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.On Pose Pour Tout X 0,, Alors:: ZZ 3x2y1 x4k1 Y6k1 KZ

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Cet exercice contient 6 exercices de mathématiques portant sur des intégrales, des équations et des suites. Les exercices impliquent des démonstrations et des résolutions d'équations et de systèmes.

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M-26-2023

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Exercice1

Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes et justifier :


e lnx ln2
1.  dx  .
1
x 1  ln x 
2
2
1 6768
2..  2x.4x 1.6x 2 dx 
0 ln48
Lnx x
Lnt
3..on pose pour tout x >0, G(x) = e
t
tdt , alors : G(x)   dt
0 1
t²
4.. L’ensemble des solution dans Z  Z de l’équation : 3x  2y  1 est l’ensemble des couples (x ;y) tels que
x  4k  1 et y  6k  1 ( k  Z )
Exercice2
 
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j ) .
Soit S l’application de plan qui au point M (z) associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z'  2i z  1  2i
1. a. Montrer que S est similitude indirecte de centre (1) . Et déterminer une équation de son axe .
b. Montrer que l’expression complexe de SoS s’écrit : z'  4z  3
2. On considère la suite des points (Mn (zn )) définie par M0 (2) et pour n IN , Mn1  S(Mn )
a. Montrer par récurrence que pour tout n IN , z2n  1  4n , en déduire que z2n1  1  2 4n i .
b. Montrer que pour tout n IN , les droites (M2n ) et (M2n1 ) sont perpendiculaires.
Exercice3
1.a. Résoudre dans Z Z , ( E) :9u – 11v = 1.
x  6 mod 9 
b. En déduire les solutions du système (S) 
x  8 mod 11 
2. a. vérifier que -3 est une solution de (S).
x  6 mod 9 
b. Retrouver les solutions du système (S) 
x  8 mod 11 
Exercice 4
On se propose de résoudre dans IN l’équation ( E ) : x7  2mod13
1.soit x est une solution (E)
a. montrer que x  13  1 en déduire que x12  1 mod13
b. Montrer alors que x  11 mod13
2. Déterminer les solutions de (E )
.Exercice 5
Soit m un entier naturel non nul tel que m10  1 .
1.a. Montrer que m  2  1 et m  5  1
b. : En déduire que m8  1 mod2 , m4  1 mod5 puis m8  1 mod10  .
2.a. Soient x  Z et p IN* , montrer que si x  1(mod10 ) alors x  1(mod10p1 )
p 10

(on pourra utiliser l’égalité : x10  1  (x  1)(1  x  x2  ........x 9 ) )


b.Montrer alors , par récurrence, que pour tout entier naturel n, m810  1 mod10n1  .
n

c..En déduire que m800000001  mmod109  .


d..Déterminer un entier naturel b dont son cube se termine par 123456789.
Exercice 6
Soit f la fonction 0,  définie sur par : f  x    e x  1  .
2

On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé  O, i , j  du plan.


1.a. Montrer que pour tout x  0,  : f '  x   2e x 1  e x  .
b.Dresser le tableau de variation de f puis tracer C.
2.a. Montrer que f réalise une bijection de 0,  sur un intervalle J que l’on précisera.
b. Tracer dans le même repère la courbe C’ de la fonction réciproque f 1 de f.
1
c. Calculer  f(x)dx en déduire l’aire de la partie limitée par les courbes C, C’ et les droites : x = 1 et y = 1.
0


3.a. Montrer que : x 0;1 : f 1  x   ln 1  x . 
b. Montrer que : f 1 est dérivable sur 0;1 et déterminer  f 1   x  .
1
1
4.On pose : I   4
dx où α]0 ;1[. Montrer que I  2ln2  2f 1    et Calculer : lim I  .

x x

 0

Exercice7
Soitflafonctiondéfiniesur 0, parf(x)  x  ln(1  e2x )
e2x  1
1.a. montrer que f '(x)  , dresser le tableau de variation de f
e2x  1
b. Montrer que la droite Dd'équationy  xestuneasymptoteobliqueà(Cf )auvoisinagede()
c. Etudier la position relative de la courbe (C) et la droite D
d. Tracer Det(Cf )dansunrepèreorthonormé(o,i,j)
2. Pour tout n IN , on note
Sn l'airedudomainelimitéepar(Cf ),ladroiteDetlesdroitesd'équationsx  0etx  n
1
a.Montrerque  t 0,  ona: 1  t  1
1 t
x2
b.Montrerque  x  0 ona: x  ln(1  x)  x
2
3 e 2n e 4n 1 e2n
c. En déduire que pour toutnN ona:    Sn  
8 2 8 2 2
d. Montrer alors que la suite (Sn )estconvergenteetdonnerunencadrementde salimite

f'(x)
ln2 ln2
3. On considère la suite (un )définiepar u0   dx et pour toutnN ona: un  
n
dx
0 0

a. Calculeru0 et u1
3
b. Montrer que pour tout x0,ln2ona 0  f'(x) 
5
3
c. En déduire que pour toutnNona: 0  un  ( )n ln2 et donner lim un
5 n (  )

4.a. Montrer que pour toutx  0 ona: 1  f''(x)  f'(x) 2

1 3 n1
b. Montrer que un  un  2  ( ) , n  2
n 1 5
n n
1 3 2k 1 1 3
c. En déduire que pour tout nN ona: u2n  u0   ( ) et ona: u2n 1  u1   ( )2k
k 1 2k 1 5 k 1 2k 5
2n
13
5. Pour tout n  N on pose vn   ( )k . Montrer que (vn )estconvergenteversunréelàdéterminer
K 1 k 5

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