TRIGONOMETRI I

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut
segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang
seperti astronomi, geografi, teori musik, elektronik, ekonomi, medical, teknik,
dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut ketinggian
tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus
menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam
kehidupan sehari-hari.

A. Ukuran Sudut
Ada dua satuan yang digunakan untuk mengukur sudut yaitu derajat dan
radian.
1. Ukuran Derajat
Besar sudut satu putaran dalam derajat adalah 360°. Satu derajat
1
diartikan sebagai putaran mengelilingi satu titik tertentu. Ukuran
360
sudut yang lebih kecil daripada derajat adalah menit (′ ) dan (").

1 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 = 360° 1° = 60′

1
𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛 = 1° 1′ = 60"
360

2. Ukuran Radian
Satu radian radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang
panjangnya sama dengan jari-jari.
Dari aturan perbandingan lingkaran
diperoleh:

𝐵𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴𝑂𝐵

=
𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 360°
𝑟 1 𝑟𝑎𝑑
= 360°
2𝜋𝑟
2𝜋 𝑟 𝑟𝑎𝑑 = 𝑟 360°
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°
180° 180°
1 𝑟𝑎𝑑 = = = 57,3°
𝜋 3,14

Trigonometri I 9
 Hubungan antar radian dan derajat adalah sebagai berikut:

180° 180°
1 𝑟𝑎𝑑 = = = 57,3°
𝜋 3,14
𝜋 3,14
1° = 180 = = 0,017 𝑟𝑎𝑑
180

Untuk lebih jelas, ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Nyatakan ukuran derajat berikut dalam ukuran radian
a. 50° b. 30°
Penyelesaian:
𝜋 𝜋
a. 1° = 180 𝑟𝑎𝑑 b. 30° = 30° × 180 𝑟𝑎𝑑
𝜋 1
50° = 50° × 180 𝑟𝑎𝑑 = 6 𝜋 𝑟𝑎𝑑
5
= 18 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Atau
Atau 30° = 30° × 0,017 𝑟𝑎𝑑
50° = 50° × 0,017 𝑟𝑎𝑑 = 0,51 𝑟𝑎𝑑
= 0,85 𝑟𝑎𝑑

2. Nyatakan ukuran radian berikut dalam ukuran derajat

2
a. 5 𝑟𝑎𝑑 b. 𝜋 𝑟𝑎𝑑
3
Penyelesaian:
180° 180°
a. 1 𝑟𝑎𝑑 = = 57,3° b. 1 𝑟𝑎𝑑 =
𝜋 𝜋
2 2 180°
5 𝑟𝑎𝑑 = 5 × 57,3° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 3 𝜋 ×
3 𝜋
= 286,5° = 120°

Trigonometri I 10
 Latihan 1

Jawablah dengan jelas dan benar!

1. Nyatakan ukuran derajat berikut dalam ukuran radian
a. 15° f. 150°
b. 36° g. 210°
c. 60° h. 240°
d. 75° i. 315°
e. 135° j. 330°

2. Nyatakan ukuran radian berikut dalam ukuran derajat

1 3
a. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 f. 1 8 𝜋 𝑟𝑎𝑑
5
2 5
b. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 g. 1 6 𝜋 𝑟𝑎𝑑
3
5 11
c. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 h. 𝜋 𝑟𝑎𝑑
3 12
4 6
d. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 i. 𝜋 𝑟𝑎𝑑
5 7
3 7
e. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 j. 𝜋 𝑟𝑎𝑑
8 4

Trigonometri I 11
B. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan segitiga siku-siku ABC dibawah ini. Dengan titik sudut siku-siku
di C.

Panjang sisi dihadapan sudut A (sisi depan) dinamakan a

Panjang sisi dihadapan sudut B (sisi samping) dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut C (sisi miring) dinamakan c
Yang dimaksud nilai perbandingan dalam trigonometri adalah enam nilai
perbandingan sisi sisi segitiga siku-siku, yaitu:

𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑐 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

𝑆𝑖𝑛 𝛼 = = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = =
𝑐 𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
𝑏 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑐 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝐶𝑜𝑠 𝛼 = = 𝑆𝑒𝑐 𝛼 = 𝑏 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔
𝑐 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑏 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔
𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 𝑏 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = =
𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

Ingat, pada segitiga ABC berlaku rumus Pythagoras, yaitu 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2

Contoh:
1. Tentukan perbandingan trigonometri dari sudut 𝛼 pada gambar berikut
Penyelesaian:
Diketahui: Sisi depan = 4
Sisi miring = 5

