Pengantar Teori Peluang PDF
Pengantar Teori Peluang PDF
Pengantar Teori Peluang PDF
PENGANTAR
TEORI PELUANG
Penulis: Darwanto
Karsoni berta Dinata
Penerbit:
UMKO Publishing
Penulis :
Darwanto
Karsoni Berta Dinata
Penyunting
Venty Meilasari
Halaman: v + 73 hlm
Diterbitkan oleh
UMKO Publishing
Jalan Hasan Kepalaratu, Nomor 1052, Sindangsari, Kotabumi,
Lampung Utara, Lampung
Kotak Pos 156; Telepon (0724) 22287; laman: www.umko.ac.id
Pos-el: humas@umko.ac.id
ISBN 978-623-95937-2-8
Puji syukur kehadirat Allah Swt atas segala anugerah dan rahmat-Nya,
sehingga buku yang berjudul “Pengantar Teori Peluang” ini dapat
terselesaikan dengan baik. Buku ini disusun sebagai referensi dan juga
dapat menjadi bahan ajar pada mata kuliah Pengantar Peluang atau
sejenisnya di Perguruan Tinggi. Selain itu, buku ini akan memberikan bekal
kepada pembaca dalam menjustifikasi terhadap beberapa sifat, ketentuan,
atau teorema di dalam mata kuliah yang lainnya sebagai mata kuliah
lanjutan pengantar peluang.
Dalam kesempatan ini, kami ingin berterima kasih kepada rekan-rekan dan
kolega-kolega atas saran-saran yang sangat berharga. Mengingat buku ini
merupakan buku terbitan edisi pertama yang tentunya masih butuh
disempurnakan. Selain itu kritik, saran dan masukan oleh para pengguna
sangat kami harapkan untuk kesempurnaan isi buku ini.
Penulis
1. Pendahuluan .................................................................................. 1
A. Aturan Membilang ..................................................................... 1
B. Faktorial .................................................................................... 9
2. Permutasi dan Kombinasi ............................................................... 14
A. Permutasi .................................................................................. 14
B. Kombinasi ................................................................................. 20
3. Koefisien Suku ................................................................................ 30
A. Teorema Binomial ..................................................................... 30
B. Teorema Multinomial ................................................................. 33
4. Pengantar Peluang ......................................................................... 36
A. Percobaan, Ruang Sampel, dan Titik Sampel ........................... 36
B. Kejadian .................................................................................... 40
C. Konsep Peluang ........................................................................ 45
D. Frekuensi Harapan .................................................................... 47
E. Kepastian dan Kemustahilan ..................................................... 48
F. Peluang Komplemen Kejadian .................................................. 49
5. Peluang kejadian Majemuk ............................................................ 54
A. Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas ....................................... 55
B. Peluang Kejadian Saling Lepas ................................................ 57
C. Peluang Kejadian Bersyarat ...................................................... 59
D. Peluang Kejadian Saling Bebas ................................................ 66
Daftar Pustaka ...................................................................................... 73
S
ebelum mempelajari teori peluang, anda akan terlebih dahulu
belajar mengenai aturan membilang dan Faktorial. Kedua materi
ini berguna sebagai pengantar dalam memahami konsep peluang
secara menyeluruh dan mendalam. Pokok materi pada bahasan ini terdiri
dari dua, yaitu aturan membilang dan faktorial. Berikut disajikan kedua
pokok materi tersebut.
A. Aturan Membilang
Teori Konsep aturan membilang terdiri dari aturan perkalian secara
khusus dan aturan perkalian secara umum. Berikut dijelaskan kedua
konsep tersebut.
Aturan perkalian Secara Khusus
Definisi 1.1 Jika suatu proses terdiri atas dua tahap, dengan tahap
pertama dilakukan dengan n1 cara, dan bila setiap cara tersebut
tahap kedua dapat dilakukan dengan n2 cara. Maka keseluruhan
cara yang dapat dilakukan adalah 𝑛1 𝑥 𝑛2 cara”.
1. Berikut ini jalan yang dapat dilalui pengendara motor dari kota A ke kota
C melalui kota B. Ada berepa cara yang dapat dilakukan dari A ke C ?
A B 6 C
Jawab:
Dari A ke B dapat dilakukan dengan 4 cara.
Dari B ke C dapat dilakukan dengan 3 cara.
