Alokasi waktu:

TRANSFORMASI GEOMETRI(ROTASI) 30 menit

Indikator Pencapaian Kompetensi:

3.5.4 Menentukan bayangan titik A (x, y) yang dirotasi dengan pusat O Nama Anggota Kelompok:
(0,0) dan sudut putar 𝜃 menggunakan matriks
1. ......................................................
3.5.5 Menentukan bayangan titik A (x, y) yang dirotasi dengan pusat P 2. ......................................................
(a,b) dan sudut putar 𝜃 menggunakan matriks 3. ......................................................
3.5.6 Menentukan bayangan kurva yang dirotasi dengan pusat O (0,0) 4. ......................................................
dan sudut putar 𝜃 menggunakan matriks 5. ......................................................
3.5.7 Menentukan bayangan kurva yang dirotasi dengan pusat P (a,b) dan
sudut putar 𝜃 menggunakan matriks Petunjuk:

4.5.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rotasi Diskusikan dengan kelompokmu. Cari sumber
belajar dari berbagai sumber. Kemudian tulis
jawaban pada tempat yang sudah disediakan
Tujuan Pembelajaran :
Setelah mengikuti diskusi kelompok peserta didik dapat:
1. Menemukan konsep rotasi dengan pusat O(0,0) dan
sudut 𝜃 menggunakan matriks
2. Menemukan konsep rotasi dengan pusat P (a,b) dan
sudut 𝜃 menggunakan matriks.
3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rotasi

Ayo Mengingat Kembali

1. Apa yang kalian ketahui tentang Rotasi?
………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………….......
2. Coba kalian amati lingkungan sekitar! Objek apa yang bergerak berputar?
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….......
…………………………………………………………………………………………………….......
…………………………………………………………………………………………………….......
 Menemukan Konsep Rotasi

Ayo Mengamati

Amati rotasi objek pada gambar berikut:

Pada gambar terdapat tiga objek (segitiga) yang diputar dengan sudut putaran tertentu. Hasil putaran akan
bergantung pada pusat putaran dan besar sudut putaran. Gambar A adalah putaran objek dengan pusat
putaran berada pada objek itu sendiri. Gambar B adalah putaran objek dengan pusat berada di
ujung/pinggir objek itu sendiri dan Gambar C menunjukkan putaran objek dengan pusat putaran berada di
luar objek itu. Namun, bentuk dan ukuran objek tidak berubah setelah mengalami rotasi.

Jadi sifat Rotasi adalah……

A. Rotasi dengan Pusat O(0,0)

Ayo Mengamati

Amatilah gambar berikut! Terdapat titik 𝐴(𝑥, 𝑦) yang memiliki jarak

dengan titik pusat 𝑂(0,0) sepanjang 𝑟 dan
besar sudut yang terbentuk dengan sumbu
𝑋sebesar 𝛼
Misalkan:
𝑂𝐴 = 𝑟
Maka,
𝑥 = 𝑟. cos 𝛼
𝑦 = 𝑟. sin 𝛼
 Ayo Menalar

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) diputar sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam terhadap titik 𝑂(0,0)
dan diperoleh titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)
Sementara itu, titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) diputar sejauh 𝜃
radian, diperoleh:
𝑥 ′ = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜃)
𝑥 ′ = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜃 − sin 𝛼 sin 𝜃)
𝑥 ′ = 𝑟 cos 𝛼 cos 𝜃 − 𝑟 sin 𝛼 sin 𝜃
𝑥 ′ = … . . .∙ 𝑟 cos 𝛼 − … … ∙ 𝑟 sin 𝛼
𝑥′ = … … ∙ … − … … ∙ …
dan
𝑦′ = 𝑟 sin(𝛼 + 𝜃)
𝑦 ′ = 𝑟(sin 𝛼 cos 𝜃 + cos 𝛼 sin 𝜃)
𝑦 ′ = 𝑟 sin 𝛼 cos 𝜃 + 𝑟 cos 𝛼 sin 𝜃
𝑦 ′ = … … ∙ 𝑟 sin 𝛼 + … … ∙ 𝑟 cos 𝛼
𝑦 ′ = … . . .∙ 𝑟 cos 𝛼 + … … ∙ 𝑟 sin 𝛼
𝑦′ = … … ∙ … + … … ∙ …
Secara pemetaan ditulis:
𝑅(𝑂,𝜃)
𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)
𝑅(𝑂,𝜃)
𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′ (… … ∙ … − … … ∙ … , … … ∙ … + … … ∙ … )
Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis:
𝑥′ …… …… 𝑥
( ) = ( … … … … ) (𝑦 )
𝑦′