Sisi samping = √52 − 42

= √25 − 16
= √9 = 3

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 4 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 5

𝑆𝑖𝑛 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 = 5 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = =4
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 3 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 5
𝐶𝑜𝑠 𝛼 = =5 𝑆𝑒𝑐 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 = 3
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 4 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 3
𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 = 3 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = =4
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

Trigonometri I 12
 2. Jika diketahui salah satu sisi dan sudut lancip segitiga siku-siku,
tentukan panjang 𝑥
Penyelesaian:
Diketahui: Sisi depan = 𝑥 𝛼 = 30°
Sisi miring = 15
Jadi perbandingan yang digunakan
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
sin 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑥
Sin 30° = ↔ 𝑥 = 15 × sin 30°
15
↔ 𝑥 = 15 × 0,5
↔ 𝑥 = 7,5
3. Tentukan besar 𝛼 pada segitiga berikut
Penyelesaian:
Diketahui: Sisi depan = 22
Sisi samping = 31
Jadi perbandingan yang digunakan
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
tan 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔
22 22
tan α = ↔ 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (31)
31
↔ 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (0,709)
↔ 𝛼 = 35,36°

Trigonometri I 13
 Latihan 2

Jawablah dengan jelas dan benar!

1. Tentukan perbandingan trigonometri dari sudut 𝛼 pada gambar berikut

2. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q. Jika PQ = 21 cm dan PR = 29 cm,

Hitunglah nilai dari sin 𝛼 , cos 𝛼, tan 𝛼 , 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼, sec 𝛼 , dan cotan 𝛼, dengan 𝛼
adalah sudut antara PQ dan PR!
3. Pada ∆𝐾𝐿𝑀 siku-siku di L dengan panjang sisi LM = 4 m. Jika besar sudut
KLM = 22°. Hitunglah panjang KM
4. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut!
Hitunglah
a. Panjang sisi AB dan BC
b. Luas segitiga ABC

5. Sebuah tangga yang disandarkan ke dinding. Jika panjang tangga 2,5 m dan
membentuk sudut 72° dengan lantai, tentukan jarak antara ujung tangga
bagian atas dengan lantai.
6. Tentukan panjang sisi dalam variabel x jika diketahui
𝑥
a. cos 36° = 48
𝑥
b. sin 18° = 3,6
47
c. tan 24° = 𝑥

Trigonometri I 14
C. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Istimewa
Ada beberapa sudut istimewa yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat
ditentikan tanpa bantuan tabel atau kalkulator. Seperti nilai-nilai sin, cos,
dan tan untuk sudut-sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.
1. Perbandingan untuk sudut 𝜶 = 𝟎° dan 𝜶 = 𝟗𝟎°
Jika 𝛼 = 0°, maka segitiga ABC menjadi sebuah
garis horizontal karena sisi AB dan AC berimpitan,
sehingga
0 𝑐 0
sin 0° = 𝑐 = 0 cos 0° = 𝑐 = 1 tan 0° = 𝑐 = 0

Jika 𝛼 = 90°, maka segitiga ABC menjadi sebuah

garis vertikal karena sisi AB dan CB berimpitan,
sehingga
𝑐 0 𝑐
sin 90° = 𝑐 = 1 cos 90° = 𝑐 = 0 tan 90° = 0 = ∞

2. Perbandingan untuk sudut 𝜶 = 𝟑𝟎°, 𝜶 = 𝟒𝟓°, 𝐝𝐚𝐧 𝜶 = 𝟔𝟎°

Untuk mengetahui nilai trigonometri pada sudut istimewa (sudut 30°, 45°,
dan 60° ) mari kita lakukan kegiatan berikut ini.

Kegiatan 1

Menentukan nilai dari sudut istimewa (sudut 30°, 45°, dan 60° )
Pada segitiga siku-siku berlaku hubungan:
𝑦
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 cos 𝛼 = 𝑟
𝑥 𝑦
sin 𝛼 = tan 𝛼 = 𝑥
𝑟
Permasalahan:
1. Perhatikan segitiga ABC disamping!
Tentukan nilai sin 45°, cos 45°, tan 45° , sec 45°,
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 45°, dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 45° !
Jawab:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Trigonometri I 15
 2. Perhatikan segitiga ABC disamping!
a. Tentukan nilai sin 30°, cos 30°, tan 30° , sec 30°,
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 30°, dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 30° !
Jawab:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
b. Tentukan nilai sin 60°, cos 60°, tan 60° , sec 60°,
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 60°, dan 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 30° !
Jawab:
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
Kesimpulan:
Isikan hasil kerja Anda pada tabel berikut!