Jadi, dari A ke C dapat dilakukan dengan = 4 x 3 = 12 cara, yaitu:
jalan 1,5 ; jalan 1,6 ; jalan 1,7
jalan 2,5 ; jalan 2,6 ; jalan 2,7
jalan 3,5 ; jalan 3,6 ; jalan 3,7
jalan 4,5 ; jalan 4,6 ; jalan 4,7
Definisi 1.2 Jika suatu proses terdiri atas k tahap, tahap pertama dapat
dilakukan dalam n1 cara, dari masing-masing cara tersebut
tahap kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, dari masing-
masing cara ini tahap ketiga dapat dilakukan dengan n 3 cara,
dan seterusnya sampai tahap ke–k dapat dilakukan dalam nk
cara. Maka keseluruhan proses dapat dilakukan dalam : (n1 x
n2 x n3 x … x nk ) cara.
b. Sebuah plat nomor kendaraan terdiri atas satu huruf, empat angka,
dan dua hurup. Huruf dan angka masing-masing tidak boleh ada yang
sama, dan angka pertama tidak boleh sama dengan nol. Beberapa
banyak plat nomor kendaraan yang dapat dibuat?
Penyelesaiaan:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Tahap pertama yaitu mengisi slot A1 dapat diisi dengan 26 huruf (huruf
dalam alfabet ada 26).
Tahap kedua yaitu mengisi slot A2 dapat diisi dengan 9 angka ( 1, 2, 3,
4, ...., 9. Angka 0 tidak boleh di depan).
Tahap ketiga yaitu mengisi slot A3 dapat diisi dengan 9 angka (karena
dari 10 angka telah dipakai 1 angka di slot A2.
5 | PENGANTAR TEORI PELUANG
Tahap keempat yaitu mengisi slot A4 dapat diisi dengan 8 angka
(karena dari 10 angka telah dipakai 2 angka di slot A2 dan slot A3.
Tahap kelima yaitu mengisi slot A5 dapat diisi dengan 7 angka (karena
dari 10 angka telah dipakai 3 angka di angka di slot A2 , A3 dan slot A4)
Tahap keenam yaitu mengisi slot A6 dapat diisi dengan 25 huruf
(karena dari 26 huruf telah dipakai 1 huruf di slot A1.
Tahap ketujuh yaitu mengisi slot A7 dapat diisi dengan 24 huruf
(karena dari 26 huruf telah dipakai 2 huruf di slot A1 dan slot A7)
Oleh karena itu, banyaknya plat nomor kendaraan yang dapat dibuat
adalah (26 x 9 x 9 x 8 x 7 x 25 x 24) cara = 70.761.600 buah.
1) Berapa banyak bilangan yang dibentuk itu bernilai paling besar 600?
2) Berapa banyak bilangan yang dibentuk itu habis dibagi 5?
Penyelesaiaan;
n! = n(n-1)!
0! = 1
Contoh soal:
15!
1. Nilai dari 2!(15−2)! adalah ....
Jawab:
Penyelesaian dari soal tersebut adalah:
15! 15!
= 2!13!
2!(15−2)!
15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
= (2×1) (13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×)
15×14×13!
= (2×1) (13!)
15×14
= (2×1)
= 105
= 24
Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Susunan
tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD,
BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA,
CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Ragam Permasalahan
1. Seorang siswa laki-laki akan berkunjung ke Kotabumi. Ia hanya
membawa 4 baju dan 3 celana saja. Baju dan celana itu akan dipakai
ketika telah sampai di Kotabumi. Berapakah banyaknya cara siswa
tersebut itu dapat berpakaian?
2. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk suatu bilangan
dengan syarat setiap bilangan tidak boleh ada angka yang sama.
a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 4 angka dan habis
dibagi 2 !
b. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka dan
merupakan bilangan ganjil !
3. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk suatu bilangan
dengan syarat bahwa setiap bilangan tidak terdapat angka yang sama.
Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika diberikan
ketentuan sebagai berikut !
a. terdiri atas 4 angka.
b. terdiri atas 3 angka dan kelipatan 2.
c. bilangan itu kurang dari 500.
Contoh:
1. Diketahui 3 abjad pertama yaitu A, B dan C. Berapa banyak
susunan yang mungkin dari 3 huruf yang berbeda itu ?
Jawab:
14 | PENGANTAR TEORI PELUANG
3P3 = 3! = 3.2.1 = 6 susunan. Keenam susunan itu
adalah; abc, acb, bca, bac, cab, cba.
