No Kode: DAR 2/Profesional/180/1/2022

PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA

MODUL 1 GEOMETRI
KB 2. Geometri Ruang

Penulis:
Dr. Iwan Junaedi, S.Si., M.Pd.

Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset dan

Teknologi
2022
A. Pendahuluan
Selamat berjumpa kembali dalam kegiatan pembelajaran ini. Pada
kegiatan pembelajaran sebelumnya, saudara telah mempelajari materi geometri
datar. Sedangkan kegiatan belajar kali ini saudara akan mempelajari materi
geometri ruang. Saudara diharapkan tetap bersemangat untuk mempelajari materi
ini sampai selesai.
Lingkup materi untuk kegiatan belajar ini meliputi: (1) objek geometri dan
kubus; (2) kedudukan objek-objek dalam ruang; (3) jarak; dan (4) kesejajaran dan
ketegaklurusan; menentukan objek-objek dalam ruang; dan menentukan jarak dan
sudut dalam ruang.
Agar kegiatan pembelajaran ini dapat berjalan dengan lebih lancar,
saudara diharapkan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut.
1) Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar
ini.
2) Pelajari secara mendalam materi pada kegiatan belajar, cermati contoh dan non
contoh, dan ilustrasi (video/video grafis/animasi).
3) Forum diskusi digunakan untuk memperdalam materi melalui tugas-tugas
latihan, saudara diharapkan menyelesaikan latihan dengan benar.
4) Pada akhir materi, saudara diharapkan menyelesaikan tes formatif secara
mandiri.
5) Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan
di halaman akhir kegiatan belajar. Apabila tingkat penguasaan saudara 80%
atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila
tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari
kembali materi pada kegiatan belajar ini.
6) Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan
belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan
mengerjakan tugas dan latihan. Saudara diharapkan bisa berlatihlah secara
mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat.
B. Capaian Pembelajaran
Mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi,
memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material
secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan
matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja
problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thingking,
kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan.
Secara khusus saudara diharapkan dapat menguasai materi geometri ruang
yang meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah. ruang.
Secara khusus diharapkan saudara dapat:
1. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan kedudukan titik, garis dan
bidang dalam ruang.
2. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan (1) objek geometri dan kubus;
(2) kedudukan objek-objek dalam ruang; (3) Sudut dan jarak dalam ruang;
dan (4) kesejajaran dan ketegaklurusan; menentukan hubungan objek-objek
dalam ruang.

C. Pokok-pokok Materi
1. Objek Geometri dan Kubus
2. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
3. Jarak dan Sudut dalam Ruang
4. Kesejajaran dan Ketegaklurusan

D. Uraian Materi
1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Sebelum mengkaji beberapa aksioma dalam geometri ruang cermati link
untuk menemukan jarak titik terhadap bidang dalam ruang.

https://www.youtube.com/watch?v=vmqxUZtayXE
SEbelum kita lebih jauh mengkaji lebih jaun tetang geometri ruang, langkah
baiknya kita mengawali dengan melihat tiga aksioma dasar dalam geometri ruang.
Tiga buah aksioma dalam geometri ruang:
Aksioma 1. Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis lurus saja.
Aksioma 2. Jika sebuah garis lurus dan sebuah bidang datar mempunyai dua titik
persekutuan, maka garis lurus itu terletak seluruhnya pada bidang
datar itu.
Aksioma 3. Tiga buah titik sembarang (artinya: ketiga titik itu tidak terletak pada
sebuah garis lurus) selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang datar.

Dari aksioma-aksioma di atas didapatlah teorema-teorema di bawah ini.

Teorema 1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sembarang.

Gambar Visual Teorema 1

Teorema ini merupakan turunan langsung dari aksioma 3. Artinya jika ada tiga buah
titik yang tidak terletak dalam satu garis (tak kolinear), maka pasti akan ada sebuah
bidang yang memuat tiga titik tersebut.

Teorema 2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (di luar
garis itu).
 Gambar Visual Teorema 2
⃡ , dan sebuah titik 𝐶 yang tidak terletak
Pada gambar diatas, misalkan ada sebuah 𝐴𝐵
⃡ . Maka jika kondisinya seperti itu, pasti ada sebuah bidang yang dapat
pada 𝐴𝐵
dibuat yang memuat ⃡𝐴𝐵 dan titik 𝐶.

Teorema 3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.

Gambar Visual Teorema 3

⃡ dan 𝐶𝐷
Ilustrasi diatas, misalkan ada dua buah garis yakni 𝐴𝐵 ⃡ , dimana kedua
garis tersebut berpotongan. Maka kondisi ini menjamin ada sebuah bidang yang
⃡ dan 𝐶𝐷
memuat 𝐴𝐵 ⃡ .

1.1 Hubungan antara dua bidang.

Dalam geometri ruang, hubungan yang mungkin terjadi antara dua bidang
adalah kedua bidang berhimpit, kedua bidang sejajar, kedua bidang berpotongan.
Pada kondisi kedua bidang berpotongan, maka titik-titkk persekutuan antara dua
bidang tersebut berupa garis, yang biasanya disebut sebagai garis potong.

Tentang kesejajaran, nantinya akan dibahas pada bab-bab selanjutnya.

Contoh 1
H G
E
F

D
C
A B

Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan bidang 𝐴𝐷𝐻𝐸 berpotongan, maka
⃡
memiliki garis potong, yaitu 𝐴𝐷

Coba kalian identifikasi rusuk-rusuk kubus terjadi akibat dari perpotongan antara
kedua sisi pada kubus.

