MOHIM36

Tableaux de variation sur ]− π ; π ] :
COURS
x −π − π 0 π π x −π π 0 π π
−
2 2 2 2
1 0 1
Variations Variations
de 0 0 de 0 0
x ֏ cos x x ֏ sin x
−1 −1 −1
Courbes représentatives
f (x) = cos(x)
1
0
5π −2π 3π −π π 0 π π 3π 2π 5π 3π
− − −
2 2 2 −1 2 2 2
f (x) = sin(x)
1
0
− 5π −2π − 3π −π −π 0 π π 3π 2π 5π 3π
2 2 2 2 2 2
−1
Les fonctions cosinus et sinus n’admettent pas de limite en + ∞ ni en − ∞.
3. Autres propriétés
sin x
■ Propriété 5 : lim = 1.
x→0 x
Ce résultat provient de la définition de la dérivabilité en 0 de la fonction sinus.
■ Fonctions de la forme cos( u)

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction
cos( u ) : x ֏ cos( u( x )) est définie et dérivable sur I et (cos(u ))′ = −u ′ × sin(u ).
■ Fonctions de la forme sin(u)
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction sin(u ) : x ֏ sin(u( x )) est définie et dérivable sur I et :
(sin(u))′ = u′ × cos(u ).
44
E013 HATIER 100% EXOS (TS)
COURS EXERCICES CORRIGÉS
SAVOIR-FAIRE 2
1. Étudier les variations d’une fonction de la forme f(u)
Compléments sur les fonctions

On reconnaît la forme f (u), puis on applique la formule de dérivation sans
oublier le facteur u′.
EXEMPLES
( 2 x 2 − 1)3
a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f ( x ) = .
1 2
f = × u 3 , avec u : x → 2 x 2 − 1.
2
Pour tout x ∈ R :
1 1
f ′( x ) = × u ′ × 3u 2 = × 4 x × 3( 2 x 2 − 1)2 = 6 x( 2 x 2 − 1)2 .
2 2
f ′( x ) est du signe de 6x, c’est-à-dire négative sur R− et positive sur R +.
1 1
De plus, f ′( x ) s’annule en 0, et − , qui sont des valeurs isolées.
2 2
f est donc strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0] et strictement croissante
sur ]0 ; + ∞[ .
b. Calculer la dérivée sur ]− ∞ ; 3[ de f : x ֏ (3 − x ) 3 − x. En déduire les
variations de f sur ]− ∞ ; 3] .
f ( x ) = g (3 − x ) = g ( ax + b) avec a = −1, b = 3 et g : t → t t .
t 3
Or g ′(t ) = t + = t . Donc, pour tout x ∈] 0 ; 3 [ :
2 t 2
3 3
[ , f ′( x) = a × g ′(ax + b) = ( −1) × 2 3 − x = − 2 3 − x < 0.
Donc f est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 3] .
2. Rédiger et appliquer le corollaire du théorème

des valeurs intermédiaires
Après avoir montré chacun des points, rédiger selon le schéma suivant, qui
montre que l’on a bien toutes les hypothèses du corollaire du théorème des
valeurs intermédiaires.
● f est continue et strictement croissante/décroissante sur l’intervalle … ; …
● k est compris entre… et … (valeur ou limite).
Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation

f ( x ) = k admet une unique solution … sur l’intervalle … ; …
45
COURS
EXEMPLE : Soit f la fonction définie sur ]− ∞ ; 3] par f ( x ) = (3 − x ) 3 − x.

Montrer que l’équation f ( x ) = 5 admet une unique solution sur ]− ∞ ; 3].
● Calculons tout d’abord la limite en − ∞ de f :
 lim (3 − x ) = + ∞
 x→− ∞
 , donc lim f ( x ) = + ∞.
 Xlim X X = +∞ x →− ∞
→+ ∞
● f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]− ∞ ; 3] .
● 5 est compris entre f (3) = 0 et lim f ( x ) = + ∞.

x →− ∞
f ( x ) = 5 admet une unique solution sur l’intervalle ]− ∞ ; 3].
3. Déduire d’un tableau de variation

le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = k
Considérer séparément chacun des intervalles sur lesquels f est strictement
monotone.
EXEMPLE : Soit f une fonction définie sur R dont on connaît le tableau de

variation.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = 0.
x −∞ 0 2 +∞
Variations de f 3 0
2 −1
D’après le tableau de variation, l’équation f ( x ) = 0 admet :

● aucune solution sur ]− ∞ ; 0 ] ( puisque 0 n’est pas compris entre 2 et 3) ;
● une unique solution sur ]0 ; 2] ( puisque −1 < 0 < 3 ) ;
● aucune solution sur [ 2 ; + ∞[ , f étant strictement croissante sur cet intervalle

et ayant pour limite 0, nécessairement f est strictement négative sur [ 2 ; + ∞[ .
L’équation f ( x ) = 0 admet donc une unique solution sur R.
4. Déterminer une valeur approchée

à 10-2 près de x0 , solution de f ( x ) = k
● Entrer l’expression de f ( x ) dans la calculatrice.
● Régler le pas en lui donnant la valeur 1. Chercher dans la table l’entier n0
tel que f ( n0 ) < k < f ( n0 + 1).
● Régler le pas à 0,1 et prendre comme valeur de départ de la table x = n0 .
46
Lire dans la table un encadrement à 10 −1 près de x0 ( a < x0 < b).

−2
2
● Régler le pas à 10 et prendre comme valeur de départ de la table x = a.
Lire dans la table un encadrement à 10 −2 près de x0 .

EXEMPLE : (Suite de l’exemple du Savoir Faire 2)
La fonction f est définie sur ]− ∞ ; 3] par f ( x ) = (3 − x ) 3 − x. Déter-
miner un encadrement à 10 −2 près de l’unique solution x0 de l’équation
f ( x ) = 5.
Pas de 1 : Pas de 0,1 :

X Y1 X Y1
0 5,19615 0 5,19615242
1 2,82842 0,1 4,93852205
Donc 0 < x0 < 1. Donc 0 < x0 < 0,1.
Pas de 0,01 :
X Y1
0,07 5,01535213
0,08 4,98969819
Donc 0, 07 < x0 < 0, 08.
5. Déterminer la limite en ± ∞ d’une fonction de la forme

f(cos(x)) ou f(sin(x))
On ne peut appliquer le résultat sur les compositions de limites, puisque ni
cos ni sin n’admettent de limite à l’infini. L’idée est donc d’encadrer cos(x)
ou sin(x) à l’aide de la propriété 1. du IV 1., puis d’appliquer si possible le
théorème des gendarmes.
EXEMPLE : Déterminer la limite en + ∞ de la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [
sin( x )
par f ( x ) = .
x
Pour tout x > 0, −1 sin( x ) 1.
1
Donc (multiplication par > 0 ) :
x
−1 1
f ( x) .
x x
−1 1
lim = lim = 0. Donc, d’après le théorème des gendarmes :
x →+ ∞ x x →+ ∞ x
lim f ( x ) = 0.
x→ + ∞
47
EXERCICES
EXERCICES D’APPLICATION
1 DÉFINITON DE LA CONTINUITÉ | b | 10 min | uP. 59 |
 x2 − 4
 si x ≠ −2
1. Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) =  x + 2
 − 4 si x = −2
Étudier la continuité de la fonction f en −2.

● On pourra transformer l’écriture de f (x) lorsque x ≠ −2.
● Voir le cours, IV 3.
1 si x = 0

2. Soit g la fonction définie sur [ −1 ; 1] par g ( x ) =  sin( x )
 x si x ≠ 0
Montrer que g est continue en 0.
2 CONTINUITÉ ET ENCADREMENT | b | 10 min | uP. 59 |
  1
x sin   si x ≠ 0
Soit h la fonction définie sur R par h( x ) =   x ,
0 si x = 0

1. Démontrer que, pour tout x > 0, − x h( x ) x. En déduire la limite de
h en 0 +.
2. Démontrer que, pour tout x < 0, − x h( x ) x et en déduire la limite de h
en 0 −.
3. Montrer alors que h est continue en 0.
Voir le cours, III.1.
3 LIMITES | bb | 30 min | uP. 59 |

1. Déterminer la limite en α de chacune des suites ou fonctions suivantes :
 1
a. un = cos   et α = + ∞.
 n
x2 + 3
b. f ( x ) = et α = − ∞.
x 2 + 3 + cos( x )
c. vn = n2 − 3cos( n) et α = + ∞.
48
1
d. g ( x ) = et α = 0 −. 2
sin( x )

Pour les 1.b. et 1.c., voir le savoir-faire 5.
 π π sin( x )
2. Soit h la fonction définie sur  − ;  par h( x ) = .
 2 2 cos( x )
Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.
h est la restriction de la fonction tangente à l’intervalle  − π ; π  .

