REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE EL-HADJ LAKHDAR BATNA
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
Mémoire
Présenté en vue d’obtention du titre de :
Magister en Electrotechnique
Option :
Machines électriques

Présenté par :
BOUSSAD Abdelhakim
Ingénieur d’état en électrotechnique de l’université de Batna

Thème :

Analyse du fonctionnement d’un

moteur piézo-électrique à onde
Soutenu le :
progressive
Devant le jury :

Soutenu le : 12/06/2012
Devant le jury composé de :

Président Pr R. ABDESSEMED Université de Batna

Rapporteur Pr S. TAIBI Université de Batna

Co-Rapporteur Dr I. HAOUARA Université de Batna

Examinateur Dr A. BENAKCHA Université de Biskra

Examinateur Dr M. S. AGGOUNE Université de Batna

Université de Batna 2012

0
 REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier mon encadreur Monsieur S.TAIBI , professeur à

l’université de Batna ; de m’avoir proposé ce thème et de m’avoir dirigé avec
son savoir et son expérience tout au long de cette étude.

Mes remerciements vont également à mon Co-encadreur Mademoiselle

I.HAOUARA, Docteur et maître de conférences à l’université de Batna pour son
orientation et son aide au cours de la préparation de ce présent travail.

Je remercie Monsieur R.ABDESSEMED, Professeur à l’université de Batna de

m’avoir fait l’honneur d’examiner le présent travail et de présider le jury de ma
thèse .

Je remercie Monsieur A.BENAKCHA, Docteur et maître de conférences à

l’université de Biskra d’avoir accepté d’examiner mon présent travail et de
participer au jury de ma thèse.

Je remercie Monsieur M.S.AGGOUNE, Docteur et maître de conférences à

l’université de Batna d’avoir accepté d’examiner mon présent travail et de
participer au jury de ma thèse.

Je tiens aussi à remercier tous les professeurs qui ont participé à notre formation
au cours de l’année préparatoire de post-graduation.

1
Résumé

Le principe de fonctionnement piézo-électrique est fondé sur la déformation

d’une structure élastique à base de matériaux composites électro-actifs, capable de
communiquer par adhérence un mouvement d’entrainement uniforme à une partie
mobile. Ce nouveau système subit une déformation sous l’effet d’une tension
électrique ou bien l’inverse. Autrement-dit, sous une contrainte mécanique il
génère une tension électrique. A partir de cette réversibilité plusieurs applications,
qui relèvent du domaine du génie électrique, sont possibles.
Un actionneur peut être obtenu à partir d’un ensemble d'éléments piézo-
électriques, disposés d’une façon particulière et judicieusement alimentés. Le
mouvement issu de la déformation peut être manipulé pour obtenir le déplacement
souhaité : rotatif, oscillatoire ou linéaire.

Dans le présent sujet, nous allons aborder un moteur rotatif piézo-électrique à

onde progressive. Ces moteurs sont réputés par une discrétion acoustique et par
leur puissance massique très élevée par rapport à leurs homologues
électromagnétiques. Ils offrent également un fonctionnement basse vitesse et fort
couple. Ces performances permettent de supprimer le réducteur mécanique de
vitesse dans les systèmes exigeant une faible vitesse de rotation.

L’objectif visé par le présent sujet est la modélisation hybride de l’actionneur en

question qui tient compte de la dynamique du stator, l’interaction du contact
stator-rotor, et enfin de la dynamique du rotor dans le but d’analyser son
fonctionnement à vide et en charge.

Mots-clés
La céramique piézoélectrique, procédé de fabrication, actionneurs piézo-
électriques, modélisation du moteur piézo-électrique, moteurs à onde progressive,
piézo-électrique.

2
Abstract

The operating principle of piezoelectric is based on the deformation of elastic

structure-based electro-active composites, capable of imparting a movement by
adherence to consistent workout moving part. This new system is subject to
deformation under the effect of an electrical voltage or the reverse. In other words,
under mechanical stress it generates an electrical voltage. From this reversibility
many applications that fall within the field of electrical engineering, are possible.
An actuator can be obtained from a set of piezoelectric, arranged in a particular
way and carefully fed. The movement resulting from the deformation can be
manipulated to get the desired movement: rotary or linear oscillatory.

In this regard, we will discuss a rotary motor piezoelectric traveling wave. These
motors are known by a sound discretion and by their very high power density
compared to electromagnetic counterparts. They also offer a low operating speed
and high torque. These performances will eliminate the gearbox speed in systems
requiring low speed.

The purpose of this subject in the hybrid modeling of the actuator in question
taking into account the dynamic of the stator, the interaction of the stator-rotor
contact, and finally the dynamic of the rotor in order to analyze its load operation.

Keywords
The piezoelectric ceramique, manufacturing process, piezoelectric actuators,
modeling of piezoelectric motor, traveling wave motors, piezoelectric.

3
 Table des matières

Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHAPITRE 1
1-Phénomène de la piézoélectricité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1-Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2-Historique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3-La céramique piézoélectrique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1-Procédé de fabrication de la céramique piézoélectrique. . . . . . . . . . . . . . 13
1.4-Relations piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1-Couplage électromécanique dans les céramiques PZT . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2-Coefficient de pertes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5-Modes de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1- modes de couplage électromécanique dans les céramiques PZT . . . . .21
1.5.2- modes typiques de couplage dans les céramiques PZT. . . . . . . . . . . . 23
1.6-Domaines d’application des céramiques piézoélectriques. . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7-Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

CHAPITRE 2
2-Actionneurs piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1-Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2-Moteur ultrasonique de H.V. Barth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3-Moteur de Vasiliev et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4-Moteurs de Sashida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5-Moteurs piézoélectriques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 -Moteur à double stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7-Moteurs piézoélectriques à deux modes de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8- Brevets de piézomoteurs à onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.1-Brevet Daimler-Benz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.2-Brevet Canon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.3-Brevet Sagem. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8.4-Brevet Shinsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9-Moteur piézoélectrique annulaire à onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9.1-Organe d’entrainement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.2-Organe entrainé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4
 2.9.3-Propriétés des moteurs piézoélectriques à onde progressive . . . . . . . . 42
2.9.4-Bilan de puissance du moteur Shinsei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10-Situation du moteur piézoélectrique à onde progressive dans l'ensemble des ..
actionneurs piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11-Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

CHAPITRE 3
3-Modélisation analytique du moteur piézoélectrique à onde progressive . . . . 47
3.1-Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3.2-Schéma fonctionnel du moteur piézoélectrique à ondes progressives. . . . . . 47
3.3-Conversion d’énergie électrique en énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1-Création d’une onde de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2-Création d’une onde progressive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.3-Equation de la masse vibrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4-Modélisation de la dynamique de d é formation du stator . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1-Conversion électromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2-Schéma équivalent en analogie mécanique du stator . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5-Modélisation du contact mécanique entre le stator et le roto r .. . . . . . . . . . . .58
3.6-Modélisation de la dynamique du rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.7-Calcul des forces de r é action modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8-Récapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.1-Alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.2-Dynamique de déformation du stator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.3-Zone de contact entre le stator et le rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.4-Dynamique du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9-Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

CHAPITRE 4
4-Simulation et interprétation des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1-Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2-Bloc stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3-Bloc fonction A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4-Bloc fonction B du contact stator/rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5-Bloc fonction C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5
 4.6-Bloc fonction D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7-Bloc fonction Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8-Bloc fonction E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9-Résultats de simulation du moteur à vide et interprétations . . . . . . . . . . . . . 82
4.9.1-Tensions d’alimentation du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.9.2-Amplitudes modales du stator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9.3-L’amplitude de crête de l’onde modale résultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.9.4-Le déplacement vertical relatif du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.9.5-Demi-largeur de la zone de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.9.6-Le point de non glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.9.7-Couple moteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.9.8-Vitesse de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.9.9 -Comparaison des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.10-Résultats de simulation du moteur en charge et interprétations . . . . . . . . . . 93
4.11-Comparaison des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.12-Validation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.13-Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6
Introduction Générale

Les matériaux électroactifs représentent actuellement un axe de recherche

attractif pour plusieurs laboratoires de génie électrique dans le monde [1]. Ces
matériaux permettent, suite à leurs caractéristiques intrinsèques et lorsqu'ils sont
judicieusement exploités, d'arriver à produire des structures pouvant développer
une puissance massique très encourageante pour les applications en génie
électrique [16]. La céramique piézo-électrique est un matériau électroactif, qui
subit une déformation sous l'effet d'une tension électrique. Elle peut être,
également, le siège d'une tension électrique lorsqu'elle est soumise à des
contraintes mécaniques. En effet, le fonctionnement de cette céramique est
réversible. De récentes recherches ont montré que ce dernier peut être exploité
pour réaliser des actionneurs [11].
Un actionneur peut être obtenu à partir d'un ensemble de piézo-électriques,
disposés d'une façon particulière et judicieusement alimentés. Le mouvement issue
de la déformation peut être manipulé pour obtenir le déplacement souhaité: rotatif,
oscillatoire ou linéaire.
En 1973, H.V Barth présenta un actionneur rotatif à base de la technologie
piézoélectrique [11] ; seulement les inconvénients qu’il présentait surtout
l’échauffement excessif par frottement du rotor avec les oscillateurs longitudinaux
piézoélectriques, étaient suffisants pour stopper son développement.
Quelques années plus tard et exactement en 1982, T. Sashida mit au point un
actionneur piézoélectrique plus fiable [19]. Dès 1987, la société japonaise Shinsei
valorise cette invention en lui donnant un aspect plus performant et compétitif en
lançant une nouvelle et prometteuse série de moteurs : USR30, USR45, USR60 …
[19].
Leur principe de fonctionnement repose sur la conversion par friction d’une
vibration mécanique ultrasonore du stator, en un mouvement continu du rotor. La
déformation de la structure élastique (substrat) est provoquée par les céramiques
piézoélectriques. Ces dernières ont la propriété de subir une déformation
lorsqu’elles sont sous l’action d’un champ électrique (effet piézoélectrique
inverse).

7
 Grâce à sa discrétion sonore, un encombrement réduit et des performances : fort
couple à basse vitesse, le moteur piézoélectrique représente un intérêt certain pour
l’industrie. Ainsi, il trouve sa place dans un univers relativement conquis par les
moteurs électromagnétiques classiques. En outre, l’absence de bruits audibles de
fonctionnement rend l’application des moteurs piézoélectriques très attractive.

Objectifs
Compte tenu du principe de fonctionnement basé sur des oscillations
mécaniques à haute fréquence et sur l’exploitation des forces de frottement par
friction dans l’interface stator-rotor, le développement d’un modèle analytique
fidèle se révèle de plus en plus difficile.
En effet les forces de contact par friction, origine de la création du couple
moteur, dépendent de plusieurs paramètres tels que l’état de surface du contact
stator-rotor. En plus, l’usure non uniforme, l’élévation de température de la
structure substrat-céramique et l’humidité, rendent la quantification de ces
paramètres très difficiles.
Le principal objectif de notre travail est la modélisation hybride de l'actionneur
piézo-électrique à onde progressive en prenant en compte un certain nombre
d’hypothèses simplificatrices.
Dans cette modélisation on tient en compte de la dynamique du stator, de
l'interaction du contact stator-rotor et de la dynamique du rotor. La validation du
modèle analytique se fera par comparaison des résultats obtenus par simulation en
fonctionnement à vide et en charge avec des résultats issus de la documentation.

Le présent travail est organisé comme suit:

Chapitre1
Un aperçu général sur la céramique piézoélectrique, son procédé de fabrication
et son domaine d’application.
Par la suite, à travers un aperçu sur la théorie d’élasticité, nous allons aborder les
différents modes de fonctionnement des éléments piézoélectriques.

8
Chapitre 2
Nous allons présenter dans cette partie l’état de l’art sur les actionneurs
piézoélectriques les plus populaires, pour chaque cas, on abordera en bref le
principe de fonctionnement.
La fin du chapitre sera consacrée pour l’actionneur le plus répondu dans la
bibliographie à savoir le moteur annulaire à onde progressive.

Chapitre 3
Dans cette partie nous allons établir l’algorithme de notre travail de thèse, qui
consiste dans l’élaboration du schéma fonctionnel analytique de l’actionneur
choisi,
Cette étude commencera par :
 La dynamique du stator qui est l’origine de la génération de l’onde
progressive,
 Le contact stator-rotor et les phénomènes tribologiques qui se produisent.
 Et enfin l’étude de la dynamique du rotor qui résumera ses différents
comportements de rotation et de translation au cours du fonctionnement du
moteur.

Chapitre 4
Dans ce dernier chapitre, le modèle théorique ainsi établi sera interprété en
langage Matlab en utilisant Simulink pour l’analyse et l’interprétation du
comportement de l’actionneur à travers les résultats de simulation pour les
différents régimes de son fonctionnement à vide et en charge.
Dans le but de valider ce modèle, nous allons comparer les résultats obtenus
avec les données des références bibliographiques.

9
Chapitre 1
Phénomène de la Piézoélectricité

1.1-Introduction
La piézoélectricité est une propriété basée sur la capacité de certains cristaux de
générer un champ électrique lorsqu’ils sont soumis à une pression mécanique
externe. On parle alors d’effet piézoélectrique direct.
Par contre, ces mêmes cristaux subissent une déformation sous l’action d’un
champ électrique ; c’est l’effet piézoélectrique inverse.

1.2-Historique
En 1880, les frères Curie publièrent les premiers résultats expérimentaux sur
l’existence d’un lien entre les phénomènes piézoélectriques macroscopiques et
certaines structures cristallographiques [11]. Chaque expérience consistait en la
mesure des charges électriques accumulées à la surface du cristal comme par
exemple le quartz, lorsqu’ il était soumis à un effort mécanique.

Dans les milieux scientifiques de l’époque, cet effet fut considéré presque
comme une "découverte", et rapidement nommé "piézoélectricité", afin de le
distinguer d’autres phénomènes tels que "l’électricité de contact" (électricité
statique due au frottement) et la "pyroélectricité" (électricité générée par les
cristaux, due à leur échauffement).

Toutefois, les frères Curie n’ont pas prédit que les cristaux qui exhibaient l’effet
piézoélectrique direct (électricité en réponse à l’application d’un effort mécanique)
auraient aussi exhibé l’effet piézoélectrique inverse (déformation en réponse à
l’application d’un champ électrique).

En 1881 Lippmann a déduit mathématiquement la réversibilité de l’effet

piézoélectrique à partir des principes fondamentaux de la thermodynamique [8].
Les frères Curie confirmèrent immédiatement l’existence de l’effet inverse et
continuèrent les travaux dans le but d’obtenir une preuve quantitative de la
réversibilité complète des déformations dans les cristaux piézoélectriques. Peu de

10
temps après, un noyau scientifique sur les applications piézoélectriques fut créé
dans le but d’identifier des cristaux piézoélectriques basés sur la structure
asymétrique du cristal.

