Makalah Metode Numerik (Metode Simpson) Kelompok 6 Kelas 5a1 UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
Makalah Metode Numerik (Metode Simpson) Kelompok 6 Kelas 5a1 UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
Makalah Metode Numerik (Metode Simpson) Kelompok 6 Kelas 5a1 UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
Disusun Oleh :
Kelompok 6
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2022
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan
karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik
Metode Simpson 1/3 dan Metode Simpson 3/8 dengan harapan dapat bermanfaat
dalam menambah ilmu dan wawasan kita.
Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Metode
Numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan
yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai
sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga
ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta
membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai
sebagai data dan acuan.
Dalam penulisan Makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan-
kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan
keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat
dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari
semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah
ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat
memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka
diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi yang tinggi dan waktu
pengerjaan yang singkat. Adanya perkembangan teknologi informasi yang
sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara
baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif.
Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sains yang dapat diselesaikan
dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan
matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan
solusi sejati (exact solution).
Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan
metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil
kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode
numerik secara harfiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan
angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang
digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat
diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.
Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang
dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi
yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik
dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi
ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara
keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang
diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi
sejatinya.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, terdapat rumusan masalah diantaranya:
1. Apa pengertian Metode Simpson 1/3 dan 3/8?
1
2. Bagaimana algoritma dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8?
3. Bagaimana penyelesaian masalah dengan Metode Simpson?
4. Bagaimana aplikasi Metode Simpson dalam kehidupan sehari-hari?
C. Tujuan
Tujuan yang dapat dicapai sebagai berikut:
1. Memahami pengertian dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8.
2. Mengetahui algoritma dari Metode Simpson 1/3 dan 3/8.
3. Memahami langkah-langkah penyelesaian dengan Metode Simpson.
4. Memahami penerapan dari Metode Simpson dalam kehidupan sehari-hari.
2
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Metode Numerik
Metode numerik adalah satu-satunya metode alternatif yang ada dalam
upaya menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Metode yang lain dikenal
dengan sebutan metode analitik. Ada dua alasan umum mengapa pilihan
dijatuhkan kepada metode numerik. Alasan pertama metode ini memberikan
keefisienan dan keefektipan di dalam menyelesaikan perpersolan-persoalan
matematis dikarenakan berkembangnya perangkat keras dan lunak komputer
akhir-akhir ini. Alasan yang lain adalah metode numerik memungkinkan untuk
mengkaji parametrik dari persoalan dengan medan yang bersifat sembarang.
Alasan yang terakhir ini lebih bermakna ketidakmampuan metode analitik
untuk menyelesaikan persolan-persoalan matematis aplikasi yang kompleks.
Dalam banyak literatur analisa numerik diungkapkan bahwa di dalam metode
numerik keputusan menerima atau menolak suatu jawaban aproksimasi
berdasarkan kepada toleransi kedekatan yang disepakati. Toleransi yang dibuat
menyangkut kesepakatan kesalahan/galat yang ditimbulkan oleh rumus/formula
yang digunakan. Tentu semakin kecil kesalahan/galat yang ditimbulkan oleh
penggunaan suatu rumus/formula maka semakin baik hasil aproksimasi yang
dihasilkan.
B. Angka Signifikan/Bena
Angka signifikan (Bena atau angka penting) adalah bilangan yang diperoleh
dari hasil pengukuran yang terdiri dari angka-angka penting yang sudah pasti
(terbaca pada alat ukur) dan satu angka terakhir yang ditafsir atau diragukan.
Sedangkan angka eksak atau pasti adalah angka yang sudah pasti (tidak
diragukan nilainya), yang diperoleh dari kegiatan membilang (menghitung).
3
a. Semua angka yang bukan nol adalah angka penting.
Contoh:
1) 14569 = 5 angka penting
2) 2546 = 4 angka penting
3) 6,89 = 3 angka penting
b. Semua angka nol yang berada di antara angka bukan nol termasuk angka
penting.
Contoh:
1) 2,0067 = 5 angka penting
2) 7000,2003 = 9 angka penting
3) 0,005006 = 4 angka penting
c. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang
terakhir, tetapi terletak di depan tanda desimal adalah angka penting.
Contoh:
1) 2500, = 4 angka penting
2) 70000, = 5 angka penting
d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan
di belakang tanda desimal adalah angka penting.
Contoh:
1) 23,50000 = 7 angka penting
e. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan
tidak dengan tanda desimal adalah angka tidak penting.
