Chapitre 06 Flexion Composée PDF
Chapitre 06 Flexion Composée PDF
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Dfinition :
Une pice est soumise la flexion compose si :
M0 ; N0 et T0 ;N peut tre un effort de traction ou bien de
compression.
Leffort normal et le moment flchissant peuvent tre centrs, soit
excentrs par rapport au centre de gravit.
G
M
e : excentricit
e=
M
N
C : centre de pression
Puisque le bton tendu nintervient pas dans les calculs leffort normal va
tre quilibr seulement par les armatures.
F a1
d
A1
G : centre de gravit du
bton seul.
*
G
A2
e0 * G
a
F a1 = A 1 S1
F a2
F a2 = A 2 S2
Equation dquilibre :
1.
F H = 0 N F
2.
M A
a1
Fa 2 = 0 N (A1 S1 + A2 S 2 ) = 0
N a Fa1 Z = 0
N a A1 S1 (d d ) = 0
2
Z = d d
N a
A1 =
S1 (d d d )
=0
N
A1 S 1
S2
S2
on a une section entirement tendue on est dans le domaine (1)
(1) A2 =
pivot A
10 =
S = 10 donc S1 = S2 = 10 .
fe
: la contrainte des aciers pour un allongement de 10
S
N a
N a
Donc :
A1 =
A2 =
A1
100 10 (d d )
100 10
N : en [N] ; 10 : en [MPa] ; A 1 et A 2 : en [cm 2 ]
d : en [cm]
Application :
N = 50t
N
g : poids propre
50
Lg
q : 300 Kg/ml
3,50
Acier Fe E215
Poids propre :
30
12
12
; Mq = q
; et
M = 1,35Mg + 1,5Mq
2
2
(1,35 g + 1,5 q ) l 2 = (1,35 3,75 + 1,5 300) (3,5)2 M = 58,65 KN.m
M =
2
2
Mg = g
e1 =
h
d = 25 5 = 20 cm
2
F a1
a
e0
*
G
G
F a2
A2
1.
F H
a = 8,27 cm
= 0 N A1 10 A2 10 = 0
= 0 A2 10 (d d ) N d + e0 = 0
2
2
h
N
d + e0
2
A1 =
10 (d d )
2.
M A
10 =
h
d e0
2
a = 25 5 11,73
a=
fe 215
=
= 187 MPa
S 1,15
50 10 4 (25 5 + 11,73)
A1 =
= 21,21 cm 2
100 187 (45 5)
50 10 4
N
(1) A2 =
A1 =
21,21 = 5,53 cm 2
100 10
100 187
N : en [N]
10 : en [MPA]
h et d : en [cm]
A 1 : en [mm 2 ]
A2 = 5,53 cm 2
Donc :
A1 = 21,21 cm 2
N (d C ) M 1 0,337 0,81 b h b
h
N r (d C ) M r 0,337 0,81 b0 h 2 b
h
N r = N b (b b0 ) h0
avec :
M r = M 1 b (b b0 ) h0 d 0
2
b
C
A
Axe
C
0,4 y
F b
0,8 y
F a
e
Fa
a : distance entre F b et F a
e : distance du centre de pression C au c-d-g des armatures tendues.
Equation dquilibre :
1.
2.
F H
= 0 N + Fa Fa Fb = 0 N + A S A S F b = 0
M A = 0 N e F (d C ) a F = 0
a
N e A S (d C ) a Fb = 0
Posons :
N + A S = A1 S
A = A1 et
N e = M1
A1 S AS S Fb = 0
un moment M 1 en flexion simple.
0
M
(
d
C
)
F
=
1
S
b
1
M 1 = Ne .
A = A1
S
N : en [N]
S : en [MPa]
A, A, A 1 et A 1 : en [mm 2 ]
A = A1 100
S
N : effort de compression.
A = A1 + 100
S
Remarque :
Si A < 0 on prend A = 0
- Si N (effort de compression) :
- Si N (effort de traction) :
A = A1
A = A1 100
S
A = A1
A = A1 + 100
S
S : en [MPa]
P
Application :
N
N = 200 KN.
3,50
3,50
P = 30 KN : surcharge.
z = poids propre.
Acirer feE 400 ;
fcE 28
Mz = z
Mp =
7
PL
= 30 = 53 KN.m
4
4
e0
*
G
N
G
M
A
5 cm
f
b = 0,85 c 28 = 14,2 MPa
b
Vrification de l de A :
M1
150 10 3
=
= 0,174
b b d 2 14,2 30 (45)2
fe
= 348 MPa
S
= 1-0 ,4 = 0 ,904
A = A1
N
= 4,85 cm 2
100 S
a- Section rectangulaire :
b1
c1
S1
d
2
4
h
7
F a1
F 1
F b
F 2
b 2
c2
S1
3
h
7
c1
F a2
Axe
(a)
(c)
(b)
A 1 , A 2 : Armatures comprimes.
