Chapitre 2 Torseur de Cohesion
Chapitre 2 Torseur de Cohesion
Chapitre 2 Torseur de Cohesion
U : 2012-2013
Torseur de cohsion.
Chapitre II :
Torseur de cohsion.
Objectif
Pr-requis
Elments de contenu
11
Torseur de cohsion.
I. Introduction :
Les efforts intrieurs ou de cohsion sont les efforts qui agissent lintrieur des poutres et
qui assurent lquilibre ou la cohsion de la structure sous laction des charges extrieures
exerces. La connaissance des ces efforts de cohsion nous renseignera sur ltat de
sollicitation de la poutre tudie, et permettra dvaluer sa rsistance aux efforts qui lui sont
appliqus.
II. Dtermination du torseur de cohsion :
Pour mettre en vidence les efforts transmis par la matire au niveau dune section droite
dune poutre, nous effectuons une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire la fibre
moyenne. Ce plan dfinit une section S de barycentre G qui divise la poutre en deux tronons
fictifs (AG et GB). Chaque tronon est en quilibre et lapplication du Principe Fondamental
de la statique, lun ou lautre, permet didentifier et de calculer les efforts intrieurs
exercs entre les deux tronons au niveau de la coupure.
Tronon II : GB
Tronon I : AG
Les actions mcaniques entre les deux tronons sont les efforts intrieurs la poutre que lon
peut modliser par un torseur appel torseur de cohsion
{ CohII / I }G et dont les lments de
rduction au point G centre de surface sont :
Une rsultante R
Un moment rsultant
{
Cours rsistance des matriaux
MG
CohII / I G
R
=
M G
12
Torseur de cohsion.
{ Coh }G + { ext1}G = 0
{ } + { }
{}
F31
} + {
actionsmcaniquesdroite G
} = {0}
actionsmcaniquesgauche G
{ coh }G = { actionsmcaniquesdroite }G
R
{ Coh }G = M = Ty M fy
G G T M
z fz G
Avec :
N : Effort normal
Ty : Effort tranchant suivant laxe (G,y)
Tz : Effort tranchant suivant laxe (G,z)
Mt : Moment de torsion
Mfy : Moment flchissant suivant laxe (G,y).
Mfz : Moment flchissant suivant laxe (G,z)
Cours rsistance des matriaux
13
Torseur de cohsion.
Les efforts intrieurs exercs sur dS sont une densit surfacique defforts ou densit de force
par unit de surface.
14
Torseur de cohsion.
dS : C ( M , n ) = n + t
: Contrainte normale.
: Contrainte tangentielle
{ }
0 0
= Ty 0 ou
0 0
G
{ }
0 0
= 0 0
T 0
z G
{ }
0 M t
= 0 0
0 0
G
{ }
0 0
= 0 M fy ou
0 0
G
{ }
0 0
= 0 0
0 M
fz
Coh G
Coh G
Coh G
Coh G
Coh G
Sollicitation
TRACTION
(pour la compression,
les vecteurs forces
sont en sens inverse)
Exemple
CISAILLEMENT
TORSION
FLEXION PURE
15
Torseur de cohsion.
{ }
Coh G
0 0
= Ty 0
0 M
fz
Sollicitation
Exemple
FLEXION PLANE
SIMPLE
{ }
Coh G
{ }
Coh G
N 0
= 0 M fy ou
T 0
G
z
N 0
= Ty 0
0 M
fz
FLEXION
+
TRACTION
{ }
Coh G
{ }
Coh G
0 Mt
= 0 M fy ou
T 0
G
z
0 Mt
= Ty 0
0 M
fz
FLEXION
+
TORSION
{ }
Coh G
N 0
= 0 0
0 M
fz
FLAMBAGE
V. Application :
16
Torseur de cohsion.
V.1. Enonc :
1. Identifier les liaisons prsentes sur la poutre
2. Mettre en place le repre gnral,
3. Dterminer les efforts transmis par les liaisons,
4. Dterminer le nombre de tronons ncessaires ltude de la poutre en RdM,
5. Mettre en place les coupures, et les repres associs chaque coupure,
6. Dterminer le torseur de cohsion dans chaque tronon ,
7. Tracer les diagrammes de sollicitations.
V. 2. Corrig :
1. Liaisons ponctuelles.
2.
17
Torseur de cohsion.
Tronon AC :
Mthode algbrique :
Ty1=-raction gauche
Ty1=-YA=-50
Mfz1=50 x
Mthode vectorielle :
A
{ coh } = =
G1 A A
G1
G1
YA
0
0
x1YA
Tronon CB :
Mthode algbrique :
Ty2=raction droite
Ty1=YB=50
Mfz1=50 (5-x)
Mthode vectorielle :
{ coh } =
G2
B
=
G2 B B
G2
YB
0
50(5 x )
6. Diagrammes de sollicitations :
x(m)
Ty (N)
0
-50
2,5
-50
5
50
0
0
Mfz (N.m)
0
125
0
18