 2 2
 
4 ALGORITHME : RACINES CUBIQUES | bb | 35 min | uP. 60 |

Notons f la fonction cube définie sur R.
1. Justifier que f est continue et strictement monotone sur R
2. Soit k un réel. Montrer que l’équation x 3 = k admet une unique solution x0
sur R.
3. Donner la solution de chacune des équations :
x 3 = 1, x 3 = 0, x 3 = −1, x 3 = 27, x 3 = −8, x 3 = 125.
4. Écrire un algorithme associant à un réel k positif :
● la valeur de x si x est un entier ;
0 0
● un encadrement à l’unité de x sinon.
0
Utiliser la boucle « Tant que ».
5. Écrire un algorithme associant à un réel k positif un encadrement au dixième

de x0.
On ne traite pas ici le cas k négatif, mais, comme la fonction cube est impaire,
si l’algorithme appliqué à k = − k donne a k b, alors − b k − a.
THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

5 ET TABLEAU DE VARIATION | b | 25 min | uP. 62|
Soit f une fonction définie sur ℝ dont voici le tableau de variation :
x −∞ 0 4 +∞
+∞ π
Variations de f
−2 0
1. Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions :
a. de l’équation f ( x ) = 4 ;
49
EXERCICES
b. de l’équation f ( x ) = −2.
Voir le savoir-faire 3.
2. Sans justification, donner le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = m

selon les valeurs du réel m.
6 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES | b | 20 min | uP. 62|

Soit f la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f ( x ) = 2( x − 6) + sin( x ).
1. Étudier les variations de f
2. Déterminer la limite de f en + ∞.
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = 0.
4. Donner une valeur approchée à 10−2 près de(s) antécédent(s) de 0 par f.

7 FONCTIONS COMPOSÉES | bb | 35 min | uP. 63 |

1. Étudier le sens de variation de chacune des fonctions définies ci-dessous :
a. f est définie sur [ 2, 5 ; + ∞[ par f ( x ) = 2 x − 5.

b. g est définie sur [0 ; + ∞[ par g ( x ) = ( 2 x − 1)5 .
c. h est définie sur R par h( x ) = 3x 2 + 1.
2  1
d. k est définie sur  ; + ∞  par k ( x ) = sin .
π  x
 π
On sera amené à étudier le signe de cos( x ) sur 0 ;  .
 2 
 π π 
2. Soit f la fonction définie sur 0 ;  par f ( x ) = cos  − 4 x .
 2   2 
 π
a. Calculer f ′( x ) pour x ∈ 0 ;  .
 2
 π π 
b. Résoudre sur 0 ;  l’équation sin  − 4 x = 0.
 2  2 
Voir programme de 1re S.
50
c. Recopier et compléter le tableau suivant :

2
π 3π π
x 0

8 8 2
π ... ... ... ...

− 4x
2
π 
Signe de sin  − 4 x 
2 
Signe de f ′(x)
Variations de f
8 FONCTION COMPOSÉE ET COSINUS | b | 30 min | uP. 64 |

Soit f la fonction définie sur [ 0 ; π ] par f ( x ) = cos (2 x ) .
1. Étude des variations de f
a. Calculer f ′( x ) pour x ∈[0 ; π ].
b. Résoudre sur [ 0 ; π ] l’équation sin ( 2 x ) = 0.
Voir programme de 1re S.
c. Recopier et compléter le tableau suivant :
π
x 0 π
2
2x ... ... ...
Signe de sin ( 2x )
Signe de f ′(x)
Variations de f
2. Résoudre l’équation f ( x ) = 0.
1
3. Résoudre l’équation f ( x ) = .
2
4. Déterminer l’équation des tangentes T et T’ à f aux points d’abscisses respec-
π
tives 0 et .
2
5. Tracer T, T ′ et f dans un repère orthogonal, avec comme échelle en abscisse
π
1 cm pour .
6
51
EXERCICES
EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
9 DÉFINITION DE LA CONTINUITÉ | bb | 15 min | uP. 66 |
 2 x3 + 7 x 2 + 2 x − 3 1
 si x ≠
2x − 1 2
Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 
α si x = 1
 2
1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x réel :
2 x 3 + 7 x 2 + 2 x − 3 = ( 2 x − 1)( ax 2 + bx + c).
Développer (2 x − 1)(ax 2 + bx + c) et regrouper les termes de même degré, puis

comparer ses coefficients à ceux de 2 x 3 + 7 x 2 + 2 x − 3.
2. Pour quelle valeur de α la fonction f est-elle continue sur R ?
10 FONCTION CONTINUE NON DÉRIVABLE | bb | 20 min | uP. 66 |
 1
 x sin si x ≠ 0
Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) =  x .
0 si x = 0
sin X
1. Déterminer la limite en + ∞ et en – ∞ de .
X
2. Étudier alors la continuité de f en 0.
3. Étudier la dérivabilité de f en 0.
Voir la remarque en fin de paragraphe IV-2.
4. Visualiser à l’aide d’un logiciel la courbe représentative de la fonction f.
ÉTUDE DE FONCTION ET THÉORÈME

11 DES VALEURS INTERMÉDIAIRES | bb | 35 min | uP. 68|
Soit f la fonction définie sur ]− ∞ ; − 2[ ∪ ]−2 ; + ∞[ par:
x3 + x 2 + x + 1
f ( x) = .
x+2
1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. Calculer f ′( x ).
52
3. On note g la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x + 1.

2
a. Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation
complet.

b. Montrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une solution unique sur ]− ∞ ; − 2[ ,
que l’on notera α. Donner un encadrement de α à 10 −2 près.
c. L’équation g ( x ) = 0 admet-elle d’autres solutions dans ℝ ?
4. Dresser un tableau indiquant, en fonction de x, le signe de f ′( x ) et les varia-
tions de f.
12 FONCTION COMPOSÉE F(u) | bb | 25 min | uP. 69 |
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x ) =

1
2
( )
3x 2 + 4 − x 3 .
1. Déterminer la limite de f en − ∞.
2. On veut maintenant déterminer la limite de f en + ∞.
Pour cela, lever l’indétermination en multipliant numérateur et dénominateur

par l’expression conjuguée ( )
3x2 + 4 + x 3 .
3. Écrire f ′ ( x ) sous forme d’un quotient.

4. Résoudre dans [0 ; + ∞[ l’inéquation 3x < 9 x 2 + 12 .
5. Étudier le signe de f ′ ( x ) sur ℝ et en déduire les variations de f.
1
13 FONCTION x → sin | bb | 25 min | uP. 69 |
x
1  1
Soit f la fonction définie sur  ; + ∞  par f ( x ) = sin .
 2π  x
1. Déterminer la limite de f en + ∞.
1
2. Calculer f ′ ( x ) pour x .
2π
1 2  2 2
3. Étudier le signe de f ′ ( x ) sur chacun des intervalles  ;  ,  3π ; π 
 2 π 3π   
2 
et  ; + ∞  .
π 
Pour chaque cas, on doit se poser les questions suivantes : À quel intervalle
1
appartient ? Quel est le signe de la fonction sinus sur cet intervalle ?
x
4. Dresser le tableau de variation complet de f.
53
EXERCICES
EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
14 ALGORITHME DICHOTOMIE | bb | 45 min | uP. 70 |

Ici, f désigne une fonction strictement croissante sur ℝ et vérifiant :
 lim f ( x ) = − ∞
 x →− ∞
 .
 xlim f ( x) = + ∞
→+ ∞
Nous allons créer un algorithme associant à une telle fonction f l’unique solution
(notée x0) sur ℝ de l’équation f ( x ) = 0. Cet algorithme procède « par dichoto-
mie », de la manière suivante.
Admettons que l’on connaisse deux réels a0 et b0 tels que f ( a0 ) < 0 et
f (b0 ) > 0. On sait, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,
que x0 ∈[ a0 ; b0 ].
a + b0
1re étape : On veut situer x0 par rapport au centre c0 = 0 de l’intervalle
[ 0 0]
a ; b .
2
a0 + b0
x a0 c0 = b0
2
Variations de f f (b0 )
f ( a0 )
Si f (c0 ) < 0, nécessairement x0 ∈[c0 ; b0 ] . On pose alors a1 = c0 et b1 = b0 ;
si f (c0 ) > 0, nécessairement x0 ∈[ a0 ; c0 ] . On pose alors a1 = a0 et b1 = c0 .