Contoh:
1) 350000 = 2 angka penting
2) 141441000 = 6 angka penting
f. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama adalah
angka tidak penting.
Contoh:
1) 0,0000352 = 3 angka penting
2. Kaidah Pembulatan
4
a. Jika angka pertama setelah angka yang hendak dipertahankan adalah 4
atau lebih kecil, maka angka itu dan seluruh angka disebelah kanannya
ditiadakan.
Contoh:
1) 75,494 = 75,49 (angka 4 yang dicetak tebal ditiadakan)
2) 1,00839 = 1,008 (kedua angka yang dicetak tebal ditiadakan)
b. Jika angka pertama setelah angka yang akan dipertahankan adalah 5 atau
lebih besar, maka angka tersebut dan seluruh angka di bagian kanannya
ditiadakan. Angka terakhir yang dipertahankan bertambah satu.
3. Kaidah Penjumlahan dan Pengurangan
Apabila melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan, maka hasilnya
hanya boleh mengandung satu angka taksiran. Angka taksiran adalah angka
terakhir dari suatu angka penting.
Contoh:
Hasil dari 273,219 + 15,5 + 8,43!
Jawab:
Jumlahkan ketiga angka diatas seperti biasanya, diperoleh:
273,219 + 15,5 + 8,43 = 297,149
Selanjutnya bulatkan hasilnya hingga hanya terdapat satu angka taksiran.
Dari hasil penjumlahan angka 4 dan 9 ditiadakan, hasilnya menjadi 297,1
4. Kaidah Perkalian dan Pembagian
a. Pada operasi perkalian atau pembagian, hasil yang diperoleh hanya
boleh memiliki jumlah angka penting sebanyak bilangan yang angka
pentingnya paling sedikit.
Contoh:
Hitunglah operasi perkalian dari 0,6283 2,2!
Jawab:
Lakukan prosedur perkalian dengan cara biasa, diperoleh:
0,6283 2,2 = 1,38226
Kemudian bulatkan hasilnya hingga memiliki angka penting sebanyak
salah satu bilangan yang memiliki angka penting paling sedikit.
5
0,6283 = 4 angka penting
2,2 = 2 angka penting
Jadi yang diambil adalah 2 angka penting. Sehingga 1,38226 hasilnya
dibulatkan menjadi 1,4 (dua angka penting).
b. Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan
bilangan eksak atau pasti hanya boleh memiliki angka penting sebanyak
jumlah angka penting pada bilangan penting.
Contoh:
Hitung operasi perkalian dari 25 8,95!
Jawab:
25 8,95 = 223,75
Hasilnya dibulatkan menjadi 224 (tiga angka penting) agar sama dengan
banyak angka penting pada bilangan penting 8,95.
C. Deret Taylor
jari-jari r ). Maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu, f z dapat dinyatakan
sebagai:
f z a n z z 0 .......... z z 0 r
n
n 0
dengan a n
f n
z 0 ........n 0,1, 2,....
n!
atau dituliskan,
f ' z 0
f z f z 0 z z 0 f ' ' z 0 z z 0 2 .... z z 0 r
1! 2!
f z 0
n
f z 0 z z 0 n
n 1 n!
Contoh:
6
1
Tentukan deret Taylor dari f z di z 1
z
Jawab:
1
Fungsi f z tidak analitik di z 0 , daerah keanalitikan z 1 1.
z
1 1
f z 1 z 1 ......... z 1 1
n n
z 1 z 1 n 0
D. Deret Mc.Laurin
Deret Mc Laurin merupakan deret Taylor pada saat z0 0 , berbentuk:
f n 0 n
f z z ...... z r
n 0 n!
Teorema:
zn z2
1. e z 1 z ..., z
n 0 n! 2!
1n z3 z5
2. sin z z 2n1 z ..., z
n 0 2n 1! 3! 5!
1n z 2n 1 z 2 z 4 ...,
3. cos z z
n 0 2n ! 2! 4!
z 2 n 1
z3 z5
4. sinh z z ..., z
n 0 2 n 1! 3! 5!
z 2n z2 z4
5. cosh z 1 ..., z
n 0 2n ! 2! 4!
1
6. z n 1 z z 2 z 3 ..., z 1
1 z n 0
1
1 z n 1 z z 2 z 3 ..., z 1
n
7.
1 z n0
Contoh:
1
Perderetkan f z dalam deret Mc. Laurin.
1 z
Jawab:
7
1
Fungsi f z tidak analitik di z 1 , sehingga daerah keanalitikan
1 z
z 1.