En effet, on peut voir sur la figure (1.1) que la structure cristalline symétrique
sous l’action d’une contrainte mécanique extérieure n’aboutit pas au déplacement
des barycentres des charges positives et négatives, ainsi la polarisation résultante
est nulle.

Figure 1.1 –Cristal Centro-symétrique [8].

Dans le cristal de la figure (1.2) la déformation 𝑭 entraîne un déplacement des

barycentres 𝑮+, 𝑮− des charges donc l’apparition d’une polarisation Po.

11
 Figure 1.2 – Cristal non Centro-symétrique [8].

Pendant les 25 années suivantes (jusqu’en 1910), le groupe de travail arriva à

établir définitivement les 20 catégories de cristaux naturels dans lesquels les
phénomènes piézoélectriques sont présents et à définir les 18 coefficients
piézoélectriques au niveau macroscopique.
Toutefois, le monde ne donnait pas encore la juste attention à la piézoélectricité
mais privilégiait des domaines comme l’électromagnétisme qui à l’époque était en
train de générer une nouvelle technologie avec la production de machines
extraordinaires.
Les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la piézoélectricité
étaient complexes et aucune application visible au grand public n’était encore
disponible.
Les premières applications sérieuses des dispositifs piézoélectriques ont été
expérimentées pendant la Première Guère Mondiale : en 1917. P. Langevin et des
collègues français ont commencé le perfectionnement d’un dispositif sous-marin à
ultrasons dans le but de mesurer la distance entre des objets (sonar) [11].
Leur transducteur était composé d’un empilement de cristaux de quartz collés
entre deux plaques d’acier ; la structure avait une fréquence de résonance de
50[kHz].

12
Grâce à ce mécanisme, ils réussirent à mesurer la profondeur de l’océan. En
émettant un signal à haute fréquence et en mesurant l’intervalle de temps entre
l’émission et la réception du signal réfléchi par le fond de l’océan on arrive, en
connaissant la vitesse de propagation des ondes sonores dans l’eau (qui est cinq
fois plus élevée que dans l’air), à déterminer la profondeur de l’océan.

L’importance stratégique du sonar a stimulé les grandes nations industrialisées

qui depuis , continuent sans cesse de développer les dispositifs piézoélectriques
comme les transducteurs et les matériaux pour le sonar.
Parmi les exemples de cette activité on peut citer le premier oscillateur
électronique stabilisé par un cristal de quartz réalisé par Walter G. Cady en 1918
[8]. Ce dernier a établi le schéma électrique équivalent du résonateur
piézoélectrique.
De plus, de nouvelles gammes de capteurs de vibrations, d’accélérations, etc.
ont été commercialisées, permettant ainsi de quantifier des grandeurs
précédemment impossibles à mesurer.
Il est toutefois important de se rappeler que les matériaux disponibles à cette
époque limitaient la prestation de n’importe quel dispositif et par conséquent aussi
son exploitation commerciale.
Pendant la deuxième guerre mondiale les chercheurs ont découvert que certains
céramiques obtenus par synthèse de poudres d'oxydes métalliques présentaient des
constantes diélectriques jusqu'à cents fois supérieurs à celles des céramiques PZT
naturels.

La découverte de la céramique piézoélectrique, qui est facilement réalisable

avec des caractéristiques stupéfiantes, a eu comme conséquence la renaissance de
la recherche et du développement des dispositifs piézoélectriques jusqu’à nos
jours.

1.3-La céramique piézoélectrique

1.3.1- Procédé de fabrication de la céramique piézoélectrique :
Le procédé de fabrication de la céramique piézoélectrique est schématisé sur la
figure (1.3),

13
 Préparation Pressage Déliantage à
des poudres 600°C

Polarisation Dépôt des électrodes Frittage sous

Par sérigraphie contraintes à
1200°C

Figure 1.3 – Fabrication des céramiques piézoélectriques [27].

Le granulé de la céramique piézoélectrique est composé d’un très grand

nombre de minuscules domaines cristallins qui sont orientés aléatoirement.
Le procédé commence par :

 La préparation :
Préparation d’une poudre PZT à partir d’oxydes de titane de zirconium et de
plomb Pb (Zr-Ti)O3 chauffés à 900°C.

 Le pressage :
Le contenu obtenu est pressé dans une matrice selon la forme désiré en barres
minces, ou sous forme de pastilles circulaires.

 Le déliantage :
C’est l’opération qui consiste à éliminer les polymères de moulage à une
température approximative de 600°C,

 Le frittage :
On passe au frittage à 1200°C sous contrainte axiale afin de souder les grains
entre eux et d’en réduire la porosité de la structure en céramique ainsi obtenue.

14
 La métallisation :
On fixe par sérigraphie, une couche mince en métal conducteur sur la céramique
comme futurs électrodes de la pièce obtenue.

 La polarisation :
C’est l’étape finale du procédé : par application d’un champ électrique continu
suffisamment intense de l’ordre de plusieurs kV/mm à l’élément céramique gardé
à une température dans l’intervalle de Curie [150 à 450°C] pour aligner tous les
dipôles.

La céramique est ensuite refroidie, toujours en présence du champ électrique.

Finalement, lorsque le champ électrique est supprimé, les dipôles conservent leur
position dans chaque domaine cristallin, c’est la polarisation rémanente 𝑷𝑶

Cette séquence de polarisation est schématisée dans la figure (1.4) :

a b c
)

a)-Avant polarisation. b)-Phase de polarisation c)-Après polarisation

Figure 1.4 –Dipôles électriques dans une céramique piézoélectrique

15
Les céramiques piézoélectriques sont fabriquées sous diverses formes figure (1.5).

Figure 1.5-Différentes formes de céramiques piézoélectriques [41].

1.4-Relations piézoélectriques

La caractérisation systématique des propriétés électromécaniques des milieux

piézoélectriques est fondée sur une représentation tensorielle du couplage entre les
systèmes électrique et mécanique.
Les grandeurs locales macroscopiques, généralement choisies comme variables
mécaniques et électriques dans les milieux continus, sont, respectivement, les
tenseurs de déformation et de contraintes, de composantes S et T, et les vecteurs
du déplacement électrique D et du champ électrique E tableau (1.1).

D [C/𝑚2 ] Déplacement électrique

E [V/𝑚] Champ électrique
S [𝑚 /𝑚] Déformation mécanique relative
T [N/𝑚2 ] Contrainte

Tableau 1.1 – Variables mécaniques et électriques [11].

16
 Dans un solide élastique soumis à une contrainte T, la déformation S vaut :

S=sT (1.1)

Où s est la souplesse (inverse du module de Young), exprimée en [m2 /N].

D’autre part, dans un diélectrique soumis à un champ électrique, on a l’équation
(1.2):

D = E (1.2)

Où est la constante diélectrique du milieu en [Cm/V]. Dans un milieu

piézoélectrique les effets mécaniques et électriques s’influencent mutuellement.
Cette situation est résumée grâce aux équations (1.3) et (1.4) Il s’agit
respectivement de l’effet piézoélectrique direct et inverse.
𝝏𝑫
≠𝟎 (1.3)
𝝏𝑻

𝛛𝐒
≠𝟎 (1.4)
𝛛𝐄

Avec une bonne approximation, cette interaction peut être décrite par des
relations linéaires entre les quatre variables D, E, S et T, dont deux seulement sont
indépendantes.

Le choix des variables indépendantes, l’une mécanique et l’autre électrique, est

arbitraire. Ainsi, en choisissant par exemple les variables intensives (T et E)
comme couple de variables indépendantes, les propriétés piézoélectriques de la
matière se traduisent, à température constante, par les équations (1.5) et (1.6)

𝐒 = 𝐬𝐄 𝐓 + 𝐝𝐭 𝐄 (1.5)

𝑫 = 𝒅𝑻 + 𝝐𝑻 𝑬 (1.6)

Avec :
𝐬𝐄 : La souplesse à champ électrique constant (matrice 6*6) [𝑚2 /𝑁] ;
𝝐𝑻 : La permittivité à contrainte constante (matrice 3*3) en [F/m] ;
d : La constante de charge (matrice 3*6) en [C/N] ;

17
L’exposant t dans l’équation (1.5) indique qu’il s’agit de la matrice transposée de
d.

Les relations (1.5) et (1.6) se réfèrent à une identification des directions qui est
donnée à la figure (1.5) Selon ce système d’axes, la direction de polarisation dans
le sens positif est définie selon l’axe 3 (axe z dans un système orthogonal).

Figure 1.5 –Repère associé aux vecteurs contrainte et déformation [20].

On va définir les différentes matrices présentées dans les équations (1.5) et (1.6).

Matrice de souplesse 𝐬𝐄

La contrainte et la déformation agissent sur les axes définis à la figure 1.5. La

souplesse s est définie pour chacun des cas, c’est à dire pour les trois translations
(allongements) et les trois rotations (cisaillements).

Comme les PZT sont symétriques par rapport à l’axe de polarisation, la matrice
𝐬𝐄 prend une forme simplifiée [11].

Par exemple, 𝒔𝑬𝟏𝟑 est la souplesse à champ électrique constant pour une
contrainte dans la direction 1, avec une composante de déformation dans la
direction 3 selon l’axe z.

18
La matrice de souplesse 𝑠 𝐸 s’écrit [4]:

𝐸 𝐸 𝐸
𝑠11 𝑠11 𝑠13 0 0 0
𝐸 𝐸 𝐸
𝑠11 𝑠11 𝑠13 0 0 0
𝐸
𝑠13 𝐸
𝑠13 𝐸
𝑠33 0 0 0
𝑠𝐸 = 𝐸 (1.7)
0 0 0 𝑠44 0 0
𝐸
0 0 0 0 𝑠44 0
0 0 0 0 0 𝐸
𝑠66

Matrice de permittivité 𝝐𝑻

Le champ et le déplacement électrique sont définis uniquement dans les trois

directions principales (pas de rotations).
De plus, il n’y a pas d’interaction entre différents axes et 𝝐𝑻 est donc une matrice
diagonale. Ainsi, à contrainte constante, 𝝐𝑇33 est la permittivité pour un
déplacement et un champ dans la direction de polarisation.

La matrice de permittivité 𝜀 𝑇 s’écrit [4] :

𝑇
𝜀11 0 0
𝜀𝑇 = 0 𝑇
𝜀11 0 (1.8)
𝑇
0 0 𝜀33

Matrice des constantes de charge d

Le premier indice correspond à la direction de la grandeur électrique (champ

ou déplacement) et le deuxième à la direction de la grandeur mécanique
(contrainte ou déformation).

Comme exemple, 𝐝𝟑𝟏 est le rapport entre la déformation dans la direction 1 et

le champ électrique dans la direction 3 (le rapport entre le déplacement
diélectrique dans la direction 1 et la contrainte dans la direction 3).

19
On peut écrire :
0 0 0 0 𝑑15 0
𝑑= 0 0 0 𝑑15 0 0 (1.9)
𝑑31 𝑑31 𝑑33 0 0 0

Ainsi, pour ce qui concerne les céramiques PZT, principalement utilisées dans
les actionneurs que nous étudierons, les différentes matrices de souplesse sE de
permittivité 𝜖 𝑇 et des constantes de charge d prennent les formes données par les
relations successives (1.7),(1.8)et (1.9) lorsque la polarisation est dirigée selon
l’axe 3 [25] .

1.4.1-Couplage électromécanique dans les céramiques PZT.

Il permet de décrire la conversion relative de l’énergie électrique en mécanique.

Il est défini comme étant le facteur kem qui caractérise la qualité de conversion
électromécanique dans la céramique piézoélectrique [16] en d’autres termes
l’aptitude du matériau à transformer l’énergie électrique en énergie mécanique.

kem est défini comme suit :

2
𝑊𝐸𝑀
𝒌𝒆𝒎 = (1.10)
WE . WM

 WE : C’est la densité d’énergie électrique.

 WM ∶ La densité d’énergie mécanique.
 𝑊𝐸𝑀 : La densité d’énergie électromécanique.

A l’aide de ce paramètre on peut évaluer le rendement du matériau piézoélectrique

utilisé. C’est l’un des paramètres spécifiques pour choisir un matériau
piézoélectrique.

1.4.2-Coefficient de pertes mécaniques Qm

C’est le rapport de l’énergie électrique qui est convertie en énergie mécanique

par rapport à celle qui est dissipée en chaleur [11].

20
 Qm permet donc de quantifier les pertes mécaniques et il est proportionnel au
rapport entre la fréquence de résonance et la largeur de bande.
Les matériaux piézoélectriques avec un coefficient de pertes mécaniques Qm
aux valeurs élevées sont caractérisés par des pics de résonance étroits, tandis que
ceux avec des facteurs Qm bas ont des largeurs de bande plus grandes [11].

1.5-Modes de vibrations
Chaque céramique piézoélectrique possède une fréquence élastique de vibration
spécifique, en fonction du matériau et de sa forme.
Lorsqu’une tension alternative est appliquée à une céramique piézoélectrique
avec une fréquence égale à sa propre fréquence de vibration élastique, la
céramique résonne.

Ce phénomène est exploité dans plusieurs dispositifs piézoélectriques, car à la

résonance le coefficient d’accouplement électromécanique kem est maximum.
Les céramiques piézoélectriques peuvent exhiber plusieurs modes de vibrations
(modes résonants), qui dépendent de leur forme, de la direction de polarisation et
de la direction du champ électrique.

1.5.1-Modes de couplage électromécanique dans les céramiques PZT

Les modes fondamentaux utilisés dans les actionneurs les plus courants
sont principalement [6] :
 Mode longitudinal (33) : se traduit par une variation de longueur suivant
l'axe 3 lorsqu'un champ électrique est appliqué suivant le même axe (3) au
moyen des électrodes placées sur les faces perpendiculaires à cet axe
(figure (1.6.a)) [4].
 Mode transversal (31) : se traduit par la variation de longueur suivant
l'axe 1 lorsqu'un champ électrique est appliqué suivant l'axe 3 (figure
(1.6.b)) [4].
 Mode de cisaillement (15) : conduit à une déformation de l'élément en
céramique PZT autour de l'axe 2 lorsqu'un champ électrique est appliqué
suivant l'axe 1 (figure (1.6.c)) [4].

21
  Mode de couplage : longitudinal (33)

Figure1.6.a-Mode de couplage : longitudinal (33) [6].

Le facteur de couplage electromécanique correspondant pour ce mode est

calculé suivant la relation :

d233
𝒌𝒆𝒎 = 𝒌𝟑𝟑 =
εT33 s33
E

 Mode de couplage : transversal (31).

Figure1.6.b-Mode de couplage : transversal (31) [6].

Le facteur de couplage electromécanique correspondant pour ce mode est

calculé suivant la relation :

22
 d231
𝒌𝒆𝒎 = 𝒌𝟑𝟏 =
εT33 s11
E

 Mode de couplage : de cisaillement (15).

Figure1.6.c-Mode de couplage : de cisaillement (15) [6].