Alors x0 ∈[ a1 ; b1 ] .
a +b
2 e étape : On veut situer x0 par rapport au centre c1 = 1 1 de l’intervalle
2
[a1 ; b1].
Si f (c1 ) < 0, nécessairement x0 ∈[c1 ; b1 ] . On pose alors a2 = c1 et b2 = b1 ;
si f (c0 ) > 0, nécessairement x0 ∈[ a1 ; c1 ] . On pose alors a2 = a1 et b2 = c1 .
Alors x0 ∈[ a2 ; b2 ] .
On continue jusqu’à obtenir un encadrement à la précision souhaitée. Dès que
bn − an ε, on s’arrête : l’encadrement an x0 bn obtenu est bien un enca-
drement à ε près.
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = x 3 + x − 17.
a. Vérifier que f est strictement croissante sur ℝ et que lim f ( x ) = − ∞
x →− ∞
et lim f ( x ) = + ∞.
x →+ ∞
b. Calculer f (0) et f (5). On pose a0 = 0 et b0 = 5.

54
c. Déterminer l’intervalle [ a1 ; b1 ] . 2
d. Continuer jusqu’à obtenir un encadrement à 0,2 près de x0.
2. Dans Algobox, entrer la fonction f (= F1). Écrire un algorithme qui, aux réels

a et b, associe un encadrement à 10−2 près de x0.
a, b et c prendront successivement les valeurs a0, b0, c0 ; a1, b1, c1 …
x3 x 2
3. Tester l’algorithme avec la fonction F1 = g ֏ + + x − 5 avec a = 0 et
3 2
b = 10.
15 AVEC DES VALEURS ABSOLUES | bbb | 60 min | uP. 72 |
Soit l’application f de ℝ dans ℝ définie par f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 , et soit f

→ →
sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i ; j ).
On appelle A et B les points de f d’abscisses respectives 1 et 5.
y
7
6
5 f
4
3
2
1
I
−5 −4 −3 −2 −1 0 A1 2 3 4 5B 6 7 8 9 10 x
−1
1. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe du polynôme x 2 − 6 x + 5 et

l’expression de f ( x ) sans le symbole « valeur absolue ».
2. Déterminer la limite de f en + ∞ et en – ∞.
3. Étudier la continuité de f en 1 et en 5.
f ( x ) − f (5)
4. a. Calculer la limite en 5+ de . f est-elle dérivable en 5 ?
x −5
f ( x ) − f (1)
b. Calculer la limite en 1– de . f est-elle dérivable en 1 ?
x −1
Utiliser la forme factorisée de x 2 − 6 x + 5 et regarder le signe de chaque facteur.
5. Étudier les variations de f .
55
EXERCICES
6. Soit I le point de coordonnées (3 ; 0). Démontrer que pour tout x appartenant

à l’intervalle [1 ; 5] , le point M de coordonnées ( x ; f ( x )) est à une distance
constante de I.
En déduire la nature géométrique de f lorsque 1 x 5.
16 FONCTION TANGENTE | bbb | 45 min | uP. 74 |
sin( x )
La fonction tangente est la fonction qui à x associe tan( x ) = .
cos( x )
1. Résoudre dans ℝ l’équation cos( x ) = 0.
2. En déduire l’ensemble de définition Dtan de la fonction tangente.
3. Montrer que la fonction tan est π- périodique, c’est-à-dire que pour tout
x ∈ Dtan , tan( x + π) = tan( x ). En déduire qu’il suffit d’étudier la fonction
 π π
tangente sur  − ;  .
 2 2
Voir un chapitre de trigonométrie de 1re S.
 π π
4. Déterminer la limite de tan( x ) aux bornes de l’intervalle  − ;  .
 2 2
 π π 1
5. Démontrer que, pour tout x ∈ − ;  , tan( x ) = = 1 + tan 2 ( x ).
 2 2 cos 2 ( x )
En déduire les variations de la fonction tangente.
 π  π
6. Déterminer les valeurs de tan(0), tan   et tan  −  .
 4  4
→ →
7. Tracer la courbe représentative de tan dans un repère orthogonal (O ; i ; j ).
 3π 3π 
(On tracera la courbe sur  − ; ).
 2 2 
CONTRÔLE
17 QCM | bb | 20 min | uP. 76 |
1. La dérivée de x ֏ x 2 + 1 est :
1 x 2x 1
a. ; b. ; c. ; d. .
x +1
2
x +1
2
x +1
2
2 x2 + 1
2. Soit f une fonction continue sur [ 2 ; 5] et telle que f ( 2) = 3 et f (5) = −1.
L’équation f ( x ) = 0 admet :
a. aucune solution ; b. une seule solution ;
c. au moins une solution ; d. au plus une solution.
56
3. La fonction cosinus : 2
 π  π π
a. est croissante sur 0 ;  ; b. est décroissante sur  − ;  ;

 2  2 2
π
c. admet un maximum en ; d. est décroissante sur [ 0 ; π ].
2
cos( x ) − 1
4. La fonction x ֏ a pour limite, quand x tend vers 0 :
x
a. 1 ; b. 0 ; c. + ∞ ; d. − ∞.
18 ÉTUDE D’UNE FONCTION | bb | 60 min | uP. 76 |

x3 − 4
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = .
x2 + 1
Partie A. Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = x 3 + 3x + 8.
1. Étudier les variations de g.
2. Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une unique solution α dont on
donnera un encadrement d’amplitude 10-2.
3. Déterminer le signe de g ( x ) suivant les valeurs de x.
Partie B. Étude de f
1. Étudier les variations de f.
f (α ) 3
2. Démontrer que = . En déduire un encadrement de f ( α ).
α 2
À partir de l’égalité g(α) = 0, exprimer α 3 en fonction de α et reporter dans
f(α)
l’expression de .
α
3. On note () la courbe représentative de f dans un repère orthonormal

→ →
(O ; i ; j ).
a. Déterminer l’équation réduite de la tangente (T ) à la courbe représentative
() de f au point d’abscisse 0.
b. Préciser les positions relatives de ( ) et de (T ).
c. Tracer ( ) et (T ) (unité graphique 1cm).
CONTRÔLE
19 QUESTION DE COURS | bb | 20 min | uP. 77 |
L’objet de cet exercice est de démontrer que toute fonction dérivable en un
réel a est continue en a.
Soit I un intervalle contenant a ou dont a est une borne, et soit f une fonction
définie sur I et dérivable en a.
57
EXERCICES
1. Rappeler la définition de la dérivabilité de f en a.

f ( x ) − f ( a)
2. Notons g la fonction définie sur I \ {a} par g ( x ) = .
x−a
a. Soit x un réel tel que x ∈ I et x ≠ a. Exprimer f ( x ) en fonction de x,
a et g.
b. Démontrer que f est continue en a.
20 CALCUL D’AIRE | bb | 35 min | uP. 78 |