Ayo Menyimpulkan

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) diputar sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam terhadap titik 𝑂(0,0) dan diperoleh titik
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) merupakan hasil perkalian matriks dengan persamaan matriks, sebagai berikut:
𝑥′ …… …… …
( ) = ( … … … … )( … )
𝑦′
B. Rotasi dengan Pusat P(a,b)

Ayo Mengamati

Amatilah gambar berikut!

𝑌 Terdapat titik 𝐴(𝑥, 𝑦) yang memiliki jarak
dengan titik pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) sepanjang 𝑟 dan
besar sudut yang terbentuk dengan sumbu
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑏 sebesar 𝛼

𝑃(𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) Misalkan:
𝛼 𝑃𝐴 = 𝑟
(𝑥 − 𝑎) Maka,
(𝑥 − 𝑎) = 𝑟 cos 𝛼
𝑋
𝑂 (𝑦 − 𝑏) = 𝑟 sin 𝛼

Ayo Menalar

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) diputar sebesar 𝜃 radian berlawanan arah jarum jam terhadap titik
P(𝑎, 𝑏) diperoleh bayangan 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)
Sementara itu, titik𝐴′(𝑥′, 𝑦′) diputar sejauh
′
𝑌 𝐴′(𝑥 , 𝑦′) 𝜃 radian, diperoleh:
𝑥 ′ − 𝑎 = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜃)
𝑥 ′ − 𝑎 = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜃 − sin 𝛼 sin 𝜃)
𝑥 ′ − 𝑎 = 𝑟 cos 𝛼 cos 𝜃 − 𝑟 sin 𝛼 sin 𝜃
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑥 ′ − 𝑎 = … . . .∙ 𝑟 cos 𝛼 − … … ∙ 𝑟 sin 𝛼
𝜃 𝑥′ − 𝑎 = … … ∙ … … − … … ∙ … …
𝛼 dan
𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 ′ − 𝑏 = 𝑟 sin(𝛼 + 𝜃)
𝑦 ′ − 𝑏 = 𝑟 (sin 𝛼 cos 𝜃 + cos 𝛼 sin 𝜃)
𝑋
𝑂 𝑦 ′ − 𝑏 = 𝑟 sin 𝛼 cos 𝜃 + 𝑟 cos 𝛼 sin 𝜃
𝑦 ′ − 𝑏 = … . . .∙ 𝑟 sin 𝛼 + … . . .∙ 𝑟 cos 𝛼
𝑦 ′ − 𝑏 = … . . .∙ 𝑟 cos 𝛼 + … . . .∙ 𝑟 sin 𝛼
𝑦′ − 𝑏 = … … ∙ … … + … … ∙ … …

Sehingga diperoleh :
𝑥′ = … … ∙ … … − … … ∙ … … + 𝑎
𝑦′ = … … ∙ … … + … … ∙ … … + 𝑏
Secara pemetaan ditulis:
𝑅(𝑃,𝜃)
𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(… … ∙ … … − … … ∙ … … + 𝑎 , … … ∙ … … + … … ∙ … … + 𝑏)
Dengan persamaan matriks, pemetaan di atas ditulis :
𝑥′ …… …… 𝑥 − … 𝑎
( ) = ( … … … … ) (𝑦 − … ) + ( )
𝑦′ 𝑏

