Calcul intégral Université Clermont Auvergne

Feuille d’exercices 2: intégrales impropres, intégrales multiples

Les exercices ou questions marqués avec * sont supplémentaires, et ne seront pas forcément traités en classe.

INTEGRALES IMPROPRES

Exercice 1.

Calculer les intégrales suivantes, si elles convergent :

Z +∞ Z +∞ Z +∞
a. xe−x dx, x2 e−2x dx, cos(2x)e−3x dx
0
Z 1 0 Z +∞ 0
Z +∞ Z +∞ Z +∞
x 1 1 ln x ln x
b. dx, dx, 2
dx, dx, dx
0 (1 − x 2 )2/3
2 x ln x 2 x(ln x) 1 x2 0 x2
Z +∞ Z 0
1 1
c. dx, dx
0 (x + 1)(x + 2) −1 (x + 1)(x + 2)

(indication : faire une décomposition en éléments simples)

Z +∞ Z +∞
1 1
d. 2
dx, 2+x+1
dx
−∞ 1 + x −∞ x
(pour la deuxième, mettre le dénominateur sous forme canonique pour se ramener à la première)
Z +∞
x3
e. 8
dx (indication : pensez à la fonction arctangente)
x +1
Z 01 Z 1
x 1
f. √ dx, √ dx (deuxième: changement x = sin u)
1 − x√2 1 − x2
0Z 0
+∞
x √
g.* 2
dx (changement u = x, puis intégration par parties)
(x + 1)
Z0 +∞
ln x 1
h.* 2
dx (changement y = )
0 1 + x x

INTEGRALES DOUBLES

Exercice 2. Calculer les intégrales suivantes :

√
ZZ ZZ
(i) x y dS (ii)* (x2 + y) dS
[0,1]×[0,4] [1,2]×[0,1]
ZZ ZZ
1
(iii) sin(x + y) dS (iv)* dS
[0,1]×[1,3] [1,2]×[0,1] x+y

Indication : On rappelle la primitive

R
ln(x) dx = x ln(x) − x + c.

Exercice 3. Dessiner les domaines suivantes. Exprimer les aires des domaines D sous forme d’une double
intégrale dy dx, puis une double intégrale dx dy. On demande pas le calcul de l’intégrale.
(i). D = (x, y) ∈ R2 t.q. 0 ≤ x ≤ 2 et x2 ≤ y ≤ 2 x .


(ii). D est le triangle délimité par les droites y = 0, y = 2 x, x = 1.

 ZZ
Exercice 4. Calculer les intégrales suivantes. Puis, les réécrire sous la forme f (x, y)dxdy avec un
D
domaine D à préciser et à dessiner. Enfin, recalculer l’intégrale avec un changement de l’ordre d’intégration.
√
Z 1 Z 2x Z 2 Z 2 Z 1 Z x2
(i) e y−x
dy dx (ii)* √ (x + y + 2) dy dx (iii)* dy dx
0 x − 2 x2 0 −x2

Exercice 5. Calculer les intégrales suivantes :

(i) avec D = (x, y) ∈ R2 t.q. x2 + y 2 ≤ 4
RR 
D
(2 x − y) dS
π R cos(θ)
(ii)* esin(θ) dr dθ
R 2
0 0
R1Rx
(iii)* (x2 + 2 y 2 ) dy dx (iv) avec T le triangle (0, 0), (0, 1), (1, 1)
RR
0 0 T
(x + y) dS
(v) où D est la région délimitée par les deux axes et la droite d’équation x + y = 4
RR
D
x y dy dx
R 1 R ey √ π R sin(x)
(vi)* (vii)*
R
0 y
x dx dy 2
0 0
y cos(x) dy dx

INTEGRALES TRIPLES

Exercice 6. Calculer les intégrales suivantes :

Z 2 Z 1 Z 2 Z 2 Z 2 Z ln(y+z)
(i) 8 x2 y z 3 dx dy dz (ii) exp(x) dx dz dy
1 0 −1 1 y 0
Z 3 Z 1 Z √ 1−z 2
(iii)* z ey dx dz dy
0 0 0

Exercice 7.

