

B. Sifat-Sifat Lain Translasi

Teorema 4.9
Komposisi suatu (……………….) dengan putaran
merupakan suatu setengah putaran.
Teorema akibat
Jika  A , B , C masing-masing setengah putaran maka
 C   B   A   D dengan titik D
AD  BC .
sehingga

Teorema 4.10
Jika  AB  BC masing-masing suatu translasi, maka
dan
 AB     AC
BC

Contoh 4.3

5
 Misalkan  AB suatu translasi yang membawa A(2,3) ke
B(4,1) dan  CD suatu translasi yang membawa C(-3,4) ke

5
 D(0,3). Jika P(x,y), tentukan  CD   AB (P) dan
 AB   CD
(P) .
Penyelesaian
Berdasarkan teorema 4.6, didapat
 AB (P)  (2  x,2  y),P(x, y) V
 CD (P)  (3  x,1 y),P(x, y) V
Dengan demikian,
 CD   AB (P)   CD[ AB (P)]   CD (2  x,2  y)
= (3+(2+x),-1+(-2+y))
= (5+x,-3+y)

Sementara itu,
 AB   CD (P)   AB [ CD (P)]   AB (3  x,1 y)
=(2+ (3 + x),-2 + (-1 + y))
= ( 5+ x, -3 + y)

Khusu untuk translasi ini, ternyata  AB   CD    CD   AB 

.
Berdasarkan contoh 4.3 diatas maka komposisi translasi
berlaku sifat komutatif.

5
 Rangkuman

1. Suatu translasi  AB dengan C dan C titik-titik sehingga

AB  2CD adalah  AB   D   C
2. Himpunan yang terdiri dari semua translasi,
terhadap operasi komposisi membentuk grup. Grup
yang terbentuk merupakan grup abel.
3. Komposisi translasi dengan setengah putaran adalah
suatu setengah putaran.
4. Translasi dapat dinyatakan sebagai komposisi
dua setengah putaran.
5. Jika  AB dan  BC masing-masing suatu translasi maka
 AB   BC    AC .

5
 Tes Formatif Modul 4

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Apabila diberikan titik A, B, dan C. Lukisan dalam rangka mendapatkan
titik D sehingga  CA ( D)  B adalah…
A. B.
D B C

A D
A C
B
C. D.
D C B

A C
A B

D
2) Jika A(0,0), B(2,1), dan C( -2,1), Persamaan garis t sehingga C 
s dan s  g   AB adalah…
A. [( x, y)(2 y  4x 11  0]
B. [( x, y)(2y  4x 13  0]
C. [( x, y)(2 y  x  4  0]
D. [( x, y)(2 y  x  2  0]

3) Jika A(3,4) dan B( -1,2) maka koordinat titik D sehingga

 AB (D)  (2,2) adalah…
A. (-4,-3)
B. (0,-1)
C. (6,0)
D. (4,1)

5
Untuk soal nomor 4 dan 5 pilih
A. Jika 1 dan 2 benar
B. Jika 1 dan 3 benar
C. Jika 2 dan 3 benar
D. Jika 1, 2, dan 3 benar
4) Pernyataan dibawah ini, yang benar adalah…
1. Setiap translasi adalah suatu kolineasi.
2. Setiap translasi adalah suatu dilatasi .
3. Setiap translasi adalah suatu isometri .
5) Diantara pernyataan dibawah ini, yan benar adalah…
1. Komposisi translasi bersifat asosiatif .
2. Komposisi translasi bersifat komutatif .
3. Komposisi translasi bukan suatu dilatasi.
6) Jika diberikan 𝛾𝐴𝐵 ∘ 𝛾𝐵𝐶 dan titik P. Lukisan dalam
rangka menentukan titik D sehingga 𝛾𝐵𝐶 ∘ 𝛾𝐴𝐵(𝑃) = 𝐷
adalah….

B.
A. C C
A D

.
‘B P B
A P
D

C. D.
C F
C
A

‘B D
D P A
B

5
7) Jika  suatu translasi yang ditetapkan sebagai berikut
 (P)  (x  2, y  4),P( x, y) V
Koordinat titik D sehingga  C  D   . Jika C(1,-1) adalah…
A. (2,-3)
B. (-2,3)
C. (-2,-3)
D. (2,3)
8) Jika  BC   OA , maka pernyataan yang benar adalah…
A.  B  C   D   A
B.  C   A  C   D
C.  D   A  C  B
D.  D   A  B   C
9) Bentuk paling sederhana dari komposisi translasi:
 BC  AB  DC   FE  CD adalah…
A.  AE
B.  AF
C.  BC
D.  BF
10) Jika Q   AB ( P) maka bentuk paling sederhana   P  1
AB

adalah … dari AB 

A.  AP
B.  P
C.  BQ
D.  Q

5
 MODUL 5
Rotasi

Kegiatan Belajar 1: Rotasi

A. Pengertian Rotasi
Definisi 5.1
Sebuah sudut berarah adalah (.....................) yang salah
satu kakinya ditetapkan sebagai kaki awal dan kaki
lainnya sebagai kaki akhir.
Contoh 5.1:
Diberikan AB seperti pada gambar 5.1 apabila kaki
C
awalnya anda tetapkan sinar BA dan kaki akhirnya sinar
BC maka anda akan mendapatkan sudut berarah ABC,
yang dinotasikan ABC . Sementara itu, apabila anda

menetapkan kaki awalnya sinar BC dan kaki akhirnya

sinar BA , maka anda mendapatkan sudut berarah CAB,

Gambar 5.1

yang dinotasikan
CBA . Jelaskan bahwa
ABC  CBA .

Contoh 5.2:

6
Misalkan diberikan ABC  45 dengan kondisi, seperti

6
 pada gambar 5.2.

Gambar 5.2

Tentukan:
a) m(ABC )
b) m(CBA)

Penyelesaian:
a) Karena orientasi ganda (A,B,C) negatif, maka
(ABC)  45
b) Karena orientasi ganda (B,A,C) negatif, maka
(CBA)  45

Berdasarkan contoh 5.2. maka dapat diturunkan

teorema berikut:
Teorema 5.1:
Misalkan diberikan ABC , maka
m(ABC)  m(CBA)
Bukti:
Karena orientasi ganda (B, A, C) ini bisa positif atau
negatif, maka anda tinjau apabila:
1) Orientasi ganda (B, A, C) positif, akibatnya
m(ABC)  m(ABC) . Jika orientasi ganda (B,
A, C) positif, maka orientasi ganda (B, C, A)
negatif, akibatnya m(CBA)  m(ABC) . Jadi,
m(ABC)  m(CBA)

6
2) Orientasi ganda (B, A, C) negatif, akibatnya
m(ABC)  m(ABC) . Jika orientasi ganda (B,
A, C) negatif, maka orientasi ganda (B, C, A)
positif, akibatnya m(CBA)  m(ABC) . Jadi,
m(ABC)  m(CBA)

Definisi 5.2:
Misalkan diberikan sudut ABC, m(ABC ) ditetapkan
sebagai besar ukuran (……………….) ABC,
(ABC dan m(CBA ditetapkan sebagai besar
) )
ukuran sudut berarah CBA (CBA).
 m(ABC
m(ABC )  jika orientasi ganda (B, A,C) positif 
)  
 m(ABC jika orientasi ganda ( A, negatif 
) A,C)

Definisi 5.3:
Misalkan diberikan dua garis berpotongan l dan m
tidak (......................). Sudut antar l dan m
ditetapkan
sebagai (……………….) yang dibentuk kedua garis
tersebut.
Contoh 5.3:

Gambar 5.3

6
 Perhatikan Gambar 5.3. Besar sudut antara s dan t
adala 60 . Sedangkan besar sudut antara t dan u
h
adalah 30 .

6
Definisi 5.4:
Misalkan diberikan (……………….) l dan m
berpotongan tidak tegak lurus di titik A dan P titik
pada l, sedangkan B dan C (......................) pada m
sehingga A terletak antara B dan C (perhatikan
Gambar 5.4). Apabila PA lancip, ditetapkan dari
B
l ke m adalah PAB , apabila PA tumpul,
B
ditetapkan sudut dari l ke m adalah PAC .
Perhatikan s, t, dan u pada Gambar 5.3. Ukuran
sudut s ke t adalah m(PAB)  60 karena
orientasi
ganda (P, A, B) positif. Sedangkan ukuran sudut dari
u ke t adalah m(CPB)  30 , sebab orientasi
ganda (P, C, B) negatif.

Gambar 5.4
Teorema 5.2:
Misalkan diberikan (……………….) s dan t yang
berpotongan di titik A tidak tegak lurus. Andaikan P
dan Q dua titik yang berbeda dari A, maka
m(PAP")  m QAQ")

6
 dan Q" (t  s )(Q) . diman P" (t  s )(P)
a

6
Bukti:
Ada 4 kasus, yaitu: 1) P,Q  s , P  s,Q  s , 3)
2)
P  s,Q  atau P  s,Q  s . Untuk kasus
s
P  s,Q  atau P  s,Q  s , pembuktian serupa
s
maka dianggap kasus serupa. Sehingga hanya ada
tiga kasus, yaitu:
1) P,Q  s
2) Salah satu dari P atau Q  s , dan
3) P  s,Q  s
Untuk kasus P,Q  s .
(t  s )(A)  t s (A)  t (A) Namakan
A
peta ini A” Jadi, A" A . Karena masing-masing
isometri dan A, Q dan P kolinear A  A" juga
maka

Gambar 5.5

kolinear. Akibatnya m(PAP")  (lihat

Gambar 5.5) m(QAQ")
6
 Untuk kasus P  s,Q  s . P'  s (P) ,
Misalkan
mak
a m(PAQ)  m(QAP'). P" t (P')
Misal
dan
Bt, maka m(P' AB)  m(BAP") .

6
Misalkan (t  s )(Q)  t s (Q)  t (Q)  Q",
maka m(QAB)  m(BAQ") ,
m(Q" AP")  m(Q" AB)  m(P" AB)
 m(BAQ)  m(BAP')
 m(P' AQ)
 m(QAP)
Jadi, m(PAQ)  m(P" AQ")
Maka dari itu, m(PAP')  m(QAQ"). Perhatikan
keadaan Gambar 5.6.

Gambar 5.6

Untuk kasus
P  s,Q  s . Misalkan
P'  s (P),Q'  s (Q), P" t dan Q" t (Q')
(P')
. Maka
m(PAQ)  m(BAQ)  dengan
B  s m(BAP)
.
m(PAQ)  m(Q' AB)  m(P' AB)
 m(Q' AP')
 m(CAP')  m(CAQ'), C  t
6
  m(P" AC )  m(Q" AC )
 m(P" AQ")

7
Jadi,
m(PAP")  m(QAQ"). Perhatikan Gambar
5.7.

Gambar 5.7

Jadi dapat disimpulkan bahwa:

m(PAP")  m(QAQ"), jika P" (t  s )(P) dan
Q" (t  s )(Q)
Berdasarkan pengetahuan diatas, Anda pelajari
pengertian rotasi yang diberikan pada definisi
berikut: Definisi 5.5:
Andaikan A sebuah (……………….) pada bidang
Euclid V dan  sebuah bilangan real yang
memenuhi
180    180 . sebuah rotasi mengelilingi A
adalah sebuah (……………….)  yang ditetapkan
A,

sebagai berikut. P V .
Untuk
a)  A, (P)  A , PA
jika
b)  A, (P)  P' AP  AP
7
 , jika
sehingga m(PAP')  dan
PA


7
Contoh 5.4:
Diberikan titik A, Q dan P. Lukis:
a)  A,60 (P)
b)  A,60 (Q) (P)=P’

Penyelesaian:
a) 1) buat AP , 2) buat PAB  60 , 3) buat
P' sehingga AP'  AP. Jadi A,60 (P)  P'
AB
1) buat AQ , 2) buat QAC  60, 3) buat

Q' AC sehingg AQ'  AQ . Jadi,

 A,60 (Q)  Q'.

Gambar 5.8

7
 B. Rotasi Sebagian Suatu Transformasi
Teorema 5.3:
Misalkan relasi yang ditetapkan sebagai berikut.
Untuk setiap P V , berlaku:
a)  A, (P)  A , jika 𝑃 = 𝐴.
b)  A, (P)  P' , sehingga m(PAP' )  dan

AP'  AP , jika P  A , maka relasi  A,
merupakan suatu (......................).

Bukti:
1) Ditunjukkan  fungsi dari V ke V.
bahwa A,

Ambil 𝑃 sembarang titik pada V. Berdasarkan a)

P mempunyai peta yang tunggal, yaitu  , jika
A,

 A, . Berdasarkan a) P mempunyai peta yang

tunggal, yaitu  A, , jika  A, . Jadi, fungsi dariV
ke V..
2) Akan ditunjukkan  adalah injektif.
bahwa
A,

Pandang dua titik

P,Q V dengan
 A, (P)   A, (Q)  P' . Maka
m(PAP')  m(QAP')  dan

AP'  AP  AQ . Akibatnya lebih lanjut jelas

7
P  Q Jadi,  adalah injektif.
A,

7
 3) Akan dibuktikan bahwa surjektif.

Gambar 5.9

Ambil sebarang titik

Q V , maka Q  A atau
Q  A. Bila Q  A , maka ada A sehingga
V
 A, ( A)  Q  A. Bila Q  A , maka ada sinar

AQ . Berdasarkan postulat kontruksi sudut ada

sinar AR , sehingga m(QAR)   .

Berdasarkan postulat penggaris ada

P  AR ,
sehingg AP  AQ . Dari uraian ini dapat
a
disimpulkan
 A, (P)  Q . Jadi, ada P V ,
sehingg
a
 A, (P)  untuk sebarang Q  A ,
Q
artinya
 surjektif.
A,

Karena 𝜌𝐴,𝜑: 1. Relasi dari 𝑉 ke 𝑉.

2. fungsi

7
 3. injektif
4. surjektif
Maka  suatu transformasi.
A,

7
 Teorema 5.4 :
Jika garis s dan t berpotongan di titik A dan
1
(……………….) dari s ke t adalah  , maka
2
 A,  t  s .

Teorema 5.5 :
Komposisi dua pencerminan pada garis adalah suatu
(……………….) atau (......................).

