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    Le document présente plusieurs exercices d'interpolation polynomiale. Les exercices portent sur l'évaluation et la construction de polynômes d'interpolation de Lagrange et de Newton à partir de données, ainsi que sur l'approximation de fonctions par des polynômes.

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    USHTB, Maths 2 Lic Auto

    Printemps 2020 Méthodes Numériques


    Travaux Dirigés 3 (14–15/3/20)
    Interpolation Polynômiale

    1. Evaluation d’un polynôme. Déterminez la valeur de chaque polynôme pour


    x = 2.5 par calcul direct et par l’algorithme de Horner:

    p(x) = x5 − 15x4 + 85x3 − 225x2 + 274x − 120


    q(x) = 2 + 3x − x(x − 1) + 5x(x − 1)(x + 3) − 0.4x(x − 1)(x + 3)(x − 7)

    2. Forme de Lagrange du Polynôme d’Interpolation. Vous devez calculer


    les valeurs de la fonction f (x) = 2 sin πx
    
    6
    . Vous disposez d’une calculatrice qui ne peut
    effectuer que les opérations de base: addition, soustraction, multiplication, et division. Utilisez
    le polynôme d’interpolation de Lagrange avec x0 = 0, x1 = 1 et x2 = 3 pour obtenir une
    approximation des valeurs f (2) et f (2.4). Donnez l’erreur relative pour chaque approximation.

    3. Le couple C d’un moteur électrique varie avec la vitesse de rotation ω. Utilisez les mesures
    expérimentales suivantes pour évaluer C à une vitesse ω = 1800 tours par minute en utilisant
    le polynôme d’interpolation sous forme de Lagrange.

    ω (1000× tour/minute) 0.5 1 1.5 2


    C (N m) 31 28 24 14

    4. Forme de Newton du Polynôme d’Interpolation. Utilisez le polynôme


    d’interpolation sous forme de Newton et les valeurs sin 0, sin(π/6), sin(π/4), sin(π/3), et
    sin(π/2) pour évaluer sin(3π/8). Donnez le polynôme sous la forme de Horner. Comparez
    avec la solution exacte.

    5. Un thermistor est un capteur utilisé en électronique pour la mesure des températures.


    Le tableau suivant fournit les valeurs mesurées de la résistance R (Ohms) en fonction de la
    tempréature T (degrés Celsius). Déterminez le polynôme d’interpolation de Newton et utilisez
    le pour évaluer la température pour une résistance R = 754.8 Ω.

    R (Ω) 1101 911.3 636 451.1


    o
    T ( C) 25.113 30.131 40.120 50.128

    6. Approximation d’une fonction par un polynôme. Utilisez un polynôme


    de degré 2 pour approximer la f (x) = ln(x + 1) sur l’intervalle [0, 1]. Les noeuds d’interpolation
    sont x0 = 0, x1 = 0.5, et x2 = 1. Estimez l’erreur faite en approximant f (0.3) par P2 (0.3)?
    Comparez à l’erreur exacte.

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