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Exercice 3 : Mécanique (Les deux parties 1 et II sont indépendantes)

Partie 1 : Mouvement d'un skieur
Cette partie de J'exercice décrit un modèle très simplifié du mouvement du centre d'inertie G d'un skieur
dans deux phases de son parcours :
-Première phase : Mouvement rectiligne du skieur sur un plan incliné ;
-Deuxième phase : Chute libre du skieur dans le champ de pesanteur uniforme.
Données :
- Masse du skieur : m = 60 kg ;
-Intensité de l'accélération de la pesanteur : g=9,8m.s-2.
On néglige l'action de l'air.
1-Première phase : mouvement du skieur sur un plan incliné.
On étudie le mouvement du centre d'inertie G du skieur
dans le repère (O ;i⃗⃗1 ; ⃗⃗j1 ) lié à un référentiel terrestre
considéré galiléen (figure 1).
Pour atteindre le sommet S d'une piste (P) rectiligne
inclinée d'un angle α=23° par rapport à l'horizontale, le
skieur part du point O sans vitesse initiale à t=0. Il est
accroché à un câble rigide faisant un angle β=60° avec
l'horizontale. Le câble exerce sur le skieur une force de
traction F ⃗ constante dirigée selon la direction du câble
(figure 1).
Durant toute cette phase, le skieur reste constamment en
contact avec le sol. On note ⃗⃗⃗⃗⃗ R T et ⃗⃗⃗⃗⃗
R N respectivement les
composantes tangentielle et normale de l'action du plan incliné sur le skieur
avec ‖R ⃗⃗⃗⃗⃗T ‖=k‖R⃗⃗⃗⃗⃗N ‖ ; k étant le coefficient de frottement solide et
‖R⃗⃗⃗⃗⃗T ‖=f=80N.
l-l-En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation
différentielle vérifiée par la vitesse v du centre d’inertie. G s’écrit :
dv f F
+ +g.sin α - .cos(β − α)=0
dt m m
1-2- La courbe de la figure 2 représente la variation de la vitesse v en fonction
du temps.
1-2-1-Détenniner graphiquement la valeur de l'accélération du
mouvement de G.
1-2-2- Déduire l'intensité de la force de traction ⃗F.
1-3-Détemliner la valeur de k.
2-Deuxième phase : Phase du saut
Le skieur arrivant au sommet S de la piste (P), lâche le câble et quitte la piste à un instant choisi comme une
nouvelle origine des dates avec une vitesse ⃗⃗⃗VS faisant l'angle α avec l'horizontale et de valeur Vs =10 m.s-1
(figure 1).
On étudie le mouvement du centre d'inertie G du skieur dans le repère (S;T;}) lié à un référentiel terrestre
considéré galiléen
Soit B la position de G sur la piste (P') qui est inclinée d'un angle θ=450 par rapport à l'horizontale (figure l
).
2-1-Etablir les expressions numériques des équations horaires x(t)et y(t) du mouvement de chute libre
de G dans le repère (S,i, j).
2-2-En déduire que l'équation de la trajectoire de G s’écrit : y= -5,8.10-2 x2 +0,42x.
2-3- Trouver la longueur SB du saut.
Partie II : Mouvement d'un pendule simple
On considère un métronome que l'on modélise par un pendule simple formé par une tige rigide de masse

Page 1
négligeable et de longueur l = 24,8 cm à laquelle est suspendue une petite bille de masse
m=20g et de dimensions négligeables devant l.
Quand on écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle θm il oscille dans un plan
vertical entre les positions limites A et B autour d'un axe (∆) horizontal passant par 0
(figure 3). Le métronome émet un signal sonore lorsque la bille arrive en A et il émet le
même signal lors de son arrivée en B.
On repère la position du pendule par J'abscisse angulaireθà un instant t.
Données :
-Accélération de la pesanteur: g=9,81 m.s-2;
θ2
-Pour les oscillations de faible amplitude, on prend cos θ ≈1- 2 ; θ en radium ;
- Le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation (∆) est: J∆ =m.l2 .
Les frottements sont négligeables.
1-0n écarte le pendule, de sa position d'équilibre stable, d'un angle petit θm =8° et on le libère de la position
A à l’instant t0 =0 sans vitesse initiale.
On choisit comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal passant par la position de la
bille au point S.
1-1-Trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du pendule à un instant t en fonction de θ,l, m
et g.
1-2-Déterminer la valeur de l'énergie mécanique du pendule.
1-3-Par une étude énergétique, établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par l'abscisse
angulaire θ(t).
2-0n note T0 la période propre du pendule.
2-1- Donner l'expression de T0, en fonction de g et l et vérifier en utilisant les équations aux dimensions
qu'elle est homogène à un temps.
2-2-Calculer la valeur de T0. Déduire le nombre de signaux sonores émis durant la durée
∆t= t – t0 = 10,25 s sachant que le premier signal sonore est émis à l'arrivée de la bille au point B pour la
première fois.
3-Montrer, en se basant sur la conservation de l'énergie mécanique, que la vitesse angulaire θ̇(t) à un instant
θ 2
t s’exprime par la relation, θ̇(t) ≈ ±θ̇S .√1 − (θ ) Avec θ̇S la vitesse angulaire au point S.
m

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Exercice 3 : Mécanique (Les deux parties 1 et II sont indépendantes)
Partie 1 : Étude du mouvement d’un corps solide dans l’air et dans un liquide.
On trouve dans les piscines des plongeoirs a partir desquels chutent les baigneurs pour plonger dans l’eau.
Dans cette partie de l’exercice, on étudiera le mouvement d’un baigneur dans l’air et dans l’eau.
On modélise le baigneur par un corps solide (S) de masse m et de centre d’inertie G.
On étudie le mouvement du centre G dans un repère R (O,𝑘 ⃗ ) lié à un
référentiel terrestre supposé galiléen (figure1).
1- Étude du mouvement du G dans l’air.
A l’instant de date t0, pris comme origine des dates (t0=0), le baigneur
se laisse chuter sans vitesse initiale d’un plongeoir. On considère qu’il
est en chute libre durant son mouvement dans l’air. A la date t0 le
centre d’inertie G coïncide avec l’origine O du repère R (O,𝑘 ⃗ ) (ZG=0)
et est situé à une hauteur h=10m au-dessus de la surface de l’eau (fig1)
1-1- Établir l’équation différentielle régissant la vitesse Vz du centre
d’inertie G.
1-2- Déterminer le temps de chute tc de G dans l’air puis en déduire sa
vitesse Ve d’entrée dans l’eau.
2- Étude du mouvement vertical du centre d’inertie G dans l’eau.

Page 2
 ⃗⃗⃗𝑒 , de direction verticale, à l’entrée dans l’eau.
Le baigneur arrive avec la vitesse𝑉
Lorsqu’il est dans l’eau, il suit une trajectoire verticale ou il est soumis à l’action de :
- son poids,
⃗ Ou λ est le coefficient de frottement fluide (λ=250kg.s-1) et 𝑉
- la force de frottement fluide : 𝑓 = - λ.𝑉 ⃗ le
vecteur vitesse de G à l’instant t.
𝑚
– la poussée d’Archimède : 𝐹 = - .𝑔 Ou 𝑔 est l’intensité de la pesanteur et d=0.9 la densité du baigneur.
𝑑
On considère l’instant d’entrée de (S) dans l’eau comme nouvelle origine des dates (t=0).
m
2-1- Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse Vz de G .On posera 𝜏= .
λ
2-2- Déduire l’expression de la vitesse limite Vlz en fonction de𝜏, g et d. Calculer sa valeur.
𝑡
−
2-3- la solution de l’équation différentielle est Vz(t)=A+B.𝑒 𝜏,
ou A et B sont des constantes. Exprimer A
en fonction de de Vlz et B en fonction de Vlz et Ve .
2-4- Déterminer l’instant tr auquel le mouvement du baigneur change de
sens. (le baigneur n’atteint pas le fond de la piscine).
Partie II : Étude du Mouvement d'un pendule élastique.
Le pendule élastique étudié est constitué d’un solide (S), de masse m et de
centre d’inertie G, attaché à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives,
de masse négligeable, de longueur à vide l0 et de raideur K. L’autre
extrémité de ressort est fixée au point P.
Le solide (S) peut glisser sans frottement sur une tige (T) inclinée d’un
angle 𝛼 par rapport à la verticale et solidaire au point P (figure2).
On étudié le mouvement du centre d’inertie G dans le repère orthonormé R
(O,𝑖, 𝑗) lié à un referentiel terrestre consideré comme galileen.On repere la
position de G à un instant t par l’abscisse x sur l’axe (O ,𝑖). A l’équilibre G
est confondu avec l’origine O du repère (xG=0) (figure2).
On prendra :𝜋 2 =10.
1- exprimer le, la longueur du ressort à l’équilibre, en fonction de l0, m, 𝛼 et g
l’intensité de la pesanteur.
2- On déplace (S) de sa position d’équilibre d’une distance Xm, dans le sens
positif, et on le lâche à l’instant de date t=0 sans vitesse initiale.
La courbe de la figure 3 représente la variation de l’accélération az du centre
d’inertie G en fonction de l’abscisse x avec - Xm≤x≤+ Xm.
2-1- Établir, en appliquant la deuxième loi de Newton, l’équation
différentielle vérifiée par l’abscisse x(t).
2-2- la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
2π
x(t)=Xmcos (T t + φ). Trouver l’expression numérique de x(t).
0
3- On choisit comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur
(Epp(0)=0) l’état ou le ressort est allongé à l’équilibre.
3-1- Trouver à l’instant t, l’expression de l’énergie potentielle
Ep= Epp+ Epe de l’oscillateur en fonction de x et de K.
3-2- La courbe de la figure 4 représente les variations de l’énergie
cinétique de l’oscillateur en fonction de x.
En se basant sur la conservation de l’énergie mécanique, déterminer la
de la raideur K. Déduire la valeur de la masse.

Exercice 1 : Transformation nucléaire 2éme partie

La particule α émise arrive au trou O avec une vitesse horizontale ⃗⃗⃗⃗

V0 et penetre dans une
⃗
zone ou regne un champ magnetique B uniforme, perpendiculaire au plan (𝜋), d’intensité
B=1,5T. Cette particule dévié et heurte un écran au point M (voir schéma ci-contre).
L’intensité du poids de la particule α, de charge q=+2e, est négligeable devant la force de
Page 3
Lorentz qui s’exerce sur celle-ci.
2-1-Par application de la deuxième loi de Newton, déterminer la nature du mouvement de la particule α dans
la zone où règne le champ ⃗B .
2-2- Exprimer la distance OM en fonction de m (α), e, B et V0. Calculer sa valeur.
On donne :
- La masse de la particule α est : m (α)= 6,6447.10-27kg.
– V0=1,5.107 m.s-1 ; e=1,6.10-19C

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Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement de l’oscillateur (corps solide – ressort)
On étudie dans cette partie le mouvement d’un oscillateur mécanique élastique dans deux situations :
- l’oscillateur est horizontal,
- l’oscillateur est vertical.
L’oscillateur mécanique étudié est modélisé par un système (solide-ressort) constitué d’un solide (S) de
masse m et d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. On note T0 la période
propre de cet oscillateur.
On étudie le mouvement du centre d’inertie G du solide (S) dans un repère
lié à un référentiel terrestre considéré galiléen. On néglige les frottements et
on prend 2 10.
1-Etude de l’oscillateur mécanique horizontal :
Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre
extrémité le solide (S). Ce solide peut glisser sur le plan horizontal.
On repère la position de G à un instant t par l’abscisse x sur l’axe (O,𝑖).
À l'équilibre, le centre d’inertie G du solide coïncide avec l'origine O du repère
(figure 1). On écarte (S) de sa position d’équilibre et on le lâche sans vitesse
initiale à un instant choisi comme origine des dates (t 0). La courbe de la
figure 2 représente l’évolution au cours du temps de l’accélération ax du centre
d’inertie G.
1-1- Établir, en appliquant la deuxième loi de Newton, l’équation différentielle
vérifiée par l’abscisse x(t).
1-2- La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
2π
x(t)=Xmcos (T t + φ). Déterminer la valeur de Xm et celle de  .
0
2- Etude de l’oscillateur mécanique vertical :
On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 3 ; l’une des deux
extrémités du ressort est liée au solide (S) et l’autre est fixée à un support. On
repère la position de G à un instant t par la côte z sur l’axe (O,𝑘⃗ ).
À l'équilibre, le centre d’inertie G du solide coïncide avec l'origine O du repère R
(O,𝑘⃗ ) (figure 3).
On écarte, verticalement vers le bas, le corps (S) de sa position d’équilibre stable
puis on le libère sans vitesse initiale à un instant choisi comme origine des dates
(t0). L’oscillateur effectue alors un mouvement oscillatoire selon l’axe (Oz).
On choisit comme référence (Epp=0) de l’énergie potentielle de pesanteur
Epp le plan horizontal auquel appartient le point O et comme référence (Epe =0)
de l’énergie potentielle élastique Epe l’état où le ressort n’est pas déformé.
2-1- Déterminer, à l’équilibre, l’expression de l’allongement l0  l-l0 du ressort
en fonction de m, K et de l’intensité de la pesanteur g, avec l la longueur du
ressort à l’équilibre et l0 sa longueur à vide.
2-2-Montrer qu’à un instant t, l’expression de l’énergie potentielle totale Ep de
l’oscillateur s’écrit sous la forme : Ep Az2+ B où A et B sont deux constantes.
2-3-La courbe de la figure 4 représente les variations de l’énergie potentielle