Le facteur de couplage electromécanique correspondant pour ce mode est

calculé suivant la relation :

2
d15
𝒌𝒆𝒎 = 𝒌𝟏𝟓 = T E
ε11 s44

1.5.2-Modes typiques de couplage électromécanique dans les céramiques PZT

Le tableau (1.2) montre les modes de vibration typiques relatifs à la géométrie

des matériaux piézoélectriques sous forme de : barreaux; disques et cylindres et
qui sont les formes les plus utilisées dans la conception et la construction des
transducteurs électromécaniques.

23
Tableau1.2 – Modes de vibration typiques associés à la forme de la céramique
piézoélectrique [11].

24
1.6-Domaines d’applications des céramiques piézoélectriques

Le tableau (1.3) illustre quelques domaines des applications les plus courantes

Consommateur Commercial Médical

Briquets. Soudeuse ultrasonique. Thérapie ultrasonique.

Instruments Perceuse ultrasonique. Capteurs ultrasoniques.
musicaux. Indicateur de niveau. Pompes d'insuline.
Buzzer. Détecteur de défaut. Détection du battement
Interrupteur PZT. Décapants ultrasonique. cardiaque du fœtus.
L'allume-gaz. Capteurs sismiques. Acquisition d’image
Microphones. ultrasonique.
Géophones. Débitmètres.
Systèmes d’alarmes. Soins dentaires.
Tête d'impression des Pulvérisation des calculs
imprimantes à jet d'encre. rénaux.
Bistouri piézoélectrique.

Automobile Ordinateur Militaire

Capteurs d’objets. Micro-actionneur pour Capteur de profondeur

Capteurs pour disque dur. (sonar).
Airbag. Transformateur pour Les amorces.
Contrôle de Notebook. Les déclencheurs de
vibrations. lance-roquettes.
Injecteurs. Gyroscope.

Tableau 1.3 –Domaines d’application des céramiques piézoélectriques [4] [7],

[11].

Un premier exemple venant de la vie quotidienne est représenté par le briquet,

où l’utilisateur exerce une pression, à travers un mécanisme particulier, sur une
céramique piézoélectrique générant ainsi un champ électrique assez fort pour
provoquer une étincelle.
Dans l’industrie automobile on retrouve beaucoup d’actionneurs basés sur le
phénomène piézoélectrique ; On pense par exemple aux capteurs permettant de
détecter la présence d’objets durant l’opération de parking, à l'injecteur

25
piézoélectrique, ce dernier équipé d'un actionneur PZT ce qui lui permet de
produire une pulvérisation plus rapide et plus précise du carburant dans la chambre
de combustion du moteur Diesel, donc un abaissement de rejets de gaz et une
économie dans la consommation du carburant jusqu'à 30%. L’injecteur
piézoélectrique va permettre aux constructeurs automobiles de répondre aux
exigences sévères des normes Européennes et Américaines concernant la
limitation de rejet des gaz polluants.

Dans les applications sous-marines les "sonar" varient des petits émetteurs pour
bateaux aux systèmes professionnels utilisés dans les grandes traversées
transatlantiques pour détecter la profondeur de l’eau.

Dans les moteurs aéronautiques, les capteurs à ultrasons installés dans les
turbines de puissance pour le contrôle dynamique ;
Ces capteurs sont capables de détecter d’éventuelles charges mécaniques
asymétriques dans le rotor, permettant ainsi d’implémenter des mesures
correctives.

Dans les systèmes à ultrasons, les dispositifs piézoélectriques peuvent générer

des ondes ultrasoniques très puissantes utilisées pour nettoyer, percer, souder et
aussi pour stimuler des processus chimiques.

De plus, ils fonctionnent aussi comme émetteurs et récepteurs d’ondes

ultrasoniques dans des appareils de diagnostiques médicaux et de contrôle non
destructif des matériaux.

Pendant un contrôle non destructif, une céramique piézoélectrique est excitée de

manière à générer un signal acoustique à une fréquence ultrasonique, qui est
ensuite transmis à travers l’échantillon à analyser, si l’onde transmise rencontre
un défaut structurel, une partie du signal est réfléchie et rejoint le récepteur avant
le signal original permettant ainsi de détecter le défaut.

26
 L’effet piézoélectrique inverse est utilisé dans le positionnement de précision :
un champ électrique est alors appliqué à la céramique pour produire le
déplacement désiré.

Les céramiques piézoélectriques sont également utilisées dans l’alignement des

fibres optiques, l’alignement des machines outils, l’amortissement actif des
vibrations dans des structures mécaniques, l’amélioration de l’image par
correction de l’inclination de miroirs, les soupapes hydrauliques et pneumatiques
et dans des dispositifs médicaux tels les couteaux chirurgicaux à ultrasons. Selon
le principe de fonctionnement utilisé, nous pouvons distinguer deux types de
dispositifs piézoélectriques :
– Capteurs ;
– Actionneurs ;
Les capteurs utilisent l’effet piézoélectrique direct, les actionneurs l’effet inverse.

1.7-Conclusion
Au cours de ce chapitre, nous avons essayé de présenter progressivement
l’historique de la piézoélectricité, à la fois comme phénomène découvert depuis
plus d’un siècle, et comme composant révolutionnaire dans la fabrication et la
conception des micro-actionneurs contemporains.

Des relations mathématiques décrivant les propriétés électromécaniques des

milieux piézoélectriques ont ensuite été introduites. Ces dernières seront
nécessaires à la modélisation de l’actionneur.

27
Chapitre 2
Actionneurs piézoélectriques

2.1 –Introduction
Dans ce qui suit nous allons présenter les actionneurs piézo-électriques les plus
répandus dans la bibliographie.
Nous donnons pour chacun, de ces actionneurs, brièvement, le principe de
fonctionnement.

2.2-Moteur ultrasonique de H.V. Barth

En 1973, H.V. Barth propose un moteur tournant à base des vibrations

ultrasoniques. Ce moteur [19] est illustré par la figure (2.1).
Pour faire tourner le rotor dans le sens horaire on actionne l’oscillateur
longitudinal 1.
Pour le sens inverse de rotation on actionne le deuxième oscillateur.

Rotor

Axe

Oscillateur 1

Elément
Oscillateur 2
Piézoélectrique

Elément
Piézoélectrique

Figure 2.1-Moteur ultrasonique de H.V. Barth, [19].

Divers prototypes similaires ont été présentés, on peut citer principalement celui
proposé par V.V. Lavrinenko et al. [19].

28
2.3-Moteur de Vasiliev et al.

En 1978, Vasiliev et al. en ex-URSS propose un actionneur figure (2.2) à base

d’un transducteur à ultrasons composé d’un élément piézo-électrique monté entre
deux blocs métalliques [19].
IL a non seulement réduit la fréquence de résonance, mais a également amplifié
l’amplitude des vibrations. Dans ce moteur les vibrations longitudinales de
l’oscillateur sont transmises à la tige vibrante en contact avec le rotor en forme de
disque, ce dernier est entrainé par friction.

Le transducteur vibre aussi en flexion, ce qui posait un problème à maintenir

stable la transmission de l’effort de friction. Il y avait aussi d’autres problèmes
dans ce moteur: l’échauffement et l’usure rapide du système.

Rotor
Rotor
Oscillateur

Oscillateur
Eléments
Support Transducteur Piézoélectriques
Métallique

Figure 2.2-Moteur de Vasiliev et al. à base des vibrations ultrasoniques, [19]

(a) Schema general, (b) Details.

2.4-Moteurs de Sashida

En 1980, Sashida a proposé un type d’actionneur piézoélectrique basé sur deux

éléments :
 Le stator en forme d’un transducteur électro actif linéaire,

29
 le rotor est un disque fin, libre en rotation dont on peut ajuster l’angle
d’incidence 𝜃 avec l’extrémité P de l’oscillateur, qui au cours du fonctionnement
va décrire une trajectoire elliptique sur la surface du rotor (figure (2.3)).

Tige Vibrante

Vibreur Disques en Céramique

Piézoélectrique

Figure 2.3–Principe de fonctionnement du moteur de Sashida [34].

Sous l’effet de la force résistante, lorsque le rotor entre en contact avec

l’extrémité de la tige vibrante P, celle-ci est forcée de se plier dans le sens et à la
vitesse de rotation du rotor.
Malgré que ce prototype présente des caractéristiques plus performantes que
ses prédécesseurs décrits précédemment.
Son plus grand inconvénient est l’usure rapide provoquée par les frottements de
surface dues au contact entre l’oscillateur et le rotor, pour cette raison le moteur a
une duré de vie relativement courte.
Cet oscillateur vibre à une fréquence de 27.8 khz.
A cause surtout des problèmes d’usure qui influent directement sur le
fonctionnement du moteur, Sashida a proposé un autre prototype figure (2.4).
Ce moteur utilise le mouvement elliptique de l’onde se propageant le long d’un
anneau élastique.

30
 Eléments Pièce
Corne
Piézoélectriques Vibrant Rotor
e

Butée

Figure 2.4-Moteur de Sashida annulaire à onde progressive [19].

2.5-Moteurs piézoélectriques linéaires
Le stator une longue barre métallique soudée sous forme de rail de guidage en
boucle, représenté à la figure (2.5).
Le rotor est constitué d’un chariot libre en mouvement et qui est pressé en
permanence par une force verticale uniforme contre les rails.
Le fait de renfermer les extrémités du rail de manière à créer la condition d’un
milieu continu nécessaire à la propagation de l’onde, limite la partie active du
moteur utilisable pour réaliser des déplacements linéaires.
Le prototype proposé présente un inconvénient majeur c’est l’encombrement
du système de manière non négligeable, bien qu’inutile.

Fext
Rail Statorique

Céramique
Piézoélectrique 1
Céramique
Piézoélectrique 2

Figure 2.5–Prototype d’un moteur piézoélectrique linéaire, [20].

31
 En partant de ces considérations on peut, dans le cas du deuxième prototype
représenté à la figure (2.6), parler effectivement d'un moteur linéaire.
Deux oscillateurs sont installés aux extrémités du rail pour créer une onde
progressive.
Fext
Rail
Chariot
Statorique

Oscillateur T1 Oscillateur T2
ou ou
Amortisseur 1 Amortisseur 2
Figure 2.6–Prototype d’un moteur piézoélectrique linéaire utilisant des
oscillateurs de Langevin, [11].

Si l’oscillateur T1 est choisi pour générer l’onde stationnaire, alors l’oscillateur

T2 est ajusté pour travailler en amortisseur ; afin de synchroniser le système c’est
à dire obtenir un mouvement orienté à onde progressive et même d’éviter au
mécanisme les ondulations destructives.
Avec cette configuration, l’onde se propage de T1 vers T 2 et le chariot dans la
direction opposé. Le déplacement du chariot peut être inversé en changeant le rôle
des deux oscillateurs.
Le chariot peut atteindre dans cette configuration une vitesse d’environ 1[m/s].

2.6-Moteur à double stator :

Le moteur comporte deux stators identiques reliés entre eux par des éléments
piézo-actifs normaux figure (2.7). Le rotor comporte deux disques pincés entre
chaque paire de galettes statoriques au moyen des ressorts de précontrainte.

32
 L’idée consiste à entraîner un disque en rotation grâce à un double stator vibrant
constitué de pétales métalliques oscillant circulairement et longitudinalement. La
combinaison des deux vibrations pilotées au synchronisme produit un mouvement
elliptique assurant l’entraînement du rotor.
La faisabilité de ce montage a été testée, on est arrivé à soulever une charge de
15Kg en utilisant une poulie de rayon de 2.5cm.

Bâti Arbre de
du stator Transmission

Roulement
à bille
Stator

Ressort
Céramique
Piézoélectrique
Roulement
à bille

Figure 2.7–Architecture du moteur à double stator [33].

2.7-Moteurs piézoélectriques à deux modes de vibration

Comme il est présenté sur la figure (2.8.a),

Ce type d’actionneur se compose :
 Du stator composé d’un vibreur en torsion ;
 De trois actionneurs piézoélectriques longitudinaux multicouches collés sur la
surface plate du vibreur.

Les deux groupes d’actionneurs pzt sont alimentés avec la même fréquence et à
alimentation en tension biphasé réglée en déphasage pour ajuster la vitesse (figure
(2.8.b)).

33
 Ecrou

Ressort

Rotor
Actionneurs PZT
Multicouches

Vibreur
en torsion

PZT

f 0=17.8khz

Figure 2.8.a–Moteur piézoélectrique hybride [19].

Vr : vitesse de rotation du rotor

Uv : l’amplitude du mode en torsion
Ua : l’amplitude du mode longitudinal de l’actionneur multicouche.

1) basse vitesse.
2) vitesse moyenne.
3) haute vitesse.

Figure 2.8.b –Surface de contact pour différents rapports entre les amplitudes des
modes de vibration [19].

2.8-Brevets de piézomoteurs à onde progressive

2.8.1-Brevet Daimler-Benz
La firme Daimler-Benz propose un autre modèle [21], les éléments
piézoélectriques sont montés entre les dentures rétractables du stator.

34
Le plus populaire de ses moteurs c’est le AWM90 [18].

Plaque élastique

Actionneurs Piézoélectriques

Figure 2.9-Brevet Daimler-Benz [21].

2.8.2-Brevet Canon

La firme Canon intègre pour la première fois en 1987 une technologie

révolutionnaire dans la motorisation des focus des appareils photographiques haut
de gamme en remplaçant le micro moteur à réducteur mécanique avec un
actionneur annulaire à onde progressive figure (2.10),
Ainsi depuis les objectifs Canon figure (2.11), ont acquits des performances très
avancées dans la prise d’images à haute définition.

Rotor

Stator

Piézocéramiques

Figure 2.10–Actionneur pzt pour mécanisme d’autofocus pour objectif des

appareils photos CANON.

35
 L'actionneur
Annulaire

Figure 2.11-Application pour mécanisme d’autofocus pour objectif CANON.

2.8.3-Moteur SAGEM

L’objectif du Moteur Haute Puissance piézoélectrique, présenté dans [11], [30],

est de fournir 5 kW de puissance mécanique en sortie d’arbre, utilisable en
aéronautique pour actionner des volets, bords d’attaque, etc.
Une vue schématique du système est donnée ci-dessous figure (2.12).

Eléments piézo-actifs
normaux Rotor

Galette Statorique
Ressort de Stator
Précontrainte Axiale
Figure 2.12-Galette statorique et schéma du Moteur SAGEM Haute Puissance [16].

36
Les spécifications techniques sont présentées dans le Tableau 2.1 ci-dessous :

Propriétés Spécifications

Puissance mécanique délivrée 5 kW

Puissance active 10 kW
Masse de la partie active 2,5 kg
Masse évaluée du moteur complet 5 kg
Puissance massique 1 kW/kg
Couple à l’arrêt 1392 N.m
Couple maximum 886 N.m
Vitesse maximum 17 rad/s
Rendement du moteur max. 50 %
Fréquence 20 kHz

Tableau 2.1-Spécifications techniques du moteur SAGEM,[16].

La caractéristique prometteuse de ce moteur c’est son bon rapport

puissance/volume massique (1kW/kg) permettrait son application potentielle dans
des mécanismes de type aéronautique.
Finalement, le rendement du Moteur Haute Puissance est faible de l’ordre de
50 % en comparaison avec le moteur électrique classique de 90 %,
Ce moteur est au stade expérimental et on ignore à ce jour ces performances
finales.

