Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014

TD  — Fon ions mesurables

1 – Petites questions

) Soient (X, d) un espace métrique (par exemple R), et f : X → R une fon ion continue. Pourquoi f
e -elle mesurable ?
) Soient (X, d) un espace métrique (par exemple R), et (fn )n≥ une suite de fon ions X → R mesu-
rables. Pourquoi la fon ion lim supn→∞ fn e -elle mesurable ?
) Soit f : ], [→ R une fon ion dérivable. Pourquoi la fon ion dérivée f 0 e -elle mesurable ?

2 – Fonctions mesurables

Exercice 1. (Tribus image et réciproque) Soit f : X → Y une application. Soient F une tribu sur X et G
une tribu sur Y .
. Montrer que {B ⊂ Y ; f − (B) ∈ F } e une tribu sur Y . Elle e appelée tribu image par f .
− −
. (a) Montrer que f (G) := {f (B), B ∈ G} e une tribu sur X. On l’appelle tribu engendrée par f
ou tribu réciproque par f et on la note parfois σ (f ).
(b) Montrer que c’e la plus petite tribu sur X qui rende f : X → (Y , G) mesurable.
(c) Soit B ⊂ P (Y ). Alexandra dit : alors nécessairement, σ (f − (B)) = f − (σ (B)). A-t-elle raison ?
. On supppose que f : X → (R, B(R)). Montrer que toute fon ion g : (X, σ (f )) −→ (R, B(R)) mesu-
rable s’écrit g = h ◦ f avec h : (R, B(R)) −→ (R, B(R)) mesurable.
Indication : commencer par le cas où g e étagée.
. (Exemple.) Soit f : R −→ (R, B(R)) définie par f (x) = x .
(a) Montrer que la tribu réciproque par f e σ (f ) := {A ∈ B(R), A = −A}.
(b) Déterminer l’ensemble des fon ions mesurables de (R, σ (f )) dans (R, B(R)).
. Soient (Yi , Bi )i∈I une famille d’espaces mesurables, Y un ensemble, des fon ions fi : Y → Yi et B
la tribu engendrée par la famille de fon ions (fi )i∈I , i.e. la plus petite tribu sur Y rendant les fi
mesurables. On la notera aussi σ (fi , i ∈ I).
 
[ 
(a) Prouver que σ (fi , i ∈ I) = σ  fi− (Bi ).
i∈I
(b) Montrer que f : (X, A) → (Y , B) e mesurable si, et seulement si, pour tout i ∈ I, fi ◦ f :
(X, A) → (Yi , Bi ) e mesurable.

Pour des que ions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à
igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.


Exercice 2. (Tribus produits) Soient (X, A) et (Y , B) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit
de A et B la tribu notée A ⊗ B définie par

A ⊗ B = σ ({A × B, A ∈ A, B ∈ B}).

On note πX : X × Y → X et πY : X × Y → Y les proje ions canoniques sur X et Y .

. Prouver que A ⊗ B = σ (πX , πY ), autrement dit que A ⊗ B e la plus petite tribu rendant πX et πY
mesurables.
. Soit f : (Z, C) → (X × Y , A ⊗ B) une application. On écrit f (z) = (fX (z), fY (z)). Prouver que f e
(C, A ⊗ B) mesurable si et seulement fX et fY sont respe ivement (C, A) et (C, B) mesurables.
. Prouver que B(R ) = B(R) ⊗ B(R). On pourra admettre que si O (R ) désigne l’ensemble des ou-
verts de R , on a :
 
 
O (R ) = 
[ 
U × V ; U , V ouverts de I dénombrable.
 
 i i i i R, 

 
i∈I

Exercice 3.
. Soit (E, A) un espace mesurable et (fn : E −→ R)n≥ une suite de fon ions mesurables. Montrer
que l’ensemble des x tels que (fn (x))n≥ admette une limite finie e mesurable.
Indication : Pensez au critère de ——.
. (a) On munit R de la di ance discrète définie par d(x, y) = 1x,y . Quelle e alors la tribu borélienne ?
E -ce que les tribus engendrées par les boules ouvertes et les boules fermées sont la tribu
borélienne ?
(b) (?) Soient (E, A) un espace mesurable, (X, d) un espace métrique et (fn : (E, A) → (X, B(X))n≥
une suite de fon ions mesurables. On suppose que (fn )n≥ converge simplement vers une
fon ion f : E → X (c’e -à-dire que pour tout x ∈ E, fn (x) converge vers f (x) lorsque n → ∞.
Montrer que f : (E, A) → (X, B(X)) e mesurable.