Contoh 2
H G
E
F

D
C
O
A B

Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻, bidang diagonal 𝐴𝐶𝐺𝐸 dan bidang 𝐵𝐷𝐺 berpotongan,
maka memiliki garis potonng, yaitu ⃡𝑂𝐺 .
1.2 Hubungan antara dua buah garis
Dua buah garis dapat: berpotongan (terletak pada satu bidang), sejajar (terletak pada
satu bidang), atau bersilangan (tidak terletak pada satu bidang). Jika a terletak pada
bidang U, sedangkan b tidak terletak pada bidang U; b menembus bidang U di
sebuah titik P yang tidak terletak pada garis a.

1.3 Hubungan antara dua buah garis

Pada geometri, hubungan antara garis dan bidang dapat berupa: terletak pada
bidang, sejajar bidang, atau menembus bidang.
Coba kalian lihat gambar berikut.

H G
E
F

D
C
A B

Jika kita melihat garis 𝐴𝐷 dan bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷, maka dapat dikatakan bahwa garis
𝐴𝐷 terletak pada bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷
Jika kita melihat garis 𝐴𝐸 dan bidang 𝐷𝐶𝐺𝐻, maka dapat dikatakan garis 𝐴𝐸 sejajar
dengan bidan 𝐷𝐶𝐺𝐻
Sedangkan jika kita melihat garis 𝐺𝐹 dan bidang 𝐴𝐵𝐹𝐸, maka dapat dikatakan
bahwa 𝐺𝐹 memotong atau menembus bidang 𝐴𝐵𝐹𝐸.

1.4 Konsep persekutuan antar objek dalam ruang

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa titik adalah objek geometri
yang tidak memiliki dimensi, baik dimensi panjang, dimensi luas, maupun volume.
Hal ini mengakibatkan titik tidak dikaji sebagai subjek dalam konsep persekutuan
antara objek dalam ruang. Titik adalah objek akibat dari persekutuan tersebut.
Dua objek dalam ruang memiliki persekutuan karena dua objek tersebut tidak
sejajar. Dua garis sebidang akan memiliki persekutuan berupa titik potong karena
kedua garis tersebut tidak sejajar. Jadi, jika dua objek dalam ruang memiliki
persekutuan, dipastikan bahwa dua objek tersebut tidak sejajar.

a) Persekutuan antara 2 bidang

Perhatikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Apakah 𝐴𝐵 termuat
pada lebih dari satu bidang? Jawab: Ya, yaitu bidang
𝐴𝐵𝐹𝐸 dan bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Dengan demikian, 𝐴𝐵 ∈
𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐴𝐵 ∈ 𝐴𝐵𝐹𝐸. Kodisi tersebut mengakibatkan:
𝐴𝐵 ∈ (𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐹𝐸). Artinya garis 𝐴𝐵 merupakan
garis persekutuan antara dua bidang 𝐴𝐵𝐹𝐸 dan 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Hal inilah yang mendasari sifat rusuk, bahwa rusuk merupakan persekutuan dari 2
bidang.
Suatu garis 𝑔 merupakan persekutuan dari dua bidang 𝑈 dan 𝑉 jika 𝑔 terletak
pada bidang 𝑈 dan 𝑔 terletak pada bidang V, ditulis, (𝑔 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) ⟹ 𝑔 ∈
(𝑈, 𝑉).
Sekarang, coba kalian sebutkan rusuk-rusuk pada kubus ABCD.EFGH merupakan
perpotongan antara bidang apa dan bidang apa pada kubus tersebut.
b) Persekutuan antara 2 garis
Dua garis dapat memiliki persekutuan jika terletak dalam 1 bidang. Oleh sebab itu,
untuk menentukan titik persekutuan dua garis dalam ruang, langkah pertama adalah
memastikan bahwa kedua garis tersebut terletak dalam 1 bidang yang sama.
Demikian pula sebaliknya, jika dua garis memiliki titik persekutuan, maka
dipastikan bahwa kedua garis itu terletak pada bidang yang sama (mengapa?).

H G
E
F

D
C
A B

Perhatikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Apakah titik 𝐴 termuat pada lebih dari satu
garis? Jawab: Ya, titik 𝐴 terletak pada garis 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐷. Dengan demikian, titik 𝐴
merupakan titik persekutuan antara 2 garis, disebut dengan titik potong. Akibatnya
kedua garis 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐷 terletak pada satu bidang, yaitu bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Pada bagian
sebelumnya disebutkan bahwa 𝐴 merupakan titik sudut kubus.
Perhatikan bahwa garis 𝐴𝐷 merupakan persekutuan dari 2 bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan
𝐴𝐷𝐻𝐸, dan garis 𝐴𝐵 merupakan persekutuan antara 2 bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐴𝐵𝐹𝐸.
Hal ini membangun silogisma bahwa titik A merupakan persekutuan dari 3 bidang
𝐴𝐵𝐹𝐸, 𝐴𝐵𝐶𝐷, dan 𝐴𝐷𝐻𝐸. Hal inilah yang mendasari sifat dari titik sudut, bahwa
sebuah titik sudut merupakan persekutuan dari 3 bidang.
Nah, sekarang coba kalian sebutkan titik-titik sudut pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻
masing-masing merupakan perpotongan dari rusuk-rusuk apa? Atau titik-titik sudut
pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 masing-masing merupakan perpotongan dari bidang-
bidang apa?
c) Persekutuan antara garis dan bidang
Hubungan antara garis dan bidang di dalam ruang sudah sedikit dibahas pada
bagian sebelumnya, yakni garis dapat sejajar bidang, garis terletak pada bidang, dan
garis memotong atau menembus bidang. Nah pada kondisi ketiga, yakni garis
menembus bidang, maka akan muncul objek baeru yang disebut titik tembus, yang
merupakan persekutuan antara garis dan bidang tersebut. Bagaimana melukis titik
tembus suatu garis dan bidang?

