12/15/2010

STATISTIKA TERAPAN
Materi : DISTRIBUSI LOG
NORMAL

Dosen :
Dr. Eng Donny Harisuseno, ST., MT

Jurusan Teknik Pengairan

Univ. Brawijaya
2010

Pendahuluan
Hidrologi Fenomena hidrologi

Data
Misal. Debit banjir rancangan, hujan
Misal. Data debit, data rancangan, etc
hujan, etc

Dengan pendekatan statistika.

Misal. dari series data debit 10 tahun:

akan diperkirakan peluang terjadinya
Distribusi Log Normal
suatu debit dengan besaran tertentu

akan diperkirakan berapa besar debit
dengan kala ulang tertentu

Etc
2

1
 12/15/2010

DISTRIBUSI LOG NORMAL

Distribusi Log Normal  hasil transformasi dari distribusi
normal

Dengan mengubah nilai variat X menjadi

logaritmik variat X
Variabel X terdistribusi secara Log-Normal  persamaan
transformasi Ln (Logaritmik Natural) sebagai berikut:
Y = Ln ( X ) (1)
Persamaan dasar (seperti Distribusi Normal) :
X (2)
Z=

3

Contoh Distribusi Log Normal :

 jika besarnya debit musiman aliran sungai

memiliki kecenderungan konstan untuk
sebagian besar waktu, tetapi kadang-2
terjadi nilai debit yang sangat besar 
sebaran data mungkin mengikuti distribusi
Log-Normal.

2
 12/15/2010

Teori Distribusi Log Normal

0 X

Gambar 1. Distribusi Log-Normal

Distribusi Log-Normal memiliki Koefisien

Kepencengan (skewness = Cs) bernilai positip
5

Teori Distribusi Log Normal

Dalam Soewarno (1995), Persamaan distribusi log
normal sebagai berikut:

1 1 Log X X 2
P (X ) = . exp

(Log X) (S)( 2 ) 2
S
Dengan:
P (X) : peluang log normal
X : nilai variat pengamatan
X : nilai rata-rata dari logaritmik variat X
S : deviasi standar dari logaritmik variat X

3
 12/15/2010

Apabila P (X) digambarkan pada kertas logaritmik

(logarithmic probability paper)  berupa garis
lurus, dengan persamaan model matematik :

X = X + k .S
dengan :
X = nilai logaritmik nilai X, atau Ln X
X = rata-rata hitung nilai Y
S = deviasi standar X
k = karakteristik distribusi peluang log normal
 Nilai variabel gauss

Tabel 1. Nilai variabel

Gauss

4
 12/15/2010

APLIKASI DISTRIBUSI LOG NORMAL

Distribusi Log Normal 2 Parameter (rata2

dan st. deviasi):
1) Cara 1 :

Log X = Log X + k . SLog X

dengan :
Log X= nilai variat X yang diharapkan terjadi pada
peluang atau kala ulang tertentu
Log X= rata-rata hitung nilai X hasil pengamatan
SLog X = deviasi standar logaritmik nilai X hasil
pengamatan
k = karakteristik distribusi peluang log normal
 Nilai variabel gauss (Tabel 1)
9

Lanjutan:..
Lanjutan :..
2)Cara 2 :
Jika tidak ingin menggunakan nilai logaritmik
data :
S
X = X + k . S ; CV =
X
dengan :
X = nilai logaritmik nilai X, atau Ln X
X = rata-rata hitung nilai X
S = deviasi standar Y
k = karakteristik distribusi peluang log
normal 2 parameter yang nilainya
tergantung koefisien variasi (CV)
 Tabel 2
10

5
 12/15/2010

Tabel 2. Faktor frekuensi

k untuk distribusi Log
Normal 2 parameter

11

Lanjutan::
Lanjutan ::

Distribusi Log Normal 3 Parameter
(rata2, st. deviasi, dan ):

X = X + k .S ; Cs =
( Xi Xi) 3

(n 1)(n 2)S3
dengan :
X = nilai logaritmik nilai X, atau Ln X
X = rata-rata hitung nilai X
S = deviasi standar Y
k = karakteristik distribusi peluang log
normal 3 parameter yang nilainya
tergantung koefisien kepencengan (CS)
 Tabel 3
12

