MAKALAH GRUP SIMETRI (PERMUTASI)

MATA KULIAH TEORI GRUP

DOSEN PEMBIMBING :
REVI LESTARI PASARIBU, S. Si, M. Si

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK III
ROHMAT NGADIRIN F1042191017
LULU AMIN F1042191020
RIA SALVANI F1041191048
IIS KRISDIYANTI F1042201005
SITI SHOLEKHAH F1042201007
VALLENCIA F1042201009

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS TANJUNGPURA
PONTIANAK
2022
 GRUP SIMETRI (GRUP PERMUTASI)

Definisi 4.1 :
Suatu permutasi adalah pemetaan satu lawan satu atau fungsi bijektif dari himpunan n simbol
ke himpunan itu sendiri.
Misalkan 𝑆 suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah 𝑛. Suatu
pemetaan satu-satu dari 𝑆 ke 𝑆 disebut suatu permutasi dari elemen-elemen 𝑆. Banyaknya
elemen dari 𝑆 merupakan tingkat permutasi tersebut .
Misalkan 𝑆 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 } dan 𝑓 suatu pemetaan satu-satu dari 𝑆 ke 𝑆 , maka 𝑓
adalah suatu permutasi tingkat 𝑛. Misalnya
𝑓(𝑎1 ) = 𝑏1 , 𝑓(𝑎2 ) = 𝑏2 , … , 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑏𝑛
Dengan {𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 } = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 } , dan dua himpunan yang sama ini mempunyai urutan
elemen berbeda. Untuk selanjutnya kita akan menuliskan permutasi dengan notasi matriks dua
baris. peta dari setiap elemennya ditulis tepat dinbawahnya .
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛
𝑓 = (𝑏 𝑏 𝑏 … 𝑏 )
1 2 3 𝑛

Pada pemetaan 𝑓 ini , 𝑓(𝑎1 ) = 𝑏1 , 𝑓(𝑎2 ) = 𝑏2 , 𝑓(𝑎3 ) = 𝑏3 , … , 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑏𝑛

Untuk memperjelas pengertian tersebut, diberikan contoh sebagai berikut. Misalnya
𝑆 = {1,2,3} maka permutasi-permutasi dari elemen-elemen 𝑆 adalah
1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝜀=( )𝛼=( )𝛽=( )
1 2 3 2 1 3 3 2 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝛾=( )𝛿=( )𝜎=( )
1 3 2 2 3 1 3 1 2
Memperhatikan defenisi suatu permutasi, yaitu suatu pemetaan satu-satu dari suatu
himpunan berhingga ke himpunan itu sendiri, maka setiap permutasi adalah pemetaan bijektif.
Sehingga pemetaan identitas merupakan permutasi yang disebut permutasi identitas dan invers
dari suatu permutasi adalah permutasi pula.
Apabila 𝑆 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 }, maka permutasi identitas tingkat 𝑛 adalah
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛
𝜀 = (𝑏 𝑏 𝑏 … 𝑏 )
1 2 3 𝑛

Jika 𝑓 suatu permutasi dari elemen-elemen 𝑆 yang ditentukan oleh

𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛
𝑓 = (𝑏 𝑏 𝑏 … 𝑏 )
1 2 3 𝑛

Maka dengan menukar baris kita memperoleh 𝑓 −1 yaitu

𝑏 𝑏2 𝑏3 … 𝑏𝑛
𝑓 −1 = ( 1 )
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎𝑛
 Apabila 𝑓 dan 𝑔 dua permutasi dari elemen-elemen 𝑆, maka komposisi permutasi-
permutasi tersebut dilakukan seperti komposisi fungsi yaitu
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 𝑆
Mengingat 𝑓 dan 𝑔 masing-masing adalah pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆 , maka 𝑓 ∘ 𝑔 juga
merupakan pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆. Jadi komposisi dua permutasi dari 𝑆 adalah suatu
permutasi dari 𝑆.

