Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Scribd Logo
Importer

Bienvenue sur Scribd !

  • 0 vues

    contiuité2 exo

    Transféré par

    pprofitfinders

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd

    contiuité2 exo

    Transféré par

    pprofitfinders
    0 vues2 pages

    Copyright

    © © All Rights Reserved

    Formats disponibles

    PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd

    Avez-vous trouvé ce document utile ?

    Ce contenu est-il inapproprié ?

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd
    Télécharger au format pdf ou txt
    0 vues2 pages

    contiuité2 exo

    Transféré par

    pprofitfinders

    Droits d'auteur :

    © All Rights Reserved
    Téléchargez comme PDF, TXT ou lisez en ligne sur Scribd
    Télécharger au format pdf ou txt
    sur 2

    Sale :2020/2021

    2 bac sm (a et b)
    ème

    Exercices Limites et continuité(2)

    Exercice 01

    ) E ( x ) + ( x − E ( x ) ) . Soit n un entier relatif ( n ∈  ) .


    Soit la fonction f définie sur  par : f ( x=
    2

    1. Monter que f est continue sur l’intervalle [ n; n + 1[ .


    2. Etudier la continuité de f à gauche en n.
    3. La fonction f est-elle continue sur  ? justifier la réponse.

    Exercice 02

    Soit la fonction f définie et continue sur [ 0; +∞[ telle que : ( ∀x  0 ) : f ( x )  x .

    1. Montrer que : f ( 0 ) = 0
    2. On considère les nombres réels a et b tel que 0  a  b .
    Montrer : ( ∃M ∈ [ 0;1[ ) ( ∀x ∈ [ a; b ]) f ( x ) ≤ Mx

    Exercice 03

    Soit f une fonction continue sur  . Etudier la continuité de la fonction g définie sur  par :
     3 sin x
    x − x −1+ x : x  0
    g ( x) = 
    ( ) (
    f x − f − x :x≥0
     )
    Exercice 04

    Soit f une fonction définie et continue sur ]a; b[ telle que : lim f ( x ) = +∞ et lim f ( x ) = −∞ .
    x → a+ x →b−

    Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle ]a; b[ .

    Exercice 05

    Soit n un entier naturel non nul. Soit f une fonction continue sur le segment [ a; b ] . On considère les réels
    1 n
    x1 , x2 ……, xn de [ a; b ] . Montrer que : ( ∃c ∈ [ a; b ]) / f ( c ) = ∑ f ( xk ) .
    n k =1

    Exercice 06

    Soit f une fonction définie et continue sur [ 0;1] telle que : f ( 0 ) = f (1) .

     1
    Montrer : ( ∃c ∈ [0;1]) : f ( c=) f c +  .
     2

    Exercice 07

    Soit f une fonction continue sur le segment [ a; b ] telle que : f ( a )  ab et f ( b )  b 2 . Montrer que :

    ( ∃c ∈ ]a; b[ ) : f ( c ) =bc .
    Exercice 08 :

    Soit f une fonction définie et continue sur [ 0;1] .

    Montrer : ( ∃c ∈ ]0;1[ ) : f ( c ) =
    1 1
    + .
    c c −1

    Exercice 09 :

    Soit f une fonction continue sur  telle que : lim f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ .


    x →−∞ x →+∞

    Montrer que : ( ∃x0 ∈  )( ∀x ∈  ) : f ( x ) ≥ f ( x0 ) .

    Exercice 10 :

    ( x ) cos x + x .
    1. Soit f une fonction définie sur  par : f =
    a) Etudier les variations de f sur  .
    b) Montrer que l’équation : cos x + x =0 admet une unique solution α telle que : −0, 74  α  −0, 73 .
    x
    2. On considère sur  l’équation : ( E ) :sin x − =
    0.
    2
    a) Montrer que si l’équation ( E ) admet une solution α , alors α ∈ [ −2; 2] .
    b) Déterminer alors le nombre de solution de l’équation ( E )

    Exercice 11 :

    Soit I un intervalle de  . On considère la fonction f définie de I vers I telle que :


    ( ∃k ∈ ]0;1[ ) ( ∀ ( x; y ) ∈  ) : f ( x ) − f ( y ) ≤ k x − y
    2
    (la fonction f est dite: contractante)

    1. Montrer que f est continue sur I .


    2. On suppose I = [ a; b ] . Montrer que l’équation f ( x ) = x admet une solution dans I .
    3. On suppose I = ]−∞; a ] .
    a) Montrer que : ( ∀x ∈ I ) : f ( x ) ≥ f ( a ) + k ( x − a ) .
    ( x ) f ( x ) − x . calculer lim g ( x ) .
    b) On pose : g=
    x →−∞

    c) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet une solution dans I .


    4. Montrer que dans les deux cas, une telle solution est unique.
    Exercice 12 :

    Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]−1; +∞[ par : f ( x ) =


    x
    x +1

    1. Montrer que la fonction f est une bijection de ]−1; +∞[ vers un intervalle J que l’on déterminera.
    2. Déterminer l’expression de f ( x ) pour x appartenant à J .
    −1

    3. Tracer dans un repère orthonormé la courbe de f puis tracer dans le même repère la courbe de f −1 .

    Exercice13 :

    x
    soit la fonction f définie sur  par : f ( x ) =
    1+ x

    1. Montrer que f réalise une bijection de  vers un intervalle J que l’on déterminera.
    2. Déterminer f −1 ( x ) pour x ∈  .

    Vous aimerez peut-être aussi