Ayo Menyimpulkan

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) diputar sebesar 𝜃 radian berlawanan arah jarum jam terhadap titik (𝑎, 𝑏) diperoleh bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) merupakan hasil perkalian matriks dengan persamaan matriks, sebagai berikut:

𝑥′ …… …… ……… …
( ) = ( …… …… )( ……… ) + ( …)
𝑦′

Ayo Mencoba

1. Tentukan bayangan titik A( 5, 6) yang dirotasikan terhadap

a. Pusat O(0, 0) sebesar 1800 b. Pusat P(2, 3)sebesar −900
Penyelesaian :
0
a. Matriks rotasi terhadap pusat O(0,0) sebesar 1800 adalah(cos 180 . . . . ) = (. . . ....
)
.... .... .... ....
Sehingga bayangan titik A(5,6) yaitu
𝑥′ ... .... 5 𝑥′ … × 5 + ⋯× 6 𝑥′ …
( )=( )( ) ⇔ ( ) = ( ) ⇔ ( ) = (… )
𝑦′ .... .... 6 𝑦′ … × …+ ⋯× … 𝑦′
Jadi bayangan titik A adalah A’ (….. , …..)

0 …. ...
b. Matriks rotasi terhadap pusat P(2, 3)sebesar −900 adalah(cos (− 90 ) . . . .) = (… . … .)
…. ….
Sehingga bayangan titik A(5,6) yaitu
𝑥′ ... .... 5− … …
( )=( )( ) + (… )
𝑦′ .... .... 6 − …
𝑥′ … ×…+ …× … …
( )=( ) + (…)
𝑦′ … ×…+ …× …
𝑥′ … …
( ) = (…) + (…)
𝑦′
Jadi bayangan titik A adalah A’ (….. , …..)

2. Tentukan bayangan kurva 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 yang dirotasikan terhadap

a. Pusat O(0, 0) sebesar 1800 b. Pusat P(2, 3)sebesar -900
Penyelesaian:
a. Misalkan titik P(x,y) memenuhi kurva sedemikian sehingga
 𝑅[𝑂,1800 ]
𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′(𝑥′, 𝑦′)
𝑥′ ... .... 𝑥 𝑥′ …
( )=( ) (𝑦) ⇔ ( ) = (…)
𝑦′ .... .... 𝑦′
Dengan kesamaan matriks didapatkan
𝑥′ = ⋯ → 𝑥 = ⋯
𝑦′ = ⋯ → 𝑦 = ⋯
Subtitusi x dan y ke persamaan kurva
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
( … ) = ( … )2 − 4( … ) + 3
… … = … … . .2 − 4 … … . +3
… … = ⋯ . … … … … … … … ….
Jadi bayangan kurva y = x2 - 4x + 3 oleh rotasi terhadap pusat O(0, 0) sebesar 1800 adalah
....................
b. Misalkan titik Q(x,y) memenuhi kurva sedemikian sehingga
𝑅[𝑃,− 900 ]
𝑄(𝑥, 𝑦) → 𝑄′(𝑥′, 𝑦′)
𝑥′ ... .... 𝑥− … …
( )=( ) (𝑦 − …) + (…)
𝑦′ .... ....
𝑥′ … × …………..+ …× ………… …
( )=( ) + (…)
𝑦′ … × ….……....+ …× ………….
𝑥′ … ……….…
( ) = (… … … … … . ) + ( … )
𝑦′
𝑥′ …… ….
( ) = ( … … . . …)
𝑦′
Dengan kesamaan matriks didapatkan
𝑥 ′ = … … . .. → 𝑥 = … … …
𝑦′ = … … … → 𝑦 = … … …
Subtitusi x dan y kepersamaan kurva
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
( … … … ) = ( … … … )2 − 4( … … . . . ) + 3
… … … = … … … … … … … … … … … … ..
… … … = … … … … … … … … … … … … ..
… … … = … … … … … … … … … … … … ..
… … … = … … … … … … … … … … … … ..
Jadi bayangan kurva y = x2 - 4x + 3 oleh rotasi terhadap pusat P(2, 3) sebesar -900 adalah
.................................