P12 Oscillateurs méc.-WahabDiop PDF
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le vecteur position OG = x i .
L'origine du repre est choisie de telle sorte que lorsque l'oscillateur passe par sa position d'quilibre,
on ait OG = 0 .
1) Indiquer sur un schma les forces appliques S lorsque l'on a OG = x i , pour x diffrent de zro.
2) tablir l'quation diffrentielle du mouvement de S.
Calculer la pulsation propre 0 et la priode propre T 0 de l'oscillateur.
3) Donner la forme gnrale de l'quation horaire du mouvement de S.
4) On carte S de sa position d'quilibre d'une quantit X o = + 3 cm et on libre S sans vitesse initiale
une date prise comme origine des temps. Etablir l'quation horaire du mouvement de S.
5) Donner en fonction du temps les expressions numriques de l'nergie cintique et de l'nergie
potentielle lastique de cet oscillateur.
Vrifier que son nergie mcanique est constante.
2 Oscillations mcaniques libres d'un pendule lastique vertical
Dans l'exercice on prendra comme valeur de l'acclration de la pesanteur g = 10 m.s-2
Un oscillateur harmonique est constitu d'un ressort R de masse ngligeable suspendu en un point fixe
A et auquel est accroch un solide S de masse m = 200 g et d'inertie G.
1) La longueur vide du ressort est l 0 = 20 cm. On accroche le solide S, le ressort s'allonge de 8 cm.
Calculer la constante de raideur k du ressort.
2) On tire le solide S verticalement, vers le bas, en donnant un
allongement supplmentaire de X 0 = 1 cm au ressort, puis on
lche le solide sans vitesse initiale. Il effectue alors des
oscillations que l'on supposera non amorties de priode T 0 .
2.a- Etablir l'quation diffrentielle du mouvement.
2.b- Dterminer l'quation horaire x = f(t) en prenant comme
origine des temps l'instant du lcher et comme origine O des
dplacements la position d'quilibre du ressort avec solide
accroch. On choisira un axe Ox vertical orient positivement
vers le bas.
2.c- Calculer la priode propre T 0 des oscillations.
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3 Le pendule simple
E
On considre un pendule simple constitu d'un objet ponctuel B, de masse m, suspendu en un point O par un
fil tendu sans raideur et sans masse, de longueur l dans le champ de pesanteur terrestre suppos uniforme ;
on considrera le rfrentiel terrestre comme galilen.
On note l'angle que fait le fil de suspension avec la verticale ; on tudie
les mouvements dans le plan vertical de la figure ci-contre.
1) A quelle condition sur la dure de l'exprience le rfrentiel terrestre
peut-il tre considr comme galilen ?
2) Etablir l'quation diffrentielle du mouvement du point B, vrifie par
llongation angulaire du pendule ?
3) A quelle condition le pendule sera-t-il considr comme un oscillateur
harmonique ?
Quelle est alors lexpression littrale de sa pulsation 0 ?
R
4 Le pendule pesant
A
Il est constitu d'un solide de masse m et de centre de gravit G, mobile, sans frottement autour d'un
axe horizontal , perpendiculaire au plan de la figure. Le moment d'inertie du solide par rapport cet
axe est J .
1) Etablir l'quation diffrentielle vrifie par (t). Montrer que si
reste petit, le pendule pesant peut tre assimil un oscillateur
R
mga
o a = OG.
J
EA
OG = a
Le Pendule de torsion
EA
0B
Tous les ressorts reprsents la figure ci-dessous ont mme longueur naturelle ( tension nulle) et ne
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sont pas allongs dans la position considre. Leur constante de raideur est indique sur le schma. On
nglige tous les frottements.
Dterminer dans chaque cas la priode des oscillation de la masse m et la constante de raideur du ressort
quivalent (ressort unique qui provoquerait des oscillation de mme priode).
7 Oscillations avec un ou deux ressorts.
A
On dispose d'un ressort R, de masse ngligeable et de raideur k. L'une des extrmits est fixe un support
rigide et l'autre extrmit est suspendu un solide (S) de masse M = 0,1 kg.
On dplace le solide (S) verticalement vers le bas d'une longueur X.
1) tudier le mouvement de (S) lorsqu'on le lche sans vitesse initiale.
On mesure la dure de dix oscillations de (S), on trouve t = 2,98 s. Calculer la constante de raideur k 1 .
R
figure 1
U
figure 2
8
A
Le pendule pesant
Une tige homogne OA, de masse m et de longueur L peut osciller sans frottement autour dun axe (),
passant par son extrmit O.
1) Calculer le moment dinertie J du pendule.
R
RR
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Rappels :
U
JG =
R
1
mL2
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J = J G + md2
Laxe passant par () et laxe passant par G sont parallles et distants
de d.
2) On carte le pendule dun petit angle 0 ( 0 < 16) puis on labandonne sans vitesse initiale.
2.a- Etablir lquation diffrentielle du mouvement du pendule.
2.b- Calculer la priode propre T 0 et la pulsation propre 0 de loscillateur.
3) En utilisant la mthode nergtique, retrouver lquation diffrentielle du pendule.
