SUBGRUP

KELOMPOK 2
SIKLIK
Kiki Wulandari
Rani Gebyta Sinuraya
4181111007
4181111016
Irna Dwi Rizki Ronahaya Pohan 4181111044
Inez Laurencia Simbolon 4182111043

KELAS PSPM D 2018

MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR
DEFENISI 1

2
TEOREMA 1
Misalkan grup dan
maka
merupakan subgroup terkecil
dari G yang memuat a.
 

3
DEFENISI 2
✗  
Grup H pada teorema 1 diatas disebut subgroup siklik
dengan generator a dan dinotasikan < a >

DEFENISI 3
Suatu grup G dikatakan grup siklik jika terdapat sehingga
<a>=G

4
 O N T
C

5
6
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa Z4 terhadap operasi penjumlahan
bilangan modulo 4 membentuk grup. Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan
generator
✗   0:
Unsur
✗  

…………………… ……………………………….
…………………… ……………………………….
 

{|n ∈ Z} = {0} Dengan demikian 0 bukan generator

7
✗
Unsur
  1:
✗  

……………………………………
…………………………………………
……………………………………
…………………………………………

 
< 1 >
Dengan demikian 1 merupakan generator Sehingga Z 4 merupakan grup siklik

8
✗  
CONTOH 2
U(8) = {1, 3, 5, 7} dengan operasi perkalian modulo
8 bukan merupakan grup siklik, karena
< 1 > = {1}
< 3 > = {3,1}
< 5 > = {5,1}
< 7 > = {7,1}

Dapat dilihat tidak ada sehingga U8 bukan grup siklik.

Dari defenisi order suatu unsur diperoleh order dari 3 atau .

9
CONTOH 3
 
U(10) = {1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10
merupakan grup, apakah U(10) merupakan grup siklik, jika
ya tentukan generator-generatornya.
Bukti :
Dengan menggunakan table cayley dapat ditunjukkan bahwa
U(10) merupakan grup siklik dengan menunjukkan bahwa
U(10) memiliki unsur sebagai generator.
<3>
<3>
Demikian juga untuk < 7 >
sehingga 3 dan 7 adalah generator untuk U10

10
DEFENISI 4  
Algoritma pembagian :
Jika
Contoh 1 :

Contoh 2 :
TEOREMA 2 : (KLASIFIKASI SUBGRUP DARI GRUP SIKLIK)

 Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik

Bukti :
Subgroup dari grup siklik merupakan siklik.
Misalkan G = < a > merupakan grup siklik, dan
Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.
G = < a >, karena maka elemen-elemen dalam H pasti berbentuk
Jika

12
 Kasus I :
Kasus II : maka H pasti memuat unsur-unsur yang
berbentuk
Andaikan m = bilangan bulat positif terkecil
Ambil sembarang
dengan algoritma pembagian maka dengan
sehingga

(karena…..)
Jadi

13
 Andaikan berarti ada bilangan bulat pisitif
Sehingga atau m bukan bilangan positif terkecil sehingga
Timbul kontradiksi yaitu antara (A) dan (B)
Jadi pengandaian salah, yang benar r = 0
Jika r = 0 ini berarti n = qm sehingga ,

Terbukti H subgrup siklik

14
 CONTOH 4 :
Pada contoh 4 diatas U(10) = {1,3, 7, 9} dengan operasi prkalian modulo
10 merupakan grup siklik dengan generator 3, dapat dipilih {1, 9}
merupakan subgrup dari U(10) dan {1, 9} merupakan subgrup siklik
dengan generator 9.
 
KLASIFIKASI DARI GRUP SIKLIK :
1. G grup siklik dengan banyaknya unsur tak terhingga maka pada G
berlaku sifat :
2. G grup siklik dengan banyaknya unsur berhingga (n unsur) maka
pada G berlaku sifat :

15
 
Bukti :
Dalam logika kita memiliki equivalensi :
Andaikan : , berarti ()
Misalkan
Bukti 1 :
Pernyataan diatas dapat
Misalkan m = bilangan bulat positif terkecil sehingga
Ambil sembarang , untuk suatu  
diartikan sebagai :

Menurut algoritma pembagian maka ,

Sehingga diperoleh
Jadi
Sehingga unsur-unsur G dapat ditulis: {}
Timbul kontradiksi bahwa G memiliki unsur-unsur tak berhingga jadi
pengandaian salah yang benar