2.8.4-Brevet Shinseï

L’industriel japonais SHINSEI commercialise depuis 1987 une gamme de

moteurs piézoélectriques à onde progressive.
Leur premier succès commercial dans la fourniture de 1500 moteurs pour les
stores motorisés du New Tokyo Municipal Building remonte à 1990.
A partir de 1991, le constructeur automobile TOYOTA utilise sur certaines de
ses modèles haut de gamme ce type de moteur pour le réglage des appuis-tête.

37
 Boitier
Connecteur
Arbre d'entrainement
Substrat
Roulement
Céramique Rotor
PZT Stator

Figure 2.13- Moteur piézoélectrique à onde progressive Shinsei USR60 [17].

Capot de fermeture

Butée à bille

Arbre
Ressort parapluie
Rondelle amortissante
Rotor

Substrat+Anneau de Céramique
Roulement à bille
Bâti

Figure 2.14-Vue éclatée du moteur SHINSEI USR60 [4].

2.9-Moteur piézoélectrique annulaire à onde progressive

L’architecture de ce type d’actionneur est représentée à la figure (2.14) et

figure (2.15) dans le cas d’une configuration annulaire.

38
 Le stator est excité en vibrations de volume forcées par l’intermédiaire d’un
transducteur piézoélectrique collé à sa partie inférieure.
La sectorisation du transducteur détermine le rang du mode de flexion
entretenue sur le stator.
Le rang du mode est par ailleurs choisi en fonction des paramètres
dimensionnels du moteur, afin de garantir l’absence de bruits audibles de
fonctionnement. Le rotor est en contact avec la partie supérieure du stator par
l’intermédiaire d’un matériau d’interface (épaisseur élastique).

Stator

AA

Electrodes

Céramiques
Phase A GND

Electrodes
Phase B

Figure 2.15-Le stator en forme éclatée du moteur SHINSEI USR60 [6].

Il est entraîné par frottement en exploitant les trajectoires elliptiques décrites par
les points à la surface du stator figure (2.18).
Le transfert de puissance à l’arbre moteur nécessite une double conversion
d’énergie :

 La première a lieu au sein du stator où le matériau actif (anneau de céramiques

piézoélectriques), convertit l’énergie électrique qu’il absorbe en énergie
mécanique par génération de vibrations mécaniques ultrasoniques : c’est la
conversion électromécanique.

39
 La deuxième c’est le transfert de l’énergie mécanique produite par le stator
vers le rotor par adhérence : c’est la conversion mécano-mécanique.

2.9.1-Organe d’entraînement

Un anneau en éléments céramiques piézoélectriques est collé sur le stator de

façon à induire dans ce dernier des oscillations à la fréquence de résonance figure
(2.16) et figure (2.18).
L’anneau est divisé en deux systèmes d’excitation (phases du moteur).
Chaque système est alimenté idéalement par une tension sinusoïdale dans le
domaine ultrasonique, générant ainsi deux ondes stationnaires dans le stator.
Un déphasage égal à un quart de la longueur d’onde est alors introduit entre les
deux systèmes d’excitation de façon à générer une onde progressive par la
superposition des deux ondes stationnaires.
Grâce à l’onde progressive, les points à la surface du stator décrivent une
trajectoire elliptique [2].

Figure 2.16-Le stator du moteur SHINSEI USR60 [8].

Le principal avantage de l’utilisation de l’onde progressive pour transmettre le

mouvement au rotor réside dans le fait que le contact entre rotor et stator
s’effectue de manière continue.
Ainsi, l’usure des matériaux en contact se répartit sur toute la circonférence
active du moteur augmentant la durée de vie de ce type de moteur comparé aux
précédents.

40
2.9.2-Organe entraîné
La partie mobile, ou l’organe entraîné, est constituée du rotor et d’une couche
de friction qui est collée sur la partie inférieure du rotor.
Ce dernier est pressé au moyen d’une force de précontrainte, contre le stator
figure (2.17) et (2.18).

Figure 2.17- Rotor du moteur SHINSEI USR60 [8].

Fext Fext
xt
Rotor

Stator
Onde Mouvement
Progressive Elliptique

Figure 2.18-L'entraînement du rotor par les crêtes de l'onde progressive.

Grâce à la pression générée dans la zone de contact entre le stator et le rotor,

une force de frottement existe permettant ainsi au mouvement horizontal des
points à la surface du stator (due au mouvement elliptique) de transmettre une
force de traction
La force de précontrainte permet aussi de fixer le couple de maintient sans
alimentation du moteur et c’est l’un des avantages du moteur.
Le fonctionnement de ce type de moteur repose sur deux conversions d’énergie :

41
• la conversion électromécanique

Généralement piézoélectrique, conduisant à la déformation ou au déplacement

du stator par excitation des céramiques.
L’énergie électrique absorbée par le matériau actif est convertit en énergie
mécanique par génération de vibrations mécaniques basses ou haute fréquence.

• la conversion mécano-mécanique

Les vibrations de la surface élastique du stator entrainent en mouvement de

translation (cas du moteur linéaire) ou de rotation (moteur annulaire) le rotor
maintenu en contact permanent par l’intermédiaire d’une force extérieure de
précontrainte.

2.9.3-Propriétés des moteurs piézoélectriques à onde progressive

Les avantages des actionneurs piézoélectriques sont résumés dans le Tableau

(2.2) ci-dessous :

Avantages
 Densité de puissance mécanique élevée.
 Possibilités de miniaturisation.
 Flexibilité dans la forme géométrique du moteur
 Couple de maintien important hors alimentation électrique
 Pas d’interférences électromagnétiques
 Couple élevé à basse vitesse (Entraînement direct sans réducteur).
 Fonctionnement silencieux.
 Précision de positionnement possible due à l’absence de jeu.
 Faible inertie favorise un court temps de réponse (dynamique de
positionnement élevée ).
 Grande souplesse d’intégration.

Tableau 2.2-Avantages des actionneurs piézoélectriques [1] [11] [16].

42
Les majeurs inconvénients de ce type d’actionneurs PZT peuvent être résumés
dans le tableau (2.3) qui suit :

inconvénients
 Nécessite une source d’alimentation à haute fréquence.

 Caractéristiques non-linéaires qui requièrent des algorithmes de

contrôle spécifiques.
 Non approprié au fonctionnement continu à cause du vieillissement
par usure dû à la friction.
 Coût de fabrication élevé.

Tableau 2.3- Inconvénients des actionneurs piézoélectriques [1] [11] [16].

2.9.4-Bilan de puissance du moteur Shinsei USR 60

𝑃𝑎 puissance électrique absorbée 𝑃𝑢 puissance mécanique utile

𝑃𝑣 pertes à vide (=𝑃𝑠 + 𝑃𝑟 ) 𝑃𝑐 pertes en charge(=𝑃𝑣 + 𝑃𝑝 )
𝑃𝑠 pertes statoriques 𝑃𝑟 pertes par roulement
𝑃𝑑 pertes diélectriques 𝑃𝑝 pertes par patinage
𝑃𝑚 pertes par déformation

Figure 2.19–Bilan de puissance du moteur Shinsei USR 60 dans des conditions

nominales de fonctionnement [25].

43
2.10-Situation du moteur piézoélectrique à onde progressive dans l'ensemble
des actionneurs piézoélectriques.

Le schéma de la figure (2.20) permet de situer le moteur piézoélectrique à onde

progressive par rapport à l'ensemble des actionneurs piézoélectriques.
On note que ce schéma est obtenu à partir d'un certain nombre de critères de
classification qui sont :

 La méthode d'excitation.
 La méthode de construction.
 La fonction du moteur.

44
 Actionneurs Piézoélectriques

Classification Classification Classification

par méthode d'excitation par méthode de construction selon la fonction du moteur

Vibreur en forme
de Tige

Deux modes Vibreur en forme Rotatif

de Vibration de disque

Un seul mode Vibreur en forme Linéaire

de Vibration de plaque mince

Moteur Piézoélectrique Rotatif à Onde Progressive

Figure 2.20-Classification des Actionneurs Piézoélectriques.

45
2.11-Conclusion :

Nous avons présenté autant que possible les prototypes d’actionneurs à

céramique piézoélectrique dont on a pu collecter des différentes sources
bibliographiques.
Les moteurs à onde progressive représentent le meilleur compromis actuel. La
technologie employée reste relativement simple et les performances mécaniques
sont parmi les plus intéressantes.
Dans la suite de cette étude notre choix s’est fixé sur le moteur Shinsei USR60
qui a eu un grand succès ces dernières années, Vu les caractéristiques techniques
et les performances qu’il présente.

Le chapitre suivant sera consacré à l’étude théorique des phénomènes physiques

qui régissent le fonctionnement du moteur. Ceci est dans le but d'élaborer un
modèle analytique qui décrit son fonctionnement.

46
Chapitre 3
Modélisation Analytique du Moteur Piézoélectrique à Onde Progressive

3.1-Introduction
Dans le présent chapitre nous allons nous intéresser au moteur à onde progressive
Shinsei USR60. Nous allons traiter plus particulièrement les points suivants :
 Les différents éléments constituant le moteur,
 Le principe de fonctionnement,
 Les avantages et les inconvénients,
 Les différents domaines d’application.

Le fonctionnement de ce moteur est fondé sur des interactions mutuelles de

phénomènes variables et complexes comme : l’usure par friction et l’élévation de
température ainsi que son alimentation en tension à haute fréquence,

La compréhension et la description d'un système faisant intervenir et interagir

plusieurs phénomènes de la physique s’avèrent en général très complexes, ce qui
nous amène à subdiviser Le système global en plusieurs sous-systèmes. Ceci
nous permet de mieux maitriser le comportement. Ensuite chaque sous-système
sera étudié séparément pour être exploitable dans l’environnement
Matlab/Simulink. L’interaction de ces derniers permettra enfin de simuler le
système global.

3.2-Schéma fonctionnel du moteur piézoélectrique à onde progressive

Un schéma fonctionnel consiste en une représentation graphique abrégée :

 des relations de cause à effet entre le signal d’entrée et le signal de sortie d’un
système physique.
 de caractériser les relations fonctionnelles existant entre les différents organes
d’un système.

47
 Le schéma fonctionnel le plus simple est constitué d’un seul élément avec un
signal d’entrée et un signal de sortie :

Élément
Signal d’entrée signal de sortie

Dans le but de suivre cette approche méthodique de modélisation, le

fonctionnement du moteur piézoélectrique à onde progressive est représenté par le
schéma fonctionnel de la figure (3.1).

Figure 3.1-Schéma fonctionnel du moteur piézoélectrique à onde progressive

[11], [15].

48
3.3 -Conversion de l’énergie électrique en énergie mécanique

3.3.1-Création d’une onde de flexion

L’effet inverse de la piézoélectricité repose sur l’excitation en énergie électrique
d’un élément piézoélectrique constitué de deux électrodes et d’un céramique
piézoélectrique ;
 Si les deux électrodes (figure 3.2) sont de même épaisseur, la déformation
obtenue est symétrique.
Céramique
PZT Substrat
Electrode
Epaisse

Electrode
Mince
Figure 3.2- Céramiques en piézoélectrique entre deux électrodes [19].

 Par contre, si elles sont d’épaisseurs différentes, l’effet transversal déforme

l’ensemble à cause de la différence des raideurs des électrodes,
Si on généralise cette dissymétrie comme montré sur la figure (3.3) en assemblant
alternativement plusieurs éléments piézoélectriques l’un à coté de l’autre et si on
alimente les différents éléments judicieusement, on arrive à générer une onde de
flexion stationnaire.

Dilatation Contraction

Contraction Dilatation

Polarisation Rémanente
Figure 3.3-Déformation des céramiques en piézoélectrique [19].

49
3.3.2-Création d’une onde progressive

Un ensemble de pastilles en céramique piézoélectrique positives et négatives

sont réparties alternativement afin qu’elles se déforment et donnent naissance à
une ondulation variable de la structure qui change suivant la tension et la
fréquence d’alimentation figure (3.4).

Polarisation
𝑈1 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑈2 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

Figure 3.4- Génération de l’onde progressive [25].

3.3.3-Equation de la masse vibrante

Le potentiel électrique 𝜑 à la surface libre de l’anneau statorique est défini comme

suit [6] :
𝜑 = Φ𝑒 ν
Avec :
ν : représente le vecteur des tensions appliquées au stator suivant la relation :

Ucp 1 (t) 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

ν= =
Ucp 2 (t) 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑈𝐶𝑝1,2 : tensions d’alimentation du moteur.

Et la fonction Φ𝑒 définie par la relation :

Φ𝑒 (θ) = Φ𝐴 θ Φ𝐵 θ

50
La fonction 𝚽𝑒 (𝛉), est définie comme suit :

𝚽𝑒 (𝛉) > 0, dans le cas du champ électrique 𝐄 > 0.

𝚽𝑒 (𝛉) < 0 , dans le cas contraire 𝐄 < 0.
𝚽𝑒 (𝛉) = 𝚽𝐴 (𝛉), pour désigner la fonction de la phase A.
et 𝚽𝑒 𝛉 = 𝚽𝐵 𝛉 , pour désigner la fonction de la phase B.

Avant d’entamer le reste de l’étude théorique, On tient à rappeler certaines

données [8], concernant l’architecture mécanique de l’anneau statorique figure
(3.5) qui est formé principalement de deux domaines :

Le domaine passif, généralement en bronze appelé substrat.

Le domaine électroactif en céramique piézoélectrique qui à son tours divisé en
trois groupes de pastilles en céramique distinctes réparties selon leurs fonctions :

 premier groupe de deux phases 𝚽𝐴 (𝛉), 𝚽𝐵 𝛉 pour la création de l’onde

progressive.

 L’électrode auxiliaire.
 L’électrode reliée à la terre (GND).

Le mode des céramiques choisies pour cet actionneur est le mode transversal 𝒅𝟑𝟏 .
𝚽𝐴 (𝛉), 𝚽𝐵 𝛉 sont définies comme suit [6],[8] :

𝜋 3𝜋
1 𝑠𝑖 + 𝑖𝜆 < 𝜃 < + 𝑖𝜆
Φ𝐴 𝜃 = 18 18
3𝜋 5𝜋
−1 𝑠𝑖 + 𝑖𝜆 < 𝜃 < + 𝑖𝜆
18 18
10𝜋
1 𝑠𝑖 𝜋 + 𝑖𝜆 < 𝜃 < + 𝑖𝜆
Φ𝐵 𝜃 = 9
10𝜋 11𝜋
−1 𝑠𝑖 + 𝑖𝜆 < 𝜃 < + 𝑖𝜆
9 9

Pour i∈ 0,1,2,3

51
Avec :
𝜆 : Longueur d’onde,

Chaque phase comporte quatre paires de pastilles ;

θ𝐴 est limitée entre 10° et 170°.