Teorema 5.6 :
Setiap (......................) adalah isometri langsung.

Teorema 5.7 ;
O, (P)  (x cos  y sin, x sin  y cos) atau
 x1  cos 
sin   x 
O, (P)      sin
 cos  y untuk
y1    
P(x, y) dan O(0,0)
V
x  OPcos a dan y  OPsin a
Sedangkan,
x' OPcos(a )  OP(cos a sin sin a sin)
x' (OPcos a) cos  (OPsin a)sin
x' x cos  y sin
y' OPsin(a )  OP(sin a cos  cos a sin)
y' (OPsin a) cos  (OPcos a)sin
y' y cos  xsin
Atau kalau ditulis secara matriks, didapat:

7
 x'  cos  sin  x 
 y'   sin  cos y 
    
Contoh 5.5:
Diberika O,60 dan titik P(1,2) . Tentukan koordinasi
n
P' O,60 (P)
Penyelesaian:
1 1
  60 , maka sin 60  3 cos 60  .
2
Sehingga: ,
2
P'  1 1
(1,2) 31 , 1
1  (1 2 32 )

O,60
2 2 2 2
1 1
( 3 , 1 3)
2

2
Secara matriks:
 1 1 
2  3 1   1 1 
P' O,60 (1,2)  2      3, 3 1
1 1  2 2 2 
 3  
2 2 
Teorema
5.8:
Untuk P(x, y) dan A(a,b) V , maka:
setiap
P' O, (P)  ((x  a)cos  ( y  b)sin  a,(x  a)sin  ( y  b)cos  b))
Atau,

7
 O, (P)   x'  cos  sin x  a 
 a  
y' sin   cos y  b b
      
Bukti:

8
 Perhatikan Gambar 5.11. Sistem koordinasi diubah
menjad
i xAy dengan aturan: x  x  a yyb
dan
, sehingga:
P(x, y)  (x  a, y  dan P'(x, y)  (x'a, y'b)
b)
Gunakan Teorema 5.7 pada
sistem xAy didapat:
 x'a  cos  sin  x  a 
 y'b   sin  cos y  b
    
Gunakan sistem 𝑥 ∘ 𝑦, maka didapat:
 x'  cos  sin  x  a  a
 y'   sin  cos y  b  b 
      

Gambar 5.10

Contoh 5.6:
Diberika A(1,0 dan garis s  {(x, y) | y  2x  3}.
n )
Tentukan persamaan
8
s' O,90 (S)

8
Penyelesaian:
Misalkan (x0 , y0 )  s , y0  2x  (1)
maka 3
 cos 90  sin 90 x0 1 
O,90 (x0 , y0 ) 1
 
 sin 90  cos  
90 y 0 0
  0   
 0 1 x0 1 1 
 1    
 0  0   0 
y
 0  y 0  1 
  
x
 0  1   0
 ( y0 1, x0  1)
Misalka O,90 (s)(x0 , y0 )  (x, y) , maka didapat:
n
x  y0 1 dan y  x0 1 atau y0  1 x dan
x0  y 1 (2)
Dari (1) dan (2) didapat: (1 x)  2( y 1)  atau
2y  x  2  0 . 3
Jadi, persamaan
s' O,90 (s)  {(x, y) | 2y  x  2  0}
Teorema 5.9:
Apabila O, , maka  A,1   A, .
diberikan 

Bukti:
Ambil garis s dan t pada V , sehingga t  s {A} dan
1
sudut dari s dan t adalah  , maka berdasarkan
2
Teorema 5.4 didapatkan bahwa
8
O,  s t dan

sudut dari s dan t adalah 1  . Karena

2

8
 (O, )1  (    
1
sebab
)1   1

t s t  s t s A,

1
{A}  t  dan sudut dari s dan t adalah .
s 2

Latihan
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai
materi diatas, kerjakan latihan berikut!
1) Diketahui titik A dan P yang berbeda. Lukiskan:
a)  A,90 (P) c)  A,45 (P)
b)  A,150 (P) d) Q hingga
 A,30 (Q) 
(P)
2) Dalam Gambar 5.12 m(ABC)  dan
40
m(BAD)  120 . Tentukan:
a) m(DAB) , m(BCA), m(ECA)

b) Besar sudut dari AB ke BC , dari AC ke BC ,

dari AB ke AC .

Gambar 5.11

8
 3) Diketahui titik A dan P yang berbeda. Lukis P’ dan
temukan m(DAB) jika P’ peta dari P oleh
transformasi di bawah ini.

8
 a)  A,30   c)  A,135   A,90
A,90

b)  A,60  d)  A,120   A,150

A,120

4) Tulislah komposisi transformasi berikut daam

bentuk paling sederhana.
a)  A,30   A,60 d)  A,60   A,15

b)  A,120   e)  A,120   A,150

A,90
f)  A,180   A,60
c)  A,135   A,90
5) Diketahui dua garis s dan t dan titik P dan Q seperti
pada Gambar 5.12.
a) Lukis P' (  )(P)
s t

b) Lukis P" (t s )(P)

c) Lukis Q' (st )(Q)

d) Lukis
m(PAP')  68 , tentukan sudut dari s ke
t.

Gambar 5.12

6) Diketahui sebuah titik A, lukislah dua garis s dan t

sehingg s t  A,60
a
7) Jika A, B dan B’ titik-titik diketahui dan jika
B' A, (B) . Lukis dua garis s dan t sehingga
8
 s t  A, .

8
 Gambar 5.13

8) Jika O titik awal dari A(1,0) . Tentukan:

a) O,60 (A) c) O,120 (A)
b) O,45 (A)
d) O,135 ( A)
9) Diketahui A(0,0) , s  {(x, y) | x  dan
0}
t  {(x, y) | y  x}.

a) Tentukan peta oleh t dari B(1,0) , C(0,3)

s
dan D(2,2) .
b) Jika P(x, y) titik sembarang, tentukan koordinat

(st )(P) .
c) Nyatakan t sebagai transformasi yang
sederhana
s
.
10) Ditentukan A(0,0) . Tentukan
 1 1rotasi yang
memetakan titik B(1,0) pada B'  , 3 dengan
 
 2 2 
pusat rotasi di A.
8
 a) O,90 d) O,90

b) O,180 e) O,60

c) O,120

9
 11) Apabila A(1,3 dan O titik awal, tulislah persamaan
)

gais s dan t sehingga t s sama dengan rotasi

berikut.
12) Jika L lingkaran dengan jari-jari 2 dengan pusat di
A( 2, 2) dan diketahui titik B(0,0) maka tulislah

persamaa
n L' B,45 (L) .
13) Lukis ABC sama sisi dengan titik sudut A diketahui
dan B pada garis s, C pada garis t, t dan s diketahui.
Buktikan lukisan anda memenuhi syarat, kemudian

Gambar 5.14
diskusikan ada berapa kemungkinan AB yang
dapat dilukis. C
Petunjuk jawaban latihan:
1) a) Misalkan P1  A,90 (P)  m(PAP1 )  90 .
b) Misalkan P2  A,150 (P)  m(PAP2 )  150
c) Misalkan P3  A,45 (P)  m(PAP3 )  45

9
 d) Karena
A,30 (P)  m(PAP1 )  (semua
30
lukisan pada Gambar 5.14)

Gambar 5.15
2) a) m(DAB)  120 , m(BCA)  80 ,
m(ECA)  100

b) Besar sudut dari AB ke BC  m(ABC)  40

Besar sudut dari AC ke BC  m(ACB)  80

Besar sudut dari AB BC  m(BAC)  60

ke
3) a) m(PAP')  m(PAP )  m(P AP')  90  30  120
1 1

Atau
1  90,2  30,|1  2 |180    1  2
120
dengan   m(PAP') .

9
 1 120,2  60 maka
|1 2 | 60 180    1 2  60
dengan m(PAP')    60

Gambar 5.16

Gambar 5.17

b) 1  2  90 135  225 180 maka,

  1 2  360  225  360 
135.
m(PAP')  135

Gambar 5.18
9
 c) 1 2  150 120  270  180 maka
  1 2  360
  270  360  90
m(PAP')  90

Gambar 5.19

4) a)  A,30  A,60  A,3060   A,90 , sebab

| 30  60 | 180

b) A,120 A,90  A,12090  A,30 , sebab

|120  90 | 180

c) A,135  A,90   A,13590360  A,135 , sebab

135  90  180
9
d)  A,60
 A,15   A,6045   A,105 , sebab
| 60  45 | 180

e) A,120 A,150  A,120150360  A,90 , sebab

120 150  180

f) A,180 A,60  A,180 A,60  A,18060360  A,120

,sebab 180  60  atau
180
 A  A,60   A,180  A,60   A,18060   A,120
, sebab | 180  60 | 180

1
5) a) s  , jika sudut dari t s 
ke
2
t A,

Gambar 5.20

1
b) t   A, , jika sudut dari t s 
ke
2
s

9
 c)
s 1
 , jika sudut dari t ke s 
t 2
A,

Gambar 5.21

d)
Karena m(PAP')  dan sudut dari s ke
68
1
t , maka sudut dari s ke t adalah
2

1
 (68)  34 .
2

Gambar 5.22
9
6) s t  A,60 berarti sudut dari t ke s adalah  30
dan {A}  s  t . Akibatnya pasangan s dan t tidak
tinggal. Contoh, seperti di bawah ini.

Gambar 5.23

7) B' A, (B)  m(BAB')   .

s t 1
  berarti sudut dari t ke s adalah 
2
A,
dan s  t {A}, pasangan garis s dan t ini juga
tidak tunggal. Contoh pasangan garis s dan t dilukis
di bawah ini.

Gambar 5.24

8) O(0,0) dan A(1,0) maka,

9
  1 1
2 3  
3 1   1 1 
a) O,60 ( A)  2     , 
1 1  0   2 2 
 3 
2 2 
3

 1 1
2 
2  2 1   1 1 
2
b) O,45 ( A)      2 , 2

1 1  0   2 2
 2 

2 2 
2

 1 1 
  3
  
c) O,120 ( A)   2 2 1    1 , 1 3 
1 1
 3   0   2 2 
2 2 
 1 1 
 2 2 
d) O,135 ( A)   1 2 2 1     1 2 ,  1 2 
 2 1  0  2 2 
  2  
 2 2 

9) Karena O(0,0), O(0,0), dan O(0,0) maka sudut

dari s ke t adalah O(0,0), dan O(0,0) maka,
0 1 1 
a) (  t  s )(B)   A,90 (B)      0,1

 1 0 0 
 0 1 1 
(  t  s )(C)   A,90 (C)      3,0
 
1 0 3 
 0 1  2 
9
 (  t  s )(D)   A,90 (D) 
0   2   2,2

1   
 0 1  x 
b) (  t  s )(P)   A,90 (P)       y,x

 1 0 y 

9
 c) (t s )  A,90
10) A,90 (B)  B', B(1,0) dan
 11  cos  sin 1 
(B)   2 2 3   sin cos 0 
   
1 

 1
 1 3  cos   dan sin   1 3

 
 2 2  2 2
   120
Anda ganbar B dan B’ pada bidang V supaya lebih
jelas.

Gambar 5.25

11) Pasangan garis s dan t tidak tunggal. Untuk a), b),

dan c) t s  hal ini berarti garis s dan t
0,

1
 1
terpotong di O(0,0) dan sudut dari s ke t  .
2
a)
  90 maka
{(x, y) | y  0}  s,t  {(x, y) | y  x}

1
 b)
  180 maka
{(x, y) | y  0}  s,t  {(x, y) | x 
0}
c)
  120 maka
3x}
{(x, y) | y  0}  s,t  {(x, y) | y


Untuk d) dan e)
t s   hal ini berarti garis s
A,

dan t berpotongan di A(1,3 dan sudut dari s ke

1 )
t .
2
d)
  90 maka
{(x, y) | y  3}  s,t  {(x, y) | y  x  2  0},
gradient garis t  tan 45  1 dan t
melalui A(1,3)
e)
  60 maka
{(x, y) | y  3}  s,t  {(x, y) | 3
3x  9  0}
3y  
, gradient garis t  dan t melalui A(1,3)
tan(30)

12) Pusat L adalah A( 2, 2) dan berjari-jari 2 maka,

persamaa
n L  {(x, y) | (x 2) 2  ( y 2)2  4}
 
 45  sin 45
 B,45 (P) cos  x 
sin 45 cos 45 y
1
   
 1 1 
2 2  2 x

2
   untuk setiap P(x, y) ,
1 1  y 
 2 
2 2 
2

misalkan (xO , yO ) 1, maka

1
 a)
x O 2   y
2
2  2
4
 
O

b)   12 1 
2  22  O
  x  1 2xO  1 ,2 yO 1 2xO  1 2
yO

 (x, y)

1    2 2 
1  y  2 
2
2  
O
 2 2 2 
1
Atau 2x  2 yO  dan
1
x
2 O

2
1
2x  2 y.
1
yO
2 O

2
x
Apabila diselesaikan diperoleh xO  dan
y
2
yO  y  x
.
2
Dari a) dan b) didapat
xy 2
  yx 2   4 atau
2 
2

 2
 
 2
kalau diselesaikan didapat
(x  y  2)
1
 Persamaa
n  ( y  x  2)2  8 .
L'   (L)  {(x, y) | (x  y  2)2  ( y  y  2)2  8}
B,45

atau
L' {(x, y) | 2x2  2y 2  8y suatu
lingkaran.
 0}
13) a) Tentukan s'  A,60 (s)
b) Tentukan s't  C

c) Tentukan B   A,60 (C)  s

1
 d) AB sama sisi terlukis.
C

Bukti: s'  A,60 dan t  s'  {C}  C  s' .

(s)
B   A,60 (C) mak m(CAB)  dan
s a 60
AB  AC .
ABC sama kaki
 BAC  ACB  m(BAC)  m(ACB)  60
Jadi ABC sama sisi.

1
 Rangkuman

1. Sebuah rotasi mengelilingi A pada bidang Euclid V

adalah sebuah rotasi P(x, y) yang ditetapkan
sebagai berikut: Untuk P(x, y)
a.  A, ()  A P  A
jika

b.  A, (P)  P' sehingga m  (PAP')  dan


AP'  jika P  A
AP
2. Suatu rotasi  dapat dinyatakan sebagai
A,

komposisi dua pencerminan

t  sehingga sudut
s
dari s ke t adalah 1
dan s  t  {A}

2
3. Rotasi merupakan isometri langsung.
4.
 1   A,
cos

sin   x 
A,
5. O, (P)   
cos  untuk setiap
sin
 y
  
P(x, y) V dan O(0,0).

