`bre I Cours dAlge Prof. E.

Bayer Fluckiger

Bachelor Semestre 3 26 septembre 2011

Corrig e de la s erie 1
Sauf indication contraire, nous adoptons la notation multiplicative pour la loi de composition interne des groupes etudi es. Exercice 1 (Groupes : premiers exemples). Parmi les couples suivants lesquels sont des groupes ? ({0}, +), (N \ {0}, +), (Z, +), (R, +), (N \ {0}, ), (R2 , +), (R \ {0}, ). Solution. Il sagit de v erier les axiomes de la d enition dun groupe. Laddition na pas d el ement neutre dans N \ {0}. Le couple (N \ {0}, +) nest donc pas un groupe. Par ailleurs, 2 na pas dinverse dans N \ {0}. Le couple (N \ {0}, ) nest donc pas un groupe. Laddition usuelle est associative. Elle admet 0 pour el ement neutre. Par ailleurs loppos e dun el ement de {0} (respectivement Z, R) est un el ement de {0} (respectivement Z, R). Les couples ({0}, +), (Z, +) et (R, +) sont des groupes. De m eme, la multiplication usuelle est associative et admet 1 pour el ement neutre. Linverse dun el ement de R \ {0} etant un el ement de R \ {0}, le couple (R \ {0}, ) est un groupe. Par d enition, la loi daddition dun espace vectoriel V muni cet espace vectoriel V dune structure de groupe (V, +). Lexercice demande de montrer cette armation directement dans le cas o` u V = R2 . Lassociativit e de laddition dans R2 se d eduit de lassociativit e de laddition usuelle dans R : pour tout (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) R2 nous avons (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = = (x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )

= (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 , y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 , y3 ) .

Par ailleurs, laddition dans R2 admet (0, 0) comme el ement neutre, et tout (x, y ) R2 admet (x, y ) comme oppos e relativement a ` la loi de 2 composition interne +. Ainsi, (R , +) est bien un groupe.

Exercice 2 (Groupe sym etrique dun ensemble). Soit E un ensemble. Montrer que lensemble S(E ) des bijections de E muni de la composition des fonctions est un groupe. Solution. Soient f, g, h S(E ). Soit x E . Par d enition de nous avons (f g ) h (x) = (f g )(h(x)) = f (g (h(x)) = f (g h)(x) = f (g h) (x). Nous avons donc (f g ) h = f (g h). La loi de composition interne est bien associative. Par ailleurs pour tout f S(E ) et tout x E , nous avons (f Id)(x) = f (Id(x)) = f (x) = Id(f (x)) = (Id f )(x). Ainsi la fonction identit e Id est el ement neutre pour . Enn pour tout f S(E ) 1 linverse f de f au sens des fonctions bijectives est d eni par les formules (f f 1 )(x) = x et (f 1 f )(x) = x. Cet inverse au sens des fonctions bijectives est donc aussi linverse de f relativement a ` la loi de composition interne . Le couple (S(E ), ) est donc un groupe.

Exercice 3 (Matrices inversibles). Montrer que lensemble des matrices inversibles GL2 (R) muni de la multiplication des matrices est un groupe. Solution. Le produit de deux matrices inversibles est encore une matrice inversible. La multiplication matricielle induit donc une loi de composition interne sur lensemble des matrices inversibles. Vous connaissez lassociativit e de cette loi de composition interne : vous avez vu en premi` ere ann ee que la multiplication des matrices est associative. Cependant, lexercice demande une preuve directe de a1 b 1 a2 b 2 a3 b 3 cette associativit e. Soient , , GL2 (R). Alors c1 d 1 c2 d 2 c3 d 3 a1 b 1 c1 d 1 = a2 b 2 c2 d 2 a3 b 3 c3 d 3 a3 b 3 c3 d3

a1 a2 + b1 c2 a1 b2 + b1 d2 c 1 a2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2