Page 4
totale en fonction de la côte z.
2-3-1- Trouver la valeur del0 et celle de K.
2-3-2-Trouver, en se basant sur la variation de l’énergie potentielle totale Ep , le travail de la force de rappel
⃗ appliquée par le ressort sur le corps (S) lorsque G se déplace de la position de côte z1 0 à la position de
T
côte z2 1,4cm.
Partie II : Détermination du rayon de l’orbite de la lune autour de la terre.
Le but de cette partie est de déterminer la distance Terre-Lune à partir de l’étude du mouvement de la Terre
autour du Soleil et du mouvement de la Lune autour de la Terre.
Dans chaque cas, l’étude du mouvement se fait dans un référentiel considéré galiléen. On considère que :
- le Soleil, la Terre et la Lune présentent une répartition de masse à symétrie sphérique.
- la Lune n’est soumise qu’à la force de gravitation universelle appliquée par la Terre.
- la Terre n’est soumise qu’à la force de gravitation universelle appliquée par le Soleil.
Données :
 La période de révolution du centre d’inertie G de la Terre autour du soleil : T 365,25 jours,
 La période de révolution du centre d’inertie G' de la Lune autour de la Terre : T' 27,32 jours,
 On considère que :
- dans le référentiel héliocentrique , la trajectoire du centre G est assimilée à un cercle de rayon
R=1,49.108 km centré sur le centre d’inertie du soleil .
-dans le référentiel géocentrique, la trajectoire du centre G ' est assimilée à un cercle de rayon r centré sur le
centre G.
M
On note : M la masse du Soleil, m la masse de la Terre et m' celle de la Lune. On prend 3,35.105
m
1- Définir le référentiel géocentrique.
2- Choisir la proposition juste parmi les affirmations suivantes :
a-La constante de gravitation universelle s’exprime en m.s2 .
b-Le vecteur accélération du centre G de la terre est tangente à son orbite circulaire autour du Soleil.
c-Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération a une direction constante.
d-La vitesse du mouvement circulaire uniforme d’une planète autour du Soleil ne dépend pas de la masse de
la planète.
3-Donner l’expression vectorielle de la force d’attraction gravitationnelle exercée par le soleil sur la Terre,
dans la base de Freinet (𝑢⃗ ,𝑛
⃗⃗⃗ ).
4-En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que le mouvement du centre d’inertie G de la Terre
autour du soleil est circulaire uniforme.
5-Etablir la relation traduisant la troisième loi de Kepler relative au mouvement du centre d’inertie G de la
Terre autour du soleil.
6 -Trouver l’expression du rayon r en fonction de m, M, T, T' et R et calculer sa valeur

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Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement de chute de deux corps
Dans cette partie, on étudie le mouvement de chute de deux corps
(A) et (B) dans le repère orthonormé R (O,𝑖,𝑗) lié à un
référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O est situé au niveau
du sol (figure 1). On néglige la poussée d’Archimède devant les
autres forces et on prend l’intensité de la pesanteur : g 10m.s2.
1-Etude de la chute d’un corps avec frottement :
A un instant choisi comme origine des dates (t 0), on lâche, sans
vitesse initiale d’un point H, un corps solide (A) de masse
mA 0,5kg et de centre d’inertie GA (figure 1).
En plus de son poids, le solide (A) est soumis à une force de
frottement fluide 𝑓  k.v⃗⃗⃗⃗A Où vA est le vecteur vitesse de GA à un
instant t et k une constante positive (k  0).

Page 5
1-1- Montrer que l’équation différentielle du mouvement vérifiée par la
composante vAy(t) selon l’axe (OY) du vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗
vA s’écrit :
dvAy 1
+ vAy + g =0 ; où  représente le temps caractéristique du mouvement.
dt τ
1-2-La courbe de la figure 2 représente l’évolution de vAy(t) au cours du
temps. Déterminer  et déduire la valeur de k.
1-3-Déterminer, en utilisant la méthode d’Euler, la vitesse vAy(ti) à un instant
ti sachant que l’accélération à l’instant ti-1 est aAy(ti-1)= - 4,089m.s-2 et que le
pas de calcul est t= 0,01s .
2-Etude du mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur :
A l’instant où le centre d’inertie GA du corps (A) passe par le point F d’altitude hF= 18,5m par rapport au
sol, on lance un projectile (B), de masse mB et de centre d’inertie GB, d’un point P de coordonnées (0, hP)
π
avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
V0 faisant un angle  (0 ) avec l’horizontale (figure 1). On choisit cet instant
2
comme nouvelle origine des dates (t= 0) pour le mouvement de (A) et celui de (B).
On néglige les frottements pour le projectile (B) et on donne : hP 1,8 m ; V0=20 m.s-1.
2-1-Etablir les équations horaires xB (t) et yB (t) du mouvement de (B) en fonction de  et t.
2-2-Exprimer les coordonnées du point S, sommet de la trajectoire de (B), en fonction de  .
3-Les deux corps (A) et (B) se rencontrent au point S (on considère que GA coïncide avec GB en S).
Déterminer l’angle α correspondant sachant que le corps (A) passe par F avec sa vitesse limite et que les
mouvements de (A) et (B) s’effectuent dans le même plan (XOY).
Partie II : Étude du mouvement d’un pendule pesant
Cette partie vise la détermination de l’intensité de la pesanteur, en un lieu donné, ainsi
que quelques grandeurs qui sont liées au mouvement d’un pendule pesant.
Un pendule pesant est constitué d’une tige homogène OA de masse m, de centre d’inertie
G et de longueur L pouvant effectuer un mouvement de rotation dans un plan vertical
autour d’un axe horizontal () passant par son extrémité O (figure 1). Soit J le moment
d’inertie du pendule par rapport à l’axe ().
On étudie le mouvement du pendule dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé
galiléen.
On écarte la tige OA de sa position d’équilibre stable d’un petit angle0, dans le sens
positif, puis on la lance avec une vitesse angulaire initiale à l’instant de date t 0.
On repère la position du pendule à un instant de date t par l’abscisse angulaire  .Le
centre G est confondu avec G0 quand le pendule passe par sa position d’équilibre stable
(figure 1). On néglige tous les frottements et on choisit le plan horizontal passant par G0
comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur (Epp  0).
Données :
- La masse de la tige : m=100g ;
- La longueur de la tige : L=0,53m ;
1
- L’expression du moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe () : J m.L2 ;
3
θ2
- Pour les petits angles : cos  1- où θ est exprimé en radian ;
2
- On prendra :   10 .
2

1-Trouver l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant à un instant t, dans le cas des
oscillations de faible amplitude, en fonction de  , L , m et g intensité de la pesanteur.
d2 θ 3g
2- Par une étude énergétique, montrer que l’équation différentielle du mouvement s’écrit : + .θ=0.
dt2 2L
2π
3- La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme : θ(t)= θm.cos (T t + φ)où T0 est la période
0
propre du pendule.
La courbe de la figure 2 représente l’évolution de l’énergie cinétique du pendule étudié au cours du temps.
3-1-Déterminer la valeur de l’intensité de pesanteur g.

Page 6
3-2-Trouver la valeur de l’amplitude m du mouvement.
3-3-Déterminer la valeur de  .

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Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude de l’action d’un champ électrostatique uniforme et d’un champ magnétique uniforme
sur un faisceau d’électrons
J.J.Thomson, physicien anglais, étudia l’action d’un champ électrostatique uniforme et l’action d’un champ
magnétique uniforme sur un faisceau d’électrons homocinétiques de vitesse ⃗⃗⃗⃗
V0 , pour déterminer la charge
e
massique de l’électron avec m la masse de l’électron et e la charge élémentaire.
m
On se propose dans cette partie de déterminer ce rapport en se basant sur deux expériences.
On considère que le mouvement de l’électron se fait dans le vide et que son poids n’a pas d’influence sur le
mouvement.
1-Expérience 1 :
Un faisceau d’électrons produit par un canon à électrons arrivant en O avec la vitesse ⃗⃗⃗⃗
V0 =V0 𝑖 est alors
soumis, au cours de son mouvement le long de la distance d , à l’action d’un champ électrostatiqueE ⃗
uniforme créé par deux plaques planes (P) et (P') orthogonales au plan (XOY) et distantes de (figure 1).
On désigne par U= VP − VP′ la différence de potentiel entre (P) et (P') et par D la distance du point I à
l’écran fluorescent.
Le mouvement de l’électron est étudié dans le repère orthonormé R (O,𝑖, 𝑗,𝑘 ⃗ ) associé à un référentiel
terrestre supposé galiléen.
On prend l’instant où l’électron passe par O
comme origine des dates (t =0).
1-1-Montrer que l’équation de la trajectoire
du mouvement de l’électron dans le repère
⃗ ) s’écrit : y = eU 2 .x2 .
R (O,𝑖, 𝑗,𝑘
2lmV0
1-2-Le faisceau d’électrons sort du champ
électrostatique en un point S. Il poursuit son
mouvement et heurte l’écran fluorescent en
un point M .La droite (T) représente la
tangente à la trajectoire au point S (figure
1). Montrer que la déviation électrique O'M
eDdU
d’un électron s’écrit : O'M= .
lmV0 2
2-Expérience 2 :
Le faisceau d’électrons arrivant en O avec la vitesse ⃗⃗⃗⃗
V0 =V0 𝑖 est soumis en plus du champ électrostatique
précédent à un champ magnétique uniforme B ⃗ orthogonal à E ⃗ .
On fixe l’intensité du champ magnétique sur la valeur B= 1,01mT, le faisceau d’électrons heurte alors
l’écran au point O’.
2-1- Déterminer le sens du vecteur champ magnétiqueB ⃗.
2-2- Exprimer la vitesse des électrons en fonction de E et B.
e e
3-Déduire l’expression de en fonction de B , U , D ,l , d et O'M .Calculer sachant que : O'M=5,4cm ;
m m
D=30cm ; U=1200V ; l= 2cm ; d = 6 cm.
Partie II : -Étude du mouvement d’un pendule élastique
Un oscillateur mécanique vertical est constitué d’un corps solide S de masse m200g et d’un ressort à spires
Page 7
non jointives de masse négligeable et de raideur K .L’une des extrémités
du ressort est fixée à un support fixe et l’autre extrémité est liée au solide
S (figure2).
On se propose d’étudier le mouvement du centre d’inertie G du solide S
dans un repère R (O,𝑘 ⃗ ) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen. On
repère la position de G à un instant t par la côte z sur l’axe (O,𝑘 ⃗ ).
À l’équilibre, G est confondu avec l’origine O du repère R (O,𝑘 ⃗ ). On
prendra  =10.
2

1- Frottements négligeables
On écarte verticalement le solide S de sa position
d’équilibre et on l’envoie à l’instant de date t= 0, avec une
vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
V0 =V0z .𝑘
La courbe de la figure 3 représente l’évolution de la côte
z(t) du centre d’inertie G.
1-1-Déterminer, à l’équilibre, l’allongement Δl0 du ressort
en fonction de m, K et de l’intensité de la pesanteur g .
1-2- Établir l’équation différentielle vérifiée par la côte z
du centre d’inertie G.
1-3 -La solution de cette équation différentielle s’écrit
2π
z(t) = zm. cos (T t + φ) AvecT0 la période propre de
0
l’oscillateur. Déterminer la valeur de K et celle de V0z .
2-Frottements non négligeables
On réalise deux expériences en plongeant l’oscillateur dans deux
liquides différents. Dans chaque expérience, on écarte verticalement le
solide S de sa position d’équilibre d’une distance z0 et on l’abandonne
sans vitesse initiale à l’instant t=0, le solide S oscille alors à l’intérieur
du liquide. Les courbes (1) et (2) de la figure 4 représentent l’évolution
de la côte z du centre d’inertie G au cours du temps dans chaque liquide.
2-1- Associer à chaque courbe le régime d’amortissement correspondant.
2-2-On choisit le plan horizontal auquel appartient le point O, origine du
repère R (O,𝑘 ⃗ ), comme état de référence de l’énergie potentielle de
pesanteur Epp (Epp =0) et l’état où le ressort est non déformé comme état
de référence de l’énergie potentielle élastique Epe (Epe =0).
Pour les oscillations correspondant à la courbe (1) :
2-2-1- Trouver, à un instant de date t, l’expression de l’énergie
potentielle EP= Epp + Epe en fonction de K, z et l'0 l’allongement du
ressort à l’équilibre dans le liquide.
2-2-2-Calculer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants t1= 0 et t2= 0,4s.

