Le document présente des exercices de calcul intégral, incluant le calcul de primitives et d'intégrales définies. Il aborde également des techniques comme l'intégration par parties et les changements de variables pour résoudre des intégrales spécifiques. Les exercices couvrent une variété de fonctions, permettant aux étudiants de pratiquer et d'appliquer des concepts clés en analyse mathématique.
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Le document présente des exercices de calcul intégral, incluant le calcul de primitives et d'intégrales définies. Il aborde également des techniques comme l'intégration par parties et les changements de variables pour résoudre des intégrales spécifiques. Les exercices couvrent une variété de fonctions, permettant aux étudiants de pratiquer et d'appliquer des concepts clés en analyse mathématique.
Le document présente des exercices de calcul intégral, incluant le calcul de primitives et d'intégrales définies. Il aborde également des techniques comme l'intégration par parties et les changements de variables pour résoudre des intégrales spécifiques. Les exercices couvrent une variété de fonctions, permettant aux étudiants de pratiquer et d'appliquer des concepts clés en analyse mathématique.
Le document présente des exercices de calcul intégral, incluant le calcul de primitives et d'intégrales définies. Il aborde également des techniques comme l'intégration par parties et les changements de variables pour résoudre des intégrales spécifiques. Les exercices couvrent une variété de fonctions, permettant aux étudiants de pratiquer et d'appliquer des concepts clés en analyse mathématique.
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UICI Année 2023-2024
L1 SEG
TD n°4: ANALYSE Primitives et Calcul intégral
Exercice 1. Calculer les primitives des fonctions suivantes :
2x + 3 x3 + 2x + 1 a) 7x5 + 2x + 1; b) ln x; c) cos2 x sin x; d) ; e) ex cosh 2x; f ) sin5 x; g) tan3 x; h) . x2−x−2 1 + x2 Exercice 2. Calculer les intégrales suivantes : ∫ 0 ∫ 1 ∫ ln 3 ∫ 1 √ 1 a) (5x3 + 2x − 1)dx; b) x + 3 dx, c) e2x+1 dx, d) dx −1 −2 (2x + 1)2 ∫ 5 ∫ π/12 ∫ e ln 2 ∫ 30 ex 3 ln2 x 3x + 1 e) dx; f ) cos x sin x dx, g) dx, h) dx 2 x −1 x 2 3 e +1 π/8 1/e x Exercice 3.
1. À l’aide d’une intégration par parties calculer les intégrales suivantes :
∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 x ln(x) a) x2 e−x dx, b) sin(x)e−x dx, c) dx, d) x(arctan(x))2 dx, e) sin2 (x) cos3 (x)dx. −1 −1 0 (1 + x2 )2 0 −1
∫ 1 1 ∫ ∫ 1 √ dx x2 2. L’objectif est de calculer les intégrales suivantes : I = √ , J= √ dx et K = x2 + 2dx. 0 x2 + 2 0 x2 + 2 0 √ √ (a) Calculer la dérivée de x 7→ x2 + 2 et celle de la fonction f (x) = ln(x + x2 + 2) . (b) En déduire la valeur de I. (c) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que J + 2I = K. √ (d) À l’aide d’une intégration par parties portant sur K, montrer que K = 3 − J. (e) En déduire les valeurs de J et de K.
Exercice 4.
1. À l’aide d’un changement de variable approprié calculer les intégrales suivantes :
∫ 1 ∫ 9 ∫ 3 ∫ π4 2x dx x+1 dx a) √ dx, b) √ √√ , c) dx, d) . 0 2 (x + 2) 2 1 x x+1 x 2 x(1 + xe ) π 6 cos(x) sin2 (x) 2. Calculer les intégrales suivantes : ∫ 1 3 ∫ 1 ∫ 1 x − 2x x 1 i) dx, ii) 2 dx, iii) 2 2 dx. 0 x+1 0 x + 2x + 10 0 (x + 4)