Melukis titik tembus garis pada bidang

Pada kondisi suatu garis tidak sejajar dengan suatu bidang, maka garis tersebut
memotong bidang tersebut. atau yang lebih sering dikatakan bahwa garis
menembus bidang. Titik tembus antara garis dan bidang tersebut meruakan titik
persekutuan antara garis dan bidang.
Satu hal penting dalam kajian ini adalah menentukan letak titik tembus yang terjadi
anatar garis dan bidang tersebut..
Perhatikan gambar berikut.
garis 𝑎 merupakan garis yang tidak terletak pada bidang 𝑈, dimana 𝑎 menembus
bidang 𝑈.

Melukis titik tembus antara garis 𝑎 dan bidang 𝑉 dengan cara sebagai berikut:
1. Lukis bidang pertolongan 𝑉melalui 𝑎
2. Lukis garis potong (𝑈, 𝑉) (dicari dua titik persekutuan antara 𝑈 dan 𝑉).
3. Titik potong antara 𝑎 dan (𝑈, 𝑉), yaitu titik 𝑃, merupakan titik tembus yang
dicari.
Contoh
Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Lukiskan titik tembus 𝐶𝐸 pada bidang 𝐵𝐷𝐺.
Penyelesaian

1. Pilih bidang yang memuat 𝐶𝐸, misal bidang tersebut adalah 𝐴𝐶𝐺𝐸
2. Bidang 𝐴𝐶𝐺𝐸 dan bidang 𝐵𝐷𝐺 berpotongan, maka memiliki garis potong.
Garis potong tersebut adaah 𝑂𝐺.
3. Garis potong 𝑂𝐺 dan garis 𝐶𝐸 berpotongan, sebut titik potongnya adalah 𝑃.
maka 𝑃 tersebut merupakan titik tembus garis 𝐶𝐸 dan bidang 𝐵𝐷𝐺.

Kesejajaran
Teorema: sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

Jika terdapat 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 sejajar 𝑏 (𝑎//𝑏), maka kita dapat mengkontruksi
sebuah bidang yang memuat 𝑎 dan 𝑏, sebut bidang 𝑈.

a) Dua garis Sejajar

Hubungan antara dua garis dalam ruang terdapat tiga kemungkinan, yakni kedua
garis sejajar, kedua garis berpotongan, atau kedua garis bersilangan.
Contoh:
Perhatikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Hubungan antara dua garis dapat dicontohkan
sebagai berikut!

H G
E
F

D
C
A B
.
Dua garis sejajar, contohnya adalah 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷; 𝐵𝐶 dan 𝐴𝐷; 𝐴𝐵 dan 𝐻𝐺 dan
pasangan-pasangan lainnya
Dua garis berpotongan, contohnya adalah 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶; 𝐵𝐹 dan 𝐹𝐺; 𝐸𝐻 dan 𝐻𝐷 dan
paangan-pasangan lainnya.
Dua garis bersilangan, contohnya adalah 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐻; 𝐵𝐷 dan 𝐸𝐺; 𝐵𝐸 dan 𝐻𝐺 dan
pasangan-pasangan lainnya.
b) Garis sejajar bidang
Selanjutnya berikut ini adalah aturan tentang kesejajaran antara garis dan bidang.
Teorema 4. Jika 𝑎 ∥ 𝑏 dan b pada V maka 𝑎 ∥ 𝑉

Dari gambar di atas, terlihat bahwa jika terdapat suatu garis pada bidang yang
sejajar dengan garis lain, maka dikatakan garis tersebut sejajar dengan bidang.

Perhatikan contoh berikut ini.

Apakah garis AH dan bidang BDG sejajar?

H G
E
F

D
C
A B

Garis 𝐴𝐻 sejajar dengan bidang 𝐵𝐷𝐺. Karena terdapat 𝐵𝐺 yang terletak pada
bidang 𝐵𝐷𝐺 dan 𝐵𝐺 sejajar dengan 𝐴𝐻.
c) Dua bidang sejajar
kita dapat mengatakan dua bidang sejajar, dengan melihat ketentuan sebagai
berikut.
Jika (a ∥ c dan b ∥ d), a dan b berpotongan, c dan d berpotongan maka bidang (a,b)
∥ bidang (c,d).
Jika (𝑎, 𝑏) ∶= 𝑈 dan (𝑐, 𝑑) ∶= 𝑉 , maka U ∥ V

Contoh:
Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻, tunjukkan bahwa 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∥ 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Jawab.

𝐴𝐵 // 𝐸𝐹 dan 𝐵𝐶 // 𝐹𝐺
𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 berpotongan; 𝐸𝐹 dan 𝐹𝐺 berpotongan, maka dapat dikatakan bahwa
𝐴𝐵𝐶𝐷 sejajar dengan 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Ketegaklurusan
Ada tiga hal yang dikaji pada uraian ketegaklurusan, yaitu: (a) dua garis
tegak lurus; (b) garis tegak lurus bidang; dan (c) dua bidang yang saling tegak lurus.
Pada dasarnya tegak lurus artinya memiliki ukuran sudut 90o. Kajian
ketegaklurusan ini mendahului kajian tentang sudut dalam ruang karena ke-khas-
an dari sifat tegak lurus. Beberapa kajian tentang sudut dalam ruang akan dikaji
mendahului dari bagian utama kajian tentang sudut.

(a) Garis tegak lurus bidang

Pada kajian ketegaklurusan, hal penting yang dilakukan adalah membuktikan
ketegaklurusan.