BAC2016 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude de la chute de deux boules dans l’air

Galilée, homme de sciences italien, s’intéressa à l’étude de la chute de divers corps. Selon la légende, il
aurait effectué cette étude en lâchant ces corps du sommet de la tour de Pise.
Pour vérifier certains résultats avancés par Galilée, on se propose d’étudier dans cette partie la chute
dans l’air de deux boules ayant le même rayon et des masses volumiques différentes. L’étude du mouvement
de chaque boule s’effectue dans un repère R (O,𝑘 ⃗ ) associé à un référentiel terrestre supposé galiléen. On
repère, à chaque instant, la position du centre d’inertie de chacune des deux boules par la côte z sur l’axe
⃗ ) orienté vers le haut et dont l’origine est prise au niveau du sol (figure 1). Chaque boule est
vertical (O,𝑘
Page 8
soumise, durant sa chute, à son poids ⃗P et à la force de frottement fluide f (On néglige la poussée
d’Archimède devant ces deux forces).
On admet que l’intensité de la force f s’écrit : f= 0,22.air.π.R2.vz2 oùair est la masse volumique de l’air, R le
rayon de la boule et vz la valeur algébrique de la vitesse du centre d’inertie G de la boule à un instant t.
Données :
4
 Le volume d’une boule de rayon R est V= . π.R3
3
2
 L’intensité de la pesanteur g 9,8m.s ,
 La masse volumique de l’air air  1,3kg.m3.
Cette étude est effectuée avec deux boules (a) et (b) homogènes ayant le même rayon R 6cm
et des masses volumiques respectives 1 1,14.104 kg.m-3 et 2 94kg.m-3.
Les deux boules sont lâchées au même instant t= 0, sans vitesse initiale, du même plan
horizontal auquel appartient le point H. Ce plan est situé à une hauteur h= 69m du sol (figure
1).
1-Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la vitesse vz du centre d’inertie d’une boule
dvz ρair
s’écrit : = -g+0,165. . vz2 où i désigne la masse volumique de la boule (a) ou (b).
dt R.ρi
2-Déduire l’expression de la vitesse limite du mouvement d’une boule.
3-Les courbes obtenues sur les figures 2 et 3 représentent l’évolution de la côte z(t) et de la vitesse vz (t) du
centre d’inertie G de chacune des deux boules, au cours de la chute.

3-1- Montrer, à l’aide de l’expression de la vitesse limite, que la courbe (C1) correspond aux variations de la
vitesse de la boule (b).
3-2-Expliquer pourquoi la courbe (C’2) correspond aux variations de la côte de la boule (a).
4-Déterminer, à l’aide de la courbe (C2), la nature du mouvement de la boule (a) et écrire son équation
horaire z(t).
5- Déterminer la différence d’altitude d entre les centres d’inertie des deux boules à l’instant où la première
boule touche le sol (On néglige les dimensions des deux boules).
6- Sachant que la valeur algébrique de la vitesse de la boule (b) à l’instant de date tn est vm=-11,47m.s-1,
trouver, en utilisant la méthode d’Euler, la valeur de l’accélération azn du mouvement à l’instant de date
tn et la vitesse vz(n+1) à l’instant de date tn+1. On prend le pas du calcul Δt=125ms.

Page 9
Partie II : Étude du mouvement d’un pendule de torsion
Cet exercice a pour objectif d’étudier le mouvement d’un pendule de torsion et de déterminer quelques
grandeurs liées à ce mouvement.
On dispose d’un pendule de torsion constitué d’un fil métallique, de
constante de torsion C et d’une tige MN homogène fixée en son centre
d’inertie G à l’une des extrémités du fil. L’autre extrémité du fil est fixée en
un point P d’un support (figure 4).
La tige peut effectuer un mouvement de rotation sans frottement autour de
l’axe () confondu avec le fil métallique. Le moment d’inertie de la tige MN
par rapport à cet axe est J= 4.10-4 kg.m2.
On étudie le mouvement du pendule dans un repère lié à un référentiel
terrestre supposé galiléen. On repère la position de la tige MN à chaque
instant t par son abscisse angulaire  par rapport à sa position d’équilibre
stable (figure 4).
On choisit la position d’équilibre stable comme référence de l’énergie
potentielle de torsion (Ept= 0) et le plan horizontal passant par G comme référence de l’énergie potentielle de
pesanteur (Epp= 0). On prendra 2=10.

Le pendule effectue des oscillations d’amplitude m= rad. L’étude expérimentale a permis d’obtenir la
4
courbe de la figure 5 représentant les variations de la vitesse angulaire de l’oscillateur en fonction du temps.
1- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation, établir l’équation
différentielle du mouvement du pendule.
2π
2-La solution de cette équation différentielle s’écrit sous la forme : θ(t) = θm. cos (T t + φ) où T0 est la
0
période propre du pendule.
2-1- Montrer que l’expression numérique de la vitesse
angulaire, exprimée en rad.s1, s’écrit :
7π
𝛉̇(t)= 4.sin (1,6𝜋t+ ).
6
2-2-Déterminer la valeur de la constante de torsion C du
fil.
3-Trouver la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur
et en déduire la valeur de son énergie potentielle à
l’origine des dates t= 0.

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Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Mouvement d’une balle de tennis dans un champ de pesanteur uniforme

Le tennis est un sport qui a des règles codifiées. En simple messieurs, il est pratiqué par deux joueurs dont
l’un se trouve dans une zone (A) et l’autre dans une zone (B). Les deux zones ont chacune une longueur L et
sont séparées par un filet. Au cours du match, chaque joueur tente de faire tomber la balle de tennis dans la
zone de l’adversaire.
On étudie le mouvement du centre d’inertie G d’une balle de tennis dans le repère orthonormé (O,𝑖,𝑘 ⃗ ) lié à
un référentiel terrestre que l’on considérera comme galiléen.
Le joueur se trouvant dans la zone (A) tente de faire passer la balle au-dessus de son adversaire se trouvant
dans la zone (B), à une distance d du filet. Pour cela il renvoie la balle, à un instant choisi comme origine
⃗⃗⃗⃗0 qui forme un angle  avec l’horizontale. Le point O
des dates (t= 0), du point O avec une vitesse initiale V
se trouve à une distance D du filet et à une hauteur h de la surface du sol (figure ci- dessous).
Données :
– On néglige les frottements et les dimensions de la balle, et on prend g= 9,8m.s2.
– d= 1m ; D= 13m ; h= 0,7m ; L= 12m .

Page 10
–V0= 13m.s-1 ;   45 .
1- Établir l’expression numérique z= f (x) de l’équation de la trajectoire du centre d’inertie G .
2- Sachant que le joueur se trouvant dans la zone (B) tient sa raquette dans une position verticale et que
l’extrémité supérieure de la raquette se trouve dans le plan du mouvement à une hauteur H= 3m de la surface
du sol .Est ce que le joueur peut intercepter la balle dans cette situation ?
3- Montrer que la balle tombe dans la zone (B).
4- Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de G à l’instant où la balle frappe le sol, En déduire sa
direction par rapport à l’horizontale.
5- Déterminer, pour le même angle   45 , les deux valeurs limites de la vitesse initiale V0, avec laquelle
le joueur doit renvoyer la balle du point O pour que la balle frappe le sol dans la zone (B) en passant au-
dessus de l’adversaire situé dans la même position indiquée dans la question 2 .

Partie II : Étude du mouvement d’un pendule pesant

On réalise une étude expérimentale en utilisant un pendule pesant, de centre d’inertie G et de masse m,
constitué d’une tige et d’un corps solide (S) . Ce pendule peut effectuer un mouvement de rotation autour
d’un axe horizontal () fixe passant par l’extrémité O de la tige (figure 1).
On désigne par J le moment d’inertie du pendule pesant par rapport à l’axe () et par L la distance séparant
G de l’axe ().
Pour créer un amortissement, on utilise des plaques légères de masse négligeable et de
surfaces différentes.
Données :
- g= 9,8m.s-2 ; m= 400g ; L= 50cm
- Pour les oscillations de faible amplitude on prendra :
θ2
sin ≈ et cos≈1-  avec  en radian .
2
On réalise trois expériences :
-Dans une première expérience, on fixe sur la tige une plaque de surface S1.
-Dans une seconde expérience, on fixe sur la tige une plaque de surface S2 supérieure à S1.
-Dans une troisième expérience, aucune plaque n’est fixée sur la tige. Pour chacune des
trois expériences, on écarte le pendule de sa position d’équilibre stable, dans le sens
positif, d’un angle m très petit, puis on le lâche sans vitesse initiale à l’instant t= 0.
On repère à chaque instant la position du pendule par l’abscisse angulaire  (fig.1).
L’étude expérimentale ainsi que le traitement des données avec un logiciel approprié , ont permis
d’obtenir les courbes représentant l’évolution de l’abscisse angulaire en fonction du temps.(figure 2)
1- Cas du régime périodique :
1-1- Etablir dans ce cas, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation,
l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse angulaire .
1-2-Déterminer l’expression de la période propre T0 du pendule en fonction de m, g , L et J en considérant

Page 11
 2π
que l’expression θ(t) = θm. cos ( T t + φ) est solution de l’équation différentielle.
0
1-3- Vérifier par une analyse dimensionnelle que l’expression de T0 a la dimension du temps.
1-4-Déterminer la valeur de J .
1-5- Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de l’oscillateur en fonction de  , m, L, g et m.
Calculer sa valeur lors du passage de l’oscillateur par sa position d’équilibre.
2- Cas du régime pseudopériodique :
Déterminer dans ce cas la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre l’instant t= 0 et l’instant
t=t1 (fig. 2).

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Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude de la chute verticale d’une bille avec frottement
On se propose, dans cette partie, d’étudier le mouvement du centre d’inertie G d’une bille, homogène de
masse m, dans une éprouvette remplie d’un liquide visqueux.
On repère la position de G à tout instant par la coordonnée z de l’axe vertical (O,𝑘 ⃗ ) dirigé
vers le bas. L’origine de l’axe est confondue avec le point O1 de la surface libre du liquide.
A l’instant de date t0, prise comme origine des dates (t0=0), on lâche la bille sans vitesse
initiale d’une position où G est confondu avec G0 de coordonnée z0= 3cm. (figure ci-dessous).
Au cours de sa chute dans le liquide, la bille est soumise, en plus de son poids, à :
⃗ où  est le coefficient de frottement fluide et v la
-la force de frottement fluide : f= .v. 𝑘
vitesse de
G à un instant t ;
-la poussée d’Archimède : F ⃗ =  .VS. g  où g est l’intensité de la pesanteur, VS le volume de
𝑙
la bille et 𝑙 la masse volumique du liquide.
 𝜌𝑙
On prend : g= 9,8m.s2 ; = 12,4 S.I ; = 0,15
ρS .VS 𝜌𝑆
S est la masse volumique de la matière constituant la bille.
dv  𝜌𝑙
1- Montrer que l’équation différentielle régissant la vitesse de G s’écrit : + v = g (1- )
dt ρS .VS 𝜌𝑆
2- Déterminer la valeur a0 de l’accélération de G à l’instant t= 0.
3- Trouver la valeur vl de la vitesse limite du mouvement de G.
4- Soient v1 la valeur de la vitesse de G à l’instant t1= t0+ t et v2 sa valeur à l’instant t2= t1+ t avec t le
v2 t
pas de calcul. En utilisant la méthode d’Euler, montrer que : = 2- où  représente le temps
v1 τ
ρS .VS
caractéristique du mouvement :  = .Calculer v1 et v2 .On prend t=8.10 s 3.

t
5- La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme v(t)= vl (1 - e−τ ) ; déterminer la valeur de la
date tl à laquelle la vitesse de G atteint 99 0/0 de sa valeur limite.
6- Trouver la distance d parcourue par la bille pendant le régime transitoire, sachant que la hauteur H du

Page 12
liquide dans l’éprouvette est H= 79,6cm et que la durée du mouvement de la bille dans le liquide à partir de
G0 jusqu’au fond de l’éprouvette est tf = 1,14s. (On considère que le régime permanent est atteint à partir
de tl et on néglige le rayon de la bille devant H).
Partie II : Étude énergétique d’un pendule élastique
Le pendule élastique est un système mécanique effectuant un mouvement oscillatoire autour de sa
position d’équilibre stable.
Le but de cette partie est de déterminer quelques grandeurs liées à cet oscillateur par une étude énergétique.
Le pendule élastique étudié est constitué d’un solide (S), de centre d’inertie G et de masse m= 100g, attaché
à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. L’autre extrémité du
ressort est fixée à un support fixe. Le solide (S) peut glisser sans frottement
sur la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle  300 par
rapport au plan horizontal (fig.1).
On étudie le mouvement du centre d’inertie G dans le repère orthonormé
R (O,𝑖,𝑗) lié au référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la
position de G à un instant t par l’abscisse x sur l’axe (O,𝑖).
À l’équilibre, G est confondu avec l’origine O du repère (fig.1).
On prendra π2=10.
1-Déterminer, à l’équilibre, l’expression de l’allongement
l0 du ressort en fonction de K, m,  et de g l’intensité de la pesanteur.
2-On écarte (S) de sa position d’équilibre d’une distance X0 dans le sens
positif et on l’envoie à l’instant de date t=0 avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
V0 telle que ⃗⃗⃗⃗
V0  V0 𝑖.
2.1 On choisit comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal auquel appartient G
à l’équilibre : (Epp(O)=0) et comme référence de l’énergie potentielle élastique l’état où le ressort est allongé
à l’équilibre:(Epe (O)=0) .Trouver, à un instant t, l’expression de l’énergie potentielle EP= Epp+ Epe de
l’oscillateur en fonction de x et de K.
2.2- A partir de l’étude énergétique, établir l’équation
différentielle régie par l’abscisse x .
2.3- La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme
2π
: x(t) = Xm. cos (T t + φ) . (T0 étant la période propre de
0
l’oscillateur). La courbe de la figure 2 représente l’évolution de
l’énergie potentielle Ep de l’oscillateur en fonction du temps.
2.3.1-Trouver la valeur de la raideur K, de l’amplitude Xm et de
la phase  .
2.3.2-Par étude énergétique, trouver l’expression de V0 en
fonction de K, m et Xm

BAC2014 SR/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement d’une bille dans un fluide visqueux
On étudie le mouvement d’une bille en acier dans un fluide visqueux contenu dans une éprouvette graduée
(fig1).
La figure (1) donne une idée sur le montage utilisé sans tenir compte de l’échelle.
On libère la bille sans vitesse initiale à un instant t = 0 et au même instant commence la
saisie des images par une webcam reliée à un ordinateur. La position instantanée du centre
d’inertie G est repérée sur un axe vertical OX orienté vers le bas et de vecteur unitaire 𝑖 ;
fig(1). A t=0, le centre d’inertie G est au point G0 d’abscisse x=0.
On représente à chaque instant le vecteur vitesse du centre d’inertie de la bille par 𝑣=v. 𝑖.
L’analyse de la vidéo obtenue à l’aide d’un logiciel approprié permet de calculer à chaque
instant t la vitesse v du centre d’inertie de la bille .La courbe de la figure 2 représente
l’évolution de v au cours du temps.