θ𝐵 est limitée entre 180° et 340°.

𝝀
 La pastille de longueur 𝟒 située entre 170° et 180° est utilisée comme

capteur d’informations.
𝟑𝝀
 La pastille de longueur située entre 340° et 10° est reliée à la masse.
𝟒

Figure 3.5-Anneau bloc du moteur piézoélectrique à onde progressive [6] [8].

3.4-Modélisation de la dynamique de déformation du stator

3.4.1-Conversion électromécanique
Le but de cette section est de développer un modèle qui permettra de lier
l’amplitude de déformation de l’onde progressive à la tension appliquée aux
bornes des céramiques.

52
 Les forces 𝐹v1 , 𝐹v2 qui créent les déformations dans les structures céramiques
sont proportionnelles aux tensions d’alimentation 𝑈𝑐𝑝 1 , 𝑈𝑐𝑝 2 .
On peut donc écrire :

Fv1 = ηUcp 1 (3.1)

Fv2 = ηUcp 2 (3.2)

 𝜂 : facteur de force des céramiques piézoélectriques associé à une phase.

C’est au niveau de l’anneau mince multicouche du stator que s’effectue la
conversion d'énergie électromécanique.
Les portions en céramique piézoélectrique collées au dessous du stator créent deux
modes orthogonaux de vibration, leur superposition produit l’onde progressive.

𝑤(𝑟, 𝜃)

2h

Figure 3.6-Déformation de l’anneau du stator décrit en coordonnées polaires [11].

L’équation aux dérivées partielles en coordonnées polaires des vibrations du

stator s’écrit, conformément à la théorie classique des plaques circulaires [14], [6]
:

𝐸𝑠 𝑕2 4
𝜕 2 𝑤 𝑟, 𝜃, 𝑡
∇ 𝑤 𝑟, 𝜃, 𝑡 + 𝜌𝑠 𝑕 =0 3.3
3 1 − 𝜈𝑠2 𝜕𝑡 2

53
 Avec :
𝑤 𝑟, 𝜃, 𝑡 ∶ La fonction décrivant les vibrations du stator en coordonnées
polaires(r, 𝜃).
𝐸𝑠 ∶ Le module de Young.
𝜈𝑠 ∶ Le coefficient de Poisson.
 𝜌𝑠 ∶La masse volumique du matériau de l’anneau statorique.

𝑕 ∶La moitié de l’épaisseur de la plaque (figure 3.6).

∇ :L’opérateur de Laplace exprimé en coordonnées polaires :

2
4
𝜕2 1 𝜕 1 𝜕2
∇ = + +
𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2

Dans notre cas, la symétrie circulaire de l’anneau est satisfaite,

L’équation (3.3) admet des solutions de la forme [11] :

𝑤(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝜉(𝑟)𝑐𝑜𝑠𝑘𝜃 sin 𝜔𝑡

𝜉 𝑟 : Représente la fonction de Bessel qui modélise l’amplitude des vibrations

dans la direction radiale.

Il existe deux fonctions propres linéairement indépendantes :

𝑤1 𝑟, 𝜃 = 𝜉 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜃 (3.4)
𝜋
𝑤2 𝑟, 𝜃 = 𝜉 𝑟 cos 𝑘𝜃 + (3.5)
2

On peut ainsi superposer deux vibrations libres d’équation[11] :

𝑤1 (𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝑊1𝑚𝑎𝑥 (𝑡)𝜉1 𝑟 cos 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜃 (3.6)

𝑤2 (𝑟, 𝜃, 𝑡) = −𝑊2𝑚𝑎𝑥 (𝑡)𝜉2 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝑘𝜃 (3.7)

54
 Comme la structure du moteur est symétrique, donc les amplitudes des deux
ondes libres ont la même amplitude (𝑊1𝑚𝑎𝑥 = 𝑊2𝑚𝑎𝑥 = 𝑊𝑚𝑎𝑥 ) et sont en
𝜋
quadrature de phase dans le temps (𝜑 = 2 ) .

La combinaison des deux modes propres génère une onde progressive d’équation :

𝑤(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝑊𝑚𝑎𝑥 (𝑡)𝜉(𝑟)cos⁡

(𝑘𝜃 − 𝜔𝑡) (3.8)

La fonction de Bessel 𝜉 (r) permet de modéliser l’amplitude de l’onde dans la

direction radiale.
Dans le cas du moteur USR60 la largeur de la plaque du stator est
beaucoup plus petite par rapport au diamètre moyen 𝑅0 du moteur, par
conséquent on fait l’hypothèse [11] que l’amplitude de déformation de l’onde dans
la direction radiale est constante.

L’équation (3.8) devient :

𝑤 𝜃, 𝑡 = 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 cos 𝑘𝜃 − 𝜔𝑡 (3.9)

La vitesse tangentielle des points à la surface du stator entraîne le rotor grâce aux
forces de friction agissant dans la zone de contact entre le stator et le rotor.

La vitesse de rotation tangentielle du rotor est exprimée par la relation (3.10) [2],

𝑉𝑟 = 𝑅0 𝜃 

𝑅0 : étant le rayon moyen de l’anneau statorique.

𝜃 : vitesse angulaire du rotor.
3.4.2-Schéma équivalent en analogie mécanique du stator
Il s’agit de modéliser la dynamique de la déformation du stator. C'est à dire la
description du phénomène de contact entre stator et rotor et la détermination des

55
 amplitudes de déformation en fonction de la tension appliquée aux bornes des
céramiques piézoélectriques.

Pour réaliser cette analogie mécanique du stator et mettre en évidence un

schéma équivalent, une approche basée sur la méthode du bilan énergétique est
appliquée [8] [11].
faire une approche possible est la méthode du bilan énergétique.
En effet, on applique la méthode du bilan énergétique modifié pour les systèmes
électromécaniques pour faire une approche suivant l'équation (3.11) [6] :

𝑡2 𝑡2
𝛿 𝑡1
ℒ𝑑𝑡 + 𝑡1
𝛿𝒲𝑑𝑡 = 0 (3.11)

Avec∶
𝛿 ∶ Opérateur de variation infinitésimale.
ℒ : Le Lagrangien du système.
𝛿𝒲 ∶ La variation de travail infinitésimal donnée par les forces extérieures.

Le Lagrangien du système est donné par la relation 3.12 :

ℒ = EK − Ep + Ee (3.12)

Avec :
 EK L’énergie cinétique contenue dans le substrat du stator.
 Ep L’énergie potentielle élastique contenue dans la couche de céramique
piézoélectrique.
 Ee L’énergie électrique des différentes composantes du stator.

La dynamique du stator est résumée dans les deux équations différentielles (3.13)
et (3.14) [11],[9] :

𝑚𝑠 𝑤1 (t)+𝑑𝑠 𝑤1 (t)+𝑐𝑠 𝑤1 (t)= 𝐹𝑣1 − 𝐹𝐶1 𝑡 (3.13)

𝑚𝑠 𝑤2 (t)+𝑑𝑠 𝑤2 (t)+𝑐𝑠 𝑤2 (t)= 𝐹𝑣2 − 𝐹𝐶2 𝑡 (3.14)

56
 Avec :
 𝐹v1 , 𝐹v2 les forces générées par effet piézoélectrique dans chaque phase du
système (relations 3.1 et 3.2).

 𝐹𝐶1 et 𝐹𝐶2 les forces de réaction modales dues au chargement axial (force de
précontrainte) entre le stator et le rotor.

 ms la masse du stator.
 𝑤1 (t) et 𝑤2 (t) représentent l’amplitude de déformation des deux ondes
stationnaires.
 𝑑𝑠 coefficient d’amortissement représentant l’élasticité de la structure.
 𝑐𝑠 la rigidité de la céramique.

Ainsi la dynamique du stator décrite par les deux équations peut être
schématisée suivant le modèle du schéma de la figure 3.7 [11], [8].

Figure3.7-Schéma équivalent de la dynamique de la déformation du stator [11].

Comme les deux ondes stationnaires sont en quadrature de phase dans l’espace,
L’amplitude de crête de l’onde progressive résultante est donnée par l’équation :

57
 𝑤𝑚𝑎𝑥 (𝑡) = 𝑤12 𝑡 + 𝑤22 𝑡 (3.15)

3.5-Modélisation du contact mécanique entre stator et rotor

Chaque point du contact stator/rotor figure (3.9) appartenant à la surface de l’onde

progressive du stator décrit une trajectoire elliptique.
Une force extérieure Fext applique une contrainte extérieure uniformément
répartie.

Fext

Couple Appliqué

Rotor
Stator
Substrat
Po E
Piézocéramique

Contact
Onde
Rotor/Stator
Progressive
Trajectoire Elliptique
d'un point de contact

Figure 3.9-Entrainement par friction par mouvement vibratoire elliptique [2].

L’étude des phénomènes liés au contact mécanique entre stator et rotor est
abordée en faisant les hypothèses suivantes :
–Les modes d’excitation sont parfaitement sinusoïdaux et à amplitudes égales.
– La géométrie du contact est admise symétrique par rapport à la crête de l’onde
progressive figure (3.9) [11].
𝜋
–Les déphasage temporel et spatial entre les modes égal à .
2
Ainsi, la vitesse tangentielle des points de la surface du stator appartenant à
l’onde progressive résultante obéit à l’équation 3.16 [11], [2]:

𝑉𝑡 (𝑥, 𝑡) = 𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 (𝑡)cos⁡

(𝑘𝜃 − 𝜔𝑡) (3.16)

58
Dont 𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 est représentée par l’équation [2] :

2𝜋𝜔 𝑕
𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 (𝑡) = − 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 (3.17)
𝜆

Avec: ,
2𝜋 𝑅𝑜
𝜆= , 𝑅𝑜 :étant le rayon moyen de l'anneau statorique.
𝑛

𝑛 ∶ nombre d'ondes contenues dans l'anneau statorique.

𝜔 = 2𝜋𝑓, avec 𝑓 : la fréquence d’alimentation.

Le signe (-) dans (3.17) montre que la vitesse tangentielle 𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 (𝑡) de l’onde
progressive est opposée à la vitesse rotationnelle du rotor 𝑉𝑟 .

𝜔
En remplaçant : 𝑥=𝜃− 𝑡 dans (3.9) on obtient:
𝑘

𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 (3.18)

Le schéma de la figure (3.10) montre le mécanisme de contact entre le stator et le

rotor pour une crête de l’onde progressive.
Le rotor est modélisé avec un substrat élastique (épaisseur élastique) de rigidité
équivalente Ke.

59
 Figure 3.10–Schéma du contact mécanique stator/rotor [6].

 𝑥0 est la demi-largeur de la zone de contact entre le rotor et le stator.

 𝑧 𝑡 est le déplacement vertical relatif du rotor par rapport à la ligne neutre
du stator ; voir figure (3.10).
Au point 𝑥 = 𝑥0 , l′équation (3.18) devient [6] :
1 𝑕−𝑧 𝑡
𝑤 𝑥0 , 𝑡 = 𝑕 − 𝑧 𝑡 = 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 => 𝑥𝑜 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑘 𝑊𝑚𝑎𝑥

1 𝑕−𝑧(𝑡)
𝑥𝑜 𝑡 = 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (3.19)
𝑊𝑚𝑎𝑥

 −𝑥𝑠 et +𝑥𝑠 sont les points où la vitesse tangentielle du stator Vt est égale à
celle du rotor Vr,

60
 𝑥𝑠 est appelé le point de non glissement [39], ( 𝑥𝑠 est nommé en anglo-
saxon stick-point qu'on traduit par point d'adhérence ou point de non glissement)
et est calculé par la relation (3.20) [6].

1 𝑅𝑜 2 𝜃
𝑥𝑠 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (3.20)
𝑘 𝜔𝑘𝑕𝑊𝑚𝑎𝑥

Le long de la zone de contact (−𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥0 ), la contraction de l’épaisseur

élastique w est donnée par l’équation 3.21.

∆𝑤 𝑥, 𝑡 = 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 𝑡 (3.21)

La force verticale par unité de longueur 𝐹𝑣 (𝑥, 𝑡) agissant dans la zone de

contact est aisément déduite en connaissant la rigidité équivalente 𝐾𝑒 de
l’épaisseur élastique. On trouve :

𝐹𝑣 (𝑥, 𝑡) = 𝐾𝑒 𝑊𝑚𝑎𝑥 (𝑡)(𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 (𝑡)) (3.22)

En appliquant la loi du frottement à l’équation 3.22 on obtient la force de

traction par unité de longueur 𝜏(𝑥, 𝑡).

𝜏(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑔𝑛(𝑉𝑡 𝑥, 𝑡 − 𝑉𝑟 𝑡 )𝜇𝑑 𝐹𝑣 (𝑥, 𝑡) (3.23)

 𝜇𝑑 Le coefficient de frottement dynamique entre stator et rotor.
La fonction signe(𝑠𝑔𝑛), appliquée au champ des vitesses de glissement
(𝑉𝑡 𝑥, 𝑡 − 𝑉𝑟 𝑡 ) nous permet de déterminer les zones de traction et celles de
freinage selon le schéma de contact stator/rotor représenté à la (figure 3.10).

La force de traction 𝐹𝑡 𝑡 associée à une crête de l’onde progressive est obtenue

en intégrant l’équation (3.24) le long de la zone de contact :

𝑥0
𝐹𝑡 𝑡 = 𝜏 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 (3.24)
−𝑥 0

61
Le couple moteur 𝐶𝑚 sera calculé par la relation :

𝐶𝑚 𝑡 = 𝑛𝑅𝑜 𝐹𝑡 𝑡 3.25

Avec :

𝑅𝑜 Rayon moyen du stator.

n Le nombre de crêtes d’ondes dans l’anneau statorique.

𝐹𝑡 𝑡 La force de traction associée à une crête de l’onde progressive.

La relation (3.24) permet de définir les différents cas possibles de fonctionnement

du moteur en localisant les zones de freinage et de traction pour les différentes
positions relatives des points 𝒙𝒐 , et 𝒙𝒔 .
On commence par :

cas 1 : 𝒙𝒔 ≤ 𝒙𝟎 .

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇 𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 𝑡 = (2(𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑠 − 𝑘𝑥𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 ) − (𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑜 − 𝑘𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 ) (3.26)
𝑘

Si on pose :
𝜙𝑟 (𝑥𝑠 ) = 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑠 − 𝑘𝑥𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 (3.27)
Et
𝜙𝑟 (𝑥𝑜 ) = 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑜 − 𝑘𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 (3.28)

Alors l’équation (3.26) devient :

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 (𝑡) = (2𝜙𝑟 (𝑥𝑠 ) − 𝜙𝑟 (𝑥0 )) (3.29)
𝑘

On obtient deux zones de freinage intercalées par une de traction (figure 3.10)

62
cas 2 : −𝒙𝒔 > 𝒙𝟎 𝐞𝐭 +𝒙𝒔 ≤ 𝒙𝟎

On a une zone de freinage et une zone de traction.