Contoh, pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻, 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷. Untuk menunjukkan bahwa

𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷, ditunjukkan hal-hal sebagai berikut:
(1) 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐷, karena 𝐴𝐷𝐻𝐸 persegi, dan 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵, karena 𝐴𝐵𝐹𝐸 persegi; dan
(2) 𝐴𝐷 ∦ 𝐴𝐵. (Catatan: 𝐴𝐷 ∦ 𝐴𝐵 harus dibuktikan untuk menunjukkan bahwa
ABCD bidang).
Karena terdapat dua garis berpotongan pada bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 yang tegak lurus dengan
𝐴𝐸, maka 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Secara umum garis 𝑔 tegak lurus dengan bidang 𝑈, jika terdapat 2 garis di
bidang 𝑈, sebut 𝑚 dan 𝑛, sehingga 𝑔 ⊥ 𝑚 ; 𝑔 ⊥ 𝑛 dan 𝑚 ∦ 𝑛. Selanjutnya, akibat
dari ketegaklurusan garis 𝑔 ke bidang 𝑈 adalah 𝑔 tegak lurus dengan semua garis
yang ada pada bidang 𝑈.
Contoh:
Perhatikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Kita dapat mengatakan bahwa 𝐵𝐹 tegak lurus dengan 𝐴𝐵𝐶𝐷.

H G
E
F

D
C
A B

Pada kajian ketegaklurusan, hal penting yang dilakukan adalah membuktikan

ketegaklurusan. Contoh, 𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷. Untuk menunjukkan bahwa 𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,
ditunjukkan hal-hal sebagai berikut:
(3) 𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐵, karena ABFE persegi, dan 𝐵𝐹 ⊥ 𝐵𝐶, karena ABGF persegi; dan
(4) 𝐴𝐵 ∦ 𝐵𝐶. (Catatan: 𝐴𝐷 ∦ 𝐴𝐵 harus dibuktikan untuk menunjukkan bahwa
ABCD bidang).
Karena terdapat dua garis berpotongan pada bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 yang tegak lurus dengan
𝐴𝐸, maka 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷.
∎
Pada ketegaklurusan, relasi yang terjadi adalah relasi ekuivalen, artinya sifat
komutatif, sifat reflektif, dan sifat transitif berlaku pada ketegaklurusan.
Contoh, tunjukkan bahwa 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺.

Jawab, dipilih dua garis pada 𝐵𝐷𝐺, yaitu 𝐵𝐺 dan 𝐵𝐷. Jelas 𝐵𝐺 dan 𝐵𝐷
berpotongan di titik 𝐵. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺 dan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷.
(1) Akan ditunjukkan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺.
Jelas 𝐶𝐸 termuat pada bidang 𝐶𝐷𝐸𝐹.
Pada bidang 𝐶𝐷𝐸𝐹, terdapat garis 𝐶𝐹 dan 𝐸𝐹 yang
saling berpotongan.
 Jelas 𝐵𝐺 ⊥ 𝐶𝐹, karena sifat diagonal persegi.
 Jelas 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶𝐺𝐹, karena 𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝐺 dan 𝐸𝐹 ⊥
𝐵𝐹. Jadi EF tegak lurus dengan semua garis yang
terdapat pada BCGF, termasuk BG. Jadi 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐺.
 Karena 𝐵𝐺 ⊥ 𝐶𝐹 dan 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐺, artinya 𝐵𝐺 ⊥ 𝐶𝐷𝐸𝐹
 Akibatnya, BG tegak lurus dengan semua garis yang ada pada CDEF
termasuk CE. Jadi 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺 ∎

(2) Akan ditunjukkan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷.

Jelas CE termuat pada bidang ACGE.
Pada bidang ACGE, terdapat garis AC dan CG yang
saling berpotongan.
 Jelas 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶, karena sifat diagonal persegi.
 Jelas 𝐶𝐺 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷, karena 𝐶𝐺 ⊥ 𝐵𝐶 dan 𝐶𝐺 ⊥
𝐶𝐷. Jadi CG tegak lurus dengan semua garis yang terdapat pada ABCD,
termasuk BD. Jadi 𝐶𝐺 ⊥ 𝐵𝐷.
  Karena 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 ⊥ 𝐶𝐺, artinya 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶𝐺𝐸
 Akibatnya, BD tegak lurus dengan semua garis yang ada pada ACGE
termasuk CE.
Jadi 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷. ∎
Dari proses pada (1) dan (2) diperoleh 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺 dan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷.
Jadi 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺. ∎

a) Dua garis tegak lurus

Untuk dua garis yang terletak pada satu bidang, tentu tidak sulit untuk menunjukkan
ketegaklurusan antara dua garis tersebut. Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻, cukup mudah
menunjukkan bahwa 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐹, 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, bahkan 𝐴𝑂 ⊥ 𝐶𝐸, dengan O
perpotongan AG dan FH. Pembuktian ketegaklurusan dua garis sebidang cukup
menggunakan kesebangunan.
Hal yang berbeda jika dua garis tersebut bersilangan.
Ingat, teori di atas, yang menyebutkan
“Jika 𝑎 suatu garis, 𝑉 suatu bidang, dengan 𝑎𝑉, maka 𝑎 tegak lurus dengan semua
garis yang terletak pada 𝑉”

Hal ini memberikan jalan, jika 𝒈 dan 𝒉 masing-masing merupakan garis

dengan 𝒈 dan 𝒉 bersilangan. Untuk menunjukkan 𝒈 ⊥ 𝒉, , cukup ditunjukkan
𝒈 ⊥ 𝑼, dimana bidang 𝑼 memuat 𝒉.
Contoh
Lihat kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 di bawah ini.
Buktikan bahwa 𝐵𝐹𝐴𝐶