1 1
f z z 1 z n .......... z 1.
n n
1 z 1 z n 0 n 0
E. Error/Galat
Data numerik adalah suatu aproksimasi (taksiran) yang sesusai sampai
dengan dua, tiga, atau lebih tempat desimal. Kadang metode yang
digunakanpun, adalah suatu aproksimasi. Oleh sebab itu galat dalam hasil
perhitungan mungkin disebabkan oleh galat data, atau galat di dalam pemakaian
suatu metode, atau kedua-duanya. Dalam bagian ini akan dibicarakan ide dasar
tentang galat.
1. Tipe Galat
a. Galat Inheren (Inherent Error).
Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu
metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar
adalah tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data
aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel
matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan
numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan
yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat
inheren dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar,
pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat
komputasi dengan ketelitan yang tinggi.
b. Galat Pemotongan (Truncation Error)
Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari
suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan.
Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan.
2. Jenis galat
a. Galat Mutlak
8
Galat mutlak adalah selisih numerik antara besar nilai sebenarnya
dengan nilai aproksimasinya. Jadi, bila x besar nilai yang sebenarnya,
dan x 1 nilai pendekatannya (aproksimasinya), maka galat mutlak
E x x1 x
b. Galat Relatif
Galat Relatif E R didefinisikan dengan
Galat
Galat relatif
nilai sebenarnya
E x
ER
x x
Kemudian persentase galat dihitung dari galat relatif yang diberikan
dalam bentuk
Galat sebenarnya
Persentase E R 100%
Nilai sebenarnya
PR 100 E R
c. Galat Global
Misal u f x1 , x2 ,..., xn adalah fungsi dengan variabel banyak
x1 1, 2,..., n , dan misalkan galat dari tiap x1 adalah x1 . Galat u
dari u diberikan dalam bentuk
u u f x1 x1 , x2 x2 ,..., xn xn
Perluasan ruas kanan dari galat global tersebut oleh deret Taylor
menghasilkan
n
f
u u f x1 , x 2 ,..., x n xi
i 1 xi
9
xi
Anggap bahwa galat dalam xi adalah kecil dan 1 . Kemudian
xi
semua suku setelah suku ke dua pada ruas kanan persamaan di atas
diabaikan. Persamaan menjadi
n
f f f f
u xi x1 x 2 ... x n
i 1 xi x1 x 2 x n
Bila diperhatikan formula (1.12) bentuknya sama dengan diferensial
total dari u . Formula untuk galat relatif adalah sebagai berikut:
u u x1 u x 2 u x n
ER . . ... .
u x1 u x 2 u x n u
d. Galat dalam Aproksimasi Deret
Galat yang ada dalam aproksimasi suatu deret dapat dievaluasi
oleh sisa sesudah suku-suku ke n . Pandang deret Taylor untuk f x
pada x a yang diberikan dalam bentuk
f x f a x a f ' a
x a 2 f ' ' a ...
x a n1 f n1 a Rn x
2! n 1!
Suku terakhir dalam deret di atas dikenal dengan sebutan suku sisa deret
Taylor yang didefinisikan sebagai berikut
Rn x
x a n
f n
a , a x
n!
Untuk suatu barisan yang konvergen, suku-suku sisa akan mendekati nol
untuk n .
Jadi, bila kita mengaproksimasi f x oleh n suku pertama dari deret
tersebut maka galat maksimum yang dibuat dalam aproksimasi tersebut
diberikan oleh suku sisa.
10
F. Interpolasi Polinom Newton-Gregory Maju
Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju.
Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju dikembangkan berdasarkan
pada tabel selisih maju.
1. Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju
Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju didasarkan pada
tabel selisih maju.
f x1 f x0
f x1 , x 2
x1 x0
f x0
h
f
0
1!h
f x 2 , x1 f x1 , x0
f x1 , x 2 , x0
x 2 x0
f x 2 f x1 f x1 f x0
x 2 x1 x1
x 2 x0
f 1 f 0
h
2h
f
2
2 0
f0
2 f 0
2!h 2
Bentuk Umum:
n f x0 n f 0
f x n ,..., x1 , x0
n!h n n!h n
dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat
ditulis sebagai:
11
p n x f x0 x x0 f x1 , x 2 x x 0 x x1 f x 2 , x1 , x0 ...