Page 13
On représente par V et m respectivement le volume et la masse de la bille et par a et s respectivement la
masse volumique de la bille et celle de du liquide visqueux et par g l’intensité de pesanteur.
Au cours de sa chute, la bille est soumise à :
-La force de frottement fluide : 𝑓 = - h.v.𝑖; h est le coefficient de frottement visqueux.
-La poussée d’Archimède : 𝐹 = s .V. g ;
-Son poids : m𝑔 = a.V. 𝑔.
1- A l‘aide de la courbe de la figure (2), montrer l’existence d’une vitesse limite et déterminer sa valeur
expérimentale.
2- Représenter, sur un schéma sans échelle, les vecteurs forces appliqués sur la bille en mouvement dans le
fluide.
3- Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v(t) et montrer qu’elle, s’écrit sous la forme
𝑑𝑣 h
= .v +𝛼.g en précisant l’expression de  .
𝑑𝑡 m
m h
4- Vérifier que la fonction v(t)= .g. [1-e−m𝑡 ] est solution de cette équation différentielle.
h
5- Montrer, à partir de l’équation différentielle ou à partir de sa solution l’existence d’une vitesse limite et
calculer sa valeur et la comparer avec la valeur trouvée expérimentalement.
On donne : m=5,0 g; g=9,81 m s-2 ; h=7,60.10-2 kg s-1 ;   0,92 .
h
6-Déterminer à l’aide de l’analyse dimensionnelle l’unité de et déterminer sa valeur à partir de
m
l’enregistrement.

Partie II : Étude énergétique d’un oscillateur libre amorti

L’objectif de cet exercice est l’étude d’un oscillateur mécanique constitué d’un ressort à spire
non jointive, de masse négligeable et de constante de raideur k=20 N. m-1et un solide de
masse m=200 g. On néglige les frottements et on prend g=9,81N. Kg1.
1- Oscillations libres non amorties
On repère la position du solide par l’abscisse x sur l’axe verticale O, 𝑖  orienté vers le bas.
(fig1). L’origine de l’axe est confondue avec G0 position du centre d’inertie G à l’équilibre.
⃗⃗⃗⃗0 =𝑣0 . 𝑖.
A l’instant t=0, on lance le solide avec une vitesse initiale vers le bas𝑣
de norme 𝑣0 =0,5m.s . -1

1.1- Trouver l’allongement le du ressort à l’équilibre.

1.2- Établir l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse x au cours du temps.
2π
1.3- La solution d l’équation différentielle s’écrit sous la forme x(t) = Xm. cos ( T t + φ).
0

Déterminer la valeur des constantes  et Xm .

2- Énergie de l’oscillateur
Les états de référence de l’énergie :

Page 14
-Énergie potentielle de pesanteur : EPP 0 dans le plan horizontal contenant G0 ;
- Énergie potentielle élastique : EPe 0 quand le ressort n’est pas déformé.
2.1- Trouver l’expression de l’énergie potentielle de l’oscillateur en fonction de k , le, x , g et m.
2.2-Trouver , à partir de l’énergie mécanique , l’expression de la vitesse du centre d’inertie G au passage par
la position de l’équilibre dans le sens positif en fonction de k , Xm et m.
3- Oscillations libres amorties
L’ enregistrement du mouvement de l’oscillateur (fig2) à l’aide d’un oscillateur montre que l’amplitude des
oscillations varie au cours du temps.

3.1- Justifier la diminution de l’amplitude des oscillations.

T0
3.2- La pseudo-période T dans le cas d’amortissement faible s’exprime par la relation T= 2
√1−( μ.T0 )
4π.m
.Déterminer, à l’aide du graphe, le coefficient d’amortissement  .

Page 15
BAC2014 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement d’un skieur
Un skieur veut s’exercer sur une piste modélisée par la figure 1. Avant de faire un premier essai, le skieur
étudie les forces qui s’exercent sur lui lors du glissage sur la piste ABC.

Données
- Intensité de pesanteur g = 9,8 m /s².
- AB est un plan incliné d’un angle   200 par rapport au plan horizontal passant par le point B.
- La largeur du lac C’D’= L = 15m. On modélise le skieur et ses accessoires par un solide (S) de masse
m=80kg et de centre d’inertie G.
On considère sur la partie AB que les frottements ne sont pas négligeables et on les modélise par une force
constante.
1. Étude des forces appliquées sur le skieur entre A et B
Le skieur part du point A d’abscisse 𝑥𝐴′ = 0 dans le repère O,𝑖⃗′ ,𝑗⃗ ′  sans vitesse initiale à un instant que l’on
considère comme origine des temps t=0s (Fig1). Le skieur glisse sur le plan incliné AB suivant la ligne de la
plus grande pente avec une accélération constante a et passe par le point B avec une vitesse VB=20m/s.
1-1 En appliquant la deuxième loi de Newton, trouver en fonction de  , a et g l ’expression du coefficient
de frottement tan .Avec  l’angle de frottement, défini par la normale à la trajectoire et la direction de la
force appliquée par le plan incliné sur le skieur.
1-2 A l’instant tB= 10s le skieur passe par le point B ; Calculer la valeur de l’accélération a .En déduire la
valeur du coefficient de frottement tan .
1-3 Montrer que l’intensité de la force ⃗R exercée par le plan AB sur le skieur s’écrit sous la forme :
R= mg. Cos.√1 + (tan)2 ; Calculer R.
2. L’étape du saut
A l’instant t=0 que l’on considère comme une nouvelle origine des temps, le skieur quitte la partie BC au
vC forme l’angle  20 avec le plan horizontal.
point C avec une vitesse vC dont le vecteur ⃗⃗⃗⃗
Lors du saut, les équations horaires du mouvement de S dans le repère D,𝑖,𝑗) sont :
x(t) = vC . cos  . t − 15
{ g }
y(t) = − 2 . t 2 + vC . sin . t
2-1 Déterminer dans le cas où vC =16,27m.s-1 les coordonnées du sommet de la trajectoire
deS .
2-2 Déterminer en fonction de g et  la condition que doit vérifier la vitesse vC pour que le
skieur ne tombe pas dans le lac. En déduire la valeur minimale de cette vitesse.
Partie II : Étude énergétique d’un pendule pesant
L’objectif de cette partie est la détermination de la position du centre d’inertie G d’un système
oscillant et son moment d’inertie J à l’aide d’une étude énergétique et dynamique.
Un pendule pesant de centre d’inertie G, est constitué d’une barre AB de masse m1=100g et

Page 16
d’un corps
C de masse m2=300 g fixé à l’extrémité B de la barre.
Le pendule pesant peut tourner autour d’un axe fixe horizontal  passant par l’extrémité A
 fig2.Le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe  est J. AG = d est la distance entre le centre
d’inertie et l’axe de rotation.
On écarte le pendule de sa position d’équilibre stable d’un angle θm petit et on le libère sans vitesse initiale à
un instant considéré comme origine des tempst 0s , le pendule effectue alors un mouvement oscillatoire
autour de sa position d’équilibre.
On considère que tous les frottements sont
négligeables et on choisit le plan Horizontal
passant par le point G0, position de G à
l’équilibre stable, comme état de référence de
l’énergie potentielle de pesanteurEpp 0 . On
repère à chaque instant la position du pendule
pesant par son abscisse angulaire  formé par la
barre et la ligne verticale passant par le point A,
dθ
on note la vitesse angulaire du pendule
dt
pesant à un instant t.
La figure 3 représente la courbe de l’évolution
de l’énergie cinétique EC du pendule pesant en
fonction du carré de l’abscisse angulaire 2.
2
- On prend : cos ()≈1- et sin()≈
2
(avec  en radian).
- L’intensité de la pesanteur est g = 9,8m.s-2.
1. Détermination de la position du centre d’inertie G du système
1-1 Soit Em l’énergie mécanique du pendule pesant dans le cas de petites oscillations ;
Em (m1 +m2 ).g.d
Montrer que : = .
θ2m 2
1-2 A l’aide du graphe de la figure 3, déduire la valeur de d.
2. Détermination du moment d’inertie J
2-1 Trouver en appliquant la relation fondamentale de la dynamique, l’équation différentielle du mouvement
du pendule pesant.
2-2 Trouver l’expression de la fréquence propre N0 de ce pendule en fonction de J , m1 , g , m2 et d pour
que la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme (t)= m. cos 2N0t+φ .
2-3 Sachant que la valeur de la fréquence propre est N01Hz. Calculer J .

BAC2013 SR/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I :
L’oscillateur harmonique est un oscillateur idéal, son évolution au cours du temps est décrite par une
fonction sinusoïdale de fréquence ne dépendant que des caractéristiques du système mécanique.
L’importance de ce model réside dans sa capacité de décrire l’évolution de tous système physique oscillant
autour de sa position d’équilibre stable.
1- Étude dynamique :
On considère un ressort à spires non jointives et constante de raideur K et de masse négligeable suspendu à
un support fixe. On suspend à l’extrémité libre de ressort un corps solide S de masse m. On représente
l’allongement du ressort à l’équilibre de (S) par l0 et on repère la position du centre d’inertie par un axe
OY orienté vers le haut dont l’origine coïncide avec la position du centre d’inertie de S à l’équilibre.
On écarte S verticalement de sa position d’équilibre vers le bas d’une distance d 2cm et on le libère sans
vitesse initiale à instant t  0 choisi comme origine du temps.

Page 17
Données : l0 10,0 cm, l’intensité de pesanteur g 9 81N.kg 1.
1.1- Trouver, à l’équilibre, l’expression de K en fonction de m, g et l0.
1.2- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir que l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse y
d2 y K
s’écrit sous la forme : + .y =0.
dt2 m
2π
1.3- La solution de cette équation s’écrit sous la forme : y(t) = 𝑦m. cos (T t + φ) ;
0
Déterminer la valeur de  et de T0.
1.4- On note F la tension du ressort. Choisir la bonne réponse : Quand l’abscisse y0, on a :
a) F  mg ; b) F= mg ; c) F  mg
2. Étude énergétique
On repère la position du centre du solide S à l’aide de deux repères :
- Le repère 1 : l’origine O de l’axe coïncide avec l’extrémité libre du ressort
(à vide) et l’axe Oz  est verticale et orienté vers le haut . On prend comme état de
référence pour l’énergie potentielle de pesanteur Epp 0 au point O .
- Le repère 2 : l’origine O de l’axe coïncide avec la position du centre d’inertie du
solideS à l’équilibre et l’axe Oy est vertical et orienté vers le haut. On prend
comme état de référence pour l’énergie potentielle de pesanteur Epp  0 au point O.
Pour les deux repères, on prend comme état de référence de l’énergie potentielle
élastique Epe 0 quand le ressort est à vide.
2.1- On écarte le solide (S) verticalement vers le bas d’une distance d l0 de sa
position d’équilibre et on le libère sans vitesse initiale à un instant t  0 choisi
comme origine du temps.
Écrire l’expression de l’énergie mécanique de l’oscillateur :
a - dans le repère 1 en fonction de z, m, K, g et v vitesse du centre d’inertie.
b - dans le repère 2 en fonction de y, m, K, l0 et v vitesse du centre d’inertie.
c- dans quel repère l’expression de l’énergie mécanique ne dépend pas de l’énergie potentielle.
2.2- On écarte verticalement S de sa position d’équilibre vers Le bas d’une distance d 2 cm et on le lance
vers le haut avec une vitesse initialev ⃗⃗⃗0 , le solide S effectue alors des oscillations Verticales autour de sa
position d’équilibre d’amplitude D 7cm. Sachant que l’énergie mécanique de l’oscillateur se conserve ;
Trouver l’expression de v0 en fonction de g , l0 , d et D .Calculer v0 .