A G
E
F

D
C
A B

Pada kajian sebelumnya, kita sudah membuktikan bahwa 𝐵𝐹 tegak lurus 𝐴𝐵𝐶𝐷
(𝐵𝐹𝐴𝐵𝐶𝐷).
Karena 𝐵𝐹𝐴𝐵𝐶𝐷, maka 𝐵𝐹 tegak lurus dengan semua garis yang terletak pada
bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷, termasuk 𝐴𝐶.
Jadi terbukti bahwa 𝐵𝐹𝐴𝐶
∎

b) Dua bidang tegak lurus

Sudah dijelaskan di atas bahwa sebuah garis tegak lurus
pada sebuah bidang, jika garis itu tegak lurus pada dua
garis berpotongan yang terletak pada bidang.
Akibat dari aturan tersebut adalah untuk membuktikan
bidang U tegak lurus bidang V, cukup dicari sebuah garis
dalam bidang U yang tegak lurus pada bidang V, atau sebaliknya.
 Ingat kembali sebuah teorema yang menyatakan bahwa, melalui sebuah garis
g yang tegak lurus bidang U, dapat dibangun bidang-bidang V1, V2, … yang tegak
lurus dengan bidang U.
Contoh, untuk menunjukkan bahwa 𝐵𝐷𝐺 ⊥ 𝐴𝐶𝐺𝐸,
cukup ditunjukkan bahwa terdapat CE pada ACGE,
dengan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺.
Apakah 𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐷𝐺?
Tanpa menggunakan teori ketegaklurusan, cukup
sulit untuk memahami bahwa 𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐷𝐺. Namun pada CDEF terdapat CE, dan
𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺.
Jadi 𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐷𝐺 ∎

2. Jarak dalam Ruang

Dalam geometri jarak berarti panjang ruas garis terpendek antara dua objek
geometri. Berdasarkan kedudukan objek dalam ruang, kajian dalam jarak dalam
ruang terdiri atas: (a) jarak antara 2 titik dalam ruang; (b) jarak antara titik dan garis;
(c) jarak antara titik dan bidang; (d) jarak antara 2 garis sejajar; (e) jarak antara garis
dan bidang; (f) jarak antara 2 bidang sejajar; dan (g) jarak antara 2 garis bersilangan.

a) Jarak antara 2 titik dalam ruang

perlakuaan jarak anatar dua titik dalam ruang, sama dengan jarak anatar dua titik
dalam bidang.
Jika titik 𝐴 dan titik 𝐵, dimana 𝐴 ≠ 𝐵, maka jarak anatar titkk 𝐴 dan titik 𝐵
merupakan panjang ruas garis 𝐴𝐵

A
Contoh
Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Jika panjnag rusuk 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚, tentukan jarak 𝐴
ke 𝑃, dengan 𝑃 merupakan titk tengah 𝐶𝐺.
Penyelesaian:
H G
E
F

D
C
A B
dengan menghubungkan A ke P, maka panjang ruas garis AP merupakan jarak
anatra titik A dan P.
Lihat ∆𝐴𝐶𝑃, dengan siku-siku di C, maka berlaku teorema Phytagoras, dimaan
1
𝐴𝐶 = 8√2 dan 𝑃𝐶 = 2 𝐶𝐺 = 4

𝐴𝑃2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝑃2
2
↔ 𝐴𝑃2 = (8√2) + 42
↔ 𝐴𝑃2 = 128 + 16
↔ 𝐴𝑃2 = 144
↔ 𝐴𝑃 = ∓12
Karena 𝐴𝑃 merupakan satuan panjang, maka 𝐴𝑃 selalau bernilai positif.
Jadi 𝐴𝑃 = 12 𝑐𝑚
∎
b) Jarak antara titik dan garis
Jika garis 𝑔 dan titik 𝑃 dimana 𝑃 tidak pada 𝑔, maka utuk menentukan jarak
𝑃 ke 𝑔 yaitu
1) menentukan garis yang melalui 𝑃, dan tegak lurus 𝑔. Sebuh garis ℎ
2) garis ℎ dan 𝑔 berpotongan, sebut titik potongnya 𝑄
3) Jarak anatara 𝑃 dan garis 𝑔 terlukis, yaitu 𝑃𝑄
Contoh
Pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻, tentukan jarak titik 𝐹 ke garis 𝐴𝐻, jika panjang rusuk
kubus tersebut adalah 8 cm.
Penyelesaian

Dengan menghubungkan 𝐴𝐹 dan 𝐹𝐻, maka kita dapat melihat bahwa segitiga 𝐴𝐹𝐻
merupakan segitiga samasisi. Oleh karena itu, jika kita menarik garis berat pada sisi
𝐴𝐻, maka garis tersebut juga merupakan garis tinggi. Dengan kata lain, jika 𝑃 di
tengah 𝐴𝐻, 𝐹𝑃 juga tegak lurus 𝐴𝐻. Dengan demikian jarak antara titik 𝐹 dan 𝐴𝐻
meruapakan 𝐹𝑃.
 F

A P H

𝐴𝐹 = 𝐹𝐻 = 𝐴𝐻 = 8√2
pada segitiga siku-siku 𝐴𝑃𝐹, maka berlaku
𝐹𝐻 2 = 𝐹𝑃2 + 𝑃𝐻 2
↔ 𝐹𝑃2 = 𝐹𝐻 2 − 𝑃𝐻 2
↔ 𝐹𝑃2 = 𝐹𝐻 2 − 𝑃𝐻 2
2 2
↔ 𝐹𝑃2 = 8√2 − 4√2
↔ 𝐹𝑃2 = 128 − 32
↔ 𝐹𝑃2 = 98
↔ 𝐹𝑃 = 4√6
∎
c) Jarak titik dan bidang
Jika 𝑃 tidak terletak pada bidang 𝑈, maka kita dapat menentukan jarak antara
titik 𝑃 dengan bidang 𝑈, yaitu
1) Melalui 𝑃, buat garis ℎ yang tegak lurus dengan bidang 𝑈.
2) Garis tersebut menembus bidang 𝑈 pada satu titik, sebut titik tembusnya
𝑄
3) Jarak 𝑃 dan bidang 𝑈 terlukis, yakni 𝑃𝑄
Contoh:
Perhatikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 8 𝑐𝑚. Tentukan jarak titik
𝐸 ke bidang 𝐵𝐷𝐺.