𝛼 30° 45° 60°

sin 𝛼

cos 𝛼

tan 𝛼

sec 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼

Trigonometri I 16
 Contoh:
1. Tentukan nilai dari
a. 6 sin 60° + 8 cos 30° − 2 tan 60°
b. 12 sin 30°. cos 30°. tan 45°
𝑠𝑖𝑛2 60°− 𝑐𝑜𝑠2 60°
c. 2 cos 30°. tan 60°

Pemyelesaian:
a. 6 sin 60° + 8 cos 30° − 2 tan 60°
1 1
= 6 (2 √3) + 8 (2 √3) − 2√3
= 3√3 + 4√3 − 2√3
= 5√3

b. 12 sin 30°. cos 30°. tan 45°

1 1
= 12 (2) . (2 √3) . 1
12
= √3
4
= 3√3

1 2 1 2
𝑠𝑖𝑛2 60°− 𝑐𝑜𝑠2 60° ( √3) −( )
c. = 2
1
2
2 cos 30°. tan 60° 2 ( √3)(√3)
2
1 1
. 3–
4 4
=
√3 √3
3 1
−
4 4
= 3
2
4 1
= =6
3

2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan besar sudut C adalah 60°. Jika
panjang AC = 12 cm, maka tentukan panjang:
a. AB b. BC
Penyelesaian:
𝐴𝐵 𝐵𝐶
a. sin 60° = 𝐴𝐶 b. cos 60° = 𝐴𝐶
√3 𝐴𝐵 1 𝐵𝐶
= =
2 12 2 12
√3
AB = 12 × BC = 6 𝑐𝑚
2
AB = 6√3 cm

Trigonometri I 17
 Tabel 2.1 Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa
∝ sin cos tan cosec sec cotan
𝟎° 0 1 0 ~ 1 ~
1 1 1 2
𝟑𝟎° √3 √3 2 √3 √3
2 2 3 3
1 1
𝟒𝟓° √2 √2 1 √2 √2 1
2 2
1 1 2 1
𝟔𝟎° √3 √3 √3 2 √3
2 2 3 3
𝟗𝟎° 1 0 ~ 1 ~ 0
1 1 2 1
𝟏𝟐𝟎° √3 − −√3 √3 −2 − √3
2 2 3 3
1 1
𝟏𝟑𝟓° √2 − √2 −1 √2 −√2 −1
2 2
1 1 1 2
𝟏𝟓𝟎° − √3 − √3 2 − √3 −√3
2 2 3 3
𝟏𝟖𝟎° 0 −1 0 ~ −1 ~
1 1 1 2
𝟐𝟏𝟎° − − √3 √3 −2 − √3 √3
2 2 3 3
1 1
𝟐𝟐𝟓° − √2 − √2 1 −√2 −√2 1
2 2
1 1 2 1
𝟐𝟒𝟎° − √3 − √3 − √3 −2 √3
2 2 3 3
𝟐𝟕𝟎° −1 0 ~ −1 ~ 0
1 1 2 1
𝟑𝟎𝟎° − √3 −√3 − √3 2 − √3
2 2 3 3
1 1
𝟑𝟏𝟓° − √2 √2 −1 −√2 √2 −1
2 2
1 1 1 2
𝟑𝟑𝟎° − √3 − √3 −2 √3 −√3
2 2 3 3
𝟑𝟔𝟎° 0 1 0 ~ 1 ~

Ket: ~ artinya tidak terdefinisi

Trigonometri I 18
 Latihan 3

Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar!

1. 2 × sin 45° × cos 60°
2. sin 60° × cos 30° + cos 60° × sin 30°
3. sin 45° × cos 60° − sin 60° × cos 45°
4. 2(tan 45° )2 + (cos 30° ) − (sin 60° )2
cos 45°
5. sec 30°+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 30°
sin 30°+tan 45°−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 60°
6.
sec 30°+cos 60°+cot 45°
2(cos 60°)2 +4(sec 30°)2 −(tan 45°)2
7. (sin 30°)2 +(cos 30°)2

8. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan besar sudut A adalah 45°. Jika
panjang AC = 8 cm, maka panjang AB = .........cm
9. Seseorang melihat puncak menara dari suatu tempat dengan sudut elevasi
60°. Jika diketahui tinggi menara adalah 90 m maka jarak orang tersebut ke
kaki menara adalah.............. (tinggi orang diabaikan).
10. Onie menaikkan layang-layang disebuah lapangan. Jika sudut yang dibentuk
oleh benang layang-layang dengan arah mendatar adalah 45°, sedangkan
panjang benang tadi 120 m maka tentukanlah tinggi layang-layang tersebut
adalah........... (tinggi Onie diabaikan)

