Makalah Kelompok 7 Keprimaan
Makalah Kelompok 7 Keprimaan
Makalah Kelompok 7 Keprimaan
KEPRIMAAN
Dosen Pengampu : Nursiwi Nugraheni, S. Si., M. Pd.
Disusun Oleh :
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan hidayah nya kami
dari kelompok 7 dapat menyelesaikan makalah yang berjudul Keprimaan, dengan tepat waktu.
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas pada mata kuliah
Pendalaman Materi Matematika. Selain itu makalah ini juga bertujuan untuk menambah
wawasan tentang materi mengenai Keprimaan dan teori bilangan prima.
Kami dari kelompok 7 mengucapkan terimakasih kepada ibu Nursiwi Nugraheni, S. Si., M.
Pd, selaku dosen pengampu mata kuliah Pendalaman Materi Matematika yang telah
memberikan tugas ini sehingga dapat menambah wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Dan kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah ikut berpartisipasi dalam
menyelesaikan makalah ini
Kami menyadari bahwa makalah yang kami tulis ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh
karena itu, kami memerlukan kritik dan saran yang membangun untuk menyempurnakan
makalah ini.
Kelompok 1
ii
DAFTAR ISI
JUDUL ....................................................................................................................................... i
C. TUJUAN .................................................................................................................. 2
A. KEPRIMAAN……………............................................................................................. 3
A. KESIMPULAN ........................................................................................................... 15
B. SARAN ....................................................................................................................... 15
iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Teori bilangan adalah salah satu dasar dalam matematika, khusunya aljabar. Himpunan
semesta (semesta pembicaraan) dalam teori bilangan adalah himpunan semua bilangan
bulat. Bahkan dalam beberapa pembahasan hanya terbatas pada himpunan bilangan asli.
Teori bilangan berisi penelaahan sifat- sifat bilangan bulat dan penerapannya dalam
kehidupan sehari-hari. Bilangan prima merupakan pokok bahasan yang cukup populer
dalam ranah ilmu teori bilangan. Suatu bilangan bulat p yang lebih dari satu dikatakan
prima jika faktor positif dari p hanyalah 1 dan p. bilangan yang lebih dari satu tetapi
tidak prima dikatakan komposit. Bilangan prima banyak digunakan oleh matematikawan
dalam berbagai bidang seperti kriptografi dan game theory. Bilangan prima sudah mulai
dipelajari dari zaman yunani kuno. Meskipun begitu, kajian mengenai bilangan prima
baru berkembang ketika seorang matematikawan Prancis yang bernama Fierre de Fermat
menemukan hubunga n antara bilangan prima dengan aritmatika modular pada abad ke-
17. Beberapa algoritma untuk menentukan keprimaan suatu bilangan sudah banyak
ditemukan. Meskipun begitu algoritma tersebut masih kurang efisien untuk kebutuhan
permasalahan saat ini. Meskipun algoritma untuk menentukan keprimaan suatu bilangan
yang sudah ditemukan masih terhitung lambat untuk permasalahan saat ini, suatu
algoritma probabilistic dapat dibentuk dengan menggunakan teorema fermat. Karena
sifat probabilistic ini, hasil dari algoritma ini tidaklah eksak melainka n merupakan
probabilistic. Meskipun begitu, kemungkinan algoritma ini menghasilkan kesalahan
dapat diminimalisasi dengan menggunakan beberapa perhitungan.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian bilangan prima dan komposit?
2. Bagaimana sifat sifat bilangan prima?
3. Bagaimana cara menentukan bilangan prima?
4. Bagaimana teori toeri bilangan prima?
1
C. Tujuan
2
BAB II
PEMBAHASAN
3
Misal terdapat hingga banyaknya bilangan prima, sebut saja sebanyak n. Maka
misalkan p1= 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, …., sampai pn blangan prima
terakhir.
Sekarang perhatikan
bilangan berikut :
P = p1p2p3….pn + 1
Berdasarkan Teorema Dasar Aritmatika, P pasti
memilliki minimal satu faktor prima, sebut saja p. Namun bilangan prima hanya
terdiri dari p1,p2,….,pn, sehingga p haruslah sama dengan salah satu dari p1,p2,
….,pn. Artinya selain p | P juga p | p1p2p3….pn.