x x0 x x1 ...x xn1 f xn , xn1 ,..., x1 , x0
f 0 2 f 0
f 0 x x0 x x0 x x1 ... x x0 x x1
1!h 2!h 2
n f 0
... x x n1
n!h n
Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Gregory maju. Persamaan
di atas dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:
n f 0
p n ( x) p n 1 ( x) x x0 x x1 ... x x n 1
n!h n
Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai:
xi x0 ih , i 0,1, 2, ...., n
dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
x x0 sh ,s R
maka persamaan polinom Newton-Gregory maju dapat juga ditulis
dalam parameter s sebagai
sh s s 1h 2 2 s s 1s 2 ...s n 1h n n
p n ( x) f 0 f 0 f 0 ... f0
1!h 2!h 2 n!h n
yang menghasilkan
s s s 1 2 s s 1s 2 ...s n 1 n
p n ( x ) f 0 f 0 f 0 ... f0
1! 2! n!
2. Alogaritma Polinom Interpolasi Maju:
a. Definisikan fungsi f(x)
b. Tentukan selang f(x)
c. Tentukan jarak antar selang atau h
d. Tentukan derajat n
e. Buatlah tabel selisih maju
f. Tentukan s
x x0
s
h
12
s s s 1 2 ss 1s 2 3
g. Cari p n ( x) f 0 f 0 f0 f 0 ...
1! 2! 2!
ss 1s 2...s n 1 n
f0
n!
13
∇ ∇
= 𝑓(𝑥 ) + (𝑥 − 𝑥 ) !
+ (𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − ) !
+ … + (𝑥 −
∇
𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) … (𝑥 − 𝑥 )
!
∇ ∇ ∇
= 𝑓(𝑥 ) + 𝑠 !
+ 𝑠(𝑠 + 1) !
+ … + 𝑠(𝑠 + 1) … (𝑠 + 𝑛 − 1) !
𝑠+𝑘−1
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃 (𝑥) = ∇ 𝑓
𝑠
14
H. Integrasi Numerik
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi
oleh f x dan sumbu x pada selang tertutup a, b . Jika f x dihampiri
dengan polinomial Pn x , maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk,
b
l f x dx
a
b
Pn x dx
a
I. Kaidah Trapesium
Kaidah trapesium merupakan kaidah integrasi numerik yang didasarkan
pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium.
15
Gambar 2.3
Luas satu trapesium/pias
x1
h
f ( x)dx 2 [ f ( x ) f ( x )
x0
0 0
Gambar 2.4
Luas beberapa n buah pias
b x1 x2 xn
f x dx f x dx f x ... f x dx
a x0 x1 xn 1
h h h
f x0 f x1 f x1 f x2 ... f xn 1 f xn
2 2 2
h
f x0 2 f x1 2 f x2 ... 2 f xn 1 f xn
2
h n 1
2
f 0 2i 1
fi f n
Dengan fr f xr , r 0,1,2,..., n
1 3 ''
E h f t , 0t h
Galat: 12
16
h3 ''
Etot
12
f 0 f1'' f 2'' ... f n''1
Galat total:
h3 ''
n f t , atb
12
b
h n 1
f x
2
f 0 2 fi f n O h 2
a i 1
Algoritma Kaidah Trapesium
1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan
y f ( x)
17
BAB III
PEMBAHASAN
xx h 2
2h
x
f 0 f 0 2
f 0 dx
0 h 2! h
18
1 2 x3 x2 x 2h
f0 x x f 0 2 2 f 0
2h 6h 4h x 0
4h 2 8h 3 4h 2 2
2hf 0 f 0 2 f 0
2h 6h 4h
4h
2hf 0 2h f 0 h 2 f 0
3
h 2
2hf 0 2h f 0 f0
3
Mengingat
f 0 f1 f 0
Dan
2 f 0 f 1 f 0 f 2 f 1 f 1 f 0 f 2 2 f 1 f 0
Maka selanjutnya
h
I 2hf 0 2h f 1 f 0 f 2 2 f1 f 0
3
h 2h h
2 hf 0 2 hf 1 2hf 0 f2 f1 f 0
3 3 3
h 4h h
f0 f1 f 2
3 3 3
h
f 0 4 f1 f 2 .................. (1)
3
Persamaan (1) ini dinamakan kaidah Simpson 1/3. Sebutan “1/3” muncul
karena di dalam persamaan terdapat faktor “1/3”.
Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi a, b kita bagi menjadi
n 1 buah titik diskrit x0 , x1 , x2 ,..., xn dengan n genap, dan setiap tiga buah
19
b x2 x4 xn
h
f 0 4 f 1 f 2 h f 2 4 f 3 f 4 ... h f n 2 4 f n 1 f n
3 3 3
h
f 0 4 f 1 2 f 2 4 f 3 2 f 4 ... 2 f n 2 4 f n 1 f n
3
h n 1 n2
f 0 4 f i 2 f i f n
3 i 1, 3, 5 i 2, 4, 6 ..................... (2)
Persamaan ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola koefisien suku-
sukunya:
1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1
Namun penggunaan kaidah Simpson 1/3 mensyaratkan jumlah upselang (n)
harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak memiliki
persyaratan mengenai jumlah selang.
h
b n 1 n2
I f x dx f 0 4 f i 2 f i f n
a
3 i 1, 3, 5 i 2 , 4, 6
7. Menentukan nilai integrasi sejatinya
20
B. Kaidah Simpson 3/8
Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih
teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi
berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan
polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai
integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola
(Gambar). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah
titik data, misalkan titik-titk tersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h,
f(3h)).
x x h 2 x x h x 2h 3
3h
x
f 0 f 0 2
f0 3
f 0 dx
0 h 2 ! h 3! h
21
3h
x x 2 xh 2 x 3 3x 2 h 2 xh 2 3
f 0 f 0 2
f 0 3
f0
0 h 2 h 6 h
x2 x3 x2h 2 x4 3x 3 h x 2 h 2 3 3h
xf 0 f 0 2 2 f 0 3
f 0
2h 6h 4h 24h 18h 3 6h 3 0
9h 27 h 9h 2 81h 81h 9h 3
3hf 0 f 0 f 0 f 0
2 6 4 24 18 6
9h 27 h 2 27 h 3
3hf 0 f 0 f0 f0
2 12 72
Mengingat
f 0 f1 f 0
2 f 0 f 1 f 0 f 2 f 1 f 1 f 0 f 2 2 f 1 f 0
dan
3 f 0 2 f 1 2 f 0
f 2 f 1 f 2 2 f 1 f 0
f 3 f 2 f 2 f 1 f 2 2 f 1 f 0
f 3 2 f 2 f1 f 2 2 f1 f 0
f 3 3 f 2 3 f1 f 0
maka selanjutnya:
9h
3hf 0 f1 f 0 27 h f 2 2 f1 f 0 27 h f 3 3 f 2 3 f 1 f 0
2 12 72
9h 9h 27 h 54 h 27 h 27 h 81h 81h 27 h
3hf 0 f1 f0 f2 f1 f0 f3 f2 f1 f0
2 2 12 12 12 72 72 72 72
22
9h 27 h 27h 9h 54h 81h 27 h 81h 27 h
3h f0 f1 f2 f3
2 12 12 2 12 72 12 72 72
27 h 81h 81h 27 h
f0 f1 f2 f3
72 72 72 72
3h 9h 9h 3h
f0 f1 f2 f3
8 8 8 8
3h
f 0 3 f1 3 f 2 f 3 ................................. (2)
8
Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah
b
3h
f x dx
a
8
f 0 3 f1 3 f 2 2 f 3 3 f 4 3 f 5 2 f 6 3 f 7 3 f 8 2 f 9 ...
3h n 1 n 3
f0 3 fi 2 fi fn ................................. (3)
8 i 1 i 3, 6 , 9
i 3, 6 , 9
Persamaan (3) ini mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:
1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ... , 2, 3, 3, 1
Namun penggunaan kaidah Simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upselang n
harus kelipatan 3.
Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat
kaidah simpson 1/3 namun dalam parktek, kaidah simpson 1/3 lebih disukai
daripada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah
diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk
𝑛 kelipatan tiga , kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan
simpson 1/3.