Exercice 4. Soient (X, A, µ) un espace mesuré et f : (X, A) → (R, B(R)) une fon ion mesurable.
a) Montrer que si µ(X) , , il exi e A ∈ A tel que µ(A) >  et f soit bornée sur A.
b) Montrer que si µ({f , }) , , alors il exi e A ∈ A tel que µ(A) >  et |f | soit minorée sur A par
une con ante ri ement positive.

Exercice 5. (Théorème d’Egoroff) Soit (E, A, µ) un espace mesuré tel que µ(E) < ∞. On considère une
suite (fn )n≥ de fon ions réelles mesurables sur E et f une fon ion réelle mesurable sur E telles que
fn → f µ-p.p. quand n → ∞.
. Montrer que pour tout k ≥  et pour tout η >  il exi e n ≥  tel que
 
[   

µ  x ∈ E : |fj (x) − f (x)| >  ≤ η.

 k 
j≥n

. En déduire que pour tout ε > , il exi e A ∈ A de mesure µ(A) ≤ ε tel que fn → f uniformément
sur E \ A.


 . Donner un contre-exemple à ce résultat si l’on suppose que µ(E) = ∞.

Exercice 6. Soient (E, A, µ) un espace mesuré avec µ non nulle et f : (E, A) → (R, B(R)) une fon ion
mesurable. Montrer que pour tout ε >  il exi e un ensemble A ∈ A de mesure µ(A) >  tel que pour
tous x, y ∈ A on ait |f (x) − f (y)| < ε.

Exercice 7. Soit C = C([, ], R) l’espace des fon ions continues sur [, ] à valeurs dans (R, B(R)), muni
de la topologie de la convergence uniforme. On note C la tribu borélienne de C et C la plus petite tribu
de C rendant les applications de “proje ion” f 7→ f (x) mesurables pour tout x. Comparer les tribus C
et C .

3 – À chercher pour la prochaine fois

Exercice 8. (Mesure image)

Soient (E, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace mesurable et f : E → F une fon ion mesurable. On
rappelle que l’on définit sur (F, B) une mesure νf appelée mesure image de µ par f par
νf (B) = µ (f − (B)) , B ∈ B.
Z Z
Soit φ : F → R+ une fon ion mesurable. Montrer que φ(x)νf (dx) = φ(f (x))µ(dx).
F E

 – Compléments (hors TD)

Exercice 9. (Exemples et contre-exemples) Répondre aux que ions suivantes, si la réponse e positive
donner une démon ration, si la réponse e négative donner un contre-exemple. On munit R de la
mesure de Lebesgue :
. Un ouvert de R de mesure finie e -il borné ?
. Un borélien de mesure ri ement positive e -il d’intérieur non vide ?
. Un ouvert dense de [, ] a-t-il une mesure  ?
. Deux compa s homéomorphes ont-ils même mesure ? L’un peut-il être de mesure nulle et l’autre
de mesure positive ?
. (?) Exi e-t-il un borélien A de R tel que pour tout intervalle ouvert borné non vide I, on ait les
inégalités ri es  < λ(A ∩ I) < λ(I) ?

Exercice 10. Soit f : [, ] −→ R une fon ion continue. Pour tout y ∈ R, on note N (y) ∈ R le nombre de
solutions de l’équation f (x) = y. Montrer que N e une fon ion mesurable.

Exercice 11. (?) Soit f : (R, B(R)) → (R, B(R)) une fon ion mesurable telle que f (x +y) = f (x)+f (y) pour
tout x, y ∈ R. Montrer que f e linéaire.
On pourra admettre le résultat suivant (théorème de Lusin, prouvé ultérieurement) : si une
fon ion g : ([a, b], B([a, b]) → (R, B(R)) e mesurable, pour tout  > , il exi e un compa K ⊂ [a, b] tel
que µ([a, b] ∩ Kc ) ≤  et la re ri ion de g à K e continue.

Fin