Exercices - Mécanique (WWW - Pc1.ma)
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Mécanique - Exercices
Pr.Hicham Hadjyne
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centre d'inertie G du solide (S) de masse m =100 g dans un repère (O, i ) lié à la Terre supposé
galiléen.
À l'équilibre xG = x0 = 0.
On écarte (S) de sa position d’équilibre d’une distance Xm et on l'abandonne sans vitesse initiale à
l’instant t0 = 0. Le solide (S) effectue 10 oscillations pendant la durée ∆t = 3,14 s.
1. Déterminer la valeur de la période propre T0.
2. Déduire la valeur de K.
3. On choisit l'état où le ressort n'est pas déformé comme référence
de l'énergie potentielle élastique Epe et le plan horizontal contenant
G comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur Epp.
La courbe de la figure (4) représente le diagramme d'énergie
potentielle élastique Epe = f(x).
En exploitant le diagramme, déterminer les valeurs de :
a. L'amplitude Xm.
b. L’énergie mécanique Em du système oscillant.
c. La vitesse maximale du mouvement de (S).
Exercice 2 : Etude d’un système mécanique oscillant
On se propose dans cet exercice, d’étudier dynamiquement et énergétiquement un
système oscillant (solide-ressort) pour déterminer quelques grandeurs dynamiques et
cinématiques.
Un système oscillant est constitué d’un solide (S), de centre d’inertie G et de masse m = 0, 2 kg,
et d’un ressort horizontal à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K.
Le solide (S) est accroché à l’une des deux extrémités du ressort, l’autre extrémité est attachée à
un support immobile.
On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre d’une distance Xm puis on le lâche sans vitesse
initiale. Le solide (S) oscille sans frottements sur un plan horizontal (figure1).
On étudie le mouvement du centre d’inertie G dans un repère (O, i) lié
à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. L’origine O de
l’axe coïncide avec la position de G lorsque le solide (S) est à
l’équilibre.
On repère la position de G à un instant t par l’abscisse x dans le repère (O, i).
Etude dynamique :
En appliquant la deuxième loi de Newton, on trouve que l’équation différentielle du mouvement
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d2x K
du centre d’inertie G s’écrit sous la forme : + x = 0.
dt 2 m
K
1. Vérifier que x(t) = Xm . cos ( .t) est solution de cette équation
m
différentielle.
2. Parmi les deux expressions suivantes de la période propre du
système (solide-ressort) :
K m
T0 = 2π et T0 = 2π , laquelle est correcte ? justifier la
m K
réponse par une analyse dimensionnelle.
3. La courbe de la figure 2 représente le diagramme des espaces x(t).
3.1. Déterminer les valeurs de Xm et de T0.
3.2. En déduire la raideur K du ressort.
Etude énergétique :
On choisit le plan horizontal passant par G comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur
et à l’état d’équilibre (x = 0) l’énergie potentielle élastique est nulle.
1 1 dx 2
4. Parmi les deux expressions suivantes : K. x 2 et m. , écrire celle qui correspond à
2 2 dt
l’énergie potentielle élastique du système (solide-ressort).
5. Calculer le travail WAB (F) de la force de rappel, lorsque le centre d’inertie G se déplace de la
position A d’abscisse xA = 0 à la position B d’abscisse xB = Xm.
On rappelle la relation entre le travail d’une force appliquée par un ressort et l’énergie potentielle
élastique : WAB (F) =-∆Epe.
Exercice 3 : mouvement d'un solide
Cet exercice vise l'étude de deux types de mouvement et la détermination de
certaines grandeurs qui les caractérisent.
1. Etude du mouvement d'un solide sur plan horizontal
Un solide (S) de centre d’inertie G et de masse m = 0,4 kg glisse avec frottement sur un plan
horizontal OAB. On modélise les frottements par une force f constante de direction parallèle à la
trajectoire et de sens contraire à celui du mouvement.
Pour étudier le mouvement de (S), on choisit un repère (O, i) lié à la terre considéré comme
galiléen.
1.1. Le solide (S) est soumis, lors de son mouvement entre O et A, à
une force motrice F constante, horizontale ayant le sens du
mouvement (figure 1).
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On choisit l’instant de départ de (S), à partir de O, sans vitesse initiale comme origine des dates
t0 = 0.
1.1.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l’équation différentielle que vérifie
d2x F −f
l'abscisse x de G dans le repère (O, i) est : = .
dt 2 m
1.1.2. Le solide (S) passe par A à l’instant tA = 2 s, avec la vitesse vA = 5 m.s-1.
Déterminer la valeur de l'accélération a1 du mouvement de G entre O et A.
1.2. La force F s'annule lorsque le solide (S) passe par A. Le solide (S) continue son mouvement et
s'arrête en B. On choisit l'instant de passage de (S) par A comme nouvelle origine des dates (t =0).
Le solide (S) s'arrête en B à l'instant tB = 2,5 s.
1.2.1. Montrer que la valeur algébrique de l'accélération entre A et B est : a2 = -2 m.s-2
1.2.2. En déduire l'intensité de la force de frottement f.
1.3. En utilisant les résultats obtenus, calculer l'intensité de la force motrice F.
2. Etude du mouvement d’un oscillateur
On fixe le solide (S) précédent de masse m = 0,4 kg à un ressort
horizontal à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur
K (figure 2).
On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre d'une distance Xm
et on le libère sans vitesse. On repère la position du centre d’inertie
G par l’abscisse x sur l’axe (O, i) et on choisit l'instant de passage de G par la position d'équilibre,
avec la vitesse v0, dans le sens positif comme origine des dates (t =0).
La courbe de la figure (3) représente les variations de l’abscisse x(t) du centre d’inertie G.
2.1. Déterminer graphiquement, les valeurs de la période propre T0
et de l’amplitude Xm du mouvement, puis trouver la valeur de K (on
prendra π2 = 10).
2.2. Calculer la valeur du travail de la force de rappel exercée sur
T0
(S) entre les instants (t0 =0) et (t1 = ).
4
2.3. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique de
l'oscillateur, déterminer la valeur de la vitesse v0 à l’instant (t0 =0).
Exercice 4 : Saut avec moto
Le but de cet exercice est d’étudier le mouvement du centre d’inertie G d’un système
(S) de masse m constitué d’une moto avec motard sur une piste de course.
La piste de course est constituée d’une partie rectiligne horizontale, d’une partie rectiligne inclinée
d’un angle α par rapport au plan horizontal et d’une zone de chute comportant un obstacle (E) de
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