Final Modul 6 Logika Matematika (Emi Pujiastuti)
Final Modul 6 Logika Matematika (Emi Pujiastuti)
Final Modul 6 Logika Matematika (Emi Pujiastuti)
Penulis:
1
Pendalaman Materi Matematika
Modul 6 Logika Matematika
Penulis:
Dr. Emi Pujiastuti, M.Pd.
ISBN:
Editor:
Dr. Imam Sujadi, M.Si.
Dr. Sukoriyanto
Dr. Mulyono, M.Pd.
Penyunting:
......................
Desain Sampul dan Tata Letak
Ahmad Ijlal Abdika
Penerbit:
KemendikbudRistek
Redaksi:
Jl. ...............
Distributor Tunggal:
2
KATA PENGANTAR
Penulis
3
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................................ 3
DAFTAR ISI....................................................................................................................... 4
PENDAHULUAN .............................................................................................................. 6
KB 1. Kalimat, Pernyataan, dan Tabel Kebenaran ............................................................. 8
A. Pendahuluan ................................................................................................. 9
B. Capaian Pembelajaran................................................................................ 10
C. Materi Pokok ............................................................................................. 11
D. Uraian Materi ............................................................................................. 11
1. Kalimat dan Pernyataan .......................................................................... 11
2. Kalimat Terbuka...................................................................................... 12
3. Pernyataan Majemuk ............................................................................... 13
E. Forum Diskusi ........................................................................................... 27
F. Rangkuman ................................................................................................ 27
F. Tes Formatif............................................................................................... 29
G. Daftar Pustaka ........................................................................................... 32
H. Kriteria Penilaian Tes Formatif ................................................................. 33
KB 2. Kuantor, Tautologi, dan Kontradiksi ...................................................................... 34
A. Pendahuluan ............................................................................................... 35
B. Capaian Pembelajaran................................................................................ 37
C. Pokok-pokok Materi .................................................................................. 37
D. Uraian Materi ............................................................................................. 38
1. Kuantor .................................................................................................... 38
2. Tautologi ................................................................................................. 40
3. Kontradiksi .............................................................................................. 46
E. Forum Diskusi............................................................................................ 48
F. Rangkuman ................................................................................................ 48
G. Tes Formatif............................................................................................... 49
H. Daftar Pustaka ........................................................................................... 51
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ................................................................. 52
KB 3. Aljabar Proposisi, Argumen, dan ........................................................................... 53
A. Pendahuluan ............................................................................................... 54
B. Capaian Pembelajaran................................................................................ 56
C. Pokok-Pokok Materi .................................................................................. 56
4
D. Uraian Materi ............................................................................................. 56
1. Aljabar Proposisi ..................................................................................... 56
2. Argumen dan Inferensi ............................................................................ 62
3. Metode Inferensi ..................................................................................... 64
E. Forum Diskusi ........................................................................................... 75
F. Rangkuman ................................................................................................ 76
G. Tes Formatif............................................................................................... 79
H. Daftar Pustaka ........................................................................................... 81
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ................................................................. 82
KB 4. Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung .................................................. 83
A. Pendahuluan ............................................................................................... 84
B. Capaian Pembelajaran................................................................................ 86
C. Pokok-pokok Materi .................................................................................. 86
D. Uraian Materi ............................................................................................. 87
1. Aturan Bukti Bersyarat .............................................................................. 87
2. Bukti Tak Langsung................................................................................... 94
E. Forum Diskusi ......................................................................................... 100
F. Rangkuman .............................................................................................. 101
G. Tes Formatif............................................................................................. 102
H. Daftar Pustaka .......................................................................................... 105
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ............................................................... 105
TUGAS AKHIR MODUL 6 ........................................................................................... 107
TES SUMATIF MODUL 6 ............................................................................................ 107
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF MODUL 6........................................................ 116
KRITERIA PENILAIAN TES FORMATIF .................................................................. 116
KUNCI JAWABAN TES SUMATIF MODUL 6 .......................................................... 118
KRITERIA PENILAIAN TES SUMATIF ..................................................................... 119
5
PENDAHULUAN
6
Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu
mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam Modul 6 ini.
A. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami,
mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur
materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam
penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan
penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving,
koneksi, dan komunikasi matematis, critical thinking, kreativitas berpikir
matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan.
7
No Kode: DAR 2/Profesional/180/6/2022
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Penulis:
Dr. Emi Pujiastuti, M.Pd.
8
A. Pendahuluan
Para mahasiswa yang semoga selalu sehat dan bersemangat.
Logika merupakan induk matematika. Rasionalnya, belajar logika berarti belajar berpikir
dan bernalar secara logis yang merupakan kegiatan akal manusia dalam memanfaatkan
pengetahuan yang diterima melalui panca indera, kemudian diolah agar dicapai suatu kebenaran.
Dengan belajar logika, akan mampu memanifestasikan pikiran sehingga mampu
mempertimbangkan, menganalisis, menunjukkan alasan-alasan, membuktikan sesuatu, menarik
kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, dan lain-lain.
Logika juga merupakan dasar bahasa pemrograman komputer. Dasar dari bahasa
pemrograman komputer sejatinya adalah logika matematika. Bahasa yang digunakan oleh
komputer memang dekat dengan bahasa manusia, hal ini dikarenakan pemikiran manusialah yang
dapat membuat program-program komputer.
Dalam penyusunan suatu undang-undang ataupun dokumen yang sejenis, banyak sekali
memerlukan kata-kata penghubung seperti dan, atau, jika … maka, dan jika dan hanya jika. Kata-
kata ini berfungsi untuk menjelaskan suatu kalimat yang tertuang pada undang-undang tersebut.
Jika saudara mempelajari tabel kebenaran yang terkait disjungsi, konjungsi dalam logika
maka saudara dapat memiliki relevansi dalam hal pemikir yang jernih dan kritis, melaksanakan
disiplin intelektual yang diperlukan dalam menarik kesimpulan, serta dapat menginterpretasikan
fakta dan pendapat orang lain secara akurat, ilmiah, dan reflektif.
Selamat mengikuti Kegiatan Belajar 1 (KB 1) Logika. Pada KB 1 ini, saudara mempelajari
tentang kalimat, pernyataan, tabel kebenaran, dan aplikasinya. Oleh sebab itu, prasyarat dalam
mempelajari tabel kebenaran dalam materi pada Kegiatan Belajar 1 ini adalah saudara-saudara
telah menguasai pengertian pernyataan baik yang bernilai benar maupun pernyataan yang bernilai
salah. Kegiatan belajar ini dikemas dalam tiga sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai
berikut.
• Sub Kajian 1: Kalimat dan Pernyataan
• Sub Kajian 2: Kalimat Terbuka
9
• Sub Kajian 3: Pernyataan Majemuk
Kalimat, pernyataan, dan tabel kebenaran biasanya digunakan dalam penyelesaian masalah
pemprograman dalam komputer dalam pembuatan program yang memanfaatkan nilai benar atau
salah dengan simbol 1 atau 0.
Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan
dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut.
1. Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada KB 1 ini.
2. Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar dan selesaikan latihan pada forum diskusi dan
selesaikan tes formatifnya secara mandiri.
3. Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan.
4. Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan
belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus
mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.
5. Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini,
sangat bergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan
latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat.
Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu
mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini sebagai bekal
membelajarkan matematika kepada siswa di sekolah.
B. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami,
mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi
matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan
dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-
hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematis, critical thingking,
kreativitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. Mahasiswa mampu
menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam
pemecahan masalah yang terkait logika yaitu menyelesaikan masalah menggunakan nilai
kebenaran logika matematika, yang dijabarkan sebagai berikut.
1. Mengidentifikasi pernyataan kalimat terbuka.
2. Menentukan negasi dari pernyataan tunggal.
3. Mengidentifikasi pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi).
4. Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi,
biimplikasi).
10
C. Materi Pokok
Materi pokok dalam KB 1 ini adalah sebagai berikut.
1. Kalimat dan Pernyataan.
2. Kalimat Terbuka.
3. Pernyataan Majemuk.
a. Negasi.
b. Konjungsi.
c. Disjungsi
d. Implikasi.
e. Biimplikasi.
Sebelum mempelajari materi pada KB 1 ini, mahasiswa diminta memperhatikan [PPT yang
berkaitan dengan kalimat, pernyataan, dan tabel kebenaran. pada [PPT-M6-KB1].
Agar dapat memahami lebih dalam materi pada PPT tersebut, mahasiswa dapat mempelajari
lebih lanjut materi berikut.
D. Uraian Materi
1. Kalimat dan Pernyataan
Sebelum membahas tentang pernyataan, kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut
kalimat dan pernyataan. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan
mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti
menerangkan (kalimat deklaratif), yang disebut pernyataan. Pernyataan mungkin bernilai benar
saja atau bernilai salah saja. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran
pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu.
Logika yang kita bahas di sini adalah logika matematika dua nilai, yaitu nilai BENAR (B) dan
nilai SALAH (S).
Menurut jenisnya, suatu kalimat secara sederhana dapat dibagi seperti di bawah ini:
bernilai salah
Kalimat deklaratif
(pernyataan)
Kalimat berarti bernilai benar
Contoh:
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum/tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Dalam matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan (kalimat terbuka yang
menggunakan tanda “=”) atau berbentuk pertidaksamaan (kalimat terbuka yang menggunakan
tanda “≠”, “<”, “>”, “≤”, atau “≥”).
Contoh:
1) 𝑥 + 1 = 3, kalimat terbuka yang berbentuk persamaan.
2) 𝑥 2 – 2 < 7, kalimat terbuka yang berbentuk pertidaksamaan.
3) 3𝑥 − 1 ≤ 5, untuk x 𝜖 ℝ..
4) 𝑥 − 5 < 7, untuk x 𝜖 ℝ..
5) 𝑥+5=7
6) 4𝑥 − 6 = 13
7) 9 − 3𝑥 < 4, untuk x 𝜖 ℝ..
8) 14 + 3 = ⋯
12
Pernyataan sebagaimana disinggung pada halaman sebelumnya adalah kalimat yang sudah
dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Dalam logika matematika, pernyataan
bisa berbentuk kesamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda “=”), berbentuk
ketidaksamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda “≠”, “<”, “>”, “≤”, atau “≥”), atau
berbentuk kalimat deklaratif biasa.
Contoh:
1) 6 + 7 = 8, pernyataan yang berbentuk kesamaan, yang bernilai Salah.
2) 42 + 13 > 20, pernyataan yang berbentuk ketidaksamaan, yang bernilai Benar.
3) Semarang merupakan ibukota Jawa Tengah. Pernyataan bernilai Benar.
4) Kerajaan Demak terletak di Pulau Sumatra. Pernyataan bernilai Salah.
5) Hasil perkalian 2 × 3 adalah 6. Pernyataan bernilai Benar.
3. Pernyataan Majemuk
Pada praktiknya, suatu pernyataan dalam matematika tidak hanya terdiri atas pernyataan
tunggal saja, namun seringkali melibatkan beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan
dengan kata hubung seperti atau, dan, jika … maka …, serta jika dan hanya jika.
Contoh:
1) Kenza gadis yang pandai dan cantik.
2) Jika saya lapar maka saya makan.
Pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung tersebut di atas dinamakan dengan
pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri atas beberapa
pernyataan tunggal. Simbol-simbol logika yang digunakan dalam pernyataan majemuk disajikan
dalam Tabel 1.1 berikut.
Tabel 1.1
Simbol-simbol Logika
No. Nama Lambang Makna
1. Negasi ~ tidak, bukan
2. Konjungsi ∧ dan, tetapi, meskipun, walaupun
3. Disjungsi ∨ atau
4. Implikasi ⟹ jika . . . maka . . .
5. Biimplikasi ⟺ jika dan hanya jika
∀ semua, setiap
6. Kuantor
∃ terdapat, ada
Untuk itu berikut ini akan dibahas setiap pernyataan majemuk tersebut dan tabel kebenarannya.
13
a. Negasi
Misalkan pernyataan: “Soni adalah mahasiswa UNNES”. Negasi/ingkaran pernyataan
tersebut adalah “Soni bukan mahasiswa UNNES”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka
negasinya bernilai salah, dan sebaliknya. Jadi, negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang
bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan sebaliknya.
Negasi pernyataan 𝑝 disimbolkan sebagai: 𝑝̅ , −𝑝 , ¬𝑝, atau ~𝑝.
Contoh:
a) 𝑝: Semarang ibu kota Jawa Tengah (benar)
~𝑝: Semarang bukan ibukota Jawa Tengah (salah)
b) 𝑞: 15 adalah bilangan prima (salah)
~𝑞: 15 bukan bilangan prima (benar)
c) 𝑝: 2 + 3 > 6 (salah)
~𝑝: Tidak benar bahwa 2 + 3 > 6 (benar)
d) 𝑝: Zainal memakai kacamata (benar)
~𝑝: Zainal tidak memakai kacamata (salah)
Tabel kebenaran untuk negasi ada pada Tabel 1.2 adalah sebagai berikut.
Tabel 1.2
Tabel Kebenaran Negasi
𝑝 ~𝑝
B S
S B
b. Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”, “tetapi”,
“meskipun”, atau “walaupun”. Dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∧ 𝑞
disebut konjungsi dan dibaca “𝑝 dan 𝑞”. Sebagai contoh, 𝑝, 𝑞 merupakan pernyataan dengan
𝑝: peserta lomba wajib menyerahkan foto
𝑞: peserta diklat wajib membawa KTP
Dari dua pernyataan di atas maka dapat dibuat konjungsi dari 2 pernyataan tersebut
sehingga 𝑝 ∧ 𝑞 berbunyi “peserta lomba wajib menyerahkan foto dan membawa KTP”.
Seandainya kedua pernyataan tunggalnya yaitu 𝑝, 𝑞 semuanya bernilai benar, maka pernyataan
𝑝 ∧ 𝑞 (peserta lomba wajib menyerahkan foto dan membawa KTP) juga bernilai benar. Jika salah
14
satu diantara 𝑝, 𝑞 ada yang salah atau bahkan keduanya salah, maka pernyataan 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai
salah. Secara umum, tabel kebenaran konjungsi ada pada Tabel 1.3 adalah sebagai berikut.
Tabel 1.3
Tabel Kebenaran Konjungsi
𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh:
a) 𝑝: 17 adalah bilangan prima (benar).
𝑞: bilangan prima selalu ganjil (salah).
𝑝 ∧ 𝑞: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah).
b) 𝑝: Bunga matahari berwarna biru (salah)
𝑞: Bunga melati berwarna putih (benar)
𝑝 ∧ 𝑞: Bunga matahari berwarna biru dan bunga melati berwarna putih (salah)
c) 𝑝: 2 + 3 < 6 (benar)
𝑞: Sang Saka bendera RI (benar)
𝑝 ∧ 𝑞: 2 + 3 < 6 dan Sang Saka bendera RI (benar)
d) 𝑝: 4 adalah bilangan ganjil (salah)
𝑞: 3 adalah bilangan genap (salah)
𝑝 ∧ 𝑞: 4 adalah bilangan ganjil dan 3 adalah bilangan genap (salah)
c. Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua
pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∨ 𝑞 disebut disjungsi dan dibaca “𝑝 atau 𝑞”.
