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    T10 Exercices Continuité

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    Ce document contient 12 exercices portant sur la continuité de fonctions. Les exercices proposent de déterminer la continuité de fonctions données, de trouver des solutions d'équations ou d'encadrer des solutions.

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    Terminale S Exercices sur le chapitre « Continuité » Page 1 sur 2

    Exercice 1 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par :
     2 1
     f ( x ) = x cos   si x ≠ 0
      x
     f (0) = 0

    1) Déterminer la limite de ݂ en 0.
    2) La fonction est-elle continue en 0 ?

    Exercice 2 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par :
     1 − x2 + 1
     ( )
    f x = si x ≠ 0
     x
     f (0) = α

    Quelle valeur doit-on donner à α pour que la fonction soit continue sur  ?

    Exercice 3 : Exemple de fonction continue non dérivable


    On considère la fonction f définie sur  par :
     1
     f ( x ) = x × sin   si x ≠ 0
      x
     f ( 0) = 0

    1) La fonction f est-elle continue sur  ?
    2) La fonction f est-elle dérivable sur  ?
    Exercice 4 :
    On considère la fonction ݂ définie sur ሾ0 ; 2ሿ par ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ሻ + ሾ‫ ݔ‬− ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿଶ où ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ሻ est la fonction
    partie entière.
    1) Utiliser le fait que x ∈ [ 0; 2] pour écrire ݂ሺ‫ݔ‬ሻ sans le symbole ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ሻ .
    2) Démontrer alors que ݂ est continue sur ሾ0 ; 2ሿ .

    Exercice 5 :

    1) On définit ݂ comme étant la fonction inverse.


    a) Calculer f ( 1 ) et f ( −1 )
    b) Peut-on en déduire que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution sur [ −1; 1] ?
    2) On considère la fonction définie sur  par f(x)=cos x − x .
    π 
    a) Calculer f   et f ( 0 ) .
    2
     π
    b) Peut-on en déduire que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution sur 0;  ? sur  ?
     2
    Exercice 6 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par f ( x ) = x 3 + x + 1 .
    1) Calculer lim f ( x ) et lim f ( x ) .
    x →+∞ x →−∞

    2) Montrer alors que l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [ −1; 0] .
    Terminale S Exercices sur le chapitre « Continuité » Page 2 sur 2

    Exercice 7 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = cosሺ2‫ݔ‬ሻ − 2‫ ݔ ݊݅ݏ‬.
    గ గ
    Démontrer que l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −2 admet au moins une solution dans ቂ− ; ቃ.
    ଺ ଶ

    Exercice 8 :
    1
    1) Montrer que la fonction f définie par f ( x ) = 2
    réalise une bijection de + dans ] 0; 1 ] .
    x +1
     π π
    2) Montrer que la fonction sinus réalise une bijection de  − ;  dans [ −1; 1 ] .
     2 2
    Exercice 9 :
    On considère une fonction ݂ définie sur  dont le tableau de variation est donné ci – dessous :
    x −∞ −1 2 +∞
    +∞ 1
    f ( x)   
    −4 −1
    1) Déterminer le nombre de solutions de l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2 .
    2) Déterminer le nombre de solutions de l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 .
    3) Déterminer le nombre de solutions de l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −2 .

    Exercice 10 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଷ + 4‫ݔ‬² + 4‫ ݔ‬+ 2 .
    1) a) Etudier les limites de f aux bords de son ensemble de définition.
    b) Etudier les variations de f sur .
    2) Montrer que l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 admet exactement une solution sur .
    −4
    3) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10 de la solution.

    Exercice 11 :
    On considère la fonction ݂ définie sur  par ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬+ 5 .
    1) Démontrer que l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 admet une unique solution ߙ .
    2) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10ିଵ de ߙ .
    3) En déduire le signe de ݂ሺ‫ݔ‬ሻ selon les valeurs de ‫ ݔ‬.

    Exercice 12 :
    On considère une fonction ݂ définie sur  dont le tableau de variation est donné ci – dessous :
    x −∞ −3 2 +∞
    +∞ 1
    f ( x)   
    −5 0
    1) Montrer que l’équation f ( x ) = 0 ne peut pas avoir de solution sur  2 ; +∞ 
    2) Déterminer alors le nombre de solutions de l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 0 .

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