2. Diketahui 4 siswa : Ary, Ani, Ali dan Asih akan ditempatkan
pada 4 buah kursi. Ada berapa cara untuk menempatkan
siswa itu pada kursi yang berbeda ?
Jawab:
Posisi keempat siswa itu dapat digambarkan dengan
kotak-kotak sebagai berikut:
I II III IV
4 3 2 1
Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 4 cara.
Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 3 cara.
Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 2 cara.
Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa dalam 1 cara.
Sehingga dengan prinsip dasar aturan membilang,
keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa
dengan : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
Atau:
nPn = 4P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.
𝒏!
𝑷𝒏𝒓 =
(𝒏 − 𝒓)!
Cara”.
Contoh:
1. Berapa banyak permutasi yang terdiri atas 2 huruf yang berbeda
dari 4 huruf : A, I, U, E.
Jawab:
4! 4! 4.3.2.1
4P2 = = 4.3 = 12 cara
(4 2)! 2! 2 .1
Ke-12 permutasi itu adalah :
I : AI A : UA
A U : AU U I : UI
E : AE E : UE
A : IA A : EA
I U : IU E I : EI
E : IE U : EU
Contoh:
1. Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat disusun dalam suatu
baris !
Jawab:
Unsur-unsur yang sama : huruf C ada 2, huruf A ada 2.
5! 5.4.3.2.1
P= = 30
2!.2! 2.1.2.1
Jadi susunan yang mungkin ada 30 buah.
Cara II
Perhatikan gambar !
2 3
B. Kombinasi
Perhatikan permasalah berikut!
Andi memiliki 5 buah pensil warna dengan warna yang berbeda
seperti; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Andi ingin membawanya
ke sekolah. Akan tetapi Andi hanya diperbolehkan membawa dua buah
pensil warna saja. Ada berapa banyak carakah Andi untuk
mengkombinasikan setiap pensil warna yang ada?
Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama yaitu kuning dan ada 3
buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyak cara penempatan/pengisian bola ke dalam kotak?
Keterangan :
𝐶 = Kombinasi
𝑛 = Jumlah banyaknya objek
23 | PENGANTAR TEORI PELUANG
𝑘 = Jumlah banyaknya objek yang diperintahkan
Interprestasi kombinasi
{1, 2} = {2, 1}
{1, 3} = {3, 1} 3 buah
{2, 3} = {3, 2}
3 3! 3!
Atau 3 buah
2 (3 2)!2! 1!2!
Contoh soal:
9.8.7.6.5! 6.5.4.3!
5!(4)! 3!(3)!
126 20
2520
Ragam Permasalahan
1. Diketahui 4 abjad pertama yaitu A, B, C dan D. Berapa banyak
susunan yang mungkin dari 4 huruf yang berbeda itu?
26 | PENGANTAR TEORI PELUANG
2. Sekelompok Wisatawan terdiri dari tiga orang laki-laki dan tiga orang
perempuan. Kemudian mereka makan di sebuah restoran. Berapa
banyak susunan tmpat duduk yang bisa dilakukan, jika;
a. Hanya laki-laki saja yang duduk bersama-sama
b. Mereka duduk berselang-seling?
c. Seorang laki-laki dan seorang perempuan tertentuan selalu
duduk berdampingan?
3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari
huruf-huruf dalam kata “Columns”?
4. Berapa banyak permutasi Yang berbeda yang dapat disusun dari
huruf-huruf dalam kata “infinity” ?
5. a) Berapa macam susunan antrian yang dapat dibentuk bila 6 orang
mengantri untuk naik bus?
b) Bila tiga orang tertentu bersikeras untuk saling berdekatan,
berapa banyak susunan antrian yang mungkin?
c) Bila dua orang tua tertentu tidak mau saling berdekatan, berapa
banyak susunan antrian yang mungkin?
6. Seorang kontraktor bermaksud membangun 9 rumah yang
semuanya berbeda bentuknya. Berapa banyak cara 9 itu dapat
dibangun sepanjang sebuah jalan bila 6 rumah harus berada salah
satu sisi, sedang 3 lainnya di sisi lain?
7. Berapa banyak susunan barisan yang dapat dibentuk oleh 4 anak
laki-laki dan 5 anak perempuan bila laki-laki dan perempuan harus
saling bergantian?