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 𝑡 = 𝜙𝑟 𝑥𝑠 (3.30)
𝑘

cas 3 : −𝒙𝒔 ≤ 𝒙𝟎 𝐞𝐭 +𝒙𝒔 > 𝒙𝟎

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 𝑡 = 𝜙𝑟 𝑥𝑠 (3.31)
𝑘

C’est le même résultat que celui obtenu dans le cas précédent(3.30).

cas 4 : −𝒙𝒔 > 𝒙𝟎 𝐞𝐭 +𝒙𝒔 > 𝒙𝟎

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 𝑡 = 𝜙𝑟 𝑥0 (3.32)
𝑘

La friction est entièrement convertie en traction sur toute la zone de contact.

C’est le cas idéal du fonctionnement du moteur.

cas 5 : 𝑽𝒓 > 𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 ;

2𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇𝑑 𝐾𝑒
𝐹𝑡 𝑡 = − 𝜙𝑟 𝑥0 (3.33)
𝑘

Dans ce cas il y a seulement un effet de freinage, le moteur est non fonctionnel.

3.6-Modélisation de la dynamique du rotor

Le rotor du moteur a deux degrés de liberté :
 Mouvement de translation vertical figure (3.11).
En appliquant les lois de la dynamique au rotor on aboutit aux deux équations
relatives à la vitesse de translation 𝑤𝑟 [8] :
𝑚𝑟 𝑤𝑟 + 𝑑𝑟 𝑤𝑟 = 𝐹𝑧 − 𝐹𝑒𝑥𝑡 (3.34)

63
Figure 3.11-Schéma fonctionnel du mouvement de translation vertical du rotor [39].

 Mouvement de rotation figure (3.12).

Et la vitesse angulaire 𝜃 dont le mouvement de rotation est définie par l’équation
(3.35) :
𝑑
𝐽𝑟 𝑑𝑡 𝜃 = 𝐶𝑚 − 𝑀𝑐 (3.35)

Avec :
𝑚𝑟 Masse du rotor ;
𝐽𝑟 Inertie du rotor ;
𝜃 vitesse angulaire du rotor ;
𝐶𝑚 Couple moteur ;
𝑀𝑐 Couple de charge ;
𝐹𝑒𝑥𝑡 Force de précontrainte ;
𝐹𝑍 Force de réaction axiale due à la contraction de l’épaisseur élastique ;
𝑑𝑟 Coefficient d’amortissement dans la direction axiale ;
𝑤𝑟 Vitesse de translation du rotor suivant l’axe Z.

64
 Figure 3.12-Schéma fonctionnel du mouvement de rotation du rotor [39].

La force de réaction totale dans la direction axiale 𝐹𝑍 due à la contraction de

l’épaisseur élastique, est calculée par intégration de l’équation 3.22,
Nous obtenons :

𝑥0
𝐹𝑍 𝑡 = n 𝐹𝑣 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 (3.36)
−𝑥 0
Avec :

n : nombre de crête d’onde contenue dans l’anneau statorique.

En développant l’équation (3.36) [10] ,

𝐾𝑒
𝐹𝑍 𝑡 = 2𝑛 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝜙𝑟 𝑥0 (3.37)
𝑘

avec 𝜙𝑟 𝑥0 Définie dans l’équation (3.28)

L’équation (3.36) devient :

𝐾𝑒
𝐹𝑍 𝑡 = 2𝑛 𝑊 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑜 − 𝑘𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0 (3.38)
𝑘 𝑚𝑎𝑥

3.7-Calcul des forces de réaction modales

La contraction de l’épaisseur élastique due à la force de précontrainte
provoque par la troisième loi de Newton d’action et réaction une force qui aura
tendance à réduire l’amplitude de l’onde progressive du stator.

65
 Comme l’onde progressive résulte de la superposition de deux modes de
vibrations en quadrature de phase spatiale, Fc1 et Fc2 sont calculées en utilisant le
vecteur 𝜙𝑥𝑇 pour décomposer séparément l’effet de la force globale sur les deux
modes séparément :

𝜙𝑥𝑇 = (𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥)

𝐹𝐶1 𝑥0
𝐹𝐶2
= 𝜙𝑥 𝑁 𝐹
−𝑥 0 𝑣
𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 (3.39)

Par intégration de l’équation 3.39 on obtient pour Fc1 et Fc2 :

𝑛 𝐾𝑒 𝑤 1 (𝑡) 1
𝐹𝑐1 (𝑡) = 𝑘𝑥0 − 2 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥0 (3.40)
𝑘

𝑛𝐾𝑒 𝑤 2 (𝑡) 1
𝐹𝑐2 (𝑡) = 𝑘𝑥0 − 2 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥0 (3.41)
𝑘

3.8-Récapitulation

Cette section résume les développements effectués dans ce chapitre en

récapitulant les équations fondamentales qui nous ont permis de construire un
modèle de simulation pour le moteur piézoélectrique à onde progressive dans
l'environnement Matlab/Simulink.

3.8.1-Alimentation

Le moteur étudié est un récepteur biphasé alimenté en tension alternative à

haute fréquence ;
L’une des phases est alimentée par une tension 𝑈𝑐𝑝 1 .
𝜋
L’autre est alimentée par une tension 𝑈𝑐𝑝 2 , décalée de 𝑈𝑐𝑝 1 par un déphasage .
2

𝑈𝑐𝑝 1 et 𝑈𝑐𝑝 2 sont à même fréquence.

3.8.2-Dynamique de déformation du stator

L’amplitude w1(t) et w2(t) des deux ondes stationnaires est obtenue grâce aux
équations 3.13 et 3.14.

66
 𝑚𝑠 𝑤1 (t)+𝑑𝑠 𝑤1 (t)+𝑐𝑠 𝑤1 (t)= 𝜂𝑈𝑐𝑝 1 − 𝐹𝐶1 𝑡 .

𝑚𝑠 𝑤2 (t)+𝑑𝑠 𝑤2 (t)+𝑐𝑠 𝑤2 (t)= 𝜂𝑈𝑐𝑝 2 − 𝐹𝐶2 𝑡 .

3.8.3-Zone de contact entre le stator et le rotor

La largeur de la zone de contact 𝒙𝒐 et les points −𝒙𝒔 ; +𝒙𝒔 où la vitesse

tangentielle des points à la surface du stator est la même que la vitesse
périphérique du rotor, sont définis respectivement à l’aide des équations (3.19) et
(3.20).
On rappelle que ces points nous permettent de distinguer les zones de freinage des
zones de traction.

1 𝑕−𝑧(𝑡)
𝑥𝑜 𝑡 = 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑚𝑎𝑥

1 𝑅𝑜 2 𝜃
𝑥𝑠 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑘 𝜔𝑘𝑕𝑊𝑚𝑎𝑥

Les relations 3.27 et 3.28 nous donnent la force de traction par unité de longueur
(x, t) et la force de traction totale 𝐹𝑡 ; le couple moteur 𝐶𝑚 est ensuite obtenu avec
l’équation 3.30.

𝜏(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑔𝑛(𝑉𝑡 𝑥, 𝑡 − 𝑉𝑟 𝑡 )𝜇𝑑 𝐹𝑣 (𝑥, 𝑡)

𝑥0
𝐹𝑡 (𝑡) = −𝑥 0
𝜏 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥

𝐶𝑚 𝑡 = 𝑛𝑅𝑜 𝐹𝑡 (𝑡)

3.8.4-Dynamique du rotor

Le comportement du rotor par rapport a ces deux degrés de liberté, en rotation

et en translation selon l’axe du moteur, est décrit respectivement à l’aide des
équations 3.34 et 3.35.

67
 𝑚𝑟 𝑤𝑟 + 𝑑𝑟𝑤𝑟 = 𝐹𝑧 − 𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑
𝐽𝑟 𝜃 = 𝐶𝑚 − 𝑀𝑐
𝑑𝑡

La force de réaction axiale 𝐹𝑍 , due à la contraction de l’épaisseur élastique,

calculé à partir de (3.38).
𝐾𝑒
𝐹𝑍 𝑡 = 2𝑛 𝑊 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑜 − 𝑘𝑥𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0
𝑘 𝑚𝑎𝑥

L’effet de la force de précontrainte sur les deux ondes stationnaires est modélisé
avec les forces Fc1 et Fc2 données par 3.40 et 3.41.

𝑛𝐾𝑒 𝑤1 (𝑡) 1
𝐹𝑐1 (𝑡) = 𝑘𝑥0 − 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥0
𝑘 2

𝑛𝐾𝑒 𝑤2 (𝑡) 1
𝐹𝑐2 (𝑡) = 𝑘𝑥0 − 𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑥0
𝑘 2

3.9-Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté une synthèse des différentes relations
mathématiques et physiques qui décrivent les phénomènes qui apparaissent dans le
fonctionnement du moteur piézoélectrique à onde progressive .

La diversité et la complexité des phénomènes électroactifs mis en jeu a conduit

à une subdivision en parties relativement simples pour réduire la complexité du
système.
Ainsi on a structuré le schéma fonctionnel de figure (3.1) qui résume les
différentes étapes de transformation qui se manifeste dans l’actionneur.

 La première consiste dans l’étude des phénomènes de conversion

électromécaniques dans les céramiques piézoélectriques pour la modélisation de la
dynamique du stator.

 La deuxième étape et la plus complexe à cause de l’interaction entre plusieurs

phénomènes ; c’est l’étude de la dynamique du contact stator/rotor. En effet, on a

68
résumé les différents cas possibles de traction et de freinage qui peuvent se
présenter .

 En dernière étape, on a traité la dynamique du rotor à travers deux équations

principales qui résument le mouvement composé du rotor :
une translation verticale et une rotation.

Dans le chapitre qui suit nous allons simuler sous Matlab/Simulink le

comportement du moteur piézoélectrique à onde progressive et ceci en
fonctionnement à vide et en charge.

69
Chapitre 4
Simulation et interprétation des résultats

4.1-Introduction
A l’aide du modèle théorique établi dans le chapitre précédent, décrivant le
comportement du moteur piézoélectrique à onde progressive nous allons dans ce
qui suit simuler son fonctionnement.
Cette simulation va permettre de juger les performances du moteur en question
dans les deux modes opératoires possibles : à vide et en charge.
L’outil de simulation le plus adéquat pour cette modélisation est l’environnement
Matlab/Simulink.
En résumé, le schéma bloc figure (4.1) représente le moteur avec ses variables
d’entrée et de sortie.

Ucp1 Vitesse de rotation

Ucp2 Moteur à
Déphasage Onde progressive
Fréquence Couple moteur

Figure 4.1-Schéma block du moteur.

Dans l’environnement Matlab/Simulink, nous pouvons donc piloter

indépendamment les trois variables de commande du moteur (fréquence,
déphasage et amplitude des deux tensions de phase).

4.2-Bloc stator

Le bloc stator sera alimenté par un système biphasé constitué principalement

des deux équations fondamentales (4.1) et (4.2) :

𝑈𝐶𝑝1 𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 (4.1)

𝑈𝐶𝑝2 𝑡 = 𝑉𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 ) (4.2)

70
Les deux signaux 𝑈𝐶𝑝1 et 𝑈𝐶𝑝2 sont en quadrature. Le déphasage 𝜑 entre ces
𝜋
deux signaux vaut .
2

V représente la tension maximale d'alimentation et 𝜔 la pulsation des tensions

d'alimentation 𝜔 = 2𝜋𝑓 . 𝑓 désigne la fréquence d'alimentation.
Au cours de la simulation on peut changer ces paramètres selon les limites du
moteur. La figure 4.2.1 représente le bloc d’alimentation.

Figure 4.2.1-Alimentation biphasée Ucp1 et Ucp2 sous Matlab/Simulink.

Par application de la transformation de Laplace aux deux équations (3.13) et

(3.14), on obtient :

1 1
𝑤1 𝑠 = F v1 𝑠 − 𝐹 𝑠 (4.3)
𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑐1

1 1
𝑤2 𝑠 = F v2 𝑠 − 𝐹 𝑠 (4.4)
𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑐2

Et en remplaçant les équations (3.1) et (3.2) respectivement dans (4.3)

et (4.4), on obtient :

𝜂 1
𝑤1 𝑠 = U cp 1 𝑠 − 𝐹 𝑠 (4.5)
𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑚𝑠 𝑠 2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑐1

71
 𝜂 1
𝑤2 𝑠 = Ucp 2 𝑠 − 𝐹 𝑠 (4.6)
𝑚𝑠 𝑠2 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑚𝑠 𝑠 + 𝑑𝑠 𝑠 + 𝐶𝑠 𝑐2
2

Pour faciliter l'écriture des équations dans l'environnement Matlab/Simulink, nous

avons adopté les symboles suivants:

𝑚𝑠 La masse totale du stator est représentée dans l'environnement Matlab par M.

𝑑𝑠 Coefficient d’amortissement de déformation du stator est représenté par D.
𝐶𝑠 Rigidité équivalente du stator est représentée par K.
𝜂 Facteur de force associé aux céramiques de chaque phase est représentée par
eta.

A partir des équations ((4.3) et (4.4)), ((3.40) et (3.41)); on construit le bloc stator
illustré par la figure (4.2.2) qui suit:

Figure 4.2.2-Détails du bloc fonction stator dans l’environnement

Matlab/Simulink.

72
L'ensemble des blocs de la figure (4.2.2) seront contenus dans la fonction stator
illustrée par la figure (4.2.3) qui suit :

Figure 4.2.3-Bloc fonction stator sous Matlab/Simulink.

4.3-Bloc fonction A

Les sorties 𝑤1 𝑡 et 𝑤2 𝑡 seront injectées dans le bloc (fonction A) qui

représente l’amplitude de crête de l’onde progressive résultante 𝑤𝑚𝑎𝑥 𝑡 qui
s’exprime par l’équation (3.15).
Cette équation sera reformulée en langage Matlab dans le bloc fonction A qui
suit, figure (4.3) :

73
 Figure 4.3-Bloc fonction A dans l’environnement Matlab/Simulink.

4.4-Bloc fonction B du contact Stator/Rotor

Dans ce bloc on récupère deux sorties essentielles qui sont le couple moteur 𝐶𝑚 et
le point de non glissement xs,
En substituant (3.28) dans (3.25), on obtient :

2𝑛𝑅𝑜 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑡 𝜇 𝑑 𝐾𝑒
𝐶𝑚 𝑡 = (2𝜙𝑟 (𝑥𝑠 ) − 𝜙𝑟 (𝑥0 )) (4.5)
𝑘

Ce couple englobe le cas le plus général qui prend en considération la présence de

la traction et le freinage.
Les équations qui constituent ce bloc sont :(3.20) ; (3.27) ;(3.28) ;(4.5) ; dont la
structure sera comme suit figure (4.4.2) :
Ce bloc a plusieurs variables d’entrées qui sont comme suit :
 Theta D : la vitesse angulaire 𝜃 dont l'éxpression est déduite de l'équation
(3.34) comme suit :

𝑑
𝐽𝑟 𝑑𝑡 𝜃 = 𝐶𝑚 − 𝑀𝑐

1
𝜃= 𝐶𝑚 − 𝑀𝑐 𝑑𝑡 (4.6)
𝐽𝑟

 Wmax_act : la sortie directe de la fonction A.

 mu : 𝜇𝑑 le coefficient de frottement dynamique entre stator et rotor.
 omega : la pulsation de l’alimentation électrique du moteur : 𝜔 = 2𝜋𝑓.