Trigonometri I 19
D. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Berelasi
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah melihat nilai perbandingan
trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang besarnya kurang dari 90°
(sudut lancip). Selanjutnya akan dibahas nilai perbandingan trigonometri
untuk sudut-sudut istimewa yang besarnya lebih dari 90°.
Dalam satu putaran yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat kuadran
sebagai berikut:
Kuadran I : 0° ≤ 𝛼 ≤ 90°
Kuadran II : 90° < 𝛼 ≤ 180°
Kuadran III : 180° < 𝛼 ≤ 270°
Kuadran IV : 270° < 𝛼 ≤ 360°
Tanda-tanda fungsi trigonometri pada setiap kuadran adalah sebagai
berikut:
Menggambarkan aturan CAST singkatan
dari Cos, All, Sin Tan. Pada kuadtan I
semua (All) bertanda +, pada kuadran II
hanya Sin yang bertanda +, pada kuadran
III hanya Tan yang bertanda +,
sedangkan pada kuadran IV hanya Cos
yang bertanda +,

Menentukan perbandingan trigonometri

1. Sudut 𝜶 di Kuadran I
Kuadran I terletak di interval 0° ≤ 𝛼 ≤
90°. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1
satuan dengan ujung titik P (x,y)
diletakkan pada koordinat cartesius.
Sehingga papa segitiga siku-siku OPR
berlaku:
𝑦 1
sin 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑦
1
𝑥 1
cos 𝛼 = 1 sec 𝛼 = 𝑥
𝑦 𝑥
tan 𝛼 = 𝑥 cotan 𝛼 = 𝑦
Dari siku-siku OPR diperoleh:
sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 cosec(90° − 𝛼) = sec 𝛼
cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼 sec (90° − 𝛼) = cosec 𝛼
tan(90° − 𝛼) = cotan 𝛼 cotan(90° − 𝛼) = tan 𝛼

Trigonometri I 20
 2. Sudut 𝜶 di Kuadran II
Kuadran II terletak di interval 90° < 𝛼 ≤
180°. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1
satuan dengan ujung titik P (x,y)
diletakkan pada koordinat cartesius.
Sehingga papa segitiga siku-siku OPR
berlaku:
𝑦 1
sin 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑦
1
𝑥 1
cos 𝛼 = 1 sec 𝛼 = 𝑥
𝑦 𝑥
tan 𝛼 = 𝑥 cotan 𝛼 = 𝑦
Terdapat pula titik 𝑇(−𝑦, 𝑥) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-
siku OTS sehingga berlaku:

sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (180° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

cos(180° − 𝛼) = −cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 (180° − 𝛼) = −𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan(180° − 𝛼) = −tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(180° − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼

3. Sudut 𝜶 di Kuadran III

Kuadran III terletak di interval 180° <
𝛼 ≤ 270°. Sebuah lingkaran dengan jari-
jari 1 satuan dengan ujung titik P (x,y)
diletakkan pada koordinat cartesius.
Sehingga papa segitiga siku-siku OPR
berlaku:
𝑦 1
sin 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑦
1
𝑥 1
cos 𝛼 = 1 sec 𝛼 = 𝑥
𝑦 𝑥
tan 𝛼 = 𝑥 cotan 𝛼 = 𝑦
Terdapat pula titik 𝑇(−𝑦, −𝑥) pada lingkaran yang membentuk segitiga
siku-siku OTW sehingga berlaku:

sin(180° + 𝛼) = −sin 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (180° + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

cos(180° + 𝛼) = −cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 (180° + 𝛼) = −𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan(180° + 𝛼) = tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(180° + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼

Trigonometri I 21
 4. Sudut 𝜶 di Kuadran IV
Kuadran IV terletak di interval 270° <
𝛼 ≤ 360°. Sebuah lingkaran dengan jari-
jari 1 satuan dengan ujung titik P (x,y)
diletakkan pada koordinat cartesius.
Sehingga papa segitiga siku-siku OPR
berlaku:
𝑦 1
sin 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑦
1
𝑥 1
cos 𝛼 = 1 sec 𝛼 = 𝑥
𝑦 𝑥
tan 𝛼 = 𝑥 cotan 𝛼 = 𝑦
Terdapat pula titik 𝑇(𝑦, −𝑥) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-
siku OTW sehingga berlaku:

sin(360° − 𝛼) = − sin 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (360° − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

cos(360° − 𝛼) = cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 (360° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan(360° − 𝛼) = −tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(360° − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼

