Les Portiques: Présentation de L'élément Poutre Étude Des Structures Portiques
Les Portiques: Présentation de L'élément Poutre Étude Des Structures Portiques
Les Portiques: Présentation de L'élément Poutre Étude Des Structures Portiques
Les Portiques
F
dx
T dT T M f ,x xx y v, x2
xx E xx
« Comportement » M f EI v , x 2
x 0, Sv EIv, x 4 f
Les conditions aux limites v, x zo
v vd (t ) ou d (t ) sur Du
T Td (t ) ou Mf Mf d (t ) sur D
"EDP"
Équations aux Dérivées Partielles
Cours MEF : Etude des portiques
Portiques
« PTV » Principe des Travaux Virtuels F
y Fo f
F A W
Mo
M
0
y v, x 2
xx
x xx xx Sdx avec
E xx E yv, x 2
o xx
v Sv v dx EIv,xx v,xx dx + f v dx + Fo vo + F v + M oo + M
o o o
Formulation variationnelle
Ed
2 Ed EI (v, xx )2 dx
0
Equivalence PTV - PFD
Basée sur EIv,xx v,xx dx v, x EI v, x2 0 v EI v, x3 0 v EI v, x4 dx
o 0
CL en moment CL en force
Cours MEF : Etude des portiques
Les portiques
F
Poutres reliées entre-elles
Elément fini "Poutre "
yo
4 variables nodales approximation cubique
vi(t) i(t) vj(t)
j(t)
a1 (t )
a (t )
0
xo
v ( x, t ) 1 x x2 x3 2
a3 (t )
Identification nodale vi (t ) a4 (t ) Maths
(t )
i
v ( x, t ) N1 N2 N3 N4
v j (t )
j (t ) Physique
Approximation nodale v N U e
N 1 ( s) 1 3s 2 2 s 3 N 2 ( s ) ( s 2 s 2 s 3 )
Fonctions
d’interpolation N
3 ( s ) 3s 2
2 s 3
N 4 ( s ) ( s 2 s 3 )
x N
avec s
1 2
N N 1 s
1 3 1
s 0 1
0 1 N 4
Cours MEF : Etude des portiques
Les portiques
F
Poutres reliées entre-elles
Elément fini "Poutre "
Matrice raideur élémentaire
2 Ed EI v, xx
2
dx
o
v, xx N, xx U e
e
2 Ed U e , xx EI N, xx dx U e
T T
N
o
Ke [ B]T EI [ B] dx
12 6 12 6
0
EI 6 4
2
6 2
2
Calcul analytique Ke 3 sur vi , i , v j , j
12 6 12 6
6 2 6 4
2 2
Cours MEF : Etude des portiques
Les portiques
F
Poutres reliées entre-elles
Elément fini "Poutre "
Vecteur
force généralisée
y
f
T T
W f f . v dx U e N f dx
0 0
i j
x 2
2
Calcul analytique
e f 12
Analyse 2
2 2
M 1 f / 12 2
M 2 f / 12 12
1 f / 2 2 f / 2
1 2
Charge nodale équivalente
Cours MEF : Etude des portiques
Les portiques
F
Poutres reliées entre-elles
élément fini "Poutre "
Calcul d’un portique 2D
v2 2 v3
F 3ddl /nœud soit 9 degrés de liberté « ddl »
u2
2 3
45° Conditions aux limites u1 v1 1 0
5 inconnues ( X 1 , Y1 , M 1 , N 3 , M 3 ) u3 v3 et 3 0
yo Effort normal au plan de contact
1
N N
xo F T X1, Y1 , M1 , F , 0 , 0 , 3 , 3 , M 3
2 2
Système réduit à 4 variables
K U F 4 équations Résolution u2 , v2 , 2 , u3
Les portiques
F
Poutres reliées entre-elles
élément fini "Poutre "
Calcul d’un portique 2D
v2 2 v3
F u2 Post – traitement
2 3
45°
Efforts sur les éléments Lois de comportement
yo
Efforts aux nœuds Equilibre élémentaire
1
Solution exacte si chargements aux nœuds
xo
A vous de jouer
Traitez les exemples et exercices de cours
Apprenez à simplifier vos modèles (négliger l’allongement).
Plus la structure est hyperstatique plus c’est simple.
Et pour les problèmes plus complexes, utiliser MEFLAB.