74
  𝐿 : la longueur d’onde 𝜆 = 2𝜋𝑅𝑜 /𝑛
 A_min : l’ondulation minimale limite de la surface du stator aux
conditions aux limites (figure (4.4.1)) qui sont :

Figure 4.4.1-Contact Stator/Rotor[14].

 𝑥𝑜𝑚𝑎𝑥 ∶ la demi-largeur de la zone de contact maximale limite, (figure

(4.41)) entre le rotor et le stator de l’équation (3.19),

𝐿
𝑥𝑜𝑚𝑎𝑥 = (4.7)
4

Pour calculer A_min, à partir de l’équation (3.34) et pour ces conditions on peut
écrire l’égalité :
𝐹𝑍 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 (4.8)

Et en remplaçant 𝑥𝑜 par 𝑥𝑜𝑚𝑎𝑥 dans l’équation (3.38), on obtient :

75
 𝐾𝑒
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 2𝑛 𝑊 (4.9)
𝑘 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑥 𝑜𝑚𝑎𝑥 −𝑘𝑥 𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑘 𝑥 0𝑚𝑎𝑥

Ainsi la valeur minimale nécessaire pour éviter le décrochage du moteur est

définie par la relation :
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = (4.10)
𝐾
2𝑛 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑜𝑚𝑎𝑥 − 𝑘𝑥𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥0𝑚𝑎𝑥
𝑘

𝐹𝑒𝑥𝑡
donc A_min = 𝑊𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝐾 (voir Annexe B)
2𝑛 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑘 𝑥 𝑜𝑚𝑎𝑥 −𝑘𝑥 𝑜𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑘 𝑥 0𝑚𝑎𝑥
𝑘

 Ph-xo La fonction représente l’équation (3.28).

 Phi-xs La fonction représente l’équation (3.27).

Figure 4.4.2-Détails du bloc fonction B dans l’environnement Matlab/Simulink.

76
Toute cette structure sera contenue dans une apparence réduite dans le bloc
fonction B sous la forme figure (4.4.3) :

Figure 4.4.3-Bloc fonction B de l’interface stator/rotor sous Matlab/Simulink.

4.5 -Bloc fonction C

La fonction xo est représentée par le bloc fonction C (fig.4.5.1) :

1 𝑕 − 𝑧(𝑡)
𝑥𝑜 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑘 𝑊𝑚𝑎𝑥

 L’entrée Wmax été la sortie Wmax-out sont égales puisqu’elles représentent le

même signal.

77
 Figure 4.5.1–Détails de la fonction C sous Matlab/Simulink.

Le bloc fonction C sera sous la forme figure (4.5.2) :

Figure 4.5.2-Bloc fonction C dans l’environnement Matlab/Simulink.

4.6-Bloc fonction D
La fonction D est construite à partir de l’équation (3.38). Cette équation est mise
sous forme de bloc fonction D (fig.4.6) :

Figure 4.6-Bloc fonction D sous Matlab/Simulink.

78
4.7-Bloc fonction Rotor

La vitesse angulaire du moteur 𝜔𝑅 = 𝑅𝑜 𝜃 en [rd/s] est représentée par le symbole

[rds] à la sortie du bloc de la fonction rotor ;
Pour obtenir la vitesse Vr en [tr/mn], on multiplie la sortie [rds] par [30/ 𝜋],
Les deux équations de ce bloc présentent la vitesse de rotation du moteur 𝑉𝑟 en
[tr/mn] et la vitesse angulaire 𝜔𝑅 en [rd/s] :

 La charge utilisée dans notre fonction est la fonction step dont le symbole est
le suivant:

La sortie theta D est déjà traitée au paragraphe 4.4.

Figure 4.7.1- Détails de la fonction Rotor sous Matlab/Simulink.

La fonction Rotor sera convertie en bloc fonction rotor figure (4.6.2) :

79
 Figure 4.7.2-Bloc fonction Rotor sous Matlab/Simulink.

4.8-Bloc fonction E
Le bloc fonction E voir figure (4.8) destiné pour les forces de réaction modales
dont les équations définies par (3.40) et (3.41) :

Figure 4.8-Bloc fonction E sous Matlab/Simulink.

Après conversion du schéma fonctionnel hybride de la figure (3.1) en modèle

numérique sous Matlab/Simulink ; par interconnexion des différents blocs
fonctions, on obtient le schéma complet présenté à la figure (4.9) :

80
Figure4.9-Modélisation du moteur USR60 dans l’environnement Matlab/Simulink
[2]

Le modèle hybride ainsi obtenu de figure ci-dessus nous permet d’étudier

l’actionneur USR60 à travers l’essai à vide et les essais en charge pours différentes
charges.

81
Pour les différents cas d’interaction traités dans le chapitre précédent, on va
étudier le cas général 𝒙𝒔 ≤ 𝒙𝟎 𝐪𝐮𝐢 𝐩𝐫𝐞𝐧𝐝 𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝é𝐫𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 la présence
de la traction et le freinage.

4.9-Résultats de simulation du moteur à vide et interprétations

Les paramètres utilisés [2] sont résumés dans le tableau (4.1) :

 Déphasage = π/2 rad

Paramètre description Valeur numérique

𝜂(𝑒𝑡𝑎) Facteur de force des 0.2263 [N/V]
céramiques
𝑚𝑠 (𝑀) Masse totale du stator 10. 10−3 [Kg]
𝜔 = 2𝜋𝑓(𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎) Fréquence d’alimentation 40.000*2pi [rad/s]
Coefficient d’amortissement
𝑑𝑠 (𝐷) des deux ondes stationnaires 15.4 [Ns/m]
dans le stator
V Tension d’alimentation 130 [V]
𝜇𝑑 (𝑚𝑢) Coefficient de frottement 0.3 [-]
entre stator et rotor
𝑐𝑠 (𝐾) Rigidité équivalente 5.9524* 108 [N/m]
du stator
𝑅𝑜 Rayon moyen 26.75*10−3 [m]
du stator
𝑚𝑟 (𝑀𝑟 ) Masse totale du rotor 30* 10−3 [kg]
Jr Inertie du rotor 7.2*10−6 [kg𝑚2 ]
H Moitié de l’épaisseur 1.5*10−3 [m]
du stator
N Nombre de crêtes de l’onde
progressive 9
Fext Force axiale de précontrainte 160 [N]
Kr - 5.4*1011 [N/𝑚3 ]
Mc (Load) Charge 0.00 [Nm]

Tableau 4.1-Paramètres du moteur USR 60 [2].

4.9.1-Tensions d’alimentation du stator 𝐔𝐜𝐩𝟏 et 𝐔𝐜𝐩𝟐

Le moteur est alimenté en biphasé avec deux tensions 𝑈𝑐𝑝 1 et 𝑈𝑐𝑝 2 qui sont en
𝜋
quadrature de , les courbes obtenues sont représentées dans la figure (4.9.1) :
2

82
 150
130 V

100
Tensions d'alimentation Ucp1,Ucp2 [v]

Ucp1
Ucp2
50

𝜑
0

-50

-100

-150
9.955 9.96 9.965 9.97 9.975 9.98 9.985 9.99 9.995 10
Temps [s] -3
x 10

Figure 4.9.1-Tension d’alimentation 𝑈𝑐𝑝 1,2 (t) à vide.

4.9.2-Amplitudes modales du stator 𝒘𝟏 𝒕 et 𝒘𝟐 𝒕

Les deux ondes progressives du stator 𝑤1 𝑡 et 𝑤2 𝑡 sont représentées dans un

même repère de la figure (4.9.2)
La courbe représentative de 𝑤1 𝑡 et 𝑤2 𝑡 les amplitudes sont très faibles de
l’ordre de (3 × 10−6 ) m en régime permanent.

 Dans l’intervalle [0,10−4 ] s, les amplitudes modales en régime transitoires ont

l’allure suivant les courbes de la figure (4.9.2a).
 Dans l’intervalle [0.007,0.009]s, les amplitudes modales en régime permanent
ont l’allure des courbes de la figure (4.9.2b).
La hauteur maximale atteinte par chaque amplitude est de 1.7𝜇𝑚.

83
 -6
x 10
5

3
amplitudes modales w1,w2 [m]

-1

-2

-3

-4

-5
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps [s]

Figure 4.9.2-Amplitudes modales du stator 𝑤1,2 𝑡 à vide.

1.7𝜇𝑚

84
4.9.3-L’amplitude de crête de l’onde modale résultante 𝒘𝒎𝒂𝒙 𝒕 .
L’amplitude de crête de l’onde modale résultante atteint 3.2𝜇𝑚
en régime permanent (figure (4.9.3a)).

3.2𝜇𝑚

-6
x 10
4.5
l'amplitude de créte de l'onde résultante wmax [m]

3.5

2.5

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps [s]

Figure 4.9.3b-L’amplitude de crête de l’onde modale résultante 𝑤𝑚𝑎𝑥 𝑡 .

Le régime transitoire est de très courte durée environ 0.008s, au cours duquel

l’amplitude Wmax atteint un pic de 4,3 𝜇m.

85
4.9.4-Le déplacement vertical relatif du 𝐫𝐨𝐭𝐨𝐫 𝒛 𝒕
Le déplacement relatif du rotor z (t) (voir figure 3.10) se stabilise aux environs
de 1.45 𝜇m (voir figure (4.9.4a)) :
-6
x 10
2.5

1,45𝜇𝑚
2

Le déplacement relatif Z [m]

1.5

0.5

0
8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
Temps [s] -3
x 10

Figure 4.9.4a

Figure 4.9.4-Le déplacement relatif 𝑍 𝑡 à vide.

-6
x 10
1.45

1.44
Le déplacement relatif Z [m]

1.43

1.42

1.41

1.4

1.39
8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
Temps [s] -3
x 10

Figure 4.9.4b
86
En régime permanent, z(t) d’après la figure (4.9.4b) varie dans un intervalle
infinitésimal compris entre 1.39. 10−6 m et 1.45. 10−6 m.

4.9.5-Demi-largeur de la zone de contact 𝒙𝒐 𝒕 (équation (3.19))

3,3𝑚𝑚

-3
x 10
5
Demi-largeur de la zone de conact xo [m]

4.5

3.5

2.5
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Figure 4.9.5b-Demi-largeur de la zone de contact 𝑥𝑜 𝑡 à vide.

Sur la figure (4.9.5a), la valeur maximale en régime permanent de xo à vide est

approximativement 3.3mm.

87
 4.9.6- Le point de non glissement 𝒙𝒔 𝒕 (équation (3.20))
-3
x 10
5

4.5

Point de non glissement xs [m] 4

3.5 1.1mm
mm
3

2.5

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Figure 4.9.6a-Le point de non glissement 𝒙𝒔 𝒕 à vide.

Dans la figure (4.9.6b), les deux courbes de xs et xo sont représentées dans un même
repère ;
-3
x 10
5
xo(t)
4.5 xs(t)
3.3mm
4

3.5

3
xs [m] , xo[m]

1.1mm
2.5

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Figure 4.9.6b-Demi-largeur de la zone de contact 𝑥𝑜 𝑡

et le point de non glissement 𝑥𝑠 𝑡 à vide.

88
4.9.7-Couple moteur 𝑪𝒎 𝒕 en fonctionnement à vide.
Le couple moteur à vide est nul (figure (4.9.7)).

1.5

0.00Nm
1
Couple moteur Cm [Nm]

0.5

-0.5

-1
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Figure 4.9.7-Couple moteur 𝐶𝑚 𝑡 à vide.

4.9.8-Vitesse de rotation 𝐝𝐮 𝐫𝐨𝐭𝐨𝐫 𝑽𝒓 𝒕

140

120
Vitesse de rotation Vr [tr/mn]

100

133tr/mn
80

à vide
60

40

20

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Figure 4.9.8-Vitesse de rotation 𝑉𝑟 𝑡 à vide.

89
 En régime permanent, la vitesse de rotation du moteur à vide est stable aux
environs de 133tr/mn.

4.9.9 -Comparaison des résultats

Les résultats de simulation à vide obtenus sous forme de courbes sont comparés
avec celles de la documentation de référence [2],
La comparaison est comme suit :

-6
x 10
5

amplitude de déformation du stator w1 [m]

3

-1

-2

-3

-4

-5
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps [s]

Amplitude modale 𝑤1 𝑡 [2] Amplitude modale 𝑤1 𝑡 figure 4.9.2

-6
x 10
4.5
l'amplitude de créte de l'onde résultante wmax [m]

3.5

2.5

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps [s]

L’amplitude de crête 𝑤𝑚𝑎𝑥 (t) [2] L’amplitude de crête 𝑤𝑚𝑎𝑥 (t) figure 4.9.3b

90
 -6
x 10
2.5

L'entrefer z(t) [m]

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Variation de z (t) [2] Variation de z (t) figure 4.9.4

-3
x 10
5
demi-largeur de la zone de contact xo [m]

4.5

3.5

2.5
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps [s]

Demi-largeur de la zone de contact 𝑥𝑜 (𝑡)[2] xo t 𝐟𝐢𝐠𝐮𝐫𝐞 𝟒. 𝟗. 𝟓𝐛

91
 -3
x 10
5
xo(t)
4.5 xs(t)

3.5

xs [m] , xo[m]
2.5

1.5

0.5

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Variation de xo(t) et xs(t) [2] Variation de xo(t) et xs(t) figure 4.9.6b

1.5

1
Couple moteur Cm [Nm]

0.5

-0.5

-1
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Variation de Cm(t) [2] Variation de Cm(t) figure 4.9.7

92
 140

120

Vitesse de rotation Vr [tr/mn]

100

80

à vide
60

40

20

0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Temps [s]

Variation de Vr (t) [2] Variation de Vr (t) figure 4.9.8

En comparant les courbes de l’essai à vide de la documentation de référence [2] et

celles obtenues à partir de notre modèle d’essai virtuel, on conclut qu’il y a une
grande similitude entre les deux résultats.

4.10-Résultats de simulation du moteur en charge et interprétations

Les paramètres utilisés pour l’essai en charge sont les mêmes que ceux du tableau
(4.1), seulement la valeur de la charge imposée au moteur est variée dans
l’intervalle du fonctionnement normal indiqué par le constructeur suivant les
différentes valeurs de la fréquence.

L’essai suivant se fera avec les valeurs nominales principales qui sont :
 F=40khz.
 Charge Mc=0.5Nm.
 La tension V=130V.

 Le déphasage 𝜑 = π/2 rad.

93
La courbe de la vitesse de rotation obtenue Vr (t) est représentée dans la figure
(4.10.1) comme suit :

140
Charge=0.50Nm.

120
Vitesse de rotation Vr [tr/mn]

100

122tr/m
80
n

60

40

20

0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
Temps [s]

Figure 4.10.1-La caractéristique 𝑉𝑟 (t) du moteur en charge [Mc=0.5Nm].