→ →
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé (O; i ; j ).
1 J M
0 I T
−1 O 0 1 2 3
−1
 π
Pour tout x ∈ 0 ;  , on note M le point du cercle trigonométrique d’affixe
 2
x, et T le point d’intersection de l’axe des abscisses avec la tangente au cercle
en M.
On note L(x) la longueur OT, et A(x) l’aire du triangle OMT.
 π
1. Quel est le signe de cos( x ) et de sin( x ) sur 0 ;  ?
1  2
2. Montrer que L( x ) = .
cos( x )
sin( x )
3. Établir que MT = et en déduire l’expression de A(x).
cos( x )
Pour tout réel x, x2 = x .
 π
4. Étudier les variations de la fonction x ֏ A( x ) sur 0 ;  .
 2
π
5. Déterminer la limite de A(x) quand x tend vers par valeurs inférieures.
2
58
CORRIGÉS 2

1 1. Un des moyens d’établir la continuité en a d’une fonction f est de
transformer l’écriture de f (x) pour x ≠ a.
Pour tout x ≠ −2, f ( x ) =

( x − 2) ( x + 2) = x − 2, donc :
x+2
lim f ( x ) = lim ( x − 2) = − 4.
x →−2 x →−2
lim f ( x ) = f ( −2), donc f est continue en - 2.

x →−2
sin( x ) sin( x )
2. D’après le cours, lim = 1, donc lim = g (0).
x→0 x→0
x x
La fonction g est donc continue en 0.
 1
2 1. ● Pour tout x > 0, −1 sin   1.
x
 1
Si x > 0, −1 × x sin   × x 1 × x soit :
 x
− x h( x ) x .
● lim x = lim+ ( − x ) = 0 donc, d’après le théorème des gendarmes :
x →0+ x→0
lim h( x ) = 0.
x→ 0+
 1
2. ● Pour tout x < 0, −1 sin   1.
 x
 1
Si x > 0, −1 × x sin   × x 1 × x soit :
 x
x h( x ) - x.
● lim x = lim− ( − x ) = 0 donc, d’après le théorème des gendarmes :

x→0− x→0
lim h( x ) = 0.
x → 0-
3. On en déduit que lim h( x ) = lim h( x ) = 0.

x→0− x →0+
Donc h est continue en 0.
 1
 nlim =0
3 1. a.  →+ ∞ n
, donc, par composition, lim un = 1.
 lim cos( X ) = 1 n →+ ∞
 X →0
59
CORRIGÉS
b. Pour tout x ∈ℝ, 0 cos( x ) 1, donc x 2 + 3 x 2 + 3 + cos( x ) x 2 + 4,

d’où :
1 1 1
.
x 2 + 4 x 2 + 3 + cos( x ) x 2 + 3
x2 + 3
Donc f ( x ) 1.
x2 + 4
x2 + 3 x2
lim = lim = lim 1 = 1. D’après le théorème des gendarmes :
x →− ∞ x 2 + 4 x →− ∞ x 2 x →− ∞
lim f ( x ) = 1.
x →- ∞
c. Pour tout n, −1 cos( n) 1, donc 3 − 3 cos( n) − 3 (multiplication par

−3 < 0 ), donc n2 − 3 vn n2 + 3.
 lim ( n2 − 3) = + ∞
 n→+∞ donc, d’après le premier théorème de comparaison :
 pour tout n, vn n − 3
2
lim vn = + ∞.
n →+ ∞
 lim− sin ( x ) = 0 −
 x→0
d.  1 , donc lim - g( x ) = - ∞.
 Xlim = −∞ x→ 0
 → 0 −
X
 lim+ sin ( x ) = −1
 x→− π2
2.  donc, par quotient, lim + h ( x ) = - ∞.
 limπ+ cos ( x ) = 0
+ p
x→-
 x→− 2 2
 lim− sin ( x ) = 1
 x→ π2
 donc, par quotient, lim - h ( x ) = + ∞.
 lim cos ( x ) = 0 + x→
p
π−
 2
x→ 2
4 1. f est une fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable sur ℝ.
Pour tout x réel, f ′( x ) = 3 x 2 .
f ′ est positive sur ℝ et s’annule en 0, donc f est strictement croissante sur .
2. Soit k un réel.
● f est continue et strictement croissante sur ℝ.
● k est compris entre lim f ( x ) = − ∞ et lim f ( x ) = + ∞.

x →−∞ x →+ ∞

x 3 = k admet une unique solution x0 sur .
3. x 3 = 1 ⇔ x = 1, x 3 = 0 ⇔ x = 0, x 3 = −1 ⇔ x = −1,
x 3 = 27 ⇔ x = 3, x 3 = −8 ⇔ x = −2, x 3 = 125 ⇔ x = 5.
60
4.
VARIABLES 2
k EST_DU_TYPE NOMBRE
a EST_DU_TYPE NOMBRE

b EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE K
b PREND_LA_VALEUR 0
SI (k > = 0) ALORS
DEBUT_SI
TANT_QUE (pow(b,3)<k) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
b PREND_LA_VALEUR b+1
FIN_TANT_QUE
a PREND_LA_VALEUR b-1
SI (pow(b,3)==k) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER “X0 = ”
AFFICHER b
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
AFFICHER “x0 est compris entre”
AFFICHER a
AFFICHER “et ”
AFFICHER b
FIN_SINON
FIN_SI
FIN_ALGORITHME
5.
VARIABLES
k EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE K
b PREND_LA_VALEUR 0
SI (k>=0) ALORS
DEBUT_SI
TANT_QUE (pow(b,3)<k)FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
b PREND_LA_VALEUR b+1
FIN_TANT_QUE
a PREND_LA_VALEUR b-1
SI (pow(b,3)==k) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER “x0 =”
AFFICHER b
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
b PREND_LA_VALEUR a
TANT_QUE (pow(b,3)<k) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
b PREND_LA_VALEUR b+0.1
FIN_TANT_QUE
a PREND_LA_VALEUR b-0.1
AFFICHER a
AFFICHER “et”
AFFICHER b
FIN_SINON
FIN_SI
FIN_ALGORITHME
61
CORRIGÉS
Le logiciel Algobox n’est pas capable de tester correctement une égalité du style
« si b3 = k alors… » s’il s’agit de décimaux. On doit donc se contenter ici d’inégalités
larges pour l’encadrement de x0.
5 1. a. D’après le tableau de variation, l’équation f ( x ) = 4 admet :

une unique solution sur ]− ∞ ; 0], puisque 4 ∈[ −2 ; + ∞[ ;
aucune solution sur [0 ; + ∞[ , puisque 4 est strictement supérieur au maximum π.
L’équation f ( x ) = 4 admet une unique solution sur ℝ.
b. D’après le tableau de variation, l’équation f ( x ) = −2 admet :
une unique solution sur ]−∞ ; 4 ], puisque −2 est le minimum de f sur cet intervalle
et n’est atteint qu’une fois ;
aucune solution sur [ 4 ; + ∞[ , car −2 ∉ ]0 ; π ].
Donc l’équation f ( x ) = -2 admet une unique solution sur ℝ.
2. L’équation f ( x ) = m admet :
● aucune solution si m < -2 ;
● une solution si m = -2 ;
● deux solutions si m ∈ ] -2 ; 0] ;
● trois solutions si m∈ ∈ ]0 ; p[ ;
● deux solutions si m = p ;
● une solution si m > p.
6 1. Pour tout x 0, f ′( x ) = 2 + cos( x ) 1 car cos( x ) −1.

Donc f ′ est strictement positive sur ℝ + , donc f est strictement croissante sur R + .
2. Pour tout x 0, sin( x ) −1 donc f ( x ) 2 ( x − 6) − 1 2 x − 13.
De plus, lim (2 x − 13) = +∞. Donc, d’après le premier théorème de comparaison,
x →+∞
lim f ( x ) = + ∞ .
x→ + ∞
Voir le chapitre 1, premier théorème de comparaison.
3. ● f est continue et strictement croissante sur [0 ; + ∞[ ;

● 0 est compris entre f ( 0) = −12 et lim f ( x ) = + ∞.
x →+∞
f ( x ) = 0 admet une unique solution sur +.
4.
X Y1
6,08 −0,04179013
6,09 −0,01198592
6,1 0,0178375
6,11 0,04767912
62
0 est compris entre f (6, 09) ≈ − 0, 01 et f (6,1) ≈ 0, 02, donc un encadrement à

10 −2 de l’unique antécédent x0 de 0 par f est :
2
6, 09 < x0 < 6, 1.