8. Empat pasang suami istri membeli 8 karcis yang sebaris untuk suatu
pertunjukan konser musik. Berapa banyak susunan duduk mereka
jika,
a. Bila tidak ada pembatasan apa-apa?
b. Bila setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan?
c. Bila kelompok suami duduk disebelah kanan kelompok istri?
27 | PENGANTAR TEORI PELUANG
9. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang yang
berbeda ditanam membentuk sebuah lingkaran?
10. Berapa banyak susunan iring-iringan yang dapat dibuat bila 8 kereta
berkuda disusun membentuk sebuah lingkaran?
11. Sebanyak 20 klub sepak bola akan bertanding pada sebuah
turnamen. Setiap klub akan bertemu satu sama lain dalam
bertanding sebanyak 1 kali. Berapakah banyak pertandingan yang
akan terjadi?
12. Laura memiliki 3 tas dan Nadia memiliki 5 tas. Banyaknya cara yang
dapat mereka lakukan untuk saling menukar tas apabila masing-
masing tetap memiliki tas sebanyak semula adalah …
13. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang di antara
mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan
kapasitas mobil masing-masing adalah 5 orang termasuk
pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil
tersebut adalah…
1. Terdapat (𝑛 + 1) suku.
2. Penjumlahan pangkat-pangkat dari 𝑥 dan 𝑦 dalam setiap
sukunya sama dengan 𝑛.
3. Pangkat 𝑥 menurun dalam setiap suku demi suku dari 𝑛 sampai
0; pangkat 𝑦 naik dalam suku demi suku dari 0 sampai 𝑛.
4. Koefisien dari suatu adalah 𝐶(𝑛, 𝑘) dimana 𝑘 adalah pangkat dari
salah satu 𝑥 atau 𝑦.
Koefisien-koefisien dari suku-suku yang sama jauhnya dari
yang terakhir adalah sama.
Bukti:
𝑛
= ∑ 𝐶 (𝑛, 𝑘)
𝑘=0
Bukti:
Berdasarkan Teorema 1, jika kita ambil 𝑥 = 1 dan 𝑦 = −1, maka
akan kita peroleh:
𝑛 𝑛 𝑛
0 = (1 + (−1)) = ∑ 𝐶 (𝑛, 𝑘)1𝑛−𝑘 (−1)𝑘 = ∑ (−1)𝑘 𝐶 (𝑛, 𝑘)
𝑘=0 𝑘=0
Bukti:
Kita lihat bahwa pada sisi kiri persamaan merupakan hasil dari
ekspansi (1 + 2)𝑛 berdasarkan teorema binomial. Oleh
karenanya, akan kita dapatkan:
𝑛 𝑛
3𝑛 = (1 + 2 )𝑛 = ∑ 𝐶 (𝑛, 𝑘)1𝑛−𝑘 2𝑘 = ∑ 2𝑘 𝐶 (𝑛, 𝑘)
𝑘=0 𝑘=0
B. Teorema Multinomial
Teorema mulitinomial adalah teorema yang menjelaskan
mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara
lebih dari dua peubah atau variabel.
Bukti:
Sebagaimana disajikan dalam teorema binomial, koefisien
𝑥1𝑛1 𝑥2𝑛2 𝑥3𝑛3 … 𝑥𝑡𝑛𝑡 adalah banyaknya cara memilih 𝑥1 dari 𝑛1 dari 𝑛
faktor, memilih 𝑥2 dari 𝑛2 dari 𝑛 − 𝑛1 dari faktor tersisa, memilih
𝑥3 dari 𝑛3 faktor dari 𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 faktor tersisa, ..., dan 𝑥𝑡 dari 𝑛𝑡
33 | PENGANTAR TEORI PELUANG
dari faktor tersisa 𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 − 𝑛3 … − 𝑛𝑡 . Jadi koefisien
dimaksud adalah
𝐶 (𝑛, 𝑛1 ) 𝐶 (𝑛 − 𝑛1 , 𝑛2 ) 𝐶 (𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 , 𝑛3 ) … 𝐶(𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 − ⋯ −
𝑛𝑡−1 , 𝑡).