Akibatnya p | (P - p1p2p3….pn), atau p | 1. Tetapi tidak mungkin bilangan prima
membagi 1. Kontradiksi! Artnya terdapat tak hingga banyaknya bilangan prima.[5]
Pembuktian Euclid di atas merupakan contoh sebuah pembuktian elegan dengan
menggunakan kontradiksi. Hasilnya terbukti terdapat tak hingga banyaknyabilangan
prima.
4
sehingga
pn+1 ≤ 22*n-1 +1
pn+1 ≤22n
Terdapat beberapa cara atau rumus untuk menentukan bilangan prima, yaitu:
a. Metode Eratosthenes
Suatu metode untuk mendapatkan bilangan-bilangan prima yanglebih kecil dari bilangan
yang ditentukan, pertama dibuat olehmatematikawan Yunani, Eratosthenes lebih dari 2000
tahun yang lalu.Metode ini dikenal dengan sebutan “The Sieve of Eratosthenes”.
Misalnyaakan dicari bilangan - bilangan prima yang kurang dari 100.
5
Mula- muladibuat tabel yang memuat angka dari 1 sampai dengan 100. Lihat tabelbeerikut:
“The Sieve of Eratosthenes”
6
Jadi bilangan prima dari 1 sampai 100 adalah:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79, 83, 89, dan 97.
Proses tersebut sederhana, karena untuk menyilang kelipatan 3 (sebagaicontoh) tidak harus
dengan mengecek keterbagian dengan 3, tetapi cukupdengan menyilang setiap angka ketiga.
Jadi siapapun yang dapat membila ngmampu mendapatkan bilangan prima dengan metode
ini.
Untuk dapat mendapatkan bilangan prima lebih kecil dari 100 dapatdilakukan pula dengan
cara berikut:
1. Tentukan bilangan prima terbesar yang kurang dari atau sama dengan √100
(dalam hal ini 7)
Untuk menemukan semua bilangan prima yang lebih kecil dari 𝑛 dapat dilakukan sebagai
berikut :
c. Rumus lain yang pernah juga tercatat dalam sejarah adalah rumus fermat,
yaitu 𝑓 (𝑛) = 22𝑛 + 1. Sama halnya dengan kedua rumus diatas, rumus ini gagal juga
sebagai rumus untuk mencari bilangan prima, karena 𝑓(5) = 202 + 1 = 429496296 +
1 = 4292967297 = 641.6700417.
Jadi 𝑓(5) bukan bilangan prima.
Fermat telah menduga bahwa rumus tersebut adalah menghasilkan bilanga n prima.
Untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4 ini merupakan benar bilangan prima. Tetapi pertumbuhan
bilangannya sangat besar. Sehingga membuat orang malas menguji kebenaran
bilangan itu untuk 𝑛 yang selanjutnya.
8
Tetapi pada tahun 1732 Leonhard Euler membuktikan bahwa untuk n=5, G(5)=4.
294.967.297 bukan merupakan bilanga prima. Karena nilai itu sama dengan 641 dikali
6.700.417.
Kemudian pada tahun 1880, F.Landry menunjukan bahwa untuk n=6 juga bukan
merupakan bilangan prima. Dan pada awal tahun 1970 untuk n=7 juga bukan
merupakan bilangan prima.
Dan dengan menggunakan computer ternyata yang merupakan bilanga n prima
hanya lima angka pertama saja. Meskipun gagal, tetapi usaha fermat sangat hebat.
d. Rumusan lain yang juga ada dalam catatan sejarah matematika untuk mencari
bilangan prima adalah 𝑓(𝑛) = 𝑛2 + 79𝑛 + 1601. Namun rumusa ini gagal juga
sebagai rumus untuk mencari bilangan prima, karena untuk 𝑛 = 81 menghasilkan 𝑓
(81) = 1763 = 41.43. ini menunjukan bahwa 𝑓 (81)bukan bilangan prima.
e. Terdapat pula sebuah bilangan prima besar, bilangan tersebut adalah 211219 − 1,
ditemukan di university of Illinois. Bilangan prima ini pernah merupakan salah satu
lambang dalam benda pos (mungkin sebagai perangko).
D. TEOREMA TEOREMA
Berikut diberikan suatu kriteria untuk mengecek keprimaan suatu bilangan dengan
cara yang cukup efisien.
2. Teorema Jika bilangan asli merupakan bilangan komposit, maka memiliki faktor
prma yang tidak lebih dari Andaikan di mana merupakan bilangan
asli yang lebih dari 1 dan merupakan faktor terkecil . Jelas bahwa merupakan
bilangan prima, sebab jika tidak, maka terdapat bilangan asli yang habis
membagi dan karena dan , maka kontradiksi dengan minimalitas
.