7 1. a. f est de la forme g (ax + b ) avec g : x ֏ x et a = 2 et b = −5.
Donc, pour tout x > 2, 5 :
1 1
f ′ ( x ) = 2 × g ′ ( 2 x − 5) = 2 × = > 0.
2 2x − 5 2x − 5
Donc f est strictement croissante sur [2, 5 ; + ∞[ .
On peut aussi écrire f = u avec u : x → 2 x − 5. (Voir le cours, théorème 1).
b. g est de la forme u 5 avec u : x ֏ 2 x − 1.

Donc g ′ = u ′ × 5u 4 soit, pour tout x > 0 :
 1 
( 5
) ( )
4 4
g′ (x) =  2 ×  × 5 2 x −1 = × 2 x − 1 0.
 2 x x
1 1
De plus, g′ s’annule lorsque x = , c’est-à-dire pour x = (valeur isolée).
2 4
Donc g est strictement croissante sur [0 ; + ∞[ .
u′
c. h est de la forme u avec u : x ֏ 3 x 2 + 1 donc h′ = .
2 u
6x 3x > 0 si x > 0
Pour tout x ∈ℝ, h′( x ) = = 
2 3x + 1
2
3 x + 1 < 0 si x < 0
2
Donc h est strictement décroissante sur [ -∞

∞ ; 0[ et strictement croissante sur
[0 ; + ∞ [ .
1
d. k est de la forme sin (u ) avec u : x ֏ donc k ′ = u ′ × cos (u ) .
x
2 1  1
Pour tout x , k ′ ( x ) = − 2 × cos   .
π x  x
2 1 π  π
Or x ⇒ 0 < . La fonction cosinus est strictement positive sur  0 ; 2 
π x 2
π
et nulle en .
2
 1 2 
Donc cos   > 0 sur  ; + ∞  et k ′ ( x ) < 0 sur  ; + ∞  .
2
 x  π  
π 
2 
Donc k est strictement décroissante sur  ; + ∞  .
 π 
63
CORRIGÉS
π
2. a. f est de la forme cos (u ) avec u : x ֏ − 4 x donc f ′ = u ′ × ( − sin u ) .
2
 π  π 
Pour tout x ∈ 0 ;  , f ′( x ) = ( − 4 ) ×  − sin  − 4 x  soit :
 2    2 
π 
f ′( x ) = 4 sin  - 4 x  .
2 
 π
b. Soit x ∈ 0 ;  :
 2
π  π
sin  − 4 x  = 0 ⇔ − 4 x = 0 + k π ( k ∈ ℤ)
2  2
π
⇔ 4x = − k π ( k ∈ ℤ)
2
π π
⇔x= −k ( k ∈ ℤ)
8 4
 π π π 3π   π
⇔  x = ou x = + =  car x ∈ 0 ;  .
 8 8 4 8   2
c.
π 3π π
x 0
8 8 2
π π 3π
− 4x 0 −π −
2 2 2
π 
Signe de  − 4 x  + 0 − 0 +
2 
π 
Signe de f ′( x ) = 4 sin  − 4 x  + 0 − 0 +
2 
Variations de f 1 0
0 −1
π
Les valeurs de − 4 x décroissent.
2
8 1. a. f est de la forme cos (u ) avec u : x ֏ 2 x. Donc f ′ = u ′ × ( − sin u ) .

Pour tout x ∈[0 ; π ] , f ′ ( x ) = −2 sin (2 x ) .
On peut aussi considérer f (x) = cos (ax + b) avec a = 2 et b = 0 (cf cours, II,
théorème 3).
64
b. Soit x ∈[ 0 ; π ] :
2
sin ( 2 x ) = 0 ⇔ 2 x = 0 + kπ (k ∈ ℤ)

( k ∈ℤ)
π
⇔ x = 0+k
2
 π 
sin(2 x ) = 0 ⇔  x = 0 ou x = ou x = π  car x ∈[0 ; π ].
 2 
c.
π
x 0 π
2
2x 0 π 2π
Signe de sin( 2x ) 0 + 0 − 0
Signe de f ′(x) = −2 sin(2x) 0 − 0 + 0
Variations de f 1 1
−1
 π 3π 
2. f ( x ) = 0 ⇔ cos( 2 x ) = 0 ⇔  2 x = ou 2 x =  (car 2x décrit [0 ; 2π ])
 2 2
 π 3π 
f ( x ) = 0 ⇔  x = ou x =  .
 4 4
1 1 π
3. f ( x ) = ⇔ cos(2 x ) = ⇔ cos(2 x ) = cos
2 2 3
 π 5π 
⇔  2 x = ou 2 x =  (car 2x décrit [0 ; 2π ])
 3 3
1  p 5p 
f ( x) = ⇔  x = ou x =  .
2  6 6
4. ● T : y = f (0) + f ′(0) × ( x − 0 ) avec f (0) = 1 et f ′(0) = 0.
Donc T : y = 1.
 π  π  π  π  π
T ′ : y = f   + f ′   ×  x −  avec f   = −1 et f ′   = 0.
 2  2  2   2   2
Donc T ′: y = -1.
65
CORRIGÉS
5.
y
1
f
−π/6 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π x
−1
9
1. Pour tout x réel :
(2 x − 1) (ax 2 + bx + c ) = 2ax 3 + (2b − a) x 2 + (2c − b) x − c.
Donc 2 x 3 + 7 x 2 + 2 x − 3 = ( 2 x − 1)( ax 2 + bx + c ) pour tout x si, et seulement si :
 2a = 2
2b − a = 7 a = 1
 
 , soit b = 4
2c − b = 2 c = −3
 −c = −3 
Il y a plus d’équations que d’inconnues. La résolution de la 4e équation constitue

une vérification.
Donc, pour tout x réel, 2 x 3 + 7 x 2 + 2 x - 3 = (2 x - 1)( x 2 + 4 x - 3) .

1
2. Pour tout x ≠ − ,
2
f ( x) =
(2 x − 1) ( x 2 + 4 x + 3) = x 2 + 4 x + 3, donc lim f ( x ) = 5, 25.
2x − 1 x →−
1
2
1
f est continue en si, et seulement si, a = 5,25.
2
1 sin X 1
10 1. ● Pour tout X > 0, − 1 sin X 1, donc − .
X X X
1 1
De plus, lim − = lim = 0, donc, d’après le théorème des gendarmes,
X →+ ∞ X X →+ ∞ X
sin X
lim = 0.
X →+ ∞ X
66
1 sin X 1
● Pour tout X < 0, − 1 sin X 1, donc − 2
X X X
(division par X < 0).

1 1
De plus, lim − = lim = 0 donc, d’après le théorème des gendarmes :
X →− ∞ X X →− ∞ X
sin X
lim = 0.
X →- ∞ X
La fonction sin n'admettant pas de limite à l'infini, on a commencé par encadrer
sin X.
 1
sin  
 x  sin ( X ) 1
2. Pour tout x ≠ 0, f ( x ) = = avec X = .
1 X x
x
 1
 xlim = +∞
→0+ x
 , donc, par composition, lim+ f ( x ) = 0.
x→0
 lim sin X = 0
 X →+ ∞ X
 1
 xlim = −∞
→0− x
 , donc, par composition, lim− f ( x ) = 0.
x→0
 lim sin X = 0
 X →− ∞ X
lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f (0), donc f est continue en 0.
x →0+ x→0
f ( x ) − f ( 0) 1 1
3. Soit x ≠ 0, = sin . Or lorsque x tend vers 0+ ou 0 –, tend vers
x−0 x x
+ ∞ ou – ∞ et la fonction sinus n’admet pas de limite en + ∞ ni en – ∞. Donc
f ( x ) − f ( 0)
n’admet pas de limite en 0. Cela signifie que f n’est pas
x−0
dérivable en 0.
4.
y
1  
: y = x sin  1 
x
−π −π 0 π π x
3 6 6 3
67
CORRIGÉS
11 ● 1. Limites de f (x) à l’infini