Contoh 6.1 :
Diambil permutasi dari 4 elemen pada 𝑆 = {1,2,3,4} misalnya
1 2 3 4 1 2 3 4
𝑓=( ) dan 𝑔 = ( )
3 4 1 2 2 4 3 1
(𝑓 ∘ 𝑔)(1) = 𝑓(𝑔(1)) = 𝑓(2) = 4
(𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(4) = 2
(𝑓 ∘ 𝑔)(3) = 𝑓(𝑔(3)) = 𝑓(3) = 1
(𝑓 ∘ 𝑔)(4) = 𝑓(𝑔(4)) = 𝑓(1) = 3
1 2 3 4
Jadi 𝑓 ∘ 𝑔 = ( )
4 2 1 3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
𝑔∘𝑓 =( )=( )=( )
2 4 3 1 3 4 1 2 3 1 2 4
Tampak disini bahwa 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓

Untuk memperjelas cara melakukan komposisi dari dua permutasi f dan 𝑔, misalnya
𝑔 ∘ 𝑓, maka ditulis lebih dulu permutasi f. Selanjutnya tetap di bawah unsur-unsur peta dari
permutasi f ditulis permutasi 𝑔 sesuai dengan yang diketahui.
1 2 3 4
𝑓 = (↓ ↓ ↓ ↓)
3 4 1 2 1 2 3 4
⇒𝑔∘𝑓 = ( )
3 1 2 4
↓ ↓ ↓ ↓
𝑔 = ( )
3 1 2 4 )
Jadi kita mencari 𝑔 ∘ 𝑓 dilakukan sebagai berikut :
1 2 3
4
𝑔= ( )
3 } ⇒ 𝑓 ∘ 𝑔 = (1 2 3 4)
2 4 1
4 2 1 3
𝑓 = (4 2 1 3)
Contoh 6.2:

(a) = (1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
)∘( )=( )
3 1 2 6 5 4 4 5 6 2 1 3 6 5 4 1 3 2
(𝑏) = (1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
)∘( )=( )
3 6 4 1 8 2 7 5 4 6 1 3 8 2 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8

Apabila S suatu himpunan berhingga dengan 𝑛 elemen, maka banyaknya permutasi

tingkat n pada elemen-elemen S ada n!. Selanjutnya jika 𝑆𝑛 , adalah himpunan semua permutasi
tingkat n dari elemen-elemen S, maka dapat dibuktikan bahwa 𝑆𝑛 , dengan komposisi fungsi
merupakan suatu grup. Grup 𝑆𝑛 ini disebut grup permutasi tingkat 𝑛 atau grup simetri tingkat
n.
Berikut ini bahwa 𝑆𝑛 dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.
(i) Apabila 𝑟 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 yaitu 𝑟 dan 𝜎 masing-masing adalah pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆.
Maka (𝑟 𝑜 𝜎) suatu pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆 pula. Sehingga (𝑟 𝑜 𝜎) ∈ 𝑆𝑛 . Hal ini
berarti 𝑆𝑛 bersifat tertutup terhadap komposisi.
(ii) Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka 𝑆𝑛 dengan
komposisi juga memenuhi sifat asosiatif.
(iii) Unsur identitas dari 𝑆𝑛 adalah pemetaan identitas
𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛
𝜖 = (𝑎 𝑎 2 … 𝑎𝑛 )
1

(iv) Jika 𝑎 ∈ 𝑆𝑛 , yaitu 𝑎 suatu pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆. maka 𝑎−1 juga merupakan
pemetaan bijektif dari 𝑆 ke 𝑆, sehingga 𝑎−1 ∈ 𝑆𝑛 . Jadi setiap unsur 𝑆𝑛 mempunyai
invers terhadap komposisi.
Dari (i) s.d (iv) dapat di simpulkan bahwa 𝑆𝑛 dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.

Contoh 6.3:
Misalkan 𝑆 = {1, 2, 3} dan 𝑆3 adalah himpunan semua permutasi dari elemen-elemen 𝑆 ∘
(𝑆3 ) = 3! = 6.
Elemen-elemen dari 𝑆3 adalah

1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝜀= ( ) 𝛼= ( ) 𝛽= ( )
1 2 3 2 3 1 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝛾= ( ) 𝛿= ( ) 𝜎= ( )
1 3 2 2 3 1 3 1 2
Hasil komposisi dari elemen-elemen 𝑆3 ditunjukan pada tabel Cayley berikut ini.