23
ba
4. Menghitung lebar segmen yaitu h
n
5. Buat tabel kaidah Simpson 3/8
6. Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah Simpson 3/8
3h n 1 n 3
I f0 3 fi 2 fi fn
8 i 1 i 3, 6 , 9
i 3, 6 , 9
7. Menentukan nilai integrasi sejatinya
Contoh soal:
Hitunglah integral dari
1,125
1
0
1 x
dx ,
24
5. Tabel aturan simpson 1 dan dan aturan simpson 3
3 8
I xi f ( xi )
0 0 1
1 0.125 0.88889
2 0.250 0.80000
3 0.375 0.72727
4 0.500 0.66667
5 0.625 0.61538
6 0.750 0.57143
7 0.875 0.53333
8 1.000 0.50000
9 1.125 047059
a. Aturan simpson 1
3
h
1,125 n 1 n2
1
dx f 0 4 f i 2 f i f n
0
1 x 3 i 1,3,5 i 2, 4, 6
0.125 1 4(0.88889) 2(0.80000) 4(0.72727) 2(0.66667)
3 4(0.61538) 2(0.57143) 4(0.53333) 2(0.50000) 0.47059
1 3.555561.60000 2.90908 1.33334 2.46152 1.14286
0.04167
2.13332 1.00000 0.47059
0.04167(17.60627)
0.73365
b. Aturan simpson 3
8
3h
1,125 n 1 n 3
1
dx f0 3 fi 2 fi fn
0
1 x 8 n 1 i 3, 6 , 9
i 3, 6 , 9
25
3(0.125) 1 3(0.88889) 3(0.80000) 2(0.72727) 3(0.66667)
8 3(0.61538) 2(0.57143) 3(0.53333) 3(0.50000) 0.47059
0.375 1 2.66667 2.40000 1.45454 2.00001 1.84614 1.14286
8 1.59999 1.50000 0.47059
0.04687 (16.0808)
0.75371
= ln 2,125 + ln 1 = 0.75377 – 0
= 0.75377
26
BAB IV
STUDI KASUS
Kapal umumnya memiliki bentuk yang simetris antara lambung kanan dan lambung
kirinya sehingga hitungan luas dan volumenya biasanya cukup diterapkan untuk
setengah badan kapal. Pada penelitian ini karena hull kapal masih diasumsikan
sebagai elipsoid, tidak hanya bagian kiri dan kanan elipsoid
yang simetris, tapi juga depan dan belakangnya. Dengan demikian hitungan volume
diterapkan pada seperempat elipsoid terlebih dahulu dan setelahnya baru dikalikan
dengan empat untuk mendapatkan volume setengah elipsoid seperti desain hull
yang diterapkan. Hitungan volume pada penelitian dilakukan dengan dua cara, yaitu
dengan menghitung menggunakan rumus volume elipsoid dan dengan menerapkan
Aturan Pertama Simpson. Volume-volume yang dihasilkan dari hitungan
menggunakan aturan Simpson ini dibandingkan dengan volume hasil hitungan
menggunakan rumus elipsoid untuk melihat sejauh mana gridding yang dilakukan
memberikan besar volume yang mendekati volume setengah elipsoid yang
sebenarnya.
Untuk menghitung volume kapal irisan waterplane terhadap badan kapal dibagi
menjadi 7 lever atau 6 interval sehingga dalam menghitung volume aturan Simpson
yang diterapkankan adalah aturan pertama untuk volume. Hasil perbandingan
volume kapal dengan menerapkan Aturan Pertama Simpson untuk volume dapat
dilihat pada tabel dibawah ini :
27
Dengan demikian volume kapal yang dihasilkan dari proses gridding dengan
menerapkan Aturan Pertama Simpson tidak hanya bergantung pada proses gridding
menjadi lever, tapi juga sangat ditentukan oleh proses gridding di setiap waterplane-
nya. Dengan demikian proses ini harus diperhatikan saat diterapkan untuk
menghitung volume kapal yang akan didesain dalam rangka desain hull USV di
perairan tenang.
28
BAB V
KESIMPULAN
h n 1 n2
I tot f 0 4 f i 2 f i f n
3 i 1, 3, 5 i 2 , 4, 6
b. Untuk Simpson 3/8 gunakan rumus
3h n 1 n 3
I tot f0 3 fi 2 fi fn
8 i 1 i 3, 6 , 9
i 3, 6 , 9
7. Menentukan nilai integrasi sejatinya
29
DAFTAR PUSTAKA
Davis, M. E., 2001, Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers,
Inc., John Wiley Sons.
Li, C., Chen, A., & Ye, J. (2011). Numerical approaches to fractional calculus and
fractional ordinary differential equation. Journal of Computational Physics, 230(9), 3352-
3368.
Erma, E., Alwi, W., & Nur, N. (2017). SOLUSI INTEGRASI NUMERIK
DENGAN METODE SIMPSON (SIMPSON’S RULE) PADA TRANSFORMASI
HANKEL. Jurnal MSA (Matematika dan Statistika serta Aplikasinya), 5(1), 81-81.
Anggur, F., Warsito, A., Johannes, A. Z., & Louk, A. C. (2019). Kajian Komputasi
Numerik Model Integratif pada Difraksi Celah Lingkaran Menggunakan Metode
Pendekatan Simpson 1/3. Jurnal Fisika: Fisika Sains dan Aplikasinya, 4(2), 131-
141.
30