D’après la propriété de la limite en l’infini d’une fraction rationnelle :
x3
lim f ( x ) = lim = lim x 2 = + ∞.
x →± ∞ x →± ∞ x x →± ∞
D’où lim f ( x ) = + ∞ et lim f ( x ) = + ∞.

x → +∞ x→ − ∞
● Limites de f(x) en −2
lim ( x 3 + x 2 + x + 1) = −5 et xlim
x →−2 →−2+
( x + 2) = 0 + , donc xlim
→-2+
f ( x) = - ∞ ;
lim ( x 3 + x 2 + x + 1) = −5 et lim− ( x + 2) = 0 − , donc lim- f ( x ) = + ∞.

x →−2 x →−2 x → -2
2. f ′( x ) =
(3x 2 + 2 x + 1) ( x + 2) − ( x 3 + x 2 + x + 1)
( x + 2)2
2x3 + 7 x2 + 4 x + 1
f ′( x ) = .
( x + 2)2
3. a. g ′( x ) = 6 x 2 + 14 x + 4 = 2 (3 x 2 + 7 x + 2) .
Factorisons g′(x) pour en connaître le signe.
1  1
∆ = 49 − 24 = 52 , x1 = −2 et x2 = − , d’où g ′( x ) = 2 × 3 ( x + 2)  x +  .
3  3
Tableau de variation de g :
1
x −∞ −2 − +∞
3
Signe de g ′( x ) + 0 − 0 +
5 +∞
Variations de g 10
−∞ 27
b. g est continue et strictement croissante sur ]− ∞ ; − 2]

0 est compris entre lim g ( x ) = −∞ et g ( − 2) = 5,
x →− ∞
donc l’équation g ( x ) = 0 admet une unique solution a sur l’intervalle

] - ∞ ; - 2] .
g ( −2, 87) < 0 et g ( −2, 86) > 0, donc - 2, 87 < α < -2, 86.
1
c. D’après le tableau de variation, g admet un minimum en − , et ce minimum
3
10
vaut > 0.
27
g est donc strictement positive sur [ −2 ; + ∞[ .
L’équation g ( x ) = 0 n’admet donc aucune solution sur [ −2 ; + ∞[ .
68
4. f ′(x) est du signe de g(x) sur R{−2}, donc :

2
x −∞ α −2 +∞

Signe de f ′(x)
- 0 + +
+∞ +∞ +∞
Variations de g
f ( α) −∞
f (α ) ≈ f ( −2, 87) ≈ 19, 85.
 xlim 3x 2 + 4 = + ∞ ;
 →− ∞
12 1.  donc, par composition lim 3 x 2 + 4 = + ∞ ;
lim
 X →+ ∞ X = + ∞ . x →− ∞
de plus, lim − x 3 = + ∞ donc, par somme, lim f ( x ) = + ∞.

x →− ∞ x → −∞
2. ● lim 3x 2 + 4 = + ∞ et lim X = + ∞, donc lim 3 x 2 + 4 = + ∞.

x →+ ∞ X →+ ∞ x →+ ∞
● lim − x 3 = − ∞.
x →+ ∞
C’est une forme indéterminée. Or :
f ( x) =
1 ( 3x 2 + 4 − x 3 × ) ( 3x 2 + 4 + x 3 )=1 3x 2 + 4 − 3x 2
=
2
.
2 ( 3x 2 + 4 + x 3 ) 2 3x 2 + 4 + x 3 3x + 4 + x 3
2
● lim 3 x 2 + 4 = + ∞ ;
x →+∞
● lim x 3 = + ∞.
x →+∞
Donc lim
x →+ ∞
( )
3 x 2 + 4 + x 3 = + ∞ soit lim f ( x ) = 0.
x→ + ∞
1 6x 
3. Pour tout x réel, f ′( x ) =  − 3
2  2 3x + 4
2 
3 x − 9 x 2 + 12
f ′( x ) = .
2 3x2 + 4
4. Si x 0, alors 3x < 9 x 2 + 12 équivaut à 9 x 2 < 9 x 2 + 12 (car la fonction

carré est strictement croissante sur ℝ + ) et à 0 < 12 (toujours vrai).
Donc pour tout x 0, 3 x - 9 x 2 + 12 < 0 et f ′( x ) < 0.
5. Si x < 0, alors 3x < 0, donc 3x − 9 x 2 + 12 < 0, donc f ′(x) < 0
Finalement, pour tout x réel, f ′( x ) < 0, donc f est strictement décroissante sur .
 1
 xlim =0
13 1.  →+ ∞ x
, donc, par composition, lim f ( x ) = 0.
x→ + ∞
 lim sin X = 0
 X →0
2. f est de la forme sin(u) avec u : x ֏ 2 x. Donc f ′ = u ′ × cos (u ) .
69
CORRIGÉS
1 1  1
Pour x f ′( x ) = - 2 × cos   .
2π x  x
1 2  3π 1
3. Sur  ; , < 2π. Or la fonction cosinus est strictement positive
 2 π 3π  2 x
 3π  1
sur  ; 2π  . Donc cos > 0, donc f ′( x ) < 0.
 2  x
Dessiner le cercle trigonométrique au brouillon.
 2 2  π 1 3π 1
Sur  ; , < < , donc cos < 0, donc f ′( x ) > 0.
 3π π  2 x 2 x
1
Sur  ; + ∞  , 0 < < , donc cos > 0, donc f ′( x ) < 0.
2 1 π
 π  x 2 x
4.
1 2 2
x +∞
2π 3π π
Signe de f ′(x) − 0 + 0 −
Variations de f 0 1
−1 0
Penser à toujours vérifier la conformité de vos résultats avec l’allure de la courbe

donnée par la calculatrice.
y
1  
: y = sin  1x 
 
−1 0 1 2 3 4 5 6 x
−1
14 1. a. Pour tout x réel, f ′( x ) = 3x 2 + 1 > 0, donc f est strictement crois-

sante sur R.
De plus, lim f ( x ) = lim x 3 , donc lim f ( x ) = − ∞ et lim f ( x ) = lim x 3 , donc :

x →− ∞ x →− ∞ x →− ∞ x →+ ∞ x →+ ∞
lim f ( x ) = + ∞.
x→ + ∞
b. f (0) = -17 et f ( 5) = 113.
70
c. a0 = 0 et b0 = 5, donc c0 = 2, 5.
2
f (2, 5) = 1,125, donc x0 ∈[ a1 ; b1 ] avec a1 = 0 et b1 = 2, 5.

d. ● c1 = 1, 25 et f (c1 ) ≈ −13, 8, donc x0 ∈[1, 25 ; 2, 5].
Comme 2, 5 − 1, 25 > 0, 2, on continue.
2, 5 + 1, 25
● c = = 1, 875 et f (c2 ) ≈ −8, 5, donc x0 ∈[1, 875 ; 2, 5] .
2
2
Comme 2, 5 − 1, 875 > 0, 2, on continue.
2, 5 + 1, 875
● c = = 2,1875 et f (c3 ) ≈ − 4, 34, donc x0 ∈[2,1875 ; 2, 5].
3
2
Comme 2, 5 − 2,1875 > 0, 2, on continue.
2, 5 + 2,1875
● c = = 2, 34375 et f (c3 ) ≈ −1, 8, donc x0 ∈[2, 34375 ; 2, 5].
4
2
Comme 2, 5 − 2, 34375 0, 2, on s’arrête.
Donc, x0 est compris entre 2,34375 et 2,5.
2.
VARIABLES
c EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
TANT_QUE (b-a>0.01) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
c PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
SI (F1(c)==0) alors
DEBUT_SI
AFFICHER “x0 =”
AFFICHER c
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
SI (F1(c)<0 ALORS
DEBUT_SI
a PREND_LA_VALEUR c
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
b PREND_LA_VALEUR c
FIN_SINON
FIN_SINON
FIN_TANT_QUE
AFFICHER a
AFFICHER “et”
AFFICHER b
FIN_ALGORITHME
71
CORRIGÉS
On obtient un encadrement à 10−2 près de x0 :