Tampak pada tabel 6.1 bahwa 𝜀 adalah elemen identitasnya. 𝜀 −1 = 𝜀. 𝑎−1 = 𝑎, 𝛽 −1 =

𝛽, 𝛾 −1 = 𝛾, 𝛿 −1 = 𝜎 dan 𝜎 −1 = 𝛿. Jadi (𝑆3 , 𝑜) adalah suatu grup.
Grup 𝑆3 ini tidak bersifat komutatif, karena tabel tersebut tidak simetris terhadap diagonal
utama (dari kiri atas ke kanan bawah).

Tabel 6.1 𝑆3 = Grup SimetriTingkat 3

∘ 𝜀 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 𝜎
𝜀 𝜀 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 𝜎
𝛼 𝛼 𝜀 𝜎 𝛿 𝛾 𝛽
𝛽 𝛽 𝛿 𝜀 𝜎 𝛼 𝛾
𝛾 𝛾 𝜎 𝛿 𝜀 𝛽 𝛼
𝛿 𝛿 𝛽 𝛾 𝛼 𝜎 𝜎
𝜎 𝜎 𝛾 𝛼 𝛽 𝜀 𝛿

Misalkan 𝑓 suatu permutasi pada himpunan 𝑆 dan didefinisikan relasi ~ pada 𝑆 oleh 𝑎 ~ 𝑏 jika
dan hanya jika 𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑏, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 dan n suatu bilangan bulat.

Relasi ini bersifat refleksif, simetris dan transitif yang ditunjukkan sebagai berikut.
(i) Refleksif, karena 𝑓 0 (𝑎) = 𝑖(𝑎) = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑆, yaitu 𝑎 ~ 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆.
(ii) Simetris, sebab jika 𝑎 ~ 𝑏, yaitu 𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑏, untuk suatu bilangan bulat 𝑛, maka
𝑎 = 𝑓 𝑛 (𝑏), yaitu 𝑏 ~ 𝑎
(iii) Transitif, karena jika 𝑎 ~ 𝑏 dan 𝑏 ~ 𝑐, yaitu 𝑓 𝑚 (𝑎) = 𝑏 dan 𝑓 𝑛 (𝑏) = 𝑐, untuk suatu
bilangan bulat 𝑚 dan 𝑛. Maka (𝑓 𝑛 ∘ 𝑓 𝑚 )(𝑎) = 𝑓 𝑛 (𝑓 𝑚 (𝑎)) = 𝑓 𝑛 (𝑏) = c.
Ini berarti 𝑎 ~ 𝑐.

Karena relasi ~ bersifat refleksif, simetris dan transitif, maka relasi ~ adalah suatu
relasi ekuivalen pada 𝑆, sehingga mengakibatkan suatu partisi pada 𝑆 atas kelas-kelas
ekuivalensi. Setiap kelas ekuivalen ini disebut suatu orbit dari 𝑓 .
Contoh 6.4 :
Misalkan 𝑓 suatu permutasi pada 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}, yaitu
1 2 3 4 5 6
𝑓=( )
3 5 4 6 2 1
Kita akan menentukan orbit-orbit dari 𝑓 ,
𝑓 (3) = 4 maka 3 ~ 4
𝑓 2 (3) = 𝑓(𝑓 (3)) = 𝑓 (4) = 6 maka 3 ~ 6
𝑓 3 (3) = 𝑓(𝑓 2 (3)) = 𝑓 (6) = 1 maka 3 ~ 1
𝑓 4 (3) = 𝑓(𝑓 3(3)) = 𝑓 (1) = 3
𝑓 (2) = 5 maka 2 ~ 5
𝑓 2 (2) = 𝑓 (𝑓 (2)) = 𝑓 (5) = 2

Memperhatikan perhitungan tersebut dapat disimpulkan bahwa orbit-orbit dari 𝑓 adalah