4) calculer la longueur L du pendule simple synchrone ce pendule pesant.
9 Oscillateur horizontal avec frottement fluide- Oscillations entretenues
E
Un ressort (R) spires non jointives, parfaitement lastique et de masse ngligeable, a une constante
de raideur k. Il est reli un solide (S) de masse m, l'une de ses extrmits, l'autre est fixe. Les
oscillations de (S) sont entretenues grce une force F horizontale telle que F = F.cos (t + ). Dans
son mouvement, le solide (S) est soumis une force de frottement fluide F = - V ; V tant le vecteur
vitesse du solide (S) en translation et une constante positive appele coefficient de frottement.
A
3)
3.a - Pour quelle valeur de note r , a-t-on la rsonance d'amplitude. (C'est--dire que
l'amplitude X m est maximale).
Un solide (A) de masse m, tombe d'une hauteur h, sur le plateau d'une balance ressort.
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La masse du plateau est M ; le ressort est spires non jointives et a une constante
de raideur k.
1) Exprimer la vitesse V 0 du systme constitu par le solide (A) et le plateau juste
aprs le choc.
2) Etablir lquation diffrentielle du mouvement du systme considr aprs le
choc.
3) Donner en fonction de k, m et M les expressions de la priode propre T 0 et de la
pulsation propre 0 des oscillations.
4) Lquation du mouvement est de la forme : x = X m cos( 0 t + ).
On prendra comme instant initial linstant du choc et la nouvelle position dquilibre
X0
du plateau comme origine sur l'axe Ox vertical dirig vers le has.
Donner en fonction de k, m, M, g et h l'expression de X m et tan.
R
11
A
Donnes :
U
b = 3 cm ; m = 100 grammes ;
k 1 = 10 N.m-1 ;
R
k 2 = 5 N.m-1
R
On repre la position de la masse durant son mouvement un instant t par le point M avec OM = x. i
(fig. 3)
A
EA
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A
Un palet coussin d'air, de masse m = 50 g mobile sur une table horizontale, est accroch deux
ressorts identiques R 1 et R 2 , de masses ngligeables
tendus entre deux points A 1 et A 2 comme l'indique la
figure ci-contre.
Les ressorts, de constantes de raideur k 1 = k 1 = 7,2 N.m-1
R
l0 =
25 cm ont pour
direction A 1 A 2 , vers A 1 , de OC = -2 cm puis on l'abandonne, sans vitesse initiale un instant qui sera
choisi comme origine des dates.
1.a- Donner, une date t quelconque, l'expression de l'allongement de chacun des ressorts en
fonction de l'abscisse x de G.
1.b- tablir l'quation diffrentielle du mouvement de G.
1.c- Exprimer et calculer la pulsation et la priode propre du mouvement.
1.d- crire l'quation horaire du mouvement de G.
R
AE
2) On carte le palet de sa position dquilibre de telle sorte que son centre dinertie se dplace, dans
la direction de laxe yOy perpendiculaire A 1 A 2 , de OG = y puis on labandonne sans vitesse initiale un
instant qui sera choisi comme origine des dates. Le palet se met alors effectuer des oscillations
R
longitudinales suivant laxe yOy. On notera l la longueur de chaque ressort pendant les oscillations.
2.a- Montrer que lquation diffrentielle du mouvement longitudinal du palet est donne par :
R
..
my+ 2k1 A
EA
l0
Y
l
E
= 0
A
comme harmonique. Donner, dans ce cas, lexpression de sa priode propre T 0 et calculer sa valeur.
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E
Donnes :
masses molaires atomiques en g.mol-1 : M c = 12 ; M O = 16.
nombre d'Avogadro : N A = 6,02.1023 mol-1
vitesse de la lumire dans l'air : c = 3,00.108 m.s-1.
P
Il s'agit, dans cet exercice, d'tudier les vibrations longitudinales de la molcule de monoxyde de
carbone (CO). On la modlisera par un systme deux corps relis par un ressort lastique et on
montrera que les oscillations harmoniques dpendent des caractristiques de la molcule.
Deux corps ponctuels (A 1 ) et (A 2 ) de masses respectives m 1 et m 2 sont relis par un ressort lastique
R
On repre leurs positions par leurs abscisses x 1 = GA1 et x2 = GA2, G tant le centre de masse de ce
systme. Les frottements sont ngligeables.
t = 0 on carte ces 2 corps ponctuels de leurs positions d'quilibre et on les lche sans vitesse
initiale.
R
RRA
EA
EA
1) On pose x = x2 - x1.
Etablir l'quation diffrentielle vrifie par y.
2) Exprimer la priode T avec laquelle les corps A1 et A2 oscillent l'un par rapport l'autre en fonction
de k, m1 et m2.
3) Le systme prcdent modlise les vitesses longitudinales de la molcule de monoxyde de carbone
CO.
La longueur d'onde associe la frquence propre de ces vibrations est = 4,60 m.
3.a- Dterminer cette frquence propre. Faire l'application numrique.
3.b- Dterminer la constante de raideur k associe la liaison carbone-oxygne de cette
molcule. Faire l'application numrique.
U
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