Dari uraian diatas dapat digambarkan sebagai berikut:

Untuk lebih jelas akan diuraikan pada contoh soal berikut:

1. Tentukan nilai dari
a. Sin 145°
b. Cos 225°

Trigonometri I 22
 c. Tan 300°
Penyelesaian:
a. Sin 145° = sin (180° − 35°) c. Tan 300° = tan (360° − 60°)
= sin 35° = − tan 60°
b. Cos 225° = cos (180° + 45°) = −√3
= − cos 45°
1
= − 2 √2

5. Sudut (−𝜶)

sin(−𝛼) = − sin 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (−𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼

cos(−𝛼) = cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 (−𝛼) = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan(−𝛼) = −tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(−𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼

Contoh:
Nilai dari
1. Sin (−45°)
2. Cos (−225°)
5𝜋
3. Tan (− )
6
Penyelesaian:
1
1. Sin (−45°) = − Sin 45° = − 2 √2
1
2. Cos (−225°) = Cos 225° = cos (180° + 45°) = − cos 45° = − 2 √2
5𝜋 5𝜋 5𝜋 𝜋 1
3. Tan (− ) = − tan = − tan (𝜋 − ) = − tan = − 3 √3
6 6 6 6

6. Sudut lebih dari 𝟑𝟔𝟎°

Karena sudut satu putaran 360°, maka sudut yang lebih dari 360° dapat
diselesaikan dengan rumus berikut:

Sin (𝑘. 360° + 𝛼) = sin 𝛼 Cosec (𝑘. 360° + 𝛼) = cosec 𝛼

Cos (𝑘. 360° + 𝛼) = cos 𝛼 Sec (𝑘. 360° + 𝛼) = sec 𝛼
Tan (𝑘. 360° + 𝛼) = tan 𝛼 Cotan (𝑘. 360° + 𝛼) = cotan 𝛼
∗dengan k merupakan bilangan bulat
Contoh:
Nilai dari:
a. Cos 510° b. Cosec 590°

Trigonometri I 23
 Penyelesaian:
a. Cos 510° = cos (1. 360° + 150°) = − cos 30°
1
= cos 150° = − 2 √3
= cos (180° − 30°)

b. Cosec 590° = cosec (1. 360° + 230°)

= cosec 230°
= cosec (180° + 50°)
= − cosec 50°

Latihan 4

Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar!

1. Nyatakan dalam sudut lancip
a. Sin 127° e. Cos 215°
b. Cos 318° f. Tan 184°
c. Tan 210° g. Cot 278°
d. Sin 130° h. Sin 700°
2. Tentukan nilai dari tiap bentuk berikut
a. Cos (−42°)
b. Sin (−145°)
c. Tan (−150°)
d. Cos (−220°)
3. Nilai dari
a. Sec 300° + cot 210° = ⋯
b. Sin 210° − cos 210° − sin 120° = ⋯
c. cos (−60°) + sin (−300°) = ⋯
4. Nilai cos 1020° = ⋯
5. Cos 330°. sin (−210°) − tan (−315°). Cot (−330°) = ⋯
tan 205°− tan 115°
6. Diketahui nilai tan 25° = p, maka nilai =⋯
tan 245°+ tan 335°

Trigonometri I 24
 E. Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang
menghubungkan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan
trigonometri yang lainnya. Adapun persamaan trigonometri yang digunakan
untuk membuktikan kebenaran identitas-identitas trigonometri yang lain
adalah sebagai berikut:

a. 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 e. tan 𝛼 . 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 1

↔ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 1
↔ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = tan 𝛼
↔ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 sin 𝛼
f. tan 𝛼 =
b. sin 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 cos 𝛼
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
↔ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = sin 𝛼
1 g. 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
cos 𝛼
c. cos 𝛼 . sec 𝛼 = 1 h. cotan 𝛼 = sin 𝛼

↔ 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
i. 1 + 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼
2
cos 𝛼
d. 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝛼

Contoh:
Buktikan bahwa:
1. cos 𝑥 (1 − tan 𝑥) = cos 𝑥 − sin 𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥
2. = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
tan 𝑥
3. (sin 𝑥 + cos 𝑥)2 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 1
4. 3 + 5 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 8 − 5 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