6
 12/15/2010

Jika Cs = 0, maka
distribusi log normal
tidak cocok untuk
analisa data

Tabel 3. Faktor frekuensi

k untuk distribusi Log
Normal 3 parameter

13

Contoh soal :
1) Jika data series Q tahunan memiliki Rerata Log Qrerata=
3.508 m3/dt dan Log standar deviasi (Log Sd) = 0.362
m3/dt, dianggap memenuhi distribusi log normal, berapa
besar Q5 (debit yang disamai / dilampaui rata-rata 5 th
sekali)

Jawab: Cara (1)

Tr = 5 tahun  P = 1/Tr = 0.20, karena Q disamai atau

dilampaui maka nilai Z diperhitungkan untuk P= 1
0,20 = 0,80
Tabel. Wil. Luas dibawah Distribusi Normal

14

7
 12/15/2010

Berdasarkan Tabel Distribusi Normal, Z = 0,85

Rerata Log Qrerata = 3.508 m/dt, Log Sd = 0.362 m/dt.
Persamaan z = (Q - )/Sd atau Q = z.Sd + , maka
Q4 = (0.85 0.362) + 3.508 = 3.82 m/dt.

Dengan anti Ln, maka = e 3.82 = Q4 = 45.60 m/dt

15

2) Melanjutkan soal no.1, Hitung berapa besar Q5

(debit yang disamai / dilampaui rata-rata 5 th sekali)
dengan menggunakan:
a) Log Normal 2 Parameter
b) Log Normal 3 parameter
Jawab:
a) Log Normal 2 Parameter
Tabel 1

Log Q4 = Log X + k . SLog X

= 3.508 + 0.84 . 0.362 = 3.81 m 3 / dt
Q4 = 45.15 m 3 / dt
16

8
 12/15/2010

 Jika tidak ingin menggunakan nilai logaritmik data :

S
X = X + k.S CV =
X
Rerata Log Qrerata= 3.508 m3/dt  Qrerata = 33.38 m3/dt
Log Sd (Log ) = 0.362 m3/dt  Sd = 1.44 m3/dt

S 1 . 44
CV = = = 0 . 043 0 . 05
X 33 . 38
 Tabel 2, untuk CV = 0.05 dan kala ulang 5 th,
diperoleh k = 0.83
Tabel 2

17

Sehingga,

X = X + k . S = 33.38 + 0.83 . 1.44

= 34.58 m 3 / dt

b) Log Normal 3 Parameter

X = X + k.S Cs =
( Xi Xi) 3

(n 1)(n 2)S3

 Tabel 3, untuk Nila Cs dan kala ulang 5 th,

diperoleh k Tabel 3

18

9
 12/15/2010

Lanjutan:.
Lanjutan:.
3) Melanjutkan soal no.1, berapa kala ulang (Tr) debit
sebesar = 12.40 m3/dt.

Jawab:
Y = Ln (X) = Ln (12.40) = 2.518
Pers. (2), z = [Y Rerata (Y)]/Simpangan baku (Y)
= (2.518-3.508)/ 0.362
z = -2.737 (di sebelah kiri sumbu 0). Tabel
Distribusi Normal  diperoleh luasan di sebelah kanan z
= 1 0.0032 = 0.9968 = Probabilitas Terjadi (Pr)
 Tr = 1/0.9968 = 1.003 tahun.

19

Contoh--3 Distribusi Log Normal

Contoh
4) Seperti soal no.(3), berapa kala ulang (Tr) debit sebesar
= 52.30 m3/dt.

Jawab:
Y = Ln (X) = Ln (52.30) = 3.957
Pers. (2.2) z = [Y Rerata (Y)]/Simpangan baku (Y)
= (3.95700-3.50810)/ 0.36186
z = 1.2405 (di sebelah kanan sumbu 0)
Tabel Distribusi Normal  diperoleh luasan di seb
kanan
 z = 1 0.8925 = 0.1075 = Probabilitas Terjadi (Pr)
 Tr = 1/0.1075 = 9.311 tahun.
Tabel. Wil. Luas dibawah Distribusi Normal
20

10
 12/15/2010

TUGAS :
Data debit Data debit
(m3/det) (m3/det) 5) Diketahui data debit banjir
58.3 24.7 seperti pada tabel
50.5 23.6 disamping.
46 23.5
41.8 23.1
38.2 22.5 Hitung besar debit banjir
37.9 21.1 rancangan kala ulang 2
37.7 20.5 th dan 50 th dengan :
35.3 20.3
35.2 20.2 a) Distribusi Log Normal 2
33.4 18.7 parameter
31.9 17.2 b) Distribusi Log Normal 3
31.1 14.9
parameter
30.9 12.4
30.1 11.8
28.8
21

11