(1,3,4,6) dan (2,5). Agar mudah menentukan orbit-orbit pada permutasi 𝑓, maka 𝑓 dinyatakan
sebagai berikut
1 3 4 6 2 5
𝑓=( | )
3 4 6 1 5 2
Memperhatikan penulisan 𝑓 ini, maka permutasi 𝑓 dapat dituliskan dalam satu baris, yaitu
𝑓 = (1 3 4 6) (2 5)
orbit- orbit f tersebut dapat digambarkan sebagai berikut

3 6
2 5
4

Memperhatikan orbit-orbit dari f ini, maka f dapat dituliskan dengan bermacam-macam cara,
asalkan urutannya tetap, misalnya:
𝑓 = ( 4 6 1 3 ) ( 5 2 ) atau
𝑓 = ( 6 1 3 4 ) ( 2 5 ) atau
𝑓 = ( 3 4 6 1 ) ( 2 5) atau
𝑓 = ( 1 3 4 6 ) ( 5 2 ) dan seterusnya.
 Selanjutnya setiap orbit dari f disebut sikel dari f. Banyaknya elemen pada suatu sikel
disebut Panjang sikel tersebut. Suatu permutasi yang hanya terdiri dari satu sikel disebut
Permutasi Siklik.

Contoh 6.5 :
1 2 3 4 5 6 7
1) 𝑔 = ( ) dapat dituliskan menjadi
1 4 2 7 3 6 5
2 4 7 5 3 1 6
𝑔 = ( ) dan ditulis sebgai sikel menjadi
4 7 5 3 2 1 6
𝑔 = ( 2 4 7 5 3 )(1)(6) = ( 2 4 7 5 3 ).

1 2 3 4 5 6 7 8
2) ℎ = ( ) dapat ditulis sebagai
3 8 6 7 2 1 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
ℎ = ( ) dan dapat ditulis sebagai hasil kali sikel-sikel yang
3 8 6 7 2 1 4 5
asing menjadi ℎ = ( 1 3 6 )( 2 8 5 )( 4 7 ).

Elemen-elemen yang petanya tetap (invarian) tidak perlu ditulis. Permutasi g hanya
terdiri dalam satu sikel, maka g disebut permutasi siklik. Sikel-sikel yang tidak mempunyai
elemen persekutuan dikatakan sikel-sikel yang saling asing. Permutasi- permutasi
(1 4 3 2) dan (6 7 5) adalah dua sikel yang saling asing. sedangkan (4 2 3 5) dan (3 5 6)
adalah sikel-sikel yang tidak saling asing. Suatu sikel dengan 𝑛 elemen atau dikatakan sikel
dengan panjang 𝑛 dinotasikan dengan sikel-𝑛.

Suatu permutasi yang sikel-sikelnya hanya terdiri atas satu elemen berarti setiap
elemennya invarian, maka permutasi ini adalah suatu permutasi identitas. Penilisan permutasi
identitas dapat diwakilkan olebh seuah sikelnya, yaitu sikel dengan salah satu elemen dari
himpunannya. Misalnya,
12345
𝜀=( ) = (1) = (2) = (3) = (4) = (5)
12345

Dari keterangan diatas dapat di permutasi permutasi dalam S1 sebagai sikel-sikel sebagai
berikut.

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) = (1) ( ) = (1 2) ( ) = (1 3)
1 2 3 2 1 3 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) = (2 3) ( ) = (1 2 3) ( ) = (1 3 2)
1 3 2 2 3 1 3 1 2

Jadi, 𝑆3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

 Komposisi (perkalian) dari sikel-sikel dilakukan sebagai komposisi fungsi, karena
setiap sikeladalah suatu pemetaan. Peta dari suatu elemen pada suatu siklus adalah elemen
berikutnya (yang mengikutinya), sedangkan peta dari elemen terakhir dari sikel adalah
elemen pertama pada siklus itu.