(i) Calculer le volume du tétraèdre délimité par les trois plans (x, y), (x, z) et (y, z) et le plan x + y + z = 1
et déterminer son centre de gravité (en supposant une répartition de masses uniforme).
(ii) Mêmes questions pour la région dans R3 délimitée par les surfaces d’équation x = y 2 et z = 0 et
x + z = 1 (voir figure).
z
y

x = y2 x+z =1

x
z=0

(iii)* Intégrer la fonction f (x, y, z) = 6 x y sur la région dans R3 en bas du plan z = 1 + x + y et au dessus
de la partie du plan (x, y) délimitée par les courbes d’équation
√
y= x et y=0 et x = 1.
CHANGEMENT DE VARIABLE DANS LES INTEGRALES MULTIPLES
ZZ
Exercice 8. (Coordonnées polaires) Calculer f (x, y)dx dy si
D
a. D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, f (x, y) = xy.
xy
b. D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}, f (x, y) = 2 .
x + y2
c.* D = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 2x}, f (x, y) = 1.
2 2 2
d.* D = {(x, y) ∈ R | 0 ≤ y ≤ x + y ≤ x}, f (x, y) = x2 + y 2 .

Exercice 9. (Coordonnées cylindriques) Calculer f (x, y, z)dx dy dz avec

RRR
p D
a. D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}, f (x, y, z) = x2 + y 2 .
b. D = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 }, f (x, y, z) = x2 .

Exercice 10. (Coordonnées sphériques) Calculer f (x, y, z)dx dy dz avec

RRR
D
a. D = {(x, y, z) ∈ R | x + y + z ≤ 1}, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
3 2 2 2

p
b. D = {(x, y, z) ∈ R3 | − 9 − x2 − y 2 ≤ z ≤ 0}, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
c.* D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ z 2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0}, f (x, y, z) = z.

EXERCICES FACULTATIFS

Exercice 11. (*) On considère trois poutres dont les sections sont indiquées ci-dessous :

D1 D2 2cm D3 2cm
2cm
4cm
10cm 10cm 10cm 10cm
x
4cm 4cm
4cm
2cm
6cm
10cm

La résistance d’une poutre à la flexion autour de l’axe horizontal est déterminée par le moment quadratique
de sa section : ZZ
Ix = y 2 dS (cm4 ).
D

(a) Montrer que les sections des trois poutres sont de même surface. (On ne demande pas forcément un
calcul d’intégrale double.)
(b) Calculer les moments quadratiques de chaque section. Classer les trois poutres selon la résistance à la
flexion autour de l’axe horizontal. (Elles sont situées symétriquement par rapport à l’axe.)

Exercice 12. (*) Considérons le cube C = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1], ayant une densité décrite par la fonction
ϱ(x, y, z) = x + 2 y + 3 z.

(i). Déterminer la masse m du cube.

(ii). Déterminer le centre de gravité (x̄, ȳ, z̄) du cube.
 Exercice 13. (*) On considère trois surfaces dans R3 :
√
• S est la sphère de rayon 2 centrée à l’origine,
• P est le plan d’équation z = 1,

• Q est le cône d’équation z = r.

i. Montrer que le cône Q et la sphère S s’intersectent en le cercle

C = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1 et z = 1 }.

ii. Calculer les volumes des régions indiquées dans les figures 1 et 2 ci-dessous, en utilisant les coordonnées
cylindriques. En déduire la volume indiquée dans la figure 3.

z z z
z=r S
P
P z=1
y Q y Q α y
√ x x x
2
S

Figure 1 Figure 2 Figure 3

iii. Recalculer le volume indiquée dans la figure 3, en utilisant les coordonnées sphériques.
Indication : Justifier que le demi-angle au sommet (indiqué par α dans la figure 3) vaut π/4, puis
déterminer les équations des surfaces S et Q en coordonnées sphériques.

Solutions aux questions étoilées

17
Ex 2. (ii) 6
(iv) 3 ln(3) − 4 ln(2) = ln(27/16)
√
128 2 2
Ex 4. (ii) 15
(iii) 3
5 4 3 32 1
Ex 5. (ii) e − 1 (iii) 12
(vi) 9
e2 − 45
(vii) 6
1 3
Ex 6. (iii) 3
(e − 1)
Ex 7. (iii) 65
28

Ex 11. (c) π2 (d) 18

19 5 7
Ex 12. (i) m = 3 (ii) (x̄, ȳ, z̄) = ( 36 , 9, 12
).
π
Ex 13. (c) 8
π
√ π 4π
√
Ex 14. Les trois volumes sont: 3
(4 2 − 5), 3
et 3
( 2 − 1), respectivement.