(a1 a2 + b1 c2 )a3 + (a1 b2 + b1 d2 )c3 (a1 a2 + b1 c2 )b3 + (a1 b2 + b1 d2 )d3 (c1 a2 + d1 c2 )a3 + (c1 b2 + d1 d2 )c3 (c1 a2 + d1 c2 )b3 + (c1 b2 + d1 d2 )d3

et a1 b 1 c1 d1 = a1 b 1 c1 d 1 a2 b 2 c2 d2 a3 b3 c3 d 3

a2 a3 + b 2 c 3 a2 b 3 + b 2 d 3 c2 a3 + d2 c3 c2 b3 + d2 d3

a1 (a2 a3 + b2 c3 ) + b1 (c2 a3 + d2 c3 ) a1 (a2 b3 + b2 d3 ) + b1 (c2 b3 + d2 d3 ) c1 (a2 a3 + b2 c3 ) + d1 (c2 a3 + d2 c3 ) c1 (a2 b3 + b2 d3 ) + d1 (c2 b3 + d2 d3 )

En comparant les r esultats de ces deux calculs, nous remarquons que lassociativit e de la multiplication des matrices est une cons equence de la distributivit e de la multiplication dans R, ainsi que de la commutativit e de laddition dans R. 1 0 La multiplication des matrices admet pour el ement neutre. Linverse 0 1 dune matrice inversible M est par d enition linverse de M relativement ` a la multiplication des matrices. Ainsi GL2 (R) muni de la multiplication des matrices est bien un groupe.

Exercice 4 (Groupes : quelques remarques). (1) Montrer quun groupe G a au plus un el ement neutre. (2) Soient a, b et c trois el ements dun groupe G. Montrer que si ac = bc alors a = b. (3) Montrer quun el ement x dun groupe G a au plus un inverse. (4) Soit E un ensemble muni dune loi de composition interne associative admettant un el ement neutre e. Nous supposons de plus que tout el ement de E a un inverse ` a gauche et un inverse ` a droite. Montrer que le couple (E, ) est un groupe. (5) Dans un groupe G, quel est linverse dun produit xy ? (6) Soient a et b deux el ements dun groupe G. Montrer que l equation ax = b a une unique solution x. Cette solution est elle aussi solution de l equation xa = b ? (7) Dans un groupe G, a-t-on (ab)n = an bn pour tout a, b G et tout n N ? Solution. (1) Supposons que e1 G et e2 G soient deux el ements neutres dans G. Alors e1 = e1 e2 puisque e2 est el ement neutre. Cependant, e1 etant un el ement neutre, nous avons aussi e1 e2 = e2 . Ainsi, e1 = e1 e2 = e2 . (2) En multipliant a ` droite par linverse c1 de c nous obtenons a = a(1G ) = a(cc1 ) = (ac)c1 = (bc)c1 = b(cc1 ) = b(1G ) = b.

(3) Soient y1 et y2 deux inverses de x. Alors nous avons 1G = xy2 et xy1 = 1G . Nous pouvons donc d eduire de lassociativit e de loi de composition interne de G que y1 = y1 (1G ) = y1 (xy2 ) = (y1 x)y2 = (1G )y2 = y2 . (4) Soit x un el ement de E . Nous voulons montrer que x admet un inverse. Pour cel` a nous allons montrer que tout inverse a ` gauche de x est inverse a ` droite de x. La preuve sinspire de la r eponse a ` la question pr ec edente. Notons g linverse ` a gauche de x et d linverse ` a droite de x. Par d enition dun inverse a ` gauche et dun inverse a ` droite, nous avons g x = e et x d = e. De lassociativit e de et de la d enition dun el ement neutre, nous pouvons donc d eduire que g = g e = g (x d) = (g x) d = e d = d. Ainsi g = d est bien inverse a ` gauche et inverse a ` droite de x. (5) Par associativit e de la loi de composition interne nous avons (xy )(y 1 x1 ) = x(yy 1 )x1 = x(1G )x1 = xx1 = 1G . Ainsi linverse du produit xy est (xy )1 = y 1 x1 . Attention a ` lordre des termes dans cette formule : tous les groupes ne sont pas commutatifs ! (6) Nous avons montr e pr ec edemment que a a un unique inverse a1 . Par d enition de cet inverse, ax = b si et seulement si x = a1 b. l equation ax = b a donc une unique solution. De plus a1 b est solution de l equation xa = b si et seulement a1 ba = b cest-` a-dire si et seulement si ba = aa1 ba = ab. Si G = GL2 (R) et 1 0 1 1 a= et b = nous avons 0 1 0 1 ab = et ba = 1 1 0 1 1 0 0 1 = 1 1 0 1 . 1 0 0 1 1 1 0 1 = 1 1 0 1

Dans ce cas, ab = ba. Les solutions aux equations ax = b et xa = b sont donc di erentes.