Penyelesaian

Pada contoh di samping, jelas bahwa 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺 (periksa kembali bagian

ketegaklurusan di atas). Dengan demikian jarak E ke BDG adalah panjang ruas
garis EP dengan P merupakan titik tembus EC pada bidang BDG. Panjang EP
2
adalah 3 panjang diagonal ruang CE (mengapa?). Sehingga
2
𝐸𝑃 = 𝑎√3
3
2
↔ 𝐸𝑃 = 8√3
3
16
↔ 𝐸𝑃 = √3
3
∎
d) Jarak antara 2 garis sejajar
Jika garis 𝑔 dan garis ℎ merupakan garis-garis yang sejajar (𝑔//ℎ), maka kita dapat
menentukan jarak antara garis 𝑔 dan ℎ sebagai berikut.
1) Ambil sebuah titik pada 𝑔, misal titik P
2) Melalui P, buat garis yang berpotongan tegak lurus garis ℎ, misal titkk
potongnya adalah Q
3) maka jarak anatar garis 𝑔 dan ℎ terlukis, yaitu 𝑃𝑄

Contoh:
Diberikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak antara
𝐵𝐷 dan 𝐹𝐻.

Penyelesaian:
Lukis garis 𝐵𝐷 dan 𝐹𝐻 pada kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Jelas bahwa 𝐵𝐷 dan 𝐹𝐻
merupakan garis-garis sejajar.
Untuk menentukan jaraknya,
Ambil sebuah titik pada garis 𝐻𝐹. Misalnya adalah titik 𝐹. Melalui titik 𝐹, buat
garis yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐵𝐷, sebut 𝐹𝐵.
Garis 𝐹𝐵 dan 𝐵𝐷 berpotongan di 𝐵, maka jarak antara 𝐹𝐻 dan 𝐵𝐷 terlukis, yakni
panjang ruas garis 𝐵𝐹.

Karena 𝐵𝐹 merupakan panjang rusuk kubus, maka didapat jarak anatar 𝐵𝐷 dan 𝐹𝐻
adalah 5 cm.
∎
e) Jarak antara garis dan bidang
Jika garis 𝑔 dan garis ℎ merupakan garis-garis yang sejajar (𝑔//ℎ), maka kita dapat
menentukan jarak antara garis 𝑔 dan ℎ sebagai berikut.
1) Ambil sebuah titik pada 𝑔, misal titik P
2) Melalui P, buat garis yang berpotongan tegak lurus garis ℎ, misal titkk
potongnya adalah Q
3) maka jarak anatar garis 𝑔 dan ℎ terlukis, yaitu 𝑃𝑄
f) Jarak antara 2 bidang sejajar
Pada kubus ABCD.EFGH, jarak antara bidang ABCD dengan bidang EFGH adalah
panjang rusuk AE (atau BF atau CG atau DH). Karena 𝐴𝐸 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐴𝐸 ⊥
𝐸𝐹𝐺𝐻, dengan 𝐴 ∈ 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐸 ∈ 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Jadi jarak antara 2 bidang U dan V, 𝑈 ∥ 𝑉, adalah panjang ruas garis PQ
dengan 𝑃𝑄 ⊥ 𝑈 dan 𝑃𝑄 ⊥ 𝑉, dengan 𝑃 ∈ 𝑈 dan 𝑄 ∈ 𝑉.
Contoh, tentukan jarak antara BDG dan AFH.
Jelas 𝐵𝐷𝐺 ∥ 𝐴𝐹𝐻. Jelas 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐷𝐺 dan 𝐶𝐸 ⊥ 𝐴𝐹𝐻
(mengapa?). Dengan mencari titik tembus CE ke AFH
dan BDG, diperoleh titik Q dan P. Jadi jarak AFH ke
1
BDG adalah panjang ruas garis PQ, yaitu 3 𝑎√3.

g) Jarak antara 2 garis bersilangan

Dalam penjelasan bagian sebelumnya, 2 garis pada bidang dikatakan bersilangan
jika tidak terletak pada 1 bidang yang sama. Untuk menentukan jarak antara dua
garis yang bersilangan 𝑔 dan ℎ, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu:

(1) Membangun bidang U yang memuat g dan sejajar

dengan h, lalu menghitung jarak antara h dengan
bidang U. Contoh, menentukan jarak antara EF dan
BG.
Jelas bahwa 𝐵𝐺 ∈ 𝐴𝐵𝐺𝐻 dan 𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵𝐺𝐻. Jadi,
1 1
𝑑(𝐸𝐹, 𝐵𝐺) = 𝑑(𝐸𝐹, 𝐴𝐵𝐺𝐻) = 2 𝑑(𝐹, 𝐶) = 2 𝑎√2.

(2) Membangun dua bidang sejajar U dan V, dengan U memuat g dan V memuat
h. Jarak antara g dan h ditentukan dengan menghitung jarak antara bidang U
dan V.