BAC2013 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude de la chute libre à la chute avec frottement
Newton a supposé que tous les corps ont même mouvement de chute quelque soit leur masses. Pour vérifier
cette hypothèse Newton a réalisé l’ expérience de chute dans un tube vide en utilisant des corps de masse et
de forme différentes et en déduit que ce sont les forces de frottement fluides qui sont responsables de la
différence des vitesses de chute des corps verre la Terre.
Ahmed et Myriam ont décidé de vérifier expérimentalement la déduction de
Newton, pour cela ils ont utilisé deux billes en verre (a) et (b) ayant le même
volume V et la même masse m.
Ils abandonnent les deux billes au même instant t=0et sans vitesse initiale d’une
même hauteur h du sol (fig1).
- Ahmed a lâché la bille (a) dans l’air ;
- Myriam a lâché la bille (b) dans un tube transparent contenant de l’eau de hauteur
h (fig. 1).
À l’aide d’un dispositif convenable Ahmed et Myriam ont obtenu les résultats
suivants :
- La bille (a) atteint le sol à l’instant ta= 0,41s ;
- La bille (b) atteint le sol à l’instant tb= 1,1s.

Page 18
Données : accélération de la pesanteur g= 9,80m.s2 ; m= 6,0.10-3 kg ; V=2,75.10-6 m3 ; la masse volumique
de l’eau  1000kg.m3.
On suppose que la bille (a) n’est soumise au cours de sa chute dans l’air qu’à son poids.
La bille (b) est soumise au cours de sa chute dans l’eau à :
- Son poids d’intensité P= mg ;
- La poussée d’Archimède d’intensité FA .g.V;
- La force de frottement fluide d’intensité f= K.v2 avec K une constante positive et v vitesse du centre
d’inertie de la bille .
1- Étude du mouvement de la bille a dans l’air
1.1- Établir l’équation différentielle que vitrifie la vitesse du centre d’inertie de la bille (a) au cours de la
chute.
1.2- Calculer la valeur de la hauteur h.
2- Étude du mouvement de la bille b dans l’eau
Myriam a enregistré à l’aide d’un dispositif convenable L’évolution de la vitesse de la bille (b) au cours du
temps ; Elle a obtenu le graphe représenté dans la figure 2.
(∆) est la tangente de la courbe v(t) à l’instant t=0 ; vl sa vitesse limite
2.1-Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse du
centre d’inertie de la bille (b) au cours de sa chute dans l’eau
en fonction des donnés du texte.
2.2- A l’aide du graphe de la figure 2,déterminer la valeur de la
constant K.
2.3- Trouver l’expression de l’accélération a0 du centre
d’inertie de la bille ( b) à l’instant t = 0 en fonction de g , V , 
et m . Déterminer le temps caractéristique du mouvement de la
bille(b).
3- la différence entre les durées de chute
Ahmed et Myriam ont répété leur expérience dans les
Conditions précédentes mais cette fois la hauteur
D’eau dans le tube est H = 2h .Ahmed et Myriam ont libéré des
deux billes (a) et (b) sans vitesse initiale au même instant t= 0
de la même hauteur H = 2h.
a- Exprimer t qui sépare l’arrivé des deux billes (a) et (b) au sol en fonction de ta, tb , g, h et vl .
b- Calculer la valeur de t
Partie II : de l’orbite circulaire basse à l’orbite circulaire haute
Johannes Kepler (1630-1571) a posé les trois lois qui permettent de décrire le mouvement des planètes
et celui des satellites naturels. Le mouvement des satellites artificiels autour de la Terre hors de
l’atmosphère est géré par les lois de Kepler.
Le transfert d’un satellite artificiel terrestreS sur une orbite circulaire basse de rayon r1vere une orbite
circulaire haute de rayon r2 se fait en passant par une orbite elliptique tangente aux deux orbites circulaires
comme l’indique la figure 3. Le centre O de la Terre constitue
l’un des foyers de la trajectoire elliptique.
Données :
r1 6700 km ; r2 42200 km ; constante de gravitation universelle
G6,67.1011 S.I ; Masse de la
Terre MT= 6,0.1024 kg ; On rappelle la propriété de l’ellipse de
foyer O et O’, et de demi grand axe a : OM+ O’M=2a avec M un
point appartenant à l’ellipse.
On suppose que le satellite artificielS est ponctuel et n’est
soumis qu’à l’attraction de la Terre et que la Terre effectue un
tour complet autour de son axe de rotation en 24h. On étudie le
mouvement deS dans le repère géocentrique.
1. En utilisant l’équation aux dimensions, déterminer la
dimension de la constante G.
Page 19
2- On note T1 et T2 les périodes respectives de S sur l’orbite circulaire basse et l’orbite circulaire haute .
Exprimer T1 en fonction de r1, r2 et T2. Calculer la valeur de T1 sachant S est géostationnaire sur l’orbite
circulaire haute.
3- On considère le point E qui appartient au petit axe de la trajectoire elliptique défini par ⃗⃗⃗⃗⃗
OE= OE.𝐮 ⃗
⃗ ‖=1.Donner l’expression du vecteur accélération ⃗⃗⃗
et‖𝒖 aS de (S) au point E en fonction de G, M et OE.
Calculer aS au point E.

BAC2012 SR/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Séparation des ions 35𝐂𝐥− et 37𝐂𝐥−
Pour séparer des ions différents, on peut utiliser le dispositif
schématisé sur la figure ci-contre qui comprend :
- Une chambre d’ionisation dans laquelle les ions sont produits
- Une chambre accélératrice dans laquelle les ions sont accélérés
- Une chambre de déviation où les ions sont déviés.
Le but de cette partie est de séparer les ions 35Cl− et 37Cl− par
action simultanée d’un champ électrique et d’un champ
magnétique.
Données :
On considère que les ions se déplacent dans le vide et que leur poids est négligeable devant les autres forces.
Masse d’un ion35Cl− : m1=5,81.10-26 kg
Masse d’un ion 37 Cl− : m2=6,15.10-26 kg
La charge élémentaire : e = 1,6.10-19 C.
1- Les ions35Cl− et 37Cl− quittent la chambre d’ionisation au point S avec une vitesse initiale négligeable et
sont accélérés par une tension électrique U0=VP-VQ=100V appliquée entre deux plaques métalliques
verticales (P) et (Q) séparées par une distance d0.
1.1- En appliquant la deuxième loi de Newton :
a - Déterminer la nature du mouvement des ions 35Cl− dans la chambre accélératrice.
b - En déduire l’expression de la vitesse v1 des ions 37Cl− à leur arrivée à la plaque (P) en fonction de m1, e et
U0.
1.2- Les ions 37Cl− arrivent à la plaque (P) avec une vitesse v2. Déterminer l’expression de v2 en fonction de
v1, m1 et m2.
2- Après la sortie des ions 35Cl− et 37Cl− par le trou T1 avec les vitesses respectives ⃗⃗⃗
v1 et ⃗⃗⃗
v2 , ils entrent dans
la chambre de déviation dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B ⃗ perpendiculaire aux deux
⃗⃗⃗1 et ⃗⃗⃗
vitesses initialesv ⃗ uniforme crée par l’application d’une tension électrique
v2 , et un champ électrique E
U= VM -VN = 200V entre les deux plaques métalliques horizontales (M) et (N) séparées d’une distance
d = 5cm , ce qui donne aux ions 35Cl− un mouvement rectiligne uniforme et sortent du trou T2.
2.1- En appliquant la deuxième loi de Newton aux ions 35Cl− préciser le sens du vecteur champ magnétique B ⃗
et déterminer l’expression de son module en fonction de U0, U, e, m1 et d. Calculer B.
2.2- déterminer le sens de déviation des ions 37Cl− à l’intérieur de la chambre de déviation .
Partie I : Pendule de torsion
Le système mécanique oscillatoire est un système qui effectue un mouvement périodique
autours de sa position d’équilibre stable. Parmi ces oscillateurs on cite le pendule de
torsion. L’objectif de cette partie est l’étude du mouvement d’un pendule de torsion.
Le pendule de torsion représenté sur la figure 1 est constitué d’un fil de torsion de
constante de torsion C0 et de longueur l, et d’une tige homogène AB.
On fixe la tige AB par son milieu au fil de torsion en un point O qui divise le fil en deux
parties :
- Une partie OM de longueur z et de constante de torsion C1 ;
- Une partie ON de longueur l-z et de constante de torsion C2.
Lorsque le fil est tordu d’un angle θ , la partie OM exerce sur la tige un couple de torsion

Page 20
de moment M1= - C1.θ , et la partie ON exerce sur la tige un couple de torsion de moment M2= - C2.θ
K
On exprime la constante de torsion C d’un fil de torsion de longueur L par la relation C=
L
avec k une constante qui dépend du matériau constituant le fil de torsion et du diamètre de ce fil. J∆
Représente le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation (∆)
confondu avec le fil de torsion Au début
le fil de torsion est non tordu et la tige AB est horizontale. On fait tourner la tige AB autours de l’axe (∆)
d’un angle θm de sa position d’équilibre stable et on l’abandonne sans vitesse initiale, elle effectue alors des
oscillations dans le plan horizontal.
On repère la position de la tige AB à une date t par l’abscisse angulaire θ que fait la tige à cet instant avec la
droite horizontale confondue avec la position d’équilibre de la tige.
On néglige tous les frottements.
1- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique relative à la rotation, montrer que l’équation
𝐂𝟎 .𝐥𝟐
différentielle du mouvement de ce pendule s’écrit : 𝛉̈ + .𝛉=0
𝐉∆ .𝐳.(𝐥−𝐳)
2- Trouver l’expression littérale de la période propre T0 de l’oscillateur pour que la solution de l’équation
2π
différentielle soit : θ(t)= θm cos (T t).
0
3- La courbe de la figure 2 représente la variation de l’accélération
angulaire de la tige en fonction de l’abscisse angulaire q dans le cas où
l
z= .
2
3.1- Déterminer la valeur de T0 dans ce cas.
3.2- On choisit le plan horizontal qui contient la tige AB comme état de
référence de l’énergie potentielle de pesanteur et on choisit comme état
de référence de l’énergie potentielle de torsion la position d’équilibre de
la tige où θ =0.
l
a-Déterminer dans le cas où z = , l’expression de l’énergie mécanique
2
Em de l’oscillateur à un instant t en fonction de J∆ , C0 , θ et la vitesse
angulaire θ̇ de la tige AB.
b- Sachant que Em=4.10-3 J, Calculer C0 . On prend 𝜋²=10 .

BAC2012 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Mouvement de chute d’un parachutiste
Après un cours moment de son saut d’un avion, le parachutiste ouvre son parachute pour freiner son
mouvement, ce qui lui permet d’arriver au sol en toute sécurité.
L’objectif de cette partie est l’étude du mouvement vertical d’un parachutiste après l’ouverture de son
parachute.
Données : - Masse du parachutiste et ses accessoires : m = 100 kg
- On considère que l’accélération de la pesanteur est constante : g = 9,8 m.s-2.
Un parachutiste accompagné de ses accessoires saute avec une vitesse initiale négligeable d’un hélicoptère
immobile se trouvant à une hauteur h du sol. Le parachutiste ouvre son parachute au moment où sa vitesse
atteint 52 m.s-1 à un instant considéré comme origine des dates. Le système (S) formé par le parachutiste et
ses accessoires prend alors un mouvement de translation vertical.
On étudie le mouvement du système (S) dans un repère galiléen R(O,𝑘 ⃗ ) lié à la terre, vertical et orienté
vers le bas (figure 1).
L’air exerce sur le système (S) une force que l’on modélise, par une force de frottement d’intensité f = k.v²
avec k une constante et v la vitesse du parachutiste.
On néglige la poussée d’Archimède exercée par l’air.

Page 21
La courbe de la figure 2 représente la variation de la vitesse v en fonction du temps après l’ouverture du
parachute.

dv v2
1- Montrer que l’équation différentielle que vérifie la vitesse v s’écrit sous la forme : = g. (1- )
dt α2
en précisant l’expression de α en fonction de m, g et k.
2 – Choisir la bonne réponse et justifier :
La grandeur α représente :
a- la vitesse du système (S) à l’instant t=0 .
b- l’accélération du mouvement du système (S) à l’instant t=0.
c- la vitesse limite du système (S) .
d- l’accélération du mouvement du système (S) dans le régime permanent.
3- Déterminer la valeur de α. En déduire la valeur de k en précisant son unité dans le système international.
4- Pour tracer la courbe v(t) de la figure2 on peut utiliser la méthode d’Euler avec un pas de calcul ∆t.
Soient vn la vitesse du parachutiste à l’instant tn, et vn+1 sa vitesse à l’instant tn+1=tn+∆t telles que
vn+1 = -7,84.10-2.vn2 + vn + 1,96 avec vn et vn+1 en m.s-1. Déterminer le pas ∆t.