1
Kegiatan Belajar 2 : Komposisi Rotasi
A. Komposisi Rotasi Di Satu
Titik Teorema 5.10
Komposisi dua rotasi dengan (……………….) pada
(......................) yang sama merupakan rotasi dengan pusat
yang sama pula.
Bukti:
Titk A pada bidang Euclid V , dan 180  1  dan
180
180 
2
 180  dan  A,
, A,
1 2

Berdasarkan teorema 5.4, A,  t  s dengan {A}  t  s

1

dan sudut dari s ke t adalah 1 

 dan  m  t
A,
1
2 2

dengan {A}  m  t dan sudut dari t ke m adalah 1

2.
2
1
Dengan
adalah demikian, sudut dari s ke m    .

 2
1 2

A,
2
  A,  m  t t 
s 
2

 m  (t  t )  s
 m     s
 m  s
2
 1
A,

1
 1 2 

1

A,
dengan      
1
2
Hubungkan antara 1 2 , dan  sehingga
,
2
 1
  dapat dipelajari pada teorema 5.11.
A, A, A,

1
 Teorema 5.11
Bila 1 dan maka terdapat hubungan berikut ini.
2
1. Jika 0 |1  2 |180 maka   1  2 .
2. Jika |1  2 | mak  suatu setengah
180 a A,

putaran.
3. Jika 1  2 180 maka   1  2  360 .
4. Jika 1   2 180 maka   1  2  360 .

5. Jika 1   2  0  suatu identitas.

maka A,

Bukti:
1. 0 |1  2 |180 berarti 180  1  2 
180 . Karena   1  2 maka 180    180
. Jadi  memenuhi definisi 5.5.

2.|1  2 | berarti a) 1   2  atau b)

180 180
1   2  180 . 1   2  maka
Untuk 180
 A, (P)   A,180 (P) . P'   A,180 maka
Misalkan (P)
m(PAP')  180,
PA  P' A . Hal ini berarti
dan
1
bahwa A titik tengah
PP' . Jadi,  A (P)  P'. Artinya
 A, (P)   A (P),P V. .    A,
Akibatnya A,

dengan   1  2  180 . 1 2  180

Untuk

mak
a  A, (P)   A,180 (P). Misalkan

P'   A,180 maka m(PAP')  dan

(P) 180

1
 PA  P' A . Hal ini, berarti juga bahwa A titik tengah
PP' . Jadi,  A (P)  P'. Artinya
 A, (P)   A (P),P Akibatnya    A,
V. A,

dengan   1  2  180 . Jadi, apabila

|1  2 |180  suatu setengah putaran.

maka A,

3. 1   2  180 , tetapi Anda mengetahui dari definisi

5.5 bahwa 1 2  360 . Artinya didapat:
180  1  2  360
 180   1  2  360  360  360
360
 180  1  2  360  0
 180  1  2  360  180
 180  1  2  180
Sehingga syarat Definisi 5.5 terpenuhi dengan
  1  2  360 .
4. 1   2  180 , tetapi Anda mengetahui
dari
Definisi 5.5. bahwa 1 2  360 . Akibatnya
didapat:
 360   1  2
 360  180  1  2  360
360   1  2  360
 0 180
1
 1   2  360 
 1  2 180


180

360

180

180

180

1
 Jadi,
1   2 memenuhi syarat dari Defnisi
180
  1  2  360.
5.5 dengan

5. 1  2  0 maka 2  0 1  1 sehingga:

A,     A,   A,  A,0
A,

A,
1 2 1 2

Teorema 5.12
Himpunan yang terdiri dari semua (……………….) dengan
pusat yang sama membentuk sistem matematika grup
terhadap operasi “  ”.
Bukti:
Anda telah mengetahui dari Modul 1, bahwa himpunan
semua transformasi T membentuk grup terhadap operasi
komposisi (……………….). Karena setiap (......................)
merupakan transformasi, apabila R himpunan semua
rotasi-rotasi dengan pusat yang sama maka RT.
Berdasarkan Teorema 5.10, operasi komposisi “  ” tertutup
pada R , dan berdasarkan Teorema 5.9, apabila  A,  R
mak
a ( )1  ( )  R . Karena R tertutup terhadap
A, A,
operasi komposisi dan setiap
 A,  mengakibatkan
R
( )1  R , berdasarkan teorema dan struktur Aljabar
A,

1
tentang subgrup maka
(R, merupakan subgrup
)
transformasi (T ,) . Jadi, (R,) adalah (......................).

1
B. Komposisi Rotasi Dengan Pusat Berlainan

Teorema 5.13
Komposisi dua rotasi dengan pusat pada titik berbeda
adalah rotasi atau sebuah (......................).
Bukti:
Ambil dua rotasi sebarang  B, , A  B . Tarik
dan
A, 1 2

garis s  AB . Ambil garis l, s, t sehingga

1
s  t  {A},l  s  {B} dan sudut dari t dan s adalah 1
1 2
dan sudut dari s ke t  . Maka   dan
adalah 
A,1 s t
2
2
 2
 l  (Gambar 5.1).
A, s
B,    (l  s )  (s  t )
2 A,
1

 l  (s  s )  t
 l    t

 l  t

1
Ga
mb
ar
5.2
6

1
Contoh:
Diberikan dua titik A dan A  B pada bidang V ,1  60
B,
2 1
dan
2  60. Lukis titik C sehingga B,    C, .
A,

Kemudian tentukan sudut  .

Penyelesaian:

Ambil garis
s  AB . Buat garis t melalui A sehingga sudut
1
dari t ke s adalah 30   . Buat garis l melalui B sehingga
1
2
1
sudut dari s ke l adalah 30 
. Titik C merupakan irisan

2
2
antara garis t dan l.
B,  A,  (l  s )  (s  t )
2
1

 l  t


1 2
Maka sudut
1
 Gambar
5.27 adalah ukuran sudut dari t ke l, yaitu
30  30  60 . Jadi,   120  1  2 .

1
Contoh:
Diberikan dua titik A dan A  B pada bidang V ,1  60
B,
dan  2  90. Lukis titik C C,  B,60   A,90
sehingga

. Kemudian tentukan sudut  .

Gambar 5.28

Penyelesaian:

Ambil garis
s  AB . Buat garis t melalui A sehingga sudut
1
dari t ke s adalah
 45  . Buat garis l melalui B

2
2
1 1
sehingga sudut dari s ke l adalah 30  
. 1
merupakan irisan antara garis t dan l. 2
1
  (180  (135  30)) 
15
2
  30  90  60  2
1
. Titik C

1
Contoh:
Diberikan dua titik A dan B, A  B,1  120,2  90.
Tentukan C dan  sehingga B,  
2 1  C, .
A,

Gambar 5.29

Penyelesaian:

Ambil garis
s  AB . Buat garis t melalui A sehingga sudut
1
dari t ke s adalah 60   , dan garis l melalui B sehingga
1
2
1
sudut dari s ke l adalah 45   . Maka C melalui titik
2
potong t dan l. 2

1
  (180  (60  45))  75    150
2
1  2  360  120  90  360  150
Jadi,   1  2  360

Contoh:
Diberikan dua titik A dan B, A  B,1  120,2  150 .
1 2 1
Tentukan C dan  sehingga B,    C, .
A,

1
Penyelesaian:

Ambil garis
s  AB . Buat garis t melalui A sehingga sudut
1
dari t ke s adalah  60   , dan garis l melalui B sehingga
1
2

Gambar 5.30

1
sudut dari s ke l adalah  75  .
2
2
1
  (180  (60  75))  45    90
2
1  2  360  120 150  360  90
Jadi,   1  2  360
Apabila anda masih belum yakin mengenai kaidah pada
bukti Teorema 5.13, dipersilahkan mencari sendiri sesuai
kasus tersebut diatas, sebagai latihan. Permasalahan
timbul yaitu cara menentukan titik C yang memenuhi
B,    C, , apabila pada bidang Euclid V terdapat
2 1

A,

koordinat ortogonal. Untuk menyelesaikan masalah ini, anda

mempelajari contoh berikut ini.
1
Contoh:
Apabila A(1,0), B(2,0),1  dan 2  60. Tentukan
90
2 1

oordinat titik C dan  sehingga B,    C, .

Penyelesaian: A,

A(1,0), B(2,0)
maka AB  {(x, y) | y  0} sebagai garis
s. Garis t melalui A sehingga sudut dari t ke s 45 .
adalah
Akibatnya koefisien arah dari t adalah 𝑡𝑎𝑛 135∘ = −1. Oleh
sebab itu,
t  {(x, y) | y  0  1(x 1)}  {(x, y) | y  x 1  0}. Garis l
melalui B sehingga sudut dari s ke l adalah 30 . Akibatnya
1
koefisien arah dari l adalah 30  3 . Sehingga
3
persmaan
 1
l  (x, y) | y  0  3(x  2) 

(x, y) | 63x  0 
3y 
  3
 3 
C perpotongan antara t dan l maka koordinat C didapat
dari:
y  x 1  0 dan 3y 3x  63  0

Apabila anda selesaikan akan diperoleh:
7 37
x 3 7
7 . Jadi, C 39  37
9 y 7 ,
 
2 2  2 2 

1
1  2  90  60  150  180 maka
  1  2  150

1
Perhatikan gambar lukisan pada gambar 5.31.

Gambar 5.31

C. Komposisi Rotasi dengan Translasi

Teorema 5.14
Komposisi sebuah (……………….) dan sebuah
(……………….) adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya
sama dengan sudut rotasi yang diketahui.
Bukti:
Ambil sebarang rotasi
 dan translasi  BC . Komposisi
A,

kedua isometri ini adalah:

a)  A,   BC ; dan
b)  BC   A, ,

Untuk a)
 A,   BC .

Misalkan 2DA  BC . Misalkan garis t melalui D tegak lurus

BC dan garis s melalui A sejajar t maka  BC  s  t .

1
Misalkan garis r melalui A sehingga sudut dari s ke r adalah
1
 maka   s  t . Akibatnya didapat:
A,
2

1
 A,    (r  s )  (s  t )
BC

 r  (s  s )  t
 r    t
 r  t
  E ,
1

Dimana 1  dan {E}  r  t



Gambar 5.32

Teorema 5.15
Himpunan semua translasi dan rotasi membentuk sistem
matematika grup terhadap operasi (......................) “  ”.

Latihan:
1) Diketahui titik-titik A, B, dan P seprti Gambar 6.8.

Gambar 6.8

1
 a) Jika T  B,30   maka lukis A’ = T(A) dan
A,90

T’ = T(P).

1
 b) Tentukan C pusat rotasi dari T.
c) Tentukan m(PCP')

2) Diketahui titik A, B, P, dan Q seperti pada Gambar

5.36. jika T  A,135  B,45 . Lukis P’ = T(P) dan Q’
= T(Q) dan tentukan pusat rotasi T.

Gambar 6.9

3) Jika A, B, P, P’, dan P” titik-titik, seprti pada Gambar

Gambar 5.33

5.33 dengan P'  A,1 dan P" B,2 (P) .

(P)
2 1
Tentukan C
sehingga C,  B,   A, .
4) Jika
C,  B,   A, . Tentukan  jika:
2 1

a) 1  30,2  135
b) 1  90,2  160

1
 c) 1  150,2  120

1
 d) 1  100,2  130
5) Selesaikan tiap persamaan berikut sehingga
180    180 .

a)   
G,
3
 A,120


b)  A,
4



c) B,  C,40  D,160

d) A,60  B,  C,90  C,45
6) Jika A(2,0) dan O(0,0) dan T   A   A,90 , maka
tentukan:
a) Macam pemetaan T.
b) Semua koordinat titik K sehingga T(K)=K.
7) Diketahui T   A,60  B,60 , A(0,0) dan
B(4,0),
a) Tentukan macam pemetaan T.
b) Jika P sebarang titik dan P’=T(P), tentukan PP’.
8) Diketahui titik A dan B dengan A  B , lukis semua

titik P C,60 (P)   A,90 (P)

sehingga
9) Jika
AB sebuah segitia sama sisi dan P titik
C
diketahui dan T  C,120  B,120  A,120 ,
a) Lukis A’=T(A)
b) Lukis P’=T(P)
c) Nyatakanlah T.
1
 Rangkuman

1. Komposisi rotasi dengan pusat pada titik yang sama

merupakan rotasi dengan pusat yang sama pula.
2. Himpunan semua rotasi yang berpusat sama
membentuk system matematika grup terhadap
operasi komposisi.
3. Komposisi dua rotasi dengan pusat pada titik berbeda
adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.
4. Komposisi sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah
sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan
sudut rotasi yang diketahui.
5. Himpunan semua rotasi dan translasi membenuk
system matematika grup terhadap operasi komposisi.

1
 Tes Formatif Modul 5

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Diberikan titik A dan B serta dua garis s dan t melalui
A. lukisan titk B’ B'  A, adalah …..
sehingga
(B')

2) Jika diberikan A(2,2) dan B(1,2 maka koordinat

)

titik D
sehingga D   A,60 ( adalah .....
1 3 A)

A. , 32
 
 21 23 
B. , 32
 
 2 1 2 3 
C.  , 32
 
 2 2 
1
  1 3 
D.  , 32
 
 2 2 

1
3) Diberikan titik A(1,2) . Persamaan garis s dan t yang

memenuhi syarat t  s   A,90 adalah .....

A. s  (x, y) | x  1,t  (x, y) | y  1 x
B. s  (x, y) | y  2,t  (x, y) | y  x  3  0
C. s  (x, y) | x  1,t  (x, y) | y  x  3  0
D. s  (x, y) | x  y,t  (x, y) | y  0
4) Perhatikan gambar berikut ini:
dengan m(ABC )  20 ,
m(CAD)  130. Sudut dari

AC ke BC adalah .....
A. 110
B.  70
C. 110
D. 70
5) Jika A(0,0) dan C(1,3 maka koordinat titik D
)

sehingga C   A,60 (D) adalah .....