Yang dapat disederhanakan menjadi:
𝑛! 𝑛
yang dapat pula dinyatakan dengan: (𝑛 )
𝑛1 !𝑛2!𝑛3!…𝑛𝑡 ! 1,𝑛2,𝑛3 ,…𝑛𝑡
atau 𝐶 (𝑛, 𝑛1 ; 𝑛2 ; ; 𝑛3 ; … ; 𝑛𝑡 ).
Contoh soal:
Ragam Permasalahan
1. Tentukan koefisien dari:
a. 𝑥 2 𝑦 3 dalam ekspansi (𝑥 + 3𝑦)5
b. 𝑎5 𝑏6 dalam ekspansi (−2𝑎 + 3𝑏)11
1 14
c. 𝑝6 𝑞 8 dalam ekspansi (− 2 𝑝 − 2𝑞)
d. (3 − 2𝑦)5
e. (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
M
ungkin Kehausan manusia yang tak terpuaskan terhadap
perjudianlah yang akhirnya membawa pada pengembangan awal
teori peluang. Dalam usaha untuk memperbesar kemenangan,
para penjudi meminta bantuan para ahli matematika untuk
mengatur siasat yang optimum bagi berbagai permainan judi,
matematikawan yang menghasilkan siasat-siasat tersebut, antara lain
adalah Pascal, Leibniz, Fermat, dan James Bernouli. Oleh sebab itulah,
ketika mempelajari konsep peluang kita akan menjumpai hal-hal yang
berkaitan dengan judi seperti, dadu, kartu, uang logam,lotre dll. Perlu
dicatat bahwa belajar peluang bukan berarti mendorong mahasiswa untuk
berjudi, bahkan sebaliknya dengan memahami konsep peluang mahasiswa
akan menyadari bahwa perjudian hanya akan membawa kemiskinan orang
yang berjudi dan judi bukanlah perbuatan yang benar untuk dilakukan.
Dari ciri yang pertama, suatu eksperimen acak memiliki semua hasil
yang mungkin. Hal ini menjadi landasan dalam mendefinisikan Ruang
Sampel.
Contoh:
Penyelesaiaan:
Karena masa hidup bola lampu bernilai real positif, maka ruang
sampelnya adalah:
𝑆 = {𝑡: 𝑡 > 0}
B. Kejadian
Dalam suatu percobaan kita mungkin berkepentingan dengan
terjadinya suatu kejadian tertentu. Misalnya, kita memfokuskan
perhatian pada bilangan ganjil pada sebuah pelambungan sebuah
40 | PENGANTAR TEORI PELUANG
dadu. Berdasarkan contoh 2 diatas maka ruang sampelnya adalah
𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Dalil : Peluang
𝑛
𝑃 (𝐴 ) =
𝑁
6
Dan banyaknya cara menyusun 3 kartu jack dari 4 kartu jack yang
4!
tersedia, ini adalah permasalahan kombinasi sehingga 𝐶34 = 3!1! =
4𝑥3! 4
= =4
3!1! 1!
2.598.960 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛
Sehingga peluang kejadian C: yaitu kejadian diperolehnya 5 kartu
yang terdiri dari 2 kartu as dan 3 kartu jack adalah
𝑛 (𝐶) 24
𝑃 (𝐶 ) = = = 0.9 𝑥 10−5
𝑃(𝐶) 2598960
Fh(A) = P(A) x n
Contoh:
Jawab:
𝑆 = {1,2,3,4,5,6}
𝐴 = {2,3,5}
3
𝑃 (𝐴 ) =
6
3
Sehingga, 𝐹ℎ (𝐴) = 6 × 360 = 180 kali.
0P1
artinya:
Ragam Permasalahan
10. Keranjang A dan B berisi sejumlah buah mangga yang berasa manis
dan asam.
Keranjang A berisi 15 buah, terdiri atas 10 buah manis dan 5 buah
asam.
Keranjang B berisi 12 buah, terdiri atas 7 buah manis dan 5 buah asam
Keterangn:
Contoh soal:
5
𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵 ) =
6
3. Dua puluh buah kartu dengan ukuran dan bahan yang identik
diberikan nomor 1 sampai dengan 20. Dari kumpulan kartu
tersebut, diambil sebuah kartu secara acak. Berapakah peluang
terambilnya kartu dengan bilangan yang lebih dari 12 atau bilangan
tersebut habis dibagi 3?