Sebagai contoh, 𝑝, 𝑞 merupakan pernyataan dengan
𝑝: peserta diklat wajib membawa KTP
𝑞: peserta diklat wajib membawa SIM
Dari dua pernyataan di atas maka dapat dibuat disjungsi dari 2 pernyataan tersebut sehingga
𝑝 ∨ 𝑞 berbunyi “peserta diklat wajib membawa KTP atau SIM”. Pernyataan tersebut akan
bernilai benar apabila salah satu di antara pernyataan tunggalnya bernilai benar. Disjungsi yang
mempunyai nilai kebenaran tersebut disebut disjungsi inklusif. Disjungsi seperti ini yang umum
15
digunakan dalam pernyataan matematis. Secara umum, tabel kebenaran disjungsi inklusif ada
pada Tabel 1.4 adalah sebagai berikut.
Tabel 1.4
Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif
𝑝 𝑞 𝑝∨𝑞
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh:
a) 𝑝: 9 adalah bilangan prima (salah)
𝑞: bilangan prima selalu ganjil (salah)
𝑝 ∨ 𝑞: 9 adalah bilangan prima atau bilangan prima selalu ganjil (salah)
b) 𝑝: Ibu kota Provinsi Kalimantan Barat adalah Pontianak (benar)
𝑞: Mata uang negara India adalah Rupee (benar)
𝑝 ∨ 𝑞: Ibu kota Provinsi Kalimantan Barat adalah Pontianak atau mata uang negara India
adalah Rupee (benar)
c) 𝑝: Aku tinggal di Indonesia
𝑞: Aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP
𝑝 ∨ 𝑞: Aku tinggal di Indonesia atau aku belajar Bahasa Inggris sejak SMP
Pernyataan 𝑝 ∨ 𝑞 bernilai benar jika aku benar-benar tinggal di Indonesia atau benar-benar
belajar Bahasa Inggris sejak SMP.
Dalam beberapa kasus hal tersebut tidak berlaku, sebagai contoh perhatikan pernyataan
berikut.
𝑝: Riko lahir di Semarang.
𝑞: Riko lahir di Jakarta.
Pernyataan 𝑝 ∨ 𝑞 dari 2 pernyataan di atas berbunyi “Riko lahir di Semarang atau Jakarta”.
Pernyataan tersebut akan bernilai benar apabila hanya salah satu di antara pernyataan tunggalnya
bernilai benar. Pernyataan disjungsi di atas tidak akan bernilai benar jika kedua pernyataan
tunggalnya bernilai benar. Kondisi ini dinamakan disjungsi ekslusif, dilambangkan dengan
𝑝 ∨ 𝑞. Secara umum, tabel kebenaran dari disjungsi ekslusif ada pada Tabel 1.5 adalah sebagai
berikut.
16
Tabel 1.5
Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif
𝑝 𝑞 𝑝∨𝑞
B B S
B S B
S B B
S S S
d. Implikasi
d.1 Implikasi sebagai Pernyataan Bersyarat
Implikasi atau pernyataan bersyarat merupakan pernyataan yang dibuat dari 2 pernyataan
tunggal 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika 𝑝 maka 𝑞”. Implikasi dilambangkan
dengan 𝑝 ⇒ 𝑞. Pada implikasi 𝑝 ⇒ 𝑞, pernyataan 𝑝 dinamakan pernyataan
penyebab/pendahulu/syarat cukup/hipotesis/anteseden, sedangkan pernyataan 𝑞 dinamakan
pernyataan akibat/pengikut/syarat perlu/konklusi/ konsekuen.
Bentuk implikasi 𝑝 ⇒ 𝑞 dapat pula dibaca:
1) Jika p maka q.
2) p hanya jika q.
3) q jika p.
4) p syarat cukup bagi q.
5) q syarat perlu bagi p.
Nilai kebenaran suatu implikasi dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalnya kita berjanji
pada seorang anak bernama Ahmad, jika Ahmad mendapat rangking 1, maka Ahmad dibelikan
sepeda. Di sini ada dua pernyataan tunggal, yaitu:
𝑝: Ahmad mendapat rangking 1.
𝑞: Ahmad dibelikan sepeda.
Seandainya 𝑝 bernilai benar, yaitu Ahmad mendapat rangking 1 dan 𝑞 juga benar, yaitu
Ahmad dibelikan sepeda, maka kita tidak melanggar janji kita sehingga pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞
bernilai benar. Adapun jika 𝑝 benar, tetapi ternyata 𝑞 salah, yaitu Ahmad tidak dibelikan sepeda,
maka kita telah melanggar janji kita, sehingga pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞 bernilai salah. Selanjutnya
bagaimanakah apabila 𝑝 bernilai salah, yaitu Ahmad tidak mendapat rangking 1, pada kasus ini
kita diberi kebebasan apakah Ahmad dibelikan sepeda atau tidak. Oleh karena itu, apa pun nilai
kebenaran dari pernyataan 𝑞, maka pernyataan 𝑝 ⇒ 𝑞 tetap bernilai benar. Secara umum, tabel
kebenaran implikasi ada pada Tabel 1.6 adalah sebagai berikut.
17
Tabel 1.6
Tabel Kebenaran Implikasi
𝑝 𝑞 𝑝⇒𝑞
𝑝
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh:
a) 𝑝: burung mempunyai sayap (benar).
𝑞: 3 + 3 > 7 (salah)
𝑝 ⇒ 𝑞: Jika burung mempunyai sayap maka 3 + 3 > 7 (salah)
b) 𝑝: 1 adalah bilangan prima (salah)
𝑞: Ayam berkaki dua (benar)
𝑝 ⇒ 𝑞: Jika 1 adalah bilangan prima maka ayam berkaki dua (benar)
c) 𝑝: △ 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samasisi
𝑞: △ 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samakaki
𝑝 ⇒ 𝑞: Jika △ 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samasisi maka △ 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samakaki.
18
2. Invers
Invers adalah pernyataan yang berbentuk ~p ⇒ ~q.
3. Kontraposisi
Kontraposisi atau kontrapositif adalah pernyataan yang berbentuk ~q ⇒ ~p.
Dalam bahasa simbol, dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑝 ⇒ 𝑞 adalah p implikasi q.
𝑞 ⇒ 𝑝 adalah konvers dari p implikasi q.
~p ⇒ ~q adalah invers dari p implikasi q.
~q ⇒ ~p adalah kontraposisi/kontrapositif dari p implikasi q.
d.3 Rumus dan contoh Konvers, Invers, dan Kontraposisi
1. Konvers
• Perhatikan implikasi berikut ini:
• p ⇒ q (dibaca : jika p maka q).
Ketika pernyataan tersebut dikonverskan maka hasilnya adalah:
q ⇒ p (dibaca : jika q maka p)
• Contoh konvers
p = saya tampan
q = saya disukai wanita
p ⇒ q = jika saya tampan maka saya disukai wanita.
.q ⇒ p = jika saya disukai wanita maka saya tampan.
2. Invers
• Perhatikan implikasi berikut: p ⇒ q (dibaca : jika p maka q)
Ketika pernyataan tersebut diinverskan maka hasilnya adalah:
~p ⇒ ~q (dibaca : jika negasi p maka negasi q)
• Contoh invers
p = saya cantik
q = saya disukai pria
p ⇒ q = jika saya cantik maka saya disukai pria
~p ⇒ ~q = jika saya tidak cantik maka saya tidak disukai pria
3. Kontraposisi
• Perhatikan implikasi berikut ini:
• p ⇒ q (dibaca : jika p maka q)
Ketika pernyataan tersebut dikontraposisikan maka hasilnya adalah:
~q ⇒ ~p (dibaca : jika negasi q maka negasi p)
19
• Contoh Kontraposisi
p = saya rajin belajar
q = nilai saya bagus
p ⇒ q = jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus
~q ⇒ ~p = jika nilai saya tidak bagus maka saya tidak rajin belajar.
Contoh:
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut.
Implikasi p ⇒ q : “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”Penyelesaian:
p = Amir mempunyai mobil.
q = Amir orang kaya.
Konvers = q ⇒p : jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
Invers = ~p ⇒ ~q : jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi = ~q ⇒ ~p : jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil.
Dari tabel di atas dapat kita lihat bahwa nilai kebenaran pernyataan implikasi sama
dengan kontraposisi, sedangkan nilai kebenaran invers sama dengan konvers, dengan kata
lain kita dapat menyimpulkan bahwa:
(i) p ⇒ q = ~q ⇒ ~p
(ii) q ⇒ p = ~p ⇒ ~q
20
e. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan yang dibuat dari 2 pernyataan tunggal 𝑝 dan
𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞”. Biimplikasi
dilambangkan dengan 𝑝 ⇔ 𝑞. Biimplikasi sebenarnya merupakan pernyataan
majemuk kombinasi antara implikasi dan konjungsi. Jika kita memiliki implikasi 𝑝 ⇒
𝑞 bernilai benar dan 𝑞 ⇒ 𝑝 juga bernilai benar maka dapat dibentuk biimplikasi
𝑝 ⇔ 𝑞 yang juga bernilai benar. Ilustarasi dari nilai kebenaran tersebut dapat dilihat
pada Tabel 1.7 berikut.
Tabel 1.7
Tabel Kebenaran Biimplikasi
𝑝 𝑞 𝑝⇒𝑞 𝑞⇒𝑝 (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)
B B B B B
B S S B S
S B B S S
S S B B B
Secara ringkas, kita dapat membuat tabel kebenaran biimplikasi seperti pada Tabel
1.8 adalah sebagai berikut.
Tabel 1.8
Tabel Kebenaran Biimplikasi
𝑝 𝑞 𝑝⇔𝑞
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh:
a) 𝑝: 2 bilangan genap (benar)
𝑞: 3 bilangan ganjil (benar)
21
𝑝 ⟺ 𝑞: 2 bilangan genap jika hanya jika 3 bilangan ganjil (benar)
b) 𝑝: 2 + 2 ≠ 5 (benar)
𝑞: 4 + 4 < 8 (salah)
𝑝 ⟺ 𝑞: 2 + 2 ≠ 5 jika hanya jika 4 + 4 < 8 (salah)
c) 𝑝: Surabaya ada di Jawa Barat (salah)
𝑞: 23 = 6 (salah)
𝑝 ⟺ 𝑞: Surabaya ada di Jawa Barat jika hanya jika 23 = 6 (benar)
Untuk memperjelas pemahaman saudara, saudara dapat melihat video berikut ini.
[https://www.youtube.com/watch?v=HKbtcfU6n3Y]
Beberapa contoh penggunaan pernyataan majemuk dalam tabel kebenaran.
a) Tentukan nilai kebenaran dari: ((𝑝 𝑞) ( 𝑞)) 𝑝
Langkah-langkah pengerjaan:
• Membuat tabel
• Dikarenakan terdapat dua pernyataan yang disimbolkan 𝑝 dan 𝑞
maka nilai pernyataan p adalah BBSS, nilai pernyataan q adalah
BSBS.
p q
B B
B S
S B
S S
22
• Selanjutnya mencari nilai kebenaran dari ((𝑝 𝑞) ( 𝑞)) dengan
mencari niali ( 𝑞). Kemudian mencari nilai kebenaran
((𝑝 𝑞) ( 𝑞)) 𝑝 dengan mencari nilai 𝑝
23
S B B S
S S S B
24
• Membuat tabel
• Dikarenakan terdapat tiga pernyataan yang disimbolkan 𝑝 dan 𝑞
maka nilai pernyataan p adalah BBSS, nilai pernyataan r adalah
BSBS.
p q
B B
B S
S B
S S
25
Tentukan nilai x yang memenuhi agar pernyataan majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai
benar.
Pemyelesaian.
Pernyataan q bernilai benat, sehingga pernyataan majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai
benar jika pernyataan p bernilai benar pula. Segitiga sama sisi memiliki 3 buah
simetri lipat. Jadi, nilai x yang memenuhi pernyataan p agar nilai 𝑝 ∧ 𝑞
bernilai benar adalah 3.
26
E. Forum Diskusi
Silahkan selesaikan soal berikut dengan berdiskusi bersama teman sejawat
saudara. Suatu pernyataan dapat dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol yang bisa
dicari nilai kebenarannya melalui tabel kebenaran. Selesaikan dengan cara membuat
tabel kebenaran dan tuliskan langkah-langkah yang harus dilakukan untuk
menyelesaikan permasalahan berikut.
((𝑝 ⇒ 𝑟) ∧ (𝑟 ⇒ 𝑠)) ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑠).
F. Rangkuman
1. Pernyataan merupakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan (kalimat
deklaratif).
2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum/tidak dapat ditentukan nilai
kebenarannya.
3. Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya.
4. Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan
semula benar, dan sebaliknya.
5. Tabel kebenaran dari konjungsi adalah sebagai berikut.
𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞
B B B
B S S
S B S
S S S
27
7. Tabel kebenaran dari disjungsi ekslusif adalah sebagai berikut.
𝑝 𝑞 𝑝∨𝑞
B B S
B S B
S B B
S S S
8. Tabel kebenaran dari implikasi adalah sebagai berikut.
𝑝 𝑞 𝑝⇒𝑞
B B B
B S S
S B B
S S B
28
F. Tes Formatif
Pilihlah jawaban yang paling tepat.
1. Di antara kalimat berikut merupakan pernyataan, kecuali . . . .
a. 27 merupakan bilangan prima.
b. Matahari terbit dari Barat.
c. Siapakah nama anak itu?
d. 3 + 8 = 11.
e. Adi adalah seorang pelajar.
2. Supaya kalimat terbuka −𝑥 + 3𝑦 = 1, bernilai benar maka nilai (𝑥, 𝑦) yang
memenuhi adalah . . . .
a. (1, −1)
b. (5, 2)
c. (2, 1)
d. (2, 1)
e. (3, −2)
3. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”
adalah ….
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima.
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
4. Negasi dari pernyataan “ Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan”
adalah …
a. Matematika mengasyikkan atau membosankan.
b. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan.
c. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan.
d. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan.
e. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan.
5. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝑞 pada tabel berikut
adalah . . . .
29
𝑝 𝑞 (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝑞
𝐵 𝐵
𝐵 𝑆
𝑆 𝐵
𝑆 𝑆
a. 𝑆𝑆𝑆𝑆
b. 𝐵𝑆𝐵𝐵
c. 𝐵𝐵𝑆𝑆
d. 𝑆𝑆𝐵𝐵
e. 𝐵𝐵𝐵𝑆
30
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝑆
𝐵 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆
a. 𝐵𝐵𝐵𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵
b. 𝐵𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
c. 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑆𝐵𝐵
d. 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
e. 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
8. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑞 pada tabel berikut
adalah . . . .
𝑝 𝑞 (𝑝 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑞
𝐵 𝐵
𝐵 𝑆
𝑆 𝐵
𝑆 𝑆
a. 𝐵𝑆𝐵𝐵
b. 𝐵𝑆𝑆𝑆
c. 𝐵𝐵𝑆𝑆
d. 𝑆𝑆𝐵𝐵
e. 𝐵𝐵𝐵𝑆
9. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑟 pada tabel berikut
adalah . . . .