1 1
A.  3 1 3
, 3


 
 21 21 2 2
B.  3 1 3
, 3


 
 12 12 2 2
C.  3 ,

1
 1 3
3

 
2 2 2 2

1
6) Diketahui titik A, B, dan P. lukisan yang benar dalam
rangka menentukan titik P’ sehingga

P  B,30   A,70 (P') adalah …..

7) Apabila
C,  B,   dan
A,
2 1

1  120,2  160 maka nilai  adalah …..

A.  640
B. 80
C. 100
D.  280
8) Diberikan pernyataan-pernyataan berikut:
I.  A,    B,  1  
2
AC
1
II.   
 1 B, B,
2 2
III. A, A,

2
  A,2   A,

1
 1

  A,   A,
1

Pernyataan diatas yang benar adalah …..

A. I, II saja

1
 B. II, III saja
C. I, III saja
D. I, II, III
9) Diberikan pernyataan-pernyataan berikut:
I. Jika 1  maka   2
tidak memiliki
2 A, A,

titik 1

invariant
II. Jika 2  1   tidak memiliki
2 1

maka titik A,

B,
invariant
III. Himpunan semua rotasi membentuk grup
terhadap operasi komposisi
IV. Jika 1   2  180 dan    C, 1

A, B,
2

, maka   1 2  360

Dari 4 (empat) pernyataan diatas yang benar adalah

…..
A. I, III saja
B. II, IV saja
C. I, II, III, saja
D. I, II, III, IV

10) Diberikan titik A(0,0), B(0,1) dan P(4,0). Koordinat

titik P’
P'   A,90  B,45 adalah …..
sehingga
(P)
 3 5 
A.  2 1 , 2
1
   
 32 25  
B.  2 1 ,  2
  
 2 2 

1
  5 
3 21 , 2
C.
 2 
2 5 
 21 ,  2
3 2 
D.

2

1
 MODUL 6
Refleksi Geser dan Grup Isometri

Kegiatan Belajar 1 : Refleksi Geser

Definisi 6.1
Pemetaan  disebut (......................) apabila ada garis

v dan sebuah ruas garis berarah AB yang sejajar v

sehingga    AB  v , dengan v disebut sumbu refleksi
geser.

Teorema 6.1
Refleksi geser adalah sebuah transformasi.

Teorema 6.2
Refleksi geser adalah sebuah isometri.

Teorema 6.3
Refleksi geser merupakan isometri lawan.

Teorema 6.4
Komposisi refleksi dengan rotasi yang pusatnya tidak
pada garis yang dikomposisikan adalah
(......................).

Teorema 6.5 (Teorema akibat)

Jika ruas garis berarah AB tidak tegak tulus terhadap

garis s yang diketahui, maka komposisi translasi
 AB
dengan refleksi
adalah (......................).
s
1
Teorema 6.6

Jika ruas garis berarah AB tegak lurus terhadap garis

s yang diketahui, maka komposisi translasi  dengan
AB
refleksi
adalah (......................).
s
Teorema 6.7
Misal diketahui tiga buah garis r, s, dan t yang
ketiganya tidak kongkruen (kongkruen = melalui satu
titik) dan tidak ketiganya sekaligus sejajar, maka
komposisi refleksi terhadap ketiga garis itu
adalah suatu ( ).

Teorema 6.8
Diberikan  refleksi geser dan P adalah sebarang titik.
Bila v sumbu refleksi geser  , msks v melalui titik tengah
PP' dengan p'   (P) .
Contoh 6.1
: Diketahui A(2,- 3), B(6,4), t {(x, y)| y  0}, dan
   AB  v . Tentukan  ((1,2))!
Penyelesaian :
 ((1,2))  ( AB  t )((1,2))   AB (t (1,2))
 AB (1,2)
 ((6  2)  1, (4  3)  2)
 (5,5)
Contoh 6.2 :
Diketahui A(2, 0), B(6,4),, dan
 ((1,2))  ( AB  v )(1,2) . Tentukan persamaan
1
 sumbu refleksi geser  !

1
Penyelesaian :
   AB  v , maka menurut Definisi 6.1 sumbu, bahwa
refleksi geser  adalah garis t yang sejajar dengan AB
. Karena  ((1,2))  (5,2) , maka menurut Teorema
6.8, garis t melalui titik tengah dari ruas garis yang
titik-titik ujungnya (1,2) dan (5,2) . Misal titik tengah
ruas garis
tersebut adalah X, maka koordinat X (2,2) . Garis t

mempunyai gradien mAB  1 dan melalui (2,2) , maka

persamaan t adalah y  2  x  atau y  x  4  0 .
2
Jadi, persamaaannya t  {(x, y) | y  x  4  0}.

Latihan
1) Jika  merupakan komposisi translasi  dengan
AB

pencerminan
 s , di AB // s . Tentukan sumbu
dari  !
mana

2) Jika  refleksi geser, tunjukkan bahwa  isometri

lawan!

3) Diberikan  refleksi geser dan  P P' dengan

garis v adalah sumbu refleksi geser. Apakah garis v
melalui titik tengah PP' ?

4) Diberikan 0}
A(1,2), B(3,5), t  {(x, y) | x 
1
dan
   AB  t . Tentukan  ((4,2))!!
5) Diberikan
A(2,3), dan  ((1,2))  (5,9) .
B(6,4),
Tentukan sumbu refleksi geser  !

1
 Rangkuman

1. Jika  adalah refleksi geser dengan    AB  v ,

maka v adalah sumbu refleksi geser dan v // AB .
2. Refleksi geser merupakan isometri lawan.

3. Komposisi refleksi dengan rotasi yang pusatnya

tidak pada garis yang dikomposisikan merupakan
refleksi geser.

4. Jika AB tidak tegak lurus terhadap garis s yang

diketahui, maka komposisi translasi
 dengan
AB
refleksi
adalah refleksi geser.
s

5. Jika AB tegak lurus terhadap garis s yang

diketahui, maka komposisi translasi
 dengan
AB
refleksi
adalah refleksi pencerminan.
s
6. Komposisi refleksi terhadap tiga buah garis yang
ketiganya tidak melalui satu titik dan tidak
ketiganya sekaligus sejajar adalah suatu refleksi
geser.

7. Jika  refleksi geser dengan sumbu v, maka v

1
 melalui titik tengah
PP' dengan P'   untuk
sebarang P. (P)

1
Kegiatan Belajar 2 : Grup Isometri.
Definisi 6.2 :
Suatu himunan S  himpunan kosong dan operasi 
yang dinotasikan dengan (S, disebut
)
(……………….), jika memenuhi aksioma-aksioma
berikut:
1. S tertutup terhadap operasi  , artinya
a, b  S, a  b  S.

2. Operasi  asosiatif pada S, artinya

a, b, c  S,(a  b)  c  a  (b  c)

3. Ada unsur identitas, untuk setiap anggota S,

artinya e  S, a  S, a  e  e  a  a

4. Untuk setiap anggota S, mempunyai balikan

di S, artinya: a  S, b  S, a  b  b  a  e

Keterangan :  dibaca untuk setiap,  dibaca

terdapat atau ada.

Teorema 6.9:
Himpunan isometri G yang anggota-anggotanya
refleksi, translasi, rotasi, dan refleksi geser adalah
(......................) terhadap operasi komposisi.

Definisi 6.3:
Jika H  G dengan H  himpunan kosong, (G,)

adalah grup, dan jika (H , grup, maka  disebut

)
(……………….) dari grup (G,) .

1
 Contoh 6.3:
Himpunan T merupakan himpunan semua translasi,
maka T dapat ditulis T  { nAB n bilangan bulat}
dan
 adalah operasi komposisi. Periksalah apakah
(T ,) merupakan grup!
Penyelesaian:
Aksioma 1:
Menurut teorema, operasi  tertutup pada himpunan
(……………….). (Untuk jelasnya coba lihat kembali
sifat ketertutupan translasi terhadap operasi
komposisi). Jadi aksioma ketertutupan terpenuhi.
Aksioma 2:
Juga menurut teorema operasi komposisi pada
translasi bersifat (……………….). Jadi, Aksioma 2
terpenuhi.
Aksioma 3:
Translasi
 dengan n  0 , maka  0 AB
nAB berarti
merupakan identitas. Sehingga
 nAB   0   0 AB   nAB   nAB . Jadi, identitasnya
AB

ada yaitu  0
AB . Aksioma 4:
Balikan dari  adalah  sebab
nAB nAB

 nAB   nAB   nAB   nAB   0 AB . Jadi, ada

invers (balikan) untuk setiap translasi  nAB yaitu 
1
nAB . Karena Aksioma 1 sampai Aksioma 4
dipenuhi, maka
(T ,) merupakan grup. Karena T  G dimana
(G,) dan (T , grup, maka (T , disebut subgrup
) )

1
 dari (G, atau himpunan translasi-translasi dengan
)
operasi komposisi merupakan subgrup dari
(......................).

Contoh 6.4:
Perhatikan bahwa himpunan rotasi-rotasi yang
pusatnya titik tertentu dengan operasi komposisi
merupakan grup.
Penyelesaian:
Apabila R adalah himpunan rotasi-rotasi yang
pusatnya titik tertentu, maka R dapat ditulis
R  {A, | 180    180} . Akan
ditunjukkan
bahwa adalah grup!
(R,)
Aksioma 1:
Sifat ketertutupan. Ambil dua rotasi yang pusatnya A,
misal  A,    A, 
dan , maka 
A, A, A,
1 2 1 2 1 2
merupakan rotasi dengan pusat A dan besar sudut
rotasinya diantara 180 sampai dengan 180 .
Aksioma 2:
Karena sifat asosiatif berlaku pada operasi
penjumlahan bilangan real
1 ,  dan 3 , yaitu
2

(1  2 )  3  1  (2  3 ) , maka

(A,   )  A,  A,  (A,
1 A,

1
 A, ) .
2 3 1 2 3
Aksioma 2 dipenuhi.
Aksioma 3:
Ada rotasi identitas, taitu  sedemikian rupa
A,0

sehingg
a    A,0   A,0     A, . Jadi,
A, A,
1 1 1
Aksioma 3 dipenuhi.

1
 Aksioma 4:
Untuk setiap rotasi  1 mempunyai balikan, yaitu
A,

rotasi
 sedemikian sehingga
A,
1

A,    A,  A,0 . Jadi, Aksioma 4

1

A, A,
1 1 1
dipenuhi.
Karena keempat aksioma grup diatas dipenuhi, maka
(R,) adalah grup.

LATIHAN

1) Buat tabel Cayley operasi komposisi pada

himpuna
n
C  [ t , dimana I adalah
I]
transformasi identitas dan
adalh pencerminan
t
terhadap garis t!

2) Diketahui T adalah himpunan semua

pencerminan terhadap garis tertentu dan 
adalah operasi komposisi. Apakah (T , grup?
Berikan komentar! )

3) Misal
A, adalah rotasi dengan pusat A dan

besar sudut rotasi  dan s

1
adalah pencerminan
terhadap garis s. Apabila
Q  [A, , dan 
s ]
adalah operasi komposisi. Apakah
(Q,)
merupakan grup?

4) Diberikan s dan t berturut-turut adalah

pencerminan terhadap garis s dan garis t.

1
 Apakah komposisi kedua pencerminan tersebut
bersifat tertutup? Tentukan hasil komposisi
tersebut!

5) Diberikan A, adalah rotasi dengan pusat A dan

sudut rotasinya I , dan    BC adalah

 t
refleksi geser. Apakah
A,  bersifat tertutup?

Tentukan hasil komposisinya!

1
 Rangkuman

1. Himpunan transformasi-transformasi dengan

operasi mebentuk grup.
2. Himpunan S = {pencerminan, translasi, rotasi,
refleksi geser} dengan operasi komposisi
membentuk grup.
3. Himpunan-himpunan yang merupakan sub grup
dari grup isometri S diantaranya adalah:
a. T  { nAB bilangan bulat}
|n
b. C {t ,
I}
c. R {A, | 180    180}

1
 Tes Formatif Modul 6

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1)
Jika  refleksi geser,  (P)  Q dan P  Q , maka
sumbu refleksi geser  melalui …..

A. P

B. Q

C. P dan Q

D. Titik tengah PQ
2)
Jika r, s, dan t tiga buah garis yang ketiganya
tidak melalui satu titik dan tidak sekaligus
ketiganya sejajar, r   s  adalah .....
maka
t
A. Translasi

B. Rotasi

C. Pencerminan

D. Refleksi geser

3)
Jika refleksi geser    AB dengan
 t
 ((4,2))  (8,4) , maka garis t melalui titik P
dengan koordinat .....

A. (4,2)

B. (8,4)

1
C. (6,3)

1
 D. (16,8)
4)
Jika A(0,0), B(4,2) dan refleksi geser
   AB  t , maka gradien garis t adalah .....
1
A.
2

B. 2

C.  2
1
D. 
2
5)
Diberikan titik A(4,5), B(2,3) , garis t melalui titk

P(2,1) , dan
   AB merupakan refleksi
 t
geser dengan sumbu garis t, maka persamaan t
adalah ...

A. y  x  3  0

B. y  x  3  0

C.  y  x  3  0

D. y  x  3  0
6)
Himpunan isometri berikut yng tertutup terhadap
operasi komposisi adalah .....
A. Himpunan pencerminan
B. Himpunan translasi
C. Himpunan rotasi
1
D. Himpunan refleksi geser

1
 7)
Operasi komposisi tertutup pada himpunan G, jika G
.....
A. {rotasi-rotasi}
B. (isometri-isometri}
C. {refleksi geser, pencerminan}
D. {rotasi, translasi}
8)
Komposisi dua pencerminan s dengan t adalah
.....
A. Translasi, jika s sejajar dengan t
B. Rotasi, jika s tidak sejajar dengan t
C. I, jika s  t
D. A, B, dan C semua benar
9)
Komposisi antara rotasi A, dengan A,
merupakan suatu translasi, jika .....
A. 
B.     0
C.     0
D. A  B

T  {( nAB
10)
Jika bilangan bulat} dan  adalah
|n
operasi komposisi, maka .....
A. (T grup
,)
grup
B. (
,)

C. ( grup
nAB ,)
D. (n,) grup

1
 Modul 7
Teorema Dasar Isometri

Kegiatan Belajar 1 : Teorema Ketunggalan dan

Teorema Dasar Isometri
A. Teorema Ketunggalan Isometri
Teorema 7.1 (Teorema Ketunggalan Isometri):
Diketahui tiga titik A, B, dan C yang tak segaris dan
titik-titik A’, B’, dan C’. Ada paling banyak satu isometri
yang memetakan A ke A’, B ke B’, dan C ke C’.