Penyelesaian:
1. cos 𝑥 (1 − tan 𝑥) = cos 𝑥 − sin 𝑥
Ruas kiri: cos 𝑥 (1 − tan 𝑥) = cos 𝑥 − cos 𝑥 tan 𝑥
sin 𝑥
= cos 𝑥 − cos 𝑥 (cos 𝑥)
= cos 𝑥 − sin 𝑥 (Ruas kanan)

sin 𝑥 cos 𝑥
2. = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
tan 𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥
Ruas kiri: = sin 𝑥
tan 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
= sin 𝑥 cos 𝑥 . sin 𝑥
= cos 𝑥 . cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 (Ruas kanan)

Trigonometri I 25
 3. (sin 𝑥 + cos 𝑥)2 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 1
Ruas kiri: (sin 𝑥 + cos 𝑥)2 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥
= 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥
= 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
=1 (Ruas kanan)

4. 3 + 5 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 8 − 5 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
Ruas kiri: 3 + 5 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 3 + 5(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼)
= 3 + 5 − 5𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
= 8 − 5𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 (Ruas kanan)

Latihan 5

Buktikanlah setiap identitas trigonometri berikut ini!

1. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥) = 1
2. 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 (1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝐴) = 1
3. (cos 𝑥 + sin 𝑥)2 = 1 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥
4. (tan 𝐴 + sin 𝐴)(1 − cos 𝐴) = 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 tan 𝐴
cos 𝐴
5. tan 𝐴 + 1+sin 𝐴 = sec 𝐴
cos 𝑥 1
6. − cos 𝑥 sin 𝑥 = − tan 𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥 1+cos 𝑥 2
7. + = sin 𝑥
1+cos 𝑥 sin 𝑥
2 sin 𝑥 cos 𝑥 2
8. + = 4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
cot 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
sec 𝑥 1
9. = cos 𝑥−sin 𝑥 , cos 𝑥 ≠ 0
1−tan 𝑥
3 3
10. 1−sin 𝑥 − 1+sin 𝑥 = 6 sec 𝑥 tan 𝑥

Trigonometri I 26
 F. Fungsi Trigonomometri
Untuk memahami fungsi trigonometri secara umum, terlebih dahulu kita
akan membahas grafik fungsi trinonometri dasar yaitu grafik fungsi y = sin
x, y = cos x, y = tan x. Grafik fungsi digambarkan dalam tata koordinat
Cartesius yang menggunakan dua sumbu, yaitu sumbu- X sebagai nilai sudut,
dan sumbu- Y sebagai nilai fungsinya.
Terdapat tiga komponen penting dalam grafik fungsi trigonometri, yaitu:
1. Nilai maksimum fungsi adalah nilai ordinat tertinggi yang dicapai suatu
fungsi.
2. Nilai minimum fungsi adalah nilai ordinat terendah yang dicapai suatu
fungsi.
3. Periode fungsi yaitu besarnya interval sudut yang diperlukan untuk
melakukan satu putaran fungsi.
Untuk lebih jelas perhatikan grafik fungsi berikut:
a. Grafik Fungsi Sinus
Fungsi sinus dasar adalah fungsi y = sin x, grafiknya sebagai berikut:

Nilai maksimum fungsi adalah 1

Nilai minimum fungsi adalah −1
Periode fungsi adalah 360°, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan
360°
b. Grafik Fungsi Kosinus
Fungsi kosinus dasar adalah fungsi y = cos x, grafiknya sebagai berikut:

Trigonometri I 27
 Nilai maksimum fungsi adalah 1
Nilai minimum fungsi adalah −1
Periode fungsi adalah 360°, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan
360°
c. Grafik Fungsi Tangen
Fungsi tangen dasar adalah fungsi y = tan x, grafiknya sebagai berikut:

Nilai maksimum fungsi adalah ∞

Nilai minimum fungsi adalah ∞
Periode fungsi adalah 180°, artinya fungsi akan berulang setiap kelipatan
180°
Fungsi trigonometri sederhana yaitu fungsi trigonometri dengan bentuk
umum:
𝑦 = 𝑘. sin 𝑎(𝑥 ± 𝜃)
𝑦 = 𝑘. cos 𝑎(𝑥 ± 𝜃)
𝑦 = 𝑘. tan 𝑎(𝑥 ± 𝜃)

Aturan dalam perubahan tersebut adalah sebagai berikut:

 Fungsi 𝑦 = 𝑘. sin 𝑎(𝑥 ± 𝜃) memiliki
Nilai maksimum = 𝑘 (1) = 𝑘
Nilai minimum = 𝑘 (−1) = −𝑘
360°
Periode = 𝑎
 Fungsi 𝑦 = 𝑘. cos 𝑎(𝑥 ± 𝜃) memiliki
Nilai maksimum = 𝑘 (1) = 𝑘
Nilai minimum = 𝑘 (−1) = −𝑘
360°
Periode = 𝑎
 Fungsi 𝑦 = 𝑘. tan 𝑎(𝑥 ± 𝜃) memiliki
Nilai maksimum = 𝑘 (∞) = ∞
Nilai minimum = 𝑘 (−∞) = −∞
360°
Periode = 𝑎

Trigonometri I 28
 Contoh:
1. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut:
a. 𝑦 = 5 sin(3𝑥 − 60°)
b. 𝑦 = 3 cos(2𝑥 + 45°)
c. 𝑦 = 6 tan 2𝑥
Penyelesaian:
a. 𝑦 = 5 sin(3𝑥 − 60°) c. 𝑦 = 6 tan 2𝑥
Nilai maksimum = 5(1) = 5 Nilai maksimum = 3(∞) = ∞
Nilai minimum = 5(−1) = −5 Nilai minimum = 3(−∞) = −∞
360° 360° 180° 180°
Periode = = = 120° Periode = = = 90°
𝑎 3 𝑎 2

b. 𝑦 = 3 cos(2𝑥 + 45°)
Nilai maksimum = 3(1) = 3
Nilai minimum = 3(−1) = −3
360° 360°
Periode = = = 180°
𝑎 2

2. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada

gambar disamping dalam fungsi sinus
Penyelesaian:
Bentuk umum 𝑦 = 𝑘. sin 𝑎(𝑥 ± 𝜃)
Maka, k = 3
Periode = 2(90°) = 180°
360°
Sehingga 𝑎 = 180° = 2
𝜃 = 75° − 90° = −15°
Jadi, 𝑦 = 3. sin 2(𝑥 − (−15°))
𝑦 = 3. sin(2𝑥 + 30°)

3. Tentukanlah persamaan dari fungsi pada

gambar disamping dalam fungsi cosinus
Penyelesaian:
Bentuk umum 𝑦 = 𝑘. cos 𝑎(𝑥 ± 𝜃)
Maka, k = 2
Periode = 4(30°) = 120°
360°
Sehingga 𝑎 = 120° = 3
𝜃 = 20°
Jadi, 𝑦 = 3. cos 3(𝑥 − 20°)
𝑦 = 3. cos 3𝑥 − 60°)

Trigonometri I 29
 Latihan 6

Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut!

1. Nilai maksimum dari fungsi 𝑦 = 2 sin 𝑥 + 5 adalah........
a. −3 c. 3 e. 7
b. 2 d. 5

2. Nilai minimum dari fungsi 𝑓(𝑥) = 6 − 2 cos 𝑥 adalah........

a. 8 c. −2 e. −8
b. 4 d. −4

3. Periode fungsi trigonometri 𝑦 = 4 sin 3𝑥 adalah.............

a. 60° c. 240° e. 1080°
b. 120° d. 540°

4. Periode fungsi trigonometri 𝑦 = 3 cos 2𝑥 + 4 adalah.............

a. 60° c. 124° e. 184°
b. 120° d. 180°

5. Persamaan grafik untuk gambar berikut adalah...........

a. 𝑦 = 2 cos(2𝑥 + 30)
b. 𝑦 = 2 cos(2𝑥 − 30)
c. 𝑦 = 2 cos(3𝑥 + 30)
d. 𝑦 = 2 cos(3𝑥 − 30)
e. 𝑦 = 2 cos(2𝑥 − 15)

6. Persamaan grafik untuk gambar berikut adalah...........

a. 𝑦 = 3 sin 3(𝑥 − 30)
b. 𝑦 = 3 sin 3(𝑥 + 30)
c. 𝑦 = 3 sin 3(𝑥 − 60)
d. 𝑦 = 3 sin 3(𝑥 + 60)
e. 𝑦 = 3 sin 3(𝑥 − 15)

Trigonometri I 30
7. Gambarlah grafik fungsi 𝑦 = sin(90° − 𝑥) untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° dengan
melengkapi tabel berikut!
X 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
90 − 𝑥

𝑦 =Sin
(90 − 𝑥)