31
𝑝 𝑞 𝑟 (𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ 𝑟
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝑆
𝐵 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆
a. 𝐵𝐵𝐵𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵
b. 𝐵𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
c. 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑆𝐵𝐵
d. 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
e. 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
G. Daftar Pustaka
Lipschutz, S. & Lipson, M. L. 2007. Schaum’s Outline of Theory and Problems of
Discrete Mathematics Third Edition. New York: The McGraw-Hill Companies,
Inc.
Manongga, D. & Nataliani, Y. 2013. Matematika Diskrit. Jakarta: Prenadamedia
Group.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Sugiarto & Hidayah, I. 2015. Pengantar Dasar Matematika. Semarang: FMIPA
UNNES.
32
Supper, P. 1957. Introduction to Logic. New York: Van Nostrand Reinhold Company.
33
No Kode: DAR 2/Profesional/180/6/2019
MATERI MATEMATIKA
Penulis:
Dr. Emi Pujiastuti, M.Pd.
34
A. Pendahuluan
Para mahasiswa yang selalu berbahagia dan bersemangat.
Selamat mengikuti Kegiatan Belajar 2 (KB 2) Logika yang meliputi materi
Kuantor, Tautologi, dan Kontradiksi. Tetap fokus yaaaa….karena banyak
manfaat yang diperoleh mempelajari materi ini.
Kegiatan belajar 2 ini dibagi dalam tiga sub kajian yang disusun dengan
urutan sebagai berikut.
Sub Kajian 1: Kuantor
35
Sub Kajian 2: Tautologi
Sub Kajian 3: Kontradiksi
Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini, dapat
berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar modul
sebagai berikut.
36
B. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami,
mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur
materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam
penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan
penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving,
koneksi dan komunikasi matematika, critical thingking, kreativitas berpikir
matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. Mahasiswa mampu menguasai
materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam
pemecahan masalah yang terkait logika matematika. Dalam hal ini yaitu
menyelesaikan masalah menggunakan nilai kebenaran logika matematika yang
meliputi kuantor, tautologi, dan kontradiksi.
C. Pokok-pokok Materi
Pokok materi dalam Kegiatan Belajar 2 ini adalah sebagai berikut.
1. Kuantor
a. Kuantor Universal
b. Kuantor Eksistensial
2. Tautologi
3. Kontradiksi
Sebelum mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, mahasiswa diminta
memperhatikan [PPT yang berkaitan dengan kuantor, tautologi, dan
kontradiksi. pada [PPT-M6-KB2]. Agar dapat memahami dan
mengimplementasikan lebih dalam pada materi di PPT tersebut, saudara
dapat mempelajari lebih lanjut materi berikut.
37
D. Uraian Materi
1. Kuantor
a. Kuantor Universal
Kata-kata yang biasa digunakan dalam kuantor universal adalah “semua”,
“setiap”, “untuk semua” atau “untuk setiap”. Kuantor universal dilambangkan
dengan ∀. Berikut adalah contoh kuantor universal.
1) Semua kuadrat bilangan real merupakan bilangan real positif atau nol
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 2 ≥ 0
2) Untuk setiap segitiga siku-siku ABC dengan sisi 𝑎, 𝑏, dan sisi miring 𝑐,
berlaku 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .
b. Kuantor Eksistensial
Pernyataan matematika yang dilengkapi dengan kata-kata “terdapat”, “ada”,
“sekurang-kurangnya satu”, atau “beberapa” merupakan pernyataan berkuantor
eksistensial. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃. Lambang ∃! dibaca:
“Terdapat dengan tunggal”.
Berikut adalah contoh kuantor eksistensial.
4 2
1) Terdapat beberapa pasangan bilangan bulat 𝑚 dan 𝑛 sehingga 𝑚 + 𝑛 = 1
4 2
∃𝑚, 𝑛 ∈ ℤ ∋ 𝑚 + 𝑛 = 1
38
Kedua pernyataan ini akan memiliki nilai kebenaran yang sama, tidak peduli
bagaimana nlai kebenaran dari pernyataan semula. Dengan demikian, 𝒑 ekivalen
dengan 𝒒 dan dapat ditulis 𝒑 ≡ 𝒒. Jadi, p = ~(~𝑝) = p.
Berdasarkan definisi di atas, sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen
(berekivalensi logis) adalah:
a. 𝑝 ≡ 𝑝
b. Jika 𝑝 ≡ 𝑞 maka 𝑞 ≡ 𝑝
c. Jika 𝑝 ≡ 𝑞 dan 𝑞 ≡ 𝑟 maka 𝑝 ≡ 𝑟
d. p = ~(~𝑝) = p
Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu ekivalen (memiliki nilai
kebenaran yang sama) dengan pernyataan itu sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika
suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan lain,
maka berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan
pertama mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan kedua dan
pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga
maka nilai kebenaran pernyataan pertama dan ketiga akan sama.
Teorema DeMorgan
Misalkan 𝑝(𝑥) adalah sebuah fungsi proposisional pada 𝐴, maka:
(i) ~(∀𝑥 ∈ 𝐴)𝑝(𝑥) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝐴)~𝑝(𝑥);
(ii) ~(∃𝑥 ∈ 𝐴)𝑝(𝑥) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝐴)~𝑝(𝑥).
39
2. Tautologi
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap substitusi
pernyataan tunggalnya dinamakan tautologi. Dengan kata lain, tautologi
merupakan pernyataan yang selalu bernilai benar dalam kondisi apa pun. Tautologi
digunakan sebagai dasar dalam pengambilan keputusan atau pembuktian
matematis.
Contoh 2.
Misalnya kita akan mencari nilai kebenaran dari pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑝 dengan
tabel kebenaran.
Tabel 2.1
Nilai Kebenaran (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑝
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑝
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆 𝐵
40
Dari tabel kebenaran di atas terlihat setiap substitusi dari pernyataan
(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑝 bernilai benar sehingga pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑝 disebut tautologi.
Contoh 3..
“Jika Budi naik kelas dan Budi tidak naik kelas maka Budi dibelikan sepeda”.
Misalnya, 𝑝 = Budi naik kelas
~𝑝 = Budi tidak naik kelas
𝑞 = Budi dibelikan sepeda
Pernyataan majemuk tersebut dapat dinyatakan dengan lambang:
(𝑝 ∧ ~𝑝) ⇒ 𝑞
Untuk menunjukkan bahwa pernyataan majemuk ini suatu tautologi disusun
tabel kebenaran berikut.
Tabel 2.2
Nilai Kebenaran (𝑝 ∧ ~𝑝) ⇒ 𝑞
𝑝 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ∧ ~𝑝) (𝑝 ∧ ~𝑝) ⇒ 𝑞
𝐵 𝐵 𝑆 S 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
Contoh 4
Periksa bahwa pernyataan majemuk “(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞)” adalah suatu
tautologi.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan permasalahan tersebut bisa dilakukan dengan 2 cara. ,
Cara 1: Disusun tabel kebenaran, yaitu:
41
Tabel 2.3
Nilai Kebenaran “(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞)”
𝑝 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) (𝑝 ∨ 𝑞) (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑞)
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵
Contoh 5.
Selidikilah, pernyataan majemuk “[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝] ⇒ 𝑞”. merupakan
tautologi atau bukan?
Penyelesaian:
Penyelidikan bisa dilakukan dengan membuat tabel kebenarannya.
Tabel nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut tampak pada Tabel
berikut ini.
42
Tabel 2.4
Nilai Kebenaran “[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝] ⇒ 𝑞”
𝑝 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝 [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝] ⇒ 𝑞
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
Contoh 6.
Periksalah Nilai Kebenaran”[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ~𝑞] ⇒ ~𝑝 “
Penyelesaian;
Penyelidikan bisa dilakukan dengan membuat tabel kebenarannya.
Tabel nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut tampak pada Tabel
2.5 berikut ini.
Tabel 2.5
Nilai Kebenaran“[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑞] ⇒ ∼ 𝑝”
𝑝 𝑞 ∼𝑝 ∼𝑞 (𝑝 ⇒ 𝑞) [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑞] [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ∼ 𝑞] ⇒ ∼ 𝑝
𝐵 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
Contoh 7.
Perhatikan pernyataan majemuk “[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ 𝑞”.
Tunjukkan dengan menyusun tabel nilai kebenaran bahwa pernyataan
majemuk tersebut merupakan suatu tautologi.
Penyelesaian:
Berikut Nilai tabel kebenarannya.
43
Tabel 2.6
Nilai Kebenaran“[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ 𝑞”.
𝑝 𝑞 (∼ 𝑝) (𝑝 ∨ 𝑞) [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼ 𝑝] [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼ 𝑝] ⇒ 𝑞
𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵
Jadi, [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝] ⇒ 𝑞 merupakan tautologi.
Contoh 8.
Selidikilah nilai kebenaran dari “[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)”.
Penyelesaian:
Penyelidikan bisa dilakukan dengan membuat tabel kebenarannya.
Tabel nilai kebenaran dari pernyataan majemuk tersebut tampak pada Tabel
2.7 berikut ini.
Tabel 2.7
Nilai Kebenaran“[(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)”.
𝑝 𝑞 𝑟 [(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)] ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝑆
𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆
Langkah ke 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1
44
ada hubungan pada setiap permasalahan tersebut?
Contoh 9.
Penyelesaian:
Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut.
• Membuat tabel.
• Terdapat tiga pernyataan yang disimbolkan 𝑝, 𝑞, dan 𝑟 maka nilai pernyataan 𝑝
adalah 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑆𝑆𝑆𝑆, nilai pernyataan 𝑞 adalah 𝐵𝐵𝑆𝑆𝐵𝐵𝑆𝑆, dan nilai kebenaran
𝑟 adalah 𝐵𝑆𝐵𝑆𝐵𝑆𝐵𝑆.
• Hasil Tabelnya adalah sebagai berikut.
𝑝 𝑞 𝑟
𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝑆
𝐵 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆
45
Nilai kebenaran (𝑝 𝑞), (𝑟 𝑞), dan (𝑝 𝑟).
𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 𝑝𝑟
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆
𝐵 𝑆 𝐵 𝑆 𝑆 𝐵
𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝑆 𝐵
𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝐵 𝐵
3. Kontradiksi
Jika tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar, maka sebaliknya
kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap substitusi
nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.
Contoh 1.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~𝑝 dengan tabel kebenaran.
Penyelesaian:
46
𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 ~𝑝 (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~𝑝
𝐵 𝐵 𝐵 𝑆 𝑆
𝐵 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝑆 𝐵 𝑆
𝑆 𝑆 𝑆 𝐵 𝑆
Contoh 2.
Selidikilah 𝑝 (~𝑝 𝑞) merupakan kontradiksi atau bukan dan tuliskan langkah
pengerjaannya.
Penyelesaian:
Langkah-langkah pengerjaan:
1) Membuat tabel.
2) Terdapat dua pernyataan yang disimbolkan 𝑝 dan 𝑞 maka nilai pernyataan 𝑝
adalah 𝐵𝐵𝑆𝑆, nilai pernyataan 𝑞 adalah 𝐵𝑆𝐵𝑆. Tabelnya adalah sebagai
berikut.
𝑝 𝑞
𝐵 𝐵
𝐵 𝑆
𝑆 𝐵
𝑆 𝑆
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑝 𝑞
𝐵 𝐵 𝑆 𝑆
𝐵 𝑆 𝑆 𝑆
𝑆 𝐵 𝐵 𝐵
𝑆 𝑆 𝐵 𝑆
47
4) Mencari nilai kebenaran 𝑝 (~𝑝 𝑞)
p q ~𝑝 ~𝑝 𝑞 𝑝 (~𝑝 𝑞)
B B S S S
B S S S S
S B B B S
S S B S S
E. Forum Diskusi.
Silahkan saudara diskusikan bersama dengan teman sejawat.
Buatlah suatu permasalahan tautologi dan kontradiksi dengan
mengimplementasikan materi pada KB 2. Buatlah langkah-langkah penyelesaian
yang dilakukan untuk menunjukkan suatu tautologi dan kontradiksi.
F. Rangkuman
1. Kata-kata yang biasa digunakan dalam kuantor universal adalah “semua”,
“setiap”, “untuk semua”, atau “untuk setiap”. Kuantor universal
dilambangkan dengan ∀.
2. Pernyataan matematika yang dilengkapi dengan kata-kata “terdapat”, “ada”,
“sekurang-kurangnya satu”, atau “beberapa” merupakan pernyataan
berkuantor eksistensial. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃.
Lambang ∃! dibaca: “Terdapat dengan tunggal”.
3. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap
substitusi pernyataan tunggalnya.
4. Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap
substitusi nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.
5. Sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen (berekivalensi logis) adalah:
1) 𝑝 ≡ 𝑝
2) Jika 𝑝 ≡ 𝑞 maka 𝑞 ≡ 𝑝
3) Jika 𝑝 ≡ 𝑞 dan 𝑞 ≡ 𝑟 maka 𝑝 ≡ 𝑟
48
6. Teorema DeMorgan
Misalkan 𝑝(𝑥) adalah sebuah fungsi proposisional pada 𝐴, maka
~(∀𝑥 ∈ 𝐴)𝑝(𝑥) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝐴)~𝑝(𝑥);
~(∃𝑥 ∈ 𝐴)𝑝(𝑥) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝐴)~𝑝(𝑥).
G. Tes Formatif
Pilihlah jawaban yang paling tepat.
1. Jika ~p menyatakan negasi dari pernyataan p, dengan ~p bernilai benar,
bernilai benar dan q bernilai salah. Maka pernyataan berikut bernilai benar
adalah....
a. (~p ∨ ∼ q) ∧ 𝑞
b. (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ 𝑞
c. (~p ⟺ q) ∧ 𝑝
d. (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ 𝑝
e. (~p ∨ 𝑞) ⟹ 𝑞
2. Jika ~𝑝 bernilai salah dan 𝑞 bernilai salah, maka pernyataan yang bernilai
benar adalah ….
a. ~𝑝 ⇒ 𝑞
b. 𝑝 ⇔ 𝑞
c. 𝑝 ⇒ 𝑞
d. 𝑝 ∧ 𝑞
e. ~𝑝 ∨ 𝑞
3. Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika setiap orang menanam pohon
maka udara bersih” adalah ….
a. Jika beberapa orang tidak menanam pohon maka udara tidak bersih.
b. Jika udara bersih maka setiap orang menanam pohon.
c. Jika udara tidak bersih maka setiap orang tidak menanam pohon.
d. Jika udara tidak bersih maka beberapa orang tidak menanam pohon.
e. Jika semua orang tidak menanam pohon maka udara tidak bersih.