Partie II : Pendule pesant :

Le pendule pesant est un système mécanique qui peut effectuer un mouvement de rotation oscillatoire autour
d’un axe fixe horizontal ne passant pas par son centre d’inertie ; sa période propre dépend de l’accélération
de la pesanteur.
L’objectif de cette partie est l’étude de l’effet de l’accélération de la pesanteur sur la période propre d’un
pendule pesant dans le cas de faibles oscillations.

Le pendule pesant représenté sur la figure 1 est constitué d’un disque de masse m1, fixé à l’extrémité
inferieur A d’une tige OA de masse m2 avec m1+ m2 = 200g.
Le pendule pesant peut effectuer un mouvement de rotation oscillatoire autour
d’un axe fixe (∆) horizontal passant par l’extremité O de la tige.
Le centre d’inertie G du pendule pesant est situé sur la tige à une distance
OG=d=50 cm de O.
Le moment d’inertie du pendule pesant par rapport à l’axe (∆) est
J∆ =9,8.10-2 kg.m². On néglige tous les frottements.
θ2
On prend pour les petits angles : cosθ ≈1- ; et sinθ ≈ θ avec θ en radian.
2
Et on prend 𝜋²=10
1- Au niveau de la mer où l’accélération de la pesanteur est g0 = 9,8 m.s-2, on

Page 22
 π
écarte le pendule pesant de sa position d’équilibre stable d’un angle θ0= rad et on le libère sans vitesse
18
initiale à l’instant t=0. On repère à chaque instant la position du pendule pesant par l’abscisse angulaire θ
mesurée à partir de sa position d’équilibre stable (figure 1).
1.1- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique relative à la rotation du
pendule pesant, déterminer l’équation différentielle que vérifie l’angle θ dans le cas
de faibles oscillations.
1.2- Trouver, en fonction de J∆ ; d, m1, m2 et g0 l’expression de la période propre T0
2π
du pendule pour que la solution de l’équation différentielle soit θ(t)= θm cos ( T t).
0
Calculer T0.
1.3- En appliquant la deuxième loi de Newton et en utilisant la base de Freinet
(G, u
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
, n) (figure 2) , trouver l’expression de l’intensité R de la force exercée par
l’axe (∆) sur le pendule pesant au moment de passage du pendule
par sa position d’équilibre stable en fonction de m1,m2, d , g0 , θ0 , et T0. Calculer R.
2- Dans une région montagneuse où l’accélération de la pesanteur est g=9,78 m.s-2, la
période propre du pendule pesant augmente de ∆T.
Pour corriger le décalage temporel ∆T, on utilise un ressort spiral équivalent à un fil
de torsion dont la constante de torsion est C.
On relie l’une des extrémités du ressort spiral à l’extrémité O de la tige et on fixe l’autre
extrémité du ressort à un support fixe de telle façon que le ressort spiral soit
non déformé lorsque le pendule pesant est dans sa position d’équilibre stable (figure3).
On choisit le niveau horizontal passant par G0 centre d’inertie du pendule pesant dans sa
position d’équilibre stable, comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur et la
position dans laquelle le ressort spiral est non déformé , comme référence de l’énergie
potentielle de torsion .le point G0 correspond à l’origine du repère O'z orienté vers le haut
(figure 3).
2.1- Montrer dans le cas de petites oscillations et à une date t, que l’énergie mécanique de
l’oscillateur ainsi constitué s’écrit sous la forme : Em = a.θ̇2 +b.θ2 . En précisant les
expressions de a et de b en fonction des données utiles de l’exercice.
2.2- En déduire l’équation différentielle du mouvement que vérifie l’angle θ en fonction de
a et b.
2.3- Trouver l’expression de la constante de torsion C qui convient à la correction du
décalage temporel ∆T en fonction de m1, m2, d, g, et g0 . Calculer C.

BAC2011 SR/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement d’un satellite artificiel

Le satellite HOTBIRD apparait immobile pour un observateur fixe sur la surface de la terre. Ce satellite est
utilisé pour les télécommunications et les émissions radio et télévisées. Les paraboles fixées à la surface de
la terre et orientées vers le satellite HOTBIRD captent les ondes électromagnétiques provenant de ce
dernier sans qu’elles soient munies d’un dispositif permettant de suivre le mouvement du satellite
HOTBIRD.

Données :
- Masse de la Terre : MT = 5,98.1024 kg ;
- Rayon de la Terre : R = 6400 km ;
Page 23
- Constante d’attraction gravitationnelle : G = 6,67.10-11 (S.I) ;
- On suppose que la Terre est une sphère à répartition massique symétrique ;
- La Terre effectue un tour complet autour de se son axe polaire en T=23h56min4s ;
- La hauteur de l’orbite du satellite HOTBIRD par rapport à la surface de la terre est h = 36000 km .
1- La parabole et la réception des ondes électromagnétiques
Une parabole est fixée sur le toit d’une maison qui se trouve à la latitude =33,5°.
1.1- Calculer dans le référentiel géocentrique la vitesse vp de la parabole concave supposée ponctuelle.
1.2- Justifier pourquoi il n’est pas nécessaire que la parabole soit munie d’un système rotatoire qui permet de
suivre le mouvement du satellite HOTBIRD.
2- Étude du mouvement du satellite HOTBIRD
On assimile le satellite HOTBIRD à un point matériel de masse ms.
2.1- En appliquant la deuxième loi de Newton , établir l’expression de la vitesse vs du satellite HOTBIRD
sur son orbite en fonction de G , M , R et h . Calculer vs.
2.2- On considère deux orbites hypothétiques (1) et (2) d’un satellite en mouvement circulaire uniforme
comme l’indique la figure(2) .
Choisir la réponse juste en justifiant votre choix :
L’orbite qui correspond au satellite HOTBIRD est :
a) L’orbite (1).
b) L’orbite (2).

Partie II : Étude énergétique d’un oscillateur mécanique

Le pendule pesant est un système mécanique en mouvement de rotation oscillatoire autour d’un axe
horizontal, sa période dépond généralement de l’amplitude du mouvement.
L’objectif de cet exercice est d’étudier un oscillateur formé d’un pendule pesant et d’un fil de torsion
et comment le transformer à un oscillateur de période indépendante de l’amplitude du mouvement.
On fixe au milieu d’un fil tendu horizontalement, de constante de torsion C , une tige de longueur AB = 2ℓ
et de masse négligeable . À l’extrémité inférieur A de la tige est fixé un corps ponctuel (S1) de masse m1= m.
La tige porte sur sa partie supérieure en un point M situé à une distance d du point O un solide ponctuel (S2)
de masse m2 = 2m .La position de (S2) sur la tige peut être réglée.
Lorsque le fil de torsion n’est pas tordu, la tige prend une position verticale. On désigne par J le moment
d’inertie du système constitué par la tige AB et les solides(S1) et (S2) par rapport à l’axe de rotation () qui
est confondu avec le fil de torsion.
On écarte la tige AB de sa position d’équilibre verticale d’un
angle m dans le sens positif puis on la libère sans vitesse
initiale, elle effectue alors des oscillations dans un plan
vertical. On repère à chaque instant la position de la tige AB
par
l’angle  qu’elle forme avec la verticale passant par O,
comme indique la figure (1). On néglige tous les frottements.
L’expression de l’énergie potentielle de torsion dans le cas
étudié est Ept = 2C² + cte.
On choisit comme état de référence de l’énergie potentielle de
pesanteur le plan horizontal contenant le point O, et comme
état de référence pour l’énergie potentielle de torsion la
position dans laquelle le fil n’est pas tordu (=0).

Page 24
1- Montrer que l’expression de l’énergie mécanique Em de l’oscillateur s’écrit sous la forme :
1 l
Em = . J.θ̇2 +2mg (d - )+ 2C²
2 2
π θ2
2- On considère le cas de faibles oscillations dont 0 <   (rad) et cosθ ≈1- .
18 2
2.1- Établir l’expression de l’équation différentielle vérifiée par l’angle  .
2.2- Trouver l’expression littérale de la période propre T0 de l’oscillateur pour que la solution de l’équation
2π
différentielle soit : θ(t)= θm cos (T t + φ).
0
3- On règle la position de (S2) sur la tige à la distance d0 du point O, puis on écarte de nouveau la tige de sa
position d’équilibre verticale d’un angle m et on la libère sans vitesse initiale. Déterminer la distance d0 en
fonction de ℓ pour que le mouvement de l’oscillateur soit un mouvement de rotation sinusoïdale, quel que
π
soit la valeur de m appartenant à l’intervalle ]0; [
2

BAC2011 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : Étude du mouvement d’un skieur
Un skieur glisse sur une montagne recouverte de glace au
pied de laquelle se trouve un lac d’eau.
La figure suivante donne l’emplacement du lac d’eau par
rapport au point O où le skieur sera obligé de quitter le
sol de la montagne avec une vitesse v ⃗
faisant un angle  avec l’horizontale
Le skieur part d’un point D situé à la hauteur h
par rapport au plan horizontal contenant le point O,
(voir figure ) .La vitesse v du skieur lors de son
passage au point O s’exprime par la relation v =√2g. h
Dans un essai le skieur passe par le point O origine du
repère (O,𝑖,⃗⃗𝑗) avec une certaine vitesse, alors il tombe
dans le lac d’eau .

On veut déterminer la hauteur minimale hm de la hauteur h du point D à partir duquel doit partir le skieur
sans vitesse initiale pour qu’il ne tombe pas dans le lac.
Données :
- Masse du skieur et ses accessoires : m=60kg ;
- Accélération de la pesanteur : g =10 m.s-2 ;
- La hauteur : H= 0,50 m ;
- L’angle : =30° La longueur du lac d’eau : AB = d = 10m .
Pour cet exercice, on assimile le skieur et ses accessoires à un point matériel G et on néglige tous les
frottements et toutes les actions de l’air.
v0 faisant un angle  avec l’horizontale.
1- Le skieur quitte le point O à l’instant t = 0 avec une vitesse ⃗⃗⃗
1.1- En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l’équation différentielle que vérifie chacune des
coordonnées du vecteur vitesse dans le repère (O,𝑖⃗⃗, 𝑗).
1.2- Montrer que l’équation de la trajectoire du skieur s’écrit dans le repère cartésien sous la forme :
1 x2
y(x)= - .g . + x.tan α
2 v0 2 .cos2 α
2- Déterminer la valeur minimale hm de la hauteur h pour que le skieur ne tombe pas dans le lac d’eau.

Partie II : La chute verticale d’une bille métallique.

L’objectif de cet exercice est d’étudier le mouvement de chute verticale d’une bille métallique dans l’air et
dans un liquide visqueux.

Page 25
Donnée :
- La masse volumique de la bille : 1 =2,70.103 kg.m-3 ;
- La masse volumique du liquide visqueux : 2 =1,26.103 kg.m-3 ;
- Le volume de la bille : V=4,20.01-6 m3
- Accélération de la pesanteur : g =9,80m.s-2
A l’instant t=0 on libère la bille d’un point O confondu avec son centre d’inertie G . Le point O se trouve à
une hauteur H de la surface libre du liquide visqueux qui se trouve dans un tube transparent vertical
(figure 1).
La courbe de la figure (2) représente l’évolution de la vitesse v du centre d’inertie G de la bille au cours de
sa chute dans l’air et dans le liquide visqueux.

1- Étude du mouvement de la bille dans l’air.

On modélise l’action de l’air sur la bille au cours de sa chute par une force verticale ⃗R d’intensité R
constante. On néglige le rayon de la bille devant la hauteur H.
Le centre d’inertie de la bille atteint la surface libre du liquide visqueux à un instant t1 avec une vitesse v1.
1.1- En appliquant la deuxième loi de Newton, exprimer R en fonction de V, 1, g, v1 et t1.
1.2- En exploitant la courbe v=f(t), calculer la valeur de R.
2- Etude du mouvement de la bille dans le liquide visqueux.
La bille est soumise pendant sa chute dans le liquide visqueux, en plus de son poids aux forces :
- Poussée d’Archimède : ⃗F   2.V.g.i
- Force de frottement visqueux : f  k.v. i Avec k constante positive.
On modélise l’évolution de la vitesse v du centre d’inertie de la bille, dans le système international des
dv
unités, par l’équation différentielle : = 5,2 – 26.v (1)
dt
2.1- Trouver l’équation différentielle littérale vérifiée par la vitesse v du centre d’inertie de la bille en
fonction des données du texte.
2.2- En utilisant cette équation différentielle littérale et le graphe de la figure 2, vérifier que l’équation
différentielle (1) est correcte.
2.3-En utilisant l’équation aux dimensions, déterminer la dimension de la constante k.Calculer la valeur de k
2.4- sachant que la vitesse du centre d’inertie de la bille dans le liquide visqueux à un instant ti est
vi=2,38 m.s-1 ; établir à l’aide de la méthode d’Euler que l’expression de la vitesse de G à l’instant
ti+1 = ti+t est : vi+1=(1- 26t).vi +5,2t avec t le pas du calcul .
Calculer vi+1 dans le cas où t = 5,00 ms.