La vitesse de rotation se stabilise à 122 tr/mn, elle est proche de la valeur nominale
qui est : 100tr/mn.

L’allure de la caractéristique du couple moteur obtenue Cm(t) est représentée dans

la figure (4.10.2) comme suit :

94
 charge=0.5Nm
0.58

0.56

0.54

Couple moteur Cm [Nm]

0.52

0.5

0.48

0.46

0.44

0.42

0.4
0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02
Tems [s]

Figure 4.10.2a
1.4
charge=0.5Nm.

1.2

1
Couple moteur Cm[Nm].

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
Temps [s]

Figure 4.10.2-La caractéristique Cm(t) du couple moteur en charge

0.502
charge=0.5Nm
0.5015

0.501
Couple moteur Cm [Nm]

0.5005

0.5

0.4995

0.499

0.4985

0.498
0.018 0.0182 0.0184 0.0186 0.0188 0.019 0.0192 0.0194 0.0196 0.0198 0.02
Tems [s]
Figure 4.10.2b

95
 Le couple moteur Cm se stabilise au niveau de 0.5Nm (figure (4.10.2a)).
Si on essaye d’affiner beaucoup plus le résultat, de la figure (4.10.2) on déduit que
le couple en fait oscille à grande fréquence (40khz) dans un intervalle compris
entre 0.4985Nm et 0.5015Nm.

Nous avons simulé plusieurs essais pour différentes charges : 0.1Nm, 0.2Nm,
0.3Nm, 0.4Nm, 0.5Nm, 0.6Nm,0.7Nm et 0.8Nm.
A signaler qu'à partir de 0.9Nm pour la fréquence nominale de 40000Hz, le
moteur simulé décroche.
L’ensemble des résultats obtenus sont représentés par un faisceau de
caractéristiques : vitesses de rotation en fonction de la fréquence d’alimentation
dans la figure (4.10.3) :

140
Charge=0.00Nm.
130 Charge=0.10Nm.
Charge=0.20Nm.
Vitesse de rotation du rotor Vr [tr/mn].

120
Charge=0.30Nm.
Charge=0.40Nm.
110
Charge=0.50Nm.
100 Charge=0.60Nm.
Charge=0.70Nm.
90 Charge=0.80Nm.

80

70

60
60tr/mn,
0.60Nm.
50 40000Hz.

40
40000 40200 40400 40600 40800 41000 41200 41400 41600
Fréquence [Hz]

Figure 4.10.3-Caractéristiques de la vitesse de rotation en régime permanent Vr en

fonction de la fréquence 𝑓 pour différentes charges.

4.11-Comparaison des résultats

La figure (4.11) montre l’ensemble des caractéristiques vitesses en tr/mn en
fonction de la fréquence d’alimentation donnée par la documentation de référence
[2],

96
 122.9 tr/mn

60tr/mn,
0.60Nm.
40000Hz.

Figure 4.11-Caractéristiques en charge de la vitesse Vr en fonction de la fréquence 𝑓

pour différentes charges [2].

Par comparaison entre les deux résultats, on constate une similitude entre les
deux figures : (4.11) et (4.10.3).

140
Charge=0.00Nm.
130 Charge=0.10Nm.
Charge=0.20Nm.
Vitesse de rotation du rotor Vr [tr/mn].

120
Charge=0.30Nm.
Charge=0.40Nm.
110
Charge=0.50Nm.
100 Charge=0.60Nm.
Charge=0.70Nm.
90 Charge=0.80Nm.

80

70

60

50

40
40000 40200 40400 40600 40800 41000 41200 41400 41600
Fréquence [Hz]

Figure 4.11 [2]. Figure 4.10.3

4.12-Validation
Par exemple, pour la charge de 0.5Nm, la vitesse de rotation Vr dans le cas de la
courbe de référence (figure (4.11)) est égale à 122.9tr/mn et dans le cas de notre
résultat de simulation (figure (4.10.3)), Vr=123tr/mn.

97
Pour la charge de 0.60 Nm, la vitesse de rotation est la même pour les deux
résultats.
A travers les comparaisons pour différents régimes à vide et en charge, on
remarque une similitude dans l’allure des caractéristiques prélevées de la
simulation réalisée et celles fournies par la documentation de référence [2].
On donne à titre de comparaison dans le tableau (4.2), les différentes puissances
massiques.

Référence Puissance Vitesse Puissance

du moteur Utile De rotation Poids Massique
[w] [tr/mn] [kg] [w/kg]
USR60 [17] 5 100 0.260 19.23
USR30 [17] 1.3 250 0.045 28.88
C827380 [35] 6.8 130 0.600 11.33
C82524D [35] 0.98 53.33 0.140 7
Aeroflex[37] 4.19 4000 0.256 16.35
RS120[38] 16 3000 0.290 55.17
Maxon[37] 12.56 6000 0.038 330.53
Astro[37] 84.25 11500 0.340 247.81
Panasonic[37] 6.70 800 0.070 95.70
Kumada[37] 16.58 120 0.150 110.53
Canon[37] 0.84 80 0.045 18.61
Moteur (1985) 15000 - - 0.15
à induction [36]
SAGEM [16] 5000 649 5.000 1000

Tableau 4.2-Comparaison des puissances massiques.

Les moteurs :
 USR30, USR60 et SAGEM sont à base des céramiques piézoélectriques.
 C827380 est un moteur direct à courant continu à balais.
 C82524D est un moteur synchrone avec réducteur à deux sens de rotation.
 RS120 [38] est un servomoteur utilisé dans l'asservissement.

98
  Canon [37] est un moteur annulaire à onde progressive utilisé pour
mécanismes d’autofocus pour objectif CANON.

 Pour le moteur (1985) à induction malgré qu’il ne soit pas de la même

catégorie de l’actionneur USR60, on constate qu’il y a une très grande
différence (de l’ordre de 130 fois) entre les puissances massiques des deux
moteurs.
On peut déduire que les actionneurs annulaire à onde progressives à base de la
céramique piézoélectrique en basse vitesse sont très prometteurs par la qualité de
la puissance massique élevée qui a encouragé les constructeurs en aéronautiques à
les utiliser comme actionneurs embarqués pour économiser le poids total des
avions.

4.13-Conclusion
Les équations du modèle analytique du moteur piézoélectrique ont été converties
dans l’environnement Matlab/Simulink, ainsi on a obtenu une plate-forme d’essai
virtuel et avec les paramètres du moteur fourni par la documentation de référence
[2], on a pu prélever de l’essai à vide et l’essai en charge les caractéristiques
principales de l’actionneur qui sont la vitesse et le couple en fonction du temps.

On a validé le modèle choisi en comparant nos résultats obtenus avec ceux de la

bibliographie.
Ce modèle hybride est sous sa forme de base. En effet, nous avons traité
uniquement le cas général du contact stator-rotor (cas 1 : 𝒙𝒔 ≤ 𝒙𝟎 ) qui
représente le cas du fonctionnement réel de l’actionneur.

On peut utiliser ce modèle hybride comme application de base à laquelle on peut

ajouter d’autres fonctions pour traiter les comportements de l’actionneur en modes
de fonctionnement les plus complexes.

99
Conclusion générale

Le travail présenté dans ce mémoire comme son titre l'indique c'est l'analyse de
fonctionnement d'un actionneur piézoélectrique à onde progressive.
Le début de notre travail est un résumé sur les principes physiques liés aux
phénomènes piézoélectriques.
Afin de pouvoir entamer le reste des thèmes, on a rédigé à partir de notre
recherche bibliographique, le parcours des inventions les plus populaires pendant
la décennie passée liées aux conversions par effet inverse de la piézoélectricité et
on a retenu le plus populaire qui est le moteur piézoélectrique à onde progressive
USR 60.
A travers l’étude théorique présentée au troisième chapitre, on a essayé de traiter
les différents phénomènes complexes rencontrés: de la dynamique du stator, en
passant par les phénomènes complexes liés au contact stator-rotor jusqu’à enfin la
dynamique du rotor pour mettre en forme le schéma fonctionnel de l'actionneur
USR60.

La dernière partie dans notre travail consistait dans la conversion des équations
qui régissaient le schéma fonctionnel dans l’environnement de simulation sous
Matlab/Simulik;
Le modèle hybride du moteur ainsi obtenu nous a permis d’accéder à l’étude des
caractéristiques du moteur USR 60 à vide et en charge.
Les résultats obtenus de la simulation, ont été comparés avec les résultats donnés
dans la référence [2].
Après ces comparaisons qui présentaient une grande similitude, on a pu valider le
modèle.

En perspective, ce modèle hybride peut être complété pour étudier l’influence

d’autres paramètres comme la température et l’usure non uniforme du contact
stator/rotor par friction qui rendent le modèle non linéaire.
Notre approche simplificatrice par ce modèle hybride au moteur USR60 nous a
permis avec un certain écart d’erreurs près de collecter les performances

100
essentielles décrivant le comportement du moteur par l'étude de ses
caractéristiques à vide et en charge .
Ces actionneurs piézocéramiques envahissent de plus en plus les domaines de la
technologie de pointe. Ainsi, une concurrence rude et prometteuse pour ce type
d’actionneurs est entamée avec les autres catégories similaires des micromoteurs
et cela depuis un bon moment.

101
Annexe A

Constitution du moteur SHINSEI USR60

Fiche technique du moteur USR60 [17].

Dimensions et encombrement du moteur USR60 [17].

102
Annexe B

Fichier éditeur contenant les différents paramètres utilisés dans l'environnement

Matlab/Simulink pour la simulation.
Pour l'essai en charge, les valeurs des paramètres qui sont couramment changées
sont celles de la charge et la fréquence.

close all, clear all

%Properties of electrical system forcing function
eta = 0.2263; %(N/V) – Force/Voltage coupling factor
V = 130; %(V)
omega = 40.000e3*2*pi; %(rad/s)
Phase = pi/2; %(rad)
%Properties of stator:
%Equation of motion Constants and property calculations
M = 10.1e-3; %(kg)
D = 15.4; %(Ns/m)
K = 5.9524e8; %(N/m)
wn0 = (K./M).^(1/2); %natural frequency of system prior
to feedback forces (rad/s)
%Stator Dimensions
Ro = 26.75e-3; %Effective radius of contact (m)
b = 4.41e-3; %Width of traveling wave in radial
direction, (m)
n = 9; %Number of wave peaks
h = 1.5e-3; %half thickness of stator, (m)
epsi1 = 0; %Coupling factor (Simulated IDEAL... i.e.
%epsi = 0)
epsi2 = epsi1;
%Properties of rotor:
%Vertical System
Mr = 30e-3; %(kg)
%Rotary System
Jr = 7.2e-6; %(kg*m^2)
%Load
Load = 0;
%Contact Mechanics
mu = 0.3; %friction coefficient
Fext = 160; %Stator/Rotor external pressing force, (N)

103
Symboles

Cm Couple généré par le moteur [Nm]

𝒄𝒔 Rigidité équivalente du stator [N/m]

D Déplacement électrique [C/𝑚2 ]

ds Coefficient d’amortissement déformation du stator [Ns/m]

d Matrice des constantes de charge [C/N]

dr Coefficient d’amortissement du rotor dans la direction axiale [Ns/m]

E Champ électrique [V/m]

Es Module de Young de la structure déformable du stator [N/𝑚2 ]

Ek Energie cinétique [J]

Ep Energie potentielle [J]

Ee Energie électrique [J]

𝐅𝐯𝟏,𝟐 Forces générées par effet piézoélectrique dans chaque phase [N]

𝑭𝒆𝒙𝒕 Force de précontrainte [N]

𝑭𝒁 Force de réaction axiale totale due à la contraction de l’épaisseur élastique [N]

𝐅𝐜𝟏,𝟐 Forces de réaction modale dues au chargement axiale [N]

𝑭𝒕 Force de traction associée à une crête de l’onde progressive [N]

𝐅𝐯𝟏,𝟐 Force axiale par unité de longueur agissant dans la zone de contact [N/m]

f Fréquence d’alimentation [Hz]

h moitié de l’épaisseur de la plaque du stator [m]

𝑱𝒓 Inertie du rotor [Kg𝑚2 ]

kem Coefficient d’accouplement électromécanique [-]

k Nombre d’onde [rad/m]

Ke Rigidité équivalent du rotor [N/𝑚2 ]

𝓛 Lagrangien [J]

𝑴𝒄 Couple de charge [Nm]

ms Masse totale du stator [Kg]

mr Masse totale du stator [Kg]

n Nombre de crête d’ondes contenues dans l’anneau statorique [-]

104
Qm Coefficient de pertes mécaniques [-]

Ro Rayon moyen de l’anneau statorique [m]

S Déformation mécanique relative [m/m]

s Souplesse [𝑚2 /N]

𝐬𝐄 Matrice de souplesse d’un milieu piézoélectrique [m2/N]

𝒔𝒈𝒏 Fonction signe [-]

T Contrainte mécanique [N/𝑚2 ]

𝑼𝒄𝒑𝟏,𝟐 Tensions de phase du moteur [V]

𝑽𝒕 Vitesse tangentielle des points à la surface du stator [m/s]

𝒗𝒕𝒎𝒂𝒙 Vitesse tangentielle maximale des points à la surface du stator [m/s]

Vr Vitesse de rotation du rotor [tr/mn]

𝒘𝟏,𝟐 Amplitude de déformation des deux ondes stationnaires [m]

Wr Position relative entre le stator et le rotor [m]

𝐖𝐄 Densité d’énergie électrique [J]

𝐖𝐌 Densité d’énergie mécanique [J]

𝑾𝑬𝑴 Densité d’énergie électromécanique [J]

𝑾𝒎𝒂𝒙 L’amplitude de crête de la résultante des ondes progressives [m]

𝜹𝓦 La variation de travail infinitésimal donnée par les forces extérieures [J]

w Amplitude de l’onde progressive dans le stator [m]

𝒘𝒓 Vitesse de translation du rotor [rad/s]

xo Demi-largeur de la zone de contact entre le stator et le rotor [m]

xs Localise les points de non glissement [m]

z Déplacement vertical relatif du rotor [m]

s Masse volumique du stator [Kg/𝑚3 ]

Longueur d’onde [m]

𝜼 Facteur de force associé aux céramiques de chaque phase [N/V]

w Contraction du rotor le long de la zone de contact [m]

Force de traction par unité de longueur agissant dans la zone de contact [N/m]

μd Coefficient de frottement dynamique [-]

105
 Pulsation propre électrique [rad/s]

Déphasage entre les tensions d’alimentation électrique [rad]

Position angulaire d’un point du stator [rad]

Constante diélectrique [Cm/V]

𝝐𝑻 Matrice de permittivité d’un milieu piézoélectrique [F/m]

r Vitesse angulaire du rotor [rad/s]

𝝃𝟏,𝟐 Amplitude modale dans la direction radiale [m]

𝜽 vitesse angulaire du rotor [rad/s]

𝝂𝒔 Coefficient de Poisson de la structure déformable du stator [-]

106
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