4. Pernyataan di bawah ini yang merupakan kontradiksi adalah. . . .
a. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞)
b. (𝑎 ∧ ~𝑎) ∧ 𝑏
c. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ ~𝑞)
d. (𝑝 ∧ ~𝑝) ⇒ 𝑞
49
e. (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑏
5. Pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟) dapat disederhanakan
menjadi. . . .
a. 𝑝
b. 𝑝 ∨ 𝑟
c. 𝑟
d. 𝐵
e. 𝑝 ∨ 𝑞
6. Pernyataan yang setara dengan “Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan
pokok akan naik” adalah . . . .
a. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.
b. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
c. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
d. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
e. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
7. Pernyataan di bawah ini yang merupakan tautologi adalah . . . .
a. 𝑝 ⇒ (𝑝 ∧ (~𝑞 ∨ 𝑞))
b. (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑏
c. (𝑝 ∧ (𝑝 ⇒ 𝑞)) ⇒ ~𝑝
d. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)
e. (𝑎 ∧ ~𝑎) ∧ 𝑏
8. Pernyataan yang setara dengan “Jika Sri Mulyani Indrawati seorang Presiden
Indonesia maka Ganjar Pranowo adalah seorang gubernur Jawa Tengah”
adalah…
a. log 100 = 2 dan 2 × 4 = 6
b. Jika log 100 = 2 maka 2 × 4 = 6
c. log 100 = 2 jika dan hanya jika 2 × 4 = 6
1
d. Jika sec 𝐴 = sin 𝐴 maka 2 × 4 = 6
1
e. sec 𝐴 = sin 𝐴 atau 2 × 4 = 6
50
1
9. Pernyataan yang tidak setara dengan “Rumus keliling persegi adalah 2 𝑥 𝑎 𝑥 𝑡
10. Pernyataan yang sesuai dengan tabel berikut pada kolom ketiga adalah ….
𝒑 𝒒 ….
B B S
B S S
S B S
S S S
A. ~𝑝 ⇒ 𝑞
B. 𝑞 ⇒ ~𝑝 ∧ ~( 𝑞 ⇒ ~𝑝)
C. ~𝑝 ⇔ 𝑞
D. ~(𝑝 ⇔ 𝑞)
E. ~(𝑝 ⇒ 𝑞)
H. Daftar Pustaka
Lipschutz, S. & Lipson, M. L. 2007. Schaum’s Outline of Theory and Problems of
Discrete Mathematics Third Edition. New York: The McGraw-Hill
Companies, Inc.
Manongga, D. & Nataliani, Y. 2013. Matematika Diskrit. Jakarta: Prenadamedia
Group
Sugiarto & Hidayah, I. 2015. Pengantar Dasar Matematika. Semarang: FMIPA
UNNES.
51
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
52
No Kode: DAR 2/Profesional/180/6/2022
MATERI MATEMATIKA
Penulis:
Dr. Emi Pujiastuti, M.Pd.
53
A. Pendahuluan
Para mahasiswa yang semoga selalu sehat dan bersemangat.
Dewasa ini akses informasi menjadi sangat mudah. Tentu ini memberikan
dampak positif yang baik dengan semakin banyaknya sumber pengetahuan yang
dapat diakses dan dipelajari. Tetapi, hal ini juga membuat semakin bervariasinya
informasi tentang suatu hal, yang bisa jadi simpang siur atau bahkan bertolak
belakang. Karenanya perlu untuk memilah informasi yang ada sebelum diterima
dan diyakini kebenarannya. Proses memilah informasi ini dapat dilakukan dengan
menggunakan logika berpikir melalui proses inferensi yang tepat.
Bahasan inti dari logika adalah inferensi. Inferensi sendiri merupakan cara
penarikan kesimpulan dari argumen yang diberikan. Sedang argumen merupakan
sekumpulan proposisi yang disebut premis dan diakhiri sebuah proposisi konklusi
atau kesimpulan. Tentu cara penarikan kesimpulan, tidak semuanya logis atau
sesuai penalaran. Oleh karenanya, pada KB ini akan diperkenalkan bagaimana
proses mendapatkan kesimpulan yang logis dan juga valid. Metode-metode yang
akan diperkenalkan juga akan memberikan gambaran bagaimana sebuah
kesimpulan dapat ditarik dari fakta-fakta yang ada.
Integrasi pemahaman dari materi pada KB 1 dan 2, akan digunakan sebagai
penunjang dalam memahami bagaimana proses pemahaman proposisi majemuk
yang sangat rumit disederhanakan melalui beberapa hukum aljabar, sehingga lebih
mudah dipahami. Ini juga akan membantu proses inferensi dari berbagai proposisi
majemuk menjadi lebih mudah. Sebab, jika hanya melalui tabel kebenaran tentu
akan banyak keterbatasan yang dimiliki.
Dengan mempelajari bahasan pada KB ini, diharapkan Saudara akan mampu
membuktikan validitas argumen secara benar. Sehingga dalam kehidupan sehari-
hari, Saudara akan lebih mengerti untuk mengambil kesimpulan secara valid dan
logis. Seperti pada saat memilah informasi, agar tidak mengingkari kebenaran yang
ada. Selain itu, Saudara juga diharapkan mampu membaca dan membuat suatu
pernyataan dengan bentuk dan makna yang tepat secara logika.
54
Pada KB 3 ini, Saudara mempelajari tentang aljabar proposisi, argumen, dan
inferensi serta metode inferensi dari suatu argumen. Kegiatan belajar ini dikemas
dalam tiga sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai berikut:
• Sub Kajian 1: Aljabar Proposisi
• Sub Kajian 2: Argumen dan Inferensi
• Sub Kajian 3: Metode Inferensi
Proses pembelajaran untuk materi yang sedang Saudara ikuti sekarang ini,
dapat berjalan dengan lebih lancar bila Saudara mengikuti langkah-langkah belajar
sebagai berikut.
1) Ingat kembali materi pernyataan majemuk, tautologi dan kontradiksi untuk
mempelajari materi pada KB 3 ini.
2) Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar dan selesaikan latihan pada forum
diskusi dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri.
3) Cocokkan jawaban tes formatif Saudara dengan kunci jawaban yang diberikan.
4) Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudara dapat
melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat penguasaan
Saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari kembali materi pada
kegiatan belajar ini.
5) Keberhasilan pembelajaran Saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan
belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan Saudara dalam belajar dan
mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau
berkelompok dengan teman sejawat.
Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga Saudara sukses mampu
mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini
sebagai bekal membelajarkan matematika kepada siswa di sekolah.
55
B. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami,
mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur
materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam
penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan
penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving,
koneksi dan komunikasi matematiis, critical thingking, kreativitas berpikir
matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan.
C. Pokok-Pokok Materi
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu menguasai
materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam
pemecahan masalah yang terkait logika yaitu menyelesaikan masalah menggunakan
nilai kebenaran logika matematika. Lebih lengkapnya dijabarkan sebagai berikut.
1. Mengidentifikasi hukum-hukum aljabar proposisi.
2. Mengidentifikasi validitas suatu argumen.
3. Mengidentifikasi metode inferensi untuk suatu argumen.
D. Uraian Materi
1. Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara
satu dengan yang lainnya. Hal ini dikarenakan setiap proposisi yang ekivalen
memiliki nilai kebenaran yang sama. Di bawah ini disajikan daftar aturan
penggantian untuk keperluan deduksi.
a. Hukum Idempoten
• 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑝 ≡𝑝
56
b. Hukum Asosiatif
• (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
• (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
c. Hukum Komutatif
• 𝑝 ∨ 𝑞 ≡𝑞 ∨ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
d. Hukum Distributif
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
e. Hukum Identitas
• 𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑇 ≡ 𝑝
f. Hukum null/ Dominasi
• 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
• 𝑝 ∨ 𝑇 ≡ 𝑇
g. Hukum Komplemen (Negasi)
• 𝑝 ∨∼𝑝 ≡𝑇
• 𝑝 ∧∼𝑝 ≡𝐹
• ∼𝑇 ≡ 𝐹
• ∼𝐹≡𝑇
h. Hukum Involusi (Negasi Ganda)
∼ (∼ 𝑝) ≡ 𝑝
i. Hukum Penyerapan (Absorpsi)
• 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
j. Hukum Transposisi
𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ∼ 𝑞 ⇒∼ 𝑝
k. Hukum Implikasi
𝑝 ⇒𝑞 ≡∼𝑝∨𝑞
57
l. Hukum Ekivalensi
• 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)
• 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑞 ∧ ∼ 𝑝)
m. Hukum Eksportasi
(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)
n. Hukum DeMorgan
• ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
• ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum-hukum aljabar pada sistem
bilangan real sehingga sering disebut sebagai hukum aljabar proposisi. Hukum-
hukum di atas dapat digunakan untuk memberikan bukti formal ekivalensi dua buah
proposisi, khususnya pada proposisi majemuk. Karena untuk sebuah proposisi
majemuk yang terdiri dari 𝑛 proposisi atomik, dibutuhkan tabel kebenaran dengan
2𝑛 baris. Tentu ini sangat tidak efektif, untuk nilai 𝑛 yang besar.
Dalam membuktikan ekivalensi dua buah proposisi majemuk, misalnya 𝑃 dan
𝑄, ada tiga macam cara yang bisa dilakukan:
• 𝑃 diturunkan secara terus menerus dengan menggunakan hukum yang ada,
sampai didapat 𝑄.
• 𝑄 diturunkan secara terus menerus dengan menggunakan hukum yang ada,
sampai didapat 𝑃.
• 𝑃 dan 𝑄 diturunkan secara terus menerus dan terpisah dengan menggunakan
hukum yang ada, sampai didapat 𝑅.
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke
bentuk yang lebih sederhana. Jika 𝑃 lebih kompleks, maka aturan pertama yang
digunakan. Jika 𝑄 lebih kompleks, maka aturan kedua yang digunakan. Aturan
ketiga, digunakan ketika 𝑃 dan 𝑄 sama-sama kompleks.
Selain itu, hukum-hukum di atas juga dapat digunakan untuk memberikan
bukti formal apakah suatu proposisi merupakan tautologi (menghasilkan 𝑇) atau
kontradiksi (menghasilkan 𝐹). Perlu diperhatikan, bahwa 𝐹 dan 𝑇 di sini
58
menyatakan sebuah variabel yang berturut-turut dibatasi kepada pernyataan yang
benar dan pernyataan yang salah.
Contoh 1
Tunjukkan bahwa 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ekivalen dengan 𝑝 ∨∼ 𝑞!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar proposisi, didapat:
𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝 ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) (Hukum DeMorgan)
≡ (𝑝 ∨∼ 𝑝) ∧ (𝑝 ∨∼ 𝑞) (Hukum Distributif)
≡ 𝑇 ∧ (𝑝 ∨∼ 𝑞) (Hukum Negasi)
≡ 𝑝 ∨∼ 𝑞 (Hukum Identitas)
Sebagai pembanding, dengan menggunakan tabel kebenaran, didapat tabel
kebenaran seperti pada Tabel 3.1 berikut:
Tabel 3.1 tentang Nilai Kebenaran “𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞)” dan “𝑝 ∨∼ 𝑞”
𝑝 𝑞 ∼𝑞 𝑝∨𝑞 ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑝 ∨∼ 𝑞
B B S B S B B
B S B B S B B
S B S B S S S
S S B S B B B
Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ekivalen dengan 𝑝 ∨∼ 𝑞.
59
Contoh 2
Tunjukkan bahwa ∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ekivalen dengan ∼ 𝑝!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar proposisi, didapat:
∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ≡ (∼ 𝑝 ∧∼ (∼ 𝑞)) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) (Hukum DeMorgan)
≡ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) (Hukum Negasi
Ganda)
≡∼ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨∼ 𝑞) (Hukum Distributif)
≡∼ 𝑝 ∧ 𝑇 (Hukum Negasi)
≡∼ 𝑝 (Hukum Identitas)
Sebagai pembanding, dengan menggunakan tabel kebenaran didapat tabel
kebenaran seperti pada Tabel 3.2 berikut:
Tabel 3.2 tentang Nilai Kebenaran “∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)” dan “∼ 𝑝”
𝑝 𝑞 ∼ 𝑝 ∼ 𝑞 𝑝 ∨∼ 𝑞 ∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)
B B S S B S S S
B S S B B S S S
S B B S S B S B
S S B B B S B B
Dengan demikian, terbukti bahwa ∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ekivalen dengan ∼
𝑝.
Contoh 3
Tunjukkan bahwa ∼ ((∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ekivalen dengan 𝑝, tanpa
menunjukkan tabel kebenarannya!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan hukum-hukum aljabar proposisi, didapat:
∼ ((∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)
≡∼ (∼ 𝑝 ∧ (𝑞 ∨∼ 𝑞)) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum Distributif)
≡∼ (∼ 𝑝 ∧ 𝑇) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum Negasi)
≡ (∼ (∼ 𝑝) ∨∼ 𝑇) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum DeMorgan)
≡ (𝑝 ∨ 𝐹) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum Negasi Ganda dan Negasi)
60
≡ 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum Identitas)
≡𝑝 (Hukum Absorpsi)
Dengan demikian, terbukti bahwa ∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ekivalen dengan 𝑝.
Contoh 4
Buktikan apakah 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧ 𝑞) adalah sebuah tautologi!
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan apakah proposisi majemuk di atas merupakan tautologi, dapat
dilakukan dengan menunjukkan bahwa proposisi majemuk di atas ekivalen dengan
T. Dengan menggunakan hukum aljabar proposisi, didapat:
𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 ∨ (∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞) (Hukum DeMorgan)
≡ (𝑝 ∨∼ 𝑝) ∨∼ 𝑞 (Hukum Asosiatif)
≡ 𝑇 ∨∼ 𝑞 (Hukum Negasi)
≡𝑇 (Hukum Dominasi)
Jadi, didapat bahwa 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧ 𝑞) adalah sebuah tautologi.
Sebagai pembanding, dengan menggunakan tabel kebenaran, didapat tabel
kebenaran seperti pada Tabel 3.3 berikut:
Tabel 3.3 tentang Nilai Kebenaran “𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧ 𝑞)”
𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧ 𝑞)
B B B S B
B S S B B
S B S B B
S S S B B
Contoh 5
Selidiki apakah (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞) adalah sebuah tautologi, jelaskan!
Penyelesaian:
61
Untuk menunjukkan apakah proposisi majemuk di atas merupakan tautologi, dapat
dilakukan dengan menunjukkan bahwa proposisi majemuk di atas ekivalen dengan
T. Dengan menggunakan hukum aljabar proposisi, didapat:
(𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ 𝑞) (Hukum Implikasi)
≡ (∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ 𝑞) (Hukum DeMorgan)
≡ (∼ 𝑝 ∨ 𝑝) ∨ (∼ 𝑞 ∨ 𝑞) (Hukum Asosiatif)
≡𝑇∨𝑇 (Hukum Negasi)
≡𝑇 (Hukum Idempoten)
Jadi, didapat bahwa (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞) adalah sebuah tautologi.
Sebagai pembanding, dengan menggunakan tabel kebenaran, didapat tabel
kebenaran seperti pada Tabel 3.4 berikut:
Tabel 3.4 tentang Nilai Kebenaran “(𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞)"
𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 𝑝∨𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ∨ 𝑞)
B B B B B
B S S B B
S B S B B
S S S S B
62
bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya diturunkan dari
premis-premis.