Contoh 6.6 :

1) Misalnya 𝑔 = (1 2 4) dan 𝑓 = (5 4 1) maka 𝑔 ∘ 𝑓 = (1 2 4) ◦ (5 4 1) = (1 5) (4 2),

Hal ini dijelaskan sebagai berikut
𝑓 𝑔 𝑔∘𝑓
1→ 5→ 5, berarti 1 → 5
𝑓 𝑔 𝑔∘𝑓
3→ 4→ 1, berarti 5 → 1
𝑔∘𝑓 𝑔∘𝑓
Sehingga 1 → 5→ 1, hal ini menghasilkan sikel (1 5).

𝑓 𝑔 𝑓 𝑔 𝑔∘𝑓 𝑔∘𝑓
4→ 1→ 2→ 2→ 4, berarti 4 → 2→ 4.
Ini menghasilkan sikel (4 2).

2) Misalnya diketahui permutasi-permutasi dari 5 elemen, yaitu 𝑓 = (5 3 2 4 1) dan 𝑔 =

(4 5 3 1 2), maka
𝑓 ∘ 𝑔 = (5 3 2 4 1) ∘ (4 5 3 1 2) = (1 4 3 5 2) = (4 3 5 2 1)
Penjelasannya :
𝑔 𝑓
1→ 2→ 4
𝑔 𝑓
4→ 5→ 3
𝑔 𝑓
3→ 1→ 5
𝑔 𝑓
5→ 3→ 2
𝑔 𝑓
2→ 4→ 1
𝑔∘𝑓 = (4 5 3 1 2) ∘ (5 3 2 4 1) = (1 3 4 2 5)
Tampak di sini bahwa 𝑔 ∘ 𝑓 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔, seperti pada umumnya komposisi fungsi tidak
bersifat komutatif.

Ingat bahwa elemen-elemen yang tidak dituliskan pada sikel 𝑔 berarti elemen
tersebut tidak berubah (invarian), dmikian pula pada sikel 𝑓, setiap permutasi dapat
dinyatakan sebagai komposisi dari sikel-sikel yang saling asing.
Contoh 6.7 :
1 2 3 4 5 6 7 8
1) ( ) = (1 3 6)(2 5)(4 8)
3 5 6 8 2 1 7 4
7 tidak ditulis karena 7 invarian.
1 2 3 4 5 6 7 8
Perhatikan bahwa (4 8) (1 3 6) (2 5) = ( )
3 5 6 8 2 1 7 4
1 2 3 4 5 6 7
2) ( ) = (1 4 6)(2 7)
4 7 3 6 5 1 2
1 2 3 4 5 6 7
Perhatikan juga bahwa (2 7)(1 4 6) = ( )
4 7 3 6 5 1 2
Contoh ini memberikan ilustrasi bahwa hasilkali (komposisi) dari sikel-sikel yang saling
asing bersifat komutatif, seperti dinyatakan sebagai teorema berikut ini.
Teorema 6.1:
Jika sikel-sikel 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 ) dan 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) tidak memiliki elemen
sama (saling asing). Maka 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎.
Bukti:
Misalkan 𝑎 dan 𝑏 adalah permutasi-permutasi pada himpunan
𝑆 = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 , 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑟 }
Dengan 𝑐, adalah elemen 𝑆 yang tidak berada dalam sikel-sikel 𝑎 dan 𝑏. Untuk membuktikan
bahwa 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼, harus ditunjukkan bahwa 𝛼𝛽(𝑥) = 𝛽𝛼(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam 𝑆. Jika 𝑥
adalah suatu elemen 𝑆 yang berada dalam sikel 𝛼, misalnya 𝑎𝑖 , maka
(𝛼𝛽)(𝑎𝑖 ) = 𝛼(𝛽(𝑎𝑖 )) = 𝛼(𝑎𝑖 ) = 𝑎𝑖+1 dan
(𝛽𝛼)(𝑎𝑖 ) = 𝛽(𝛼(𝑎𝑖 )) = 𝛽(𝑎𝑖+1 ) = 𝑎𝑖+1
Dengan argumentasi yang sama, jika 𝑥 adalah suatu elemen 𝑆 yang berada dalam sikel 𝛽, maka
akan diperoleh pula bahwa 𝛼𝛽(𝑥) = 𝛽𝛼(𝑥). Jika 𝑥 adalah suatu elemen 𝑆 yang tidak berada
pada 𝛼 maupun 𝛽, misalkan 𝑐𝑗 , maka