Contoh, tentukan jarak antara AF dan BG.

Jelas AF termuat pada bidang AFH dan BG termuat pada bidang BDG.
Jelas 𝑑(𝐴𝐹, 𝐵𝐺) = 𝑑(𝐴𝐹𝐻, 𝐵𝐷𝐺). Pada bagian jarak antara 2 bidang sejajar telah
1
ditunjukkan bahwa 𝑑(𝐴𝐹𝐻, 𝐵𝐷𝐺) adalah panjang ruas garis PQ, yaitu 3 𝑎√3.

3. Sudut dalam Ruang

Sudut dalam ruang terjadi pada , yaitu: (a) sudut antar dua garis; (b) sudut
antara garis dan bidang; dan (3) sudut antara dua bidang atau lebih. Pembahasan
materi tentang sudut dalam runag yang besarnya 90o berada pada topik
ketegaklurusan.
Bagian ini akan sangat erat dengan kajian tentang persekutuan. Baik itu titik
potong maupun garis persekutuan.
Untuk mengawali kajian tentang sudut, dibahas terlebih dahulu tentang
proyeksi garis pada bidang. Hal ini akan digunakan untuk menemukan sudut yang
dimaksud.

Perhatikan gambar di atas!

Misalkan garis OA menembus bidang U di titik O. OB adalah garis yang terletak
pada bidang U sedemikian sehingga ABO membentuk sudut 90o. Pada kondisi yang
demikian, OA disebut dengan Proyektor, OB disebut dengan Proyeksi OA pada
bidang U, dan AB disebut dengan Proyektum. Proyektum dan Proyeksi selalu
saling tegak lurus.
a) Sudut antara dua garis
Pada kubus ABCD.EFGH, cukup mudah melihat sudut
yang terletak pada satu bidang. Sudut antara AF dan AH
dapat diketahui dengan melihat bidang AFH. Jelas AFH
adalah segitiga sama sisi (mengapa?). Jadi besar sudut
antara AF dan AH adalah 60o.
Cara yang berbeda dilakukan jika dua garis tersebut
bersilangan. Contoh, tentukan sudut antara AF dan BG.
Untuk menentukan sudut antara AF dan BG dapat
dilakukan dengan menemukan garis yang sejajar dengan
BG dan berpotongan dengan AF.
Diperoleh, garis tersebut adalah AH. Jadi sudut
antara AF dan BG dapat ditentukan dengan menentukan sudut antara AF dan AH,
ditulis dengan, ∠(𝐴𝐹, 𝐵𝐺) = ∠(𝐴𝐹, 𝐴𝐻), sebab 𝐵𝐺 ∥ 𝐴𝐻.
Jadi sudut antara garis g dan h yang saling bersilangan, dapat ditentukan
dengan menentukan sudut g dan h’, dengan ℎ′ ∥ ℎ, g dan h’ berpotongan.

b) Sudut antara garis dan bidang

Ada beberapa langkah untuk menentukan sudut antara CE
dengan bidang ABCD, yaitu:
(1) Menemukan proyeksi CE pada bidang ABCD, yaitu
CA.
(2) Sudut antara CE ke ABCD adalah ∠𝐸𝐶𝐴.
Jadi, untuk menentukan sudut garis g ke bidang U adalah menentukan sudut
antara garis g dan proyeksi garis g pada bidang U.

c) Sudut antara dua bidang

Pada ruang, bidang membatasi ruang-ruang menjadi bagian-bagian. Dua bidang
yang tidak sejajar akan memiliki persekutuan berupa garis, dan membentuk sudut
antara dua bidang.
 Pada gambar di atas, garis g = (U,V) disebut dengan garis tumpuan. Sudut
antara bidang U dan bidang V adalah 𝛼, yang terbentuk dari garis h di U, dan k di
V, dengan kedua garis h dan k tegak lurus g, ditulis dengan ∠(𝑈, 𝑉) = ∠(ℎ, 𝑘),
dengan ℎ ⊥ 𝑔, 𝑘 ⊥ 𝑔, dan 𝑔 = (𝑈, 𝑉).

Contoh: pada kubus ABCD.EFGH, sudut antara

bidang BDE dengan ABCD adalah ∠𝐸𝑂𝐴. Sebab:
(1) (BDE, ABCD) = BD; dan
(2) 𝐸𝑂 ⊥ 𝐵𝐷 (mengapa?) dan 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐷

4. Volume bangun Ruang

Bagaimana cara mencari rumus volume bangun ruang. Cermati video
animasi berikut.

Video animasi cara menemukan volume bangun ruang,

pada linkVA-M1-KB 2

Sebelum melanjutkan, perhatikan PPT berikut ini PPT-M1-KB2a dan PPT-

M1-KB2b

E. Forum Diskusi
Untuk memperdalam pengetahuan saudara terkiat dengan geometri datar,
selesaikan latihan soal-soal berikut. Saudara dipersilahkan berdiskusi dengan teman
sejawat saudara.
1. Lukislah kubus ABCD.EFGH, dengan frontal ABFE, horizontal ke kanan AB,
2
sudut surut 30o dan perbandingan proyeksi 5.

2. Pada kubus ABCD.EFGH. Lukis garis x yang memotong EG dan CF, serta
sejajar dengan HB.

3. Diketahui: garis a, b dan c bersilangan.

Lukis garis x yang memotong a dan b serta // c.

4. Kubus ABCD. EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Titik P pada garis GH,
sehingga GP : PH = 1 : 2, dan titik Q pada pertengahan sisi EF.
Buatlah ruas garis yang ukurannya panjangnya sama dengan jarak antara garis
PQ dan garis AF. Hitunglah jarak PQ dan garis AF.
5. Jika siswa kesulitan memahami materi jarak dan sudut dalam ruang, media
apakah yang dapat digunakan untuk membantu siswa?