Page 26
BAC2010 SR/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : la séparation des deux isotopes d’un élément chimique
La spectrométrie de masse est une technique de grande sensibilité, au début cette technique était utilisée
pour la détection des différents isotopes des éléments chimiques. À nos jours cette technique est utilisée
pour étudier la structure des espèces chimiques.
Dans cette partie de l’exercice on s’intéresse à la
séparation des deux isotopes de Zinc par la
technique de spectrométrie de masse.
La chambre d’ionisation produit deux ions 68Zn2+ et
A
Zn2+ leurs masses respectives : m1 et m2.aprés ces
ions sont accélérés dans le vide entre les deux
plaques (P1) et (P2) en appliquant une tension
U=1,00.103V (figure1).
On suppose que les deux ions quittent la chambre
d’ionisation sans vitesse initiale et on néglige le
poids de l’ion devant les autres forces.
Données :
- la charge élémentaire : e=1,6.10-19C ;
- la masse du proton mp est égale a la masse du neutron mn : mp= mn = m =1,67.10-27kg.
1- La quelle des deux plaques qui possède le potentiel le plus grand, justifier votre réponse.
2- Montrer que les deux ions 68Zn2+ et AZn2+ ont même énergie cinétique au point O.
3- Trouver l’expression de la vitesse v1 de l’ion 68Zn2+ au point O en fonction de U, e et m, et déduire
l’expression de la vitesse v2 de l’ion AZn2+ au même point O en fonction de v1 et A.
4- Les deux ions entrent à l’instant t=0 dans un espace où règne un champ magnétique uniforme B ⃗
perpendiculaire au plan de schéma d’intensité B=0,10 T au point O, après déviation les deux ions 68Zn2+ et
A
Zn2+ arrivent sur une plaque photographique successivement en deux points C et C’.
4.1- Indiquer sur le schéma le sens du vecteur champ magnétiqueB ⃗ , en justifiant la réponse.
2+
4.2- Montrer que le mouvement de l’ion Zn se fait dans la plan (O, X, Y).
4.3- Quelle est la nature du mouvement des ions Zn2+ dans un champ magnétique uniformeB ⃗.
4.4- On donne la distance : CC’=8,0 mm, déduire la valeur de A

Partie II : L’étude énergétique du pendule pesant

On considère un pendule pesant qui réalise des oscillations libres à faible frottement.
Le pendule étudié est une barre homogène AB de masse m et de longueur AB=L=60,0 cm, peut tourner dans
un plan vertical autour d’un axe horizontal (∆) fixe passant par l’extrémité A (figure 2).
1
Le moment d’inertie de cette barre par rapport à l’axe (∆) est : J∆ = .m.L2
3

L’étude de mouvement du pendule pesant se fait dans un référentiel lié à la terre considéré
galiléen.

À chaque instant on repère la position du pendule par son abscisse angulaire θ (c’est
l’angle formé par la barre et l’axe vertical qui passe par A)
On choisit le plan horizontal qui passe par G0 (la position du centre de gravité G da la
barre AB à l’équilibre) comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur
(Ep=0)

Page 27
 θ2
On prend dans le cas des petites oscillations : cosθ ≈1- (θen rad) et g= 9,80 m.s-2.
2

1- Équation différentielle de mouvement du pendule.

1-1- Montrer que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur Ep de la barre AB s’écrit sous la forme :
L
Ep= m.g. (1- cosθ).
2
1-2- Écrire, dans le cas des petites oscillations, l’expression de l’énergie mécanique Em de la barre à l’instant
dθ
t en fonction de m, L, g, θ et .
dt
1-3- Déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par l’abscisse angulaire θ dans le cas des
petites oscillations.
2- L’étude énergétique.
On lance la barre AB avec une vitesse initiale à partir de sa position d’équilibre stable qui lui permet
d’acquérir une énergie mécanique Em.
La figure 3 représente l’évolution de l’énergie potentielle de
pesanteur Ep et l’énergie mécanique Em de la barre AB dans
deux expériences différentes après avoir lancer la barre AB à
partir de sa position d’équilibre stable dans les deux cas avec
une vitesse différentes qui permet à la barre AB d’acquérir deux
énergie mécanique Em différentes .
– dans l’expérience (1) : Em=Em1.
– dans l’expérience (1) : Em=Em2.
2-1- En utilisant la courbe de la figure 3 déterminer la nature du
mouvement de la barre AB dans chaque expérience.
2-2- Déterminer graphiquement la valeur maximale de
l’abscisse angulaire θ du pendule dans l’expérience (1), et
déduire la valeur de la masse m de la barre.
2-3- Dans l’expérience (2) l’énergie cinétique de la barre AB
variée entre une valeur minimale EC(min) et une valeur maximale
EC(max). Calculer la valeur de EC(min) et EC(max).

BAC2010 SN/F-M
Mécanique : Les parties I et II sont indépendantes
Partie I : chute verticale d’un corps solide
Tout corps solide immergé dans un fluide est soumis à la poussée d’Archimède, et s’il
est en mouvement de translation dans ce fluide il est soumis en plus à une force de
frottement fluide.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution de la vitesse de deux billes (a) et (b) en
verre homogène de rayons différents en mouvement de translation dans une huile aves
une vitesse relativement faible.

Données :

 Masse volumique du verre :𝜌=2600kg.m-3.

 Masse volumique de l’huile : 𝜌0 =970kg.m-3.
 Viscosité de la pesanteur : Ƞ=8,0.10-2N.m-2.s.
 Accélération de la pesanteur : g=8,81m.s-2.
4
 L’expression du volume d’une sphère de rayon r : V= π.r 3 .
3

Page 28
On abandonne au même instant t=0 les deux billes (a) et (b) à la surface d’une huile contenue dans un tube
cylindrique vertical transparent. La hauteur d’huile dans le tube est H= 1,00m (voir figure 1).

1- Étude du mouvement de la bille (a)

La bille (a) est soumise pendant son mouvement par rapport au repère (o,𝑖 ) lié à la terre aux forces :

- la poussée d’Archimède : 𝐹 = - 𝜌0 .V. g 𝑖 .

- la force de frottement fluide : 𝑓= - 6 π. Ƞ. r. v 𝑖.
- Son poids : 𝑃⃗= m. g𝑖.

On désigne par (𝜏) le temps caractéristique du mouvement de la bille (a) et on considère que la vitesse limite
de la bille est atteinte au bout d’une durée de (5 𝜏).
dv v
1-1- Établir l’équation différentielle + = C du mouvement de la bille (a) et préciser les expressions de τ
dt τ
et de C. Calculer τ sachant que r = 0,25cm.
1-2 Calculer la valeur de la vitesse limite vlim de la bille (a).

2- Étude comparative des mouvements des deux la billes (a) et (b).

Le rayon de la bille (b) est r’=2r.
2-1- Déterminer, en justifiant la réponse, la bille qui met plus de temps pour atteindre sa vitesse limite.
2-2- La distance parcourue au cours du régime transitoire par :
- La bille (a) est d1=5,00cm.
- La bille (b) est d2=80,0cm.
On néglige r et r’ devant H, Calculer la durée qui sépare l’arrivée des deux billes (a)et (b) au fond du tube.

Partie II : changement des conditions initiales du mouvement d’un oscillateur non amorti.
Un système mécanique oscillant est un système qui effectue un mouvement périodique de va et vient autour
de sa position d’équilibre stable.
Un pendule élastique horizontal est constitué d’un solide (S) de
masse m lié à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives, de
masse négligeable et de raideur K. L’autre extrémité du ressort est
liée à un support fixe (voir figure 2).

À l’équilibre, le centre d’inertie G du solide (S) coïncide avec l’origine O du repère d’espace (o,𝑖 ) lié à la
terre.
On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans le sens positif jusqu’à ce que son centre d’inertie G
coïncide avec un point A situé à une distance d du pont O.
On considère les deux cas suivants :
- 1ér cas : on abandonne a t=0 le corps (S) au point A sans vitesse initiale.
- 2éme cas : on lance a t=0, le corps (S) à partir du A dans le sens négatif avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
VA .
Dans les deux cas le solide (S) effectue un mouvement oscillatoire autour de sa position d’équilibre O.
1- Établir l’équation différentielle que vérifiée l’abscisse x du centre d’inertie G du solide.
2- Trouver l’expression littérale de la période propre T0 de l’oscillateur pour que l’équation
2π
x(t)= Xm cos (T . t + 𝜑) soit solution de l’équation différentielle.
0

Page 29
3- On obtient à l’aide d’un dispositif approprié la courbe d’évolution des abscisses x1 et x2 du centre d’inertie
G du corps (S) successivement dans le 1ér et le 2émé cas comme l’indique la figure 3. Preciser, en justifiant la
reponse, la courbe correspondante au mouvement de l’oscillateur dans le 1ér cas.
4- On considere l’oscillateur dans le 2éme cas et on designe l’amplitude de son mouvement par Xm2 et la
phase à l’ origine des dates par 𝜑2 .
4-1- Déterminer à partir du graphe, (figure 3) la valeur de la
distance d et la valeur de l’amplitude Xm2.
4-2- En appliquant la conservation de l’énergie mécanique,
montrer que l’amplitude Xm2 peut s’écrire sous la forme :
m.V2A
Xm2 = √ + d2 .
K

4-3- Trouver l’expression de tan 𝜑2 en fonction de d et Xm2.

BAC2009 SR/F-M
Physique 3 : mouvement d’un sportif sur un plan incliné
Un sportif de masse m = 60 kg, glisse sur un plan (π) incliné
d’un angle α = 12° par rapport au plan horizontal.
Le plan (π) a la forme d’un rectangle de longueur OM et de
largueur ON = 20 m (Figure 1).
On modélise le sportif par un solide (S) de masse m et de
centre d’inertie G.
On étudie le mouvement de G dans le repère orthonormé
(O,𝑖, 𝑗) : où (O,𝑖) est horizontal, et (O, 𝑗) parallèle à la ligne
de plus grande pente du plan (π). On néglige tous les
frottements. On prendra : g = 9,80 m.s-2.

1- Étude d’un mouvement plan sur un plan incliné :

A l’instant t = 0, le centre d’inertie G du sportif passe en O origine du repère (O,𝑖, 𝑗) avec une vitesse de
vecteur ⃗⃗⃗
v0 , contenu dans le plan (π), et faisant un angle β avec l’axe (O, 𝑗).
1-1- Montrer que les composantes du vecteur vitesse, à un instant t, vérifient les équations différentielles :
dvx dvy
=0 et = - g sin 𝛼
dt dt
1-2- Trouver l’équation de la trajectoire de G dans le repère (O,𝑖, 𝑗).
1-3- Dans le cas où β = 60° :
a- Calculer la valeur de v0 pour que G passe au point N.
b- Trouver les expressions des coordonnées xS et yS, du point S, sommet de la trajectoire de G, en fonction
de v0, α, β et g.

2- Étude d’un mouvement oscillatoire sur plan inclinée :

Le sportif tient le bout d’une corde dont l’autre extrémité est fixée au point A se trouvant au haut du plan
incliné (π), Il commence à effectuer des petites oscillations autour de sa position d’équilibre AG0 parallèle a
l’axe (O, 𝑗).
Pour étudier le mouvement du sportif tenant la corde, on modélise par un pendule simple, constitué d’un
solide de masse m et de centre d’inertie G, accroché à un fil inextensible, de masse négligeable, parallèle au
plan (π) et de longueur 𝑙=12m (figure 2).

Page 30
On répere, à chaque instant, la position de G par l’abscisse angulaire θ formé entre la corde et la droite
(AG0).
On prendra comme etat de réference de l’énergie potentielle de pesanteur (Epp=0),le plan horizontal passant
par G0.
Le moment d’inertie J∆ par rapport a l’axe de rotation (∆) passant par A est : J∆ =ml2.
θ2
On prendra dans le cas des petites oscillations : cosθ ≈ 1- (avec θ en radians).
2
1 g.sinα 2 dθ 2
2-1- Montrer que l’energie mecanique du pendule d’ecrit : Em = m.l .[ 2
.θ + ( ) ]
2 l dt
2π
2-2- La solution de cette l’équation différentielle s’ecrit sous la forme : θ(t)= θ𝑚 . cos (T . t + 𝜑)Ou T0 est
0
la période propre des oscillations du pendule. Trouver, par utilisation de l’équation différentielle et sa
solution, l’expression de T0.Calculer sa valeur.
⃗ appliquée par la corde
2-4- Calculer, au voisinage du centre d’inertie G par G0, l’intensité de la tension T
sur le solide, dans le cas ouθ𝑚 =120.

BAC2009 SN/F-M
Physique 3 : Amortisseurs et sécurité routière

I- Test de freinage :

Des tests effectués dans une usine de fabrication de voiture ont montré que :

 L’accélération d’une voiture au cours du freinage sur une

route rectiligne, reste constante.
 La valeur de cette accélération est la même quelle que soit la
vitesse de la voiture juste avant le début de freinage.

Les courbes de la figure 1, donnent ce type de testes a partir de

l’instant t=0, auquel le conducteur perçoit un obstacle devant lui.