(𝛼𝛽)(𝑐𝑗 ) = 𝛼 (𝛽(𝑐𝑗 )) = 𝛼(𝑐𝑗 ) = 𝑐𝑗 dan

(𝛽𝛼)(𝑐𝑗 ) = 𝛽 (𝛼(𝑐𝑗 )) = 𝛽(𝑐𝑗 ) = 𝑐𝑗 Terbukti

Suatu sikel yang hanya terdiri dua elemen atau sikel dengan panjang 2 (sikel-2) disebut
transposisi. Setiap permutasi dapat dinyatakan sebagai hasilkali transposisi-transposisi.
Contoh 6.8:
1) (1 5 7 2 6) = (1 6)(1 2)(1 7)(1 5) atau
= (5 1)(5 6)(5 2)(5 7) atau
= (7 5)(7 1)(7 6)(7 2) dan sebagainya
2) (1 4 3)(2 5 6) = (1 3)(1 4)(2 6)(2 5)
3) (1 3 5)(4 5 3) ≠ (1 5)(1 3)(4 3)(4 5). Sebab
(1 3 5) dan (4 5 3) tidak saling asing
(1 3 5)(4 5 3) − (1 3 4) − (1 4)(1 3)

Apabila suatu permutasi dapat dinyatakan sebagai hasilkali transposisi-transposisi yang

banyaknya genap, maka permutasi itu disebut permutasi genap. Demikian pula, apabila suatu
permutasi dapat dinyatakan sebagai hasilkali transposisi-transposisi yang banyaknya ganjil,
maka permutasi itu disebut permutasi ganjil.

Contoh 6.9:
1) Permutasi pada Contoh 6.8 (i) di atas, yaitu (1 5 7 2 6) merupakan perkalian dari 4
transposisi, maka (1 5 7 2 6) adalah suatu permutasi genap.
2) Karena (1 4 5)(3 2) = (1 5)(1 4)(3 2), yaitu permutasi (1 4 5)(3 2) sebagai
hasilkali 3 transposisi, maka permutasi (1 4 5)(3 2) adalah suatu permutasi ganjil.
3) Karena (7 3 2 6)(4 1 5) = (7 6)(7 2)(7 3)(4 5)(4 1), yaitu permutasi
(7 3 2 6)(4 1 5) sebagai hasilkali 5 transposisi, maka permutasi (7 3 2 6)(4 1 5)
adalah suatu permutasi ganjil.
4) Permutasi identitas (𝐼) adalah suatu permutasi genap, sebab
(1 2)(2 1) = (1)(2) = (1), sebagai perkalian dari 2 transposisi.
(1 2)(2 1)(1 3)(3 1) = (1)(2)(3) = (1), sebagai perkalian dari 4 transposisi
(2 1)(1 2)(1 3)(3 1)(1 4)(4 1) = (1), sebagai perkalian dari 6 transposisi

Memperhatikan definisi permutasi genap dan permutasi ganjil di atas dapat

disimpulkan sebagai berikut:
(i) Hasilkali dua permutasi genap adalah suatu permutasi genap
(ii) Hasilkali dua permutasi ganjil adalah suatu permutasi genap
(iii) Hasilkali permutasi genap dan permutasi ganjil adalah suatu permutasi ganjil
 Memperhatikan cara penulisan suatu permutasi dalam bentuk sikel, yaitu peta suatu
elemen delam suatu sikel adalah elemen berikutnya (yang mengikutinya), maka invers suatu
permutasi yang ditulis dalam sikel adalah suatu permutasi benttuk sikel yang ditulis urutan
sebaliknya.