Teorema 7.2:
Jika s adalah garis yang melalui titik asal dan
pencerminan s memetakan titik A(1,0) ke titik

B(h, k) , maka
s (x, y)  (hx  ky, kx untuk
setiap (x, y) V .
 hy)
Contoh 7.1:
Jika O(0,0) dan P(x, y) , tentukan rumus peta P

terhadap rotasi
0,60 !
Penyelesaian:
Misal garis s melalui O(0,0) dan menyudut 30
dengan sumbu s, titik
A(1,0) , dan peta A oleh s
adalah B atau
s (A)  B . Untuk menentukan
koordinasi B, perhatikan segitiga OCB yang siku-siku
di C dengan mBOC  60 . Pada segitiga OCB
1 1
tersebut, OC  , OB  1 . Maka BC 
1
3 . (dengan
2 2

1
 rumus Pythagoras). Dengan demikian koordinasi
1 
1B , 3 .
 
2 2 

Gambar 7.1

Jika P(x, y) maka dengan menggunakan Teorema 7.2

kita peroleh: 1 1 1 1 
 (P)   (x, y)  x 3y 3x  y .

2 
s s
2 2 
 2
Tetapi jika t adalah sumbu-x maka O,60  s t . Oleh
karena itu, kita peroleh: 1 1 1 1 
 (P)    (P)   [ (x, y)]   (x, y)   3y 3x  y
 
O,60 ts t s s  
2 2 2 2 
Contoh
7.2: A(0,2), B(0,6),C(3,6), A'(3,0), B'(7,0),
Diketahui
dan C'(7,3) . S adalah sebuah isometri yang
memetaka AB ke A' B'C' . C'(7,3)
n
C Jika

1
 adalah sebarang titik di bidang, maka tentukan S(P)!
Penyelesaian:
Bila AB dan A' dibuat gambarnya, maka
C B'C'
akan seperti gambar dibawah ini. Dari tersebut
ABC

1
 kita dapat memperoleh
A' dengan cara
B'C'
mentransformasikan berturut-turut, yaitu

Gambar 7.2

Dengan translasi  AO , rotasi ),90 , translasi  AO ,

dan refleksi  x .

Jadi, isometri S  x AO ),90 AO . Titik P(x, y) diambil

sebarang, maka:
S(P)  S(x, y)   x AO ),90[ AO (x, y)]  x  AO ),90[(x 
0, y  2)
 x AO[),90 (x, y  2]  x ( AO ( y  2, x))
 x[(y  2  3, x  0)]  x[(y 1,x)]  (y 1,x)
Jadi, S(P)  S(x, y)  ( y 1,x) .

B. Teorema Dasar Isometri

Lemma 7.1:
Jika
1
AB  CD , maka ada dua isometri yang
memetakan A ke C dan B ke D, yaitu yang satu
(......................) dan satu lagi isometri lawan.

1
Teorema 7.3 (Teorema Ketunggalan Isometri):
Setiap (……………….) adalah komposisi paling
banyak tiga refleksi (pencerminan).

Teorema 7.4 (Teorema Akibat):

Setiap (......................) adalah sebuah refleksi, refleksi
geser translasi, atau rotasi.

Teorema 7.5:
Jika ABC  A' B'C', maka ada tepat satu isometri T
yang memetakan A ke A’, B ke B’, dan C ke C’,

Definisi 7.1:
Dua buah himpunan disebut (……………….) jika dan
hanya jika ada sebuah isometri yang memetakan
suatu himpunan ke himpunan lainnya.

Contoh 7.3:
Diketahui T  t t  AB C, dan T tidak mempunyai
s
titik invarian. Isometri apakah T?
Penyelesaian:
s isometri lawan, C , isometri langsung,  AB


isometri langsung, t isometri lawan, dan  isometri

t
lawan. Jadi, T merupakan isometri lawan. Karena T
tidak mempunyai invarian, maka T adalah refleksi
geser, sebab isometri lawan itu kemungkinannya
refleksi dan refleksi geser. Karena refleksi
mempunyai titik invarian yang banyak sekali, yaitu

1
 garis sumbu refleksinya, maka T tidak munkin berupa
refleksi.

1
Contoh 7.4:
Diketahui titik A(3,2) B(6,2) , C(2,1) , dan
,
D(2,4) . Tentukan isometri langsung T, apabila
T ( A)  C dan T (B)  D .
Penyelesaian:
Bila kita buat gambarannya dalam sistem koordinat
kartesius, maka titik-titik di atas seperti pada Gambar
7.3. T yang diminta adalah isometri langsung, maka
kemungkinan dari T adalah translasi atau rotasi atau
merupakan komposisi dua isometri lawan. Bila
komposisinya lebih dari dua isometri, maka
kemungkinannya sangat banyak. Kedudukan ruas

garis AB dan CD bolah dikatakan istimewa, sebab

sejajar sumbu-sumbu koordinat. Apabila AB
dirotasikan sejauh 90 dengan pusat E(2,2) ,


maka
Gambar 7.3

titik A(3,2 akan menjadi titik A'(2,3) , dan titik

)
1
 B(6,2) akan menjadi titik B'(2,6) .

1
Agar titik A’ berimpit dengan C, maka kita translasikan
ruas
garis A' B' dengan  A'C . Sehingga T   A'C E,90

. Kita tahu bahwa E,90 adalah isometeri langsung dan

 A'C juga isometri langsung. Jadi, T   A'C

E,90 adalah isometri yang diminta.
Kita periksa, apakah benar T ( A) dan T (B)  D ?
C
T (A)  ( A'C E,90 )(3,2)
cos 90
 sin 903  2   2
  A'C [  E ,90 (3,2)]   A'C  cos 90   2  2   2
sin
90     
 0 15  2
  A'C
       A'C (2,3)  ((2  2)  2.(1  3)  3)  (2,1)  C

1 0  0  2
Jadi, T ( A)  C
Anda diminta untuk memeriksa bahwa T (B)  D .
(petunjuk: lakukan dengan cara yang sama, seperti
memeriksa T ( A)  C , tetapi tittik A diganti oleh titik
B).

Latihan
1) Apakah  s t  v  y merupakan isometri? Bila
w
benar, apakah merupakan isometri langsung atau
lawan?

2) Diberikan ruas garis AB ditransformasikan dengan

1
 T, sehingga T ( A)  dan T (B)  B'. Apabila
A'
AB  A' B', maka apakah T adalah satu-satunya
isometri?

3) Misalkan diketahui titik A dan B sehingga T ( A)  B

dengan T isometri. Isometri apakah T?

1
4) Menurut teorema ketunggalan isometri apabila
ABC  A' B'C' , maka ada tepat sebuah isometri
T sehingga T (ABC)  A' B'C' . Apakah ada
isometri T, apabila AB tidak kuivalen dengan
A' B'C'? C
5) Jika S adalah garis yang melalui O(0,0) dan
s (1,0)  (4,2) , maka tentukan s (3,2) !

1
 Rangkuman

1. Jika diberikan tiga titik A, B, dan C yang tidak

segaris dan titik-titik A’, B’, dan C’, maka ada
paling banyak satu isometri yang memetakan A ke
A’, B ke B’, dan C ke C’.

2. Jika s adalah garis yang melalui titik asal dan

pencerminan s memetakan titik A(1,0) ke B(h, k)

, maka
s (x, y)  (hx  ky, kx untuk setiap
(x, y) .
 hy)
3. Jika
Ab  CD , maka ada da isometri yang
memetakan A ke C dan B ke D, yaitu yang satu
isometri langsung dan satu lagi isometri lawan.

4. Setiap isometri adalah komposisi paling banyak

tiga refleksi (pencerminan).

5. Setiap isometri adalah sebuah refleksi, refleksi

geser, translasi, atau rotasi.

6. Jika
ABC  A' B'C', maka ada tepat satu
isometri T yang memetakan A ke A’, B ke B’, dan C
ke C’.

7. Dua buah himpunan disebut kongruen jika dan

hanya jika ada sebuah isometri yang memetakan
satu himpunan ke himpunan lainnya.

1
Kegiatan Belajar 2 : Kesamaan (Parity) dan Persamaan
Isometri
A. Kesamaan
(Parity) Lemma
7.2:
Jika P adalah sebuah titik, a dan b adalah garis, maka
ada garis c dan d, dengan c melalui P sehingga
ba  d c .

Teorema 7.6:
Komposisi empat buah pencerminan sama dengan
komposisi dua buah pencerminan.

Teorema 7.7:
Sebuah (……………….) dapat dinyatakan sebagai
komposisi dua buah refleksi. (……………….) dapat
dinyatakan sebagi sebuah refleksi atau komposisi tiga
buah refleksi. Tak ada isometri yang bisa langsung
dan lawan sekaligus.

Teorema 7.8:
Jika P sebuah titik, g adalah garis, dan T adalah
(......................), maka :
a)
T g T 1  T ( g )

b)
TPg T 1  T ( P)


Teorema 7.9:
Jika T adalah isometri,  translasi, C , rotasi, dan
AB 
 refleksi geser dengan sumbu garis k, maka:
1
 1
T ABT
a)
 T ( A)T ( B)

1
 1
b)
TC,T  T (C , jika T isometri langsung
),t
(
dan   jika T isometri lawan).

1
c) TT adalah refleksi geser dengan sumbu T (k)
.

Teorema 7.10:
a) Jika s  t , st
maka

b) Jika
C,  D, , maka C  D

Teorema 7.11:
st  t s , jika dan hanya s atau s tegak
jika t
lurus terhadap t.
Berdasarkan teorema 7.11, pernyataan-pernyataan
berikut adalah ekuivalen:
1.  s  t  t  s

2. s t s1  t

3.  (t )  t
s

4. s (t)  t
5. s atau s tegak lurus terhadap t.
t
1
 Teorema 7.12:
Komposisi dua buah (……………….) yang bukan
identitas dengan pusat-pusat berbeda tidak
komutatif.

1
Contoh 7.5:
Jika T isometri, buktikan bahwa Ts T adalah
1
isometri lawan.
Penyelesaian:
Karena T isometri, maka (menurut teorema) T dapat
berupa isometri lawan atau isometri langsung. Jika T
isometri lawan, mata juga isometri lawan.
T
1

Karena s adalah isometri lawan, maka Ts T 1

merupakan isometri lawan.
Jika T isometri langsung, maka juga isomteri
T
1

langsung. Karena s isometri lawan, maka Ts T 1

merupakan isometri lawan. Jadi T T merupakan
s
1
isometri lawan

Contoh 7.6:
1
Buktikan bahwa titik invariant dari t C, t  adalah
t (C)
Penyelesaian:
Harus ditunjukkan bahwa
1
( t  C, t )( t (C))  t (C) . Dengan
mengggunakan teorema-teorema yang telah
dipelajari di atas, maka:
1 1
( t C, t )(t (C))   t  C, [ t  t (C)]

1
  t C, (C)
 t (C) , C, (C)  (C)
karena

1
 Contoh 7.7:
Jika T isometri dan B adalah involusi, maka TBT 1
adalah involusi. Buktikan!
Penyelesaian:
Menurut definisi jika B involusi, B  B1. Jadi,
maka
untuk menunjukkan bahwa TBT involusi, maka
1

kita perlihatkan
(TBT 1)1  TBT 1. Dengan
menggunakan teorema-teorema yang telah
dipelajari di atas, maka
(TBT 1)1  ((TB)T 1)1  (T 1)1(TB)1  TB1T 1
 TBT
1

. Jadi, TBT 1 adalah involusi.

B. Persamaan Isometri

Karena refleksi geser merupakan isometri, maka

persamaan refleksi geser dapat diturunkan dari
komposisi pencerminan dilanjutkan dengan translasi
dan komposisi yang lainnya, sesuai dengan
ketentuan isometri tersebut. Jadi, untuk memperoleh
persamaan refleksi geser kita lakukan dengan cara
mensubstitusi persamaan-persamaan translasi.
Untuk menurunkan persamaan-persamaan refleksi
geser tersebut, sebaiknya kita ingat kembali
mengenai rumus-rumus persamaan pencerminan,
setengah putaran, translasi, dan rotasi, yaitu:

1. Pencerminan
Misal titik P(x, y) adalah sebarang titik di bidang

1
 dan garis s memppunyai persamaan
s  {(x, y) | ax  by  c  0}. Jika,
s (P)  P'
dengan P'(x', y') , maka:

1
 2a(ax  by 
x'  x 
c) dan
a 2  b2
2b(ax  by 
y'
c)  y 
a 2  b2

2. Translasi
Misal translasi  dengan A(0,0), dan
AB B(a,b)
P(x, y) adalah titik sebarang di bidang. Jika

 AB (P)  P' dengan P'(x', y') , maka x'  x  a dan

y'  y  b . Sementara itu, jika TBT dan
1

TBT 1 , serta
 dengan P'(x', y') , maka
AB
x'  x  ( p  a) dan y'  y  (q  b) .

3. Setengah Putaran
Setengah putaran dengan pusat A(a,b) untuk

titik
P(x, y) adalah  A (P)  P'(x', engan
y')
x'  2a  x y'  2b  y .
dan

4. Rotasi
Rotasi yang pusatnya A(0,0) dengan sudut 

1
 dari titik
P(x, y) adalah  A, (P)  P'(x', y')
dengan
x'  x cos  dan
y
y'  x sin  y cos . Sementara itu, jika
pusatnya A(a,b) , maka
y'  a  (x  a) cos  ( y  b) dan
sin 
y'  b  (x  a) sin   ( y  b)
cos .