Proses atau cara untuk menarik atau menurunkan kesimpulan dalam suatu
argumen dari beberapa proposisi (premis) disebut inferensi. Ada dua permasalahan
yang dibicarakan dalam bahasan inferensi. Pertama, bila semua premis diketahui,
bagaimana caranya memperoleh kesimpulan? Kedua, apabila seluruh pernyataan
dalam argumen diketahui, apakah argumen tersebut valid?
Suatu argumen adalah valid apabila kesimpulan dapat diturunkan secara logis
dari premis-premis atau dengan kata lain apabila kesimpulan merupakan implikasi
secara tautologi dari premis-premis yang dikonjungsikan. Sedangkan untuk
membuktikan validitas argumen atau menunjukkan bahwa inferensi yang
digunakan untuk mendapatkan kesimpulan adalah inferensi yang dapat diterima.
Dalam argumen yang valid, kesimpulan akan bernilai benar jika setiap premis yang
digunakan dalam argumen juga bernilai benar. Jadi, validitas argumen tergantung
pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.
Karena argumen merupakan kumpulan dari proposisi, maka argumen dapat
bernilai benar atau bernilai salah saja dan tidak keduanya. Sehingga, validitas
argumen dapat dibuktikan dengan menguji apakah suatu argumen merupakan suatu
tautologi.
Contoh 6
Apakah “Jawa akan menangis” merupakan kesimpulan dari premis berikut:
• Kalimantan memberi mainan pada Jawa atau Jawa akan menangis.
• Kalimantan tidak memberi mainan pada Jawa.
Penyelesaian:
Untuk menyederhanakan, pandang:
𝑝: Jawa akan menangis.
𝑞: Kalimantan memberi mainan pada Jawa.
Dengan ini dapat disusun argumen dalam bentuk simbolik:
Premis 1 :𝑞∨𝑝
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan :𝑝
63
Untuk memutuskan apakah argumen tersebut valid, perlu dipastikan apakah
konjungsi (𝑞 ∨ 𝑝) ∧∼ 𝑞 berimplikasi secara tautologi pada 𝑝. Untuk itu dibuat tabel
kebenaran berikut:
𝑞 𝑝 𝑞∨𝑝 ∼𝑝 (𝑞 ∨ 𝑝) ∧∼ 𝑞 (𝑞 ∨ 𝑝) ∧∼ 𝑞 ⇒ 𝑝
B B B S S B
B S B S S B
S B B B B B
S S S B S B
Tampak bahwa konjungsi kedua pemis di atas berupa tautologi, Jadi, dapat
disimpulkan bahwa argumen tersebut valid.
3. Metode Inferensi
Melakukan inferensi dengan menggunakan tabel kebenaran sangatlah tidak
praktis. Cara yang lebih praktis banyak yang bertumpu pada tabel kebenaran dasar
dan bentuk kondisionalnya. Berikut adalah beberapa kaidah yang dapat digunakan
tanpa memerlukan tabel kebenarannya, akan tetapi berdasarkan bentuk
argumennya.
64
Sebagai pengantar materi ini, dapat dilihat Video tentang Penerapan Argumen
dalam Menyimpulkan Permasalahan Kehidupan Sehari-Hari/Pengambilan
Keputusan pada [VT-M6-KB3].
a. Modus Ponens (Penalaran Langsung)
Bentuk argumen pada modus ponens dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑝
Kesimpulan :𝑞
Perhatikan bentuk implikasi 𝑝 dan 𝑞. Jika bentuk implikasi 𝑝 dan 𝑞 bernilai benar,
dan diketahui pula bahwa anteseden 𝑝 bernilai benar, maka konsekuen 𝑞 juga
bernilai benar. Bentuk argumen modus ponens adalah bentuk yang paling umum
dalam penalaran sehari-hari. Dalam modus ponens, jika diketahui 𝑝 menyebabkan
𝑞, dan 𝑝 adalah benar, maka jelas 𝑞 bernilai benar. Baris pertama pada tabel
kebenaran implikasi menjadi bukti validitas argumen yang berbentuk modus
ponens. Bentuk ini disebut juga sebagai bentuk penegasan hipotesis (anteseden).
Contoh 7
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Jika saya giat belajar, maka saya lulus ujian.
Premis 2 : Saya giat belajar
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya lulus ujian. Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑝
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk modus ponens, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid untuk
argumen tersebut adalah 𝑞: Saya lulus ujian.
65
b. Modus Tollens (Penalaran Tak Langsung)
Bentuk argumen pada modus tollens dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan :∼𝑝
Perhatikan bentuk implikasi 𝑝 dan 𝑞. Jika bentuk implikasi 𝑝 dan 𝑞 bernilai benar,
dan diketahui pula bahwa konsekuen 𝑞 bernilai salah, maka anteseden 𝑝 juga
bernilai salah. Bentuk argumen modus tollens adalah kebalikan dari bentuk modus
ponens. Dalam modus tollens, jika diketahui 𝑝 menyebabkan 𝑞, dan 𝑞 adalah salah,
maka jelas 𝑝 bernilai salah. Baris terakhir pada tabel kebenaran implikasi menjadi
bukti validitas argumen yang berbentuk modus tollens. Bentuk ini disebut juga
sebagai bentuk pengingkaran hipotesis (anteseden).
Contoh 8
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Jika saya giat belajar, maka saya lulus ujian
Premis 2 : Saya tidak lulus ujian
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya lulus ujian. Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk modus tollens, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid untuk
argumen tersebut adalah ∼ 𝑝: Saya tidak giat belajar.
c. Silogisme Hipotesis
Bentuk argumen pada silogisme hipotesis dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑞⟹𝑟
Kesimpulan :𝑝⟹𝑟
66
Perhatikan bahwa 𝑞 diakibatkan oleh 𝑝 dan 𝑟 diakibatkan oleh 𝑞, maka 𝑟
diakibatkan oleh 𝑝. Bentuk argumen silogisme hipotesis didasarkan pada sifat
transitif pada implikasi. Validitas argumen ini dapat dilihat karena sifat transitif
pada implikasi merupakan tautologi.
Contoh 9
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Jika saya giat belajar, maka saya lulus ujian.
Premis 2 : Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah.
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, 𝑞: Saya lulus ujian, dan 𝑟: Saya cepat menikah.
Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑞⟹𝑟
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk silogisme hipotesisi, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid
untuk argumen tersebut adalah 𝑝 ⟹ 𝑟: Jika saya giat belajar, maka saya cepat
menikah.
d. Silogisme Disjungtif
Bentuk argumen pada silogisme disjungtif dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 :𝑝∨𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan :𝑝
Perhatikan bahwa 𝑝 ∨ 𝑞 bernilai benar dan 𝑞 bernilai salah, maka 𝑝 bernilai benar.
Bentuk argumen silogisme disjungtif didasarkan pada kenyataan jika dihadapkan
pada dua pilihan dan tidak memilih pilihan pertama, maka satu-satunya
kemungkinan adalah memilik pilihan kedua. Validitas argumen ini dapat dilihat
pada baris kedua dan ketiga dari tabel kebenaran disjungsi.
67
Contoh 10
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Saya giat belajar atau saya malas
Premis 2 : Saya tidak malas
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya malas. Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝∨𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk silogisme disjungtif, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid
untuk argumen tersebut adalah 𝑝: Saya giat belajar.
Contoh 11
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis : Saya giat belajar dan saya pintar
Kesimpulan : ….
68
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya pintar. Bentuk argumennya menjadi:
Premis :𝑝∧𝑞
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk simplifikasi, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid untuk
argumen tersebut adalah 𝑝: Saya giat belajar.
b. Penambahan Disjungtif
Bentuk argumen pada penambahan disjungtif dapat disimbolkan dalam
bentuk:
Premis :𝑝
Kesimpulan :𝑝∨𝑞
Perhatikan bahwa 𝑝 bernilai benar maka 𝑝 ∨ 𝑞 pasti bernilai benar, tidak peduli
apakah 𝑞 bernilai benar atau salah. Bentuk argumen penambahan disjungtif
didasarkan pada fakta bahwa setiap kalimat dapat digeneralisasikan dengan
penghubung “∨”, sebab penghubung “∨” bernilai benar selama salah satu dari
pernyataannya benar. Validitas argumen ini dapat dilihat pada baris pertama dan
kedua tabel kebenaran disjungsi.
Contoh 12
Tentukanlah kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis : Saya giat belajar
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya giat bekerja. Bentuk argumennya
menjadi:
Premis :𝑝
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk penambahan disjungtif, didapatkan bahwa kesimpulan yang
valid untuk argumen tersebut adalah 𝑝 ∨ 𝑞: Saya giat belajar atau bekerja.
69
c. Konjungsi
Bentuk argumen pada simplifikasi dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 :𝑝
Premis 2 :𝑞
Kesimpulan :𝑝∧𝑞
Perhatikan bahwa 𝑝 bernilai benar, 𝑞 bernilai benar maka 𝑝 ∧ 𝑞 pasti bernilai benar.
Bentuk argumen konjungsi didasarkan pada kondisi saat dua buah pernyataan
benar, maka gabungannya juga akan bernilai benar. Validitas argumen ini dapat
dilihat pada baris pertama tabel kebenaran konjungsi.
Contoh 13
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Saya giat belajar.
Premis 2 : Saya pintar.
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, dan 𝑞: Saya pintar. Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝
Premis 2 :𝑞
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk konjungsi, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid untuk
argumen tersebut adalah 𝑝 ∧ 𝑞: Saya giat belajar dan saya pintar.
70
dari dua pernyataan yang berdisjungsi. Validitas argumen ini dapat dilihat pada
tabel kebenaran disjungsi dan implikasi.
Contoh 14
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Saya giat belajar atau saya giat bekerja.
Premis 2 : Jika saya giat belajar maka ibu akan senang.
Premis 3 : Jika saya giat bekerja maka ibu akan senang.
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, 𝑞: Saya giat bekerta, dan 𝑟: Ibu akan senang. Bentuk
argumennya menjadi:
Premis 1 :𝑝∨𝑞
Premis 2 :𝑝⟹𝑟
Premis 3 :𝑞⟹𝑟
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk dilema, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid untuk
argumen tersebut adalah 𝑟: Ibu akan senang.
e. Dilema Konstruktif
Bentuk argumen pada dilema konstruktif dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 :𝑝∨𝑟
Kesimpulan :𝑞∨𝑠
Perhatikan bahwa (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠) bernilai benar, berarti (𝑝 ⟹ 𝑞) bernilai
benar dan (𝑟 ⟹ 𝑠) bernilai benar, 𝑝 ∨ 𝑟 bernilai benar maka 𝑞 ∨ 𝑠 pasti bernilai
benar. Bentuk argumen ini didasarkan pada kombinasi dua buah argumen modus
ponens.
71
Contoh 15
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Jika saya giat belajar maka saya pintar, dan jika saya giat bekerja
maka saya kaya
Premis 2 : Saya giat belajar atau bekerja
Kesimpulan : ….
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, 𝑞: Saya pintar, 𝑟: Saya giat bekerja, dan 𝑠: Saya kaya.
Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 :𝑝∨𝑟
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk dilema konstruktif, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid
untuk argumen tersebut adalah 𝑞 ∨ 𝑠: Saya pintar atau saya kaya.
f. Dilema Destruktif
Bentuk argumen pada dilema destruktif dapat disimbolkan dalam bentuk:
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 : ∼ 𝑞 ∨∼ 𝑠
Kesimpulan : ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟
Perhatikan bahwa (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠) bernilai benar, berarti (𝑝 ⟹ 𝑞) bernilai
benar dan (𝑟 ⟹ 𝑠) bernilai benar, ∼ 𝑞 ∨∼ 𝑠 bernilai benar maka ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟 pasti
bernilai benar. Bentuk argumen ini didasarkan pada kombinasi dua buah argumen
modus tollens.
Contoh 16
Tentukan kesimpulan yang tepat untuk argumen berikut:
Premis 1 : Jika saya giat belajar maka saya pintar, dan jika saya giat bekerja
maka saya kaya.
Premis 2 : Saya tidak pintar atau saya tidak kaya.
Kesimpulan : ….
72
Penyelesaian:
Pandang 𝑝: Saya giat belajar, 𝑞: Saya pintar, 𝑟: Saya giat bekerja, dan 𝑠: Saya kaya.
Bentuk argumennya menjadi:
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 : ∼ 𝑞 ∨∼ 𝑠
Kesimpulan : ….
Berdasarkan bentuk dilema destruktif, didapatkan bahwa kesimpulan yang valid
untuk argumen tersebut adalah ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟: Saya tidak giat belajar atau tidak giat
bekerja.
Dalam melakukan inferensi, kita akan menyusun bukti dari suatu argumen.
Bukti sendiri merupakan daftar pernyataan, dengan masing-masing pernyataan
diperoleh dari pernyataan-pernyataan yang mendahuluinya dengan menggunakan
beberapa hukum aljabar proposisi dan metode inferensi berdasarkan bentuk
argumennya. Pernyataan terakhir dari suatu bukti adalah kesimpulan dari argumen
tersebut.
Contoh 17
Diberikan sebuah argumen berikut:
Premis 1 : (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ [𝑝 ⟹ (𝑠 ∧ 𝑡)]
Premis 2 : (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
Kesimpulan :𝑠∨𝑡
Apakah argumen di atas valid?
73
Penyelesaian:
Berikut adalah langkah-langkah pembuktian argumen di atas:
1. (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ [𝑝 ⟹ (𝑠 ∧ 𝑡)] (Premis)
2. (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 (Premis)
3. 𝑝 ∧ 𝑞 (2: Simplifikasi)
4. 𝑝 ⟹ (𝑠 ∧ 𝑡) (1,3: Modus Ponens)
5. 𝑝 (3: Simplifikasi)
6. 𝑠 ∧ 𝑡 (4,5: Modus Ponens)
7. 𝑠 (6: Simplifikasi)
8. 𝑠 ∨ 𝑡 (7: Penambahan Disjungtif)
Jadi, argumen di atas adalah valid.
Contoh 18
Pada suatu hari, Anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa Anda tidak
memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang Anda
pastikan kebenarannya:
a. Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika
sarapan pagi.
b. Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur.
c. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamataku
kuletakkan di meja tamu.
d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi.
e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja
samping ranjang.
f. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.
Berdasarkan fakta-fakta terbut, tentukan di mana letak kacamata tersebut!
Penyelesaian:
Untuk memudahkan, pandang:
𝑝: Kacamataku ada di meja dapur.
𝑞: Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi.
𝑟: Aku membaca koran di ruang tamu.
74
𝑠: Aku membaca koran di dapur.
𝑡: Kacamata kuletakkan di meja tamu.
𝑢: Aku membaca buku di ranjang.
𝑤: Kacamata kuletakkan di meja ranjang.
Dengan demikian, dapat ditulis:
a. 𝑝 ⟹ 𝑞
b. 𝑟 ∨ 𝑠
c. 𝑟 ⟹ 𝑡
d. ∼ 𝑞
e. 𝑢 ⟹ 𝑤
f. 𝑠 ⟹ 𝑝
E. Forum Diskusi
Diskusikan dengan teman sejawat Anda.