F. Rangkuman
Selamat, Anda telah menyelesaikan KB 2, Geometri Ruang. Untuk
mengingat kembali apa yang sudah saudara pelajari cermati rangkuman berikut ini.
1) Pada geometri ruang, gambar yang digunakan adalah gambar stereometris, yaitu
gambar yang pangkal sudut pandangnya ada di jauh tak hingga.
2) Untuk menggambar kubus yang baik ada 4 hal yang harus diperhatikan, yaitu:
(a) didang Frontal, (b) garis ortogonal; (c) perbandingan proyeksi; (d) sudut
aurut
3) Setiap objek fisik selalu dapat dicari padanan objek geometrinya, sebaliknya
tidak setiap objek geometri ada padanan objek fisiknya.
4) Ada 3 objek geometri dalam geometri ruang, yaitu titik, garis , dan bidang.
5) Persekutuan hanya dapat terjadi pada dua garis, garis dan bidang, dua bidang,
yang tidak sejajar.
6) Dalam bangun ruang, rusuk merupakan persekutuan dari dua bidang. Sedang
titik sudut merupakan persekutuan dari tiga bidang.
7) Dua garis sejajar jika terletak pada satu bidang yang sama.
8) Garis m sejajar dengan bidang U jika terdapat garis g di U dan 𝑔 ∥ 𝑚.
9) Jarak berarti panjang ruas garis terpendek.
10) Sudut antara garis g dan h yang saling bersilangan, dapat ditentukan dengan
menentukan sudut g dan h’, dengan ℎ′ ∥ ℎ, g dan h’ berpotongan.
11) Untuk menentukan sudut garis g ke bidang U adalah menentukan sudut antara
garis g dan proyeksi garis g pada bidang U.

G. Tes Formatif
1. Berikut ini adalah sebab terbentuknyasuatu bidang, kecuali …
A. 𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑘 𝑘𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
B. 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
C. 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛
D. 𝐷𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟
E. 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡

2. “Melalui dua titik, dapat tepat dibuat satu garis”, merupakan …

A. Aksioma
B. Definisi
C. Teorema
D. Teorema Akibat
E. Lemma (Teorema Khusus)

3. Jika U dan V bidang yang tak sejajar, (U, V) adalah …

 A. Titik Persekutuan
B. Garis persekutuan antara bidang U dan V
C. Sudut antara bidang U dan V
D. Sudut Surut
E. Titik tembus

4. Jika g memiliki 2 titik potong pada bidang U, maka …

A. Garis g sejajar dengan bidang U
B. Garis g berpotongan dengan bidang U
C. Garis g menembus bidang U
D. Garis g terletak di bidang U
E. Garis g tegak lurus dengan bidang U

5. Pada kubus ABCD.EFGH, jika bidang frontalnya adalah ACGE, maka sudut
surutnya adalah … (O titik potong AC dan BD)
A. ∠𝐴𝐵𝐶 D. ∠𝐴𝑂𝐶
B. ∠𝐶𝑂𝐵 E. ∠𝐷𝑂𝐶
C. ∠𝐴𝐸𝐹

6. Persekutuan bidang AFH dan ABCD berupa …

A. Titik
B. Garis
C. Bidang
D. Sudut
E. Ruas Garis
7. Untuk menunjukkan AF ⊥ BH, bidang yang memuat
BH yang dipilih adalah …
A. ABGH
B. BDHF
C. BCHE
D. ABH
E. BDH

8. P adalah titik tengah AH. Jika XP adalah garis dari P tegak lurus AH, X dapat
diganti dengan titik …
A. B atau C
B. C atau G
C. G atau F
D. F atau B
E. C atau F

9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH.
Jarak titik M ke AG adalah ...
A. 4√6 cm
B. 4√5 cm
C. 4√3 cm
D. 4√2 cm
E. 4 cm

10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Nilai cosinus sudut antara
garis GC dan bidang BDG adalah ...
1
A. 3
√6
1
B. 2
√3
1
C. 2
√2
 1
D. 3
√3
1
E. 3
√2

H. Daftar Pustaka
Farin, G. E. (1999). NURBS: from projective geometry to practical use. AK
Peters, Ltd..
Kusni dan Sutarto, H. (2018). Geometri Ruang untuk Perguruan Tinggi.
Yogyakarta: Magnum Pusaka Utama.
Landsberg, J. M. (2012). Tensors: geometry and applications. Representation
theory, 381, 402.
Maier, P. H. (1996, March). Spatial geometry and spatial ability–How to make
solid geometry solid. In Selected papers from the Annual Conference of
Didactics of Mathematics (pp. 63-75).
Suwaji, U. T. (2008). Permasalahan pembelajaran geometri ruang SMP dan
alternatif pemecahannya. P4TKM Yogyakarta: Depdiknas.
Widdows, D., & Widdows, D. (2004). Geometry and meaning (Vol. 773).
Stanford: CSLI publications.

I. Kriteria Penilaian Tes Formatif

Cocokkanlah jawaban saudara dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat di
bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus
berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan saudara terhadap materi pada
kegiatan belajar ini.
banyaknya jawaban benar
Tingkat Penguasaan (TP) = x 100% .
banyaknya soal

Arti tingkat penguasaan:

90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik

80% ≤ TP < 90% : baik

70% ≤ TP < 80% : cukup

TP < 70% : kurang

Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke
kegiatan belajar berikutnya. Sebaliknya jika tingkat penguasaan saudara kurang
dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.