F b = F 1 + F 2
f 1 : la distance de F 1 la fibre la plus comprime
f 2 : la distance de F 2
S1 =
3
h la
7
3,0476
4
S2 = b h
2
7 7y
3
h ! b
7
4h 2 b
3
f2 = h
7
49 S 2
3 1 3
f1 = h = h
7 2 14
=1
posons :
3,0476
7y
3
: Coefficien t de remplissag e
et
S 2 = b h
7
3
b h b
7
f1
h
d h
F2 = b S 2 = b h b
7
3
3
b h b + b h bFb
= b h b
7
7
Dtermination de :
M arrte supreiure F h = (F + F ) h = F f
b
+ F2 f 2 + h
7
= 0,8571
0,3571
0,3571
h
M b = Fb (d h ) = b h b d 0,8571
d
M b = 0,3571 + 0,8571 b b h 2
h
Equations dquilibre :
F H = 0 N F F F
1
a1
N b h b A1 S 2 A2 S 2 = 0
M A
(a)
= 0 M 1 + M b Fa1 (d c1 ) = 0
d
M 1 0,3571 + 0,8571 b b h 2 A1 S 1 (d c1 ) = 0
h
d' o = 1
(b)
S1 = S 2 = 2
2 : La contrainte des aciers pour un raccourcissement du bton b = 2
F a1
h/2
d
F b
h
M1
F a2
(a1 )
N b h b A1 2 A2 2 = 0
M 1 Fb d Fa1 (d c1 ) = 0
2
M 1 b b h (d 0,5h ) A1 2 (d c1 ) = 0
(b1 )
A1 =
( F H = 0)
M
A = 0
2
M 1 b b h (d 0,5h )
2 (d c1 )
(a1 )
A2 =
N b h b
A1
2
Remarque :
A 1 0
Condition vrifier :
; A 2 0
A2 0
N b h b
A1 0
2
N b h b M 1 b h b (d 0,5h )
0
2
2 (d c1 )
N (d c1 ) M 1 (0,5h c1 ) b h b
Cette condition montre quon a une section entirement comprime.
Si cette condition nest pas vrifie ; on passe une autre condition :
Supposons que : N (d c1 ) M 1 < (0,5h c1 ) b h b A2 < 0
Et on prend : A2 = 0 A2 est inutile.
d
(b) M 1 0,3571 + 0,8571 b b h 2 A1 S 1 (d c1 ) = 0
h
N (d c1 ) M 1
b b h2
=
et 0,8095 1
c1
0,8571
h
N (d c1 ) M 1
0,3571 +
b b h2
donc
0,8095
1
c1
0,8571
h
(0,337 h 0,81 c1 ) b h b N (d c1 ) M 1 (0,5h c1 ) b b h
0,3571 +
(3)
(1)
(2)
par hypothse ; on avait (1) (2) il nous reste vrifier (3) (1)
2 me condition.
Si (3) (1) on dtermine les armatures.
A1 =
N b h b
S1
A2 = 0 (barres de montage)
1000 S 1
y c1
y c1
=
1000 S 1 = 2
et
7
7
2
y h
y
3
3
= 1
3,0476
2
y=
h 1,7457
3 +
on aura
7
1
7y
= 2 + 3,437 8,019 1 1
1000 S1
h
Dmarche suivre :
a- Si N (d c1 ) M 1 (0,5h c1 ) b b h
A1 =
M 1 (d 0,5h ) b b h
2 (d c1 )
A2 =
N 100 b b h
A1
100 2
N 100 b b h
;
A1 =
A2 = 0
100 S 1
0,3571 +
Application numrique :
N G = 30 t
appliqu e = 2 cm au dessus du c-d-g du bton.
N Q = 30 t
N G : effort de compression d aux charges permanentes.
N Q : effort de compression d aux surcharges dexploitation.
Acier : FeE 400 ; f c28 = 16 MPa
A 1
c 1 = c 2 = 4 cm.
30
e 0 = 2G
*G
*
G
A
30
Vrification :
(0,337 h 0,81 c1 ) b b h N (d c1 )M 1
b = 0,85
f c 28
16
= 0,85
= 9,067 MPa
b
1,5
fe
400
1000 L =
1000 S 1 = 2,635
=
= 1,739
200 S 200 1,15
fe
= 348 MPa
S
A1 = 2,8 cm 2
A2 = 0
Application numrique n02 :
Mme donnes que lapplication numrique n01 avec :
N G = 60 t
appliqu 2 cm au dessus du c-d-g du bton.
N Q = 60 t
Acier FeE 400
f c28 = 16 MPa
c 1 = c 2 = c = 4 cm
Efforts calculs / A 2 :
N = 1,35 N G + 1,5 N Q = 1710 Kn
h
M 1 = N + e0 c = 222,3 KN.m
2
= 0,928
A1 = 17,31 cm 2
N 100 b b h
A2 =
A1 = 8,37 cm 2
100 2
b/ Section en T :
b
b0
c1
h0
A 1
b-b 0
A 2
c2
h0
A 1
3
h
2
+
A 2
b0
(1)
M 1
N r = N 1
M r = M 1
N 2
M 2
0,85 f c 28
b
Soit :
N 1 : Leffort normal de compression appliqu la section en T donne ;
M 1 : Le moment de flexion appliqu la section en T donne et
appliqu au c-d-g des armatures infrieures.
N 1 et M 1 : Leffort normal et le moment flchissant quilibrs par la
section (1).
N 2 et M 2 : Leffort normal et le moment flchissant quilibrs par la
section (2).
N 2 = b (b b0 ) h0 b
h0
M 2 = b (b b0 ) h0 d 2
N 1 = N r = N (b b0 ) h0 b
h0
M 1 = M r = M 1 (b b0 ) h0 b d 2
Application numrique :
A
N = 2551,4 KN.
M G = M 0 = 80 KN.m.
Acier FeE 400 ; f c28 = 25 MPa.
*
G
c 1 = c 2 = 6 cm.
M0
A
c2
55 8 4 + 25 25 25 + 8
Ai yi =
= 26,4 cm
2
V1 =
55
8
52
25
A
i
V2 = h V1 = 33,6 cm
M r = M 1 (b b0 ) h0 b d 0
2
M r = 613,6 KN.m
3
= 784 10 14,2 (55 25) 8 (54 4 )
M r = 613,6 Kn.m
2
f
S 1 = e = 348 MPa
S
A1 =
N r b0 h b 100
= 6,36 cm 2
100 S 1
A = 6,36 cm 2
donc : 1
A2 = 0