1. Tunjukkan apakah proposisi 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 dan (𝑝 ∧ (∼ 𝑞)) ∨ (𝑞 ∧ (∼ 𝑟)) ∨
(𝑟 ∧ (∼ 𝑝)) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟) saling ekivalen! (Tunjukkan dengan tabel
kebenaran dan hukum aljabar proposisi).
75
2. Dapatkah segala sesuatu dibuktikan tanpa adanya premis yang diketahui?
Jelaskan!
3. Buktikan validitas argumen berikut!
Ketika matahari meninggi dan bulan tak mau pergi, maka aku akan mencari.
Jika kau seru angin berbisik, matahari akan meninggi.
Jika bulan hendak bergeser menjauh, gerimis pun tak mau jatuh.
Kau seru angin untuk berbisik dan hujan pun mau menitik.
Jadi, aku akan mencari.
F. Rangkuman
1. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi:
a. Hukum Idempoten
• 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑝 ≡𝑝
b. Hukum Asosiatif
• (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
• (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
c. Hukum Komutatif
• 𝑝 ∨ 𝑞 ≡𝑞 ∨ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
d. Hukum Distributif
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
e. Hukum Identitas
• 𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ 𝑇 ≡ 𝑝
f. Hukum null/Dominasi
• 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
• 𝑝 ∨ 𝑇 ≡ 𝑇
g. Hukum Komplemen (Negasi)
• 𝑝 ∨∼𝑝 ≡𝑇
76
• 𝑝 ∧∼𝑝 ≡𝐹
• ∼𝑇 ≡ 𝐹
• ∼𝐹≡𝑇
h. Hukum Involusi (Negasi Ganda)
∼ (∼ 𝑝) ≡ 𝑝
i. Hukum Penyerapan (Absorpsi)
• 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
• 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
j. Hukum Transposisi
𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ∼ 𝑞 ⇒∼ 𝑝
k. Hukum Implikasi
𝑝 ⇒𝑞 ≡∼𝑝∨𝑞
l. Hukum Ekivalensi
• 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)
• 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑞 ∧ ∼ 𝑝)
m. Hukum Eksportasi
(𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)
n. Hukum DeMorgan
• ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
• ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
2. Berikut beberapa metode inferensi berdasarkan bentuk argumennya:
a. Modus Ponens
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑝
Kesimpulan :𝑞
b. Modus Tollens
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan :∼𝑝
c. Silogisme Hipotesis
77
Premis 1 :𝑝⟹𝑞
Premis 2 :𝑞⟹𝑟
Kesimpulan :𝑝⟹𝑟
d. Silogisme Disjungtif
Premis 1 :𝑝∨𝑞
Premis 2 :∼𝑞
Kesimpulan :𝑝
e. Simplifikasi
Premis :𝑝∧𝑞
Kesimpulan :𝑝
Atau
Premis :𝑝∧𝑞
Kesimpulan :𝑞
f. Penambahan Disjungtif
Premis :𝑝
Kesimpulan :𝑝∨𝑞
g. Konjungsi
Premis 1 :𝑝
Premis 2 :𝑞
Kesimpulan :𝑝∧𝑞
h. Dilema
Premis 1 :𝑝∨𝑞
Premis 2 :𝑝⟹𝑟
Premis 3 :𝑞⟹𝑟
Kesimpulan :𝑟
i. Dilema Konstruktif
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 :𝑝∨𝑟
Kesimpulan :𝑞∨𝑠
j. Dilema Destruktif
78
Premis 1 : (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑟 ⟹ 𝑠)
Premis 2 : ∼ 𝑞 ∨∼ 𝑠
Kesimpulan : ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟
G. Tes Formatif
Pilihlah jawaban yang paling tepat.
1. Bentuk paling sederhana dari pernyataan (∼ 𝑝 ∧ (∼ 𝑞 ∧ 𝑟)) ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ∨
(𝑝 ∧ 𝑟) adalah …
a. 𝑝
b. 𝑞
c. 𝑟
d. 𝑝 ∨ 𝑞
e. T
2. Pernyataan manakah yang ekuivalen dengan ((∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨∼ 𝑟)) ∧ (∼
𝑝 ∨∼ 𝑞)?
a. 𝑝 ∧ 𝑞
b. ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑟
c. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
d. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞
e. ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟
3. Pernyataan manakah yang ekuivalen dengan (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (∼ 𝑝 ∧ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞))?
a. 𝑝 ∧ 𝑞
b. ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑟
c. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
d. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞
e. ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑟
4. Pernyataan manakah yang ekuivalen dengan ∼ 𝑝 ⟹ (𝑝 ⟹ 𝑞)?
a. 𝑝 ∧ 𝑞
b. 𝐹
c. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
79
d. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞
e. 𝑇
5. Pernyataan yang tepat terkait proposisi (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ (𝑝 ⟹ 𝑞) adalah …
a. Sebuah tautologi.
b. Ekivalen dengan 𝑝 ∧∼ 𝑞.
c. Sebuah kontradiksi.
d. Ekivalen dengan 𝑝 ∨ 𝑞.
e. Sebuah argumen yang valid.
6. Saya makan jika saya lapar. Saya makan, jadi saya lapar. Argumen ini
merupakan bentuk argumen ….
a. Modus Tollens
b. Silogisme
c. Dilema
d. Konjungsi
e. Modus Ponens
7. Diberikan sebuah argumen:
Premis 1: Perut saya sakit jika makan rujak pedas dan tidak dapat tidur
nyenyak sehabis menonton film horor.
Premis 2: Perut saya tidak sakit dan dapat tidur nyenyak.
Simpulan yang tepat untuk argumen di atas adalah ….
a. Saya makan rujak.
b. Saya tidak menonton film horor.
c. Saya tidak makan rujak dan menonton film horor.
d. Saya tidak makan rujak dan tidak menonton film horor.
e. Saya makan rujak dan menonton film horor.
8. Jika tingkat suku bunga turun, tingkat inflasi naik. Jika tingkat inflasi naik,
pasar saham akan juga naik. Jadi, ….
a. Jika tingkat inflasi naik, maka suku bunga turun.
b. Jika tingkat suku bunga turun, maka pasar saham akan naik.
c. Jika tingkat suku bunga turun, maka pasar saham akan turun.
d. Jika tingkat inflasi naik, maka suku bunga akan naik.
80
e. Tidak ada kesimpulan yang valid.
9. Ketika berlari, saya cepat letih jika tidak berlari perlahan-lahan. Saya tidak
letih. Jadi, ….
a. Saya berlari cepat.
b. Saya diam.
c. Saya berlari perlahan-lahan.
d. Saya berlari tanpa letih.
e. Tidak ada kesimpulan yang valid.
10. Semua manusia ingin menjadi kaya. Semua yang kaya hidup tidak bahagia.
Jadi, ….
a. Semua manusia ingin hidup bahagia.
b. Semua manusia kaya dan bahagia.
c. Semua manusia ingin hidup tidak bahagia.
d. Semua manusia tidak ingin kaya.
e. Tidak ada kesimpulan yang valid.
H. Daftar Pustaka
Lipschutz, Seymour & Hall, George H. 1983. Matematika Hingga. Terjemahan
oleh Marga. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Siang, Jong Jek. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: ANDI.
Sugiarto & Hidayah, Isti. 2015. Pengantar Dasar Matematika. Semarang: FMIPA
UNNES.
81
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif
Cocokkanlah jawaban Saudara dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang
terdapat di bagian akhir KB ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus
berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Saudara terhadap materi KB ini.
banyaknya jawaban benar
Tingkat Penguasaan (TP) = x 100% .
banyaknya soal
82
No Kode: DAR 2/Profesional/180/6/2022
MATERI MATEMATIKA
Penulis:
Dr. Emi Pujiastuti, M.Pd.
83
A. Pendahuluan
Logika merupakan cabang ilmu dasar dalam matematika. Belajar logika
berarti belajar berpikir dan bernalar secara logis yang merupakan kegiatan akal
manusia dalam memanfaatkan pengetahuan yang diterima melalui panca indera,
kemudian diolah agar dicapai suatu kebenaran. Dengan belajar logika, seseorang
mampu memanifestasikan pikiran sehingga dapat mempertimbangkan,
menganalisis, menunjukkan alasan-alasan, membuktikan sesuatu, menarik
kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, dan lain sebagainya. Dengan demikian
tujuan mempelajari logika matematika adalah agar pembelajar dapat berpikir lebih
nalar, kritis, tepat, konsisten, dan benar. Selanjutnya dengan mempelajari logika
matematika, para mahasiswa PPG dapat menerapkan pemikiran-pemikiran
matematis dalam kehidupan sehari-hari, misalnya penerapan pemikiran modus
ponens atau modus tollens.
Pada materi sebelumnya para mahasiswa telah belajar tentang tentang
pengertian kalimat dan pernyataan, dan aljabar proposisi. Pada bagian ini para
mahasiswa akan diarahkan untuk belajar dan mengkaji tentang aturan bukti
bersyarat dan bukti tak langsung (reductio ad absurdum). Berbekal dengan
pengetahuan mengenai konsep pernyataan, negasi dari suatu pernyataan,
pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi), dan hukum-
hukum aljabar proposisi seperti tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, mahasiswa
diharapkan mampu membuktikan keabsahan dari sebuah argumen, serta konsep
aturan bukti bersyarat dan bukti tak langsung.
Relevansi belajar dan mempelajari logika matematika adalah sebagai
berikut.
1. Mempelajari logika matematika memiliki relevansi agar menjadi pemikir yang
jernih dan kritis.
2. Mempelajari logika matematika memiliki relevansi agar mampu mendidik para
mahasiswa PPG melaksanakan disiplin intelektual yang diperlukan dalam
menarik kesimpulan.
84
3. Mempelajari logika matematika memiliki relevansi agar mampu mendidik para
mahasiswa PPG dalam menginterpretasikan fakta dan pendapat orang lain
secara akurat, ilmiah, dan reflektif.
4. Mempelajari logika matematika memiliki relevansi agar mampu mendidik para
mahasiswa PPG dapat menyeleksi penalaran-penalaran yang keliru dan tidak
jelas.
5. Mempelajari logika matematika memiliki relevansi agar mampu mendidik para
mahasiswa PPG untuk menerapkan pemikiran-pemikiran matematis dalam
kehidupan sehari-hari.
Modul ini ditulis dengan harapan dapat menjadi salah satu referensi dalam
mempelajari logika matematika. Agar modul ini memiliki manfaat secara optimal
bagi para mahasiswa PPG, maka petunjuk belajar untuk mempelajari modul ini
adalah sebagai berikut.
1. Modul ini tidak boleh dijadikan satu-satunya sumber belajar dalam
mempelajari logika matematka. Para para peserta PPG wajib menambah buku-
buku tentang logika matematika yang relevan, sebagai sumber belajar lain
untuk dibaca dan dipelajari.
2. Pelajari modul ini halaman demi halaman secara urut.
3. Di bagian akhir modul ini terdapat tugas dan tes formatif. Kerjakan setiap soal
yang ada dan nilai yang diperoleh agar dijadikan sebagai umpan balik untuk
menilai lagi apakah materi dalam kegiatan belajar sudah dikuasai dengan baik
atau belum.
4. Keberhasilan pembelajaran dalam mempelajari modul ini sangat bergantung
kepada kesungguhan dalam belajar, mengerjakan tugas dan menyelesaikan tes.
5. Diskusikan dengan teman kalian dalam sebuah grup/kelompok belajar, jika
menemui kesulitan, khususnya dalam memahami konsep dalam logika
matematika atau jika ada kesulitan saat mengerjakan soal-soalnya.
6. Jika tetap mengalami kesulitan yang tidak teratasi dalam kelompok belajar,
diskusikan di kelas dengan divasilitasi oleh dosen pengampu.
85
7. Jika pencapaian tes formatif kurang dari 80%, pelajari kembali
konsep dan materi yang masih belum tuntas, perbanyak berlatih soal dan
pemecahan masalah serta berdiskusi bersama dengan teman.
Selamat belajar kepada seluruh mahasiswa PPG, semoga sukses
memahami pengetahuan yang diuraikan dalam modul ini sebagai bekal
membelajarkan matematika di sekolah.
B. Capaian Pembelajaran
Capaian pembelajaran pada Modul 6 KB 4 ini adalah sebagai berikut.
1. Mahasiswa menguasai pernyataan majemuk, tautologi, kontradiksi, hukum-
hukum aljabar proposisi.
2. Mahasiswa dapat membuktikan keabsahan dari sebuah argumen
berdasarkan aturan logika matematika.
3. Mahasiswa dapat membuktikan sebuah argumen dengan menggunakan
aturan bukti bersyarat.
4. Mahasiswa dapat membuktikan sebuah argumen dengan menggunakan
bukti tak langsung (reductio ad absurdum).
C. Pokok-pokok Materi
Materi yang dipelajari dalam kegiatan belajar ini antara lain:
1. Aturan Bukti Bersyarat.
2. Bukti Tak Langsung.
86
D. Uraian Materi
1. Aturan Bukti Bersyarat
Pada kegiatan belajar sebelumnya telah dibahas bagaimana cara
membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang
digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan
Bukti Langsung. Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti
langsung. Cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal
yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB).
Catatan: Hal yang perlu diingat bahwa ABB dapat digunakan apabila konklusi
argumen tersebut merupakan implikasi.
Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai
berikut.
1) Menulis premis-premis yang diketahui.
2) Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan
konsekuennya merupakan konklusi dari argumen (konklusi baru).
3) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan
konklusi sesuai dengan konklusi baru.
Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi
bahwa 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat
antara argumen sah/valid dengan implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB
mudah kita terima dengan penjelasan berikut.
Tabel 1. Tahapan dalam aturan bukti bersyarat
1 𝑃 ⇒ (𝐴 ⇒ 𝐶) 𝑃
∴𝐴⇒𝐶
2 (𝑃 ∧ 𝐴) ⇒ 𝐶 𝑃
A
∴𝐶
87
Tabel 1 di atas menunjukkan bahwa karena 𝑃 ⇒ (𝐴 ⇒ 𝐶) ≡ (𝑃 ∧ 𝐴) ⇒ 𝐶
maka argumen 𝑃 /∴ 𝐴 ⇒ 𝐶 sah/valid dan argumen 𝑃, 𝐴/∴ 𝐶 juga sah/valid. Untuk
lebih memahami penjelasan di atas, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
(𝑎 ∨ 𝑏) ⇒ (𝑐 ∧ 𝑑)
(𝑑 ∨ 𝑒) ⇒ 𝑓
∴ 𝑎⇒𝑓
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi 𝑎 ⇒ 𝑓 dengan anteseden 𝑎
dan konsekuen 𝑓 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat digunakan.