Contoh 6.10 :
1) 𝑓 = (1 3 2 4 5), maka 𝑓 −1 = (5 4 2 3 1)
𝑓 ∘ 𝑓 −1 = (1 3 2 4 5) ∘ (5 4 2 3 1) = (1)(3)(2)(4)(5) = (1)
𝑓 −1 ∘ 𝑓 = (5 4 2 3 1) ∘ (1 3 2 4 5) = (1)
2) 𝑔 = (1 5 2)(2 6), maka 𝑔−1 = (6 2)(2 5 1)

Memperhatikan invers dari permutasi bentuk sikel tersebut, maka kita langsung dapat
menyimpulkan :
(i) Invers dari permutasi genap adalah suatu permutasi genap, dan
(ii) Invers dari permutasi ganjil adalah suatu permutasi ganjil pula.

Contoh 6.11 :
1) Jika permutasi 𝑎 = (3 2 4 5 1), maka 𝑎2 = (3 2 4 5 1)(3 2 4 5 1) = (1 2 5 3 4), 𝑎3 =
(3 2 4 5 1)(1 2 5 3 4) = (1 4 3 5 2)
𝑎4 = (1 5 4 2 3), 𝑎5 = (1). Ini berarti 𝑜(𝑎) = 5
2) Berapakah order dari 𝑏 = (1 2 4)(3 5) dan 𝑐 = (2 4 6 1)(5 3)?
𝑏 2 = (1 4 2), 𝑏 3 = (3 5), 𝑏 4 = (1 2 4), 𝑏 5 = (1 4 2)(3 5), 𝑏 6 = (1). Jadi 𝑜(𝑏) = 6
𝑐 6 = (1 4)(2 6), 𝑐 3 = (1 6 4 2)(5 3), 𝑐 4 = (1). Jadi, 𝑜(𝑐) = 4

Contoh terakhir ini merupakan ilustrasi dari teorema berikut ini.

Teorema 6.2 :
Order dari permutasi suatu himpunan berhingga yang ditulis sebagai hasil kali sikel-
sikel saling asing adalah KPK dari Panjang sikel-sikelnya.
Bukti :
Suatu sikel-𝑛 berorder 𝑛. Misalkan 𝑎 dan 𝑏 berturut-turut sikel-𝑚 dan sikel-𝑛 yang
saling asing. Misalkan 𝑘 = [𝑚, 𝑛], maka 𝑎𝑘 = 𝑏 𝑘 = 𝑒 dan (𝑎𝑏)𝑘 = 𝑎𝑘 𝑏 𝑘 = 𝑒, karena 𝑎 dan
𝑏 komutatif (sebab saling asing). Sehingga 𝑜(𝑎𝑏) ≤ 𝑘. Misalkan 𝑜(𝑎𝑏) = 𝑡, maka 𝑡 ≤ 𝑘 dan
𝑡 suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga (𝑎𝑏)𝑡 = 𝑒. Sedangkan (𝑎𝑏)𝑡 =
𝑎𝑡 𝑏 𝑡 = 𝑒, sehingga 𝑎𝑡 = 𝑏 𝑡 . Karena 𝑎 dan sikel-sikel yang saling asing, maka 𝑎𝑡 = 𝑏 𝑡 = 𝑒.
Karena 𝑜(𝑎) = 𝑚 dan 𝑜(𝑏) = 𝑛, maka 𝑚 ≤ 𝑡 dan 𝑛 ≤ 𝑡, sehingga [𝑚, 𝑛] ≤ 𝑡 atau 𝑘 ≤ 𝑡.
Selanjutnya, karena 𝑡 ≤ 𝑘, maka 𝑡 = 𝑘. Untuk pembuktian tiga sikel atau lebih sejalan.