Karena merupakan faktor terkecil , maka . Diperoleh
sehingga . Jadi, terbukti bahwa memiliki faktor prima yang tidak lebih
dari . Di sekolah dasar, kita pernah diajarkan untuk mencari faktorisasi prima
bilangan-bilangan asli (biasanya menggunakan pohon faktor). Sebagai
contoh, dan . Faktorisasi prima
tidak lain merupakan cara menyatakan suatu bilangan asli sebagai perkalian bilangan-
bilangan prima. Namun, apakah semua bilangan asli selalu dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan-bilangan prima? Jawabannya adalah ya! Ini dijamin oleh teorema
fundamental aritmatika, yang merupakan landasan utama teori bilangan.
10
maka merupakan faktorisasi prima dari . Jika , maka
untuk suatu bilangan asli . Jika prima, maka merupakan
faktorisasi prima dari . Jika komposit, diperoleh suatu bilangan
prima dan bilangan asli sehingga . Jika prima,
maka merupakan faktorisasi prima , sedangkan jika komposit,
algoritma dapat kita lanjutkan terus menerus hingga diperoleh barisan bilangan
asli . Algoritma ini akan berhenti dengan sebanyak berhingga
langkah, sehingga dan diperoleh . Terbukti bahwa setiap
bilangan asli dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
Selanjutnya, akan kita buktikan bahwa representasi ini tunggal. Diandaikan terdapat
bilangan asli yang memiliki dua faktorisasi prima berbeda, yaitu
dan diperoleh suatu bilangan asli yang kurang dari namun memiliki dua faktorisasi
prima berbeda. Kontradiksi. Jadi, untuk setiap dan .
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan . Dengan algoritma pembagian,
untuk setiap , terdapat suatu bilangan asli sehingga
dengan . Jadi
11
Perhatikan bahwa dengan
mengekspansi ,
diperoleh untuk suatu bilangan asli .
Misalkan , maka diperoleh .
Akibatnya sehingga dan untuk suatu bilangan asli
. Jika , maka merupakan faktorisasi prima dari sedangkan
jika kita nyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima,
yaitu . Jadi, merupakan faktorisasi prima dari .
Di sisi lain, karena maka setiap faktor primanya kurang dari . Akibatnya,
jika kita nyatakan ke dalam hasil kali bilangan-bilangan prima,
Dari teorema di atas, dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan asli dapat
dinyatakan secara tunggal dalam bentuk
Apakah bilangan prima memiliki pola? Definisi pola sebenarnya cukup rancu, namun
jika pola yang dimaksud adalah berbentuk polinomial, maka jawabannya adalah tidak
ebagaimana akan kita lihat pada contoh berikut.
12
Meskipun tidak ada formula pasti untuk mencari bilangan prima, kita telah
mengetahui bagaimana sifat persebaran bilangan prima. Jika sebagai banyaknya
bilangan prima yang tidak lebih dari , sebagai contoh ,
maka kita punya
5. Teorema Dirichlet Theorem
Jika dan adalah bilangan asli yang relatif prima, maka terdapat tak hingga
bilangan prima pada barisan aritmatika .
13
6. Teorema Bertrand’s Postulate
[box] Untuk setiap bilangan asli , terdapat bilangan prima yang terletak di
antara dan . [/box]
7. Teorema Green-Tao Theorem
Untuk setiap bilangan asli , terdapat barisan aritmatika dengan suku yang semua
sukunya prima
Masih sangat banyak hal yang belum kita ketahui tentang bilangan prima. Berikut
adalah dua konjektur yang dapat dikatakan paling terkenal dan paling tua terkait
bilangan prima.
14
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor pembagi, yaitu 1
dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan yang
mempunyai lebih dari 2 buah pembagi.
B. Saran
Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini, masih banyak terdapat
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kami mengharapkan
sumbangsi pikiran dari para pembaca demi penyempur naa n makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
https://asimtot.wordpress.com/2010/04/26/bilangan-prima-rumus-prima-yang-gagal-dan-
tentang-prima-yang-lain/
https://novihartini.wordpress.com/2011/01/18/cara-mencari-bilangan- prima-dengan-saringan-
erastotenes/
https://teoribilangan.mipa.ugm.ac.id/2020/10/20/bilangan-prima/