LKPD Kelas 9
LKPD Kelas 9
LKPD Kelas 9
Kompetensi Inti:
3.1. Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat.
3.2. Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk
menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya.
3.3. Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual.
3.4. Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa
fungsi kuadrat
Materi:
A. Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 bilangan real dan a ≠ 0.
1. Akar-akar Persamaan Kuadrat
a. Faktorisasi
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎∙𝑐 =𝑏
Contoh:
Faktorkanlah 5𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
(5𝑥−5)(5𝑥−2)
5
=0
(𝑥 − 1)(5𝑥 − 2) = 0
2
𝑥 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 5
𝑏 𝑐 𝑏 2
√
(𝑥 ± ( )) = − + ( )
2𝑎 𝑎 2𝑎
5) Lalu selesaikan!
Contoh :
Faktorkanlah 5𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
7 2
𝑥2 − 𝑥 = −
5 5
7 7 2 2 7 2
𝑥 2 − 5 𝑥 + (− 10) = − 5 + (10)
7 2 −40+49
(𝑥 − 10) = 100
7 9
(𝑥 − 10) = √100
7 3
𝑥 = 10 ± 10
7 3 7 3
𝑥1 = 10 + 10 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = 10 − 10
10 4 2
𝑥1 = = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = =
10 10 5
c. Rumus ABC
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 =
2𝑎
Faktorkanlah 5𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
−(−7) ± √(−7)2 − 4.5.2
𝑥1,2 =
2.5
7 ± √49 − 40
𝑥1,2 =
10
7 ± √9
𝑥1,2 =
10
7±3
𝑥1,2 =
10
2. Jenis-Jenis Akar
Berdasarkan nilai deskriminan (𝑏 2 − 4𝑎𝑐)
a) D > 0, maka memiliki kedua akar real (nyata)
- D = k2, maka kedua akarnya rasional, k adalah bilangan bulat.
- D ≠ k2, maka kedua akarnya irasional, k adalah bilangan bulat.
b) D = 0, memiliki kedua akar real dan kembar.
c) D < 0, memiliki akar imajiner (tidak nyata)
Contoh Soal :
Jawab:
𝑥 2 − 𝑛𝑥 − 𝑛 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 = 1, 𝑏 = −𝑛, 𝑐 = −𝑛
D>0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0
𝑛2 − 4𝑛 > 0
𝑛(𝑛 + 4) > 0
𝑛 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 = −4
√𝐷
g) 𝑥1 − 𝑥2 =
𝑎
h) 𝑥1 2 − 𝑥2 2 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥2 )
i) (𝑥1 − 𝑥2 )2 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 4𝑥1 ∙ 𝑥2
j) 𝑥1 2 𝑥2 + 𝑥1 𝑥2 2 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 )
Contoh Soal:
1 1
a) 𝑥1
+𝑥
2
b) 𝑥1 + 𝑥2 2
2
Jawab:
−𝑏 −(−6)
𝑥1 + 𝑥2 = = =2
𝑎 3
𝑐 2
𝑥1 ∙ 𝑥2 = =
𝑎 3
1 1 𝑥1 +𝑥2 2
a) 𝑥1
+𝑥 = 𝑥1 ∙𝑥2
= 2/3 = 3
2
Syarat :
i. D>0
ii. 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 1
ii. 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 0
...................................≥ 0 ......(2)
iii. 𝑥1 ∙ 𝑥2 > 0
..................................≥ 0 ......(3)
Solusi dari 3 persamaan (i), (ii), dan (iii) merupakan irisan ketiga garis bilangan tersebut.
b b 2 4ac
2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP: ,
2a 4a
3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas
Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah
Contoh 1:
a. y x 2 2 x 8 b. y 2 x 2 x 6
Jawab : a. y x 2 2 x 8
0 x2 2x 8
= ….
….
b b 2 4ac
- Titik Puncak : , = ….
2a 4a
- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …
x … … … … … …
y … … … … … …
- Gambar kurvanya :
b. y 2 x 2 x 6
0 2 x 2 x 6
= ….
….
b b 2 4ac
- Titik Puncak : , = ….
2 a 4 a
- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …
- Beberapa titik bantu :
x … … … … … …
y … … … … … …
LATIHAN SOAL
b. y x 2 6 x 9 d. y 4 x 2 12 x
b. y x 2 10 x 25 f. y 4 x 2 8x 5
c. y 3x 2 12 x g. y 8 x 2 x 2
d. y 4 x 2 16 h. y 9 x 2
Sb X
a<0 a<0
D>0 D=0 a<0
D<0
Definit negatif
Contoh Soal :
Carilah nilai atau batasan nilai k agar grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − (2𝑘 + 2)𝑥 + (5𝑘 + 1), agar
kurva parabola:
1. menyinggung sumbu X
2. memotong sumbu X
3. tidak memotong sumbu X
Jawab:
1. Menyinggung sumbu X
Syarat D =0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0
(−2𝑘 + 2)2 − 4.1. (5𝑘 + 1) = 0
4𝑘 2 − 12𝑘 = 0
4𝑘(𝑘 − 3) = 0
𝑘 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘 = 3
Jadi nilai k yang memenuhi adalah k = 0 atau k = 3
2. Memotong sumbu X
D ... 0
Harus mencari nilai a, b, dan c dengan cara mensubtitusi ketiga titik ke bentuk persamaannya.
b. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya melalui sebuah titik tertentu A(x1,y1) dan berpuncak
di P(xP,yP) ditentukan oleh
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑃 ) + 𝑦𝑃
Titik tertentu A(x1,y1) berguna untuk mencari nilai a dengan cara mensubtitusi titik itu ke
persamaannya.
c. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya memotong sumbu X di titik A(xA,0) dan B(xB,0), dan
melalui sebuah titik lain, misalnya C(xC,yC).