1. (𝑎 ∨ 𝑏) ⇒ (𝑐 ∧ 𝑑) (premis 1)
2. (𝑑 ∨ 𝑒) ⇒ 𝑓 (premis 2)
3. 𝑎/∴ 𝑓 (premis tambahan dan konklusi baru)
4. 𝑎∨𝑏 (3 Aturan Penambahan)
5. 𝑐∧𝑑 (1,4 Modus Ponens)
6. 𝑑 (5 Aturan Penyederhanaan)
7. 𝑑∨𝑒 (6 Aturan Penambahan)
8. 𝑓 (2,7 Modus Ponens)
9. 𝑎⇒𝑓 (3 s.d. 8 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
Contoh 2.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟)
(𝑞 ∨ 𝑟) ⇒ 𝑠
∴ 𝑝⇒𝑠
Penyelesaian:
88
1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) (premis 1)
2. (𝑞 ∨ 𝑟) ⇒ 𝑠 (premis 2)
5. 𝑞 (4 Aturan Penyederhanaan)
(Terbukti).
Contoh 3.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
𝑎 ∧ ~𝑑
𝑏 ⇒ (𝑐 ⇒ 𝑑)
∴ (𝑎 ⇒ 𝑏) ⇒ ~𝑐
89
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi (𝑎 ⇒ 𝑏) ⇒ ~𝑐 dengan
anteseden 𝑎 ⇒ 𝑏 dan konsekuen ~𝑐 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat
digunakan.
1. 𝑎 ∧ ~𝑑 (premis 1)
2. 𝑏 ⇒ (𝑐 ⇒ 𝑑) (premis 2)
3. 𝑎 ⇒ 𝑏/∴ ~𝑐 (premis tambahan dan konklusi baru)
4. 𝑎 (1 Aturan Penyederhanaan)
5. 𝑏 (3,4 Modus Ponens)
6. 𝑐⇒𝑑 (2,5 Modus Ponens)
7. ~𝑑 (1 Aturan Penyederhanaan)
8. ~𝑐 (6,7 Modus Tollens)
9. (𝑎 ⇒ 𝑏) ⇒ ~𝑐 (3 s.d. 8 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
Contoh 4.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
~(𝑎 ∨ 𝑏) ∨ ~(𝑐 ∨ 𝑑)
(𝑒 ∨ 𝑓) ⇒ 𝑑
∴ 𝑎 ⇒ ~𝑒
90
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi 𝑎 ⇒ ~𝑒 dengan anteseden 𝑎
dan konsekuen ~𝑒 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat digunakan.
1. ~(𝑎 ∨ 𝑏) ∨ ~(𝑐 ∨ 𝑑) (premis 1)
2. (𝑒 ∨ 𝑓) ⇒ 𝑑 (premis 2)
3. 𝑎/∴ ~𝑒 (premis tambahan dan konklusi baru)
4. 𝑎∨𝑏 (1 Aturan Penambahan)
5. ~(𝑐 ∨ 𝑑) (1,5 Modus Ponens)
6. ~𝑐 ∧ ~𝑑 (5 De Morgan)
7. ~𝑐 (6 Aturan Penyederhanaan)
8. ~𝑑 (6 Aturan Penyederhanaan)
9. ~(𝑒 ∨ 𝑓) (2,9 Modus Tollens)
10. ~𝑒 ∧ ~𝑓 (9 DeMorgan)
11. ~𝑒 (10 Aturan Penyederhanaan)
12. a⇒ ~𝑒 (3 s.d. 11 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
Contoh 5.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟)
𝑝 ⇒ (𝑠 ⇒ ~𝑡)
𝑡 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑠)
∴ 𝑝 ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑟)
91
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi 𝑝 ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑟) dengan
anteseden 𝑝 dan konsekuen 𝑡 ⇒ 𝑟 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat
digunakan.
1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) (premis 1)
2. 𝑝 ⇒ (𝑠 ⇒ ~𝑡) (premis 2)
3. 𝑡 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑠) (premis 3)
4. 𝑝/∴ (𝑡 ⇒ 𝑟) (premis tambahan dan konklusi baru)
5. 𝑡 (premis tambahan)
6. 𝑞⇒𝑟 (1,4 Modus Ponens)
7. 𝑠 ⇒ ~𝑡 (2,4 Modus Ponens)
8. 𝑞∨𝑠 (3,5 Modus Ponens)
9. ~𝑠 (7,5 Modus Tollens)
10. 𝑞 (8,9 Disjungtif Silogisme)
11. 𝑟 (6,10 Modus Ponens)
12. 𝑡⇒𝑟 (5 s.d 11 Aturan Bukti Bersyarat)
13. p ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑟) (4 s.d. 12 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
Contoh 6.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
𝑠 ⇒ (𝑏 ⇒ 𝑡)
𝑛 ⇒ (𝑡 ⇒ ~𝑏)
∴ (𝑠 ∧ 𝑛) ⇒ ~𝑏
92
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi (𝑠 ∧ 𝑛) ⇒ ~𝑏 dengan
anteseden (𝑠 ∧ 𝑛) dan konsekuen ~𝑏 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat
digunakan.
1. 𝑠 ⇒ (𝑏 ⇒ 𝑡) (premis 1)
2. 𝑛 ⇒ (𝑡 ⇒ ~𝑏) (premis 2)
3. 𝑠 ∧ 𝑛/∴ ~𝑏 (premis tambahan dan konklusi baru)
4. 𝑠 (3 Aturan Penyederhanaa)
5. 𝑛 (3 Aturan Penyederhanaan)
6. 𝑏⇒𝑡 (1,4 Modus Ponens)
7. 𝑡 ⇒ ~𝑏 (2,5 Modus Ponens)
8. 𝑏 ⇒ ~𝑏 (6,7 Modus Silogisme)
9. ~𝑏 ∨ ~𝑏 (8 Implikasi)
10. ~𝑏 (9 Tautologi)
11. (𝑠 ∧ 𝑛) ⇒ ~𝑏 (3 s.d. 10 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
Contoh 7.
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
(𝑛 ∨ 𝑑) ⇒ (𝑚 ∨ 𝑐)
(𝑚 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑐
∴𝑛⇒𝑐
93
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi 𝑝 ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑟) dengan
anteseden 𝑝 dan konsekuen 𝑡 ⇒ 𝑟 sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat
digunakan.
1. (𝑛 ∨ 𝑑) ⇒ (𝑚 ∨ 𝑐) (premis 1)
2. (𝑚 ∨ 𝑞) ⇒ 𝑐 (premis 2)
3. 𝑛/∴ 𝑐 (premis tambahan dan konklusi baru)
4. 𝑛∨𝑑 (3 Aturan Penambahan)
5. 𝑚∨𝑐 (1,4 Modus Ponens)
6. 𝑐∨𝑚 (5 Aturan Komutatif)
7. ~𝑐 ⇒ 𝑚 (6 Implikasi)
8. ~(𝑚 ∨ 𝑞) ∨ 𝑐 (2 Implikasi)
9. (~𝑚 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑐 (8 De Morgan)
10. (~𝑚 ∨ 𝑐) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑐) (9 Aturan Distribusi)
11. ~𝑚 ∨ 𝑐 (10 Aturan Penyederhanaan)
12. 𝑚⇒𝑐 (11 Implikasi)
13. ~𝑐 ⇒ 𝑐 (7,12 Modus Silogisme)
14. 𝑐∨𝑐 (13 Implikasi)
15. 𝑐 (14 Tautologi)
16. 𝑛⇒c (3 s.d. 15 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
94
4) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan
Silogisme Disjungtif .
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh 1:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑎 ⇒ (𝑏 ∧ 𝑐)
(𝑏 ∨ 𝑑) ⇒ 𝑒
𝑑∨𝑎
∴𝑒
Bukti:
1. 𝑎 ⇒ (𝑏 ∧ 𝑐) (premis 1)
2. (𝑏 ∨ 𝑑) ⇒ 𝑒 (premis 2)
3. 𝑑∨𝑎 (premis 3)
4. ~e (premis tambahan)
5. ~(b ∨ d) (2,4 Modus Tollens)
6. ~𝑏 ∧ ~𝑑 (5 Hukum DeMorgan)
7. ~𝑏 (6 Aturan Penyederhanaan)
8. ~𝑑 (6 Aturan Penyederhanaan)
9. ~𝑑 ⇒ 𝑎 (3 Hukum Implikasi)
10. 𝑎 (9,8 Modus Ponens)
11. 𝑏∧𝑐 (1,10 Modus Ponens)
12. 𝑏 (11 Aturan Penyederhanaan)
13. 𝑏 ∧ ~𝑏 (7,12 Hukum Konjungsi)
14. 𝑏∨𝑒 (12 Aturan Penambahan)
15. ~𝑏 𝑒 (14 Hukum Implikasi)
16. 𝑒 (14,7 Silogisme Disjungtif)
(Terbukti)
95
Catatan:
1) Langkah ke-13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab 𝑏 ∧ ~𝑏 (menurut
hukum komplemen) bernilai salah (False).
2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi, langkah berikutnya menggunakan
aturan penambahan dan silogisme disjungtif untuk membuktikan konklusi.
Contoh 2:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑝∨𝑞
𝑝 ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑠)
𝑝⇒𝑡
𝑠⟺𝑞
∴𝑠
Bukti:
1. 𝑝∨𝑞 (premis 1)
2. 𝑝 ⇒ (𝑡 ⇒ 𝑠) (premis 2)
3. 𝑝⇒𝑡 (premis 3)
4. 𝑠⟺𝑞 (premis 4)
5. ~s (premis tambahan)
6. (s ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑠) (4 Material Equivalence)
7. 𝑠⇒𝑞 (6 Aturan Penyederhanaan)
8. 𝑞⇒𝑠 (6 Aturan Penyederhanaan)
9. ~𝑞 (8,5 Modus Tollens)
10. 𝑝 (1,9 Silogisme Disjungtif)
11. 𝑡 (3,10 Modus Ponens)
12. (𝑝 ∧ 𝑡) ⇒ 𝑠 (2 )
13. (𝑡 ∧ 𝑝) ⇒ 𝑠 (12 Aturan Komutatif)
14. 𝑡 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑠) (13 )
15. 𝑝⇒𝑠 (14,11 Modus Ponens)
16. 𝑠 (15,10 Modus Ponens)
(Terbukti)
96
Contoh 3:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐)
𝑎⇒𝑐
∴𝑐
Bukti:
1. 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) (premis 1)
2. 𝑎⇒𝑐 (premis 2)
3. ~c (premis tambahan)
4. ~a (3,2 Modus Tollens)
5. ~𝑎 ∨ 𝑏 (4 Aturan Penambahan)
6. 𝑎⇒𝑏 (5 Hukum Implikasi)
7. (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐) (1 Aturan Distributif)
8. 𝑎∨𝑐 (7 Aturan Penyederhanaan)
9. 𝑐∨𝑎 (8 Aturan Komutatif)
10. ~𝑐 ⇒ 𝑎 (9 Hukum Implikasi)
11. 𝑎 (10,3 Modus Ponens)
(Terbukti)
Contoh 4:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑝⇒𝑞
𝑞⇒𝑟
𝑝 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑡)
(𝑠 ∧ 𝑡) ⇒ 𝑢
𝑢 ⇒ ~𝑟
∴ ~𝑝
97
Bukti:
1. 𝑝⇒𝑞 (premis 1)
2. 𝑞⇒𝑟 (premis 2)
3. 𝑝 ⇒ (𝑠 ∧ 𝑡) (premis 3)
4. (𝑠 ∧ 𝑡) ⇒ 𝑢 (premis 4)
5. 𝑢 ⇒ ~𝑟 (premis 5)
6. p (premis tambahan)
7. q (1,6 Modus Ponens)
8. 𝑟 (2,8 Modus Ponens)
9. 𝑠∧𝑡 (3,6 Modus Ponens)
10. 𝑢 (4,10 Modus Ponens)
11. ~𝑟 (5,10 Modus Ponens)
12. 𝑟 ∧ ~𝑟 (8,11 Hukum Konjungsi)
(Terbukti)
Contoh 5:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑞⇒𝑟
(𝑟 ∨ 𝑘) ⇒ (𝑚 ∨ 𝑚)
∴𝑞⇒𝑚
Bukti:
1. 𝑞⇒𝑟 (premis 1)
2. (𝑟 ∨ 𝑘) ⇒ (𝑚 ∨ 𝑚) (premis 2)
3. ~(q ⇒ 𝑚) (premis tambahan)
4. ~(~q ∨ m) (3 Hukum Implikasi)
5. 𝑞 ∧ ~𝑚 (4 Hukum DeMorgan)
6. 𝑞 (5 Aturan Penyederhanaan)
7. ~𝑚 (5 Aturan Penyederhanaan)
8. 𝑟 (1,6 Modus Ponens)
9. 𝑟∨𝑘 (7 Aturan Penambahan)
98
10. 𝑚∨𝑚 (2,8 Modus Ponens)
11. 𝑚 (9 Tautologi)
12. 𝑚 ∧ ~𝑚 (7,11 Hukum Konjungsi)
(Terbukti)
Contoh 6:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑎⇒𝑏
𝑐⇒𝑑
~(𝑎 ⇒ 𝑑)
∴ 𝑏 ∧ ~c
Bukti:
1. 𝑎⇒𝑏 (premis 1)
2. 𝑐⇒𝑑 (premis 2)
3. ~(𝑎 ⇒ 𝑑) (premis 3)
4. ~(𝑏 ∧ ~c) (premis tambahan)
5. ~b ∨ c (4 Hukum DeMorgan)
6. 𝑏⇒𝑐 (5 Hukum Implikasi)
7. 𝑎⇒𝑐 (1,6 Modus Silogisme)
8. 𝑎⇒𝑑 (7,2 Modus Silogisme)
9. (𝑎 ⇒ 𝑑) ∧ ~(𝑎 ⇒ 𝑑) (8,3 Hukum Konjungsi)
(Terbukti)
Contoh 7:
Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Bukti Tak Langsung.
𝑝 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑟)
~𝑞
~𝑟
∴ ~p
99
Bukti:
1. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∨ 𝑟) (premis 1)
2. ~𝑞 (premis 2)
3. ~𝑟 (premis 3)
4. 𝑝 (premis tambahan)
5. 𝑞∨𝑟 (1,5 Modus Ponens)
6. ~𝑞 ⇒ 𝑟 (5 Hukum Implikasi)
7. 𝑟 (6,2 Modus Ponens)
8. ~𝑟 ∧ 𝑟 (3,8 Aturan Konjungsi)
(Terbukti)
E. Forum Diskusi
Untuk meningkatkan pemahaman dan keterampilan dalam melakukan
pembuktian dengan ABB dan Bukti tak langsung, diskusikanlah bersama dengan
teman untuk permasalahan-permasalahan berikut.
1) Suatu argumen dapat dibuktikan keabsahannya dengan menggunakan aturan
bukti bersyarat maupun Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung).
a) Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menggunakan aturan bukti
bersyarat.
(𝑎 ∨ 𝑏) ⇒ ((𝑐 ∧ 𝑑) ⇒ 𝑒)
∴ 𝑎 ⇒ ((𝑐 ∧ 𝑑) ⇒ 𝑒)
100
F. Rangkuman
1. Aturan untuk membantu membuktikan kesahan suatu argumen di antaranya
adalah sebagai berikut.
a) Modus Ponens,
b) Modus Tollens,
c) Silogisme,
d) Silogisme Disjungtif,
e) Konstruktif Dilema,
f) Destruktif Dilema,
g) Aturan Konjungsi,
h) Aturan Penyederhanaan, dan
i) Aturan Penambahan.