𝑛 (𝐴)
𝑃 (𝐴 ) = 𝑛 (𝑆)
𝑛 (𝐴)
𝑃 (𝐴 𝔩 𝑆 ) = 𝑛 (𝑆)
𝑛 (𝐴∩𝑆)
= 𝑛 (𝑆)
𝑛 (𝐴∩𝑆)
𝑛 (𝑆)
= 𝑛 (𝑆)
𝑛 (𝑆)
Definisi 5.1 “Jika A dan B adalah dua buah kejadian yang dibentuk
dari ruang sampel S. Maka peluang bersyarat dari B jika
diberikan A didefinisikan sebagai.
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵 𝔩 𝐴 ) =
𝑃(𝐴)
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵 ⁄𝐴 ) =
𝑃(𝐴)
𝑛 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛 (𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛 (𝑆)
𝑛 (𝐴 ∩ 𝐵)
=
𝑛 (𝐴)
Contoh soal:
Penyelesaiaan.
𝑛 (𝑀∩𝐸) 460
Sehingga 𝑃 (𝑀⁄𝐸 ) = =
𝑛 (𝐸) 500
Definisi 5.2 “Jika A dan B adalah dua buah kejadian yang dibentuk
berdasarkan ruang sampel S, maka:
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐵) . 𝑃(𝐴⁄𝐵) “.
= 120 cara
n (S) : Banyak susunan ketiga lampu cabe yang terambil itu secara
keseluruhan
= (10 x 9 x 8)
= 720 cara
𝑛 (𝐴) 20 1
Dengan demikian 𝑃 (𝐴) = = =6
𝑛 (𝑆) 120
3. Dalil Bayes
Sebelum masuk ke dalil/aturan Bayes terlebih dahulu akan dibahas
konsep partisi dan peluang total.
Partisi
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
Jika terdapat dua kejadian tidak saling bebas, maka dua kejadian
tersebut dikatakan bergantungan. Hal-hal yang harus dicermati dalam
dua kejadian saling bebas adalah:
1) Dua kejadian 𝐴 dan 𝐵𝑐 juga saling bebas.
Bukti:
Dalam pembuktiannya didasarkan pada tabel berikut:
KEJADIAN 𝐵 𝐵𝑐 JUMLAH
𝐴 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴)
𝐴𝑐 𝑃(𝐴𝑐 ) × 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴𝑐 ) × 𝑃(𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴𝑐 )
JUMLAH 𝑃(𝐵) 𝑃 (𝐵 𝑐 ) 1
Contoh soal:
Misalkan Abbid mengundi sebuah mata uang Rp.500,- yang seimbang
sebanyak tiga kali.
Jika 𝐴 adalah kejadian bahwa ANGKA terjadi pada pengundian
pertama
Jika 𝐵 adalah kejadian bahwa ANGKA terjadi pada pengundian kedua
Jika 𝐶 adalah kejadian dua ANGKA terjadi berturut-turut pada
pengundian tersebut
Maka periksalah!
1) Apakah dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas?
2) Apakah dua kejadian 𝐴 dan 𝐶 saling bebas?
3) Apakah dua kejadian 𝐵 dan 𝐶 saling bebas?
4) Apakah dua kejadian 𝐴𝑐 dan 𝐵 saling bebas?
Jawab:
Ruang sampel eksperimennya adalah:
𝑆 = {𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐴𝐴}
Keterangan:
1. Sebuah kotak berisi 12 bola yang diberi nomor 1 hingga 12. Dua
bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa pengembalian.
Tentukanlah peluang terambil bola-bola bernomor bilangan kelipatan
4 pada pengambilan pertama dan nomor prima pada pengambilan
kedua adalah…
2. Di dalam suatu kotak terdapat 8 bola warna putih, 4 bola warna
merah, dan 2 bola warna kuning. akan diambil 3 bola sekaligus
secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna merah dan 1 bola
warna kuning adalah…
3. Dalam sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola biru dan 2 bola
putih akan diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil
ketiga bola tersebut berlainan warna adalah…
4. Dari satu set kartu bridge tanpa Joker, diambil secara acak 1 buah
kartu. Berapa peluang terambilnya kartu bergambar diamond atau
kartu bergambar wajah?
5. Tiga buah uang logam dilemparkan bersamaan. Berapakah peluang
muncul tepat 1 sisi gambar (G) atau tepat 1 sisi angka (A)?
6. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya
angka genap atau angka lebih besar dari 3!
7. Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15
orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu
orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:
a) suka matematika dan fisika
b) suka matematika atau fisika