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝐴 )(𝑥 − 𝑥𝐵 )
y
6
5
4
3
2
1
1 2 3 x
Jawab:
Grafik disamping memotong sumbu X di (1,0), dan (3,0) melalui (0,6), fungsi kuadratnya ditentukan
oleh
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝐴 )(𝑥 − 𝑥𝐵 )
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
Grafik tersebut melalui (0,6)
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
6 = 𝑎(0 − 1)(0 − 3)
6 = 3𝑎
2=𝑎
Jadi persamaan grafik fungsi kuadrat yang dimaksudkan adalah
𝑦 = 2(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑦 = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 6
Contoh 2:
Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (1, 4) dan memiliki titik lain (-1,0)
Jawab:
Gunakan rumus
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑃 ) + 𝑦𝑃
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1) + 4
Melalui titik (-1,0)
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1) + 4
… = 𝑎(… − 1) + 4
…=⋯
𝑎=⋯
Jadi fungsi kuadratnya adalah ....
Contoh 3:
Susunlah persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,4), B(1,2), C(2,4)
Jawab:
Grafik itu melalui tiga titik yang berbeda sehingga persamaan fungsinya adalah
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a. Grafik melalui titik A(0,4)
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
… = ⋯𝑎 + ⋯𝑏 + 𝑐
..... (1)
b. Grafik melalui titik B(1,2)
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
… = ⋯𝑎 + ⋯𝑏 + 𝑐
..... (2)
c. Grafik melalui titik C(2,4)
4. MASALAH-MASALAH OPTIMUM
Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka
tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai
optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada
b 2 4ac
koordinat titik puncak, yaitu
4a
Jawab : K = 2(p + l)
L = p.l
L=…
b 2 4ac
L maks = = ….
4a
Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum
Substitusi x = … ke z = xy sehingga :
z=…
b 2 4ac
z maks = =…
4a
1. Diberikan T(x) = mx +n. Jika T(1) = 8 dan T(2) =4, maka tentukan:
a. Nilai m dan n
b. Rumus fungsinya
c. Nilai T(3)
d. Pembuat nol T fungsi
2. Tentukan batasan nilai n agar grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = (𝑛 − 1)𝑥 2 + 2(𝑛 + 3)𝑥 + 1
a. Selalu memotong sumbu X di dua titik
b. Menyinggung sumbu X
c. Tidak memotong sumbu X
3. Temukan interval nilai a agar grafik fungsi 𝑓(𝑥) = (𝑘 − 1)𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 + 4 selalu berada dibawah
sumbu X untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
4. Gambarlah grafik fungsi f yang ditentukan oleh 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 dengan domain
{𝑥|−3 ≤ 𝑥 ≤ 3, 𝑥 ∈ 𝑅}. Kemudian dari grafik tentukan:
a. Persamaan sumbu simetri parabola tersebut
b. Nilai maksimum /minimum fungsi f,
c. Pembuat nol fungsi f,
d. Titik balik fungsi f
e. Range fungsi f
5. Sebuah fungsi kuadrat f(x) = (x –a)2 + b mencapai nilai ekstrim 5 untuk x = 2. Tentukan nilai a adan b
6. Fungsi kuadrat dengan formula g(x) = ax2 + (a + 1)x – 5 mempunyai nilai ekstrim untuk x = 1.
Hitunglah:
a. Nilai a
b. Nilai ekstrim grafik fungsi tersebut
7. Diberikan f(x) = ax2 – 2ax + a + 1 dan f(2) < 0. Hitunglah:
a. Nilai ekstrim dan jenis ekstrim dari grafik tersebut,
b. Pembuat nol fungsi tersebut.
8. Tentukan nilai a agar x2 + 2x + a selalu bernilai positif!
9. Tentukan nilai t agar (t – 1)x2 + 2tx + t untuk semua nilai x yang tidak positif.
10.Tentukan batasan nilai n yang menyebabkan parabola y = (n – 2)x2 – 2nx + n + 6 seluruhnya berada
dibawah sumbu X!
11.Tentukan rumus fungsi kuadrat untuk setiap sketsa grafik berikut
y y
O 1 2 3 x O 1 3 x
-1
-2 -2
-3
a.
3 3
(1,3)
2 2
1 1
1 2 3
x -3 -2 -1 x
b.
y
4
-1 1 2 3
x
-1
c.
12. Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4)!
13. Persamaan parabola berpuncak di titik P(1,4) dan melalui (3, 0) adalah y = ax2 + bx + c, maka
tentukan nilai (a + b + c)!