2. Langkah-langkah dalam pembuktian Aturan Bukti Bersyarat adalah sebagai
berikut.
a) Menulis premis-premis yang diketahui.
b) Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis
tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument
(konklusi baru).
c) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk
menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.
3. Selain dengan cara Aturan Bukti Bersyarat masih ada cara lain untuk
membuktikan kesahan argumen yaitu dengan Bukti Tak Langsung (Reductio
Ad Absordum). Langkah-langkah bukti tak langsung adalah sebagai berikut.
a) Menulis premis-premis yang diketahui.
b) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis
tambahan).
c) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian
ditunjukkan adanya kontradiksi.
d) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi
dan Silogisme Disjungtif .
101
G. Tes Formatif
Pilihlah jawaban yang paling tepat.
1. Pernyataan di bawah ini yang merupakan kontradiksi adalah ….
a. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞)
b. (𝑎 ∧ ~𝑎) ∧ 𝑏
c. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ ~𝑞)
d. (𝑝 ∧ ~𝑝) ⇒ 𝑞
e. (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑏
2. Menggunakan sifat ekuivalensi, pernyataan 𝑎 ∧ 𝐵 ≡ ….
a. 𝑎
b. 𝐵
c. ~𝑎
d. 𝑆
e. 𝑏
3. Pernyataan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇒ (𝑝 ∨ 𝑟) dapat disederhanakan menjadi
….
a. 𝑝
b. 𝑝∨𝑟
c. 𝑟
d. 𝐵
e. 𝑝∨𝑞
4. Pernyataan yang setara dengan “Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan
pokok akan naik” adalah ….
a. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.
b. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
c. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
d. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
e. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
5. Untuk melakukan pembuktian argumen dengan bukti tak langsung, langkah-
langkah yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut, kecuali ….
a. Menulis premis-premis yang diketahui.
102
b. Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru.
c. Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis
tambahan).
d. Menggunakan aturan penyimpulan dan hukum penggantian
ditunjukkan adanya kontradiksi.
e. Menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif
6. Premis 1: Jika udara tidak tercemar, maka rumah segar.
Premis 2: Jika rumah segar, maka kupu-kupu bertelur.
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ….
a. Jika udara tercemar, maka kupu-kupu bertelur.
b. Jika udara tidak tercemar, maka kupu-kupu bertelur.
c. Jika udara tidak tercemar, maka kupu-kupu tidak bertelur.
d. Jika udara tidak tercemar, maka bukan kupu-kupu bertelur.
e. Jika bukan udara tercemar, maka kupu-kupu tidak bertelur.
7. Diketahui argumentasi:
I. 𝑝⇒𝑞
~𝑞
∴ ~𝑞
II. 𝑝⇒𝑞
~𝑞 ∨ 𝑟
∴𝑝⇒𝑟
III. 𝑝 ⇒ 𝑞
𝑝⇒𝑟
∴𝑞⇒𝑟
Argumentasi yang sah adalah ….
a. I saja
b. II saja
c. III saja
d. I dan II saja
e. II dan III saja
8. Diketahui premis-premis:
103
Premis 1: Jika hari hujan, maka ibu memakai payung.
Premis 2: Ibu tidak memakai payung.
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ….
a. Hari tidak hujan.
b. Hari hujan.
c. Ibu memakai payung.
d. Hari hujan dan Ibu memakai payung.
e. Hari tidak hujan dan Ibu memakai paying.
9. Diketahui pernyataan:
Premis 1: Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis 2: Ani tidak memakai topi atau ia memakai paying.
Premis 3: Ani tidak memakai payung.
Kesimpulan yang sah adalah ….
a. Hari panas.
b. Hari tidak panas.
c. Ani memakai topi.
d. Hari panas dan Ani memakai topi.
e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
10. Diketahui premis berikut:
Premis 1: Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.
Premis 2: Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.
Premis 3: Budi tidak lulus ujian.
Kesimpulan yang sah adalah ….
a. Budi menjadi pandai.
b. Budi rajin belajar.
c. Budi lulus ujian.
d. Budi tidak pandai.
e. Budi tidak rajin belajar.
104
H. Daftar Pustaka
Causey, R. L. 1994. Logic, Sets, and Recursion. Boston: Jones and Bartlett
Publisher.
Enderton, H. B. 2001. A Mathematical Introduction to Logic Second Edition. San
Diego: Harcourt Academic Press.
Lipschutz, S. & Lipson, M. L. 2007. Schaum’s Outline of Theory and Problems of
Discrete Mathematics Third Edition. New York: The McGraw-Hill
Companies, Inc.
Manongga, D. & Nataliani, Y. 2013. Matematika Diskrit. Jakarta: Prenadamedia
Group
Mendelson, E. 1997. Introduction to Mathematical Logic 4th Ed. London: Chapman
& Hall.
Sugiarto & Hidayah, I. 2015. Pengantar Dasar Matematika. Semarang: FMIPA
UNNES.
Supper, P. 1957. Introduction to Logic. New York: Van Nostrand Reinhold
Company.
Sumardyono, Sutanti, T., Musthofa. 2017. Modul Pengembangan Keprofesian
Berkelanjutan Guru Matematika SMA Logika, Sejarah dan Filsafat
Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat
Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan.
Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
105
Apabila tingkat penguasaan Anda 80% atau lebih, bagus! Anda telah berhasil
mempelajari modul ini.
Apabila tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari
kembali modul ini.
106
TUGAS AKHIR MODUL 6
1. Berdasarkan penjelasan tentang tautologi dan kontradiksi, selesaikan masalah
berikut ini dengan menuliskan langkah-langkahnya.
(𝑝 𝑞) (𝑟 𝑠)
~𝑟 ~𝑠
~𝑝 ~𝑞
107
c. (2,1)
d. (-1,-1)
e. (5,0)
4. Ingkaran dari pernyataan ”Apabila guru tidak hadir maka semua siswa
bersuka ria” adalah....
a. Guru hadir dan semua siswa bersuka ria.
b. Guru hadir dan ada beberapa siswa tidak bersuka ria.
c. Guru tidak hadir dan semua siswa bersuka ria.
d. Guru tidak hadir dan ada siswa tidak bersuka ria.
e. Guru tidak hadir dan semua siswa tidak bersuka ria.
5. Pada tabel di bawah ini, nilai kebenaran untuk kolom ~p ~ q adalah....
p q ~p ~ q
B B
B S
S B
S S
a. S B S S
b. S S B B
c. S S S B
d. S B S B
e. S B B B
6. Bentuk p ( p → q ) senilai dengan....
a. p
b. q
c. p ~q
d. pq
e. p →q
7. Pernyataan di bawah ini yang merupakan tautologi adalah . . . .
f. 𝑝 ⇒ (𝑝 ∧ (~𝑞 ∨ 𝑞))
108
g. (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ 𝑏
h. (𝑝 ∧ (𝑝 ⇒ 𝑞)) ⇒ ~𝑝
i. (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)
j. (𝑎 ∧ ~𝑎) ∧ 𝑏
8. Diketahui premis-premis:
Premis 1: Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian.
Premis 2: Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN.
Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah . . . .
a. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN.
b. Adi tidak rajin belajar dan Adi dapat diterima di PTN.
c. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN.
d. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian.
e. Jika Adi tidak lulus ujian maka dapat diterima di PTN.
9. Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Jika adik tidak tersenyum maka dia tidak senang.
Kesimpulan yang sah adalah....
a. Ibu pergi atau adik tersenyum.
b. Ibu tidak pergi atau adik terenyum.
c. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum.
d. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum.
e. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum.
10. Perhatikan premis berikut:
Premis 1: Jika Aldi giat belajar, maka ia bisa menjadi juara.
Premis 2: Jika bisa menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan.
Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah . . . .
a. Aldi giat belajar dan ia tidak boleh ikut liburan.
b. Aldi giat belajar atau ia tidak boleh ikut liburan.
c. Aldi giat belajar maka ia boleh ikut liburan.
d. Aldi giat belajar dan ia boleh ikut liburan.
e. Aldi ikut liburan maka ia giat belajar.
11. Implikasi p → q → r pasti bernilai benar jika...
109
a. p benar, q benar, dan r salah.
b. p salah, q salah, dan r salah.
c. p salah, q benar, dan r salah.
d. p benar, q salah, dan r salah.
e. p benar, q benar, dan r salah.
110
15. Proposisi majemuk 𝑝 ∨ 𝑞 ⟹ 𝑟 ekivalen dengan ….
A. 𝑝 ⟹ 𝑟
B. 𝑞 ⟹ 𝑟
C. (𝑝 ⟹ 𝑟) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑟)
D. (𝑝 ⟹ 𝑟) ∨ (𝑞 ⟹ 𝑟)
E. (𝑝 ⟹ 𝑟) ⟹ (𝑞 ⟹ 𝑟)
16. Bentuk majemuk 𝑝 ⟹ (𝑞 ∧∼ 𝑞) ekivalen dengan ….
A. 𝑝
B. ∼ 𝑝
C. 𝑞
D. ∼ 𝑞
E. 𝑇
Perhatikan pernyataan berikut untuk menjawab soal 17-19!
𝑝: Andi suka makan buah manga.
𝑞: Andi suka makan buah jambu.
𝑟: Andi suka makan buah salak.
17. Jika (𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑟) bernilai benar. Maka pernyataan berikut yang
bernilai benar adalah ….
A. Andi suka makan buah mangga dan jambu.
B. Andi suka makan buah mangga atau tidak suka makan buah jambu.
C. Andi suka makan buah mangga dan tidak suka makan buah jambu.
D. Andi suka makan buah jambu dan tidak suka makan buah salak.
E. Andi suka makan buah jambu atau tidak suka makan buah manga.
18. Jika 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∨ 𝑞) bernilai benar. Maka pernyataan berikut yang bernilai
benar adalah ….
A. Andi suka makan buah mangga dan jambu.
B. Andi suka makan buah jambu dan salak.
C. Andi suka makan buah mangga dan tidak suka makan buah jambu.
D. Andi suka makan buah mangga atau tidak suka makan buah jambu.
E. Andi suka makan buah mangga atau jambu.
111
19. Jika ∼ ((∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) bernilai benar. Maka
pernyataan berikut yang benar adalah ….
A. Andi suka makan buah salak dan jambu.
B. Andi suka makan buah salak dan mangga.
C. Andi suka makan buah salak.
D. Andi suka makan buah jambu.
E. Andi suka makan buah manga.
20. Hari ini hujan atau cerah. Hari ini tidak cerah. Jadi hari ini hujan.
Bentuk argumen di atas merupakan bentuk argumen …
A. Modus Ponens
B. Modus Tollens
C. Silogisme Hipotesis
D. Silogisme Disjungtif
E. Simplifikasi
21. Premis 1: Jika saya latihan maka saya lulus, dan jika saya bekerja maka
saya kaya.
Premis 2: Saya latihan atau saya bekerja.
Premis 3: Saya tidak lulus atau saya tidak kaya.
Kesimpulan yang valid di bawah ini adalah ….
A. Dari premis 1, disimpulkan jika saya latihan maka saya kaya.
B. Dari premis 1 dan 2, disimpulkan saya lulus atau saya kaya.
C. Dari premis 1 dan 3, disimpulkan saya tidak latihan dan saya tidak
bekerja.
D. Dari premis 2 dan 3, disimpulkan saya latihan dan saya bekerja.
E. Dari premis 2, disimpulkan saya kaya.
22. Matahari terbit dari arah Timur. Bintang X terbit dari arah Utara.
Simpulan yang valid di bawah ini adalah …
A. Matahari terbit dari arah Timur dan bintang X terbit dari arah Barat.
B. Matahari dan bintang X terbit dari arah yang berlawanan.
C. Matahari terbit dari arah Utara.
D. Bintang X terbit dari arah Tmur.
112
E. Matahari dan bintang X tidak terbit.
23. Jika saya makan maka saya kenyang. Saya makan. Jadi saya kenyang.
Bentuk argumen di atas merupakan salah satu bentuk argumen ….
A. Modus Ponens
B. Modus Tolens
C. Silogisme Hipotesis
D. Silogisme Destruktif
E. Dilemma
113
26. Perhatikan premis-premis dan konklusi berikut.
𝑎 (𝑏 𝑐)
𝑎 𝑐
𝑐
Apabila pembuktian menggunakan Reductio Ad Absordum langkah pertama
yang harus dikerjakan adalah dengan....
a. Membuat ingkaran dari konklusi mencari premis tambahan.
b. Menggunakan hukum dan aturan argumen.
c. Menarik anteseden pada konklusi menjadi premis tamabahan dan
menjadikan konsekuen pada konklusi menjadi konklusi baru.
d. Menghilangkan premis 2.
e. Menambah premis dengan mengubah premis 2 menggunakan hukum dan
aturan argumen.
27. Pernyataan “semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki” ekuivalen
dengan ….
A. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama D. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama sisi,
sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga maka ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama kaki.
sama kaki.
B. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama kaki, E. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama
maka ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama sisi. sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama
kaki.
C. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 segitiga sama sisi,
maka ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga
sama kaki.
114
A. Jika hidup saya bahagia, maka D. Jika usaha saya berhasil, maka
saya jujur. hidup saya Bahagia.
B. Jika saya jujur, maka hidup saya E. Jika usaha saya berhasil, maka
bahagia. saya jujur.
C. Jika saya jujur, maka usaha saya
berhasil.
115
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF MODUL 6
1. Kunci Jawaban Tes Formatif Modul 6 KB 1
1. C 6. A
2. B 7. B
3. B 8. A
4. C 9. A
5. B 10. D
116
Arti tingkat penguasaan:
90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik
80% ≤ TP < 90% : baik
70% ≤ TP < 80% : cukup
TP < 70% : kurang
Apabila tingkat penguasaan Anda 80% atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke
modul berikutnya. Bagus! Anda telah berhasil mempelajari modul ini. Apabila
tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari kembali modul
ini.
117
KUNCI JAWABAN TES SUMATIF MODUL 6
1 A 11 D 21 B
2 A 12 C 22 A
3 B 13 E 23 A
4 B 14 A 24 E
5 C 15 C 25 C
6 D 16 B 26 A
7 B 17 C 27 D
8 A 18 D 28 B
9 A 19 E 29 F
10 C 20 D 30 A
118
KRITERIA PENILAIAN TES SUMATIF
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Sumatif yang terdapat di
modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk
mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi modul ini.
Tingkat Penguasaan (TP) = (banyaknya jawaban benar)/(banyaknya soal) x 100%
.
Arti tingkat penguasaan:
90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik
80% ≤ TP < 90% : baik
70% ≤ TP < 80% : cukup
TP < 70% : kurang
Apabila tingkat penguasaan Anda 80% atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke
modul berikutnya. Bagus! Anda telah berhasil mempelajari modul ini. Apabila
tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari kembali modul
ini.
119