1
5. Refleksi Geser
Kita ambil komposisi menurut definisi refleksi

geser itu, yaitu jika  refleksi geser dan t // AB ,

maka    AB dengan t adalah
t
(......................). Misal persamaan sumbu
refleksi geser terebut adalah
t  {(x, y) | ax  by  c  0}, A(,0,0) dan
titik
B( p, q) . P'  (x', adalah peta titik
Bila y')
P  (x, y) oleh  atau  (P)  P' , maka untuk
menentukan x’ dan y’, kita substitusikan
persamaan pencerminan t ke persamaan

translasi  AB . Kita tahu bahwa

t (P)  P0 (x 0  y 0 dengan
)
0 2a(ax  by 
x
c)  x  dan
a 2  b2
0 2b(ax  by  c)
y y . Karena
a 2  b2
  AB (P0 )  AB
 [ (P)]  P', maka
t
x' x  p dan y' y0  q
0
. Setelah x’’ dan y’’
disubstitusikan, maka kita peroleh:
2a(ax  by  a 2  b2
x'
c)  x  2b(ax  by 
y'  y 
1
 c)
a 2  b2 dan
Apabila A(t, dan B( p, q) , maka
u)

   (P0 )  dengan x' x0  ( p dan

A
P' B
 t)

1
 y' y0  (q  u) .Setelah x’’ dan y’’
disubstitusikan maka kita peroleh:
2a(ax  by  c)
x'  x  a 2  b2  ( p  t) dan
2b(ax  2by 2c)
y'  y  a b  (q 
u)
Karena isometri itu dapat dikelompokkan juga
menjadi dua macam, yaitu (……………….) dan
(……………….), maka persamaan kedua jenis
isometri tersebut sebagai berikut:
A. Persamaan Isometri Langsung
Jika T isometri langsung, P(x, y) sebarang titik di
bidang, dan T (P)  dengan P'  (x', y') ,
P'
maka: x'  ax  by  dan y'  bx  ay  d
c
dengan a2  b2  1.
Persamaan isometri di atas dapat pula ditulis
sebagia berikut:
x'  ax  by  c
y'  bx  ay  d
1  0x  0 y  1
dengan a2  b2  1
 x' a  c  x 
b
Atau   
y'  b  dengan a2  b2  1
d
a y
    
1  0 0 1  1 

1
 a  b c
T  
. Matriks  denga a2  b2  1,
b a d  n

0

0 1

disebut (……………….). Karena isometri

1
 langsung tersebut ada dua jenis, yaitu translasi
dan rotasi, maka matriks T di atas merupakan
matriks translasi dan rotasi.
B. Persamaan Isomer Lawan
Jika T isometri lawan, P(x, y) sebarang titik di
bidang, dan T (P)  dengan P'  (x', y') ,
P'
maka: x'  ax  by  dan y'  (bx  ay  d)
c
dengan a2  b2  1.
Persamaan isometri di atas dapat pula ditulis
sebagia berikut:
x'  ax  by  c
y'  bx  ay  d
1  0x  0 y  1
dengan a2  b2  1
x' a b  x 
c
Atau   
y'   b   dengan
a d
   y  
1  0 0 1  1 
a b c 
 
a 2  b 2  1. Matriks T   b  a  d dengan
 
0 0 1 
a 2  b 2  1, disebut (...................). Karena
isometri lawan tersebut ada dua jenis, yaitu
refleksi dan refleksi geser, maka matriks T di atas
merupakan matriks refleksi dan refleksi geser.

1
 Hal ini tak mudah untuk diperlihatkan apabila
sumbu- sumbu refleksinya tidak istimewa, karena
refleksi terhadap garis sebarng merupakan
komposisi beberapa buah isometri. Kusus untuk
refleksi terhadap beberapa garis intimewa kita
diminta

1
 mencoba menunjukkannya. Misalnya refleksi
terhadap sumbu x, terhadap sumbu y, terhadap
garis x  k , terhadap garis y  h , terhadap garis
y  x , dan terhadap y  x
garis
Teorema 7.13:
Jika P(x, y) , T adalah isometri sehingga
T (P)  P' dengan P'(x', y') , maka x'  ax  by  c
dan y'  (bx  ay  d) , dengan a2  b2  1
Contoh 7.8:
Tentukan peta titik P(2,1 oleh isometri T yang
)
 0 2
1 1 3 !
matriks isometrinya 

adalah  0 0 1 

Penyelesaian 0
Missal pet dari P adalah Q, maka T (P)  Q ,
sehingga:
1 0 22  4
Q 0    
3 1  2
1
    
0 0 1  1  1 
Jadi, peta dari P adalah Q(4,2)
Contoh 7.9:
Tentukan prapeta titik Q(4,3) oleh T yang
1 0 4 
 
matriksnya 0 1 1 !
1
 0 0 1 

Penyelesaian

1
 Misal P adalah prapeta titik Q oleh T, maka
T (P)  Q
atau P  T 1(Q)
Bila
T dihitung, maka akan diperoleh
1

1 0 4 
 
T 1  0 1 1  . Maka dari itu
0 0 1 
1 0 4 4  0  
P  0 1 1  3   2 . Jadi, koordinat
   
 1 
0 
0 1  1

P(0,2) .
Contoh 7.10:
Tentukan peta s  {(x, y) | x2  y2  4x  6y  9  0}

1 0 2

oleh isometri T 1  1 3
 
 0 1 
0

0

Penyelesaian

1
 Missal P(x, y) pada s dan peta P oleh T adalah
Q(x', y') , maka Q  T (P) , sehingga

x  x  2

 x' 1 0 4 
y'  0 1 1 y  y  3
      
1  0 0 1  1  1
Dari persamaan diatas kita peroleh x' x  dan
2
y'  y  atau x  x'2 dan y  y'3 . Bila harga x
3

1
dan y ini kita substitusikan ke persamaan s, maka kita
perole
h (x'2)2  ( y'3)2  4(x'2)  6( y'3)  9  0
. Apabila persamaan ini disederhanakan akan kita
perole
h (x')2  ( y')2  4 . Apabila digambar pada
bidang Cartesius tegak berupa lingkaran. Kita
diminta untuk menentukan koordinat pusat dan
panjang jari-jari lingkaran tersebut.

Latihan
1) Jika
n , dan k berturut-turut pencerminan
m
terhadap garis n, m, dan k. Apakah mungkin
menjad
i
n m  k ? Tunjukkan kebenaran
jawaban anda!
2) Jika  involusi dan  adalah transformasi,

buktikan 1
bahwa  suatu involusi!

3) Jika P sebuah titik dan g adalah pencerminan

terhadap garis g, buktikan    1
 !
g
g p g  ( P)

4) Buktikan:
 s t s1  t , jika dan hanya jika
 (t )  t !
s

5) Tentukan isometri lain dari:

a)  C  AB C
1
 b)  A, g  A,
c) t  A, t
d)  AB P AB

2
 Rangkuman

1. Komposisi empat buah pencerminan sama

dengan komposisi dua buah pencerminan.
2. Jika P sebuah titik, g adalah garis, dan T adalah
isometri, maka:
a. T g T 1 

T(g)


b. T P T
1
 T ( P)

  C ,
3. Jika T isometri, translasi, rotasi dan 
AB 

refleksi geser dengan sumbu k, maka:

a.
T AB
B)
T 1  T ( A)T (


b. TC,T (
1
 T (C ), jika T isometri
 
langsung dan   jika T isometri lawan)

c. TT adalah refleksi geser dengan sumbu

1

T(k)
4. Jika
s  t , maka s  t . Dan C,  C,
jika
, maka C  D .
5. s t  jika dan hanya jika s atau s
st t
tegak lurus dengan t.
6. Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen:
a. t  s   s  t
2
 b.    1  
s t s t
c.  (t )  t
s

d. s (t)  t

2
 e. s atau s tegak lurus dengan t.
t
7. Komposisi dua buah rotasi yang bukan identitas
dengan pusat-pusat berbeda tidak komutatif.
8. Jika P(x, y) , T adalah isometri sehingga
T (P)  dengan P'(x', y') , maka
P'
x'  ax  by  dan y'  (bx  ay  d) , dengan
c a2  b2  1.

2
 Tes Formatif Modul 7

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Diketahui T (A)  A',T (B)  B' , dan AB  A' B' ,
maka T adalah …..

A. Kesebengunan

B. Translasi

C. Dilatasi

D. isometri

2) Jika pencerminan s
memetakan titik (1,0) ke titik

(a, b), maka s .....

A. (ax  by,bx  ay)

B. (bp  aq, ap  bq)

C. (ap  bq,bp  aq)

D. (ap  bq,bp  aq)

3) Jika AB  dengan T ( A)  dan T (B)  D ,

C
CD
maka .....

A. T bukan isometri

B. T isometri langsung.

C. T isometri lawan

2
D. T isometri langsung atau lawan

2
 4) Misal isometri
T   s  t  v  r w , maka T
merupakan .....

A. Rotasi

B. Translasi

C. Pencerminan atau refleksi geser

D. Rotasi atau translasi

5) Misal isometri R   ABuA, CDt , maka R

merupakan .....

A. Rotasi

B. Translasi

C. Pencerminan atau refleksi geser

D. Rotasi atau translasi

6) T isometri dan TC, T 1  T (C . Jika T

 ),

merupakan isometri langsung, maka   …..

A. 
B.  
C. 90  
D. 90  
7) Jika T isometri dan  adalah refleksi geser, maka
1
TT merupakan …..
A. Pencerminan.
B. Translasi.
C. Rotasi.
2
D. Refleksi geser.

2
 8) Diketahui pernyataan:
(1)
t  st
s
(2)   (t )  t
s

(3) s (t)  t , dan

(4) s  t atau s tegak lurus dengan t.
Pernyataan yang benar adalah …..
A. (1) ekuivalen (2)
B. (1) ekuivalen (3)
C. (1) ekuivalen (4)
D. A, B, dan C semua benar
9) Jika T isometri, maka  merupakan isometri …..
AB
A. Langsung
B. Lawan
C. Tidak langsung, tidak lawan
D. Dapat langsung, dapat lawan
10) Titik invariant 1
dari   adalah …..
t C , t

A. t (C)
B. C,
C. t (t)
1
D. t

2
 MODUL 8
Similaritas

Kegiatan Belajar 1 : Similaritas dan Dilatasi

A. Similaritas
Definisi 8.1
Transformasi T disebut (……………….) jika dan
hanya jika ada konstanta k sehingga untuk
0
setiap titik P dan P' Q'  k(PQ) P'  T (P)
Q. dan Q'  T (Q) . dengan

Teorema 8.1:
Jika T (......................), maka:
1) T memetakan garis pada garis.

2) T mengawetkan ukuran sudut.

3) T mengawetkan kesejajaran.

Teorema 8.2 (Teorema Akibat):

Kesebangunan mengawetkan ke tegak lurusan dua
buah garis.

Teorema 8.3:
Jika T dan l adalah kesebangunan, maka TL adalah
(......................).

B. Dilatasi
Definisi 8.2:
Diketahui, sebuah titik A dan bilangan positif r.
Pemetaan yang berpusat A dengan faktor skala r

2
 disebut (……………….) (dinotasikan
DA,r ) jika dan
hanya jika untuk setiap titik P di v berlaku:
a) Jika P  A , DA,r (P)  A .
maka

b) Jika P  A , maka DA,r (P)  P' dengan P’ adalah

titik pada sinar AP sehingga AP'  r( AP) .

Pernyataan ini ekuivalen dengan P’, yaitu titik
yang
mengakibatkan AP'  r( AP) .

Teorem 8.4:
Setiap dilatasi adalah (......................).

Teoema 8.5:
Jika s dan s’ peta garis s oleh dilatasi DA,r , maka:
a) s'  s , A s , dan
jika
A s .
b) s' // s ,
jika

Contoh 8.1:
Diketahui titik-titik A, P, dan Q yang tak segaris.
Lukislah DA,1 / 3 (Q)!
Penyelesaian:
Misalkan 1
DA,1/ 3 (Q)  Q' AQ'  AQ .
sehingga 3

2
Cara melukisnya:

1) Buat AQ (panjang disesuaikan keperluan).

2) Buat garis k melalui A tidak berimpit dengan AQ

.

2
 3) Pada garis k buat tiga buah titik dengan skala
yang sama,
yaitu
A1 , A2 A3 .
dan

4) Hubungkan
A3 dengan Q.

5) Buat A1Q' sejajar A3Q .

dengan

Gambar 8.1

Contoh 8.2:
Jika O(0,0) dan B(2,5) , tentukan koordinat
B'  DO,3 (B) !
Penyelesaian:
Menurut definisi dilatasi, bila DO,3 (B)  maka
B'
OB'  3(OB) . Karena O(0,0), B(2,5) , dan misalkan
B'(x', y') , maka OB'  atau
3(OB)
(x'0, y'0)  3(2  0,5  atau (x', y')  3(2,5) .
0)
2
Sehingga kita peroleh x'  dan y'  15 . Jadi,
6
koordinat B'(6,15) .

2
 C. Komposisi Dilatasi
Teorema 8.6:
Jika DA,r adalah sebuah (……………….) dengan
pusat A(a, dan faktor skala r maka untuk P(x, y)
b)
sebarang titik di bidang, berlaku
DA,r (P)  ((rx  a(1  r), ry  b(1  r)) .

Teorema 8.7:
Komposisi dua dilatasi DA,r dan DB,r dengan A  B

adalah suatu dilatasi DC,r dengan C pada AB jika rs

tidak sama dengan 1. Sementara itu, bila
rs  1,
komposisi dua dilatasi tersebut adalah suatu

(……………….) yang sejajar dengan AB .

Teorema 8.8:
Jika DA,r dan DA,s adalah dua buah dilatasi dengan
pusat yang sama, yaitu di A, maka:
a) DA,r DA,s  DA,rs , jika rs  1.

b) DA,r DA,s  1 , jika rs  1.

c) DA,r DA,s  DA,s DA,r

2
Teorema 8.9:
Untuk setiap DA,r balikannya adalah D 1 .
dilatsi A,
r

Teorema 8.10:
Diketahui translasi  dan dilatasi-dilatasi DA,2 dan
AB
D 1 , maka  AB  DA,2 D 1 .
B, B,
2 2

Teorema 8.11:
a)  2  DA,3 D 1 .
B,
AB 3

b)  nAB  DA,n1 D
B, 1 dengan n bilangan asli.
n
1

Teorema 8.12:
Komposisi sejumlah dilatsi dan isometri adalah
kesebangunan.