*** Algorithme lancé***
x0 est compris entre 2.4414063 et 2.4511719
***Algorithme terminé***
3. On obtient :
*** Algorithme lancé***
x0 est compris entre 1.7382813 et 1.7480469
***Algorithme terminé***
15 1. ● On remarque que 1 est une racine du trinôme x 2 − 6 x + 5 qui se factorise

donc en ( x − 1) ( x − x2 ) , x2 désignant la seconde racine du trinôme. En dévelop-
pant, on trouve x2 = 5.
On peut aussi calculer ∆, puis les racines de x² − 6x + 5.
x 2 − 6 x + 5 est positif à l’extérieur des racines (puisque a = 1 > 0), c’est-à-dire :
strictement positif sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]5 ; + ∞[ ;


x 2 − 6 x + 5 est strictement négatif sur ]1 ; 5[ ;
 nul en 1 et en 5.

 x 2 - 6 x + 5 si x ∈ ]- ∞ ; 1] ∪ [5 , + ∞[
● Par conséquent, f ( x ) = 
 - ( x 2 - 6 x + 5) = - x 2 + 6 x - 5 si x ∈ ]1 ; 5[ .
2. Au voisinage de + ∞ et de – ∞, f ( x ) = x 2 − 6 x + 5.
 xlim x 2 − 6 x + 5 = lim x 2 = + ∞
 →+ ∞ x →+ ∞
●  , donc, par composition, lim f ( x ) = + ∞.
 Xlim X = +∞ x→+ ∞
→+ ∞
 xlim x 2 − 6 x + 5 = lim x 2 = + ∞
 →− ∞ x →− ∞
●  , donc, par composition, lim f ( x ) = + ∞.
 Xlim X = +∞ x→ - ∞
→+ ∞
 lim+ ( x 2 − 6 x + 5) = 0
 x →5
3. ●  , donc, par composition, lim f ( x ) = 0 ;
 lim
X →0
X =0 x →5+
 lim− ( − x 2 + 6 x − 5) = 0
 x →5
 , donc, par composition, lim f ( x ) = 0 ;
 lim
X →0
X =0 x → 5−
f (5) = 52 − 6 × 5 + 5 = 0 = 0 .
Donc f est continue en 5.
Voir le cours, fin du paragraphe III 1.
72
 lim+ ( x 2 − 6 x + 5) = 0 2
 x→1 f ( x) = 0 ;
●
 , donc, par composition, lim
x →1+
 lim X =0
X →0

 lim− ( x 2 − 6 x + 5) = 0
 x→1
 , donc, par composition, lim f ( x ) = 0 .
 lim
X →0
X =0 x →1−
De plus, f (1) = 12 − 6 × 1 + 5 = 0 = 0.
Donc f est continue en 1.
f ( x ) − f (5) f ( x ) ( x − 1) ( x − 5) x −1
4. a. Si x > 5, = = = .
x −5 x −5 x −5 x −5
 lim x − 1 = 2
 x→5+ f ( x ) − f (5)
Or  , donc, par quotient, lim+ = + ∞.
 xlim x − 5 = 0 + x → 5 x − 5
→5+
A fortiori, f n’est pas dérivable en 5.
f ( x ) − f (1) f ( x ) ( x − 1) ( x − 5) (1 − x ) (5 − x ) 5− x
b. Si x < 1, = = = =−
x −1 x −1 −(1 − x ) − 1− x 2
1− x
car 5 − x > 0 et 1 − x > 0.
 lim 5 − x = 2
 x→1−
Or  , donc, par quotient, lim− f ( x ) = − ∞.
 lim −
1 − x = 0+ x →1
x →1
A fortiori, f n’est pas dérivable en 1.
On peut montrer de plus que lim+ f (x) = + ∞ et que lim− f (x) = − ∞. On peut alors
x →1 x →5
affirmer que 1 admet des tangentes verticales aux points d’abscisses 1 et 5.
5. ● Sur ]− ∞ ; 1[ et sur ]5 ; + ∞[ , f est de la forme u avec u : x ֏ x 2 − 6 x + 5.
u ′( x ) 2x − 6 x −3
Alors f ′( x ) = = = .
2 u( x ) 2 x − 6x + 5
2
x − 6x + 5
2
Sur ]− ∞ ; 1[ , x − 3 < 0, donc f ′( x ) < 0.

f est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 1] .
Sur ]5 ; + ∞[ , x − 3 > 0, donc f ′( x ) > 0.
f est strictement croissante sur [5 ; + ∞[ .
73
CORRIGÉS
● Sur ]1 ; 5[ , f est de la forme u avec u : x ֏ − x 2 + 6 x − 5.

−2 x + 6 −x + 3
Alors f ′( x ) = = .
2 − x + 6x − 5
2
− x2 + 6x − 5
> 0 si x < 3 > 0 si x < 3

 
Or − x + 3 < 0 si x > 3 donc f ′( x ) < 0 si x > 3 .
= 0 si x = 3 = 0 si x = 3
 
Donc f est strictement croissante sur [1 ; 3] et strictement décroissante sur

[ 3 ; 5] .
6. Soit x ∈[1 ; 5].
IM = ( x − 3)2 + ( f ( x ) − 0)2 = x 2 − 6 x + 9 + ( − x 2 + 6 x − 5) = 4 = 2.
La restriction de f à l’intervalle [1 ; 5] est donc une portion du cercle de centre

I et de rayon 2.
Mais comme I est le milieu du segment [AB], avec A(1 ; 0) et B(5 ; 0), on peut
affirmer que la restriction de f à l’intervalle [1 ; 5] est le demi-cercle supérieur
de diamètre [AB].
16 1. cos( x ) = 0 ⇔  x = + 2k π, k ∈ ℤ ou x = − + 2k π, k ∈ ℤ
π π
 2 2 
π
+ kπ , k ∈ Z.
cos x = 0 ⇔ x =
2
sin π 
2. tan = , donc la fonction tan est définie sur ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ .
cos  2 
π sin ( x + π ) − sin ( x )
3. Pour tout x ≠ + k π ( k ∈ ℤ ) , tan ( x + π ) = = = tan ( x ) .
2 cos ( x + π ) − cos ( x )
La fonction tan est donc π- périodique et il suffit de l’étudier sur l’intervalle

 π π
 − 2 ; 2  .
Pour tout k ∈ℤ* , on obtient la représentation graphique de tan sur l’intervalle
 π π   π π
 − 2 + kπ ; 2 + kπ  à partir de celle de tan sur  − 2 ; 2  . par la translation de
   
→
vecteur kπi
74
4. Voir corrigé de l’exercice 3.b.

2
lim + tan( x ) = - ∞ et lim- tan( x ) = + ∞.
π π

x→- x→
2 2
 π π
5. ● Pour tout x ∈  − ;  :
 2 2
cos ( x ) × cos ( x ) − sin ( x ) × ( − sin ( x )) cos 2 ( x ) + sin 2 ( x )
tan ′( x ) = = .
(cos ( x ))
2
cos 2 ( x )
En utilisant la propriété cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1, on obtient :

1
tan ′ ( x ) = .
cos 2 ( x )
On trouve également :
cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) sin 2 ( x )
tan ′ ( x ) = = + = 1 + tan 2 ( x ) .
cos 2 ( x ) cos 2 ( x ) cos 2 ( x )
 π π
● De chacune de ces deux expressions, on déduit que tan′ ( x ) > 0 sur  − ;  .
 2 2
 π π
Donc la fonction tangente est strictement croissante sur  - ;  .
 2 2
sin (0 ) 0
6. tan (0 ) = = = 0; 7.
cos (0 ) 1 y
6
 π : y = tan(x)
sin   2 5
 π  4 2
tan   = = = 1; 4
 4  π 2
cos  
 4 2 3
 −π 
sin   − 2
2
 −π   4 
tan   = = 2 = 1. 1
 4   −π  − 2
cos  
 4  2 −π −π/2 0 π/2 π x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
75
CORRIGÉS
17 1. Réponse b. 2. Réponse c. car rien ne dit que f est strictement monotone

cos ( x ) − 1 cos ( x ) − cos (0 )
3. Réponse d. 4. Réponse b. car = , qui a pour limite
x x−0
cos ′ (0 ) = − sin (0 ) = 0 quand x tend vers 0.
18
Partie A
1. g est dérivable sur ℝ et pour tout x ∈ ℝ, g ′ ( x ) = 3x 2 + 3 > 0.
Donc g est strictement croissante sur ℝ.
2. xlim g ( x ) = lim x 3 = + ∞ et lim g ( x ) = lim x 3 = − ∞.
→+ ∞ x →+ ∞ x →− ∞ x →− ∞
g est continue et strictement croissante sur ℝ.