Entre l’instant de perception de l’obstacle et l’instant d’appui sur la

pédale des freins, s’écoule une durée de (1s), et c’est la durée normale
de reflexe.

1- Calculer, à partir du graphe (figure 1), l’accélération de voiture au cours du freinage.

2- En déduire le module de la somme des vecteurs forces appliquées sur la voiture au cours de freinage,
sachant que sa masse est M=1353kg.

Page 31
3- Si la vitesse de la voiture au début du freinage est 72 km.h-1, calculer en exploitant le graphe :
3-1- la distance parcourue par la voiture au cours de la phase de réaction.
3-2- la durée de la phase de freinage.
4- Lors du mouvement de la voiture à la vitesse de 16m.s-1, le conducteur est surpris d’un obstacle à la
distance de 35m de l’avant de sa voiture. Montrer que le conducteur arrête la voiture avant d’heurter
l’obstacle.

II- Modélisation de la suspension d’une voiture.

La suspension d’une voiture est composée de ressorts et amortisseurs, qui assurent le confort et la sécurité
des passagers.

Les ressorts se compriment et de dilatent, tandis que l’amortisseurs amortissent les

oscillations.

On modélise la voiture par un pendule élastique vertical amorti comme indique la figure 2.

Le pendule est constitué d’un corps de masse égale à celle de la voiture M=1353 kg, de
centre de gravité G, fixé à un ressort vertical, a spires non jointives, de raideur
K=6.105N.m-1 et de masse négligeable.

L’amortisseur applique sur le corps (S), au cours des oscillations des frottements visqueux.

1- Étude énergétique de l’oscillateur{𝐜𝐨𝐫𝐩𝐬 (𝐒) + 𝐑𝐞𝐬𝐬𝐫𝐭}, non amorti :

On considère que l’oscillateur{corps (S) + Ressrt} est non amorti et que son
énergie mécanique se conserve. A l’équilibre, la position G0 du centre
d’inertie de (S), appartient au même plan horizontal contenant le point O,
⃗ ), et ou le ressort est comprimé
origine du repère vertical ascendant (O, k
de|∆l0 |.

L’oscillateur est susceptible d’effectuer des oscillations verticales autour de sa

position d’équilibre G0. On repère à chaque instant, la position du centre
d’inertie G de (S), au cours de ses oscillations suivants l’axe (O, ⃗k ), par son
ordonnées z (figure 3).

 On choisit le plan horizontal contenant l’origine O du repère comme

état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur (Epp=0).
 On choisit l’état ou le ressort est non déformé comme état de référence
de l’énergie potentielle élastique (Epe=0).

1-1- Trouver, à l’équilibre, la relation entre|∆l0 | , M, K et g (intensité de pesanteur).

1
1-2- Montrer que l’expression de l’énergie potentielle élastique s’écrit sous la forme : Epe= K(|∆l0 | − z)2 .
2
1-3- L’énergie mécanique Em de l’oscillateur est la somme de son énergie potentielle de pesanteur et de son
énergie potentielle élastique et de son énergie cinétique.
dz
a- Exprimer l’énergie mécanique Em en fonction de : M, z, , K et |∆l0 |.
dt
b- En déduire l’équation différentielle du mouvement du centre d’inertie G du corps (S).

Page 32
2- Dans cette partie, on suppose que le corps (S) subit de la part de l’amortisseur, des frottements visqueux
dz
modélisés par une force d’expression 𝑓 = - h. ⃗k Ou h est une constante positive, appelée coefficient
dt
d’amortissement, et qui caractérise la qualité de l’amortisseur.

On montre dans ce cas que l’équation différentielle vérifiée par l’ordonnée z du centre d’inertie G s’écrite
d2 z dz
sous la forme : M. + h. + K.z = 0.
dt2 dt

dEm dz
2-1- Exprimer en fonction de la constante h et . Commenter
dt dt
le résultat.
2-2- Sur le document de la figure 4, sont représentées les courbes (a)
et (b) modélisant les variations en fonction du temps, de l’ordonnée z
des centres d’inerties de deux corps (S1) et (S2) modélisant deux
voitures ① et ② de même type, ne différenciant que par la qualité
des amortisseurs.

Les coefficients de frottement relatifs successivement aux voitures

① et ② sont tel que : h2 > h1.

Préciser laquelle des deux voitures offre plus de sécurité au conducteur, en précisant la courbe
correspondante. Justifier votre réponse.

BAC2008 SR/F-M
Physique 3 : les deux parties (1) et (2) sont indépendantes

Partie (1) : comparaison des masses de la terre et du soleil

La connaissance des mouvements des satellites artificiels autour de la terre et le mouvement de la terre
autour du soleil, permettent de comparer la masse mS du soleil à la masse mT de la terre.
Données :
On considère un satellite artificiel géostationnaire, de masse m, et le rayon de son orbite circulaire dans le
repère géocentrique est r=4,22.104km.
 La période de révolution du satellite autour de la terre est : T.
 La période de révolution de la terre autour du soleil dans le repère héliocentrique est : TT=365,25
jours.
 La période de révolution de la terre autour d’elle-même est : T0=24 heures.
 On désigne par G la constante de gravitation universelle, et on considère que la terre et le soleil sont
à symétries sphériques de masse.
 On néglige l’action des autres planètes sur la terre et le satellite artificiel.
1- Montrer que le mouvement du satellite artificiel, dans le repère géocentrique est circulaire uniforme, et en
déduire l’expression de la période T en fonction de : G, mT et r

. 2- L’expression mathématique de la 3éme loi de Kepler pour un satellite artificiel gravitant autour de la terre
T2
est : = K en fonction de G et mT
r3
mS
. 3- Trouver l’expression du rapport en fonction de r, rT, TT et T. Calculer sa valeur.
mT

Partie (2) : Mesure de la masse d’un corps à l’intérieur d’une navette spatiale en orbite

Page 33
Lors des recherches à l’intérieur d’une navette spatiale en orbite autour de la terre, un astronaute mesure les
masses de quelque corps en utilisant un dispositif constitué d’un compartiment (A) de masse m=200g,
susceptible de glisser sans frottement sur un plan horizontal. Le compartiment est relié aux extrémités de
deux ressorts(R1) et (R2) de même raideur K et de même longueur à vide l0, et dont les extrémités sont fixes
À l’équilibre, les deux ressorts sont allongés.
Avant l’utilisation du dispositif en orbite, il a été testé sur la terre.

Un corps (C1) de masse M1=100g, est posé à l’intérieur du

compartiment (A).

Le système (S) formé du compartiment (A) et du corps(C1) est écarté

de sa position d’équilibre G0 coïncidant avec l’origine de l’axe (O, i ),
vers la droite d’une distance Xm est lâché sans vitesse initiale.

Le centre de gravité G du système (S), effectue des oscillations autour de sa position d’équilibre de telle
sorte que les ressorts restent allongés.

Un ordinateur muni d’une carte d’acquisition, permet d’obtenir la courbe représentative des variations de
l’abscisse x du centre de gravité G au cours du temps (figure 2).

1- Montrer que les deux ressorts ont la même longueur initiale a l’équilibre : ∆𝑙1=∆𝑙2=∆𝑙0.

d2 x
2- Montrer que l’abscisse x du centre de gravité G du système (S) vérifié l’équation différentielle : +
dt2
2K
.x = 0.
m+M1

2π
3- La solution de cette l’équation différentielle s’écrit sous la forme : x(t)= X𝑚 . cos (T . t + 𝜑)
0

3-1- Trouver a partir de la courbe la phase 𝜑 du mouvement.

3-2- En utilisant l’equation differentielle et sa solution, trouver

l’expression de la periode propre T0 du mouvement en fonction de :
M1, m et K.

3-3- Par exploitation du graphe de la figure 2, calculer la valeur de

la raideur K du ressort.On prendra π2 =10

3-4- L’astronaute realise la meme experience, en utilisant le meme

corps (C1) et le meme dispositif, dans une navette spatiale en orbite
autour de la terre, il trouve de la periode T0. Que peut-on conclure ?

3-5- L’astronaute utilise le meme dispositif precedent pour mesurer la masse M2 ddun corps (C2) en orbite, il
trouve que la periode propre des oscillations du système est T0′ =1,5s. En deduire la valeur de M2.

BAC2008 SN/F-M
Physique 3 : Modélisation de la force de frottements visqueux

Le but de cet exercice est de modéliser la force de frottements visqueux exercée par le glycérol sur un
solide, à partir de l’étude de chute verticale d’une bille métallique de masse m et de rayon r dans le
glycérol.
On donne :

Page 34
 4
 Rayon de la bille : r = 1 cm ; Volume de la bille : V= π r3
3
 Masses volumiques :
 Métal constituant la bille : ρ1 = 2,7.103 kg.m-3 ;
 Glycérol : ρ2 = 1,26.103 kg.m-3 ;
 Accélération de la pesanteur : g = 9,81 m.s-2.
 On rappelle que l’expression de la poussée d’Archimède exercée par le
glycérol sur la bille est : F= ρ2.V.g
 On modélise la force de frottements visqueux exercée sur la bille au
cours de sa chute dans le glycérol par : 𝑓 ⃗⃗⃗  9r vn 𝑘
⃗ où n est un entier
naturel et v la vitesse du centre d’inertie de la bille.
On lâche la bille sans vitesse initiale, à partir du point O, origine d’un axe
vertical descendant (O, 𝑘 ⃗ ) à l’instant t = 0. Son mouvement dans le
glycérol se fait suivant deux phases :
 Phase 1 : Phase du régime initial entre deux instant t0 et t1 où la valeur
de la vitesse croit.
 Phase 2 : Phase du régime permanent à partir de l’instant t1 auquel la
vitesse atteint une valeur limite vL.
Le dispositif constitué d’un chronomètre et deux cellules C1 et C2 permet de mesurer la durée Δt nécessaire
à la bille pour parcourir la distance d
au cours de la 2ème phase. (figure ci-contre)
1- Déterminer la valeur de la vitesse limite vL sachant que Δt = 956 ms.
2- Par application de la deuxième loi de Newton, montrer que l’équation différentielle réalisée par la vitesse
dv
v du centre d’inertie de la bille au cour du mouvement dans le liquide s’écrit sous la forme : +A.vn =B
dt

27 ρ1− ρ2
Avec A= et B= g.( )
4.ρ1. r2 ρ1
3- Trouver à partir de l’équation différentielle vLn en fonction de ρ1, ρ2, r et g.
4- En déduire la valeur de n.

Physique 4 : Pendule de torsion de Cavendish

Le savant Cavendish, a réalisé en 1778 la 1ère expérience utilisant la balance de torsion pour déterminer la
valeur de la constante de gravitation universelle G, il a trouvé G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2. Désormais, il devient
possible de calculer les vitesses des satellites artificiels et naturels sur leurs orbites, par application de la
deuxième loi de Newton.
La balance de torsion utilisée par Cavendish est un pendule de torsion, constitué d’une barre homogène, de
masse négligeable, portant à ses extrémités de corps de même masse, et suspendue de son milieu par un fil de
torsion de constante de torsion C, accroché à un support fixe (figure 1).
Le moment d’inertie du système {barre, corps}par rapport à l’axe de rotation (Δ) confondu avec le fil de torsion
vertical est JΔ = 1,46 kg.m2.
La mesure de la période des oscillations par Cavendish a donné T = 7 min.
On donne : masse de la terre MT = 5,98.1024 kg. On prendra π2 = 10.
1- Détermination de la vitesse d’un satellite artificiel :

Dans le repère géocentrique, l’orbite d’un satellite artificiel est circulaire, de centre
confondu avec le centre de la terre et de rayon r = 7000 km.
Par application de la 2ème loi de Newton, déterminer l’expression de la vitesse linéaire
v du satellite artificiel, en fonction de : G, r et la masse de la terre MT. Calculer la
valeur de v.
2- Étude du pendule de torsion : On néglige tous les frottements et on note :

Page 35
 θ : l’abscisse angulaire de torsion du fil ;
dθ
 : la vitesse angulaire ;
dt
d2 θ
 : l’accélération angulaire.
dt2
2-1- Établir l’équation différentielle traduisant les variations de l’abscisse angulaire θ au cours des
oscillations du pendule.
2π
2-2- La solution de cette équation s’écrit sous la forme : θ(t) = θ𝑚 . cos (T . t + 𝜑)
0
En utilisant l’équation différentielle et sa solution, trouver l’expression de la période propre T0 des
oscillations du pendule, en fonction de C et JΔ. En déduire la constante de torsion C du fil utilisé par
Cavendish.

3- Exploitation du graphe θ=f(t) :

Deux expériences ont été réalisé pour déterminer la période des oscillations du pendule ; l’une en présence
de frottements et l’autre en absence des frottements.

Les courbes A et B de la figure 2, modélisent l’évolution de l’abscisse θ de torsion du fil au cours du temps
dans chacune des deux expériences.

3-1- Préciser la courbe correspondante au régime pseudopériodique. Justifier votre réponse.

3-2- Déterminer, à partir de la figure 2, en absence des frottements, la valeur de la vitesse angulaire du
mouvement du pendule de torsion a l’instant t=0.

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