Contoh 8.3:
Pada contoh ini kita akan diperlihatkan penggunaan
dilatasi untuk membuktikan bahwa keiga garis berat
suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Penyelesaian:

2
 Gambar 8.2

2
Andaikan M adalah titik tengah AC dan N adalah

titik tengah BC . Misalnya, X titik pada AN

sehingga
AX  2(XN ) dan Y pada BM sehingga
BY  2(YM ) . Kita akan membuktikan XY
bahwa Berturut-turut diperoleh:
1) X  D 2 (N dan ND 1 (C) . Jadi,
A, B,
) 2
3

XD 2 D (C) . Sementara itu,

A, B, 1
3 2

1
 D 2  1

A, D dan  D 1
  DB,2 . Maka,
 3  3 A, B,
 2
2

C  DB,2 D (X).
A, 2
3

2) Y  D MD
B, 2 (M dan 1 (C) . Jadi,
A,
) 2
3

YD 2
D (C) . Sementara itu,
B, A, 1
3 2

C  DB,2 D (X). Maka,

A, 2
3

CD 2
D 1 DB,2 D 3 (X).
B, A, A,
3 2 2

3
Karen maka:  D
a
D 2 B, B,

2
 DB,2 2
1 dan D 3  B,D 1 DB,3 ,
3
2

Y  (D 1 DB,2 )(D 2 DB,2 )(D 1 DA,3 )( X )

B, A, A,
3 2 2

2
  D 1 (DB,2 D )(DB,2 D )DA,3 ( X )
B, 2 1
A,
A, 2 2
3

 D 1  BA  BA DA,3 ( X )
B,
3

 D 1  2 BA DA,3 ( X )
B,
3

 D 1 (DB,3 D 1 )DA,3 ( X )
B, B,
3 3

 (D 1 DB,3 )(D 1 DA,3 )( X )

B, B,
3 3

 (I )(I )( X )  X

Dengan cara yang sama, buktikan jika Z CK

2
dengan K adalah titik tengah AB dan CK CZ 
3
atau CZ  2ZK maka Z  X . Bila ini telah terbukti,
dapat dibuat kesimpulan berikut. Karena
X  AN ,Y  BM , Z CK , dan X  Y  Z , maka
ketiga garis berat ABC tersebut melalui satu titik.

LATIHAN
1) Jika T kesebangunan, sebutkan sifat-sifat dari T
tersebut!

2) Jika
adalah dilatasi yang pusatnya A dengan
DA,r
faktor skala r dan
DA,r (P)  P , apa yang dapat
Anda katakan tentang titik P tersebut?

2
 3) Diketahui P(1,3) dan
A(0,0) , tentukan DA,2 (P)
!

2
4) Diketahui
A(1,3 dan P(x0 , y0 adalah titik
) )
sebarang. Tentukan P' D 3 (P) !
koordinat A,
4

5) Jika s  [(x, y) | 2x  y  8], tentukan persamaan

s' D (s) dengan A(1,3) .
A, 4
3

2
 Rangkuman

1. Suatu transformasi T disebut kesebangunan jika

dan hanya jika ada konstanta k  0 sehingga
setiap titik P dan Q, P'Q'  dengan
P'  T (P) dan Q'  T k(PQ)
(Q) .

2. Kesebangunan memetakan garis pada garis,

mengawetkan ukuran sudut, mengawetkan
kesejajaran dan mengawetkan ketegaklurusan.

3. Jika T dan L kesebangunan, maka TL

kesebangunan.

4. Setiap dilatasi adalah kesebangunan.

5. Jika s garis dan s’ peta garis s oleh dilatasi

DA,r ,
maka:
a. s'  s , As.
jika
A s .
b. s' // s ,
jika

6. Jika P(x, y) dan O(0,0), maka

DO,r (x, y)  (rx, ry) .

7. Jika P(x, y) dan A(a,b) , maka

DA,r (x, y)(rx  a(1 r), ry  b(1 r)) .

8. Jik a a.

2
 A  B , maka:

DA,r DB,s  DC,rs dengan C

pada AB ,
rs  1. jika

2
 b. DA,r DB,s  
dengan CD // AB , jika
rs  1 CD

9. Jika
DA,r dan DA,s adalah dua buah dilatasi
dengan pusat yang sama, yaitu A, maka:

a. DA,r DB,s  DC,rs , jika rs  1.

b. DA,r DB,s  1
, jika rs  1 .

c. DA,r DB,s  DB,s DA,r .

10. (D
A,r )1  D A,1 .
r

11.  nAB  DA,n1 D 1 .

A,
n1

12. Komposisi sejumlah dilatasi dan isometri adalah

kesebangunan.

2
Kegiatan belajar 2 : Teorema Similaritas dan
Persamaan Similaritas
A. Teorema Similaritas (Kesebangunan).
Teorema 8.13 (Teorema
Kesebangunan):
Jika ABC  XYZ , maka ada tepat satu
(....................) T, sehingga T (A)  X ,T (B)  Y , dan
T (C)  Z .

Teorema 8.14:
Setiap (……………….) dapat dinyatakan sebagai
komposisi antara dilatasi dan paling banyak tiga buah
pencerminan (sebuah isometri).

Definisi 8.3:
Dua himpunan A dan B disebut (......................)
dinotasika A jika dan hanya jika ada
n
B
kesebangunan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B.

Contoh 8.4:
Jika T kesebangunan yang memetakan ABC ke
DEF , seperti pada gambar 8.23 dan
tentukan koordinat T (P) !

G
2
 mbar 8.3 P(2,2) ,

2
Penyelesaian:
Diketahui bahwa T (ABC)  DEF , seperti pada
Gambar 8.23, artinya T (A)  D,T (B)  dan
T (C)  F . E,

AB  (3  0)2  (0  dan
0)2  3
DE  (0  0)2  (3  2)2  1. Karena T
1
kesebangunan, maka DE  k( atau k .
AB) 3
Misalka T (P)  dengan P'(x', y') , ditentukan
n P'
koordinat P’. Dari T ( A)  D dan T (P)  P', maka:
DP'  k( AP)
1
 (x'0, y'2)  (2  0,2  0) .
3
 (x', y'2)  ( 2  2)
, 3
3
Jadi, kita peroleh 4
x'  dan y'  . Maka itu,
2 3
2 4
P' , . 3
 
3 3

Contoh 8.5:
L adalah lingkaran dengan pusat L dan jari-jari 1 cm.
bujur sangkar ABCD adalah bujur sangkar yang
menyinggung lingaran L dari luar. Sementara itu,

2
 bujur sangkar EFGH adalah bujur sangkar yang
berada di dalam lingkaran L. Tentukan kesebangunan
T yang memetakan bujur sangkar EFGH ke bujur
sangkar ABCD sehingga T (E)  A dan T (F)  B .

2
Penyelesaian:
Buatlah diagonal BD dan AC. Kedua diagonal ini
berpotongan di titik L. Ruas garis LE merupakan jari-
jari lingkaran L, sedangkan LA merupakan sisi miring
segitiga siku-siku sama kaki LAE. Jadi, LE  dan
1
2
LA , LA atau LA 2LE
 sehingga LE  2

Kita buat DL 2  DL 2 (E)  E' sehingga

Gambar 8.4
LE' 2LE . Dengan LE' LA. Begitu pula
demikian
titik-titik sudut F, G, dan H bila didilatasikan dengan
DL2 dan misal peta-petanya berturut-turut adalah F’,
G’, dan H’. Maka LF' LG' LH' LA' LA. Kita
itu,
komposisikan D 2 dengan L,45 , maka:
L

L,45DL 2 L,45DL
L,45DL 2 L,45DL

2
(E) 
 L,45 (E')  A 2
(F) 
 L,45 (F')  B
(G) 
L,45 (G')  C
(H )  2
 L,45 (H ') 
D

2
 Dengan komposisi
L,45DL 2
, ternyata bujur sangkar
EFGH dipetakan ke bujur sangkar ABCD. Jadi,
kesebangunan T yang dicari adalah T  L,45DL 2 .

B. Persamaan Similaritas

Teorema 8.15 (Teorema Persamaan Similaritas):

Misalkan S adalah (……………….) di mana S(P)  P'
dengan P(x, y) dan P'(x', y') , maka:
x'  px  qy  dengan p2  q2  0 .
s
y'  (qx  py  t)
 
Contoh 8.6:
Tentukan bayangan titik P(1,2) oleh (......................)
2 0 8
yang matriknya S 
2 2!
0
01
0
Penyelesaian:
Misalkan bayangan titik P adalah titik P'(x', y') . Ini
berarti S(P)  P' . Koordinat P dan P’ kita ubah
menjadi koordinat homogen (masih ingatkah tentang
koordinasi homogen?) sehingga P(1,2) menjadi
P(1,2,1) , sedangkan P'(x', y') menjadi P'(x', y',1) .

2 0 8 1   x'
Dari     
S(P)  P' , kita peroleh 0 2  2 2  y' .
    
0 0 1  1  1 
2
 x'  10
Setelah dijabarkan, kita peroleh
  . Jadi,
y'  2
 
bayangan P(1,2) adalah P'(10,2) .
titik

Latihan
1) Diketahui DP,r (ABC)  A' dan
B'C'
DP,r (A)  A'  A . Buat P(1,2) dan P(1,2)
sketsa
!

2) Jika A, B, C, dan D empat titik berbeda, manakah

yang tidak ada tiga titik yang segaris diantara
empat titik tersebut. Tentukan syarat agar terdapat
suatu dilatasi yang memetakan A ke B dan C ke D!

3) Jika S similaritas lawan dari

S((x, y))  (x', y') ,
trntukan x’ dan y’!
4) Tentukan peta titik
P(5,4) oleh kesebangunan
6 0 0
yang matriksnya M  6 0!
0 01
0

5) Tentukan peta garis s  {(x, y) | 2x  3y  6  0}

6 0 0
oleh kesebangunan yang matriksnya M  0
6 0!
0 01

2
 Rangkuman

1. Jika
ABC  XYZ , ada tempat satu
kesebangunan T sehingga T (A)  X ,T (B)  Y ,
dan T (C)  Z .
2. Setiap kesebangunan dapat dinyatakan sebagai
komposisi antara dilatasi dan sebuah isometri.

3. Dua himpunan A dan B disebut sebangun, lalu

dinotasika A  jika dan hanya jika ada
n
B
kesebangunan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B.

4. Misalkan S adalah similaritas (kesebangunan) di

mana S(P)  P' denga P(x, y) dan P'(x', y') ,
n
x'  px  qy   dengan p2  q2  0 .
s
maka y'  (qx  py  t)

 

2
 Tes Formatif Modul 8

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Diketahui T (P)  P',T (Q)  Q' , P'Q'  k(PQ)
dan
dengan k  0 , maka T disebut …..

A. Isometri.

B. Translasi.

C. Pencerminan.

D. Kesebangunan.

2) Jika T kesebangunan, 1 garis lurus, dan T (l)  l'

maka l’ …..

A. Berupa garis lurus.

B. Bukan garis.

C. Berupa garis lengkung.

D. Bias garis lengkung dan bias garis

lurus.

3) Jika T dan L kesebangunan, komposisinya adalah

…..

A. Kesebangunan.

B. Dilatasi.

C. Isometri.

D. Translasi.

2
4) DA,r adalah dilatasi yang pusat A dengan factor skala
r
dan DA,r (P)  A , maka …..

A. P  A .

B. P  A .

C. Jarak dari P ke A semakin dekat.

D. Jarak dari P ke A semakin jauh.

5) Diberikan s garis dan DA,r (s)  s'. Pernyataan yang

benar di bawah ini adalah …..

A. Jika
As, s'  s .
B. Jika maka
s' // s .
As,
maka

C. Jika A  s , maka s’ tegak lurus s.

D. Jika A  s , maka s’ berimpit s.

6) Jika ABC  XYZ ,T (A)  X ,T (B) dan

Y
T (C)  Z , maka disebut .....

A. Isometri.

B. Translasi.

C. Kesebangunan.

D. Dilatasi.
2
 7) Jika DP,r (ABC)  A' B'C', maka .....

A. ABC ' dipetakan ke A' B'C' DP,r .

oleh

2
 B. ABC  A' B'C'

C. ABC  A' B'C'

D. A, B, dan C semuanya benar.

8) Jika himpunan a dipetakan oleh suatu

kesebangunan T ke himpunan B, maka ....

A. A  B .

B. A  B .

C. A tidak  B

D. A  B

9) Jika T suatu kesebangunan, maka T adalah .....

A. Isometri.

B. Translasi.

C. Dilatasi.

D. Transformasi.

10) Jika T suatu transformasi, T (x, y)  (x', y') dengan

x'  ax  by  dan y'  bx  ay  dimana

c d
a2  b2  1, maka T disebut .....

A. Isometri lawan.

B. Isometri langsung.

C. Kesebangunan.

D. Dilatasi.
2
 MODUL 9
Grup Simetri dan Grup Dihedral

Kegiatan Belajar 1 : Simetri dan Grup Simetri

A. Refleksi Geser
Definisi 9.1:
Jika (G, adalah (……………….) dan a  G , maka
)

H  {an | bilangan bulat} adalah subgrup siklik dari

n
gru (G, yang dibangun oleh a. Jika (G, adalah
p ) )

grup,
a dan H  {an | bilangan bulat} maka a
G n
adalah (……………….) dari grup
(G, dan G a
adalah (......................). )

Definisi 9.2:
Andaikan H adalah himpunan titik-titik di bidang. Garis g
disebut (......................) dari H jika  g (H )  (artinya
H invarian terhadap g ) H
Anda perhatikan garis g, h, dan I yang merupakan
garis- garis bagi sudut dalam ∆𝐴𝐵𝐶 yang sama sisi
pada Gambar 9.1. Garis g disebut garis simetri ∆𝐴𝐵𝐶
sebab
𝜇𝑔(𝐶 ) = 𝐶, 𝜇𝑔(𝐴 ) = 𝐵, 𝑑𝑎𝑛 𝜇𝑔(𝐵) = 𝐴. Dengan demikian
𝜇𝑔 memetakan ∆𝐴𝐵𝐶 ke dirinya sendiri atau
𝜇𝑔(∆𝐴𝐵𝐶 ) = ∆𝐴𝐵𝐶. Secara umum, memang harus

2
diperiksa bahwa setiap titik 𝑃 ∈ ∆𝐴𝐵𝐶 maka 𝜇𝑔(𝑃 ) ∈
∆𝐴𝐵𝐶. Anda diminta untuk meneliti, apakah garis h dan
garis i merupakan simetri untuk ∆𝐴𝐵𝐶?