Misalkan 𝑆𝑛 adalah grup simetri tingkat n, maka 𝑜(𝑆𝑛) = 𝑛!. Kita akan mencari
banyaknya permutasi genap dalam grup 𝑆𝑛 .
Misalkan Sn terdiri atas m permutasi genap, yaitu 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , … , 𝑓𝑚 dan 𝑘 permutasi ganjil,
yaitu 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , … , 𝑔𝑘 dengan 𝑚 + 𝑘 = 𝑛!. Ambil sebarang transposisi 𝑔 ∈ 𝑆𝑛 suatu grup,
maka
𝑔 ∘ 𝑓𝑖 ∈ 𝑆𝑛 untuk 0 < 𝑖 ≤ 𝑚 dan
𝑔 ∘ 𝑔𝑗 ∈ 𝑆𝑛 untuk 0 < 𝑗 ≤ 𝑘
Untuk semua 𝑖 dengan 0 < 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑔 ∘ 𝑓𝑖 adalah permutasi-permutasi ganjil dan untuk semua
𝑗 dengan 0 < 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑔 ∘ 𝑔𝑗 adalah permutasi-permutasi genap. Karena untuk setiap 𝑖 dengan
0 < 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑔 ∘ 𝑓𝑖 adalah permutasi-permutasi yang tidak sama, sebab apabila 𝑔 ∘ 𝑓𝑟 = 𝑔 ∘
𝑓𝑖 maka 𝑓𝑟 = 𝑓𝑖 dengan 𝑟 ≠ 𝑖. Demikian pula untuk setiap 𝑗 dengan 0 < 𝑗 ≤ 𝑘, 𝑔 ∘ 𝑔𝑗
adalah permutasi-permutasi yang tidak sama. Karena grup 𝑆𝑚 terdiri atas m permutasi genap
dan 𝑘 permutasi ganjil, dengan 𝑚 + 𝑘 = 𝑛! dan karena tak ada suatu permutasi yang
𝑛!
merupakan permutasi genap sekaligus ganjil, maka 𝑚 = 𝑘 = 2 .

Uraian tersebut merupakan pembuktian dari teorema berikut ini.

Teorema 6.3 :
Apabila 𝑆𝑛 adalah grup simetri tingkat n, maka banyaknya permutasi genap dalam 𝑆𝑛
𝑛!
adalah .
2
Contoh 6.12 :
Perhatikan grup simetri tingkat 3, yaitu :
𝑆3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.
Misalkan A3 adalah himpunan semua permutasi genap dalam 𝑆3 , maka 𝐴3 =
{(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Jika disusun tabel Cayley dari A3 maka tampak pada tabel 7.2.
Tampak pada tabel tersebut bahwa A3 dengan komposisi fungsi merupakan suatu grup.
Grup A3 ini disebut grup Alternating tingkat 3. Jelas bahwa A3 merupakan subgrup dari S3.

Tabel 7.2 Tabel Cayley dari A3.

∘ (1) (1 2 3) (1 3 2)
(1) (1) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)
(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3)
Contoh tersebut dapat diperluas untuk permutasi-permutasi genap dalam Sn. Misalkan
An adalah himpunan semua permutasi genap dalam Sn. Berikut ini ditunjukkan bahwa An
dengan komposisi fungsi merupakan suatu grup.

Karena hasil kali setiap dua permutasi genap merupakan suatu permutasi genap, maka
An memenuhi sifat tertutup terhadap komposisi fungsi. Invers dari setiap permutasi genap
adalah suatu permutasi genap pula, yaitu jika 𝑓 ∈ 𝐴𝑛, maka 𝑓 −1 ∈ 𝐴𝑛. Hal ini menunjukkan
bahwa An adalah subgrup dari Sn. Selanjutnya An disebut grup alternating tingkat n.

Uraian tersebut merupakan pembuktian dari teorema berikut ini.

Teorema 6.3:
Jika An adalah himpunan semua permutasi genap tingkat n, maka An dengan komposisi
𝑛!
fungsi adalah suatu grup dan 𝑜(𝐴𝑛 ) = 2
 DAFTAR PUSTAKA

Sukirman. (2016). TEORI GRUP (Aljabar Abstrak I). Yogyakarta: UNY Press
Santri, Diah Dwi. (2019). Grup Simetri dan Grup Siklik Ok. Diakses pada 06 Maret 2022, dari
https://www.scribd.com/document/401983978/8-Grup-Simetri-Dan-Grup-Siklik-Ok