16
Contoh 5 :

Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, dengan operasi penjumlahan modulo 6 Apakah Z 6 merupakan grup siklik ?, jika ya
tentukan generatornya. Dengan menggunakan tabel CayLey dapat ditunjukkan bahwa Z 6 merupakan grup siklik
dengan generator 1 dan 5.
Bukti:
Untuk bukti Z6 merupakan grup dapat dibuktikan sendiri.
5 merupakan generator dari grup Z6

Sehingga diperoleh
Untuk bukti 1 merupakan generator dapat dibuktikan sendiri.
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {50 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55} = <5>
Selanjutnya berdasarkan klasifikasi dari grup siklik bagian 2 dapat dilihat bahwa | Z 6 | = |<5>| = 6
Maka 56 = 512 = 518 hal ini dikarenakan 6|(12 – 6)
Juga 6|(18 – 12)

Akibat Teorema B-2:

Misalkan G grup, a  G dengan |a|= n jika ak = e maka n membagi habis k
Teorema 3
Misalkan G = < a > sebuah grup siklik berorder n, maka G = < ak > jika dan hanya
jika g c d (k, n) =1
Bukti:
Akan dibuktikan:
1. G = < a > sebuah grup siklik berorder n, jika g c d (k,n) = 1 maka G = < a k >
2. G = < a > sebuah grup siklik berorder n, jika G = < ak > maka g c d (k,n) = 1
Bukti 1:
Gcd (k,n) = 1 dengan menggunakan konsep kombinasi linier dapat ditulis bahwa ada
u, v  Z  1 = ku + nv
Ambil sembarang a  G maka a = a1 = aku + nv = aku anv = aku = (ak )u
Ini menunjukkan bahwa G = < ak >
Bukti 2: dibuktikan dengan kontraposisi

Andaikan gcd (k,n)  1 atau gcd (k,n) = d > 1

Ini berarti k = td dan n = sd
Perhatikan (ak)s = (atd)s = (asd)t = (an)t = e
Dengan |ak|≤ s < n
Ini menunjukkan bahwa ak bukan generator dari G atau G  < ak >

 CONTOH 6 :
pada contoh 5 merupakan grup siklik
dengan generator 5 atau
Dengan menggunakan akibat teorema 2 diperoleh
Contoh 7 :

U(10) = {1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10 merupakan

grup siklik dengan generator 3 atau U(10) = {30 , 31 , 33 , 32}
|<3>| = 4 maka menurut teorema di atas 3 3 merupakan generator karena
gcd (3,4) = 1, demikian juga 31 merupakan generator karena gcd (1,4)
= 1 tetapi 32 bukan merupakan generator karena gcd (2,4)  1

20
 AKIBAT TEOREMA 3
Suatu bilangan bulat merupakan generator dari Zn jika dan
hanya jika gcd (k,n) = 1
 
CONTOH 8 :
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dengan operasi penjumlahan
modulo 8, dapat ditunjukkan bahwa Z8 merupakan grup
siklik. Menurut akibat teorema 3 maka Z8 memiliki generator
1, 3, 5, dan 7

21
24
 CONTOH 9 :
Misalkan
Pembagi positif dari 30 adalah 1,2,3,4,5,6,10,15,30 sehingga menurut
teorema 4 < a > memiliki subgrup yaitu :
berorder 30
berorder 15
berorder 10
berorder 6
berorder 5
berorder 3
berorder 2
berorder 1
Secara umum, jika < a > memiliki order n dan k pembagi n maka <> adalah
subgrup tunggal yang berorder k.

25
AKIBAT TEOREMA 4
(SUBGRUP DARI Zn)

Untuk tiap-tiap pembagi positif k

dari n, himpunan <n/k> adalah
subgrup tunggal dari Zn yang
berorder k.
CONTOH 10 :
Tentukan subgrup dari Z30

Berdasarkan akibat teorema 4 diperoleh subgrup dari Z30

adalah ;
< 1 > = {0,1,2,…,29} order 30
< 1 > = {0,2,4…,28} order 15
< 3 > = {0,3,6,…,27} order 10
< 3 > = {0,5,10,15,20,25} order 6
< 6 > = {0,6,12,18,24} order 5
<10> = {0,10,20} order 3
<15> = {0,15} order 2
<30> = {0} order 1

27
Thanks!
Any questions?

28