2
 Gambar 9.1
Pada jajaran genjang ABCD di bawah, garis g dan
garis h bukan garis simetri. Mengapa? Melalui
setengah putaran dengan pusat P, jajaran
genjang ABCD dipetakan terhadap dirinya sendiri
atau 𝜎𝑝 (∎𝐴𝐵𝐶𝐷 ) = (∎𝐴𝐵𝐶𝐷 ). Titik P disini disebut

titik simetri.
Gambar 9.2

Definisi 9.3:
Andaikan H adalah himpunan titik-titik di bidang. Titik P
disebut (……………….) untuk H jika
P (H)  H
(artinya H invarian terhadap P ).
Dari definisi diatas, g garis simetri H dan P adalah
(……………….) H, yaitu 𝜇 𝑔 (𝐻 ) = 𝐻 dan 𝜎𝑝(𝐻) = 𝐻. Maka
𝜇𝑔dan 𝜎𝑝 disebut simetri untuk H. kita tahu bahwa
𝜇𝑔dan 𝜎𝑝 merupakan isometri.

2
Definisi 9.4:
Andaikan H adalah himpunan titik-titik di bidang.
Isometri  disebut (……………….) dari H jika
 (H )  (artinya H invarian terhadap  )
H

Teorema 9.1:
Andaikan H adalah sebuah himpunan titik-titik di V,
himpunan simetri-simetri dari H dengan operasi
komposisi adalah (......................).

Latihan
1) Apa yang dimaksud dengan grup terhingga?

2) Berikan minimal dua buah contoh grup terhingga!

3) Periksa apakah (G, dengan G  {1, O,120, O,240}

)
adalah grup!
4) Apa yang dimaksud dengan simetri suatu bidang?

5) Tentukan simetri-simetri pada sebuah persegi!

2
 Rangkuman

1. Grup yang ordonya terhingga disebut grup terhingga,

sedangkan grup yang ordonya tak terhingga disebut
grup tak hingga.

2. Jika (G, adalah grup dan a  G , H  {an | n

) maka
bilangan bulat} adalah subgrup siklik dari grup (G,)
yang dibangun oleh a. Jika
(G, adalah grup, a  G
)

dan
H  {an | bilangan bulat} maka a adalah
n
generator dari grup
(G, dan G  a adalah grup
siklik. )
3. Andaikan H adalah himpunan titik-titik di bidang, maka:

a. Garis g disebut garis simetri dari H

g (H )  H
jika (artinya H invarian terhadap  g )

b. Titik P disebut titik simetri untuk H jika  P (H) H

(artinya H invarian terhadap P ).

c. Isometri  disebut simetri dari H jika

(H )  H
(artinya H invarian terhadap  )

2
Kegiatan Belajar 2: Grup Dihedral dan Teorema
Leonardo
Teorema 9.2:
Untuk setiap bilangan asli-n, ada suatu segi-n yang memiliki
grup simetri Dn dan ada suatu segi-n yang memiliki
(……………….) Cn .
Bila kita merumuskan kembali makna dari teorema diatas,
disimpulkan jika ada segi-n yang mempunyai grup simetri
𝐷𝑛, maka grup tersbut tentunya memiliki subgroup 𝐶𝑛, Akan
tetapi, ada juga segi -n yang hanya memiliki grup simetri 𝐶𝑛.
Anda coba pelajari contoh berikut.

Gambar 9.3
Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi dan terdapat daerah berbayang-
bayang di dalamnya. Simetri- simetri yang dimiliki ∆𝐴𝐵𝐶
tersebut adalah 𝑅 = 𝜌𝑂,120, 𝑅2 = 𝜌𝑂,120, 𝑅3 = 𝜌𝑂,360 = 𝐼. Andaikan
G1 = {I, R, R2}, C3 = (G1,O) adalah group.
Anda diminta untuk memeriksa bahwa C 3 adalah grup siklik
yang dibangun oleh R.

2
Teorema 9.3 (Teorema Leonardo da Vinci):
Sebuah grup (……………….) adalah suatu grup siklik Cn

atau grup
dihedral Dn .

Teorema 9.4 (Teorema Akibat):

Grup simetri untuk segi banyak beraturan adalah sebuah
(……………….) atau sebuah (......................).

Latihan
1) Tentukan simetri-simetri persegi panjang (yang bukan
persegi)!

2) Apabila R dan G  {1, R, R2 , merupakan

O,90 R3 }
himpunan simetri langsung dari persegi ABCD, apakah
2
yang dimaksud 1, R , R3 ?
dan

3) ABCD adalah persegi, sedangkan O adalah titik potong

diagonal AC dan BD.

Jika

O,90  R
2
 Ga
mb
ar
9.4

dan i 
M,
tentukan
i !

2
4) Jika G himpunan simetri-simetri persegi dan (G,) adalah
grup, tentukan subgrup siklik dari (G,) !

5) Jika G adalah himpunan simetri-simetri persegi ABCD,

yaitu
{1, R, R2 , R 3 , M , RM , R 2 M , R 3 M} , tentukan

(R2M )1!

2
 Rangkuman

1. Grup dihedral merupakan grup simetri segi-n

beraturan. Grup ini memuat grup siklik. Grup dihedral
dilambangkan dengan Dn dan grup sikliknya dengan
Cn
. Hubungan antara dan sebagai berikut;

Dn Cn
Dn  dengan G  himpunan simetri segi-n
(G1.)
beraturan dan C  {1, R, R2 ,..., Rn}.
 (G
,),G
n 1 1

2. Untuk setiap bilangan asli n, ada suatu segi-n yang

memiliki grup simetri Dn dan ada suatu segi-n yang
memiliki grup simetri Cn .

3. Salah satu teorema yang berhubungan dengan grup

dihedral dikemukakan oleh Leonardo da Vinci sebagai
berikut; sebuah grup isometri terhingga adalah grup
siklik Cn atau grup dihedral Dn .

2
 Tes Formatif Modul 9

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) (Z4 ,) adalah grup dan 1 Z , maka 13 .....


A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

2) (G,) adalah siklik dengan

G  {O,360, O,240, O,120. Generatornya adalah .....

A. O,360

B. O,240

C. O,120

D. O,360 dan O,120

3) H adalah himpunan titik-titik di bidang v,

sedangkan g disebut garis simetri dari H, jika .....

A. H (g)  g .
B.  g (H )  H .

2
C. H (v)  v .

2
 D. v (g)  g .

4) P (H)  dengan P adalah titik tertentu dan H

H
adalah himpunan titik-titik di bidang v, maka .....

A. H adalah simetri dari P.

B. P adalah simetri dari H.

C.  P adalah simetri dari H.

D.  P adalah titik simetri dari H.

5) H adalah himpunan titik di bidang v. Isometri 
disebut simetri dari H jika .....

A. H ( )  H

B. H ( )  
C.
 (v)  v
D.
 (H )  H

6) Titik O adalah titik potong AC dan BD yang

merupakan diagonal-diagonal persegi ABCD . s
adalah simetri dari persegi tersebut, jika s melalui
.....

A. O

B. O dan tidak tegak lurus AC

2
 C. O dan tegak lurus AC
D. Titik A dan B

Untuk soal nomor 4 s/d 10 gunakan ketentuan

berikut:

AC dengan h adalah salah satu garis yang melalui

diagonal persegi ABCD. Kemudian, AC dengan O

adalah titik potong karena diagonal persegi ABCD
(perhatikan gambar).

7) Simetri-simetri persegi ABCD tersebut adalah .....

A. {1, R, R2 , R3 }.

B. {h , r ,  g }

C. {1, R, R 2 , R 3 , M , RM}

D. {1, R, R 2 , R 3 , M , RM , R 2 M , R 3 M}
2
 8) Jika G adalah himpunan simetri persegi ABCD,
subgrup siklik dari (G,) adalah (H ,) dengan H 
.....

A. {R, R2 , R3} .

B. {1, R, R , R3}.
2

C. {M , RM , R 2 M , R 3 M} .
D. {1, M}

9) Jika G adalah himpunan simetri persegi ABCD dan

g  G g  .....
maka

A. RM .

B. R 2 M

C. R 3 M

D. MR
10) Jika G adalah himpunan simetri persegi
ABCD, RM  G , dan R3M  maka
RM  R M  ......
3 G

A. 1

B. R

C. R 2

D. R 2 M
2
 Daftar Pustaka

Albab, I. U. et al., (2014). Kemajuan Belajar Siswa pada

Geometri Transformasi Menggunakan Aktivitas
Refleksi Geometri. Cakrawala Pendidikan, No.3.
Adeel Khalid. (2014). Text Books: ebook Vs. Print. Journal
of Education and Human Development. Vol. 3, No. 2,
pp. 243-258.
B. Rossa et all (2017). Print versus digital texts:
understanding the experimental research and
challenging the dichotomies. Research in Learning
Technology. Vol.25, pp. 1-12.
Darmawan, D. (2012). Inovasi Pendidikan. Bandung: PT
Remaja Rosdakarya offset.
Dimiyati Mujiono. (2002). Belajar dan Pembelajaran.
Bandung: PT Gelora Pratama Aksara.
Edwards, LD.1997. "Explore Ring the Terrority before
Proof: Students' Generalization in a computer
Microworld for Transformation Geometry".
International Journal of Computers for Mathematical
Learning, Vol.1, pp.187- 215.
Eecles, Frank M. (1971). An Introduction to
Transformastional Geometry. Philips Academy,
Andorn,Massachusetts:Addison-Wesley, Publishing
Company.
Darhim dan Ame, R. (2014). Geometri Transformasi.
Tangerang : Universitas Terbuka
Hardiyanti, U. D. (2015) Pengembangan Bahan Ajar
Matematika Berbasis Website pada Pokok Bahasan
Transformasi Geometri Kelas XI SMK Negeri 26
Jakarta. Universitas Negeri Jakarta.
Hollebrands, K. F. 2003. "High School Students
Understanding of Geometric Transformations in the
Context of a Technological Environment". Journal of
Mathematical Behavior, 22, hlm. 55-72.
Leontyeva, I. A. (2018). Modern Distance Learning
Technologies in Higher Education: Introduction

2
 Problems. Eurasia Journal of Mathematics, Science
and Technology Education, 14(10), 1-8.
M. A Ebied dan S. A. A. Rahman. (2015). The effect of
interactive e-book on students' achievement at Najran
University in computer in education course. Journal of
Education and Practice. Vol.6, No.19, pp. 71-82
Martha, Z. D., Adi, E. P., & Soepriyanto, Y. (2018). E-book
berbasis Mobile learning. Jurnal Kajian Teknologi
Pendidikan, 1(2), 109-114.
Martin, George E. (1982). Transformation Geometry : An
Introduction to Symmetry. New York: Springer-
Verlag.
Munadi, Y. (2008). Media Pembelajaran Sebuah
Pendekatan Baru. Ciputat: Gaung Persada (GP)
Press.
Prastowo, A. (2015). Panduan Kreatif Membuat Bahan Ajar
Inovatif. Yogyakarta: Diva Press.
Rawuh. R. (1990). Geometri Transformasi: Bandung:
FMIPA-ITB.
Silberman. M. L (2007). Active Learning strategi
Pembelajaran Aktif. Yogyakarta: Pustaka Insani
Zaeni.

2
Biodata

Dr. Lusi Rachmiazasi Masduki, M.Pd. lahir di Surabaya, 17

Juli 1959. Pendidikan Sarjana ditempuh di Universitas
Muhammadiyah Surabaya bidang Pendidikan Matematika Lulus
tahun 1986. Melanjutkan Pendidikan ke jenjang Pascasarjana
Magister Pendidikan Matematika di Universitas Negeri Semarang
Lulus tahun 2009. Melanjutkan Pendidikan ke jenjang Doktoral
Manajemen Pendidikan di Universitas Negeri Semarang Lulus
tahun 2017.

Pengalaman di bidang akademik, menjadi guru Sekolah Dasar di

SDN Gubeng III Surabaya dari tahun 1978 sampai 1986.
Melimpah sebagai guru SPG di Kabupaten Rembang Jawa
Tengah dari tahun 1986 sampai 1990. Alih fungsi sebagai Dosen
FKIP di Universitas Terbuka Semarang dari tahun 1991 sampai
sekarang. Penulis mengampu mata kuliah Pendidikan Matematika
SD, Matematika II dan Statistika Pendidikan pada program S1-
PGSD. Mengampu mata kuliah Materi Kurikuler Matematika
SMA, dan Geometri Transformasi pada program S1 Pendidikan
Matematika. Saat ini dipercaya mengampu tutorial online (Tuton)
program Magister Pendidikan Dasar pada mata kuliah Integrasi
Teori dan Praktik Pembelajaran.

2
Biodata

Pukky Tetralian Bantining Ngastiti, S.Pd.,M.Mat. lahir di

Grobogan, 10 Oktober 1993. Pendidikan Sarjana ditempuh di
Universitas PGRI Semarang bidang Pendidikan Matematika
Tahun 2015 dan lulus dengan predikat sangat memuaskan.
Melanjutkan Pendidikan ke jenjang Pascasarjana Magister
Matematika di Universitas Diponegoro Tahun 2018 dengan minat
Matematika Komputasi dan lulus dengan predikat sangat
memuaskan.

Pengalaman di bidang akademisi, menjadi dosen selama kurang

lebih 3 tahun di Universitas Billfath sebagai dosen tetap program
studi Matematika. Selain itu penulis juga menjadi tutor di
Universitas Terbuka pada program studi Manajemen. Penulis
mengampu mata kuliah Kalkulus I, Kalkulus II, Geometri
Analitik, Matematika Ekonomi, Statistika Ekonomi, Teori Fuzzy,
Pemrograman Komputer 1, Pemrograman Komputer 2,
Persamaan Diferensial Biasa, Struktur data dan algoritma, Kapita
selekta dan Pemodelan.