0 est compris entre lim g ( x ) = − ∞ et lim g ( x ) = + ∞.
x →− ∞ x →+ ∞

g ( x ) = 0 admet une unique solution a.
g ( −1, 52) ≈ − 0, 072 et g ( −1, 51) ≈ 0, 027 soit g ( −1, 52) < 0 < g ( −1, 51) .
Donc −1, 52 < α < −1, 51.

3.
x −∞ α +∞
Variations de g +∞
0
−∞
Signe de g − 0 +
Partie B
1. f est définie et dérivable sur ℝ et, pour tout x ∈ℝ :
3 x 2 ( x 2 + 1) − ( x 3 − 4 ) × 2 x x 4 + 3x 2 + 8 x xg ( x )
f ′ (x) = = = .
+ 1) (x + 1) ( x 2 + 1)2
2 2
(x 2 2
x −∞ α 0 +∞
x − − 0 +
g(x) − 0 + +
Signe de f ′(x) + 0 − 0 +
Variations de f f (α) +∞
−∞ −4
76
x3 x3
lim f ( x ) = lim = lim x = + ∞ et lim f ( x ) = lim 2 = lim x = − ∞. 2
x →+ ∞ x →+ ∞ x 2 x →+ ∞ x →− ∞ x →− ∞ x x →− ∞
2. ● g (α ) = 0, donc α 3 = −3α − 8, d’où :

f (α ) 1 −3α − 12 −3 (α + 4 ) −3 (α + 4 ) 3 3
= + = = = . Donc f ( α ) = α.
α α α2 + 1 α3 + α −2α − 8 2 2
● −1, 52 < α < −1, 51, donc −2, 280 < f ( α ) < −2, 265.
3. a. T : y = f (0 ) + f ′ (0 ) × ( x − 0 ) .
Or f (0 ) = − 4 et f ′ (0 ) = 0, donc l’équation de T est y = - 4.
x3 − 4 x3 + 4 x2 x+4
b. f ( x ) − ( − 4 ) = 2 +4= 2 = x2 × 2 .
x +1 x +1 x +1
Si x < − 4, alors f ( x ) − ( − 4 ) < 0 et est au-dessous de (T ) ;
Si x > − 4, et x ≠ 0, alors f ( x ) − ( − 4 ) > 0 et est au-dessous de (T ) ;
et (T ) se coupent au point d’abscisse - 4.
c.
y
5
4
3
: y = f (x)
2
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
−1
−2
−3
−4
(T ) : y = − 4
−5
f ( x ) − f (a)
19 1. f est dérivable en a si admet une limite finie quand x tend
x−a
vers a.
2. a. Soit x un réel tel que x ∈ I et x ≠ a.
f ( x ) − f ( a ) = g ( x ) ( x − a ) , donc f ( x ) = f ( a ) + g ( x )( x − a ) .
b. Comme f est dérivable en a, lim g ( x ) = f ′ ( a ) ∈ℝ.
x→a
lim g ( x ) = f ′ ( a )
x→a
 , donc, par produit, lim g ( x ) ( x − a ) = 0.
lim
 x→a
( x − a) = 0 x→a
Donc lim f ( a ) + g ( x ) ( x − a ) = f ( a ) , soit lim f ( x ) = f ( a ) .

x→a x→a
Donc f est continue en a.
77

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Tableaux de variation sur ]− π ; π ] :

Les fonctions cosinus et sinus n’admettent pas de limite en + ∞ ni en − ∞.

Ce résultat provient de la définition de la dérivabilité en 0 de la fonction sinus.

■ Fonctions de la forme cos( u)

Compléments sur les fonctions

2. Rédiger et appliquer le corollaire du théorème

● k est compris entre… et … (valeur ou limite).

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation

EXEMPLE : Soit f la fonction définie sur ]− ∞ ; 3] par f ( x ) = (3 − x ) 3 − x.

● f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]− ∞ ; 3] .

● 5 est compris entre f (3) = 0 et lim f ( x ) = + ∞.

3. Déduire d’un tableau de variation

EXEMPLE : Soit f une fonction définie sur R dont on connaît le tableau de

D’après le tableau de variation, l’équation f ( x ) = 0 admet :

● une unique solution sur ]0 ; 2] ( puisque −1 < 0 < 3 ) ;

● aucune solution sur [ 2 ; + ∞[ , f étant strictement croissante sur cet intervalle

4. Déterminer une valeur approchée

Lire dans la table un encadrement à 10 −1 près de x0 ( a < x0 < b).

Compléments sur les fonctions

Pas de 1 : Pas de 0,1 :

5. Déterminer la limite en ± ∞ d’une fonction de la forme

Étudier la continuité de la fonction f en −2.

2 CONTINUITÉ ET ENCADREMENT | b | 10 min | uP. 59 |

Voir le cours, III.1.

3 LIMITES | bb | 30 min | uP. 59 |

Compléments sur les fonctions

h est la restriction de la fonction tangente à l’intervalle  − π ; π  .

4 ALGORITHME : RACINES CUBIQUES | bb | 35 min | uP. 60 |

Utiliser la boucle « Tant que ».

5. Écrire un algorithme associant à un réel k positif un encadrement au dixième

THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

2. Sans justification, donner le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = m

6 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES | b | 20 min | uP. 62|

4. Donner une valeur approchée à 10−2 près de(s) antécédent(s) de 0 par f.

7 FONCTIONS COMPOSÉES | bb | 35 min | uP. 63 |

a. f est définie sur [ 2, 5 ; + ∞[ par f ( x ) = 2 x − 5.

Voir programme de 1re S.

c. Recopier et compléter le tableau suivant :

Compléments sur les fonctions

π ... ... ... ...

8 FONCTION COMPOSÉE ET COSINUS | b | 30 min | uP. 64 |

Voir programme de 1re S.

c. Recopier et compléter le tableau suivant :

9 DÉFINITION DE LA CONTINUITÉ | bb | 15 min | uP. 66 |

Développer (2 x − 1)(ax 2 + bx + c) et regrouper les termes de même degré, puis

2. Pour quelle valeur de α la fonction f est-elle continue sur R ?

10 FONCTION CONTINUE NON DÉRIVABLE | bb | 20 min | uP. 66 |

Voir la remarque en fin de paragraphe IV-2.

4. Visualiser à l’aide d’un logiciel la courbe représentative de la fonction f.

ÉTUDE DE FONCTION ET THÉORÈME

3. On note g la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x + 1.

Compléments sur les fonctions

12 FONCTION COMPOSÉE F(u) | bb | 25 min | uP. 69 |

On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x ) =

Pour cela, lever l’indétermination en multipliant numérateur et dénominateur

3. Écrire f ′ ( x ) sous forme d’un quotient.

5. Étudier le signe de f ′ ( x ) sur ℝ et en déduire les variations de f.

4. Dresser le tableau de variation complet de f.

14 ALGORITHME DICHOTOMIE | bb | 45 min | uP. 70 |

Soit l’application f de ℝ dans ℝ définie par f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 , et soit f

3. On note () la courbe représentative de f dans un repère orthonormal

b. Pour tout x ∈ℝ, 0 cos( x ) 1, donc x 2 + 3 x 2 + 3 + cos( x ) x 2 + 4,

c. Pour tout n, −1 cos( n) 1, donc 3 − 3 cos( n) − 3 (multiplication par

6 1. Pour tout x 0, f ′( x ) = 2 + cos( x ) 1 car cos( x ) −1.

4. Si x 0, alors 3x < 9 x 2 + 12 équivaut à 9 x 2 < 9 x 2 + 12 (car la fonction

affirmer que 1 admet des tangentes verticales aux points d’abscisses 1 et 5.