Kemudian tandailah titik bantu dan gambarlah grafiknya pada bidang

koordinat cartesius berikut

Trigonometri I 31
 G. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang didalamnya memuat
perbandingan trigonometri. Persamaan trigonometri ini dibagi dua bentuk,
yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Menyelesaikan
persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka, berarti menentukan
nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan
tersebut menjadi benar.
Terdapat tiga macam rumus yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan
trigonometri bentuk ini yaitu:
1. Jika sin 𝑥 = sin 𝛼, maka 𝑥 = 𝛼 + 𝑘. 360° atau 𝑥 = (180° − 𝛼) + 𝑘. 360°
2. Jika cos 𝑥 = cos 𝛼, maka 𝑥 = 𝛼 + 𝑘. 360° atau 𝑥 = −𝛼 + 𝑘. 360°
3. Jika tan 𝑥 = tan 𝛼, maka 𝑥 = 𝛼 + 𝑘. 180°
dimana k adalah bilangan bulat.
Contoh:
1
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin 2𝑥 = 2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤
360°
Penyelesaian:
1
sin 2𝑥 = 2 √3
sin 2𝑥 = sin 60°
Maka, 2𝑥 = 60° + 𝑘. 360°
𝑥 = 30° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 30° + (0)180° = 30°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 30° + (1)180° = 210°
Atau
2𝑥 = (180° − 60°) + 𝑘. 360°
2𝑥 = 120° + 𝑘. 180°
𝑥 = 60° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 60° + (0)180° = 60°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 60° + (1)180° = 240°
Jadi, HP = {30°, 60°, 210°, 240°}

1
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos 2𝑥 = 2 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Penyelesaian:
1
cos 2𝑥 = 2
cos 2𝑥 = cos 60°
Maka, 2𝑥 = 60° + 𝑘. 360°

Trigonometri I 32
 𝑥 = 30° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 30° + (0)180° = 30°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 30° + (1)180° = 210°
Atau
2𝑥 = −60° + 𝑘. 360°
𝑥 = −30° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = −30° + (0)180° = −30° (tidak memenuhi)
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = −30° + (1)180° = 150°
Untuk 𝑘 = 2 maka 𝑥 = −30° + (2)180° = 330°
Jadi, HP = {30°, 150°, 210°, 330°}
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tan (𝑥 + 10°) = tan 50° untuk
0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Penyelesaian:
tan(𝑥 + 10°) = tan 50°
Maka, 𝑥 + 10° = 50° + 𝑘. 180°
𝑥 = 40° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 40° + (0)180° = 40°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 40° + (1)180° = 220°
Jadi, HP = {40°, 220°}
1
4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos (2𝑥 + 60°) = − 2 untuk 0° ≤
𝑥 ≤ 360°
Penyelesaian:
1
cos (2𝑥 + 60°) = − 2
cos (2𝑥 + 60°) = cos 120°
Maka, 2𝑥 + 60° = 120° + 𝑘. 360°
2𝑥 = 60° + 𝑘. 360°
𝑥 = 30° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 30° + (0)180° = 30°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 30° + (1)180° = 210°
Atau
2𝑥 + 60° = −120° + 𝑘. 360°
2𝑥 = −180° + 𝑘. 360°
𝑥 = −90° + 𝑘. 180°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = −90° + (0)180° = −90° (tidak memenuhi)
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = −90° + (1)180° = 90°
Untuk 𝑘 = 2 maka 𝑥 = −90° + (2)180° = 270°
Jadi, HP = {30°, 90°, 210°, 270°}

Trigonometri I 33
 5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3 tan(2x − 30°) − √3 = 0 untuk
0° ≤ 𝑥 ≤ 180°
Penyelesaian:
3 tan(2x − 30°) − √3 = 0
3 tan(2x − 30°) = √3
1
tan(2x − 30°) = 3 √3
tan(2x − 30°) = tan 30
Maka, 2𝑥 − 30° = 30° + 𝑘. 180°
2𝑥 = 60° + 𝑘. 180°
𝑥 = 30° + 𝑘. 90°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 30° + (0)90° = 30°
Untuk 𝑘 = 1 maka 𝑥 = 30° + (1)90° = 120°
Jadi, HP = {30°, 120°}

Latihan 7

Jawablah dengan jelas dan benar!

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
1
1. sin 2𝑥 = 2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
1
2. cos 2𝑥 − 2 √3 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
3. tan 2𝑥 − √3 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
1
4. cos 3𝑥 = − 2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 180°
5. 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + cos 𝑥 − 1 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
1
6. sin(2𝑥 − 30) = 2 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
1
7. cos(𝑥 − 30) = 2 √2 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
8. 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 5 sin 𝑥 + 2 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
9. 2 cos (2𝑥 − 60°) = 1 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 180°
1
10. sin(𝑥 − 45°) = 2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Trigonometri I 34