(7) Consid erons le cas n = 2. Si abab = aabb, alors lassociativit e de la loi de groupe de G implique que ba = a1 (abab)b1 = a1 (aabb)b1 = ab Comme lors de la r eponse pr ec edente, nous obtenons un contre-exemple 1 0 1 1 en consid erant le cas o` u n = 2 et a = et b = . 0 1 0 1

Exercice 5 (Caract erisation des triplets pythagoriciens). (*) Un triplet pythagoricien primitif est un triplet dentiers naturels (x, y, z ) premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que x2 + y 2 = z 2 . Un exemple c el` ebre est le triplet (3, 4, 5). Plus g en eralement, si u et v sont deux entiers naturels non nuls, premiers entre eux, de parit es di erentes, et tels que u > v , alors (u2 v 2 , 2uv, u2 + v 2 ) est un triplet pythagoricien primitif. (1) Soit (x, y, z ) un triplet pythagoricien primitif. Montrer que x et y sont de parit es di erentes. Il sera utile de remarquer quaucun carr e dans N nest de la forme 4m + 2 avec m N. (2) Nous supposons x impair. (a) Montrer que s := (z + x)/2 et t := (z x)/2 sont des entiers premiers entre eux. (b) Montrer que s et t sont des carr es. (c) En d eduire lexistence deux entiers naturels u, v N \ {0} premiers entre eux, de parit es di erentes tels que u > v tels que (x, y, z ) = (u2 v 2 , 2uv, u2 + v 2 ). Indice : Le th eor` eme fondamental de larithm etique arme que tout entier naturel n 1 se d ecompose de fa con unique ` a lordre des facteurs pr` es en produit de nombres premiers. Si P d esigne lensemble des nombres premiers, une telle d ecomposition peut s ecrire sous la forme n=
pP

pvp .

o` u les entiers vp 0 sont presque tous nuls, cest-` a-dire quils sont tous nuls, sauf un nombre ni dentre eux. Le produit ci-dessus est donc un produit ni.

Solution. (1) Supposons que x et y soient pairs. Alors x2 et y 2 sont pairs. En particulier z 2 = x2 + y 2 est pair. Un produit de nombres impairs etant impair, z est pair. Ainsi 2 divise x, y , et z . Ceci contredit lhypoth` ese selon laquelle x, y , et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Supposons lexistence de n, m N tels que x = 2n + 1 et y = 2m + 1. Alors v = x2 + y 2 = 4(n2 + n + m2 + n) + 2 est un carr e divisible par 2 mais pas par 4. Ce nest pas possible : un carr e est soit impair soit divisible par 4. En eet, si la d ecomposition de z en facteur premier est z = pvp
pP

alors la d ecomposition de z en facteur premier est z =

2vp

(2) (a) Comme x et y sont de parit es di erentes, z 2 = x2 + y 2 est impair. Par suite z est impair et donc z + x et z x sont pairs. Si n N divise (z x)/2 et (z + x)/2, alors n divise x = (z + x)/2 + (z x)/2 et z = (z + x)/2 (z x)/2 qui sont premiers entre eux. Dans ce cas n = 1. Les entiers (z x)/2 et (z + x)/2 sont donc premiers entre eux. pp les d ecompositions pp et y = pp et t = (b) Soient s =
pP pP pP

en facteurs premiers de s, t et y . Puisque 4st = z 2 x2 = y 2 , nous avons pp +p = p2p .

Soit p P . Lunicit e de la d ecomposition en facteurs premiers de 4st = y 2 impose la parit e de p + p . Les entiers s et t etant premiers entre eux nous avons p = 0 ou p = 0. Ainsi nous pouvons d eduire du th eor` eme fondamental de larithm etique que p et p sont forc ement tous deux pairs. (c) Dapr` es la question pr ec edente, il existe u, v N \ {0} tels que s = u2 et t = v 2 . Ces entiers u et v premiers entre eux, puisque s et t sont premiers entre eux. De plus, x = s t = u2 v 2 et z = s + t = u2 + v 2 . Comme y 2 = 4st et y > 0, nous avons aussi y = 2uv . Par ailleurs, les entiers x et z etant impairs, les entiers u et v sont de parit es di erentes. Enn, comme x 1, nous devons avoir u > v .